Extra Slides de Calculo I
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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciencias Exatas
Departamento de Matematica
Aproximacao Por Funcoes Polinomiais
(Polinomios de Taylor)
Wiliam Geraldo Moreira dos Santos
Belo Horizonte, Julho de 2006
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iEm tudo isto ha a mao de Deus.
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ii
A` Deus, por iluminar-me sempre,
a Jose e Geralda, meus pais,
aos meus irmaos,
a` Fernanda,
aos meus amigos.
De forma especial
Ao Professor Alberto Sarmiento,
o Grande Mestre!
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iii
Sumario
1 Conceitos Fundamentais 21.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funcoes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Funcoes Derivaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Pontos Crticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Alguns Teoremas da Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Teorema do Valor Medio de Cauchy . . . . . . . . . . . . 101.4.4 Regra de LHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 A integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 O Conceito de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . 15
2 Aproximacao Por Funcoes Polinomiais 182.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Teorema de Taylor com Resto Integral . . . . . . . . . . . 302.3.2 Teorema de Taylor com Resto Cauchy . . . . . . . . . . . 312.3.3 Teorema de Taylor com Resto Lagrange . . . . . . . . . . 32
2.4 Outros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Aplicacoes 383.1 Criterios de Maximo e Mnimo Locais para Pontos Crticos De-
generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 ee irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Referencias Bibliograficas 44
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SUMARIO 1
INTRODUCAO
Esta monografia trata do estudo de aproximacoes de funcoes por polinomios.Vamos mostrar que muitas funcoes podem ser aproximadas por polinomios eque os polinomios, em vez da funcao original, podem ser usados para calculos,quando a diferenca entre o valor da funcao em um ponto e o da aproximacaopolinomial for suficientemente pequena. Existem varios metodos para aproxi-mar uma funcao dada por polinomios. Um dos mais usados, e tambem o queutilizamos neste trabalho e o que envolve a Formula de Taylor, assim chamadaem homenagem ao seu criador, o ingles Brook Taylor (1685-1731).
No primeiro captulo trataremos de conceitos fundamentais do Calculo. Es-tes conceitos nos fornecerao uma base para melhor entendimento dos captulosseguintes. Falaremos de funcoes contnuas, funcoes derivaveis, onde interpre-tamos geometricamente a derivada de uma funcao e faremos ainda um estudosobre pontos crticos. A seguir mostraremos alguns teoremas da Analise, como oTeorema de Rolle, Teorema do Valor Medio, Teorema do Valor Medio de Cauchye ainda a Regra de LHopital. No fim deste captulo trataremos do conceito deIntegral, onde apresentamos o Teorema Fundamental do Calculo.
No segundo captulo, iniciamos nosso estudo sobre aproximacao de funcoes.Iniciamos apresentando o Polinomio de Taylor centrado em um certo ponto edamos exemplos de Polinomios de Taylor para algumas funcoes. Veremos algunsteoremas sobre aproximacao de funcoes onde trataremos da diferenca entre o va-lor de uma funcao e seu respectivo Polinomio de Taylor. A esta diferenca damoso nome de Resto. Mostramos este resto de tres formas diferentes: atraves doTeorema de Taylor com Resto Integral, Teorema de Taylor com Resto Cauchye Teorema de Taylor com Resto Lagrange. Finalizamos este captulo com maisexemplos onde tambem calculamos o valor numerico de certas funcoes em umponto, com uma determinada precisao.
No ultimo captulo, denominado Aplicacoes, estabelecemos criterios paradecidir se um determinado ponto crtico e maximo ou mnimo local, ou aindaponto de inflexao. Este estudo e feito a partir de um teorema sobre os Po-linomios de Taylor. Enfim, conclumos mostrando que o numero ee irracional.
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2Captulo 1
Conceitos Fundamentais
1.1 Introducao
Iniciamos nosso trabalho com alguns conceitos fundamentais do Calculo Di-ferencial e Integral. Continuidade de uma certa funcao, funcoes derivaveis,integral e ainda Teoremas da Analise e o que veremos a seguir. E importantefrisar que este captulo e de suma importancia para um melhor entendimentodos captulos seguintes.
1.2 Funcoes Contnuas
Intuitivamente, uma funcao f e contnua se seu grafico nao contem inter-rupcoes, saltos ou ocasioes indefinidas. Mas, pensando desta maneira, podere-mos nos equivocar e dizer que uma certa funcao e contnua, quando, porem, naoe. Assim definiremos funcao contnua da seguinte maneira:
Definicao 1. Uma funcao f : D R e contnua no ponto a selimxa f(x) = f(a)
Definicao 2. Dizemos que um determinado conjunto A, de numeros reais, elimitado superiormente se existe um numero x tal que
x a a de A.Um numero x com esta propriedade e uma cota superior de A.
Definicao 3. Dizemos que um numero x e uma cota superior mnima de A se(1) x e cota superior de A, e(2) se y e uma cota superior de A, entao x y.
Uma vez dada a definicao precisa, vemos que se x e y sao ambos cotassuperiores mnimas de A, entao x = y. Neste caso:
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3
x y, visto que y e uma cota superior, e x e uma cota superior mnima e,y x, visto que x e uma cota superior, e y e uma cota superior mnima;segue que x = y. Por isto falamos da cota superior mnima de A que chamaremosdaqui em diante de supremo e sua notacao e
sup A
Definicao 4. Um conjunto A de numeros reais esta limitado inferiormente seexiste um numero x tal que
x a a de A.Assim, um numero x recebe o nome de cota inferior de A.
Definicao 5. Um numero x e a cota inferior maxima de A se(1) x e uma cota superior de A e,(2) se y e uma cota superior de A, entao x y.
A cota inferior maxima de A e tambem chamada de nfimo de A e suanotacao e
inf A
Teorema 1. Se f e contnua em a, entao existe um numero > 0 tal que festa limitada superiormente no intervalo (a , a+ )
FIGURA1
Prova: Como f e contnua, entao limxa f(x) = f(a), existe, para todo > 0,
um > 0 tal que, para todo x, se |x a| < , entao |f(x) f(a)| < .
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 4
Escolhendo = 1, deduzimos que existe um > 0 tal que, para todo x, se|x a| < , entao |f(x) f(a)| < 1.Segue que se |x a| < , entao f(x) f(a) < 1.Entao, no intervalo (a , a + ), a funcao f esta limitada superiormente porf(a) + 1.
Teorema 2. Se f e contnua no intervalo [a, b], entao existe um numero y nointervalo [a, b] tal que f(y) f(x) para todo x de [a, b].
Prova:Sabemos que f esta limitada no intervalo [a, b], o que significa que o conjunto
{f(x) : x [a, b]}
esta limitado. Evidentemente este conjunto nao e vazio, de modo que se tenhauma cota superior mnima . Visto que f(x) para todo x [a, b], bastademonstrar que = f(y) para algum y no intervalo [a, b].
Faremos uma contradicao e supondo que 6= f(y) para todo y de [a, b],entao a funcao g definida por
g(x) =1
f(x) , x [a, b]
e contnua no intervalo [a, b], visto que o denominador do segundo membro naoe nunca 0. Por outro lado, e a cota superior mnima de {f(x) : x [a, b]};isto significa que
para todo > 0 existe um x no intervalo [a, b] com f(x) < .
Isto significa, por sua vez que
para todo > 0 existe um x no intervalo [a, b] com g(x) >1.
Mas, isto e uma contradicao, pois g(x) nao esta limitada no intervalo [a, b].
1.3 Funcoes Derivaveis
O conceito de derivada e o conceito fundamental no calculo, pois fornece oinstrumento mais poderoso para o estudo do comportamento de funcoes reais.Sua formulacao foi feita independentemente por Newton e Leibniz no seculoXVII e, podemos dizer, de uma forma mais simples, que o conceito de derivadanasceu da necessidade de se quantificar a variacao de uma funcao, ou seja, aforma como a funcao varia.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 5
Se uma funcao e contnua, entao pequenas variacoes da variavel x geram pe-quenas variacoes dos valores da funcao mas, ate comparando funcoes contnuasbastante simples, podemos ver que uma mesma pequena variacao de x podegerar variacoes muito diferentes dos valores das funcoes. O conceito de derivadanos permite quantificar essas diferencas de variacoes, sendo, portanto, um in-strumento muito importante para o estudo do comportamento de funcoes reais.
Definicao 6. Dizemos que uma funcao f : R R e derivavel (ou diferenciavel)num ponto x0 de seu domnio, se f esta definida em algum intervalo abertocontendo x0 e existe o limite abaixo:
limxx0
f(x) f(x0)x x0
Neste caso, esse limite sera chamado a derivada de f no ponto x0.Se f e uma funcao derivavel em x0, a derivada de f no ponto x0 e denotada porf (x0), isto e,
f (x0) = limxx0
f(x) f(x0)x x0 .
1.3.1 Interpretacao Geometrica
Seja f : R R uma funcao diferenciavel no ponto x0, isto e,
limxx0
f(x) f(x0)x x0 = f
(x).
Fixando x1 > x0, o quocientef(x1) f(x0)
x1 x0 e o coeficiente angular da retaque passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), logo esta reta e secante aografico de f . (ver figura 1)
Se fixamos x0 < x2 < x1, novamentef(x1) f(x0)
x1 x0 e o coeficiente angularda reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)).
Assim, vemos que f (x0) e o limite dos coeficientes angulares das retas se-cantes que passam por (x0, f(x0)) quando x tende a x0. Como este limiteexiste, representa o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f noponto (x0, f(x0)).
Definicao 7. Se uma funcao f : D R e derivavel em todos os pontos de seudomnio D, dizemos simplesmente que f e derivavel e a funcao f : D R quea cada numero x D associa o numero f (x) e chamada a primeira derivadade f ou funcao derivada de f . Logo, se a funcao f for diferenciavel, denotamos
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 6
Figura2
a derivada (f ) = f : D R, que e chamada de segunda derivada de f .Caso f for diferenciavel, denotaremos a derivada (f ) = f : D R. Assimsucessivamente podemos falar de uma funcao k-vezes diferenciavel onde a k-esima derivada denotamos por f (k) : D R
1.3.2 Pontos Crticos
A partir de certas informacoes sobre a derivada podemos obter informacoessobre o comportamento de uma funcao. Mais especificamente, podemos deter-minar os intervalos onde a funcao e crescente e aqueles onde ela e decrescente,encontrando os pontos onde a funcao muda de comportamento (de crescentepara decrescente ou vice-versa).
Se f : (a, b) R, tal que f nao e constante, nem crescente e nem decre-scente em (a, b), dizemos que f apresenta mudanca de comportamento quantoao crescimento em (a, b). Assim, no estudo de uma funcao f , mostraremos osintervalos de seu domnio onde nao ha mudancas de comportamento quanto aocrescimento ou decrescimento e qual e o unico comportamento de f em cadaum desses intervalos.
Comecemos por analisar algumas situacoes onde ocorrem mudancas de com-portamento de uma funcao quanto ao crescimento, buscando caracterizar pontosde seu domnio que indiquem a possibilidade de ocorrencia dessas mudancas.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 7
Por exemplo, a situacao em que um numero x0 pertence a um intervalo (a, b) dodomnio de f , e tal que f e crescente em (a, x0] e decrescente em [x0, b). Nestecaso teremos f(x) f(x0) para qualquer valor de x (a, b), ou seja, f(x0) e omaior valor que f assume no intervalo (a, b). Da definirmos:
Definicao 8. Dizemos que x0 e um ponto de maximo local de f : (a, b) R,se existe um intervalo aberto (c,d) contido no domnio de f tal que x0 (c, d)e f(x) f(x0), qualquer que seja x (a, b). O numero f(x0) e chamado valormaximo local de f.
Definicao 9. Dizemos que x0 e um ponto de mnimo local de f : (a, b) R,se existe um intervalo aberto (c,d) contido no domnio de f tal que x0 (c, d)e f(x0) f(x), qualquer que seja x (a, b). O numero f(x0) e chamado valormnimo local de f.
Com essa definicao temos que se x0 (a, b) e f e decrescente em (a, x0] ecrecente no intervalo [x0, b), entao x0 e um ponto de mnimo local de f .
Teorema 3. Seja f : (a, b) R derivavel em cada ponto do intervalo (a,b). Sex e um maximo local (ou um mnimo local) para f em (a,b) e f e derivavel emx, entao f (x) = 0.
Figura3
Prova: Consideremos o caso em que f tem um maximo local em x.
Observe que as retas secantes tracadas a` esquerda de (x, f(x)) tem inclinacao 0 e as secantes tracadas por pontos a direita de (x, f(x)) tem inclinacao 0.Se h e um numero qualquer tal que (x+ h) esta em (a, b), entao
f(x) f(x+ h)
Logo,f(x+ h) f(x) 0
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8
Se h > 0 podemos escrever
f(x+ h) f(x)h
0
e, em consequencia disto
limh0+
f(x+ h) f(x)h
0.
Se h < 0 teremosf(x+ h) f(x)
h 0
de modo que
limh0
f(x+ h) f(x)h
0.
Como, por hipotese, f e derivavel em x, entao estes dois limites devem seriguais e iguais a f (x), ou seja, f (x) 0 e f (x) 0.
Logo,
f (x) = 0
e
f (x) = limh0
f(x+ h) f(x)h
.
O caso em que f tem um mnimo local em x0 e analogo.
Definicao 10. Seja f : [a, b] R uma funcao diferenciavel. Chamamos pontocrtico de uma funcao f a todo numero x (a, b) tal que
f (x) = 0.
1.4 Alguns Teoremas da Analise
1.4.1 Teorema de Rolle
Teorema 4. Se f : [a, b] R e uma funcao contnua em [a,b] e derivavel em(a,b), e f(a) = f(b), entao existe um numero x em (a,b) tal que f (x) = 0.
Prova: Observe as figuras 4.1, 4.2 e 4.3.
1. Vamos supor, em primeiro lugar, que os valores de maximo e mnimolocais sejam iguais, ou seja, f e constante.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 9
Figura4.1Figura4.2Figura4.3
Como f(a)=f(b), se os valores maximos e mnimo de f sao iguais, entao f euma funcao constante, e para uma funcao constante podemos escolher qualquerx de (a, b). Se f(x)=c, entao f (x)=0.
2. Supondo, agora, que o valor maximo se apresenta num ponto de x per-tencente a (a, b):Entao, segundo o teorema anterior, f (x)=0.
3. Supondo agora que o valor mnimo esta num ponto x pertencente a (a, b):Entao, segundo o teorema anterior, f (x)=0.
1.4.2 Teorema do Valor Medio
Teorema 5. Se f : (a, b) R e uma funcao contnua em [a,b] e derivavel em(a,b), entao existe um numero x em (a,b) tal que
f (x) =f(b) f(a)
b a
Prova:
Seja h(x) = f(x)[f(b) f(a)
b a](x a).
Por hipotese, f e contnua em [a, b] e derivavel em (a, b), entao h tambem e.Assim,
h(a) = f(a)[f(b) f(a)
b a](a a) = f(a)
[f(b) f(a)
b a](0) = f(a)
h(b) = f(b)[f(b) f(a)
b a](b a) = f(b) f(b) + f(a) = f(a)
Como h(a) = h(b) = f(a), podemos aplicar o Teorema de Rolle e deduzirque existe algum x em (a, b) tal que
0 = h(x) = f (x) f(b) f(a)b a
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 10
Entao
0 = f (x) f(b) f(a)b a
Logo,
f (x) =f(b) f(a)
b a .
1.4.3 Teorema do Valor Medio de Cauchy
Teorema 6. Se f : (a, b) R e g : (a, b) R sao funcoes contnuas em [a,b]e derivaveis em (a,b), entao existe um numero x em (a,b) tal que
[f(b) f(a)]g(x) = [g(b) g(a)]f (x)Prova: Seja
h(x) = f(x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)]Como f e g sao contnuas em [a, b] e derivaveis em (a, b), entao h tambem econtnua em [a, b] e derivavel em (a, b) e,h(a) = f(a)[g(b) g(a)] g(a)[f(a) f(a)]
h(a) = f(a)g(b) f(a)g(a) g(a)f(b) + g(a)f(a)
h(a) = f(a)g(b) g(a)f(b)
e tambem
h(b) = f(b)[g(b) g(a)] g(b)[f(b) f(a)]
h(b) = f(b)g(b) f(b)g(a) g(b)g(a) g(b)f(b) + g(b)f(a)
h(b) = g(b)f(a) f(b)g(a)
Logo, h(a) = h(b). Do Teorema de Rolle, segue que h(x) = 0 para algum xpertencente a (a, b). Entao:
h(x) = f (x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)] = 0
f (x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)] = 0
f (x)[g(b) g(a)] = g(x)[f(b) f(a)]
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11
Logo,
f (x)g(x)
=f(b) f(a)g(b) g(a)
Se g(b) 6= g(a) e g(x) 6= 0.
OBS: Se g(b) 6= g(a) e g(x) 6= 0, podemos escrever a equacao acima daseguinte forma:
f(b) f(a)g(b) g(a) =
f (x)g(x)
Se g(x) = x, x, entao g(x) = 1 e obteremos o Teorema do Valor Medio:
f (x) =f(b) f(a)g(b) g(a)
Aplicando-se o Teorema do Valor Medio a f e a g separadamente encontra-remos x e y em (a, b) com
f(b) f(a)g(b) g(a) =
f (x)g(y)
;
f (x) =f(b) f(a)
b a e g(y) =
g(b) g(a)b a
Dividindo f (x) por g(x) teremos:
f (x)g(y)
=
f(b) f(a)b a
g(b) g(a)b a
Porem, nada nos garante que x e y escolhidos sejam iguais.
1.4.4 Regra de LHopital
Teorema 7. Supondo que limxa f(x) = 0 e limxa g(x) = 0, e supondo tambem que
existe limxa
f (x)g(x)
, entao existe limxa
f(x)g(x)
, e limxa
f(x)g(x)
= limxa
f (x)g(x)
.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 12
Prova:
A hipotese de que limxa
f (x)g(x)
existe contem implicitamente duas suposicoes:
1. Existe um intervalo (a , a + ) tal que f (x) e g(x) existem em todo xpertencente a (a , a+ ) exceto possivelmente para x = a;2. Neste intervalo g(x) 6= 0 com a possvel excecao de x = a.
Por outro lado, nao se supoe que f e g estejam definidas em a. Se definimosf(a) = g(a) = 0 entao f e g sao contnuas em a.Se a < x < a+ , entao o Teorema do Valor Medio e o Teorema do Valor Mediode Cauchy sao aplicaveis a f e g no intervalo [a, x] (igualmente valido paraa < x < a). Aplicando primeiro o Teorema do Valor Medio em g, vemos queg(x) 6= 0, pois se fosse g(x) = 0 entao existiria algum x1 no intervalo (a, x) comg(x) = 0, contradizendo (2). Aplicando o Teorema do Valor Medio de Cauchya f e a g, vemos que existe um numero x no intervalo (a, x) tal que
[f(x) 0]g(x) = [g(x) 0]f (x)
ouf(x)g(x)
=f (x)g(x)
.
x aproxima-se de a quando x se aproxima de a, visto que x esta no intervalo
(a, x). Da existencia de limya
f (y)g(y)
, segue que
limxa
f(x)g(x)
= limxa
f (x)g(x)
= limya
f (y)g(y)
.
1.5 A integral
1.5.1 O Conceito de integral
Se a e b sao numeros reais com a < b, uma particao P para o intervalo [a, b]e um conjunto finito de pontos do intervalo, P = {t0, t1, t2, ..., tk}, satisfazendo
t0 = a < t1 < t2, ..., tk1, b = tk
Logo, se [a, b] e um intervalo contido no domnio de uma funcao f , P ={t0, t1, t2, ..., tk} e uma particao contida em [a, b].Definicao 11. O tamanho de uma particao P, denotado por |P |, e o com-primento do maior subintervalo determinado por dois numeros consecutivos daparticao, isto e, intervalos da forma [ti1, ti], ou seja,|P | = max{(t1 t0), (t2 t1), ..., (ti ti1), ..., (tk tk1)}.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 13
Com esta definicao, o comprimento de qualquer subintervalo [ti1, ti] e sem-pre menor ou igual ao tamanho da particao, isto e,
|ti1, ti| |P |, para 1 i k.
Definicao 12. Suponha que f : [a, b] R e limitada no intervalo [a, b] eP = {t0, t1, ..., tn1, tn} e uma particao de [a, b]. Seja
mi = inf{f(x) : ti1 x ti},
Mi = sup{f(x) : ti1 x ti}.A soma inferior de f para P , designada por L(f, P ), e definida por:
L(f(x), P ) =ni=1
mi(ti ti1).
A soma superior de f para P , designada por U(f, P ), e definida por:
U(f(x), P ) =ni=1
Mi(ti ti1).
Se P e uma particao qualquer, entao
L(f(x), P ) U(f(x), P ),
pois,
L(f(x), P ) =ni=1
mi(ti ti1),
U(f(x), P ) =ni=1
Mi(ti ti1),
e, para cada i teremos
mi(ti ti1) Mi(ti ti1).
Definicao 13. Suponha que f : [a, b] R e limitada no intervalo [a, b].
Chamamos de Integral Superior e denotamos por ba
f(x)dx = inf {U(f(x),P): P e uma particao de [a,b]}.
Chamamos de Integral Inferior e denotamos por ba
f(x)dx = sup {L(f(x),P): P e uma particao de [a,b]}.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 14
Definicao 14. Uma funcao f : [a, b] R limitada no intervalo [a, b] e in-tegravel em [a, b] se
ba
f(x)dx = ba
f(x)dx.
Neste caso, o numero I, comum a ambos, recebe o nome de integral de f ee escrito da seguinte maneira:
I = ba
f(x)dx.
Se f(x) 0, a integral ba
f(x)dx e a area da regiao abaixo do grafico de f
entre a e b e acima do eixo x.
Entao, se f e integravel,
L(f(x), P ) ba
f(x)dx U(f(x), P )
para todas as particoes P do intervalo [a, b].
Teorema 8. Suponha que f : [a, b] R seja integravel em [a, b] e que m f(x) M para todo x de [a, b]. Entao
m(b a) ba
f(x)dx M(b a).
Prova:Seja b
a
f(x)dx = sup{L(f, P )} = inf{U(f, P )}.
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CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 15
Entao, percebemos que
m(b a) L(f, P ) e U(f, P ) M(b a)para toda particao P do intervalo.
1.5.2 Teorema Fundamental do Calculo
Teorema 9. Primeiro Teorema Fundamental do CalculoSeja f : [a, b] R uma funcao integravel sobre o intervalo [a, b] e F (x) = xaf(t)dt.
Se f e contnua em c, onde c esta contido no intervalo [a, b], entao F e derivavelem c e
F (c) = f(c).
Prova:Como c esta contido no intervalo [a, b], teremos, por definicao,
F (c) = limh0
F (c+ h) F (c)h
.
Supondo primeiro que h > 0, entao
F (c+ h) F (c) = c+hc
f(t)dt.
Sejam:mh = inf{f(x) : c x c+ h},Mh = sup{f(x) : c x c+ h}.
Do teorema anterior segue que
mh.h c+hc
f(t)dt Mh.h.
Logo,
mh F (c+ h) F (c)h
Mh.Se h 0, teremos:
mh = inf{f(x) : c+ h x c},
Mh = sup{f(x) : c+ h x c}.Entao,
mh.(h) c+hc
f(t)dt Mh.(h)
-
CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 16
Figura6
mh.h c+hc
f(t)dt Mh.h
Como h 0 obteremos o mesmo resultado para h > 0, que e
mh F (c+ h) F (c)h
Mh.
Esta igualdade se faz para qualquer funcao integravel. Como f e contnua emc, teremos
limh0
mn = limh0
Mn = f(c),
e isto significa que
F (c) = limh0
F (c+ h) F (c)h
= f(c)
Definicao 15. Se f e g sao funcoes tais que f e a derivada de g, isto e,g(x) = f(x), dizemos que a funcao g e uma primitiva para f .
Teorema 10. Segundo Teorema Fundamental do CalculoSe f : (a, b) R e integravel sobre [a, b] e f = g para alguma funcao g, entao b
a
f(t)dt = g(b) g(a).
-
CAPITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 17
Prova:Seja P = {t0, t1, ..., tn1, tn} uma particao qualquer de [a, b]. Pelo teorema
do valor medio, existe um ponto xi em [ti1, ti] tal que
g(ti) g(ti1) = g(xi)(ti ti1)g(ti) g(ti1) = f(xi)(ti ti1).
Semi = inf{f(x) : ti1 x ti},Mi = sup{f(x) : ti1 x ti},
Entaomi(ti ti1) f(xi)(ti ti1) Mi(ti ti1),
e o mesmo que
mi(ti ti1) g(xi) g(ti1) Mi(ti ti1).
Somando estas equacoes para i = 1, ..., n obteremos,
ni=1
mi(ti ti1) g(b) g(a) ni=1
Mi(ti ti1)
de maneira que
L(f, P ) g(b) g(a) U(f, P )para toda particao de P . Porem, isto sigfica que
g(b) g(a) = ba
f(t)dt.
-
18
Captulo 2
Aproximacao Por FuncoesPolinomiais
2.1 Introducao
Um polinomio p de grau n N, com coeficientes reais na variavel x e dadopor
p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn
onde os coeficintes ai R i = 0, 1, 2, 3, ..., n.
Como efetuando apenas as operaracoes de adicao e multiplicacao podemossempre calcular o valor de p em x, entao p como funcao real esta definidapara todo x R. No Calculo, as funcoes polinomiais sao consideradas as maissimples. Ja as funcoes logartmo, seno, cosseno, exponencial, etc., nao tem talsimplicidade.
Dada uma funcao qualquer, f : R R, faremos aqui uma aproximacao destapor polinomios, de modo que possamos usar valores dos polinomios ao inves dosvalores de tais funcoes, cometendo com isto um erro tao pequeno quanto quei-ramos.
2.2 Polinomio de Taylor
Dizemos que um polinomio esta na forma (x a) ou que esta centrado emx = a se for da forma:
p(x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + ...+ an(x a)n
Neste caso, temos que p(a) = a0; derivando p sucessivamente temos que:
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 19
p(x) = a1 + 2a2(x a) + 3a3(x a)2 + ...+ nan(x a)n1
p(a) = p(1)(a) = a1 = a1 = p(1)(a)1!
;
p(x) = 2a2 + 3.2a3(x a) + ...+ n(n 1)an(n a)n2
p(a) = p(2)(a) = 2a2 = a2 = p(2)(a)2!
Assim pode-se mostrar por inducao que
p(k)(x) = k!ak + ...+ (n a)x(nk)
p(k)(x) = k!ak + ...+ n(n 1) + ...+ [n (k 1)].an(x a)nk
p(k)(x) =nj=k
j!(j k)!aj(x a)
jk
Entao
p(k)(a) = k!ak = ak = p(k)(a)k!
. (2.1)
Definicao 16. Dada f : R R uma funcao que tenha derivadas ate ordem nno ponto x = a, associamos a f o polinomio Pn,a(x) de grau n dado por
Pn,a(x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + ...+ an(x a)n,
onde os coeficientes ak =f (k)(a)k!
, k = 0, 1, 2, 3, ..., n. Logo,
Pn,a(x) = f(a)+f (1)(a)(xa)+ f(2)(a)2!
(xa)2+ ...+ f(n)(a)n!
(xa)n. (2.2)
O polinomio Pn,a(x) recebe o nome de Polinomio de Taylor de grau npara f centrado em a.
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 20
Escrevendo com a notacao de somatorio, temos que
P(n,a)(x) =n
k=0
f (k)(a)k!
(x a)k
Em particular, se a = 0, o Polinomio de Taylor de grau n para f , centradoem x = 0 e:
p(x) = P(n,0)(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn.
Exemplo 1. Dada a funcao f(x) = sen(x), encontrar o Polinomio de Taylorde f de grau (2n+ 1) centrado em a = 0.Como a funcao sen(x) e infinitamente diferenciavel, entao
sen(0) = 0sen(1)(0) = cos(0) = 1sen(2)(0) = sen(0) = 0sen(3)(0) = cos(0) = 1sen(4)(0) = sen(0) = 0
Daqui em diante as derivadas se repetem em ciclo de 4.Logo os numeros
ak =sen(k)(0)
k!sao da forma:
ak =
1, se k=3,7,11...;0, se k for par;1, se k=1,5,9....Logo
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 13! , a4 = 0, a5 =15!, a6 = 0, a7 = 17! , ...
Entao, o Polinomio de Taylor P2n+1,0 para a funcao sen(x) centrado ema = 0 e
P2n+1,0 = 0+1.(x0)+0. (x 0)2
2!1. (x 0)
3
3!+0.
(x 4)44!
+1.(x 0)5
5!+
0.(x 0)6
6! 1. (x 0)
7
7!+ ...+ (1)n.
[x2n+1
(2n+ 1)!
].
Entao teremos,
P2n+1,0(x) = x x3
3!+x5
5! x
7
7!+ ...+ (1)n.
[x2n+1
2n+ 1!
].
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 21
Exemplo 2. Dada a funcao h(x) = ex, encontrar o Polinomio de Taylor de hde grau n centrado em a = 0.h(0) = h(1)(0) = ... = h(n)(0) = 1
Entao,a0 = a1 = a2 = ... = an = 1
Logo, o Polinomio de Taylor Pn,0 para a funcao ex no ponto a = 0 e:
Pn,0(x) = 1 + x+ 1.(x 0)2
2!+ 1.
(x 0)33!
+ 1.(x 0)4
4!+ ...+ 1.
(x 0)nn!
Pn,0(x) = 1 + x+x2
2!+x3
3!+x4
4!+ ...+
xn
n!.
Consideremos para a funcao h(x) = ex os Polinomios de Taylor de grau 1 e2, que sao:
P1,0(x) = 1 + x e P2,0(x) = 1 + x+x2
2.
3
2
1
0
-1x
210-1-2
y
4
Exponencial
Polinomio Grau 1
Polinomio Grau 2
Notemos que numa pequena vizinhanca centrada em x = 0, a medida queo grau do Polinomio de Taylor aumenta, o grafico respectivo fica mais proximodo grafico de h(x).(veja figura anterior).
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 22
Analiticamente, verificaremos que P2,0(x) esta mais mais proximo de h(x)do que P1,0(x), ou seja, a ordem de convergencia e mais proxima se a ordem deproximidade for maior.
Para isto calculamos os seguintes limites:
1. limx0
f(x) P1,0(x)x 0 = limx0
ex 1 xx
=00.
Aplicando a Regra de LHopital, teremos
limx0
h(x) P1,0(x)x
= 0. (2.3)
2. limx0
f(x) P2,0(x)(x 0)2 = limx0
ex 1 x x2
2x2
=00.
Aplicando a Regra de LHopital 2 vezes temos que
limx0
h(x) P2,0(x)x2
= 0 (2.4)
O primeiro limite (2.3) nos diz que a diferenca h(x) e P1,0(x) tende a zeromais rapido que a funcao linear x.
O segundo limite (2.4) nos diz que a diferenca de h(x) e P2,0(x) tende a zeroainda mais rapido que uma funcao quadratica x2.
E isto que o Teorema a seguir mostra para uma funcao qualquer.
Teorema 11. Seja f : R R uma funcao n-vezes diferenciavel no ponto x = a.Entao,
limxa
f(x) Pn,a(x)(x a)n = 0.
Prova:Consideremos o Polinomio de Taylor de f de grau n centrado em x = a:
Pn,a(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ f(n1)(a)(n 1)! (x a)
n1 +fn(a)n!
(x a)n
Separando o ultimo termo do polinomio temos que:
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 23
Pn,a(x) =n1k=0
f (k)(a)k!
(x a)k + fn(a)(x a)n
n!.
Entao,
f(x) Pn,a(x)(x a)n =
f(x)n1k=0
f (k)(x a)kk!
f(n)(a)(x a)n
n!
(x a)n .
f(x) Pn,a(x)(x a)n =
f(x)n1k=0
f (k)(a)(x a)kk!
(x a)n f (n)(a)n!
.
Chamemos de g(x) =n1k=0
f (k)(a)(x a)kk!
e h(x) = (x a)n.
Devemos mostrar que
limxa
[f(x) g(x)
h(x) f
(n)(a)n!
]= 0.
Como o segundo termo do limite acima nao depende de x, basta mostrarque
limxa
f(x) g(x)h(x)
=f (n)(a)n!
. (2.5)
Sendo que g(x) = f(a)+f (a)(xa)+ ...+ fn1(a)(n 1)! (xa)
n1, entao temos
que, derivando sucessivamente como em (2.1)
g(i)(a) = f (i)(a) 0 i n 1.
Como f e n vezes diferenciavel no ponto a, entao f, f , f (2), ..., f (n1) saocontnuas em x = a e sendo g polinomio, entao temos:
limxa[f
(i)(x) g(i)(x)] = f (i)(a) g(i)(a); 0 i n 1.
Assim, para mostrar (2.5), podemos aplicar a Regra de LHopital (n 1)vezes a` primeira parte da equacao e obtemos:
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 24
limxa
f(x) g(x)h(x)
= limxa
f (n1)(x) g(n1)(x)h(n1)(x)
= limxa
fn(x)n!
=fn(a)n!
Uma aplicacao importante deste Teorema que deixamos para o Captulo 3e dar um criterio para decidir quando um ponto crtico degenerado (isto e,f (a) = f (a) = ... = f (k)(a) = 0 e f (k+1)(a) 6= 0) e ponto de maximo oumnimo local.
Definicao 17. Dizemos que duas funcoes f e g : R R sao iguais ateordem n em x=a se
limxa
f(x) g(x)(x a)n = 0.
Teorema 12. Sejam P e Q dois polinomios em (x a), de grau n e sejaa R qualquer. Suponha que P e Q sejam iguais ate ordem n em a, entao,
P = Q
Prova:Como P e Q sao iguais ate ordem n em a, por definicao, temos que:
limxa
P (x)Q(x)(x a)n = 0.
Chamemos de R(x) = P (x)Q(x). Substituindo temos:
limxa
R(x)(x a)n = 0. (2.6)
Devemos mostrar que R(x) = 0 para todo x R. De (2.6),
Seja 0 6 i 6 n,
limxa
R(x)(x a)i = limxa
[R(x)
(x a)n (x a)ni]= 0. (2.7)
Em particular para i = 0, resulta simplesmente que limxaR(x) = 0.
Seja R(x) = b0 + b1(x a) + b2(x a)2 + ...+ bn(x a)n.
limxaR(x) = limxa[b0 + b1(x a) + b2(x a)
2 + ...+ bn(x a)n]
limxaR(x) = b0 = b0 = 0.
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 25
Logo,
R(x)x a = b1 + b2(x a) + ...+ bn(x a)
n1.
De (2.7), para i = 1, temos
limxa
R(x)x a = limxa[b1 + b2(x a) + ...+ bn(x a)
n1] = 0
Entao,
limxa
R(x)x a = b1 = 0.
Seguindo este processo e usando (2.7), temos que
b0 = b1 = b2 = ... = bn = 0
Entao, R(x) = 0 x R. Consequentemente, P (x) = Q(x) x R. Isto eP = Q.
Corolario 1. Sejam f : R R uma funcao derivavel n vezes no ponto x = a eP um polinomio em (x-a), de grau n. Suponha que P e igual a f ate ordemn em x = 0. Entao P e o Polinomio de Taylor de f de ordem n centrado emx = a. Isto e,
P (x) = Pn,a(x), x R.Prova:
Como f e igual a P ate a ordem n em x = a, temos que:
limxa
f(x) P (x)(x a)n = 0 (2.8)
Por outro lado, do teorema 11
limxa
f(x) Pn,a(x)(x a)n = 0. (2.9)
Entao devemos mostrar que
limxa
P (x) P(n,a)(x)(x a)n = 0
Com efeito, acrescentando e subtraindo f(x) ao limite acima, temos:
limxa
P (x) P(n,a)(x)(x a)n = limxa
P (x) P(n,a)(x) + f(x) f(x)(x a)n =
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 26
= limxa
[[f(x) P(n,a)(x)] [f(x) P (x)]
(x a)n]=
= limxa
[f(x) P(n,a)(x)
(x a)n f(x) P (x)(x a)n
]=
= limxa
[f(x) P(n,a)(x)
(x a)n] lim
xa
[f(x) P (x)(x a)n
]entao, de (2.8) e (2.9) temos que
limxa
P (x) P(n,a)(x)(x a)n = 0.
Assim os polinomios P e Pn,a sao iguais ate a ordem n em x = a, entao, doteorema 13
P = Pn,a.
Quando uma funcao for n vezes diferenciavel no ponto x = a, o corolarioacima oferece um metodo util para encontrar seu Polinomio de Taylor centradoem x = a.
Exemplo 3. Dada a funcao t(x) = arctg(x), encontrar o Polinomio de Taylorde t de grau 2n+ 1 centrado em a = 0.
Note que, para determinarmos cada valor de ak =t(k)(a)k!
, devemos deter-
minar t(a), t(a), t(a), ..., tk(a). Assim
arctg(x) =1
1 + x2 arctg(0) = 1;
arctg(x) =2x
(1 + x2) arctg(0) = 0
arctg(x) =(1 + x2)2.(2) + 2x.2(1 + x2).2x
(1 + x2)4 arctg(0) = 2
Se continuar-mos derivando, teremos uma expressao cada vez maior, umaconta cada vez mais complicada e, para evitar isto, o Corolario 1 simplifica ba-stante o nosso trabalho.
Seja a equacao
arctg(x) = x0
11 + t2
dt
Dividindo o integrando (isto e 1 entre 1 + t2, ate obter um quociente deordem 2n, o resto e (1)n+1t2n+1, entao
11 + t2
= 1 t2 + t4 t6 + ...+ (1)nt2n + (1)n+1t2n+2
1 + t2
Logo,
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 27
arctg(x) = x0
[1 t2 + t4 t6 + ...+ (1)nt2n + (1)
n+1t2n+2
1 + t2
]dt
arctg(x) = x x3
3+x5
5 ...+ (1)
nx2n+1
2n+ 1+ (1)n+1
x0
t2n+2
1 + t2dt
arctg(x) = x x3
3+x5
5 ...+ (1)
nx2n+1
2n+ 1+ (1)n+1
x0
t2n+2
1 + t2dt (2.10)
Denotemos por P (x) = x x3
3+x5
5 ...+ (1)
nx2n+1
2n+ 1, entao de (2.10)
arctg(x) = P (x) + (1)n+1 x0
t2n+2
1 + t2dt
arctg(x) P (x)(x a)2n+1 =
(1)n+1 x0
t2n+2
1 + t2dt
(x a)2n+1 (2.11)
Agora mostraremos que:
limxa
x0
t2n+2
1 + t2dt
(x a)2n+1 = 0
De fato,
x0
t2n+2
1 + t2dt
x0
t2n+2dt
= |x|2n+32n+ 3 (2.12)Entao
limxa
x0
t2n+2
1 + t2dt
(x a)2n+1
6 limxa|x|2n+3x2n+1
= limxa
|x|22n+ 3
= 0.
Da afirmacao anterior e de (2.11) temos
limxa
arctg(x) P (x)(x a)2n+1 = 0.
Entao as funcoes arctg e P sao iguais ate ordem 2n + 1 no ponto x = a.Logo, do Corolario 1, P e o Polinomio de Taylor de grau 2n + 1 centrado em
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 28
x = a.
Deste modo, o Polinomio de Taylor para a funcao arctg(x), de grau 2n+1,centrado em x=0 e:
P2n+1,0(x) = x x3
3+x5
5 ...+ (1)
nx2n+1
2n+ 1.
Voltemos agora a equacao (2.10):
arctg(x) = x x3
3+x5
5 ...+ (1)
nx2n+1
2n+ 1+ (1)n+1
x0
t2n+2
1 + t2dt.
Da estimativa (2.11), se |x| 6 1, temos que o resto e: x0
t2n+2
1 + t2dt
|x|2n+32n+ 3 < 12n+ 3 .Isto significa que podemos utilizar os Polinomios de Taylor para a funcao
arctg(x) com a aproximacao que quisermos, basta eleger n tao grande quantoqueiramos para obter um resto arbitrariamente pequeno.
Os teoremas sobre Polinomios de Taylor estendem este resultado, comoveremos no captulo de Aplicacoes. Os teoremas ate aqui demonstrados temexaminado sempre o comportamento do Polinomio de Taylor Pn,a para n fixo,quando x tende a a. Mais a frente iremos comparar os Polinomios de TaylorPn,a para x fixo e n distintos.
2.3 Teorema de Taylor
Definicao 18. Sejam f : [a, x] R uma funcao e Pn,a o seu Polinomio deTaylor ate a ordem n em x = a. Chamamos de Resto e denotamos por Rn,a(x)a seguinte funcao:
Rn,a(x) = f(x) Pn,a(x).Entao,
f(x) = Pn,a(x) +Rn,a(x) =
= f(a) + f (a)(x a) + ...+ f(n)(a)n!
(x a)n +Rn,a(x) (2.13)
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 29
Seria desejavel dispor de uma expressao para Rn,a(x) que nos permita facil-mente estimar uma boa aproximacao para uma determinada funcao.
Do exemplo 3, para a funcao arctg(x), encontramos que
R2n+1,0(x) = (1)n+1 x0
t2n+2
1 + t2dt
e mostramos que
|R2n+1,0(x)| |x|2n+3
2n+ 3.
Lema 1. Seja f : [a, x] R funcao n-vezes diferenciavel em [a, x]. Parat [a, x] denotemos por
Rn,t(x) = S(t) = f(x) f(t) f (t)(x t) ... f(n)(t)n!
(x t)n.
Entao
S(t) = f(n+1)(t)n!
(x t)n.
Prova:
Fixado x e para cada t [a, x], podemos escrever a equacao (2.13) em termosdo Polinomio de Taylor centrado em t, e denotamos o resto por S(t) = Rn,t(x).Assim temos
f(x) = f(t) + f (t)(x t) + ...+ fn(t)n!
(x t)n + S(t). (2.14)
Derivando ambos os membros de (2.14) em relacao a t temos quef
t(x) = 0.
Entao,
0 = f (t)+[f (t) + f
(t)1!
(x t)]+[f
(t)1!
(x t) + f(t)2!
(x t)2]+ ...
...+[ f
(n)(t)(n 1)! (x t)
n1 +f (n+1)(t)
n!(x t)n
]+ S(t)
Simplificando temos 0 =f (n+1)(t)
n!(x t)n + S(t). Entao
S(t) = f(n+1)(t)n!
(x t)n. (2.15)
Utilizaremos este lema nas subsecoes a seguir.
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 30
2.3.1 Teorema de Taylor com Resto Integral
Consideremos a seguinte equacao:
f(x) = f(a) +R0,a(x)
Pelo Teorema Fundamental do Calculo, temos que
f(x) = f(a) + xa
f (t)dt
de maneira que R0,a(x) = xa
f (t)dt.
De forma analoga, obtemos uma expressao para R1,a(x). Para isto, inte-
gramos xa
f (t)dt, utilizando o metodo de integracao por partes.
Veja que f(x) = f(a) + xa
f (t)dt = f(a) xa
f (t)(dt).
Resolvendo somente a integral xa
f (t)(dt), temos que,
u(t) = f (t), du(t) = f (t)dt e dv(t) = dt, v(t) = x t.Logo teremos x
a
f (t)(dt) = u(t)v(t)|ba xa
(xt)f (t)dt = f (t)(xt) xa
f (t)(xt)dt =
= f (x)(xx)f (a)(xa) xa
f (t)(xt)dt = 0f (a)(xa) xa
f (t)(xt)dt =
= f (a)(x a) xa
f (t)(x t)dt.
Como f(x) = f(a) xa
f (t)(dt), temos entao que
f(x) = f(a)[f (a)(x a)
xa
f (t)(x t)dt]
f(x) = f(a) + f (a)(x a) + xa
f (t)(x t)dt.
Assim entao,
R1,a(x) = xa
f (t)(x t)dt.
Uma generalizacao desta forma de escrever o resto e dado no seguinte teo-rema:
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 31
Teorema 13. Seja f : [a, x] R uma funcao n+1 vezes diferenciavel comfn+1 integravel em [a, x]. Entao
f(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ fn(a)n!
(x a)n +Rn,a(x),onde o resto e da forma:
Rn,a(x) = xa
fx+1
n!(x t)ndt.
Prova:Escrevendo f(x) em funcao dos Polinomios de Taylor centrados em t [a, x],como no Lema 1, e da equacao (2.15), temos que a funcao resto S(t) = Rn,t(x)satisfaz
S(t) = f(n+1)(t)n!
(x t)n.Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo, temos
S(x) S(a) = xa
S(t)dt = xa
f (n+1)(t)n!
(x t)ndt.
Como S(t) = Rn,t(x), temos que S(x) = Rn,x(x) = 0 (pois f(x) = f(x) +f (x)(x x) + ...+Rn,x(x)) e S(a) = Rn,a(x).
Entao temos que
0Rn,a(x) = xa
f (n+1)(t)n!
(x t)ndt.
Logo,
Rn,a(x) = xa
f (n+1)(t)n!
(x t)ndt.
2.3.2 Teorema de Taylor com Resto Cauchy
Teorema 14. Seja f : [a, x] R uma funcao n+1 vezes diferenciavel. Entao
f(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ fn(a)n!
(x a)n +Rn,a(x),
e a funcao resto e da forma:
Rn,a(x) =f (n+1)(t)
n!(x t)n(x a), para algum t (a, x).
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 32
Prova:Escrevendo f(x) em funcao dos Polinomios de Taylor centrados em t [a, x],
como no Lema 1, e da equacao (2.15), temos que a funcao resto S(t) = Rn,t(x)satisfaz
S(t) = f(n+1)(t)n!
(x t)n
Aplicando o teorema do valor medio na funcao S em [a, x], temos que existeum t em (a, x) tal que
S(x) S(a)x a = S
(t) = f(n+1)(t)n!
(x t)n
Como S(t) = Rn,t(x) = f(x) f(t) f (t)(x t) ... f(n)(t)n!
(x t)n,temos que S(x) = Rn,x(x) = 0 e S(a) = Rn,a(x).
Assim entao,
0Rn,a(x)x a =
f (n+1(t)n!
(x t)n
ou seja, como queramos demonstrar:
Rn,a(x) =f (n+1)(t)
n!(x t)n(x a)
2.3.3 Teorema de Taylor com Resto Lagrange
Teorema 15. Seja f : [a, x] R uma funcao n+1 vezes diferenciavel. Entao
f(x) = f(a) + f (a)(x a) + ...+ fn(a)n!
(x a)n +Rn,a(x),
e a funcao resto e da forma:
Rn,a(x) =f (n+1)(t)(n+ 1)!
(x a)n+1, para algum t (a, x).
Prova:Escrevendo f(x) em funcao dos Polinomios de Taylor centrados em t [a, x],
como no Lema 1, e da equacao (2.15), temos que a funcao resto S(t) = Rn,t(x)satisfaz
S(t) = f(n+1)(t)n!
(x t)n
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 33
Para deduzir o resto na forma de Lagrange, basta aplicar o teorema do valormedio de Cauchy nas funcoes S(t) e g(t) = (x t)n+1. Assim, existe t (a, x)tal que
S(x) S(a)g(x) g(a) =
S(t)g(t)
=f
(n+1)(t)n!
(x t)n(n+ 1)(x t)n =
f (n+1)(t)n!
(x t)n(n+ 1)(x t)n
Vejamos que S(x) = Rn,x(x) = 0, S(a) = Rn,a(x), g(x) = 0 e g(a) =(x a)n+1.
Substituindo na equacao anterior
0Rn,a(x)0 (x a)n+1 =
f (n+1)(t)n!
(x t)n(n+ 1)(x t)n
Rn,a(x)(x a)n+1 =
f (n+1)(t)n!
(x t)n(n+ 1)(x t)n
Rn,a(x)(x a)n+1 =
f (n+1)(t)(x t)nn!
.1
(x+ 1)(x t)n
Rn,a(x)(x a)n+1 =
f (n+1)(t)n!(n+ 1)
=f (n+1)(t)(n+ 1)!
Entao,
Rn,a(x) =f (n+1)(t)(n+ 1)!
(x a)n+1.
2.4 Outros Exemplos
Exemplo 4. Dada a funcao g(x) = log(x), com x > 0, encontrar o Polinomiode Taylor de g de grau n centrado em a = 1.f(1) = 0
f (1)(x) =1x f (1)(1) = 1
f (2)(x) = 1x2
f (2)(1) = 1f (3)(x) =
2x3
f (3)(1) = 2
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 34
f (4)(x) = 6x4
f (4)(1) = 6Logo,
f (k)(x) =(1)n1.(n 1)!
xn, n 1
O Polinomio de Taylor Pn,1 para a funcao log(x) no ponto a = 1 e
Pn,1(x) = (x 1) (x 1)2
2+(x 1)3
3+ ...+
(1)n1(x 1)nn
.
Exemplo 5. Para a funcao sen(x), com a = 0, sabemos que seu Polinomio deTaylor de grau P2n+1,0 e:
P2n+1,0(x) = x x3
3!+x5
5! ...+(1)n
[x2n+1
2n+ 1!
]+ x0
sen(2n+2)(t)(2n+ 1)!
(xt)2n+1dt
Iremos estimar o valor da integral acima, uma vez que e bastante compli-cado resolve-la. Estimar este valor e facil e ao mesmo tempo teremos uma boaaproximacao para o valor desta funcao.
Por ser |sen(2n+2)(t)| 1, t, teremos
x0
sen(2n+2)(t)(2n+ 1)!
(x t)2n+1dt 1(2n+ 1)!
x0
(x t)2n+1dt
Entao, x0
(x t)2n+1dt = (x t)2n+2
2n+ 2= (x x)
2n+2
2n+ 2[ (x 0)
2n+2
2n+ 2
]= x
0
(x t)2n+1dt = x2n+2
2n+ 2
Logo, x0
sen(2n+2)(t)(2n+ 1)!
(x t)2n+1dt 1(2n+ 1)! |x|2n+22n+ 2 = |x|2n+2(2n+ 2)!
Se quisermos calcular sen2 com um erro menor que 104, temos que
sen2 = P2n+1,0(2) +R,
onde |R| 22n+2
(2n+ 2)!. Assim, utilizamos P2n+1,0(2) como solucao sempre que
22n+2
(2n+ 2)!< 104
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 35
Logo, quando n = 5, obtemos o resultado procurado, pois
sen2 = P11,0(2) +R = 2 23
3!+25
5! 2
7
7!+29
9! 2
11
11!+R onde |R| < 104.
Veja que |R| = 211
11!< 104, ou 0, 00004 < 0, 0001.
Logo, com esta tolerancia temos que sen2 = 0, 909296136.A figura a seguir mostra o grafico da funcao sen(x) bem como o grafico de
seu Polinomio de Taylor de grau 11.
y
x
8
8
4
04
-4
-8
0-4-8
Seno
Polinomio de Taylor
Exemplo 6. Seja a funcao f(x) = cox(x). Iremos encontrar o Polinomio deTaylor Pn,a(x) de grau 2n no ponto a = 0.
cos(0) = 1cos(1)(0) = sen(0) = 0cos(2)(0) = cos(0) = 1cos(3)(0) = sen(0) = 0cos(4)(0) = cos(0) = 1As derivadas se repetem em ciclo de 4. Entao os numeros
ak =cos(k)(0)
k!
serao
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 36
a0 = 1, a1 = 0 a2 = 12! , a3 = 0, a4 =14!, a5 = 0, a6 = 16! , a7 = 0, ...
O Polinomio de Taylor P2n,0 de grau 2n para a funcao cos(x) no ponto a = 0e:
P2n,0 = 1 + 0(x 0) 1(x 0)2
2!+ 0.
(x 0)33!
+ 1(x 0)4
4!+ 0
(x 0)55!
1(x 0)6
6!+ 0
(x 0)77!
+ ...+ (1)n (x)2n
2n!+ x0
cos(2n+1)(t)(2n)!
(x t)2ndt
P2n,0(x) = 1 x2
2!+x4
4! x
6
6!+ ...+ (1)nx
2n
2n!+ x0
cos(2n+1)(t)(2n)!
(x t)2ndtIremos estimar o valor da integral acima, uma vez que e bastante compli-
cado resolve-la. Estimar este valor e facil e teremos uma boa aproximacao parao valor da funcao cox(x).Por ser |cos(2n+1)(t)| 1, t, teremos x
0
cos(2n+1)(t)(2n)!
(x t)2ndt 1(2n)!
x0
(x t)2ndt x2n+1(2n+ 1)! .
Se quisermos calcular cos1 com um erro menor que 105, temos que cos1 =
P2n,0(1) + R, onde |R| 12n+2
(2n+ 2)!. Assim, utilizamos P2n,0(2) como solucao
sempre que1
(2n)!< 105.
Logo, quando n = 5, obtemos o resultado procurado, pois110!
< 105.
cos1 = P10,0(1) +R = 1 12
2!+14
4! 1
6
6!+18
8! 1
10
10!+R onde |R| < 105.
Assim, com esta tolerancia temos que cos1 = 0, 540302304.A proxima figura mostra o grafico da funcao cos(x) bem como o grafico de
seu respectivo Polinomio de Taylor de Grau 11.
-
CAPITULO 2. APROXIMACAO POR FUNCOES POLINOMIAIS 37
y
x
8
8
4
04
-4
-8
0-4-8
Cosseno
Polinomio de Taylor
-
38
Captulo 3
Aplicacoes
3.1 Criterios de Maximo e Mnimo Locais paraPontos Crticos Degenerados
Definicao 19. Seja f : [a, x] R uma funcao nvezes diferenciavel. x (a, b)e ponto crtico degenerado de ordem k se f (x) = f (x) = ... = f (k)(x) = 0 ef (k+1)(x) 6= 0
Como aplicacao do Teorema 11, daremos um criterio para decidir se umcerto ponto crtico degenerado e maximo ou mnimo local, ou ponto de inflexao.
Teorema 16. Seja f : R R uma funcao n-vezes diferenciavel no ponto x = a,e este e um ponto crtico degenerado de ordem n.
Entao uma das seguintes propriedades e valida:
1. Se n e par e f (n)(a) > 0, entao f tem um ponto de mnimo local em a.
2. Se n e par e f (n)(a) < 0, entao f tem um ponto de maximo local em a.
3. Se n e mpar, entao f nao e ponto de maximo nem de mnimo local emx = a. Neste caso, x = a e chamado de ponto de inflexao.
Prova:Se consideramos a funcao g(x) = f(x) f(a), notamos que g(a) = 0 e
gk(a) = fk(a) k. Sendo g uma translacao vertical de f , a natureza de sermaximo local ou mnimo local de um implica o mesmo para o outro. Assim,sem perda de generalidade, podemos supor que f(a) = 0.
Como as primeiras (n1) derivadas de f no ponto x = a valem 0, o Polinomiode Taylor Pn,a(x) de f e:
Pn,a(x) =f (n)(a)n!
(x a)n.
-
CAPITULO 3. APLICACOES 39
Do Teorema 11 temos que
0 = limxa
f(x) Pn,a(x)(x a)n = limxa
f(x) f(n)(a)n!
(x a)n(x a)n .
Simplificando, temos que
limxa
[f(x)
(x a)n f (n)(a)n!
]= 0.
Logo,
limxa
f(x)(x a)n =
f (n)(a)n!
. (3.1)
Caso 1: Se n e par e fn(a) > 0.
De (3.1) e da definicao de limite, dado =12
(f (n)(a)n!
)> 0, > 0 tal
que se 0 < |x a| < , entao
< f(x)(x a)n
f (n)(a)n!
< = f(n)(a)n!
< f(x)(x a)n < +
f (n)(a)n!
.
Como =12
(f (n)(a)n!
), entao
0 0 para obter
-
CAPITULO 3. APLICACOES 40
Figura10
32
(f (n)(a)n!
) 0, usamos (3.2):
0 0. Se x < a, temos que(x a)n < 0, entao f(x) < 0. Logo, f tem um ponto de inflexao em x = a (verfigura 12).
Figura12
3.2) Se f (n)(a) < 0, usamos (3.3):
32
(f (n)(a)n!
) 0, entao f(x) < 0. Se x < a, (x a)n < 0,entao f(x) < 0. Novamente f tem um ponto de inflexao em x = a (ver figura13).
3.2 ee irracional
Para a funcao ex centrado em a = 0, sabemos do exemplo 2 que seu Po-linomio de Taylor Pn,0 com resto integral e:
Pn,0(x) = 1 + x+x2
2!+x3
3!+x4
4!+ ...+
xn
n!+ x0
et
n!(x t)ndt
Para um resultado melhor, iremos supor que x 0 (estimar para x 0e analogo). Sobre o intervalo [a, x], o valor maximo de et e ex, pois a funcao
-
CAPITULO 3. APLICACOES 42
Figura13
exponencial e crecente, de modo que
R = x0
et
n!(x t)ndt e
x
n!
x0
(x t)ndt = exxn+1
(n+ 1)!.
Como e e aproximadamente 2, 718..., temos entao que
exxn+1
(n+ 1)! 0, e < 3.
Se 0 x 1, entao
ex = 1 + x+x2
2!+ ...+
xn
n!+R, onde 0 < R 105, o que nao nos atendera.
Porem quando n = 8 temos3
(n+ 1)!< 105. Assim entao, temos que
e = 1 + 1 +12!+
13!+
14!+
15!+
16!+
17!+
18!+R,
onde |R| 105.Logo, com esta tolerancia temos que e = 2, 718278770.A figura abaixo mostra o grafico da funcao ex bem como o grafico de seu
Polinomio de Taylor de grau 8.
x
1086420-2-4
y
20
15
10
5
0
Exponencial
Polinomio de Taylor
Teorema 17. e e irracional
Prova:Sabemos que, para todo n,
-
CAPITULO 3. APLICACOES 44
e = e1 = 1 +11!+
12!+ ...+
1n!
+Rn onde 0 < Rn b 2.a
b= 1 + 1 +
12!+ ...+
1n!
+Rn.
Se multiplicarmos ambos os lados por n!, temos
n!ab
= n! + n! +n!2!
+ ...+n!n!
+ n!Rn.
Veja que todos os termos diferentes de n!Rn sao inteiros (o primeiro termoe inteiro pois n > b). Assim n!Rn e inteiro. Mas
0 < Rn 3,
0 < n!Rn