Aula04-Algebra Linear - Espacos Vetoriais - 2014.2 · PDF fileIntrodução...
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+
ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS
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+INTRODUÇÃO
n Ao final do século XIX, após o estabelecimento das bases matemáticas da teoria de matrizes, foi observado pelos matemáticos que várias entidades matemáticas que eram tratadas de forma diferentes possuíam propriedades semelhantes, motivando-os a criarem uma teoria que viabilizasse um tratamento uniforme a tais entidades.
n Como exemplo, vetores pertencentes ao R2 e ao R3, funções polinomiais e funções diferenciáveis apresentam as mesmas propriedades de adição e da multiplicação por escalar, observadas para o caso matricial.
n Tal constatação deu origem à definição de Espaço Vetorial.
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+INTRODUÇÃO
n Sabe-se que o conjunto:
n É interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x, y) pode ser um ponto, onde x e y são coordenadas, ou pode ser encarado como um vetor, onde x e y são componentes (ou coordenadas).
n Essa mesma ideia, estende-se para espaço tridimensional R3, e para espaços superiores, R4, R5, …, Rn.
n Assim quádruplas de números (x1, x2, x3, x4) pode ser vistas como pontos ou vetores no espaço R4 de quarta dimensão.
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Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial. Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma.
V é um conjunto no espaço.
3321 }/),,{( RRRRRxxxxV i =××=∈=
Ex.: P(2,4,3)
P(x, y, z)
x
y
z
v
0
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Desta forma:
Vetor nulo no espaço R3
Vetor oposto em R3
Operações com vetores no espaço V=R3 Dados: e
Soma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000
0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=−
zyx
v
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
z
y
x
uuu
u
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
z
y
x
vvv
v
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
vuvuvu
vvv
uuu
vu
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Produto de um vetor com um escalar:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
312
u
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
510
v⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
222
vu Exemplo:
ux
y
vz
vu +
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
z
y
x
kukuku
uk Exemplo:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
320
u 2=k
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
640
320
2uk
u2
u
x
y
z
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Vetores no Rn
1 2 3( , , ,..., ),nv x x x x=
Adição:
Multiplicação por escalar:
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
( , , ,..., ) ( , , ,..., )( , , ,..., )
n n
n n
v u x x x x y y y yx y x y x y x y
+ = +
= + + + +
1 2 3
1 2 3
( , , ,..., )( , , ,..., )
n
n
ku k x x x xkx kx kx kx
=
=
1 2 3( , , ,..., ) nnu y y y y R= ∈ k R∈e
Operações
1 2 3( , , ,..., )nv x x x x=Representação:
INTRODUÇÃO
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Definição: Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, , no
qual estão definidas duas operações:
O Conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) se forem verificados os seguintes axiomas...
Soma:
Multiplicação por escalar: VvuVvu ∈+=>∈,
VkvRkVv ∈=>∈∈ ,
Espaço Vetorial
≠ ∅V
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AXIOMAS: A) Em relação a adição:
A3) Elemento Neutro:
( ) ( ), , ,u v w u v w u v w∀ ∈ + + = + +V
, ,u v u v v u∀ ∈ + = +V
0 , 0 0u u u u∃ ∈ ∀ ∈ + = + =V V
( ) ( ) ( ) 0u u u u u u∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =V V
A2) Comutativa:
A1) Associativa:
A4) Elemento Oposto:
Espaço Vetorial
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AXIOMAS: M) Em relação a Multiplicação por Escalar:
M3)
M2)
M1)
M4)
( ) ( ), ,v v vα β α β αβ∀ ∈ ∈ ⇒ =R V
( ), ,u u u uα β α β α β∀ ∈ ∈ ⇒ + = +R V
( ), ,u v u v u vα α α α∀ ∈ ∈ ⇒ + = +R V
( )1 1v v v∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ =R V
!u,v"V e !!,! " R
Espaço Vetorial
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n Observações:
1. Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES.
2. Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES.
3. Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.
Espaço Vetorial
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12
Subespaço Vetorial
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.
Teorema: Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições: I) Para quaisquer u, v ∈ S, tem-se:
II) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tem-se:
u + v ∈ S
αu ∈ S
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+Exemplos
n 1) Sejam V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2 / y = 2x} ou S = {(x, 2x); x ∈ R}, isto é, S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Verifique se S é subespaço vetorial de R2. n Evidentemente, S ≠ Ø , pois (0, 0) ∈ S
n Verifiquemos as condições ( I ) e ( II )
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+Exemplos
n Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem
Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da mesma reta, o vetor soma u + v ainda pertence a reta. E se multiplicamos um vetor u da reta por um número “a” , a≠0, o vetor “au” ainda estará na reta.
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+Exemplos
n 2) Sejam V = R2 e S = {(x, 4 – 2x); x ∈ R}. Verifique se S é subespaço vetorial de R2.
Solução:
n Se escolhermos os vetores: u = (1,2) ∈ S e v = (2, 0) ∈ S
n Tem-se:
n I ) u + v = (1, 2) + (2, 0) = (3, 2) S
n II ) αu = α (1, 2) = (α, 2α) S , para α ≠ 1 !
!
Portanto, S não é subespaço vetorial de R2
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+Observação
!
Após estes dois exemplos de retas sugerem:
!
!
!
n Para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, que: sempre que o 0 S, S não é subespaço de V.
n No entanto, não nos enganemos pensando que, se 0 ∈ S, S é subespaço, pois podemos ter 0 ∈ S sem que S seja subespaço. É o caso do subconjunto: S = {(x , |x|); x ∈ R} R2
n Observemos que (0, 0) ∈ S e que, se tomarmos os vetores u = (3, 3) e v = (–2, 2) de S, teremos:
n I ) u + v = (3, 3) + (–2, 2) = (1, 5) S
n II ) αu S , para α < 0 Portanto, S não é subespaço vetorial de R2
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Combinação Linear
e os escalares Vvvv n∈,,, 21 …Definição:
naaa ,,, 21 …
Qualquer vetor v ∈ V da forma:
nnvavavav +++= …2211
é uma combinação linear dos vetores: Vvvv n∈,,, 21 …
Sejam os vetores
Ex:
kjiv 342 ++=v
ij
k
R³
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+Exemplos n 1) No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau ≤ 2, o
polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios: v1 = 5x2 – 3x +2 e v2 = –2x2 + 5x – 8
n Se v é uma combinação linear, então:
n V = a1v1 + a2v2 , encontrar a1 e a2
n 7x2 + 11x – 26 = a1(5x2 – 3x +2) + a2(–2x2 + 5x – 8) n 5a1 – 2a2 = 7 n –3a1 + 5a2 = 11 n 2a1 – 8a2 = –26
n Logo:
n v = 3v1 + 4v2
a1 = 3 e a2 = 4
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+Exemplos n 2) Para os problemas abaixo, consideremos R3, os seguintes
vetores: v1 = (1, –3, 2) e v2 = (2, 4, –1)
n A ) Escrever o vetor v = (–4, –18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2. n Resposta: v = 2v1 – 3v2
n B ) Mostrar que o vetor v = (4, 3, –6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2. n Resposta: v não é combinação linear de v1 e v2.
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+Bibliografias
n STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;
n BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3a edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989.
n STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;
n KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.