Calculo Simplificado Da Capacidade de Carga de Rodas Dentadas Cilindricas

Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 1 draft 2013

Cálculo simplificado da capacidade de carga de rodas dentadas cilíndricas1 As notas seguintes, baseadas no vol. 1 da 4ª ed. do ‘Traité théorique et pratique des engrenages’ de G. Henriot2, descrevem sucintamente um método simplificado de cálculo de engrenagens apresentado naquela obra, envolvendo dois passos: um cálculo aproximado, a que se segue um cálculo de verificação. Entretanto foram evoluindo normas ISO sobre o assunto, em particular ISO 6336-2 e -33. Os respectivos processos de cálculo estão programados em software agora disponível aos alunos da FEUP4. Pode assim ter interesse a comparação de resultados obtidos usando o procedimento de Henriot a seguir descrito, com os que se obterão usando os referidos softwares. 1 Cálculo aproximado da capacidade de carga Uma estimativa conservadora do valor do módulo pode ser obtida usando expressões baseadas em aproximações simples do dente como uma viga trabalhando à flexão, supondo a carga transmitida a actuar na cabeça do dente, e apenas um par de dentes em contacto, e dentado normal 0x . O valor do módulo m encontrado é:

311 t

adm

Mm

k z

(1)

onde tM é o momento torsor, a largura do dente é b k m , z é o número de dentes, e

adm é a tensão admissível. A largura da roda é, para efeito de estudo inicial,

frequentemente tomada como cerca de 10 vezes o módulo. Valores muito elevados de k são de evitar, dada a óbvia dificuldade em assegurar uma efectiva repartição longitudinal da carga, devido a possíveis defeitos de maquinagem e/ou a deformações em serviço. O tratado de Niemann 5 preconiza:

Tabela 1 – limites orientativos para a largura do denteb apoio bilateral rígido 1 1, 2bb d

em consola 1 0,75bb d

1 uma primeira versão destas notas foi usada na disciplina anual Órgãos de Máquinas (OM) do curso de Eng. Mecânica da FEUP nas décadas de oitenta e noventa, chamando a atenção para a norma Francesa AFNOR E23-015, entretanto publicada. Com a passagem da disciplina a semestral, como consequência negativa do ‘Processo de Bolonha’, a referência ao cálculo de capacidade de carga de engrenagens deixou de ser feita na disciplina semestral OM ficando a iniciação dos alunos nesta matéria a cargo das disciplinas de ‘Anteprojecto’ (agora designada ‘Iniciação ao Projecto’), cujos docentes usam uma variedade de fontes bibliográficas para o efeito. A síntese de dados da 4ª ed. do tratado de G. Henriot, aqui incluída, foi inicialmente preparada por J. Silva Gomes. A abordagem usando a normalização ISO 6336 é agora tratada na disciplina Órgãos de Máquinas II. 2 Georges Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968 3 ISO 6336-2:2006 ‘Calculation of load capacity of spur and helical gears — Part 2: Calculation of surface durability (pitting)’, 2006. ISO 6336-3:2006, ‘Calculation of load capacity of spur and helical gears — Part 3: Calculation of tooth bending strength’, 2006. 4 por exemplo, AUTODESK INVENTOR, que inclui o procedimento de cálculo ISO 6336-3, 1996, método C, e, a partir de 2013/2014, o software KISSsoft da empresa KISSsoft AG. 5 Gustav Niemann, ‘Tratado teórico-práctico de elementos de máquinas – cálculo, diseño y construcción’, Editorial Labor, 1967, p.487.


Sendo o ângulo de pressão 20 , 1 1, 2bb d leva a 11,13b m z ; para um pinhão

de 15 dentes, por exemplo, virá 17b m . Os limites indicados variam conforme a fonte consultada; as tabelas técnicas de Gieck6, por ex., apresentam limites um pouco diferentes, 1 1,5b d e 1 0,7b d para pinhões montados com apoio bilateral rígido,

ou em consola, respectivamente. Já em texto para o ensino secundário Português7, é referida gama 6 a 16 para valores possíveis para k . Afirmando que há vantagem em tomar sempre o menor valor possível para a razão 1b d , Henriot8 nota que por vezes

isso não é possível no caso de engrenagens de alta velocidade, dada a velocidade tangencial que poderia resultar. O anteprojecto da engrenagem tem de tomar em consideração os veios em que vão trabalhar (sendo comum maquinar pinhões directamente em veios). O citado tratado de Niemann apresenta (p.350) uma orientação de estudo inicial, que permite estimar o diâmetro seja baseado no momento torsor, seja no ângulo de torção (tomado como 0,25º/m). Uma abordagem aos passos iniciais do dimensionamento de rodas dentadas cilíndricas, baseada na experiência de Henriot, será agora apresentada. O método exposto por Henriot na obra citada (pág. 387 e seguintes) destina-se a um cálculo de anteprojecto, não devendo os resultados obtidos ser tomados como definitivos; estes serão submetidos posteriormente a um cálculo de verificação, e eventualmente modificados. Na Tabela 1 as engrenagens paralelas são agrupadas segundo os tipos mais frequentemente encontrados. Na Figura 1 indicam-se valores práticos da relação 1b d

para os diferentes tipos de engrenagens da Tabela 1. A Tabela 1 e a Figura 1, elementos de base para este passo inicial, reflectem experiência acumulada neste tipo de projectos.

1.1 Determinação simplificada da engrenagem à pressão superficial.

Se designarmos por:

2 1

1 2

zi

z

razão de transmissão

a entre eixo, (mm) b largura do dente, (mm)

1n velocidade de rotação do pinhão (rpm)

P potência a transmitir (kgm/s) K coeficiente tirado da Tabela 1

tF força tangencial primitiva (kg)

6 Kurt Gieck, Reiner Gieck, ‘Manual de fórmulas técnicas’, 4ª ed., Dinalivro. Hemus, 1996, p.Q23 (tradução de ‘Technische Formelsammlung’, 29ª ed. alemã). 7 Fernando M.F. da Silva, Fernando N.da Silva, ‘Mecânica dos materiais III’, 3ª ed. , Porto Editora, 1990, p.149. 8 Georges Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, p.397.

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Tabela 1 – Tipos de engrenagens paralelas frequentemente encontradas; valores K , 0tF b m , e Z ; notar10 que 1 1Z z i i .

Características K .t oF b m Z

I

a) b)

Pinhões de caixas de velocidade Aços de cementação para pinhão e roda.

Dentes helicoidais simples 30o .

Qualidade do dente: ISO 7-8 (depois de tratamento térmico). Duração de funcionamento à plena carga < 2.000 horas Viaturas de turismo. 0.8AK

1. Velocidades superiores 2. Velocidades inferiores Camiões, automóveis, tractores

0,7 a 1,0 1,0 a 1,1 0,6 a 0,7

12 a 15 15 a 18 8 a 10

12 a 14

II

a) b)

Engrenagens de aviação Aços de cementação de qualidade superior. Qualidade do dente: ISO 4 ou 5. Segurança muito grande. Engrenagens confirmadas por ensaios. Engrenagens clássicas Trens planetários

0,6 a 0,7 0,5 a 0,6

8 a 10 6 a 8

III

1

Engrenagens de grande velocidade Pinhão e roda em aços de cementação. Grande duração de funcionamento com choques moderados e grande segurança. Dentes simples helicoidais. a) mais de 50000 horas, 24 horas por dia

1. Precisão ISO 4 2. Precisão ISO 5 e 6

0,385 0,25

9 6,5

20 a 22

b) 25000 horas. 12 horas por dia 1. Precisão ISO 4 2. Precisão ISO 5 e 6

c) 5.00 horas

1. Precisão ISO 4 2. Precisão ISO 5 e 6

0,440 0,285 0,53 0,345

10 7 12 9

2

Pinhão em aço de cementação. Roda em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell) a) 1.

2. b) 1. como para 1

2. c) 1.

2.

0,21 0,135 0,24 0,155 0,285 0,180

7,5 5 8,5 5,5 9,5 6

30 a 32

3 Pinhão em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell). Roda em aço de liga tratada para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell) a) 1.

2. b) 1. como para 1

2. c) 1.

2.

0,19 0,12 0,215 0,14 0,255 0,162

7,5 5 8,5 5,5 9,5 6

35 a 37

4 Pinhão em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Roda em aço de liga tratado para 70-80 kgmm-2 (225 Brinell). Dente em espinha de precisão. a) 1.

2.

b) 1.

como para 1

2.

0,155 0,10 0,175 0,115

6 4 7 4,5

34 a 35

10 Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, eq. 255, p.400.


Tabela 1, (continuação)

Características K .

t

o

F

b m

Z

IV

1

Engrenagens de mecânica geral Choques moderados. Factor de segurança normal. Dentes helicoidais ou em espinha. Pinhão e roda em aço cementação. Precisão ISO 5 e 6. a) 5tv m s

1. mais de 50000 horas. 24 horas por dia 2. 25000 horas. 12 h/dia

b) 5 < tv < 10

1. 2.

c) 10 < tv <15

1. 2.

d) 15 < tv < 30

1. 2.

e) 30 < tv < 50

1. 2.

0,43 0,505 0,39 0,46 0,365 0,43 0,35 0,41 0,32 0,375

9 10,5 8 9,5 7,5 9 7 8,5 7 8

20 a 21

2

Pinhão em aço de cementação. Roda em aço de liga tratada para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell) Precisão ISO 5 e 6. a) 1.

2. b) 1.

2. c) 1.

2. como para 1 d) 1.

2. e) 1.

2.

0,235 0,275 0,212 0,25 0,20 0,235 0,19 0,222 0,175 0,205

7 7,5 6 7 5,5 6,5 5 6 5 5,5

25 a 27

3

Pinhão em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell). Roda em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Precisão ISO 6 e 7. a) 1.

2. b) 1.

2. como para 1 c) 1.

2. d) 1.

2.

0,21 0,245 0,185 0,215 0,167 0,195 0,150 0,175

6,5 7 5,5 6,5 5 6 4,5 5,5

26 a 28

4

Pinhão em aço de liga tratada para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Roda em aço de liga tratada para 70-80 kgmm-2 (225 Brinell). Precisão ISO 6 e 7. a) 1.

2. b) 1.

2. c) 1.

2. d) 1.

2.

0,17 0,20 0,15 0,175 0,136 0,157 0,122 0,14

5,5 6 4,5 5 4 5 3,5 4,5

27 a 29


Tabela 1, (continuação)

Características K .

t

o

F

b m

Z

V

1 Mecânica pesada 50000 horas no mínimo. 24 horas por dia. Choques bastante importantes 0,57AK

Grande segurança à rotura. - Pinhão em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Bri.). - Roda em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Qualidade ISO 7 e 8. a) Dente em espinha 1. v < 5 2. v < 10 b) Dente recto (v < 5)

0,20 0,175 0,15

3,5 a 4 3 a 3,5

17 23

2 Pinhão em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). - Roda em aço de liga tratado para 70-80 kgmm-2 (270 Brinell). Qualidade ISO 7 e 8. a) Dente em espinha: v < 10

1. Qualidade ISO 7 e 8 2. Qualidade ISO 8 a 10

b) Dente recto: v < 5 1. Qualidade ISO 7 e 8 2. Qualidade ISO 8 a 10

0,14 0,115 0,122 0,10

3 a 3,5 2,5 a 3

22 25

1.2 Cálculo simplificado da engrenagem à rotura.

As dimensões globais da engrenagem foram determinadas em 1.1. Determina-se agora um módulo 0m que confira à engrenagem uma resistência à rotura suficiente.

O critério utilizado na determinação do módulo da engrenagem consiste em impor que a relação 0.tF b m esteja de acordo com a indicada na Tabela 1:

0 0. .

t t

adm

F F

b m b m

(4)

ou seja

0

0.

t

t

adm

Fm

Fb

b m

(5)

onde

1 1

60t

PF

n d

(6)

2 Cálculos de verificação. Terminado o primeiro passo deste estudo, o segundo passo vai fazer a verificação à rotura e à pressão superficial, de acordo com o procedimento da edição referida do tratado de Henriot.


2.1 Capacidade de carga à rotura. Se designarmos por11:

tF - esforço tangencial, (kg)

b - tensão (hbarkgmm-2)

.limb - tensão limite de base (Figura 2)12

.b adm - tensão admissível

b - largura do dente (mm)

om - módulo real da ferramenta

1n ou 2n - velocidade de rotação do pinhão ou da roda (rpm)

1z ou 2z - número de dentes do pinhão ou da roda

1Y

factor de engrenamento13 (Figura 3)

- razão de condução

Y - factor de inclinação (Figura 4)

FY - factor de forma (Figura 5) 3cosvz z - número de dentes virtual

vK - factor de velocidade (Figura 6, e Tabela 2)

bLK - factor de duração (Figura 7)

MK - factor de montagem (Figura 8)

AK - factor de serviço (Tabela 3)

o esforço tangencial admissível é dado pela fórmula:

. .lim 0v bL M A

t adm bF

K K K KF b m

Y Y Y

(7)

ou seja, para o pinhão e para a roda duma engrenagem

1

1

1 1lim 0v bL M A

t adm bF

K K K KF b m

Y Y Y

(8)

2

2

2 2lim 0v bL M A

t adm bF

K K K KF b m

Y Y Y

(9)

A capacidade da engrenagem é determinada pelo menor dos valores 1t admF ou 2t admF . A

carga em serviço deverá sempre ser inferior ao menor destes valores. 11 a sequência da lista é a adoptada em Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, p.348. 12 notar que em Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968 o factor YS correspondente ao efeito de concentração de tensões é incluído aqui, já que b.lim é estimado como resistência para 107 ciclos, dividida por YS médio (ver p.336). 13 com dentado de qualidade grosseira, usar Y=1, Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, p.326.

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tas.

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mogéneos. buição.

4 12

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des

-340.


Tabela 3 - Factor de serviço AK , (continuação).

Órgão motor

Grau de choque do órgão receptor

Até 12 horas por dia

24 horas por dia

Mot. eléctricos, Turbinas

I II III

1 0,80 0,67

0,95 0,70 0,57

Motores de combustão interna com pistões múltiplos

I II III

0,80 0,67 0,57

0,70 0,57 0,45

Motores de combustão interna com um só pistão

I II III

0,67 0,57 0,45

0,57 0,45 0,35

2.2 Capacidade de carga à pressão superficial.

Se designarmos por15:

tF - esforço tangencial no primitivo (kg)

H - pressão superficial de Hertz (kgmm-2)

limH - pressão superficial limite de base (Figura 10)

.admH - pressão superficial admissível

b - largura do dente (mm)

1d - diâmetro primitivo do pinhão (mm)

1n - velocidade de rotação do pinhão (rpm)

2 1i z z

rC - factor de relação (Figura 11)

1 2

1 2

20,35E

E EZ

E E

- factor de material. No caso dos aços é 87EZ .16

Z - factor de comprimento de contacto (Figura 12)

cZ - factor geométrico (Figura 13)

- razão de comando aparente (Figura 3)

vK - factor de velocidade (Figura 6)

HLK - factor de duração (Figura 7)

MK - factor de montagem (Figura 8)

AK - factor de serviço (Tabela 3)

O esforço tangencial admissível é dado pela fórmula: 15 a sequência da lista é a adoptada em Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, pp.375-376. 16 expresso em (kgmm-2)1/2.

Órgã

ou se

A ca

carga

Fig

théo

ãos de Máqu

eja, para o p

apacidade da

a em serviço

gura 10 – va

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uinas – Facu

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1t adF

2t adF

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21limdm H b

22limdm H b

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1v

r

Kb d C

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1v

r

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Kb d C

minada pelo

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, Tome 1: T1968, pp.37

da Universi

2 2 2HL M

E C

K K

Z Z Z

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1

2 2 2

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E C

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2

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2

A

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2

A

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lim ; fonte: H

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rto – 2013-4

1adm ou 2t adF

Henriot, ‘Tr

; 4e. éd., Du

4 14

(10)

(11)

(12)

dm . A

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Órgã

Fig

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T

Podedo gr

ãos de Máqu

gura 11 – fa

nte: Henriotatique des e

Théorie et TDunod, Pa

Figura 13

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emos a prioráfico da Fi

uinas – Facu

actor de re

t, ‘Traité théengrenages’echnologie;aris, 1968, p

3 – factor g

ges’, Tome

ori determingura 14.

uldade de E

lação rC ,

éorique et , Tome 1: ; 4e. éd., p.369.

geométrico

1: Théorie

nar qual é o


Figura

fontengrena

CZ ; fonte:

et Technolo

órgão (pin

da Universi

a 12 – facto

e: Henriot, ages’, Tome

Duno

Henriot, ‘T

ogie; 4e. éd

nhão ou roda

dade do Por

or comprim

‘Traité théoe 1: Théorieod, Paris, 19

Traité théoriq

d., Dunod, P

a) menos re

rto – 2013-4

mento de co

orique et prae et Technol968, p.336.

que et prati

Paris, 1968,

esistente, at

4 15

ontacto Z

atique des logie; 4e. éd

que des

p.368.

ravés

;

d.,

Órgã

Figidên‘Tra

ãos de Máqu

gura 14 – cntica; (2): raité théoriqu

uinas – Facu

curva (1): croda menosue et pratiqu

uldade de E

apacidade s resistenteue des engre

Dunod,


de carga de; (3): pinhãenages’, ToParis, 1968

da Universi

do pinhão e ão menos rme 1: Théo

8, p.377.

dade do Por

roda aproxresistente; forie et Techn

rto – 2013-4

ximadamefonte: . Hennologie; 4e.

4 16

nte nriot, . éd.,

Calculo Simplificado Da Capacidade de Carga de Rodas Dentadas Cilindricas

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