Extra Slides de Calculo I

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica

Aproximacao Por Funcoes Polinomiais

(Polinomios de Taylor)

Wiliam Geraldo Moreira dos Santos

Belo Horizonte, Julho de 2006

iEm tudo isto ha a mao de Deus.

ii

A` Deus, por iluminar-me sempre,

a Jose e Geralda, meus pais,

aos meus irmaos,

a` Fernanda,

aos meus amigos.

De forma especial

Ao Professor Alberto Sarmiento,

o Grande Mestre!

iii

Sumario

1 Conceitos Fundamentais 21.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funcoes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Funcoes Derivaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Pontos Crticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Alguns Teoremas da Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Teorema do Valor Medio de Cauchy . . . . . . . . . . . . 101.4.4 Regra de LHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 A integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 O Conceito de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . 15

2 Aproximacao Por Funcoes Polinomiais 182.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Teorema de Taylor com Resto Integral . . . . . . . . . . . 302.3.2 Teorema de Taylor com Resto Cauchy . . . . . . . . . . . 312.3.3 Teorema de Taylor com Resto Lagrange . . . . . . . . . . 32

2.4 Outros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Aplicacoes 383.1 Criterios de Maximo e Mnimo Locais para Pontos Crticos De-

generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 ee irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Referencias Bibliograficas 44

SUMARIO 1

INTRODUCAO

Esta monografia trata do estudo de aproximacoes de funcoes por polinomios.Vamos mostrar que muitas funcoes podem ser aproximadas por polinomios eque os polinomios, em vez da funcao original, podem ser usados para calculos,quando a diferenca entre o valor da funcao em um ponto e o da aproximacaopolinomial for suficientemente pequena. Existem varios metodos para aproxi-mar uma funcao dada por polinomios. Um dos mais usados, e tambem o queutilizamos neste trabalho e o que envolve a Formula de Taylor, assim chamadaem homenagem ao seu criador, o ingles Brook Taylor (1685-1731).

No primeiro captulo trataremos de conceitos fundamentais do Calculo. Es-tes conceitos nos fornecerao uma base para melhor entendimento dos captulosseguintes. Falaremos de funcoes contnuas, funcoes derivaveis, onde interpre-tamos geometricamente a derivada de uma funcao e faremos ainda um estudosobre pontos crticos. A seguir mostraremos alguns teoremas da Analise, como oTeorema de Rolle, Teorema do Valor Medio, Teorema do Valor Medio de Cauchye ainda a Regra de LHopital. No fim deste captulo trataremos do conceito deIntegral, onde apresentamos o Teorema Fundamental do Calculo.

No segundo captulo, iniciamos nosso estudo sobre aproximacao de funcoes.Iniciamos apresentando o Polinomio de Taylor centrado em um certo ponto edamos exemplos de Polinomios de Taylor para algumas funcoes. Veremos algunsteoremas sobre aproximacao de funcoes onde trataremos da diferenca entre o va-lor de uma funcao e seu respectivo Polinomio de Taylor. A esta diferenca damoso nome de Resto. Mostramos este resto de tres formas diferentes: atraves doTeorema de Taylor com Resto Integral, Teorema de Taylor com Resto Cauchye Teorema de Taylor com Resto Lagrange. Finalizamos este captulo com maisexemplos onde tambem calculamos o valor numerico de certas funcoes em umponto, com uma determinada precisao.

No ultimo captulo, denominado Aplicacoes, estabelecemos criterios paradecidir se um determinado ponto crtico e maximo ou mnimo local, ou aindaponto de inflexao. Este estudo e feito a partir de um teorema sobre os Po-linomios de Taylor. Enfim, conclumos mostrando que o numero ee irracional.

2Captulo 1

Conceitos Fundamentais

1.1 Introducao

Iniciamos nosso trabalho com alguns conceitos fundamentais do Calculo Di-ferencial e Integral. Continuidade de uma certa funcao, funcoes derivaveis,integral e ainda Teoremas da Analise e o que veremos a seguir. E importantefrisar que este captulo e de suma importancia para um melhor entendimentodos captulos seguintes.

1.2 Funcoes Contnuas

Intuitivamente, uma funcao f e contnua se seu grafico nao contem inter-rupcoes, saltos ou ocasioes indefinidas. Mas, pensando desta maneira, podere-mos nos equivocar e dizer que uma certa funcao e contnua, quando, porem, naoe. Assim definiremos funcao contnua da seguinte maneira:

Definicao 1. Uma funcao f : D R e contnua no ponto a selimxa f(x) = f(a)

Definicao 2. Dizemos que um determinado conjunto A, de numeros reais, elimitado superiormente se existe um numero x tal que

x a a de A.Um numero x com esta propriedade e uma cota superior de A.

Definicao 3. Dizemos que um numero x e uma cota superior mnima de A se(1) x e cota superior de A, e(2) se y e uma cota superior de A, entao x y.

Uma vez dada a definicao precisa, vemos que se x e y sao ambos cotassuperiores mnimas de A, entao x = y. Neste caso:

CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3

x y, visto que y e uma cota superior, e x e uma cota superior mnima e,y x, visto que x e uma cota superior, e y e uma cota superior mnima;segue que x = y. Por isto falamos da cota superior mnima de A que chamaremosdaqui em diante de supremo e sua notacao e

sup A

Definicao 4. Um conjunto A de numeros reais esta limitado inferiormente seexiste um numero x tal que

x a a de A.Assim, um numero x recebe o nome de cota inferior de A.

Definicao 5. Um numero x e a cota inferior maxima de A se(1) x e uma cota superior de A e,(2) se y e uma cota superior de A, entao x y.

A cota inferior maxima de A e tambem chamada de nfimo de A e suanotacao e

inf A

Teorema 1. Se f e contnua em a, entao existe um numero > 0 tal que festa limitada superiormente no intervalo (a , a+ )

FIGURA1

Prova: Como f e contnua, entao limxa f(x) = f(a), existe, para todo > 0,

um > 0 tal que, para todo x, se |x a| < , entao |f(x) f(a)| < .


Escolhendo = 1, deduzimos que existe um > 0 tal que, para todo x, se|x a| < , entao |f(x) f(a)| < 1.Segue que se |x a| < , entao f(x) f(a) < 1.Entao, no intervalo (a , a + ), a funcao f esta limitada superiormente porf(a) + 1.

Teorema 2. Se f e contnua no intervalo [a, b], entao existe um numero y nointervalo [a, b] tal que f(y) f(x) para todo x de [a, b].

Prova:Sabemos que f esta limitada no intervalo [a, b], o que significa que o conjunto

{f(x) : x [a, b]}

esta limitado. Evidentemente este conjunto nao e vazio, de modo que se tenhauma cota superior mnima . Visto que f(x) para todo x [a, b], bastademonstrar que = f(y) para algum y no intervalo [a, b].

Faremos uma contradicao e supondo que 6= f(y) para todo y de [a, b],entao a funcao g definida por

g(x) =1

f(x) , x [a, b]

e contnua no intervalo [a, b], visto que o denominador do segundo membro naoe nunca 0. Por outro lado, e a cota superior mnima de {f(x) : x [a, b]};isto significa que

para todo > 0 existe um x no intervalo [a, b] com f(x) < .

Isto significa, por sua vez que

para todo > 0 existe um x no intervalo [a, b] com g(x) >1.

Mas, isto e uma contradicao, pois g(x) nao esta limitada no intervalo [a, b].

1.3 Funcoes Derivaveis

O conceito de derivada e o conceito fundamental no calculo, pois fornece oinstrumento mais poderoso para o estudo do comportamento de funcoes reais.Sua formulacao foi feita independentemente por Newton e Leibniz no seculoXVII e, podemos dizer, de uma forma mais simples, que o conceito de derivadanasceu da necessidade de se quantificar a variacao de uma funcao, ou seja, aforma como a funcao varia.


Se uma funcao e contnua, entao pequenas variacoes da variavel x geram pe-quenas variacoes dos valores da funcao mas, ate comparando funcoes contnuasbastante simples, podemos ver que uma mesma pequena variacao de x podegerar variacoes muito diferentes dos valores das funcoes. O conceito de derivadanos permite quantificar essas diferencas de variacoes, sendo, portanto, um in-strumento muito importante para o estudo do comportamento de funcoes reais.

Definicao 6. Dizemos que uma funcao f : R R e derivavel (ou diferenciavel)num ponto x0 de seu domnio, se f esta definida em algum intervalo abertocontendo x0 e existe o limite abaixo:

limxx0

f(x) f(x0)x x0

Neste caso, esse limite sera chamado a derivada de f no ponto x0.Se f e uma funcao derivavel em x0, a derivada de f no ponto x0 e denotada porf (x0), isto e,

f (x0) = limxx0

f(x) f(x0)x x0 .

1.3.1 Interpretacao Geometrica

Seja f : R R uma funcao diferenciavel no ponto x0, isto e,

limxx0

f(x) f(x0)x x0 = f

(x).

Fixando x1 > x0, o quocientef(x1) f(x0)

x1 x0 e o coeficiente angular da retaque passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), logo esta reta e secante aografico de f . (ver figura 1)

Se fixamos x0 < x2 < x1, novamentef(x1) f(x0)

x1 x0 e o coeficiente angularda reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)).

Assim, vemos que f (x0) e o limite dos coeficientes angulares das retas se-cantes que passam por (x0, f(x0)) quando x tende a x0. Como este limiteexiste, representa o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f noponto (x0, f(x0)).

Definicao 7. Se uma funcao f : D R e derivavel em todos os pontos de seudomnio D, dizemos simplesmente que f e derivavel e a funcao f : D R quea cada numero x D associa o numero f (x) e chamada a primeira derivadade f ou funcao derivada de f . Logo, se a funcao f for diferenciavel, denotamos


Figura2

a derivada (f ) = f : D R, que e chamada de segunda derivada de f .Caso f for diferenciavel, denotaremos a derivada (f ) = f : D R. Assimsucessivamente podemos falar de uma funcao k-vezes diferenciavel onde a k-esima derivada denotamos por f (k) : D R

1.3.2 Pontos Crticos

A partir de certas informacoes sobre a derivada podemos obter informacoessobre o comportamento de uma funcao. Mais especificamente, podemos deter-minar os intervalos onde a funcao e crescente e aqueles onde ela e decrescente,encontrando os pontos onde a funcao muda de comportamento (de crescentepara decrescente ou vice-versa).

Se f : (a, b) R, tal que f nao e constante, nem crescente e nem decre-scente em (a, b), dizemos que f apresenta mudanca de comportamento quantoao crescimento em (a, b). Assim, no estudo de uma funcao f , mostraremos osintervalos de seu domnio onde nao ha mudancas de comportamento quanto aocrescimento ou decrescimento e qual e o unico comportamento de f em cadaum desses intervalos.

Comecemos por analisar algumas situacoes onde ocorrem mudancas de com-portamento de uma funcao quanto ao crescimento, buscando caracterizar pontosde seu domnio que indiquem a possibilidade de ocorrencia dessas mudancas.


Por exemplo, a situacao em que um numero x0 pertence a um intervalo (a, b) dodomnio de f , e tal que f e crescente em (a, x0] e decrescente em [x0, b). Nestecaso teremos f(x) f(x0) para qualquer valor de x (a, b), ou seja, f(x0) e omaior valor que f assume no intervalo (a, b). Da definirmos:

Definicao 8. Dizemos que x0 e um ponto de maximo local de f : (a, b) R,se existe um intervalo aberto (c,d) contido no domnio de f tal que x0 (c, d)e f(x) f(x0), qualquer que seja x (a, b). O numero f(x0) e chamado valormaximo local de f.

Definicao 9. Dizemos que x0 e um ponto de mnimo local de f : (a, b) R,se existe um intervalo aberto (c,d) contido no domnio de f tal que x0 (c, d)e f(x0) f(x), qualquer que seja x (a, b). O numero f(x0) e chamado valormnimo local de f.

Com essa definicao temos que se x0 (a, b) e f e decrescente em (a, x0] ecrecente no intervalo [x0, b), entao x0 e um ponto de mnimo local de f .

Teorema 3. Seja f : (a, b) R derivavel em cada ponto do intervalo (a,b). Sex e um maximo local (ou um mnimo local) para f em (a,b) e f e derivavel emx, entao f (x) = 0.

Figura3

Prova: Consideremos o caso em que f tem um maximo local em x.

Observe que as retas secantes tracadas a` esquerda de (x, f(x)) tem inclinacao 0 e as secantes tracadas por pontos a direita de (x, f(x)) tem inclinacao 0.Se h e um numero qualquer tal que (x+ h) esta em (a, b), entao

f(x) f(x+ h)

Logo,f(x+ h) f(x) 0


Se h > 0 podemos escrever

f(x+ h) f(x)h

0

e, em consequencia disto

limh0+

f(x+ h) f(x)h

0.

Se h < 0 teremosf(x+ h) f(x)

h 0

de modo que

limh0

f(x+ h) f(x)h

0.

Como, por hipotese, f e derivavel em x, entao estes dois limites devem seriguais e iguais a f (x), ou seja, f (x) 0 e f (x) 0.

Logo,

f (x) = 0

e

f (x) = limh0

f(x+ h) f(x)h

.

O caso em que f tem um mnimo local em x0 e analogo.

Definicao 10. Seja f : [a, b] R uma funcao diferenciavel. Chamamos pontocrtico de uma funcao f a todo numero x (a, b) tal que

f (x) = 0.

1.4 Alguns Teoremas da Analise

1.4.1 Teorema de Rolle

Teorema 4. Se f : [a, b] R e uma funcao contnua em [a,b] e derivavel em(a,b), e f(a) = f(b), entao existe um numero x em (a,b) tal que f (x) = 0.

Prova: Observe as figuras 4.1, 4.2 e 4.3.

1. Vamos supor, em primeiro lugar, que os valores de maximo e mnimolocais sejam iguais, ou seja, f e constante.


Figura4.1Figura4.2Figura4.3

Como f(a)=f(b), se os valores maximos e mnimo de f sao iguais, entao f euma funcao constante, e para uma funcao constante podemos escolher qualquerx de (a, b). Se f(x)=c, entao f (x)=0.

2. Supondo, agora, que o valor maximo se apresenta num ponto de x per-tencente a (a, b):Entao, segundo o teorema anterior, f (x)=0.

3. Supondo agora que o valor mnimo esta num ponto x pertencente a (a, b):Entao, segundo o teorema anterior, f (x)=0.

1.4.2 Teorema do Valor Medio

Teorema 5. Se f : (a, b) R e uma funcao contnua em [a,b] e derivavel em(a,b), entao existe um numero x em (a,b) tal que

f (x) =f(b) f(a)

b a

Prova:

Seja h(x) = f(x)[f(b) f(a)

b a](x a).

Por hipotese, f e contnua em [a, b] e derivavel em (a, b), entao h tambem e.Assim,

h(a) = f(a)[f(b) f(a)

b a](a a) = f(a)

[f(b) f(a)

b a](0) = f(a)

h(b) = f(b)[f(b) f(a)

b a](b a) = f(b) f(b) + f(a) = f(a)

Como h(a) = h(b) = f(a), podemos aplicar o Teorema de Rolle e deduzirque existe algum x em (a, b) tal que

0 = h(x) = f (x) f(b) f(a)b a


Entao

0 = f (x) f(b) f(a)b a

Logo,

f (x) =f(b) f(a)

b a .

1.4.3 Teorema do Valor Medio de Cauchy

Teorema 6. Se f : (a, b) R e g : (a, b) R sao funcoes contnuas em [a,b]e derivaveis em (a,b), entao existe um numero x em (a,b) tal que

[f(b) f(a)]g(x) = [g(b) g(a)]f (x)Prova: Seja

h(x) = f(x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)]Como f e g sao contnuas em [a, b] e derivaveis em (a, b), entao h tambem econtnua em [a, b] e derivavel em (a, b) e,h(a) = f(a)[g(b) g(a)] g(a)[f(a) f(a)]

h(a) = f(a)g(b) f(a)g(a) g(a)f(b) + g(a)f(a)

h(a) = f(a)g(b) g(a)f(b)

e tambem

h(b) = f(b)[g(b) g(a)] g(b)[f(b) f(a)]

h(b) = f(b)g(b) f(b)g(a) g(b)g(a) g(b)f(b) + g(b)f(a)

h(b) = g(b)f(a) f(b)g(a)

Logo, h(a) = h(b). Do Teorema de Rolle, segue que h(x) = 0 para algum xpertencente a (a, b). Entao:

h(x) = f (x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)] = 0

f (x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)] = 0

f (x)[g(b) g(a)] = g(x)[f(b) f(a)]


Logo,

f (x)g(x)

=f(b) f(a)g(b) g(a)

Se g(b) 6= g(a) e g(x) 6= 0.

OBS: Se g(b) 6= g(a) e g(x) 6= 0, podemos escrever a equacao acima daseguinte forma:

f(b) f(a)g(b) g(a) =

f (x)g(x)

Se g(x) = x, x, entao g(x) = 1 e obteremos o Teorema do Valor Medio:

f (x) =f(b) f(a)g(b) g(a)

Aplicando-se o Teorema do Valor Medio a f e a g separadamente encontra-remos x e y em (a, b) com

f(b) f(a)g(b) g(a) =

f (x)g(y)

;

f (x) =f(b) f(a)

b a e g(y) =

g(b) g(a)b a

Dividindo f (x) por g(x) teremos:

f (x)g(y)

=

f(b) f(a)b a

g(b) g(a)b a

Porem, nada nos garante que x e y escolhidos sejam iguais.

1.4.4 Regra de LHopital

Teorema 7. Supondo que limxa f(x) = 0 e limxa g(x) = 0, e supondo tambem que

existe limxa

f (x)g(x)

, entao existe limxa

f(x)g(x)

, e limxa

f(x)g(x)

= limxa

f (x)g(x)

.


Prova:

A hipotese de que limxa

f (x)g(x)

existe contem implicitamente duas suposicoes:

1. Existe um intervalo (a , a + ) tal que f (x) e g(x) existem em todo xpertencente a (a , a+ ) exceto possivelmente para x = a;2. Neste intervalo g(x) 6= 0 com a possvel excecao de x = a.

Por outro lado, nao se supoe que f e g estejam definidas em a. Se definimosf(a) = g(a) = 0 entao f e g sao contnuas em a.Se a < x < a+ , entao o Teorema do Valor Medio e o Teorema do Valor Mediode Cauchy sao aplicaveis a f e g no intervalo [a, x] (igualmente valido paraa < x < a). Aplicando primeiro o Teorema do Valor Medio em g, vemos queg(x) 6= 0, pois se fosse g(x) = 0 entao existiria algum x1 no intervalo (a, x) comg(x) = 0, contradizendo (2). Aplicando o Teorema do Valor Medio de Cauchya f e a g, vemos que existe um numero x no intervalo (a, x) tal que

[f(x) 0]g(x) = [g(x) 0]f (x)

ouf(x)g(x)

=f (x)g(x)

.

x aproxima-se de a quando x se aproxima de a, visto que x esta no intervalo

(a, x). Da existencia de limya

f (y)g(y)

, segue que

limxa

f(x)g(x)

= limxa

f (x)g(x)

= limya

f (y)g(y)

.

1.5 A integral

1.5.1 O Conceito de integral

Se a e b sao numeros reais com a < b, uma particao P para o intervalo [a, b]e um conjunto finito de pontos do intervalo, P = {t0, t1, t2, ..., tk}, satisfazendo

t0 = a < t1 < t2, ..., tk1, b = tk

Logo, se [a, b] e um intervalo contido no domnio de uma funcao f , P ={t0, t1, t2, ..., tk} e uma particao contida em [a, b].Definicao 11. O tamanho de uma particao P, denotado por |P |, e o com-primento do maior subintervalo determinado por dois numeros consecutivos daparticao, isto e, intervalos da forma [ti1, ti], ou seja,|P | = max{(t1 t0), (t2 t1), ..., (ti ti1), ..., (tk tk1)}.


Com esta definicao, o comprimento de qualquer subintervalo [ti1, ti] e sem-pre menor ou igual ao tamanho da particao, isto e,

|ti1, ti| |P |, para 1 i k.

Definicao 12. Suponha que f : [a, b] R e limitada no intervalo [a, b] eP = {t0, t1, ..., tn1, tn} e uma particao de [a, b]. Seja

mi = inf{f(x) : ti1 x ti},

Mi = sup{f(x) : ti1 x ti}.A soma inferior de f para P , designada por L(f, P ), e definida por:

L(f(x), P ) =ni=1

mi(ti ti1).

A soma superior de f para P , designada por U(f, P ), e definida por:

U(f(x), P ) =ni=1

Mi(ti ti1).

Se P e uma particao qualquer, entao

L(f(x), P ) U(f(x), P ),

pois,

L(f(x), P ) =ni=1

mi(ti ti1),

U(f(x), P ) =ni=1

Mi(ti ti1),

e, para cada i teremos

mi(ti ti1) Mi(ti ti1).

Definicao 13. Suponha que f : [a, b] R e limitada no intervalo [a, b].

Chamamos de Integral Superior e denotamos por ba

f(x)dx = inf {U(f(x),P): P e uma particao de [a,b]}.

Chamamos de Integral Inferior e denotamos por ba

f(x)dx = sup {L(f(x),P): P e uma particao de [a,b]}.


Definicao 14. Uma funcao f : [a, b] R limitada no intervalo [a, b] e in-tegravel em [a, b] se

ba

f(x)dx = ba

f(x)dx.

Neste caso, o numero I, comum a ambos, recebe o nome de integral de f ee escrito da seguinte maneira:

I = ba

f(x)dx.

Se f(x) 0, a integral ba

f(x)dx e a area da regiao abaixo do grafico de f

entre a e b e acima do eixo x.

Entao, se f e integravel,

L(f(x), P ) ba

f(x)dx U(f(x), P )

para todas as particoes P do intervalo [a, b].

Teorema 8. Suponha que f : [a, b] R seja integravel em [a, b] e que m f(x) M para todo x de [a, b]. Entao

m(b a) ba

f(x)dx M(b a).

Prova:Seja b

a

f(x)dx = sup{L(f, P )} = inf{U(f, P )}.


Entao, percebemos que

m(b a) L(f, P ) e U(f, P ) M(b a)para toda particao P do intervalo.

1.5.2 Teorema Fundamental do Calculo

Teorema 9. Primeiro Teorema Fundamental do CalculoSeja f : [a, b] R uma funcao integravel sobre o intervalo [a, b] e F (x) = xaf(t)dt.

Se f e contnua em c, onde c esta contido no intervalo [a, b], entao F e derivavelem c e

F (c) = f(c).

Prova:Como c esta contido no intervalo [a, b], teremos, por definicao,

F (c) = limh0

F (c+ h) F (c)h

.

Supondo primeiro que h > 0, entao

F (c+ h) F (c) = c+hc

f(t)dt.

Sejam:mh = inf{f(x) : c x c+ h},Mh = sup{f(x) : c x c+ h}.

Do teorema anterior segue que

mh.h c+hc

f(t)dt Mh.h.

Logo,

mh F (c+ h) F (c)h

Mh.Se h 0, teremos:

mh = inf{f(x) : c+ h x c},

Mh = sup{f(x) : c+ h x c}.Entao,

mh.(h) c+hc

f(t)dt Mh.(h)


Figura6

mh.h c+hc

f(t)dt Mh.h

Como h 0 obteremos o mesmo resultado para h > 0, que e

mh F (c+ h) F (c)h

Mh.

Esta igualdade se faz para qualquer funcao integravel. Como f e contnua emc, teremos

limh0

mn = limh0

Mn = f(c),

e isto significa que

F (c) = limh0

F (c+ h) F (c)h

= f(c)

Definicao 15. Se f e g sao funcoes tais que f e a derivada de g, isto e,g(x) = f(x), dizemos que a funcao g e uma primitiva para f .

Teorema 10. Segundo Teorema Fundamental do CalculoSe f : (a, b) R e integravel sobre [a, b] e f = g para alguma funcao g, entao b

a

f(t)dt = g(b) g(a).


Prova:Seja P = {t0, t1, ..., tn1, tn} uma particao qualquer de [a, b]. Pelo teorema

do valor medio, existe um ponto xi em [ti1, ti] tal que

g(ti) g(ti1) = g(xi)(ti ti1)g(ti) g(ti1) = f(xi)(ti ti1).

Semi = inf{f(x) : ti1 x ti},Mi = sup{f(x) : ti1 x ti},

Entaomi(ti ti1) f(xi)(ti ti1) Mi(ti ti1),

e o mesmo que

mi(ti ti1) g(xi) g(ti1) Mi(ti ti1).

Somando estas equacoes para i = 1, ..., n obteremos,

ni=1

mi(ti ti1) g(b) g(a) ni=1

Mi(ti ti1)

de maneira que

L(f, P ) g(b) g(a) U(f, P )para toda particao de P . Porem, isto sigfica que

g(b) g(a) = ba

f(t)dt.

18

Captulo 2

Aproximacao Por FuncoesPolinomiais

2.1 Introducao

Um polinomio p de grau n N, com coeficientes reais na variavel x e dadopor

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn

onde os coeficintes ai R i = 0, 1, 2, 3, ..., n.

Como efetuando apenas as operaracoes de adicao e multiplicacao podemossempre calcular o valor de p em x, entao p como funcao real esta definidapara todo x R. No Calculo, as funcoes polinomiais sao consideradas as maissimples. Ja as funcoes logartmo, seno, cosseno, exponencial, etc., nao tem talsimplicidade.

Dada uma funcao qualquer, f : R R, faremos aqui uma aproximacao destapor polinomios, de modo que possamos usar valores dos polinomios ao inves dosvalores de tais funcoes, cometendo com isto um erro tao pequeno quanto quei-ramos.

2.2 Polinomio de Taylor

Dizemos que um polinomio esta na forma (x a) ou que esta centrado emx = a se for da forma:

p(x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + ...+ an(x a)n

Neste caso, temos que p(a) = a0; derivando p sucessivamente temos que:

CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 19

p(x) = a1 + 2a2(x a) + 3a3(x a)2 + ...+ nan(x a)n1

p(a) = p(1)(a) = a1 = a1 = p(1)(a)1!

;

p(x) = 2a2 + 3.2a3(x a) + ...+ n(n 1)an(n a)n2

p(a) = p(2)(a) = 2a2 = a2 = p(2)(a)2!

Assim pode-se mostrar por inducao que

p(k)(x) = k!ak + ...+ (n a)x(nk)

p(k)(x) = k!ak + ...+ n(n 1) + ...+ [n (k 1)].an(x a)nk

p(k)(x) =nj=k

j!(j k)!aj(x a)

jk

Entao

p(k)(a) = k!ak = ak = p(k)(a)k!

. (2.1)

Definicao 16. Dada f : R R uma funcao que tenha derivadas ate ordem nno ponto x = a, associamos a f o polinomio Pn,a(x) de grau n dado por

Pn,a(x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + ...+ an(x a)n,

onde os coeficientes ak =f (k)(a)k!

, k = 0, 1, 2, 3, ..., n. Logo,

Pn,a(x) = f(a)+f (1)(a)(xa)+ f(2)(a)2!

(xa)2+ ...+ f(n)(a)n!

(xa)n. (2.2)

O polinomio Pn,a(x) recebe o nome de Polinomio de Taylor de grau npara f centrado em a.


Escrevendo com a notacao de somatorio, temos que

P(n,a)(x) =n

k=0

f (k)(a)k!

(x a)k

Em particular, se a = 0, o Polinomio de Taylor de grau n para f , centradoem x = 0 e:

p(x) = P(n,0)(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn.

Exemplo 1. Dada a funcao f(x) = sen(x), encontrar o Polinomio de Taylorde f de grau (2n+ 1) centrado em a = 0.Como a funcao sen(x) e infinitamente diferenciavel, entao

sen(0) = 0sen(1)(0) = cos(0) = 1sen(2)(0) = sen(0) = 0sen(3)(0) = cos(0) = 1sen(4)(0) = sen(0) = 0

Daqui em diante as derivadas se repetem em ciclo de 4.Logo os numeros

ak =sen(k)(0)

k!sao da forma:

ak =

1, se k=3,7,11...;0, se k for par;1, se k=1,5,9....Logo

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 13! , a4 = 0, a5 =15!, a6 = 0, a7 = 17! , ...

Entao, o Polinomio de Taylor P2n+1,0 para a funcao sen(x) centrado ema = 0 e

P2n+1,0 = 0+1.(x0)+0. (x 0)2

2!1. (x 0)

3

3!+0.

(x 4)44!

+1.(x 0)5

5!+

0.(x 0)6

6! 1. (x 0)

7

7!+ ...+ (1)n.

[x2n+1

(2n+ 1)!

].

Entao teremos,

P2n+1,0(x) = x x3

3!+x5

5! x

7

7!+ ...+ (1)n.

[x2n+1

2n+ 1!

].


Exemplo 2. Dada a funcao h(x) = ex, encontrar o Polinomio de Taylor de hde grau n centrado em a = 0.h(0) = h(1)(0) = ... = h(n)(0) = 1

Entao,a0 = a1 = a2 = ... = an = 1

Logo, o Polinomio de Taylor Pn,0 para a funcao ex no ponto a = 0 e:

Pn,0(x) = 1 + x+ 1.(x 0)2

2!+ 1.

(x 0)33!

+ 1.(x 0)4

4!+ ...+ 1.

(x 0)nn!

Pn,0(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ ...+

xn

n!.

Consideremos para a funcao h(x) = ex os Polinomios de Taylor de grau 1 e2, que sao:

P1,0(x) = 1 + x e P2,0(x) = 1 + x+x2

2.

3

2

1

0

-1x

210-1-2

y

4

Exponencial

Polinomio Grau 1

Polinomio Grau 2

Notemos que numa pequena vizinhanca centrada em x = 0, a medida queo grau do Polinomio de Taylor aumenta, o grafico respectivo fica mais proximodo grafico de h(x).(veja figura anterior).


Analiticamente, verificaremos que P2,0(x) esta mais mais proximo de h(x)do que P1,0(x), ou seja, a ordem de convergencia e mais proxima se a ordem deproximidade for maior.

Para isto calculamos os seguintes limites:

1. limx0

f(x) P1,0(x)x 0 = limx0

ex 1 xx

=00.

Aplicando a Regra de LHopital, teremos

limx0

h(x) P1,0(x)x

= 0. (2.3)

2. limx0

f(x) P2,0(x)(x 0)2 = limx0

ex 1 x x2

2x2

=00.

Aplicando a Regra de LHopital 2 vezes temos que

limx0

h(x) P2,0(x)x2

= 0 (2.4)

O primeiro limite (2.3) nos diz que a diferenca h(x) e P1,0(x) tende a zeromais rapido que a funcao linear x.

O segundo limite (2.4) nos diz que a diferenca de h(x) e P2,0(x) tende a zeroainda mais rapido que uma funcao quadratica x2.

E isto que o Teorema a seguir mostra para uma funcao qualquer.

Teorema 11. Seja f : R R uma funcao n-vezes diferenciavel no ponto x = a.Entao,

limxa

f(x) Pn,a(x)(x a)n = 0.

Prova:Consideremos o Polinomio de Taylor de f de grau n centrado em x = a:

Pn,a(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ f(n1)(a)(n 1)! (x a)

n1 +fn(a)n!

(x a)n

Separando o ultimo termo do polinomio temos que:


Pn,a(x) =n1k=0

f (k)(a)k!

(x a)k + fn(a)(x a)n

n!.

Entao,

f(x) Pn,a(x)(x a)n =

f(x)n1k=0

f (k)(x a)kk!

f(n)(a)(x a)n

n!

(x a)n .

f(x) Pn,a(x)(x a)n =

f(x)n1k=0

f (k)(a)(x a)kk!

(x a)n f (n)(a)n!

.

Chamemos de g(x) =n1k=0

f (k)(a)(x a)kk!

e h(x) = (x a)n.

Devemos mostrar que

limxa

[f(x) g(x)

h(x) f

(n)(a)n!

]= 0.

Como o segundo termo do limite acima nao depende de x, basta mostrarque

limxa

f(x) g(x)h(x)

=f (n)(a)n!

. (2.5)

Sendo que g(x) = f(a)+f (a)(xa)+ ...+ fn1(a)(n 1)! (xa)

n1, entao temos

que, derivando sucessivamente como em (2.1)

g(i)(a) = f (i)(a) 0 i n 1.

Como f e n vezes diferenciavel no ponto a, entao f, f , f (2), ..., f (n1) saocontnuas em x = a e sendo g polinomio, entao temos:

limxa[f

(i)(x) g(i)(x)] = f (i)(a) g(i)(a); 0 i n 1.

Assim, para mostrar (2.5), podemos aplicar a Regra de LHopital (n 1)vezes a` primeira parte da equacao e obtemos:


limxa

f(x) g(x)h(x)

= limxa

f (n1)(x) g(n1)(x)h(n1)(x)

= limxa

fn(x)n!

=fn(a)n!

Uma aplicacao importante deste Teorema que deixamos para o Captulo 3e dar um criterio para decidir quando um ponto crtico degenerado (isto e,f (a) = f (a) = ... = f (k)(a) = 0 e f (k+1)(a) 6= 0) e ponto de maximo oumnimo local.

Definicao 17. Dizemos que duas funcoes f e g : R R sao iguais ateordem n em x=a se

limxa

f(x) g(x)(x a)n = 0.

Teorema 12. Sejam P e Q dois polinomios em (x a), de grau n e sejaa R qualquer. Suponha que P e Q sejam iguais ate ordem n em a, entao,

P = Q

Prova:Como P e Q sao iguais ate ordem n em a, por definicao, temos que:

limxa

P (x)Q(x)(x a)n = 0.

Chamemos de R(x) = P (x)Q(x). Substituindo temos:

limxa

R(x)(x a)n = 0. (2.6)

Devemos mostrar que R(x) = 0 para todo x R. De (2.6),

Seja 0 6 i 6 n,

limxa

R(x)(x a)i = limxa

[R(x)

(x a)n (x a)ni]= 0. (2.7)

Em particular para i = 0, resulta simplesmente que limxaR(x) = 0.

Seja R(x) = b0 + b1(x a) + b2(x a)2 + ...+ bn(x a)n.

limxaR(x) = limxa[b0 + b1(x a) + b2(x a)

2 + ...+ bn(x a)n]

limxaR(x) = b0 = b0 = 0.


Logo,

R(x)x a = b1 + b2(x a) + ...+ bn(x a)

n1.

De (2.7), para i = 1, temos

limxa

R(x)x a = limxa[b1 + b2(x a) + ...+ bn(x a)

n1] = 0

Entao,

limxa

R(x)x a = b1 = 0.

Seguindo este processo e usando (2.7), temos que

b0 = b1 = b2 = ... = bn = 0

Entao, R(x) = 0 x R. Consequentemente, P (x) = Q(x) x R. Isto eP = Q.

Corolario 1. Sejam f : R R uma funcao derivavel n vezes no ponto x = a eP um polinomio em (x-a), de grau n. Suponha que P e igual a f ate ordemn em x = 0. Entao P e o Polinomio de Taylor de f de ordem n centrado emx = a. Isto e,

P (x) = Pn,a(x), x R.Prova:

Como f e igual a P ate a ordem n em x = a, temos que:

limxa

f(x) P (x)(x a)n = 0 (2.8)

Por outro lado, do teorema 11

limxa

f(x) Pn,a(x)(x a)n = 0. (2.9)

Entao devemos mostrar que

limxa

P (x) P(n,a)(x)(x a)n = 0

Com efeito, acrescentando e subtraindo f(x) ao limite acima, temos:

limxa

P (x) P(n,a)(x)(x a)n = limxa

P (x) P(n,a)(x) + f(x) f(x)(x a)n =


= limxa

[[f(x) P(n,a)(x)] [f(x) P (x)]

(x a)n]=

= limxa

[f(x) P(n,a)(x)

(x a)n f(x) P (x)(x a)n

]=

= limxa

[f(x) P(n,a)(x)

(x a)n] lim

xa

[f(x) P (x)(x a)n

]entao, de (2.8) e (2.9) temos que

limxa

P (x) P(n,a)(x)(x a)n = 0.

Assim os polinomios P e Pn,a sao iguais ate a ordem n em x = a, entao, doteorema 13

P = Pn,a.

Quando uma funcao for n vezes diferenciavel no ponto x = a, o corolarioacima oferece um metodo util para encontrar seu Polinomio de Taylor centradoem x = a.

Exemplo 3. Dada a funcao t(x) = arctg(x), encontrar o Polinomio de Taylorde t de grau 2n+ 1 centrado em a = 0.

Note que, para determinarmos cada valor de ak =t(k)(a)k!

, devemos deter-

minar t(a), t(a), t(a), ..., tk(a). Assim

arctg(x) =1

1 + x2 arctg(0) = 1;

arctg(x) =2x

(1 + x2) arctg(0) = 0

arctg(x) =(1 + x2)2.(2) + 2x.2(1 + x2).2x

(1 + x2)4 arctg(0) = 2

Se continuar-mos derivando, teremos uma expressao cada vez maior, umaconta cada vez mais complicada e, para evitar isto, o Corolario 1 simplifica ba-stante o nosso trabalho.

Seja a equacao

arctg(x) = x0

11 + t2

dt

Dividindo o integrando (isto e 1 entre 1 + t2, ate obter um quociente deordem 2n, o resto e (1)n+1t2n+1, entao

11 + t2

= 1 t2 + t4 t6 + ...+ (1)nt2n + (1)n+1t2n+2

1 + t2

Logo,


arctg(x) = x0

[1 t2 + t4 t6 + ...+ (1)nt2n + (1)

n+1t2n+2

1 + t2

]dt

arctg(x) = x x3

3+x5

5 ...+ (1)

nx2n+1

2n+ 1+ (1)n+1

x0

t2n+2

1 + t2dt

arctg(x) = x x3

3+x5

5 ...+ (1)

nx2n+1

2n+ 1+ (1)n+1

x0

t2n+2

1 + t2dt (2.10)

Denotemos por P (x) = x x3

3+x5

5 ...+ (1)

nx2n+1

2n+ 1, entao de (2.10)

arctg(x) = P (x) + (1)n+1 x0

t2n+2

1 + t2dt

arctg(x) P (x)(x a)2n+1 =

(1)n+1 x0

t2n+2

1 + t2dt

(x a)2n+1 (2.11)

Agora mostraremos que:

limxa

x0

t2n+2

1 + t2dt

(x a)2n+1 = 0

De fato,

x0

t2n+2

1 + t2dt

x0

t2n+2dt

= |x|2n+32n+ 3 (2.12)Entao

limxa

x0

t2n+2

1 + t2dt

(x a)2n+1

6 limxa|x|2n+3x2n+1

= limxa

|x|22n+ 3

= 0.

Da afirmacao anterior e de (2.11) temos

limxa

arctg(x) P (x)(x a)2n+1 = 0.

Entao as funcoes arctg e P sao iguais ate ordem 2n + 1 no ponto x = a.Logo, do Corolario 1, P e o Polinomio de Taylor de grau 2n + 1 centrado em


x = a.

Deste modo, o Polinomio de Taylor para a funcao arctg(x), de grau 2n+1,centrado em x=0 e:

P2n+1,0(x) = x x3

3+x5

5 ...+ (1)

nx2n+1

2n+ 1.

Voltemos agora a equacao (2.10):

arctg(x) = x x3

3+x5

5 ...+ (1)

nx2n+1

2n+ 1+ (1)n+1

x0

t2n+2

1 + t2dt.

Da estimativa (2.11), se |x| 6 1, temos que o resto e: x0

t2n+2

1 + t2dt

|x|2n+32n+ 3 < 12n+ 3 .Isto significa que podemos utilizar os Polinomios de Taylor para a funcao

arctg(x) com a aproximacao que quisermos, basta eleger n tao grande quantoqueiramos para obter um resto arbitrariamente pequeno.

Os teoremas sobre Polinomios de Taylor estendem este resultado, comoveremos no captulo de Aplicacoes. Os teoremas ate aqui demonstrados temexaminado sempre o comportamento do Polinomio de Taylor Pn,a para n fixo,quando x tende a a. Mais a frente iremos comparar os Polinomios de TaylorPn,a para x fixo e n distintos.

2.3 Teorema de Taylor

Definicao 18. Sejam f : [a, x] R uma funcao e Pn,a o seu Polinomio deTaylor ate a ordem n em x = a. Chamamos de Resto e denotamos por Rn,a(x)a seguinte funcao:

Rn,a(x) = f(x) Pn,a(x).Entao,

f(x) = Pn,a(x) +Rn,a(x) =

= f(a) + f (a)(x a) + ...+ f(n)(a)n!

(x a)n +Rn,a(x) (2.13)


Seria desejavel dispor de uma expressao para Rn,a(x) que nos permita facil-mente estimar uma boa aproximacao para uma determinada funcao.

Do exemplo 3, para a funcao arctg(x), encontramos que

R2n+1,0(x) = (1)n+1 x0

t2n+2

1 + t2dt

e mostramos que

|R2n+1,0(x)| |x|2n+3

2n+ 3.

Lema 1. Seja f : [a, x] R funcao n-vezes diferenciavel em [a, x]. Parat [a, x] denotemos por

Rn,t(x) = S(t) = f(x) f(t) f (t)(x t) ... f(n)(t)n!

(x t)n.

Entao

S(t) = f(n+1)(t)n!

(x t)n.

Prova:

Fixado x e para cada t [a, x], podemos escrever a equacao (2.13) em termosdo Polinomio de Taylor centrado em t, e denotamos o resto por S(t) = Rn,t(x).Assim temos

f(x) = f(t) + f (t)(x t) + ...+ fn(t)n!

(x t)n + S(t). (2.14)

Derivando ambos os membros de (2.14) em relacao a t temos quef

t(x) = 0.

Entao,

0 = f (t)+[f (t) + f

(t)1!

(x t)]+[f

(t)1!

(x t) + f(t)2!

(x t)2]+ ...

...+[ f

(n)(t)(n 1)! (x t)

n1 +f (n+1)(t)

n!(x t)n

]+ S(t)

Simplificando temos 0 =f (n+1)(t)

n!(x t)n + S(t). Entao

S(t) = f(n+1)(t)n!

(x t)n. (2.15)

Utilizaremos este lema nas subsecoes a seguir.


2.3.1 Teorema de Taylor com Resto Integral

Consideremos a seguinte equacao:

f(x) = f(a) +R0,a(x)

Pelo Teorema Fundamental do Calculo, temos que

f(x) = f(a) + xa

f (t)dt

de maneira que R0,a(x) = xa

f (t)dt.

De forma analoga, obtemos uma expressao para R1,a(x). Para isto, inte-

gramos xa

f (t)dt, utilizando o metodo de integracao por partes.

Veja que f(x) = f(a) + xa

f (t)dt = f(a) xa

f (t)(dt).

Resolvendo somente a integral xa

f (t)(dt), temos que,

u(t) = f (t), du(t) = f (t)dt e dv(t) = dt, v(t) = x t.Logo teremos x

a

f (t)(dt) = u(t)v(t)|ba xa

(xt)f (t)dt = f (t)(xt) xa

f (t)(xt)dt =

= f (x)(xx)f (a)(xa) xa

f (t)(xt)dt = 0f (a)(xa) xa

f (t)(xt)dt =

= f (a)(x a) xa

f (t)(x t)dt.

Como f(x) = f(a) xa

f (t)(dt), temos entao que

f(x) = f(a)[f (a)(x a)

xa

f (t)(x t)dt]

f(x) = f(a) + f (a)(x a) + xa

f (t)(x t)dt.

Assim entao,

R1,a(x) = xa

f (t)(x t)dt.

Uma generalizacao desta forma de escrever o resto e dado no seguinte teo-rema:


Teorema 13. Seja f : [a, x] R uma funcao n+1 vezes diferenciavel comfn+1 integravel em [a, x]. Entao

f(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ fn(a)n!

(x a)n +Rn,a(x),onde o resto e da forma:

Rn,a(x) = xa

fx+1

n!(x t)ndt.

Prova:Escrevendo f(x) em funcao dos Polinomios de Taylor centrados em t [a, x],como no Lema 1, e da equacao (2.15), temos que a funcao resto S(t) = Rn,t(x)satisfaz

S(t) = f(n+1)(t)n!

(x t)n.Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo, temos

S(x) S(a) = xa

S(t)dt = xa

f (n+1)(t)n!

(x t)ndt.

Como S(t) = Rn,t(x), temos que S(x) = Rn,x(x) = 0 (pois f(x) = f(x) +f (x)(x x) + ...+Rn,x(x)) e S(a) = Rn,a(x).

Entao temos que

0Rn,a(x) = xa

f (n+1)(t)n!

(x t)ndt.

Logo,

Rn,a(x) = xa

f (n+1)(t)n!

(x t)ndt.

2.3.2 Teorema de Taylor com Resto Cauchy

Teorema 14. Seja f : [a, x] R uma funcao n+1 vezes diferenciavel. Entao

f(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ fn(a)n!

(x a)n +Rn,a(x),

e a funcao resto e da forma:

Rn,a(x) =f (n+1)(t)

n!(x t)n(x a), para algum t (a, x).


Prova:Escrevendo f(x) em funcao dos Polinomios de Taylor centrados em t [a, x],

como no Lema 1, e da equacao (2.15), temos que a funcao resto S(t) = Rn,t(x)satisfaz

S(t) = f(n+1)(t)n!

(x t)n

Aplicando o teorema do valor medio na funcao S em [a, x], temos que existeum t em (a, x) tal que

S(x) S(a)x a = S

(t) = f(n+1)(t)n!

(x t)n

Como S(t) = Rn,t(x) = f(x) f(t) f (t)(x t) ... f(n)(t)n!

(x t)n,temos que S(x) = Rn,x(x) = 0 e S(a) = Rn,a(x).

Assim entao,

0Rn,a(x)x a =

f (n+1(t)n!

(x t)n

ou seja, como queramos demonstrar:

Rn,a(x) =f (n+1)(t)

n!(x t)n(x a)

2.3.3 Teorema de Taylor com Resto Lagrange

Teorema 15. Seja f : [a, x] R uma funcao n+1 vezes diferenciavel. Entao

f(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ fn(a)n!

(x a)n +Rn,a(x),

e a funcao resto e da forma:

Rn,a(x) =f (n+1)(t)(n+ 1)!

(x a)n+1, para algum t (a, x).

Prova:Escrevendo f(x) em funcao dos Polinomios de Taylor centrados em t [a, x],

como no Lema 1, e da equacao (2.15), temos que a funcao resto S(t) = Rn,t(x)satisfaz

S(t) = f(n+1)(t)n!

(x t)n


Para deduzir o resto na forma de Lagrange, basta aplicar o teorema do valormedio de Cauchy nas funcoes S(t) e g(t) = (x t)n+1. Assim, existe t (a, x)tal que

S(x) S(a)g(x) g(a) =

S(t)g(t)

=f

(n+1)(t)n!

(x t)n(n+ 1)(x t)n =

f (n+1)(t)n!

(x t)n(n+ 1)(x t)n

Vejamos que S(x) = Rn,x(x) = 0, S(a) = Rn,a(x), g(x) = 0 e g(a) =(x a)n+1.

Substituindo na equacao anterior

0Rn,a(x)0 (x a)n+1 =

f (n+1)(t)n!

(x t)n(n+ 1)(x t)n

Rn,a(x)(x a)n+1 =

f (n+1)(t)n!

(x t)n(n+ 1)(x t)n

Rn,a(x)(x a)n+1 =

f (n+1)(t)(x t)nn!

.1

(x+ 1)(x t)n

Rn,a(x)(x a)n+1 =

f (n+1)(t)n!(n+ 1)

=f (n+1)(t)(n+ 1)!

Entao,

Rn,a(x) =f (n+1)(t)(n+ 1)!

(x a)n+1.

2.4 Outros Exemplos

Exemplo 4. Dada a funcao g(x) = log(x), com x > 0, encontrar o Polinomiode Taylor de g de grau n centrado em a = 1.f(1) = 0

f (1)(x) =1x f (1)(1) = 1

f (2)(x) = 1x2

f (2)(1) = 1f (3)(x) =

2x3

f (3)(1) = 2


f (4)(x) = 6x4

f (4)(1) = 6Logo,

f (k)(x) =(1)n1.(n 1)!

xn, n 1

O Polinomio de Taylor Pn,1 para a funcao log(x) no ponto a = 1 e

Pn,1(x) = (x 1) (x 1)2

2+(x 1)3

3+ ...+

(1)n1(x 1)nn

.

Exemplo 5. Para a funcao sen(x), com a = 0, sabemos que seu Polinomio deTaylor de grau P2n+1,0 e:

P2n+1,0(x) = x x3

3!+x5

5! ...+(1)n

[x2n+1

2n+ 1!

]+ x0

sen(2n+2)(t)(2n+ 1)!

(xt)2n+1dt

Iremos estimar o valor da integral acima, uma vez que e bastante compli-cado resolve-la. Estimar este valor e facil e ao mesmo tempo teremos uma boaaproximacao para o valor desta funcao.

Por ser |sen(2n+2)(t)| 1, t, teremos

x0

sen(2n+2)(t)(2n+ 1)!

(x t)2n+1dt 1(2n+ 1)!

x0

(x t)2n+1dt

Entao, x0

(x t)2n+1dt = (x t)2n+2

2n+ 2= (x x)

2n+2

2n+ 2[ (x 0)

2n+2

2n+ 2

]= x

0

(x t)2n+1dt = x2n+2

2n+ 2

Logo, x0

sen(2n+2)(t)(2n+ 1)!

(x t)2n+1dt 1(2n+ 1)! |x|2n+22n+ 2 = |x|2n+2(2n+ 2)!

Se quisermos calcular sen2 com um erro menor que 104, temos que

sen2 = P2n+1,0(2) +R,

onde |R| 22n+2

(2n+ 2)!. Assim, utilizamos P2n+1,0(2) como solucao sempre que

22n+2

(2n+ 2)!< 104


Logo, quando n = 5, obtemos o resultado procurado, pois

sen2 = P11,0(2) +R = 2 23

3!+25

5! 2

7

7!+29

9! 2

11

11!+R onde |R| < 104.

Veja que |R| = 211

11!< 104, ou 0, 00004 < 0, 0001.

Logo, com esta tolerancia temos que sen2 = 0, 909296136.A figura a seguir mostra o grafico da funcao sen(x) bem como o grafico de

seu Polinomio de Taylor de grau 11.

y

x

8

8

4

04

-4

-8

0-4-8

Seno

Polinomio de Taylor

Exemplo 6. Seja a funcao f(x) = cox(x). Iremos encontrar o Polinomio deTaylor Pn,a(x) de grau 2n no ponto a = 0.

cos(0) = 1cos(1)(0) = sen(0) = 0cos(2)(0) = cos(0) = 1cos(3)(0) = sen(0) = 0cos(4)(0) = cos(0) = 1As derivadas se repetem em ciclo de 4. Entao os numeros

ak =cos(k)(0)

k!

serao


a0 = 1, a1 = 0 a2 = 12! , a3 = 0, a4 =14!, a5 = 0, a6 = 16! , a7 = 0, ...

O Polinomio de Taylor P2n,0 de grau 2n para a funcao cos(x) no ponto a = 0e:

P2n,0 = 1 + 0(x 0) 1(x 0)2

2!+ 0.

(x 0)33!

+ 1(x 0)4

4!+ 0

(x 0)55!

1(x 0)6

6!+ 0

(x 0)77!

+ ...+ (1)n (x)2n

2n!+ x0

cos(2n+1)(t)(2n)!

(x t)2ndt

P2n,0(x) = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+ ...+ (1)nx

2n

2n!+ x0

cos(2n+1)(t)(2n)!

(x t)2ndtIremos estimar o valor da integral acima, uma vez que e bastante compli-

cado resolve-la. Estimar este valor e facil e teremos uma boa aproximacao parao valor da funcao cox(x).Por ser |cos(2n+1)(t)| 1, t, teremos x

0

cos(2n+1)(t)(2n)!

(x t)2ndt 1(2n)!

x0

(x t)2ndt x2n+1(2n+ 1)! .

Se quisermos calcular cos1 com um erro menor que 105, temos que cos1 =

P2n,0(1) + R, onde |R| 12n+2

(2n+ 2)!. Assim, utilizamos P2n,0(2) como solucao

sempre que1

(2n)!< 105.

Logo, quando n = 5, obtemos o resultado procurado, pois110!

< 105.

cos1 = P10,0(1) +R = 1 12

2!+14

4! 1

6

6!+18

8! 1

10

10!+R onde |R| < 105.

Assim, com esta tolerancia temos que cos1 = 0, 540302304.A proxima figura mostra o grafico da funcao cos(x) bem como o grafico de

seu respectivo Polinomio de Taylor de Grau 11.


y

x

8

8

4

04

-4

-8

0-4-8

Cosseno

Polinomio de Taylor

38

Captulo 3

Aplicacoes

3.1 Criterios de Maximo e Mnimo Locais paraPontos Crticos Degenerados

Definicao 19. Seja f : [a, x] R uma funcao nvezes diferenciavel. x (a, b)e ponto crtico degenerado de ordem k se f (x) = f (x) = ... = f (k)(x) = 0 ef (k+1)(x) 6= 0

Como aplicacao do Teorema 11, daremos um criterio para decidir se umcerto ponto crtico degenerado e maximo ou mnimo local, ou ponto de inflexao.

Teorema 16. Seja f : R R uma funcao n-vezes diferenciavel no ponto x = a,e este e um ponto crtico degenerado de ordem n.

Entao uma das seguintes propriedades e valida:

1. Se n e par e f (n)(a) > 0, entao f tem um ponto de mnimo local em a.

2. Se n e par e f (n)(a) < 0, entao f tem um ponto de maximo local em a.

3. Se n e mpar, entao f nao e ponto de maximo nem de mnimo local emx = a. Neste caso, x = a e chamado de ponto de inflexao.

Prova:Se consideramos a funcao g(x) = f(x) f(a), notamos que g(a) = 0 e

gk(a) = fk(a) k. Sendo g uma translacao vertical de f , a natureza de sermaximo local ou mnimo local de um implica o mesmo para o outro. Assim,sem perda de generalidade, podemos supor que f(a) = 0.

Como as primeiras (n1) derivadas de f no ponto x = a valem 0, o Polinomiode Taylor Pn,a(x) de f e:

Pn,a(x) =f (n)(a)n!

(x a)n.

CAPITULO 3. APLICACOES 39

Do Teorema 11 temos que

0 = limxa

f(x) Pn,a(x)(x a)n = limxa

f(x) f(n)(a)n!

(x a)n(x a)n .

Simplificando, temos que

limxa

[f(x)

(x a)n f (n)(a)n!

]= 0.

Logo,

limxa

f(x)(x a)n =

f (n)(a)n!

. (3.1)

Caso 1: Se n e par e fn(a) > 0.

De (3.1) e da definicao de limite, dado =12

(f (n)(a)n!

)> 0, > 0 tal

que se 0 < |x a| < , entao

< f(x)(x a)n

f (n)(a)n!

< = f(n)(a)n!

< f(x)(x a)n < +

f (n)(a)n!

.

Como =12

(f (n)(a)n!

), entao

0 0 para obter


Figura10

32

(f (n)(a)n!

) 0, usamos (3.2):

0 0. Se x < a, temos que(x a)n < 0, entao f(x) < 0. Logo, f tem um ponto de inflexao em x = a (verfigura 12).

Figura12

3.2) Se f (n)(a) < 0, usamos (3.3):

32

(f (n)(a)n!

) 0, entao f(x) < 0. Se x < a, (x a)n < 0,entao f(x) < 0. Novamente f tem um ponto de inflexao em x = a (ver figura13).

3.2 ee irracional

Para a funcao ex centrado em a = 0, sabemos do exemplo 2 que seu Po-linomio de Taylor Pn,0 com resto integral e:

Pn,0(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ ...+

xn

n!+ x0

et

n!(x t)ndt

Para um resultado melhor, iremos supor que x 0 (estimar para x 0e analogo). Sobre o intervalo [a, x], o valor maximo de et e ex, pois a funcao


Figura13

exponencial e crecente, de modo que

R = x0

et

n!(x t)ndt e

x

n!

x0

(x t)ndt = exxn+1

(n+ 1)!.

Como e e aproximadamente 2, 718..., temos entao que

exxn+1

(n+ 1)! 0, e < 3.

Se 0 x 1, entao

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+R, onde 0 < R 105, o que nao nos atendera.

Porem quando n = 8 temos3

(n+ 1)!< 105. Assim entao, temos que

e = 1 + 1 +12!+

13!+

14!+

15!+

16!+

17!+

18!+R,

onde |R| 105.Logo, com esta tolerancia temos que e = 2, 718278770.A figura abaixo mostra o grafico da funcao ex bem como o grafico de seu

Polinomio de Taylor de grau 8.

x

1086420-2-4

y

20

15

10

5

0

Exponencial

Polinomio de Taylor

Teorema 17. e e irracional

Prova:Sabemos que, para todo n,


e = e1 = 1 +11!+

12!+ ...+

1n!

+Rn onde 0 < Rn b 2.a

b= 1 + 1 +

12!+ ...+

1n!

+Rn.

Se multiplicarmos ambos os lados por n!, temos

n!ab

= n! + n! +n!2!

+ ...+n!n!

+ n!Rn.

Veja que todos os termos diferentes de n!Rn sao inteiros (o primeiro termoe inteiro pois n > b). Assim n!Rn e inteiro. Mas

0 < Rn 3,

0 < n!Rn

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