CÁLCULO INTEGRAL DIFERENCIAL · - GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral....

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1 CÁLCULO INTEGRAL Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do conceito e da aplicação de Diferencial. DIFERENCIAL Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que dx dy representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em relação a variável independente x. Em função disso podemos dizer que: - A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f´(x) pela diferencial da variável independente dx. Regras para o cálculo da Diferencial Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso multiplicarmos a derivada por dx.

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CÁLCULO INTEGRAL

Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular

Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do

conceito e da aplicação de Diferencial.

DIFERENCIAL

Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que dx

dy

representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em

relação a variável independente x.

Em função disso podemos dizer que:

- A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f´(x)

pela diferencial da variável independente dx.

Regras para o cálculo da Diferencial

Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua

derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para

determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso

multiplicarmos a derivada por dx.

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Em decorrência dessa informação, vamos calcular as diferenciais das

funções abaixo:

a) f(x) = 3 b) y = -3x c) y = 2x5

d) f(x) = x3 + 5x2 - 4 e) y = e4x f) y = Ln (5x)

SOLUÇÃO

0

.0

0

3)()

df

dxdf

dx

df

xfa

dxdy

dx

dy

xyb

3

3

3)

dxxdy

xdx

dy

xyc

4

4

5

10

10

2)

dxxxdf

xxdx

df

xxxfd

)103(

103

45)()

2

2

23

dxedy

edx

dy

eye

x

x

x

4

4

4

.4

.4

)

dxx

dy

xdx

dy

x

x

dx

dy

xLnyf

.1

5

5

5

)'5(

)5()

A partir dessas orientações sobre Diferencial, podemos iniciar os estudos de

Cálculo Integral.

CÁLCULO INTEGRAL

01- INTRODUÇÃO

Durante nossos estudos sobre a disciplina Matemática, observamos

algumas funções que apresentam inversas. Relembremos algumas delas com

seus respectivos gráficos.

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Agora, verificaremos através de exemplo, que a Integral e a Derivada são

funções inversas uma da outra.

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Notamos que, neste momento, não existe condição de sabermos quais as

constantes que irão acompanhar as integrais para que encontremos as funções

primitivas, por isso que, ao integrarmos qualquer função, adicionamos sempre,

no final, a letra c, que é denominada CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.

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Exemplo:

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Exemplo:

- Resolva as integrais:

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4.4) Integral da função exponencial.

Exemplo:

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Exercício

Em cada item abaixo, encontre a função primitiva:

a) f’(x)=2x – 4, sendo f(3) = 2 b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3

Aplicação na Economia.

- Sabendo que q representa a quantidade produzida de determinado produto e

Rmg = -q2 + 20q – 2, Cmg = 4q – 3, Cf = 70 e Pmg = 4q3 + q, suas

respectivamente, funções Receita Marginal, Custo Marginal, Custo Fixo e

Produção Marginal. Determine as funções Receita, Custo e Produção.

Solução:

- Cálculo da Função Receia (Rt).

Como, a Função Receita Marginal (Rmg) representa a 1a derivada da

Função Receita (Rt), devemos integrar Rmg, para encontrar Rt.

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q = 0 temos C(0) = Cf = 70, logo:

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Aplicação na Física.

- Após determinado instante, a velocidade de um veículo (km/hora) é dada pela

função 354)( ttV 200 t . Encontre a posição do veículo quando t = 10 h.

Solução:

Ao estudar derivada observamos que a Função Velocidade está relacionada

com a derivada primeira da Função Espaço, então, para encontrar a Função

Espaço, tendo a Função Velocidade, devemos integrar a mesma, da seguinte

maneira:

Verifica-se que após 10 horas o veículo percorreu 550 km.

APLICAÇÃO – 1

1) Calcule a função primitiva em cada caso:

1.1) f’(x) = 2x – 5, sendo f(3) = -14

1.2) f’(x) = 2x2 + 2x – 3, sendo f(-2) = 2

1.3) f’(x) = 3. x , sendo f(4) = 12

1.4) f’(x) = x

2, sendo f(e3) = 8

2) Resolva as integrais indefinidas:

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Até esse momento, trabalhamos com funções simples, agora,

utilizaremos as regras de integral vista acima, em funções compostas,

onde foram analisadas quando do estudo de Derivadas (Regra da Cadeia).

Para resolvermos esse tipo de integral, utilizaremos o método de

substituição (mudança de variável), por ser um caminho que facilitará a

resolução de integrais pertencentes a uma extensa categoria de funções.

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APLICAÇÃO – 2

- Encontre o resultado de cada integral indefinida abaixo:

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4.5) Integral de Funções trigonométricas.

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17

Exemplo:

- Resolva as integrais:

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19

Exemplo:

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05- INTEGRAÇÃO POR PARTES.

Existem algumas integrais que não conseguimos resolver utilizando qualquer

método até agora visto. Então, para resolver essas integrais, devemos utilizar

um novo método, denominado Integração por Partes.

Fórmula da Integração por Partes:

Exemplo:

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Solução:

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10- INTEGRAL DEFINIDA

10.1- Introdução.

Durante nossos estudos sobre integral Indefinida, aprendemos a calcular

vários tipos de integrais, utilizando, para isso, alguns métodos de resolução.

Esses métodos são também utilizados para calcular a Integral Definida.

Essas integrais, que são definidas num intervalo [a, b], facilitam os cálculos das

áreas e dos volumes das figuras geométricas.

10.2- Cálculo de uma Integral Definida.

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Exemplo:

24

Solução:

25

06) dxx

0 2cos

dudx

u

uxu

2

00

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CÁLCULO DE ÁREAS

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Exemplo:

1) Resolver os seguintes problemas:

1.1) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 5x + 4 e pelos pontos x = 2 e

x= 3.

03) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 4 e pelo eixo dos x.

- Inicialmente, determina-se as raízes da função, em seguida, calcula-se a

integral definida no intervalo [x’, x”].

y

2"

2'

04

4)(

2

2

x

x

x

xxf

-2 S 2 x

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05) Calcular a área limitada pela curva y2 = 2x, eixo dos y e pelas retas y=2 e y

=3.

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SÍNTESE

Neste aprendizado, você verificou que a Integral e a Diferencial são

funções inversas. Aprendeu a resolver exercícios utilizando as regras de

Integral Indefinida. Conceituou Integral Definida. Aprendeu a utilizar Integral

Definida na resolução de exercícios e problemas práticos como, determinação

do valor de áreas e volumes.

.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: - BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Moscou: Mir, 1978. - GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, 1954. - GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, 2008. - IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v. - LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.