Caderno Atividades RJ Matematica_EF_v2

REORIENTAÇÃO CURRICULAR

MATEMÁTICAEnsino Fundamental - Volume II

Materiais Didáticos

REORIENTAÇÃO CURRICULAR - EQUIPE UFRJ

Direção GeralÂngela RochaDoutora em Matemática - Instituto de Matemática da UFRJ

Coordenação GeralMaria Cristina Rigoni CostaDoutora em Língua Portuguesa - Faculdade de Letras da UFRJ

Coordenação de MatemáticaElizabeth BelfortInstituto de Matemática da UFRJ. Mestre em Matemática - UFRJ; PhD em Educação Matemática - Universidade de Londres; Licenciada em Matemática - UFRJ

Professores OrientadoresAna Lúcia Gravato Bordeaux Rego, SEE e Projeto FundãoMestre em Educação Matemática - USU, Licenciada em Matemática

Cláudia Segadas Vianna, Instituto de Matemática da UFRJ e Projeto FundãoMestre em Ensino da Matemática - UNESP- Rio Claro, PhD em Educação Matemática - Universidade de Londres.

Denise Fellipe da Rocha, SME/ RJ, Colégio Brigadeiro Newton Braga e Projeto Fundão Especialização para Professores de Matemática - UFRJ, Licenciada em Matemática

Elizabeth Ogliari, SEE e Projeto FundãoEspecialização em Treinamento e Desenvolvimento de Recursos Humanos, Mestranda em Ensino de Matemática - UFRJ, Licenciada em Matemática - UFRJ.

Elizabeth Pastor Garnier, SEE, Fundação Técnico Educacional Souza Marques (FTESM) e P. FundãoMestre em Ciências Pedagógicas - ISEP, Especialização em Aprendizagem em Matemática - UERJ, Licenciada em Matemática e em Física

Fernando Celso Villar Marinho, Colégio de Aplicação da UFRJMestre em Matemática - UFRJ, Licenciado em Matemática - UFRJ.

Francisco Mattos, Colégio de Aplicação da UERJMestre em Matemática Aplicada - UFRJ e Doutorando em Sistemas - COPPE-UFRJ.

Gilda Maria Quitete Portela, SME/RJ e Projeto FundãoLicenciada em Física - UFRJ.

Jacqueline Bernardo Pereira Oliveira, Centro Universitário de Barra Mansa (UBM) e Projeto FundãoMestre em Matemática - UFRJ, Licenciada em Matemática - UFF.

João Paulo Gioseffi Vassallo, SEE, Fundação Educacional de Volta Redonda e Projeto FundãoEspecialista em Educação Matemática- UBM, Licenciado em Matemática.

Lilian Nasser, CETIQT/SENAI, Instituto de Matemática da UFRJ e Projeto FundãoMestre em Matemática - UFRJ; PhD em Educação Matemática - Universidade de Londres. Licenciada e Bacharel em Matemática.

Lúcia Arruda de Albuquerque Tinoco, Instituto de Matemática da UFRJ e Projeto Fundão.Mestre em Matemática - UFRJ. Licenciada e Bacharel em Matemática.

Luiz Carlos Guimarães, , Instituto de Matemática da UFRJPhD em Matemática - Universidade de Southampton, Bacharel em Matemática.

Luiz Otávio Teixeira Mendes Langlois, Instituto de Matemática da UFRJMestre em Estatística - UFRJ, Engenharia - UFRJ.

Maria Concetta Centola, SEE (C.E. Infante Dom Henrique) e Colégio São Vicente de PauloEspecialista em Educação Matemática - PUC - Rio, Licenciada em Matemática.

Maria Palmira da Costa Silva, SME/RJ, C.E. Taciel Cylleno e Projeto FundãoLicenciada e Bacharel em Matemática - UFRJ; Especializações: Matemática - UFRJ e em Informática Aplicada à Educação - UERJ.

Rita Maria Cardoso Meirelles, Colégio de Aplicação da UFRJ Licenciada em Matemática - UFRJ.

Ulicio Pinto Júnior, SEE (C.E. José Martins da Costa), SME/RJ e Colégio São Vicente de Paulo Especialista em Ensino de Matemática - UFRJ, Mestrando em Ensino de Matemática - UFRJ. Licenciado em Matemática.

Victor Giraldo, Instituto de Matemática da UFRJMestre em Matemática Aplicada - UFRJ, PhD em Sistemas - COPPE - UFRJ. Bacharel em Matemática.

Wanda Medeiros Pacheco Ferreira, CEFET - RJ, CECIERJEspecialista em Educação Matemática- USU - GEPEM, Licenciada em Matemática.

Wandira Maria C. Moreira, SEE (C.E. Antônio Prado Júnior); CECIERJ.Especialista em Educação Matemática- USU - GEPEM, Licenciada em Matemática.

Professores AutoresAbel Adonato da Fonseca CIEP 286 - Murilo Portugal, Barra do PiraíAdriana Maria Rabha Lima C.E. Conde Pereira Carneiro, Angra dos ReisAdriana Ramos da Cunha CIEP 355 - Roquete Pinto, QueimadosAdriane R. Almeida C.E. Rio Grande do Sul, Volta RedondaAilton José Maria C.E. Antônio Dias Lima, Angra dos ReisAlessandra Serrado Neves C.E. Canadá, Nova FriburgoAlexandre Carvalho da Hora E.E.E.S. Roberto Burle-Marx, Rio de JaneiroAlmir José da Silva C.E. Iracema Leite Nader, Barra MansaAna Alice Maciel C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoAna Patrícia de Paula Matos CIEP 295 - Prof.ª Glória Roussin Guedes Pinto, Volta Redonda e C.E.

Olavo Bilac, ResendeAndréa Cristina Costa de Freitas CIEP 388 - Lasar Segall, Belford RoxoAntonio Lopes de Oliveira Filho C.E. Prof. Aurélio Duarte, CarmoArcilene Aguiar dos Santos C.E. 20 de Julho, Arraial do CaboArithana Cardoso Ribeiro de Assis C.E. 20 de Julho e CIEP 147 - Cetílio Barros Pessoa, Arraial do CaboAquiles Afonso da Silveira C.E. Célio Barbosa Anchite, PinheiralAurea Regina dos Santos CIEP 117 - Carlos Drumond de Andrade, Nova IguaçuBianca Cardoso Soares C.E. Elisiário Matta, MaricáCarlos Cezar do Nascimento E.E. Francisco José do NascimentoCarmem Valéria de Souza S. Dutra C.E. 20 de Julho, Arraial do CaboCésar Augusto Gomes de Morais Coutinho CIEP 089 - Graciliano RamosCláudio Antonio Portilho C.E. Prof. Aurélio Duarte, CarmoCláudio Henrique da Costa Pereira CIEP 258 - Astrogildo Pereira, SaquaremaDalva Helena Rangel Lima C.E. Elvídio CostaDeyse Cristina de Moura CIEP 344 - Adoniran Barbosa, QueimadosDilma Seixas Menezes C.E. Barão de MacaúbasDorcas da Rocha Oliveira C.E. Guanabara, Volta RedondaDurlan Andrade Gonçalves C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoEdilaine Aguiar Lemos C.E. Etelvina Alves da Silva, ItaperunaEliana Barbosa de Freitas Soraggi C.E. José de Lannes Dantas BrandãoEliane Cristina da Cunha Oliveira C.E. Prof. Antônio Maria Teixeira Filho, Rio de Janeiro Elizabeth de Oliveira Torres Lima C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoErnani Iodalgiro da Costa Lima C.E. Lia Márcia Gonçalves Panaro, Duque de CaxiasFatima Cristina Ayrola de Carvalho C.E. Prof.ª Zélia dos Santos Côrtes, Nova Friburgo

Flávia Lima de Souza C.E. Barão do Rio Bonito, Barra do Piraí e CIEP 298 - Manoel Duarte, Rio das Flôres

Gerusa Elena Fort Pinheiro C.E. Barão do Rio Bonito, Barra do Piraí e C.E. Theodorico Fonseca, Valença

Geny de Paula Pinheiro E.E. Prof.ª Norma Toop Uruguay Helena Espínola de Guzzi Zaú C.E Cel. Antônio Peçanha e C.E. Prof. Kopke, Três Rios Irineu Vieira do Nascimento E.E. Hilton GamaJanilce Guimarães da Silva Alvarenga CIEP 117 - Carlos Drumond de Andrade, Nova IguaçuJefferson Santoro Instituto de Educação Rangel Pestana, Nova Iguaçu Jocilene Aparecida Machareth Reguine C.E. Prof. Aurélio Duarte, CarmoJoelson Conceição da Silva C.E. Januário de Toledo Pizza, São Sebastião do AltoJorge Claudio Ribeiro Martins C.E. Presidente Castelo Branco, MesquitaJuberte Andrade C.E. Santos Dumont, Volta RedondaKenia Costa Gregório C.E. Lions Clube - ItaperunaJorge José da Silveira C.E. Sem Francisco Gallotti, Rio de JaneiroKatiuscia Rangel de Paula CIEP 495 - Guignard, Angra dos ReisLeandro Mendonça do Nascimento CIEP 320 - Ercília Antônia da Silva, Duque de CaxiasLeila Pires Muniz C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoLeir Pires Muniz C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoLenilson Duarte C.E. Prof. José Medeiros de Camargo, ResendeLúcia Helena Ferreira da Silva C.E. Prof. Aragão Gomes, MendesLucimar Neves C.E. Prof. Aragão Gomes, MendesLuzia de Cássia Espindola Machado C.E. Presidente Roosevelt, Volta Redonda Luzia Ribeiro da Silva Longobuco CIEP 099 - Dr. Boulevard Gomes de Assumpção, Nova Iguaçu Luzilaine Aguiar Lemos CIEP 467 Henriett Amado, Itaperuna, RJMaelí Vieira Rosa de Souza C.E. Capitão Oswaldo Ornellas, São GonçaloMagali Alves Martins CES - Casa do Marinheiro, Rio de JaneiroMagda de Oliveira Bittencourt Azeredo C.E. José Carlos Boaretto, MacucoMagna Almeida de Souza C.E. Rio Grande do Norte, Volta RedondaMárcia Cristina Garin Borges E.E. Prof. Alfredo Balthazar da Silveira Márcio da Silva de Lima CIEP 418 - Antônio Carlos Bernardes - MussumMaria Conceição Barroso C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoMaria da Conceição Machado de Carvalho C.E. Chile, Rio de JaneiroMaria de Fátima dos Santos Guedes CIEP 286 - Murilo Portugal, Barra do PiraíMaria de Fátima Portella E.E. Maurício de Abreu, Sapucaia

Maria de Nazaré Landeira Feijó C.E. José Carlos Boaretto, MacucoMaria Idenir Barrozo C.E. Prof.ª Zélia dos Santos Côrtes, Nova FriburgoMaria Inez de Souza Maciel Cardoso C.E. Prof.ª Zélia dos Santos Côrtes, Nova FriburgoMaria Luiza Brito Borges C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoMarineri Vieira dos Reis CIEP 435 - Hélio Pellegrino, Rio de JaneiroMarize Barros de Andrade CIEP 169 - Maria Augusta CorrêaMasileila Caldas da Silva C.E. Vila Bela, MesquitaMauricio de Oliveira Horta Barbosa C.E. José de Lannes Dantas BrandãoMoanice do Couto Kropf C.E. Prof. Aurélio Duarte, Carmo, RJMônica Balduino de Abreu C.E. Brigadeiro Schorcht, Rio de JaneiroMônica da Silva Reis Colégio Venezuela, Rio de Janeiro Naira Cristina Vieira Lemos C.E. Prof. Fernando Antônio Raja Gabaglia, Rio de JaneiroNélio Souza Oliveira C.E. Lions Clube de Paraíba do Sul, Paraíba do SulPaulo César Dos Santos C.E. República Italiana, Porto Real Renata Balmant CIEP 485 - Prof. João Baptista de Barros, Barra MansaRita Elaine Carvalho Goulart C.E. Lions Clube - Itaperuna, RJRosana Marta Guimarães Etienne CIEP 016 - Abílio Henriques Correia, São João de MeritiRosangela Silva de Miranda C.E. Quintino Bocaiúva, Cachoeira de MacacúRosania Machado Monteiro C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoRoseleana Sanches Cunha de Morais E.E.E.S. Dr. Cócio Barcelos, Rio de JaneiroRosilaine Machado de Andrade Silva CIEP 310 - Alice Aiex, Barra do PiraíRozâna Martins Leonardo C.E. Melchíades PicançoSandra Meira de Sousa C.E. Honório Lima, Angra dos ReisSandra Rosária Salgado Medeiros CIEP 274 - Maria Amélia Daflon Ferro, São Sebastião do AltoSandra Taveira Monnerat E.E. Prof.ª Alda Bernardo dos SantosSérgio Santos de Oliveira E.E. Pedro Jacintho TeixeiraSimone Leão Santos E.E.E.S. Conde Afonso Celso, Rio de JaneiroSolange Aparecida Damasco Marins C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoSymone Cerbino Salgado Temperini CIEP 274 - Maria Amélia Daflon Ferro, São Sebastião do AltoSolange Santos da Silva CIEP 207 - Gilson Amado, JaperiSuzana Silva Santos C.E. Nephtalina Carvalho Ávila, Rio das FlôresTamara Sandra Guimarães Vedolin Centro de Ensino Supletivo - CESIGO, Rio de Janeiro Tânia Regina Aguiar C.E. Dr. Artur Vargas, Angra dos ReisTatiana Jardim Serra de Souza E.E.E.S. Berlim, Rio de Janeiro Terezinha Silvestre C.E. José de Lannes Dantas Brandão

Thereza Christina da Silva Cabral C.E. Compositor Manacéia José de Andrade , Rio de JaneiroVera Lúcia da Silva C.E. Alfredo Pujol, Rio ClaroVera Lúcia Rocha de Carvalho Motta C.E. Armando Gonçalves Vicente Chaves Alonso CIEP 207 - Gilson Amado, JaperiWilson Bispo dos Santos C.E. Ver. Percy Batista Crispim, Nova IguaçuZenite Fraga C.E. José de Lannes Dantas Brandão

CapaDuplo Design http://www.duplodesign.com.br

DiagramaçãoAline Santiago Ferreira Duplo Design - http://www.duplodesign.com.brMarcelo Mazzini Coelho Teixeira Duplo Design - http://www.duplodesign.com.brThomás Baptista Oliveira Cavalcanti tipostudio - http://www.tipostudio.com.br

Prezados (as) Professores (as)

Visando promover a melhoria da qualidade do ensino, a Secretaria de Estado de Educação do Rio de Janeiro realizou, ao longo de 2005, em parceria com a UFRJ, curso para os professores docentes de diferentes disciplinas onde foram apropriados os conceitos e diretrizes propostos na Reorientação Curricular. A partir de subsídios teóricos, os professores produziram materiais de práticas pedagógicas para, utilização em sala de aula que integram este fascículo.

O produto elaborado pelos próprios professores da Rede consiste em materiais orientadores para que cada disciplina possa trabalhar a nova proposta curricular, no dia a dia da sala de aula. Pode ser considerado um roteiro com sugestões para que os professores regentes, de todas as escolas, possam trabalhar a sua disciplina com os diferentes recursos disponibilizados na escola. O material produzido representa a consolidação da proposta de Reorientação Curricular, amadurecida durante dois anos (2004-2005), na perspectiva da relação teoria-prática.

Cabe ressaltar que a Reorientação Curricular é uma proposta que ganha contornos diferentes face à contextualização de cada escola. Assim apresentamos, nestes volumes, sugestões que serão redimensionadas de acordo com os valores e práticas de cada docente.

Esta ação objetiva propiciar a implementação de um currículo que, em sintonia com as novas demandas sociais, busque o enfrentamento da complexidade que caracteriza este novo século. Nesta perspectiva, é necessário envolver toda escola no importante trabalho de construção de práticas pedagógicas voltadas para a formação de alunos cidadãos, compromissados com a ordem democrática.

Certos de que cada um imprimirá a sua marca pessoal, esperamos estar contribuindo para que os docentes busquem novos horizontes e consolidem novos saberes e expressamos os agradecimentos da SEE/RJ aos professores da rede pública estadual de ensino do Rio de Janeiro e a todo corpo docente da UFRJ envolvidos neste projeto.

Claudio MendonçaSecretário de Estado de Educação

SUMÁRIO

17 Apresentação

21 Viagem dos amigosRozâna Martins Leonardo, Vera Lúcia Rocha de Carvalho Motta

25 Triângulos e DobradurasCésar Augusto Gomes de Morais Coutinho, Irineu Vieira do Nascimento, Sérgio Santos de Oliveira

32 Dobraduras, Cevianas e Ponto NotáveisCésar Augusto Gomes de Morais Coutinho, Irineu Vieira do Nascimento, Sérgio Santos de Oliveira e Geny de Paula Pinheiro, Márcia Cristina Garin Borges, Sandra Taveira Monnerat

41 A Capoeira e a MatemáticaAdriane R. Almeida, Juberte Andrade, Lenilson Duarte, Magna Almeida de Souza

45 Descobrindo os QuadriláterosFatima Cristina Ayrola de Carvalho, Magda de Oliveira Bittencourt Azeredo, Maria de Nazaré Landeira Feijó, Maria Idenir Barrozo, Maria Inez de Souza Maciel Cardoso

55 Trigonometria do Triângulo RetânguloDurlan Andrade Gonçalves, Maria Conceição Barroso, Leila Pires Muniz, Leir Pires Muniz

59 Gravidez na Adolescência, Trabalhando a InformaçãoArcilene Aguiar Dos Santos, Arithana Cardoso Ribeiro De Assis, Bianca Cardoso Soares, Carmem Valéria De Souza S. Dutra

62 Jogos Educacionais e a EtnomatemáticaMônica Balduino de Abreu, Thereza Christina da Silva Cabral

76 Referências Bibliográficas

APRESENTAÇÃO

Em nosso estado, professores atuando em diferentes escolas convivem com realidades diversas. Nossos municípios apresentam níveis de desenvolvimento econômico–social diferenciados. Sob esta ótica, o desafi o de implementar programas de estudo em Matemática adequados a cada clientela, a partir de um documento de orientação curricular único, não é pequeno! Este documento visa divulgar uma seleção das sugestões didáticas desenvolvidas por professores em atividade, contribuindo para esta implementação.

O trabalho aqui apresentado é fruto do esforço, em atividade de formação continuada, de professores de Matemática da rede estadual de ensino do estado do Rio de Janeiro. Ele demonstra que foi muito bem aproveitada a oportunidade de trocar experiências e debater possíveis práticas em sala de aula, sob a luz do documento de reorientação curricular e de suas propostas, que necessitavam ser melhor assimiladas e discutidas pelos docentes. Estes trabalhos exigiram dos profi ssionais não apenas uma profunda refl exão sobre a realidade de suas escolas, mas também o interesse em aprimorar seus conhecimentos e em discutir suas práticas. Na leitura de cada uma das sugestões didáticas apresentadas, se percebe a dedicação dos professores, que buscaram meios práticos de implementar as diretrizes do documento de Reorientação Curricular em suas salas de aula, em suas escolas e para seus alunos.

O curso de formação continuada ocorreu durante o segundo semestre de 2005, em pólos próximos às localidades de trabalho dos professores (Cabo Frio, Campos, Caxias, Niterói, Nova Friburgo, Nova Iguaçu, Rio de Janeiro e Volta Redonda). Como parte integrante de suas atividades nesse curso, os professores de Matemática da rede estadual produziram sugestões didáticas que privilegiam todas as séries contempladas no documento de Reorientação. Eles optaram, quase sempre, pelo trabalho em grupo, permitindo assim uma ampla troca de experiências. Em todas as sugestões didáticas apresentadas, é marcante a postura de buscar uma aprendizagem ativa, com ampla participação dos estudantes, fugindo do modelo do professor transmissor de conhecimentos para alunos apáticos.

Nesta compilação, os trabalhos não são apresentados em um formato único, pois buscamos, na medida do possível, nos manter próximos dos textos originais dos autores. No entanto, foi necessário estabelecer critérios mínimos para a seleção de trabalhos, que incluíram: (a) uma proposta de trabalho para os alunos bastante clara e com objetivos bem defi nidos deveria ser apresentada; (b) a proposta para os alunos deveria ser acompanhada de sugestões metodológicas para sua aplicação pelo professor; e (c) quando pertinente, o trabalho deveria

conter as soluções das atividades propostas aos alunos. Uma vez atendidos esses critérios, os textos selecionados sofreram revisão e editoração, buscando integrá-los em um todo coerente. Em duas ocasiões, optamos por propor uma redação única para pares de trabalhos similares, apresentados por grupos diferentes de professores (nesses casos, os dois grupos constam como autores da proposta).

Buscou-se, ainda, respeitar os diferentes contextos para os quais os trabalhos foram elaborados, com a certeza de que a diversidade das propostas será de grande utilidade para a refl exão sobre a necessidade de, em cada caso, fazer escolhas e de adequar o documento curricular em programas de estudo. Assim sendo, recomendamos aos professores de Matemática da rede a leitura de todas as atividades propostas no documento, independentemente da modalidade de ensino ou série em que atuam. Devido à própria natureza do documento de Reorientação Curricular e às diferentes realidades escolares, a mesma atividade pode vir a ser utilizada em mais de uma série (e ainda em cursos voltados para jovens e adultos), cabendo ao professor que irá aplicá-la a decisão do melhor momento para sua utilização.

Esperamos que todos os professores de Matemática da rede estadual, tendo ou não participado do momento de formação continuada que gerou este documento, possam utilizar diversas das sugestões didáticas elaboradas por seus colegas, enriquecendo-as com sua própria prática. Esperamos que estas sejam fonte de aprimoramento profi ssional e que gerem novas refl exões sobre a importância da prática didática, contribuindo para uma escola comprometida com interesses e necessidades da população e mais adequada aos anseios e necessidades de seus alunos.

Elizabeth Belfort

Ana Lúcia Gravato Bordeaux RegoCláudia Segadas ViannaDenise Fellipe da Rocha

Elizabeth OgliariElizabeth Pastor Garnier

Fernando Celso Villar Marinho Francisco Mattos

Gilda Maria Quitete PortelaJacqueline Bernardo Pereira Oliveira

João Paulo Gioseffi VassalloLilian Nasser

Lúcia Arruda de Albuquerque TinocoLuiz Carlos Guimarães

Luiz Otávio Teixeira Mendes LangloisMaria Concetta Centola

Maria Palmira da Costa SilvaRita Maria Cardoso Meirelles

Ulicio Pinto JúniorVictor Giraldo

Wanda Medeiros Pacheco FerreiraWandira Maria C. Moreira

7ª E 8ª SÉRIES

Janeiro de 2006

MATEMÁTICA

Ensino Fundamental - Volume II

Viagem dos Amigos 21

Matemática - Volume II

VIAGEM DOS AMIGOS

Apresentação O desenvolvimento das habilidades e percepções espacial, a leitura e a utilização efetiva de mapas e de plantas podem apresentar difi culdades para muitos. Consideramos que a atividade aqui proposta leva o aluno à exploração de habilidades tais como orientação, percepção, representação de formas, além do desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo. Esta atividade também estabelece pontos de contato entre as disciplinas de Matemática e Geografi a, buscando a interdisciplinaridade.

Atividades propostas

Situação-problema: “Viagem dos amigos”

Material necessário1) Cópia da atividade em folha, conforme anexo I.2) Canetas coloridas.3) Régua.

Descrição da atividade

O professor deverá dividir a turma em duplas, distribuir a folha com a atividade, orientando os alunos sobre a legenda e seqüência dos fatos na viagem dos amigos. Para melhor compreensão, os alunos deverão usar canetas de cores diferentes ao marcar os trajetos, por exemplo: azul, vermelho e verde.

Objetivos do trabalho• Estabelecer comparativo de medidas de comprimento (Km, m, cm) usando a escala.• Aprofundar o estudo de fi guras planas, através da representação de formas geométricas.• Promover a interdisciplinaridade entre Matemática e Geografi a.

Série para a qual está direcionado o trabalho7ª e/ou 8ª Série

22 Ensino Fundamental

Conteúdos matemáticos associados

Campo numérico-aritmético Campo geométrico Campo da informaçãoSistema de medidasNúmeros decimais Propriedades de triângulos Interpretação de mapas

Número de aulas previstas02(duas aulas)

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professorO professor poderá questionar qual amigo percorreu a maior extensão, sugerindo comparativo com utilização da régua. Pedir também que indiquem na folha a quantidade de triângulos formados pelo trajeto dos amigos, considerando como vértices as cidades visitadas.

Dificuldades encontradas pelos alunos na aplicação pilotoDurante a aplicação piloto, foram as seguintes as principais difi culdades encontradas pelos alunos:

• Os alunos questionaram a difi culdade em localizar as cidades.• Alguns alunos fi zeram as operações certas, porém confundiram metro com quilômetro.• Comentaram sobre a difi culdade em perceber todos os triângulos formados.

Sugestão de avaliação do trabalho

Avaliação da atividade pelos alunos• Verifi car o desempenho e o nível de participação das duplas.

Avaliação da atividade pelo professor da turma• Os alunos conseguiram seguir a trajetória de cada amigo?• Os alunos usaram a legenda, identifi cando cada amigo?• Os cálculos para encontrar a extensão foram realizados usando a escala?• Relacionaram corretamente as medidas encontradas? • Os alunos conseguiram perceber todos os triângulos?

Viagem dos Amigos 23


ROTEIRO DO ALUNO

Três amigos foram à Europa, porém cada um fez um roteiro diferente:

• Bete começou por Londres, passou por Madri, Roma, Atenas, Viena, Paris e terminou a viagem em Londres.• Guilherme partiu de Roma e conheceu Berlim, Estocolmo, Copenhague, voltou a Berlim, passou por Viena e depois por Roma.• Eliana fez o seguinte trajeto: Madri-Paris-Roma-Munique-Berlim-Paris-Lisboa.

a) Desenhe no mapa os três trajetos, usando a convenção estabelecida na legenda.b) Qual foi, aproximadamente, a extensão percorrida por:

Bete: ____________________________________________________________________Guilherme: _______________________________________________________________Eliana: __________________________________________________________________

c) Quem percorreu a maior extensão? __________________________________________

d) Indique quantos e quais triângulos fi caram determinados pelo cruzamento das linhas traçadas e que tenham vértices em cidades visitadas.


Foram determinados ____ triângulos. São eles:

e) Vocês encontraram alguma difi culdade na realização da atividade? Relate.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Triângulos e Dobraduras 25


TRIÂNGULOS E DOBRADURAS

ApresentaçãoA partir de atividades de dobradura, levar o aluno do ensino fundamental a discutir e compreender conceitos relacionados ao estudo de triângulos. Consideramos neste estudo a congruência e a semelhança.

Objetivo principal do trabalhoLevar os alunos a questionar e discutir propriedades de triângulos congruentes e triângulos semelhantes.

Séries para as quais o trabalho está direcionadoEste trabalho está voltado para as séries fi nais do ensino fundamental, podendo ser aplicado na sétima ou na oitava série, dependo do trabalho previamente realizado pelo professor.

A seguir, apresentamos os roteiros comentados, estimando também seu tempo de aplicação em sala de aula.

1ª Oficina: Visualizando a congruência por dobraduras

I - ComposiçãoTema: Congruência de triângulosEquipe: 2 (dois) alunos Materiais: folha de papelTempo estimado: 2 horas-aula, de preferência seguidas.

Atividades

1) Em sua folha de papel, dobre um triângulo eqüilátero, com um dos lados sendo o menor lado da folha. Caso seus alunos não conheçam esta dobradura, segue uma possibilidade, passo a passo:


P P

1 2 3

P PP

4 5 6

Obs.: Ao fazer o vértice da folha tocar a reta que divide a folha ao meio (etapa 2), assinalar P.

2) Após fazer esta dobradura, abra sua folha de papel e observe que muitos triângulos fi caram assinalados na folha.

Espera-se que diferentes alunos encontrem diferentes triângulos, já que há muitos deles1. O debate entre as duplas, orientado pelo professor pode levar os alunos a encontrarem todos eles, sendo esta uma atividade interessante e desafi adora.

A fi gura abaixo assinala todos os que encontramos: na fi gura à esquerda, vemos os triângulos equiláteros A e B; os triângulos retângulos C, D, E e F e o triângulo isósceles G, assinalado em cinza, os triângulos equiláteros H e I (hachurados), os triângulos retângulos formados pela união de G e H e pela união de G e I. Os oito triângulos retângulos menores foram numerados à direita. Temos ainda os triângulos isósceles formados pela união dos triângulos 3 e 5 e, simetricamente, 4 e 6.

1 23 4

5 67 8

A

B

C D

E F

G

H I

1 Encontramos 21, mas ainda pode haver mais.... divirta-se!



Responda as perguntas abaixo

3) Encontre triângulos congruentes na dobradura.

Diferentes alunos devem assinalar diferentes triângulos congruentes e, mais uma vez, o debate entre as duplas mediado pelo professor pode render frutos, fazendo com que os alunos percebam outros triângulos congruentes que não tinham sido anteriormente observados.

Dos que encontramos, são congruentes os triângulos:

C e D; E e F, H e I, (G ∪ H) e (G ∪ I). Os oito triângulos retângulos menores são todos congruentes. São também congruentes entre si os triângulos isósceles G, (3 ∪ 5) e (4 ∪ 6).

4) Identifi que triângulos congruentes entre si.

Aqui espera-se que os alunos forneçam algum argumento que indique por que eles consideram que os triângulos escolhidos são congruentes.

As possibilidades são muitas:

Alguns alunos usarão argumentos informais de simetria, tais como “Se usarmos a linha no meio da folha como espelho, a imagem do triângulo H é o triângulo I ”; e outros ainda informais, tais como “Se eu dobrar a folha ao meio, o triângulo C vai cair sobre o triângulo D”. O professor pode aproveitar esta oportunidade para ajudar os alunos a formalizarem melhor seus argumentos, argumentando a congruência de lados e ângulos.

5) Destaque os triângulos congruentes entre si contornando-os com uma mesma cor.

6) Verifi que se os 8 menores triângulos retângulos formados são todos congruentes.

São diversos os argumentos possíveis para verifi car que os triângulos menores são todos congruentes entre si.

Professor, em um debate fi nal sobre a atividade, pode somar os argumentos apresentados pelos alunos e mostrar que todos os triângulos em questão são retângulos, têm um ângulo de 30o e outro de 60o. Há lados correspondentes comuns (e, portanto, congruentes) entre diversos pares, por exemplo:

- Os triângulos 1 e 3 têm a hipotenusa em comum. Em conjunto com a igualdade dos três ângulos, este lado igual e correspondente garante a congruência.- Os triângulos 3 e 7 têm o cateto maior (oposto ao ângulo) de 60o em comum. Em conjunto com a igualdade dos três ângulos, este lado igual e correspondente garante a congruência.

Pela transitividade da congruência, que é interessante discutir com os alunos nesta etapa:

- O triângulo 1 é congruente ao triângulo 3 que, por sua vez, é congruente ao triângulo 7. Assim, os triângulos 1 e 7 também são congruentes entre si.- Etc.


2ª Oficina: Visualizando a semelhança de triângulos

I - ComposiçãoTema: Semelhança de triângulosEquipe: 2 (dois) alunos Materiais: Folha de Papel Tempo estimado: 1 hora-aula, se precedida da ofi cina 1.

Atividades

1) Em sua folha de papel, dobre um triângulo eqüilátero, com um dos lados sendo o menor lado da folha.

O professor pode aproveitar esta oportunidade para verifi car se os alunos conseguem reproduzir novamente a dobradura do triângulo equilátero. É interessante ver se esta construção se baseia em mera memorização de uma seqüência de procedimentos ou se baseia na compreensão das propriedades de um triângulo equilátero (P é o terceiro vértice do triângulo eqüilátero, pois este deve estar sobre a mediatriz dos dois primeiros vértices – linha que divide a folha ao meio – e também porque obrigamos que a distância deste ponto a um dos vértices fosse igual ao tamanho do lado menor da folha de papel).

2) Após fazer esta dobradura, abra sua folha de papel e observe que muitos triângulos fi caram assinalados na folha.

Responda as perguntas abaixo

3) Encontre triângulos semelhantes na dobradura.

Aqui espera-se que os alunos percebam que todos os triângulos congrentes também são semelhantes entre si, mas que a lista de semelhança amplia a lista de congruência.

São semelhantes os triângulos:

- Todos os triângulos equiláteros formados (A, B H e I)

- Todos os triângulos retângulos formados (C, D, E, F, (G ∪ H) e (G ∪ I), 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, e 8)

- Os triângulos G, (3 ∪ 5) e (4 ∪ 6) são congruentes e, portanto, semelhantes.

1 23 4

5 67 8

A

B

C D

E F

G

H I



4) Identifi que triângulos semelhantes entre si.5) Destaque os triângulos semelhantes entre si contornando-os com uma mesma cor.6) Verifi que se os 8 triângulos retângulos menores são semelhantes.7) Verifi que se os 2 maiores triângulos em sua folha são semelhantes.

Espera-se que os alunos utilizem a igualdade dos ângulos como principal argumento de semelhança. Esses ângulos podem ser re-calculados pelos alunos a partir da discussão da aula anterior, e as igualdades podem ser constatadas.

É importante que os alunos saiam desta aula com a certeza de que triângulos congruentes também são considerados semelhantes (razão de semelhança 1). É também importante que eles percebam que há outras razões de semelhança envolvidas. Algumas delas são fáceis de calcular, como entre os triângulos 2 e (G ∪ H) (razão 2), e outras não tanto, pois dependem do tamanho da folha de papel e de valores irracionais, como no caso dos triângulos A e B.

Observe que as medidas a e h são determinadas pelo tamanho do papel.

A partir destes valores, podemos calcular a razão de semelhança dos triângulos equiláteros A e B, a partir da razão entre suas alturas, x e y.

Temos que:

x a y h x= = −3

2 e

A razão de semelhança desejada será o valor

xy , que pode ser calculado aproximadamente

(por exemplo, faça 3 = 1,7 e, para uma folha de papel A4, considere a = 21,0 cm e h = 29,7 cm).

h

a

x

y


ROTEIROS DO ALUNO

1ª Oficina: Visualizando a congruência por dobraduras

Atividades1) Em sua folha de papel, dobre um triângulo eqüilátero, com um dos lados sendo o menor lado da folha.2) Após fazer esta dobradura, abra sua folha de papel e observe que muitos triângulos fi caram assinalados na folha.

Responda as perguntas abaixo3) Encontre triângulos congruentes na dobradura.4) Identifi que triângulos congruentes entre si.5) Destaque os triângulos congruentes entre si contornando-os com uma mesma cor.6) Verifi que se os 8 menores triângulos retângulos formados são todos congruentes.

2ª Oficina: Visualizando a semelhança de triângulos

Atividades1) Em sua folha de papel, dobre um triângulo eqüilátero, com um dos lados sendo o menor lado da folha.2) Após fazer esta dobradura, abra sua folha de papel e observe que muitos triângulos fi caram assinalados na folha.

Responda as perguntas abaixo3) Encontre triângulos semelhantes na dobradura4) Identifi que triângulos semelhantes entre si.5) Destaque os triângulos semelhantes entre si contornando-os com uma mesma cor.6) Verifi que se os 8 triângulos retângulos menores são semelhantes.7) Verifi que se os 2 maiores triângulos em sua folha são semelhantes.



Modelo da folha (com as dobraduras assinaladas) para as atividades 1 e 2


DOBRADURAS, CEVIANAS E PONTO NOTÁVEIS1

ApresentaçãoA partir de atividades de dobradura, levar o aluno do ensino fundamental a discutir e compreender conceitos relacionados ao estudo de triângulos. Consideramos, neste estudo, as mediatrizes dos lados e as principais cevianas de um triângulo (medianas, bissetriz e altura). Discutimos, ainda, os quatro principais pontos notáveis de um triângulo: o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro.

Objetivo principal do trabalho Levar os alunos a questionar e discutir propriedades dos triângulos, em especial de algumas de suas linhas notáveis a ele associadas e dos pontos obtidos a partir do encontro destas linhas. As ofi cinas aqui propostas, que utilizam dobraduras, podem ser usadas para motivar os alunos e suscitar a curiosidade sobre a existência dos pontos notáveis, mas não dispensa um trabalho feito em sala de aula, em que as principais justifi cativas para os resultados sejam discutidas2. O professor necessita, então, buscar uma bibliografi a suplementar que o auxilie neste trabalho, já que o trabalho de argumentação e de justifi cativas geométricas é encontrado em apenas alguns poucos livros didáticos.

Séries para as quais o trabalho está direcionadoEste trabalho está voltado para as séries fi nais do ensino fundamental, mais especifi camente para oitava série, dependo do trabalho previamente realizado. Ele também pode ser aplicado no estudo de geometria plana na primeira série do ensino médio.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professorO professor deve aproveitar estas ofi cinas para introdução das linhas notáveis de um triângulo e dos pontos notáveis a elas associados. Assim sendo, é mais interessante aplicar as ofi cinas

1 Este trabalho é a união de dois trabalhos similares elaborados por professores, e sua redação fi nal foi revista pela coordenação do curso, em conjunto com os professores responsáveis pelos grupos.2 Como uma bibliografi a possível para que o professor possa complementar este estudo sugerimos: Barbosa, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana, SBM e Tinoco, L. A. A. Geometria Euclidiana por Meio da Resolução de Problemas, Projeto Fundão/UFRJ.

Dobraduras, Cevianas e Ponto Notáveis 33


em aulas duplas, para permitir momentos de discussão entre as duplas e de socialização dos trabalhos por todo o grupo, com a mediação do professor. Acreditamos também que noções de dobradura terão que ser ensinadas aos alunos.

Oficina 1Visualizando bissetrizes e mediatrizes em dobraduras

DescriçãoTema: Bissetrizes dos ângulos e Mediatrizes dos lados de um triângulo.Equipe: 2 (dois) alunos. Materiais: 2 folhas de papel em branco, cópia da folha de molde com triângulos impressos (dois triângulos para cada dupla), tesoura.Tempo estimado: duas horas-aula, de preferência em horários consecutivos.

Atividades

1) Recortar os triângulos que você recebeu. Verifi que que eles são congruentes.

Espera-se aqui uma verifi cação apenas informal, que pode ser feita pela sobreposição dos triângulos recortados.

2) Verifi que também que estes triângulos são escalenos.

Para esta verifi cação, os alunos podem argumentar tanto pelo fato de que os três ângulos de um triângulo são diferentes dois a dois, como pela desigualdade de medidas entre os três lados deste triângulo.

3) Em um dos triângulos, marcar, por meio de dobraduras, as mediatrizes dos três lados do triângulo.

Para marcar a dobra que vai corresponder à mediatriz de cada um dos lados, os alunos devem unir os extremos destes lados, fazendo com que uma metade do lado recaia perfeitamente sobre a outra. Ao marcar a linha da dobra, obtemos a perpendicular ao lado que passa por seu ponto médio, ou seja, a mediatriz.

4) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto?


M P

N

PM

N

Como se trata de trabalho experimental, as duas situações acima vão ocorrer nas dobraduras feitas por diferentes duplas de alunos. Assim, em uma imitação da criação do conhecimento científi co, fi cará, no primeiro momento, a dúvida sobre a existência ou não do circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes). O professor não deve considerar isso como uma difi culdade, nem considerar que os alunos que obtiveram a situação descrita na fi gura à esquerda não conseguiram realizar corretamente a atividade. É necessário que os alunos sejam levados a compreender que, em situações experimentais, os erros de medida (e, no caso, de dobras) são parte natural do processo.

Desta forma, devemos aproveitar a oportunidade e levantar os questionamentos, para serem posteriormente resolvidos:

• Será que as três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto?• Se isso for verdade, como ter certeza, já que ao fazer novas experiências, podem ocorrer novos erros de medida ou de dobras?

5) No outro triângulo, marcar, por meio de dobraduras, as três bissetrizes dos ângulos internos.

Para marcar a linha b, bissetriz de um dos ângulos do triângulo, devemos levar um dos lados a coincidir com o lado adjacente, como na fi gura ao lado.

6) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as bissetrizes de um triângulo se encontram em um único ponto?

Como se trata de trabalho experimental, é bastante provável que as duas situações acima venham a ocorrer nas dobraduras. Este fato, mais uma vez, levanta as questões que queremos:

• Será que as três bissetrizes de um triângulo se encontram em um único ponto?

b



• Se isso for verdade, como ter certeza, já que ao fazer a experiência, podem ocorrer erros de medida?

A dúvida sobre a existência ou não do incentro (ponto de encontro das bissetrizes) servirá de motivação para a continuidade de estudos sobre o tema.

7) Dobre um triângulo equilátero em uma folha em branco. Reconheça, neste triângulo, as bissetrizes e as mediatrizes dos lados. O que foi diferente neste caso?

Ver, nesta coleção de materiais, o trabalho “Triângulos e Dobraduras” para uma dobradura do triângulo equilátero, que pode ser utilizada para esta atividade. Espera-se que os alunos reparem que, no triângulo equilátero, as bissetrizes e as mediatrizes coincidem. Assim, neste caso particular, se o circuncetro e o incentro existirem, eles coincidirão.

O professor deve incentivar a comparação com o trabalho feito com o triângulo escaleno, no qual a diferença entre as linhas traçadas indica que, caso estes pontos notáveis existam, eles serão distintos.

Em casa, recorte outros triângulos diferentes dos anteriores (escalenos ou isósceles) e repita as experiências feitas. Qual a sua conclusão?

Espera-se que o aluno dedique algum tempo mais a este trabalho, com o objetivo de assimilar as principais características das linhas notáveis e despertar a curiosidade sobre a existência dos pontos notáveis correspondentes.

Oficina 2Visualizando alturas e medianas em dobraduras

DescriçãoTema: Alturas e medianas de um triângulo.Equipe: 2 (dois) alunos. Materiais: 2 folhas de papel em branco, cópia da folha de molde com triângulos impressos (dois triângulos para cada dupla), tesoura.Tempo estimado: duas horas-aula, de preferência em horários consecutivos.

1) Recortar os triângulos escalenos e congruentes entre si que você recebeu.

Já que se trata do mesmo molde, não há necessidade de novas verifi cações. Os alunos gastarão mais tempo nas construções das dobras a seguir.


2) Em um dos triângulos, marcar, por meio de dobraduras, as alturas relativas aos três lados do triângulo.

Para marcar a dobra que corresponde uma altura do triângulo, o aluno deve dobrar pelo vértice, de tal forma que o lado oposto a este recaia perfeitamente sobre ele mesmo, como indicado na fi gura ao lado. A dobra h obtida corresponde a uma altura do triângulo.

3) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as alturas de um triângulo se encontram em um único ponto?

Como se trata de trabalho experimental, as duas situações acima vão ocorrer nas dobraduras. Este fato, mais uma vez, levanta as questões que queremos:

• Será que as três alturas de um triângulo se encontram em um único ponto?• Se isso for verdade, como ter certeza, já que ao fazer a experiência, podem ocorrer erros de medida?

A dúvida sobre a existência ou não do ortocentro (ponto de encontro das alturas) servirá de motivação para a continuidade de estudos sobre o tema.

4) No outro triângulo, marcar, por meio de dobraduras, as três medianas dos triângulos.

Para marcar uma mediana, o aluno deve, inicialmente, marcar o ponto médio de um lado. Para tal, é sufi ciente juntar as extremidades deste lado por dobradura, fazendo com que metade do lado considerado recaia perfeitamente sobre a outra metade. O aluno deve então, cuidadosamente, marcar APENAS o ponto médio do lado, e NÃO toda a mediatriz do lado considerado.

Após assinalar os três pontos médios, M, N e P, os alunos devem, então, dobrar a linha que une cada ponto médio ao vértice oposto correspondente. Estas serão as três medianas do triângulo.

M

Marque apenas o ponto M

h



5) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as medianas de um triângulo se encontram em um único ponto?

M

N

P M P

N

Como se trata de trabalho experimental, as duas situações acima vão ocorrer nas dobraduras. Este fato, mais uma vez, levanta as questões que queremos:

• Será que as três medianas de um triângulo se encontram em um único ponto?• Se isso for verdade, como ter certeza, já que ao fazer a experiência, podem ocorrer erros de medida?

A dúvida sobre a existência ou não do baricentro (ponto de encontro das medianas) servirá de motivação para a continuidade de estudos sobre o tema.

6) Dobre um triângulo equilátero em sua folha em branco. Reconheça nesse triângulo as alturas e as medianas dos lados. O que foi diferente neste caso?

Como na ofi cina anterior, espera-se que os alunos reparem que, no triângulo equilátero, as alturas e as medianas coincidem (de fato, elas coincidem também com as bissetrizes e com as mediatrizes). Assim, nesta confi guração particular, caso o ortocentro e o baricentro existam, estes coicidirão (e também coincidirão com o incentro e o circuncentro).

O professor deve incentivar a comparação com o trabalho feito com o triângulo escaleno, no qual a diferença entre as linhas traçadas indica que, caso estes pontos notáveis existam, eles serão distintos.

Incentive seu aluno a fazer novos experimentos em casa, recortando triângulos diferentes dos anteriores (escalenos ou isósceles) e repetindo as experiências feitas. Espera-se que o aluno dedique algum tempo mais a este trabalho, com o objetivo de assimilar as principais características das linhas notáveis e despertar a curiosidade sobre a existência dos pontos notáveis correspondentes.

7) Qual a diferença principal entre as mediatrizes dos lados de um triângulo e as outras linhas que estudamos nestas ofi cinas (alturas, bissetrizes e medianas)?

Espera-se que os alunos observem que as mediatrizes são as únicas das linhas estudadas que não necessariamente passam pelo vértice, ou seja, não podemos garantir que elas são cevianas.


Apenas no triângulo equilátero as três mediatrizes serão cevianas, e no triângulo isósceles, apenas a mediatriz da base será uma ceviana.

Escreva um pequeno texto, contando o que você aprendeu nestas ofi cinas e discutindo as novas questões que este trabalho trouxe para nossas próximas aulas.

Resposta livre, mas espera-se que os alunos demostrem que compreenderam a diferença entre as linhas estudadas e que apresentem dúvidas sobre a existência dos pontos notáveis.



ROTEIRO DO ALUNO

Oficina 1

Visualizando bissetrizes e mediatrizes em dobraduras

1) Recortar os triângulos que você recebeu. Verifi que que eles são todos congruentes. 2) Verifi que também que estes triângulos são escalenos.3) Em um dos triângulos, marcar, por meio de dobraduras, as mediatrizes dos três lados do triângulo.4) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto? 5) No outro triângulo, marcar, por meio de dobraduras, as três bissetrizes dos ângulos internos.6) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as bissetrizes de um triângulo se encontram em um único ponto?7) Dobre um triângulo equilátero em uma folha em branco. Reconheça neste triângulo as bissetrizes e as mediatrizes dos lados. O que foi diferente neste caso?

Em casa, recorte outros triângulos diferentes dos anteriores (escalenos ou isósceles) e repita as experiências feitas. Qual a sua conclusão?

Oficina 2

Visualizando medianas e alturas em dobraduras

1) Recortar os triângulos escalenos e congruentes entre si que você recebeu. 2) Em um dos triângulos, marcar, por meio de dobraduras, as alturas relativas aos três lados do triângulo.3) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as alturas de um triângulo se encontram em um único ponto?4) No outro triângulo, marcar, por meio de dobraduras, as três medianas dos triângulos.5) Compare seu trabalho com os de outros colegas e tente responder a pergunta: as medianas de um triângulo se encontram em um único ponto?6) Dobre um triângulo equilátero em sua folha em branco. Reconheça neste triângulo as alturas e as medianas dos lados. O que foi diferente neste caso?7) Qual a diferença principal entre as mediatrizes dos lados de um triângulo e as outras linhas que estudamos nestas ofi cinas (alturas, bissetrizes e medianas)?

Escreva um pequeno texto, contando o que você aprendeu nestas ofi cinas e discutindo as novas questões que este trabalho trouxe para nossas próximas aulas.


Modelos de triângulos para as Oficinas 1 e 2

A Capoeira e a Matemática 41


A CAPOEIRA E A MATEMÁTICA

ApresentaçãoPara este trabalho, buscamos um tema que pudesse levar os alunos a recorrerem à oralidade, ao desenho e à escrita para auxiliá-los na compreensão das relações matemáticas para a resolução de problemas. Sendo assim, optamos por abordar “A capoeira e a Matemática”. A proposta surgiu a partir do reconhecimento da existência de culturas diversas, as quais desenvolveram métodos próprios para solucionar problemas.

Atividade proposta Apresentada como anexo, para permitir fotocópias

Objetivo principal do trabalhoPropiciar ao aluno o entendimento de alguns conceitos básicos da Geometria Euclidiana, a partir das jogadas de capoeira. Compreender que não basta duas fi guras terem a mesma forma (dois retângulos, por exemplo) para serem semelhantes. Identifi car os ângulos e as proporções entre lados (distâncias).

Séries para as quais o trabalho está direcionado A atividade piloto foi direcionada para a 1 ª Série do Ensino Médio, mas a atividade pode ser aplicada a partir da 2a. Fase do Ensino Fundamental. Sugerimos que o professor procure, como critério de aplicação, “respeitar o amadurecimento do estudante e o grau de difi culdades dos temas”, como sugere o documento de Reorientação Curricular, Segunda Versão, Livro II, Ciências da Natureza e Matemática (2005, p.24).

Conteúdos matemáticos associados Esta proposta se volta principalmente para o estudo de semelhança, no documento de reorientação curricular:


CAMPO GEOMÉTRICO 8ª Série do Ensino Fundamental: Polígonos; círculos; perímetros áreas e volumes; semelhança; Teorema de Tales.1ª Série do Ensino Médio: Semelhança; Teorema de Tales

Número de aulas previstasPara a aplicação da tarefa estão previstas 2 aulas, e mais 4 aulas para o desdobramento do estudo dos conceitos básicos da Geometria Euclidiana.

Sugestão de organização da turmaOs alunos devem estar dispostos em duplas, mas a atividade deve ser desenvolvida individualmente. Após a conclusão da primeira etapa, a dupla deve comparar seus trabalhos e o professor deve dar uma conclusão ao trabalho de toda a turma.

Sugestões para desdobramentosApós a aplicação da atividade e o desdobramento dos conceitos básicos da Geometria Euclidiana, o professor poderá usar o laboratório de informática para pesquisar em sítios de capoeira, relacionando a pesquisa com o estudo feito em sala de aula.

O professor pode ainda apresentar vídeos sobre capoeira e realizar debates sobre o vídeo e os conteúdos programáticos; pode levar para sala de aula uma roda de capoeira para que os alunos possam identifi car o que foi estudado. Pode ainda mencionar curiosidades cinematográfi cas, tais como:

• para realizar as acrobacias e movimentos marciais do fi lme Mulher Gato, Hallen Berry fez várias ofi cinas de capoeira; • outros atores e dublês também exploraram a capoeira para poder aprimorar seus movimentos em fi lmes, dentre eles: Wesley Snipes (Blade), Marc Dacasco (Esporte Sangrento), Andy Garcia (12 homens e um segredo).

Sugestão de avaliação do trabalhoPoderão ser realizadas avaliações orais, escritas ou através de representações gráfi cas.

A Capoeira e a Matemática 43


ROTEIRO DO ALUNO

Semelhança de figuras geométricas na capoeira

A capoeira surgiu no Brasil como instrumento de luta dos escravos negros pela liberdade. Seus movimentos buscaram inspiração nas defesas e ataques dos animais (a amarrada do touro, o coice do cavalo, a fi sgada do rabo da arraia) e na ação de instrumentos de trabalho (o martelo, a foice). Ao reunir com harmonia arte, música, poesia, folclore, artesanato, esporte, diversão, dança, jogo, luta, rituais e tradição, a capoeira pode ser traduzida como a mais forte e completa expressão da cultura popular brasileira.

Existem duas modalidades de capoeira, a regional e a de Angola.

“A capoeira confunde-se com a história do povo brasileiro e com a história de todos os povos: uma sucessão de fatos em que os mais fortes se sobrepõem aos mais fracos. E, neste desenrolar, surge a forma de resistir para se mudar a história. A capoeira se transformou num símbolo de resistência cultural e, para entendê-la, é preciso saber os episódios da vida nacional: das lutas de liberdade dos negros cativos até a realidade de

vida das populações marginalizadas das cidades”. Costa (1979, p.26)

1ª Questão

Você já pensou na possibilidade de serem formadas fi guras geométricas em uma roda de capoeira? Se sua resposta for positiva, quais fi guras geométricas visualizou?

2ª Questão

Nas fotos 1 e 2 estão representados alguns movimentos da capoeira.

a) Use segmentos de retas para unir a cabeça, a ponta dos pés e das mãos de cada jogador. Verifi que quais fi guras geométricas podem ser formadas, em cada foto?b) Ocorreu repetição de fi guras geométricas?c) Compare a resposta dada na 1ª Questão com as da 2ª Questão, letra a. Qual relação você estabelece?

Foto 1 Foto 2

http://capoeira_regional.vila.bol.com.br/imagens/cappo42.jpg (acessado em 10/ 11/ 05)


3ª Questão

A fi gura 1, a seguir, representa um golpe de capoeira. Identifi que nos calcanhares dos jogadores os pontos A, B, C e D. No centro da corda que passa pelas cinturas dos mesmos, identifi que como E e F.

a) Trace segmentos de retas unindo todos os calcanhares da fi gura 1.b) Trace uma reta paralela à reta r passando pelo ponto E.

c) Tomando como base os calcanhares dos jogadores, trace transversais passando pelo ponto E.

d) Repita os processos das letras b e c na fi gura 2, dando outra identifi cação para cada ponto.e) Com o auxílio de uma régua, meça os segmentos formados do calcanhar de cada jogador até o ponto onde as transversais se cruzam. Apresente os resultados encontrados.f) Duas fi guras parecidas são consideradas semelhantes no nosso cotidiano. No entanto, em matemática, para ocorrer a semelhança entre duas fi guras, elas devem ter a mesma forma e as mesmas proporções. Partindo desta observação, as fi guras 1 e 2 são semelhantes? Justifi que.g) A fi gura 2 é uma homotetia da fi gura 1? Por quê?

www.berimbau.com.br (acessado em 10/11/05)

Descobrindo os Quadriláteros 45


DESCOBRINDO OS QUADRILÁTEROS

ApresentaçãoCom este trabalho, pretendemos explorar atividades que possam despertar a intuição geométrica que há em cada um dos alunos, desenvolvendo a criatividade, o senso estético e o pensamento lógico através da composição de fi guras planas, mais especifi camente os quadriláteros, explorando triângulos retângulos e isósceles.

Os conceitos geométricos constituem parte fundamental do currículo de Matemática no Ensino Fundamental e Médio porque, através deles, o aluno desenvolve habilidades e amplia competências que lhe permitem compreender, descrever e representar o mundo em que vive.

Objetivos principais do trabalho- Desenvolver as habilidades de compor quadriláteros a partir de triângulos retângulos e isósceles.- Diferenciar paralelogramos de trapézios.- Identifi car as propriedades fundamentais dos paralelogramos: quadrado, losango, retângulo e paralelogramo, propriamente dito.

Séries para as quais o trabalho está direcionadoA atividade está direcionada para a 8.ª série do Ensino Fundamental.

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEEOs conteúdos matemáticos associados são:

- ângulos retos;- lados paralelos;- medidas de lados congruentes;- construção do conceito de área.


Conhecimentos anteriores necessários ao desenvolvimento da atividade- classifi cação de quadriláteros;- identifi cação de algumas propriedades fundamentais dos quadriláteros.

O documento de Reorientação Curricular recomenda que seja feito, no campo geométrico, um aprofundamento do estudo das fi guras planas. O estudo da geometria deve ter continuidade, incluindo os tópicos: cálculo de áreas de fi guras planas por composição de fi guras de áreas conhecidas. Para que este tópico seja desenvolvido é necessário o pleno conhecimento dos quadriláteros, sua classifi cação e propriedades fundamentais.

Objetivos específicos a serem alcançadosApós a realização das atividades propostas, o aluno deverá ter desenvolvido as seguintes habilidades:

- Diferenciar trapézios de paralelogramos.- Estabelecer semelhanças e diferenças entre os paralelogramos.- Classifi car os quadriláteros.- Classifi car os paralelogramos: quadrado, losango, retângulo e paralelogramo propriamente dito.

Número de aulas previstas e sugestão de organização da turmaPrevemos a utilização de 4 ou 5 horas-aula para a atividade, que deve ser desenvolvida com a turma organizada em grupos de, no máximo, 04 alunos.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professorO professor deverá entregar um kit para o aluno contendo 20 triângulos retângulos e isósceles (Anexo 1). Deverá também propor aos alunos que cada etapa da atividade seja discutida, a fi m de sanar dúvidas e verifi car as diferentes construções.

É importante salientar que alguns alunos chegam à 8.ª série sem o domínio de algumas habilidades fundamentais no campo geométrico. Ao desenvolver as atividades propostas, é fundamental que o professor monte no quadro (usando triângulos retângulos e isósceles) as fi guras formadas pelos alunos, a fi m de explicitar as semelhanças e diferenças entre os quadriláteros, bem como algumas de suas propriedades fundamentais.

No Anexo II apresentamos algumas das construções possíveis e válidas com dois e três triângulos, e no Anexo III as construções com quatro triângulos.

Sugestão de avaliação do trabalhoA avaliação pode ser feita através da observação do professor, da participação do aluno e do desenvolvimento da atividade 2 (Ver soluções no anexo IV).



Dificuldades encontradas pelos alunos na aplicação pilotoA classifi cação e as propriedades fundamentais dos quadriláteros constituem um tópico de bastante difi culdade para os alunos. Sugerimos que os conceitos relacionados à classifi cação dos quadriláteros sejam bem explicitados e somente depois sejam trabalhadas as propriedades relacionadas às diagonais.

Gabarito

Atividade 2: Descobrindo algumas propriedades fundamentais

I - Observe os quadriláteros que você colou na folha e associe as propriedades dadas a cada uma das fi guras construídas. As propriedades dos quadriláteros podem se repetir.

a) retângulo: 1, 2, 5 e 6

1. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.2. Quadrilátero que apresenta os quatro ângulos retos.5. Quadrilátero que tem os ângulos opostos congruentes.6. Quadrilátero que tem os lados opostos congruentes.

b) quadrado: 1, 2, 3, 5 e 6

1. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.2. Quadrilátero que apresenta os quatro ângulos retos.3. Quadrilátero que apresenta os quatro lados congruentes5. Quadrilátero que tem os ângulos opostos congruentes.6. Quadrilátero que tem os lados opostos congruentes.

c) trapézio: 4

4. Quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos.

d) losango: 1, 3, 5 e 6

1. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.3. Quadrilátero que apresenta os quatro lados congruentes5. Quadrilátero que tem os ângulos opostos congruentes.6. Quadrilátero que tem os lados opostos congruentes.

e) paralelogramo propriamente dito: 1, 5 e 6

1. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.5. Quadrilátero que tem os ângulos opostos congruentes.6. Quadrilátero que tem os lados opostos congruentes.


II - Marque certo ou errado.

1. Todo quadrado é um retângulo. 2. Todo retângulo é um quadrado.3. Todo losango é um quadrado.4. Todo quadrado é um losango.5. Todo trapézio é um quadrilátero.6. Todo quadrilátero em um trapézio.7. Todo paralelogramo é um quadrilátero.8. Todo quadrado é um paralelogramo.9. Todo paralelogramo é um retângulo.10. Todo quadrilátero é um paralelogramo.

Afi rmativas certas: 1, 4, 5, 7 e 8

Afi rmativas erradas: 2, 3, 6, 9 e 10



ANEXO I

Obs.: Os triângulos podem ser feitos em duas cores diferentes e em cartolina.


ANEXO II



ANEXO III


ROTEIRO DO ALUNO

Material: 1 kit com 20 triângulos de papel (ver modelos em anexo); folhas de papel; cola.

Atividade 1: Descobrindo os quadriláterosVocê está recebendo um kit contendo vinte triângulos retângulos, isósceles e iguais. Com eles deverá fazer as atividades que se seguem:1. Usando dois triângulos, forme um paralelogramo.2. Agora, com três triângulos, você consegue formar um trapézio?3. Usando quatro triângulos, forme um quadrilátero.4. Que quadrilátero você formou?5. Empregando quatro triângulos, forme e cole em sua folha:

a) um retângulo.b) um quadrado.c) um trapézio.d) um losango.e) um paralelogramo propriamente dito.

Atividade 2: Descobrindo algumas propriedades fundamentaisI - Observe os quadriláteros que você colou na folha e associe as propriedades dadas a cada uma das fi guras construídas. As propriedades dos quadriláteros podem se repetir:1. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.2. Quadrilátero que apresenta os quatro ângulos retos.3. Quadrilátero que apresenta os quatro lados congruentes.4. Quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos.5. Quadrilátero que tem os ângulos opostos congruentes.6. Quadrilátero que tem os lados opostos congruentes.

II - Marque certo ou errado.1. Todo quadrado é um retângulo. 2. Todo retângulo é um quadrado.3. Todo losango é um quadrado.4. Todo quadrado é um losango.5. Todo trapézio é um quadrilátero.6. Todo quadrilátero em um trapézio.7. Todo paralelogramo é um quadrilátero.8. Todo quadrado é um paralelogramo.9. Todo paralelogramo é um retângulo.10. Todo quadrilátero é um paralelogramo.

Trigonometria do Triângulo Retângulo 53


TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

ApresentaçãoIntroduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, conteúdo da oitava série do Ensino Fundamental. Nosso objetivo é fazer com que a Matemática faça uso de problemas e situações vinculadas à sua vida cotidiana, para que possa desenvolver nos alunos esquemas ágeis de pensamento, e não a simples memorização de pacotes de conteúdo – que facilmente podem se tornar obsoletos em poucos anos, ou esquecidos em poucos dias. Propomos, assim, a compreensão da trigonometria por meio da obtenção, pelo próprio aluno, dos conceitos fundamentais das principais grandezas trigonométricas como o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo. Desejamos fazer uma abordagem simples e objetiva, com utilização apenas de papel milimetrado, compasso, régua e transferidor.

Objetivo principal do trabalhoO principal objetivo deste trabalho é despertar o interesse pela trigonometria do triângulo retângulo e preparar os alunos para, posteriormente, compreender melhor as relações do círculo trigonométrico. Trata-se de uma atividade introdutória.

Séries para as quais o trabalho está direcionadoEste trabalho é direcionado para a 8ª série do ensino fundamental, de acordo com Reorientação Curricular proposta pela SEE.

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEEPara a compreensão deste trabalho por parte do aluno, são necessários alguns pré-requisitos e com isso associamos com esta prática outros conteúdos matemáticos como: semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, representação gráfi ca do plano cartesiano, sistema de medidas e uso conveniente da calculadora de bolso.

Número de aulas previstas A atividade proposta deve tomar em torno de duas aulas.


Sugestão de organização da turma Sugerimos que a turma seja organizada em duplas, para que o professor possa assim dar atenção a todos da classe num tempo menor, e também para que os próprios alunos possam discutir com seus colegas a compreensão dos fatos.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professorPara a aplicação da proposta, sugerimos que o próprio professor trace os eixos coordenados bem como o quarto de círculo no papel milimetrado e tire fotocópias para todas as duplas.

Dificuldades encontradas pelos alunos na aplicação pilotoNa aplicação piloto foi observado que, em geral, os alunos assimilam bem o conteúdo. A maior difi culdade está na compreensão da escala numérica atribuída, quando alguns demoram, por exemplo, a compreender que 50 milímetros corresponde em nossa escala a 0,5 unidades. No entanto, há alunos que conseguem, por conta própria, determinar as relações entre o seno e cosseno dos ângulos complementares (Teorema de Pitágoras e a relação: sen2α + cos2α = 1) e outros conseguem discernir onde obter os valores da tangente dos ângulos.

Importante: Lembre aos seus alunos que os valores obtidos são aproximados, já que foram obtidos experimentalmente (o que sempre implica algum erro de medição). Assim, pequenas discrepâncias entre resultados devem ser exploradas pelo professor, visando aprimorar a conceituação do ato de medir por parte de seus alunos.

Atividade proposta

Determinação do seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer.

Pressupomos que os alunos conhecem a unidade “grau”, de medida de um arco, e sabem utilizar um transferidor. Pressupomos também que os alunos lidam bem com medidas de comprimento e materiais como a régua e esquadros.

Material utilizado• Um pedaço de papel milimetrado (12 cm x 12 cm), onde foram marcados os eixos X e Y com um quarto de um círculo cujo raio é 100 mm. Durante a atividade, o raio do círculo será considerado a unidade de medida de comprimento. • Um transferidor.• Uma régua, um par de esquadros.

Procedimento a ser proposto1. Marque com o transferidor no papel milimetrado o ângulo de 30°, a partir do eixo X.

Trigonometria do Triângulo Retângulo 55


2. Com auxílio de uma régua, prolongue um dos lados do triângulo até cortar a circunferência. Chame este ponto de P.3. Construa um triângulo retângulo ligando P com o eixo X, perpendicularmente a este. 4. Faça a leitura das medidas dos catetos deste triângulo.5. Descubra então qual dos valores é o valor aproximado do seno e qual é o do cosseno.6. Repita o procedimento para outro ângulo qualquer.


Modelo da folha de papel milimetrado para distribuir para os alunos

Gravidez na Adolescência, Trabalhando a Informação 57


GRAVIDEZ NA ADOLESCÊNCIA , TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

ApresentaçãoPor meio do estudo de tratamento da informação, esta proposta permite trabalhar temas transversais como ética, orientação sexual e saúde. Abordamos um problema a cada dia mais freqüente: gravidez na adolescência.

Relembramos Paulo Freire:

“A educação é um ato de amor e, portanto, um ato de coragem. Não pode temer o debate, a análise da realidade; não pode fugir à discussão criadora, sob pena de ser uma farsa.”

Atividade PropostaO trabalho é proposto em etapas:

1ª etapa: A partir da discussão do tema GRAVIDEZ NA ADOLESCÊNCIA1, criar um debate com a turma para a escolha de questões para uma pesquisa de campo2.

2ª etapa: Os alunos aplicam o questionário em sua comunidade e trazem as respostas para análise em sala.

3ª etapa: A turma é separada em grupos, o professor recolhe os dados e organiza em tabelas. Esta é uma boa oportunidade para conduzir uma discussão sobre a diferença entre população e amostra.

4ª etapa: Demonstrar os resultados por meio da elaboração de gráfi cos3.

5ª etapa: Para fi nalizar o projeto, os alunos podem confeccionar gráfi cos em cartazes para expor à comunidade da escola, como relato fi nal da pesquisa.

1 Na aplicação piloto deste trabalho, foi utilizado um vídeo com uma reportagem exibida pelo Telejornal Fantástico e apresentada pelo Dr. Draúzio Varella. Ao fi nal, aconteceu um debate com a turma.2 Na aplicação piloto, foram elaboradas cinco questões, apresentadas no anexo 1.3 No piloto, a proposta de visualização dos resultados por meio de gráfi cos surgiu de um dos alunos.


6ª etapa: De acordo com a realidade escolar, os resultados da pesquisa podem ainda ser organizados em planilhas eletrônicas.

Objetivos gerais do trabalhoPerceber que os conceitos e procedimentos matemáticos são úteis para compreender o mundo e interagir com os colegas cooperativamente, em dupla ou em equipe. O projeto almeja propiciar momentos de refl exão e questionamentos para os adolescentes sobre os problemas que surgem com uma gravidez sem planejamento. Buscam-se momentos de interiorização, autoconhecimento, respeito, para o resgate de valores importantes, levando os educandos a seguirem um “caminho consciente”, além de resgatar atitudes de cooperação, participação, responsabilidade, altruísmo, tolerância, sensibilidade e comprometimento.

Objetivos específicos a serem alcançadosDesenvolvimento da capacidade de leitura e de elaboração de meios para o tratamento da informação.

Séries para as quais o trabalho está direcionadoO trabalho foi elaborado visando sua aplicação na oitava série do ensino fundamental, mas é possível explorá-lo também em turmas do ensino médio, dentro da proposta curricular.

Conteúdos matemáticos e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE- população e amostra;- freqüência absoluta e relativa;- distribuição de freqüência;- histogramas; - gráfi cos de barras, colunas e setores.

As pesquisas estão articuladas diretamente com tabelas e gráfi cos, além de levantamentos de dados estatísticos, em consonância com a exploração do campo da informação para a 8ª Série do Ensino Fundamental, como proposto na estrutura curricular.

Número de aulas previstasPara as seis etapas, sugerimos um total de 4 encontros, de preferência em aulas duplas (8 aulas).4

4 No piloto, o primeiro encontro ocorreu na sala de vídeo, dois encontros em sala de aula e o último na sala de informática.



Sugestões para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor da turmaO professor deverá seguir os objetivos junto ao aluno, propondo e direcionando as atividades, guiando os grupos na elaboração das tabelas e gráfi cos.

A avaliação se dará em etapas: participação do aluno nos debates, apresentação dos documentos de pesquisa e dos roteiros preenchidos, elaboração de gráfi cos, criatividade dos cartazes (e elaboração de planilhas eletrônicas) e, por fi m, uma dissertação, em que se discutam os aspectos positivos e os conteúdos matemáticos trabalhados.

Comentários sobre as dificuldades encontradas pelos alunosNa aplicação piloto, foi observado que a ausência no currículo escolar de atividades diferenciadas leva os alunos a uma difi culdade, que parece relacionada ao medo do diferente. No entanto, isto vai sendo sanado com o tempo. A difi culdade em relatar as atividades é um dos principais problemas. Por meio de atividades interdisciplinares, eles parecem associar melhor os fatos concretos e, a partir desta postura, quando se parte para a formalização, o resultado foi surpreendente.


Anexo I

Questionário Elaborado pelos Alunos

1. Qual é o método contraceptivo que você conhece?

( ) Camisinha ( ) Pílula ( ) Outro _________________

2. Você é a favor do aborto?

( ) Sim ( ) Não

3. A “falta de amor” e de diálogo entre pais e fi lhos pode levar a uma gravidez na adolescência?

( ) Sim ( ) Não

4. As informações que você tem sobre as DSTS e gravidez são dadas pela:

( ) Escola( ) Tv / Jornais/ Internet( ) Família( ) Outros

5. Por que os adolescentes engravidam sem planejar?

( ) Falta de informação( ) Não utilizam métodos anticoncepcionais( ) Instabilidade emocional( ) Pretexto para casar



Anexo II

Resultados da quinta pergunta feita na pesquisa

PERGUNTA: Por que os adolescentes engravidam sem planejar?

Falta de informação 31Não utilizam métodos anticoncepcionais 41Instabilidade emocional 15Pretexto para casar 13

Obs.: A turma foi divida em sete grupos, com o total de 100 pessoas consultadas.


JOGOS EDUCACIONAIS E A ETNOMATEMÁTICA

ApresentaçãoAprendizagem com prazer, aprendizagem com alegria, aprendizagem motivada e desejada! A construção do saber, de maneira descontraída, real e signifi cativa. Isso é o que tanto professores como alunos almejam no ambiente escolar. Muitos recursos pedagógicos estão sendo trabalhados com esse objetivo. Um dos mais discutidos atualmente é o papel dos jogos nas aulas de matemática em todos os segmentos da escolaridade, incluindo o Ensino Médio.

O jogo relacionado com atividades de ensino tem por objetivo propiciar um maior rendimento na aprendizagem de um conteúdo específi co, por meio de recreação e do trabalho em grupo, tão importante em aspectos sociais e emocionais. Dessa maneira, a introdução de jogos na sala de aula é um recurso pedagógico que pode, se bem aplicado, apresentar excelentes resultados. Os jogos podem contribuir para desenvolver valores como respeito, honestidade. Há ainda o aspecto lúdico e o fato de que os jogos podem desenvolver habilidades de raciocínio, como organização, atenção, concentração, linguagem e criatividade.

Aprendizagem com participação ativa é outra característica de aulas com jogos. Ao jogar, o aluno deixa de ser um ouvinte passivo das explicações do professor e se torna um elemento ativo no processo da aprendizagem. Além disso, sociabilidade e interação com os demais elementos do grupo, adversários ou parceiros, são resgatados na vivência do jogo. No jogo, o erro é encarado como fonte de novas descobertas, propiciando a construção do saber.

Os jogos propostos neste trabalho têm como objetivo introduzirem ou serem usados logo após as primeiras noções de probabilidade. Conduzir o aluno a perceber que há riscos e incertezas nas tomadas de decisões e que a certeza é apenas um caso particular dos eventos possíveis torna-se ótima motivação para o professor apresentar o assunto.

Objetivo principal do trabalhoOs jogos são importantes na medida em que complementam, motivam, e desenvolvem competências, sempre que utilizados com critérios e objetivos pré-estabelecidos pelo professor. Ao trabalhar com jogos em sala de aula, o professor deve tecer algumas considerações. É ele o responsável pela escolha de qual jogo usar e quais os objetivos dessa escolha. É importante a preparação do ambiente e do material a ser utilizado. O professor deve ser presente e

Jogos Educacionais e a Etnomatemática 63


muitas vezes até jogar com seus alunos; circular entre os grupos formados pelos alunos para verifi car se os objetivos estão sendo alcançados e deve também promover a socialização das descobertas. Cabe também ao professor a avaliação dos resultados da aplicação dos jogos e observação e posterior verifi cação da aprendizagem e avaliação continuada de atitudes. Tentativas, observação, análise, memorização, conjecturas e verifi cação são elementos essenciais ao desenvolvimento das ciências e todos esses aspectos podem ser desenvolvidos através do jogo como facilitador da aprendizagem.

I - Role os Dados1

Objetivos• Expressar-se com clareza utilizando a linguagem matemática.• Identifi car em uma situação-problema as informações ou variáveis relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-las.• Utilizar conhecimentos de contagem e probabilidade para analisar chances e possibilidades.

Conteúdos

Probabilidade, Estatística e Tratamento da Informação

Séries para as quais o trabalho está direcionado

A partir da 8ª série.

Sugestão de organização da turma

Duplas de alunos

Material

Dois dados e papel para anotar

Descrição da atividade- Peça aos alunos (em duplas) que leiam as regras do jogo e que decidam se querem ser o jogador A ou o jogador B. Nessa etapa, não dê nem uma pista, não fale ainda sobre dados não viciados e, mesmo que eles comecem a jogar sem perceber qual é o jogador com maior chance de vencer, não interfi ra. - Após jogarem, eles devem discutir se é mais vantajoso ser o jogador A ou o jogador B, justifi cando a decisão. Aqui você deve estimular que apresentem suas justifi cativas e, se desejar, pode associar ao vocabulário específi co da probabilidade destacando o espaço amostral, os

1 Atividade adaptada do jogo Role os dados, de Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz.


eventos etc. Se eles conseguirem, já podem justifi car que um jogador tenha maior probabilidade de ganhar do que o outro.- Peça que construam um gráfi co de barras com as probabilidades de cada jogador vencer. O gráfi co mostra se esse jogo é justo ou injusto? Como?- Finalmente peça às duplas que sugiram modifi cações nas regras para que o jogo seja justo. Nessa etapa, peça que cada dupla apresente suas propostas para a classe experimentar e ver se concorda com a mudança sugerida. Discuta agora o que é um jogo justo e, se achar necessário, explique que para analisar o jogo seria necessário saber se os dados eram não viciados, discutindo o sentido desse termo.

Regras do jogo1. Os participantes decidem quem será o jogador A e quem será o jogador B.2. Os jogadores realizam 10 jogadas ou partidas.3. A cada jogada, os jogadores lançam seus dados ao mesmo tempo.4. O jogador A marca um ponto se a diferença entre os números que saírem nos dados for 0, 1, ou 2. O jogador B marca 1 ponto se o valor da diferença for 3, 4, ou 5.5. Após 10 rodadas, vence o jogador com maior número de pontos.

Os pontos de cada participante serão registrados na tabela abaixo:

Jogadas Alunos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AB

Exploração:

Lançando 2 dados simultaneamente, responda:

1. Qual o jogador tem mais chance de marcar ponto?2. Complete o quadro abaixo com todos os resultados possíveis das diferenças no lançamento de dois dados:

- 1 2 3 4 5 6123456



3- Consultando o quadro acima, responda:

a) De quantas maneiras possíveis o jogador A pode obter a diferença 0, 1, ou 2 ?b) De quantas maneiras possíveis o jogador B pode obter a diferença 3, 4,ou 5 ?c) Qual a diferença que tem a maior chance de ser obtida?d) Qual a diferença menos provável de ser obtida?

Construa um gráfi co de barras que represente as diferenças possíveis:

II - O Jogo da Caixa de Fósforos

Objetivos• Construir tabela estatística de variável discreta.• Identifi car evento certo, evento impossível e evento complementar.• Compreender o signifi cado de resultados igualmente prováveis e calcular a probabilidade de um evento.• Calcular freqüência relativa e freqüência percentual.

Conteúdos

Noções de probabilidade e estatística


8ª série ou qualquer uma das séries do ensino médio


Grupos de no máximo 5 alunos


Material• Caixas de fósforo devidamente encapadas e com as faces numeradas, conforme o desenho.• Folha com as tabelas montadas só para completar.


O professor deverá dar a folha com as regras do jogo. Os alunos farão a leitura e interpretação das regras do jogo. Depois de escolhidos, pela ordem de jogada no grupo, realizarão 20 jogadas cada um.

Deverão também preencher a tabela de acordo com o número de pontos de cada um. Deve ser distribuída uma tabela para cada grupo.

Ao fi nal das 20 jogadas, quem fi zer o maior número de pontos do grupo (campeão) poderá iniciar outra rodada com os campeões dos outros grupos.

Depois do jogo, os alunos serão orientados a preencher a segunda tabela, na qual serão discutidas noções de estatística e probabilidade.

Regras do jogo

É jogado com uma caixinha de fósforos (de madeira). Coloca-se um palito entre a caixinha e a “gaveta” da mesma, deixando uma porção do palito para fora. Coloca-se a caixa apoiada sobre um dos lados, com o palito para cima. Com a ponta dos dedos, bate-se no palito para que a caixa pule. Estão dispostas, a seguir, as possíveis posições em que a caixa pode cair.

Os pontos serão marcados da seguinte maneira.

Posições PontosDeixar cair no chão 0

1 52 153 104 45 2



ROTEIRO DO ALUNO

Observe as possíveis posições da caixa de fósforo na fi gura.

Regras1) Cada aluno joga 20 vezes, sendo um aluno de cada vez.2) Os pontos serão registrados na tabela abaixo.3) O aluno que jogar e deixar a caixa cair no chão terá ZERO naquela rodada e passa a vez.

JogadasAlunos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A partir das anotações acima, vamos agora montar uma tabela.

• Na primeira coluna, registre os valores possíveis nas caídas das caixas chamaremos de X.• Na segunda coluna, registre a quantidade com que cada valor aparece registrado na tabela. Chamaremos de F , ou seja, freqüência simples. Nesta coluna, não podemos esquecer de fazer o somatório (Σ ), verifi cando assim se está certo.• Na terceira coluna, faremos a multiplicação da 1ª com a 2ª. Também não podemos esquecer o somatório ( Σ ).• Na quarta coluna, registraremos a fração correspondente a cada freqüência, sem esquecer, é claro, de fazer a divisão.• Na quinta coluna, registraremos o percentual de cada freqüência, sem esquecer, é claro, de registrar o somatório ( Σ ), verifi cando assim se está certo.


A Tabela

Valores possíveis X

Quantidade de valores F

ProdutoX x F

Freqüência Relativa

FreqüênciaPercentual

Σ

Agora vocês já poderão responder:

1) Qual a posição da caixa que teve menor freqüência? 2) Em percentual, qual a posição da caixa que teve maior freqüência?

Vamos calcular agora a média em pontos que o grupo obteve.

Faremos da seguinte maneira:

1) Registre o somatório de pontos do produto X x F.2) Registre o somatório total de pontos da freqüência F.

3) Para obtermos a Média iremos dividir X F

F×∑

∑Responda:

Qual a média, em pontos, que o grupo obteve?



III - O Jogo de Búzios

Objetivos• Compreender o signifi cado de resultados igualmente prováveis e calcular a probabilidade de um evento.• Reconhecer evento simples ou elementar. • Distinguir espaço amostral e evento. • Relacionar porcentagem e probabilidade.

Conteúdos

Introdução à probabilidade.




Grupos de no máximo 4 alunos

Material

04 búzios ou conchas do mar, 2 abertos e 2 fechados.

Sumário da atividade• Leitura da origem do jogo de búzios.• Distribuição das regras do jogo, cada grupo com os 4 búzios descritos acima.• Os búzios serviram de apoio concreto para a resolução do problema proposto.

História

Desde que o mundo é mundo, o homem tem necessidade de saber algo sobre o seu futuro. Dentro do candomblé, parte integrante da cultura afro-brasileira, a modalidade do jogo de búzios é a mais conhecida.

O búzio é uma concha do mar encontrado em praias litorâneas.

O jogo de búzios é um aprendizado de conhecimentos preciosos, em que a memória exerce um papel muito importante, ou seja, é lá na memória que se vai guardar uma enorme série de histórias, lendas e caídas que decifram, segundo a tradição yorubá, a vida de uma pessoa.


No começo do aprendizado do jogo de búzios, segundo a tradição, começa-se a jogar com 04 (quatro), 08 (oito) e depois os 16 (dezesseis) búzios. Mas vamos nos deter aqui no jogo de 04 (quatro) búzios, também chamado de “Jogo de Confi rmação”.

O Jogo de Confi rmação é uma modalidade usada, como o próprio nome sugere, para confi rmar caídas feitas anteriormente com os outros búzios. Esta forma de jogo é usada para se obter respostas rápidas dos “orixás”.

Regras do Jogo de Búzios• 04 (quatro) búzios abertos signifi cam: “tudo ótimo”

• 03 (três) búzios abertos e 01 (um) fechado signifi cam: “talvez”

• 02 (dois) búzios abertos e 02 (dois) fechados signifi cam: “tudo bem” • 03 (três) búzios fechados e 01 (um) aberto, a resposta é: “não”

• 04 (quatro) búzios fechados: “não insista em perguntar”

fechado aberto



ROTEIRO DO ALUNO

Suponhamos que Ìyá Olóòkun, de Angola, foi fazer uma consulta de confirmação para definir uma certa questão. 1. Descreva todas as possibilidades de caída dos búzios. (Para um búzio aberto, escreva a letra A e para um búzio fechado escreva a letra F.)2. Quantas possibilidades você encontrou? 3. Escreva em forma de fração a probabilidade que representa um búzio aberto. E se for escrito em forma de porcentagem. 4. Escreva em forma de fração a probabilidade que representa um búzio fechado. E se for escrito em forma de porcentagem.5. No “jogo de confi rmação”, são usados quatro búzios. Qual a fração que representa a probabilidade de cada um deles? E em forma de porcentagem.

Ìyá Olóòkun, de Angola, teve uma resposta negativa a sua pergunta. Descreva todas as possibilidades. 1. Qual a probabilidade encontrada? Em forma fracionária. Em forma de porcentagem.2. Sabendo que a resposta foi negativa, qual a probabilidade de que seja apenas “não”?3. Supondo a resposta positiva, descreva as possibilidades.4. Qual a probabilidade da resposta ser “tudo ótimo”? Em forma fracionária. Em forma de porcentagem.5. Descreva as possibilidades de a resposta ser pelo menos “ tudo bem”?6. Qual a probabilidade encontrada? Em forma fracionária. Em forma de porcentagem.


VI - Notas da Turma

Objetivos• Calcular a média aritmética a mediana de um conjunto de dados numéricos.• Preencher tabela estatística de variações discretas.• Construir gráfi co de acordo com os dados estatísticos da tabela.

Conteúdos

Estatística e probabilidade.




Grupos de no máximo 4 alunos.


O professor distribuirá a folha para que os alunos realizem a atividade de acordo com a leitura e interpretação do problema proposto.O professor não deverá intervir no primeiro momento. No entanto, poderá intervir de acordo com a solicitação dos grupos. A atividade em grupo já favorece a realização da atividade com mais facilidade, pois possibilita a troca entre os próprios alunos.

Os dados do problema poderão ser modifi cados com as notas de avaliação da própria turma, tornando a atividade mais real e promovendo a avaliação coletiva da turma.



ROTEIRO DO ALUNO

Na turma da 1ª série do Colégio Estadual Almirante Tamandaré, no Rio de Janeiro, estão matriculados 60 alunos no corrente ano. O levantamento feito sobre as notas de Matemática do 3º bimestre é o seguinte:

2 46 9 40 57 22 22 13 50 4235 2 15 41 34 52 32 75 69 4426 42 60 56 30 3 17 80 45 370 12 62 50 45 41 59 11 66 3943 33 70 50 47 20 36 40 67 29

Organize as notas da turma na tabela de freqüências abaixo:

Notas Fi X. Fi . Xi Fac ↑ Fr F% 0 ⏐⎯ 1010 ⏐⎯ 2020 ⏐⎯ 3030 ⏐⎯ 4040 ⏐⎯ 5050 ⏐⎯ 6060 ⏐⎯ 7070 ⏐⎯⏐80

Σ


No quadriculado abaixo, monte o gráfi co de colunas que representa esta tabela.

Marque os pontos médios de cada coluna e desenhe a curva que fi cará formada.

Responda:

a) Esta curva é Simétrica, Assimétrica positiva ou Assimétrica negativa? Justifi que.b) Qual a Média geral da turma? c) Sendo escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade deste ter obtido nota 50 ou maior?d) Sendo escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade deste ter fi cado em recuperação já que a média é 50?



Considerações finais sobre a Avaliação e a EtnomatemáticaPerrenoud (1999, p.10), afi rma que:

“...desde que a escola existe, pedagogos se revoltam contra as notas e querem colocar a avaliação mais a serviço do aluno do que do sistema. Essas evidências são incessantemente redescobertas, a cada geração crê-se que “nada mais será como antes”. O que não impede a seguinte de seguir o mesmo caminho e de sofrer as mesmas

desilusões”.

Caso seja possível transformar a avaliação tradicional, de forma que os alunos não se sintam mais pressionados a fazê-la, e sim estejam envolvidos em aprender, uma etapa será ultrapassada. Dessa forma, os resultados das avaliações serão mais conclusivos, direcionando todos os alunos a aprender. Os jogos podem ser utilizados para esse fi m, pois despertam motivação e curiosidade. Os jogos educativos podem melhorar o desempenho e a capacidade dos alunos e demonstrar o quanto cada um aprendeu. Assim, valendo-se dessa característica, o ensino pode ser aprimorado, proporcionando ao aluno um aprendizado mais efi caz e efi ciente.

Os desafi os trabalham com a construção do conhecimento e estão baseados em estágios vindos de provas piagetianas, ou seja, buscam e incentivam a compreensão dos mecanismos envolvidos na construção de conhecimento.

D’Ambrósio (2001), defi ne a Etnomatemática como

“Meta - defi nição etimológica”, pois faz elaborações sobre as etnos, os matemas, e as ticas, na tentativa de entender o ciclo do conhecimento, ou seja, a geração, a organização intelectual, a organização social, e a difusão do conhecimento adquirido pelos grupos culturais. Nesta dinâmica cultural, não existe uma História da Matemática como um processo, mas sim como um registro seletivo dos fatos e das práticas que serviram para esta apropriação. Este fato faz brotar a vertente histórica do programa Etnomatemática,

através da releitura da História do Conhecimento.”

Esta proposta de trabalho foi baseada nessas idéias. Assim, ela se iniciou por atividades lúdicas, que podem ser exploradas para formar e organizar um banco de dados contendo freqüências e médias. Em uma segunda etapa, exploramos os temas culturais, ou seja, buscamos nos aproximar da Etnomatemática, unindo cultura brasileira e o estudo de Estatística e probabilidade. Em uma terceira parte, buscamos temas relacionados com o cotidiano e, portanto, naturalmente interdisciplinares. Estes são fundamentais para o reconhecimento da Estatística como uma matéria relevante para a cidadania plena.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Documentos

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