Calculo I Em Revisao

Sumário

1 Conceitos Básicos de Funções p. 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 1

1.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 2

1.3 Forma explícita e implítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7

1.4 Um pouco de detalhes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7

1.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

1.6 Operações com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

1.7 Exemplos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10

1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

1.9 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

1.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

Respostas dos Exercícios Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.11 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2 Simetrias e Periodicidades de Funções p. 18

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2.2.1 Funções pares e funções ímpares . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2.2 Função Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2.3 Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.2.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.2.5 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

2.2.6 Interceptos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

2.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31


3 Construção Gráfica de Funções p. 34

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

3.2 Funções Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

3.3 Funções Crescente e Funções Decrescentes . . . . . . . . . . . p. 36

3.4 Construção gráfica de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

3.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

3.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

3.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48


4 Funções Exponenciais p. 52

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

4.2 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

4.3 Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

4.3.1 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

4.3.2 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

4.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

4.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

4.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67


5 Limites de Funções - Parte 1 p. 70

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

5.2 Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

5.3 Propriedades de Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

5.4 Limites Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

5.5 Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79

5.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84

5.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84

5.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85

Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 86

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 86

Respostas dos Exercicios Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 88

6 Limites de Funções - Parte 2 p. 89

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

6.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90

6.3 Comportamento Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93

6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100


6.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102

7 Funções Contínuas p. 103

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 103

7.2 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104

7.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

7.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

7.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 114


8 Derivadas de Funções p. 117

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 117

8.2 Derivada de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 118

8.3 Propriedades de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 123

8.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 127

8.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 127

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 128


8.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 129

9 Funções Diferenciáveis p. 130

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 130

9.2 Funções Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 131

9.3 Diferencial de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 135

9.4 Linearização de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 138

9.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 141

9.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 141

9.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 142

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143


10 Derivadas de Funções Trigonométricas p. 146

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 146

10.2 Derivada de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . p. 147

10.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 153

10.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 153

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154


10.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155

11 Derivadas de Funções Inversíveis p. 156

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 156

11.2 Derivadas de Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 157

11.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 162

11.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 162

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 163


11.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 165

12 Taxa de Variação p. 166

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 166

12.2 Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 167

12.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171

12.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 172


12.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 175

13 Aplicações de Derivadas. Teoremas de Lagrange e de Rolle p. 176

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 176

13.2 Teoremas de Lagrange e de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 177

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 183

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 183

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 184


13.3 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 186

14 Derivadas de Funções Compostas. Regra da Cadeia p. 187

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 187

14.2 Derivada de Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 188

14.2.1 Regra da Cadeia para Curvas Parametrizadas . . . . . . p.192

Diferenciação Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 193

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 195

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 195

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 196


14.3 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 198

15 Diferenciação Implícita p. 199

15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 199

15.2 Diferenciação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 200

15.2.1 Detalhes Adicionais da Diferenciação Implícita . . .. . p. 205

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 208

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 208

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 209


15.3 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 211

16 Derivadas de Ordem Superior. Regra de L’Hospital. Introdução

a EDO p. 212

16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 212

16.2 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 213

16.3 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 215

16.3.1 Regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 215

16.4 Introdução a Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . p. 220

16.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 221

16.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 221

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 223


16.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 225

17 Aplicações de Derivadas p. 226

17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 226

17.2 Aplicações à: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 227

Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 227

Mecânica Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 228

17.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 234

17.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 234

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 235


17.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 237

18 Aplicações de Derivadas: Otimização p. 238

18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 238

18.2 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 239

18.3 Detalhamento de Máximo e Mínimo de Funções . . . . . . . . . p.240

18.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 247

18.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 247

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 248


18.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 250

19 Estudo da Concavidade de Funções p. 251

19.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 251

19.2 Concavidade e Convexidade de Funções . . . . . . . . . . . . . p.252

19.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 261

19.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 261

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 262


19.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 265

20 Conceitos de Antiderivadas de Funções p. 266

20.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 266

20.2 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 267

20.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 278

20.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 278

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 279


20.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 282

21 Técnicas de Integração – Substituição de Variáveis p. 283

21.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 283

21.2 Substituição de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 284

21.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 289

21.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 289

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 290


21.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 293

22 Técnicas de Integração – Integração por Partes p. 294

22.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 294

22.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 295

22.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 302

22.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 302

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 303

22.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 305

23 Aplicações de Técnicas de Integração p. 306

23.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 306

23.2 Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 307

23.2.1 Modelo da Proliferação . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 309

23.2.2 Lançamento de Projétil . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 310

23.2.3 Movimento Oscilatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 312

23.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 314

23.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 314

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 315


23.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 319

24 Integrais de Funções Trigonométricas p. 320

24.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 320

24.2 Integração de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . .p. 321

24.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 330

24.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 330

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 331


24.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 334

25 Substituições Trigonométricas p. 335

25.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 335

25.2 Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.336

25.3 Completando “quadrado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 340

25.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 344

25.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 344

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 345


25.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 349

26 Integração por Decomposição de Frações - Parte 1 p. 350

26.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 350

26.2 Usando a Técnica de Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . p.351

26.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 360

26.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 360

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 361


26.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 364

27 Integração por Decomposição de Frações - Parte 2 p. 365

27.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 365

27.2 Integração por Decomposição de Frações Simples . . . . . .. . p. 366

27.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 374

27.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 374

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 375


27.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 378

28 Integrações por Decomposição de Frações - Parte 3 p. 379

28.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 379

28.2 Substituição por tg(x/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 380

28.3 Integrais de Funcões Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 383

28.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 387

28.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 387

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 388


28.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 392

29 Conceitos de Integral Definida p. 393

29.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 393

29.2 Conceitos de Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 394

29.2.1 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . p. 399

29.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 404

29.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 404

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 405


29.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 408

30 Conceitos de Integral Definida - Aplicações p. 409

30.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 409

30.2 Cálculo de Comprimento de Arcos de Curvas . . . . . . . . . . p.410

30.3 Área Superficial e Volumes de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . p.413

30.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 421

30.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 421

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 422


30.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 426

1

1 Conceitos Básicos de Funções

Meta: Apresentar o conceito de função no contexto matemático. Suas implicações

e aplicações ao cotidiano. Analisar comportamentos e especificidades de funções.

Objetivos: Ao final desta aula, espera-se que o aluno possa distinguir o que seja

função, diferenciando-a de uma relação e contextualizando-a em diversas aplica-

ções acadêmicas e reais.

1.1 Introdução

O curso a ser abordado durante todas estas aulas tem como objeto central a disci-

plina de Cálculo Diferencial e Integral ou apenas Cálculo. Em particular, estaremos

tratando especificamente do curso de Cálculo 1.

Cálculo é um dos ramos da Matemática e foi desenvolvido a partir dos estudos

da Álgebra e Geometria, se dedicando ao estudo de taxas de variações de grandezas

(a exemplo da velocidade de ponto móvel, crescimento de bactérias, entre outras)

e cálculo de quantidades tais como área, volume de um dado objeto geométrico.

Sir Isaac Newton (Wo-

olsthorpe, 4 de Janeiro

de 1643 – Londres, 31

de Março de 1727) foi

um cientista inglês, mais

reconhecido como físico

e matemático, embora te-

nha sido também astrô-

nomo, alquimista, filósofo

natural e teólogo. Sua

obra, Philosophiae Natu-

ralis Principia Mathema-

tica, é considerada uma das

mais influentes em Histó-

ria da ciência. FONTE:

http://pt.wikipedia.org/wiki

Originalmente desenvolvido, em trabalhos independentes,por Newton e Leib-

niz, o Cálculo auxilia na compreensão de vários conceitos e definições abrangendo

aplicações nas áreas da: i) Física, ii) Química, iii) Biologia, iv) Economia, v) Es-

tatística, entre outras ciências.

A base essencial para o estudo do Cálculo reside no conhecimento tácito de

funções. Por outro lado, o Cálculo se divide em três partes principais: i) estudo de

limites de funções, ii) estudo de derivadas de funções e iii)estudo do cálculo de

integrais de funções. Todas estas partes encontram-se, de um modo ou de outro,

intimamente relacionadas face as suas peculiaridades.

Como mencionado, a base do estudo do Cálculo é o conhecimentoprévio de

funções. A noção de associação se faz presente em diversos campos da ciência.

Na Matemática esta associação ocorre, em geral, através do uso de funções, que

2

têm suma importância em diversas áreas do conhecimento humano e tendo como

base a análise de diversos sistemas físicos reais, bem como aplicações puramente

acadêmicas.

Durante o curso de Cálculo 1, nós sempre estaremos lançando mão dos con-

ceitos de função para estudar diferentes tipos de aplicações que aparecem no coti-

diano ou exemplos puramente acadêmicos. Nem por isto, tais exemplos são menos

importante, uma vez que é sempre possível extrair diversas informações contex-

tualizadas nestes exemplos que, de uma forma ou de outra, podem ser aplicadas

a situações cotidianas. É dentro deste aspecto que esperamos que esta primeira

aula possa despertar a sua curiosidade e senso de observaçãocrítica no que tange

o conceito de funções e suas aplicações.

1.2 Funções

Prezado aluno, nesta aula estamos introduzindo a disciplina de Cálculo 1, que será

de grande valia para você durante o transcorrer destas aulas, bem como no decorrer

de toda suas atividades estudantis e, posteriormente, durante suas atividades como

profissional formado. Fundamentado em sólidos conceitos, oCálculo 1 é uma

poderosa ferramenta matemática para estudar o comportamento de funções reais

que dependem apenas de uma variável real e suas aplicações a diversas áreas do

conhecimento humano. Durante este curso, teremos a oportunidade de discutir

diversos exemplos em que esta nova ferramenta, até então desconhecida de muitos,

será empregada com sucesso. Entretanto, vale aqui ressaltar um lembrete bastante

Desejamos frizar que o

conteúdo desta disciplina

é, em certo sentido, ex-

tenso. Daí a necessidade

de você, caro aluno, dedicar

algumas horas da semana

paa o estudo destes conteú-

dos. Isto inclui a leitura

em livros textos, a repro-

dução dos exemplos resol-

vidos nos textos dos livros

e a realização de exercícios

propostos, além daqueles

que, porventura, você achar

necessários.

importante:

É ESSENCIAL SE DEDICAR AO CURSO.

Nesta parte introdutória do curso, presumimos que você (aluno) tenha algum

conhecimento básico da definição de função, já estabelecidono Ensino Funda-

mental. Ainda que este não seja o caso, nós podemos definir, deforma simples,

o conceito de funções na proposta que se segue, para que você se sinta seguro da

atual realidade que está por se deparar.

A noção de função é uma espécie de generalização comum de “fórmula ma-

temática”. Num sentido mais restrito, uma função descreve arelação matemática

entre duas grandezas, uma dependente e outra(s) independente(s).

3

Considere duas variáveis reais, digamos,x e y. A primeira é denominada

variável independente e pode assumir, a priori, quaisquer valores reais.1 Enquanto

a segunda é uma variável dependente que assume valores de acordo com uma dada

expressão matemática, relacionando-a com a variável independente.

Assim, uma funçãof será construída segunda uma dada regra entre os ele-

mentos da variável independente e aqueles da variável dependente. Tal regra deve

satisfazer o que definimos, informalmente, abaixo:

Regra: “para cada valor dex existe um único correspondente emy”.

Se tal regra é obedecida dizemos quey é uma função dex e denotamos isto

por:

y = f (x) .(1.2.1)

Devemos ressaltar que as variáveis independente,x, e dependente,y, assumem

apenas valores reais. Ao conjunto de valores pertinentes à variávelx denominamos

de domínio da função, denotado porDm( f ). Enquanto aos valores assumidos por

y damos o nome de imagem da função,Im( f ). Podemos sintetizar o que foi dito

logo acima no esquema abaixo.

conjunto de valores reais parax =⇒ domínio da função

conjunto de valores reais paray =⇒ imagem da função

Por outro lado, destaquemos que a variávelx é comumente chamada de “ar-

gumento” da funçãof . Com estas discussões iniciais, podemos agora estabelecer

a definição de uma função com domínioX e imagemY, segundo uma dada regra,

pela notação:

f : X 7−→ Y .(1.2.2)

Com isto estamos identificando uma regra para a funçãof de domínioX que leva

ao conjuntoY, através da relação (1.2.1).

A regra a que nos referimos pode ser destacada através da representação de

uma fórmula, elaboração de diagramas que representam os dois conjuntos de valo-

res, uma tabela de correspondência (também pode ser construída) entre outras.

1Quando falamos quex pode assumir a priori quaisquer valores estamos, de um certomodo, nosresguardando de situações em que esta variável não possa assumir todos os possíveis valores reais

4

Considere os diagramas abaixo. Através deles podemos discutir se o seu con-

teúdo representa ou não uma função.

Figura 1.2.1: Diagrama 1.

A Figura 1.2.1 apresenta um diagrama que representa uma função uma vez

que todos os elementos do domínioX estão associados univocamente aos deY

(imagem). Portanto, satisfaz a regra que defini a associaçãoentre elementos de

uma função. Já a Figura 1.2.2 mostra um diagrama que não obedece à regra que

Figura 1.2.2: Diagrama 2.

define uma função. Note que o elemento 2 do domínioX encontra-se associado a

dois valores deY.

Da mesma forma podemos identificar se uma dada representaçãográfica re-

presenta ou não uma função. O teste que estabelece se um dado gráfico representa

ou não uma função é conhecido como o “teste da reta vertical aoeixo x”, conforme

verificamos nos exemplos que se seguem.

A Figura 1.2.3 destaca o gráfico de uma funçãof . Observe que a reta vertical

traçada toca o gráfico def em apenas um ponto. Você deve observar que esta afir-

5

-

6

5.0-5.0

1.0

-1.0

reta vertical

y

x

Y

Figura 1.2.3: Representação esquemática para o teste da regra vertical.

mação é válida para todas as retas verticais ao eixox que possam ser construídas.

Por outro lado, a Figura 1.2.4 mostra um gráfico que não representa função. Ob-

serve que a reta vertical traçada cruza o gráfico em dois pontos distintos dey para

um só e único valor dex.

x

y

reta vertical

-

6

0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

-0.5

j

Figura 1.2.4: Representação esquemática para o teste da regra vertical.

Durante todo a disciplina de Cálculo 1 estaremos interessados apenas em fun-

ções que dependem exclusivamente de uma variável independente. A seguir, você

pode observar alguns exemplos desse tipo de função.

1. a área de um círculo depende apenas da medida do seu raio,r. Ou seja,

A = π r2 .

2. a posição de um ponto móvel que se movimenta em linha reta com veloci-

dade constante,v, em um meio sem resistência, depende apenas do tempot.

6

Em outras palavras,x = vt .

3. a população de indivíduos de uma dada cidade depende do tempo de obser-

vação,t.

4. a pressão de uma coluna de água exercida sobre um indivíduodepende da

profundidade,y, em que este se encontra.

Nos exemplos acima, a função pode sempre ser descrita sob a forma

y = f (x) ,

em quey é a grandeza dependente ex a variável independente. Notadamente que

isto nem sempre é o caso e, portanto, existem funções que dependem de mais de

uma variável, embora não nos reportaremos a elas nesta disciplina.

Neste ponto estamos em condições de formular os aspectos quedescrevem a

definição de uma função real de uma variável real.

Definição 1.2.1. Uma função real de uma variável realé um conjunto de pares

ordenados de números reais tal que para todo número real uma das duas seguintes

proposições acontece:

1) existe exatamente um número realb para o qual o par ordenado(a, b) é um

membro def . Neste caso diz-se quef (a) está definido e escrevemosf (a) = b.

O númerob é dito o valor def ema.

2) não existe número realb para o qual o par ordenado(a, b) é um membro def .

Neste caso dizemos quef (a) é indefinida.

7

1.3 Forma explícita e implítica

Uma vez definido o conceito de função de uma variável independente, pode-

mos agora destacar a função quanto a sua especificação. Assim, uma função pode

ser:

(i) explícita,quando sempre é possível escrevê-la na forma

y = f (x) .

Este é o caso, por exemplo, das funções

f (x) =2x

,

g(x) = x2 .

(ii) implícita, quando isto não é possível ou, quando o é, esta é representadasob

duas ou mais formas. Como exemplos, considere as relações:

xy= 2,

x2 +y2 = 4.

A primeira relação informa que o produto dexy deve ser igual a 2. Portanto,

ambosx e y devem variar para manter este valor. Assim, sex variar certa-

mentey deve variar implicitamente e vice-versa. O mesmo tipo de argumento

é válido para a segunda relação.

1.4 Um pouco de detalhes

Apesar de já termos discutido o que seja domínio e imagem de uma função, é im-

prescindível destacar alguns aspectos que considero de suma importância. Quando

dizemos que uma função tem domínio, queremos dizer que este domínio deve estar

bem definido no conjunto dos números reais (já que estamos tratando de funções

de variável real e que deve ter valores, também, reais). Assim, você pode estar

se questionando sobre o que queremos dizer ao mencionar que uma função não se

encontra definida para um dado valor dex, conforme discutido na Definição 1.2.1.

Para respondermos, é importante lembrar que:

Nota 1.4.1. (i) a divisão porzeronão é permitida. Expressões tais como

50,

00,

x0,

122−4+2

,

8

não são admitidas.

(ii) um número realb sempre tem duas raízes quadradas, nominalmente√

b e

−√

b. Números reais negativos não tem raízes quadradas reais. Assim, para

cada número real positivob,√

b é positiva enquanto√−b é indefinida.

(iii) Por outro lado, todo número real tem uma raíz cúbica real. Sec > 0, entãoc

tem raíz cúbica positiva3√

c, e−c tem raíz cúbica negativa,3√−c = − 3

√c.

Ainda dentro deste contexto, porém sem adentrar em maiores detalhes,2 discutire-

mos o que comumente passaremos a mencionar como número infinitesimal. Em

particular, desejamos enfatizar que há três tipos intuitivos de tamanhos de núme-

ros: (i) muito pequeno, (ii) tamanho médio e (iii) muito grande. Isto é importante

uma vez que lidaremos com estas noções em grande parte desta disciplina, e a

noção intuitiva deve ser preservada por questão de aprendizagem e aplicação. É

particularmente importante procurar tratar tais números usando esta idéia intuitiva,

ou seja, usando as mesmas regras da álgebra. No que segue, adotaremos o símbolo

≈ para denotar “aproximadamente igual”. Assim, dados os números p, q, ε e δ ,

então

(a) sep eq são médios, também o sãop+q e p·q.

(b) seε e δ são muito pequenos, também o sãoε + δ , ou seja,ε ≈ 0 e δ ≈ 0

implica queε + δ ≈ 0.

(c) seδ ≈ 0 eq é médio, entãoq·δ ≈ 0.

(d) 1/0 é absolutamente indefinido e 1/x é muito grande apenas quandox≈ 0.

Definição 1.4.1.Um númeroδ em um campo ordenado é chamado infinitesimal

se ele satisfaz12

>13

>14

> · · · > 1n

> · · · > |δ | ,

para qualquer número naturaln= 1, 2, 3, · · · . Nós escreveremosa≈ b para indicar

quea é infinitesimalmente próximo ab se o númerob−a≈ 0 é infinitesimal.

2Toda esta discussão encontra fundamentação formal no que chamamos denúmeros hyper-reais.

9

1.5 Intervalos

O campo de definição de uma funçãof pode ser descrito de várias formas e é

comum que a norma para descrevê-lo seja a mais diferenciada possível. Isso per-

mite que a função esteja bem definida em apenas uma parte do conjunto dos re-

ais. Assim, definimos o que chamamos de intervalos de definição, que podem

ser: (i) aberto, (ii) fechado, ou (iii) semi-aberto.Algunsdestes são exemplificados

abaixo.

(a) um intervalo aberto(a, b), ou seja, o conjunto de valoresx que satisfaz a rela-

çãoa < x < b;

(b) um intervalo fechado[a, b], ou seja, o conjunto de valores dex que satisfaz a

relaçãoa 6 x 6 b;

(c) um intervalo semi-aberto(a, b], paraa< x6 b, ou ainda[a, b), paraa6 x< b;

(d) um intervalo infinito(a, +∞), paraa< x< +∞, ou ainda(−∞, b), para−∞ <

x < b, etc.

Assim, o campo de definição de uma função é o conjunto de valores assumidos

pela variável independentex tal que a função descrita pory = f (x) esteja definida.

1.6 Operações com Funções

Assim como acontece para números, nós podemos manipular funções em termos

das operações de soma, subtração, multiplicação, divisão,elevada a potência etc.

Considere as funçõesf (x) = x+3 eg(x) = x3. Então,

(a) f (x)+g(x) = ( f +g)(x) = x3 +x+3

(b) f (x)−g(x) = ( f −g)(x) = x+3−x3

(c) f (x) ·g(x) = ( f g)(x) = (x+3)x3 = x4 +3x3

(d)f (x)g(x)

=

(fg

)(x) =

x+3x3 =

1x2 +

3x3 .

10

1.7 Exemplos de Funções

Nesta etapa da aula, desejamos destacar alguns exemplos de funções e discutir,

com certo detalhe, o que elas nos informam.

f (x) = 2 informa que todos os valores assumidos porx temcomo saída o valor 2 para a função. Ou seja, esta éuma função que permanece constante para todos osvalores assumidos parax.

f (x) = x+2 adiciona o número 2 a todos os valores assumidospara a variávelx.

f (x) = x2 todo valor assumido parax é elevado ao quadrado.Uma vez quex é real, todos os valores assumidospara a função são estritamente positivos ou nulos.

u(x) =

{1, parax > 0

−1, parax < 0.

a função recebe apenas valores positivos ou negati-vos. Assume 1 se o valor dex for positivo e−1 sexfor negativo. Note que o número 0 não se encontrano domínio da função.

11

1.8 Atividades

Nesta parte da aula é nosso objetivo iniciar as atividades que se destinam a aplicar

os conceitos destacados anteriormente. Espero que possamos, a partir deste ponto,

compreender todos os aspectos do manuseio algébrico que se farão necessários

durante o desenrolar desta disciplina. A idéia é iniciar comexemplos simples e

aumentar gradativamente o nível de dificuldade desses.

Exemplo 1.8.1.Sendof (x) = x2, avalief (b)− f (a)

b−a.

Solução 1.8.1.Usando a relação entre a função e a variável independentex, en-

contramos:f (b)− f (a)

b−a=

b2−a2

b−a.

Precisamos, naturalmente, simplificar esta última relaçãoobtida. Isto é feito lem-

brando que

b2−a2 = (b−a)(b+a) .

Desta forma, obtemos

f (b)− f (a)

b−a=

b2−a2

b−a= a+b.

Findamos o exemplo identificando o resultado obtido, ou seja:

f (b)− f (a)

b−a= b+a.

Exemplo 1.8.2.Considere a funçãof (x) =√

1−x2. Discuta e defina o domínio e

imagem desta função.

Solução 1.8.2.Já mencionamos que o domínio de uma função é o conjunto de

valores de sua variável independente para os quais a função está definida. No caso

em questão a função que nos é fornecida deve ser tal que

1−x2> 0.

Isto porque a função raiz quadrada não se encontra definida para valores negativos

dos números reais. Podemos reescrever 1−x2 > 0, como:

(1−x)(1+x) > 0.

Deste último resultado podemos escrever

(1−x) (1+x) =

(1−x) > 0,

(1+x) > 0.

12

Somandox em ambos os membros da primeira inequação e subtraindo 1 na se-

gunda inequação obteremos

1−x+x> 0+x

1+x−1> 0−1.

Simplificando estas duas desigualdades acima, encontramos:

x 6 1

x > −1.

Estes dois resultados podem ser claramente reescritos como

−1 6 x 6 1.

Portanto, o domínio da funçãof (x) =√

1−x2 é constituído de todos os valores

de x que se encontram no intervalo dado acima. De modo alternativo, podemos

escrever este mesmo resultado dizendo que a funçãof (x) está definida para

x ∈ [−1, 1] ou {x∈ R | −1 6 x 6 1} .

Exemplo 1.8.3.Encontre o campo de validade da funçãof (x) =x−1x−2

.

Solução 1.8.3.Lembrando da discussão levantada na Nota 1.4.1, percebemosque

o campo de validade da função é encontrado para valores dex que não anulem ape-

nas o denominador ou, simplesmente numerador e o denominador. Perceba que

não existem valores parax que simultaneamente anulam o numerador e denomi-

nador. Neste caso, o único valor que anula o denominador da função é obtido de

x−2 = 0, ou ainda,x = 2. Logo, o campo de validade da função dada são todos

os valores reais dex com exceção dex = 2. Formalmente podemos escrever isto

como

Dm{ f } = {x ∈ R |x 6= 2}.

Leia-se, “o domínio da funçãof é igual ax pertencente ao conjunto dos números

reais tal quex seja diferente de 2”.

1.9 Conclusão

Nesta aula abordamos os conceitos essenciais de função realdependente de

uma variável real,y = f (x), resgatando diversos enfoques básicos e importantes

13

que são inerentes a este tema.

1.10 Resumo

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de“fórmula

matemática”. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois obje-

tos,x ey = f (x). O objetox é chamado o argumento da funçãof e o objetoy, que

depende dex, é chamado imagem dex pela f .

Uma função está definida quando parax = a existey = f (a). Do contrário

diz-se que a função não está definida.

14

Questões

Q. 1 ⊲ Encontre exemplos do cotidiano em que haja a possibilidade de estabelecer

uma associação entre duas variáveis. Faça uma tabela de valores identifi-

cando as grandezas envolvidas.

Q. 2 ⊲ Escreva as condições básicas para a existência de uma funçãoreal.

Q. 3 ⊲ Realize uma discussão para determinar quais dos diagramas abaixo repre-

sentam ou não uma função.

(a) (b)

(c) (d)

Exercícios

E. 1 ◮ Fatorize as expressões dadas a seguir:

(a) x2−y2

(b) x3 y−xy3

(c) x5 y2 +x2y5

(d)x3−y3√

x−√y

.

E. 2 ◮ Determine os domínios e imagens das funções dadas.

(a) f (x) = x2−2x+1

(b) f (x) =4

x2 +3x+1

(c) f (x) =

√x2 +x+1x−1

(d) f (x) =1

x2 +3.

15

E. 3 ◮ Um portão retangular tem larguraL e diagonalD. Escreva a área deste

portão em termos destas quantidades.

E. 4 ◮ Considere a funçãof (x) =2

x−2. Determine o domínio e imagem desta

função e discuta os casosf (−1), f (0), f (−1/2) .

E. 5 ◮ Consideref (x) = x3−2x eg(x) = x+√

x. Encontre:f +g, f −g, f g,fg

e

gf.

E. 6 ◮ SejaSo conjunto de todas as pessoas eT o conjunto de todas as letras não

excedendo 1500 caracteres (incluindo espaços em brancos).Seja f a regra

que assume a cada pessoa seu nome legal (algumas pessoas tem nomes

muitos longos; de acordo com o “Guinnes Book of World Records”, o

nome mais longo tem 1063 letras). Determine sef : S→ T é uma função.

E. 7 ◮ Dada a funçãof (x) = x2 +x, determine:

(a) | f (x) |

(b) − f (x)

(c) − f (−x)

(d) f (1/x) .

E. 8 ◮ Determine os domínios, imagens e possíveis zeros das funções:

(a) f (x) =x2−2x3 +1

(b) f (x) =√

x2−9

(c) f (x) = sen

(1x

)

(d) f (x) = |x2−4| .

16

Respostas dos Exercícios Ímpares

E. 1 ⊲ (a) −(y−x)(y+x), (b) −yx(y−x)(y+x), (c) y2x2 (y+x)(x2−yx+y2

),

(d) −(y2 +yx+x2

)(√x+

√y)

.

E. 3 ⊲ L√

D2−L2 .

E. 5 ⊲ f + g = x3− x+√

x, f −g = x3−3x−√x, f g = x4 + x7/2−2x2−2x3/2,

f/g =x3

x+√

x−2

xx+

√x, g/ f =

xx3−2x

+

√x

x3−2x.

E. 7 ⊲ (a) | f (x) | =

x2 +x, parax≥ 0 ex 6 −1,

−x2−x, para−1 < x < 0,

(b) − f (x) = −x2−x,

(c) − f (−x) = −x2 +x,

(d) f (1/x) =1x2 +

1x

.

17

1.11 Referências

HOFFMANN, L. D., BRADLEY, G. L., Cálculo, um curso moderno e suas apli-

cações, 7a edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2007. (Livro Texto)

HUGHES-HALLET, D. Cálculo Aplicado, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2007.

MUNEN, A. M., FOULIS, D. J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1982.

STEWART, J. Cálculo. 5a ed. Austria: Thomson, 2005.

18

2 Simetrias e Periodicidades deFunções

Meta: Nesta aula os aspectos relacionados a natureza de funções (simetria, peri-

odicidade) além de questões associadas ao tema a exemplo de raízes de funções e

breve discussão de construção gráfica.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno possa ter concebido a no-

ção de simetria de funções e seus aspectos envolvidos (determinação de elementos

básicos para a construção gráfica de uma função).

Pré-requisitos É necessário que você tenha lido e entendido a Aula 1 para dar

continuidade ao tema desta presente aula. Você vai precisarde ter o conceito de

função bem clarificado e questões como função definida em um ponto.

2.1 Introdução

É comum se falar em questões de simetria no cotidiano. Neste caso, a simetria

encontra-se geralmente associado a algo que possui uma similaridade com outrem.

Na Matemática, bem como em outras ciências, este termo também tem significado

idêntico, porém com ênfase exploratória no sentido de que esta discussão simpló-

ria não é suficiente. Nesta aula tentaremos abordar este aspecto de modo formal

e averiguar que ele pode ser muito útil em muitas situações deinteresse. A aná-

lise inicial dá-se sobre o que seja paridade de funções para em seguida destacar

aspectos relacionados a questões de periodicidade que algumas funções possuem e

que, de forma indireta, também serve, dentro deste contexto, como construção de

simetria. Em sua essência, esta aula servirá como uma préviapara a Aula 3 onde

você terá a oportunidade de usar os conceitos aqui mencionados.

A nossa discussão encontra respaldo para o fato que estamos,em essência,

interessados em “levantar” gráficos de funções ou relações apresentadas e que,

de um modo ou de outro, necessitam de uma análise gráfica que complementa a

averiguação analítica. Você verá que isto é, além de interessante, muito importante

19

em todas as suas discussões sobre um dado comportamento de uma função. Tema

este que sempre estaremos, vez ou outra, abordando. Assim sendo, aproveite para

começar.

2.2 Gráficos de Funções

Nesta aula estaremos dando continuidade ao estudo de funções. Em particular, é

de nosso interesse apresentar outros critérios que são de importância para o estudo

de funções. Estes critérios também são de importância para aplicações em diversas

áreas do conhecimento que façam uso dos conceitos apresentados na Aula 1. Nós

estaremos aqui traduzindo, em linhas gerais, os aspectos que dizem respeito a:

1. construção do gráfico de funções

2. os elementos essenciais para auxiliar na construção destes gráficos

3. aplicações diversas.

Dada uma funçãoy = f (x) é nossa perspectiva saber detalhes peculiares que nos

auxiliem a montar um estudo do comportamento da mesma. Traçar o estudo com-

portamental de uma função é, basicamente, fornecer elementos que a compõe e

que tornem simples nossa compreensão do que está acontecendo. É comum dizer

que uma imagem diz mais do que qualquer palavra. Isto não é diferente quando

estudamos funções. E o gráfico dela nos dá quase todas as informações necessárias

de modo imedidato. Ou seja, é uma fotografia da situação.

Mas antes de adentramos na representação gráfica de uma função se faz neces-

sário que estabeleçamos alguns novos conhecimentos que nospossibilite construir

o gráfico de uma dada função. Assim, iniciaremos esta aula destacando os pontos:

• funções pares e ímpares

• funções periódicas

• funções limitadas (ver Aula 3)

• zeros de funções e interceptos

• funções crescentes e decrescentes (ver Aula 3)

Nos parece que esta aula será um tanto quanto extensa. Não se antecipem a esta

primeira idéia e se detenham ao conteúdo da mesma. Desta forma estarão contri-

buindo para os objetivos da mesma.

20

2.2.1 Funções pares e funções ímpares

É comum questionarmos por algo que nos remete ao termo simetria. Este tema,

apesar de fazer parte contextual em sua simplicidade para o momento, torna-se um

tanto quanto extenso. Daí eu sugiro uma leitura no sítio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Simetria.

Entretanto, considere a Figura 2.2.1 (extraído do mesmo sítio) e que fornece uma

noção imediata do que podemos tratar como simetria.

Figura 2.2.1: Foto de uma flor destacando a simetria de suas folhas.

Perceba como a flor apresenta folhas extremamente semelhantes. Foque seu olhar

em uma das folhas e depois faça uma memorização da mesma. Agora passe o seu

olhar para a próxima folha. Você vai averiguar que nada mudou. Ou seja, o objeto

antes mudou apenas de posicionamento. Mas a figura é a mesma.

As funções pares e ímpares apresentam algum tipo de simetria, conforme veremos

logo a seguir. Primeiro, vamos defini-las.

2.2.2 Função Par

Uma funçãof (x) é ditapar se ocorrer de

f (−x) = f (x) .

Ou seja, ao trocar o sinal do argumento da função esta permanece inalterada. Con-

sideremos alguns casos.

Caso 1: seja f (x) = x2 . Esta função épar. De fato, trocandox por−x e obteremos

como resultado

f (−x) = (−x)2 = x2 .

Note que a mudança no sinal dex manteve “intacta” a função dada.

21

Caso 2: Considere agora a funçãog(x) = x2 +1. Podemos perceber que esta fun-

ção também é par. Senão vejamos. Podemos quebrar esta funçãocomo

g(x) = h(x)+ r(x) .

Ondeh(x) = x2 e r(x) = 1. Nós já sabemos, doCaso 1, queh(x) é uma

função par. Resta-nos questionar se a funçãor(x) é par. Notamente que esta

função é par. Perceba que qualquer que seja ox a função é sempre 1. Assim,

trocando ox por −x a funçãor(x) = 1, sempre. Logo,g(x) é uma função

par.

Destas discussões fica algo no ar. E onde está a simetria da função par? Este

questionamento parece-nos interessante e pode ser antecipadamente respondido.

Suponha que você disponha de um uma função par, digamos aquela doCaso 1.

Um conjunto de pontos desta função é sempre descrito pelo parordenado(x, y).

Assim, ao fazer a troca do sinal para o argumento da função devemos ter(−x, y).

Note que desta observação notamos a existência de uma simetria em relação ao

eixo das ordenadas,y. A Figura 2.2.2 mostra o que mencionamos através dos

gráficos das funções destacadas nos casos 1 e 2 acima.

x2

x2 +1

x

y

43210-1-2-3-4

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 2.2.2: Gráficos das funções apresentadas nos Casos 1 e2. Perceba a simetriadas mesmas em relação ao eixo das ordenadas,y. Por outro lado, todos os pontos(x, y) e (−x, y) pertencem a função.

2.2.3 Função Ímpar

Uma funçãof (x) é ditaímparse ocorrer de

f (−x) = − f (x) .

Ou seja, ao trocar o sinal do argumento da função esta troca desinal. Consideremos

alguns casos.

22

Caso 3: a funçãof (x) = x3 é ímpar. Ao trocarx por−x obteremos

f (−x) = (−x)3 = −x3 = − f (x) .

Caso 4: a funçãof (x) =1x

é notadamente ímpar. Vejamos: ao trocarx por−x na

função, encontraremos

f (−x) =1−x

= − 1x

= − f (x) .

E onde está a simetria da função ímpar? Neste caso observamosque se a função

é ímpar os pares(x, y) e (−x, −y) pertencem a seu gráfico. Ora estes pontos são

simétricos em relação a origem do sistema de coordenadas. Então existe uma si-

metria em relação a origem do planoxy. A Figura 2.2.3 mostra o que mencionamos

através dos gráficos das funções destacadas nos Casos 3 e 4 acima.

1x

x3

x

y

43210-1-2-3-4

86420

-2-4-6-8

Figura 2.2.3: Gráficos das funções apresentadas nos Casos 3 e4. Perceba a simetriadas mesmas em relação a origem dos eixos coordenados. Todos os pontos(x, y) e(−x, −y) pertencem a função.

2.2.4 Propriedades

Agora podemos discutir algumas propriedades interessantes que ocorre do manu-

seio entre funções pares e ímpares.

Propriedades 2.2.1.Considere quef (x) é uma função par eg(x) uma função

ímpar. Então,

P 1. f (x)g(x) resulta em uma função ímpar.

P 2.f (x)g(x)

resulta em uma função ímpar.

P 3. f (x)±g(x) não é função par nem ímpar.

23

Exemplo 2.2.1.Considere a funçãof (x) = x2 +2x+1. Discuta se esta função é

par, ímpar ou nem par nem ímpar.

Solução 2.2.1.Podemos escrever esta função como

f (x) = p(x)+q(x) .

Ondep(x) = x2 + 1 eq(x) = 2x. Já vimos que a funçãop(x) é par. Podemos ver

agora que a função q(x) é ímpar. De fato, trocandox por−x encontramos

q(−x) = 2(−x) = −2x = −q(x) .

Portanto,q(x) é uma função ímpar. Logo, pelas propriedades acima, a funçãof (x)

não é par nem ímpar.

Exemplo 2.2.2. Mostre a propriedade (a) acima, ou seja: sef (x) é par eg(x)

ímpar, então o produtof (x)g(x) é uma função ímpar.

Solução 2.2.2.De fato o produtof (x)g(x) fornece uma função ímpar. Apesar de

não necessário, defina

h(x) = f (x)g(x) .

Então, trocandox por−x, teremos:

h(−x) = f (−x)g(−x) = f (x) (−g(x)) = − f (x)g(x) = −h(x) .

O que mostra ser ímpar a função dada.

Exemplo 2.2.3.A função f (x) = x2 é par. Você pode dizer que a funçãog(x) =

f (x−1) também é par?!

Solução 2.2.3.A função

g(x) = f (x−1) = (x−1)2 .

A primeira vista pode-se pensar que a funçãog(x) pudesse vir a ser par. Entretanto,

façamos o procedimento de trocarx por−x. Encontraremos como resultado

g(−x) = f (−x−1) = (−x−1)2 = (x+1)2 .

Este resultado mostra que a função dada não é par e nem ímpar. Édeixado a você

completar um pouco mais os detalhes que corroboram esta nossa afirmativa. Você

pode fazer isto?!

Exemplo 2.2.4. Consideref (x) =√

x2 +1. Determine se esta função é par ou

ímpar. O que acontece com os valores def (x) quandox → ±∞?

24

Solução 2.2.4.Trocandox por−x encontramos

f (−x) =

√(−x)2 +1 =

√x2 +1.

Portanto, a função dada é par e seu gráfico é mostrado na Figura2.2.4. Quando

x → ±∞ os valores dex são “absurdamente” maiores do que 1 ex2 > 0. Nesta

condição podemos escrever

f (x) =√

x2 +1 =

√

x2

(1+

1x2

)= |x|

√1+

1x2 .

Nossa discussão logo acima permite concluir que 1/x2 → 0 quandox→±∞ cul-

minando com um comportamento linear para a funçãof , expressa pela relação

f (x) =√

x2 +1 = |x| , para quandox→±∞ .

√x2 +1

x

y

43210-1-2-3-4

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 2.2.4: Gráfico da funçãof (x) =√

x2 +1.

2.2.5 Funções periódicas

Uma função é periódica quando se repete a intervalos regulares de mesmo valor.1

Este intervalo é chamado período da funçãoτ . Quando isto ocorre a função obe-

dece a relação

f (x+ τ) = f (x) .

Afirmar que uma função é periódica é, em outras palavras, dizer que existe um

1Isto acontece quando observamos o movimento de planetas, por exemplo.

25

evento que se repete a intervalos regulares de uma dada grandeza de magnitude

fixa. As funções trigonométricas são os tipos mais comuns de funções que apre-

sentam tal característica.

B′B

A′A

x

y

6420-2-4-6

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 2.2.5: Gráficos de funções periódicas

A Figura 2.2.5 destaca a representação gráfica de dois “eventos” que se repe-

tem em intervalos regulares. Considere os pontosA e B como sendo a realização

de dois “eventos”. O evento emA acontece à esquerda do eixox em um dado mo-

mento e volta a ocorrer emA′. De modo similar o “evento” emB acontece num

dado momento e se repete logo mais adiante, emB′.

2.2.6 Interceptos de Funções

Dada uma funçãoy = f (x), esta pode vir a cruzar os eixosx e y. Os pontos destes

cruzamentos dey = f (x) são denominados interceptos. Em particular, quando a

função cruza o eixox dizemos que este valor dex anula a função e denominamos

este intercepto de “zero” (ou raiz) da função. Assim podemosresumir:

1. intercpetos de uma função são os pontos da forma(x⋆, 0) e (0, y⋆)

2. zerode uma função são valores dex⋆ que anulamy = f (x). Ou seja, sex⋆ é

zero (ou raiz) da função entãof (x⋆) = 0.

No que segue, alguns exemplos são realizados para firmar estas noções.

Exemplo 2.2.5.Considere a funçãof (x) = x2−3x+2. Identifique os interceptos

desta função.

26

Solução 2.2.5.A função dada pode ser reescrita como

f (x) = (x−1) (x−2) .

Assim, encontrar os interceptos da função é determinar os pontos(x⋆, 0) e (0, y⋆)

da função. Os pontos da forma(x⋆, 0) representam zeros da função.

O cálculo dos zeros da função, caso existam, se faz tomandof (x) = 0. Assim,

(x−1)(x−2) = 0 implica em dois valores parax, ou seja:x = 1 ex = 2. Portanto,

os zeros da função sãox = 1 ex = 2.

Por outro lado, quandox = 0 encontramos

f (0) = (0−1)(0−2) = (−1)(−2) = 2.

Portanto, os interceptos da função são os pontos(1, 0), (2, 0) e (0, 2), respectiva-

mente. Veja a representação gráfica da função destacada na Figura 2.2.6.

x

y

543210-1-2

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 2.2.6: Gráfico da funçãof (x) = x2−3x+2.

Perceba que a função dada cruza os pontos(1, 0) e (2, 0), ambos zeros da função.

E também cruza o eixoy no ponto(0, 2).

27

Localização doszerosde uma função

Sempre que possível podemos encontrar regiões onde se encontram os zeros de

uma dada função. O critério para isto é como segue.

Suponha uma funçãoy = f (x) definida em um dado intervalo. Assim, considere

quex1 e x2 são valores dex no intervalo que não representam zeros desta função.

Caso se cumpra a condição

f (x1) f (x2) < 0,

então existe pelo menos um zero def (x) entrex1 ex2. A Figura 2.2.7 ilustra o que

acabamos de mencionar.

6

-

x

y

6

x2?x1

f (x)

Figura 2.2.7: Representação esquemática de uma função que exibe trêszerosloca-lizados entrex1 ex2.

Note quef (x1) > 0 e f (x2) < 0, e para o intervalo(x1, x2) existem três valores de

x que anulam a funçãof (x). Situações mais complexas requerem análises mais

refinadas para a determinação dos zeros de uma dada função.

O procedimento adotado em nosso curso, em sua grande maioria, será a da obten-

ção dos zeros def (x) na forma analítica. Entretanto, vale ressaltar a importância

dos métodos numéricos para a determinação de zeros de funções. Mais adiante,

quando estivermos tratando sobre derivadas de funções, destacaremos, em linhas

gerais, um dos métodos numéricos para obtenção de zeros de funções.

Exemplo 2.2.6.Encontre os interceptos da funçãof (x) = 2x−x3.

Solução 2.2.6.A função dada possui interceptos nos eixosx ey se existirem va-

lores parax ey que obedeçam as condições: (i)(x, 0) e (ii) (0, y). Isto é o mesmo

que:

(x, f (x) = 0) e (0, f (0)) .

Em outras palavras,(x, f (x) = 0) significa encontrar valores parax que anulem

f (x), ou seja

2x−x3 = x(2−x2) = 0.

Os valores dex que satisfazem esta equação sãox = 0 e 2− x2 = 0. Desta úl-

28

tima encontramosx = ±√

2. Portanto, os interceptos ao longo do eixox são

(0, 0), (−√

2, 0) e (√

2, 0). Por outro lado, a condição(0, f (0)) tem como solução

o ponto(0, 0).

Exemplo 2.2.7.Dada a função

g(x) = 7senx+sen7x, com 06 x 6 10.

Identifique os possíveis zeros da função que se encontram neste intervalo.

Solução 2.2.7.O gráfico desta função é destacado na Figura 2.2.8. A partir dele

nós observamos que existem quatro valores dex que tornam nula a função. Neces-

sitamos identificá-lo analiticamente.

Sabemos que a funçãosenodex se anula para todos os valores múltiplos deπ. Em

outras palavras,

senx = 0,

quandox = kπ, ondek = 0, ±1, ±2, ±3 · · · .

Ora, se isto é verdade, então os zeros da função dada são:

x = 0, π, 2π, 3π, 4π .

Perceba que o período desta função éτ = π . Note a existência de raízes nos inter-

valos[2, 4], [6, 8] e [8, 10]. Em todos estes intervalos a função ora é positiva ora é

negativa.

x

y

1086420

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

Figura 2.2.8: Representação gráfica da funçãog(x) = 7senx+sen7x.

29

2.3 Conclusão

Nesta aula apresentamos os conceitos pertinentes a simetria e periodicidade de fun-

ções além de destacar critérios para determinação de interceptos. A contextualiza-

ção do comportamento da forma analítica da função quando suavariável assume

valores elevados foi discutido. Tal abordagem, apesar de ainda imatura, o auxiliará

possibilitando que, em aulas mais avançadas, você já tenha esta noção clarificada.

2.4 Resumo

Nesta aula estudamos:

1. funções pares e ímpares

• função é par sef (−x) = f (x)

• função é ímpar sef (−x) = − f (x)

2. função períodica uma função é periódica se existe um período τ tal que

f (x+ τ) = f (x)

3. x = r é um zero (ou raiz) de uma função sef (r) = 0.

30

2.5 Referências






31

Exercícios

E. 1 ◮ A partir da função

f (x) =x2 +3x−14

x+2,

obtenha:

(a) o domínio e imagem da função,

(b) seus interceptos,

(c) analise o comportamento da função quandox assume valores muito

próximos ax = −2,

(d) o comportamento da função quandox assume valores tendendo a+∞

e a−∞. Faça um esboço gráfico desta função.

E. 2 ◮ Identifique os domínios, imagens e zeros das funções abaixo:

(a) f (x) =x2−1x4−1

(b) f (x) = |x−2|

(c) f (x) =√

x2−9

(d) f (x) = cos

(2

x−1

).

Aproveite para esboçar os seus respectivos gráficos.

E. 3 ◮ Determine se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares nem ím-

pares.

(a) f (x) = x3−x+1

(b) f (x) =x2 +1x−1

(c) f (x) = xsenx

(d) f (x) = x3 cosx.

E. 4 ◮ Considere a função

f (x) = 7cosx+cos7x.

O período da função cosx é τ1 = 2π e o período de cos7x é τ2 = 2π/7.

Calcule o período desta função sabendo que este período é o mínimo múl-

tiplo comum deτ1 e τ2. É esta função par ou ímpar? Esboce o seu gráfico

para−3 6 x 6 3.

E. 5 ◮ Obtenha o gráfico das funções

(a) f (t) =1

1+ t2 parat ∈ [−10, 10] .

(b) f (t) =t

1+ t2 parat ∈ [−10, 10] .

E. 6 ◮ Determine o período e a frequência da funçãof (x) = −1+ 3senπ x bem

como esboce seu gráfico.

32

E. 7 ◮ As relações de adição de arcos de seno e co-seno são

sen(x±y) = senxcosy±cosxseny

cos(x±y) = cosxcosy∓senxseny.

Use estas para obter:

(a) cos2x = cos2x−sen2x

(b) sen2x = 2senxcosx

(c) cos2x =1+cos2x

2

(d) sen2x =1−cos2x

2

E. 8 ◮ Use as relações obtidas no Exercício 7 para mostrar que as funções tan-

gente e co-tangente possuem períodoτ = π. Em outras palavras, mostre

que:

tg(x+ π) = tgx

cotg(x+ π) = cotgx,

para todos os valores dex que define as funções.

E. 9 ◮ Determine os zeros das funções

(a) f (x) = 2|x+2|−3|x+1|

(b) f (x) = (x−1)3

(c) f (x) =x2−1x2 +1

(d) f (x) = 4cos(2x+1) .

E. 10◮ Considere a função quadrática

f (x) = βx2 +2kx+1, β ek são constantes.

(a) escreva uma condição entreβ ek de modo que a função possua ape-

nas raízes reais.

(b) faça um gráfico da relaçãoβ = β (k) e identifique a região dos possí-

veis valores assumidos paraβ e k, respectivamente.

(c) faça uma discussão sobre todas estes possíveis valores obtidos da re-

laçãoβ = β (k) .

33


E. 1 ⊲ (a) x 6= 0, y∈ R, (b) x = −32 ±

√652 (raízes) e parax = 0, f (0) = 7, (c) para

valores à direita dex = −2, f (x) → −∞ e para valores ligeiramente à es-

querda dex = −2, f (x) → +∞, (d) x → +∞, f (x) → +∞ e parax → −∞,

f (x) →−∞.

x2+3x−14x+2

x

y

86420-2-4-6-8-10

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

E. 3 ⊲ (a) nem par nem ímpar, (b) nem par nem ímpar, (c) par, (d) ímpar.

E. 5 ⊲ (a) A funçãof (t) =1

1+ t2 é par. Logo apresenta uma simetria em torno do

eixo y. Seu gráfico é mostrado abaixo. (b) A funçãof (t) =t

1+ t2 é ímpar

e, portanto, apresenta simetria em torno da origem. Seu gráfico é mostrado

abaixo.

x

y

1050-5-10

1.5

1

0.5

0

-0.5

(a) Gráfico da funçãof (t) =1

1+ t2 .

x

y

1050-5-10

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

-0.75

(b) Gráfico da funçãof (t) =t

1+ t2 .

E. 9 ⊲ (a) x = −7/5 e x = 1, (b) x = 1, (c) x = ±1, (d) x =(k+ 1

2 π)− 1

2 , para

k = 0, ±1, ±2, · · · , .

34

3 Construção Gráfica de Funções

Meta: Nesta aula revisitaremos os aspectos relacionados a natureza de funções,

seus gráficos e estudo dos mesmos, além de questões associadas a exemplo de

crescimento/decrescimento de funções, e raízes de funções.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno tenha o conhecimento essen-

cial para a construção de gráficos de funções através da determinação dos elemen-

tos básicos que auxiliam na composição do gráfico de uma função.

Pré-requisitosÉ necessário que você tenha lido e entendido as aulas 1 e 2 paradar

continuidade ao tema desta presente aula.

3.1 Introdução

Nesta aula temos como objetivo principal o estudo da análisegráfica de fun-

ções. Sempre é bom costume ter uma perspectiva do comportamento de uma dada

função em um dado intervalo. E isto é realizado mediante a representação gráfica.

Em muitas situações de interesse, o apelo a um gráfico de função é tão importante

quanto sua discussão analítica. Na verdade funciona como uma complementação

entre si. E, evidentemente, a representação gráfica de uma função corrobora para

a discussão analítica da mesma. Seus aspectos principais, aexemplo de simetria,

interceptos, pontos de divergências, comportamento assintótico etc.

De certa maneira, podemos fazer uma analogia entre (i) livroe filme e, (ii) fun-

ção e gráfico de função. No primeiro caso, o livro representa ahistória vivenciada

no filme com seus personagens reproduzindo cada história. Dooutro lado temos

uma função representando os aspectos essenciais da função.Em continuidade a

Aula 2, começaremos a aula pelo estudo de funções que exibem comportamento

limitado. Este aspecto está, de certa forma, associado, como veremos nas futuras

aulas, com o comportamento assintótico de funções. Ainda dentro do contexto de

análise gráfica de funções, estabeleceremos os critérios para determinar se uma

dada função é ou não crescente num dado intervalo.

35

3.2 Funções Limitadas

É comum encontrar funções que, por diferentes naturezas, apresentam limitações

em seus valores. Este aspecto é particularmente interessante em vários campos da

ciência. No curso de Cálculo 1 uma função com conjunto de valores limitados

pode, em um certo sentido, está intimamente associada ao estudo de seu compor-

tamento assintótico quando|x| → ∞ .1 Podemos definir, nominalmente, funções li-

mitadas em dois sentidos: (i) com valores limitados superiormente (“upper bound”)

e (ii) inferiormente (“lower bound”), respectivamente. Quando a função é limitada

em ambos os sentidos, diz-se que esta é simplesmente limitada.2 A Figura 3.2.1

mostra gráficos representativos de funções que exibem comportamento limitados.

Definição 3.2.1.Se f (x) é uma função tal que para uma constantem, f (x)≤mpara

todo x em um dado intervalo, a função é dita limitada superiormente. Por outro

lado, se existe uma constanten tal que f (x) ≥ n a função é limitada inferiormente.

Se f (x) obedece a relaçãon≤ f (x) ≤ m, diz-se que a função é limitada.

yy

x

(b)

x

(a)

Figura 3.2.1: Gráficos representando funções limitadas: (a) inferiormente e (b)limitada.

Exemplo 3.2.1. Considere a funçãof (x) = 2+ x definida para o intervalox ∈[−1, 2] . Discuta o comportamento “limitante” desta função.

Solução 3.2.1.Observe que os valores desta função se concentram no intervalo

y∈ [1, 4]. Portanto, a função é limitada e seus valores pode ser descrito, alternati-

vamente, como 1≤ f (x) ≤ 4.

Exemplo 3.2.2. Estude se a funçãof (x) = 2/x (ramo de hipérbole), parax > 0,

tem comportamento limitado.

Solução 3.2.2.Nas vizinhanças dex = 0 a função assume valores positivos que

crescem sem limites. Por outro lado, quandox→ ∞ os valores assumidos porf (x)

1A simbologiaX → b lê-se “X tende ab”.2O aluno não deve confundir o conceito de funções limitadas com limites de funções.

36

tendem à “zero”. Logo, a função é limitada apenas inferiormente pela retay = 0.

A Figura 3.2.2 mostra o gráfico def (x).

x

y

76543210-1

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 3.2.2: Gráfico da funçãof (x) =2x

, parax > 0.

3.3 Funções Crescente e Funções Decrescentes

Já vimos muitos aspectos pertinentes ao comportamento de funções. Nesta parte

estaremos interessados em destacar outro aspecto muito comum em funções. O de

ser crescente ou não em um dado intervalo. Isto ocorre comumente e é um aspecto

facilmente observável. No cotidiano sempre comentamos sobre algo que “flutua”

num sentido de dizer que algo ora está em alta ou em baixa. O mesmo pode ser

aplicado a funções. Neste contexto:

1. sex1 < x2 e f (x1) < f (x2) para todoxno intervalo, então a função é crescente

neste intervalo.

2. sex1 > x2 e f (x1) > f (x2) para todox no intervalo, então a função é decres-

cente neste intervalo.

A Figura 3.3.1 destaca o comportamento de crescimento e decrescimento de uma

dada função. A função apresenta uma região de crescimento até o pontoA. Possui

uma região de decrescimento deA atéB. Retornando a crescer a partir deste ponto.

Exemplo 3.3.1.Considere o Exemplo 2.2.4 da Aula 2. Encontre regiões de cres-

cimento e decrescimento da função dada naquele exemplo.

37

regiões de crescimento

B

A

x

y

43210-1-2-3-4

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figura 3.3.1: Comportamento de crescimento e decrescimento de uma dada fun-ção.

Solução 3.3.1.O gráfico da função mostra que a região de decrescimento daquele

exemplo encontra-se no intervalo de(−∞, 0), enquanto que parax ∈ (0, ∞) a fun-

ção é estritamente crescente.

3.4 Construção gráfica de funções

Estamos agora em condições de introduzir os aspectos básicos que nos permite

construir o gráfico de uma dada função. Mas antes de adentrarmos nesta seara,

permita-me que eu faça um comentário sobre algo que será largamente visto neste

curso. O primeiro comentário diz respeito ao que chamamos deesboço gráfico. E

o segundo diz respeito ao gráfico fidedigno da função. Este último não precisa-

mos tecer grandes comentários. Existem diversas formas de se obter um gráfico

fiel de uma função, dentre estas formas podemos citar o emprego de algum soft-

ware gráfico. Vamos então nos deter ao primeiro comentário. Quando falamos de

esboço gráfico de uma função estamos querendo dizer que o gráfico obtido desta

forma deve conter elementos qualitativos da função que nos dá a noção o mais fiel

possível de como seria a função caso utilizassemos um software para construir a

mesma. Ou seja, o esboço se refere a uma espécide de “rascunho” preliminar da

função. Entretanto, este “rascunho” deve ser tanto o quantomais próximo de um

gráfico obtido por meios mais avançados. Disto isto podemos introduzir o tema.

Num primeiro momento podemos dizer que todos, de uma forma oude outra, já

puderam observar um gráfico. Todos, em sua grande maioria, possui uma idéia

primeira da representação gráfica que observam neste primeiro momento. É exata-

38

mente isto o que ganhamos com a construção gráfica de uma dada função. Essen-

cialmente um gráfico pode ser obtido a partir de duas maneiras:

Caso 1: a partir de uma tabela de dados

Caso 2: a partir de uma expressão.

Quaisquer que sejam as situações envolvidas o que mais importa é a informação da

representação gráfica. Claramente que as duas formas de fornecer uma dada infor-

mação é benéfica. Entretanto, em muitos casos a sua análise pode ser, em algumas

situações, tanto complexa quantos sejam o número de dados a serem investigados

(Caso 1); ou a forma analítica da expressão dada (Caso 2).

Por outro lado, a construção ou esboço de um gráfico nem sempreé tão simples ou

imediato. Várias nuances devem ser observadas. Ainda assim, principiando com

elementos básicos podemos construir o esboço ou o gráfico de uma função. Vale

lembrar que estaremos tratando da construção de gráficos de funções de apenas

uma variável independente. Assim, todos os pontos do gráficoda função são dados

por um par ordenado(x, y).

Na Figura 3.4.1 encontramos a representação gráfica de um conjunto de dados

(t, v) da cotação dos valores das ações de uma dada empresa, ondet representa o

tempo ev o valor da cotação das ações.3

Figura 3.4.1: Representação gráfica de uma cotação de ações durante um dadoperíodo.

Na primeira coluna à esquerda da figura existe uma síntese dasvariações dos va-

lores das ações da empresa durante um dia. Na coluna da direita da mesma figura

existe um registro das informações destas ações em um período de tempo. Isto é

de suma importância para investidores. Daí, o emprego de gráficos serem tão im-

3Note que esta gráfico, não necessariamente, representa uma função.

39

portantes em diversas áreas do conhecimento humano. A informação se traduz de

modo imediato.

A construção gráfica de uma função pode ser obtida por:

(a) demarcação dos pontos(x, y)

(b) operacões com soma, subtração, multiplicação, divisãodos valores presentes

nos gráficos.

Além destas operações básicas, os elementos abaixo auxiliam na construção da

função. Trata-se, essencialmente, do comportamento da função. Dos quais pode-

mos destacar alguns, a saber:

T. 1 ⊲ transformações dos gráficos (deslocamento, alargamento).

T. 2 ⊲ determinação dos interceptos ao longo dos eixos x e y, respectivamente.

T. 3 ⊲ considerações de simetria e periodicidade da função

T. 4 ⊲ regiões de crescimento, decrescimento, comportamento assintótico entre

outros.

Das considerações acima, podemos realizar transformaçõessobre uma funçãoy =

f (x). Estas transformações dizem respeito a multiplicação, divisão, adição e sub-

tração de constantes ao argumento da função ou aos valores assumidos pela mesma.

Discutimos isto logo abaixo.

(a) y = f (x−a) . Uma translação ao longo do eixox de uma quantidadea,

ocorrendo:

(a) translação para a direita sea > 0

(b) translação para a esquerda sea < 0.

(b) y = f (x)+b. Translação ao longo do eixoy de uma quantidadeb, sendo:

(a) translação para cima seb > 0

(b) translação para baixo seb < 0.

(c) y = A f(x) . O gráfico é alargado/contraidoA vezes ao longo do eixoy.

(d) y = f (kx) . O gráfico é alargado/contraido de 1/k vezes ao longo do eixox.

Além destas podemos obter o processo de espelhamento. Para este caso teremos:

40

(i) y = − f (x) espelhamento em torno do eixox

(ii) y = f (−x) espelhamento em torno do eixoy.

Destas discussões anteriores estamos em condições de obterdiversos gráficos de

funções com os nossos conhecimentos adquiridos até agora. Vamos, então passar

por alguns exemplos para concretizar estes fundamentos.

Exemplo 3.4.1.Dada a funçãoy = f (x) . Informe que tipo de transformações são

obtidos sobre a função, para:

(a) f (2x)

(b) f (x+2)

(c) 2 f (x)

(d) f (x)+2.

Solução 3.4.1.Para este exemplo temos:

(a) uma contração de 1/2 ao longo do eixox.

(b) um deslocamento, para a esquerda, da função ao longo dex de duas unidades.

(c) uma dilação (alargamento) dos valores da função.

(d) uma translação emy de duas unidades para cima.

Exemplo 3.4.2.Considere as funções

(a) f (x) = x2 , definida para todox real e,

(b) f (x) =1x

, parax no intervalo(0, ∞) .

Esboce os gráficos de cada uma das funções transformadas abaixo e indique os

seus respectivos domínios.

(i) | f (x) |

(ii) f (x+1)

(iii) f (−x)

(iv) − f (−x) .

Solução 3.4.2.Neste exemplo iremos resolver o caso quando a função éf (x) =1x

.

Deixarei a outra função a seu cargo.

(i) O símbolo| · · · | , em matemática, indica que a quantidade, que se encontra

encerrada dentro do mesmo, deve sempre ser posto com sinal positivo ou

nulo, se este último for nulo.

41

Para o caso da funçãof (x) =1x

, todos os valores assumidos porx são positi-

vos. Daí os valores obtidos paraf (x) também serão positivos. Logo,

| f (x) | = f (x) =1x

.

O domínio de| f (x) | é o mesmo do da funçãof (x).

(ii) Substituindox por x+1 em f (x), teremos

f (x+1) =1

x+1.

Perceba que a transformação sobre a função original faz com que aquela seja

deslocada de uma unidade para a esquerda. Nesta nova representação a fun-

çãog(x) = f (x+1) =1

x+1passa a não ser definida emx = −1. O domínio

desta nova função passa a ser

x ∈ (−1, ∞) .

(iii) De modo análogo ao ítem anterior substituax por−x em f (x) . Daí teremos

f (−x) =1−x

= − 1x

= − f (x) .

Verificamos que o gráfico def (−x) é um espelhamento do gráfico def (x).

(iv) Por outro lado, o gráfico de− f (−x) coincide com o gráfico def (x). Note

que em ambas as situações os domínios def (−x) e o de− f (−x) são os

mesmos e iguais ao domínio que definef (x) =1x

. Os gráficos de todas estas

funções acima discutidas são mostrados na Figura 3.4.2.

Exemplo 3.4.3.Dada a função

f (x) =1x

+x.

Identifique o domínio, a imagem, seus possíveis zeros reais efaça o seu gráfico.

Além disto, obtenha as seguintes transformações e faça suasrepresentações gráfi-

cas.

(a) y = f (x/4)

(b) y = f (x+1)

(c) y = f (−x)

(d) y = − f (−x)+1.

Solução 3.4.3.Vamos discutir a solução desta questão particionando por ítem so-

licitados. Uma vez que o termo 1/x não permite a presença do zero em seu deno-

minador, então a função não está definida neste valor dex. Logo, seu domínio é

42

| f (x)|

x

y

6543210

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

f (x+1)

x

y

543210-1

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

f (−x)

x

y

6543210

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

− f (−x)

x

y

6543210

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

Figura 3.4.2: Representações gráficas das funções: (i)| f (x) |, (ii) f (x+ 1), (iii)f (−x) e (iv)− f (−x) .

todox com exceção dozero. Em notação matemática

{x ∈ R |x 6= 0} .

Já a imagem da função vai depender, evidentemente, dos valores assumidos para

x. Podemos questionar como se comporta a função nas vizinhanças dex = 0. Uma

tabela pode clarificar este comportamento. A Tabela 3.4.1 revela que a medida

que x → 0 (em valores positivos) os valores assumidos porf (x) cresce grada-

tivamente. De modo similar, para valores negativos dex → 0 a função assume

valores, também negativos, diminuindo sucessivamente. Diz-se, no primeiro caso,

que a função tende a+∞ e que tende a−∞, no segundo caso, nas vizinhanças

de x = 0.4 Este comportamento da função, nas vizinhanças dex = 0, se deve ao

termo 1/x. É deixado como exercício analisar o comportamento def (x) quando

x→ ±∞. Concluam, para este caso, quef (x) → ±∞.

4Averiguaremos isto com maiores detalhes nas próximas aulas, quando estudarmos limites defunções.

43

Tabela 3.4.1: Valores típicos atribuidos ax e os obtidos para a funçãof (x) =1/x+x. Perceba o comportamento da mesma nas vizinhanças dex = 0.

x f(x) = 1/x+x x f(x) = 1/x+x

−0,01 −100,01 0,014 100,01−0,009 −111,1201111 0,009 111,1201111−0,008 −125,008 0,008 125,008−0,002 −500,002 0,002 500,002· · · · · · · · · · · ·−0,001 −1000,001 0,001 1000,001

Os zeros def (x), caso existam, são obtidos def (x) = 0, ou seja:

1x

+x = 0.

Rescrevendo esta última encontramos

1+x2

x= 0.

Comox não é igual a zero, multipliquemos esta a equação dada pelo própriox para

obter:

1+x2 = 0.

Observamos que a mesma não admite valores reais parax. Portanto, a função dada

não possui zeros reais.

Por outro lado, a função dada é ímpar e apresenta simetria em torno da origem do

planoxy. Além disto, a mesma cresce parax ∈ (−∞, −2) e parax ∈ (2, +∞) .

Para averiguar isto, considereδ um número positivo e suficientemente pequeno

(muito próximo azero). Assim, para um dadox′, temos

f (x′−δ )− f (x′ + δ ) =(x′−δ

)−1−(x′ + δ

)−1−2δ .

A depender dos valores dex′ o resultado acima pode ser positivo ou negativo. Uma

vez que a função é contínua com exceção dex = 0, e ora cresce e depois passa

a decrescer, podemos questionar qual o valor dex′ em que a função possui uma

mudança de comportamento crescente para decrescente e vice-versa. Isto deve

44

ocorrer quandof (x′−δ )− f (x′ + δ ) = 0. Portanto,

−2δ(−1+x′2−δ 2

)

x′ 2−δ 2= 0.

Resolvendo esta última parax′ encontramos:

x′ = ±√

1+ δ 2 .

Ora, comoδ é tão pequeno quanto se deseja, entãox′ = ±1. Com isto, encontra-

mos que o valor paraf (x′) = ±2.

Destas considerações concluimos que imagem da função é dadapela relação

y ∈ (−∞, −2] ∪ [2, +∞) .

Trataremos agora das transformações solicitadas. Teremosentão:

(a) f (x/4) =1

x/4+ 4x =

4x

+ 4x. Um alargamento no argumento da função por

um fator de 4.

(b) f (x+1) =1

x+1+(x+1). Uma translação (para a esquerda) da função emx

de uma unidade.

(c) f (−x) =1−x

+ (−x) = −1x− x = − f (x). Um espelhamento da função em

relação ao eixox.

(d) − f (−x)+1=−(− f (x))+1= f (x)+1. Uma translação emy de uma unidade

para cima.

Os gráficos representativos das transformações discutidasacima estão destacados

na Figura 3.4.3.

Pra finalizar a aula, gostaria de discutir brevemente dois aspectos que são observa-

dos para a construção de um gráfico. Em todos os exemplos que pudemos apresen-

tar gráficos detalhamos estes em forma de uma curva continuada. Entretanto, nem

sempre o gráfico a ser analisado apresenta uma construção contínua dos dados. O

que podemos dizer é que uma representação gráfica pode ser de duas formas

• construção contínua

• construção discreta.

Este último caso é apresentado na Figura 3.4.4 onde durante um período de vinte

e quatro horas foi medida a temperatura em graus Fahrenheit de uma dada cidade.

45

f (x/4)

x

y

1050-5-10

10

5

0

-5

-10

f (x+1)

x

y

1050-5-10

10

5

0

-5

-10

f (−x)

x

y

1050-5-10

10

5

0

-5

-10

− f (−x)+1

x

y

1050-5-10

10

5

0

-5

-10

Figura 3.4.3: Representações gráficas das transformações:(i) f (x/4), (ii) f (x+1),(iii) f (−x) e (iv)− f (−x)+1.

Os dados colhidos mostram que o gráfico não tem uma construçãocontínua dos

dados mas sim pontos discretos para cada valor de horário da medição.

Figura 3.4.4: Representação discreta de um conjunto de pontos.

46

3.5 Conclusão

Nesta aula apresentamos aspectos que nos possibilitam analisar funções sob o

ponto de vista de sua representação gráfica. Para tal, várioselementos foram iden-

tificados e estudados. Ao mesmo tempo pudemos revisitar os aspectos pertinentes

a simetria de funções que ocorre em diversas funções e que, deuma forma ou de

outra, sempre aparece em diversos contextos. Por outro lado, o estudo gráfico das

funções nos permite analisar de imediato o que está a acontecer com um conjunto

de pontos e, com isto, identificar critérios que nos permita discutir - sob esta re-

presentação gráfica - o que está se passando com uma dada função. Ou seja, seus

aspectos comportamentais são identificados com seu esboço gráfico.

3.6 Resumo

Nesta aula estudamos: Função crescente e função decrescente

• sex1 < x2 acontecer def (x1) < f (x2) a função é crescente

• sex1 < x2 acontecer def (x1) > f (x2) a função é decrescente

Transformações sobre funções. Daday = f (x), então:

• f (x+a) a função sofre um deslocamento ao longo do eixox

• f (x)+b a função sofre um deslocamento ao longo do eixoy

• A f(x) a função sofre um alargamento/contração em seus valores

• f (kx) a função sofre um alongamento/contração emx de 1/k

• − f (x) a função é espelhada em relação ao eixox

• f (−x) a função é espelhada em relação ao eixoy.

47

3.7 Referências






48

Exercícios

E. 1 ◮ Considere os gráficos das funções mostrados abaixo. Identifique regiões

de crescimento e decrescimento.

(a) (b)

E. 2 ◮ Um dado do IBGE apresenta o número-índice do rendimento médio mensal

real do trabalho principal dos empregados no Brasil entre 1992 a 1999 (veja

Figura 3.7.1). Com base neste gráfico descreva em que momentos existem

crescimentos e decrescimentos do objeto pesquisado.

E. 3 ◮ Discuta os intervalos de limitações das funções:

(a) f (t) =1

1+ t2 , (b) f (t) =t

1+ t2 .

E. 4 ◮ Um projétil foi atirado verticalmente para o ar. A alturah do projétil foi

medida em vinte diferentes momentos,t, conforme a Tabela 3.7.1 em que

t é medido em segundos eh em metros.

Tabela 3.7.1: Dados para o Exercício 4.t 0.0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25h 0.0 11.6 22.1 31.2 39.2 46.0 51.5 55.7 58.5 60.6t 2.50 2.75 3.00 3.25 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00h 60.6 58.8 55.7 51.5 46.0 39.2 31.2 22.1 11.6 0.00

(a) Com base nestas informações construa o gráfico deste conjunto de da-

dos no planot h.

(b) Conecte com uma suave linha os pontos deste gráfico. Você acha que

este procedimento é uma aproximação razoável para o gráfico deh em

função det?

E. 5 ◮ Uma professora tem o seguinte problema:sabendo que as dimensões de

uma cartolina são x e y e o perímetro é p, então

49

Figura 3.7.1: Figura ilustrativa para a Exemplo 2.

(i) como escrever a equação que define a área desta cartolina?

(ii) onde existem regiões de crescimento e decrescimento desta equação?

(iii) para que valores de x e y tem a maior área possível?

E. 6 ◮ A função⌊x⌋ representa o maior inteiro menor ou igual ax e ⌈x⌉ o menor

inteiro maior ou igual ax. Seja f (x) = ⌊x⌋ eg(x) = ⌈x⌉.

(a) Qual o domínio def ? Qual o intervalo de variação def ?

(b) Determine o mesmo parag.

(c) Faça os gráficos def e deg para o intervalo[−5, 5] .

(d) Qual o gráfico deh(x) = ⌊x2⌋ para o intervalo[−2, 2]?

E. 7 ◮ Obtenha os zeros da função

f (x) = sen(π/4−x) ,

o período e esboce o seu gráfico.

50

E. 8 ◮ A reflecção do gráfico dey = f (x) é obtido dey = − f (x). Em cada das

funções abaixo obtenha o gráfico def (x) e de− f (x) .

(a) f (x) = x3 .

(b) f (x) = |x| .

(c) f (x) = |x|+ |x−1| .

(d) f (x) =

x2 +1, parax 6 0,

x3 +1, parax > 0.

E. 9 ◮ Encontre os pontos que as curvasf (x) = x4−2x3 + 2x−1 eg(x) = x3−x2−1 se intersectam.

E. 10◮ Detenha-se ao gráfico de uma funçãof (x) destacado na Figura 3.7.2 e

responda as questões que se seguem.

(a) informe quantas raízes possui esta função e localize os intervalos

onde as mesmas se encontram.

(b) determine os intervalos de crescimento e decrescimentoda função.

(c) obtenha o gráfico representativo deg(x) = f (x−1)+1.

x

y

6543210

3

2

1

0

-1

-2

-3

Figura 3.7.2: Gráfico da funçãof (x) para o Exercício 10.

51


E. 1 ⊲ (a) Decresce nos intervalos(−3, −1] e (1, 4). Cresce em(−1, 1] . (b) De-

cresce em(−2, −1] e (0, 2]. Cresce em(−1, 0] e (2, 3) .

E. 3 ⊲ (a)y ∈ (0, 1], (b) y ∈[−1

2, 12

].

E. 5 ⊲ (i) p2 = x+ y. SejaA a área, entãoA = xy= x

( p2 −x

)= −x2 + p

2 x, (ii) A

cresce parax∈(0, p

4

]e decresce parax∈

( p4 , p

2

], (iii) o maior valor deA

acontece emx = p4 ey = p

4 .

E. 7 ⊲ Os zeros de sen(π/4−x) são dados porx= π/4−kπ sendok= 0, ±1, ±2, · · · .Períodoτ = 2π .

sen(π/4−x)

x

y

1050-5-10

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

E. 9 ⊲ x = 0, 2,1±

√5

2.

52

4 Funções Exponenciais

Meta: Nesta aula alguns tipos novos de funções (além das já conhecidas) são intro-

duzidas. Enfatizaremos aspectos peculiares desta classe de funções e definiremos

outras que sãoderivadasdestas. A aula finaliza com exemplos específicos. Por

outro lado, aplicações e importância destas funções em aplicações da Biologia, da

Física e Engenharia entre outras ciências serão particularmente discutidas, ainda

que de modo breve, já a partir da Aula 14.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno solidifique os seus conheci-

mentos de funções ao mesmo tempo que passa a conhecer os aspectos construtivos

de novas funções. Espera-se que seja capaz, também, de reconhecer quando uma

função admite ou não inversa.

Pré-requisitos: Estudo de funções e gráficos de funções.

4.1 Introdução

Nesta aula apresentaremos conceitos de novas funções. Em suas especificida-

des, tais funções apresentam grande importância em diversos campos do conheci-

mento. Antes porém, destacamos a importância da obtenção defunções inversas.

Ou seja, dada uma funçãof (x) desejamos encontrar uma nova função, denotada

por f −1(x) que representa a inversa def (x). Este cálculo permite definir, também,

a construção de novas funções com aspectos bastantes interessantes. Mais uma

vez, voltamos a destacar a importância do critério de simetria que envolve funções.

Neste particular a simetria diz respeito ao cálculo da função inversa.

Ainda nesta aula estudaremos os conceitos de funções exponenciais e, por sua

vez, definindo as funções hiperbólicas, bem como definir a função logaritmo na

base natural. Ambas tem grande destaque em uma diversidade de aplicações reais.

53

4.2 Funções Exponenciais

Nas duas aulas anteriores estudamos os conceitos de uma função e praticamos

diversos exemplos a partir dos conhecimentos destes conceitos. Na aula de hoje

iremos estudar uma nova classe de funções. Em particular, servirá como ponto de

partida para definir funções inversas.

Esta função tem como característica possuir a variável independente,x, como po-

tência. Em outras palavras,

(4.2.1) f (x) = bx .

Onde aqui:

• b é chamada base, que assume valoresb > 0.

• x é a variável independente.

Antes de adentrarmos em peculiaridades desta função vamos tentar discutir aos

seguintes questionamentos:

2π > 2√

2 ? Ou 2π < 2√

2 ?.

Talvez seja mais simples responder a esta pergunta fazendo algumas comparações

adicionais. Vejamos.

(4.2.2) 20 < 21 < (· · · ) < 22 < (· · · ) < 2π .

Com esta indução, podemos completar alguns espaços vazios acima, destacado por

(· · · ) . Assim,

20 < 21 < (2√

2) < 22 < (23) < 2π .

Por outro lado, os valores acima são sempre crescentes quando lidos da esquerda

para a direita e decrescentes se lidos na ordem inversa.

Da mesma forma podemos garantir que

(12

)0

>

(12

)1

>

(12

)√2

>

(12

)2

>

(12

)3

>

(12

)π.

Agora, os valores decrescem da esquerda para a direita e crescem em sentido in-

verso.

Com isto, dá para se ter uma noção de como seria o gráfico deste tipo de função.

54

O gráfico de 2x juntamente com outras funções da formabx encontra-se destacado

na Figura 4.2.1.

Gostaria que você atentasse para as peculiaridades desta forma de função que des-

taco logo a seguir.

(a) todas cruzam o ponto(0, 1) .

(b) para quaisquerx1 6= x2, tambémy(x1) 6= y(x2) .

(c) também observamos, por exemplo, que

2x ≤ 3x ≤ 4x ≤ ·· · ≤ 8x ≤ ·· · , parax≥ 0.

3x8x8−x3−x2−x 2x

x

y

6420-2-4-6

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

Figura 4.2.1: Gráfico da funçãof (x) = bx, comb = 12, 1

3, 18, 2, 3 e 8.

O comportamento observado no segundo ítem acima nos diz que acorrespondên-

cia entre os elementos que compõem o domínio da função e aqueles que compõem

a sua imagem é sempreuma-a-um. Quando isto ocorre dizemos que a correspon-

dência ébiunívoca.

Definição 4.2.1.Uma função é biunívoca se para cadax1 6= x2, entãoy(x1) 6= y(x2) .

As propriedades da função exponencialf (x) = bx , parab > 0 são destacadas a

seguir.

Propriedades 4.2.1.Propriedades def (x) = bx :

1. b0 = 1

2. b1 = b

3. bxby = bx+y

4.bx

by = bx−y

5. (bx)y = bxy .

55

Podemos agora elaborar a regra prática para descobrir quando uma função é biuní-

voca. Tal regra é conhecida comoregra da reta paralela ao eixo x. A Figura 4.2.2

mostra o gráfico da funçãof (x) = 2x onde cruzamos uma reta paralela ao eixox.

Perceba que a reta cruza a função em apenas um ponto. Já na Figura 4.2.3, a função

dada não admite inversa para todo seu intervalo de validade.

reta paralela

x

y

420-2-4-6-8

3

2

1

0

-1

Figura 4.2.2: Função 2x admite inversa.

reta paralela

x

y

1050-5-10

2

1

0

-1

-2

Figura 4.2.3: Função não admite inversa.

É possível que uma dada função não seja inversível para todo oseu intervalo mas o

pode ser para uma região, propriamente escolhida. Este é o caso da função apresen-

tada na Figura 4.2.3 bem como também é o caso da funçãof (x) = x2. Esta última

não admite inversa para todo o seu intervalo de validade. Masse restringirmos

apenas uma parte, digamosx≥ 0, então esta função admite inversa.

A seguir não só discutiremos estas afirmações, mas também avaliaremos um nú-

mero de exemplos onde isto acontece.

4.3 Funções Inversas

Quando construimos o gráfico def (x) = 2x acima (veja Figura 4.2.2 da Seção 4.2),

percebemos que os pares(x, y), que representam os pontos do gráfico def (x),

podem ser construídos dando:

⇀ x e encontrandoy, ou ⇀ y e encontrandox.

Claramente que os valores obtidos em qualquer que seja esta ordem serão sempre

os mesmos. Ou seja,

• se fornecermosx = x1, encontraremosy1 = f (x1)

• se fornecermosy1, encontraremosx = x1.

56

Entretanto, sey = f (x) = bx tem pontos do gráfico dados por(x, y) = (x, bx) você

talvez questione qual seria o gráfico de(y, x) = (bx, x)? Façamos, então, o exemplo

abaixo para ter uma idéia.

Exemplo 4.3.1.Construa o gráfico dos conjuntos de pontos

A = {(−2, 1/4), (−1, 1/2), (0, 1), (1/2,√

2), (1, 2), (3/2, 2√

2), (2, 4)} ,

B = {(1/4, −2), (1/2, −1), (1, 0), (√

2, 1/2), (2, 1), (2√

2, 3/2), (4, 2)}

e discuta o comportamento do gráfico obtido.

conj. de pontos B

conj. de pontos A

x

y

543210-1-2-3

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

Figura 4.3.1: Gráfico dos conjuntos de pontos A (circulares)e B (pontos quadra-dos).

Solução 4.3.1.A marcação dos pontos dados no planoxy fornece como resultado

o gráfico mostrado na Figura 4.3.1. Note que o conjunto de pontos A é dado por

(x, y) e B é (y, x) demonstrando uma inversão de papéis para o conjuntoB. Em

palavras bem simples, tudo se passa como se o gráfico do conjunto de pontosB

tivesse “eixox” em y e “y” em x.

Por outro lado, no conjunto de pontosA o domínio é constituído pelos elementos

{−2, −1, 0, 1/2, 1,3/2, 2.}. Que é o conjunto imagem dos pontos deB. E vice-

versa em relação aos elementos que formam a imagem deA em relação ao domínio

deB.

Definição 4.3.1.Se f (x) é uma função biunívoca com domínioA e imagemB,

então sua inversa,f−1(x), possui domínioB e imagemA, e é tal que

f−1(y) = x⇐⇒ f (x) = y,

paray∈ B.

57

Exemplo 4.3.2. Considere a funçãof (x) = x2 definida para o intervalox ≥ 0.

Verifique se a mesma possui inversa.

Solução 4.3.2.Notadamente esta é uma função biunívoca no intervalo conside-

rado. Portanto, admite inversa. Observe que a construção dos pontos da função

dada são descritos por(x, x2). Assim, os pontos da função inversa devem ser

(x2, x). Isto é o mesmo que fazer(x,√

x) para pontos correspondentes da inversão.

Consequentemente, a função inversa def (x) = x2 para o intervalo considerado é

f−1(y) =√

y = x. Ou, como é mais comum,

y =√

x.

Como mencionamos sef (x) admite inversa então esta deve ser biunívoca. Além

disto, o seu gráfico é construido pela demarcação dos pontos

• (a, b) , ondeb = f (a) .

Por outro lado, a inversa def (x) possui gráfico com pontos dados por

• (b, a) , ondea = f (b) .

Destas duas observações acima podemos identificar a simetria entre a funçãof (x) e

sua inversaf−1(x) em relação a retay= x. De fato, as abscissas def (x) e ordenadas

de f−1(x) são iguais a “a”. Daí, a curva que tem coordenadas do tipo(x, x) éy= x.

A Figura 4.3.2 destaca o comportamento entre as funçõesf (x) e f −1(x) em relação

a curvay = x.

y

x

f (x)

f−1(x)

y = x

Figura 4.3.2: Representação gráfica de funções inversas. Perceba a simetria def (x) e f−1(x) em relação a retay = x.

Nota 4.3.1.Se as funçõesf (x) eg(x) são inversas entre sí, a representação gráfica

das mesmas no planoxyé simétrica em relação a retay = x.

58

Descrevemos a seguir a regra prática para determinar a função inversa def (x).

Regra para obter inversa

(i) averigue se a função dada,y = f (x), admite inversa.

(ii) determine, quando possível, a relaçãox = x(y) = f−1(y).

(iii) escrevaf−1 como uma função dex trocandoy por x.

Exemplo 4.3.3.Obtenha a função inversa def (x) = x+1.

Solução 4.3.3.De fato, usando a regra da reta paralela, a função dada admite

inversa. Devemos, agora, obter a inversa def (x) aplicando a regra descrita logo

acima. Escrevamosx = x(y) . Isto nos dá

x = y−1.

Trocandox por y chegamos a:

y = x−1.

Exemplo 4.3.4.Considere a função descrita pela regraf (x) =√

1−x2. Verifique

se a mesma admite inversa e esboce o gráfico da mesma.

x

y

10.50-0.5-1

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

Figura 4.3.3: Representação gráfica da funçãof (x) =√

1−x2.

Solução 4.3.4.Admitax1 6= x2 e f (x1) = f (x2) como hipótese verdadeira. Assim,

1−x21 = 1−x2

2 .

Isto é verdade sex21 = x2

2. Ou seja,x1 =±x2. Em outras palavras, para dois valores

dex simétricos em relação à origem, a função possui o mesmo valor. Portanto, a

59

função dada não admite inversa. O gráfico da funçãof (x) representa uma semi-

circunferência (x2+y2 = 1, paray≥ 0) e é destacado na Figura 4.3.3. Perceba que

a função dada só está definida para o intervalo[−1, 1].

4.3.1 Função logarítmica

Em nossa discussão no ínicio do estudo de funções exponenciais tratamos a com-

paração de alguns números. Perceba que a base escolhida na Equação (4.2.2) é

sempre igual a 2. Por outro lado, os expoentes (potências) desta base estão sempre

sendo alterados. Ou seja:

0 < 1 < (· · · ) < 2 < (· · · ) < π .

Então seria natural definir alguma função que tivesse esta característica. Em outras

palavras, reescrevamos a equação acima como:

0 · f (x) < 1 · f (x) < (· · · ) < 2 · f (x) < (· · · ) < π · f (x) .

De fato esta função existe e damos a ela o nome “função logarítmica”.

Definição 4.3.2.Seb > 0 e 6= 1, entãob é uma base admissível para a função

logarítmica. Para tal base,

f (x) = logbx,

representa a função logarítmica dex na baseb.

Comumente se emprega os logaritmos nas basesb= 10 eb= e= 2.71828· · · ,e denotados por

1. logx, logaritmo na base 10

2. ln x, logaritmo na base natural e= 2.71828· · · .

Conforme vimos no Exemplo 4.3.1, os conjuntosA eB representam pontos finitos

de duas funções inversas entre si. O primeiro conjunto de pontos (A) é da função

2x. Enquanto o segundo conjunto de pontos é da função logarítmica na base 2, ou

seja, f (x) = log2 x. Podemos resumidamente destacar que:

Nota 4.3.2. A função logarítmica é a inversa da função exponencial e tem as pro-

priedades que passamos a definir logo a seguir.

60

Propriedades 4.3.1.Propriedades def (x) = logb x.

(a) logb b = 1

(b) logb 1 = 0

(c) logb bx = x para todox real

(d) logb(xy) = logb x+ logby, para ambosx, y positivos

(e) logb(x/y) = logbx− logby, para ambosx, y positivos

(f) logb(xy) = ylogb x, parax > 0 e 6= 1 ey real

(g) logb x = logax/ loga b para ambosa eb > 0 e 6= 1.

Além destas propriedades, vale ressaltar que a função logarítmica tem domí-

nio (0, ∞) e imagem(−∞, ∞) . A Figura 4.3.4 representa os gráficos das funções

f (x) = ex eg(x) = lnx.

x

ln x

ex

x

y

43210-1-2

4

3

2

1

0

-1

-2

Figura 4.3.4: Gráfico das funçõesf (x) = ex e sua inversag(x) = ln x. Note asimetria em relação a curvay = x.

Alguns exemplos ilustrativos permitem-nos aplicar as propriedades da função lo-

garitmo dex.

Exemplo 4.3.5.Resolva a equaçãoax = b, se:

1. (a, b) = (10, 1000),

2. (a, b) = (10, 0.1).

61

Solução 4.3.5.Sabendo queax = b o valor dex é dado porx = loga b. Assim

(10, 1000) temosx= log101000. Ou seja, a pergunta que temos é:qual a potência

de 10 para que tenhamos1000como resultado? A resposta é certamente 103 =

1000. Logo,x = log101000= 3. Do mesmo modo o valor dex para o par(10, 0.1)

deve ser negativo. Ou seja, 10−1 = 0.1. Então, log100.1=−1. Podemos obter este

mesmo resultado usando as propriedades descritas logo acima, ou seja,

x = log100.1 = log101/10= log101− log1010= −1.

Exemplo 4.3.6.Resolva a equação log3 x4 + log3x3−2log3x1/2 = 5 parax.

Solução 4.3.6.Usando as propriedades de logarítmo descritas obtemos

4log3x+3log3 x− log3 x = 5

6log3 x = 5

log3 x = 5/6.

Portanto, a solução dex que satisfaz a equação dada éx = 35/6 .

Exemplo 4.3.7.Encontre a solução para a equação

2x

4+2x =14

.

Solução 4.3.7.Reescrevemos a equação como

2x =4+2x

4.

Simplificando, encontramos

2x =43

.

Aplicamos o logaritmo na base 2 a ambos os membros da equação acima para

encontrar

log (2x) = log

(43

).

Fazendo uso das propriedades da função logaritmica obtemos

x =log(

43

)

log 2.

Exemplo 4.3.8.Construa o gráfico da funçãof (x) = log

(x2 +1

x

).

Solução 4.3.8.A função dada não está definida parax 6 0. A mesma pode ser

reescrita como

f (x) = log(x2 +1

)− log x.

62

Quandox → 0, o termo log(x2 +1

)→ 0 e logx → −∞. Já quandox → +∞

ambos os termos são crescentes, contudo o primeiro termo é dominante e teremos

f (x) → log x para valores dex positivos e muito elevados. Por outro lado, a fun-

ção é contínua parax > 0 sendo decrescente nas vizinhanças dex = 0 (positivo)

e passando a crescer depois de um dado valor dex. Então f (x) possui algum va-

lor mínimo para algum intervalo finito(0, x). De fato, considereδ > 0 mas tão

pequeno quanto desejamos. Então,

f (x+ δ )− f (x) = log

[(x2 +2xδ + δ 2 +1

)x

(x2 +1) (x+ δ )

].

Paraδ → 0 devemos ter| f (x+ δ )− f (x) | → 0. Isto acontece se o argumento da

equação acima for igual a 1. Ou seja,(x2 +2xδ + δ 2+1

)x

(x2 +1) (x+ δ )= 1.

Resolvendo esta equação parax obtemos

x = − δ2±

√δ 2 +4

2.

Cuja solução paraδ → 0 éx = ±1. Entretanto, a solução negativa é desprezada,

porque a função não está definida parax < 0. Parax = 1, temosf (1) = log 2. O

gráfico desta função é apresentado na Figura 4.3.5. Observe todas as concordâncias

citadas na solução, em particular para quandox → ∞ .

log x

f (x)

x

y

76543210-1

2

1

0

-1

Figura 4.3.5: Gráfico de log

(x2 +1

x

)em conjunto com o gráfico de logx.

63

4.3.2 Funções Hiperbólicas

Ainda dentro do contexto de funções exponenciais, existe uma classe importante

de funções de larga aplicabilidade em ciências exatas e tecnológicas, bem como

áreas afins. Trata-se das funções hiperbólicas definidas como se segue:

(a) senhx =12

(ex−e−x), ∀x∈ R, seno hiperbólico

(b) coshx =12

(ex +e−x), ∀x∈ R, co-seno hiperbólico

(c) tanhx =senhxcoshx

, ∀x∈ R, tangente hiperbólica

(d) cotanhx =coshxsenhx

, x∈ R∗, co-tangente hiperbólica

(e) sechx =1

coshx, ∀x∈ R, secante hiperbólica

(f) cosechx =1

senhx, x∈ R

∗, co-secante hiperbólica.

Destacamos duas importantes características destas funções: (i) não são periódicas

e (ii) seus valores podem variar de−∞ a + ∞ . As representações gráficas destas

funções estão destacadas na Figura 4.3.6 e Figura 4.3.7, respectivamente.

coshxtghx

senhx

x

y

6420-2-4-6

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

Figura 4.3.6: Representações gráficas de senhx, coshx e tghx.

Exemplo 4.3.9.Partindo das definições para as funções hiperbólicas, mostre que:

(i) a função seno hiperbólico é ímpar

(ii) a função co-seno hiperbólico é par

64

cosechx

cotghxsechx

x

y

6420-2-4-6

3

2

1

0

-1

-2

-3

Figura 4.3.7: Representações gráficas de sechx, cosechx e cotghx.

Solução 4.3.9. (i) Trocandoxpor−xnós encontramos senh(−x)=12

(e−x−e−(−x)

)=

12

(e−x−ex) = −senhx. Portanto, a função seno hiperbólico é ímpar.

(ii) De modo similar encontramos para a função co-seno hiperbólico cosh(−x) =12

(e−x +e−(−x)

)=

12

(e−x +ex) = coshx. Logo, co-seno hiperbólico é fun-

ção par.

Exemplo 4.3.10.Mostre que senh(x+y) = senhxsenhy+coshxcoshy. Em par-

ticular, mostre que senh(2x) = 2senhxcoshy.

Solução 4.3.10.Pelas definições das funções hiperbólicas descritas anteriormente

percebe-se claramente que a função seno hiperbólico é ímpar, ou seja, senhx =

−senh(−x). Por outro lado, podemos escrever

ex = senhx+coshx

ey = senhy+coshy.

Destas duas equações podemos rapidamente obter

e(x+y) = senhxsenhy+coshxsenhy+senhxcoshy+coshxcoshy

e−(x+y) = senhxsenhy−coshxsenhy−senhxcoshy+coshxcoshy

Daí segue-se que

senh(x+y) =12

(e(x+y) −e−(x+y)

),

fornece o resultado desejado. Quandox = y obtemos senh2x = 2senhxcoshy.

65

4.4 Conclusão

Nesta aula apresentamos os aspectos inerentes do que seja uma função inversa e a

condição para a obtenção da mesma. Vários elementos foram analisados e estuda-

dos. Ao mesmo tempo pudemos revivemos a questão da simetria.Desta feita para

a análise dos gráficos das funções inversas. Introduzimos também novos conceitos

e analisamos a construção das funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas.

4.5 Resumo

Função exponencial: tem como característica possuir a variável independente,x,

como potência. Em outras palavras,

f (x) = bx .

Propriedades: A função exponencial possui as propriedades

(i) b0 = 1

(ii) b1 = b

(iii) bxby = bx+y

(iv)bx

by = bx−y

(v) (bx)y = bxy.

Inversa de uma função: se uma funçãoy = f (x) admite inversa, esta última é

obtida de forma analítica escrevendox = x(y). Ou seja,

f−1(y) = x.

66

4.6 Referências






67

Exercícios

E 1. Considerea = ln 2 eb = ln 3. Expresse

(a) ln 6

(b) ln 1.5

(c) ln 12

(d) ln 18,

em termos dea eb.

E 2. Considere a funçãof (x) = bx. Mostre quef (x+y) = f (x) f (y).

E 3. A função exponencial tem suas aplicações em diversas áreas do conhecimento

humano. Considere a funçãof (t) que descreve o crescimento exponencial de

um dado evento de acordo com a relação

f (t) = Ceat .

Sabendo quef (0) = 3 e f (5) = 7. Encontre a: (i) funçãof , (ii) sua taxa de

crescimentoa e (iii) o tempot0 para o qualf (t0) = 10.

E 4. Comprove que a funçãof (x) = x9 +x7 +x5 +x3 +x admite inversa, sem que

precise determinar a inversa.Sugestão:Avalie

f (x+ δ )− f (x) ,

com δ > 0 porém suficientemente pequeno. Esboce o gráfico def (x) para

x ∈ [0, 2]. A partir deste encontre o gráfico def−1(x) .

E 5. Suponha que uma funçãof (t) cresce exponencialmente e quef (τ) = 2 f (0).

Mostre quef (t + τ) = 2 f (t) para qualquert.

E 6. Se a sequência

x1, x2, · · · ,xn ,

forma uma progressão aritmética, mostre que

bx1, bx2, · · · ,bxn ,

forma uma progessão geométrica.

E 7. Calcule os valores dex e dey, sabendo que:

ln (xy) = 3

ln

(xy

)= 1.

68

E 8. Considere a funçãof (x) = xx , definida parax ≥ 1. Esta função é crescente

ou não?!

E 9. Resolva a equação

3x2−2x =13

.

E 10. Expresse

logb

(x3√y

z

),

em termos de logbx, logby e logb z.

69


E. 1 ⊲ (a) ln 6= ln 2+ ln 3 = a+ b, (b) ln 1.5 = ln 3− ln2 = b− a, (c) ln 12=

2 ln 2+ ln 3 = 2a+b, ln 18= 2 ln 3+ ln2 = 2b+a.

E. 3 ⊲ C = 3, a = 15 ln (7/3), t0 = 5 ln (10/3)

ln (7/3) .

E. 5 ⊲ Consideref (t) = keat. Entãof (τ) = 2 f (0) = 2k. Já f (t +τ) = kea(t+τ) =

eat (keaτ ) = eat f (τ) = f (t)k f (τ) = 2 f (t) .

E. 7 ⊲ x = ±e2, y = ±e.

E. 9 ⊲ x = 1.

70

5 Limites de Funções - Parte 1

Meta: Nesta aula, a continuidade ao estudo de funções é ditada peloestudo do

comportamento da mesma em situações críticas. Estas situações já tendo sido co-

mentadas nas aulas anteriores são agora discutidas em formaapropriada e especí-

fica.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno esteja apto a avaliar o com-

portamento de funções nas vizinhanças dos pontos de interesse ensejando o aspecto

do conceito de limites de funções. Possa também diferenciarlimites de funções e

valor da função no ponto além de saber empregar as “identidades” de limites (li-

mites notáveis).

Pré-requisitos: funções e gráficos de funções. Operações algébricas.

5.1 Introdução

Esta aula dar início ao estudo do Cálculo propriamente dito.Nesta parte in-

troduziremos os conceitos de limites de funções e sua analogia com o cálculo da

função no ponto. Diferenças sutis serão vivenciadas e vale apena serem menciona-

das como de suma importância. São nestas diferenças que podemos ter sucesso ou

insucesso na análise madura do estudo do comportamento de uma função. Ainda

assim, vale ressaltar que este tema inicial dá, por assim dizer, os fundamentos do

estudo que será delineado logo mais adiante e que diz respeito ao estudo de deri-

vadas de funções.

A importância deste assunto, a ser delineado nesta aula, será tão importante

quanto foram os temas já tratados nas aulas anteriores. E mais, dará uma noção

clara do que seja limite de uma função mesmo em situações em que esta não está

definida.

As propriedades dos limites e suas primeiras aplicações sãovisualidades de

modo o mais simples possível sem perder a noção do rigor que o tema exige. As-

sim, passamos a discutir o tema logo a seguir.

71

5.2 Limites de Funções

Nesta aula iniciaremos o estudo de limite de funções. Este tema é de suma im-

portância para o estudo das aulas posteriores. Em particular para o cálculo de

derivadas de funções. Sendo assim, desejamos que tentem ao máximo fixar-se nas

idéias e conceitos aqui destacados.

Para começar, considere a Figura 5.2.1.

y

x

f (x)

a a+ δa− δ

LL+ ε

L− ε ′

Figura 5.2.1: Aspecto geométrico do limite de uma função nasvizinhanças dex = a.

Nosso questionamento é buscar encontrar que a funçãof (x) assume à medida que

x se aproxima sucessivamente do valora.

Observando a Figura 5.2.1 podemos destacar quef (x) assume um dado valor, que

vamos denotar porL. Também é claro, da mesma figura, que temos duas prováveis

direções a escolher:

• aproximarx do valora da direita para a esquerda

• aproximarx do valora da direita para a esquerda.

Nos reportaremos a esta questão na Aula 6. Até porque será visto que isto é de

importância para definir se uma dada função admite ou não limite à medida quex

se aproxima dea, ou o que é mais comum: quandox → a, leia-se “quandox tende

aa”.

O limite de uma funçãof (x) quandox → a é definido como se segue:

Definição 5.2.1.Denomina-se o limite da funçãof (x) parax → a, o númeroL, se

para todo númeroε > 0, tão pequeno quanto se deseja, existe um númeroδ > 0 tal

que| f (x)−L| < ε com |x−a| < δ .

72

Em notação matemática o limite de uma funçãof (x) quandox → a se escreve

limx→a

f (x) = L .

Dentro deste contexto, verificaremos que o limite de uma função pode ser: (i) finito,

(ii) não finito, e discutiremos cada situação com suas peculiaridades.

Desejamos, agora, destacar um ponto pouco explorado por alguns autores mas

que deve ser mantido bem nítido em suas leituras diárias e ficaaqui em termos de

uma nota.

Nota 5.2.1. o limx→a

f (x) é, na verdade, uma operação atuando sobre a funçãof (x)

quando a variávelx se aproxima sucessivamente de um dado valora. Em outras

palavras, busca-se obter o comportamento da função nas vizinhanças dex = a.

Isto é bem diferente de avaliar a função quandox = a. Ou seja, conceitualmente

f (x= a) é diferente de limx→a

f (x) . Pode ocorrer dos valores assumidos porf (x= a)

e limx→a

f (x) serem iguais.

5.3 Propriedades de Limites de Funções

A seguir destacamos algumas propriedades dos limites de funções onde acre-

ditamos sejam suficientes para o presente contexto. Outras podem ser, a certo

modo, apenas situações particulares destas.

Para definir estas propriedades consideraremos duas funções f (x) e g(x) que

possuam limites finitosL1 eL2. Assim teremos:

(i) limx→a

k = k ondek é uma constante

(ii) limx→a

( f (x)±g(x)) = limx→a

f (x)± limx→a

g(x) = L1±L2

(iii) limx→a

( f (x)g(x)) = limx→a

f (x) limx→a

g(x) = L1L2

(iv) limx→a

[f (x)g(x)

]=

limx→a

f (x)

limx→a

g(x)=

L1

L2, L2 6= 0

(v) sepé um número racional para o qual[ f (x)] p está definida, então limx→a

f (x) p =

L p1

(vi) se f (x) é tal que define lnf (x) então limx→a

ln f (x) = ln(

limx→a

f (x))

.

Exemplo 5.3.1.Determine limx→−

√3

(x2−3

x+√

3

).

73

Solução 5.3.1.Perceba quex = −√

3 é um zero de ambos numerador e denomi-

nador da função dada. A idéia agora é proceder a um pouco de álgebra buscando

deixar a expressão “redonda”. Em outras palavras:simplificada. Uma vez que

x = ±√

3 é zero dex2−3, então podemos escrever

x2−3 = (x+√

3)(x−√

3) .

Logo, a função racional dada pode ser reescrita como

f (x) =(x+

√3)(x−

√3)

(x+√

3).

Simplificando, chegamos af (x) = x−√

3. Agora o limite pode ser calculado de

forma imediata, ou seja:

limx→−

√3

(x−

√3)

= −2√

3.

Exemplo 5.3.2.Obtenha limx→4

(5x+22x+3

).

Solução 5.3.2.Uma vez que a funçãof (x) =5x+22x+3

está definida no pontox = 4

o numerador da mesma assume o valor 22 quandox → 4 enquanto o denominador

assume o valor 11. Logo, limx→4

(5x+22x+3

)=

2211

= 2. O aluno pode averiguar este

resultado usando uma simples calculadora de bolso averiguando os dados contidos

na Tabela 5.3.1.

Tabela 5.3.1: Valores assumidos pela funçãof (x) =5x+22x+3

, para valores atribuidos

ax nas vizinhanças do pontox = 4.

x 5x+2 2x+3 (5x+2)/(2x+3)

3.88 21.4 10.76 1.9888475836431233.90 21.5 10.8 1.9907407407407413.98 21.9 10.96 1.9981751824817523.99 21.95 10.98 1.9990892531876143.999 21.995 10.998 1.9999090743771594.005 22.025 11.01 2.0004541326067214.003 22.015 11.006 2.0002725785934944.002 22.01 11.004 2.0001817520901494.001 22.005 11.002 2.000090892564988

Os dois exemplos acima mostram limites que apresentam valores finitos. E

além disto, não consideramos ainda a questão da direcionalidade destes limites.

Vejamos agora outros exemplos.

74

Exemplo 5.3.3.Considere a funçãof (x) =1x

, parax > 0. Avalie o limite def (x)

quandox → 0.

Solução 5.3.3.A função está descrita parax > 0. Assim, os valores dex são

tomados sucessivamente próximos a “zero” com valores positivos. A Tabela 5.3.2

apresenta valores da funçãof (x) e dex à medida que este tende a zero.

Tabela 5.3.2: Valores assumidos pela funçãof (x) =1x

, para valores atribuidos ax

nas vizinhanças dex = 0.

x 1/x x 1/x

0.01 100 0.00440 227.2727273· · · · · · · · · · · ·0.00998 100.2004008 0.00002 50000· · · · · · · · · · · ·

Percebemos nitidamente que à medida quex → 0 os valores assumidos pela

função sucessivamente crescem sem limites. Neste caso,

limx→0

(1x

)= ∞ .

Nestes dois últimos exemplos recorremos a tabelas para obter os valores do

limite de uma dada função apenas por questões de concretizaro que desejávamos

apresentar. Isto nem sempre se fará necessário.

Exemplo 5.3.4.Avalie

limx→a

(x2−a2√

x−√a

).

Solução 5.3.4.Neste exemplo o valor dex é literal. Ou seja, não assume um valor

numérico específico. Por outro lado, perceba que quandox = a ambos numerador

e denominador se anulam. Assim, temos de buscar refinar a forma expressa pela

função tentando simplificá-la. Isto é feito reescrevendo-acomo:

x2−a2√

x−√a·(√

x+√

a√x+

√a

)=

x2−a2

x−a

(√x+

√a)

= (x+a)(√

x+√

a)

.

Expandindo este último resultado encontramos

a3/2 +a√

x+√

ax+x3/2 .

Com isto em mãos podemos agora escrever;

limx→a

(x2−a2√

x−√a

)= lim

x→a

(a3/2 +a

√x+

√ax+x3/2

).

75

Lançando mãos das propriedades de limites de funções encontramos:

limx→a

(x2−a2√

x−√a

)= lim

x→aa3/2 + lim

x→a

(a√

x)+ lim

x→a

(√ax)+ lim

x→ax3/2 .

Portanto,

limx→a

(x2−a2√

x−√a

)= 4a3/2 .

Exemplo 5.3.5.Considere a funçãof (x) =x−1x2−1

. Calcule o limite desta função

quandox se aproxima sucessivamente de 1.

Solução 5.3.5.Vamos brincar um pouco neste exemplo. Tudo o que se quer é o

cálculo de

limx→1

x−1x2−1

.

Note que a função dada não encontra-se definida parax = 1. Assim, você pode

pensar no seguinte: “posso fazer me aproximar de 1 substituindo x = 1+ δ na

função dada e depois tomar o limite quandoδ → 0?” A resposta é sim. Faça isto

como segue.

f (1+ δ ) =1+ δ −1

(1+ δ )2−1=

δ2δ + δ 2 =

12+ δ

.

Perceba você que ao considerarmosδ → 0 estamos na verdade fazendox → 1.

Desta forma encontramos o resultado1

limx→1

x−1x2−1

= limδ →0

12+ δ

=12

.

Exemplo 5.3.6.Calcule limx→−2

1x

+12

x3 +8

.

Solução 5.3.6.Usando o mesmo procedimento do exemplo anterior faremos a

substituiçãox = −2+ δ . Assim, obtemos2

f (−2+ δ ) =

1x

+12

x3 +8=

12

[1

(−2+ δ )(12−6δ + δ 2)

].

Faça agoraδ → 0 e teremos

limx→−2

1x

+12

x3 +8

= lim

δ →0

12

[1

(−2+ δ )(12−6δ + δ 2)

]= − 1

48.

É comum fazer um estudo do aspecto formal da definição de limites de fun-

ções. Para tal, considere a funçãof (x) = x+ 3. Vamos estudar o comportamento

1Note que, com suas devidas precauções, o valor deδ (que tende a zero) pode ser ou não negativo.2Note que a função não está definida emx = −2.

76

desta função nas vizinhanças dex → 2. Já suspeitamos quef (x) → 5 quando

x → 2. Aqui a = 2 eL = 5. Precisamos, agora, estudar as diferenças

|x−2| e | f (x)−5| .

Escolhamosε > 0, porém, suficientemente pequeno. Assim,

| f (x)−5| = |x+3−5| = |x−2| < ε .

Isto é verdade se|x−2|< δ = ε . Vejamos outra situação. Consideremosf (x) = x2

e busquemos o comportamento def (x) quandox → 0. Mais uma vez suspeitamos

que f (x) → 0 quandox se aproxima sucessivamente de 0. Aquia = 0 eL = 0. De

modo similar, paraε > 0, temos

| f (x)−0| = |x2 | < ε ,

se

|x−0| = |x| < δ =√

ε .

Esta abordagem de cálculo de limites de funções é dito de emprego formal da

definição de limites. Na verdade, trata-se de demonstrar queuma dada função

atinge um dado limite sob estas considerações. Este processo, apesar de valioso,

torna-se não muito prático. É comum, agir de formas alternativas ou apenas usá-los

em situações de extremas necessidades.

A seguinte proposição é de grande utilidade em avaliações delimites de fun-

ções.

Proposição 5.3.1.A função f(x) → ∞ quando x→ a se e apenas se a função

1f (x)

→ 0 quando x→ a.

Como exemplo da aplicação desta proposição, considere a função f (x) =1

xsenxe

busquemos pelo limite desta quandox → 0. Façamosg(x) =1

f (x)= xsenx. Note

que quandox → 0, g(x) → 0. Considere,ε > 0, então3

|g(x)−0| = |xsenx−0| 6 |x| < ε ,

se 0< |x− 0| < δ , escolhendoδ = ε . Daí, segue pelaProposição 5.3.1que

f (x) → ∞ quandox → 0.

3Nesta discussão estamos usando o fato de que|xsenx|= |x| |senx|= |x|, uma vez que|senx|61.

77

5.4 Limites Notáveis

Alguns limites podem ser obtidos usando identidades bem estabelecidas ou

relações rebuscadas. Tais limites tomam o nome delimites notáveis. São exemplos

de limites notáveis:

N. 1 ⊲ limx→0

senxx

= 1

N. 2 ⊲ limx→0

ln(1+x)x

= 1

N. 3 ⊲ limx→0

(ex−1

x

)= 1

N. 4 ⊲ limx→0

(1+x)m−1x

= m

N. 5 ⊲ limx→0

ax−1x

= ln a

N. 6 ⊲ limx→∞

(1+

1x

)x

= e= 2.71828· · · .

O conhecimento destes limites notáveis devem ser observados como “identi-

dades” úteis a serem utilizadas. Logo abaixo descrevemos alguns exemplos com

este intuito.

Exemplo 5.4.1.Mostre que limθ →0

senθθ

= 1.

Solução 5.4.1.Existem diferentes modos de resolver este exemplo. Considere um

caso intuitivo e simples. No círculo trigonométrico, a função senθ está definida

pela cotay = CB, veja Figura 5.4.1. Note que o arcoAB= θ uma vez que o raio

da circunferência mede 1. Portanto, senθ = y. Assim, a relaçãosenθ

θ=

yθ

=CB

AB.

À medida queθ → 0 a cotay dimininui significantemente. Isto é o mesmo que

dizer que o pontoB tende aA. Então no limiar desta situação ambos, o arcoAB e

a cotaCB se “confundem”, ou seja,CB→ AB. Logo, no limiteθ → 0, obtém-se

limθ→0

senθθ

= 1.

y

x0 A

B

θC

Figura 5.4.1: Representação esquemática do limθ →0

senθθ

.

Exemplo 5.4.2.Obtenha limx→π/4

(senx−cosx

π −4x

).

Solução 5.4.2.Perceba que

senx−cosx = sen(π/4−x) =

√2

2(cosx−senx) .

78

Portanto, podemos reescrever o limite desejado na forma

limx→π/4

(senx−cosx

π −4x

)= − 2

4√

2lim

x→π/4

sen(π/4−x)(π/4−x)︸︷︷︸

igual a 1

= −√

24

.


(ex−1

x

).

Solução 5.4.3.A função ex é contínua para todo intervalo real da variávelx e

está esboçada na Figura 5.4.2 juntamente com a retay = x+ 1. A reta y = x+ 1

foi propositalmente inserida porque possui declividade igual a unidade, passa no

ponto (0, 1) e é tangente a ex neste ponto. Considere agora um ponto ao longo

do eixox tal que este esteja ligeiramente afastado da origem, digamos x = 0+ δ

ondeδ ≃ 0. Notadamentey = 1+ (0+ δ ) = 1+ δ . Uma vez que ex e y = x+ 1

são tangentes em(0, 1), conclui-se que nas vizinhanças dex → 0 vale a relação

eδ = 1+ δ . Portanto,

limx→0

ex−1x

= limδ→0

eδ −1δ

= limδ →0

δδ

= 1.

A Tabela 5.4.1 destaca alguns valores típicos assumidos porambas as funções

x+1

ex

x

y

43210-1-2-3-4

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 5.4.2: Esboço gráfico da função ex e da retay = x+1.

ex ey = x+ 1 nas vizinhanças dex = 0, ilustrando a concordância do resultado

obtido para o limx→0ex−1

x.

Exemplo 5.4.4.Encontre limx→∞

(x2 +1

x2

)x2+1

.

Solução 5.4.4.Existem maneiras alternativas de obter este limite. Contudo, faça-

mosz= 1+x2 . Assim, temos

limx→∞

(x2 +1

x2

)x2+1

=⇒ limz→∞

(z

z−1

)z

.

79

Tabela 5.4.1: Valores assumidos pela funçãof (x) = ex para valores atribuidos axnas vizinhanças dex = 0. Observe a concordância entre os valores assumidos porex ey = x+1.

x x+1 ex (ex−1)/x

0.001 1.001 1.00100050016671 1.000500166710.0002 1.0002 1.00020002000133 1.000100006650.00001 1.00001 1.00001000005000 1.000005000−0.0002 0.9998 0.999800019998667 0.99990000666−0.0001 0.9999 0.999900004999833 0.99995000167−0.00001 0.99999 0.999990000050000 0.99999500000.000001 1.000001 1.00000100000050 1.000000500.00000001 1.00000001 1.00000001000000 1.0000000.00000000001 1.00000000001 1.00000000001 1.0

Agoraz

z−1=

z−1+1z−1

=

(1+

1z−1

)z

.

Portanto,

limz→∞

(z

z−1

)z

= limz→∞

[(1+

1z−1

)z−1(1+

1z−1

)]

= limz→∞

[(1+

1z−1

)z−1]

limz→∞

[(1+

1z−1

)]

Note que

limz→∞

(1+

1z−1

)= 1 e lim

z→∞

[(1+

1z−1

)z−1]

= e.

Então,

limx→∞

(x2 +1

x2

)x2+1

= e= 2.71828· · · .

5.5 Teorema do Confronto

Nem sempre é possível obter limites de funções nas formas usuais de manipu-

lação algébrica de relações entre funções. Se isto é o caso, necessitamos introduzir

ferramentas que nos auxiliem na determinação de limites de funções. Nesta parte

introduziremos o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do

Sanduíche). A idéia deste teorema é destacado na Figura 5.5.1. Como pode ser

observado daquela figura, para um dado intervalo dex as funçõesf (x), g(x) eh(x)

80

cumprem a desigualdade

f (x) 6 g(x) 6 h(x) .

Baseado nesta informação podemos agora definir o Teorema do Confronto.

Teorema 5.5.1(Teorema do Confronto). Se f(x), g(x) e h(x) são funções definidas

no mesmo intervalo comlimx→a

f (x) = limx→a

h(x) = M e sendo f(x) 6 g(x) 6 h(x),

então

limx→a

f (x) 6 limx→a

g(x) 6 limx→a

h(x)

M 6 limx→a

g(x) 6 M .

Portanto, limx→a

g(x) = M .

f (x)

g(x)

h(x)

x = a x

Figura 5.5.1: Representação esquemática para o Teorema do Confronto.

Estamos em condições de apresentar alguns exemplos aplicando este teorema.

Exemplo 5.5.1. Determine limx→0

xsen

(1x

)e faça um esboço gráfico da função

f (x) = xsen

(1x

).

Solução 5.5.1.A função dada não está definida parax = 0. Por outro lado, senX

é uma função oscilante. Isto ocorre também para sen(

1x

). Esta oscilação torna-se

muito “nervosa” à medida quex → 0 (veja Figura 5.5.2). Por outro lado, quando

x → ±∞ encontramos4

limx→±∞

sen

(1x

)=

0+, parax → +∞

0−, parax → −∞ .

Denotamos por 0+ para o comportamento assintótico5 da função sen(

1x

)que tende

4É possível mostrar que sen(1/x) = 0 apenas parax = 1/kπ parak inteiro e 6= 0. Quandok = 0,x → ∞.

81

sen(1/x)

x

y

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 5.5.2: Representações gráficas da função sen(

1x

). Perceba, particularmente,

o comportamento nas vizinhanças dex = 0.

a zero parax → +∞, porém com valores positivos. Enquanto, 0− indica que o

comportamento assintótico tende a “zero” mas com valores negativos, quandox →−∞.

Podemos destacar que

limx→0

sen

(1x

)

não possui limite uma vez que a função oscila indefinidamenteassumindo valores

no intervalo[−1, 1]. Teremos então,

−1 6 sen

(1x

)6 1.

Multiplicando tudo porx e tomando o limite, encontramos

limx→0

(−x) 6 limx→0

(xsen

(1x

))6 lim

x→0(x)

0− 6 limx→0

(xsen

(1x

))6 0+ .

Desta análise concluimos que

limx→0

xsen

(1x

)= 0.

Por outro lado,

limx→±∞

xsen

(1x

)= lim

x→±∞

sen

(1x

)

(1x

) .

5Retomaremos esta discussão em maiores detalhes na Aula 6.

82

Contudo, a relação1x→0 parax → ∞. Então, substituindo 1/x (comx → ±∞)

por δ → 0±, obtemos

limδ→0±

sen(δ )

δ=

limδ→0+

sen(δ )

δ= lim

δ→0+

sen(δ )

δ= 1

limδ→0−

sen(δ )

δ= lim

δ→0

sen(−δ )

−δ= 1.

O gráfico dexsen(

1x

)é destacado na Figura 5.5.3. Perceba os detalhes que menci-

onamos na discussão do exemplo.

xsen(1/x)

x

y

21.510.50-0.5-1-1.5-2

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

Figura 5.5.3: Representação gráfica da funçãoxsen(

1x

). Perceba, particularmente,

o comportamento nas vizinhanças dex = 0.

Exemplo 5.5.2.Obtenha limx→∞

(2−cosx

x+3

).

Solução 5.5.2.Das propriedades básicas da funçãoco-seno, perceba que−1 6

cosx 6 1. Multiplicando toda a desigualdade por−1, e organizando as desigual-

dades encontramos

−1 6 −cosx 6 1.

Adicionando 2 a ambos os membros da equação acima obtemos

1 6 2−cosx 6 3.

Uma vez que estamos tomando o limite quandox → ∞ então é razoável que con-

sideremosx+3 > 0. Portanto,

1x+3

6

(2−cosx

x+3

)6

3x+3

.

83

Tomando o limite desejado encontramos

limx→∞

1x+3

6 limx→∞

(2−cosx

x+3

)6 lim

x→∞

3x+3

0 6 limx→∞

(2−cosx

x+3

)6 0.

Concluimos que:

limx→∞

(2−cosx

x+3

)= 0.

84

5.6 Conclusão

Nesta aula aludimos ao cálculo de limites de funções. Em particular, estabe-

lecemos que tomar o limite da função para um dado valor dex não é o mesmo que

calcular o valor da função para este valor dex. Esta sútil diferença é simples porém:

importante. Ainda dentro deste contexto, estabelecemos o Teorema do Confronto.

Em todas as seções realizamos diversos exemplos elucidativos.

5.7 Resumo

O limite de uma funçãof (x) à medida quex se aproxima de um dado valora

é expresso por

limx→a

f (x) .

Este limite admite duas situações:

1. finito

2. não finito

Nem sempre é possível determinar o limite de uma função usando apenas do for-

malismo algébrico. Técnicas são sempre bem vindas. E, nestesentido, o Teorema

do Confronto é bastante útil. Este nos diz que dada as funções

f (x), g(x) eh(x)

em um mesmo intervalo e sendo tal que

f (x) 6 g(x) 6 h(x)

então,

limx→a

f (x) 6 limx→a

6 g(x) limx→a

h(x) .

Se as funçõesf (x) eh(x) são tais que

limx→a

f (x) → M e limx→a

h(x) → M ,

então,

limx→a

g(x) → M .

85

5.8 Referências






86

Questões

Q. 1 ⊲ Use a identidade

(a−b)(a+b) = a2−b2

para determinar o limite de

limx→1

√1+3x−2

x−1.

Q. 2 ⊲ Use a definição para limite de uma funçãof (x) nas vizinhanças dex = a

para obter as condições que existe o limite, sabendo que:

(a) f (x) = 2x2 quandox → 1

(b) f (x) = x2 +2x−2 quandox → 0

(c) f (x) = x3 +x quandox → 1.

Q. 3 ⊲ Considere a funçãof (x) =1x

definida parax > 0. Use a definição usual de

limites de funções para mostrar que

limx→0

(1x

)→ ∞ .

Q. 4 ⊲ Consideref (x) = x2.

(a) Determineδ > 0 de tal modo que| f (x)−4| < 110

quando|x−2| <δ .

(b) Use a definição formal de limite de função para mostrar quef (x)

aproxima-se de 4 quandox tende a 2.

Exercícios

E. 1 ⊲ Calcule os limites.

(a) limx→0

(1−cosx

x

)

(b) limx→a

(x4−a4√

x−√a

)

(c) limx→2

(x2 +3x−10

x2−4

)

(d) limx→1

[(x2−2x

)√

(x2−1)

(x−1)

]

E. 2 ⊲ Use a definição de limite para provar cada um dos limites abaixo

87

(i) limx→2

(4x+5) = 3 (ii) limx→0

√x = 0.

E. 3 ⊲ Determine se os limites abaixo existem ou não e determine seus valores,

caso existam.

(a) limx→0

√x+1−1

x

(b) limx→0

(√1+

1x−√

1x

)(c) lim

z→1

√z+√

z+√

z

(d) limx→0

(a+x)2−a2

x

E. 4 ⊲ Avalie:

(a) limt→0

t3−2t2 +43t2−5t +7

(b) limx→0

sen3xx

(c) limx→0

x−senxx2

(d) limx→0

√1+x−1

3x

E. 5 ⊲ Encontre limx→∞

(x2(2+sen2x)

x+100

).

E. 6 ⊲ Use a aritmética de funções para determinar limx→−1

x2 +3x+22x2−8

.

E. 7 ⊲ Assuma que limx→−1−

f (x) exista e quex2 +x−2

x+36

f (x)x2 6

x2 +2x−1x+3

. En-

contre limx→−1+

f (x).

E. 8 ⊲ O cálculo do limite limx→0

senxx

= 1 pode ser alternativamente obtido usando

a construção da Figura 5.8.1. Nesta situação defina (com 0< x < π/2)

• a = área do segmento circular 0AD

• b = área do triângulo 0AB

• c = área do segmento circular 0CB.

Assim,a < b < c. Encontre as representações dos pontosA, B eC em ter-

mos de senx e cosx e mostre que 2a = x cosx, 2b = senxcosx e 2c = x.

Deste resultado encontre o resultado desejado.

E. 9 ⊲ Considere a funçãof (x) = xsen1x . Use o Teorema do Confronto para mos-

trar que:

(a) esta função encontra-se “aprisionada” porg(x) = ±x para valores fini-

tos dex.

(b) que existem infinitos pontos (para a região acima) de tangência def (x)

comg(x) dados por

(x⋆, y⋆) = (2π

(2k+1)−1 ,2π

(2k+1)−1) , ondek é inteiro.

88

0

D

B

A C

x

Figura 5.8.1: Construção esquemática para o Exercício 8.

(c) apesar de existirem infinitos pontos de tangências estesse concentram

nas vizinhanças dex = 0.

(d) a distância entre a origem e qualquer ponto de tangência mais distante

da mesma é2π√

2.

E. 10⊲ Mostre que:

(a) limx→0

sen4xsenxcosx

= 4 e limx→0

sen2xsen3xx2 = 6

(b) use estes resultados e verifique que

limx→0

(sen4x

senxcosx−2 lim

x→0

sen2xsen3xx2

)sen(ecosx) = 0.

Respostas dos Exercicios Ímpares

E. 1 ⊲ (a) 0, (b) 8a7/2, (c) 7/4, (d)−√

2.

E. 3 ⊲ (a) 1/2, (b) 0, (c)√

1+√

2 , (d) 2a.

E. 5 ⊲ ∞ .

E. 7 ⊲ limx→−1+

f (x) = −1.

89

6 Limites de Funções - Parte 2

Meta: Esta aula apresenta a questão de que o limite de funções só é admissível

e completo quando sua direção é especificada. Ao mesmo tempo alguns limites

de relaçõe já bem estabelecidos e de uso comum são introduzidos e investigados.

Destaque é dado ao Teorema do Confronto.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno esteja apto a avaliar o com-

portamento de funções nas vizinhanças dos pontos de interesse ensejando o aspecto

do conceito de limites de funções, particularmente em relação ao comportamento

assintótico das funções

Pré-requisitos: Gráfico de funções e limites de funções.

6.1 Introdução

Na aula anterior iniciamos o estudo de limite de funções. Vimos, naquela

oportunidade, que existia uma diferença sutil entre tomar olimite da função quando

x → a e f (a). Até porque, em muitas ocasiões a função não se encontra definida

para este valor dex, contudo pode ocorrer de existir um valor limite da mesma.

Ainda naquela ocasião já mencionávamos sobre a questão da direcionalidade do

limite da função. Esta é o objeto de estudo da presente aula. Aqui você verá que

o limite de uma função só estará bem definido pela consideração da análise dos

limites laterais ao ponto de consideração. Neste contexto,várias observações po-

derão ser extraídas deste estudo. É a partir desta abordagemque teremos condições

de principiar a discussão do comportamento assintótico da função nas proximida-

des de um dado valor dex. Este comportamento assintótico é comum em muitas

funções e são responsáveis pelo advento da divergência entre outros aspectos im-

portantes.

Ainda nesta aula, estudaremos o comportamento assintóticode uma função

não mais para um valor finito dex, mas também para valores não finitos dex.

Esta análise não se prende apenas ao caso quando|x| → ∞. É comum estudar

90

o comportamento “tendencioso” de uma função para valores elevados dex em

relação a um outro valor dex. Em outras palavras, é comum questionarmos como

se comporta a expressão da função, digamos,f (x) = 1x+1 quandox >> 1 (leia “x

muito maior do que 1).

Todos estes aspectos serão analisados de um modo completamente simples

nesta presente aula, qual espero que você possa se sentir apto a ter suas próprias

conclusões para casos similiares aquelas que aparecerão napresente aula.

6.2 Limites Laterais

Mencionamos na Aula 5 que devemos observar a questão da direcionalidade

do cálculo do limite a ser avaliado para uma funçãof (x) quandox → a. Isto por-

que uma função pode assumir comportamentos diferentes quandox se encontra nas

vizinhanças do valor considerado. Uma vez que a função só depende de uma variá-

vel independente, então faz-se necessário que determinemos os limites da função

em duas direções (veja Figura 6.2.1): Neste contexto, podemos definir completa-

-�-

a x

Figura 6.2.1: Representação esquemática para valores dex se aproximando peladireita e pela esquerda dea.

mente o cálculo do limite def (x) quandox → a determinando os limites à direita

e à esquerda dex = a, ou seja:

limx→a+

f (x) = LD , limx→a−

f (x) = LE .

Ondex → a± significa que os limites acima são tomados à direita dex = a e à

esquerda dex = a, com valoresLD eLE, respectivamente.

Com isto podemos inferir a existência ou não do limite da função f (x) em

x = a sob as condições:

• se os valores obtidos são finitos e iguais, dizemos que o limite existe.

• quando os limites laterais de uma funçãof (x) são distintos emx = a diz-se

que o limite da função não existe.

Alguns exemplos, abaixo, ilustram claramente estas afirmações.

91

Exemplo 6.2.1.Determine limx→2

√x3−8.

Solução 6.2.1.Façamos como no Exemplo 5.3.5 substituindox = 2 ± δ , com

δ > 0. Então,x = 2+ δ representax → 2+, enquantox = 2−δ significa tomar o

limite à esquerda do 2, ou seja,x → 2−. Assim, teremos

f (2+ δ ) =√

δ (12+6δ + δ 2)

f (2−δ ) =√

−δ (12−6δ + δ 2) , o termo−δ(12−6δ + δ 2)< 0.

Note que à esquerda dex = 2 a função não está definida. De fato, o domínio da

função é todox≥ 2. Assim,

limx→2

√x3−8,

não existe. Apesar disso,

limx→2+

√x3−8 = lim

δ →0+

√δ (12+6δ + δ 2) = 0.

Em algumas situações, vale ressaltar que o simples cálculo do limite da função

para um dado valor de sua variável independente também depende do contexto

físico em que esta se insere. Considere o exemplo que segue.

Exemplo 6.2.2.Sabemos que a Teoria da Relatividade apresenta várias grandezas

que se encontram expressas em termos da relaçãov/c ondev é a velocidade de

um ponto móvel ec é a velocidade da luz. Esta teoria também afirma que nenhum

objeto tem velocidade maior do que a velocidade da luz. Se o comprimento de um

dado objeto, que se move com velocidadev, é dado porL = L0

√1− v2

c2 , determine

limv→c

L0

√

1− v2

c2 .

Solução 6.2.2.Das considerações levantadas acima, devemos tratar o problema

resolvendo

limv→c−

L0

√

1− v2

c2 .

Assim, teremos

limv→c−

L0

√

1− v2

c2 = 0.

Isto significa que, para um observador fixo, o objeto de tamanho L = L0

√1− v2

c2

desaparece se o mesmo alcançar velocidade muito próxima a velocidade da luz.

Este fenômeno é conhecido como contração de Lorentz.

Exemplo 6.2.3.Obtenha o limite da funçãof (x) =x2−4x+3

x−1, quandox → 1.

92

Solução 6.2.3.A função f (x) não está definida emx = 1. Os limites laterais em

torno dex = 1 são, respectivamente:

limx→1+

x2−4x+3x−1

= limx→1+

(x−3) = −2,

limx→1−

x2−4x+3x−1

= limx→1−

(x−3) = −2.

Deste exemplo, percebe-se que o limite da funçãof (x) =x2−4x+3

x−1, quandox →

1, existe e vale−2.

Exemplo 6.2.4.Determine o limite da funçãof (x) =|x|x

em torno dex = 0.

Solução 6.2.4.A função descrita não está definida parax = 0. Por outro lado,

|x| =

x, parax≥ 0,

−x, parax < 0.

Usando esta informação, encontramos:

limx→0+

|x|x

= limx→0+

xx

= limx→0+

(1) = 1, e

limx→0−

|x|x

= limx→0−

−xx

= limx→0+

(−1) = −1,

Concluimos que a função dada não possui limite em torno dex = 0. Seu gráfico é

apresentado na Figura 6.2.2.

|x|x = −1, x < 0

|x|x = 1, x > 0

x

y

86420-2-4-6-8

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Figura 6.2.2: Representação gráfica da funçãof (x) =|x|x

.

93

6.3 Comportamento Assintótico

Um dos aspectos interessantes do curso de Cálculo 1 é a construção de esbo-

ços de gráficos de funções. Isto significa que o gráfico apresentado dá uma noção

do comportamento da função em um dado intervalo. Dentro deste contexto, faz-

se necessário o conhecimento de aspectos inerentes do comportamento da função

em pontos específicos bem como quando o valor da variável independente assume

valores que se distanciam em muito da origem. Em particular,busca-se o detalha-

mento de uma dada funçãof (x) quandox→ a, ou seja,

limx→a

f (x) .

O limite descrito pela equação acima pode ser de dois tipos:finito e não finito.

Ambos foram discutidos na Aula 5. Entretanto, os limites associados af (x) quando

x → a e que não são finitos são agora rediscutidos. É muito comum a obtenção

de limites em torno de um dado ponto emx = a onde a função dada cresce (ou

decresce) sem limites. Nestes casos, adota-se a notação

limx→a

f (x) = ±∞ .(6.3.1)

Este comportamento é, particulamente útil, para o esboço dos gráficos de funções.

São nestes pontos onde as funções assumemdivergência. Em outras palavras, a

função possui uma restrição devido a não validade da mesma noponto considerado.

Outra situação envolvendo limitos infinitos é quando a variável independente tende

a±∞ . Nestes casos, pode ocorrer:

limx→+∞

f (x) = b+(6.3.2a)

limx→−∞

f (x) = b− ,(6.3.2b)

ambos finitos.

Tanto a Eq. (6.3.1) quanto as Eqs. (6.3.2) referem-se ao comportamento assin-

tótico da função em torno de uma dada reta de um eixo específico(x ou y).

Do ponto de vista da Eq. (6.3.1) defini-se um limite assintótico da funçãof (x)

relativo a retax = a. Dizemos, então, quex = a representa uma assíntota vertical à

curva f (x).

Por outro lado, a Eqs. (6.3.2) destaca um limite assintóticoda função f (x)

relativo a retay= b+ quandox → +∞ ey= b− quandox → −∞, respectivamente.

Neste caso, dizemos queb+ eb− representam retas assíntotas horizontais. No que

segue, consideraremos alguns exemplos de fixação destas idéias.

94

Exemplo 6.3.1.Estude o comportamento da funçãof (x) =3x2−2

x2 +2x+2.

Solução 6.3.1.A função dada não possui nenhuma restrição real. Em outras pa-

lavras, a função possui domínio real. Até porque, as únicas restrições devidas ao

denominador pertencem ao conjunto dos números complexos. Por outro lado, as

raízes def (x) são dadas porx = ±√

63 . Enquanto parax = 0, f (0) = −1.

Tentaremos encontrar o comportamento assintótico def (x) quandox → ±∞,

já que não há nenhum comportamento assintótico vertical. Assim, teremos

limx→+∞

(3x2−2

x2 +2x+2

)= 3 lim

x→+∞

(1− 2

3x2

1+ 2x − 2

x2

)= 3

limx→−∞

(3x2−2

x2 +2x+2

)= 3 lim

x→−∞

(1− 2

3x2

1+ 2x − 2

x2

)= 3.

Logo, a assíntota horizontal valey = 3. Por outro lado, quandox = −4/3 a curva

cruza a assíntota horizontal.

Os resultados obtidos até o momento sugere que existe regiões de crescimento

e decrescimento. Precisamos encontrar os pontos onde isto acontece. Utilizaremos

o procedimento adotado no Exemplo 3.4.3. Fazendof (x′+δ )− f (x′−δ ) = 0 com

δ ≃ 0 (positivo), encontramos

−4δ(−3x′2−8x′ +3δ 2−2

)= 0.

Resolvendo parax′, teremos:x′ = −43 ±

√10+9δ 2

3 . Uma vez queδ é tão pequeno

quanto desejamos, então

x′ = −43±

√103

.

Nestes valores dex encontramos

f (x′) =

f(−4

3 −√

103

)= 6

(5+2

√10

10+√

10

)

f(−4

3 +√

103

)= 6

(−5+2

√10

−10+√

10

).

O gráfico da funçãof (x) é esboçado na Figura 6.3.1 e destaca o que já esperá-

vamos. Note que a função é crescente nos trechosx ∈ (−∞, −43 −

√103 ) e de

x ∈ (−43 +

√103 , +∞) . E é decrescente na regiãox ∈ (−4

3 −√

103 , −4

3 +√

103 ) .

Exemplo 6.3.2.Um estudante de Cálculo 1 estudou o comportamento da função

f (x) =5x+1x2−1

encontrando duas assíntotas verticais e uma horizontal. Entretanto,

95

assínt. horizontal

x

y

20151050-5-10-15-20

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

Figura 6.3.1: Gráfico da funçãof (x) =3x2−2

x2 +2x+2.

percebeu que o gráfico def (x) cruzava a assíntota horizontal na região entre as

duas assíntotas verticais. Você concorda desta abordagem realizada pelo aluno?

Solução 6.3.2.O campo de validade da funçãof (x) é todox 6= ±1. Desta forma

percebemos que para estes valores dex a curva pode vir a ter duas assíntotas verti-

cais: (i) uma parax = −1, (ii) e outra parax = 1, visto que

(a) limx→1+

(5x+1x2−1

)= +∞

(b) limx→1−

(5x+1x2−1

)= −∞

(c) limx→−1+

(5x+1x2−1

)= +∞

(d) limx→−1−

(5x+1x2−1

)= −∞ .

Por outro lado, o comportamento assintótico def (x) quandox→±∞ é dado

pelas relações

limx→+∞

(5x+1x2−1

)= lim

x→+∞

(5+1/x

x(1−1/x2)

)=

5+

tende a 0︷︸︸︷lim

x→+∞(1/x)

limx→+∞

(x)

1− lim

x→+∞(1/x2)

︸︷︷︸tende a 0

=5

limx→+∞

(x)= 0+ .

E, de modo similar

limx→−∞

(5x+1x2−1

)= lim

x→−∞

(5+1/x

x(1−1/x2)

)= 0−.

Estes resultados comprovam que há apenas a assíntota horizontal y = 0 para

quandox → ±∞. Resta saber se existe algum valor dex que cruza ou fere a

96

assíntota horizontal. O aluno deve atentar para o fato de quea assíntota horizontal

é uma linha (ou curva) para qual a curvaf (x) se aproxima desta, tanto quanto

possível, para elevados valores de|x|. Assim, nada impede que a curva possa vir

a ferir ou cruzar a assíntota horizontal para valores finitosde x. Note que para

−1< x < −1/5, f (x) > 0. Enquanto que para−1/5 < x < 1, f (x) < 0. Daí existe

pelo menos uma raíz da função localizada no intervalo(−1, 1). De fato, a raíz de

f (x) éx = −1/5. Já quandox = 0, f (0) = −1.

Em particular, a curva cruza a linhay = 0 parax = −1/5, que se encontra na

região entre as assíntotas verticais. A realização gráfica da função é destacada na

Figura 6.3.2. Perceba o comportamento def (x) nas vizinhanças dos valores de

x = −1 ex = 1, e para quando|x| → ∞.

x

y

43210-1-2-3-4

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

Figura 6.3.2: Gráfico da funçãof (x) = 5x+1x2−1 .

Exemplo 6.3.3.Obtenha o comportamento da funçãof (x) =1x

+1.

Solução 6.3.3.Percebe-se que o domínio da função dada assume todos os valores

possíveis dex com exceção dox = 0. Analisaremos o comportamento def (x) em

torno desta restrição. O limite da função em torno deste valor dex é obtido pelas

relações abaixo:

limx→0+

(1x

+1

)= +∞ , lim

x→0−

(1x

+1

)= −∞ .

Portanto, em torno dex = 0 a função assume valores que crescem sem limites para

x → 0+ e decrescem sem limites quandox → 0− . Logo, x = 0 representa uma

assíntota vertical à função dada. Esta e outras informaçõesdevem ser lembradas

97

no momento do esboço gráfico. Por outro lado, quandox→±∞, encontramos

limx→+∞

(1x

+1

)= 1+ , lim

x→−∞

(1x

+1

)= 1− .

Portanto,y = 1 representa a única assíntota horizontal à curvaf (x).

Precisamos descobrir os possíveis interceptos def (x). Facilmente percebemos

que x = −1 é o zero da funçãof (x) =1x

+ 1. Uma vez que a função não está

definida emx = 0, entãof (x) não cruza o eixoy. Um cálculo similar ao realizado

no exemplo anterior mostra que não há nenhum valor finito dex para o qual a

assíntota horizontal toca ou cruzaf (x).

Com todas estas informações em mente, estamos em condições de obter o

gráfico def (x). Este é destacado na Figura 6.3.3.

1x +1

assínt. vertical

assíint. horizontal

x

y

420-2-4

6

4

2

0

-2

-4

-6

Figura 6.3.3: Representação gráfica def (x) = 1x +1.

Exemplo 6.3.4.Calcule limx→+∞

(√x2 +4x+3−x

)

Solução 6.3.4.Tentaremos arrumar a expressão para a forma

(√x2 +4x+3−x

)×

(√x2 +4x+3+x

)

(√x2 +4x+3+x

) =4x+3√

x2 +4x+3+x.

Antes de proceder ao limite desta expressão precisamos escrevê-la sob a forma

98

adequada. Ou seja,1

limx→+∞

4x+3√x2 +4x+3+x

= limx→+∞

4x1+3/(4x)

x√

1+4/x+3/x2 +x

= limx→+∞

41+3/(4x)√

1+4/x+3/x2 +1

Quandox → +∞ os termos 3/(4x), 4/x e 3/x2 tendem a zero. Portanto, sob estas

considerações

limx→+∞

4x+3√x2 +4x+3+x

= 41√

1+1= 2.

Exemplo 6.3.5.Determine limx→−∞

√3x2 +2x+5

x.

Solução 6.3.5.Reescrevamos assim

limx→−∞

√3x2 +2x+5

x=

√3 lim

x→−∞|x|√

1+2/(3x)+5/(3x2)

x.

Note que agorax → −∞. Daí ao extrair o termo 3x2 da raíz aparecer o termo√

3|x| . Contudo, sendox < 0, devemos trocar|x| por −x e, de modo similar ao

exemplo anterior, os termos 2/(3x) e 5/(3x2) tendem a zero. Sob estas circustân-

cias, encontramos:

limx→−∞

√3x2 +2x+5

x=√

3 limx→−∞

(−x)

√1+2/(3x)+5/(3x2)

x= −

√3.

1Atente para o fato de quex → +∞. Você já descobriu o porquê desta alusão?!

99

6.4 Conclusão

Nesta aula estudamos o comportamento assintótico de uma função. Em par-

ticular, observamos que existem duas situações que isto acontece. Nestas duas

ocasiões nós obtemos assíntotas verticais e ou assíntotas horizontais a depender do

caso. Este estudo é importante porque complementa a análisegráfica da função e

dá uma idéia de situações físicas reais, conforme veremos emsituações posteriores.

6.5 Resumo

Cálculo dos limites laterais de uma funçãof (x)

limx→a+

f (x) = LD , limx→a−

f (x) = LE .

Se os limites forem iguais e finitos diz-se que a função possuilimite emx = a.

O comportamento assintótico de uma função pode ser obtido através das rela-

ções

limx→a

f (x) = ∞ , diz-se quex = a é assíntota vertical.

Se, por outro lado,

limx→±∞

f (x) = b+ (b−) , diz-se queb+ eb− são assíntotas verticais.

100

Exercícios

E. 1 ⊲ Encontre os limites

(a) limx→∞

cosxe−x

(b) limt→0

e−t −1t

(c) limx→0

(x2 +x)1/2−x1/2

x3/2

(d) limx→−∞

√x2 +1

x

E. 2 ⊲ Consideref (x)=2x

x−4. Avalie lim

x→4−f (x), lim

x→4+f (x), lim

x→−∞f (x) e lim

x→+∞f (x).

Use estas informações para construir o gráfico def (x) .

E. 3 ⊲ Avalie os limites, caso existam

(a) limx→0

|senx|x

(b) limx→0

√x3 +x2

x

(c) limx→0

√x+1−1

x

(d) limx→1

√x−1

x−1.

E. 4 ⊲ Suponha que uma função é descrita como

f (x) =

2x+1, sex 6 1

3x−1, sex > 1.

(a) Construa o gráfico def (x).

(b) Encontre o limx→1±

f (x).

(c) Existe limx→1

f (x)? Qual o seu valor?

E. 5 ⊲ Considere a funçãof (x) =sen(x2−1)

x . Encontre:

(a) os zeros desta função

(b) limx→0

f (x)

(c) limx→±∞

f (x)

(d) construa o gráfico def (x) .

E. 6 ⊲ Ainda em relação a função anterior. Mostre que a mesma mantém-se “apri-

sionada” pela curvay = ± 1x . Encontre os pontos de tangência def (x) com

y = ± 1x .

101


E. 1 ⊲ (a) 0, (b)−1, (c) 1/2, (d)−1.

E. 3 ⊲ (a) não existe, (b) não existe, (c) 1/6, (d) 1/2.

E. 5 ⊲ (a) x = ±√

kπ +1, ondek ∈ Z⋆, (b) lim

x→0+f (x) = −∞, lim

x→0−f (x) = +∞,

(c) limx→±∞

f (x) = 0, (d)

sen(x2−1)x

x

y

1050-5-10

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

102

6.6 Referências






103

7 Funções Contínuas

Meta: Nesta aula o estudo do limite de funções é utilizado para discutir a análise e

definição da continuidade da função em um ponto. Em particular, o estudo gráfico

de funções em conjunto com o estudo da continuidade da função, nesta parte, é

essencial.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno possa ter compreendidoo

conceito de função contínua, bem como saiba usá-lo em diferentes situações.

Pré-requisitos: Limites de funções.

7.1 Introdução

A idéia central da presente aula se conecta com todas as duas últimas aulas.

Isto porque estaremos tratando sobre continuidade de funções tanto em um ponto

quanto em um dado intervalo. Para tal se faz necessário que você tenha os conceitos

das duas aulas bem entendidos.

Quando mencionamos sobre função contínua queremos dizer que é possível

desenhar o seu gráfico sem a necessiade de retirar o lápis do papel. Esta idéia é,

talvez, a mais primária que possamos definir o que seja funçãocontínua. Dizer

isto é o mesmo que dizer que a curva não tem “rupturas”. Estas são apenas idéias

intuitivas para propor que uma função é contínua. Entretanto, os aspectos formais

desta definição está bem além desta simplicidade. Entretanto, este novo conceito

servirá para outras situações de interesse conforme veremos em outras aulas.

Nas aulas anteriores averiguamos diversos exemplos onde, nem sempre, a fun-

ção estava definida para dados valores dex. Na presenta aula, estaremos interessa-

dos em funções que não apresenta este tipo de comportamento.Os detalhes? Estes

você verá no decorrer da aula.

104

7.2 Funções Contínuas

Um dos aspectos formais da aplicação do conceito de limites reside no que diz

respeito a continuidade de funções. Existem três pontos principais que definem os

critérios para que uma função seja contínua em um pontox = a, quais sejam:

(a) a função estar definida emx = a

(b) existir o limite da função emx = a

(c) este limite ser igual ao valor da função emx = a, ou seja,f (a) = limx→a

f (x).

Se a função é contínua em todos os pontos de um dado intervalo então a função é

dita contínua no intervalo. Se, entretanto, pelo menos uma das condições anteriores

não for satisfeita, a função é dita descontínua e o ponto ondeisto ocorre é dito ponto

de discontinuidade.

Teorema 7.2.1.f é contínua em x= a se e apenas se

limx→a

f (x) = f (a) .

Exemplo 7.2.1.Considere a funçãof (x) = x2 −2. Discuta se a mesma é ou não

contínua emx = 2.

Solução 7.2.1.A função f (x) = x2−2 está definida emx = 2. Por outro lado,

limx→2+

(x2−2

)= 2 e lim

x→2−

(x2−2

)= 2.

Portanto, a função é contínua emx = 2. E não só isto, a função é contínua para

todox∈ R.

Exemplo 7.2.2.Discuta se a função

f (x) =

x, x≥ 0

x−1, x < 0,

é ou não contínua.

Solução 7.2.2.A função é constituida pela construção de duas retas,x ex− 1,

respectivamente. Por outro lado, no pontox = 0, obtemos os seguintes limites:

limx→0±

f (x) =

limx→0+

x = 0

limx→0−

(x−1) = −1.

105

x−1

x

x

y

6420-2-4-6

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

Figura 7.2.1: Gráfico da funçãof (x). Observe a descontinuidade da mesma nopontox = 0.

Portanto, apesar da função estar definida no pontox= 0 a mesma não possui limite

neste ponto. Daí a função dada não é contínua emx = 0. O Gráfico desta função

está destacado na Figura 7.2.1.

Exemplo 7.2.3.Obtenha o limite da funçãoy =

(21/(x−2) −1

21/(x−2) +1

)quandox→ 2 e

discuta todo o comportamento da função.

Solução 7.2.3.Nesta questão uma nova ferramenta de grande utilidade será em-

pregada para tratar este limite. Trata-se de realizar uma substituição de variável.1

Neste caso, emprega-sez= 1/(x−2) . Com isto, quandox→ 2, z→ ∞ . Em parti-

cular, quandox→ 2+, z→+∞ e quandox→ 2−, z→−∞ . Por outro lado, o limite

passa a ser escrito sob a forma

limz→∞

(2z−12z+1

).

Percebe-se que com esta transformação, os limites de 2z quandoz→ +∞ tende a

∞, enquanto que, quandoz→−∞, 2z → 0. Realizando os cálculos dos limites de

z→±∞, tem-se:

limz→+∞

(2z−12z+1

)= lim

z→+∞

(1−1/2z

1+1/2z

)=

lim

z→+∞(1)− lim

z→+∞(1/2z)

limz→+∞

(1)+ limz→+∞

(1/2z)

= 1,

limz→−∞

(2z−12z+1

)=

lim

z→−∞(2z)− lim

z→−∞(1)

limz→−∞

(2z)+ limz→−∞

(1)

= −1.

1O emprego de substituição de variáveis é comumente utilizada para facilitar o manuseio algé-brico. Contudo, este exemplo mostra que todo cuidado deve ser observado neste procedimento.

106

O estudo do comportamento dey =

(21/(x−2) −1

21/(x−2) +1

)quandox → ∞ é facilmente

encontrado lembrando que quando isto ocorre,z→ 0. Então,

limz→0+

(2z−12z+1

)= 0+, lim

z→0−

(2z−12z+1

)= 0− .(7.2.1)

O comportamento desta curva está esboçado na Figura 7.2.2 ilustrando a assíntota

horizontal,y = 0. Note que a retax = 2 representa uma reta onde ocorre a descon-

tinuidade da curva porém, não representa assíntota vertical. A notação 0± presente

na Eq. (7.2.1) significa que a curva assintota o eixox para valores positivos e nega-

tivos dey, respectivamente. Vale ressaltar que esta função não possui zeros apesar

que algum descuido possa permitir esta divagação, ou seja, indicandoz= 0 como

raiz de

(2z−12z+1

). Como foi ressaltado anteriormente,z→ 0 parax→ ∞, uma vez

quez= 1/(x−2).

x

y

86420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 7.2.2: Esboço gráfico da funçãoy =

(21/(x−2) −1

21/(x−2) +1

). Perceba a desconti-

nuidade da função emx = 2.

Proposição 7.2.1.Suponha que as funnções f(x) e g(x) sejam contínuas em x= a.

Então:

(i) f (x)+g(x) é contínua em x= a

(ii) f (x)g(x) é contínua em x= a, e

(iii) f (x)/g(x) é contínua em x= a se g(a) 6= 0.

Exemplo 7.2.4.Discuta a continuidade da funçãof (x) =x2 +x−2

x−1.

107

Solução 7.2.4.Trata-se de uma função racional do tipon(x)/d(x). Esta função

será contínua sed(x) 6= 0. Neste particular, o ponto onde a função não é contínua

é aquele ondex−1 = 0, ou seja,x = 1. Contudo,

limx→1

x2 +x−2x−1

= limx→1

(x−1)(x+2)

x−1= lim

x→1(x+2) = 3.

Este último resultado comprova que apesar da função não ser contínua emx = 1,

para este valor dex ela tem limite igual a 3.

Exemplo 7.2.5.Discuta onde a funçãof (x) =x2−3x+4

(x−2)(x−1)perde sua continui-

dade.

Solução 7.2.5.A função dada não é contínua em pontos onde seu denominador se

anular. Isto acontece emx = 1 ex = 2. Entretanto, nestes pontos

limx→1

f (x) =

limx→1−

x2−3x+4(x−2)(x−1)

= +∞

limx→1+

x2−3x+4(x−2)(x−1)

= −∞ .

E,

limx→2

f (x) =

limx→2−

x2−3x+4(x−2)(x−1)

= −∞

limx→2+

x2−3x+4(x−2)(x−1)

= +∞ .

Ao contrário do exemplo anterior, neste caso a função dada diverge nos pontos de

discontinuidade. O gráfico desta função é destacado na Figura 7.2.3.

x

y

6420-2-4

20

10

0

-10

-20

Figura 7.2.3: Representação gráfica da funçãof (x) =x2−3x+4

(x−2)(x−1).

108

Considere a função

f (x) =

1 sex≥ 0

0 sex < 0.

Claramente esta função não é contínua emx = 0, uma vez que

limx→0−

f (x) = 0 e limx→0+

f (x) = 1.

Mas e o que dizer sobre a continuidade da função no intervalo[0, 1]? Naturalmente

iremos observar que para todox∈ (0, 1) a função é contínua, até porque

limx→0+

f (x) = f (0) e limx→1−

f (x) = f (1) .

Esta discussão nos permite definir a continuidade de uma função em relação a um

intervalo fechado.

Definição 7.2.1.Suponha quea eb ∈ R com a < b. Dizemos que uma função

f (x) é contínua no intervalo fechado[a, b] se f (x) é contínua no intervalo aberto

(a, b) e se

limx→a+

f (x) = f (a) e limx→b−

f (x) = f (b) .

Proposição 7.2.2(Teorema de Weierstrass). Suponha que uma função f(x) seja

contínua no intervalo fechado[a, b], onde a, b ∈ R com a< b. Então existem

números reais x1, x2 ∈ R tal que f(x1) 6 f (x) 6 f (x2) para todo x∈ (a, b). Em

outras palavas, a função admite um valor de máximo e um valor de mínimo no

intervalo [a, b] .

Considere a funçãof (x) = 4xe−x2−1 definida parax ∈ [a, b] = [−2, 2] . O grá-

fico desta é apresentado na Figura 7.2.4 e destaca claramentea proposição acima.

mínimo

máximo

x

y

21.510.50-0.5-1-1.5-2

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 7.2.4: Gráfico da funçãof (x) = 4xe−x2−1 .

109

Exemplo 7.2.6.A função degrau é de grande utilidade em engenharia e definida

como

u(x) =

0, sex < 0

1, sex > 0.

Esboce o gráfico de:

(a) f (x) = 2u(x)−1 (b) f (x) = 4u(x)cosx,

e averigue se as funções dadas são ou não contínuas.

Solução 7.2.6.(a) Pela definição da função degrau esta é nula para valores de

x < 0 e vale 1 parax > 1. Assim,

2u(x)−1 =

−1, parax < 0,

1, parax > 0.

Claramente esta função não é contínua emx = 0, visto que

2u(x)−1

x

y

43210-1-2-3-4

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Figura 7.2.5: Representação gráfica de 2u(x)−1.

limx→0

(2u(x)−1) =

limx→0−

(2u(x)−1) = 2 limx→0−

(u(x))− limx→0−

(1) = −1

limx→0+

(2u(x)−1) = 2 limx→0+

(u(x))− limx→0+

(1) = 1.

Concluimos que a função 2u(x)− 1 não é contínua emx = 0. Seu gráfico é

destacado na Figura 7.2.5

(b) Para esta função encontramos

f (x) = 4u(x) cosx =

0, parax < 0,

4 cosx, parax > 0.

110

De modo similar ao ítem anterior, é deixado como tarefa mostrar que esta

função também não é contínua emx = 0.

O gráfico da funçãof (x) = 4u(x) cosx encontra-se esboçado na Figura 7.2.6.

4u(x)cosx

x

y

1086420-2-4-6

4

2

0

-2

-4

Figura 7.2.6: Gráfico da função 4u(x) cosx.

Teorema 7.2.2(Teorema de Bolzano). Se y= f (x) é contínua no interbalo a6

x 6 b, então f(x) atinge um valor intermediário entre os valores f(a) e f(b). Em

particular, se f(a) < 0e f(b) > 0, então existe um x0, a< x0 < b, tal que f(x0) = 0.

Em muitas discussões realizadas nas aulas passadas você utilizou bastante este

teorema, ainda que de modo informal, particularmente no cálculo de zeros de fun-

ções.2

Considere o polinômio

p(x) = a0 +a1x+a2x2 + · · · +ak xk ,

com k ∈ N, ondea0, a1, · · · , ak são constantes. Se{xn} é uma sequência com

limk→∞

xn = c então

limk→∞

p(xn) = limk→∞

(a0 +a1xn +a2x2

n + · · · +akxkn

)= a0 +a1 lim

k→∞xn +a2 lim

k→∞x2

n + · · · +ak limk→∞

xkn

=a0 +a1 limk→∞

xn +a2

(lim

k→∞xn

)2

+ · · · +ak

(lim

k→∞xn

)k

=a0 +a1c+a2c2 + · · · +ak ck = p(c) .

2Veja Aula 2 Seção 2.2.6.

111

Concluimos deste resultado que para qualquer polinômiop(x) e qualquer realc,

limx→c

p(x) = p(c) .

Em outras palavras,p(x) é completamente contínua.

Exemplo 7.2.7.O potencialV de uma distribuição de carga em um dado ponto do

eixo x é representado por

V(x) =

2π σ(√

a2 +x2−x)

parax≥ 0

2π σ(√

a2 +x2 +x)

parax < 0,

em quea e σ são positivos. Discuta seV(x) é contínua emx = 0.

Solução 7.2.7.Tomando o limite a direita e a esquerda dex = 0 obtemos

limx→0

V(x) =

limx→0−

2π σ(√

a2 +x2 +x)

= 2π σ a

limx→0+

2π σ(√

a2 +x2−x)

= 2π σ a.

Perceba que o limite emx = 0 existe e vale 2π σ a. Por outro lado,V(0) = 2π σ a.

Portanto, a funçãoV(x) é contínua emx = 0.

112

7.3 Conclusão

Nesta aula frisamos os aspectos inerentes de continuidade de função. Pude-

mos observar que existem dois critérios básicos para que umafunção seja contínua:

1. que esteja definida no ponto e 2. que possua limite neste ponto igual ao valor da

função no ponto. Notamos também que a função pode ser contínua apenas em al-

gumas regiões. Isto é importante e conduz a aspectos físicosbastante interessantes

mas que não cabe mencionar neste contexto.

7.4 Resumo

Uma funçãof (x) é contínua emx = a se:

(a) f (x) está definida emx = a

(b) limx→a

f (x) = f (a) . Este limite, deve ser finito.

Uma função racional da forma

r(x) =n(x)d(x)

é contínua para a região onded(x) 6= 0. Neste particular, todo polinômio é contí-

nuo.

113

7.5 Referências






114

Exercícios

E. 1 ⊲ Identifique se as funções abaixo são ou não contínuas

(a) f (x) =1x2

(b) f (x) =x|x|

(c) f (x) = x1/3

(d) f (x) =x2 +x−2

x−1.

E. 2 ⊲ Averigue se a função

f (x) =

2−x, parax 6 3,

0.1x2, parax > 3,

É ou não contínua. Esboce o seu gráfico.

E. 3 ⊲ Dada a curva ilustrada na Figura 7.5.1, identifique os pontos(A,B,C,D,E,F,G,H, I )

onde a função é: (i) contínua, (ii) não contínua .

Figura 7.5.1: Figura representativa para o Exercício 3.

E. 4 ⊲ Encontre o conjunto de valores dex para os quais a função

f (x) =sen ln(x+1)

x2−4,

é contínua.

E. 5 ⊲ Discuta a continuidade das funções

(a) f (x) = 4x4−3x2 +2

(b) f (x) = 18x+2x

(c) f (x) =

3x+2, sex < 1

3x+1, sex≥ 1.

E. 6 ⊲ Mostre quef (x) =√

x é contínua a direita dex = 0.

115

E. 7 ⊲ Dada a funçãof (x) =sen(x2 +1

)

x. Discuta se a mesma é ou não contínua.

E. 8 ⊲ Estude o comportamento da funçãof (x) =sen(x−2)

x2−4e construa o seu

gráfico.

E. 9 ⊲ Encontrea eb para que a função

f (x) =

−x3 +1 sex < 0,

ax+b se 06 x 6 1,

√x+2 sex > 1,

seja contínua para todox.

E. 10⊲ Uma dada funçãof (x) é contínua no intervalo[0, 1] e 06 f (x) 6 1 para

todox ∈ [0, 1]. Mostre que existec ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.

116


E. 1 ⊲ (a) não contínua, (b) não contínua, (c) contínua, (d) não contínua.

E. 3 ⊲ Contínua nos pontosA,C,E,F e I e não contínua emB,D,G eH .

E. 5 ⊲ (a) contínua, (b) discontínua, (c) discontínua.

E. 7 ⊲ A função não é contínua emx = 0.

E. 9 ⊲ a = 2 eb = 1.

117

8 Derivadas de Funções

Meta: Nesta aula o estudo e análise do que seja derivada de uma função é apresen-

tada. Ao mesmo tempo um estudo qualitativo do que se concebe como derivada de

uma função em relação a sua variável é discutido.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno possa ter ser capaz de en-

tender o significado de derivada de uma função, realizar cálculos para obtenção da

mesma e buscar resolver algumas aplicações iniciais.

Pré-requisitos: Limites e continuidade de funções.

8.1 Introdução

Até o presente momento estudamos vários aspectos inerentesdo comporta-

mento de uma função. Entretanto, muito ainda resta ser abordado e nesta aula

pretendemos dar novos enfoques da análise do comportamentode uma função bem

como estudar novos conceitos que derivam desta abordagem. Devemos ressaltar

que os estudos realizados até o momento foram passos iniciais nesta análise e que

estamos em um momento oportuno de investigar mais a fundo tudo o que foi visto

empregando novas ferramentas.

Nesta aula principiamos o estudo de derivada de uma função como uma análise

do comportamento daquela em relação a sua variável independente e isto tem sua

importância em diversas áreas do conhecimento humano e veremos como extrair

uma gama de informações a partir deste conceito. Por outro lado, este estudo

inicial de derivada de funções fornece o conhecimento mínimo para o conceito

de equações diferenciais que envolve derivadas de funções em um contexto mais

avançado.

118

8.2 Derivada de Funções

Considere uma funçãof (x), a priori, contínua em um dado intervalo. Costuma-

se discutir como é o comportamento da variação desta função em relação a sua

variável, x, em torno de um dado ponto arbitrário quandox varia muito pouco

em relação ao seu valor, ou seja,x→ x+ ∆x. A esquematização é apresentada na

Figura 8.2.1.

y

x x+ ∆x x0

A

B

t

B′

∆x

∆y

f (x)

Figura 8.2.1: Representação esquemática da variação da função f (x) em torno deum dado ponto.

A discussão geométrica define, a princípio, a reta secante que passa pelos pon-

tos A eB localizados sobref (x) em (x, y) e (x+ ∆x, y+ ∆y), respectivamente.

Mantendo-se o pontoA fixo faz-se o pontoB “deslizar” sobre a curvaf (x). Com

isto, outra reta secante é obtida, nominalmente, a reta passando pelos pontosA eB′.

Procedendo desta forma outras retas secantes serão obtidas. Entretanto, à medida

que∆x → 0 as retas secantes estarão sucessivamente se aproximando da situação

de tangente ao pontoA, definida pela retat.

Perceba que ambos∆x e ∆y tendem a zero à medida que o pontoB “desliza”

sobre a curvaf (x) e a declividade da retat é dada pela relação

lim∆x→0

∆y∆x

.

O estudo da variação da funçãof (x) em relação a sua variávelx quando∆x → 0

é denominada taxa de variação def (x) na variávelx, comumente conhecida por

derivada da funçãof (x) em relação ax. Em síntese, a derivada de uma funçãof (x)

é o estudo do comportamento da variação def (x) em relação a variávelx entrex e

x+ ∆x no limite em que∆x → 0.

São exemplos típicos de cálculo de derivadas de funções (dentre outros):

119

(i) o estudo da variação do número de bactérias em um dado sistema à medida

que o tempo evolui,

(ii) o comportamento da aceleração e desaceleração do movimento de um corpo

em movimento,

(iii) o crescimento do raio de uma gota ao cruzar por uma camada de nuvem,

A derivada de uma função é agora estabelecida.

Definição 8.2.1.Seja f uma função definida no intervalo[a, b] ea < x < b. Então

a derivada def emx, denotada porf ′(x), é definida como

f ′(x) = lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

,(8.2.1)

se o limite existe.1

Em particular,f ′(a) é a derivada def (x) emx = a. E não só isto, a derivada

de f (x) em x = a mede a declividade da reta tangente naquele ponto. Reveja a

construção geométrica na Figura 8.2.1.

Exemplo 8.2.1.Calcule a taxa de variação da funçãof (x) = k ondek é uma cons-

tante, não necessariamente nula.

Solução 8.2.1.Uma vez que a função dada é uma constante, conclui-se que não

existe variação emf (x). Portanto,∆ f (x) = f (x+ ∆x)− f (x) = 0. Assim,

f ′(x) = lim∆x→0

∆ f (x)∆x

= 0.

Exemplo 8.2.2.Obter a derivada da funçãof (x) = x.

Solução 8.2.2.A derivada def (x) denotada porf ′(x) é obtida usando a Eq. (8.2.1).

Portanto,

f ′(x) = lim∆x→0

(f (x+ ∆x)− f (x)

x

)= lim

∆x→0

x+ ∆x−x∆x

= lim∆x→0

∆x∆x

= lim∆x→0

(1) = 1.

Observe, mais uma vez, que efetuamos as simplificações necessárias e, por fim,

tomamos o limite na expressão resultante.

Exemplo 8.2.3.Encontre a derivada def (x) = x2 .

Solução 8.2.3.Novamente, usando a Eq. (8.2.1) obtemos:

f ′(x) = lim∆x→0

x2 +2x∆x+(∆x)2−x2

∆x= lim

∆x→0

2x∆x+(∆x)2

∆x.

1Retomaremos este ponto na Aula 9.

120

Simplificando a expressão, encontraremos

f ′(x) = lim∆x→0

(2x+ ∆x) = lim∆x→0

(2x)+ lim∆x→0

(∆x) .

O termo lim∆x→0

(2x) não tem dependência com∆x. Logo,

f ′(x) = lim∆x→0

(2x)+ lim∆x→0

(∆x) = 2x+ lim∆x→0

(∆x) = 2x.

Exemplo 8.2.4.Calcule a derivada def (x) =1x

.

Solução 8.2.4.Façamos este cálculo em forma destacada e lembremos quex 6= 0

nos cálculos que se sucedem. Assim

f (x+ ∆x) =1

x+ ∆x, e f (x) =

1x

.

Logo,

∆ f (x) = f (x+ ∆x)− f (x) =1

x+ ∆x− 1

x=

x−x−∆x(x+ ∆x) x

=−∆x

(x+ ∆x) x.

Estamos agora em condições de avaliarf ′(x). Portanto,

f ′(x) = lim∆x→0

∆ f (x)∆x

= lim∆x→0

( −∆x∆x (x+ ∆x) x

).

Simplificando a equação acima, encontraremos

f ′(x) = lim∆x→0

( −1(x+ ∆x) x

)=

−1lim

∆x→0[(x+ ∆x) x]

.

Ainda podemos reescrever a expressão acima como:

f ′(x) =−1

lim∆x→0

[x2(

1+∆xx

)] =−1

lim∆x→0

(x2) lim

∆x→0

(1+

∆xx

) .

Perceba que o termo lim∆x→0

(x2) não tem nenhuma dependência com∆x. Logo,

lim∆x→0

(x2)= x2 , e lim

∆x→0

(1+

∆xx

)→ 1.

Desta forma, encontramos

f ′(x) = − 1x2 .

Perceba que a derivada de uma funçãof (x) é uma outra funçãog(x) = f ′(x) .

Entretanto, algumas considerações devem ser destacadas sobre a derivada de uma

função. Nem sempre uma função possui derivada para todos os valores dex. No

exemplo acima, a derivada def (x) = 1x não está definida parax = 0. Os exemplos

a seguir destacam outras situações importantes.

121

Exemplo 8.2.5.Considere a funçãof (x) = xn paran≥ 2 inteiro. Calculef ′(c) .

Solução 8.2.5.Para todoc ∈ R temos

f (x)− f (c)x−c

=xn−cn

x−c.

Simplificando esta equação encontramos

xn−cn

x−c= xn−1 +cxn−2 +c2xn−3 + · · ·+cn−3x2 +cn−2x+cn−1 .

Tomando o limite quandox → c, encontraremos

f ′(c) = limx→c

(xn−1 +cxn−2 +c2xn−3 + · · ·+cn−3x2 +cn−2x+cn−1) .

Quandox → c cada termo da expressão acima contribui comcn−1 . Ao total sãon

termos. Logo,

f ′(c) = limx→c

(xn−1 +cxn−2 +c2xn−3 + · · ·+cn−3x2 +cn−2x+cn−1)= ncn−1 .

Exemplo 8.2.6. Determine a derivada def (x) =√

x . Calcule f ′(a) , ondea é

positivo e real.

Solução 8.2.6.De modo semelhante ao exemplo anterior teremos

f (x)− f (a)

x−a=

√x−√

ax−a

=

√x−√

a(√

x−√a) (

√x+

√a)

=1√

x+√

a.

No limite quex → a encontraremos

limx→a

f (x)− f (a)

x−a= lim

x→a

1√x+

√a

=1

2√

a.

Exemplo 8.2.7.Obtenha a derivada def (x) = bx, (b > 0, 6= 1).

Solução 8.2.7.

∆ f = f (x+ ∆x)− f (x) = bx(b∆x−1)

.

Logo,∆ f∆x

=bx(b∆x−1

)

∆x.

Desta forma encontramos:

lim∆x→0

bx(b∆x−1

)

∆x= lim

∆x→0bx

︸︷︷︸não depende de∆x

lim∆x→0

(b∆x−1

)

∆x

Uma vez quebx na equação acima não depende de∆x, podemos escrever:

lim∆x→0

bx(b∆x−1

)

∆x= bx lim

∆x→0

(b∆x−1

)

∆x.

Lembrando que

122

(a) b∆x = e∆x ln b

(b) limx→0

(ex−1

x

)= 1, (veja Seção 5.4 da Aula 5)

encontramos:

lim∆x→0

bx(b∆x−1

)

∆x= bx lim

∆x→0

lnblnb

(e∆x lnb−1

)

∆x

= bx lim∆x→0

(lnb) lim∆x→0

(e∆x lnb−1

)

∆x lnb︸︷︷︸igual a 1

.

Assim chegamos ao resultado

lim∆x→0

bx(b∆x−1

)

∆x= bx lnb.

Portanto,

f ′(x) = bx lnb.

Em particular, quandob = e, f ′(x) = (ex)′ = ex. Este resultado será utilizado lar-

gamente durante o curso.

Aqui se faz oportuno introduzir a notação para a derivada em relação à variávelx

de uma funçãof (x). Assim, a derivadaf ′(x) é descrita formalmente por

dd x

[ f (x)] =d f(x)

d x,

onded

d xrepresenta o operador derivada em relação a variávelx. Enquantod x é o

operador diferencial.

Nota 8.2.1. “leiad f(x)

d xcomoderivada da função f(x) em relação a x”.

Esta notação é única e especial na matemática e conhecida como notação de

Leibnitz.2 Você pode pensar isto como sendo a “taxa de variação dey em relação

a x”. Também pode pensar como sendo “um valor infinitesimal3 dey dividido por

um valor infinitesimal dex”. Por outro lado, quando esta notação aparecer em

uma equação, esta significa literalmente o que mencionamos logo acima. Mais

adiante, você verá qued y e d x atuam como entidades separadas que podem ser

2Pronuncie “laibnits”.3Reveja Aula 1, Seção 1.4.

123

multiplicadas e divididas (com critérios). Qualquer que seja a sua idéia de derivada

(e paray= f (x)), você verá esta notação sob diversas representações a exemplo de

(i)d yd x

(ii)dd x

[ f (x)]

(iii) d y= f ′(x)d x

(iv) D( f (x)) .

Exemplo 8.2.8.É sabido quef (x) = x4 . Encontred f(x)

d x.

Solução 8.2.8.Estamos interessados na derivada da função dada em relação ax.

Logo, usando o resultado contido no Exemplo 8.2.5, teremos

d f(x)d x

=d

d x

(x4)= 4x3 .

8.3 Propriedades de Derivadas

No que segue, algumas propriedades para derivadas de funções são explicita-

das. Estamos admitindo que as funções expressas admitem derivadas.

Teorema 8.3.1.Suponha que as funções f(x) e g(x) são definidas em algum inter-

valo aberto(a, b) e, f′(x) e g′(x) existem em cada x∈ (a, b) . Então:

P 1. (k)′ = 0, onde k é uma constante

P 2. ( f (x)±g(x))′ = f ′(x)±g′(x)

P 3. ( f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x)+ f (x)g′(x)

P 4. ( f (x)/g(x))′ =f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)

(g(x))2 , para g′(x) 6= 0

P 5. (k f(x))′ = k f ′(x)

P 6. (xm)′ = mxm−1 .

As propriedades servem para, entre outras coisas, evitar o cálculo da derivada

de uma dada função sem a necessidade de usar o processo enfadonho representado

pela Equação (8.2.1).

Exemplo 8.3.1.Encontre a derivadas das funções

(a) f (x) = 2 (b) f (x) = 2x2(c) f (x) =

2x

x

Solução 8.3.1.Fazendo uso das propriedades acima encontramos:

124

(a) f ′(x) = (2)′ = 0, uma vez que a função é constante.

(b) Usando as propriedades P 3, P 1 e P 6, obtemos

f ′(x) = (2x2)′ = (2)′ x2 +2(x2)′ = 0+2(2x2−1) = 2x.

(c) Aqui usaremos as propriedades P 4 e P 6, bem como o resultado do Exem-

plo 8.2.7, encontraremos

f ′(x) =

(2x

x

)′=

(2x)′ x−2x (x)′

(x)2 =(2x ln 2) x−2x

x.

Podemos simplificar este resultado para escrever

f ′(x) =(x ln 2−1) 2x

x.

Exemplo 8.3.2.Encontre a reta tangente a curvaf (x) = x2 que passa emx = 1.

Solução 8.3.2.Sabemos (veja Seção 8.2) que a derivada def (x), em um dado

x = a, representa a declividade da reta tangente af (x) neste valor dex. Assim,

y− f (a) = m(x−a) = f ′(a)(x−a) ,

representa a reta tangente af (x). Por outro lado,f ′(x) = (x2)′ = 2x e quandox= 1

temosf ′(1) = 2. Logo,

y− f (1) = f ′(1)(x−1) =⇒ y−1 = 2 (x−1) ,

é a reta tangene af (x) emx = 1. A Figura 8.3.1 mostra a situação.

y−1= 2(x−1)

x2

x

y

3210-1-2-3

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 8.3.1: Gráfico da reta tangentey−1 = 2(x−1) à curvaf (x) = x2 .

Exemplo 8.3.3. Considere a funçãof (x) =√

x. Encontre a reta tangente a esta

função emx = 3 e obtenha√

2.99 usando esta aproximação.

125

Solução 8.3.3.Já sabemos quef ′(x) =1

2√

x. Então, parax= 3 obtemos a seguinte

reta tangente af (x)

y−√

3 = f ′(3) (x−3) =⇒ y−√

3 =1

2√

3(x−3) .

Substituindox = 3 na equação da reta acima encontramos

y =√

3+1

2√

3(2.99−3) = 1.729164057.

Usando uma calculadora encontramos√

2.99= 1.729161647.

Nem sempre se comete a destreza de interpretar os resultadosobtidos para a

derivada de uma funçãof (x). Para este intuito eu aproveitei para realizar alguns

exemplos neste sentido. Desta forma, espero que você possa também compreender

o que eu posso, daqui, enxergar.

Exemplo 8.3.4.Considere a funçãof (x) = x2. Determine sua derivada e discuta

o seu resultado.

Solução 8.3.4.A derivada def (x) é

d f(x)d x

= 2x.

Este resultado mostra que para todox de f (x) sua derivada está mudando segundo

uma funçãog(x) = 2x, que mede as declividades da reta tangente af (x) para cada

um destes valores dex. A Tabela 8.3.1 mostra uma sequência de dados relacio-

nando valores admitidos parax, os valores def (x) e das retas tangentes para estes

valores dex à curva. A Figura 8.3.2 mostra o gráfico def (x) e as retas tangente

presentes na tabela. Perceba que a partir do conhecimento daconstrução das retas

tangentes é possível “construir” a funçãof (x). Este processo será discutido mais

adiante quando trataremos sobre a integração de funções.

Tabela 8.3.1: Tabela consistindo de valores típicos dex, f (x) e das retas tangentesà f (x).

x⋆ y = f (x⋆) y = f (x⋆)+ f ′(x⋆)(x−x⋆)

−1 1 y = −1−2x

−12

14 y = −1

4 −x

−14

116 y = − 1

16− x2

14

116 y = − 1

16 + x2

12

14 y = −1

4 +x

1 1 y = −1+2x

126

x

y

43210-1-2-3-4

8

6

4

2

0

-2

Figura 8.3.2: Representação gráfica da funçãof (x) = x2 e das retas tangentes (li-nhas tracejadas) a ela para diversos valores dex.

Exemplo 8.3.5.Considere a funçãof (x) = x2−x. Determinef ′(x) e faça o esboço

gráfico das retas tangentes àf (x) para alguns valores dex ∈ [0, 3].

Solução 8.3.5.Neste casof ′(x) = 2−x (1−x ln 2). Deixo a você a tarefa de en-

contrar as equações para as retas tangentes nos pontosx= 0, 12, 1 e 2. O gráfico de

f (x) e das retas tangentes af (x) são mostradas na Figura 8.3.3.

x

y

6543210-1-2-3

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 8.3.3: Representação gráfica def (x) = x2−x . As retas tangentes são desta-cadas por linhas tracejadas.

127

8.4 Conclusão

Nesta aula principiamos o estudo de derivada de uma função. Pudemos obser-

var que este procedimento gera uma nova função. Contudo, esta noção é bastante

ampla e será revisada em diversas aplicações em aulas posteriores. Foi visto que

a idéia por trás de uma derivada de uma função é que ela representação o quanto

f (x) varia em relação a sua própria variável, ou seja

d fd x

.

Do ponto de vista geométrico o cálculo da derivada de uma função no pontox = a

leva ao cálculo da declividade da reta tangente à curvaf (x) neste ponto.

8.5 Resumo

Derivada de uma funçãof (x)

f ′(x) = lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

.

Em particular,f ′(a) representa a derivada def (x) emx = a.

128

Exercícios

E. 1 ⊲ Calcule as derivadas de

(a) f (x) = x4−2x+15

(b) f (x) = 2√

x+x2/3

(c) f (x) = 2x +3x

(d) f (x) =2x1/2−3x+4

x−1

E. 2 ⊲ Identifique possíveis valores dex que tornam indefinidas as derivadas das

funções abaixo.

(a) f (x) =1

x2 +1

(b) f (x) =x

x2 +1

(c) f (x) = xex

(d) f (x) = 1−x2/3 .

E. 3 ⊲ A altura de um modelo de foguete é dada porh(t) = t 2e−t , ondet é medido

em segundos.

(a) Qual a velocidade do foguete,v(t) =d hd t

?

(b) Em que momento a velocidade é nula?

(c) Qual sua aceleração,a(t) =d vd t

?

E. 4 ⊲ Galileo descobriu que se um objeto é solto de uma altura de, digamos, 100m

e ignorando os efeitos de resistência do ar, sua altura (em metros) acima da

superfície terrestre é dada por

y = 100−5t2 .

(a) Determine a velocidade para qualquer instante de tempo,t.

(b) Calcule a velocidade com que o objeto atinge o solo.

E. 5 ⊲ Paray = 5x+3, (d y/d x)2 é o mesmo qued

d x[(d y/d x)]?

E. 6 ⊲ Uma dada função é dada porf (x) = x3 − 2x2 + 2, parax ∈ [−2, 4] . En-

contre valores dex para os quaisf ′(x) = 0. Faça o gráfico desta função e

discuta o que ocorre nestes pontos obtidos.


E. 1 ⊲ (a) 4x3−2, (b)1√x

+23

13√

x, (c) 2x ln 2+3x ln 3, (d)−

(x+1+

√x

√x(x−1)2

)

E. 3 ⊲ v(t) = −t e−t (−2+ t), (b) t = 0 et = 2seg, (c) a(t) =(2−4t + t 2

)e−t .

E. 5 ⊲ Não.d y/d x= 5 ed

d x[(d y/d x)] =

dd x

[5] = 0.

129

8.6 Referências






130

9 Funções Diferenciáveis

Meta: Nesta aula daremos continuidade ao estudo de derivadas de funções. Avan-

çaremos este tema introduzindo novas aplicações bem como discutindo o critério

que define a diferenciabilidade de uma função.

Objetivos: Espero que ao fim desta aula você seja capaz de distinguir quando uma

função é diferenciável ou não.

Pré-requisitos: Funções contínua, derivadas e propriedades de derivadas defun-

ções.

9.1 Introdução

Uma das questões pertinentes ao conceito de derivada de funções é saber

quando uma dada função é diferenciável em um ponto. Em particular, também

se faz importante a questão da diferenciabilidade não apenas num ponto específico

mas em todo intervalo. Nesta aula são descritas as condiçõespara que uma fun-

ção possa ser dita diferenciável em um ponto. Como você verá,no decorrer desta

aula, os conceitos de diferenciabilidade de uma função estáintimamente ligada ao

conceito da existência do limites de funções. Neste sentido, você não terá grandes

dificuldades em se adequar a este tema.

Por outro lado, você também terá a oportunidade de distinguir não apenas

quando uma função é ou não diferenciável para um dado valor dex, mas também

conhecer que existe uma correlação entre função diferenciável e função contínua.

131

9.2 Funções Diferenciáveis

Na Aula 8 você teve os primeiros contatos com a definição de derivada de uma fun-

ção. Naquela oportunidade (veja Seção 8.2) mencionamos quef (x) tem derivada

f ′(x) se o limite

lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

,

existe.

Definição 9.2.1.Uma função é dita diferenciável em um pontox= a se os limites

f ′+(a) = limx→a+

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

= L+(9.2.1a)

f ′−(a) = limx→a−

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

= L−,(9.2.1b)

existirem e mais, ambos serem idênticos.

Caso contrário a função é dita não-diferenciável emx = a. Por outro lado, se a

função for tal que possuif ′+(x) = f ′−(x) em todos os pontos de validade da mesma,

então a função é dita completamente diferenciável em seu domínio. Pode ocorrer

que a função seja apenas parcialmente diferenciável, dita diferenciável em interva-

los. Veremos alguns exemplos e você terá a oportunidade de fixar este conceito.

Exemplo 9.2.1.Considere a função descrita porf (x) =

x2, parax < 1

2x−1, parax≥ 1.

Discuta se esta função é ou não diferenciável no pontox = 1.

Solução 9.2.1.A função será diferenciável se ocorrer de suas derivadas a direita

e esquerda do ponto considerado,x = 1, existirem e serem iguais. Avaliando estas

derivadas encontramos:

f ′+(1) = lim∆x→0+

f (1+ ∆x)− f (x)∆x

= lim∆x→0+

2(1+ ∆x)−1∆x

= lim∆x→0+

2∆x∆x

= 2,

f ′−(1) = lim∆x→0−

f (1+ ∆x)− f (x)∆x

= lim∆x→0−

(1+ ∆x)2−1∆x

= lim∆x→0−

(2+ ∆x) = 2.

Uma vez quef ′+(1) = f ′−(1), conclui-se então que a função é diferenciável neste

ponto.

Exemplo 9.2.2.Considere a funçãof (x) =

x2−1, parax≥ 1

|x−1|, parax < 1.

Averigue se esta função é diferenciável para todos os valores dex e esboce o seu

gráfico.

132

Solução 9.2.2.De modo similar ao Exemplo 9.2.1, obtemos

f ′(x) =

f ′+(x) =(x2−1

)′= 2x, sex≥ 1

f ′−(x) = (−x+1)′ = −1, sex < 1.(9.2.2)

Portanto, f ′+(1) = 2 enquantof ′−(1) = −1. Concluimos que a função dada não

é diferenciável emx = 1. Por outro lado, percebe-se que a função é contínua em

x = 1 uma vez que

limx→1

f (x) = f (1) .

O gráfico da função e de sua derivada é destacado na Figura 9.2.1.

x2−1|x−1|

x

y

43210-1-2-3-4

6543210

-1-2

(a) Gráfico da funçãof (x) .

f ′+ = 2x

f ′− = −1

x

y

43210-1-2-3-4

6543210

-1-2

(b) Gráfico da derivada da funçãof (x)

Figura 9.2.1: Gráficos (a) da função descrita no Exemplo 9.2.2 e (b) da sua derivadaf ′(x).

Via de regra funções que possuem comportamento do tipo demonstrado neste exem-

plo são não diferenciáveis. Perceba que o pontox= 1 apresenta um comportamento

pronunciado (neste caso um “bico”). A função|x| é um outro exemplo clássico de

função não é diferenciável emx= 0. Ainda dentro deste contexto, é possível traçar

em linhas gerais o comportamento, ou melhor, o que ocorre neste ponto onde a

função dada não é diferenciável. Observe que as derivadas dafunção para seus res-

pectivos intervalos de definição são representadas pelas Eqs. (9.2.2). Percebe-se,

deste resultado, que a derivada da função dada apresenta umadiscontinuidade em

x = 1, conforme é denunciado pelo gráfico da Figura 9.2.1. Este aspecto, pouco

explorado nos livros textos de cálculo, é de suma importância em diversas áreas de

interesse. Muitos sistemas físicos que admitem soluções requerem que a função e

suas derivadas estejam bem definidas em uma dada região do espaço.

Exemplo 9.2.3.Discuta se a funçãof (x) = 1−x2/3 é ou não contínua.

133

Solução 9.2.3.A função dada tem derivada

f ′(x) = −23

x−1/3 = −23

1

x1/3,

que não está definida emx = 0 e, portanto, não é diferenciável neste ponto. O

gráfico desta função é apresentado na Figura 9.2.2(a). Observe o comportamento

pronunciado emx = 0. Talvez você esteja a se perguntar, “e como eu poderia

x

y

43210-1-2-3-4

21.5

10.5

0-0.5

-1-1.5

-2

(a) Gráfico da funçãof (x) = 1−x2/3 .

x

y

43210-1-2-3-4

21.5

10.5

0-0.5

-1-1.5

-2

(b) Gráfico da derivada da funçãof (x) .

Figura 9.2.2: Gráficos da funçãof (x) = 1−x2/3 e f ′(x). Observe a discontinuidadedesta última.

observar através de um gráfico se uma dada função é ou não diferenciável para um

dadox = a?” Observe o resultado encontrado no exemplo anterior. Noteque

f ′(x) =

> 0, para todox < 0

< 0, para todox > 0.

Estes resultados demonstram que não existe uma transição suave entre o estado

de valores negativos e o estado de valores positivos paraf ′. O que ocorre é

uma “ruptura” desta transição marcada pela discussão levantada anteriormente

no Exemplo 9.2.1. O gráfico def ′(x) evidencia isto com muita nitidez (veja Fi-

gura 9.2.2(b)).

Teorema 9.2.1.Se f é diferenciável em x= a, então f é contínua em a. O contrá-

rio não é sempre verdade.

Aqui, desejo ressaltar que todas as propriedades discutidas na Aula 8 (veja

Seção 8.3) pressupõe que as funções são todas diferenciáveis.

Exemplo 9.2.4.Mostre que a funçãof (x) =x+1x2 +4

é diferenciável e contínua para

todox ∈ R , e encontre pontos ondef ′(x) = 0. Discuta-os.

134

Solução 9.2.4.Tome umx = a e faça os limites a direita e a esquerda dea nas

formasx = a±δ , ondeδ > 0. Assim, você deve obter

f (a±δ ) =(a±δ )+1

(a±δ )2 +4.

Assim, teremos

limδ →0

f (a±δ ) =

limδ →0

(a−δ )+1

(a−δ )2 +4=

a+1a2 +4

limδ →0

(a+ δ )+1

(a+ δ )2 +4=

a+1a2 +4

.

Destes resultados você já pode perceber que

limx→a

f (x) = f (a) =a+1a2 +4

.

Portanto, a função é contínua emx = a ∈ R . Por outro lado, a derivada def (x) é

dada por

f ′(x) = −[

x2−4+2x

(x2 +4)2

].

Realize o mesmo procedimento anterior e obtenha

f ′(a) =

limδ →0

f ′(a−δ ) = −[

a2−4+2a

(a2 +4)2

]

limδ →0

f ′(a+ δ ) = −[

a2−4+2a

(a2 +4)2

].

Conclua que a função também é diferenciável para todoa ∈ R .

Os pontos ondef ′(a) = 0 implica em encontrar retas tangentes af (x) com

declividade nula (paralelas ao eixox) e isto ocorre quando1

a2 +2a−4 = 0.

Cujos resultados sãoa = −1±√

5. Substituindo estes valores na função dada en-

contramos

f (a) =

f(−1−

√5)

= −√

5

2(

5+√

5)

f(−1+

√5)

= −√

5

2(−5+

√5) ,

que representam as retas paralelas ao eixox. Ora isto acontece nos dois “extremos”

1Indiretamente já realizávamos este processo nas aulas anteriores. Veja Exemplo 3.4.3 da Aula 3,Exemplo 4.3.8 da Aula 4 e Exemplo 6.3.1 da Aula 6.

135

da função. Ou seja, os valores encontrados que anulamf ′(x) representam locais

de máximo (x = −1+√

5) e de mínimo (x = −1−√

5). O gráfico da função dada

é representado na Figura 9.2.3.

x

y

86420-2-4-6-8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

Figura 9.2.3: Representação gráfica para a funçãof (x) =x+1x2 +4

.

9.3 Diferencial de Primeira Ordem

Em muitas ocasiões é desejável obter valores aproximados defunções por razões

diversas. O estudo de derivadas de funções é particularmente útil neste contexto.

Define-se o diferencial de primeira ordem de uma funçãof (x), suposta diferen-

ciável, ao incremento do seu argumento. Assim,dy= f ′(x)dx é o diferencial da

função f (x). Na hipótese que∆x seja muito pequeno então,

∆y≃ dy

e, por conseguinte,

f (x+ ∆x) ≃ f (x)+ f ′(x)∆x.(9.3.1)

Desta forma, o diferencial de primeira ordem da funçãof (x) pode ser empregado

para obter cálculo aproximados.2 Por extensão, o diferencial den−ésima ordem é

d(n)y = d(d(n−1)y).

Exemplo 9.3.1.Compare o incremento e o diferencial da funçãof (x) = 2x3+5x2.

Solução 9.3.1.Pelo exposto encontramos

∆y = 2(x+ ∆x)3 +5(x+ ∆x)2 =(6x2 +10x

)∆x+(6x+5) (∆x)2 +2(∆x)3 .

2Veja também o Exemplo 8.3.2 da Aula 8.

136

Para∆x muito pequeno podemos reescrever,

dy= (6x2 +10x)dx.

Portanto, a diferença entre o incremento,∆y, e o diferencial,dy é um infinitésimo

de ordem superior a∆x, e igual a(6x+5) (∆x)2 +2(∆x)3.

Exemplo 9.3.2.Calcule√

1.1.

Solução 9.3.2.Definindo f (x) =√

x, então

f ′ =1

2√

x.

Usando a Eq. (9.3.1), teremos

f (x+ ∆x) ≃ f (x)+ f ′(x)∆x =√

x+1

2√

x∆x.

Fazendox = 1, e ∆x = 0.1 e aplicando nesta relação acima encontraremos

√1.1≃ f (1)+

1

2√

1× 0.1 = 1+

0.12

= 1.05.

Exemplo 9.3.3.Calcule o valor aproximado da área de um círculo de raio iguala

r = 3,02m.

Solução 9.3.3.A equação que descreve a área de um círculo é dada porA = πr2.

Fazendor = 3m e∆ r = 0.02m, obtemosA′(r = 3) = 2πr = 2π ×3 = 6π m. Por-

tanto, o valor aproximado da área é dada porA(r = 3)+ A′(r = 3)∆ r = π(3)2 +

6π × 0.02 ≃ 28.65m2. A Figura 9.3.1 representa a situação esquemática deste

exemplo.

r +∆r

r

Figura 9.3.1: Representação esquemática para o Exemplo 9.3.3

Exemplo 9.3.4. Sejaρ a massa específica de um material homogêno. Como o

volume varia com a temperatura, conclui-se que a massa específica também varia

com a temperatura. (a) Obtenha uma expressão para o coeficiente de dilatação

volumétrica,β , em função da taxa de variaçãodρ/dT e (b) determine∆ρ para

pequenas variações de temperatura.

137

Solução 9.3.4.(a) Uma vez queV = V(T) e ρ = ρ(T) e na hipótese que a massa

não varie durante a variação do volume do material, entãodVdT = d(mρ)

dT = −mdρdT . O

sinal negativo é justificado pelo fato de que se a variação no volume é positiva então

a variação emρ deve ser negativa visto que a relação entreV e ρ é ρ = m/V, ou

seja, são grandezas inversamente proporcionais. Portanto, o coeficiente de dilata-

ção volumétrica, definido comoβ = 1V (dV/dT), é escrito comoβ =− 1

ρ (dρ/dT) .

(b) Para variações pequenas emT então∆ρ = −βρ∆T.

Exemplo 9.3.5. A área de uma placa retangular de ladosa e b é A = ab e seu

coeficiente de dilatação linear éα . Após o acrescimento de temperatura∆T, o

ladoa aumenta de∆a e o ladob de∆b. Desprezando a pequena área∆a∆b (veja

Figura 9.3.2), mostre que a área da placa varia de∆A = 2αA∆T.

∆a∆b

b

a

Figura 9.3.2: Figura representativa do Exemplo 9.3.5.

Solução 9.3.5.a área da placa antes de sujeita a variação de temperatura é dada

porA = ab. Quando a temperatura varia deT paraT +∆T a placa dilata e passa a

ter uma área dada porA+ ∆A = (a+ ∆a)(b+ ∆b) = ab+(a∆b+b∆a)+ ∆a∆b.

Desprezando o termo∆a∆b, temos∆A = a∆b+b∆a. Por definição o coeficiente

de dilatação linear é dado porα = ∆ l/(l∆T) , ondel representa a dimensão linear.

Então, para sistemas isotrópicos as variações lineares devem ser as mesmas. As-

sim,α = ∆a/(a∆T) = ∆b/(b∆T) . Destas relações obtemos o resultado desejado,

ou seja,∆A = a(αb∆T)+b(αa∆T) = 2α∆A∆T.

138

9.4 Linearização de uma função

É natural extender um pouco a discussão sobre diferencial deprimeira ordem de

uma função. Em particular, a consequência imediata desta abordagem permite

que seja sempre possível escrever, muitas vezes por questões de praticidade, uma

aproximação aceitável de uma dada função nas vizinhanças dex = a. Assim,

f (x+ ∆x) ≃ f (x)+ f ′(x)∆x,

pode, para∆x = (x−a) suficientemente pequeno, ser reescrita como

f (x+x−a) ≃ f (a)+ f ′(a)(x−a)

f (x) ≃ f (a)+ f ′(a)(x−a) .

Esta última equação é comumente denominada linearização def (x) nas vizinhan-

ças dex = a. O gráfico destacado na Figura 9.4.1 mostra geometricamenteesta

situação.

f (x)

a x

y = f (a)+ f ′(a)(x−a)

∆x ∆y

Figura 9.4.1: Linearização da funçãof (x) nas vizinhanças dex = a. Perceba queparax = a ambasy = f (a) + f ′(a)(x− a) e a funçãof (x) possuem os mesmosvalores.

Definição 9.4.1.Seja f uma função definida em um intervalo aberto em torno de

um x = a. SeT é uma função afim tal queT(a) = f (a) e

R(∆x) = f (a+ ∆x)−T(a+ ∆x) ,

é de ordem superior a∆x, então dizemos queT é a melhor aproximação afim def

ema (comumente linearização def ), e o gráfico deT é uma linha tangente af em

(a, f (a)) .

Exemplo 9.4.1.Parah muito pequeno, mostre que

√a2 +h≃ a+

h2a

, (a > 0) .

139

Solução 9.4.1.De modo similar ao exemplo anterior, temos

f (x) =√

x e f (x+ ∆x) =√

x+ ∆x.

Assim,

∆ f = f (x+ ∆x)− f (x) =√

x+ ∆x−√

x = f ′(x)∆x.

Fazendo∆x = d x= h ex = a2 nós teremos

∆ f =√

a2 +h−√

a2 ≃ 1

2√

a2h =

12|a| h =

12a

h.

Desta última equação encontramos o resultado desejado

√a2 +h≃ a+

h2a

.

Exemplo 9.4.2. Considere a funçãof (x) =√

x. Obtenha a linearização def (x)

nas vizinhanças dex = b > 0. Em particular, calculef (1.01) e f (0.98) .

Solução 9.4.2.A derivada da função dada éf ′(x) =1

2√

x. Assim, a linearização

de√

x é dada por√

x≃ f (b)+1

2√

b(x−b) .

Desta forma obtemos

f (1.01) = f (1+0.01) ≃ f (1)+ f ′(1)(1.01−1) = 1+1

2√

1(0.01) = 1.005.

Usando uma calculadora obtemos√

1.01 = 1.004987562 (com precisão de nove

casas decimais). Note a excelente concordância entre os resultados obtidos. Deixo

a você a tarefa de obter o cálculo de√

0.98 e comparar o resultado com aquele

obtido por melhor estimativa (uso de calculadora, por exemplo).

Exemplo 9.4.3. Em cálculo de séries de funções (não é objeto de estudo aqui)

obtemos1

1−x= 1+x+x2+ · · · , parax << 1.

Use o que você acabou de aprender sobre linearização e obtenha os dois primeiros

termos à direita da equação acima.

Solução 9.4.3.Seja f (x) =1

1−xentão f ′(x) =

1

(1−x)2 . Dizer quex << 1 é

razoável que isto signifiquex≃ 0. Assim,

f (x) ≃ f (0)+ f ′(0)x = 1+x.

Exemplo 9.4.4.Obtenha a linearização da funçãof (x) = x5−2 3√

x4 +3 nas vizi-

nhanças dex = 1.

140

Solução 9.4.4.A derivada da função é

f ′(x) = 5x5−1−243

x4/3−3/3 = 5x4− 83

x1/3 .

Procurar pela aproximação def (x) nas vizinhanças dex = 1 significa que∆x =

x−1≃ 0. Assim,

f (x) ≃ f (1)+ f ′(1)(x−1) = 2+73

(x−1) .

141

9.5 Conclusão

Nesta aula apresentamos os conceitos pertinentes a diferenciabilidade de uma fun-

ção e suas consequências. Você pode observar a essência da discussão contida nas

discussões levantadas nos exemplos sobre a questão de que quando uma função não

é diferenciável num ponto ela pode ter, por exemplo, um pontoque não a define.

Foi possível estabelecer vários exemplos de aplicações comuns bem uma conexão

com outras aulas, fazendo assim um paralelo entre soluções alternativas ou corre-

lacionadas. Por outro lado, observamos no texto complementar a interesse forma

de obter raízes de funções usando métodos numéricos, o que é de grande utilidade

em todas as áreas que se faz presente esta abordagem.

9.6 Resumo

Uma funçãof é diferenciável emx = a se

limx→a

f (x)− f (a)

x−a,

existir.

Se f é diferenciável, então

f (x) ≃ f (a)+ f ′(a) (x−a) ,

representa a linearização desta função nas vizinhanças dex = a.

142

9.7 Referências






143

Exercícios

E. 1 ⊲ Encontre a equação da reta tangente das funções

(a) f (x) = 1−2x2 emx = 0

(b) f (x) = x3−x+1 emx = 1

(c) f (x) = x+ ln x emx = 1

(d) f (x) =x+2x−1

emx = 0.

E. 2 ⊲ Considere a função

f (x) =

xsen(

1x

), parax 6= 0

0, parax = 0.

(a) A função é contínua emx = 0?

(b) f é diferenciável emx = 0? Sugestão: avalie f′(0) = limh→0

f (h)− f (0)

h

E. 3 ⊲ Um ponto móvel desloca-se ao longo de uma curva obedecendox(t) = t3−5t2 +7t −3. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é nula.

E. 4 ⊲ Considere a funçãof (x) =x2 +3x−3

x−1.

(a) Mostre quef (x) é contínua para todox 6= 1.

(b) Mostre que

f ′(x) =

> 0 sex < 0 ex > 2

= 0 sex = 0 ex = 2,

< 0 se 0< x < 1 e 1< x < 2,

= 0 sex < 0.

(c) Encontre os pontos (ou regiões) onde a função é discontínua.

E. 5 ⊲ Uma dada grandeza é dada pela equaçãog(x) = x3−3x2 +2x−7. Obtenha

uma aproximação parag quandox varia de 4 a 3.95.

E. 6 ⊲ Um fabricante de bolas deseja saber de quanto varia o volume da mesma

quando é aplicada uma fina camada de tinta em sua camada. Sed é a

espessura (suposta uniforme) de tinta utilizada para pintar a bola eSa área

da superfície, mostre que o volume aumenta de aproximadamente S · d .

E. 7 ⊲ Encontre os pontos da curvaf (x) = 3x3 +14x2 +3x+8 onde as retas tan-

gentes cruzam a origem.

144

E. 8 ⊲ Determine condições paraa, b, c ed que garantam que o gráfico de

f (x) = ax3 +bx2 +cx+d , a 6= 0

tenha:

(a) duas retas tangentes horizontais,

(b) apenas uma reta tangente horizontal,

(c) nenhuma reta tangente horizontal.

E. 9 ⊲ No jogo de “video-game” (veja Figura 9), os aviões voam da esquerda para

a direita segundo a trajetóriay = 1+ 1x e podem disparar suas balas na

direção tangente contra os alvos que se encontram ao longo doeixo x em

x= 1, 2, 3, 4 e 5. Determine que alvos são atingidos se o avião disparar um

projétil quando estiver em: (a)(1, 2), (b) (3/2, 5/3) .

E. 10⊲ Considere a funçãof (x) = |x| x. Averigue sef é diferenciável emx = 0

e, em caso afirmativo, calculef ′(0) . Justifique suas afirmações.

145


E. 1 ⊲ (a)y = 1, (b)y = −1+2x, (c) y = −1+2x, (d) y = −2−3x.

E. 3 ⊲ A velocidade év(t) = d xd t = 3t2 − 10t + 7. v(t) = 0, parat = 1 e 7

3. A

aceleração éa(t) = d vd t = 6t −10. Logoa(7/3) = 4 ea(1) = −4.

E. 5 ⊲ ∆g≃−1.30.

E. 7 ⊲ (x1, y1) = (−2, 34), (x2, y2) = (−1, 16) e (x3, y3) = (2/3, 154/9) .

E. 9 ⊲ (a) 3, (b) não atinge.

146

10 Derivadas de FunçõesTrigonométricas

Meta: Nosso objeto de estudo nesta aula é o cálculo de derivadas de funções tri-

gonométricas. Neste sentido vários são os exemplos discutidos envolvendo este

tema.

Objetivos: Espera-se que ao final desta aula o aluno seja capaz de obter derivadas

de diversas funções trigonométricas sob as mais variadas formas de apresentação e

usar procedimentos alternativos de álgebra para alcançar oresultado desejado.

Pré-requisitos: Derivadas de funções.

10.1 Introdução

Talvez uma das características peculiares de toda a Matemática é tratar os

conceitos atribuidos as funções trigonométricas por um motivo ou outro. Em par-

ticular, tais funções se apresentam em diversos contextos,desde as constantes apa-

rições como soluções de Equações Diferenciais, bem como numa gama de outras

situações de mesma importância. Nesta aula você vai ter a oportunidade de ob-

ter derivadas de funções trigonométricas. Vai averiguar que, assim como existe

uma grandeza denominada período que rege a condição de periodicidade destas

funções, também existe um comportamento, digamos “oscilatório” (talvez o termo

não seja feliz) quando operamos com derivadas destas funções.

Você também vai observar que darei um outro tratamento algébrico na obten-

ção destas funções com um só intuito:a simplificação do cálculo. Isto porque em

um número razoavelmente extenso de livros textos existe um apêlo um tanto quanto

exaustivo para o uso de relações trigonométricas. Claramente que isto se fará ne-

cessário em um grande número de situações. Ainda assim, se posso simplificar a

tua vida, eu tentarei fazê-lo.

147

10.2 Derivada de Funções Trigonométricas

Esta seção se destaca pela obtenção das derivadas de funçõestrigonométricas.

Para tal, não precisamos ir tão longe. Basta que saibamos as derivadas de ape-

nas duas delas, que aqui chamarei de derivadas básicas. São as funçõesco-seno

e seno. Você bem sabe que todas as demais funções trigonométricas (tangente,

co-tangente, secante, etc) derivam daquelas duas através de relações já bem conhe-

cidas suas. Uma vez que já sabemos usar as propriedades de derivadas de funções,

então basta que utilizemos esta ferramenta para determinartodas as derivadas des-

tas outras funções trigonométricas, bem como formas compostas.

Antes de adentrarmos nos primeiros exemplos, permita-me enunciar um teorema

que será de grande utilidade.

Teorema 10.2.1.As funçõescosx esenx são contínuas e diferenciáveis para todo

x.

Exemplo 10.2.1.Obtenha a derivada de senx e cosx.

Solução 10.2.1.A derivada de uma função pode ser obtida de modo alternativo

usando a relação1

f ′(x) = lim∆x→0

f (x+ ∆x/2)− f (x−∆x/2)

∆x.(10.2.1)

De posse desta nova informação e usando as relações

sen(x+ ∆x/2) = senxcos(∆x/2)+sen(∆x/2)cosx,(10.2.2a)

sen(x−∆x/2) = senxcos(∆x/2)−sen(∆x/2)cosx,(10.2.2b)

Como estamos interessados, primeiramente, no cálculo da derivada da funçãoseno

façamos a soma da Eq. (10.2.2a) e Eq. (10.2.2b) para obter

sen(x+ ∆x/2)−sen(x−∆x/2) = 2sen(∆x/2) cosx.

Dividindo este resultado por∆x, podemos escrever

sen(x+ ∆x/2)−sen(x−∆x/2)

∆x= 2

sen(∆x/2)

∆xcosx.

Aplicando o limite quando∆x → 0, teremos,

(senx)′ = lim∆x→0

2sen(∆x/2)

∆xcosx = cosx lim

∆x→0

sen(∆x/2)

(∆x/2)︸︷︷︸igual a 1

= cosx.

1Conhecida como equação da diferença simétrica.

148

Faça o mesmo para a funçãoco-senopara obter

(cosx)′ = lim∆x→0

cos(x+ ∆x/2)−cos(x−∆x/2)

∆x=senx lim

∆x→0

(−2

sen(∆x/2)

∆x

)

=−senx lim∆x→0

sen(∆x/2)

∆x/2

=−senx.

Com estes cálculos você pode concluir que as derivadas de senx e cosx são, res-

pectivamente, cosx e−senx.

Partindo destes dois resultados e utilizando as propriedades de derivadas (veja

Aula 8, Seção 8.3) é possível encontrar uma gama de resultados para as derivadas

de outras funções trigonométricas. Como exemplo, algumas derivadas são avalia-

das abaixo usando os resultados que você acabou de conhecer.

Exemplo 10.2.2.Calcule a derivada de tgx.

Solução 10.2.2.Uma vez que tgx = senx/cosx e usando a propriedade de quoci-

ente entre funções da Aula 8, Seção 8.3, ou seja,

(uv

)′=

u′ v−uv′

v2 ,

em queu e v são duas funções diferenciáveis, comv 6= 0. Faça agorau = senx e

v = cosx, para obter

(senx/cosx)′ =(senx)′ cosx−senx (cosx)′

cos2 x=

cosx cosx−senx (−senx)

cos2x

=(

igual a 1︷︸︸︷sen2 x+cos2 x)/cos2x = sec2x.

Portanto, a derivada de tgx é sec2 x.

Exemplo 10.2.3.Calcule a derivada def (x) = secx/ lnx.

Solução 10.2.3.Você já calculou a lnx e sabe que esta vale 1/x, parax 6= 0. Uma

vez que secx = 1/cosx. Use a propriedade de quociente de funções discutida no

exemplo anterior para obter:

(secx)′ = (1/cosx)′ = senx/cos2x = secxtgx.

Contudo, ainda temos de calcular(secx/ lnx)′. Isto é feito usando mais uma vez a

149

propriedade de quociente entre funções. Faça agorau = secx ev = ln x e terá

(secx/ lnx)′ =(secx)′ ln x−secx (ln x)′

(ln x)2

=secxtgx

ln x− 1

x (ln x)2 secx,

parax e lnx 6= 0.

Exemplo 10.2.4.Encontred yd x sendoy = cos2x.

Solução 10.2.4.Fazendo uso da regra do produto entre funções, ou seja,

(uv)′ = u′v+uv′ ,

podemos averiguar que sendou = v encontramos

(u2)′ = 2uu′ .

Assim, teremos

d yd x

=(cos2x

)′=2 cosx (cosx)′ = 2 cosx(−senx)

=−2senxcosx = −sen2x.

Exemplo 10.2.5.Uma partícula se move sobre uma circunferência de raioa com

velocidade angular constanteω =dθd t

, começando comθ = 0 quandot = 0 (Fi-

gura 10.2.1). Se o Sol está diretamente acima da circunferência, encontre a posição,

velocidade e aceleração da sobra formada pela partícula ao longo do eixox.

-

6

x

y

>a

y θ

sombra�

partícula

Figura 10.2.1: Situação esquemática para o Exemplo 10.2.5

Solução 10.2.5.Por simplicidade façamos o centro da circunferência na origem

do planoxy cuja equação é dada por

x2 +y2 = a2 .

150

De acordo com a Figura 10.2.2, as coordenadas da partícula são expressas por

x = acosθ , y = asenθ ,

e para aquele instante o ânguloθ valeθ = ω t. Portanto,

x = acosω t , y = asenω t .

Por outro lado, a marcação da sombra se dá ao longo do eixox, assim sua veloci-

dade é dada por

vx =d xd t

= lim∆t→0

acosω (t + ∆ t/2)−acosω (t −∆ t/2)

∆ t.

Usando a relação

cos(a+b)−cos(a−b) = −2senasenb,

encontramos2

vx = −2senω t lim∆t→0

sen(ω ∆ t/2)

∆ t= −ω senω t lim

∆t→0

sen(ω ∆ t/2)

(ω ∆ t/2).

Lembrando que limX→0

senXX

= 1, chegamos ao resultado

vx = −ω senω t .

De modo similar, obtemos

ax =d vx

d t= −ω2 cosω t .

Você conclui que a sombra da partícula ao longo do eixox tem:

(i) posiçãox(t) = acosω t

(ii) velocidadevx(t) = −ω senω t

(iii) aceleraçãoax(t) = −ω2cosω t . ✍

Exemplo 10.2.6.Considere a funçãof (x) = x2 cosx. Obtenha:

(a) a reta tangente af emx = π ,

(b) esboce o gráfico da função e da reta no ponto considerado acima.

Solução 10.2.6.(a) Façaf (x) = uv= x2 cosx em queu = x2 e v = cosx. Desta

forma a derivada def é dada por

f ′ = (uv)′ = u′ v+uv′ =(x2)′ cosx+x2 (cosx)′ .

2Denotaremos porvx eax a velocidade e a aceleração da partícula na direção do eixox.

151

Usando os resultados já conhecidos para as derivadas dex2 e cosx podemos

escrever

f ′ =d fd x

=(x2)′ cosx+x2 (cosx)′ = 2xcosx−x2senx.

O valor da derivada def quandox = π vale

f ′ (π) = 2π cosπ −π2senπ = −2π .

A reta tangente af no ponto desejado é

y = f (π)+ f ′ (π)(x−π) = π2−2π x.

(b) O gráfico def e da reta tangente emx = π é mostrado na Figura 10.2.2.

x

y

6420-2-4-6

5

0

-5

-10

-15

Figura 10.2.2: Representação do gráfico def (x) e da retay = π2−2π x.

Exemplo 10.2.7.Seja a funçãof (t) = 2e−t/5 cos2t , em quet ≥ 0. Determine:

(a) f ′(t) .

(b) Encontre pontos ao longo do eixot onde f ′(t) se anula.

(c) Obtenha uma relação entretk e tk+1, ondetk e tk+1 são dois valores sucessivos

quaisquer em quef ′(t) = 0.

(d) Encontre os pontos ondef (t) = ±2e−t/5 .

(e) Faça um gráfico def (t) e das funçõesg(t) = 2e−t/5 eh(t) = −2e−t/5 .

Solução 10.2.7.(a) Podemos reescrever a função dada como

f (t) = u(t)v(t) ,

em queu(t) = 2e−t/5 ev(t) = cos2t . A derivada def (t) é obtida da relação

f ′(t) = u′ v+uv′ .

152

Façamos cada derivada em separado. Assim teremos:

(2e−t/5

)′=2 lim

∆t→0

u(t + ∆ t/2)−u(t −∆ t/2)

∆ t= 2e−t/5 lim

∆t→0

(e−∆t/10−e∆t/10

∆ t

)

=2e−t/5 lim∆t→0

e∆t/10

(e−∆t/5−1

∆ t

)= 2e−t/5 lim

∆t→0e∆t/10

(e−∆t/5−1

−5∆ t/(−5)

)

=− 25

e−t/5 lim∆t→0

e∆t/10 lim∆t→0

(e−∆t/5−1−∆ t/5

)

=− 25

e−t/5 ,

onde usamos o fato de que lim∆t→0

e∆t/10 = 1 e também lim∆t→0

(e−∆t/5−1−∆ t/5

)= 1.

Procedendo de modo similar podemos mostrar que

(cos2t )′ = −2sen2t .

Assim, obtemos

f ′(t) =(

2e−t/5)′

cos2t +2e−t/5 (cos2t )′

=− 25

e−t/5 cos2t −4e−t/5sen2t

=− 25

e−t/5 (cos2t +10sen2t) .

(b) f ′(t) é nula quando

(cos2t +10sen2t) = 0, ou seja, tgt = − 110

.

Entretanto, existem duas colocações a serem impostas na solução para o resul-

tado obtido: (i) a primeira é quet ≥ 0. (ii) e a segunda refere-se ao fato de que

a funçãotangentetem períodoπ , ou seja, tg(t −kπ) = − 110

. Atentando para

estas colocações, então a solução correta para os valores det que anulaf ′(t) é

dada por

tk = −arctg

(110

)+kπ , comk = 1, 2, 3, · · · .

(c) Entre dois valores sucessivos dek teremos

tk+1− tk = π , ou ainda tk+1 = π + tk .

(d) Os valores det para os quaisf (t) = ±2e−t/5 , são dados por

cos2t =

1, tem soluçãot = kπ , em quek = 0, 2, 4, · · · ,

−1, tem soluçãot = kπ , em quek = 1, 3, 5, · · · .

153

(e) Os gráficos def (t) e de±2e−t/5 encontram-se mostrados na Figura 10.2.3. As

curvas±2e−t/5 são comumente chamadas de curvas “envelopes” significando

que estas mantémf (t) encerrada naquelas duas. Neste sentido, a curvaf (t)

encontra-se limitade pelas curvas±2e−t/5 .

2e−t/5

−2e−t/5

x

y

14121086420

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

Figura 10.2.3: Gráficos da funçãof (t) e das curvas±2e−t/5 .

10.3 Conclusão

Nesta aula você foi capaz de calcular as derivadas das funções trigonométricas

senoe co-senoe que a partir destas todas as demais poderiam ser obtidas através

das relações entre estas e das propriedades do cálculo de derivadas de funções.

Foi possível destacar diversos exemplos onde estas funçõesforam empregadas e

também analisar soluções através da contextualização física.

10.4 Resumo

Derivada de funções trigonométricas

(a) (senx)′ = cosx

(b) (cosx)′ = −senx

(c) (tgx)′ = sec2x

(d) (cotgx)′ = −sec2xtg2 x

= −cotg2 x−1

(e) (secx)′ = secxtgx

(f) (cosecx)′ = −cotgxcosecx.

154

Exercícios

E. 1 ⊲ Derive as funções

(a) y = ex cosx

(b) y = exsen2 x

(c) y = 3cotgx+5senx

(d) y = x2 tgx+xcotgx

E. 2 ⊲ Use a definição de derivada de uma função, encontre a derivadade:

(a) y = tgx−cosx. (b) y =senx−cosxsenx+cosx

.

E. 3 ⊲ Mostre que sendoy = 2 cosx entãou = y2 +y′2 +4y2

y′2=

4sen2 x

.

E. 4 ⊲ Considere a funçãoy =t

sent. Estude o comportamento desta função, ana-

lisando:

(a) valores det ondey ey′ não está definida.

(b) encontre a equação para a qualy′ é nula.

(c) obtenha o gráfico dey e mostre que o mesmo encontra-se sempre acima

e abaixo das retasy = ±x.

E. 5 ⊲ Averigue se as funções dadas são diferenciavéis emx = 0.

(a) f (x) =

(x2 +x

)cos

(1x

), sex 6= 0

0, sex = 0,

(b) f (x) =

x2 +senx, sex > 0

x5 +4x3 , sex < 0,

0, sex = 0.

E. 6 ⊲ Calcule limx→0

sen(3+x)2−sen9x

e discuta o que você está calculando.


E. 1 ⊲ (a) ex (cosx−senx), (b) exsenx(senx+2 cosx), (c) − 3sen2x

+ 5cosx, (d)

x2(1+ t2

)+x

(2t −1− t−2

)+ t−1, em quet = tgx.

E. 5 ⊲ (a) não, (b) não.

155

10.5 Referências






156

11 Derivadas de Funções Inversíveis

Meta: Nosso objeto de estudo nesta aula é o cálculo de derivadas de funções que

admitem inversa. Diversos exemplos são discutidos.

Objetivos: Espero que nesta aula você seja capaz de calcular derivadas de funções

inversas usando os seus conhecimentos adquiridos nas aulasanteriores.


11.1 Introdução

Em suas primeiras aulas você se deparou com os principais aspectos relaciona-

dos a funções. Naquela oportunidade foram apresentados conceitos já conhecidos

e outros novos, bem como discutidos diversas situações com aplicações. Você

foi conduzido a estudar os critérios que definiam uma função inversa e suas con-

sequências apresentadas em vários exemplos. Nesta aula faremos um estudo que

também relaciona funções inversas só que nosso objetivo é , apartir de uma dada

função que admite inversa, calcular a derivada desta inversa.

157

11.2 Derivadas de Funções Inversas

Se f (x) admite função inversa, digamos,g(x) então é possível obter a derivada da

função inversa,g(x), a partir do conhecimento da derivada da funçãof (x). Se é

verdade quef (x) admite uma inversa, entãoy = f (x) é tal que

x = x(y) = f−1(x)

é a função inversa def (x). É do seu conhecimento que

y′ = f ′(x) =d f(x)

dx.

Se obter a inversa dey= y(x) é escreverx= x(y) = g(y) , e se isto é possível, e esta

inversa for diferenciável, então1

x = g(y) =d g(y)

dy.

Com este resultado e lembrando o que destacamos na Aula 8, Página 8.2 podemos

escrever

y′ x = f ′(x)g(y) = 1.

Portanto,

g(y) =1

f ′(x), para f ′(x) 6= 0.(11.2.1)

Teorema 11.2.1.Seja f uma função diferenciável e inversível definida em um in-

tervalo aberto X e com imagem Y. Seja g a inversa de f . Então g é diferenciável

em todos os pontos de Y para os quais f′(g(y)) 6= 0. Para todos estes valores de y

e para x tal que f(x) = y a derivada de g é dada por

g′(y) =1

f ′(g(y))ou g′( f (x)) =

1f ′(x)

.

Exemplo 11.2.1.Calcule(√

x)′.

Solução 11.2.1.Façay=√

x. Então,x= y2 e x=d xdy

= 2y. Use agora a Eq. (11.2.1)

para obter(√

x)′

=1x

=12y

=1

2√

x, parax > 0.

Exemplo 11.2.2.Obtenha a derivada de lnx.

Solução 11.2.2.Use o mesmo procedimento anterior fazendoy = lnx. Então,x =

ey. Portanto,

(lnx)′ =1x

=1

ddy(e

y)=

1ey =

1elnx =

1x

.

1Para evitar confusão, veja você que mudamos a notação para esta derivada para ˙x =d xd y

.

158

Pode parecer que este resultado acima não seja muito transparente. Entretanto,

é possível discutir intuitivamente o que ocorre quando diferenciamos uma função

inversa. O gráfico da função inversa é simétrico em relação a retay = x. O mesmo

aplica-se as retas tangentes do gráfico da função, veja a Figura 11.2.1.

f (x)

g(x)

tg

t f

x

y

Figura 11.2.1: Representação esquemática de funções inversas entre sí e suas retastangentest f e tg.

Nota 11.2.1.O Teorema 11.2.1 não pode ser lido de forma única, ou seja, que

g′(y) =1

f ′(g(y)).

Mas, propriamente, como

g′(y) · f ′(g(y)) = 1.

Neste último caso ambasf e g além de serem diferenciáveis devem ser não nulas.

Por outro lado, em muitas casos é mais fácil derivard xd y (veja Exemplo 11.2.1 e

Exemplo 11.2.2) do qued yd x . Neste sentido, a regra da derivada inversa se torna

bastante útil.

Exemplo 11.2.3.As funçõesf (x) = x3 e g(x) = x1/3 são inversas entre sí. Deter-

mineg′(x) .

Solução 11.2.3.Note você que

f (g(x)) =[x1/3

]3= x e g( f (x)) = x.

Por simplicidade se restrinja ao intervalo(0, 1) para ambosf eg. Assim, d fd x = 3x2

parax ∈ (0, 1)) . Logo,2

d gd y

=1(

d fd x

) =1

3x2 =1

3y2/3.

2Observe a sutil diferença deste cálculo para aquele do Exemplo 11.2.1 e Exemplo 11.2.2.

159

Trocandox por y na equação acima obtemos

d g(x)d x

=13

x−2/3 .

O gráfico def , g em conjunto com as retas tangentes parax = 3/4 é mostrado na

Figura 11.2.2.

f (x)

g(x)

t f

tg

x

y

21.510.50

2

1.5

1

0.5

0

Figura 11.2.2: Representações gráficas para as curvasf eg e suas respectivas retastangentes emx = 3/4.

Exemplo 11.2.4.Obtenhad xd y

ondex = 1+y−3 .

Solução 11.2.4.Note que a funçãoy =1

3√

x−1é a inversa dex = 1+ y−3 . Para

este exemplo, parece-nos que é mais simples avaliard xd y

. Então,

d xd y

=d(1+y−3

)

d y= −3y−4 .

Agora podemos escrever

d yd x

= −13

y4 = −13

(x−1)4 .

Exemplo 11.2.5.Calculed yd x

sendox = y5 +y3 +y, e avalied yd x

em(1, 3) .

Solução 11.2.5.Perceba você que este outro exemplo sugere que façamos o cálculod xd y

. Procedendo desta forma encontramos

d xd y

= 5y4 +3y2 +1.

Desta forma teremosd yd x

=1

5y4 +3y2 +1.

160

Substituindoy = 3 no resultado acima, encontramos

d yd x

∣∣∣∣(1,3)

=1

433.

Apesar de não ser possível expressary como função dex, podemos tentar encontrar

o gráfico dex= x(y) e a partir desta averiguar se existe sua inversa, ou seja,x−1(y) .

Os gráficos dex = x(y) e de sua inversa é destacado na Figura 11.2.3.

x−1(y)y = x

x = y5 +y4 +y

x

y

420-2-4

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Figura 11.2.3: Gráfico dex= y5+y3+ye de sua inversax−1(y) . Perceba a simetriaem relação a retay = x.

Teorema 11.2.2.Se n é um inteiro positivo e y= x1/n, então

d yd x

=1n

x(1/n)−1 .

Devemos fazer algumas observações sobre este teorema. (i)y= x1/n é definida

para todox sen for ímpar e, (ii) está definida parax > 0 sen é par.

Por outro lado, ser é um número racional, então parax > 0

d yd x

= r xr−1 .

Exemplo 11.2.6.Obtenhadd x

(arcsenx) .

Solução 11.2.6.arcsenx representa a função inversa de senx. Sabemos que algu-

mas funções não admitem inversas para todo intervalo de sua definição. E este é

o caso da função senx. Então, considerey = g(x) = arcsenx definida no intervalo

[−1, 1]. Então,x= seny é sua inversa definida no intervalo[−π/2, π/2]. Uma vez

que

x = cosy 6= 0, para o intervalo(−π/2, π/2) .

161

Então,

g′(x) =1x

=1

cosy=

1cos(g(x))

.

Para o intervalo escolhido,

cosy =√

1−sen2y =√

1−x2 .

Logo,

g′(x) = (arcsenx)′ =1√

1−x2.

Exemplo 11.2.7.Obtenhadd x

(arccosx) .

Solução 11.2.7.Usando o mesmo procedimento anterior considera-sey = g(x) =

arccosx definida no intervalo[−1, 1], comx = cosy sendo sua inversa definida no

intervalo[0, π]. Assim

x = −seny 6= 0, paray∈ (0, π) .

Então,

g′(x) =1x

=1

−seny= − 1

sen(g(x)).

No intervalo escolhido,

seny =√

1−cos2 y =√

1−x2 .

Logo,

g′(x) = (arccosx)′ = − 1√1−x2

.

Listamos abaixo várias derivadas de funções trigonométricas. Use-as sempre

que possível para os exercícios que se farão presentes mais adiante.

(a) y = arcsenx, y′ =1

1−x2

(b) y = arccosx, y′ = − 11−x2

(c) y = arctgx, y′ =1

1+x2

(d) y = arccotgx, y′ = − 11+x2

(e) y = arcsecx, y′ =1

|x|(√

x2−1) , para|x| > 1

(f) y = arccosecx, y′ = − 1

|x|(√

x2−1) , para|x| > 1.

162

11.3 Conclusão

Nesta aula delineamos a questão do cálculo de derivadas de funções inversas. Você

averiguou que em muitas ocasiões talvez seja mais simples avaliar d xd y do qued y

d x .

Num certo sentido, aí encontra-se a importância do cálculo da derivada de uma

função através de sua inversa. Do ponto de vista geométrico,pudemos observar

intuitivamente o comportamento das retas tangentes à função inversa que segue o

mesmo padrão de simetria em torno da retay = x.

11.4 Resumo

Se f admite inversa e esta é denotada porg então

g′(y) · f ′(g(y)) = 1.

163

Exercícios

E. 1 ⊲ Obtenha a derivada paray = g(x) = arctgx.

E. 2 ⊲ Encontre as funções inversasy e suas derivadasd yd x

como função dex de:

(a) x = ky+c, k 6= 0

(b) x = 2y2 +1, y≥ 0

(c) x = y4−3, y≥ 0

(d) x = y2 +3y−1, y≥−32

.

E. 3 ⊲ Obtenha a função inversa de: (a)f (x) = coshx, (b) f (x) = senhx, e calcule

suas derivadas.

E. 4 ⊲ Avalie

limh→0

arccos(

12 −h

)−arccos

(12

)

h.

E. 5 ⊲ Sejay = xarcsenx−√

1−x2. Calculed yd x

.

E. 6 ⊲ A posição de um ponto móvel é definida pela funçãor(t) = t ln(t +1), em

que t é medido em segundos er em metros. Encontre a velocidade e a

aceleração do ponto móvel no instantet = 2s.

E. 7 ⊲ Consideref (x) = arcsenx+arccosx. Mostre quef ′(x) = 0. Conclua disto

que

arcsenx+arccosx =π2

.

E. 8 ⊲ Determine a derivada dey =√

x+1, a partir do cálculo ded xd y

.

E. 9 ⊲ Identifique se Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:

(a) (arcseny)2 +(arccosy)2 = 1.

(b) arcseny = arccosy não tem solução.

(c) arcseny é uma função crescente.

(d) arcseny é uma função ímpar.

(e) arcseny e −arccosy têm a mesma declividade, então elas são as mes-

mas.

(f) sen cosx = cossenx.

E. 10⊲ Determine as derivadas de:

(a) f (x) = arcsenx+arccosx+arctgx.

(b) f (x) =√

1−x2 arccosx.

164


E. 1 ⊲ (arctgx)′ =1

1+x2 .

E. 3 ⊲ (a) g(x) = f−1(x) = arccoshx = ln(

x+√

x2−1)

, parax≥ 1. g′(x) =

1√x2−1

, parax > 1. (b) g(x) = f−1(x) = arcsenhx = ln(

x+√

x2 +1)

,

parax > 1. g′(x) =1√

1+x2.

E. 5 ⊲ y′ = arcsenx.

E. 7 ⊲ f ′(x) =1

1−x2 +

(− 1

1−x2

)= 0, isto significa quef (x) é constante para

todo x. Sejac esta constante. Em particular, parax = 0 temosf (0) = c =

arccos0+arcsen0= π2 +0. Logo,c = π

2 .

E. 9 ⊲ (a) F, (b) F, (c) V, (d) V, (e) F, (f) F.

165

11.5 Referências






166

12 Taxa de Variação

Meta: Nesta aula daremos continuidade ao estudo de derivadas de funções. Avan-

çaremos este tema introduzindo novas aplicações. No tocante ao que brevemente

mencionamos na aula anterior por taxa de variação.

Objetivos: Ao fim desta aula esperamos que o aluno possa utilizar a ferramenta do

conceito de taxa de variação para aplicar em diversas situações de interesse.


12.1 Introdução

A princípio pode parecer que o simples fato de obter derivadas de funções

seja apenas um dos aspectos deste conceito. Como veremos nesta aula o cálculo

de certas grandezas está intimamente ligada com o ato de calcular derivada de

funções contudo, sob uma ótica de perceber como dadas grandezas variam em

relação a sua variável independente. Isto permite, por exemplo, discutir como uma

dada grandeza está variando num determinado instante. É comeste objetivo que

começaremos e finalizaremos esta aula.

167

12.2 Taxa de Variação

Uma dada grandeza,Q(x), pode sofrer modificações de três formas distintas:

(i) absoluta,∆Q

(ii) relativa,∆QQ

e,

(iii) percentual,∆QQ

× 100.

Medidas de alterações relativas são mais realísticas do queabsolutas. Daí, em

geral, preferirmos usar a primeira para ter uma noção da variação de uma dada

grandeza. Se, por exemplo, conhecemos a distância de Aracaju até a cidade de

Recife com erro dentro de 5km este resultado é mais expressivo do que saber a

nossa própria altura com erro dentro de 2cm. Em valores absolutos, 2cm é menor

do que 5km. Entretanto, em termos relativos 5km é menor. Compare:

5km550km

<2cm

175cmou 0.909%< 1.143%.

Exemplo 12.2.1.O raio de uma dada bola de sorvete valer = 10cm. Contudo, um

garoto realizou uma medida com erro estimado em 0.5cm para mais.

(a) Determine a variaçãodV no volume.

(b) Calcule as variaçõs relativasdr/r edV/V.

(c) Calcule também∆VV

.

Solução 12.2.1.(a) A expressão que representa o volume de uma esfera de raior

é dada por

V =43

π r 3 .

A variaçãodV em virtude dedr é obtida derivadando o volumeV em relação ar.

Ou seja,dVd r

= 4π r 2 . Assim, dV = 4π r 2 d r .

Inserindo os dados do exemplo encontramos

dV = 4π (10)2 (0.5) = 200π cm3 .

(b) De modo similar, encontramos

d rr

=0.510

= 5%, edVV

=4π r 2 d r

43 r 3

=200π4000π

3

= 15%.

168

(c) O raio medido pelo garoto ér = 10+0.5 = 10.5cm. Então,

∆VV

=43 π (10.5)3− 4

3 π (10)3

4000π/3= 0.1576= 15.76%.

Estes resultados mostram que a variação no raior é menos expressiva do que aquela

ocorrida para o volume. Em outras palavras, uma pequena variação no raio é bas-

tante sensível para a variação no volume.

Exemplo 12.2.2.É sabido que a aceleração gravitacional varia de lugar para lugar

sobre a superfície da terra. Isto foi observado quando em 1672, Jean Richer levou

um relógio de pêndulo de Paris para Caiena, na Guiana Francesa, e descobriu que

o relógio atravasa 2,5min por dia. Seg = 9,81m/s2 em Paris, qual o valor obtido

parag em Caiena?

Solução 12.2.2.Sabe-se que o período de um pêndulo realizando pequenas oscila-

ções é dado porτ = 2π√

l/g, ondel é o comprimento do pêndulo eg a aceleração

gravitacional. Escrevendog como função deτ encontramos

g =(4π2l

)/τ2 .

O termo(4π2l

)é constante uma vez que o pêndulo é o mesmo e mantém seu

comprimento constante. Comogvaria entãoτ também varia. Precisamos encontrar

d gdτ

.

Derivandog em relação aτ encontramos

d gdτ

=(4π2l

) (τ −2)′ .

Usando a propriedade P 6 nós encontramos

d gdτ

=(4π2l

) (τ −2)′ = −2

(4π2l

) (τ −3) .

Portanto,dg= −(8π2ld τ

)/τ3. Ou ainda,

d gg

=−(8π2ld τ

)/τ3

(4π2l)/τ2 = −2dττ

.

Como o pêndulo é o mesmo, a única coisa que está modificando na cidade de Cai-

ena é a aceleração gravitacional e, por conseguinte, o período τ . Uma vez que o

período atrasa em 2,5min/dia em Caiena, então espera-se que a aceleração gravi-

tacional nesta cidade seja ligeiramente menor do que em Paris. A relação obtida,

dg/g = −2dτ/τ , demonstra isto claramente. Note que sendodτ/τ > 0 então,

dg/g < 0. Sejaτ1

(= 2π

√l/g1

)e τ2

(= 2π

√l/g2

)as medições dos períodos

realizadas pelo pêndulo nas cidades de Paris e Caiena, respectivamente. Como o

169

pêndulo atrasa 2,5min/dia em relação ao período medido em Paris, torna-se con-

veniente substituir as diferenciaisdτ edg por ∆τ e ∆g, respectivamente. Assim

∆τ/τ = 2.5/(24×60) = 1/242. Logo,

∆g/g = (g2−g1)/g1 = −2∆τ/τ = −2

(1

242

)= − 1

288.

Do resultado acima encontramos

g2−g1

g1= − 1

288=⇒ g2−g1 = − 1

288g1 .

Resolvendo a equação acima parag2, teremos

g2 = g1−g1

288=

288−1288

g1 =287288

g1 .

Usandog1 = 9,81m/s2, encontramosg2 = 9,77m/s2 como sendo a aceleração

gravitacional estimada na cidade de Caiena.

Exemplo 12.2.3.Dois alunos de cálculo 1 estão observando um atirador localizado

a uma distânciaL de um alvo fixo, mirar horizontalmente um rifle para a mosca.

Um dos alunos diz que independente da distância (não nula) entre o alvo e o ati-

rador, este erra a mosca. O outro aluno discorda de seu colega. Suponha que não

existam forças dissipativas e que a velocidade do projétil sejav0 (constante), deter-

mine qual dos alunos tem razão, calculando a possível diferença entre a mosca e o

ponto onde o projétil atinge o alvo (Veja Figura 12.2.1).

prováveis trajetóriasdo projétil

y

x

mosca

alvo

Figura 12.2.1: Figura esquemática para oExemplo 12.2.3.

Solução 12.2.3.O movimento do projétil é constituido por duas equações inde-

pendentes. Uma relativa a posição ao longo do eixox e outra em relação ao eixoy.

170

Sendo

x = v0 t movimento emx

y = −12

gt2 , movimento emy.

Derivandoy em relação at encontramos

d yd t

= −gt .

Eliminandot da primeira equação do movimento e substituindo na equação obtida

acima, obtemosd yd t

= −gxv0

= − gv0

x.

Esta equação indica que a projétil está sempre se distanciando (na vertical) da

mosca e depende da posição do atirador. Assim, quanto mais distante o atirador

maior o erro ao alvo. Naturalmente só não há erro ao alvo, se a distância entre a

arma e o alvo for nula. Ou seja,x = 0.

A essência por trás deste termo taxa de variação pode ser brevemente discu-

tido.∆y∆x

representa a taxa de variação média dey no intervalo entrex ex+∆x. Ou

seja, esta relação nos informa como variay por unidade de variação dex naquele

intervalo. Quando∆x → 0, esta razão se aproxima de um valor limite, chamado

de derivada da função (veja Equação 8.2.1 da Seção 8.2). Estelimite nada mais é

do que a variação instantânea dey com relação ax.

171

12.3 Conclusão

Nesta aula tivemos a oportunidade de apresentar diversos exemplos de apli-

cações de derivada de uma função sob a ótica da taxa de variação da mesma em

relação a sua variável independente. Com isto pudemos destacar a potencialidade

do estudo de derivadas de funções desde as situações mais simples a situações mais

concretas.

12.4 Resumo

A medida da variação média de uma função representa uma relação da modi-

ficação def (x) em relação a sua própria variável independente,x, sob forma

∆ f∆x

.

No limite em que∆x → 0 passamos a analisar a taxa de variação instantânea, que

denomimanos de derivada da funçãof (x) em relação ax. Em outras palavras

d fd x

= lim∆x→0

∆ f∆x

.

172

Exercícios

E. 1 ⊲ Uma esponja tem a forma de um cone ciruclar e cresce quando encharcada

em água. Em um dado momento a altura é 6cm e está aumentando a uma

taxa de 0.3cm/s. Neste mesmo instante o raio mede 4cm e cresce a uma

taxa de 0.2cm/s. Determine de quanto está variando o volume da esponja

naquele momento.

E. 2 ⊲ Um cilindro tem raio dado porr =t3/2

1+ t3/2e alturah =

t1+ t

. Determine:

(a) A taxa de variação do seu volume.

(b) Qual a taxa de variação de sua área superficial (incluindobase e topo)?

E. 3 ⊲ O raio de um disco foi medido como sendor = 18cm com um erro na

medida de no máximo 0,1cm. Estime o erro máximo no cálculo da área do

disco.

E. 4 ⊲ Um “teco-teco” (Figura 12.4.1) está voando a uma altitude 9654km e passa

diretamente sobre a antena de um radar (SEM-DATA). Quando o “teco-

teco” está distantexkm da antena, o radar detecta que a distância entre a

antena e o “teco-teco” está aumentando a uma taxaskm/h.

� θ

Radar

x

r9654km

Figura 12.4.1: Figura esquemática para o Exercício 4.

(a) A velocidade do “teco-teco” neste momento.

(b) Qual a taxa de crescimento do ânguloθ no instante descrito acima?

173

E. 5 ⊲ Uma bola de sorvete derrete-se à uma taxa de 4cm3/min. Qual a velocidade

com que o raio da bola de sorvete está modificando quando o raioé r =

3cm?

E. 6 ⊲ A frequência de vibrações de uma corda de violino é dada por

f =1

2L

√Tρ

,

ondeL é o comprimento da corda,T é a tensão eρ é a densidade linear.

Determine: (a) Encontred fd L

, e (b)d fd T

.

E. 7 ⊲ Considere a funçãof (x) =x

x2 +1. Esta possui regiões de crescimento e

decrescimento, bem como pontos onde não encontra-se definida. Com ex-

ceção destes pontos a função é estritamente contínua passando por regiões

de máximo ou de mínimo. Dizer que uma função é crescente numa dada

região significa que sua taxa de variação é positiva. Do contrário ela é de-

crescente.

(a) Encontre regiões desta função ondef ′(x) > 0.

(b) Encontre regiões desta função ondef ′(x) < 0.

(c) Determine pontos ondef ′(x) = 0.

(d) Faça um gráfico desta função e identifique os pontos ondef ′(x) = 0.

E. 8 ⊲ O gás de um balão esférico escapa à razão de 2dm3/min. Mostre que a taxa

de variação da superfícieSdo balão, em relação ao tempo, é inversamente

proporcional ao raio.

174


E. 1 ⊲ (a)24π

5cm3/seg.

E. 3 ⊲ ∆A≃ 3.6π cm2 .

E. 5 ⊲ d r/d t =1

9πcm/min.

E. 7 ⊲ (a) f ′(x) > 0, para−1 < x < 1, (b) f ′(x) < 0, parax < −1 e x > 1, (c)

f ′(x) = 0 quandox = ±1, (d) x = −1 representa um ponto de menor valor

da função ex = 1 um ponto de maior valor.

xx2 +1

x

y

6420-2-4-6

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

175

12.5 Referências






176

13 Aplicações de Derivadas. Teoremasde Lagrange e de Rolle

Meta: Nosso objeto de estudo desta aula é apresentar aplicações adicionais do

cálculo de derivadas de funções. Dentro deste contexto se insere os Teoremas do

Valor Médio e de Rolle.

Objetivos: É desejável que ao fim desta aula todas as aplicações vivenciadas a

título de exemplos sejam capazes de despertar a curiosidadepara situações do co-

tidiano onde o cálculo possa ser aplicado.


13.1 Introdução

Toda as idéias inseridas até o presente momento destacaram diversos exemplos

enfocando várias situações de importância para a presente disciplina. Nesta aula

tentaremos abordar outras aplicações que servirão como pano de fundo para as

próximas aulas. A idéia central da aula se identifica com a discussão dos Teore-

mas de Lagrange1 e de Rolle que se destacam por permitir aplicações em diversas

situações de interesse.

Estes dois teoremas, que são o coração desta aula, permitem fazer uma cone-

xão entre a taxa de variação instantânea e a taxa média de variação de uma função.

O Teorema de Lagrange, do qual o Teorema de Rolle é um caso especial, diz que

se f é uma função diferenciável em um dado intervalo, então existe algum ponto

naquele intervalo onde a taxa instantânea de variação da função é igual a taxa mé-

dia da variação da função em todo o intervalo. Por exemplo, sef dá a posição

de um objeto movendo-se ao longo de uma reta, este teorema estabelece que se a

velocidade média sobre algum intervalo de tempo é 60km/h, então em algum mo-

mento daquele intervalo o objeto movia-se exatamente a 60km/h. Isto não é um

fato surpreendente, mas torna-se a chave para o entendimento de muitas aplicações

1mais conhecido por Teorema do Valor Médio

177

úteis.

13.2 Teoremas de Lagrange e de Rolle

Começamos esta aula enunciando o Teorema de Lagrange.

Teorema 13.2.1(Teorema de Lagrange). Se a função f(x) é contínua sobre o

segmento[a, b] e derivável no intervalo(a, b), então neste intervalo existe pelo

menos um valor de x= c, com a< c < b, onde se cumpre a igualdade

f (b)− f (a) = (b−a) f ′(c).

A interpretação geometrica deste teorema é a seguinte: tomedois pontosA eB da

função f (x), então existe pelo menos um pontox = c, em quea < c < b, onde

passa uma reta tangente àf (x) e é paralela à cordaAB. A Figura 13.2.1 esboça

a descrição geométrica deste teorema para uma dada funçãof (x). Perceba desta

figura que a declividade da retar é dada por∆y∆x

. Por sua vez a retaT é tangente à

curva f (x) emx = c e é paralela a retar. Logo, as declividades das retasr eT são

iguais, ou seja,∆y∆x

=f (b)− f (a)

b−a= f ′(c) . ✍

f (x)

-

6

∆x

∆yB

A T

x

y

c

r

Figura 13.2.1: Representação geométrica para o Teorema de Lagrange.

Exemplo 13.2.1.Sobre um arcoABda curvay = 2x−x2 encontre um pontoM no

qual a tangente seja paralela a cordaABsabendo queA(1, 1) eB(3, −3).

Solução 13.2.1.A função dada é contínua e derivável para todos os valores dex.

Segundo o Teorema de Lagrange entre dois valores dea = 1 eb = 3 deve existir

178

pelo menos um valorx = c que satisfaz a igualdade

y(b)−y(a) = y′(c)(b−a).

Atribuindo os valores elencados no exemplo, encontramos

(y(3)−y(1)) =y′(c)(3−1) = 2 (2−2c)(2(3)− (3)2)−

(2(1)− (1)2)=2 (2−2c)

−3−1 =2 (2−2c)

−4 =2 (2−2c) .

Cuja solução éc = 2. Substituindo este valor emy = 2x−x2 obteremosy(2) = 0.

Portanto, o pontoM procurado tem coordenadas(2, 0).

Exemplo 13.2.2.A função y = x2 cresce no intervalo[0, ∞), uma vez que para

quaisqueru e v com 06 u < v, f (u) = u2 < v2 = f (v). Por outro lado, esta função

é decrescente no intervalo(−∞, 0], desde que para quaisqueru ev comu < v 6 0,

f (u) = u2 > v2 = f (v). À luz do Teorema de Lagrange, discuta estas afirmações.

Solução 13.2.2.A função dada é, certamente, diferenciável em um intervalo(a, b).

Suponha agora quef ′(x) > 0 para todox ∈ (a, b). Seu ev são dois valores dex

no intervalo considerado, comu < v, então pelo Teorema de Lagrange, existe um

pontoc, comu < c < v, tal que

f ′(c) =f (v)− f (u)

v−u.

Uma vez quec∈ (a, b) e f ′(c) > 0, conclui-se que

f (v)− f (u) = f ′(c)(v−u) > 0.

Deixo a você a tarefa de mostrar que sendof ′(x) < 0 para todox∈ (a, b), devemos

encontrarf ′(c) < 0. Estas considerações nos informa que para determinar os inter-

valos onde uma função diferenciável é crescente (ou decrescente), basta conhecer

o sinal da derivada desta função nestes intervalos. Em outras palavras, intervalos

de decrescimento indicam declividade negativa (f ′(x) < 0). Enquanto, declividade

positiva estabelece intervalo de crescimento da função (f ′(x) > 0).

Exemplo 13.2.3.Mostre queb−a1+b2 < arctgb−arctga <

b−a1+a2 sea < b.

Solução 13.2.3.Sejaf (x)= arctgxe lembrando quef ′(x)=1

1+x2 (veja Aula 11),

entãof ′(c) =1

1+c2 . Pelo Teorema de Lagrange

f (b)− f (a) = f ′(c)(b−a) .

179

Disto resulta,

arctgb−arctga =b−a1+c2 , coma < c < b.

Da relaçãoa < c < b podemos escrever

11+b2 <

11+c2 <

11+a2

11+b2 <

arctgb−arctgab−a

<1

1+a2 .

Ou ainda,

b−a1+b2 <arctgb−arctga <

b−a1+a2 . ✍

Uma breve discussão sobre o valor dec é que ninguém se ocupa com o valor exato

dec. O que importa é sua existência. Por outro lado, já discutimos a questão de

aproximações de funções nas vizinhanças de um dado valor dex. O Teorema de

Lagrange afeta esta aproximação tornando-a exata, ou seja,

f (x) ≃ f (a)+ f ′(a)(x−a) ,

é conduzida à forma

f (x) = f (a)+ f ′(c)(x−a) ,

quandof ′ é calculada emx= c ao invés dex= a. Podemos culminar esta discussão

na seguinte proposição:

Proposição 13.2.1.A derivada em c dá a estimativa exata de f(x)

f (x) = f (a)+ f ′(c)(x−a) .

O Teorema de Lagrange é reescrito aqui como

∆ f = f ′(c)∆x,

em que a< c < x.

Exemplo 13.2.4.Conside a funçãof (x) = senx começando emf (0) = 0. A esti-

mativa linear desta função tem a forma

senx≃ x.

Discuta esta aproximação à luz do Teorema de Lagrange.

Solução 13.2.4.Sendof ′(x) = cosx então f ′(c) = cosc. Logo,

senx = f (0)+coscx= 0+(cosc) x = (cosc) x.

180

É natural que este último resultado seja mais preciso do que senx≃ x uma vez que

0 < c < x.

Exemplo 13.2.5.Sem uso de máquina de calcular mostreπ e > eπ .

Solução 13.2.5.y1 = π x ey2 = ex são funções contínuas e diferenciáveis para todo

x e,

π x > ex para todox > 0.

Por outro lado,y1(e) = π e < y1(π) = ππ ey2(e) = ee < y2(π) = eπ . Pelo Teorema

de Lagrange

∆y1

∆x=

ππ −πe

π −e= f ′(c1) > 0. Portanto,π π −π e = (π −e) f ′(c1) > 0,

em quec1 é algum número no intervalo(e, π) . De modo similar,

∆y2

∆x=

eπ −ee

π −e= f ′(c2) > 0. Portanto, eπ −ee = (π −e) f ′(c2) > 0.

Somando estes dois resultados encontramos

π π −π e+eπ −ee = (π −e)(

f ′(c1)+ f ′(c2))

> 0.

Lembrando queπ π −ee > 0, concluimos que

π π −π e+eπ −ee > 0, ⇒ π π −ee > π e−eπ > 0.

Logo,

π e > eπ . ✍

Antes de passarmos para a discussão do Teorema de Rolle, necessitamos esta-

belecer outro importante resultado. Suponha que um objeto éatirado verticalmente

para o ar de modo que sua posição no tempo é dada pory(t) e sua velocidade é

v(t) =dydt

. Ademais, suponha que ele atinja sua altura máxima emt = t0. Ao subir

o objeto move-se na direção positiva ev(t) > 0 parat < t0. Por outro lado, na

descida o objeto se move na direção negativa ev(t) < 0 parat > t0. Segue-se, pelo

Teorema de Lagrange e sendov(t) uma função contínua, quev(t0) = 0. Ou seja,

no tempot = t0, quando o objeto atinge altitude máxima, temosy′(t0) = 0. Este

resultado é extremamente útil que vale em geral para funçõesdiferenciáveis, não

apenas em valores de máximo mas também para valores de mínimo.

Teorema 13.2.2(Teorema de Rolle). Se a função f(x) é contínua sobre o segmento

[a, b], derivável no intervalo(a, b) e f(a) = f (b), então no intervalo(a, b) existe

pelo menos um valor de x= c, com a< c < b, onde f′(c) = 0.

181

A Figura 13.2.2 esboça geometricamente a situação descritiva para o Teorema de

Role. Observe que nos pontosA eB temos f (xA) = f (xB) e a reta tangente,T, à

curva emx = c, tem derivada nula. Este teorema impõe que as tangentes à curva

nestes pontos sejam, forçosamente, paralelas ao eixox.

-

6

A B

T

f (x)

y

xc

r

Figura 13.2.2: Representação geométrica para o Teorema de Role. A retar passapelos pontosA eB e é paralela aT.

Exemplo 13.2.6.A função f (x) = x2−6x+100 cumpre o Teorema de Rolle para

a = 1 eb = 5? Se verdadeiro para que valor isto ocorre?

Solução 13.2.6.A função f (x) é contínua e derivável para todos os valores dex e

seus valores nos extremos do segmento[1, 5] são iguais, ou seja,f (1) = f (15) =

95. Portanto, o Teorema de Rolle é satisfeito. Resta obter o valor para o qual

f ′(c) = 0. É fácil ver que este valor é dado porf ′(c) = 2c−6 = 0. Cuja solução é

c = 3.

Exemplo 13.2.7.Considere a funçãof (x) =3√

(x−8)2 e o intervalo[0, 16]. Dis-

cuta o Teorema de Rolle para esta função.

Solução 13.2.7.A função é contínua ef (0) = f (16) = 4. A derivada def (x) é

igual a f ′(x) = 2/(3 3√

x−8)

que não se anula para nenhum ponto no intervalo

(0, 16). O Teorema de Rolle não se aplica a este caso uma vez que a derivada de

f (x) não existe emx = 8.

Exemplo 13.2.8.Mostrar que a derivada do polinômiof (x) = x3−x2−x+1 pos-

sui uma raíz real no intervalo(−1, 1).

Solução 13.2.8.O polinômio dado pode ser escrito como(x−1)2(x+1). Re-

solvendo(x−1)2 (x+1) = 0 obtemos suas raízes que são dadas porx1 = x2 =

1 ex3 = −1. Ademais, f (−1) = f (1) = 0. Então, deve existir pelo menos um

valor c∈ (−1, 1) onde f ′(c) = 0. Resolvendo

f ′(x) = 3x2−2x−1 = 0

182

encontramosc1 = −1/3 ec2 = 1. Dentre os valores obtidos apenasc = −1/3 está

no intervalo considerado.

Exemplo 13.2.9.Considere a funçãof (x) =(x2−3x

)cosx para o intervalo[0, 8].

Encontre pontos em que a tangente af (x) é paralela ao eixox.

Solução 13.2.9.Pontos em que a derivada def tem tangente paralela ao eixo

x significa f ′(c) = 0. A função dada é contínua e diferenciável para todox no

intervalo. Logo, podemos usar o Teorema de Rolle para obter

f ′(c) = (2c−3)cosc−(c2−3c

)senc = 0.

Esta equação ainda pode ser reescrita como

(2c−3)cosc−(c2−3c

)senc = 0.

As raízes desta equação, para o intervalo considerado, são obtidas numericamente

e valem

c1 = 0.739, c2 = 2.328, c3 = 4.027, c4 = 6.682.

O gráfico da função dada e de sua derivada é apresentado na Figura 13.2.3. Atente

para a concordância entre os resultados obtidos acima e aqueles apresentados na

representação gráfica.

f ′(x)

f (x)

x

y

876543210

25

20

15

10

5

0

-5

Figura 13.2.3: Representações gráficas def (x) e f ′(x) para o intervalo conside-rado.

183

Conclusão

Esta aula apresentou dois importantes teoremas que nos possibilitaram destacar

diferentes aplicações. Destacamos, também, que o Teorema de Lagrange nos pos-

sibilitou definir critérios para determinar regiões de crescimento e decrescimento

de uma função a partir da análise do cálculo de sua derivada, bem como encontrar

valores de funções nas vizinhanças de um dado ponto em melhorestimativa do que

linearização linear.

Resumo

Nesta aula vimos o Teorema de Lagrange que estabelece

f (b)− f (a)

b−a= f ′(c)(x−a) , em que a < c < b,

e f (x) é uma função contínua no intervalo[a, b] e diferenciável em(a, b) . Um caso

particular deste teorema é quandof (b) = f (a) resultando em

f ′(c) = 0, em que a < c < b.

Este último é conhecido por Teorema de Rolle.

184

Exercícios

E. 1 ⊲ Verifique o teorema do valor médio paraf (x) = 2x2 − 7x+ 10, em que

a = 2, b = 5.

E. 2 ⊲ Se f ′(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo(a, b), prove quef (x) deve

ser uma constante no intervalo.

E. 3 ⊲ Encontre todos os pontos 0< c < 2 em quef (2)− f (0) = f ′(c)((2−0) .

(a) f (x) = x3

(b) f (x) = tgπ x

(c) f (x) = senπ x

(d) f (x) = 1+x+x2 .

E. 4 ⊲ Mostre que nenhum pontoc produz f (1)− f (−1) = f ′(c)(2) . Explique

porque o Teorema de Lagrange falha nestes casos.

(a) f (x) =

∣∣∣∣x−12

∣∣∣∣(b) f (x) = |x|1/2

(c) f (x) =1x2 .

E. 5 ⊲ Considere a funçãof (x) = x3− 2x ao longo do intervalo[−2, 2]. Encon-

tre pelo menos um valor dex no intervalo(−2, 2) para o qual a declivi-

dade da tangente àf (x) é paralela ao segmento de linha unindo os pontos

(0, 0) e (2, 4). Determine as equações das retas tangentes a estes possíveis

pontos.

E. 6 ⊲ Determine valores dex em quef (x) = 2x3+3x2−12x se anula no intervalo

[−4, 4] .

E. 7 ⊲ Encontre uma melhor estimativa para: (a)√

1.034, (b) ln 1.12, (c) 5√

36.

E. 8 ⊲ Discuta diferenças entre as funções

(a) f (x) =x

1+x2

(b) f (x) =x2−21+x2

(c) f (x) =x

1−x2

(d) f (x) =1

1−x2 .

à luz dos Teoremas de Lagrange e de Rolle.

185


E. 1 ⊲ f (2) = 4, f (5) = 25, f ′(c) = 4c−7. Então 4c−7 =25−45−2

ou c =72

.

E. 3 ⊲ (a)c =2√

33

, (b) Nenhumc real, (c)c =12

, (d) c = 1.

E. 5 ⊲ x = ±2√

33

, y = ± 16√

39

+2x(retas tangentes).

E. 7 ⊲ (a) 1.0169, (b) 0.12, (c) 2.0125.

186

13.3 Referências






187

14 Derivadas de Funções Compostas.Regra da Cadeia

Meta: A essência desta aula encontra-se destacado na obtenção de derivadas de

funções compostas.

Objetivos: Espera-se que ao final desta aula os estudos do cálculo de derivadas

de funções compostas tenham sido vivenciadas, trabalhadase compreendidas pelo

aluno.


14.1 Introdução

O cálculo de derivadas de funções que já foram destacadas atéo presente momento

sempre nos foram remetidas a utilização de suas propriedades ou ao cálculo tra-

dicional empregando limites sobre a taxa de variação. Veremos nesta aula que a

abordagem pode ser modificada sob certos aspectos e que isto nos trará uma grande

vantagem desde que saibamos usar apropriadamente a “técnica” aqui introduzido.

Talvez esta tenha sido um dos pontos que realmente não mencionamos nas aulas

anteriores no que se refere a derivadas de funções. Entretanto, é sabido que usa-

mos procedimentos que se assemelha a outras abordagens já destacadas nas aulas

iniciais. O estudo de derivadas de funções compostas se mostrará não apenas efici-

ente, mas também nos informará como atacar dadas questões emque o processo de

tomar limites sobre a taxa de variação ou o uso de propriedades seria impraticável

em uma gama de situações.

188

14.2 Derivada de Função Composta

Considere a idéia de obter a derivada da funçãog(x) =(1+x2

)404. Talvez

você estivesse pensando em duas hipóteses a priori:

• expandir(1+x2

)404, e derivar termo a termo. Ufa!!!

• usar a relação

lim∆x→0

∆g(x)∆x

. Quanto trabalho.

Antes de você pensar em qualquer dessas idéias acima vejamoso que se passa na

função acima.

(i) primeiro some 1 ao quadrado dex,

(ii) depois eleve tudo isto a potência 404.

Isto nos sugere algumas etapas e podemos obter o resultado daforma

(a) façau = 1+x2

(b) defina agoraf (u) = u404.

Se você observar com cuidado o papel da variávelu é intermediar o cálculo da fun-

ção dada. Isto pode ser esquematizado sob a forma do diagramada Figura 14.2.1.

x u

f (u)u = 1+x2

g(x)

Figura 14.2.1: Diagrama para composição def (u) .

Observe que ao invés de tratar diretamente comg(x) passamos a usar uma segunda

função que depende deu. Os valores assumidos porf (u) sob esta construção tem,

“embutida”, toda a variação que ocorre emx via u. Ao final, o resultado que é

gerado paraf (u) é o mesmo obtido parag(x). Sob esta óticau passa a ser uma

função dex e tal procedimento é denominado composição entre as funçõesf e u

com notação

g(x) = ( f ◦u) = f (u(x)) .

189

Toda a discussão acima gera algumas observações:

(a) que a imagem deu passa a ser o domínio def (u),

(b) que a imagem deg(x) é a imagem def (u) .

Você agora deve estar se perguntando: “a forma obtida paraf (u) é simples e posso

usar os meus conhecimentos para derivá-la. Mas como fica a relação comu(x)

nesta derivação?” É aqui que precisamos discutir a formalidade do que destacamos

na Introdução da aula.

Suponha que uma funçãog seja obtida através da regra de composição de função

composta. Ou seja,g(x) = f (u(x)). A questão agora é encontrar a derivada de

g(x). Um procedimento prático para obter a derivada deg(x) é realizado como se

segue. Considere, por conveniência, queg(x) = f (u(x)) possa ser modificada para

g = f (u) em queu = f (x). Então,

g′(x) =d g(x)

dx=

dd x

[ f (u(x))] =d

d u[ f (u)]

d ud x

=d fd u

d ud x

. ✍(14.2.1)

Note que ambas as funções,f eg, devem ser funções diferenciáveis. A regra im-

posta agora é conhecida como regra da cadeia e tem uma grande utilização prática

e importante em uma infinidade de cálculos de derivadas de funções.

Proposição 14.2.1.Seja f, u duas funções reais e defina uma nova função g dada

pela regra

g(x) = f (u(x)) .

Para qualquer valor de x onde as derivadas u′(x) e f′(u) existam, g′(x) também

existe e tem valor

g′(x) =d fd u

d ud x

= f ′(u)u′(x) .

Após toda esta discussão estamos em condições de apresentaros primeiros

exemplos. Sendo assim, passamos a eles.

Exemplo 14.2.1.Obtenha a derivada dey =(x2 +x

)10.

Solução 14.2.1.Fazendou = x2 +x encontramos,f (u) = u10. Agora

u′ = (x2 +x)′ = 2x+1, e f ′(u) = 10u9 .

Então,

y′(x) =d fd u

d ud x

= 10u9u′ = 10(x2 +x

)9(2x+1) .

Exemplo 14.2.2.Calcule a derivada deg(x) = xx.

190

Solução 14.2.2.Escrevendoxx = exlnx e fazendo a substituiçãou = x lnx, obtemos

f (u) = eu, e u′ = (xlnx)′ = lnx+1

Agora,d gd x

=d fd u

d ud x

=d fd u

u′ = eu (lnx+1) = xx (lnx+1) .

É comum empregar uma notação mais amigável para o cálculo de derivadas de

funções compostas. Isto é realizado escrevendo a Eq. (14.2.1) como1

g′(x) =d

d u[ f (u)]

d ud x

=d g(u)

d ud ud x

= gu ux .(14.2.2)

Exemplo 14.2.3.Calcule a derivada deg(x) = tanx2.

Solução 14.2.3.Fazendou = x2, entãog(u) = tanu, em queu = x2 . Por outro

lado,

u′(x) = ux = 2x e g′(u) = gu = sec2u.

Portanto,

g′(x) = g′(u)u′(x) = gu ux = sec2u×2x = 2xsec2x2 .

Está confuso?! Precisando de ajuda?! Humm, vejamos. Suponha que f (x) possa

ser reescrita comof (u) , em queu = u(x) . Então você teria algo do tipo

f depende deu eu depende dex.

Portanto,f depende indiretamente dex nesta ordem. Assim, você tem um esquema

como o mostrado abaixo.f (u) u(x)

ff depende de u u depende de x

então f′(u) =d fd u

então u′ =d ud x

xu

Como f = f (x) então, pela sequência do diagrama acima anterior concluimos

qued fd x

=d fd u

d ud x

.

Deixo a seu cargo mostrar que se uma dada função pode ser reescrita como f (u)

em queu(z), z= z(t) e t = t(x) então,

d fd x

=d fd u

d ud z

d zd t

d td x

.

1Isto é possível porqueg(x) tem a mesma forma quef (u) . Por exemplo, seg(x) =√

x+1,f (u) =

√u em queu = x+1.

191

Exemplo 14.2.4.Obtenha a derivada dey =√

xlnx.

Solução 14.2.4.Algumas derivadas necessitam um certo manuseio e é o caso deste

exemplo. Tome o logaritmo neperiano em ambos os membros dey =√

xlnx obte-

mos

lny = lnxln√

x =12

(lnx× lnx) .

Façau= ln ye derive em relação ax lembrando queu depende deyey depende dex.

Então,

d ud x

=dudy

dydx

=1y

y′ =ddx

[12

(lnx× lnx)

]=

12

(2

1x

lnx

)=

1x

lnx.

Ou ainda,

y′ = y

(1x

ln x

).

Substituindo a expressão paray, encontramos

f ′(x) = y′ =

(lnxx

)√x

lnx.

Exemplo 14.2.5.Determine a derivada deg(x) =√

3arctgx2

.

Solução 14.2.5.De modo similar ao exemplo anterior, tomando

u = arctgz, comz= x2

então,

g′(u) =(√

3u)′

=√

3uln√

3,

u′(z) =1

1+z2 e z′(x) = 2x.

Logo,

g′(x) = g′(u)u′(z)z′(x) =√

3u(

11+z2

)2x ln

√3 =

x√

3arctgx2

1+x4

ln3.

Exemplo 14.2.6.Diferencie a funçãof (x) = tg(

cos√

x4 +2x+5)

.

Solução 14.2.6.Convença-se quex4+2x+5> 0 para todox real e assim também

o é o radical. Por outro lado,|cosX | 6 1 e, portanto,f (x) está definida para

∣∣∣cos√

x4 +2x+5∣∣∣6 1.

Logo, a função dada está definida para todox real. Faça agora,

u = x4 +2x+5, v =√

u, z= cosv e f (z) = tgz.

192

Seguindo o mesmo procedimento dos exemplos anteriores teremos

u′ =d ud x

= 4x3 +2, v′ =d vd u

=1

2√

u

z′ =d zd v

= −senv, f ′ =d fd z

= sec2 z.

Então,

d fd x

=d fd z

d zd v

d vd u

d ud x

= sec2 z(−senv)

(1

2√

u

) (4x3 +2

).

Escrevendo todo este resultado na variávelx, encontramos

d fd x

= −sec2(

cos√

x4 +2x+5)

sen(√

x4 +2x+5) 2x3 +1√

x4 +2x+5.

14.2.1 Regra da Cadeia para Curvas Parametrizadas

Em muitos casos algumas funções podem ser parametrizadas emtermos de

uma dada variável, comumente,t . Como exemplo, considere uma partícula que se

move no planoxy de acordo com o par de equações

x = f (t), y = g(t) . equações parametrizadas

Então, toda informação sobre o comportamento da curva traçada pela partícula

é descrita por este conjunto de equações. Em particular, a relaçãodydx

fornece a

declividade da curva no plano considerado e é obtida usando aregra da cadeia, ou

seja,

dydx

=

dydtdxdt

=g′(t)f ′(t)

,

se as derivadas existirem e sef ′(t) 6= 0.

Exemplo 14.2.7.Uma partícula desloca-se sobre uma superfície plana de acordo

com as equações paramétricasx = t3− t ey = t2. Encontre a declividade da traje-

tória desta partícula para todot e faça um esboço gráfico da trajetória.

Solução 14.2.7.A declividade da curva traçada pela partícula é dada por

d yd x

=d y/d td x/d t

.

Uma vez qued xd t

= 3t2−1 ed yd t

= 2t, obtemos:

d yd x

=d y/d td x/d t

=2t

3t2−1, parat 6= ±

√3/3.

Por outro lado, o movimento do objeto se dá em duas direções independentes,x ey.

193

A Figura 14.2.2 mostra o comportamento das equações paramétricas ao longo das

direções independentes bem como a representação no planoxy da trajetória se-

guida pela partícula. Note que para cada direção independente as parametrizações

y(t)

x(t)

t21.510.50-0.5-1-1.5-2

3

2

1

0

-1

-2

-3

(a)

Q P

R

x

y

21.510.50-0.5-1-1.5-2

32.5

21.5

10.5

0-0.5

-1

(b)

Figura 14.2.2: Gráficos das equações (a)x = t3 − t, y = t2 e (b) da trajetória dapartícula no planoxy.

representam funções ao contrário da curva seguida pela partícula. Os pontosP eQ

representam, respectivamente, os casos quandot = −√

3/3 et =√

3/3. Enquanto

Rrepresenta o ponto(0, 1) onde a declividade assume valoresdy/dx=−1 parat =

−1 edy/dx= 1 parat = 1.

Diferenciação Logarítmica

Antes de finalizar esta aula permita-me discutir um pouco sobre o emprego da fun-

ção logarítmica para auxiliar na derivação de funções que apareceram em alguns

exemplos anteriores. O emprego de função logarítmica para obtenção de deriva-

das de algumas funções nada mais é do que uma técnica para derivadas, conhecida

como diferenciação logarítmica (DL) aplicada a funções quesurgem como produ-

tos ou potências e se baseia no fato de que a função logarítmica de um produto de

funções se escreve como uma soma de logarítmos. Com isto, seh(x) = f (x)g(x),

então lnh(x) = ln f (x)+ ln g(x). Portanto,

ddx

(ln h(x)) =ddx

(ln f (x))+ddx

(ln g(x)) .

Ou ainda,

h′

h=

f ′

f+

g′

g, conduzindo a h′ = h

(f ′

f+

g′

g

)= f ′g+ f g′ .

Esta é uma explicação básica para o uso da diferenciação logarítmica para obter

derivadas de algumas funções, além do fato de ser uma técnicade rara beleza.

194

Completando esta discussão considere os exemplos a seguir.

Exemplo 14.2.8.Encontredp/dx sep(x) = xx√

x−1.

Solução 14.2.8.Aplicando o logarítmo a ambos os membros encontramos

ln p = xlnx+12

ln(x−1) .

Tomando a derivada da equação resultante encontramos

d pd x

= p

(1+ lnx+

12(x−1)

).

Logo,dpdx

= xx√

x−1

(1+ lnx+

12(x−1)

).

Exemplo 14.2.9.Calcule a derivada dep = xlnx.

Solução 14.2.9.Procedendo como antes teremos

ln p = lnxlnx = ln2 x.

Portanto,p′

p=

(2x

lnx

).


p′ =

(2x

lnx

)xlnx .

Exemplo 14.2.10.Obtenha a derivada deq(x) = senxtgx para senx > 0.

Solução 14.2.10.Tomando o logarítmo em ambos os membros da função dada

temos

lnq = tgxln(senx) .

Portanto,q′

q= sec2xln(senx)+ tgxcotgx.

Simplificando encontramos o resultado

q′ = senxtgx(1+sec2xln(senx))

.

195

Conclusão

Nesta aula apresentamos uma nova abordagem para cálculo de derivadas de fun-

ções. Em particular, pudemos observar que o tratamento da substituição de variá-

veis apesar de bastante poderosa pode ser, também, uma faca de dois-gumes. Isto

porque, caso a sua substituição não for adequada seus cálculos poderão se torna-

rem espúrios ou mesmo penosos. Também fomos capazes de destacar esquemas de

“diagramas” para o cálculo de derivadas com isto permitindoque se tornasse claro

os cálculos e resultados envolvidos.

Resumo

Se uma funçãog puder ser descrita comog = f (u(x)) então

d gd x

=d fd u

d ud x

,

para f eu funções diferenciáveis.

196

Exercícios

E. 1 ⊲ Encontre as derivadas de:

(a) f (x) =(3x2−1

)16 (b) f (x) = sen6 x (c) f (x) = etgx

E. 2 ⊲ Diferencie a função ln|x| parax 6= 0.

E. 3 ⊲ Encontre a derivada de ln∣∣x2−4

∣∣ .

E. 4 ⊲ Considere a funçãou que é diferenciável para todox 6= 0. Mostre que se

f (x) = |u(x) |q então

f ′(x) = qu′(x)u(x)

|u(x) |q .

Baseado neste resultado mostre que se:

(a) f (x) = |x|3, entãof ′(x) = 3x |x| é definida para todox.

(b) f (x) =

∣∣∣∣12−senx

∣∣∣∣5

, então f ′(x) =−5 cosx12 −senx

∣∣∣∣12−senx

∣∣∣∣5

, está defi-

nida apenas para senx 6= 12

, ou seja, todox 6= π6

+ 2nπ e5π6

+ 2nπ

paran inteiro.

E. 5 ⊲ Calcule a derivada def (x) =√

senx parax ∈ (0, π) .

E. 6 ⊲ Uma partícula se move no plano de acordo com as equações

x =(1− t2)−1

, y =√

t .

Encontred yd x

.

E. 7 ⊲ Obtenhad yd x

sabendo quex = senet ey = coset .

E. 8 ⊲ Uma partícula se move segundo as equações

x = ecost e y = esent .

Encontred yd x

e construa o gráfico da trajetória.

197


E. 1 ⊲ (a) 96(3x2−1

)15x, (b) 6sen5xcosx, (c) etgxsec2x.

E. 3 ⊲2x

x2−4.

E. 5 ⊲cosx

2√

senx.

E. 7 ⊲d yd x

= −tget .

198

14.3 Referências






199

15 Diferenciação Implícita

Meta: Em continuidade a aula anterior e sob o mesmo enfoque é nosso intuito estu-

dar os aspectos que regem a diferenciação implícita de funções. Diversos exemplos

são destacados e suas interpretações físicas contextualizadas.

Objetivos: Espero que você ao final desta aula possa, em concomitância com os

aspectos destacados na aula anterior, estar apto a tratar questões que envolva esta

abordagem.

Pré-requisitos: Derivadas de Funções. Derivada de Funções Inversas. Regra da

Cadeia.

15.1 Introdução

Na aula passada atacamos o problema de diferenciar funções que de uma forma

ou de outra não se enquadravam nas formas tradicionais de representação. Contor-

navamos isto realizando substituições adequadas de variáveis e a partir daí lançar

mãos desta conexão para então encontrar a função derivada. Na aula que agora

apresentamos os deparamos com uma situação não muito diferente daquela cons-

tante na aula passada. Estaremos diante de relações em que não podemos expressar

explicitamente a função em termos de sua variável independente sob diversos as-

pectos. Ou por não ter uma forma analítica usual, ou seja,y = f (x), ou porque

se esta acontece se encontra sob mais de uma forma. Neste contexto, necessita-

mos lançar mão de uma nova ferramenta do cálculo que passamosa discutir logo a

seguir.

200

15.2 Diferenciação Implícita

Considere uma equação na formaF(x, y) = 0 em quex ey são variáveis reais.

Admitindo quex seja nossa variável independente esta equação nos informa que

variarx implica a uma variação emy de modo a garantirF(x, y) = 0. Existe uma

razão para esta representação e será agora discutida. A equaçãoF(x, y) = 0 deter-

mina uma forma implícita dey em função dex (ou vice-versa, caso consideremos

y como variável independente). Diz-se quey encontra-se implicitamente descrito

como função dex quando não é possível encontrar uma relação dey = y(x). Exis-

tem algumas formas que podem se tornar explícitas restrigindo-se algumas regiões

de F(x, y) = 0. Exemplo disto é a equaçãox2 + y2 = a2 que representa uma cir-

cunferência de raioa da qual podemos obter

y = ±√

a2−x2 .

Com isto pudemos escrevery = y(x) e adequadamente descrevemos

y = y(x) =

√a2−x2, para−a < x 6 a (semi-círculo superior)

−√

a2−x2, para−a 6 x < a. (semi-círculo inferior)

que representam duas funções para regiões distintas do gráfico dex2 +y2 = a2 .

Outro exemplo de equação implícita é expressa por

(x2 +y2)2

= x2−y2 ,

cujas soluções formam uma curva plana chamada “leminiscata”, veja Figura 15.2.1.

Perceba que partes desta curva também representam função, aexemplo da região

y≥ 0.

Entretanto, estamos interessados em avaliar a declividadedestes tipos de cur-

Figura 15.2.1: Figura de uma leminiscata.

201

vas sem que venhamos a resolvery= y(x) até porque isto nem sempre será possível.

Tal processo é chamado dediferenciação implícita.

Para obter a derivada de uma representação implícita emx ey realizamos a diferen-

ciação sobreF(x, y) = 0 em relação ax obtendo uma equação de primeira ordem

emy′. A partir daí encontramos a derivada dey′. Complicado? Alguns exemplos

são fornecidos logo abaixo e demonstram claramente a descrição do que fora men-

cionado logo acima. Antes, permita-me inserir esta proposição para que o tema se

desenvolva com maior clareza.

Proposição 15.2.1.y é uma função implícita de x se a equação

f (x, y) = g(x, y), ou ainda F(x, y) = 0,

determina y como uma função de x.

Exemplo 15.2.1.Considere a equação

x+xy= 2y,

encontred yd x

.

Solução 15.2.1.Perceba que a forma da equação dada se trabalhada é possível

escrevery = y(x). Entretanto, ela encontra-se na representação

f (x, y) = g(x, y) .

Assim, diferenciando ambos os membros de

x+xy= 2y,

teremos,dd x

(x+xy) =d xd x

+dd x

(xy) =dd x

(2y) .

Usando as propriedades de derivadas de funções e fazendo as diferenciais acima

encontramos

d xd x

+d xd x

y+xd yd x

=2d yd x

1+y+xd yd x

=2d yd x

.

Simplificando esta última equação, teremos

(2−x)d yd x

= 1+y =⇒ d yd x

=1+y2−x

=2

(2−x)2 .

Deixo a você mostrar que espressandoy = y(x) chegamos ao mesmo resultado.

202

Claramente você tem, neste exemplo, três modos distintos deobter o resultado

procurado, ou seja,

(i) diferenciando implicitamente e encontrandod yd x

em termos dex ey.

(ii) resolvendo paray = y(x) e diferenciando diretamente. Isto dád yd x

em termos

apenas dex.

(iii) resolvendo parax = x(y), diferenciando diretamented xd y

e usar a regra da

derivada inversa para obterd yd x

.

Exemplo 15.2.2.Encontred yd x

partindo da equação

y2 +2x2 = 2, paray≥ 0.

Solução 15.2.2.Diferenciando em relação ay, encontramos

dd y

(y2 +2x2)= 0 =⇒ 2y+4x

d xd y

= 0.

Portanto,d xd y

= − y2x

, ⇒ d yd x

= − 2xy

.

Resolvendo paray encontramos

y =√

2(1−x2) , y≥ 0.

Substituindo este resultado parad yd x

teremos

d yd x

=2x√

2(1−x2),

que está definida apenas para−1 < x < 1.

Exemplo 15.2.3.Use a técnica da diferenciação implícita para encontrar a expres-

são paray′ sabendo que tgy+ysenx = 3.

Solução 15.2.3.Diferenciando com relação ax e aplicando a regra da cadeia, en-

contramos

ddx

(tgy+ysenx) =ddx

(3)

dydx

ddy

(tgy)+dydx

ddy

(y)senx+yddx

(senx) = 0

y′(sec2y+senx

)+ycosx = 0.

203

Onde usamos o fato de que

dd y

(tgy) = sec2y,d yd y

= 1, edd x

(senx) = cosx.

Resolvendo paray′, obtemos

y′ = − y cosxsenx+sec2y

.

Exemplo 15.2.4.Obtenha a derivaday′ sabendo quex3 + lny−x2ey = 0.

Solução 15.2.4.Derivando com relação ax ambos os landos da equação, encontra-

se

3x2 +y′

y−x2eyy′−2xey = 0.

Resolvendo paray′ obtemos

y′ = −(2xyey−3x2

)y

1−x2yey .

Deixei a você a tarefa de fazer os cálculos intermediários que conduziram ao resul-

tado acima.

Exemplo 15.2.5.A curva y2 = x3 + 3x2 é chamada decúbica de Tschirnhausen.

Determine a equação da reta tangente a essa curva no ponto(1, −2).

(i) Em que pontos essa curva tem uma tangente horizontal?

(ii) Ilustre a situação realizando os gráficos da curva dada eda reta tangente no

ponto(1, −2).

Solução 15.2.5. (i) Diferenciando a equação dada em relação ax encontramos

dd x

(y2)=

dd x

(x3 +3x2)= 3x2 +6x

2yy′ =3x2 +6x.

Resolvendo paray′ temos

y′ =3x2 +6x

2y, definida paray 6= 0.

Esta curva terá retas tangentes horizontais quandoy′ = 0. Da equação acima

obtemos

3x2 +6x = 0,

que é satisfeita parax = 0 ex = −2. Para estes valores dex encontramos

y(0) = 0 ey(−2) = ±2. Concluimos que existem duas retas tangentes hori-

204

zontais à curva e que passam pelos pontosP1(−2, 2) eP2(−2, 2) . O ponto

(0, 0) não satisfaz o critério porquey′ não está definida paray = 0.

(ii) Em (1, −2) encontramos

y′∣∣∣∣(1,−2)

=3(1)2 +6(1)

2(−2)= − 9

4.

Logo, a reta tangente a curva neste ponto é

y− (−2) = −94

(x−1), =⇒ y = −94

x+14

.

A curva cúbica de Tschirnhausene a reta tangente calculada acima estão

destacadas na Figura 15.2.2.

x

y

43210-1-2-3-4

6

4

2

0

-2

-4

-6

Figura 15.2.2: Representação gráfica dacúbica de Tschirnhausene da reta tangenteno ponto(1, −2) .

Exemplo 15.2.6.Encontre a derivaday′ da equaçãox2 +y2 = a2 (a∈ R⋆+).

Solução 15.2.6.Derivando ambos os lados dex2 +y2 = a2 em relação ax obtere-

mos

dd x

(x2 +y2)=

dd x

(x2)+ d

d x

(y2)= 2x+

dd y

(y2) d y

d x

=2x+2yy′ = 0.

Ou seja,

y′ = −xy.

A taxa de variação da curva indica que quandox crescey diminui e vice-versa. Isto

é natural, até porque, a somax2 + y2 deve permanecer constante e igual aa2. Em

205

particular, a reta tangente em um pontoM (x0, y0) é dada por

y−y0 = −(x0/y0)(x−x0) , paray0 6= 0.

A Figura 15.2.3 apresenta o comportamento de uma reta tangente em um ponto

arbitrário sobre a curvax2 +y2 = a2.

x

y

a

x

yt

Figura 15.2.3: Comportamento da taxa de variação (bem como da reta tangente,t)da curvax2 +y2 = a2.

15.2.1 Detalhes Adicionais da Diferenciação Implícita

Já discutimos situações simples para obter a derivada de funções, como por

exemploy = 1/x. Entretato, ainda que esta relação descrevay explicitamente em

termos dex uma reescrita da mesma mostra queyx− 1 = 0 torna-se uma forma

implícita. Desta feita o que observamos é que o produto deyx deve sempre ser

igual a 1. Em outras palavras, fica subentendido que a variação emy depende da

variação dex. Assim, buscar a diferenciação deyx−1 = 0 requer que se leve em

conta esta informação. Assim, diferenciando esta relação devemos obter

(yx−1)′ = (yx)′− (1)′ = 0

= (y)′ x+y (x)′ = 0

= y′ x+y = 0.

Ou ainda,

y′ = −y/x = −1/x2 .

A diferenciação implícita permite que conheçamos a forma dey′ ainda que esta

não seja uma função explícita dex. Por outro lado, o conhecimento dey′ possibi-

lita a construção das retas tangentes e/ou normais ao gráficode F(x, y) = 0 para

pontos arbitrariamente definidos. Vale salientar que em muitos casos, a construção

206

gráfica deF(x, y) = 0 é visualizada apenas via manipulação de algum “software”

gráfico. Em muitas situações pode acontecer das variáveis envolvidas dependerem

de parâmetros ou variáveis, também de forma implícita. Estetipo de ocorrência é

muito comum e se faz necessário estar atento para descrever osistema em termos

destas possíveis variáveis “ocultas”. Nos exemplos que se seguem são destacadas

situações onde as variáveis envolvidas dependem implicitamente de outras variá-

veis.

Exemplo 15.2.7.Um ciclista encontra-se a oeste de uma interseção e pedala a uma

taxavo. Ao mesmo tempo outro ciclista encontra-se ao sul desta interseção e pedala

a uma taxavs(vs > vo) afastando-se da mesma (veja Figura 15.2.4). A pergunta que

se faz é: “a distância entre os ciclistas está aumentando ou diminuindo quando estes

se encontram ab a oeste da interseção eb a sul da interseção, e qual a taxa?”.

Solução 15.2.7.A representação esquemática ao lado mostra que o ciclistaC1

encontra-se à esquerda do eixox na posição(x, 0). De modo similar, o ciclistaC2

encontra-se na posição(0, y), ao longo do eixoy. As velocidades destes ciclistas

em relação ao sistema indicado sãovo (vo > 0) e−vs (vs > 0). Por outro lado,

a distância entre os ciclistas pode ser expressa em termos desuas posições, ou

seja,S=√

x2 +y2. Diferenciando ambos os lados desta equação em relação at,1

obtemos

d Sdt

=1S

(x

d xdt

+yd ydt

).

Quando os ciclistas encontram-se distantes de uma quantidade b, em relação à

interseção, podemos escrever

dSdt

=−bvo +(−b)(−vs)√

b2 +b2=

1√2

(vs−vo) , em que vs > vo .

A equação afirma quedS/dt > 0, ou seja, a distância entre os ciclistas está aumen-

tando a uma taxa1√2(vs−vo) .

y

xC1

C2

S

Figura 15.2.4: Representação esquemática para o Exemplo 15.2.7.

1Lembre-se que tantox quantoy variam comt e que, portanto,Stambém varia.

207

Exemplo 15.2.8.Uma bola de sorvete (esférica) derrete-se à uma taxa de 4cm3/min .

Qual a velocidade com que o raio da bola de sorvete está modificando quando o

raio ér = 3cm?

Solução 15.2.8.A fórmula que relaciona o volume de uma esfera com seu raio é

V =43

π r3. Contudo, percebe-se que a bola de sorvete está se derretendo à medida

que o tempo evolui. Portanto, ambosV e r são funções do tempot. Assim,V(t) =43

π r3(t). Diferenciando ambos os membros desta última relação obtemos

dVdt

=43

πd(r3(t))

dt= 4π r2(t)

drdt

.

Resolvendo esta última equação parar ′(t) encontramos

r ′(t) =V ′(t)

4π r2(t).

Sabemos do enunciado da questão que a bola de sorvete está derretendo à uma

taxa de 4cm3/min e desejamos determinar a velocidade com que o raio da bola de

sorvete varia quandor = 3cm. Substituimos estes dados, obtemos

r ′(t) =

(1

9π

)cm/min≃ 3,5milímetros/min.

Exemplo 15.2.9.Uma esponja tem a forma de um cone circular e cresce quando

encharcada em água. Em um dado momento a altura éh0cm e está aumentando a

uma taxaacm/seg. Neste mesmo instante o raio meder0 cm e está crescendo a uma

taxa debcm/seg. Determine de quanto está variando o volume naquele momento.

Solução 15.2.9.O volume de um cone circular é dado porV =π3

r2h. Note que,

como no exemplo anterior,V, r eh são funções que dependem do tempot. Por-

tanto, diferenciando em relação at encontramos

dVdt

=2π3

rhdrdt

+π3

r2 dhdt

.

Usando os dados que são fornecidos obtemos

dVdt

=2π3

r0h0 b+π3

r20 a.

Supondo queh0 = 6cm,r0 = 4cm,a = 0.3cm/seg eb = 0.2cm/seg, encontramos

dVdt

=2π3

×4×6×0.2+π3×42×0.3 =

24π5

cm3/seg.

208

Conclusão

Nesta aula tivemos a oportunidade de alargar nossas aplicações do estudo de deri-

vadas de funções. Estamos percebendo, à medida que avançamos nestes estudos,

que a abordagem propriciada pelo conhecimento da derivada de uma função for-

nece situações jamais antes imaginada. Em especial, estudamos os aspectos rela-

cionados a derivação de relações que apresentam duas variáveis correlacionadas e

ainda que tais expressões não necessitavam ser funções paraque pudessemos obter

a derivada das mesmas.

Resumo

Nesta aula definimos que a variávely é uma função implícita dex (ou vice-versa)

se temos uma equação da forma

f (x, y) = g(x, y) ,(15.2.1)

que determinay como função dex. Um exemplo disto é a equação

xseny+x2y = 2.

Assumindo qued yd x

exista esta é obtida tomando os seguintes passos:

1. diferencie ambos os lados da Eq. (15.2.1) para obter uma nova equação, ou

seja,

dd x

f (x, y) =dd x

g(x, y) .(15.2.2)

A regra da cadeia é aplicada neste passo.

2. Resolva a Eq. (15.2.2) parad yd x

. O resultado envolverá ambosx e y.

209

Exercícios

E. 1 ⊲ Faça substituições adequadas e encontred yd x

para:

(a) y = sen√

1+√

x (b) y =√

(3x+2) (c) y= sen(cos(4x−1))

E. 2 ⊲ Encontre a reta tangente as curvas dadas abaixo nos pontos especificados.

(a) x2 +xy+y2 = 7 em(1, 2) e (−1, 3)

(b) x2 = tgy em(π/4, 1)

(c) y3 +x = 4 em(4, 0)

(d) xy− ln(ex y) = 0 em(ln 2, 2) .

E. 3 ⊲ Um disco de raior = 1cm é inserido dentro de uma taça em formato de

parábola cuja equação éy = 2x2. Determine os pontos de contato do disco

com a parábola (veja Figura 15.2.5).

-

6

x

y

Figura 15.2.5: Representação esquemática para o Exercício3.

E. 4 ⊲ Determine a equações das retas tangentes à “leminiscata”

(x2 +y2)2 = x2−y2 ,

em um ponto arbitrário(a, b). Encontre pontos em que estas tangentes são

horizontais.

E. 5 ⊲ Encontred yd x

para as equações abaixo:

(a) x+√

x = y2

(b) x,y3 +xy6 = 1+y

(c) x3 +y3 = 1

(d) y(x+y) = 2

(e) x3 +y3−4xy= 2

(f) ysenx+sen2x = cos2x.

210


E. 1 ⊲ (a)cos(√

1+√

x)

4√

x√

1+√

x, (b)

3

2√

3x+2, (c)−4 cos(cos(4x−1))sen(4x−1) .

E. 3 ⊲

(±√

154

,158

).

E. 5 ⊲ (a) y′ =

1+1

2√

x2y

, (b) y′ = − 5x4 y3

3x5 y2 +6xy5−1, (c) y′ = − x2

y2 , (d) y′ =

− yx+y

= − y2

2, (e)

−3x2 +4y−4x+3y2 , (f) y′ =

−2 f±(x)−ycosxsenx

, em que

f±(x) =

f+(x) =√

2sen(2x+ π/4)

f−(x) =√

2 cos(2x−π/4) .

211

15.3 Referências






212

16 Derivadas de Ordem Superior.Regra de L’Hospital. Introdução aEDO

Meta: Nesta aula abordaremos os aspectos pertinentes a derivaçãode funções em

ordem superior à primeira. Uma breve discussão de destaque éa introdução do

estudo de equações diferenciais e seu uso em diversas áreas da ciências. Ainda

nesta aula estudaremos a aplicação de derivadas de funções para a obtenção de

limites que exibem indeterminações sob as formas 0/0 e∞/∞ ou quando não, sob

formas dedutíves a estas duas.

Objetivos: Espero que você ao fim desta aula possa atingir um nível mais avançado

do cálculo, obtendo derivadas de ordem superior a primeira ecalculando limites de

funções sob uma nova técnica.

Pré-requisitos: Derivada de funções. Regra da Cadeia.

16.1 Introdução

Em muitas ocasiões das aulas sobre cálculos de limites de funções sempre nos

deparavámos com expressões que nos penalizava a realizar difíceis manuseios al-

gébricos. Não nos passava pela mente usar a abordagem de derivada de funções

por diversos aspectos a começar pelo fato do não conhecimento e por outro lado

ainda que soubessemos teriamos de usar esta abordagem de forma criteriosa. Na

Aula 13 nos deparamos com dois importantes teoremas que juntamente com o Teo-

rema de Cauchy (a ser apresentado na aula de hoje) possibilitanos a calcular limites

de funções com uma técnica antes desconhecida. Ao mesmo tempo faremos uma

discussão sobre derivadas de ordens superiores que nos auxiliará a realizar a tarefa

que não nos cabia anteriormente. Ao final desta aula faremos uma breve exposição

sobre noções de equações diferenciais.

213

16.2 Derivadas de Ordem Superior

Em muitas aplicações de interesse, não somente a primeira derivada de uma

função que descreve o sistema físico é de importância. Assim, por exemplo, dada

a posição de um ponto móvel,x = x(t) a velocidade deste ponto móvel é dada por

pela equação

v(t) =dxdt

.

De modo similar, a aceleração é definida como sendo

a(t) =dvdt

.

De um modo geral, é possível descrever derivadas superioresà primeira como se-

gue.

Para uma funçãof (x), denominamos derivada de segunda ordem def (x) a

derivada def ′(x), denotada porf ′′(x) . Já a derivada de terceira ordem é obtida

calculando a derivada de segunda ordem def (x) e assim sucessivamente. Portanto,

a derivada den−ésima ordem def (x) é denotada por

f (n)(x) =(

f (n−1)(x))′

, paran = 2, 3, . . . .

Uma notação conveniente para descrever an−ésima derivada da funçãof (x) em

relação a variávelx é posta sob a forma

f (n)(x) =dn f (x)

dxn .

Exemplo 16.2.1.Obtenha a segunda derivada dey = x5−3x.

Solução 16.2.1.A primeira derivada dey é y′ = 5x4 −3. Assim, a segunda deri-

vada é obtida a partir deste resultado, ou seja,

y′′ =d2 yd x2 =

d y′

d x=

dd x

(5x4−3

)= −20x3 .

Exemplo 16.2.2.Consideref (x) = x2 ln x+3. Obtenhaf ′′(x).

Solução 16.2.2.Usando o mesmo procedimento anterior obtemos para a primeira

derivada da funçãof (x):

f ′(x) = 2x lnx+3+x2(

1x

)= 2x lnx+3+x.

Derivando f ′(x) chegamos a

f ′′(x) =(

f ′(x))′

= (2x lnx+3+x)′ = 2 lnx+3.

214

Por algumas razões se faz interessante calcular não apenas asegunda derivada

ou terceira derivada de uma função. Isto comumente acontecequando estamos

interessados em calcular uma relação que permita o cálculo da derivada de qualquer

ordem. Neste sentido passamos a apresentar alguns exemplos.

Exemplo 16.2.3.Obtenha an−ésima derivada dey = 2x .

Solução 16.2.3.Seguindo o procedimento do último exemplo acima encontramos:

y′ = 2x ln2, y′′ = (2x ln2)′ = 2x (ln2)2 , y′′′ =(

2x (ln2)2)′

= 2x (ln2)3 , .

Observando estes resultados percebemos que o termo 2x sempre se repete e o

termo ln2 é sempre elevado a potência de sua respectiva derivada. Assim somos

levados a concordar que

y(n) = 2x (ln2)n .

Exemplo 16.2.4.Considerey = senx. Obtenhay(n).

Solução 16.2.4.A primeira derivada dey é:

y′ = cosx = sen(x+ π/2) .

A segunda derivada é dada por

y′′ = (cosx)′ = (sen(x+ π/2))′ = −senx = sen(x+2π/2) .

Seguindo o mesmo processo a derivada de terceira ordem é obtida de:

y′′′ = −cosx = sen(x+3π/2) .

Perceba que os argumentos da funçãoseno(dos resultados acima) são sempre da

forma (x+ fator×π/2) . Estes resultados sugere que sejamos levados a concluir

que

y(n) = sen(x+nπ/2) .

Exemplo 16.2.5.Considere a funçãoy = ln x. Obtenhay(n) ey(n)(1) .

Solução 16.2.5.Usando o mesmo procedimentos dos exemplos anteriores tere-

mos:

y(1) = x−1, y(2) = (−1)x−2, y(3) = (−1)(−2)x−3, y(4) = (−1)(−2)(−3)x−4, . . . .

Assim, chegamos ao resultado

y(n) = (−1)(−2) · · · (−(n−1))︸︷︷︸(−1)n−1(n−1)!

x−n = (−1)n−1(n−1)! x−n .

215

Em particular,

y(n)(1) = (−1)n−1(n−1)! .

16.3 Teorema de Cauchy

Teorema 16.3.1(Teorema de Cauchy). Se f(x) e g(x) são funções contínuas no

intervalo [a, b] e diferenciável em(a, b), então existe um ponto c, com a< c < b,

tal quef (b)− f (a)

g(b)−g(a)=

f ′(c)g′(c)

.

O Teorema de Cauchy torna-se um caso especial do Teorema de Lagrange quando

g(x) = x e é, essencialmente, a base para a aplicação de um método conhecido

por Regra de L’Hospital, para obtenção de certos limites de funções postas em

forma de razão. Em outras palavras, este método lida com limites do quociente

f (x)/g(x) quandox → a quando ocorre de ambos, numerador e denominador,

tenderem simultaneamente a “zero” ou a “infinito”. Em quaisquer casos, nós temos

o que chamamos de forma indeterminada da razão limx→a

f (x)/g(x) causada pela

formas 0/0 ou∞/∞ quandox→ a. A regra de L’Hospital e suas consequências é

descrita logo a seguir.

16.3.1 Regra de L’Hospital

Em muitas ocasiões é comum a presença de uma análise mais profunda quando

se trata de obter limites de funções. Isto ocorre, particularmente, quando aparecem

o que chamamos de indeterminações. Considere duas funçõesf (x) e g(x) e uma

terceira funçãoh(x) possa ser definida como o quociente das funções acima, ou

seja,

h(x) =f (x)g(x)

.

Suponha também que ambas as funçõesf (x) eg(x) têm derivadas de ordemn em

torno de um dado pontox = a e queg(n)(x) 6= 0. Se

(a) limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = 0, ou

(b) limx→a

f (x) = ∞ e limx→a

g(x) = ∞,

as indeterminações mencionadas diz respeito as duas situações, quais sejam:

216

(a) limx→a

f (x)g(x)

=00

(b) limx→a

f (x)g(x)

=∞∞

.

Nestes casos, o procedimento para contornar as indeterminações dadas con-

siste em obter as derivadas superiores das funções descritas, simultaneamente no

numerador e denominador, até eliminar a indeterminação, ouseja:1

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

= limx→a

f ′′(x)g′′(x)

= · · · = limx→a

f (n)(x)

g(n)(x)=

L f

Lg, comLg 6= 0 .

(16.3.1)

Outras formas de indeterminações podem ser tratadas usandoa regra de L’Hospital

desde que possam ser postas numa das formas acima. São formasdedutíveis a 0/0

e/ou∞/∞:

(a) 0.∞

(b) ∞−∞

(c) 00

(d) ∞0

(e) 1∞ .

Teorema 16.3.2(L’Hospital). Suponha que f e g são diferenciáveis e que g6= 0

em um intervalo aberto I contendo a (exceto possivelmente ema). Suponha que

limx→a

f (x) = 0, limx→a

g(x) = 0 e limx→a

f ′(x)g′(x)

= L ,

em que L é um número real,∞ ou −∞ . Então

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

= L .

Nota 16.3.1.O Teorema 16.3.2 é válido para limites uni-laterais bem comopara

limites tomados à direita e à esquerda dex = a, e válido sea = ±∞ . Além disto,

destaque-se que o teorema é estendido para

limx→a

f (x) = ±∞ e limx→a

g(x) = ±∞ .

Exemplo 16.3.1.Obter o limx→1

x2−1+ lnxex−e

.

Solução 16.3.1.O numerador e denominador tendem, simultaneamente, a zero

quandox→ 1. Neste caso, temos uma indeterminação da forma 0/0. Aplicando a

regra de L’Hospital (R. L.), ou seja, examinando o limite da relação das derivadas

de f (x) = x2−1+ lnx eg(x) = ex−e, encontramos

limx→1

x2−1+ lnxex−e

= limx→1

(x2−1+ lnx

)′

(ex−e)′= lim

x→1

2x+ 1x

ex =3e

.

1Fique atento para as passagens da Eq. (16.3.1)!!!

217

Exemplo 16.3.2.Obter limx→∞

xn

ex .

Solução 16.3.2.Aqui aparece uma indeterminação na forma∞/∞ . Aplicando a

regra de L’Hospitaln vezes obtemos

limx→∞

xn

ex = limx→∞

nxn−1

ex = · · · = limx→∞

n(n−1)(n−2) · · ·1ex = 0.


(1x− 1

ex−1

).

Solução 16.3.3.Quandox→ 0 o limite para a expressão dada reduz-se a∞−∞.

Portanto, um limite dedutível às formas 0/0 ou∞/∞. O que você deve fazer agora é

tentar reescrever a expressão dada de modo a poder empregar aregra de L’Hospital.

De fato, é possível escrever

limx→0

(1x− 1

ex−1

)

como

limx→0

(ex−1−xx(ex−1)

).

Sob esta reescrita a indeterminação passa a ter a forma 0/0. Portanto, aplicando a

regra de L’Hospital duas vezes, chegamos a:

limx→0

(ex−1−xx(ex−1)

)= lim

x→0

(ex−1−x)′

(x(ex−1))′= lim

x→0

(ex−1

(x+1)ex−1

)

︸︷︷︸forma 0/0 aplica de novo R.L.

= limx→0

(1

x+2

)=

12

.

Exemplo 16.3.4.Determinar limx→0

(1+x)lnx .

Solução 16.3.4.O limite acima assume a forma 1∞ quandox → 0. Portanto, é

possível encontrar uma forma de reescrever a expressão dadae usar a regra de

L’Hospital. De fato, faça:

(a) y = (1+x)lnx

(b) tome agora o logarítmo neperiano da relação acima, ou seja,

ln y = ln x ln(x+1) ,

e use o mesmo procedimento do exercício anterior, aplicandosucessivas aplicações

218

da regra de L’Hospital, para obter:

limx→0

lny = limx→0

ln(1+x)1/ lnx︸︷︷︸

forma 0/0 aplica R. L.

= limx→0

1/(1+x)

−1/(x ln2 x)= − lim

x→0

ln2 x(1+1/x)︸︷︷︸

forma∞/∞ aplica R. L.

= − limx→0

2lnx1/x︸︷︷︸

forma∞/∞ aplica R. L.

= −2 limx→0

1/x1/x2 = lim

x→0(x) = 0.

Uma vez que a função logarítmica é contínua para todo seu intervalo de validade,

podemos escrever

limx→0

lny = ln

(limx→0

y

).

Portanto,

ln limx→0

y = ln

(limx→0

(1+x)lnx)

= 0 = ln 1.

Ou ainda,

limx→0

(1+x)lnx = e0 = 1.

Uma realização gráfica das funções(1+x)lnx e lny = ln(1+ x) ln x é apresentada

na Figura 16.3.1.

ln x ln(1+x)

(1+x)ln x

x

y

10.80.60.40.20

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 16.3.1: Representação gráfica das funções(1+x)lnx e ln(1+ x) ln x. Ob-serve os valores assumidos pelas mesmas quandox → 0.

Exemplo 16.3.5.Determinar limx→π/2

(tgx)2cosx .

Solução 16.3.5.A forma de indeterminação agora é do tipo∞0 . Façamos

y = (tgx)2cosx

e tomando o logaritmo neperiano em ambos os membros desta última relação ob-

219

teremos

lny = 2 cosxln tgx = 2ln tgx/(1/cosx) = 2 ln tgx/secx.

Perceba que com esta nova reescrita o limite quandox→ π/2 em 2 ln(tgx)/secx

encontraremos uma indeterminação da forma∞/∞. Agora estamos em condições

de usar a regra de L’Hospital para obter

limx→π/2

2 ln tgxsecx

= 2 limx→π/2

sec2 xtgxsecxtgx

Esta relação ainda apresenta indeterminação do tipo∞/∞, quandox→ π/2. Apli-

camos novamente a regra de L’Hospital e com um pouco de álgebra encontraremos

limx→π/2

secxtgx/(sec2xtgx) = limx→π/2

cosx = 0.

Uma vez que limx→π/2

lny = 0 e lembrando quey = elny, então,

limx→π/2

y = elimx→π/2 ln y .

concluimos que

limx→π/2

y = limx→π/2

(tgx)2cosx = e0 = 1.

Exemplo 16.3.6.Obtenha o limx→0

(x2 lnx

).

Solução 16.3.6.Aqui a função apresenta uma indeterminação do tipo 0·∞ quando

x→ 0. Parece-nos que isto sugere que possamos reescrever a funçãoem forma de

um quociente. Sugiro que você escolha a reescrita

lnx1/x2 .

Observe que sob esta representação encontramos uma indeterminação do tipo∞/∞ .

Portanto, passível de aplicação da regra de L’Hospital. Assim,

limx→0

(ln x1/x2

)= lim

x→0

(ln x)′

(1/x2)′= lim

x→0

1/x−2/x3 = −1

2limx→0

x2 = 0.

Portanto,

limx→0

(x2 lnx

)= 0.

Exemplo 16.3.7.Encontre limx→∞

(xex/2

x+ex

).

Solução 16.3.7.Este caso se apresenta sob uma indeterminação do tipo∞/∞. En-

220

tão, procedento ao uso da regra de L’Hospital, encontramos

limx→∞

(xex/2

x+ex

)= lim

x→∞

(xex/2

)′

(x+ex)′= lim

x→∞

(ex/2 (1+x/2)

1+ex

)

︸︷︷︸forma∞/∞ aplica R. L.

=12

limx→∞

(2+x/2

ex/2

)

︸︷︷︸forma∞/∞ aplica R. L.

=12

limx→∞

(1/2

1/2ex/2

)= 0.

Exemplo 16.3.8.Determine limx→0

(x−senx

x3

).

Solução 16.3.8.Percebe-se que ambos, numerador e denominador, assumem va-

lores nulos quandox→ 0. Aplicando a regra de L’Hospital duas vezes obtemos

limx→0

(x−senx

x3

)= lim

x→0

(1−cosx

3x2

)= lim

x→0

senx6x

=16

limx→0

senxx︸︷︷︸

igual a 1

=16.

16.4 Introdução a Equações Diferenciais

Podemos sintetizar o que seja equação diferencial dizendo que isto ocorre

quando tal equação envolve derivadas de uma funçãof bem como suas variáveis

independentes. São exemplos de equações diferencias as formas

(a) y′ = 2

(b) y′ +y= 4

(c) y′′ +xy= 0

(d) x+4senx = 0.

Quando fornecemos uma equação diferencial estamos sempre interessados em

descobrir a funçãof que a satisfaz. Assim dada,

y′ = 2,

estamos procurando a funçãoy cuja primeira derivada é sempre igual a 2. Entre-

tanto, no momento ficaremos devendo estas soluções para retornar mais adiante,

quando começarmos as aulas sobre integrais de funções. Então, espero que você

aguarde até lá.

Como acredito que você está curioso como isto funciona passoa seguir alguns

exemplos.

Exemplo 16.4.1.Averigue se a funçãoy = 2x satisfaz a equação diferencial

y′ +2= 0.

221

Solução 16.4.1.A derivada dey = 2x é y′ = 2. Substituindo este resultado na

equação diferencial dada encontramos

y′ +2 = 2+2 6= 0.

Logo, a função dada não satisfaz a equação diferencial dada.Portanto, não é nossa

função procurada.

Exemplo 16.4.2.Determine o valor dea da funçãoy = ax, para que a mesma

satisfaça a equação diferencial

y′ +4= 0.

Solução 16.4.2.A derivada da função dada éy′ = a. Substituindo na equação

diferencial encontramos

y′ +4 = a+4 = 0.

Concluimos quea = −4 e y = −4x é uma das funções que satisfaz a equação

diferencial dada. Mais adiante veremos que todas funções dotipo y = −4x+c em

quec é uma constante satisfaz a equação dada.

16.5 Conclusão

Nesta aula pudemos observar que existem técnicas adicionais para o cálculo

de limites de funções que se apresentam sob formas de indeterminações fazendo

uso de derivadas de ordem superiores de funções. Ao mesmo tempo pudemos

destacar que a derivação den−ésima ordem de uma função conduz a uma relação

de recorrência o que, em muitos casos, é de suma importância.

16.6 Resumo

Se f é uma funçãon vezes diferenciável suas derivadas de ordem superior são

dadas por

f (n)(x) =dn

d xn f (x) , paran = 1, 2, . . . .

O Teorema de L’Hospital estabelece que sef eg são funçõesn vezes diferenciáveis

comg′ 6= 0, então

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

= limx→a

f ′′(x)g′′(x)

= · · · = limx→a

f (n)(x)

g(n)(x)=

L f

Lg, comLg 6= 0 .

222

Claramente o limite acima pode ou não existir, ou seja,

limx→a

f (x)g(x)

=L f

Lg=

finito

não-finito.

223

Exercícios

E. 1 ⊲ Calculey′′ para cada das funções.

(a) y = x2 +2x.

(b) y = x3 ex .

(c) y = cosx2.

(d) y = ln x2 .

(e) y = ex2.

(f) y = log10(x2 +1

).

(g) y= senbxem queb é uma cons-

tante.

E. 2 ⊲ Determiney′′ para a equaçãox2 +y2 = 8.

E. 3 ⊲ Determiney′′ parax3 +y3 = 4xy.

E. 4 ⊲ Calculey(n)(x) e y(n)(a) para as funções dadas nos valores dea.

(a) y = e2x , e a = 0 (b) y = cosx, ea = 0 (c) y= coshx, ea= 0.

E. 5 ⊲ Calculey(n)(x) e y(n)(a) para as funções dadas nos valores dea.

(a) y = senx, ea = 0 (b) y = ex , e a = 0 (c) y= senhx, ea= 0.

E. 6 ⊲ Calcule os limites:

(a) limx→0

1−√

x+1x2

(b) limx→0+

x3 ln x

(c) limx→1

1− 1x√

x−1

(d) limx→0

xsenx .

224


E. 1 ⊲ (a) y′′ = 2, (b) y′′ = x(6+6x+x2

)ex, (c) y′′ = −4x2 cosx2 − 2senx2,

(d)y′′ =− 2x2 , (e)y′′ = 2

(1+2x2

)ex2

, (f) y′′ = 10x22 ln 10

(1+(2 ln 10)x2

),

(g) −b2senbx.

E. 3 ⊲ y′′ =(3y2−4x)(4y′−3x2)− (4y−3x2)(6yy′−4)

3y2−4x2 , para 3y2−4x2 6= 0.

E. 5 ⊲ (a) y(4n)(x) = senx, y(4n+1)(x) = cosx, y(4n+2)(x) = −senx, y(4n+3)(x) =

−cosx. y(4n)(0) = 0, y(4n+1)(0) = 1, y(4n+2)(0) = 0, y(4n+3)(0) =−1, para

n = 0, 1, 2, 3 . . . . (b) y(x) = y′(x) = y′′(x) = . . . = y(n)(x) = ex . y′(0) =

y′′(0) = . . . = y(n)(0) = 1, paran = 0, 1, 2, . . . . (c) y(x) = senhx, y′(x) =

coshx, y′′(x) = senhx, y(2n)(x) = senhx, y(2n+1)(x) = coshx. y(2n)(0) = 0,

y(2n+1)(0) = 1, paran = 0, 1, 2, . . . .

225

16.7 Referências






226

17 Aplicações de Derivadas

Meta: Nesta aula iniciaremos a primeira parte para aplicações elementares do es-

tudo de derivadas de funções. Lidaremos com vários exemplosde diferentes áreas

do conhecimento e faremos várias discussões.

Objetivos: Espero que nesta aula você possa se convencer ainda mais do poder do

estudo de derivadas de funções ao analisar todos os exemplosapresentados bem

como propondo vários exercícios ao final desta aula.

Pré-requisitos: Derivada de funções. Regra da Cadeia. Diferenciação Implícita.

17.1 Introdução

Esta aula tem como objetivo principal o enfoque em exemplos diversos para pos-

teriormente tratar de um conceito interessante (próxima aula). Você será colocado

frente-a-frente com diferentes exemplos que estão associados à Geometria, Física,

Química, entre outros. É possível, a partir destes exemplos, propiciar a correla-

ção com outros problemas do cotidiano conforme será visto. Então, feita estas

considerações preliminares, o que você está esperando paraadentrar nos próximos

exemplos?

227

17.2 Aplicações à:

Geometria

n

tM

f (x)y

x0

Figura 17.2.1: Retas tangente,t, e

normal,n, à curvaf (x) no pontoM.

Conhecida f (x) então f ′(x) = tanθ

ondeθ é o ângulo formado pelo semi-eixo

positivo x e a tangente à curva no ponto

(x, y) = (a, b) . A equação da reta tangente

neste ponto é dada por

y−b = f ′(a)(x−a) ,(17.2.1)

em que f ′(a) é o valor da declividade no

pontoM(a, b). Por outro lado, a equação da

reta normal no mesmo ponto (veja esquema

apresentado na Figura 17.2.1) é dada por

y−b = − 1f ′(a)

(x−b) ,(17.2.2)

O ângulo entre duas curvas diferenciáveisf e g em x = a, veja Figura 17.2.2, é

determinado pelo cálculo do ângulo entre as retas tangentesa f e g em x = a e

dado por

tgφ =g′(a)− f ′(a)

1+ f ′(a)g′(a).(17.2.3)

A Eq. (17.2.3) tem algumas situações interessantes, em particular, aquela em que

g(x)

φ

f (x)

xa

Figura 17.2.2: Representação esquemática para o cálculo doângulo entre duascurvas emx = a.

duas curvas são ortogonais entre si. Neste sentido podemos destacar a observação

que se segue:

Nota 17.2.1. Duas curvas são ortogonais num ponto de interseção se suas retas

tangentes neste ponto são perpendiculares. Assim, uma família de curvas é orto-

228

gonal a outra família de curvas se cada curva de uma família é ortogonal a todas as

curvas da outra família.

Mecânica Clássica

Por outro lado, conhecida a função da posição de um ponto móvel como fun-

ção do tempo,r(t), então sua velocidade e aceleração pode ser unicamente deter-

minada através de

v =d rd t

e a =d vd t

.

A partir destas equações é possível descrever o comportamento das curvas obtidas

nos planos descritos porx versusv, x versusa e v versusa chamadas de espaço de

fase (veja breve discussão de curvas parametrizadas na Aula14, Seção 14.2.1).

Exemplo 17.2.1.Obtenha as equações das retas tangente e normal à curva

x2 +y2 = 4,

no pontoM (√

2,√

2).

Solução 17.2.1.Do Exemplo 15.2.4 da Aula 15 temosy′ =−(a

b

)=−

(√2/

√2)

=

−1. Portanto, a reta tangente é dada por

y−√

2 = −(x−√

2) , ou ainda y+x−2√

2 = 0,

enquanto a reta normal é expressa pory−x = 0.

Exemplo 17.2.2.Encontre o ângulo formado pelas parábolasp1(x)= 8−x2 e p2(x)=

x2 em seu ponto de interseção.

Solução 17.2.2.As parábolas se cruzam no ponto obtido da solução de

8−x2 = x2 .

Ou seja,x = ±2. Substituindo estes valores em uma das equações das parábolas

encontramosp1(±2)= p2(±2)= 4. Então os pontos de intersecção sãoP(−2, 4) eQ(2, 4) .

Derivando as equações dadas você encontrará

p′1 = −2x e p′2 = 2x, respectivamente.

Aplique a Eq. (17.2.3) para o pontoP(−2, 4) e você vai encontrar

tgφ =p2(−2)− p1(−2)

1+ p′1(−2) p′2(−2)= − 4+4

1−16,

ou seja,

φ = arctg

(815

).

229

Uma estimativa grosseira para o ângulo entre as curvas nesteponto éφ ≃ 28◦ .

Enquanto para o pontoQ(2, 4), φ = −arctg(8/15) . A Figura 17.2.3 esboça os

gráficos das parábolas.

p2(x)

p1(x)

QP

x

y

43210-1-2-3-4

10

8

6

4

2

0

-2

-4

Figura 17.2.3: Representação gráfica das parábolasp1(x) e p2(x) .

Exemplo 17.2.3.A posição de um ponto móvel está definido pela funçãor(t) =

t ln(t +1) com t medidos em segundos er em metros. Encontre a velocidade e

aceleração do ponto móvel no instantet = 2s.

Solução 17.2.3.A velocidade é dada por

d rd t

= ln(t +1)+t

t +1,

enquanto a aceleração vale

a =d vd t

=t +2

(t +1)2 .

Portanto, quandot = 2s a velocidade valev(2) =(ln3+ 2

3

)m/s e a aceleração

a(2) = 49 m/s2.

Exemplo 17.2.4.Uma partícula move-se no planoxy de acordo com as equações

paramétricas

x(t) = acosω t

y(t) = asenω t ,

sendoa e ω constantes reais. Determine e discuta a trajetória da partícula no plano

xybem como discuta o movimento segundo os planosx versusv e a versusv.

Solução 17.2.4.A partícula descreve um movimento em duas direções indepen-

dentes, quais sejam:x e y, respectivamente. Para determinar a trajetória desta

230

partícula no planoxy é comum expressar explicitamentey em função dex, apesar

de que nem sempre isto é possível. Lembrando que

cos2ω t +sen2 ω t = 1,

encontramos das equações parax ey a relação

x2 +y2 = a2 . Forma implícita entrex ey .

Concluimos, com este cálculo que a partícula descreve uma circunferência de raio

a no planoxy.

Uma vez que o movimento se dá em duas direções independentes avelocidade

e aceleração para cada direção são dadas por:

(a) vx =d xd t

= −aω senω t , vy =d yd t

= aω cosω t

(b) ax =d vx

d t= −aω2cosω t , ay =

d vy

d t−aω2senω t , respectivamente.

x

y

x

y~v

~a~r

Figura 17.2.4: Movimento de uma partícula no planoxy. Perceba o comportamentodos vetores velocidade e da aceleração durante o movimento.

A partir destas equações, obtemos

v2x +v2

y = (aω)2 e a2x +a2

y =(aω2)2

,

que representam circunferências nos planosvx versusvy eax versusay .

De acordo com segunda lei de Newton e na hipótese que a massa não varie, a

força atuando sobre a partícula é dada por

~F = m= m(

ax~i +ay~j)

= −aω2(

cosω t~i +senω t~j)

= −ω2~r (t) ,

em que~r = a cosω t~i +asenω t~j .

Desta forma, conclui-se que a força é radial e apontando parao centro do

sistema de coordenadas (veja Figura 17.2.4). Deixo a você, caro aluno, o exercício

231

para determinar e reconhecer a descrição geométrica dex2 + v2x, v2

x + a2x ex2 + a2

x

bem como as representações para a componentey do movimento da partícula.

Exemplo 17.2.5.Sob certas condições um boato se espalha de acordo com a equa-

ção

p(t) =1

1+ae−kt ,

ondep(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no instantet (medido

em horas), ea ek são constantes reais positivas. Obtenha:

(a) limt→∞

p(t)

(b) a taxa de espalhamento do boato. Discuta este resultado no limite t → ∞ .

(c) o gráfico dep paraa = 10 ek = 0.5

(d) a partir do gráfico obtido no intem anterior estime o temponecessário para o

boato atingir 80% da população.

Solução 17.2.5.(a) Notadamente que a função dada representa um sistema físico

similar a uma propagação de um dano. Este modelo serve para discutir situa-

ções de propagação de endemias, entre outros processos físicos. Você poderia

pensar esta equação dada como sendo o crescimento de um tipo de espécie que

em algum momento pode atingir um “colapso”. Note que

limt→∞

(1+ae−kt

)→ 1.

Assim, limt→∞

p(t) = 1. Por trás deste resultado está a explicação física de que

toda a população estará ciente do boato propagado após um lapso de tempo

razoavelmente longo. Isto é naturalmente correto.

(b) Por outro lado, a velocidade com que o boato é propagado é medido pela rela-

çãodp/dt. Ou seja,dpdt

= ake−kt

(1+ae−kt)2 .

Espera-se que a medida que mais e mais pessoas tomem conhecimento do bo-

ato esta propagação do boato sature sensivelmente, uma vez que já observamos

que limt→∞

p(t) = 1. Isto é conclusivo pensar que limt→∞

(d pdt

)seja nulo. Note você

que já estamos fisicamente descrevendo os provavéis resultados antes mesmo

de obtê-los e isto é muito importante. Não basta realizar contas, faz-se natural

232

que se saiba o que seja plausível como resultado esperado. Defato,

limt→∞

d pdt

= ak limt→∞

(e−kt

(1+ae−kt)2

)

= ak limt→∞

(1

(ekt/2 +ae−kt/2

)2

)

= ak

1

limt→∞

(ekt +2a+a2e−kt

)

= 0.

Perceba que limt→∞

(ekt +2a+a2e−kt

)→ ∞ desde que o termo ekt é, preponde-

rantemente, elevado (o que você pode concluir da velocidadede propagação

quandot é muito pequeno?!).

(c) Para que 80% da população seja conhecedora do boato o tempo necessário para

que isto ocorra é obtido da equação

0.8 =1

1+10e−0.5t .

Desenvolvendo esta última encontramos

1+10e−0.5t =1

0.8=

108

10e−0.5t =108

−1 =108

− 88

=28

e−0.5t =2/810

=140

.

Aplique o logaritmo natural a ambos os membros da equação acima para obter

ln(e−0.5t)= ln

(140

)= − ln 40

−0.5t =− ln40.

Cuja solução é

t =

(32

ln 2+12

ln 5

)≃ 7.4horas.

A Figura 17.2.5 destaca o gráfico dep(t) edp/dt quandoa = 10 ek = −0.5

(você pode precisar quais são as unidades dimensionais destas duas constan-

tes?).

Exemplo 17.2.6.Para o ar à temperatura ambiente nós supomos que a pressão e

o volume estão relacionados pela equaçãoPV1,4 = C,1 ondeC é uma constante.

1Boyle e Mariotte descreveram a relação entre a pressão e o volume de um gás. Eles derivarama equaçãoPVγ = C. Esta equação é comumente denominada lei adiabática. A constanteγ dependeda estrutura molecular do gás e da temperatura. Para os propósitos deste exemplo, consideramosγ = 1,4.

233

dp(t)/dt

p(t)

x

y

181614121086420

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 17.2.5: Gráfico das funçõesp(t) edp(t)/dt.

(a) ConsidereP uma função deV e determine a taxa queP varia com relação a

V, (b) Em algum instantet0 a pressão do gás é 25kg/cm2 e o volume é 200cm3.

Encontre a taxa de variação deP se o volume aumenta a uma taxa de 10cm3/min.

Solução 17.2.6.(a) Diferenciando ambos os lados da equaçãoPV1,4 = C obtemos

dPV1,4 +1,4PV0,4 dV = 0.

Simplificando encontramos

dPdV

= −1,4PV−1 = −1,4C

V2,4 .

Esta equação indica que uma expansão no volume conduz a uma diminuição na

pressão. (b) Deste último resultado podemos escrever

dPdt

= −1,4

(PV

)dVdt

.

Usando os dados, obtemos

dPdt

= −1,4

(25kg/cm2

200cm3

)10cm3/min = −1,75(kg/cm2)/min.

234

17.3 Conclusão

Esta aula foi uma síntese das aulas anteriores que versaram sobre o tópico

de derivadas de funções. Você pode averiguar um conjunto de novas aplicações

onde o intuito principal foi a discussão física que encontrava-se envolvida nestes

exemplos. Foi possível destacar que sempre é possível ter uma noção plausível dos

resultados a serem obtidos fazendo uma exposição do contexto físico envolvido no

problema.

17.4 Resumo

Cálculo de ângulo entre curvas

tgφ =g′(a)− f ′(a)

1+ f ′(a)g′(a).

Dada x(t) ey(t) podemos obter a velocidade e aceleração de um ponto móvel

usando

vx =d xd t

, vy =d yd t

, componentes de velocidade,

e

ax =d vx

d t, ay =

d ay

d t, componentes da aceleração.

235

Exercícios

E. 1 ⊲ Obtenha as equações para as retas tangente e normal ao gráficopara a fun-

ção dadas abaixo nos pontos indicados.

(a) f (x) = x2 +x+2 emx = 0

(b) f (x) = x2−1/x emx = 1

(c) f (x) = 12x√

x2 +4 emx = 2

(d) f (x) =x√

x2 +1emx = −1.

E. 2 ⊲ Determine as equações das retas tangentes e normais à curva

x5 y3 +xy6−y−1= 0,

nos pontos(1, 1), (1, −1) e (0, −1) .

E. 3 ⊲ Um pequeno foguete é lançado verticalmente para cima e sua função dis-

tância em relação ao solo é expressa por

y(t) = −t2 +100t ,

comt medido em segundos ey em metros.

(a) Encontre o momento em que a velocidade do foguete se anula.

(b) Determine o instante e com que velocidade o foguete atinge o solo.

E. 4 ⊲ Considere o movimento de um carrinho ao longo de um círculo deraio

r = 10cm. O centro deste círculo é o ponto(0, 0). Em um dado momento o

carrinho se encontra no ponto(5cm, 5√

3cm) e está se movendo em direção

ao centro do círculo a uma taxa de 3cm/min. Encontre a taxa com que ele

está se movendo na direção horizontal.

E. 5 ⊲ Encontre todos os pontos da curva

(x2 +y2)2

= 2x2−2y2 ,

ondey′ = 0.

E. 6 ⊲ A energia cinética de um objeto movendo-se em linha reta é dada por

K =12

mv2 ,

em quemé a massa do objeto ev sua velocidade. Se a aceleração do objeto,

a =d vd t

, é constante e vale 9.8m/s2, encontred Kd t

quandov = 10cm/s.

236


E. 1 ⊲ (a) reta tangente:y = x+2, reta normal:y = −x+2.

(b) reta tangente:y = 3(x−1), reta normal:y = −x3

+13

.

(c) reta tangente:y =3√

22

x−√

2, reta normal:y = −√

23

x+8√

23

.

(d) reta tangente:y =

√2

4x−

√2

4, reta normal:y = 2

√2x+

32

√2.

E. 3 ⊲ (a) t = 50s, (b)t = 100s,v = −100cm/s.

E. 5 ⊲ (

√3

2,

12), (

√3

2, −1

2), (−

√3

2,

12), (−

√3

2, −1

2) .

237

17.5 Referências






238

18 Aplicações de Derivadas:Otimização

Meta: Nesta aula lidaremos com os conceitos básicos para a elaboração dos crité-

rios da otimização, para daí, então, tratar com as aplicações, propriamente dita.

Objetivos: Espera-se que ao final desta aula você tenha concebido os conceitos do

estudo de extremos de funções e seus assuntos correlatos, a exemplo dos problemas

de otimização.

Pré-requisitos: Derivada de funções. Regra da Cadeia. Diferenciação Implícita.

18.1 Introdução

Em todas as aulas que destacaram o assunto sobre derivadas defunções vivenci-

amos diversos tipos de aplicações. Até mesmo antes de abordar este conceito já

destacávamos exemplos pertinentes ao que passaremos a tratar nesta aula com um

enfoque completamente distinto e completo, por assim dizer. O estudo de extre-

mos de funções é de grande valia em diversas áreas das ciências e está intimamente

associada ao aspecto da otimização. Questões como obter o menor custo, ou o me-

lhor rendimento são situações muito comum em nosso cotidiano e neste sentido

esta aula se insere por fornecer elementos que nos possibilitam apresentar os con-

ceitos e critérios para abordar extremos de uma função.

239

18.2 Otimização

A descrição de funções crescentes foi destacada na Aula 3. Agora, retornamos

a esta abordagem fazendo uso dos conceitos de derivadas de funções.

Teorema 18.2.1.Se f é uma função contínua em[a, b] e diferenciável em(a, b),

exceto possivelmente em algum x0 ∈ (a, b), então:

(a) se f′(x) > 0 para todo x< x0 então f é crescente nesta região,

(b) se f′(x) < 0 para todo x> x0 então f é decrescente nesta região, e

x0 é ponto de máximo de f.

y

xa b c

f (a)

f (b)

f (c)

Figura 18.2.1: Representação esque-mática de uma função com regiões decrescimento e decrescimento ef (b) éo maior valor assumido.

y

xa b c

f (c)f (b)

f (a)

Figura 18.2.2: Representação esque-mática de uma função com regiõesde decrescimento e crescimento comf (b) sendo o seu menor valor.

A Figura 18.2.1 mostra que uma dada função é crescente para o intervalo(a, b)

e decrescente para(b, c) e emx = b a função assume seu maior valor (ponto de

máximo).

O Teorema 18.2.1 serve alternativamente para o caso mostrado na Figura 18.2.2

e, em contraste com a situação anterior, agora temos:

(a) f ′(x) < 0 parax∈ (a, b), a função é decrescente

(b) f ′(x) > 0 parax∈ (b, c), a função é crescente

(c) f ′(x) = 0 parax = b. Logo, f (b) é um mínimo da função.

Nota 18.2.1.Quando a função é contínua e derivável emx = x0, e se este ponto é

ponto de máximo ou de mínimo, entãof ′(x0) é nula.

240

Nota 18.2.2.Os pontos de máximo e de mínimos de uma função são denominados

extremos da função.

Mesmo que a função não seja derivável emx= x0, mas se for contínua, ainda assim

é possível determinar os seus pontos de máximo ou de mínimo. AFigura 18.2.3

destaca esta situação para uma função contínua, porém não diferenciável emx= x0.

y

x0

f (x)

x0

Figura 18.2.3: Exemplo de função contínua que exibe um máximo onde a mesmanão é diferenciável.

Definição 18.2.1(Condição necessária para o extremo). Se a funçãof (x) possui

um extremo emx = x0, então a derivadaf ′(x0) deve se anular ou não existir.

O pontox0 onde f ′(x0) = 0 se chama ponte estacionário. Os pontos onde

f ′(x) = 0 ou f ′(x) não existe são ditos pontos críticos. Nem todo ponto críticoé

um ponto extremo.

18.3 Detalhamento de Máximo e Mínimo de Funções

A questão de máximos e mínimos de funções apresenta detalhesadicionais

que são inerentes à própria questão. A Figura 18.3.1 mostra uma função f (x)

contínua qualquer. Detalhando o intervalox∈ (a, b) você pode perceber diversos

pontos de máximos e mínimos da mencionada função. Em particular, emx1 a

função assume um mínimo local no intervalo(a, x2), enquanto no intervalo(x1, x3)

a função tem máximo local emx2. Por outro lado, o menor valor assumido pela

função (denominado mínimo absoluto) éf (x3) e o maior valor (máximo absoluto)

é f (x5) ambos localizados no intervalo(a, b).

241

Nota 18.3.1. Algumas funções não exibem pontos de máximo ou de mínimo lo-

cal.1 Um exemplo típico disto é a funçãof (x) = ax+b coma eb constantes reais.

Neste caso, e para um intervalo finito, os extremos inferior esuperior do segmento

da reta são considerados seus pontos de mínimo e de máximo absoluto, respectiva-

mente.

x

y

a bx1

f (x)

x2 x3 x4 x5

Figura 18.3.1: Representação esquemática de pontos de máximos e mínimos deuma funçãof (x).

Destas considerações é possível destacar alguns critériosadicionais para má-

ximos e mínimos de uma funçãof (x):

(a) f (x) tem máximo local (ou relativo) emxmax−r se no intervalo(a, b) existir

algumx 6= xmax−r tal que f (x) > f (xmax−r )

(b) f (x) tem mínimo local (ou relativo)xmin−r se no intervalo(a, b) existir algum

x 6= xmin−r tal que f (x) 6 f (xmin−r)

(c) f (x) tem máximo absolutoxmax no intervalo(a, b) se para todox ∈ (a, b),

f (x) 6 f (xmax)

(d) f (x) tem mínimo absolutoxmin no intervalo(a, b) se para todox ∈ (a, b),

f (x) > f (xmin).

Exemplo 18.3.1.Investigue as regiões de crescimento e decrescimento da função

f (x) = x3−3x2.

Solução 18.3.1.A função dada é um polinômio, portanto, trata-se de uma função

contínua e derivável para todox∈ R. Por outro lado,f ′(x) = 3x2−6x. Os pontos

onde f ′(x) = 0 sãox1 = 0 ex2 = 2. Percebe-se, claramente, que as regiões onde

1Pontos de extremos locais são também denominados de pontos relativos.

242

f ′(x) > 0 encontra-se nos intervalos(−∞, 0) e (2, +∞), enquantof ′(x) < 0 para

x∈ (0, 2). Portanto,f (x) é crescente nos intervalos ondef ′(x) > 0 e decrescente

onde f ′(x) < 0. Os pontosx1 = 0 ex2 = 2 são pontos de máximo e de mínimo

da função. A Figura 18.3.2 destaca o comportamento da funçãof (x) = x3 − 3x2

bem como sua derivadaf ′(x) = 3x2 −6x. Perceba a concordância gráfica com as

afirmações analíticas obtidas.

f ′(x) = 0

f (x)

f ′(x)

x

y

43210-1-2

1086420

-2-4-6-8

Figura 18.3.2: Gráficos da funçãof (x) = x3−3x2 e de sua derivadaf ′(x) = 3x2−6x. Note que os pontos ondef ′(x) = 0 a funçãof tem um extremo.

Exemplo 18.3.2.Obtenha os pontos extremos def (x) = 1− (x−2)4/5 .

Solução 18.3.2.O cálculo da derivada def fornece

f ′(x) = −45

(x−2)−1/5 = − 4

5 5√

x−2,

que não se anula para valor algum dex e não está definida emx = 2. Logo,x = 2

1− (x−2)4/5

x

y

6543210-1-2

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

Figura 18.3.3: Gráfico da funçãof (x) = 1− (x−2)(4/5).

243

é ponto crítico da função dada. Por outro lado, paraε > 0(≃ 0), obtemos:

f ′(2− ε) =− 4

5 5√

2− ε −2= − 4

5 5√−ε

=4

5 5√

ε> 0,

f ′(2+ ε) =− 4

5 5√

2+ ε −2= − 4

5 5√

ε< 0.

Portanto, observando as regras para obtenção de extremos (veja Definição 18.2.1)

e os critérios de para determinação de crescimento/decrescimento de uma função,

concluimos quex = 2 é ponto de máximo da função dada e seu gráfico é destacado

na Figura 18.3.3.

Exemplo 18.3.3.Considere a função

y =1−x2

1+x2 ,

e obtenha os possíveis extremos desta função e faça o esboço da mesma.

Solução 18.3.3.A função está definida para todos os valores reais dex e a primeira

derivada desta função é

y′ = − 4x

(1+x2)2 .

Portanto, o zero dey′ ocorre emx = 0. Resta saber se este ponto é de máximo ou

de mínimo. Calculey′(0− ε) ey′(0+ ε) paraε > 0(≃ 0), para obter

y′(0− ε) =4ε

(1+ ε2)2 > 0

y′(0+ ε) =− 4ε(1+ ε2)2 < 0.

Portanto, conclui-se que o pontox = 0 é ponto de máximo ey(0) = 1. Os zeros da

função dada sãox = ±1, respectivamente. Quandox→±∞ obtemosy = −1 que

é uma assíntota horizontal da função e o seu gráfico é destacado na Figura 18.3.4.

x

y

6420-2-4-6

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Figura 18.3.4: Gráfico da funçãoy =1−x2

1+x2 .

244

Exemplo 18.3.4.Os ponteiros de um relógio medema eb(b > a), respectiva-

mente. Unindo seus extremos formamos um triângulo.

(a) obtenha em função do tempot a área do triângulo

(b) determine o instante entre 12h e 12h30min para a qual a área é máxima.

Solução 18.3.4.A Figura 18.3.5 mostra a situação esquemática para este exemplo.

A área de um triângulo formada pela união dos extremos dos ponteiros do relógio

de tamanhosa eb é dada por12|~a×~b| .

Os extremos dos ponteiros do relógio se movem à medida quet evolui com di-

nâmica ditada pelos ângulos que aqueles formam com um “eixo”horizontal, con-

forme mostrado na figura e, se movimentam a uma taxa constante. De modo que

os ângulosα e β são descritos pelas relações

α = 2π fa t e β = 2π fb t .

Os extremos dos ponteiros podem ser descritos pelos vetores

~a = (a cos2π fat, asen2π fat)

~b = (b cos2π fbt, bsen2π fbt) .

em quefa e fb representam a frequência com que os ponteiros do relógio se movi-

mentam. Por outro lado, o ponteiro dos minutos completa 12voltas a cada 12horas.

Enquanto que neste mesmo intervalo de tempo o ponteiro das horas completa ape-

nas 1volta. Logo,fb = 12fa. Com estes dados obtemos

|~a×~b| = absen[2π ( fb− fa) t] = absen(22π fat) .(18.3.1)

Uma vez que a frequência do ponteiro das horas é de uma volta a cada doze horas,

βαa b

Figura 18.3.5: Situação esquemática para o Exemplo 18.3.4

245

entãofa = 1/720min−1. Logo, a Eq. (18.3.1) pode ser reescrita como

|~a×~b| = absen

(22π720

t

).

Claramente percebe-se que o maior valor assumido para a áreado triângulo for-

mado pela união dos extremos dos ponteiros do relógio é obtida quando

22πt720

=π2

.

Isto fornecet =18011

minutos⋍ 16,36min.

A Figura 18.3.6 destaca uma porção do gráfico da função sen

(22π720

t

). Por-

tanto, a maior área obtida entre 12h e 12h30min ocorre quandoa hora marcada

for, aproximadamente, 12h16min22seg. Como era de se esperar, este tempo inde-

pende dos tamanhos dos ponteiros do relógio. Note, também, que nem sempre se

faz necessário realizar cálculos de derivadas para determinar para que valores da

variável independente a função terá valores extremos (máximo ou mínimo). Neste

caso, a simples análise do argumento da funçãosenopermitiu encontrar o máximo

para o intervalo solicitado.

0.96

0.97

0.98

0.99

1

14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18

|~a×~b|ab = sen

(22π720t)

t

Figura 18.3.6: Gráfico da função sen(22π t/720) .

Exemplo 18.3.5.Rubi (um esquilo fêmea) está sendo perseguida por Trovão um

esquilo perverso. Trovão está tentando alcançar Rubi mesmocom seu dedo, do

pé, quebrado. Rubi necessita chegar a sua casa na árvore (um buraco) porque seu

pés já estão doendo. Ela, então, oscila de um galho de árvore que tem equação

y = x2 + 1. Rubi precisa agora saltar de algum ponto do galho até sua casa em

(2, 3/2), de modo que a distância seja mínima. Determine:

(a) em que ponto do galho da árvore deverá saltar Rubi?

246

(b) qual a distância deste ponto até sua casa na árvore?

Solução 18.3.5.A esquematização do exemplo é ilustrado na Figura 18.3.7. Con-

sidere que o pontoR representa Rubi e que o pontoP(2, 3/2) é o local onde se

encontra a casa de Rubi na árvore. Rubi tentará saltar do ponto R(x, y) no galho

seguindo a trajetória parabólica e alcançará sua casa localizada a uma distância

d =√

(x−2)2 +(y−3/2)2.

Substituindoy = x2 +1 nesta equação encontramos:

d(x) =12

√4x4−16x+17.

Derivando esta equação em relação ax teremos

d′(x) =14

16x3−16√4x4−16x+17

.

É fácil ver quex = 1 é a única solução real que tornad′(x) = 0. Por outro lado,

percebe-se que paraε > 0(≃ 0) obtemos

d′(1− ε) = −12εβ

+12ε2

β−4

ε3

β, que é estritamente negativo. Enquanto,

d′(1+ ε) = 12εβ

+12ε2

β+4

ε3

β, é positivo.

Ondeβ ≡√

5+24ε2 +16ε3 +4ε4.

Portanto,d(x) apresenta o menor valor quandox = 1. Para este valor dex

y(1) = 12 + 1 = 2. Deste resultado conclui-se que o pontoR tem coordenadas

(1, 2) e a menor distância que Rubi salta éd =√

5/2. A Figura 18.3.8 esboça o

gráfico ded(x) para o exemplo.

y

f (x) = x2 +1 [galho]

P

R d

0 x

Figura 18.3.7: Representaçãoesquemática para o Exem-plo 18.3.5.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2

y

x

Figura 18.3.8: Representação gráfica da funçãod(x) = 1

2

√4x4−16x+17. Observe que a curva

tem mínimo emx = 1.

247

18.4 Conclusão

Nesta aula apresentamos os primeiros passos para a determinação de extremos

de uma função analisando as regiões onde ocorre crescimentoe/ou decrescimento

da função e que o sinal da primeira derivada da função permitedeterminar estas

regiões. Por outro lado, você pôde perceber que se uma funçãoé contínua e pos-

sui máximos (montanhas) e mínimos (vales), se esta tem dois extremos um deles

certamente e máximo (ou mínimo) e o outro e mínimo (ou máximo), e assim su-

cessivamente (veja Figura 18.3.1).

18.5 Resumo

Uma funçãof contínua[a, b] e diferenciável em(a, b), exceto talvez emx0,

tem um extremos emx0:

(a) se f ′(x) > 0 (ou f ′(x) < 0) para todox < x0 então f é crescente ( ou decres-

cente) nesta região,

(b) se f ′(x) < 0 (ou f ′(x) > 0) para todox > x0 então f é decrescente (ou cres-

cente) nesta região, e

x0 é ponto de máximo (ou mínimo) def . Sex0 representa um extremo def então

f ′(x0) = 0 ou não existe.

248

Exercícios

E. 1 ⊲ Determine os pontos extremos dep(x) = ax2+bx+c, coma∈R⋆+ eb, c∈

R.

E. 2 ⊲ Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função

f (x) =x

x2 +1,

e construa o seu gráfico.

E. 3 ⊲ Determine o ponto de menor distância entre a retay = 2x+1 e a origem, e

calcule o valor desta distância.

E. 4 ⊲ Determine a menor distância entre as curvas

(a) y =√

x (b) y =2x

e o ponto(3/2, 1/2) .

E. 5 ⊲ Identifique os pontos extremos das funções

(a) f (x) = 1+(1+x)2/3

(b) f (x) = ex2−1

(c) f (x) =1x

+x2, parax > 0

(d) f (x) =x2

x3 +1, parax > −1.

E. 6 ⊲ Dois números reais positivos são tais que sua soma é 50 e o produto é o

maior possível. Quais são estes números.

E. 7 ⊲ Encontre em que ponto uma reta tangente à curvay = 1− x2 no primeiro

quadrante, forma um triângulo de área mínima. Calcule o valor desta área.

E. 8 ⊲ Encontre intervalos de crescimento (ou decrescimento) dasfunções

(a) p(x) = x3−3x2−8x+2

(b) r(x) =x2−3xx+1

(c) f (x) = senx+sen2x, para 06 x 6 2π

(d) g(x) = x ln x.

E. 9 ⊲ Encontre as dimensões de um retângulo de área máxima que podeser ins-

crito em uma região limitada pelos eixosx ey e a funçãoy = −x3 +8.

249


E. 1 ⊲ p′(x) = 2ax+ b = 0 parax0 = − b2a

. p′(x) < 0 sex < x0 e p′(x) > 0 se

x > x0. Logo,x0 representa um ponto de mínimo da função.

E. 3 ⊲ (−25,

15),

√5

5.

E. 5 ⊲ (a) x = −1, mínimo, (b)x = 0, mínimo, (c)x =3√

42

, mínimo, (d)x = 0,

mínimo,x = 3√

2, máximo.

E. 7 ⊲ x =

√3

3. Área =

4√

39

.

E. 9 ⊲ x = 3√

2 ey = 6.

250

18.6 Referências






251

19 Estudo da Concavidade de Funções

Meta: Esta aula pretende expor novos conceitos no que tange a partecomplemen-

tar de problemas envolvendo otimização. Neste aspecto, a análise de concavidade

de funções é apresentada para combinar os aspectos formais do estudo que se deu

na Aula 18 e os que aqui serão apresentados.

Objetivos: Espera-se que ao fim desta aula o aluno tenha todas as informações que

se referem ao estudo de análise do crescimento/decrescimento de funções e saiba

aplicar os critérios da primeira e segunda derivadas para tal.

Pré-requisitos: Derivadas de Funções. Regra da Cadeia. Otimização.

19.1 Introdução

Na Aula 18 referendamos os aspectos formais do estudo da primeira derivada de

uma função para analisar critérios de crescimento e decrescimento de funções e

culminamos, com isto, averiguando as condições para a obtenção dos extremos que

as funções assumem. Aqueles critérios precisam ser agora refinados e extendidos

para uma análise complementar que diz respeito ao teste da segunda derivada da

função. Dentro deste contexto, seremos levados a “testar” vários outros detalhes

que a simples investigação através do estudo da primeira derivada não é capaz de

fornecer, a exemplo do cálculo do ponto de inflexão de uma curva dentre outros.

252

19.2 Concavidade e Convexidade de Funções

O gráfico de uma funçãoy= f (x) é dito convexo em algum intervalo(a, b) se

estiver sob a reta tangente à curva traçada em todo ponto deste intervalo, conforme

Figura 19.2.1. Por outro lado, o gráfico de uma função é dito ser côncavo no inter-

valo (a, b) se estiver acima da reta tangente traçada em todo ponto desteintervalo.

A seguir enunciamos o teorema que descreve o significado paraa segunda derivada

côncavo

convexoI ponto de inflexão

t

t

Figura 19.2.1: Representação esquemática de comportamento convexo, côncavo eponto de inflexão de uma função.

da funçãof (x) que é pertinente ao critério de concavidade da curva em um dado

intervalo.

Teorema 19.2.1.Suponha que f é uma função contínua em um intervalo I e tem

segunda derivada em qualquer ponto interno de I. Então,

(i) se f′′(x) > 0 para todo x interno a I, então f é côncava para cima.

(ii) se f′′(x) < 0 para todo x interno a I, então f é côncava para baixo.

Um outro teorema estabelece, em concomitância com o critério da primeira

derivada da função (veja Aula 18), quando um ponto de é mínimo/máximo relativo

usando agora o critério de segunda derivada.

Teorema 19.2.2.Seja f uma função duas vezes diferenciável e x0 um ponto crítico

de f . Se:

(i) f ′′(x0) > 0, então x0 é um ponto de mínimo relativo de f .

(ii) f ′′(x0) < 0, então x0 é um ponto de máximo relativo de f .

(iii) f ′′(x0) = 0, então x0 pode ou não ser um extremo local de f .

Nota 19.2.1.O ponto da região gráfica que separa o comportamento côncavo (con-

vexo) do comportamento convexo (côncavo) é denominadoponto de inflexão. Se

x0 é a abscissa do ponto de inflexão (veja Figura 19.2.1) entãof ′′(x0) = 0 ou não

existe. Tal ponto é comumente denominado de ponto crítico desegunda espécie.

253

Formalmente esta nota pode ser descrita conforme definição aseguir:

Definição 19.2.1.Sex0 é um ponto crítico de segunda espécie e para umε > 0,

porém suficientemente pequeno, e

(a) sef ′′(x0− ε) > 0 e f ′′(x0 + ε) < 0, ou

(b) se f ′′(x0− ε) < 0 e f ′′(x0 + ε) > 0,

então(x0, f (x0)) da curvay = f (x) é um ponto de inflexão def . Contudo, caso

f ′′(x0−ε) e f ′′(x0+ε) tenham os mesmos sinais, então(x0, f (x0)) não é ponto de

inflexão.

Façamos alguns exemplos para firmar as conclusivas dos teoremas destacados

acima.

Exemplo 19.2.1.Considere a funçãop(x) = x2 − 3x+ 2 e discuta os intervalos

onde esta função é côncava ou convexa.

Solução 19.2.1.A função dada é uma parábola e você já sabe, pelos seus conhe-

cimentos do ensino médio, que ela deve ter concavidade para cima. Faça o cálculo

referente a segunda derivada desta função para obter

p′′(x) = 2 > 0 para todox.

Portanto, pelo Teorema 19.2.1 esta curva tem concavidade para cima para todox.

Exemplo 19.2.2.Considerey = (x−2)5/3. Encontre os possíveis pontos de infle-

xão desta função.

Solução 19.2.2.O cálculo da primeira derivada dey dá

y′ =53

(x−2)2/3 ,

que é estritamente positiva para todos os valores dex 6= 2 e se anula emx = 2. Por

outro lado,

y′′ =10

9 3√

x−2

não está definida emx = 2 e paraε > 0(≃ 0) temos

y′′(2− ε) =109

1

(−ε)1/3< 0,

y′′(2+ ε) =109

1

(ε)1/3> 0.

Portanto, concluimos que a função: (a) é crescente para todox ∈ R, (b) convexa

parax < 2, côncava emx > 2 e tem ponto de inflexão emx = 2. O gráfico da

função é mostrada na Figura 19.2.2.

254

x

y

43210-1

4

2

0

-2

-4

Figura 19.2.2: Gráfico da funçãoy = (x−2)5/3 .

Exemplo 19.2.3.Considere agora a função

y = x3 +x−1

e analise as regiões de concavidade desta função.

Solução 19.2.3.De modo similiar ao exemplo anterior encontramosy′ = 3x2 + 1

que é positiva para todox indicando que a função é estritamente crescente e,

y′′ = 6x

> 0, parax > 0

< 0, parax < 0.

O gráfico da função dada é destacada na Figura 19.2.3. Observeo comportamento

da curvay′ ela está definida para todos os valores dexe não possuizeros. Isto indica

que sob as condições dada a funçãoy não possui um extremo e tem concavidade

para cima na regiãox > 0 e concavidade para baixo quandox < 0. Logo,x = 0 é

ponto de inflexão da curva.

y′ = 3x2 +1

y = x3 +x−1

x

y

43210-1-2-3-4

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figura 19.2.3: Gráfico da funçãoy = x3 +x−1 e dey′ = 3x2 +1 .

255

Exemplo 19.2.4.Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função

f (x) = xex, bem como realize o esboço gráfico da mesma.

Solução 19.2.4.A função dada é contínua para todox ∈ R e tem uma raíz em

x = 0. Por outro lado,f ′(x) = (1+ x)ex, enquantof ′′(x) = (2+ x)ex. Percebe-

se que f ′(x) = 0 parax = −1 e f ′′(x) = 0 quandox = −2. Os intervalos de

crescimento são obtidos analisandof ′(−1± ε) para ε > 0(≃ 0). Isto fornece

f ′(−1− ε) = −ε e−(1+ε) < 0 e f ′(−1+ ε) = ε e(−1+ε) > 0. Perceba que o termo

exponencial não afeta o sinal def ′(−1± ε). A análise dos sinais obtidos para

f ′(−1±ε) permite concluir que no intervalox∈ (−∞, −1) a função é decrescente

ex∈ (−1, ∞) a função é crescente, ou seja,x = −1 é ponto de mínimo da função.

Similarmente,f ′′(−2− ε) = −ε e−(2+ε) < 0 e f ′′(−2+ ε) = ε e−2+ε > 0. Destes

resultados conclui-se que o pontox=−2 é ponto de inflexão da função dada e que

a mesma é côncava no intervalox∈ (−∞, −2) e convexa parax∈ (−2, ∞). Deixo

a você, caro aluno, mostrar que

limx→−∞

xex = 0.

A Figura 19.2.4 destaca os gráficos das funçõesf , f ′ e f ′′.

f ′′

f ′f

x

y

20-2-4-6-8

4

2

0

-2

Figura 19.2.4: Gráfico da funçãof e de suas derivadas, mostrando regiões de cres-cimento e decrescimento def .

Exemplo 19.2.5.Encontre os intervalos de concavidade e convexidade da função

y = x5 +5x−6 e esboce o seu gráfico.

Solução 19.2.5.A função dada é um polinômio, portanto uma função contínua

para todox real. Calculando a primeira e segunda derivada obtemos

y′ = 5x4 +5 e y′′ = 20x3 .

Por outro lado,y′ = 0 apenas para valores dex∈ C, ou seja,x = ±√

22 (1± i) . Per-

256

ceba quey′ > 5, ou seja, a função é estritamente crescente não exibindo extremos.

A análise da segunda derivada fornece

y′′

< 0, parax < 0, concavidade para baixo [convexa]

= 0, parax = 0, ponto de inflexão

> 0, parax > 0, concavidade para cima [côncava].

A Figura 19.2.5 apresenta o gráfico da função dada. Perceba a concordância gráfica

com a discussão analítica do exemplo.

−150

−100

−50

0

50

100

150

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

x

5x4 +5

20x3

x5 +5x−6

Figura 19.2.5: Representação gráfica da funçãoy = x5 +5x−6 e suas derivadas.

Exemplo 19.2.6.Em um clube aquático existe uma piscina circular. Um salva-

vidas encontra-se em um “lado” da piscina e um banhista no “lado” oposto. O

banhista começa a se afogar. Na tentativa de realizar o resgate o salva-vidas nada

com velocidadev em uma direção formando um ânguloθ em relação a linha que

o liga ao banhista e depois corre em torno do restante da piscina com velocidade

10v (veja Figura 19.2.6). Averigue se esta seria a melhor alternativa para o salva-

y

xSB

P

θβ = 2θ

r

Figura 19.2.6: Esquematização para o Exemplo 19.2.6.

257

vidas proceder calculando o menor e maior tempo que o mesmo leva até chegar ao

banhista em desespero.

Solução 19.2.6.O salva-vidas (destacado pelo pontoS) inicia o mergulho neste

ponto em direção a um pontoP (arbitrário) localizado na borda da piscina para

depois sair correndo ao longo do arcoPB em direção ao banhista, pontoB. É fácil

ver que os ladosS0 eP0 do triânguloS0P são iguais. Logo,

SP= 2r cosθ ,

em quer é o raio da piscina. Deixo a você, prezado aluno, a tarefa de mostrar que

o ânguloβ = 2θ . Para nada ao longo deS a P o tempo gasto pelo salva-vidas é

dado por

t1 =SPv

=2r cosθ

v,

e

t2 =PB10v

=2rθ10v

para correr do pontoP aB. O tempo total para chegar até o banhista é

t =2r cosθ

v+

2rθ10v

.

Vê-se que o tempo é uma função deθ e, portanto

dtdθ

= −2rsenθv

+r5v

.

Esta derivada se anula para

senθ =110

.

Perceba que a segunda derivada det em relação aθ é

−2rv

cosθ ,

que é negativa para 0< θ < π/2. Portanto, este procedimento do salva-vidas pode

custar a vida do banhista uma vez que nesta situação temos umaperda de tempo

para o resgate do mesmo. Caso o salva-vidas resolva nadar atéo banhista o tempo

gasto é2rv

.

Se o mesmo correr ao longo do trechoSaB o tempo gasto é

π20

(2rv

)<

2rv

.

Este último procedimento é o mais correto e possibilita maior chance para salva-

mento do banhista.

258

Exemplo 19.2.7.Uma empresa pretende construir um recipiente cilindrico que

possua volume fixoV. Para tal, utiliza o material da parte superior (tampa) e base

que custapb o metro quadrado, enquanto o material da lateral custapl o metro

quadrado. Encontre o raio,r, e a altura,h, que torna econômica a construção deste

recipiente (veja Figura 19.2.7).

Solução 19.2.7.O custo para produzir o cilindro é dada pela equação

C(r,h) = pl Al + pb(2Ab) = pl (2πrh)+ pb(2πr2) ,

em queAl eAb representam as áreas lateral e da base do cilindro, respectivamente.

Por outro lado, o volume do cilindro é expresso porV = πr2h. Observe queC(r,h)

deve ser reescrita em termos de apenas uma variável. Isto se torna possível escre-

vendoh =V

πr2 . Logo,C(r,h) pode agora ser descrita apenas em termos do raio do

cilindro, ou seja,

C(r) = 2plVr

+2π pbr2 .

DiferenciandoC(r) em relação ar encontramos

C′(r) = −2plVr2 +4π pbr ,

que se anula para

r = 3

√pl

pb

(V2π

).

r

2πr

h

Figura 19.2.7: Representação esquemática de um cilindro desmontado para oExemplo 19.2.7.

A segunda derivada deC(r) fornece

C′′(r) =4pl

r3 V +4π pb > 0,

para todos os valores der 6= 0. Portanto, o resultado obtido fornece uma condição

259

de mínimo para o custo quando

r = 3

√pl

pb

(V2π

)e h = 3

√4V

π (pl/pb)2 .

Em particular, paraV = 20π cm3, pb = 10reais/m2 e pl = 8reais/m2, obtemos:

r = 2m eh = 5√

5m.

Exemplo 19.2.8.Considere a funçãof (x) = (x2 − x)ex + 1. Estude o comporta-

mento desta função para todox real.

Solução 19.2.8.A função está definida para todox real uma vez que se trata de

um produto e soma de funções contínuas. Seu domínio éx ∈ R. Por outro lado,

observa-se que não há zeros reais desta função, ou seja,

(x2−x

)ex +1 > 0.

Vamos estudar agora o comportamento assintótico da função.De imediato, percebe-

se que não existe assíntota vertical. Resta saber qual o comportamento def (x)

quandox→±∞. Os cálculos fornecem

limx→+∞

(x2−x

)ex +1 = +∞ e lim

x→−∞

(x2−x

)ex +1 = 1.

Do último limite concluimos quey = 1 é uma assíntota horizontal. Precisamos

averiguar possíveis pontos onde a curva cruza ou toca a assíntota horizontal para

valores finitos dex. Se isto ocorre então

(x2−x

)ex +1 = 1.

Os zeros desta equação são dados por

x1 = 0 e x2 = 1.

O estudo das derivadas def (x) nos permitirão encontrar regiões de crescimento/descrimento

e concavidade da função. Assim,

f ′(x) =(x2 +x−1

)ex e f ′′(x) =

(x2 +3x

)ex.

Os pontos de extremos são obtidos fazendof ′(x) = 0. Isto fornecex =−1±

√5

2.

Seguindo procedimento similar aos exemplos anteriores conclui-se que o valor

de x =−1−

√5

2representa a abscissa de ponto de máximo local e a função é

crescente parax∈ (−∞, −(1+√

5)/2), enquantox =−1+

√5

2é o valor da abs-

cissa para mínimo absoluto da função. Além do mais, a função édecrescente para

x∈ (−(1+√

5)/2, (−1+√

5)/2) e crescente parax > (−1+√

5)/2.

260

Por outro lado,f ′′(x) = 0 quandox = 0 e −3. Estes representam valores para

x onde ocorre a inflexão da curva.

Deixo a você, caro aluno, a tarefa de se convencer de que:

(i) parax∈ (−∞, −3) a curva possui concavidade para cima,

(ii) parax∈ (−3, 0) possui concavidade para baixo e

(iii) x∈ (0, +∞) sua concavidade é para cima.

De acordo com estas informações é possível esboçar o gráfico da função destacado

na Figura 19.2.8. Por outro lado, os valores de máximo local emínimo absoluto de

f (x) são

f (−1/2−√

5/2) =e−(1+√

5)/2(

2+√

5)

+1

e

f (−1/2+√

5/2) =e(−1+√

5)/2(

2−√

5)

+1,

respectivamente. A localização dos pontos de inflexão,I , sãoI1(−3, 12e−3 +1) e

I2(0, 1).

x

y

20-2-4-6-8

5

4

3

2

1

0

-1

Figura 19.2.8: Representação gráfica da funçãof (x) =(x2−x

)ex +1.

261

19.3 Conclusão

Esta aula teve como tema global aplicações de derivadas em contexto com a

análise da segunda derivada da função para o estudo de maximização/minimização

que foi estudo da Aula 18. Desta feita pudemos destacar a completeza desta aula

em conjunto com a anterior no que diz respeito ao tema e tambémdestacamos

critérios do que seja ponto de inflexão e o estudo de concavidades de uma função.

19.4 Resumo

Uma função tem gráfico com concavidade para baixo sef ′′ < 0 e concavidade

para cima sef ′′ > 0. Dizemos quex0 é ponto de inflexão quando este separa

comportamentos distintos de concavidade de uma função. Neste casof ′′(x0) = 0

ou não existe.

262

Exercícios

E. 1 ⊲ Uma madeireira pretende usar um determinado rio para escoarsua produ-

ção. Por sua vez existe um trecho do rio de larguraa que desenboca em

ângulo reto em outra parte do rio de largurab > a (veja Figura 19.4.1). O

proprietário da madeireira deseja saber qual o maior tamanho de tronco que

ele pode transportar através do rio. Faça uma estimativa do tamanho do

tronco sea = 27m eb = 64m.

b

a

S

x

y

Figura 19.4.1: Representação esquemática para o Exercício1.

E. 2 ⊲ Encontre a equação da linha tangente à elipse

x2

a2 +y2

b2 = 1,

no primeiro quadrante, que forma com os eixos coordenados umtriângulo

de menor área possível, (a eb são constantes positivas).

E. 3 ⊲ Considere a funçãof (x) =3√

x2 (x−1)2 no intervalo−1 6 x 6 2 e deter-

mine:

(a) f ′(x) e regiões de crescimento e decrescimento bem como seus pontos

de máximo e de mínimo.

(b) f ′′(x) e identifique onde a função tem concavidade para cima e para

baixo e encontre pontos de inflexões, caso existam.

(c) Faça o gráfico def (x) baseado nos resultados dos ítens acima.

E. 4 ⊲ Baseado no que foi pedido no exercício anterior faça o mesmo para a função

f (x) =3√

x2(1−x2

), para o intervalo−2 6 x 6 2.

E. 5 ⊲ Pretende-se construir uma lata cilindrica totalmente fechada de volumev,

gastando-se a menor quantidade possível de material. Encontre a relação

entre a altura,h, e o raio,r, desta lata.

263

E. 6 ⊲ A função f (x) = e−

(x−a)2

b parab > 0 representa uma família de curvas e

é chamada densidade de probabilidade normal padrão e tem um importante

papel em Probabilidade e Estatística. Determine:

(a) Os possíveis pontos críticos.

(b) Pontos de máximos e mínimos.

(c) Possíveis pontos de inflexões e as regiões de concavidades.

(d) Esboce o gráfico desta curva para alguns valores dea = 0 e b = 1 e

a = b = 1.

E. 7 ⊲ Determine as dimensões de um cilindro de volume máximo que pode ser

inscrito em uma esfera de raioa.

E. 8 ⊲ Um pescador a 2km de um pontoA de uma praia deseja alcançar um de-

pósito de combustível no pontoB a 3km deA. Sua velocidade na água é

de 5km/h e na terra 13km/h. Determine o ponto da praia que deve ser

alcançado pelo pescador para chegar ao depósito no menor tempo.

E. 9 ⊲ Uma folha de aço de 10m de comprimento e 4m de largura é dobradaao

meio para fazer um canal em forma de V de 10m de comprimento. Deter-

mine a distância entre as margens do canal para que este tenhacapacidade

máxima.

E. 10⊲ Um quadro de alturab está pendurado em uma parede vertical de modo

que sua borda inferior está a uma alturah acima do nível do olho de um ob-

servador. Encontre a que distância da parede deve se colocaro observador

para que sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, ou

seja, para que o ângulo visual seja máximo?

264


E. 1 ⊲ S=

√3(ab2)2/3 +3a(ab2)1/3 +a2 +b2 . S= 125m.

E. 3 ⊲ (a) f ′(x) =2 3√

x2 (x−1)(4x−1)

3x. f ′(x) < 0 e a função é decrescente para

os intervalos−1 6 x < 0 e14

< x < 1; f ′(x) > 0 e a função é crescente para

os intervalos 0< x <14

e 1< x 6 2. x = 0, representa um mínimo ef (0) =

0, x =14

é máximo ef (1/4) =9

16 3√

16, x = 1 é um mínimo comf (1) =

0. (b) f ′′(x) =2 3√

x2(20x2−10x−1

)

9x2 . f ′′(x) < 0 para os intervalos14−

3√

520

< x < 0 e 0< x <14

+3√

520

(concavidades para baixo);f ′′(x) > 0

parax <14− 3

√5

20e x >

14

+3√

520

(concavidades para cima). São pontos

de inflexõesx =14− 3

√5

20, x = 0 ex =

14

+3√

520

. A região limitada entre

x =14− 3

√5

20ex = 0 é muito pequena, daí a mudança de concavidade entre

a regiãox <14− 3

√5

20e

14− 3

√5

20< x < 0 ser muito pouco perceptível no

gráfico.

f (x) =3√

x2 (x−1)2

x

y

3210-1

3

2

1

0

-1

E. 5 ⊲hr

= 2.

E. 7 ⊲ raio do cilindror =

√23

a, altura do cilindroh =2√3

a.

E. 9 ⊲ 2√

2m.

265

19.5 Referências






266

20 Conceitos de Antiderivadas deFunções

Meta: Nesta aula estaremos introduzindo o cálculo integral como parte comple-

mentar ao cálculo diferencial. O estudo de antiderivadas defunções suas con-

sequências e noções intuitivas serão analisadas sob um contexto simples e eficaz.

Objetivos: Espera-se que ao fim desta aula o aluno saiba, a partir do contexto de

derivadas de funções, discernir o procedimento da obtençãoda antiderivada de uma

função.

Pré-requisitos: Derivadas de Funções.

20.1 Introdução

Nas aulas que abordaram os conceitos de derivadas de funçõese suas aplicações

pudemos obter vários resultados importantes sob diversos contextos. Percebemos

que uma gama inegável de situações que antes se mostravam “difíceis” sob o ponto

de vista de uma álgebra elementar se tornavam simples dentrodo contexto do cál-

culo diferencial. Em particular, o emprego e análise da primeira e segunda derivada

deram rumos novos aos resultados obtidos para diferentes aplicações do cotidiano.

Esta mesma abordagem será também utilizada para conceituaros aspectos ineren-

tes do que seja a “antiderivada” de uma função e coroando com acompleteza do

estudo da primeira e segunda derivada de uma função. Antes defindar esta introdu-

ção desejo mencionar com muita clareza que os conceitos de derivadas de funções

estejam completamente dominados ou no mínimo compreendidos e ademais, esta

aula vai depender em muito de toda a sua atenção particularmente nos exemplos

que serão discutidos.

267

20.2 Antiderivadas

Nesta aula buscaremos inserir o conceito de integral da forma mais natural

possível considerando uma funçãof ′(x) definida em algum intervalo(a, b) con-

forme Figura 20.2.1.

x

y

f ′(x)

a x1

c

x2 b

Figura 20.2.1: Representação esquemática da derivada de uma funçãof (x) para ointervalo(a, b).

A partir do gráfico def ′(x) podemos tecer as seguintes afirmações:

(a) f ′ > 0 em(a, x1) e (x2, b). Portanto,f é crescente nestes intervalos.

(b) f ′ < 0 em(x1, x2), e f é decrescente neste intervalo.

(c) f ′ = 0 representa dois extremos paraf em

i) x = x1 significando um máximo def .

ii) x = x2 significando um mínimo def .

Por outro lado, facilmente percebe-se que os sinais para a segunda derivada def

é também obtida a partir def ′(x) representa na Figura 20.2.1. Dali você pode

averiguar que:

1. f ′′ < 0 no intervalo(a, c). Logo, a funçãof é convexa (concavidade para

baixo).

2. f ′′ > 0 no intervalo(c, b). Portanto, a funçãof é côncava (concavidade para

cima).

3. f ′′ = 0 emx = c. Logo,(c, f (c)) representa o ponto de inflexão def .

268

Com estas informações algumas conjecturas podem ser construidas para a possível

função f (x) algumas das quais estão esboçadas na Figura 20.2.2. O que difere uma

curva da outra é apenas a presença de uma constante arbitrária real, ou seja,1

fk+1(x)− fk(x) = Ck+1−Ck = C.

O índicek serve apenas para enumerar as curvas. Desta forma,

f (x)+C, em queC é uma constante real arbitrária,

representa uma família de funções cuja derivada éf ′(x).

y

xa x1 x2 b

C

fk+1(x)

fk(x)

fk−1(x)

fk−2(x)

Figura 20.2.2: Possíveis representações gráficas da funçãof (x) construída a partirda informação def ′(x).

Você pôde perceber que construimos o gráfico da funçãof (x) analisando os sinais

de f ′ e de f ′′? Nosso objetivo agora é preparar a descoberta analítica da forma da

função. Alguns exemplos práticos neste sentido são considerados nos exemplos

que se seguem.

Exemplo 20.2.1.Determine a função cuja derivada éf ′(x) = 0.

Solução 20.2.1.Você já sabe que toda constante tem derivada nula. Portanto,a

função

f (x) = C,

em queC é uma constante real, satisfaz o exemplo.

1Não confunda esta constante com o valorx = c presente na Figura 20.2.1.

269

Exemplo 20.2.2.A derivada de uma função éf ′(x) = 1. Determine esta função.

Solução 20.2.2.A função f (x) = x tem por derivadaf ′(x) = 1. Contudo, se adici-

onarmos uma constante af teremos

(x+C)′ = x.

Assim, a função procurada é

f (x) = x+C.

Exemplo 20.2.3.A derivada de uma funçãof (x) é 2x. Encontref (x).

Solução 20.2.3.A função que dá origem af ′(x) = 2x é

f (x) = x2 .

Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, concluimos que a função cuja

derivada é 2x deve ser

f (x) = x2 +C,

em queC é uma constante real.

Definição 20.2.1.ConsidereF(x) e f (x) duas funções definidas em um mesmo

intervalo aberto, digamos(a, b), de tal modo que

F ′(x) = f (x) ou dF(x) = f (x)dx

para todox∈ (a, b). A funçãoF(x) é dita antiderivada (ou primitiva) def (x) .

F(x)

f (x)

derivada de F(x)

antiderivada de f(x)

Figura 20.2.3: Representação esquemática para a Definição 20.2.1.

Tomando por base a Definição 20.2.1 e dos exemplos discutidosacima,F(x)

é uma função que possui como derivadaf (x) e mais,F(x) constitui uma família

de funções que diferem entre si por uma constante. Sef (x) = 3x2, a família de

270

curvasF(x) = x3 +C, em queC é uma constante, representa todas as possíveis

antiderivadas def (x) (as Figuras 20.2.2 e 20.2.3 destacam este aspecto).

Exemplo 20.2.4.Considere duas funçõesF(x) eH(x). Suponha que as mesmas

representam as antiderivadas de uma funçãog(x). Mostre que se isto é o caso,g(x)

é única.

Solução 20.2.4.SeF(x) eH(x) são antiderivadas deg(x), entãoF ′(x)−H ′(x) = 0.

Suponha por contradição queF ′(x)−H ′(x) 6= 0. Se isto é o caso, então deve

existir uma funçãogF (x) correspondendo a derivada deF(x) e uma funçãogH (x)

representando a derivada deH(x). Desta discussão,

F ′(x) = gF (x), H ′(x) = gH (x)

e

F ′(x)−H ′(x) = gF (x)−gH (x) .

Contudo,F ′(x) = g(x) e G′(x) = g(x). Portanto,

F ′(x)−G′(x) = 0 = gF (x)−gH (x),

ou seja,gF (x) = gH (x), o que completa a demonstração.

Proposição 20.2.1.Suponha que as funções F(x) e G(x) são antiderivadas das

funções f(x) e g(x), respectivamente, em um intervalo aberto I. Suponha, além

disso, que k é uma constante real. Então,

(a) F(x)+G(x) é uma antiderivada de f(x)+g(x) em I, e

(b) kF(x) é uma antiderivada de k f(x) em I.

Nota 20.2.1. Do que foi descrito nesta seção, uma funçãoF é uma antiderivada

ou primitiva deg seg representa a derivada deF, ou seja,F ′ = g. Quandog(t) é

a velocidade em um tempot de um ponto móvel, a antiderivada deF(t) mede a

posição deste ponto móvel. Por outro lado,F ′(t) também pode ser escrita como

[F(t) +C]′, em queC é uma constante real [em unidades decomprimento]. A

interpretação para este resultado é simples. A velocidade do ponto móvel não

depende do ponto de referência de onde a medimos. Apesar disso, a sua taxa

de variação deve ser a mesma se medimos hoje ou daqui a 100anos. Contudo, a

variação total da velocidade não será a mesma.

De tudo que foi descrito acima podemos descrever a seguinte proposição a

respeito de antiderivadas de uma dada função.

271

Proposição 20.2.2.Suponha que a função F(x) é a antiderivada de uma função

f (x) em um intervalo aberto I. Então, toda antiderivada de f(x) tem a forma

F(x)+C.

Exemplo 20.2.5.Considere queh(x) = x2 +2senx. Calcule sua antiderivada.

Solução 20.2.5.Podemos escrever a função dada como

h(x) = f (x)+2g(x)

em quef (x) = x2 eg(x) = senx.

Você também já foi capaz de identificar que

F(x) =x3

3e G(x) = −cosx

possuem derivadasx2 e senx, respectivamente. Portanto, pela Proposição 20.2.2 a

antiderivada deh(x) é

H(x) = F(x)+G(x)+C =x3

3−2 cosx+C.

Assim como existe uma notação padrão para o processo de derivada função

é natural que também estabeleçamos uma notação para a antiderivada de função,

conforme definição a seguir.

Definição 20.2.2.Seja f uma função que é definida em um intervaloI , e suponha

ainda quef possua uma antiderivada. O conjunto de todas as antiderivadas def é

chamada a integral indefinida def e é denotada por

(20.2.1)∫

f (x)dx. notação para antiderivada

Assim, seF representa a antiderivada de uma funçãof , então podemos escrever

(20.2.2)∫

f (x)dx= F(x)+C,

em queC representa a constante de integração real.2

Costumeiramente, como os exemplos acima demonstraram, de ante-mão nós

já conhecemos algumas antiderivadas para um grande número de funções e muitos

aspectos físicos podem imediatamente serem obtidos a partir deste conceito. Parti-

cularmente, sef (t) representa a velocidade de um ponto móvel em um instantet,

a antiderivada mede a sua posição.

2A menos que definido o contrário, todas as constantes de integração são definidas como reais.

272

Em algumas situações é conveniente utilizar diferenciais evariáveis depen-

dentes para tratar com integrais indefinidas. Isto fica clarose, por exemplo, intro-

duzirmos a variável dependenteu = F(x), então

du= F ′(x)dx= f (x)dx.

Assim, a equação ∫f (x)dx= F(x)+C,

pode ser reescrita como ∫du= u+C.

Perceba que o símbolo diferencial “d” e o símbolo de integral indefinida “∫

”

comportam-se como símbolos “inversos” um do outro, no sentido que nós podemos

iniciar com a família de funçõesu+C, formardu, e então construir∫

du= u+C

para retornar de onde começamos. Note que a constanteC constrói o caráter inde-

finido da integral∫

f (x)dx.

Alguns aspectos básicos desta nova notação devem ser identificados. Assim

na integral ∫f (x)dx

(a) a funçãof (x) é denominada deintegrando,

(b)∫

representa o símbolo de integral, e

(c) dx é o elemento diferencial na variável de integraçãox.

Quando lidamos com integrais indefinidas, naturalmente e invariavelmente, usa-

mos os termos antidiferenciação e integração. Por definição, observe que

ddx

∫f (x)dx=

dF(x)dx

= F ′(x) = f (x) .

Teorema 20.2.1.Seja f e g funções contínuas de x em um domínio de intervalo

aberto I e suponha que d f e d g exista para todo x∈ I . Então,

1.∫

xd x= x+C.

2.∫

k f(x)d x= k∫

f (x)d x, em que k é uma constante.

3.∫

( f (x)±g(x))d x=∫

f (x)d x± ∫ g(x)d x.

4.∫

xr d x=xr+1

r +1+C, em que r∈ R−{−1} sobre o intervalo I.

5.∫

senxd x= −cosx+C.

273

6.∫

cosxd x= senx+C.

7.∫

ex d x= ex +C.

As relações (1 – 4) acima podem ser rapidamente demonstradas, como se se-

gue abaixo. As outras serão destinadas a você, caro aluno, como exercício.

Prova do Teorema 20.2.1

1. esta é a forma simplificada da Definição 20.2.2. Uma vez que∫

d x=∫

1d x,

a antiderivada def (x) = 1 éF(x) = x+C.

2. sendok constante, então(kF(x)+C)′ = kF′(x) = k f(x) . Logo

∫k f(x)d x= kF(x)+C = k

∫f (x)d x+C.

3.∫

( f (x)±g(x))d x=∫

f (x)d x± ∫ g(x)d x, conforme Proposição 20.2.2.

4. xr d x=1

r +1d [(r +1)xr ] = d

(xr+1

r +1

). Então,

∫xr d x=

∫d

(xr+1

r +1

)=

xr+1

r +1+C.

Exemplo 20.2.6.Uma funçãog(x) é obtida através do cálculo da integral∫

1x

dx.

Determineg(x).

Solução 20.2.6.Perceba que não podemos usar a relação 4 dada pelo Teorema 20.2.1,

uma vez que, neste caso,r = −1. Então, devemos recorrer mais uma vez a resulta-

dos já conhecidos. Da Aula 11, Seção 11.2, encontramos

d ln xd x

=1x

.

Portanto, ∫1x

dx= ln |x|+C.

Perceba que a funçãof (x) = 1/x não está definida parax= 0. Esta é uma discussão

que será encaminhada para mais adiante. Por outro lado, o cuidado em tomar

ln |x| refere-se ao fato de estarmos tratando de funções reais. Lembrando desta

observação, podemos, por momento, nos desprender do símbolo | | e escrever

ln |x| = ln x, parax > 0.

A Figura 20.2.4 mostra o gráfico de lnx+C para alguns valores típicos da constante

de integração.

274

ln x+4

ln x+2

ln x

ln x−2

ln x−4

x

y

1086420

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

Figura 20.2.4: Representação gráfica para a funçãog(x) = lnx+C, quandoC as-sume valores−4, −2, 0, 2 e 4, respectivamente.

Exemplo 20.2.7.Calcule a integraly(x) =

∫ (3x2−2

)dx e esboce o gráfico de

y(x) para alguns valores arbitrários da constante de integração.

Solução 20.2.7.Usando as relações 3 e 4 do Teorema 20.2.1 obtemos,

y(x) =

∫ (3x2−2

)dx=

∫3x2 dx+

∫(−2)dx= x3−2x+C.

A Figura 20.2.5 destaca o gráfico dey(x) para alguns valores da constante de inte-

gração.

edc

ba

x

y

43210-1-2-3-4

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20

Figura 20.2.5: Gráfico para a funçãoy(x) = x3−2x+C. (a)C = −8, (b)C = −4,(c) C = 0, (d)C = 4 e (e)C = 8.

Percebe-se, dos exemplos acima, que o cálculo de integraçãoé muito mais sútil

e possui uma maior dificuldade operacional do que a diferenciação. Em muitas

situações a perspectiva subjetiva permite a solução de uma integral em termos de

275

manipulações algébricas criteriosas tendo por base o conhecimento de integrais

conhecidas. Em outras palavras, é uma boa atitude, sempre que possível, dispor a

integral em formas simples e que possa ser resolvida com pouco esforço.

Exemplo 20.2.8.Calcule a integral∫

x+4x2 dx

Solução 20.2.8.A integral dada pode ser reescrita como

∫ (1x

+4x2

)dx.

Fazendo uso do resultado encontrado no Exemplo 20.2.6 e das relações 2, 3 e 4 do

Teorema 20.2.1, obtemos

∫ (1x

+4x2

)dx=

∫1x

dx+4∫

1x2 dx= ln |x|− 4

x+C.

A indefinição descrita pela integral

∫f (x)dx= F(x)+C,

devido a presença da constanteC tem sua importância quando desejamos obter

resultados para uma situação particular. A presença da constante de integração

admite esta peculiaridade construindo o que se concebe por problema de valor

inicial. Assim, escrevendoy(x) = F(x)+C e dada a condição de quey(x= x0) = y0

a constante de integração é determinada e a função obtida representa a solução para

a condição dada.

Exemplo 20.2.9.Um ponto móvel possui velocidade descrita pela equaçãov(t) =

sent. No instantet = 2π seg o ponto se encontra emx = 2m. Determine a função

que descreve a posição deste ponto móvel.

Solução 20.2.9.Sabe-se do curso de Física do primeiro semestre que a velocidade

e a posição de um ponto móvel estão relacionados pela equaçãov =dxdt

. Então,

dx= vdt. Integrando esta última equação encontramos

∫dx=

∫vdt =

∫sent dt

x(t) = −cos(t)+C.(20.2.3)

A constanteC é obtida usando os dados para as condições iniciais do exemplo.

Assim,

2 = −cos(2π)+C.

Facilmente determinamosC = 3m. Portanto, a função que descreve o movimento

276

do ponto móvel para a condição inicial é dada por

x(t) = 3−cost ,

parat em segundos ex em metros. A Figura 20.2.6 destaca diversas curvas para a

solução descrita pela Eq. (20.2.3), entretanto, a solução que estamos buscando está

representada pela linha sólida.

t

x(t)

20151050

6

4

2

0

-2

-4

-6

Figura 20.2.6: Representação gráfica para a solução do Exemplo 20.2.9.

Exemplo 20.2.10.Uma dada funçãof é tal quef ′′(x) = 2x1/3(2x2/3−√

x)2

e que

f ′(0) = 1 e f (0) = 0, parax > 0. Obtenhaf (x).

Solução 20.2.10.A função pode ser obtida por duas antiderivações sucessivas.

Primeiro observe que podemos escrever

f ′′(x) = 2x1/3(

2x2/3−√

x)2

= 8x5/3−8x3/2 +2x4/3 .

A primeira integração fornecef ′, ou seja,

f ′(x) =∫ (

8x5/3−8x3/2 +2x4/3)

d x=∫

8x5/3 d x+∫

−8x3/2 d x+∫

2x4/3 d x.

Assim,

f ′(x) = 3x8/3− 165

x5/2 +67

x7/3 +C1.

Usandof ′(0) = 1 encontramosC1 = 1. Assim,

f ′(x) =32

x8/3 +67

x7/3− 85

x5/2 +1.

De modo similar a integral def ′(x) dá como resultado a funçãof (x), conforme

cálculo abaixo

f (x)=

∫ (3x8/3− 16

5x5/2 +

67

x7/3 +1

)dx=

932

x11/3+935

x10/3− 1635

x7/2+x+C2 .

277

Uma vez quef (0) = 0 entãoC2 = 0. Portanto,

f (x) =932

x11/3 +935

x10/3− 1635

x7/2 +x, comx≥ 0.

A obtenção def (x) seguiu duas etapas de integração e em cada delas encontramos

uma constante de integração. Isto não acontece por acaso e está bem definido pela

Proposição 20.2.2.

Em muitas ocasiões aparecem integrais em que sua forma necessita de alguns

ajustes (em termos de inclusão de fatores constante) além daqueles inerentes à

própria álgebra. Isto diz respeito ao que comumente mencionamos como ajustes

necessários para que o seu resultado se adeque ao integrando. Para tal considere o

exemplo que se segue.

Exemplo 20.2.11.Calcule as integrais

(a)∫ √

3x+1d x (b)∫

3sen4xd x.

Solução 20.2.11.(a) O integrando dado éf (x) =√

3x+1 e se assemelha a inte-

gral da forma∫

t 1/2 d t. Portanto, tentamos como solução a função

a(3x+1)3/2 +C,

em quea é uma constante a determinar (e ficará clarificada a sua inserção), e

C é constante de integração. Derivando este resultado em relação ax encontra-

mos: (a(3x+1)3/2 +C

)′=

3a2

(3x+1)1/2 .

Fica claro que a constantea deve ser igual a32

para quea(3x+1)3/2 +C

produza o integrando(3x+1)1/2 . Logo,

∫ √3x+1d x=

32(3x+1)3/2 +C.

(b) De modo similar ao caso anterior tentamos a função

−3a cos4x+C,

e encontramosa =14

. Logo,

∫3sen4xd x= −3

4cos4x+C.

278

20.3 Conclusão

Nesta aula introduzimos os primeiros conceitos da integralde uma função

f (x) na variávelx. Discutimos as primeiras proposições à luz de vários exemplos

e pudemos distinguir claramente a diferença entre o processo de diferenciação e

integração. Além disto, ficou bem estabelecido que o conhecimento do cálculo de

derivadas de funções é parte muito essencial para a determinação da integral de

função.

20.4 Resumo

Se f (x) representa a derivada de uma funçãoF(x) então

∫f (x)d x= F(x)+C,

em queC representa uma constante real. Assim,

f (x) =d F(x)+C

d x=

d F(x)d x

+dCd x

=d F(x)

d x.

F(x) é a antiderivada def (x) e

∫f (x)d x= F(x)+C

representa uma família de soluções para a integral def (x) na variávelx.

279

Exercícios

E. 1 ⊲ Determine as antiderivadas das funções dadas abaixo

(a) f (x) = x+2

(b) f (x) = 5x4 +4x3

(c) f (x) = senx+ex

(d) f (x) = x1/3 +(2x)1/5 .

E. 2 ⊲ Encontre as antiderivadas de

(a) f (x) =

(2x4 +

√x

)

(b) f (x) =4x

+1x2

(c) f (x) = ex−5

(d) f (x) =x+1√

x.

E. 3 ⊲ Calcule as integrais

(a)∫ (

x5 +x4−x)

d x

(b)∫ (

x+1x

)d x

(c)∫ (

ex +2

x1/3

)d x

(d)∫ (

4+√

x+x√

xx3

)d x

(e)∫ √

−x d x

(f)∫ (

x−3 +3x−2)d x.

E. 4 ⊲ Nos ítens abaixo encontre a posiçãoxcomo função det sabendo quev=d xd t

e o valor dex para o instante dado.

(a) v = t +1, x = 0 quandot = 0.

(b) v = t2−4, x = 1 quandot = 0.

(c) v = 3t−2 , x = 1 quandot = 2.

(d) v = 2sent +1, x = 4 quandot = 0.

(e) v = et −2t , x = 0 quandot = 0.

E. 5 ⊲ Uma funçãof é constante ef ′(0) = f (0) e f (1) = f ′(1) . Determinef .

E. 6 ⊲ Encontre a funçãog tal queg′′ é constante,g(1) = 1, g(2) = 2 eg(3) = 3.

E. 7 ⊲ Determinef se f ′′(x) = senhx e f (0) = 2, f ′(0) = −1.

E. 8 ⊲ O número de bactérias em um teste de cultura aumenta de acordocom a

equaçãod N(t)

d t= rN(t) , comn(0) = N0 ,

em quet é medido em horas er é uma constante real positiva.

(a) Determine a equação paraN(t).

280

(b) SeN0 = 100 er = 0.01 encontret⋆ tal queN(t⋆) = 300.

E. 9 ⊲ Determine as integrais

(a)∫ √

2x+5d x

(b)∫

senx−sen2xd x

(c)∫

31+4x

d x

(d)∫

1

(2x+1)2 d x.

E. 10⊲ De modo similar ao ítem anterior obtenha:

(a)∫

sen3xd x

(b)∫

cos(3−x)d x

(c)∫

(asenx+b cosx)d x

(d)∫

beaxd x

(e)∫

x1+x

d x

(f)∫

1√2x+1

d x.

281


E. 1 ⊲ (a)x2

2+2x+C, (b)x5+x4+C, (c)−cosx+ex+C, (d)

34

x4/3+56

(2x6)1/5

+

C.

E. 3 ⊲ (a)x6

6+

x5

5− x2

2+C, (b) x+ ln |x|+C, (c) ex + 3x2/3 +C, (d) −2x−2 −

23

x−3/2−2x−1/2 +C, (e)−23

(−x)3/2 +C, (f) −x−2

2−3x−1 +C.

E. 5 ⊲ f (x) =23

(x+1) .

E. 7 ⊲ f (x) = senhx−2x+2.

E. 9 ⊲ (a)13

(2x+5)3/2 +C, (b) −cosx +12

cos2x +C, (c)34

ln |1+4x|+ C,

(d) −12

(2x+1)−1 +C.

282

20.5 Referências






283

21 Técnicas de Integração –Substituição de Variáveis

Meta: Nesta aula estaremos passaremos a discutir a técnica de substituição de

variáveis para a obtenção de integrais de funções que exijamprocedimentos algé-

bricos um pouco mais refinados.

Objetivos: Espera-se que a partir desta aula o aluno tente se situar numanova fase

para o cálculo de integrais analisando a técnica aqui introduzida e a partir dela ser

capaz de discernir quando usá-la e qual a melhor substituição. Deseja-se que ao

fim da aula o aluno tenha capacidade de encontrar soluções de integrais que possua

maior grau de dificuldade.

Pré-requisitos: Derivadas de Funções. Integrais de funções.

21.1 Introdução

A Aula 20 destacou as primeiras noções sobre o cálculo de integrais tendo como

base o conhecimento específico da derivada de funções. Ou seja, de antemão você,

prezado aluno, necessitava ter uma noção mínima de resultados já conhecidos para

derivadas de determinados integrandos. Nos exercícios listados naquela aula ave-

riguamos que existiam novos procedimentos a serem considerados, a exemplo dos

ajustes finais para o cálculo de certas integrais. Nesta aulacontinuaremos o estudo

de integrais de funções tendo como base regra da cadeia para derivadas de fun-

ções. Isto fará com que possamos atacar muitas integrais realizando substituições

adequadas de variáveis. Na realidade, este processo já foi adotado nas aulas so-

bre limites de funções e se mostrou poderoso. Entretanto, devemos destacar que

qualquer que seja a técnica empregada todo o cuidado deve sertomado para que

resultados indesejados sejam obtidos.

284

21.2 Substituição de Variáveis

Talvez uma das técnicas mais poderosas para a avaliação de integrais resida

no método de substiuição de variáveis. Esta técnica está intimamente associada ao

conceito de cálculo de derivada de funções através da regra da cadeia. Apesar de

poderosa, a técnica de substituição de variáveis requer certos cuidados para evitar

complicações algébricas e tomadas de caminhos tortuosos. Portanto, o sucesso

ou insucesso do cálculo de integrais usando esta técnica dependerá de uma boa

escolha da mudança de variáveil escolhida. Como verificaremos, a idéia é sempre

conduzir a integral dada em uma reescrita simples e, de preferência, conhecida. Os

exemplos que se seguem destacam estas considerações preliminares.

Exemplo 21.2.1.Encontre a integral de

∫2x32x53x d x

Solução 21.2.1.A primeira vista esta integral pareceintragável. Contudo, pense

em fazer

2x32x53x =(2×32×53)x = 2250x .

Agora a integral pode ser reescrita como

∫2250x dx=

2250x

ln2250+C.

Onde usamos o fato de que

(bx)′ = bx lnb. (veja Aula 8 Exemplo 8.2.7)

Exemplo 21.2.2.Calcule∫ (

1+x2)1/2xdx.

Solução 21.2.2.O integrando exibe um termo que sugere ser algo do tipo: derivada

dex2 +constante. Isto sustenta a idéia de lançar mão da seguinte substituição:

u = x2 +1, ed ud x

= 2x. Ou ainda d u= 2xd x .

Assim, a integral pode ser reescrita em termos da nova variável u, ou seja,

∫u1/2 du

2.

Portanto, ∫u1/2 du

2=

12

∫u1/2du=

12

u3/2

3/2=

13

u3/2 .

Retornando a integral original, encontramos

∫ (1+x2)1/2

xdx=13

(x2 +1

)3/2+C.

285

Exemplo 21.2.3.Determine∫

(ln t)4 dtt

.


d(ln t)dt

=1t. Então, d(ln t) =

dtt

.

Este manuseio sugere que façamosu= ln t para encontrardu= d(ln t) e escrever a

integral como ∫u4du=

15

u5 +C.

Logo, ∫(lnt)4 dt

t=

15

(lnt)5 +C.

Pelos exemplos acima observamos que a técnica da substituição de variáveis

está intimamente associada à regra da derivação da função composta. Daí podemos

enunciar a definição que se segue.

Definição 21.2.1.Suponhaf (x) uma função descrita comof (x)= g(φ(x))φ ′(x), ∀x∈I . OndeI representa algum intervalo de definição da função admitindo-se que a

mesma seja diferenciável emI . Seg admite uma primitiva, então

∫f (x)dx= G(φ(x))+C =

∫g(φ(x))φ ′(x)dx.

Exemplo 21.2.4.A partir de Definição 21.2.1 mostre que

∫g(φ(x))φ ′(x)dx=

∫g(t)dt = G(t)+C.

Solução 21.2.4.Por definiçãoF(x) é antiderivada def (x) seF ′(x) = f (x). Por-

tanto, se

F(x) = F(φ(x)) entãoF ′(x) =dFdφ

dφdx

.

Escrevendog(φ(x)) =dFdφ

obtemos f (x) = g(φ(x))dφ(x)

dx. A integração desta

última em relação ax fornece

∫f (x)dx=

∫g(φ(x))φ ′(x)dx.

Fazendodt = φ ′(x)dx chegamos a

∫g(φ(x))φ ′(x)dx=

∫g(t)dt = G(t)+C.

Exemplo 21.2.5.Calcule∫ √

4−√

xd x.

Solução 21.2.5.Para esta integral a sugestão é fazer

u = 4−√

x =⇒√

x = 4−u

286

e elevando ambos os membros ao quadrado encontramos

x = 16−8u+u2 .

Note que escrevemosx (não√

x) em função da variávelu e por diferenciação che-

gamos a

d x= 2(u−4)d u.

Assim, a integral dada passa para a nova variável como

∫2(u−4)

√udu=

∫ (2u3/2−8u1/2

)du=

45

u5/2− 163

u3/2 +C.

Retornando à antiga variável, obtemos

∫ √4−

√xdx=

45

(4−

√x)5/2− 16

3

(4−

√x)3/2

+C.


(3+ lnx)2(2− lnx)4x

dx.

Solução 21.2.6.Faça a substituição

u = 3+ lnx =⇒ d u=1x

d x e lnx = u−3.

A integral na nova variável fica assim

14

∫u2 (2− (u−3)) du=

14

∫ (5u2−u3) du=

512

u3− 116

u4 +C.

De volta à antiga variável, encontramos

∫(3+ lnx)2 (2− lnx)

4xdx=

512

(3+ lnx)3− 116

(3+ lnx)4 +C.

Exemplo 21.2.7.Calcule∫

cosxsen3x

dx.

Solução 21.2.7.Fazendot = senx, entãod t = cosxd x. Logo a integral passa a ser

reescrita como ∫dtt3 = −1

2t−2 +C.

Assim, ∫cosxsen3x

dx= −12

1sen2x

+C = −12

cosec2x+C.

Exemplo 21.2.8.Determine a funçãof (x) definida por∫

x+1(x−1)3 dx.

Solução 21.2.8.Aqui a substituição adequada éu= x−1. Com istodu= dxo que

permite escrever

∫u+2

u3 du=

∫duu2 +

∫2u3 du= −1

u− 1

u2 +C.

287

Restituindo à integral original, obtemos a função desejada

f (x) =

∫x+1

(x−1)3 dx= − 1x−1

− 1(x−1)2 +C.


1x2 +a2 dx ondea é uma constante.

Solução 21.2.9.Façamos a substituição

x = atgθ . Logo, dx= asec2θ dθ ,

e podemos reescrever a integral na variávelθ , ou seja,

∫asec2θ

a2tg2θ +a2 dθ =1a

∫dθ =

θa

+C.

Retornando à variávelx, obtemos

∫1

x2 +a2 dx=1a

arctg(x/a)+C.


dxex +e−x .

Solução 21.2.10.Note que

1ex +e−x

=ex

e2x +1.

Assim a integral passa a ser escrita como

∫ex

e2x +1d x.

Agora fica fácil ver que a substituição adequada ét = ex. Então,dt = exdx. Com

isto podemos transformar a integral dada em

∫dt

t2 +1= arctgt +C.

Onde usamos o resultado do exemplo acima. Portanto,

∫dx

ex +e−x= arctg(ex)+C.


x3√

x2 +1dx.

Solução 21.2.11.A substituiçãou = x2 + 1 é a escolha adequada. Daí obtemos

dx=du

2√

u−1que é real parau> 1. Logo, a integral dada passa a ser escrita como

∫(u−1)3/2

u1/2· du

2(u−1)1/2=

12

∫u−1√

udu=

12

∫u1/2du− 1

2

∫u−1/2 du

=u3/2

3−u1/2 +C.

288

Voltando a integral original, obtemos

∫x3

√x2 +1

dx=13(x2 +1)3/2− (x2 +1)1/2 +C.

Exemplo 21.2.12.Calcule a função descrita por

f (x) =

∫x2−x+1

2x3−3x2 +6x−2d x.

Solução 21.2.12.Perceba você, prezado aluno, que o integrando dado por

p(x)q(x)

=x2−x+1

2x3−3x2 +6x−2

nos dá uma informação interessante. O numerador,p(x), deste integrando é, a

menos de um fator constante, justamente a derivada do seu denominadorq(x), ou

seja,d

d x

(2x3−3x2 +6x−2

)= 6

(x2−x+1

)=

d q(x)d x

.

Podemos, assim, escrever

p(x)q(x)

=16

d q/d xq

, =⇒ p(x)q(x)

d x=16

d qq

.

Desta forma a integral pode ser reescrita como

∫p(x)q(x)

d x=

∫16

d qq

=16

∫d qq

=16

ln |q(x)|+C.

Portanto,

∫x2−x+1

2x3−3x2 +6x−2d x=

16

ln∣∣2x3−3x2 +6x−2

∣∣+C.

289

21.3 Conclusão

Esta aula teve como objetivo principal destacar a técnica demudança de variá-

veis para avaliação de integrais. Em particular, observamos que esta técnica está,

em muitas situações, intimamente associada a regra da cadeia para funções. In-

dependente a este aspecto, notamos que o uso de uma dada mudança de variáveis

implica em critério pessoal que pode levar a um melhor ou piorcálculo. Estes

aspectos ainda serão destacados ao longo das próximas aulas.

21.4 Resumo

Em geral uma integral da forma

∫f (x)d x

pode ser descrita em termos de uma outra integral, digamos

∫g(u)d u

em termos de uma mudança adequada de variáveis, ou seja,

u = u(x) ,

desde que a integral emg possa ser mais simples ou tenha forma conhecida do que

aquela emf .

290

Exercícios

E. 1 ⊲ Avalie

(a)∫

sen3 x√cosx

dx

(b)∫

tgxd x

(c)∫

t√

t −1d t

(d)∫

5x2

(x3 +1)2 d x.


(a)∫

x2+x

d x

(b)∫

x3√

x2 +1d x

(c)∫

sen√

x√x

d x

(d)∫

sec2xtg2 xd x.

E. 3 ⊲ Calcule ∫2+1/t

t2 d t .

E. 4 ⊲ Calcule ∫1

x ln xd x.


(a)∫

2x+1x2 +x+1

d x (b)∫

senx−cosxsenx+cosx

d x.

E. 6 ⊲ Se f eg tem derivadas contínuas calcule

∫f ′(g(x))g′(x)d x.

E. 7 ⊲ Faça as substituições adequadas para determinar

(a)∫

x4x2d x, u = 4x2

(b)∫

cos√

t√t

d t , x =√

t

(c)∫

10senx cosxd x, u = senx

(d)∫

sen(ln x)

xd x, u = ln x.

E. 8 ⊲ Realize substituições adequadas para mostrar que:

(a)∫

f (x±b)d x= F(x±b)+C

(b)∫

f (ax)d x=1a

F(ax)+C

(c)∫ φ ′(x)

φ(x)d x= ln |φ(x)|+C.

291

E. 9 ⊲ Um objeto de massam é lançado com velocidade inicialv0 dentro de um

tubo horizontal em que reside um meio viscoso que atua sobre oobjeto com

uma força resistiva dada porfr = mkv2, em quek é uma constante positiva.

Determine:

(a) A velocidade deste objeto em termos de sua posição.

(b) A velocidade em função do tempo e mostre que

limt→∞

v(t) = 0.

E. 10⊲ Um objeto de massam é lançado com velocidade inicialv0 dentro de um

tubo horizontal em que reside um meio viscoso que atua sobre oobjeto com

uma força resistiva dada porfr = m(a+kv2

), em quea ek são constantes

positivas. Determine:

(a) A velocidade deste objeto em termos de sua posição.

(b) Quanto tempo este objeto gasta até parar.

292


E. 1 ⊲ (a) −2(cosx)1/2 +25(cosx)5/2 +C, (b) − ln |cosx|+C, (c)

25

(t −2)5/2 +

43

(t −2)3/2 +C, (d)53

ln∣∣ t3 +1

∣∣+C.

E. 3 ⊲ −12

t−2−2t−1+C.

E. 5 ⊲ (a) ln∣∣x2 +x+1

∣∣+C, (b)12

ln(tg2x+1

)− ln | tgx+1|+C.

E. 7 ⊲ (a)4x2

4 ln 2+C, (b) 2sen

√x+C, (c)

10senx

ln 10+C, (d)−cos(ln |x|)+C.

E. 9 ⊲ (a)v(x) = v0e−kx, (b) v(t) =v0

1+kv0 t.

293

21.5 Referências






294

22 Técnicas de Integração –Integração por Partes

Meta: Nesta aula analisaremos a técnica de integração por partes.Assim, tratare-

mos de uma nova abordagem para o cálculo de integrais que faz uma combinação

de substituição de variáveis com “particionamento” da integral envolvida.

Objetivos: Realizar cálculo de integrais envolvendo os conhecimentosjá adqui-

ridos na Aula 21 e introduzidos novos conceitos. Espera-se que ao fim da aula o

aluno, através de exemplos, distinguir quando usar esta técnica.

Pré-requisitos: Derivadas de Funções. Integrais de Funções. Técnica de Mudan-

ças de Variáveis.

22.1 Introdução

Pudemos observar na Aula 21 que nem sempre obtemos cálculos de integrais de

modo direto. Ocorre, também, que sucessivas integrações sejam necessárias para

que o resultado desejado seja alcançado. São nestas ocasiões que o auxílio de

uma ferramenta muito poderosa, conhecida comointegração por partes, se faça

necessária. Já percebemos que a técnica de integração por substituição de variáveis

estava intimamente relacionada com a regra de derivação em cadeia. A técnica de

integração por partes, por sua vez, baseia-se na regra do produto de derivadas de

funções. Nosso intuito, ao aplicar esta técnica, é obter integrais que possam ser

facilmente reconhecidas ou, pelo menos, simplificadas. Integração por partes não

é apenas mais um truque matemático. Em certo sentido, ela expressa leis físicas de

equilíbrio e balanço de forças. Trata-se, basicamente, dosprimeiros fundamentos

para a teoria de equações diferenciais.

295

22.2 Integração por Partes

Teorema 22.2.1.Seja u(x), v(x), u′(x) e v′(x) funções contínuas em algum inter-

valo fechado I. Então,

∫u(x)v′(x)d x= u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)d x.

Como prova deste Teorema considere uma funçãof , diferenciável, descrita pelo

produtouv em queu ev são funções dex. Então,

d (uv)d x

=dudx

v+udvdx

.

Integrando em relação ax obtemos a seguinte equação

∫d(uv)

dxdx=

∫dudx

vdx+∫

udvdx

dx

uv=

∫dudx

vdx+∫

udvdx

dx,

ou ainda,

∫udv= uv−

∫vdu.(22.2.1)

A Eq. (22.2.1) é conhecida como integração por partes para integrais indefinidas.

Ela é particularmente útil quando a integral∫

vdué muito mais simples do que a

integral∫

udv. Como acontece para a técnica por substituição de variáveis,aqui

também buscamos escolheru ev de modo a tornar mínimo o esforço analítico no

cálculo da integral. Evidentemente sempre buscaremos tornar a integral por partes

neste formato. No que segue alguns exemplos práticos são analisados.


xex dx.

Solução 22.2.1.Faça a escolhau = x edv = exdx. Assim, du = dx e v = ex.

Usando a Eq. (22.2.1) encontramos

∫ud v=uv−

∫vd u

∫xexdx=xex−

∫ex dx= xex−ex +C.

Nota 22.2.1.Uma rápida observação nesta parte: note quevé obtida através do cál-

culo da antiderivada ded v descartando a constante de integração. Para o exemplo

acimadv= ex dx. Logo,

v =∫

d v=∫

ex d x= ex .

296

Exemplo 22.2.2.Obtenha∫

lnxdx.

Solução 22.2.2.Aqui escolhemos

u = lnx e dv= 1.

Com isto, encontramos

du=1x

dx e v =∫

1d x= x.

Logo,

∫ud v=uv−

∫vd u

∫lnxdx=xlnx−

∫x

1x

dx= xlnx−∫

dx

Então, ∫lnxdx= xlnx−x+C.

Como já discutido, em muitas ocasiões precisamos efetuar sucessivas integra-

ções por partes ou manipular algebricamente as integrais até encontrar o resultado

desejado. Vejamos isto nos exemplos logo abaixo.

Exemplo 22.2.3.Avalie a integral∫

cos2xdx.

Solução 22.2.3.Faça a escolha

u = cosx e dv= cosxdx

e obtenha

du= −senxdx e v = senx.

Logo, ∫cos2xdx= cosxsenx+

∫sen2xdx.

Uma vez que

sen2x = 1−cos2x e senxcosx =12

sen2x

substitua estas relações na integral acima para encontrar

∫cos2 xdx=

12

sen2x+∫

dx−∫

cos2 xdx.

Passe a segunda integral do membro direito acima para o primeiro membro e obte-

nha

∫2 cos2xdx=

12

sen2x+∫

d x.

297

Portanto,∫

cos2xd x=14

sen2x+x2

+C.


x2exdx.

Solução 22.2.4.Tome agora a escolha

u = x2 e dv= ex dx

para obterdu= 2xdxev = ex. Assim, teremos

∫ud v= uv−

∫vd u

∫x2exdx= x2ex−2

∫xex dx

︸︷︷︸nova integração

Usando o resultado encontrado no Exemplo 22.2.1 para a integral∫

xex dx, encon-

tramos

∫x2exdx= x2ex−2(xex−ex)+C = ex(x2−2x+2

)+C.

Exemplo 22.2.5.Avalie∫

arctgxdx.

Solução 22.2.5.Fazendo a escolhau = arctgx edv= dx, teremosdu=1

1+x2 dx

ev = x. Logo,

∫ud v= uv−

∫vd u

∫arctgxdx= xarctgx−

∫x

1+x2 dx.

A última integral acima pode ser escrita como

12

∫d(x2 +1)

x2 +1=

12

ln(x2 +1)+C.

Portanto,

∫arctgxdx= xarctgx− 1

2ln(x2 +1)+C.


x2 cosxdx.

Solução 22.2.6.Faça a escolhau= x2 edv= cosx. Assim,du= 2xdxev= senx.

Portanto,

∫ud v= uv−

∫vd u

∫x2 cosxdx= x2 senx−2

∫xsenxdx.

298

Devemos proceder a uma segunda integração por partes à segunda integral acima.

Fazendo, para esta integral,

u = x e dv= senxdx

temosdu= dx ev = −cosx. Logo,

∫ud v= uv−

∫vd u

∫xsenxd x= −x cosx−

∫(−cosx)dx

= x cosx− senx+C.

Com este resultado, podemos agora escrever

∫x2 cosxdx= x2 senx+2x cosx−2senx+C

= (x2−2)senx+2x cosx+C.

Perceba que uma escolha inadequada das funçõesu edvpermite a um “desas-

tre” na solução de uma determinada integral empregando o método da integração

por partes. Quando não, é pensar que (por exemplo)∫

xsenx2 dx poderia ser uma

candidata ao emprego de integração por partes.

Exemplo 22.2.7.Um estudante se depara com a seguinte integral∫

exsenhxdx.

O mesmo emprega o método da integração por partes e encontra

∫exsenhxdx= ex coshx−

∫ex coshxdx

= ex coshx−exsenhx+

∫ex senhxdx.

Tal cálculo fornece a igualdade exsenhx = ex coshx, (Póf!). Onde o estudante

cometeu o erro?

Solução 22.2.7.Percebe-se que esta integral não se enquadra em solução de inte-

grais por partes. Qualquer escolha que se faça para as funções u ev o estudante

sempre permanecerá no mesmo erro uma vez que as derivadas de ex recai sempre

em ex e senhx em coshx. Para este caso escreva

ex = senhx+coshx,

obtendo ∫exsenhxdx=

∫(senh2 x+senhxcoshx)dx.

299

Lembrando que

senh2x =12

cosh2x− 12

d (senhx)d x

= coshx

d (coshx)d x

= senhx,

(22.2.2)

podemos escrever,

∫(senh2x+senhxcoshx)dx=

∫senh2 xd x+

∫senhxcoshxd x.

Usando as relações dadas pela Eq. (22.2.2) teremos

∫ex senhxd x=

∫ (12

cosh2x− 12

)d x+

∫coshxd(coshx) .

A segunda integral acima é do tipo

∫X d X=

X2

2+C1 , em queX = coshx.

Por outro lado,

∫12

cosh2xd x−∫

12

d x=14

senh2x− 12

x+C2 .

Com isto obtemos, finalmente,

∫exsenhxdx=

14

senh2x− 12

x+

∫coshxd(coshx)

=14

senh2x− 12

x+12

cosh2 x+C, em queC = C1 +C2.

Finalizando a seção, concluimos que, em particular, integrandos que possuem

funções nas formas

Pn(x)ex, Pn(x)senx, Pn(x)cosx, excosx, exsenx, arcsenx, arctgx, · · · ,

em quePn(x) é um polinômio de graun, são candidatos em potencial para o em-

prego de integração por partes. Notadamente outras formas de integrandos podem,

naturalmente, ser conduzidos através do emprego desta técnica utilizando trans-

formações algébricas ou substituições adequadas. Este é o caso, por exemplo, da

integral∫

cos(lnx)dx.


xarctgxdx.

Solução 22.2.8.Esta integral recai no que mencionamos anteriormente. A escolha

300

u = x edv= arctgxdxnos fornece

u = x e v =

∫arctgxdx= xarctgx− 1

2ln(x2 +1) .

Portanto,

∫xarctgxdx= x

(xarctgx− 1

2ln(x2 +1)

)−∫ (

xarctgx− 12

ln(x2 +1)

)dx

= x2 arctgx− x2

ln(x2 +1)−∫

xarctgxdx+12

∫ln(x2 +1)dx.

Passando a primeira integral do lado direito para o membro esquerdo encontramos

2∫

xarctgxdx= x2 arctgx− x2

ln(x2 +1)+12

∫ln(x2 +1)dx.

A integral do lado direito da equação acima é obtida por uma segunda integração

por partes. Façau = ln(x2 +1) edv= dx. Logo, temos

∫ln(x2 +1)dx= xln(x2 +1)−2

∫x2

x2 +1dx

some 1 e subtraia 1 no numerador desta última integral

= xln(x2 +1)−2∫

x2 +1−1x2 +1

dx

= xln(x2 +1)−2∫

dx+2∫

dxx2 +1

= xln(x2 +1)−2x+2arctgx+4C. a adoçao de4C ficará claro logo abaixo.

Usando estes resultados, encontramos

2∫

xarctgxdx= x2 arctgx− x2

ln(x2 +1)+x2

ln(x2 +1)−x+arctgx+2C.

Ou ainda,

2∫

xarctgxdx= x2 arctgx−x+arctgx+2C.


∫xarctgxdx=

12

x2 arctgx− x2

+12

arctgx+C.

O uso da constante 4C acima foi apenas prevendo a divisão por 4, ou seja, 4C/(2×2) = C. Este procedimento em nada afeta o resultado.

Antes de findar esta aula gostaria apenas de concluir com algumas considera-

ções pertinentes a escolha deu ed vque aparece no cálculo de integração por partes

e complementando a discussão feita na Página 299. A discussão agora reside em

como proceder no momento da escolha parau ed v. Uma sugestão que funciona

na grande maioria das vezes foi publicado recentemente em uma edição da revista

301

American Mathematical Monthlye se baseia no esquema abaixo:

L I A T ELogarítmicas Inversas de trigonométricas Algébricas Trigonométricas Exponenciais

No anagrama acimaLIATE representa iniciais de tipos diferentes de funções.

A estratégia para a escolha deu ed vque aparece no integrando de∫

ud vé tomar:

(a) u: funções cuja letra inicial se caracteriza mais à esquerda do anagrama.

(b) d v: funções que estão caracterizadas pelas letras mais à direita do anagrama.

Assim,u deve ser escolhida por funções que se encontram mais próximada letraL

enquantod vpor aquelas mais próximas da letraE. Desta forma, para a integral

∫exsenxd x

as escolhas são:

u = senx e d v= ex d x.

Por outro lado, a integral ∫ √1−x2 d x

pode ser resolvida usando a técnica de integração por partesapesar do anagrama

não nos servir visto que a integral envolve apenas expressões algébricas.

302

22.3 Conclusão

Nesta aula introduzimos mais uma técnica para o cálculo de integrais. Con-

forme você pôde perceber, caro aluno, a integração por partes possui suas carac-

terísticas próprias e está sempreatenadacom o seu conhecimento passado de in-

tegrais. Assim, você não pode deixar se levar pelo esquecimento e buscar praticar

bastante esta técnica. Em síntese, pudemos ter a devida noção da importância desta

técnica e notar que aliada a técnica de substituição de variáveis tais ferramentas se-

rão de grande utilidade daqui por diante.

22.4 Resumo

Se f = uv em queu ev são funções diferenciáveis então

∫ud v= uv−

∫vd u.

Esta equação é conhecida como método da integração por partes para integrais

indefinida. A essência por trás desta técnica é encontrar formas adequadas parau

ed vque permita simplificar o cálculo da integral.

303

Exercícios

E. 1 ⊲ Use a técnica de integração por partes e mostre que:

(a)∫

xsenxd x= senx−x cosx+C

(b)∫

x2 ln xd x=x3

3ln |x|− x3

9+C

(c)∫

x2 cos2xd x= x2senx−2senx+2xcosx+C

(d)∫

sen(ln x)d x= −x2

cos(ln |x|)+x2

sen(ln |x|)+C.


(a)∫

x3 ln xd x

(b)∫

x2 e4x d x

(c)∫

cos(ln x)d x

(d)∫

e3x cos2xd x.

E. 3 ⊲ Mostre que:

(a)∫

senn (ax)d x= −senn−1 (ax) cosaxna

+n−1

n

∫ (senn−2 ax

)d x

(b)∫

xn ex d x= xnex−n∫

xn−1ex d x

(c)∫

eaxsenbxd x=1

a2 +b2eax [asenbx−bcosbx]+C

(d)∫

senmxcosnxd x= −12

[cos(m+n)x

m+n+

cos(m−n)xm−n

]+C; m2 6=

n2 .

E. 4 ⊲ Calcule ∫ √a2−x2d x.

E. 5 ⊲ Use o mesmo procedimento adotado no exercício anterior paraobter

∫ √a+x2 d x=

x2

√a+x2 +

a2

ln |x+√

a+x2|+C.

E. 6 ⊲ Ao calcular a integral ∫1x

d x

um aluno do curso de Matemática usou o método de integração por partes

escolhendou =1x

ed v= d x, obtendo

∫1x

d x=

(1x

)x−

∫x

(− 1

x2

)d x= 1+

∫1x

d x.

Notadamente que este cálculo produz

1 = 0.

304

Determine onde o aluno cometeu o erro!!

E. 7 ⊲ Mostre que

∫x2

(x2 + λ )2 d x= − x2 (x2 + λ )

+

∫1

x2 + λd x.

E. 8 ⊲ Use o resultado obtido anteriormente para calcular

(a)∫

x2

(x2 +a2)2 d x (b)∫

x2

(a2−x2)2 d x

305

22.5 Referências






306

23 Aplicações de Técnicas deIntegração

Meta: Estabelecer aplicações de integrais de funções a diversos contextos do coti-

diano utilizando os conceitos apresentados nas duas aulas anteriores.

Objetivos: Esta aula tem como objetivo realizar aplicações diversas dos conceitos

e técnicas vivenciados nas Aulas 20 a 22.

Pré-requisitos: Integrais de Funções. Técnica de Mudanças de Variáveis e de

Integração por Partes.

23.1 Introdução

Nas Aulas 20 a 22 abordamos os conceitos e técnicas para integração de funções.

Nosso intuito, nesta aula, é aplicar estes conhecimentos a situações didáticas e co-

tidianos vivenciadas por você, caro aluno, em diferentes estágios. Evidentemente

que esta aula não tem como cobrir todas as situações possíveis ainda assim tentare-

mos abordar exemplos que nos permita averiguar quando usar uma ou outra técnica

partindo do entendimento da questão envolvida. Destacaremos alguns exemplos da

Física, Química, Biologia e da própria Matemática que nos auxiliará a tornar me-

nosburocratao estudo de integrais de funções. Tomaremos esta aula como o início

de outras aplicações que mais adiante serão apresentadas.

307

23.2 Equações Diferenciais

A solução de uma equação diferencial é uma das primeiras aplicações do cál-

culo integral. Consideref = f (x) uma funçãon vezes diferenciável. Uma equação

diferencial é uma relação de igualdade envolvendo a funçãof (x) suas derivadas e

a variável independentex. Assim, a equação

(23.2.1) φ = φ( f , f ′, f ′′, · · · , f (n), x) = 0,

representa uma equação diferencial ef (n) é an−ésima derivada def em relação a

x.

A presença de equações diferenciais ocorre nas mais variadas áreas a exem-

plo da Biologia, Biofísica, Estatística, Física, Química,Matemática, Economia,

Engenharia entre outras. São exemplos de equações diferenciais:

(a) y′ = −xy

(b) y′′ = −senx

(c) ∇2ψ +2(V −E)ψ = 0.

As equações diferenciais do tipo (a) e (b) são ditas equaçõesdiferenciais ordinárias

(EDO) enquanto (c) é dita equação diferencial parcial (EDP). A ordem de uma

equação diferencial é ditada pela maior derivada encontrada na função dependente.

Neste caso, (a) é uma EDO de primeira ordem, (b) uma EDO de segunda ordem e

(c) uma EDP de segunda ordem.

Um estudo completo de equações diferenciais está fora do alcance desta dis-

ciplina. Assim, apenas destacaremos alguns exemplos e aplicações das equações

diferenciais ordinárias. Noutra oportunidade você, caro aluno, terá contato com

uma análise cuidadosa e completa sobre este tema. O que desejamos com o es-

tudo de equações diferenciais é determinar a funçãof que satisfaz (seja solução)

da equação dada e uma discussão bastante preliminar foi realizada na Aula 16.

Voltando a este objetivo, considere os primeiros exemplos que se segue.

Exemplo 23.2.1.Determine a função que satisfaz a equação diferencialy′ = x2 +

2x.

Solução 23.2.1.A equação diferencial dada pode ser reescrita como

d yd x

=(x2 +2x

)⇒ d y=

(x2 +2x

)d x.

308

Integrando ambos os membros em relação ax você encontrará:

∫dy=

∫ (x2 +2x

)d x.

A integração termo a termo dá como resultado:

y =13

x3 +x2+C.

Deixo a você, prezado aluno, a tarefa de derivar o resultado obtido e averiguar que

ele produzy′ = x2 +2x.

Exemplo 23.2.2.Encontre a solução da equação diferencial

d yd x

= −xy.

Solução 23.2.2.Reescreva a equação dada na forma

yd y+x dx= 0.

Integre termo a termo obtemos

∫ydy+

∫xdx=

∫0dx.

É fácil ver que esta solução tem como constante de integraçãoum valor estrita-

mente positivo (Por quê?). Portanto,

∫ydy+

∫xdx=

∫0dx =⇒ y2

2+

x2

2=

C2

2.

Ou ainda,

x2 +y2 = C2 .

O resultado encontrado mostra que a solução para a equação diferencial dada re-

presenta uma circunferência de raior = C e centro(0, 0) no planoxy.

Exemplo 23.2.3.Encontre a funçãoy(x) que satisfaz a equação diferencial

y′′ = y′ .

Solução 23.2.3.y′′ representa a segunda derivada dey em relação ax e a equação

diferencial dada pode ser reescrita como

d y′

d x= y′ , =⇒ d y′

y′= d x.

Integrando ambos os membros obtemos

∫d y′

y′=∫

dx, =⇒ lny′ = x+ lnC1 .

309

A escolha das constantes de integração é, por muitas ocasiões, feita para se adequa-

rem a escrita da solução final. Ao considerar lnC1 como constante de integração

estamos presumindo que podemos escrever

lny′ = x+ lnC1 =⇒ ln y′− ln C1 = ln(y′/C1

)= x.

Conduzindo-nos à forma

y′ = C1ex . ✍

Para encontrary precisamos realizar outra integração no resultado obtido acima.

Para isto escreva a equação acima como,

d yd x

= C1ex =⇒ d y= C1ex d x.

Agora integre ambos os membros

∫dy=

∫C1exdx,

para obter

y(x) = C1 ex +C2 .

Este último resultado sugere que o número de constantes de integração presen-

tes na solução da EDO está intimamente associada a ordem da EDO. Isto é uma

afirmativa verdadeira. Contudo, não pretendemos adentrarnesta e n’outras parti-

cularidades do estudo de EDO uma vez que foge ao alcance destadisciplina.

23.2.1 Modelo da Proliferação

De modo simplificado a equação diferencial que descreve o modelo para o

crescimento de uma dada população biológica (cultura de bactérias, crescimento de

peixes em um lago, crescimento populacional entre outras) baseia-se na hipótese

(aceitáveis na ausência de limitações externas) da proporcionalidade da taxa de

crescimento (em relação ao tempot) da população por seu volume populacional.

Esta hipótese é conhecida como modelo da proliferação normal e tem equação dada

pordpdt

= k p, k > 0, p(0) = p0 .

em quep mede a população em um dado tempot. Para resolver esta equação

diferencial reescreva-a comodpp

= kdt

310

e efetuamos a integração

∫d pp

= k∫

d t, =⇒ ln p = kt+ ln C.

A escolha da constante de integração como lnC tem sua explicação já descrita no

Exemplo 23.2.3 e permite escrever

ln p = kt+ ln C como ln( p

C

)= kt .

Expressandop em função det obtemosp = Cekt. Usando a condição de que

p(0) = p0 obtemosC = p0 e portanto,

p(t) = p0 ekt .

Este modelo simplificado não reflete a realidade haja vistaque demonstra um cres-

cimento indefinido da população.1 Outros modelos devem ser considerados para

que possamos adequar tanto quanto fielmente possível o resultado matemático às

condições reais.

Este mesmo modelo também pode ser usado para descrever o decaimento radioa-

tivo de uma amostra química contendoN(t) átomos de um dado isótopo radioativo

no instantet. Para este caso a equação se transforma em2

d Nd t

= −kN,

ek depende do isótopo a ser estudado.

23.2.2 Lançamento de Projétil

Considere o movimento de uma pedra atirada verticalmente com velocidadev0

de uma alturah e cuja única força atuando sobre o mesmo se deve ao efeito gravi-

tacional. Estamos interessados na descrição da posição da pedra para todo instante

t. A configuração do problema é esquematicamente apresentado na Figura 23.2.1 e

a funçãoy = f (t) que descreve o movimento do objeto ao longo do eixoy obedece

a equação

y′′ = −g.

1Para o caso em quek < 0 a população diminuiria indefinidamente.2Esta mesma equação também serve para um estudo preliminar deeliminação de droga na cor-

rente sanguínea.

311

Esta equação representa a aceleração imposta ao objeto devido a atração gravitaci-

onal. De modo similiar ao Exemplo 23.2.3 podemos escrever

dy′

dt= −g, =⇒

∫d y′ = −

∫gd t, =⇒ y′ = −gt+C1.

Efetuando nova integração na equação obtida paray′, obtemos

∫dy=

∫(−gt+C1)dt, y = −1

2gt2 +C1t +C2 .

As condições iniciais para o problema sãoy(t = 0) = h ey′(t = 0) = v0. Assim,

chegamos aos resultados

v(t) = y′(t) = −gt+v0 e y(t) = −12

gt2 +v0t +h,

que representam a equação da velocidade e da posição do objeto em movimento

vertical sob as condições dada para todo instantet. Em particular, o tempo gasto

desde o momento de lançamento até atingir o solo é obtido da equação

−12

gt2 +v0t +h= 0.

Cujas soluções são

τ =1g

(v0±

√v2

0 +2gh

).

Contudo, a solução fisicamente aceitável é

τ =1g

(v0 +

√v2

0 +2gh)

(Por quê?).

v0

−g

h

x

y

Figura 23.2.1: Objeto em movimento vertical.

312

23.2.3 Movimento Oscilatório

Uma das técnicas empregadas para solucionar equações diferenciais reside

na aplicação da teoria das variáveis complexas. Suponha queuma dada equação

diferencial é dada por

x′′ = −λ 2x, com x = x(t) e λ uma constante.(23.2.2)

Buscamos então sua solução fazendo a escolhax = ei r t como suposta solução da

equação diferencial dada, em quer é uma constante a ser determinada. Usando

esta hipótese na equação diferencial encontramosr2 = λ 2 ou r = ±λ . Com isto,

podemos dizer que a escolha para solução pode serx+λ = eiλ t bem comox−λ =

e−iλ t. Uma vez que ambas satisfazem a hipótese, naturalmente escolhe-se uma

combinação linear destas duas soluções, ou seja,

x = C1eiλ t +C2e−iλ t .

Lembrando que

eiθ = cosθ + isenθ ,

chegamos ao seguinte resultado

x(t) = (C1 +C2)cosλ t + i (C1−C2)senλ t .

Ou ainda,

x(t) = Acosλ t +Bsenλ t ,(23.2.3)

em que usamosA≡C1+C2 e B≡ i (C1−C2) .

k m

superfície lisa

bloco

parede

x0

Figura 23.2.2: Bloco de massampreso por uma mola de constante elátsicak reali-zando pequenas oscilações em torno do pontox0.

A equação diferencial (23.2.2) encontra-se presente, em particular, no movi-

mento oscilatório de sistemas com pequena amplitude. Assim, um sistema massa-

mola do tipo mostrado na Figura 23.2.2, onde a inexistência de forças dissipativas

313

é total, possui equação diferencial dada por

x′′ + ω2x = 0, em que ω2 = k/m.

Deixo a cargo de você, prezado aluno, mostrar que a solução para o sistema é dada

por

x(t) = Acos(ωt −δ ) ,

em queA é a amplitude do movimento,δ uma fase associada ao movimento e

ω possui dimensão de seg−1, portanto, representa a freqüência angular do movi-

mento.

Uma vez quex= Acos(ωt−δ ) então o movimento se repete a cada 2π. Logo,

deve existirτ de modo que

ω(t + τ)−δ = ωt +2π −δ .

Ou seja,

τ = 2π√

mk

é o período de oscilação do sistema massa-mola. Usando o mesmo procedimento é

possível mostrar que a equação diferencial para um pêndulo simples tem a mesma

forma do sistema massa-mola e tem período de oscilação dado por τ = 2π√

lg

, em

quel é o comprimento do pêndulo eg é a aceleração gravitacional.

Em um nível mais sofisticado o movimento oscilatório apresenta soluções bastante

complexas que fogem ao alcance desta disciplina e são objetos de estudos na Física,

Engenharia Civil e Elétrica, por exemplo.

314

23.3 Conclusão

Nesta aula abordamos alguns exemplos de aplicações básicasdo cálculo inte-

gral envolvendo problemas da Matemátia, Física, Engenharia, Química e Biologia.

Pudemos destacar aspectos principais que, a este nível de disciplina, não podem

ser melhor explorados. Entretanto, ainda que forma simplesfoi possível associar

estes aspectos ao detalhamento das soluções.

23.4 Resumo

Umaequação diferencialpode ser classificada em dois tipos:

(a) ordinária (EDO) (b) parcial (EDP)

Uma EDO é descrita através da equação

φ = φ( f , f ′, f ′′, · · · , f (n), x) = 0,

em que f = f (x). Resolver uma EDO é encontrar a funçãof (x) que satisfaz a

EDO.

315

Exercícios

E. 1 ⊲ Determine todas as soluções de

(a)d yd x

= ay2 (b)d yd x

= axy

.

E. 2 ⊲ Obtenha a solução para as equações diferencias sujeitas as condições dadas

(a) y′ = x2 +3x, y(0) = 0

(b) y′ =x−1 +1x−2 +1

, y(0) = π/2

(c) y′′ =x+1

x, y′(1) = 2, y(1) = 0

(d) y′′ =sen(ln x)

x, y′(1) = y(1) = 0.

E. 3 ⊲ Uma dada curvay = f (x) obedece a equação

y′′ = cos2x−sen2x,

passa pelo ponto(0, 1) e tem reta tangentey+x−1= 0 neste mesmo ponto.

Encontrey = f (x).

E. 4 ⊲ A taxa de produção de uma mina de cobret anos após a extração ter iniciado

é dada pord Pd t

= 50te0.1t

milhares de toneladas por ano. Determine a expressão que fornece a produ-

ção total de cobre em função det.

E. 5 ⊲ Para um fluido em repouso ou em velocidade constante a equação

d pd z

= −ρ g,(23.4.1)

mede a distribuição hidrostática para a pressãop na direção vertical. Aqui

ρ representa a densidade do fluido eg a aceleração gravitacional local

(suposta constante). Líquidos são quase incompressíveis,ou seja,ρ ⋍

constante. Integre a Eq. (23.4.1) e mostre que

p =

∫−ρ gd z =⇒ p = −ρ gz+C.

E. 6 ⊲ Continuando o exercício anterior a quantidadeγ = ρ g é chamada peso es-

pecífico do fluido com dimensões de peso por unidade de volume.Para la-

gos e oceanos, o sistema de coordenadas é usualmente escolhido conforme

mostra a Figura 23.4.1, comz = 0 na superfície ondep é igual a pressão

316

atmosféricapa. De posse do resultado anterior mostre que para lagos e

oceanos

p = pa− γ z.

Uma certa cidade possui um lago com profundidade máxima de 60m e a

z

pa−bγar+b

−h pa +hγ água

ar

água

0

z= 0, p = pa

~g

Figura 23.4.1: Situação esquemática para o Exercício 6.

pressão atmosférica é 91kPa. Estime a pressão a esta profundidade sabendo

queγágua = 9790N/m3.

E. 7 ⊲ A pressãoPe volumeV de um gás em um processo adiabático (um processo

sem transferência de calor) estão relacionados através da equação diferen-

cial

P+kVd PdV

= 0,

em quek é uma constante. EncontreP como uma função deV.

E. 8 ⊲ Um projétil de massam é lançado sobre um plano horizontal com veloci-

dade inicialv0 em um meio resistivo com força proporcional a sua veloci-

dade. A equação diferencial que descreve este movimento é

md vd t

= −kv, k > 0.

Encontre: (a) a equação para a velocidadev em função det, (b) a posição

x(t), tomandox(0) = x0. Destes dois resultados mostre que a relação entre

v ex é linear.

E. 9 ⊲ O processo de decaimento radioativo de uma substância satisfaz a equação

d Nd t

= −0.002N , comN(0) = N0 ,

em quet é medido em anos.

317

(a) Determine o tempo quandoN =12

N0. Este tempo é chamado demeia-

vida da substância.

(b) SeN0 = 100gramas, encontre o momentot⋆ para queN(t⋆)= 20gramas.

E. 10⊲ Considere o seguinte evento:N partículas encontram-se dentro de um

cubo onde foi construída uma fina parede que o divide em duas partesA

e B. Suponha que inicialmente todas as partículas encontram-se do ladoA

do cubo, ou seja,na(t = 0) = N, e que um pequeno furo seja feito nesta pa-

rede. A equação diferencial que define a taxa com que partículas se movam

para o ladoB do cubo durante um tempod t é dada por

d na

d t= 1− 2na

N,

em quena/N representa a probabilidade para que uma partícula possa mi-

grar para o ladoB do cubo emd t. Encontrena(t) e faça um gráfico do

resultado obtido e discuta este experimento à luz de conceitos físicos.

318


E. 1 ⊲ (a)− 1(ax+C)

, (b) y2−ax2 = C2 , em queC são constantes de integração.

E. 3 ⊲ y = −14

cos2x+14

sen2x+12

x+54

.

E. 7 ⊲ PV1/k = C, em queC é constante de integração.

E. 9 ⊲ (a) t =ln 2

0.002≃ 346anos, (b) t⋆ =

ln 50.002

≃ 804anos.

319

23.5 Referências






320

24 Integrais de FunçõesTrigonométricas

Meta: Obter cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas.

Objetivos: Nosso objetivo é calcular integrais de funções trigonométricas apro-

veitando possíveis relações entre as mesmas que são de grande valia. Ao final

desta aula espera-se que você, caro aluno, possa ser capaz decalcular tais integrais

diretamente ou usando procedimentos apresentados em aulasanteriores.



24.1 Introdução

Nas Aulas 20 a 23 tratamos de contextos e aspectos do cálculo de integrais de di-

ferentes tipos de funções tornando o estudo bastante geral.Nesta aula pretendemos

destacar e singularizar o cálculo de funções trigonométricas que já foram calcula-

das em aulas passadas de forma muito breve. A partir desta aula buscamo refinar

este cálculo inserindo procedimentos de relações trigonométricas e substituição de

variável. Veremos que em muitos casos estas abordagens tornam a integral dada

em formas bastantes simples e conhecidas.

321

24.2 Integração de Funções Trigonométricas

Nesta seção estudaremos as integrais que envolvem as funções trigonométri-

casseno, co-seno, tangentee suas relações que fornecemco-tangente, secante e

co-secante. Se considerarmos as relações envolvendo as derivadas entre tais fun-

ções então podemos separar as integrais de funções trigonométricas em três grupos

distintos:

(a) seno e co-seno,

(b) tangente e secante e,

(c) cotangente e co-secante.

Observe que as derivadas destas funções podem ser expressasem termos das duas

funções do grupo as quais elas pertencem. Assim, dada uma integral indefinida∫f (x)dx onde f (x) envolva quaisquer das integrais trigonométricas acima des-

tacadas, podemos tirar proveito deste agrupamento para tentar escreverf (x) em

termos das funções trigonométricas que aparecem nestes agrupamentos.

Exemplo 24.2.1.Considere a integral∫

sen2xdx.

Solução 24.2.1.Lembrando que sen2x = 12 (1−cos2x), obtemos

∫sen2xdx=

12

∫(1−cos2x) dx=

12

x− 14

sen2x+C.

Exemplo 24.2.2.Determine a função definida pela integral∫

cos25xdx.

Solução 24.2.2.De modo similar ao exemplo anterior escrevemos

cos25x =12

(1+cos10x) .

Portanto,

∫cos2 5xdx=

12

∫dx+

12

∫cos10xdx=

12

x+120

sen10x+C.

Exemplo 24.2.3.Avalie∫

cos3 xdx.

Solução 24.2.3.Façamos a reescrita do integrando na forma

cos3 x = cos2xcosx =(1−sen2x

)cosx = cosx−sen2x cosx.

Você, caro aluno, perceberá que a reescrita de cos3x neste formato satisfará nossos

propósitos. Agora substitua este resultado no integrando eencontrará

∫cos3xdx=

∫cosxdx−

∫sen2 xcosxdx︸︷︷︸

d(senx)

. Percebeu o truque?!

322

Agora podemos realizar facilmente a integração lembrando que cosxdx= d(senx).

∫cos3xd x=

∫cosxd x−

∫sen2 xd(senx) .

O segundo termo no membro à direita da integral acima é da forma

∫X 2d X =

13

X3 +C.

Portanto, ∫cos3xd x= senx− 1

3sen3 x+C.

Exemplo 24.2.4.Calcule a integral∫ √

1−senxdx.


1−senx = 1−cos(π2−x) = 2sen2(

π4− x

2),

e assim escrevemos

∫ √1−senxdx=

√2∫ ∣∣∣sen(

π4− x

2)∣∣∣ dx.

Sem perda de generalidade vamos considerar a região para a qual

sen(π4− x

2) > 0.

Logo, ∫ √1−senxdx=

√2∫

sen(π4− x

2)dx.

Faça agora a substituição

t =π4− x

2,

para obterdt = −1/2dx e com isto reescreva a integral na variávelt sob a forma

√2∫

sent(−2dt) = −2√

2∫

sent dt = −2√

2(−cost)+C.

Retornando à variávelx, temos

∫ √1−senxdx= 2

√2cos

(π4− x

2

)+C.

Exemplo 24.2.5.Calcule ∫cosxsenx

d x.

Solução 24.2.5.Note que o numerador do integrando apresenta uma função que

pode ser escrita como a derivada da função do denominador, ouseja,

d(senx) = cosxd x.

323

Assim podemos reescrever a integral dada como

∫cosxsenx

d x=

∫1

senxd(senx) = ln |senx|+C.

Particularmente aqui impomos a resposta do logaritmo em termos do módulo

da funçãoseno. Isto se deve ao fato de impedir que o argumento da função loga-

ritmica assuma valores negativos, uma vez que estamos trabalhando com valores

de funções reais. Em muitas situações omitiremos estas peculiaridades lembrando

que já estamos assumindo estas considerações.


arcsenxd x.

Solução 24.2.6.Escolhau = arcsenx, dv= dx e efetue uma integração por partes

para encontrar

∫udv= uv−

∫vdu

∫arcsenxdx= (arcsenx)x−

∫x

dx√1−x2

.

Esta última integral é simples de calcular desde que você, caro aluno, faça a se-

guinte manipulação:

∫x√

1−x2dx=−1

2

∫d(1−x2)√

1−x2. não entendeu?! Reveja os exemplos acima!!

Escreva agoraz= 1−x2 para obter

−12

∫d(1−x2)√

1−x2= −1

2

∫dz

z1/2= −z1/2 +C.

Portanto, ∫arcsenxdx= x(arcsenx)+

√1−x2 +C.

Façamos uma explanação genérica do que ocorre em algumas integrais que

envolvem funções trigonométricas. Basicamente existem duas alternativas para

calcular integrais de funções trigonométricas. Uma delas éutilizar integração por

partes, a outra baseia-se no uso de relações trigonométricas. Ambos os métodos

buscam simplificar a integral envolvida. No que segue algumas regras simples são

apresentadas com o objetivo de tornar familiar situações que ocorrem frequente-

mente.

(a)∫

senpxdxparap(≥ 3) ímpar.

Neste caso tome as seguintes atitudes:

(i) Converta sen2x para 1−cos2x.

324

(ii) Escreva ∫senpxdx=

∫senp−1xd(−cosx) .

(iii) Faça a substituiçãoz= cosx para obter um polinômio emzpara a integral

dada, ou seja,

∫senp xdx=

∫senp−1xd(−cosx) = −

∫ (1−z2)p−1

dz.

O mesmo procedimento é válido para∫

cospxdx. Neste caso, obtemos

∫cosp−1 xd(senx) =

∫ (1−z2)p−1

dz. Onde agoraz= senx.

(b) quando a integral envolve o produto senk xcosnx com k oun ímpar podemos

adotar os seguintes procedimentos:

i) se n é ímpar, separe um termo cosxdx e escreva-o comod(senx). De

modo a obter

∫senkxcosn xdx=

∫senkxcosn−1d(senx)=

∫senkx(1−sen2x)(n−1)/2d(senx) .

Considere agora fazerz = senx. Desta feita teremos a integral dada na

forma de polinômio emz, ou seja,

∫zk(1−z2)(n−1)/2 dz.

ii) sek é ímpar, separe um termo em senxdxescrevendo-o comod(−cosx)=

−d(cosx). Assim, a integral passa a ser escrita como

∫senk−1xcosn xsenxdx= −

∫senk−1xcosn xd(cosx) .

Escrevaz= cosx para obter a integral na forma de um polinômio emz, ou

seja,

−∫ (

1−z2)k−1zndz.

iii) caso ambosk en sejam ímpares utilize qualquer das substituições citadas

acima.

A depender dos valores dek en as integrais assim obtidas em termos de

um polinômio emzpodem vir a ser ligeiramente “penosas” para calcular.

(c) caso o integrando envolva o produto senkxcosn x com ambosk en pares (inclu-

sivek = 0 en 6= 0 ouk 6= 0 en = 0), então procede-se de maneira alternativa.

Particularmente, existem dois modos de resolver integraisdesta espécie.

i) integração por partes e

325

ii) emprego de relações trigonométricas envolvendo arco duplo, ou seja:

cos2 x =12

(1+cos2x) e sen2x =12

(1−cos2x) .

Tomada estas considerações o processo algébrico posteriorpode recair nas in-

tegrais que envolvam potências de senmxe cosm′x com mem′ inteiros. Tais

integrais podem ser resolvidas usando os conhecimentos adquiridos até o pre-

sente momento.

Considere os exemplos que se seguem para conter o ímpeto pelas primeiras per-

guntas e tente observar a sequência da condução algébrica.

Exemplo 24.2.7.Obtenha a integral∫

sen3 xcosxdx.


∫sen3xcosxdx=

∫sen3xd(senx).

Não se faz necessário, mas ao tomarz= senx encontramos

∫z3dz=

14

z4 +C.

Logo, ∫sen3xcosxdx=

14

sen4 x+C.


sen2xcos2 xdx.

Solução 24.2.8.Considerando as relações trigonométricas estabelecidas anterior-

mente obtemos

∫sen2xcos2xdx=

14

∫(1−cos2x) (1+cos2x) dx=

14

∫ (1−cos2 2x

)dx.

Contudo, cos2 2x =12

(1+cos4x) e a integral passa a ser reescrita como

∫sen2xcos2 xdx=

14

∫dx− 1

8

∫(1+cos4x) dx

=x4− x

8− 1

8

∫cos4xdx.

Efetuando a última integral à direita encontramos a soluçãodesejada,

∫sen2xcos2xdx=

x8− 1

32sen4x+C.

Exemplo 24.2.9.Encontre a integral∫

cos6 xdx.

326

Solução 24.2.9.De modo similar, encontramos

∫cos6xdx=

∫ (1+cos2x

2

)3

dx.

Desenvolvendo o integrando encontraremos

∫cos6xdx=

18

∫ (1+3cos2x+3cos2 2x+cos32x

)dx

=18

x+316

sen2x+38

∫1+cos4x

2dx+

18

∫ (1−sen22x

)cos2xdx

=18

x+316

sen2x+316

∫dx+

316

∫cos4xdx+

18

∫cos2xdx− 1

8

∫sen22x

d(sen2x)2

.

Obtendo, finalmente,

∫cos6xdx=

516

x+14

sen2x+364

sen4x− 148

sen32x+C.

Exemplo 24.2.10.Determine a integral∫

cos4 xsen2xdx.

Solução 24.2.10.Façamos

sen2 xcos4x =(sen2xcos2x

)cos2x =

14

sen22x

(1+cos2x

2

).

Logo, a integral pode ser reescrita como

18

∫sen2 2xdx+

18

∫sen22xcos 2xdx=

18

∫ (1−cos4x

2

)dx+

18

∫sen22x

d(sen2x)2

.

As duas integrais à direita são facilmente obtidas, o que nospermite escrever

∫cos4 xsen2xdx=

116

x− 164

sen4x+148

sen3 2x+C.


sen3xcosx 3

√cosx

dx.

Solução 24.2.11.Neste caso temos ímpar a potência da funçãoseno. Podemos

reescrever a integral dada como

∫sen3 x

cosx 3√

cosxdx=

∫sen2 xcos−4/3xsenxdx.

Fazendo a substituiçãoz= cosx teremos a integral emzna forma

−∫ (

1−z2)z−4/3 dz=35

z5/3 +313√

z+C.

Retornando a variável emx encontramos

∫sen3x

cosx 3√

cosxdx=

35

cos5/3 x+3

3√

cosx+C.

327

Perceba que toda integral na forma∫

cosmxsenn xdxpode ser facilmente in-

tegrada usando as relações acima, inclusive para valores negativos demen. A

questão que pode ocorrer é:posso realizar integração por partes nestes casos?

Certamente que sim. Em alguns casos, tal atitude pode ser literalmente simples.

Isto porque a tendência é obter a redução da potência presente nas funções. Ve-

jamos o caso∫

cosmxdx que ainda pode ser reescrita como∫

cosm−1xcosxdx.

Escolhendou = cosm−1x edv= cosxdxobtemos

∫cosmxdx= cosm−1xsenx+(m−1)

∫sen2xcosm−2xdx

= cosm−1xsenx+(m−1)

∫(1−cos2 x)cosm−2xdx

ou ainda,

∫cosmxdx=

1m

cosm−1xsenx+m−1

m

∫cosm−2xdx.

Particularmente param= 2 encontramos

∫cos2xdx=

12

cosxsenx+12

∫dx= sen2x+

12

x+C.

Param= 4 a redução do grau da potência fornece uma integral em cos2x. Por outro

lado, é possível efetuar o mesmo procedimento para

∫senmxdx e

∫senmxcosnxdx.

Contudo, não faz sentido memorizar as relações obtidas anteriormente. A prática

conduz a uma atitude de aprimoramento.

Em muitas outras ocasiões as funçõessenoe co-senoaparecem em termos de

ângulos do tipoαx e βx. Considere os casos que ao invés de ter∫

senmxcosn xdx

tenhamos∫

cosαxsenβxdx. Notadamente que sabemos integrar algo do tipo∫

sen(α ± β )xdx e∫

cos(α ± β )xdx. Então, podemos, claramente usar as re-

lações abaixo,

senαxcosβx =12

[sen(α + β )x+sen(α −β )x]

senαxsenβx =12

[cos(α −β )x−cos(α + β )x]

cosαxcosβx =12

[cos(α + β )x+cos(α −β )x] ,

conduzindo o produto de funções a uma soma ou subtração de funções.


senaxcosbxdx, paraa 6= b.

328

Solução 24.2.12.Usando a primeira relação acima teremos

∫senaxcosbxdx=

12

∫sen(a+b)xdx+

12

∫sen(a−b)xdx

=12

1(a+b)

∫sen[(a+b)x]d[(a+b)x]+

12

1(a−b)

∫sen[(a−b)x]d[(a−b)x]

= −12

cos((b+a)x)(b+a)

+12

cos((b−a)x)(b−a)

+C.


cosxcos(x/2)cos(x/4)dx.

Solução 24.2.13.Neste caso precisamos “particionar” o integrando dado de modo

a tornar este particionamento em modo de um produto de funções trigonométricas

duas a duas. Ou seja, considere a identidade

cos(x/2)cos(x/4) =12

cos

(14

x

)+

12

cos

(34

x

).

Assim, teremos

∫cosxcos(x/2)cos(x/4)dx=

12

∫cos

(14

x

)cosxdx+

12

∫cos

(34

x

)cosxdx.

Agora escreva

cos

(14

x

)cosx =

12

cos

(34

x

)+

12

cos

(54

x

)

e

cos

(34

x

)cosx =

12

cos

(14

x

)+

12

cos

(74

x

).

Portanto,

∫cosxcos(x/2)cos(x/4)dx=

12

∫cos

(34

x

)dx+

12

∫cos

(54

x

)dx+

12

∫cos

(14

x

)dx+

12

∫cos

(74

x

)dx

Integrando termo a termo encontraremos

∫cosxcos(x/2)cos(x/4)dx= sen

(14

x

)+

13

sen

(34

x

)+

15

sen

(54

x

)+

17

sen

(74

x

)+C.

Comumente encontramos integrais que envolvem potências das funções tan-

gente e cotangente. Em particular consideraremos os casos destacados abaixo.

Integrais do tipo∫

tgk xdxe∫

cotgk xdxondek é um número inteiro positivo.

Para este caso considere fazer tg2x= sec2x−1 e cotg2x= cosec2 x−1. Com

isto, estamos essencialmente reduzindo a ordem (na potência) das funções

consideradas no integrando.

329


tg5xdx.

Solução 24.2.14.A integral pode ser reescrita como

∫tg3 x

(tg2x

)dx=

∫tg3 x

(sec2x−1

)dx.

Expandindo o integrando temos

∫tg3 xsec2xdx−

∫tg3xdx.

Usando o mesmo procedimento para a segunda integral encontramos

∫tg3 x

(sec2 x−1

)dx=

∫tg3xsec2xdx−

∫tgx(sec2x−1

)dx

=∫

tg3xd(tgx)−∫

tgxsec2 xdx−∫

tgxdx

=14

tg4 x−∫

tgxd(tgx)−∫

tgxdx

=14

tg4 x− 12

tg2 x−∫

senxcosx

dx.

Veja que estamos reescrevendo a integral∫

tgxdx=∫

senxcosx

dx= − ln |cosx|+C.

Logo, encontramos

∫tg5 xdx=

14

tg4 x− 12

tg2 x−∫

senxcosx

dx=14

tg4x− 12

tg2 x+ ln |cosx|+C.

Exemplo 24.2.15.Encontre a integral de∫

cotg3xdx.

Solução 24.2.15.Como antes façamos

∫cotg3 xdx=

∫cotg2xcotgxdx.

Fazendo uso da relação cotg2 x+1= cosec2xe lembrando qued(cotgx) =−cosec2xdx,

encontramos

∫cotg2xcotgxdx=

∫ (cosec2x−1

)cotgxdx=

∫cosec2xcotgxdx−

∫cotgxdx

=∫

cotgxd(−cotgx)−∫

cotgxdx= −12

cotg2x− ln |senx|+C.

330

24.3 Conclusão

Nesta aula iniciamos o estudo do cálculo de vários tipos de integrais de fun-

ções trigonométricas. Pudemos destacar algumas das váriasformas de manusear

tais integrais fazendo uso de relações trigonométricas já estabelecidas e outros pro-

cedimentos do próprio conhecimento de derivadas de tais funções. Com isto pude-

mos, em vários situações, contornar um cálculo aparentemente complexo em algo

bastante simples.

24.4 Resumo

Dada a integral ∫f (x)d x

em quef (x) é uma função trigonométrica ou combinações de funções trigonomé-

tricas, nosso objetivo foi:

(a) Reescreverf em termos de identidades trigonométricas, de preferênciaslinea-

res.

(b) Aplicar métodos de integração já conhecidos, a exemplo de integração por

partes e substituição de variáveis.

331

Exercícios

E. 1 ⊲ Calcule as integrais indefinidas

(a)∫

sen5 x cos4xd x

(b)∫

sen4 x cos3xd x

(c)∫

sen2x cos4 xd x

(d)∫

tgx+sec3xcotgxcos2 x

dx.

E. 2 ⊲ Mostre que:

(i)∫

tgn xd x=1

n−1tgn−1x−

∫tgn−2xd x, n 6= 1

(ii)∫

sen2k+1xd x= −∫ (

1−z2)k d z, em quez= cosx

(iii)∫

cos2k+1 xsennxd x=

∫ (1−z2)k

zn d z em quez= senx

(iv)∫

cosmxcosnxd x=12

[sen(m−n)xm−n

+sen(m+n)x

m+n

]+C,m2 6= n2 .


(a)∫

sen5 xd x

(b)∫

tg5xd x

(c)∫

cotg4xd x

(d)∫

sen4xcos4xd x

(e)∫

sen4xsen6xd x

(f)∫

senzb+a cosz

d z, a 6= 0.

E. 4 ⊲ Avalie as integrais

(a)∫

et cost d t

(b)∫

xsen(1+x2)d x

(c)∫ √

sent cost d t

(d)∫

esenzcoszd z

E. 5 ⊲ Calcule as integrais:

(a)∫

senx cos2 x4+cos2x

d x

(b)∫

cos√

x+1√1+x

d x

(c)∫

cosx√2+sen2x

d x

(d)∫

senxtg2x

d x.

E. 6 ⊲ Determine a constanteA de modo que

senx+cosx = A cos(π

4−x)

.

Agora calcule ∫1

cosx+senxd x.

332

E. 7 ⊲ Calcule ∫(senx−cosx) (senx+cosx)3d x.

E. 8 ⊲ Use as substituições indicadas para calcular as integrais

(a)∫

sen3xsen(cos3x)d x, façau = cos3x

(b)∫

cosx ln(senx)senx

d x, façau = ln(senx)

(c)∫

(secxtgx)√

3+2secx d x, façau = 3+2secx.

E. 9 ⊲ Realize substituições adequadas para calcular:

(a)∫

exsen(ex)d x

(b)∫

esenxsenx cosxd x

(c)∫

senx+cosxe−x +senx

d x

(d)∫

1a+b cosx

d x.

E. 10⊲ O resultado do cálculo da integral (d) do exercício anteriornão admite o

caso em quea = b. Você pode obter

∫1

1+cosxd x ?

333


E. 1 ⊲ (a)−19

sen4xcos5x− 463

sen2 xcos5x− 8315

cos5x+C, (b)−17

sen3xcos4x−335

senx cos4 x+135

cos2 xsenx+235

senx+C, (c)−16

senx cos5x+124

cos3xsenx+

116

cosxsenx+x16

+C, (d)12

sec2x+13

sec3 x+secx+ ln |cosecx−cotgx|+C.

E. 3 ⊲ (a) −15

sen4x cosx− 415

sen2x cosx− 815

cosx+C, (b)14

tg4x− 12

tg2x+

ln |secx|+C, (c)−14

cotg4 x+12

cotg2x− ln |cosecx|+C, (d)18

sen24x+C,

(e)14

sen2x− 120

sen10x+C, (f) −1a

ln |b+acosz|+C.

E. 5 ⊲ (a)−cosx+2arctg(cosx

2

)+C, (b) 2sen

(√x+1

)+C, (c) arcsenh

(√2

2senx

)+

C, (d) cosx+ ln |cosecx−cotgx|+C.

E. 7 ⊲ −16

(senx+cosx)6 +C.

E. 9 ⊲ (a)−cos(ex)+C, (b)(senx−1) esenx+C, (c) ln|exsenx+1|+C, (d)2√

a2−b2arctg

(a−b) tg

(x2

)

√a2−b2

+

C.

334

24.5 Referências






335

25 Substituições Trigonométricas

Meta: Obter cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas.

Objetivos: Nesta aula é nosso objetivo dar continuidade ao cálculo de integrais de

funções trigonométricas usando relações criteriosamenteescolhidas.



25.1 Introdução

Esta aula faz continuidade do estudo de integrais trigonométricas já vivenciadas

na Aula 24. Faremos uso de relações criteriosamente definidas possibilitando a

reescrita da integral dada em uma forma simplificada. Verificaremos que em muitas

ocasiões de interesse estas integrais e suas substituiçõessão particularmente úteis.

Em outras palavras, muitas integrais não trigonométricas podem ser transformadas

em integrais trigonométricas e a partir dela avaliar tais integrais. Esta aula abordará

aspectos que serão formalmente destacados nesta e nas próximas aulas.

336

25.2 Substituição Trigonométrica

O método de substituição de variáveis já nos mostrou ter uma grande valia

no cálculo de derivadas de funções. Veremos nos primeiros exemplos como obter

cálculo de integrais não trigonométricas fazendos substituições trigonométricas.

Considere os primeiros exemplos abaixo e comece a adaptar-se a estas novas subs-

tituições.

Exemplo 25.2.1.Calcule ∫ √1−x2d x.

Solução 25.2.1.Faça a substituição

x = senθ , =⇒ d x= cosθ dθ ,

para obter

∫ √1−x2d x ⇒

∫cosθ (cosθdθ) .

Note que o integrando√

1−x2 está definido parax≥ 1 então por isso considera-

mos √cos2θ = cosθ > 0,

após substituição acima. Nossa integral fica assim

∫cosθ cosθ dθ =

∫cos2 θ dθ =

∫ (12

+12

cos 2θ)

dθ =θ2

+sen2θ

4+C.

Lembrando que

sen2θ = 2senθ cosθ =⇒ 2x√

1−x2 ,

e retornando à variável original,x, encontramos o resultado desejado

∫ √1−x2d x=

arcosenx2

+x√

1−x2

2+C.

Exemplo 25.2.2.Calcule ∫1√

1−x2d x.

Solução 25.2.2.De modo similar ao Exemplo 25.2.1 façamos

x = senθ =⇒ d x= cosθ dθ .

Assim a integral na variávelθ tem a forma

∫1√

1−x2d x =⇒

∫cosθcosθ

dθ =∫

dθ = θ +C.

337

Portanto, ∫1√

1−x2d x= arcsenx+C.

Perceba que este resultado já era esperado uma vez que

(arcsenx)′ =1√

1−x2, veja Exemplo 11.2.6, Página 160 da Aula 11.

Com base nestes dois exemplos acima, integrandos da forma√

a2−x2 subs-

titua x por asenθ .

Vejamos agora outras formas de substituições que podemos utilizar para converter

integrais na forma trigonométricas.

Tabela de substituiçõesparaa2−b2x2, a2 +b2x2 eb2x2−a2, em quea, b > 0.

(a) a2−b2x2, façax =(a

b

)senθ obtendod x=

(ab

)cosθ dθ .

(b) a2 +b2x2, façax =(a

b

)tgθ obtendod x=

(ab

)sec2θ dθ .

(c) b2x2−a2, façax =(a

b

)secθ obtendod x=

(ab

)secθ tgθ dθ .

A Figura 25.2.1 mostra como estas relacões são obtidas e servem para realizar

substituições em integrais que aparecem sob a forma

∫r(x)p/q d x,

em quer(x) é uma função numa das formas similares acima (ou dedutíveis aelas)

e p/q é um número racional. Tal procedimento também será útil quando discutir-

mos situações mais elaboradas, particularmente como aquelas que serão vistas na

Seção 25.3.

bx

�

9 θ

a

√a2 +b2x2

�

9bx

θ

a

√a2−b2x2

�

9

bx

θ

a

√b2x2 +a2

(a) (b) (c)

Figura 25.2.1: Representação esquemática para a Tabela de substituições: (a)ab

tgθ , (b)ab

senθ , (c)ab

secθ .

338

Exemplo 25.2.3.Calcule ∫z

a2−z2 d z.

Solução 25.2.3.Façamos a substituiçãoz= asenu obtendod z= a cosudu. Logo,

a integral na nova variável,u, passa a ser escrita como

∫z

a2−z2 d z =⇒∫

(a cosu) asenua2−a2 sen2u

d u=

∫senu cosu1−sen2u

d u.

Simplificando esta última integral encontramos

∫senu cosu1−sen2u

d u= −12

∫1

1−sen2ud(1−sen2u

).

Esta última integral é da forma

∫1X

d X = ln |X |+C.

Portanto,

−12

∫1

1−sen2ud(1−sen2u

)= −1

2ln∣∣1−sen2u

∣∣+C.

Reescrevendo o resultado na variável original, encontramos

∫z

a2−z2 d z= −12

ln

∣∣∣∣1−z2

a2

∣∣∣∣+C.

Este último resultado pode ser reescrito simplesmente como

∫z

a2−z2 d z= −12

ln∣∣a2−z2

∣∣+C,

pelo fato de que podemos “unir” lna+C numa única constante, desde que(ln a+C)′ =

0.

Exemplo 25.2.4.Calcule ∫x

a2 +x2 d x.

Solução 25.2.4.Neste caso façamos a substituição

x = atgu para obter dx= asec2udu.

Assim você, caro aluno, pode agora reescrever a integral na nova variável como

∫atgu

a2 +a2 tg2uasec2udu=

∫tgud u= − ln |cosu|+C.

Assim, de modo similar ao exemplo anterior encontramos

∫x

a2 +x2 d x=12

ln∣∣a2 +x2

∣∣+C.

339

Exemplo 25.2.5.Realize substituições adequadas e determine

∫1

u√

u3−1d u.

Solução 25.2.5.Façamos a substituiçãox =√

u3−1 para encontrar

x2 = u3−1 e u3 = x2 +1.

Desta forma teremos

2xdx= 3u2du e u2du=23

xdx.

Agora podemos escrever a integral na nova variável,x, como

23

∫1

1+x2 d x=23

arctgx+C.

Retornando a variável original, obtemos:

∫1

u√

u3−1d u=

23

arctg(√

u3−1)

+C.

Nota 25.2.1. Indicaremos aqui os procedimentos que realizamos em todas as inte-

grais destacadas nos exemplos acima que serão os mesmos que você, caro aluno,

deverá fazer. Assim, dada a integral

∫f (x)d x,

(i) adote uma nova variável, digamosv, e escrevax em termos desta nova variá-

vel, ou seja,

x = x(v).

(ii) Diferenciex em relação av.

(iii) Reescreva a integral emx na variávelv, isto é,

∫f (x)d x =⇒

∫g(v)d v

e resolva esta nova integral.

(iv) A partir do resultado acima retorne à variável originale encontre a integral

desejada. Em outras palavras, faça agorav = v(x) e

∫g(v)d v =⇒

∫f (x)d x.

340

25.3 Completando “quadrado”

Nesta parte da aula consideraremos a técnica de manusear integrais que envolve

raízes quadradas na forma √ax2 +bx+c

em quea 6= 0. Nosso objetivo é reescrever tais integrais em formas discutidas nos

exemplos acima e determiná-las. Para tal lembremos que

ax2 +bx+c = a

(x2 +2

(b

2a

)x+(c

a

)+

b2

4a2 −b2

4a2

).

Ou ainda

ax2 +bx+c =a

(x2 +2

(b

2a

)x+

b2

4a2 +(c

a

)− b2

4a2

)

=a

(x2 +2

(b

2a

)x+

b2

4a2

)

︸︷︷︸(

x+b

2a

)2

+c− b2

4a.

Agora podemos escrever a equação acima como

ax2 +bx+c = au2 + δ ,

em que

u = x+b

2ae δ = c− b2

4a.

Assim teremos três situações de interesse para√

ax2 +bx+c do tipo:

√α 2−β 2 u2 sea < 0 eδ > 0,

√α 2 + β 2 u2 sea > 0 eδ > 0,

√β 2u2−α 2 sea > 0 eδ < 0,

(25.3.1)

e cujos procedimentos para o cálculo de integrais são os mesmos já discutidos na

Página 337. Consideremos agora os exemplos que se seguem.

Exemplo 25.3.1.Calcule a integral

∫1√

7−2x−x2d x.

Solução 25.3.1.Perceba que o polinômio presente na raíz quadrada do integrando

pode ser reescrito como

7−2x−x2 = 7−(2x+x2)= 7−

(x2 +2x+1−1

)= 8− (x+1)2 .

341

Fazendou = x+1, encontramos

∫1√

7−2x−x2d x=

∫1√

8−u2d u.

Para esta última integral podemos fazer a substituição

u =√

8seny =⇒ d u=√

8 cosydy.

Assim, teremos

∫1√

8−u2d u =⇒

∫ √8 cosy√

8(1−sen2y)d y=

∫cosy|cosy| d y.

Considerando o quadrante em que cosy > 0 teremos

∫cosy|cosy| d y=

∫d y= y+C.

Logo, voltando à integral original teremos

∫1√

7−2x−x2d x= arcsen

(x+1√

8

)+C.

Exemplo 25.3.2.Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio

no ar,p(t), é de 0.25 partes por milhão (ppm) às 7h. De acordo com o serviço de

meteorologia, a concentraçao de ozôniot horas depois é dado por

d pd t

=0.24−0.03t√36+16t − t 2

ppm/h.

(a) Expresse a concentração de ozônio em função det. Em que momento a con-

centração de ozônio é máxima? Qual é a máxima concentração?

(b) Suponha que para um dado instanteτ entre 7h e(7+ ∆ t)h a concentração

seja p(τ) = c. Determine um intervalo de horas,∆τ = ∆τ(c), em que esta

concentração de ozônio se repete.

Solução 25.3.2.(a) Podemos escrever o integrando como

0.24−0.03t√102− (t −8)2

= 0.038− t√

102− (t −8)2.

Tomandot −8 = 10senv entãod t = 10 cosvdv. Logo,

−0.03t −8√

102− (t −8)2=⇒ −0.03

∫10senv(10 cosv)

10√

1−sen2vd v.

Simplificando esta última integral encontramos

0.3∫ −senv cosv√

1−sen2vd v=

0.32

∫1

(1−sen2v)1/2d(1−sen2v) .

342

Perceba que a integral acima é do tipo

∫1

X1/2d X = 2X1/2 +C.

Portanto, chegamos ao resultado

0.32

∫1

(1−sen2v)1/2d(1−sen2v) = 0.3

(1−sen2v

)1/2+C.

Retornando à variável original, teremos

p(t) =∫

0.24−0.03t√102− (t −8)2

d t = 0.3

(1−(

t −810

)2)

+C.

Considere que a contagem do tempo comece às 7h da manhã, assimpodemos

fazert⋆ = t +7 de tal modo que quandot = 0, t⋆ = 7h. Logo,

p(t⋆) = 0.3

(1−(

t⋆ −1510

)2)

+C, parat⋆ ≥ 7h.

A constante de integraçãoC é obtida lembrando que às 7h a concentração de

ozônio é de 0.25ppm, assim quandot⋆ = 7 teremos

p(7) = 0.3

(1−(

7−1510

)2)

+C = 0.25.

Resolvendo paraC encontramosC = 0.142ppm. Portanto,

p(t⋆) = 0.3

(1−(

t⋆−1510

)2)

+0.142 ppm.

A concentração de ozônio é máxima quandod pd t

= 0 e isto ocorre quando

0.24−0.03 (t⋆−7) = 0 =⇒ t⋆ = 15h.

Este resultado significa que a maior concentração de ozônio na cidade de Los

Angeles acontece 8h após às 7h, ou seja, às 3horas da tarde; e oo valor desta

concentração é

p(t⋆ = 15) =221500

= 0.442ppm.

(b) A solução parap(t) permite possibilidades de encontrar dois valores dep para

dois instantes diferentes para um determinado intervalo demedição. Assim,

para um dadot⋆ = τ , teremos

τ =

τ1 = 15−√

1326−3000c3

τ2 = 15+

√1326−3000c

3.

343

O intervalo entreτ2 e τ1 é

∆τ =23

√1326−3000c.

Este resultado mostra, caro aluno, que à medida que a concentração aumenta

o intervalo entre duas concentrações iguais diminui conforme mostra a Fi-

gura 25.3.1.

23

√1326−3000c

c

∆τ

0.50.450.40.350.30.25

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Figura 25.3.1: Gráfico de∆τ versusc.

344

25.4 Conclusão

Nesta aula realizamos a continuidade do estudo de cálculo deintegrais de fun-

ções através de substituições trigonométricas. O objetivofoi mostrar que usando

diversas manipulações algébricas bem definidas era possível abordar integrais de

funções não trigonométricas em funções trigonométricas tornando estas últimas

bastante simplificadas para o cálculo.

25.5 Resumo

Esta aula teve como objetivo o cálculo de funções através de substituições

trigonométricas fazendo uso de relações bem definidas bem como de substituições

adequadas. A idéia tinha como princípio dada a integral

∫f (x)d x

procedemos a:

(i) escrita de

x = x(v).

(ii) Diferenciamosx em relação av.

(iii) Reescrevemos a integral emx na variávelv, fazendo

∫f (x)d x =⇒

∫g(v)d v

e resolvendo-a.

(iv) Por fim retornamos a integral original fazendov = v(x) e

∫g(v)d v =⇒

∫f (x)d x.

345

Exercícios


(a)∫

x√a2−x2

d x

(b)∫

1a2−x2 d x

(c)∫

1

x√

a2−x2d x

(d)∫ √

a2−x2d x.

E. 2 ⊲ Determine as integrais:

(a)∫

1√a2 +x2

d x

(b)∫ (

a2 +x2)−3/2d x

(c)∫

1

x√

a2 +x2d x

(d)∫ √

a2 +x2d x.

E. 3 ⊲ Use substituições adequadas para calcular as integrais

(a)∫ √

x2−16x

d x

(b)∫

x3√

4−x2d x

(c)∫

x2√

x2−2d x

(d)∫

x2√

1+x2d x.

E. 4 ⊲ Na Aula 23 (Página 312), afirmamos que a solução da equação diferencial

que descreve o movimento oscilatório de um sistemamassa-molaé dada

por

x(t) = A cos(ω t −δ ) .

Tal sistema tem energia totalE expressa por

E =12

mv2 +12

kx2 .

Sabendo quev =d xd t

, mostre que:

(a)d xd t

=

√2m

(E− 1

2kx2

).

(b) Rescreva a equação acima na forma

∫1√

(2E/k)−x2d x=

∫ √km

d t .

(c) Integre esta última equação para obter

x(t) = A cos(ω t −δ ) ,

em queA =√

2E/k, ω =√

k/m e δ é uma constante de integração

denominada fase do movimento.

346

E. 5 ⊲ Determine a integral ∫x2√

1+x2d x.

E. 6 ⊲ Discutimos no Exemplo 25.2.2 o cálculo de

∫1√

1−x2d x=

∫dθ = arcsenx+C,

usandox = senθ .

(a) Usex = cosθ para obter uma resposta diferente.

(b) Explique porque estas respostas são aparentemente distintas.

E. 7 ⊲ Determine a integral indefinida

∫(x+1) cos3

(x2 +2x−1

)sen(x2 +2x−1

)d x.

E. 8 ⊲ Uma experiência mostra que um objeto de massam solto a partir do re-

pouso em campo gravitacional constante está sujeito a uma força resistiva

proporcional ao quadrado da velocidade dada porfr = kmv2. Determine:

(a) A equação diferencial para a velocidaded vd y

do objeto neste meio, em

quey é a posição do objeto.

(b) Resolva esta equação diferencial parav.

(c) Suponha que este objeto tenha sido largado de uma altura muito ele-

vada. Mostre que quandoy → ∞

vlimite =

√mk

.

Esta velocidade é dita velocidade limite que o objeto atingequando

solto do repouso neste meio.

E. 9 ⊲ No mundo real, populações biológicas não experimentam crescimento ili-

mitado como sugerido pela função exponencial

p(t) = p0 ekt, k > 0.

Assim a equação diferencial para o crescimento populacional (veja Pá-

gina 309, Aula 23) deve ser modificada para levar em consideração que a

população se encontra em ambientehostil e a disponibilidade de alimentos

é finito (entre outros fatores). Estudos ecológicos mostramque este ambi-

ente suporta uma quantidade máxima de indivíduosL > p0. Suponha que

347

a taxa de crescimento da populaçãop é proporcional a ambosp e aL− p,

então reescrita da equação diferencial neste cenário é dadapor

d pd t

= k (L− p) p, com p(0) = p0, k > 0, eL > p0 > 0,

e é chamada de equação logística do crescimento populacional. Resolva

esta equação para as condições iniciais dadas. Faça um gráfico para alguns

valores típicos deL = 20, p0 = 5 ek = 0.01, eL = 20, p0 = 5 ek = 0.02.

E. 10⊲ Calcule as integrais:

(a)∫

xx2 +4x+12

d x

(b)∫

ex

(e2x +4ex +3)1/2d x

(c)∫

1

x2√

x2−1d x

(d)∫ √

x2−1x

d x.

348


E. 1 ⊲ (a)−√

a2−x2+C, (b)1

2aln

∣∣∣∣a−xa+x

∣∣∣∣+C=1a

arctgh(x

a

)+C, (c)

1a

ln

∣∣∣∣∣ax−

√a2−x2

u

∣∣∣∣∣+

C, (d)a2

2arcsen

(xa

)+

x√

a2−x2

2+C.

E. 3 ⊲ (a)√

x2−16+4arctg

(4√

x2−16

)+C, (b)−x2

√4−x2

3− 8

3

√4−x2+C,

(c)x√

x2−22

+ ln∣∣∣x+

√x2−2

∣∣∣+C, (d)x√

1+x2

2− 1

2arcsenhx+C.

E. 5 ⊲x3√

1+x2

4+

x√

1+x2

8− 1

8ln∣∣∣x+

√1+x2

∣∣∣+C.

E. 7 ⊲ −18

cos4(x2 +2x−1

)+C.

E. 9 ⊲ p(t) =L p0

p0 +(L− p0) e−kLt.

k = 0.02

k = 0.01

t

p(t)

302520151050

25

20

15

10

5

0

Figura 25.5.1: Gráfico dep(t) parak = 0.01 e 0.02, respectivamente.

349

25.6 Referências






350

26 Integração por Decomposição deFrações - Parte 1

Meta: Estudar o cálculo de integrais usando o método de frações parciais.

Objetivos: Nesta aula pretendemos iniciar o estudo do cálculo de integrais usando

a técnica das frações parciais. Esperamos que ao fim desta aula o aluno seja capaz

de compor um fração parcial e calcular, a partir daí, a integral dada sob esta forma.

Pré-requisitos: Integrais de funções, Mudança de variáveis.

26.1 Introdução

O estudo de integrais de funções já nos parece bastante complexa até então e isto

é fato. Entretanto, não podemos de destacar que vários procedimentos, incluindo

aqueles que já introduzimos, são ferramentas naturais parao cálculo de integrais

e nos auxiliam neste propósito. Nesta aula temos a tarefa de apresentar uma téc-

nica baseada na decomposição de fatores fracionários. Naturalmente que todo o

espectro desta técnica não poderá ser avaliado apenas em umaaula até porque os

processos algébricos que serão apresentados são, por assimdizer, desgastantes e

precisam ser bem delineados e entendidos por você caro aluno. Sendo assim, esta

primeira parte tem a premissa de averiguar como tratar integrais que podem ser

tratadas através da técnica de frações parciais.

351

26.2 Usando a Técnica de Frações Parciais

O método de integração por frações parciais baseia-se no conceito mais simples da

adição de frações mantendo um denominador comum. Por exemplo,

12

+13

=12

(33

)+

13

(22

)=

36

+26

=56

.

Assim, é possível afirmar que uma decomposição em frações parciais para 5/6 é

1/2+1/3. Este mesmo conceito pode ser utilizado para funções dex. Considere,

por exemplo

2x+4

− 1x

=2

x+4

(xx

)− 1

x

(x+4x+4

)=

x−4x2 +4x

.

Estamos, com isto, demostrando que a decomposição em frações parciais parax−4

x2 +4xé

2x+4

− 1x.

Desejamos agora encontrar decomposição em frações de outras formas de fun-

ções que nos auxilie no cálculo de integrais. Assim, qual seria as frações parciais

de, digamos,5

x2−2? Comecemos fatorando o denominador e escrevamos

5x2−2

=5

(x−√

2)(x+√

2).

Por outro lado, assumimos que existam constantes,A e B, que satisfaçam a condi-

ção5

x2−2=

A

x−√

2+

B

x+√

2.

É sempre posível mostrar que estas constantes sempre existem para funções na

forma p(x)/q(x) e que também satisfaçam as condições

P 1 ⊲ ambosp(x) eq(x) são polinômios

P 2 ⊲ o grau dep(x) é menor do que o grau deq(x).

Procedendo esta conjectura reescrevemos

5x2−2

=A

x−√

2

(x+

√2

x+√

2

)+

B

x+√

2

(x−

√2

x−√

2

)

ou ainda

5x2−2

=A(

x+√

2)

(x−

√2)(

x+√

2) +

B(

x−√

2)

(x−

√2)(

x+√

2) .

352

Lembrando que os denominadores desta última são iguais então

5 = A(

x+√

2)

+B(

x−√

2)

.

O lado esquerdo da equação acima é concebida como uma função de x igual a 5

para todo os valores dex. Em particular, parax =√

2, obtemos

5 = 2√

2A, dando o resultado A =5√

24

.

Enquanto que parax = −√

2, obtemosB = −5√

24

. Portanto, a decomposição em

frações parciais para5

x2−2é

5(x2−2)

=5√

2/4

x−√

2− 5

√2/4

x+√

2.

Note que a escolha dex=±√

2 tomados acima serviram para simplificar o cálculo

algébrico. Contudo, quaisquer valores dex poderiam ter sido usados, conduzindo

ao mesmo resultado.

Devemos considerar a seguinte observação ao aplicar o método de frações

parciais à funções racionaisp(x)q(x)

.

Nota 26.2.1.Caso o grau dep(x) seja igual ou maior do que o grau deq(x), então

devemos proceder a uma divisão polinomial para reescrever afunção como a soma

de um polinômio e uma nova função racional que satisfaça a segunda condição,P

2, anteriormente citada. Em outras palavras,

p(x)q(x)

= a(x)+r(x)q(x)

,

em quer(x) = 0 ou tem grau menor do queq(x) .

Como exemplo desta nota considere o caso da funçãof (x) =x2 +3x−1

. Neste caso,

podemos escreverx2 +3x−1

= (x−1)+4

x+1.

Agora a função racional à esquerda da equação dada satisfaz ocritério P 2. Exis-

tem, naturalmente, outros pontos a considerar. Sabe-se quea unidade imaginária

no conjunto complexo,C, é i =√−1, de modo que i2 = −1, i3 = −i e i4 = 1.

Além do mais, se dois números complexos são iguais, então suas componentes

real e complexa são iguais. Ou seja, sea+ i b = c+ i d, entãoa = c eb = d.

Exemplo 26.2.1.Considere a funçãof (x) =2x−3x3 +x

. Decomponhaf (x) em frações

parciais.

353

Solução 26.2.1.Fatorando o denominador da função dada encontramos

2x−3x3 +x

=2x−3

x(x2 +1).

Considere a existência das constantesA, B, eC, de modo que

2x−3x(x2 +1)

=Ax

+Bx+Cx2 +1

.

Procedendo de modo a encontrar um denominador comum para a equação dada

acima teremos

2x−3x2 +1

=Ax

(x2 +1x2 +1

)+

Bx+Cx2 +1

(xx

)

2x−3x2 +1

=A(x2 +1)+ (Bx+C)x

x(x2 +1).

Uma vez que as frações acima possuem os mesmos denominadores, então

2x−3 = A(x2 +1)+ (Bx+C)x.

Esta equação pode ser considerada como sendo duas funções dex que são iguais

entre si para todos os valores dex. Em particular,

para x = 0 temos A = −3.

De modo similar parax = i encontramos:

−3+2i = −B+ iC.

Cuja solução éB = 3 eC = 2.

Destes resultados podemos afirmar que a decomposição para a função f (x) é

f (x) =2x−3x3 +x

=−3x

+3x+2x2 +1

.

Considere agora a situação em que a função racional dada apresenta fatores

repetidos no denominador. Como então tratar este caso? O exemplo abaixo ilustra

e resolve este caso.

Exemplo 26.2.2.Sem resolver, decomponha em frações parciais2x3 +5x−1

(x+1)3(x2 +1)2 .

Solução 26.2.2.Perceba que o fator(x+1) aparece repetido três vezes, enquanto

o fator(x2 +1), irredutível, é repetido duas vezes. Portanto,

2x3 +5x−1(x+1)3(x2 +1)2 =

Ax+1

+B

(x+1)2 +C

(x+1)3 +Dx+E(x2 +1)

+Fx+G

(x2 +1)2 .

Toda esta discussão anterior pode ser formalmente estabelecida e é o que pas-

354

samos a discutir a seguir.

Integração de Frações Racionais

Definição 26.2.1(Integração de frações elementares). Denominamos por fração

racional a forma do tipop(x)/q(x) com p(x) e q(x) polinômios. Uma fração ra-

cional é dita própria se o grau do polinômiop(x) é inferior ao grau do polinômio

q(x); caso contrário a fração é dita imprópria.

Dá-se o nome de frações elementares as frações próprias do tipo:

(I)A

x−a.

(II)A

(x−a)k , em quek é um número inteiro maior que a unidade.

(III)Ax+B

x2 +bx+c, em que

b2

4− c < 0, ou seja, o trinômio de segunda ordem não

possui raízes reais.

(IV)Ax+B

(x2 +bx+c)k , em quek é um número inteiro maior que a unidade e o trinô-

mio de segunda ordemx2 +bx+c não possui raízes reais.

Em todos os casos acima supõe-se queA, B, b, c ea são constantes reais. No sen-

tido enumerado anteriormente, as frações simples são ditasdo tipo I, II, III e IV,

respectivamente. Considere o desenvolvimento dos exemplos que se seguem como

primeiras aplicações do estudo de integrais que envolvem frações elementares dos

tipos I, II, III e IV.


1x−a

dx.

Solução 26.2.3.A integral dada possui integrando em fração própria do primeiro

tipo. Fazendoz= x−a, temosdz= dx. Portanto,

∫1z

dz= ln |z|+C.

Retornando à antiga variável encontramos

∫1

x−adx= ln |x−a|+C.


1(x−1)2 dx.

Solução 26.2.4.A integral apresenta uma fração própria do tipo II. Fazendo a

substituiçãoz= x−1, entãodz= dxe encontramos

∫1z2 dz= −z−1+C.

355

Retornando à antiga variável, obtemos

∫1

(x−1)2 dx= − 1x−1

+C.


1x2 +4x+8

dx.

Solução 26.2.5.Temos agora uma integral do tipo III. Por outro lado, podemos

escrever

x2 +4x+8 = x2 +2×2x+22+22 = (x+2)2 +4.

Deste modo a integral passa a ser reescrita como

∫1

(x+2)2 +4dx.

Este tipo de integral já foi estudada na Aula 25 e podemos usaros conhecimentos

ali adquiridos para resolver esta e outras integrais similares. Portanto, a substitui-

ção adequada aqui é

(x+2) = 2tgz logo d x= 2sec2zd z.

Portanto, a integral na variávelzpassa a ser escrita como

12

∫sec2z

1+ tg2zdz=

12

∫dz=

12

z+C.

Assim, ∫1

x2 +4x+8dx=

12

arctg

(x+2

2

)+C.

Exemplo 26.2.6.Considere a integral

∫Ax+B

x2 +bx+cdx.

Discuta o procedimento para obter esta integral, com a hipótese queb2

4−c < 0.

Solução 26.2.6.Esta é uma integral do tipo III, discutida acima. Observe que

podemos escrever o numerador da integral dada como

Ax+B = (2x+b)A2− Ab

2+B.

Logo,

∫Ax+B

x2 +bx+cdx=

A2

∫2x+b

x2 +bx+cdx+

(B− Ab

2

)∫dx

x2 +bx+cdx.

Note que a integral ∫2x+b

x2 +bx+cd x

356

pode ser reescrita como ∫d(x2 +bx+c)

x2 +bx+c.

Por outro lado, sendob2

4−c < 0, então,

x2 +bx+c = (x+b/2)2 +(c−b2/4) > 0 para todox.

Desta forma ∫d(x2 +bx+c)

x2 +bx+cdx= ln(x2 +bx+c)+C1.

Por outro lado, a integral ∫1

x2 +bx+cdx

ainda pode ser reescrita como

∫1

(x+b/2)2 +(c−b2/4)dx.(26.2.1)

Esta integral já foi discutida anteriormente e pode rapidamente ser obtida. Fazendo

(x+b/2)=√

(c−b2/4) tgθ , encontramos d x=√

(c−b2/4)sec2θ dθ .

Substituindo estes cálculos na integral (26.2.1) a integral na nova variávelθ passa

a ser1√

(c−b2/4)

∫dθ =

1√(c−b2/4)

θ +C2.

Retornando à variávelx obtemos

∫1

x2 +bx+cdx=

1√(c−b2/4)

arctg

(x+b/2√(c−b2/4)

)+C2.

Finalmente, toda a integral é agora estabelecida, ou seja,

∫Ax+B

x2 +bx+cdx=

A2

ln(x2 +bx+c)+B−Ab/2√(c−b2/4)

arctg

(x+b/2√(c−b2/4)

)+C.

Claramente isto é um processo tedioso e naturalmente esperamos que você, caro

aluno, não busque tentar decorar esta expressão mas a tenha como referência.


2x−1x2−4x+8

dx.

Solução 26.2.7.Note que

2x−1x2−4x+8

=2x−4+3x2−4x+8

.

Agora podemos escrever a integral dada como

∫(2x−4)

x2−4x+8dx+

∫3

x2−4x+8dx.

357

Façamos os cálculo das integrais indivualmente. Assim,

∫(2x−4)

x2−4x+8dx=

∫d(x2−4x+8)

x2−4x+8dx= ln(x2−4x+8)+C1, note que

42

4−8< 0.

∫3

x2−4x+8dx=

∫1

(x+2)2 +4dx=

12

arctg

(x+2

2

)+C2.

Em síntese, a integral

∫2x−1

x2−4x+8dx= ln(x2−4x+8)+

12

arctg

(x+2

2

)+C.


2x3 +3xx4 +x2 +1

dx.

Solução 26.2.8.Podemos reescrever a integral dada na forma

∫(2x2 +3)xx4 +x2 +1

dx.

Façamos, agora, uma mudança de variáveis, ou seja, tome

z= x2, assim dz= 2xdx.

Logo, a integral na nova variável passa a ser escrita como

∫(2z+3)

z2 +z+1dz2

.

A integral obtida ficou simples e pode ser conduzida através dos procedimentos já

utilizados do exemplo anterior. Assim,

∫(2z+3)

z2 +z+1dz2

=12

∫2z+1+2z2 +z+1

dz=12

∫(2z+1)

z2 +z+1dz+

12

∫2

z2 +z+1dz,

=12

∫d(z2 +z+1)

z2 +z+1+

12

∫2

(z+1/2)2 +3/4dz.

Façamos as integrais individualmente. Assim

12

∫d(z2 +z+1)

z2 +z+1=

12

ln(z2 +z+1)+C1.

Enquanto,

12

∫2

(z+1/2)2 +3/4dz=

2√3

arctg

(2z+1√

3

)+C2.

Destes dois resultados obtemos, finalmente

∫2x3 +3x

x4 +x2+1dx=

12

ln(x4 +x2 +1)+2√3

arctg

(2x2 +1√

3

)+C.

Exemplo 26.2.9.Avalie a integral∫

u2

u2 +1du.

358

Solução 26.2.9.A integral dada pode ainda ser recomposta como

∫u2 +1−1

u2 +1du=

∫du−

∫1

u2 +1du.

Observe que a integral dada ficou muito simples. Tendo como resultado

∫u2

u2 +1du= u+arctgu+C.


1(x2 +1)k

dx, parak inteiro positivo.

Solução 26.2.10.Considere o caso quandok = 1. Assim teremos

∫1

x2 +1dx= arctgx+C.

Vejamos agora os casos parak≥ 2. Representemos a integral por

Ik =

∫1

(x2 +1)k dx.

É fácil ver que1

(x2 +1)k =1+x2−x2

(x2 +1)k .

Com isto em mente podemos representar a integral como

Ik =

∫1

(x2 +1)k dx=

∫1+x2−x2

(x2 +1)k dx=

∫1

(x2 +1)k−1 dx︸︷︷︸

Ik−1

−12

∫2x2

(x2 +1)k dx.

Fazendo uma integração por partes na última integral à direita, com a escolha

u = x e dv=2x

(x2 +1)k dx,

obtendo,

du= dx e v =(x2 +1)−k+1

−k+1,

de modo que

∫2x2

(x2 +1)k dx= − x(k−1)(x2 +1)k−1 +

1k−1

∫1

(x2 +1)k−1 dx︸︷︷︸

Ik−1

.

Percebe-se que a integral dada fornece uma relação de recorrência dada por

Ik =x/2

(k−1)(x2 +1)k−1 +2k−3

2(k−1)Ik−1 , parak≥ 2.

359

Em particular parak = 2 ek = 3, encontramos

∫1

(x2 +1)2 dx=x/2

(x2 +1)+

12

I1 =x

2(x2 +1)+

12

arctgx+C, parak = 2

∫1

(x2 +1)3 dx=x/2

(x2 +1)2 +34

I2 =x(5+3x2

)

8(x2 +1)2 +38

arctgx+C, parak = 3.

360

26.3 Conclusão

Esta aula teve como objeto o estudo de integrais envolvendo atécnica de fra-

ções parciais. Nosso intuito é mostrar como este procedimento nos leva a integrais

mais simples de forma direta ou indireta reduzindo nosso esforço de cálculo e ob-

tendo o resultado desejado. Sendo assim, pudemos ver que este método realize um

procedimento analítico mais elaborado por ter dequebrara integral em frações

parciais. O que, em geral, conduz a um esforço de cálculo demoroso.

26.4 Resumo

Nesta aula consideramos o cálculo de integrais da forma

∫p(x)q(x)

d x

em quep(x) eq(x) são polinômios emx. Se o grau dep(x) é maior do que o grau

deq(x) então sempre podemos escrever

p(x)q(x)

= a(x)+r(x)q(x)

.

Deste modo a integral pode ser reposta como

∫p(x)q(x)

d x=

∫a(x)d x+

∫r(x)q(x)

d x.

361

Exercícios


(a)∫

1x2 +x

d x

(b)∫

2x+3x2 +2x−4

d x

(c)∫

x−4(x2 +2) (x+1)

d x

(d)∫ √

x

(√

x+1)3 d x

E. 2 ⊲ Determine as integrais:

(a)∫

1x2 +4x+5

d x

(b)∫

x2 +2x+1x3 +3x2−3x+2

d x

(c)∫

x2 +2x+5x2 +2

d x

(d)∫

1+ex

1−ex d x

E. 3 ⊲ Encontre a solução da equação diferencial

d yd x

= 2y+y2 , comy(0) = 1.

E. 4 ⊲ No Exercício 9 da Aula 25 a equação logística que governa o crescimento

populacional é dada por

d pd t

= k (L− p) p.

Resolva esta equação sob as mesmas condições daquele exercício usando a

técnica de frações parciais.


(a)∫

1

x2− 23

xd x

(b)∫

2x+31−2x2−4x

d x

(c)∫

xx4−81

d x

(d)∫

1(x2−4) (x2−1)

d x.

E. 6 ⊲ Uma funçãof (x) é obtida a partir de:

∫1

(x2 + π2)2 d x.

Determine:

(a) Determinef (x) .

(b) Encontre a constante de integração na hipótese que limx→+∞

f (x) =12

.

362

E. 7 ⊲ Considere a integral

∫1

x2 +a2 d x, a > 0.

Faça a decomposição

1x2 +a2 =

Ax− i a

+B

x+ i a,

determineA eB e mostre que

∫1

x2 +a2 d x=1a

arctg(x

a

)+C.

E. 8 ⊲ A função

f (x) =x2 +5

(x2 +1) (x2−1)

está definida para todo realx 6= ±1. Determine

g(x) =∫

f (x)d x

que obedece: (a) limx→+∞

g(x) = π , (b) limx→−∞

g(x) = 2π .

E. 9 ⊲ Calcule a integral ∫1

(x+a) (x+b)(x+c)d x,

em quea, b ec são constantes reais.

E. 10⊲ Realize substituições adequadas para transformar as integrais dadas abaixo

em integrandos racionais e resolva-as.

(a)∫

ex/2

ex−ex/2d x

(b)∫

1−√x

1+√

xd x

(c)∫

1

(ex +e−x)2 d x

(d)∫

senx1−cos2x

d x.

363


E. 1 ⊲ (a) ln

∣∣∣∣Cx

x+1

∣∣∣∣, (b) ln∣∣x2 +2x−4

∣∣−√

55

arctgh

((2x+2)

√5

10

)+C, (c)

56

ln(x2 +2

)−

√2

3arctg

(x√

22

)− 5

3ln(x+1)+C, (d) 2 ln(

√x+1)+4 (

√x+1)

−1−(√

x+1)−2

+

C.

E. 3 ⊲ y = −2e2x

e2x−3.

E. 5 ⊲ (a)32

ln |3x−2|− 32

ln |x|+C, (b)−12

ln∣∣−1+2x2 +4x

∣∣+√

66

arctgh

(4x+4

12

)+

C, (c)136

ln

∣∣∣∣x2−9x2 +9

∣∣∣∣+C, (d)112

ln

∣∣∣∣x−2x+2

∣∣∣∣+16

ln

∣∣∣∣x+1x−1

∣∣∣∣+C.

E. 7 ⊲ A = − i2a

, B =i

2a, use o fato de que arctgX =

π2−arccotgX .

E. 9 ⊲(b−c) ln |x+a|+(c−a) ln |x+b|+(a−b) ln |x+c|

(b−a)(b−c)(c−a)+C.

364

26.5 Referências






365

27 Integração por Decomposição deFrações - Parte 2

Meta: Dar continuidade ao tema abordada na Aula 26 e apresentar critérios for-

mais.

Objetivos: Esperamos que ao fim desta aula o aluno seja capaz de construiras

relações formais da decomposição de funções racionais em frações parciais e, a

partir daí, calcular integrais destas funções.

Pré-requisitos: Integrais de funções, Substituição de variáveis, Integração por par-

tes.

27.1 Introdução

A Aula 26 teve como pressuposto a inicialização do temadecomposição de fun-

cões racionaisem frações parciais. Com isto buscávamos os primeiros contatos

com este tema que, aparentemente simples, pode trazer aspectos importantes em

cálculos de integrais que exibem tal natureza. Sendo assim,nesta aula desejamos

destacar os aspectos formais para que você, caro aluno, possa compreender este

conteúdo e ao mesmo tempo averigue que muitas integrais já vivenciadas em aulas

passadas podem ser manuseadas usando os procedimentos aquiadotados. Sali-

entamos que sua tarefa tem sido gradualmente estimulada através de sucessivos

exemplos que ora ou outra aparece sob conteúdos similares mas com abordagens

distintas. Isto é, naturalmente, uma maneira de apresentara você alternativas de

cálculo que, certamente, apenas o auxiliará em diferentes demandas.

366

27.2 Integração por Decomposição de Frações Simples

Na Aula 26 antecipamos vários resultados desta técnica paraintegrar funções

racionais do tipop(x)/q(x) onde p(x) eq(x) são polinômios e a partir de agora

destacaremos aspectos formais deste procedimento. Antes de iniciar a determi-

nação da decomposição em frações dep(x)/q(x) devemos nos deter a possíveis

transformações algébricas e cálculos delineados logo a seguir.

Procedimentos

(i) dada uma fração imprópria, devemos separar desta a parteinteira. Em outras

palavras, se grau dep(x) ≥ grau deq(x), então

p(x)q(x)

= a(x)+r(x)q(x)

,

em quea(x) é um polinômio er(x)/q(x) é, agora, uma fração própria.

(ii) sempre que possível, decompor o denominador da fração em fatores lineares

e quadráticos

q(x) = (x−a)m · · · (x2 +bx+c)n · · · .

em queb2

4− c < 0, ou seja, o trinômiox2 + bx+ c possui raízes complexas

conjugadas.

(iii) desenvolver a fração racional própria em frações simples:

r(x)q(x)

=A1

(x−a)m +A2

(x−a)m−1 + · · ·+ Am

x−a+ · · ·+ B1x+C1

(x2 +bx+c)n+

B2x+C2

(x2 +bx+c)n−1 + · · ·+ Bnx+Cn

x2 +bx+c.

(iv) determinar os coeficientes

A1, A2, · · ·Am, · · · ,B1, B2, · · ·Bn, · · · ,C1, C2, · · ·Cn, · · · ,

para os quais se deve:

(iv. a) encontrar um denominador comum para a igualdade,

(iv. b) agrupar os coeficientes adjuntos de mesmas potênciasemx dos mem-

bros esquerdo e direito da igualdade obtida e,

(iv. c) resolver o sistema de equações lineares nos coeficientes a determinar.

Estes mesmos coeficientes podem, também, serem obtidos usando valores apropri-

ados para a variávelx. Frequentemente, é útil utilizar ambos os métodos de cálculo

367

dos coeficientes. Como resultado destes procedimentos a integral de uma função

racional se reduz a determinação das integrais de polinômioe das frações racionais

simples.


x2 +2x+6(x−1)(x−2)(x−4)

dx.

Solução 27.2.1.Perceba que a integral dada possui denominador composto por

fatores de primeiro grau e de raízes reais distintas. Por outro lado, a fração dada é

própria. Portanto, a mesma pode ser escrita como

x2 +2x+6(x−1)(x−2)(x−4)

=A

x−1+

Bx−2

+C

x−4.

Esta equação ainda pode ser posta sob a forma

x2 +2x+6(x−1)(x−2)(x−4)

=A

x−1

((x−2)(x−4)

(x−2)(x−4)

)+

Bx−2

((x−1)(x−4)

(x−1)(x−4)

)+

Cx−4

((x−1)(x−2)

(x−1)(x−2)

).

Com isto, encontramos um denominador comum para a última equação, obtendo

x2 +2x+6 = A(x−2)(x−4)+B(x−1)(x−4)+C(x−1)(x−2) .

Esta última equação pode ser considerada como sendo duas funções dex que são

iguais entre si para todos os valores numéricos dex. Assim, parax = 1, encon-

tramosA = 3. Procedendo do mesmo modo para quandox = 2 e 4, encontramos

B = −7 eC = 5, respectivamente. De sorte que teremos

∫x2 +2x+6

(x−1)(x−2)(x−4)dx=

∫3

x−1dx+

∫ −7x−2

dx+∫

5x−4

dx

= 3ln|x−1|−7ln|x−2|+5ln|x−4|+ Constante.

AdotamosConstantepara a constante de integração para não confundir com o

valor deC encontrado no cálculo acima. Daqui por diante usaremos estemesmo

procedimento sempre que necessário.

Exemplo 27.2.2.Encontre a solução para a integral∫

x2 +1(x−1)3(x+3)

dx.

Solução 27.2.2.Perceba que o fator(x− 1)3 corresponde a três frações parciais

simples descritas como

Ax−1

+B

(x−1)2 +C

(x−1)3 ,

368

enquanto o fator(x+3) corresponde a apenas uma fração simplesD

x+3. Logo,

x2 +1(x−1)3(x+3)

=A

x−1+

B(x−1)2 +

C(x−1)3 +

Dx+3

.

Efetuando o mesmo procedimento do exemplo anterior encontramos

x2 +1 = A(x−1)2(x+3)+B(x−1)(x+3)+C(x+3)+D(x−1)3 .

Desta equação percebe-se que ao tomarx= 1 encontramosC = 1/2, enquanto para

x=−3 temosD =−5/32. Por outro lado, a mesma equação ainda pode ser escrita

como

0x3 +x2 +0x+1 = (A+D)x3+(A+B−3D)x2+(−5A+2B+C+3D)x+(3A−3B+3C−D).

O que permite obter:

A+D = 0

A+B−3D = 1

−5A+2B+C+3D = 0

3A−3B+3C−D = 1.

Usando os valores encontrados paraC eD, determinanosA = 5/32 eB = 3/8 e

podemos escrever a integral dada como:

∫x2 +1

(x−1)3(x+3)dx=

532

∫1

x−1dx+

38

∫1

(x−1)2 dx+12

∫1

(x−1)3 dx− 532

∫1

x+3dx.

Integrando cada termo acima encontramos,

∫x2 +1

(x−1)3(x+3)dx=

532

ln |x−1|− 38

1(x−1)

− 14

1(x−1)2 −

532

ln |x+3|+ Constante

=532

ln

∣∣∣∣x−1x+3

∣∣∣∣−38

1(x−1)

− 14

1(x−1)2 +Constante.


x3−2x(x2 +1)2 dx.

Solução 27.2.3.Uma vez que o fator(x2 + 1) aparece com potência de segunda

ordem, então escrevemos

x3−2x(x2 +1)2 =

Ax+B(x2 +1)2 +

Cx+D(x2 +1)

.

Claramente que o denominador comum deve ser(x2 +1)2. Se isto é verdade então

x3−2x = (Ax+B)+ (Cx+D)(x2+1) .

369

A solução dos coeficientes desta equação sãoA = −3, B = 0, C = 1 eD = 0. Por-

tanto,

∫x3−2x

(x2 +1)2 dx=∫ −3x

(x2 +1)2 dx+∫

x(x2 +1)

dx

= −32

∫d(x2 +1)

(x2 +1)2 +12

∫d(x2 +1)

x2 +1

=32

1(x2 +1)

+12

ln(x2 +1)+Constante.


1x5−x2 dx.

Solução 27.2.4.Fatorando o denominador encontramos

x2(x3−1) = x2(1+x+x2)(x−1).

Logo,1

x2(x3−1)=

Ax2 +

Bx

+C

x−1+

Dx+Ex2 +x+1

.

Utilizando os mesmos procedimentos dos exemplos anteriores encontramos

1= A(1+x+x2)(x−1)+Bx(1+x+x2)(x−1)+Cx2(1+x+x2)+(Dx+E)x2(x−1) .

As raízes reais do denominador do integrando sãox= 0 ex= 1. Substituindo estes

valores na equação anterior encontramosA = −1 eC = 1/3. Por outro lado, para

outros valores numéricos dex devemos obter as demais constantes. Assim, para

x = −2, −1, e 1, encontramos o conjunto de equações

3B+4D−3E = −2

B+D−E = −2/3

7B+2D+2E = −2/3

cuja solução éB = 0, D = −1/3 eE = 1/3. Com estes resultados encontramos

∫1

x5−x2 dx=

∫ −1x2 dx+

∫1/3x−1

dx+13

∫ −x+1x2 +x+1

dx

=1x

+13

ln |x−1|− 13

∫12

(2x−2

x2 +x+1

)dx

Perceba que a última integral acima foi manipulada para que possamos reescrever

a integral dada como

∫1

x5−x2 d x=1x

+13

ln |x−1|− 16

∫2x+1−3x2 +x+1

d x.

370

Ou ainda como

∫1

x5−x2 d x=1x

+13

ln |x−1|− 16

∫2x+1

x2 +x+1dx+

12

∫3

x2 +x+1d x

=1x

+13

ln |x−1|− 16

∫d(x2 +x+1)

x2 +x+1dx+

12

∫3

(x+1/2)2 +3/4dx.

Integrais similares às duas últimas integrais acima já foram discutidas em exemplos

de aulas anteriores. Portanto,

−16

∫d(x2 +x+1)

x2 +x+1dx+

12

∫3

(x+1/2)2 +3/4dx=−1

6ln∣∣x2 +x+1

∣∣+ 1√3

arctg

(2x+1√

3

)+Constante.

Logo,

∫1

x5−x2 dx=1x

+13

ln |x−1|− 16

ln∣∣x2 +x+1

∣∣+ 1√3

arctg

(2x+1√

3

)+Constante,

∫1

x5−x2 dx=1x

+16

ln

((x−1)2

x2 +x+1

)+

1√3

arctg

(2x+1√

3

)+Constante.


x3−x(x2 +1)2 dx.

Solução 27.2.5.Observe que o fator(x2 + 1) é um fator que ocorre duplamente.

Assim, a decomposição deve ter a forma

x3−x(x2 +1)2 =

Ax+B(x2 +1)2 +

Cx+Dx2 +1

.

Trabalhando algebricamente esta última equação encontramos

x3−x(x2 +1)2 =

Cx3 +Dx2+(A+C)x+B+D

(x2 +1)2 ,

chegando a igualdade

x3 +0x2−x+0= Cx3 +Dx2+(A+C)x+B+D .

É fácil ver, por comparação de polinômios, que

C = 1

D = 0

A+C = −1

B+D = 0.

371

Usando os resultados deC eD encontramosA = −2 eB = 0. Portanto,

∫x3−x

(x2 +1)2 dx=

∫ −2x(x2 +1)2 dx+

∫x

x2 +1dx

= −12

∫d(x2 +1)

(x2 +1)2 +12

∫d(x2 +1)

x2 +1∫

x3−x(x2 +1)2 dx=

12(x2 +1)

+12

ln(x2 +1)+Constante.

Em muitos casos sempre é possível encontrar caminhos que possam evitar o traba-

lho de decompor uma dada integral em frações parciais. Este éessencialmente o

caso do exemplo que se segue.

Exemplo 27.2.6.Determine a integral∫

u2 +uu2 +1

du.

Solução 27.2.6.É possível reescrever a integral dada como

∫u2 +u+1−1

u2 +1du=

∫u2 +1u2 +1

du+∫

u−1u2 +1

du.

Perceba que buscamos transformar a integral dada em uma forma a mais conhecida

possível. De modo que,

∫u2 +uu2 +1

du=

∫du+

∫u

u2 +1du−

∫1

u2 +1du

=

∫du+

12

∫d(u2 +1)

u2 +1−∫

1u2 +1

du

∫u2 +uu2 +1

du= u+12

ln(u2 +1)−arctgu+C.

Também, em muitas ocasiões, é possível transformar funçõesracionais que não

envolvem polinômios em frações racionais envolvendo polinômios. Para isto algu-

mas manipulações algébricas e mudanças de variáveis se faz necessário. Considere

os exemplos que se segue.


e4x

1+e2x dx.

Solução 27.2.7.Evidentemente que esta integral é racional mas não envolve po-

linômios. Contudo, pode ser reposta sob a forma

∫e2x

1+e−2xdx.

Fazendo a substituiçãoz= e2x teremosdz= 2e2x dx. Logo, a integral passa a ser

reescrita, na nova variável, como

12

∫z

z+1dz=

12

∫z+1−1

z+1dz

=12

∫dz− 1

2

∫dz

1+z=

12

z− 12

ln(z+1)+C.

372

Retornando à variável original, temos

∫e4x

1+e2x dx=12

e2x− 12

ln(1+e2x)+C.


sen3xcosx

dx.

Solução 27.2.8.Este é um exemplo, talvez, muito forte do poder da técnica da

substituição de variáveis. A integral dada pode ser repostasob a forma

∫sen2xcosx

senxdx.

Assim, a substituiçãou = cosx, fornecedu= −senxdx. Daí a integral passa a ser

escrita na nova variável como

∫(1−u2)

u(−du) =

∫u2−1

udu=

∫udu−

∫1u

du

∫(1−u2)

u(−du) =

12

u2− ln |u|+C.

Retornando à variável emx, encontramos

∫sen3xcosx

dx=12

cos2x− ln |cosx|+C.

Agora se o integrando exibe uma ou mais frações com potênciasem x na forma

xs/r então a substituiçãox = un, em quen é o mínimo múltiplo comum dos deno-

minadores dos expoentes da fração envolvida pode ser útil nocálculo da integral.

Façamos alguns exemplos para para dirimir esta informação.


(a)∫

x1/2

1+x1/3d x (b)

∫1

1+x1/2d x.

Solução 27.2.9.(a) Note que os denominadores dex1/2 e x1/3 são 2 e 3. Logo, o

mínimo múltiplo comum destes denominadores ém.m.c = 6. Logo, façamos

x = u6 para obterd x= 6u5 d u. Assim encontramos

∫x1/2

1+x1/3d x ⇒ 6

∫u8

1+u2 d u.

Por outro lado,

u8

1+u2 =(u6−u4 +u2−1

)+

11+u2 .

373

Integrando termo a termo a equação acima teremos:

∫u8

1+u2 d u=

∫ (u6−u4 +u2−1

)d u+

∫1

1+u2 d u

=

(u7

7− u5

5+

u3

3−u

)+arctgu+C.

Assim,

6∫

u8

1+u2 d u=67

u7− 65

u5 +2u3−6u+6arctgu+C.

Retornando à variável original, encontramos

∫x1/2

1+x1/3d x=

67

x7/6− 65

x5/6 +2x1/2−6x1/6 +6arctg(

x1/6)

+C.

(b) De modo similar para esta integral façamos a substituição x = u2, assimd x=

2ud u. Portanto,

∫1

1+x1/2d x ⇒

∫2u

1+ud u=

∫2u+2−2

1+ud u= 2

∫d u−2

∫1

1+ud u.

Assim,

∫2u

1+ud u= 2

∫d u−2

∫1

1+ud u= 2u−2 ln|u+1|+C.

Logo, ∫1

1+x1/2d x= 2

√x−2 ln

∣∣√x+1∣∣+C.

374

27.3 Conclusão

Discutimos nesta aula os aspectos formais de integrais de funções racionais

discutindo vários exemplos de interesse. Em particular, pudemos observar que

sob certas considerações muitas das integrais já vivenciadas sob outras abordagens

podem ser naturalmente resolvidas usando o método de frações parciais em conco-

mitância com o método de substituição de variáveis. Por Outro lado, vivenciamos

casos em que potências da variável de integração aparecem sob a formaxr/s.

27.4 Resumo

Nesta aula continuamos o estudo de integrais racionais formalizando os aspectos

para o desenvolvimento e cálculo das mesmas. Em síntese dadauma integral raci-

onal sob a forma ∫p(x)q(x)

d x

então os procedimentos usuais da Aula 26 são empregados paraobter a integral

dada. Se, por outro lado,p(x) e q(x) não são polinômios mas podem ser de-

dutíveis, sob adequadas substituições, a formas de polinômios então os mesmos

procedimentos podem ser empregados.

375

Exercícios

E. 1 ⊲ Obtenha as integrais:

(a)∫

12x(x−1)

d x

(b)∫

1

x2 (x−1)2 d x

(c)∫

x−4(x−1) (x+1)

d x

(d)∫

x

(x+1)3 d x.

E. 2 ⊲ Calcule as seguintes integrais:

(a)∫

x4

1+x2 d x

(b)∫

1(1+x2)(2+x2)

d x

(c)∫

arctgx

(x+1)2 d x

(d)∫

(1+x)2 arctgxd x.


(a)∫

x2 +1x2−1

d x (b)∫

x2

x4−1d x.

E. 4 ⊲ A equação diferencial

d xd t

= x(a2−x2) , com x(t0) = x0 ,

em quea é uma constante, aparece na teoria deoscilações não-linearesad-

mitindo soluçõesL-instáveisa depender de algumas considerações físicas.

Mostre que a solução desta equação diferencial é dada por

(t − t0) =1a2 ln

∣∣∣∣∣∣xx0

√a2−x2

a2−x2

∣∣∣∣∣∣.

E. 5 ⊲ Reescreva a função

f (x) =3x3 +2x2 +x+1

x2 +1

sob formaf (x) = a(x)+r(x)

x2 +1e calcule

∫f (x)d x=

∫a(x)d x+

∫r(x)

x2 +1d x.

E. 6 ⊲ Calcule:

(a)∫

xx3 +a3 d x

(b)∫

xx4 +a4 d x

(c)∫

x3 +2x+1

x(x2 +1)2 d x

(d)∫

x5 +x4 +3x3+4x2 +4x+2

(x2 +1)2 d x.

376


(a)∫

x√x+2

d x

(b)∫

1√1+e2x

d x

(c)∫

x2

4√

x3 +1d x

(d)∫

1

x√

x3−1d x.

E. 8 ⊲ Efetue substituições adequadas para determinar:

(a)∫

x2√

x+1d x

(b)∫

x1/2

1+x2/3d x

(c)∫

x1/2

1+x1/3d x

(d)∫

1+x3/2

1−x1/2d x.

E. 9 ⊲ Encontre a funçãof (x) sabendo que

f ′(x) =arctgx

x3 ,

e que limx→+∞

f (x) =π2

.

E. 10⊲ Uma dada grandeza é dada por

q(x) =x

(x−a) (x−b)2 (x−c)3 .

Calcule ∫q(x)d x.

377


E. 1 ⊲ (a) ln

√x−1

x+C, (b) 2 ln

∣∣∣∣x

x−1

∣∣∣∣−1x− 1

x−1+C, (c)

52

ln |x+1|− 32

ln |x−1|+

C, (d) −(x+1)−1 +12

(x+1)−2+C.

E. 3 ⊲ (a)x+ ln

∣∣∣∣x−1x+1

∣∣∣∣+C, (b)14

ln

∣∣∣∣x−1x+1

∣∣∣∣+arctgx

2+C.

E. 5 ⊲32

x2 +2x− ln(x2 +1

)−arctgx+C.

E. 7 ⊲ (a)23

(2+x)3/2−4√

2+x+C, (b)−arctgh(√

1+e2x)

+C, (c)49

(x3 +1

)3/4+

C, (d)23

arctg(√

x3−1)

+C.

E. 9 ⊲ −(

1+x2

2x2

)arctgx− 1

2x+

3π4

.

378

27.5 Referências






379

28 Integrações por Decomposição deFrações - Parte 3

Meta: Esta aula construiremos diversos exemplos de funções que seapresentam

sob a formap(x)/q(x). Desta forma estaremos estudando a essência desta técnica

e sua abordagem algébrica, ligeiramente rebuscada.

Objetivos: Esperamos que ao fim desta aula o aluno seja capaz de desenvolver e

calcular diversas formas de integrais usando a técnica de funções parciais.


tes.

28.1 Introdução

As duas aulas passadas você, prezado aluno, teve a oportunidade de estudar e en-

tender os aspectos que foram formalizados no que tange integrais da forma

∫p(x)q(x)

d x

empregando a técnica de frações parciais. Vivenciou que muitas destas integrais

não, necessariamente, apresentavam-se como polinômios. Isto permitia admitir

que o contexto em que a técnica de frações parciais pudesse ser bastante flexível e

poderosa em diferentes contextos. Nesta aula reataremos esta abordagem e envol-

veremos outros tipos de integrais que são permissíveis de serem resolvidas através

desta técnica.

380

28.2 Substituição portg(x/2)

Em muitas ocasiões encontramos integrais envolvendo funçõessenoeco-seno

em expressões da forma

a+b cosx

a+bsenx.

Ou simplesmente,

a+bcosx+csenx.

Neste caso as relações contidas abaixo podem ser úteis.

Teorema 28.2.1.Suponha que u= tg(x/2). Então

senx =2u

1+u2 , cosx =1−u2

1+u2

tgx =2u

1−u2 , d x=2

1+u2 d u.

Estas substituições permitem que integrais trigonométricas em forma algébrica

sejam rapidamente simplificada. Consideremos os exemplos que se seguem.

Exemplo 28.2.1.Calcule as integrais:

(a)∫

11+senx

d x (b)∫

1senx+cosx

d x.

Solução 28.2.1.(a) Façamos a substituição definida no Teorema 28.2.1, assimte-

remos

∫1

1+senxd x ⇒

∫2

(1+u)2 d u=∫

2

(1+u)2 d (1+u) .

Perceba que esta última integral passa a ser do tipo

∫1

X2 d X = − 1X

+C.

Logo, ∫2

(1+u)2 d (1+u) = − 21+u

+C.

Portanto, ∫1

1+senxd x= − 2

1+ tg(x/2)+C.

381

(b) Escrevendo o denominador desta integral em termos deu teremos

∫1

senx+cosxd x=

∫2

1+2u−u2 d u.

Agora podemos reescrever

1+2u−u2 = −(u2−2u+1−1−1

)= −

((u−1)2−2

).

Assim escrevemos a integral sob o formato

∫2

1+2u−u2 d u=

∫2

2− (u−1)2 d u.

Façamos agora

2

2− (u−1)2 =A

(u−1)+√

2+

B

(u−1)−√

2,

para encontrar

A =−√

22

e B =

√2

2.

Finalmente obtemos

∫2

2− (u−1)2 d u=

∫ −√

2/2

(u−1)+√

2d u+

∫ √2/2

(u−1)−√

2d u

=−√

22

ln∣∣∣(u−1)+

√2∣∣∣+

√2

2ln∣∣∣(u−1)−

√2∣∣∣+C

=−√

22

ln

∣∣∣∣∣(u−1)+

√2

(u−1)−√

2

∣∣∣∣∣+C.

Retornando à variavél original encontraremos

∫1

senx+cosxd x= −

√2

2ln

∣∣∣∣∣tg(x/2)−1+

√2

tg(x/2)−1−√

2

∣∣∣∣∣+C.

Modo alternativo

O Exemplo 28.2.1 dá uma mostra do quanto deve ser tedioso o cálculo de integrais

que se apresentam sob a expressão

∫A+Bcosx+Csenxa+bcosx+csenx

d x,

em quea, b, c, A, B eC são constantes. Um modo alternativo para resolver inte-

grais deste tipo é escrever o numerador da integral como

A+Bcosx+Csenx = p (a+bcosx+csenx)+qd

d x(a+bcosx+csenx)+ r ,

382

com p, q e r a determinar. Com isto a integral passa a ser reescrita como

∫p+

qdd x

(a+bcosx+csenx)

a+bcosx+csenx+

ra+bcosx+csenx

d x.

Perceba, caro aluno, que esta última integral é bem mais simples de resolver.

Exemplo 28.2.2.Calcule a integral

∫2+cosx

cosx+senxd x.

Solução 28.2.2.Façamos

2+cosx = p (cosx+senx)+qd

d x(cosx+senx)+ r .

Então,

2+cosx =p (cosx+senx)+q (−senx+cosx)+ r

=(p+q)cosx+(p−q)senx+ r .

Comparando os coeficientes de cosx, senx e as constantesp, q e r encontramos

p+q = 1

p−q = 0

r = 2.

Daí encontramosp = q = 1/2 e r = 2. Substituindo de volta na integral acima

teremos

∫2+cosx

cosx+senxd x=

∫

12

+

12

dd x

(cosx+senx)

cosx+senx+

2cosx+senx

d x

=

∫12

d x+12

∫1

(cosx+senx)d (cosx+senx)+2

∫1

cosx+senxd x.

A última integral acima foi calculada no Exemplo 28.2.1. Assim, teremos

∫2+cosx

cosx+senxd x=

x2

+12

ln |cosx+senx|− 2√

22

ln

∣∣∣∣∣tg(x/2)−1+

√2

tg(x/2)−1−√

2

∣∣∣∣∣+C.

Ou ainda,

∫2+cosx

cosx+senxd x=

x2

+ ln(√

cosx+senx)−√

2 ln

∣∣∣∣∣tg(x/2)−1+

√2

tg(x/2)−1−√

2

∣∣∣∣∣+C.

383

28.3 Integrais de Funcões Irracionais

Integrais de funções irracionais são muito mais difíceis decalcular do que inte-

grais de funções racionais e muitas delas não podem ser calculadas. Entretanto,

alguns casos particulares delas podem ser reduzidas a formas racionais através de

adequadas substituições.

( I )∫

n

√ax+bcx+d

d x. Neste caso fazenmos a substituiçãou = n

√ax+bcx+d

.

( II )∫ α x+ β√

ax2 +bx+cd x. Neste caso escrevemos

α x+ β = pd

d x

(ax2 +bx+c

)+ r ,

com p eq a determinar.

( III )∫

1

(px+q)√

ax2 +bx+cd x. A substituição neste caso é fazer

u = 1/(px+q) .

( IV ) integrandos que exibem formas do tipo√

ax2 +bx+c

(i) sea > 0 podemos fazeru =√

ax2 +bx+c± √ax

(ii) se c > 0 podemos fazeru =

√ax2 +bx+c± √

cx

(iii) se ax2+bx+c puder ser fatorizado comoa(x−α)(x−β ) podemos

fazeru =

√a (x−α)

x−β

(iv) sea< 0 e seax2+bx+cpuder ser fatorizado como−a(x−α)(x−β )

podemos fazerx = α cos2t + β sen2t .

Poderiamos desfilar outras formas de integrais irracionais. Contudo, a aula ficaria

muito extensa e não é nosso intuito. Sugiro a você, caro aluno, ler mais sobre o

tema no livro texto ou outro material que seja adequado.


1x

√1−x

xd x.

Solução 28.3.1.Façamos a substituição

u =

√1−x

x, ⇒ u2 =

1x−1 ⇒ 2udu= −d x

x2 .

Destes resultados é fácil ver que

d xx

=−2u

1+u2 du.

384

Com isto encontramos

∫1x

√1−x

xd x ⇒ −

∫2u2

1+u2 d u= −∫

2u2 +2−21+u2 d u.

Portanto,

−∫

2u2

1+u2 d u=−∫

2d u+∫

21+u2 d u

=−2u+2arctgu+C.

Por fim obtemos

∫1x

√1−x

xd x= −2

√1−x

x+ 2arctg

(√1−x

x

)+C.

Exemplo 28.3.2.Calcule ∫2x−1√1−x−x2

d x.

Solução 28.3.2.Aqui fazemos

2x−1 = pddx

(1−x−x2)+ r = p(−1−2x)+ r .

Por comparação entre coeficientes encontramos

−2p = 2 e − p+ r = −1,

de onde encontramosp = −1 er = −2. Logo, a integral dada passa a ser reescrita

como

∫2x−1√1−x−x2

d x=∫ − d

d x

(1−x−x2

)

√1−x−x2

d x+∫ −2√

1−x−x2d x

=−∫

1√1−x−x2

d(1−x−x2)−2

∫1√

1−x−x2d x.

A primeira integral no lado direito da equação acima é do tipo

∫1

X1/2d X = 2X 1/2 +C,

assim,

−∫

1√1−x−x2

d(1−x−x2)= −2

√1−x−x2+C1 ,

enquanto a segunda integral pode ser reescrita como

∫1√

1−x−x2d x=

∫1√

54 −(x+ 1

2

)2d x,

385

a qual pode ser determinada fazendo a substituição, (veja Aula 25)

x+12

=

√54

sent ⇒ d x=

√54

cost .

Cujas considerações já foram levantadas no Exemplo 25.2.1 enos permite concluir

que

∫1√

54 −(x+ 1

2

)2d x ⇒

∫ √5/4 cost√

5/4√

1−sen2 td t =

∫d t = t +C2 .

Portanto,

−2∫

1√54 −(x+ 1

2

)2d x= −2arcseno

(√45

(x+

12

))+C2 .

Juntando estes dois resultados, obtemos

∫2x−1√1−x−x2

d x= −2√

1−x−x2−2arcseno

(2√5

(x+

12

))+C.

Exemplo 28.3.3.Use uma substituição adequada para calcular a integral

∫1

(1+x)√

x2−1d x.

Solução 28.3.3.Aqui temos uma integral do tipo (III) e façamos a substituição

u =1

x+1.

Com isto obtemos a equação

xu+u = 1,

de onde encontramos

d uu

= − d xx+1

.

Por outro lado,

x2−1 =1−2u

u2 ⇒√

x2−1 =

√1−2u

u, 0 < u <

12

.

Estas considerações parau são realizadas para manter os resultados reais e para

simplificar nossos cálculos sem que haja perda de generalidade.

Destes resultados podemos escrever

∫1

(1+x)√

x2−1d x ⇒ −

∫1√

1−2ud u.

386

Deixamos como exercíco a você, prezado aluno, mostrar que

−∫

1√1−2u

d u=√

1−2u+C.

Retornando à variável original encontramos

∫1

(1+x)√

x2−1d x=

√x−1x+1

+C.

387

28.4 Conclusão

Nesta aula tivemos a oportunidade de detalhar aspectos adicionais de integrais de

funções racionais que envolve funções trigonométricas apresentando métodos al-

ternativos para alguns tipos de integrais. Ao mesmo tempo introduzimos algumas

características essenciais de integrais envolvendo funções irracionais destacando

diversos exemplos e discutimos breves comentários sobre tais integrais. Toda estas

considerações permitiram observar que em muitos casos o cálculo destas integrais

se tornavam bastante extensos.

28.5 Resumo

Integrais na forma ∫p(x)q(x)

d x=

∫R(senx,cosx)d x

podem ser obtidas através de diferentes procedimentos. Em tais situações o método

de substituição de variáveis na formau = tg(x/2) são usualmente empregadas.

Entretanto, conforme averiguamos, outras formas alternativas podem ser utilizadas

o que conduzia a cálculos ligeiramente simplificados.

Por outro lado integrais irracionais já são muito mais complicadas e seus aspectos

puderam ser averiguados em vários exemplos através de realizações adequadas de

mudanças de variáveis.

388

Exercícios

E. 1 ⊲ Calcule as integrais abaixo fazendo uso das substituições indicadas.

(a)∫

1√x2−1

d x, x = coshu

(b)∫

1√x2 +1

d x, x = senhu

(c)∫

senhx1+coshx

d x, u = coshx

(d)∫

11−x2 d x, x = tghu.

E. 2 ⊲ Mostre que o resultado do Exemplo 28.2.1 pode ser reescrito como

∫1

senx+cosxd x=

√2arctgh

(tg(x/2)−1√

2

)+C.

E. 3 ⊲ Calcule

(a)∫

1senx−cosx

d x

(b)∫

cosx1+senx+cosx

d x

(c)∫

senx−cosxsenx+cosx

d x

(d)∫

cosx−senx1+cosx−senx

d x.


(a)∫

cos(ax)√b+sen(ax)

d x

(b)∫

xarcsenox√1−x2

d x

(c)∫

1

(1+x2)√

1−x2d x

(d)∫

1− tg2 xsec2x+ tgx

d x.

E. 5 ⊲ Calcule as integrais abaixo usando substituição de variáveis:

(a)∫

2+√

x1−√

xd x (b)

∫ex/2

ex +ex/2−2d x

E. 6 ⊲ Algumas integrais podem ser calculadas fazendo uso da substituição tgx= t

para obter as relações

senx =t√

1+ t 2, cosx =

1√1+ t 2

x =arctgt, d x=d t

1+ t 2 .

Mostre estas relações e use-as para calcular

(a)∫

1sen2x+2senx cosx−cos2 x

d x

(b)∫

1−2sen2x1+cos2 x

d x.

389

E. 7 ⊲ Em alguns casos a substituição tg(x/2) = t conduz a cálculo complicados

conforme averiguamos. Para casos particulares de integrais

∫R(senx, cosx)d x

em queR(senx, cosx) é uma função racional envolvendo as funções senx e

cosx podemos contornar tais dificulades caso tenhamos:

(i) R(senx, cosx) uma função ímpar em relação a senx, ou seja, se

R(−senx, cosx) = −R(senx, cosx) .

Neste caso fazemos a substituiçãot = cosx.

(ii) R(senx, cosx) uma função ímpar em relação a cosx, ou seja, se

R(senx, −cosx) = −R(senx, cosx) .

Neste caso fazemos a substituiçãot = senx.

(iii) R(senx, cosx) uma função par em relação a senx e cosx, ou seja, se

R(−senx, −cosx) = R(senx, cosx) .

Neste caso fazemos a substituiçãot = tgx.

Com base nestas informações calcule as integrais:

(a)∫

sen3 x+senxcosx

d x

(b)∫

cosx+cos3xsen2x+sen4x

d x

(c)∫

cos4xsen2x

d x.

E. 8 ⊲ Em muitas ocasiões ocorre integras sob a forma

∫xk (a+bxm)nd x,

em quek, m en são números racionais. De acordo com P. Chebishev, as

integrais diferenciais binomiais podem ser expressas em termos de funções

elementares em três situações:

(i) n é um inteiro e a integral se a reduz a uma integral racional fazendo a

substituiçãox = t s em ques é o mínimo múltiplo comum das frações

dek em;

(ii) (k+1)/m é um inteiro e neste caso a integral se reduz a forma de

integral racional segundo a substituiçãoa+bxm = t s;

390

(iii) (k+1)/m+né um número inteiro e para este caso seguimos o mesmo

procedimento anterior face a substituiçãoax−m+b= t s, em quet é o

denominador da fraçãon.

Use estas informações para calcular

(a)∫

1√

x (1+ 4√

x)5 d x

(b)∫

1

x2√

1+x2d x

(c)∫

x

(a2−x2)3/2d x.


(a)∫

1(a+b)+ (a−b)cosx

d x (b)∫

1(a+b)cosx+(a−b) senx

d x

E. 10⊲ Calcule as integrais

(a)∫

1

x√

1+x3d x

(b)∫

1

x3 3√

1−x3d x

(c)∫

1x4 +x2 d x

(d)∫

1+ 6√

x(3√

x− 4√

x3)

4√

x3d x.

391


E. 1 ⊲ (a) arcoshx+C, (b) arcsenhx+C, (c) ln(1+coshx)+C , (d) arctghx+C.

E. 3 ⊲ (a)−√

2arctgh

(√2

2(1+ tg(x/2))

)+C, (b) − ln |sec(x/2) |+ x

2+C, (c)

ln

∣∣∣∣secx

1+ tgx

∣∣∣∣+C, (d) ln

∣∣∣∣tg(x/2)

tg(x/2)+1

∣∣∣∣−x+C.

E. 5 ⊲ (a)−x−6√

x− t ln(−1+√

x)+C, (b)23

ln

∣∣∣∣∣ex/2−1

ex/2 +2

∣∣∣∣∣+C.

E. 7 ⊲ (a)sen3x+senx

cosx+C =

(1+sen2x

)tgx+C, (b)−3arctg(senx)− 2

senx+

C.

E. 9 ⊲ (a)1√ab

arctg

(b√ab

tg(x/2)

)+C, (b)

√2√

a2 +b2arctgh

((a+b) tg(x/2)−a+b√

2√

a2 +b2

)+

C.

392

28.6 Referências






393

29 Conceitos de Integral Definida

Meta: Nesta aula introduziremos o conceito de integral definida eapresentaremos

vários exemplos de aplicações do cálculo integral em situações reais.

Objetivos: Esperamos que ao fim desta aula o aluno esteja apto dicernir osdife-

rentes aspectos do que seja integral definida e indefinida através, particularmente,

de várias aplicações.


tes.

29.1 Introdução

Nas aulas destinadas ao cálculo de integrais vários foram osexemplos destacando

diferentes formas de calcular uma dada integral a partir de uma função contida

em seu integrando. Em muitas ocasiões pudemos apresentar exemplos práticos da

aplicação do conceito de integral indefinida. Nesta aula passaremos a tratar dos as-

pectos inerentes ao cálculo de integrais definidas e neste contexto várias situações

de interesse serão abordadas. Primaremos pela praticidadee buscaremos apresen-

tar um conteúdo simplificado do tema uma vez que o mesmo será rediscutido na

disciplina de Cálculo 2 com maior riqueza de detalhes. Esta ea próxima aula

servirá como um embasamento prévio de contextualizações práticas do cálculo de

integral definida.

394

29.2 Conceitos de Integral Definida

O primeiro passo para adentrar esta aula foi dado quando você, caro aluno, estu-

dou os conceitos relativos a integral de funções. Daqui por diante tentaremos in-

serir o conceito de integral definida da forma o mais natural possível principiando

pela consideração de uma funçãof (x) definida em algum intervaloI conforme

Figura 29.2.1.

y

xba

f (x)

Figura 29.2.1: Representação para o cálculo da área sob a curva y = f (x).

A princípio consideramos uma função que é contínua em um intervalo I e con-

sideramos dois pontosx = a e x = b pertencentes a este intervalo e coma < b.

Neste ponto podemos agora questionar o que você, caro aluno,entende por área de

uma região limitada pela curvay = f (x), os eixosx e y e as retasx = a e x = b?

Em outras palavras, queremos saber o que entendemos por áreahachurada na Fi-

gura 29.2.1.

Talvez o modo mais simples de responder a tal questão é considerarmos o caso

quando f é uma função constante, ou seja,f (x) = k conforme destacado na Fi-

gura 29.2.2.

f (x) = ky

xa b

Figura 29.2.2: Representação gráfica paraf (x) = k, em quek≥ 0.

Para o caso em questão a área sob a curva é justamente a área de um retângulo de

395

largura(b−a) e alturak, ou seja,

A = k (b−a) .

Podemos agora revelar a você, caro aluno, que a área sob a curva representada na

Figura 29.2.1 é dada por

∫ b

af (x)dx.(29.2.1)

Antes de inserir detalhes adicionais sobre esta notação, tentarei convencer a você,

caro aluno, que a equação acima representa a área delimitadapela curvay = f (x)

os eixosx ey e as retasx = a ex = b através de procedimentos puramente geomé-

tricos. Para tanto considere a Figura 29.2.3 onde tentamos “preencher” a região da

Figura 29.2.1 emn retângulos com diferentes alturase mesma largura. Em outras

palavras,

alturas = fi = f (xi), i = 0, · · · , n−1

largura = ∆xi = ∆x =b−a

n.

Perceba que este “preenchimento” não é aleatório uma vez queadotamos que toda

y

xba

f (x)

f1f2

f0

∆x

...

fk

x1 x2 xk

Figura 29.2.3: Representação esquemática para o cálculo daintegral∫ b

af (x)dx.

“quina” superior esquerda de cada retângulo tangencial a curva inferiormente.1

Com isto percebemos que alguns retângulos ficam inseridos dentro da região com-

preendida pela curva e partes de outros ficam externas à curva. Isto é notoriamente

proposital e serve para que possamos compensar a contribuição à esquerda da curva

com aquela à direita da curva.

1Note, prezado aluno, que estamos tentando passar a informação em uma linguagem o maiscotidiano possível.

396

Desta forma podemos afirmar que a área aproximada da região é dada pela equação

A≃ f0 ∆x0 + f1∆x1 + f2∆x2 + · · ·+ fk ∆xk + · · · , fn−1 ∆xn−1

(29.2.2)

= f (x0)∆x0 + f (x1)∆x1 + f (x2)∆x2 + · · ·+ f (xk)∆xk + · · · + f (xn−1)∆xn−1 .

Por outro lado perceba que

x0 = a, x1 = a+ ∆x, x2 = a+2∆x, · · · , xk = a+k∆x, · · · , xn−1 = b.

Os pontosx0, x1, x2, · · · são chamados pontos da partição e sobre cada intervalo

[xi−1, xi ] existe um retângulo de alturaf (xi−1). Uma vez que∆xi = ∆x, então o

i−ésimo retângulo tem área

f (xi−1)∆x.

Um modo conveniente de escrever a soma descrita por (29.2.2)é expresso por

A =b

∑a

f (x)∆x =n−1

∑i=0

f (xi)∆xi .(29.2.3)

e é chamada soma de Riemman. O símbolo∑ representa um somatório sobre

todas as contribuições contidas em (29.2.2). Por outro lado, x nesta soma é de-

nominadavariável muda(ou variável limitada), visto que o valor de∑ba f (x)∆x

não tem dependência emx. Consideração similar é válida para o índice da soma-

tória, i. Perceba, caro aluno, que a soma dada por (29.2.2) será tantomais precisa

y

xba

f (x)fk

xk

Figura 29.2.4: Representação esquemática para o preenchimento da região em “fa-tias” de retângulos mais “finos”.

quanto maior for o número de retângulos capazes de serem inseridos na região. A

Figura 29.2.4 ilustra a situação onde começamosa preencher a região por um outro

conjunto dem (comm>> n) retãngulos mais “finos” do que aqueles que aparecem

na Figura 29.2.1.2 Podemos extrapolar esta configuração de coisas e assumir o caso

2A notaçãom>> n quer dizermmuito maior do quen.

397

quando o número de partições se torna extremamente elevado,ou seja,n → ∞. Se

isto for o caso então

∆x = limn→∞

b−an

→ 0.

Pensar nesta situação é considerar∆x representado por infinitésimosd x e a soma

passa a ser escrita sob a forma3

lim∆xi →0

n−1

∑i=0

f (xi)∆xi =

∫ b

af (x)dx, se o limite existe.

Um comentário adicional em relação ao símbolo∫

que já haviamos introduzido na

Aula 20 recebe agora o significado de soma e, no caso em questão, soma contínua

uma vez que∆x passa a ser tratado como infinitesimal, ou seja,d x. Portanto, sob

estas considerações podemos escrever

A =∫ b

af (x)dx.(29.2.4)

A notação que aparece na Eq. (29.2.4) difere do caso da integral indefinida pela

presença dos parâmetrosa eb inseridos para denotar os limitesinferior esuperior

da integral.

A Figura 29.2.4 mostra uma função contínua, estritamente positiva e limitada. E

neste sentido notamos que

fm = mi, menor valor def no intervalo[xi−1, xi ]

fM = Mi, maior valor def no intervalo[xi−1, xi ] .

Assim, da Eq. (29.2.3)

Am =b

∑a

f (x)∆x =n−1

∑i=0

fm∆xi =n−1

∑i=0

mi ∆xi ,

AM =b

∑a

f (x)∆x =n−1

∑i=0

fM ∆xi =n−1

∑i=0

Mi ∆xi .

Logo, podemos escrever

Am 6 A 6 AM .(29.2.5)

A discussão levantada logo acima serve como motivação para enunciar a definição

abaixo que se faz importante para o momento.

3Como comentamos, caro aluno, não desejamos ser precisos neste momento visto que este tópicoserá explorado com rigor de detalhes na disciplina de Cálculo 2.

398

Definição 29.2.1. f é uma função integrável em[a, b] se existe um único número

A tal que

Am 6 A 6 AM

para todas as partições de[a, b] e

A =

∫ b

af (x)dx,

representa a integral definida def no intervalo[a, b].

Destacamos abaixo algumas propriedades que estão intimamente associadas a esta

definição.

Proposição 29.2.1.Se f eg são funções que satisfazem a Definição 29.2.1 e sendo

k uma constante ea < c < b, então

(a)∫ b

a( f (x)±g(x))dx=

∫ b

af (x)dx±

∫ b

ag(x)dx

(b)∫ b

ak f(x)dx= k

∫ b

af (x)dx

(c)∫ b

af (x)dx=

∫ c

af (x)dx+

∫ b

cf (x)dx

(d) se f (x) ≥ g(x), para todox ∈ [a, b], então∫ b

af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx.

Sem perda de conteúdo, tanto a proposição acima bem como o teorema enunciado

a seguir são assumidos sem demonstração.

Teorema 29.2.1(Teorema do Valor Médio para Integrais). Se f é contínua em

[a, b], existe c∈ [a, b] tal que

∫ b

af (x)dx= f (c)(b−a) .

Teorema 29.2.2.Se a função f é contínua em[a, b], então f é integrável em[a, b] .

A recíproca deste teorema não é verdadeira e deixo a você, caro aluno, averi-

guar esta afirmativa resolvendo o Exercício 2.

399

29.2.1 Teorema Fundamental do Cálculo

Uma vez que já é do nosso conhecimento algumas propriedades essenciais da

integral definida é nosso intuito saber como calculá-las usando o teorema que se

segue.

Teorema 29.2.3.Se f é uma função integrável em[a, b] e tem primitiva F(x) em

[a, b], então ∫ b

af (x)dx= F(b)−F(a) .

É comum usar a seguinte notação para o cálculo da integral definida def :

∫ b

af (x)dx= F(x)

∣∣∣b

a= F(b)−F(a) .

Antes de começar a discutir alguns exemplos básicos desejo ressaltar que a integral

definida foi apresentada como representando a área delimitada por uma dada fun-

ção no planoxy. Entretanto, este é um aspecto introdutório o que não representa

dizer que cálculo de integrais definidas estejam apenas limitadas a cálculo de áreas.

Em outras palavras, ∫ b

af (x)dx

pode representar qualquer quantidade ou grandeza física.


(a)∫ 1

0x dx (b)

∫ 1

0ex dx.

Solução 29.2.1.Ambas as funções dadas são contínuas, limitadas e integráveis nos

intervalos considerados, portanto:

(a)∫ 1

0x dx=

x2

2

∣∣∣1

0=

(1)2

2− 02

2=

12

.

(b)∫ 1

0ex dx= ex

∣∣∣1

0= e1−e0 = e−1.

Exemplo 29.2.2.Uma dada região é limitada pela curvay = x2−2 o eixox e as

retasx = ±2. Calcule a área desta região.

Solução 29.2.2.O gráfico da região para efeito do cálculo da área é mostrado na

Figura 29.2.5. Note, caro aluno, que separamos a região em três partes distintas

R1, R2 eR3 visto que podemos usar a propriedade (c) da Proposição 29.2.1, ou seja,

∫ 2

−2f (x)dx=

∫ −1

−2f (x)dx+

∫ 1

−1f (x)dx+

∫ 2

1f (x)dx.

400

Agora fica claro que

A1 =

∫ −1

−2f (x)dx, A2 = −R2 = −

∫ 1

−1f (x)dx, A3 =

∫ 2

1f (x)dx.

De antemãoA2 = −∫ 1

−1f (x)dx porque todos os valores def (x) nesta região são

R3

R2

R1

x

y

21.510.50-0.5-1-1.5-2

4

3

2

1

0

-1

-2

Figura 29.2.5: Representação gráfica para o cálculo da região delimitada pela curvay = x2−2 o eixox e as retasx = ±2.

negativos e a variação emx é positiva, ou seja,∆x= 1−(−1) = 2 o que conduziria

a um valor negativo para a área. Entretanto, devemos lembrarque estamos calcu-

lando uma grandeza estritamente positiva e o cálculo desta integral deve levar em

consideração este fato. Assim teremos:

A1 =

∫ −1

−2

(x2−2

)dx=

(x3

3−2x

) ∣∣∣∣∣

−1

−2

=

((−1)3

3−2(−1)

)−(

(−2)3

3−2(−2)

)=

13

A2 = −∫ 1

−1f (x)dx= −

(x3

3−2x

) ∣∣∣∣∣

1

−1

= −((

(1)3

3−2(1)

)−(

(−1)3

3−2(−1)

))=

103

A3 =∫ 2

1f (x)dx=

(x3

3−2x

) ∣∣∣∣∣

2

1

=

(((2)3

3−2(2)

)−(

(1)3

3−2(1)

))=

13

.

Note, caro aluno, que por simetria já esperávamos que o resultado deA1 seria igual

ao resultado obtido paraA3. Somando as três contribuições acima encontramos

A = A1 +A2+A3 =13

+103

+13

= 4u.a. ,

em queu. a significaunidades de áreae depende das unidades a serem emprega-

das.

401

O exemplo anterior permite que introduzamos propriedades adicionais para inte-

grais definidas, quais sejam:

(a)∫ b

af (x)dx= −

∫ a

bf (x)dx.

(b)∫ b

af (x)dx= 0.

(c)∫ a

−af (x)dx= 0, paraf (x) ímpar.

(d)∫ a

−af (x)dx= 2

∫ a

0f (x)dx, para f (x) par.

Exemplo 29.2.3.Um ponto móvel desloca-se ao longo do eixox com velocidade

dada por

v = 3t 2 cm/s.

Determine a distância percorrida por este objeto entre os instantest = 0 at = 2s.

Solução 29.2.3.O Teorema Fundamental do Cálculo permite que determinemos

esta distância lembrando que

v =d xd t

= 3t 2, x =

∫ 2

03t 2 dt = t 3

∣∣∣2

0= 23−03 = 8cm.

Exemplo 29.2.4.Uma funçãoF(x) é definida como sendo a integral de uma função

f (x) em um intervalo[0, x] . ExpresseF(x).

Solução 29.2.4.A funçãoF(x) é agora uma nova função descrita por

F(x) =

∫ x

0f (x′)dx′ .

Perceba, caro aluno, que a variável no integrando acima é definida em termos de

x′.

Um teorema particularmente útil é descrito a seguir.

Teorema 29.2.4.Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua. A função

g(x) =∫ x

af (x′)dx′

é derivável e

g′(x) = f (x), ou g′(x) =dd x

∫ x

af (x′)dx′ .

Exemplo 29.2.5.Na Exercício 4 da Aula 25 informamos que a energia de um

sistemamassa-molaé dado pela equação

E =12

mv2 +12

kx2 .

402

A partir desta equação mostre que o tempo gasto para o sistemacompletar uma

volta completa é dado por

τ = 2π√

mk

.

Solução 29.2.5.Você deve ter mostrado, caro aluno, no mencionado exercícioda

Aula 25 que

d xd t

=

√2m

(E− 1

2kx2

).

Desta encontramos

d t =

√mk

∫1√

(2E/k)−x2d x.

Tal sistema tem amplitude máxima de oscilação definida porx = A quandov = 0,

ou seja,

E =12

kA2 .

Deste resultado podemos escrever para o tempo de sair da posição de equilíbrio

x = 0 até a posição de oscilação máximax = A a expressão

t =

√m

2E

∫ A

0

1√1− k

2Ex2

dx.

Deixo a você, caro aluno, mostrar que esta integral tem como primitiva a função

√2Ek

arctg

√k

2Ex

√1− k

2Ex2

.

Portanto,

t =

√mk

arctg

(x/A√

1− (x/A)2

) ∣∣∣∣∣

A

0

.

Podemos alterar a forma de representar a avaliação acima fazendo uso de limites

de funções, ou seja,

t =

√mk

arctg

(x/A√

1− (x/A)2

) ∣∣∣∣∣

A

0

=

√mk

limx→A

arctg

(x/A√

1− (x/A)2

)−√

mk

arctg

(0/A√

1− (0/A)2

).

Ou ainda,

t =

√mk

arctg

(x/A√

1− (x/A)2

) ∣∣∣∣∣

A

0

=

√mk

arctg

lim

x→A

x/A√1− (x/A)2

︸︷︷︸∞

−

*0√mk

arctg0.

403

Lembrando que arctg(∞) = π/2, então

t =π2

√mk

.

Este resultado deve ser multiplicado por 4 uma vez que calculamos o tempo neces-

sário para percorrer 1/4 do percurso. Logo,

τ = 2π√

mk

.

404

29.3 Conclusão

Esta aula teve como propósito introduzir algumas ferramentas essenciais para o cál-

culo de integrais definidas. Principiamos pela abordagem usual para em seguida

desenvolver os teoremas e proposições e, por conseguinte, tratar alguns exemplos

práticos. Foi nosso objetivo destacar, particularmente, que este tópico será deta-

lhadamente tratado quando da oportunidade da realização dadisciplina Cálculo 2.

Entretanto, os primeiros contatos com o tema, ainda em Cálculo 1, se fez neces-

sário para aprimorar as técnicas de integrais já conhecidasaté então e empregá-las

para uso mais específico.

29.4 Resumo

Uma funçãof é dita integrável em[a, b] caso exista um númeroA tal que

Am 6 A 6 AM ,

e

A =

∫ b

af (x)dx

é denominada integral definida def para o intervalo considerado.

405

Exercícios

E. 1 ⊲ Calcule as integrais representadas por

(a)∫ 1

0

(x2−1

)dx

(b)∫ 1

0x√

1−x2 dx

(c)∫ 1

0

2x

(x2−3)2 dx

(d)∫ π

−π(senx−cosx)dx.

E. 2 ⊲ (a) Considere a função

f (x) =

1, sex é um número racional

0, sex é um número irracional.

Mostre que esta função, apesar de limitada, não é integrável.

(b) Mostre que a função

f (x) =

0, sex ∈ [0, 1]

1, sex ∈ (1, 2]

é integrável.

E. 3 ⊲ Sabendo queF ′(t) = t −1 eF(0) = 2, calculeF(2) .

E. 4 ⊲ O Teorema Fundamental do Cálculo também pode ser usado para calcular

derivadas de funções que são definidas como uma integral definida com

uma variável no limite de integração. Mostre, caro aluno, sem avaliar a

integral definida que

(a) y =

∫ 2

x

√1+ t 2 dt, d y= −

√1+x2dx

(b) y =

∫ 3

x2+x

(1

u3 +1

)du, d y=

2x+1

(x2 +x)2 +1dx.

E. 5 ⊲ Calcule as áreas limitadas pelos lugares geométricos

(a) x2 +y2 = a2, circunferência de raioa.

(b)x2

a2 +y2

b2 = 1, elipse com semi-eixosa eb.

E. 6 ⊲ Considere a função descrita por

F(t) =

∫ t

0

11+x2 dx+

∫ 1/t

0

11+x2 dx, x 6= 0.

Mostre queF(t) é uma constante para todot pertencente aos intervalos

(−∞, 0) e (0, +∞) e calcule estas constantes.

406

E. 7 ⊲ Em 1970 foram utilizados 20.3 bilhões de barris de petróleo em todo o

mundo e na hipótese que a demanda mundial de petróleo cresça exponenci-

almente a uma taxa de 9% ao ano, então a demandaγ(t) anual de petróleo

no tempot é γ(t) = 20.3e0.09t (t = 0 em 1970). Suponha que a demanda

anual continue a crescer nesta mesma taxa, estime qual será aquantidade

de petróleo consumida entre os anos 1970 e 2007.

E. 8 ⊲ Calcule a área total de uma região delimitada pela curvay = x cos(x

a

)e o

eixo x e sendox ∈ [0, (2k−1)π2

a] em quek ea ∈ N.

E. 9 ⊲ Uma partícula move-se ao longo do eixox e sua posição para todo instante

t é dada por

x(t) = π∫ t

0(1+sen(2π x))

(1+x2)dx.

Calcule sua velocidade e aceleração quandot = 1.

E. 10⊲ Consideref : R −→ R definida por

f (x) =

∫ x

1et√

t 2−1dt .

Mostre quef é estritamente crescente emR .

407


E. 1 ⊲ (a)−23

, (b)13

, (c)16

, (d) 0.

E. 3 ⊲ F(2) = 2.

E. 5 ⊲ (a) π a2 , (b) π ab.

E. 7 ⊲ 6076.093 barris de petróleo.

E. 9 ⊲ v =d xd t

= 2π, a =d vd t

= 2π (1+2π) .

408

29.5 Referências






409

30 Conceitos de Integral Definida -Aplicações

Meta: Nesta aula teremos a oportunidade de vivenciar aspectos adicionais do es-

tudo de integrais definidas.

Objetivos: Complementar o estudo de integral definida já destacado na Aula 29 e

abordar exemplos da Matemática, Física e outras ciências.

Pré-requisitos: Integrais de Funções.

30.1 Introdução

A Aula 29 teve como tema central o estudo prévio de integral definida. Suas con-

cepções básicas e alguns teoremas. A presente aula pretendeextender este estudo

analisando os conceitos essenciais de diversos cálculos que se tornariam imprati-

cáveis sem o uso desta ferramenta, dentre as quais destacamos o cálculo de com-

primento de arcos de curvas, volumes de superfície de revolução, entre outros. A

partir desta análise preliminar passamos a apresentar vários exemplos contextu-

alizando a parte conceitual introduzida. Ao mesmo tempo querealizamos estas

abordagens buscamos não prolongar a aula, uma vez que a mesmase faz como

parte complementar ao estudo do cálculo de integrais.

410

30.2 Cálculo de Comprimento de Arcos de Curvas

É sabido que a distância entre dois pontosP(x1, y1) eQ(x2, y2) no planoxyé dado

pela relação

d =

√(∆x)2 +(∆y)2 =

√(x2−x1)2 +(y2−y1)2 .

Mas aqui não estamos interessados, necessariamente, no cálculo da distância entre

dois pontos ao longo da reta os une, mas sim ao longo do arco da curva passa

por estes pontos. Para esta situação considere a Figura 30.2.1(a), em que uma

curvay = f (x) que passa pelos pontosP eQ. Pelo que acabamos de mencionar

o cálculo a que nos referimos é aquele que diz respeito ao arcoque vai do ponto

P ao pontoQ.

(a) (b)

∆x

∆y

y

x

P

Q y = f (x)

d Sd y

d x

∆x

∆y

y

x

P

Q y = f (x)

x1 x1 x2x2

Figura 30.2.1: (a) Representação esquemática de uma curvay = f (x) que passapelos pontosP eQ, (b) particionamento do arco de curva em arcos infinitésimosd S.

Relembrando nosso procedimento para o cálculo da região sobuma curvay= f (x)

vivenciado na Aula 29 então podemos pensar no mesmo tipo de raciocícinio e então

pensar em fazer ambos∆x e∆y tenderem a valores infinitésimos, ou seja,d xe d y.

Assim sendo o espaçamento visto na Figura 30.2.1(a) entre o segmento de retaPQ

e o segmento de arco⌢

PQ deverá ser desprezível a medida que façamos∆x → 0 e

∆y → 0. Com isto estamos querendo dizer que o comprimento de arco desejado

será cada vez mais preciso nestas condições. Assim, o comprimento de um arco

d Sé dado por (veja Figura 30.2.1(b))

d S=

√(d x)2 +(d y)2 =

√

1+

(d yd x

)2

d x.

411

Uma vez quey = f (x) entãod yd x

= f ′(x), e assim sendo teremos

d S=

√

1+

(d yd x

)2

d x=

√1+( f ′(x))2 d x.(30.2.1)

Logo, o comprimento do arcoSé dado por todas as contribuições da Eq. (30.2.1),

ou seja,

S=∫ x2

x1

√

1+

(d yd x

)2

dx=∫ x2

x1

√1+( f ′(x))2 dx.

Exemplo 30.2.1. Calcule o comprimento da curvay = f (x) = x2 no intervalo

[1, 2] .

Solução 30.2.1.f (x) = x2 e portantof ′(x) = 2x. Logo,

√

1+

(d yd x

)2

=

√1+(2x)2 =

√1+4x2 .

A substituição que faremos aqui éx =12

senhθ o que nos dá

d x=12

coshθ dθ , e

θ = arcsenh2x.

Lembrando que cosh2 θ −senh2θ = 1, encontramos

√1+4x2 ⇒

√1+senh2θ = coshθ .

Desta forma podemos escrever

∫ 2

1

√1+4x2 dx ⇒ 1

2

∫ θ2

θ1

cosh2θ dθ .

Ao mudar a variável de integração dex paraθ precisamos identificar os valores

assumidos por esta nova variável. Para este caso teremos

x = 1 ⇒ θ1 = arcsenh(2)

x = 2 ⇒ θ2 = arcsenh(4) .

Por outro lado,

cosh2θ =1+cosh2θ

2.

412

Assim, encontramos

S=12

∫ arcsenh(4)

arcsenh(2)cosh2θ dθ =

14

∫ arcsenh(4)

arcsenh(2)(1+cosh2θ)dθ

=θ4

+senh2θ

8

∣∣∣∣∣

arcsenh(4)

arcsenh(2)

=14

(θ +senhθ coshθ)

∣∣∣∣∣

arcsenh(4)

arcsenh(2)

.

Substituindo os valores encontramos

S=∫ 2

1

√1+4x2 dx=

√17− 1

2

√5+

14

(arcsenh(4)−arcsenh(2)) u.c. ,

em queu. c. significa unidades de comprimento. Usando uma calculadora cientí-

fica você, caro aluno, pode obter uma estimativa numérica para este comprimento,

ou seja,

S≃ 3.17u.c.

Exemplo 30.2.2.Calcule o comprimento do arco do lugar geométrico descrito pela

equação

x2 +y2 = a2 .

Solução 30.2.2.O lugar descrito pela equação acima é uma circunferência de raio

ae centro(0, 0). Já sabemos que tal equação não representa função no planoxy, en-

tão escolhamos o trecho da circunferência que se encontra noprimeiro quadrante,

ou seja,

y =+√

a2−x2 , parax ∈ [0, a] .

E disto encontramos

y′ = − x√a2−x2

,√

1+(y′)2 =a√

a2−x2.

Assim, estamos calculando apenas uma quarta parte do comprimento total da cir-

cunferência. PortantoS4

=∫ a

0

a√a2−x2

dx.

Esta última integral ainda pode ser reescrita assim

S4

=a∫ a

0

1√1− (x/a)2

d(x/a) = aarcsen(x/a)

∣∣∣∣a

0

=aarcsen(1)−aarcsen(0) =π2

a.

Com este resultado acima obtemos,

S= 4a2

π = 2π au.c.

413

30.3 Área Superficial e Volumes de Sólidos

Uma de tantas outras aplicações do cálculo de integrais estána obtenção de

área superficial e volume de objetos obtidos por revolução deuma função em torno

de um dado eixo. A Figura 30.3.1(a) ilustra bem este aspecto para uma função

f (x) definida no intervalo[a, b] e rotacionada em torno do eixox. Como resultado

deste giro obtemos a superfície de revolução esboçada na Figura 30.3.1(b). Nesta

situação cortamos a superfície construida em várias pequenas fatias∆Sdas quais

escolhemos aquela localizada entre os pontosxi−1 e xi delimitando um pequeno

cilindro (veja Figura 30.3.1(c)) de raio médio ¯r e área superficial∆A dada por

∆A = 2π r ∆S,

em que∆Sé o elemento de arco localizado entre os pontos(xi−1, f (xi−1)) e(xi , f (xi)).

Assim sendo, a área superficial lateral total do objeto é dadapor todas estas contri-

buições, ou seja,

A≃b

∑a

2π r ∆S=n−1

∑i=0

2πr i−1 + r i

2∆Si =

n−1

∑i=0

2πf (xi−1)+ f (xi)

2∆Si .

x

∆Sy

rk = f (xk)

(b)

a b

xi−1 xi

f (x)

y

(a)

a b x

giro

(c)

∆S

raio médio

Figura 30.3.1: (a) Representação esquemática da rotação deuma funçãof (x) emtorno do eixo horizontal. (b) Superfície de revolução obtida. (c) Porção da regiãocom destaque para a fatia de arco∆Sao longo da curvaf (x).

414

Perceba, caro aluno, que esta soma será tanto mais precisa quanto mais “fina”

forem as fatias. Isto é o mesmo que pensar em∆Si → 0 e o raio médio é substituido

por f (x) visto que neste limiter i−1 → r i e, portanto,

r i−1 + r i

2=

f (xi−1)+ f (xi)

2= f (xi−1) = f (xi),

permitindo que escrevamos

A =

∫ b

a2π f (x)

√1+( f ′(x))2 dx,

onde usamos o resultado obtido na Eq. (30.2.1). De modo similar quando realiza-

mos a revolução da função em torno do eixoy obtemos

A =

∫ b

a2π x

√1+( f ′(x))2 dx.

De modo similar a discussão anterior, o cálculo do volume do objeto assim cons-

truido é obtido realizando diversas somas de pequenas fatias de cilindros de altura

∆x = xi −xi−1 e raio médio ¯r. Denotemos por∆V cada elemento de volume deli-

mitado por um cilindro localizado entre[xi−1, xi ] então

∆V = π r 2 ∆x.

Portanto, o volume do sólido obtido por revolução é dado pelas contribuições de

∆V, ou seja,

V ≃b

∑a

π r 2 ∆x =n−1

∑i=0

π(

f (xi−1)+ f (xi)

2

)2

∆x.

Então, no caso em que∆x → 0, então teremos ¯r = f (x) e a soma acima pode ser

reescrita na forma

V = π∫ b

a[ f (x)]2 dx.

giro x

y

g(y)

c

d

Figura 30.3.2: Rotação de uma

funçãog(y) em torno do eixoy.

Nota 30.3.1. (i) Caso a curva tenha sido

rotacionada em torno do eixoy então

mostra-se que

V = π∫ d

c[g(y)]2 dy,

em quec e d é o intervalo onde a função

x = g(y) está definida, veja Figura 30.3.2.

(ii) Se f é negativa em algum conjunto de va-

lores de[a, b], o sólido de revolução ob-

415

tido na forma discutida acima coincide com aquele obtido pela rotação do

gráfico de| f |. De fato, uma vez que o integrando aparece sob a forma

( f (x))2, implica que vale a mesma expressão para ambos os casos.

Caro aluno, gostaria de brevemente discutir alguns pormenores não mencionados

anteriormente e que diz respeito ao tema. Como disse apresentamos apenas uma

parte da discussão que se fará presente na disciplina de Cálculo 2. Assim, outros

tantos métodos para o cálculo de áreas e volumes que foram aqui introduzidos.

Ainda assim tentaremos deixar a título de exercícios e discutir alguns exemplos

práticos que o deixará apto a calcular diversos outros exemplos.

Exemplo 30.3.1.A função f (x) =√

a2−x2 encontra-se definida para o intervalo

[−a, a] e é rotacionada em torno do eixox. Determine a área superficial e volume

do sólido construido desta forma.

Solução 30.3.1.O gráfico def (x) =√

a2−x2 representa o semi-círculo de uma

circunferência de raioa (Figura 30.3.3(a)). Ao girar este semi-círculo em torno do

eixox construimos uma esfera de raioa conforme esboçada na Figura 30.3.3(b). A

a−a −a ax

y

x

y √a2−x2

z

(a)

(b)

Figura 30.3.3: (a) Representação gráfica da funçãof (x) =√

a2−x2. (b) Esfera deraio a obtida pela rotação da funçãof (x).

área superficial da esfera é obtida fazendo o cálculo da integral

A =

∫ a

−a2π f (x)

√1+( f ′(x))2 dx.

Agora

f ′(x) = − x√a2−x2

, ⇒√

1+( f ′(x))2 =a√

a2−x2=

af (x)

.

Assim teremos

A =

∫ a

−a2π f (x)

√1+( f ′(x))2 dx=

∫ a

−a2π adx= 2π a

∫ a

−adx.

416

O integrando acima é uma função par e, portanto, podemos escrever

A =2π a∫ a

−adx= 2π a

(2∫ a

0dx

)

=4π ax

∣∣∣∣a

0= 4π a(a−0) = 4π a2 u.a.

Já o cálculo do volume da esfera construida é dada por

V =∫ a

−aπ ( f (x))2 dx= = π

∫ a

−a

(a2−x2)dx.

A função do integrando também é par e teremos

V =π(

2∫ a

0

(a2−x2)dx

)= 2π

(a2x− x3

3

)∣∣∣∣a

0

=2π(

a2 a− a3

3

)−2π

(a2 ·0− 03

3

)=

43

π a3 u.v. ,

em queu.v. significa unidades de volume. Perceba, caro aluno, que estesresultados

já eram esperados e reforça sua análise crítica ao efetuar algum cálculo averiguando

os seus resultados finais e comparando-os com aqueles já conhecidos.

Exemplo 30.3.2.A retay = x é rotacionada em torno do eixox parax ∈ [−1, 1].

Calcule a área superficial e volume do sólido obtido.

Figura 30.3.4: Gráfico da retay = x rotacionada em torno do eixox.

Solução 30.3.2.A Figura 30.3.4 mostra o sólido obtido pela revolução da retaem

torno do eixox. Trata-se de um cone de duas folhas e a área de sua superfície é

dada por

A =∫ 1

−12π f (x)

√1+( f ′(x))2 dx= 2π

∫ 1

−1x√

1+12 dx= 2π∫ 1

−1x√

2dx.

Uma pausa aqui se faz necessário e você, caro aluno, preste atenção para a discus-

são que se segue. A integral ∫ 1

−1x√

2dx,

417

tem integrando ímpar, assim esta contribuição para o cálculo da área da superfície

deve ser nula. Entretanto, lembre-se i) da discussão levantada na Nota 30.3.1 e

ii) que estamos calculando uma área superficial não nula, assim a integral acima

DEVE ser reescrita como

∫ 1

−1x√

2dx=

∣∣∣∣∫ 0

−1x√

2dx

∣∣∣∣+∫ 1

0x√

2dx.

Portanto,

A =2π∣∣∣∣∫ 0

−1x√

1+12 dx

∣∣∣∣+2π∫ 1

0x√

1+12 dx

=2π√

2

∣∣∣∣∣x2

2

∣∣∣∣0

−1

∣∣∣∣∣ + 2π√

2x2

2

∣∣∣∣1

0

=2π√

2

∣∣∣∣0−(−1)2

2

∣∣∣∣ + 2π√

2

((1)2

2−0

)= 2π

√2u.a.

Por outro lado, o cálculo do volume do cone em questão é dado por

V = 2

(π∫ 1

0[ f (x)]2 dx

).

Esta modificação serve para que evitemos a discussão acima e recordar que o vo-

lume da parte à direita do gráfico é o mesmo daquele localizadoà direita. Assim,

V = 2

(π∫ 1

0[ f (x)]2 dx

)= 2

(π∫ 1

0x2 dx

)=

2π3

x3

∣∣∣∣1

0.

Logo,

V =2π3

x3

∣∣∣∣1

0=

2π3

(1)3− 2π3

(0)3 =2π3

u.v.

Exemplo 30.3.3.A curvay = ex é definida no intervalox∈ [−2, 2] é rotacionada

em torno do eixox. Determine a área da superficial e o volume do sólido cons-

truido.

Solução 30.3.3.A Figura 30.3.5 mostra o sólido de revolução obtido quando da

rotação da curvay = ex em torno do eixox. Os cálculos para a área superficial e o

volume do sólido são dados, respectivamente, por

A =

∫ 2

−22π f (x)

√1+( f ′(x))2 dx= 2π

∫ 2

−2ex√

1+e2x dx,(30.3.1)

V =π∫ 2

−2[ f (x)]2 dx= π

∫ 2

−2e2x dx.(30.3.2)

Podemos resolver a integral (30.3.1) integral fazendo a substituição ex = senhu

e com isto ex dx= coshudu. Portanto, quandox = −2, u = arcsenh(e−2) e para

418

Figura 30.3.5: Gráfico da rotação da função ex em torno do eixox.

x = 2, u = arcsenh(e2) . A integral na nova variável pode ser reescrita como

A =2π∫ arcsenh(e2)

arcsenh(e−2)

√1+senh2u coshudu

=2π∫ arcsenh(e2)

arcsenh(e−2)cosh2udu= 2π

∫ arcsenh(e2)

arcsenh(e−2)

1+cosh2u2

du.

Tal integral já foi discutida no Exemplo 30.2.1 e podemos concluir que

A =2π∫ arcsenh(e2)

arcsenh(e−2)

(1+cosh2u

2

)du= 2π

(u2

+senh2u

4

)∣∣∣∣∣

arcsenh(e2)

arcsenh(e−2)

.

Substituindo os limites na integral obtida encontramos

A = π(

arcsenh(e2)−arcsenh(e2)+senh(2arcsenh(e2))−senh(2arcsenh(e2))

2

).

A integral para o volume limitado pelo sólido obtido por revolução é dado pela

Eq. (30.3.2)

V = π∫ 2

−2e2x dx=

π2

e2x

∣∣∣∣2

−2=

π2

(e4−e−4)= π senh(4)u.v.

Estimativas numéricas para a área superficial e o volume do sólido de revolução

gerado pela função ex em torno do eixox no intervalo[−2, 2] são, respectivamente,

A≃ 180.71u.a.

V ≃ 85.73u.v.

Exemplo 30.3.4.Uma placa é delimitada pelas curvasf (x) = x2 eg(x) =−x2+4

e tem tem massa totalmuniformemente distribuidade. Calcule a massa desta placa.

Solução 30.3.4.A relação entre massa e volume de um objeto plano é dado pela

relação

densidade=massaárea

.

419

-

6

x2

−x2 +4

y

x

�

dm= ρ dV

Figura 30.3.6: Gráfico da placa delimitada pelas curvasf (x) = x2 eg(x) =−x2+4.

Por outro lado, as curvas dadas são representadas na Figura 30.3.6 e a placa é a

região em cor cinza. Na figura destacamos um elemento de massadm= ρ dA de

tal modo que a massa da placa é obtida através da equação

m=∫ b

adm=

∫ b

aρ dA.

Os valores paraa e b são obtidos dos valores dex frutos da interseção entre as

curvas, ou seja,

x2 = −x2 +4 ⇒ x = ±√

2. Entãoa = −√

2 eb =√

2.

Por outro lado,

d A= (g(x)− f (x)) d x.

Logo,

m=

∫ √2

−√

2ρ dA=

∫ √2

−√

2ρ (g(x)− f (x)) dx.

Uma vez que a massa está uniformemente distribuida entãoρ é constante e pode-

mos escrever

m=∫ √

2

−√

2ρ (g(x)− f (x)) dx= ρ

∫ √2

−√

2

(−x2+4−x2)dx.

O integrando é uma função par e, portanto, facilita bastantenossos cálculos se

escrevermos

m= ρ∫ √

2

−√

2

(−2x2 +4

)dx= 2ρ

∫ √2

0

(−2x2 +4

)dx.

420

Arrumando a integral encontramos

m=4ρ∫ √

2

0

(−x2 +2

)dx= 4ρ

(−x3

3+2x

)∣∣∣∣

√2

0

=16

√2ρ

3u.m. ,

em queu.m significa unidade de massa.

421

30.4 Conclusão

Esta aula se propôs a dar complemento a Aula 29 abordando o cálculo de com-

primento de curvas, área superficial e volume de sólidos gerados por rotação de

curvas no planoxy. Entretanto, outras aplicações foram destacadas e algumasesta-

rão propostas nos exercícios que espero, caro aluno, você seincuba de resolvê-los.

30.5 Resumo

O cálculo do arco entre os pontosP(x1, y1) eQ(x2, y2) ao longo da curvay = f (x)

é dado por

S=∫ x2

x1

√

1+

(d yd x

)2

dx.

Se f gira em torno do eixox ou do eixoy então a área da superfície gerada é dada

por

A =

∫ b

a2π f (x)

√1+( f ′(x))2 dx rotação em torno dex

A =∫ b

a2π x

√1+( f ′(x))2 dx rotação em torno dey.

Já o volume do sólido de revolução é dado por

V = π∫ b

a [ f (x)]2 dx revolução em torno dex

V = π∫ d

c [g(y)]2 dy revolução em torno dey.

422

Exercícios


(a)∫ π

−πsenxcosx dx

(b)∫ π

−πcos2 x dx

(c)∫ π

0

√1+senh2x dx

(d)∫ 1

0

11+x2 dx.

E. 2 ⊲ O logaritmo natural dex, ln x, é definido pela integral

ln x =

∫ x

1

1z

dz.

Com base nesta informação mostre que:

(a) ln 1= 0

(b) ln x < 0 para 0< x < 1

(c) ln x > 0 parax > 1

(d) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que

dd x

(ln x) =1x

.

E. 3 ⊲ Uma curvaC é parametrizada se pode ser descrita sob a formaC= {(x(t), y(t))}paraa 6 t 6 b. Supondo quex′(t) e y′(t) são contínuas em[ab] então o

comprimento deC é dado por

S=∫ b

a

√(x′(t))2 +(y′(t))2 dt .

Calcule então o comprimento do arco da curvaC = {(et sent,et cost)} com

0 6 t 6 π.

E. 4 ⊲ A elipsex2

a2 +y2

b2 = 1

é rotacionada em torno do eixox. Calcule a área da superfície e o volume

do sólido gerado.

E. 5 ⊲ Para uma pequena esfera de raior que rola (sem deslizamento e em ausência

de forças dissipativas) ao longo de uma rampa com ângulo de inclinaçãoφ

pode-se mostrar que

mgh=mv2

2+

Iω 2

2,

em queI representa o momento de inércia da esfera eω a velocidade de

rotação em torno do eixo do centro de massa da esfera.

423

φ

h

(a) Mostre que a velocidade ao longo do plano é dada por

v2 =2g

1+I

mr2

y.

(b) Mostre que a velocidade vertical,d yd t

é dada por

d yd t

= vsenφ .

(c) Destes dois resultados obtenha

y−1/2 dy= cdt,

em quec =

√√√√2g

1+I

mr2

.

(d) Use este último resultado para calcular o tempo com que a esfera

chega a base da rampa.

E. 6 ⊲ Se f (x) delimita uma região no planoxy entre as retasx = a e x = b a área

sob esta curva é dada por ∫ b

af (x)dx.

Então o que representa

∫ t

af (x)dx, paraa < t < b ?

E. 7 ⊲ A curva C =(2t 2, t 3

)com 06 t 6 1 é rotacionada em torno do eixoy.

Determine a área da superfície de revolução.

E. 8 ⊲ Mostre que se uma função é definida e integrável em um intervalo [a, b]

então ∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣6∫ b

a| f (x) |dx.

E. 9 ⊲ Determine a área da região entre os gráficos das funçõesf (x) = senx e

g(x) = cosx comx∈ [0, π].

424

E. 10⊲ Uma região é limitada pelas curvasy = senx, y = 0, x = 0 ex = π. Deter-

mine o volume gerado quando giramos esta curva em torno do eixo i) x, e

ii) y.

425


E. 1 ⊲ (a) 0, (b)π, (c) senh(π), (d) 0, (e)π/4.

E. 3 ⊲√

2(eπ −1) u.c.

E. 5 ⊲ t =2√

h√√√√2g

1+I

mr2

senφ.

E. 7 ⊲56921215

π u.a.

E. 9 ⊲ 2√

2u.a.

426

30.6 Referências






Calculo I Em Revisao

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