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Sinais e Sistemas – Capítulo 2

Simon Haykin

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

As equações de diferenças são usadas para representar sistemas de tempo discreto As equações diferenciais são usadas para representar sistemas de tempo contínuo

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

A forma geral de equações diferenciais com coeficientes constantes é

N

k

M

kk

k

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

0 0

onde x(t) é a entrada do sistema e y(t) é a saída.

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

A forma geral de equações de diferenças com coeficientes constantes é similar, mas com as derivadas substituídas por valores retardados da entrada x[n] e da saída y[n]

N

k

M

kkk knxbknya

0 0][][

onde x[k] é a entrada do sistema e y[k] é a saída.

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

N

k

M

kkk knxbknya

0 0][][

N é um número inteiro chamado de ordem da equação, e corresponde à derivada mais elevada (no caso de equação diferencial) ou a memória máxima que envolve a saída do sistema (no caso de equação de diferença) Em termos práticos, a ordem representa o número de dispositivos de armazenamento de energia presentes no sistema

N

k

M

kk

k

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

0 0Equação diferencial

Equação de diferença

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

Exemplo 1: Sistema RLC

ttxdy

Cty

dt

dLtRy 1

txdt

dty

dt

dLty

dt

dRty

C

2

21

Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: o capacitor e o indutor.

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

Exemplo 2: Sistema massa-mola

txtkytydt

dfty

dt

dm

2

2

Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: a massa e a mola.

Posição Velocidade

Aceleração

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

Exemplo 3: Relação de entrada e saída de um sistema que processa dados em um computador

]1[2][]2[4

1]1[][ nxnxnynyny

Observe que a ordem N é 2 pois o sistema possui uma memória máxima da saída igual a 2. A memória em um sistema de tempo discreto é análoga ao armazenamento de energia em um sistema de tempo contínuo.

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

Dada a forma geral de uma equação de diferença

então podemos reescrevê-la na forma recursiva

N

k

M

kkk knxbknya

0 0][][

N

kk

M

kk knya

aknxb

any

1000

][1

][1

][

A qual indica que a saída y[n] pode ser obtida a partir da entrada e de valores passados da saída.

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

Exemplo: Considere o sistema de tempo discreto modelado como

Descreva o sistema sob uma forma recursiva e determine as 3 primeiras amostras de saída.

Solução:

]1[2][]2[4

1]1[][ nxnxnynyny

]2[4

1]1[]1[2][][ nynynxnxny

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

Observe que para iniciar o processo em n=0 é necessário conhecer os dois valores passados mais recente da saída, y[-1] e y[-2], que são as condições iniciais do sistema.

]2[4

1]1[]1[2][][ nynynxnxny

]0[4

1]1[]1[2]2[]2[

]1[4

1]0[]0[2]1[]1[

]2[4

1]1[]1[2]0[]0[

yyxxy

yyxxy

yyxxy

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Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças

As condições iniciais resumem todas as informações sobre o passado do sistema que são necessárias para determinar as saídas futuras. Em geral, o número de condições iniciais necessárias é igual à ordem do sistema. No caso de sistemas de tempo contínuo, as condições iniciais são os valores das N derivadas da saída avaliadas no tempo t0

tydt

dty

dt

dty

dt

dty

N

N

1

1

2

2

,,,

As condições iniciais em sistemas de tempo contínuo estão relacionadas com os valores iniciais dos dispositivos de armazenamento de energia (tensões iniciais em capacitores, correntes iniciais em indutores,...)

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Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças

É conveniente expressar a saída como uma soma de dois componentes:

Um associado somente com as condições iniciais; Outro devido somente à entrada.

Denominaremos o componente associado com as condições iniciais de resposta natural do sistema, y(n). O componente da saída devido somente à entrada é denominado resposta forçada do sistema, y(f). A resposta natural é a saída do sistema para entrada zero, enquanto que a resposta forçada é a saída do sistema com condições iniciais nulas. Um sistema com condições iniciais nulas (nenhuma energia armazenada ou nenhuma memória) é dito estar em repouso.

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Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças

A resposta natural mostra como o sistema dissipa energia ou memória do passado, representadas por condições iniciais distintas de zero. A resposta forçada mostra o comportamento do sistema, que é “forçado” por uma entrada quando o sistema está em repouso.

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A Resposta Natural

Considere a equação diferencial em sua forma geral

N

k

M

kk

k

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

0 0

Considerando x(t)=0, o que nos leva à equação homogênea

N

k

nk

k

k tydt

da

0

)( 0

Logo, a resposta natural y(n) tem a forma

N

i

tri

n iecty1

)(

em que ri são as N raízes da equação característica do sistema.

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A Resposta Natural

Equação homogênea

N

k

nk

k

k tydt

da

0

)( 0

Logo, a resposta natural y(n) tem a forma

N

i

tri

n iecty1

)(

em que ri são as N raízes da equação característica do sistema

00

N

k

kk ra

A substituição de y(n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes ci.

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A Resposta Natural Considere a equação de diferenças em sua forma geral

Considerando x[n-k]=0, o que nos leva à equação homogênea

N

k

M

kkk knxbknya

0 0][][

0][0

N

k

nk knya

Logo, a resposta natural y(n) tem a forma

N

i

nii

n rcny1

em que ri são as N raízes da equação característica do sistema

00

N

k

kNk ra

A substituição de y(n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes ci.

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A Resposta Natural

00

N

k

kNk ra

Observe que as equações características de tempo contínuo e de tempo discreto diferem uma da outra.

00

N

k

kk ra Equação característica de tempo contínuo

Equação característica de tempo discreto

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A Resposta Natural

A forma da resposta natural se modifica ligeiramente quando as equações características possuem raízes repetidas. Se a raiz for repetida p vezes, então incluímos p termos distintos nas soluções de y(n) associadas com ri, envolvendo as p funções

trptrtr jjj ettee 1,,

nj

pnj

nj rnnrr 1,,

Tempo contínuo

Tempo discreto

Natureza de cada termo na resposta natural: ri reais => exponenciais reais ri imaginárias=>senóides ri complexas=> Senóides exponencialmente amortecidas

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A Resposta Natural

Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma equação diferencial que descreva este sistema e determine a resposta natural do sistema para t>0, supondo que a corrente que atravessa o indutor no instante t=0 seja y(0)=2 A.

Solução:

txtydt

dLtRy

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A Resposta Natural

A resposta natural é a solução da equação homogênea

0 tydt

dLtRy

cuja solução, sabendo que N=1, é Aecty trn 1

1

em que r1 é a raiz da equação característica

LRrrLrR 10

O coeficiente c1 é determinado de forma que a resposta satisfaça a condição inicial y(0)=2. Neste caso, c1=2, de modo que

0,2 tAety tLRn

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A Resposta Forçada

A resposta forçada é a solução para a equação diferencial ou de diferenças correspondente à entrada dada, supondo-se que as condições iniciais sejam nulas. Consiste na soma de dois componentes:

Um termo que tem a mesma forma que a resposta natural Uma solução particular y(p)

A solução particular normalmente é obtida supondo que a saída do sistema tenha a mesma forma geral que a entrada Exemplo 1: se a entrada é x[n]=an, então supomos que a saída tenha a forma y(p)[n]=can

, e encontramos a constante c . Exemplo 2: se a entrada é x[n]=Acos(Ωn+Φ), então supomos que a saída tenha a forma y(p)[n]=c1cos(Ωn)+c2sen(Ωn), onde c1 e c2 são determinadas a fim de que y(p)[n] satisfaça a equação de diferença do sistema.

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A Resposta Forçada

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A Resposta Forçada

Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma solução particular para este sistema, sabendo que x(t)=cos(ω0t)V.

Solução:

txtydt

dLtRy

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A Resposta Forçada

Supomos uma solução particular da forma tctcty p 0201 sencos

Então, a equação diferencial fica como segue:

ttcLtcLtRctRc 00200100201 coscossensencos

tcLRctcLRct 010202010 cossencos

20

2202

20

221

102

201

0

1

LRLc

LRRc

cLRc

cLRc

tLR

Lt

LR

Rty p 02

0220

020

22sencos

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A Resposta Forçada

Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1Ω, L=1H.

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A Resposta Forçada

Solução:

ttLRn ecAecty 11Reposta natural:

Reposta Particular:

ttty

tLR

Lt

LR

Rty

p

p

sen2

1cos

2

1

sencos 020

220

020

22

Reposta Forçada: ttecty tf sen

2

1cos

2

11

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A Resposta Forçada

Reposta Forçada: ttecty tf sen

2

1cos

2

11

2

1

2

10

0sen2

10cos

2

10

11

01

cc

ecy f

0,sen2

1cos

2

1

2

1 tAttety tf

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A Resposta Completa

É a soma da resposta natural e a resposta forçada Obtém-se aplicando os procedimentos para determinação da resposta forçada, mas com as condições iniciais reais em vez de nulas

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A Resposta Completa

Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1Ω, L=1H e y(0)=2A.

Solução:

Reposta forçada:

2

3

2

12

0sen2

10cos

2

10

sen2

1cos

2

1

11

01

1

cc

ecy

ttecty tf

Reposta completa:

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A Resposta Completa

Reposta Completa: 0,sen2

1cos

2

1

2

3 tAttety t

Reposta Natural: 0,2 tAety tLRn

Reposta Forçada: 0,sen

2

1cos

2

1

2

1 tAttety tf