ClculosConceitos Iniciais 1. Sries Variveis So as sries de pagamentos/recebimentos cujos valores ao

longo do tempo Sejam diferentes. 2. Gradientes Uniformes a diferena entre duas rendas, cujos termos variam de

acordo com determinada lei. 3. Sries em Progresso Aritmtica Crescente So as sries que crescem em

Comerciais

progresso aritmtica. 4. Sries em Progresso Aritmtica Decrescente progresso aritmtica. 5. Sries em Progresso Geomtrica progresso geomtrica. 6. Valor Presente Lquido zero. Representa a juno de todos os fluxos de caixa na data So as sries que crescem ou decrescem em So as sries que decrescem em

E

7. Valor Peridico Uniforme

Consiste em calcular o termo da renda postecipada

que seja equivalente ao fluxo de caixa do investimento. 8. Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa. 9. Sistema de Amortizaes Constantes Metodologia de clculo que apresenta Taxa de juros que torna nulo o valor presente lquido

amortizaes constantes, juros e pagamentos decrescentes. 10. Sistema Francs de Amortizao Metodologia de clculo que apresenta

prestaes constantes, juros decrescentes e amortizaes crescentes.

Financeiros

11. Inflao economia.

Representa o aumento generalizado e persistente dos preos em uma

12. Taxa de Desvalorizao ambiente inflacionrio. 13. Leasing

Mede a queda do poder aquisitivo de uma moeda em

Consiste em uma operao contratual de arrendamento no qual o

possuidor do bem concede a outro o uso desse bem durante certo perodo, recebendo em troca uma remunerao peridica. 14. Finame Prof. Paulo Roberto Ribeiro uma linha de crdito destinada a micro e pequenas empresas para

financiar a aquisio de equipamentos nacionais novos. 15. Crdito Direto ao Consumidor (CDC) consumidor para a aquisio de bens e servios. 1 2 Operao de financiamento ao

Exerccios de Reviso Equivalncia de Capitais e Sries Uniformes

juros compostos aplicada for de 3% ao ms, determinar em quanto tempo deve ser efetuado o pagamento nico. Resposta: 65 dias.

1. Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, quatro duplicatas no valor de R$ 32.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor lquido creditado na conta da empresa sabendo que a taxa de desconto racional composto foi de 2,4% ao ms. Resposta: R$ 115.981,39. 2. Certo comerciante deve pagar R$ 3.450,00 nesta data e R$ 1.000,00 daqui a quatro meses. Deseja-se substituir esse conjunto por outro que lhe mais conveniente, qual seja, pagar os R$ 500,00 daqui a um ms e o restante em seis meses. Calcular o valor desse ltimo pagamento, considerando taxa nominal de negociao de 36% ao ano, com capitalizao mensal. Resposta. x = R$ 4.600,74 3. Calcular o valor do seguinte conjunto de obrigaes, considerando juros compostos de 36% ao ano e data focal daqui a cinco meses. a. R$ 1.000,00 hoje; b. R$ 5.000,00 daqui a trs meses; c. R$ 600,00 daqui a oito meses. Resposta. R$ 6.955,21. 4. Determinar qual dever ser o valor de um ttulo que, vencendo daqui a cinco meses, substituir os seguintes dbitos: Considere uma taxa efetiva de 12,616% ao semestre. a. R$ 500,00 em trs meses; b. R$ 1.200,00 em quatro meses; c. R$ 3.400,00 em oito meses. Resposta. R$ 4.948,10 5. Uma pessoa deve R$ 2.300,00 e R$ 3.400,00 a serem pagos dentro de dois e seis meses, respectivamente. Deseja propor ao credor a reformulao desse cronograma, de modo a pagar daqui a um ms apenas R$ 4.000,00 e o restante daqui a um ano. Considerando que tambm ir propor taxa de juros compostos de 48% ao ano com capitalizao mensal, qual dever ser o valor deste segundo pagamento? Resposta. R$ 1.548,83. 6. Trs dvidas, a primeira de R$ 2.000,00 vencendo em 30 dias, a segunda de R$ 1.000,00 vencendo em 60 dias e a terceira de R$ 3.000,00 vencendo em 90 dias, sero liquidadas por meio de um pagamento nico de R$ 6.000,00. Se a taxa de

7. Determinado emprstimo seria liquidado pelo pagamento de R$ 1.500,00 para trs meses; R$ 2.000,00 para quatro meses e R$ 3.000,00 para seis meses. A financeira tambm oferece ao cliente a opo de um pagamento nico no valor de R$ 6.200,00. Sabendo que a taxa de juros compostos da operao de 3,5% ao ms, determine o prazo desse pagamento nico. Resposta: 99 dias. 8. Marcos tem duas dvidas de R$ 4.000,00 para com Antonio, com vencimentos para daqui a dois meses e oito meses, respectivamente. Por outro lado, ele tem a receber de Antonio, daqui a seis meses, a importncia de R$ 8.000,00. Calcular o valor lquido do conjunto de obrigaes, considerando como data focal a do compromisso de R$ 8.000,00 e a taxa de juros compostos de 2,5% ao ms e dizer se o resultado favorvel ou desfavorvel a Marcos e qual o valor lquido. Resposta. desfavorvel. R$ 222,51. 9. Uma loja vende um produto por R$ 500,00 de entrada, mais trs prestaes mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 80,00. Se a loja aplica seus recursos taxa de 2% ao ms, qual deve ser seu preo vista equivalente ao pagamento a prazo? Resposta: R$ 730,71. 10. Ricardo tem um ttulo com valor nominal igual a R$ 10.000,00 com vencimento em 14 meses e que remunerado a uma taxa de juros compostos de 18% ao ano. Alm disso, possui R$ 7.000,00, que ir receber aps ter feito uma aplicao a juros compostos de 21% ao ano, durante o mesmo prazo do ttulo. Pergunta-se: quanto ele possui hoje? Resposta. R$ 13.848,21. 11. Um produto eletrnico est anunciado por R$ 2.000,00 para pagamento a vista, ou em cinco prestaes mensais, iguais e consecutivas, sendo a primeira paga um ms aps a compra. Calcule o valor das prestaes, sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada de 5,7% ao ms. Resposta: R$ 470,92. 12. Qual o valor inicial financiado para pagamento em seis prestaes mensais, iguais e consecutivas de R$ 1.300,00, com a primeira paga no ato do financiamento, a uma taxa de juros compostos de 2,8% ao ms? Resposta: R$ 7.287,77. 13. Calcule o valor de resgate referente aplicao de 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 1.200,00 cada, taxa de juros compostos de 1,25% ao ms, sendo termos antecipados. Resposta: R$ 15.625,34.

3

4

14. Um veculo est anunciado por R$ 18.000,00 para pagamento a vista, ou financiado em 36 prestaes mensais, iguais e consecutivas, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcule o valor das prestaes, sabendo-se que a taxa de juros compostos de 0,99% ao ms. Resposta: R$ 590,98. 15. Qual o valor a vista de um eletroeletrnico que ser pago com uma entrada de R$ 250,00 mais cinco prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 200,00, a uma taxa de juros compostos de 5% ao ms? Resposta: R$ 1.115,90. 16. Quanto terei no final de 12 meses, se aplicar mensalmente a quantia de R$ 1.000,00, em uma instituio financeira que remunera a uma taxa de juros compostos de 1,20% ao ms? Resposta: R$ 12.824,55. 17. Quanto se deve aplicar mensalmente em uma poupana que remunera os depsitos a uma taxa de juros compostos de 1,35% ao ms, para poder resgatar daqui a 36 meses a quantia de R$ 27.500,00? Considere termos antecipados. Resposta: R$ 590,32. 18. Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada em uma operao de emprstimo pessoal, cujo principal de R$ 5.000,00, foi pago em seis prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 1.000,00, sendo que a primeira foi paga 30 dias aps a contratao? Resposta: 5,47% ao ms. 19. Um financiamento no valor de R$ 3.458,00 concedido para pagamento em 12 prestaes mensais, iguais e consecutivas, aps trs meses de carncia. Para uma taxa de juros compostos de 3,5% ao ms, determinar o valor das prestaes. Resposta: R$ 396,75. 20. Um equipamento vendido vista por R$ 8.000,00, ou em quatro pagamentos mensais no valor de R$ 1.800,00, ocorrendo o primeiro dois meses aps a compra. Qual deve ser o valor da entrada admitindo uma taxa de juros compostos 5,20% ao ms? Resposta: R$ 1.960,87. G G A 0 1 A 2 G A 3 G G G A 4 G G G A 5 So comuns as situaes em que as projees dos fluxos de caixa das aplicaes financeiras ou dos projetos de investimento so crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. Veremos a partir desse momento dois tipos desses fluxos: o primeiro Sries Variveis

denominado Sries Variveis em Progresso Aritmtica e o segundo, Sries Variveis em Progresso Geomtrica. No caso das sries variveis em progresso aritmtica, sero desenvolvidas e apresentadas frmulas para o clculo do Valor Presente e do Valor Futuro. Gradientes Uniformes Em uma anuidade vencida cujos termos ou rendas variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferena entre duas rendas. Cada termo da anuidade constitudo pela renda-base mais os gradientes acumulados, sendo a renda-base um importe igual primeira anuidade. G representa o gradiente uniforme. Sries em Progresso Aritmtica Crescente So aquelas nas quais, nos instantes 1, 2, 3, ..., n, os capitais constituem uma progresso aritmtica. Chamando de G o primeiro termo e A o valor da renda-base. Dada uma taxa de juros compostos por perodo, observa-se que no h pagamento no fim do primeiro perodo a que esta se refere. A partir de ento, os pagamentos formam uma progresso aritmtica de razo igual ao primeiro termo. Sries Postecipadas G

5

6

Frmula do Valor Presente

Exerccios Resolvidos Sries Variveis em Progresso Aritmtica Crescente 1. Qual o valor atual da seqncia em gradiente da figura abaixo, sabendo que a taxa

PV

G i. 1 in

1 i i

n

1

n

de juros compostos de 3% ao ms? 1.600

Frmula do Valor Futuro

300 200

FV

G i

1 i i

n

1

n

100

0 Sries Antecipadas G G G G A 0 A 1 G A 2 G G A 3 G G G A 4

1

2

3

16

Variveis do problema G i n PV 100 3% a. m. 16 m ?

Progresso Aritmtica Crescente Antecipada.PV G (1 i ) n 1 1 i i i (1 i ) n n (1 i ) n

Frmula do Valor PresentePV G (1 i ) 1 1 i i i (1 i ) nn

PVn (1 i ) n

100 (1 0,03)16 1 1 0,03 0,03 0,03(1 0,03)16

16 (1 0,03)16

PV = R$ 9.890,88.

2. Qual o valor nominal ao final de um ano e meio de um capital cuja primeira Frmula do Valor Futuro aplicao foi de R$ 350,00 e as demais mensais e sucessivas, crescendo em progresso aritmtica razo de R$ 350,00 e taxa de juros compostos de 0,89% ao

FV

G (1 i ) n 1 1 i i i

n

ms? Variveis do problema G i n FV 350,00 0,89% a. m. 18 m ?

Progresso Aritmtica Crescente Antecipada

7

8

FV

G 1 i (1 i ). i i

n

1

Sries em Progresso Aritmtica Decrescenten18

FV

350 1 0,0089 (1 0,0089). 0,0089 0,0089

1

G

18G G G G A 0 G G G G A 1 G G G A 2 G G A 3 G A 4 A 5

FV = R$ 62.978,82. 3. Quanto se deve aplicar hoje, a uma taxa efetiva de juros compostos de 6% ao ms, de modo que sejam possibilitados cinco saques consecutivos? O primeiro saque dever ser de R$ 20.000,00 daqui a dois meses e os outros gradativamente crescentes, formando uma srie gradiente uniforme igual a R$ 20.000,00, R$ 40.000,00, R$ 60.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 100.000,00. Variveis do problema G i n PV 20.000,00 6% a. m. 6m ?

Frmula do Valor PresentePV G i. 1 in

n. 1 i

n

1 i i

n

1

PV

G i. 1 in

1 i i

n

1

n

PV

20.000 0,06. 1 0,066

1 0,06 0,06

6

1

6

Frmula do Valor Futuro

PV = R$ 229.187,03.

FV

G n. 1 i i

n

1 i i

n

1

4. Um financiamento dever ser amortizado em sete prestaes mensais e crescentes, de acordo com uma P. A. Sabendo-se que a primeira prestao no valor de R$ 1.000,00 j devida no segundo ms do contrato, que a razo da P. A. igual ao valor da primeira prestao, e que a taxa de juros compostos cobrada pela instituio financeira de 4% ao ms, calcular o montante pago no financiamento. Variveis do problema G i n FV 1.000,00 4% a. m. 8m ?

FV

G i

(1 i ) n 1 i

n

PV

1.000 0,04

(1 0,04) 8 1 0,04

8

PV = R$ 30.355,66.

9

10

Exerccios Resolvidos Sries em Progresso Aritmtica Decrescente 1. Calcular o valor atual de uma srie conforme o esquema a seguir, sendo a taxa de juros compostos de 10,5% ao ano.

FV = R$ 1.624,12. 3. Qual o montante no final do sexto ms de seis aplicaes mensais decrescentes, a uma razo de R$ 3.000,00, sabendo-se que a primeira parcela, no valor de R$ 18.000,00, aplicada hoje taxa de juros compostos de 2% ao ms?

900 750 600 450 300

Variveis do problema G i n FV 3.000,00 2% a. m. 6m ?

150

FV

G n. 1 i i

n

1 i i

n

1

FV

3.000 6. 1 0,02 0,02

6

1 0,02 0,02

6

1

FV = R$ 67.328,03. 1 Variveis do problema G i n PV 150 10,50% a. a. 6a ? 2 3 4 5 6

PV

G i. 1 in

n. 1 i

n

1 i i

n

1

PV

150 0,105. 1 0,1056

6. 1 0,105

6

1 0,105 0,105

6

1

PV = R$ 2.439,74. 2. Determinar o montante, no final do 5 ms, das parcelas de R$ 500,00, R$ 400,00, R$ 300,00, R$ 200,00, R$ 100,00, respectivamente, sabendo que a taxa de juros compostos de 3% ao ms. Variveis do problema G i n FVFV

100 3% a. m. 5m ?G n. 1 i in

1 i i

n

1

FV

100 5. 1 0,03 0,03

5

1 0,03 0,03

5

1

11

12

Atividade 1 Sries Variveis em Progresso Aritmtica

o investimento rende juros efetivos de 5% ao ms, qual o valor da quantia mnima a ser aplicada. Resposta: R$ 4.080,54.

1. Considerando uma taxa efetiva de 10% ao ms, calcular o valor presente e o montante da seguinte srie uniforme decrescente com seis termos postecipados: 1 ms R$ 900,00; 2 ms R$ 750,00; 3 ms R$ 600,00; 4 ms R$ 450,00; 5 ms R$ 300,00 e 6 ms R$ 150,00. Resposta: PV = R$ 2.467,11 e FV = R$ 4.370,63. 2. Qual o valor atual da seqncia abaixo em progresso aritmtica, taxa efetiva de juros compostos de 3% ao ms? 2 ms R$ 50,00; 3 ms R$ 100,00; ..., 12 ms R$ 550,00. Resposta: PV = R$ 2.562,41. 3. Qual o valor atual da seqncia em gradiente abaixo, taxa efetiva de juros compostos de 3% ao ms? 1 ms zero; 2 ms R$ 100,00; 3 ms R$ 200,00; ..., 16 ms R$ 1.500,00. Resposta: R$ 8.634,77. 4. Calcular o montante de uma srie conforme o esquema a seguir, para uma taxa efetiva de juros compostos de 10,50% ao ano. 1 ano R$ 100,00, 2 ano R$ 200,00, 3 ano R$ 300,00, 4 ano R$ 400,00, 5 ano R$ 500,00 e 6 ano R$ 600,00. Resposta: R$ 2.508,60. 5. Calcular o valor futuro de uma srie conforme o esquema a seguir, sendo uma taxa de juros compostos de 10,50% ao ano. 1 ano R$ 900,00, 2 ano R$ 750,00, 3 ano R$ 600,00, 4 ano R$ 450,00. 5 ano R$ 300,00 e 6 ano R$ 150,00. Resposta: R$ 4.441,38. 6. Calcular o valor presente de uma srie conforme o esquema abaixo, para uma taxa de juros compostos de 10,50% ao ano. Na data zero R$ 200,00, 1 ano R$ 300,00, 2 ano R$ 400,00, 3 ano R$ 500,00, 4 ano R$ 600,00, 5 ano R$ 700,00 e 6 ano R$ 800,00. Resposta: R$ 1.378,03. 7. Qual a quantia deve ser aplicada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 10% ao ms, de modo que se possam efetuar futuramente oito saques mensais? O primeiro saque de R$ 36.000,00 inicia daqui a dois meses, formando com os outros sete saques uma srie crescente em progresso aritmtica. Resposta: R$ 699.172,29. 8. Uma pequena empresa deve gastar mensalmente, a partir do prximo ms, R$ 480,00 com sua folha de pagamento. Uma projeo indica que nos prximos 24 meses esses gastos devem diminuir R$ 20,00 mensalmente. O gerente pretende aplicar hoje uma quantia em um investimento de tal forma que possa efetuar nos prximos 24 meses saques mensais que permitam cobrir a folha. Considerando que 13

9. Um capital foi financiado a juros efetivos de 5% ao ms para ser pago em 20 prestaes mensais. A primeira prestao de R$ 12.600,00 vence dois meses depois do contrato e as demais so gradativamente crescentes formando uma progresso aritmtica. Calcular o valor do financiamento. Resposta: R$ 1.331.407,49. 10. Uma mercadoria foi vendida em seis prestaes mensais decrescentes razo de R$ 80,00, com a ltima igual a razo. Sabendo que a taxa de juros compostos de 5% ao ms e que a primeira prestao ser paga um ms aps a compra, qual o valor dessa mercadoria a vista? Resposta: R$ 1.478,89.

14

Sries Variveis em Progresso Geomtrica Sries variveis em progresso geomtrica so aquelas nas quais os termos constituem uma progresso geomtrica, nos instantes 1, 2, 3, ..., n. Chamando de A o primeiro termo e G a razo, tem-se: h

Exerccios Resolvidos Sries Variveis em Progresso Geomtrica 1. A juros efetivos de 5% ao ms, calcular o valor presente de uma srie conforme o esquema a seguir: 3.200

1.600 h h h A 1 A 2 h A 3 h h A 4 h h h A 200 5 400 800

Observe que o valor presente de uma progresso geomtrica de razo q primeiro termo igual a a1

h eo (1 i )

0

1

2

3

4

5

A . (1 i )

Variveis do problema h i n A PVPV

400/200 5% a. m. 5m 200 ?

h=2

Portanto a expresso para o clculo do valor presente de uma srie em progresso geomtrica ser dada por:PV A h n (1 i ) n (1 i ) n h (1 i )

Observao Esta expresso serve tanto para o clculo de sries geomtricas crescentes quanto para sries decrescentes. Basta que a razo de crescimento (h), que igual a (1+c), seja calculada com (+ c) para sries crescentes e ( c) para as decrescentes.

A h n (1 i ) n n h (1 i ) (1 i )

PV

200 2 5 (1 0,05) 5 5 2 (1 0,05) (1 0,05)

PV = 5.067,97. 2. Uma pessoa receber mensalmente durante 18 meses uma srie de pagamentos com reajuste mensal de 5%. Considerando que o primeiro pagamento, de R$ 48.000,00, ser efetuado no final do primeiro ms, calcular o valor presente da srie de pagamentos a juros efetivos de 7% ao ms. Variveis do problema A c h i n PV R$ 48.000,00 5% ao ms 1+c 7% a. m. 18 m 1,05

15

16

PV

A h n (1 i ) n n h (1 i ) (1 i )

PV

48.000 1,0518 (1 0,07)18 (1 0,07)18 1,05 (1 0,07)

Atividade 2 Sries Variveis em Progresso Geomtrica 1. Se a taxa de juros compostos vigente de 4% ao ano e o valor do primeiro pagamento igual a R$ 180.000,00, calcular o valor presente de uma srie de dez pagamentos anuais que decrescem a 2% ao ano. Resposta: R$ 1.344.044,67. 2. Qual o valor atual da srie em progresso geomtrica abaixo, taxa de juros compostos de 3,2% ao ms? Resposta: R$ 1.610,91. 960

PV = R$ 691.123,70. 3. A juros efetivos de 10% ao ms, calcular o valor presente de uma srie de 18 mensalidades que decrescem em progresso geomtrica razo de , sendo a primeira mensalidade igual a R$ 150.000,00. Variveis do problema A c h i nPV

R$ 150.000,00 0,5 1c 0,5 120 60PV 150.000 0,518 (1 0,10)18 0,5 (1 0,10) (1 0,10)18

480 240

10% a. m. 18 mA h n (1 i ) n n h (1 i ) (1 i )

30

PV = R$ 249.999,83.

0

1

2

3

4

5

6

meses

3. Se a taxa de juros compostos vigente de 4% ao ano e o valor do primeiro pagamento igual a R$ 180.000,00, calcular o valor presente de uma srie geomtrica de dez pagamentos anuais que crescem a uma taxa constante de 2% ao ano. Resposta: R$ 1.588.419,43. 4. Calcular o montante de uma srie geomtrica que cresce conforme o esquema abaixo, taxa de juros compostos de 10% ao ano. Resposta: R$ 4.845,30.

2.400 1.200 600 300

0

1

2

3

4

anos

Resposta: R$ 4.845,30. 5. Os dividendos pagos por uma ao devem dobrar todo ano segundo uma progresso geomtrica. Considerando que os dividendos so pagos ao trmino de cada ano, sendo o primeiro igual a R$ 10,00, calcular o valor presente dos dividendos nos prximos 24 anos a um custo de capital de 1% ao ano. Resposta: R$ 133.466.323,58. 17 18

6. Calcular o primeiro termo de uma srie de 20 anuidades, crescentes geometricamente, com valor presente de R$ 5.000,00, razo de crescimento de 1,04 e anuidades capitalizadas a juros efetivos de 5% ao ano. Resposta: R$ 287,04. 7. Um emprstimo de R$ 10.000,00 ser reembolsado em dez parcelas mensais vencidas que experimentaro um crescimento geomtrico de 2% em cada uma. A juros efetivos de 4% ao ms, calcular o valor da primeira parcela. Resposta: R$ 1.133,20. 8. Um financiamento ser reembolsado em oito parcelas trimestrais vencidas, que crescem geometricamente taxa de 2%. Se a primeira parcela de R$ 1.500,00, a juros efetivos de 4% ao trimestre, determinar o valor do financiamento. Resposta: R$ 10.791,00. 9. Um terreno vendido para ser pago em seis prestaes bimestrais, sendo a primeira de R$ 5.000,00, vencvel em sessenta dias, e cada uma das seguintes decrescendo geometricamente taxa de 10%. Qual o valor vista do terreno se a taxa efetiva de juros for de 2% ao bimestre? Resposta: R$ 22.003,98. 10. Uma casa de praia vendida vista por R$ 600.000,00 ou a prazo em vinte prestaes mensais em progresso geomtrica, vencendo a primeira um ms aps a compra. Sabendo-se que a razo da progresso 1,20, qual o valor da primeira prestao para uma taxa de juros compostos de 1,5% ao ms? Resposta: R$ 4.041,58. Introduo

Anlise de Investimentos

Fluxo de caixa o conjunto de entradas e/ou sadas (pagamentos ou recebimentos) previstos ao longo do tempo. Os perodos podem ser uniformes ou no, assim como os pagamentos ou recebimentos podem ter de valores iguais ou no. O fluxo de caixa pode ser representado de forma analtica ou grfica. A forma analtica a demonstrao, s vezes, por meio de quadros e planilhas, das pocas e dos correspondentes valores dos pagamentos ou recebimentos. A forma grfica representada por meio do diagrama de fluxo de caixa conforme se v abaixo.

As setas marcadas para cima representam as entradas do caixa e as setas marcadas para baixo representam as sadas do caixa. O fluxo de caixa muito utilizado em diversas situaes, sobretudo para facilitar a elaborao e anlise de investimento ou clculos de valores em datas determinadas, de modo a subsidiar decises gerenciais. Entre os mtodos mais comumente utilizados para a comparao de alternativas de investimento, destacam-se o Valor Presente Lquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR). Os dois mtodos consistem basicamente na comparao da soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos (sadas) com a soma do valor presente de cada um dos recebimentos (entradas), semelhante ao que foi visto em Equivalncia de Capitais, onde os compromissos so transportados para uma data focal, a determinada taxa de juros. S que aqui, a data focal o incio, a data zero na escala que representa o tempo, e o regime considerado o de capitalizao composta. Dessa forma, a partir dos valores a serem pagos ou recebidos e conhecidas as respectivas datas contratadas ou previstas possvel calcular o valor presente lquido, a uma dada taxa. Por outro lado, quando se pretende igualar dois conjuntos de fluxos (por exemplo, entradas e sadas), na data zero, buscam-se determinar a taxa que permite formar essa igualdade, que a taxa interna de retorno.

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Valor Presente Lquido O valor presente lquido, conforme se depreende das explicaes anteriores, consiste em calcular o valor presente de uma srie de pagamentos ou recebimentos, iguais ou diferentes, a uma dada taxa de juros, e deduzir desse valor o fluxo inicial (valor do investimento, financiamento ou emprstimo). Em outras palavras, a diferena entre os valores atuais dos fluxos de recebimento e os valores atuais dos fluxos de pagamentos. Para facilitar o entendimento, utilizaremos o diagrama a seguir, onde representado um fluxo inicial de sada igual a R1 e trs fluxos de entrada P1, P2 e P3. O valor presente lquido, calculado a determinada taxa desejada, a soma algbrica da sada R1 (negativa) com os valores atuais (na data atual) das trs entradas P1, P2 e P3 (positivas). Essa soma algbrica pode ser negativa, positiva ou nula. Se negativa, a taxa de retorno menor que a taxa desejada. Se nula, a taxa de retorno igual taxa desejada. Se positiva, a taxa de retorno maior que a taxa desejada. Exemplo Certo investidor pretende comprar um apartamento por R$ 220.000,00, para obter retorno de, no mnimo, 12 % anuais. Ele espera manter o imvel por sete anos depois vend-lo por R$ 250.000,00. Sendo previstos fluxos de caixa apresentados na tabela abaixo, determinar se o investimento render os 12% pretendidos. Valor (220.000,00) (5.000,00) 30.000,00 36.000,00 36.000,00 36.000,00 40.000,00 295.000,00 Data 0 1 2 3 4 5 6 7

220.000,00 CHS g CF0 5.000,00 CHS g CFj 30.000,00 g CFj 36.000,00 g CFj 3 g Nj 40.000,00 g CFj 295.000,00 g CFj f NPV R$ 22.089,90. Como o valor presente lquido positivo, a taxa de juros supera os 12% desejados.

Observaes A calculadora HP-12C comporta at 20 fluxos, alm do inicial. No caso de fluxos repetidos, no entanto, entra na contagem dos vinte apenas o primeiro da srie. O nmero de vezes consecutivas que um fluxo pode ocorrer vai no mximo at 99. Se voc desejar saber qual foi, por exemplo, o 5 fluxo introduzido, busca-se o valor armazenado teclando RCL 5. possvel alterar o valor de algum fluxo eventualmente introduzido incorretamente. Por exemplo, digamos que, no exemplo anterior o 5 fluxo de R$ 40.000,00 tivesse sido introduzido com valor diferente. Para alterar, bastaria teclar o valor correto e alterar teclando em seguida STO 5.

Taxa Interna de Retorno Nos casos de anlise de aplicaes e, em especial, de projetos de investimento, tem-se sempre, na data zero, uma entrada, que representa o investimento inicial (ou o emprstimo ou o financiamento) e diversos fluxos de caixa representando os valores das receitas ou das prestaes. A Taxa Interna de Retorno TIR a taxa que equaliza esses fluxos. , pois, a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (sadas) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas). Para calcular a TIR, a calculadora HP-12C tm recursos que facilitam a tarefa. Como aplicao ser utilizado, mediante adaptao, os mesmos dados do primeiro exemplo, usado para calcular o valor presente lquido, qual seja: calcular a TIR para o caso de um negcio em que o investimento inicial de R$ 220.000,00 e que se pretende vende-lo, aps sete anos, por R$ 250.000,00, considerando os seguintes fluxos:

Conforme definio, os clculos consistem em somarem algebricamente os valores atuais dos fluxos de caixa. Utilizando o teclado de fluxo de caixa da calculadora HP-12C, tem-se: f Reg 12 i

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Ano 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor (R$ 220.000,00) (R$ 5.000,00) R$ 30.000,00 R$ 36.000,00 R$ 36.000,00 R$ 36.000,00 R$ 40.000,00 R$ 45.000,00

Atividade 3 Valor Presente Lquido & Taxa Interna de Retorno

1. Quanto devo aplicar hoje em uma instituio financeira que remunera os depsitos a uma taxa efetiva de juros compostos de 2 % ao ms, para poder fazer as seguintes retiradas ao longo do tempo. Valor (R$) 1.000,00 600,00 1.200,00 700,00 Prazo (meses) 1 2 3 4 5 6 7 8

f REG 220.000 CHS g CF0 5.000,00 g CFj 30.000,00 g CFj 36.000,00 g CFj 3 g Nj 40.000,00 g CFj 295.000,00 g CFj f IRR 13,92% ao ano. Resposta: R$ 6.592,93.

1.300,00 300,00 1.300,00 800,00

2. A empresa Alfa tem uma dvida com a empresa Beta representada por trs duplicatas, cujos valores e prazos de vencimento so informados na tabela abaixo. A empresa Beta prope empresa Alfa a liquidao antecipada dos ttulos, por meio do pagamento da importncia de R$ 50.000,00. Considerando que a empresa Alfa trabalha com uma taxa de atratividade de 1,5 % ao ms, calcule o Valor Presente Lquido e verifique se vantajoso para a empresa Alfa tal Proposta.

Valores (R$) 24.000,00 22.400,00 10.880,00

Prazos (dias) 42 77 120

Resposta: A empresa Alfa deve aceitar a proposta, pois o valor presente da dvida de R$ 55.316,04.

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3. O Sr. Joo contratou uma empresa para a construo total de uma casa de campo, e lhe foi proposto o seguinte cronograma de pagamentos:

Custos envolvidos: Contrato de quatro anos com custos mensais de: Primeiro ano: R$ 1.650,00 mensais.

Data 02/09/2008 21/10/2008 29/11/2008 06/01/2009 17/02/2009

Prazo (dias)

Pagamento (R$) 30.000,00 20.000,00 24.000,00 22.000,00 28.000,00

Segundo ano: R$ 1.750,00 mensais. Terceiro ano: R$ 1.850,00 mensais. Quarto ano: R$ 1.950,00 mensais. Considerando que o escritrio trabalha com uma taxa de atratividade de 2% ao ms, qual das duas alternativas, sob o ponto de vista financeiro, a empresa deve escolher? Resposta: A Alternativa 1 melhor. 6. O Sr. Endividado possui uma dvida de R$ 100.000,00 que ser liquidada por meio

O Sr. Joo possui recursos financeiros aplicados em um fundo de investimentos com liquidez diria que lhe proporcionam um rendimento mensal efetivo de 1 % ao ms. Caso o Sr. Joo feche o contrato com a construtora no dia 02/09/2002, qual o volume de recursos aplicados que o mesmo dever possuir para fazer frente a esses pagamentos? Resposta: R$ 120.569,20. 4. Marcos tem duas dvidas de R$ 4.000,00 com Antnio, com vencimentos para daqui a dois e oito meses, respectivamente. Por outro lado, ele tem a receber de Antnio, daqui a seis meses a importncia de R$ 8.000,00. Considerando como data focal a do compromisso de R$ 8.000,00 e uma taxa de juros compostos de 2,5 % ao ms, dizer se o fluxo favorvel ou desfavorvel a Marcos e em quanto. Resposta: O fluxo desfavorvel em R$ 222,51. 5. Um escritrio de contabilidade necessita de um servio de entregas rpidas. Para isso, est estudando duas possibilidades, a saber: Alternativa 1: estruturar tal servio internamente. Custos envolvidos: Compra de uma motocicleta nova no valor de R$ 5.500,00; Gastos mensais: manuteno, mo-de-obra encargos sociais; Primeiro ano: R$ 1.500,00 mensais. Segundo ano: R$ 1.600,00 mensais. Terceiro ano: R$ 1.700,00 mensais. Quarto ano: R$ 1.800,00 mensais. Aps quatro anos de uso, a motocicleta poder ser vendida por R$ 3.300,00. Alternativa 2: contratar uma empresa especializada.

do pagamento de trs notas promissrias; a primeira de R$ 50.000,00, a segunda de R$ 40.000,00 e a terceira de R$ 30.000,00, vencveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias da data da contratao. De acordo com a tabela a seguir, determine a taxa de juros compostos cobrada em tal emprstimo. Valor (R$) 0 1 2 3 Prazo (meses) (100.000,00) 50.000,00 40.000,00 30.000,00

Resposta: 10,65 % ao ms. 7. Uma indstria adquiriu um equipamento no valor de R$ 300.000,00 para ser pago da seguinte maneira: As trs primeiras prestaes mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 85.000,00, vencendo a primeira 30 dias aps a contratao; A quarta prestao no valor de R$ 90.000,00, um ms aps a terceira; A quinta prestao no valor de R$ 50.000,00, dois meses aps a quarta. Determine a taxa mensal de juros compostos cobrada em tal financiamento. Resposta: 10,14 % ao ms.

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8. Uma empresa descontou num banco as duplicatas a seguir relacionadas, recebendo a quantia lquida de R$ 139.152,16. Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada na operao? Valor (R$) 40.000,00 50.000,00 60.000,00 Prazo (dias) 36 45 54

Valor Peridico Uniforme VPU Em uma anlise de investimentos para que os projetos sejam comparveis, necessrio que a comparao seja feita dentro de um contexto de um horizonte de planejamento uniforme. Um dos maiores problemas existentes entre os mtodos de valor presente lquido e taxa interna de retorno na escolha entre projetos ocorre quando a durao das alternativas de investimento diferente. Isto pode gerar uma contradio. Para ilustrar esse problema suponha que dois tipos de equipamentos que executem a mesma tarefa sejam oferecidos

Resposta: 5 % ao ms. 9. A transportadora Rpido Como o Vento pensa em comprar um caminho no valor de R$ 70.000,00. Os fluxos anuais de caixa decorrentes do investimento esto apresentados na tabela seguinte. Determine a TIR desse investimento.

para compra conforme a tabela abaixo. Suponha tambm uma taxa de atratividade de 10% ao ano. Investimento Alternativa (em reais) Receitas (em reais) 1 ano 2 ano 3 ano VPL (em reais) TIR % (anual) 30,00 23,38

Perodo (ano) 0 1 2 3

Fluxo (R$) (70.000,00) 50.000,00 40.000,00 30.000,00

A B

10.000,00 10.000,00

13.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00

1.818,18 2.434,26

Como se pode ver a escolha do equipamento pelo VPL e pela TIR, so contraditrias. Isto indica que a soluo vlida requer que as alternativas sejam levadas a um horizonte

Resposta: 36,37 % ao ano. 10. A rede de supermercado Pague Melhor estuda a possibilidade de abertura de um novo empreendimento no valor de R$ 400.000,00. O horizonte de anlise de viabilidade financeira do projeto igual a seis anos. A empresa estima que os fluxos de caixa livres do empreendimento sero iguais a R$ 100.000,00 no final do primeiro ano, com acrscimos de 5 % por ano. Ao ltimo fluxo de caixa analisado deve-se acrescentar o valor residual estimado para o empreendimento na data, de R$ 50.000,00. Calcule a TIR anual do projeto. Resposta: 16,8/1% ao ano.

econmico comum, ou seja, mesma durao de tempo. Como nem sempre essa soluo de simples execuo, utiliza-se o mtodo do valor peridico uniforme. O mtodo do valor peridico uniforme consiste em calcular o termo VPU da renda imediata que seja equivalente ao fluxo de caixa do investimento analisado, usando a taxa de atratividade do investidor. Esse termo representa o custo peridico ou a receita peridica desse investimento e, quando so comparados vrios investimentos, optar pelo que apresenta o menor custo peridico ou a maior receita peridica. Esse custo peridico ou receita peridica calculados podem eventualmente ser o custo anual ou a receita anual. Da o motivo de ser esse mtodo conhecido tambm pelos nomes de mtodo do valor anual uniforme ou mtodo do custo anual uniforme, nomes que no se aplicam bem ao caso geral.

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Veja um exemplo. Uma indstria de brinquedos costuma comprar certa pea de determinado fornecedor. V, agora, a possibilidade de adquirir uma mquina com a qual essa pea possa ser fabricada na prpria indstria. Deve, ento, estudar as vantagens e desvantagens da aquisio. Os dados para esse estudo so os seguintes: Se continuar usando os servios da empresa que j os prestava, ter um gasto mensal de R$ 3.500,00; Se adquirir a mquina, ter um custo inicial de R$ 55.000,00 e gastos operacionais anuais de R$ 18.000,00. A vida til da mquina de trs anos, no final da qual ter um valor residual de R$ 8.000,00. Qual deve ser a opo da indstria se a taxa de mercado est em torno de 2% ao ms? Deve-se, portanto, comparar os custos mensais de cada proposta. A primeira proposta tem custo mensal de R$ 3.500,00. Veja o custo mensal da segunda proposta: 8.000 X Y Alternativa

Atividade 4 - Valor Peridico Uniforme (VPU)

1. Qual das alternativas mutuamente exclusivas, X e Y, deve ser escolhida se o custo do capital for de 10% ao ano? Resposta: VPUX = R$ 238,10 e VPUY = R$ 160,76. A alternativa X deve ser escolhida.

Investimento (em reais) 10.000,00 9.000,00 1 Ano 6.000,00 3.000,00

Receitas 2 Ano 6.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3 Ano 4 Ano

2. Uma empresa deseja criar uma nova linha de produo na sua unidade fabril. Dois projetos so apresentados para anlise da administrao e seus fluxos de caixa esto indicados a seguir. Os recebimentos anuais da empresa provenientes dessa nova linha de produo no sero alterados pela escolha do projeto. Considere um horizonte de anlise de oito anos e escolha o projeto que deve ser adotado pela empresa para uma TMA de 10% ao ano. Resposta: VPUA = R$ 22.773,54 e VPUB = R$ 20.995,52. A empresa deve optar pelo projeto B. Dados Investimento Inicial Vida til (anos) Valor Residual Dispndios anuais Projeto A R$ 50.000,00 4 0 R$ 7.000,00 Projeto B R$ 100.000,00 8 R$ 20.000,00 R$ 4.000,00

55.000

18.000

18.000

18.000 3. Uma empresa pretende fazer alteraes no seu parque industrial e est analisando

55.000 CHS CF0 NPV

18.000 CHS CFJ 2 i 36

18.000 CHS CFJ n PMT

10.000 CHS CFJ

duas alternativas de investimentos, cujos dados em relao situao atual esto indicados a seguir: Suponha uma TMA de 9% ao ano. Resposta: VPU 1.541,60 e VPU B = R$ 1.653,35. A alternativa B deve ser escolhida. Alternativa A Investimento Inicial (R$) Vida til dos Equipamentos (anos) Receitas Anuais (R$) (20.000,00) 6 6.000,00 Alternativa B (40.000,00) 4 14.000,00A

R$ 85.286,10

R$ 3.346,02.

= R$

Observe que o custo mensal da segunda proposta menor, portanto, deve ser escolhida a segunda proposta.

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4. Utilizando o mtodo do VPU, dizer qual dos equipamentos, A ou B, mais adequado economicamente. Considere um custo de oportunidade do capital de 10% ao ano. Resposta: VPUA = R$ 5.394,01 e VPUB = R$ 5.374,05. Equipamento Investimento (R$) A B 18.000,00 28.000,00 Custo Operacional Anual (R$) 2.860,00 1.960,00 Vida til (anos) 13 18

8. Comparar as alternativas mutuamente exclusivas A e B, de duraes diferentes. O custo do capital de 10% ao ano. Resposta: VPU 12.800,00. Alternativa A Investimento Inicial (R$) Despesa Anual (R$) Durao (anos) 10.000,00 1.000,00 2 Alternativa B 10.000,00 1.800,00 1A

= R$ 4.761,90 e VPU

B

= R$

5. Para as seguintes alternativas calcular o VPU e dizer qual delas a melhor escolha economicamente. Resposta: VPUX = R$ 2.990,99 e VPUY = R$ 2.895,96. Alternativa X Investimento Inicial (R$) Fluxo de Caixa Anual (R$) Durao (anos) Custo Anual do Capital (%) 5.000,00 1.672,00 05 10 Alternativa Y 8.000,00 1.594,00 10 10

9. Qual dos equipamentos, X ou Y, mais adequado para realizar determinada operao, considerando taxa mnima de atratividade de 10% ao ano? Resposta: VPU A = R$ 7.325,38 e VPU B = R$ 12.095,07. Alternativa A Investimento Inicial (R$) Custo Operacional Anual (R$) Durao (anos) 12.000,00 2.500,00 3 Alternativa B 32.000,00 2.000,00 8

6. Os projetos a seguir representam dois investimentos, A e B, para escolha de um investidor. Analisar qual a melhor opo com a taxa de atratividade de 10% ao ano. Resposta: VPU A = R$ 22.380,95 e VPU B = R$ 12.679,38. O projeto A deve ser escolhido. Projeto A Investimento Inicial (R$) Receita Anual (R$) Durao (anos) 100.000,00 80.000,00 2 Projeto B 150.000,00 60.000,00 4

10. Determinar pelo mtodo do Valor Peridico Uniforme qual projeto prefervel: Resposta: VPUA = R$ 46.157,07 e VPUB = R$ 46.038,46. Projeto A Investimento Inicial Custo Operacional Anual Vida til (em anos) Custo do Capital Receitas anuais Valor Residual 210.000,00 72.000,00 10 15% ao ano 160.000,00 0 Projeto B 360.000,00 82.000,00 12 18% ao ano 210.000,00 50.000,00

7. Uma empresa est analisando duas alternativas para a compra de um equipamento. Considerando um custo de capital de 10% ao ano, utilize o mtodo do VPU e decida qual a melhor alternativa para a empresa. Resposta: VPU A = R$ 2.380,94 e VPU B = R$ 7.259,82. Alternativa A Investimento Inicial (R$) Receita Anual (R$) Durao (anos) 100.000,00 60.000,00 2 Alternativa B 90.000,00 40.000,00 3

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Mtodo do Payback Descontado Conceito Payback Descontado PBD o tempo necessrio para a recuperao do investimento inicial remunerado, levando-se em considerao a taxa mnima de atratividade TMA e o tempo mximo de tolerncia TMT. Clculo do Payback Descontado O Payback Descontado medido pelo tempo decorrido entre o investimento inicial e a data futura mais prxima at a qual o valor do investimento remunerado coberto pela soma dos valores presentes das parcelas positivas do fluxo de caixa. Se o PBD < TMT, o projeto deve ser aceito. O PBD menor que o prazo de anlise n do projeto mostra que o VPL desse projeto positivo e, conseqentemente, criar valor. Se o PBD > TMT, o projeto no deve ser aceito. Exerccios Resolvidos 1. Calcule o Payback Descontado do projeto de investimento para a ampliao da linha de produo de determinada empresa, considerando a TMA de 10% ao ano. O fluxo de caixa se encontra abaixo. Anos 0 1 2 3 4 5 Capitais (R$) (12.000,00) 4.090,00 4.415,00 4.740,00 5.162,50 5.715,00 Saldo (12.000,00) (8.281,82) (4.633,06) (1.071,83) 2.454,23 6.002,80

Atividade 5 Payback Descontado 1. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa abaixo, para o qual se deseja calcular o Payback Descontado, levando-se em considerao um custo de capital de 7% ao ano. Ano 0 1 2 3 4 5 Valores (R$) (50.000,00) 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 Saldo (R$)

Resposta: PBD = 3,929376944 anos

PBD = 1.415 dias.

2. O fluxo de caixa anual do projeto de investimento est registrado na tabela a seguir. Verifique se o projeto dever ser aceito aplicando o mtodo do PBD com a taxa requerida de 8% ao ano e tempo mximo de tolerncia de quatro anos. Anos 0 1 2 3 4 5 Capitais (R$) (15.000,00) 2.500,00 3.500,00 4.250,00 5.000,00 5.800,00 Saldo (R$)

Observe que o tempo de recuperao do capital investido se encontra entre o terceiro e o quarto ano, perodo quando o saldo deixa de ser negativo e passa a ser positivo. O PBD ser dado por: PBD Anodoltimosaldonegativo1.071,83 1.071,83 2.454,23

Resposta: PBD = 4,667673242 anos dever ser rejeitado.

PBD = 1.681 dias. Portanto o projeto

ltimosaldonegativo ltimosaldonegativo primeirosaldopositivo PBD = 3,303973841 anos PBD = 3a, 3m e

PBD

3

20d ou PBD = 1.190 dias.

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3. Uma empresa est interessada em investir R$ 470.000,00 num projeto cujo fluxo de caixa est registrado na tabela a seguir. Considerando que o critrio da empresa seja aceitar projetos de investimentos que tenham PBD menor que cinco anos, verifique se esse projeto deve ser aceito considerando a taxa requerida de 12% ao ano. Anos 0 1 2 3 4 5 6 7 Capitais (R$) (470.000,00) 120.000,00 130.000,00 140.000,00 160.000,00 180.000,00 180.000,00 150.000,00 Saldo (R$)

5. Para aumentar sua produo, o gerente de uma fbrica estuda a possibilidade de instalar um novo equipamento cujo custo de aquisio igual a R$ 50.000,00. As receitas provenientes das vendas dos produtos desse equipamento e as despesas operacionais previstas para oito anos de sua vida til constam no quadro a seguir. O valor residual do equipamento no final de oito anos de R$ 10.000,00. Analise a viabilidade econmica de instalar esse equipamento, sabendo que a taxa mnima de atratividade dessa fbrica de 15% ao ano e tempo mximo de tolerncia de seis anos. Anos Receitas (R$) 0 1 2 3 0,00 18.000,00 18.000,00 18.000,00 18.000,00 30.000,00 30.000,00 30.000,00 30.000,00 Custos (R$) 50.000,00 10.000,00 5.000,00 6.000,00 7.000,00 14.000,00 15.000,00 16.000,00 20.000,00 Valor Residual (R$) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10.000,00 Saldo (R$)

Resposta: PBD = 4,566786829 anos

PBD = 1.645 dias.

4 5 6 7 8

4. A tabela seguinte registra o fluxo de caixa de um projeto de investimento. Considerando que a taxa requerida da empresa de 15% ao ano e o tempo mximo tolerado de 3 anos, primeiro calcule o VPL, a TIR e o PBD. Depois, analise a aceitao do projeto de acordo com os resultados obtidos. Anos 0 1 2 3 4 5 6 Capitais (R$) (220.000,00) 80.000,00 90.000,00 100.000,00 115.000,00 125.000,00 140.000,00 Saldo (R$)

Resposta: PBD = 6,872940385 anos recusado.

PBD = 2.475 dias. O projeto deve ser

Resposta: VPL = R$ 171.794,35, projeto deve ser aceito; TIR = 38,05% ao ano, projeto deve ser aceito; PBD = 3,252925023 anos, projeto no deve ser aceito.

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6. Uma empresa deve decidir entre dois projetos A e B para a aquisio de determinado equipamento. Os fluxos de caixa gerados pelos equipamentos esto no quadro abaixo. Considerando uma taxa mnima de atratividade de 8% ao ano e o TMT de 4 anos, qual dos projetos deve ser aceito? Projeto A Anos 0 1 2 3 4 5 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 Receitas Despesas 50.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 Saldo Receitas Projeto B Despesas 80.000,00 Saldo

8. Um estudante pretende fazer um curso superior no qual ir investir, hoje, R$ 50.000,00, esperando obter um retorno de, no mnimo, 15% ao ano com o aumento de salrio que ter, em funo do curso. Os fluxos de caixa previstos esto no quadro abaixo. Se o tempo mximo de tolerncia para esse aluno for de quatro anos, determinar se investimento vivel sob essas condies. Anos 0 1 2 3 4 Investimento / Receitas (50.000,00) 10.000,00 20.000,00 30.000,00 35.000,00 Saldo

Resposta: PBD = 3,322616093 anos PBDA = 4,031159545 anos PBDA = 1.452 dias. PBDB = 3,847452296 anos vivel.

PBD = 1.197 dias. O investimento

PBDB = 1.386 dias. O projeto A deve ser recusado e o projeto B deve ser aceito. 7. Certo investidor pretende comprar um apartamento por R$ 220.000,00, para obter retorno de, no mnimo, 13% anuais. Ele espera recuperar o investimento em sete anos. Sendo previstos os fluxos de caixa apresentados no quadro a seguir, determinar se o investimento vivel. Anos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Investimento / Receitas (220.000,00) 20.000,00 30.000,00 40.000,00 50.000,00 60.000,00 70.000,00 80.000,00 80.000,00 Saldo

9. O fluxo de caixa anual do projeto de investimento para ampliao da linha de produo de determinada empresa est registrado no quadro abaixo. Considerando uma TMA = 12% ao ano e um TMT = 4 anos, decida se esse projeto deve ser implantado. Anos Investimento / Receitas (R$) 0 1 2 3 4 5 (100.000,00) 25.000,00 30.000,00 35.000,00 40.000,00 45.000,00 Saldo (R$)

Resposta: PBD = 4,134318626 anos. recusado.

PBD = 1.489 dias. O projeto deve ser

Resposta: PBD = 7,672115028 anos invivel.

PBD = 2.762 dias. O investimento

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10. Uma empresa pretende investir na produo. Para isso, tem duas propostas, conforme quadro abaixo. Sabendo que ela pretende uma taxa mnima de atratividade de 10% ao ano, apresente a melhor opo pelo mtodo do Payback Descontado. Projeto A Anos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.500,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00 2.110,00 2.450,00 2.500,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 1.450,00 10.500,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 8.000,00 1.500,00 1.420,00 1.200,00 3.250,00 3.250,00 3.250,00 3.250,00 3.250,00 Receitas Despesas Saldo Receitas Projeto B Despesas Saldo Introduo

Sistemas de Amortizao

Os financiamentos ou emprstimos, de modo geral, podem ser feitos por curto, mdio ou longo prazo. Na prtica, os emprstimos de curto prazo vo at um ano; os de mdio prazo, at trs anos e a partir da so os emprstimos a longo prazo. este ltimo o tipo de emprstimo que ser estudado aqui. Mais especificamente, sero apresentados exerccios sobre maneiras de se quitar dvidas e sobre os chamados sistemas de amortizao. Definies Para uma melhor compreenso dos termos utilizados em emprstimos e amortizaes sero apresentados as definies de alguns desses termos. 1. Mutante ou Credor: aquele que dispe do dinheiro e concede o emprstimo; 2. Muturio ou Devedor: aquele que recebe o emprstimo; 3. Taxa de Juros: a taxa contratada entre as partes. Pode referir-se ao custo efetivo do emprstimo ou no, dependendo das condies adotadas, e sempre calculada sobre o saldo devedor;

Resposta: PBDA = 8,674668087 anos e PBDB = 7,717354784 anos. Melhor opo Projeto B.

4. IOF: Imposto sobre Operaes Financeiras; 5. IOC: Imposto sobre Operaes de Crdito; 6. Prazo de Utilizao: Corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o emprstimo transferido do credor para o devedor. Caso seja em uma parcela este prazo dito unitrio; 7. Prazo de Carncia: Corresponde ao perodo compreendido entre o prazo de utilizao e o pagamento da primeira amortizao. (Caso as amortizaes forem antecipadas, a primeira amortizao acontecer exatamente na data final da carncia; no entanto, se as amortizaes forem postecipadas, tem-se sempre mais um intervalo, que caracterstica das amortizaes postecipadas). Durante o prazo de carncia, portanto, o tomador do emprstimo pode pagar os juros, quando assim estiver combinado. Considera-se que existe carncia quando este prazo diferente do perodo de amortizao das parcelas. possvel tambm que as partes concordem em que os juros devidos no prazo de carncia sejam capitalizados e pagos posteriormente, juntamente com o principal, ou numa s parcela na primeira amortizao. 8. Parcelas de Amortizao: Correspondem s parcelas de devoluo do principal, ou seja, do capital emprestado, que deduzida do saldo devedor a cada pagamento; 39 40

9. Prazo de Amortizao: o intervalo de tempo durante o qual so pagas as amortizaes; 10. Prestao: a soma da amortizao, juros e outros encargos, pagos em dado perodo; 11. Planilha: um quadro, padronizado ou no, onde so colocados os valores referentes ao emprstimo, ou seja, o cronograma dos valores de recebimento ou desembolso; 12. Prazo Total do Financiamento: a soma do prazo de carncia com o prazo de amortizao; 13. Saldo Devedor: o valor do emprstimo a pagar ou receber em determinado momento. o resultado do saldo anterior menos o valor da amortizao ou, durante a carncia, o saldo anterior mais os juros no pagos; 14. Perodo de Amortizao: o intervalo de tempo existente entre duas amortizaes sucessivas. As classificaes dos sistemas de amortizao so usualmente feitas com base na forma de clculo das anuidades. Sero objeto de investigao os sistemas: Sistema de Amortizaes Constantes: SAC Como o prprio nome j diz, as parcelas de amortizao sero constantes durante o perodo das amortizaes. Neste sistema de amortizao, o financiamento pago em prestaes peridicas, sucessivas e decrescentes, em progresso aritmtica, constitudas de duas parcelas: amortizao e juros. As prestaes so decrescentes porque os juros decrescem a cada prestao paga. Frmulas Utilizadas: Amortizao: Ser calculada dividindo-se o valor do principal pelo nmero de perodos de pagamentos. A frmula ser: A A Sd0 n

Sd0 i

Saldo Devedor Anterior; taxa de juros.

Prestao: Ser calculada somando-se a amortizao com os juros. A frmula ser: PMT = A + J, onde: PMT A J Prestao; Amortizao; Juros.

Saldo Devedor: Ser calculado subtraindo-se do saldo devedor anterior o valor da amortizao. A frmula ser: Sd = Sd0 A, onde Sd Sd0 A Saldo Devedor Atual; Saldo Devedor Anterior; Amortizao.

Sd 0 , onde: n

Amortizao; Saldo Devedor Anterior; Prazo de pagamento.

Juros: Os juros sero calculados multiplicando-se o saldo devedor anterior pela taxa de juros. A frmula ser: J = Sd0 . i, onde: J Juros; 41 42

Exerccios Resolvidos 1. Um banco libera para uma empresa um crdito de R$ 120.000,00 para ser devolvido pelo sistema SAC em seis parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros compostos de 5% ao trimestre, construir a planilha de amortizao. Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo 120.000,00 Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 6 Soma Resposta 120.000,00 100.000,00 80.000,00 60.000,00 40.000,00 20.000,00 0 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 120.000,00 120.000,00 6.000,00 5.000,00 4.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 21.000,00 21.000,00 26.000,00 25.000,00 24.000,00 23.000,00 22.000,00 21.000,00 141.000,00 141.000,00 Amortizao Taxa de Juros 5% Pagamentos Juros Prestao ao trimestre

6 7 8 Soma Resposta

40.000,00 20.000,00 0

20.000,00 20.000,00 20.000,00 100.000,00 100.000,00

2.400,00 1.600,00 800,00 24.000,00 24.000,00

22.400,00 21.600,00 20.800,00 124.000,00 124.000,00

3. Um emprstimo no valor de R$ 200.000,00, ser pago em trs prestaes mensais aps um perodo de carncia de quatro meses. As amortizaes constantes sero calculadas sobre o valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a carncia. Considerando uma taxa de juros compostos de 2,85% ao ms, construir uma planilha de amortizao.

Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo 200.000,00 Saldo Devedor 0 1 200.000,00 205.700,00 211.562,45 217.591,98 223.793,35 149.195,57 74.597,78 0 74.597,78 74.597,78 74.597,78 223.793,35 223.793,35 5.700,00 5.862,45 6.029,53 6.201,37 6.378,11 4.252,07 2.126,04 12.756,22 12.756,22 80.975,89 78.849,86 76.723,82 236.549,57 236.549,57 Amortizao Taxa de Juros 2,85% Pagamentos Juros Prestao ao ms

2. Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco libera no ato. Sabendo que o banco concedeu trs meses de carncia para as amortizaes e ainda que a taxa de juros compostos de 4% ao ms, Construa uma planilha para amortizar a dvida em cinco amortizaes constantes.

2 3 4 5 6

Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo 100.000,00 Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 80.000,00 60.000,00 20.000,00 20.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 3.200,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 24.000,00 23.200,00 Amortizao Taxa de Juros 4% Pagamentos Juros Prestao ao ms

7 Soma Resposta

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Atividade 6 Sistema de Amortizaes Constantes

2. Um emprstimo no valor de R$ 150.000,00 ser pago em cinco prestaes mensais, com amortizaes constantes, a uma taxa de juros compostos de 2,5 % ao ms.

1. Um emprstimo no valor de R$ 200.000,00 ser pago em quatro prestaes mensais com amortizaes constantes. Se a taxa de juros compostos for de 3,25% ao ms, construa a planilha de amortizao.

Construa uma planilha de amortizao para esse emprstimo.

Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Taxa de Juros Saldo Devedor Amortizao Pagamentos 0 Prestao 1 2 3 4 5 Soma Resposta 150.000,00 11.250,00 161.250,00 Pagamentos Juros Prestao

Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 Soma Resposta 200.000,00 16.250,00 216.250,00 Taxa de Juros

Prazo

Juros

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3. Elaborar uma planilha de amortizao para o seguinte financiamento: a. Valor do financiamento de R$ 45.000,00; b. Reembolso em quatro meses pelo sistema SAC; c. Taxa efetiva de juros compostos de 10,87 % ao trimestre.

4. Um emprstimo no valor de 120.000,00 ser pago em cinco prestaes mensais, com amortizaes constantes, aps um perodo de carncia de dois meses para as amortizaes. Para uma taxa de juros compostos de 4,79 % ao ms, construa uma planilha de amortizao para esse emprstimo. Sistema de Amortizaes Constantes - SAC

Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 Soma Resposta 45.000,00 3.936,87 48.936,87 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

Principal Prazo Saldo Devedor

Taxa de Juros Pagamentos Amortizao Juros Prestao

0 1 2 3 4 5 6 7 Soma Resposta 120.000,00 28.740,00 148.740,00

47

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5. Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de juros compostos de 9,205 % ao bimestre, para ser pago em cinco pagamentos mensais, com dois meses de carncia para as amortizaes, calculado pelo Sistema de Amortizaes Constantes. Pede-se elaborar a planilha de financiamento. Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 Soma Resposta 10.000,00 2.250,60 12.250,60 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

6. Um emprstimo no valor de R$ 50.000,00, ser pago em trs prestaes mensais aps um perodo de carncia de quatro meses. As amortizaes constantes sero calculadas sobre o valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a carncia. Considerando uma taxa de juros compostos de 2,85 % ao ms, construir uma planilha de amortizao. Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 Soma Resposta 55.948,34 3.189,06 59.137,39 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

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7. Um emprstimo de R$ 60.000,00 deve ser pago ao final de quatro semestres, taxa de juros compostos de 8,5 % ao semestre. Contudo, tanto os juros como as amortizaes tem dois semestres de carncia. Construa uma planilha de amortizao para este emprstimo sabendo que as amortizaes so constantes. Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 Soma Resposta 70.633,50 15.009,62 85.643,12 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

8. Um emprstimo no valor de R$ 250.000,00 deve ser devolvido em 50 pagamentos mensais com amortizaes constantes. Para uma taxa de juros compostos de 2,5 % ao ms, quanto estar devendo aps o pagamento da stima prestao? Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 Soma Resposta 215.000,00 5.000,00 5.500,00 10.500,00 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

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9. Um imvel vendido por R$ 430.750,00, sendo 20% de entrada e o restante financiado em 100 meses com amortizaes constantes e taxa de juros compostos de 4,5 % ao ms. Quanto j ter pago de juros aps efetuar o dcimo pagamento? Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Soma Resposta 148.091,85 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

10. Um emprstimo no valor de R$ 125.000,00, contratado a juros de 21 % ao ano, com capitalizao mensal, ser pago em oito prestaes bimestrais, aps carncia de pagamentos de cinco meses. Construir uma planilha de amortizao pelo SAC para esse emprstimo. Sistema de Amortizaes Constantes - SAC Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Soma Resposta 136.327,07 21.659,39 157.986,46 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

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Sistema Francs de Amortizao: SAF A denominao Sistema de Amortizao Francs vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na Frana, no sculo XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestaes iguais, peridicas e sucessivas. o mais utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce medida que as prestaes so pagas, eles so decrescentes e, conseqentemente, as amortizaes do principal so decrescentes. O Sistema Francs ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista ingls Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto s amortizaes de emprstimos, no sculo XVIII. Basicamente a Tabela Price um caso particular do Sistema de Amortizao Francs, em que a taxa de juros dada em termos nominais (na prtica dada em termos anuais) e as prestaes tem perodo menor que aquele a que se refere taxa de juros (em geral, as amortizaes so pagas em base mensal). Nesse sistema, o clculo das prestaes feito usando-se a taxa proporcional ao perodo a que se refere a prestao, calculada a partir da taxa nominal. Frmulas Utilizadas Prestao As prestaes so calculadas com base nas sries uniformes postecipadas, portanto:

A PMT J

Amortizao; Valor das prestaes; Valor dos Juros.

Saldo Devedor O saldo devedor igual ao saldo devedor anterior menos a amortizao do respectivo perodo, portanto: Sd = Sd0 A, onde: Sd Sd0 A Saldo devedor atual; Saldo devedor anterior; Valor da amortizao.

PMTPMT PV i n

Pv.

1 (1 i ) i

n

1

onde:

Valor das prestaes; Valor do principal (emprstimo); Taxa de juros; Nmero de prestaes.

Juros Os juros so calculados aplicando-se a taxa de juros sobre o saldo devedor do emprstimo, portanto: J J Sd0 i Sd 0 .i onde: Valor dos Juros; Saldo Devedor Anterior; Taxa de Juros.

Amortizao A amortizao a diferena entre o valor da prestao e o valor dos juros respectivos, portanto: A = PMT J, onde:

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Exerccios Resolvidos 1. Um emprstimo no valor de R$ 200.000,00 ser pago pela Tabela Price em quatro prestaes mensais, iguais e postecipadas. A juros efetivos de 1,85 % ao ms, construir a planilha de amortizao. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 Soma Resposta 200.000,00 151.366,31 101.832,90 51.383,12 (0,02) 48.633,69 49.533,41 50.449,78 51.383,10 200.000,00 200.000,00 3.700,00 2.800,28 1.883,91 950,59 9.334,78 9.334,78 52.333,69 52.333,69 52.333,69 52.333,69 209.334,78 209.334,78 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

2. Um emprstimo no valor de R$ 200.000,00 ser pago seis em prestaes mensais, iguais e sucessivas, aps um perodo de carncia de trs meses para as amortizaes. A juros efetivos de 2 % ao ms, construir uma planilha de amortizao para esse emprstimo. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 168.294,84 135.955,58 102.969,53 69.323,76 35.005,08 (0,02) 31.705,16 32.339,26 32.986,05 33.645,77 34.318,68 35.005,06 200.000,00 200.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 3.365,90 2.719,11 2.059,39 1.386,48 700,10 26.230,97 26.230,97 4.000,00 4.000,00 4.000,00 35.705,16 35.705,16 35.705,16 35.705,16 35.705,16 35.705,16 226.230,97 226.230,97 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

Clculo pela HP-12C 200.000 CHS PV 1,85 4 i n PMT 1 f amort X>< Y RCL PV Calcula o valor dos pagamentos. Calcula o valor dos juros. Calcula o valor da amortizao. Calcula o saldo devedor.

8 9 Soma Resposta

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3. Um emprstimo no valor de R$ 65.000,00 ser pago atravs de cinco prestaes mensais, iguais e consecutivas aps um perodo de carncia para pagamentos de trs meses. A juros efetivos de 2,5 % ao ms, construir uma planilha de amortizao para este emprstimo. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Soma Resposta 65.000,00 66.625,00 68.290,63 69.997,89 56.681,01 43.031,21 29.040,16 14.699,33 0,02 13.316,88 13.649,80 13.991,05 14.340,83 14.699,35 69.997,89 69.997,89 1625,00 1.665,63 1.707,27 1.749,95 1.417,03 1.075,78 726,00 367,48 5.336,24 5.336,24 15.066,83 15.066,83 15.066,83 15.066,83 15.066,83 75.334,13 75.334,13 0 1 2 3 4 5 Soma Resposta Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao Principal Prazo

Atividade 7 Sistema Francs de Amortizaes

1. Complete a planilha de amortizao para um emprstimo no valor de R$ 100.000,00, o qual ser amortizado em cinco prestaes mensais, iguais e sucessivas razo de 1,5 % ao ms. Sistema de Amortizao Francs - SAF Taxa de Juros Saldo Devedor Amortizao Pagamentos Juros Prestao

100.000,00

4.544,67

104.544,67

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60

2. Uma empresa contraiu um emprstimo para financiar uma subsidiria no valor de R$ 30.000,00 taxa de juros compostos de 20 % ao semestres. Sabendo que o emprstimo ser amortizado em oito prestaes semestrais, iguais e sucessivas, construir a planilha de amortizao. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Soma Resposta 30.000,00 32.546,27 62.546,27 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

3. Um emprstimo no valor de R$ 40.000,00, foi concedido a uma empresa para ser amortizado em cinco prestaes anuais razo de 28 % ao ano. Construa a planilha financeira pelo Sistema Francs de Amortizao, sabendo-se que o primeiro pagamento ocorreu aps trs meses de carncia, com juros pagos durante a carncia. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Soma Resposta 40.000,00 41.482,92 81.482,92 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

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4. Um emprstimo no valor de R$ 200.000,00 ser pago em quatro prestaes mensais, iguais e sucessivas a uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalizao mensal. Construa uma planilha de amortizao para esse emprstimo. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 Soma Resposta 200.000,00 8.402,20 208.402,20 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

5. Um emprstimo no valor de R$ 85.000,00 ser pago em cinco prestaes mensais, iguais e sucessivas, aps um perodo de carncia de dois trimestres para as amortizaes, a uma taxa de juros compostos de 2,2 % ao ms. Construa a planilha financeira. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 6 7 Soma Resposta 85.000,00 17.160,02 102.160,02 Taxa de Juros Pagamentos Amortizao Juros Prestao

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6. Um emprstimo no valor de R$ 250.000,00 ser amortizado pelo SAF em dez pagamentos mensais, sendo trs meses de carncia para pagamento. Para uma taxa de juros compostos de 1,25 % ao ms, construir a planilha financeira. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Soma Resposta 259.492,68 13.135,79 272.628,47 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

7. Um emprstimo no valor de R$ 120.000,00 ser pago em quatro prestaes mensais, iguais e sucessivas, aps um perodo de carncia de dois bimestres para as amortizaes. Se a taxa de juros contratada for de 25 % ao ano, com capitalizao mensal, construir a planilha financeira. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 Soma Resposta 120.000,00 16.418,59 136.418,59 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

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8. Construir uma planilha financeira para um emprstimo no valor de R$ 189.000,00, a ser pago em doze meses, taxa de juros compostos de 28 % ao ano, sendo quatro meses de carncia, com juros capitalizados durante a carncia. Sistema de Amortizao Francs - SAF Principal Prazo Saldo Devedor Amortizao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Soma Resposta 205.209,97 19.653,99 224.863,96 Taxa de Juros Pagamentos Juros Prestao

9. Um emprstimo no valor de R$ 135.000,00 ser amortizado em 48 prestaes mensais, iguais e sucessivas a uma taxa de juros compostos de 1,95 % ao ms. Responda: a. Quanto estar devendo aps efetuar o 30 pagamento? Resposta: R$ 65.602,08. b. Quanto j ter amortizado aps efetuar o 20 pagamento? Resposta: R$ 41.682,91. c. Quanto ter pago de juros aps efetuar o 15 pagamento? Resposta: R$ 35.640,91. d. Qual o valor dos juros embutidos na 10 prestao? Resposta: R$ 2.305,22. e. Qual o valor amortizado no pagamento da 30 prestao? Resposta: R$ 3.018,49. 10. Um imvel no valor de R$ 110.000,00 foi financiado para pagamento em 180 prestaes mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 120 dias aps a contratao. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada foi 16,92 % ao ano, com capitalizao bimestral, responda: a. Qual o valor dos juros embutidos na 80 prestao? Resposta: R$ 1.319,57. b. Qual o valor da amortizao quando do pagamento de 150 prestao? Resposta: R$ 1.136,54. c. Quanto estar devendo aps efetuar o 160 pagamento? Resposta: R$ 30.324,21. d. Quanto j ter pago de juros aps efetuar o 100 pagamento? Resposta: R$ 144.054,62. e. Quanto j ter amortizado do emprstimo aps efetuar o 100 pagamento? Resposta: R$ 30.843,38.

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Sistema de Amortizaes Crescentes SACRE

AmortizaoA PMT J , onde:

O Sistema de amortizaes crescente um sistema criado pela Caixa Econmica para ser utilizado em suas linhas de crditos voltadas para o Sistema Financeiro da Habitao. Este sistema permite que o saldo devedor seja amortizado de forma mais rpida que o Sistema Price, sistema este at ento utilizado pela Caixa Econmica Federal para financiamento da casa prpria. Neste sistema o valor das prestaes mensais calculado sobre o saldo devedor no final de cada ano de contrato. Isto indica que durante o perodo de um ano a valor das prestaes no alterado. O saldo devedor corrigido ms a ms pela TR (Taxa Referencial de Juros) e a taxa nominal de juros, que possui capitalizao mensal, no pode ultrapassar os 12% ao ano. O Saldo Residual, que o valor remanescente no final do prazo do contrato, decorrente da evoluo do financiamento. Quando o saldo residual positivo, significa que o muturio deve fazer o pagamento para que a dvida seja totalmente liquidada. Quando o saldo residual negativo, significa que a dvida foi liquidada e o muturio ter direito a devoluo daquele valor. Os clculos envolvidos so: Prestao

A PMT J

Valor das amortizaes; Valor das prestaes mensais;

Valor dos juros mensais.

Correo Monetria C C Sd0 TR0 Sd 0 .TR0 , onde: Valor da correo monetria mensal; Saldo devedor anterior; Taxa Referencial de juros do perodo anterior.

Saldo Devedor Atual Sd Sd Sd0 A TR0 ( Sd 0TR ) A , onde:

Saldo devedor atual; Saldo devedor anterior; Valor da amortizao do perodo corrente; Taxa Referencial de juros do perodo anterior.

PMTPMT PV n i

PV n

PV .i , onde:

Valor das prestaes mensais; Valor do financiamento ou o Saldo Devedor ao final de cada ano de contrato; Nmero total de prestaes mensais;

Taxa efetiva de juros mensais.

Juros J J Sd0 TR i ( Sd 0 TR ).i , onde:

Valor dos juros mensais; Saldo devedor anterior; Taxa Referencial de Juros; Taxa efetiva mensal de Juros.

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Exerccio Resolvido Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 foi feito para ser liquidado em dez anos pelo sistema SACRE, com pagamentos bimestrais. Sabe-se que a taxa de juros compostos de 2,5% ao bimestre e a taxa referencial de 0,45% para os dois primeiros anos e 0,50% para os demais anos. Qual o valor da amortizao do 13 bimestre?

Atividade 8 Sistema de Amortizaes Crescentes

1. Um financiamento de R$ 120.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes trimestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 3% ao trimestre. Construa uma planilha de amortizao para esse financiamento, sabendo que o prazo de quatro anos e a taxa referencial de 1,5% ao trimestre.

Prazo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Juros

Amortizao

Pagamento

Saldo Devedor 100.000,00

Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Juros

Amortizao

Pagamento

Saldo Devedor

2.511,25 2.480,98 2.449,81 2.411,72 2.384,68 2.350,66 2.315,64 2.283,43 2.250,28 2.216,14 2.180,99 2.144,81 2.180,60

1.655,42 1.685,69 1.716,86 1.748,95 1.781,99 1.816,01 1.697,23 1.729,43 1.762,58 1.796,72 1.831,87 1.868,06 1.737,93

4.166,67 4.166,67 4.166,67 4.166,67 4.166,67 4.166,67 4.012,86 4.012,86 4.012,86 4.012,86 4.012,86 4.012,86 3.846,53

98.794,58 97.553,74 96.275,61 94.959,90 93.605,23 92.210,45 90.528,17 89.607,92 88.248,57 86.848,97 85.407,92 83.924,20 82.605,90

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72

2. Um financiamento de R$ 80.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes trimestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 2,6% ao trimestre. Construa uma planilha de amortizao para esse financiamento, sabendo que o prazo de 5 anos e a taxa referencial de 1,0% ao trimestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

3. Um financiamento de R$ 150.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes semestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 10% ao semestre. Construa uma planilha de amortizao para esse financiamento, sabendo que o prazo de 10 anos e a taxa referencial de 2,5% ao semestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

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4. Um financiamento de R$ 180.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes semestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 12% ao semestre. Construa uma planilha de amortizao para esse financiamento, sabendo que o prazo de 8 anos e a taxa referencial de 2,5% ao semestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

5. Um financiamento de R$ 200.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes quadrimestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 8% ao quadrimestre. Construa uma planilha de amortizao para esse financiamento, sabendo que o prazo de 6 anos e a taxa referencial de 2,0% ao quadrimestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

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6. Um financiamento de R$ 60.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes quadrimestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 12% ao quadrimestre. Construa uma planilha de amortizao para esse financiamento, sabendo que o prazo de 7 anos e a taxa referencial de 2,0% ao quadrimestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

7. Um financiamento de R$ 45.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes mensais postecipadas, com taxa de juros compostos de 1,5% ao ms. Determine o valor dos juros pagos na 14 prestao, sabendo que o prazo de 5 anos e a taxa referencial de 0,5% ao ms. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

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78

8. Um financiamento de R$ 85.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes bimestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 3,2% ao bimestre. Determine o valor amortizado na 13 prestao, sabendo que o prazo de 5 anos e a taxa referencial de 1,2% ao bimestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

9. Um financiamento de R$ 110.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes trimestrais postecipadas, com taxa de juros compostos de 1,2% ao ms. Determine o valor da dvida aps ter feito o 10 pagamento, sabendo que o prazo de 6 anos e a taxa referencial de 1,8% ao trimestre. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor

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10. Um financiamento de R$ 250.000,00 ser pago atravs do SACRE, em prestaes mensais postecipadas, com taxa de juros compostos de 2% ao bimestre. Determine o valor da 13 prestao, sabendo que o prazo de 10 anos e a taxa referencial de 6,17% ao ano. Perodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Juros Amortizao Pagamento Saldo Devedor Inflao

Operaes Financeiras em Contexto Inflacionrio

O processo inflacionrio caracteriza-se pelo aumento generalizado e persistente dos preos de bens e servios em uma economia. A inflao obriga a gerao de uma quantidade, cada vez maior, de moeda para o pagamento de bens e servios. Sem que haja uma produo maior de riqueza, esse aumento da quantidade de moeda causa a perda do poder aquisitivo da moeda. A inflao pode ser medida por ndices de preos feitos por meio de pesquisas realizadas por institutos especializados, oficiais ou particulares, com base na variao de preos de produtos selecionados em determinado perodo, em uma amostra representativa. O ndice de preos utilizado para medir a variao dos nveis de preos de um perodo para outro, sendo representado pela variao de preos de um conjunto de bens e servios. Os principais ndices de preos so: IPC ndice de Preo ao Consumidor, medido pela Fundao Getlio Vargas,

que o resultado de pesquisa feita em onze capitais, mais o Distrito Federal. captado entre os dias 1 e 30 de cada ms; IGP ndice Geral de Preos, captado entre os dias 1 e 30 de cada ms, para a

faixa de 1 a 33 salrios mnimos; IGP-DI ndice Geral de Preos Disponibilidade Interna, tambm medido

pela Fundao Getlio Vargas, que calculado entre o primeiro e o ltimo dia do ms de referncia e reflete a evoluo dos preos de trs ndices, tambm medidos pela Fundao Getlio Vargas: o IPA ndice de Preos Por Atacado. Apurado entre os dias 1 e 30 de

cada ms e reflete a variao de preos de 431 produtos usados nas indstrias de todo o pas; o IPC ndice de Preo ao Consumidor. Coletado entre os dias 1 e 30 de

cada ms, exclusivamente nas cidade de So Paulo e Rio de Janeiro para pessoas que recebem de 1 a 33 salrios mnimos ; o INCC ndice Nacional de Preos da Construo Civil. um indicador

da variao de preos, usado pelo setor da construo civil para a correo de valores de matrias-primas e contratos. apurado entre os dias 1 e 30 de cada ms. 81 82

IGP-10

ndice Geral de Preos, captado entre o 11 dia do ms anterior e o

Taxa de Desvalorizao da Moeda Desvalorizao da moeda o decrscimo do poder aquisitivo da moeda. A taxa de decrscimo chamada taxa de desvalorizao da moeda. A queda do poder de compra da moeda dada por:id ii x100 , onde: 1 ii

10 dia do ms de referncia. Esse ndice dirigido exclusivamente s instituies financeiras; INPC ndice Nacional de Preos ao Consumidor. Apurado entre os dias 1 e

30 de cada ms, em onze capitais brasileiras, mede a variao do custo de vida para pessoas que recebam entre 1 e 8 salrios mnimos. utilizado para corrigir contratos em geral; IPCA ndice Nacional de Preos ao Consumidor. apurado entre os dias 1 e

id ii

Taxa de desvalorizao da moeda; Taxa de inflao.

30 de cada ms, em onze capitais brasileiras, mede a inflao para a faixa de 1 a 40 salrios mnimos. bastante utilizado para reajustes de aluguis; IPCAe ndice de Preos ao Consumidor Amplo Srie Especial. apurado

Exemplo: Uma mercadoria custava R$ 250,00 e, aps uma inflao de 100%, seu preo passou para R$ 500,00. Qual a taxa de desvalorizao da moeda para essa inflao?id ii x100 1 ii

entre os dias 16 do ms anterior e 15 do ms de referncia, em onze capitais brasileiras. Mede a variao da inflao para pessoas que recebem entre 1 e 40 salrios mnimos. A diferena em relao ao IPCA que este corrige a Unidade Fiscal de Referncia (UFIR), usada para a atualizao de impostos federais; ICV DIEESE Socioeconmicas O departamento Intersindical de Estudos e Estatsticas (Dieese), o principal referencial sobre dados

id

1 x100 1 1

id = 50%.

Taxa de Juros Aparente e Real Taxa de Juros Aparente aquela que vigora nas operaes correntes, ou seja, sem que seja considerada a inflao do perodo. Taxa Real de Juros aquela obtida aps a excluso da inflao.

socioeconmicos para assuntos sindicais. Calcula o ICV (ndice do Custo de vida), entre os dias 1 e 30 de cada ms. O clculo feito a partir de duas amostras populacionais, um dos ndices para famlias com renda entre 1 e 5 salrios mnimos e o outro para a faixa de 1 a 30 salrios mnimos. Esse segundo usado para corrigir salrios nos dissdios de cada categoria. Esses ndices foram criados na tentativa de proteger o poder aquisitivo da moeda, ou seja, a quantidade de bens e servios que se pode adquirir com uma unidade monetria.

Clculo da Taxa Real de Jurosir 1 ia 1 ii 1 x100 onde:

ir ia ii

Taxa real de juros; Taxa aparente de juros; Taxa de inflao.

Deflao Deflao, ao contrrio da inflao, ocorre quando h baixa persistente e generalizada de preos.

Exemplo: Determinar a taxa real anual a partir de uma taxa aparente de 7% ao ano e uma inflao de 3% ao ano.ir 1 ia 1 ii 1 x100

ir

1 0,07 1 x100 1 0,03

ir = 3,88% ao ano.

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84

Clculo da Taxa Aparente de Juros ia 1 ir 1 ii 1 x100

Exerccios Resolvidos 1. O salrio de funcionrio era de R$ 500,00 e, depois de um aumento, passou a ser de R$ 635,00. Qual a taxa real de aumento desse funcionrio se a inflao do perodo foi de 22.5%?

Se para determinada aplicao a taxa real de juros praticada de 24% ao ano e a indexao prevista de 8,2% ao ano, calcular a taxa aparente mensal de juros. ia 1 ir 1 ii 1 x100 ia 1 0,24 1 0,082 1 x100 ia = 34,17% ao ano

ia

635 1 500

ia = 0,27, ou seja, o funcionrio teve um aumento aparente de 27%. % da

Observe que esse clculo tambm poderia ser obtido utilizando a funo Clculo da Taxa de Inflaoii 1 ia 1 ir 1 x100

calculadora HP-12C.ir 1 ia 1 ii 1 x100

ir

1 0,27 1 x100 1 0,225

ir = 3,67%.

Uma aplicao financeira rende juros nominais de 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Considerando que o ganho real foi de 0,63% ao ano, determine a taxa anual de inflao.ii 1 ia 1 ir 1 x100

2. Num ano determinada fbrica vendeu 253 mil caixas de sua mercadoria. Como o preo unitrio da caixa era de R$ 6,50, o total das vendas foi de R$ 1.644.500,00. No ano seguinte, essa empresa vendeu 265 mil caixas da mesma mercadoria, mas o

ii

1 0,061677812 1 x100 1 0,0063

ii = 5,50% ao ano.

preo da caixa tinha subido para R$ 11,05, pois houve uma inflao de 70% nesse ano, e o total das vendas atingiu R$ 2.928.250,00. Determinar a taxa real de crescimento nas vendas:

Taxa Acumulada de Atualizao Monetria iac = [(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)...(1 + in) 1 ] x 100 As taxas mensais de inflao nos ltimos seis meses de 2008, medidas pelo IBGE, foram, respectivamente, 0,58%; 0,21%; 0,15%; 0,50%; 0,38% e 0,29%. Qual a inflao acumulada nesses seis meses? iac = {[(1 + 0,0058)(1 + 0,0021)(1 + 0,0015)(1 + 0,0050)(1 + 0,0038)(1 + 0,0029)] 1}x 100. iac = 2,13%.

a. Considerando as quantidades vendidas de mercadorias;

ir

265 1 x100 253

ir = 4,74%.

b. Considerando o valor total das vendas.

ia

2.928.250 1 x100 1.644.500

ia = 78,06% ir

1 ia 1 ii

1 x100

ir = 4,74%

3. Uma financeira pretende ganhar 9% ao ano de juros reais em seus emprstimos pessoais. Considerando uma taxa de inflao de 10% ao ano, calcule a taxa anual aparente de juros que a financeira dever cobrar de seus clientes. ia ano. 4. Um capital no valor de R$ 9.300,00 rende juros compostos de R$ 7.901,28 em dois anos, para uma taxa de inflao de 10% ao ano, qual foi a taxa anual real de juros praticada na operao financeira? 9.300 CHS PV 17.201,28 FV 2 n iir 1 ia 1 ii 1 x100

1 ir 1 ii

1 x100

ia

1 0,09 1 0,10

1 x100

ia = 19,90% ao

ia = 36% ao ano. ir = 23,64% ao ano.

ir

1 0,36 1 x100 1 0,10

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Atividade -9 - Operaes Financeiras em Contexto Inflacionrio 1. Em uma instituio de crdito, a taxa de juros compostos para determinado tipo de aplicao de 24% ao ano. Que remunerao receber o cliente se a inflao for de 12% ao ano? Resposta: ir = 10,71% ao ano. 2. Que taxa de inflao anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano? Resposta: ii = 14,68% ao ano. 3. Qual a taxa aparente anual que deve praticar uma instituio financeira para ganhar 12% ao ano de juros reais se a inflao for de 8% ao ano? Resposta: ia = 20,96% ao ano. 4. Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado, durante trs meses, com rendimento de juros taxa de 1% ao ms e atualizao monetria, cujas taxas foram fixadas nesses meses, respectivamente, em 5%, 10% e 15%. Calcular o montante atualizado considerando atualizao monetria e juros calculados sucessivamente sobre o montante atualizado no perodo anterior. Resposta: R$ 136.849,73. 5. A caderneta de poupana rendeu em certa poca juros de 0,5% ao ms e atualizao monetria cujas taxas mensais foram 16,5103%, 17,9605%, 16,0099%, 19,2796% e 17,7801%.Qual o montante de uma pessoa que tinha R$ 45.000,00 depositados durante esses cinco meses? Resposta: R$ 86.638,46. 6. A inflao acumulada prevista para o prximo ano de 6%. Se uma instituio financeira deseja ter um lucro real de 10% ao ano, em quanto dever fixar sua taxa anual para emprstimos? Resposta: 16,60% ao ano. 7. A inflao acumulada prevista para os prximos doze meses de 4,5%. Se uma instituio financeira fixar a taxa para emprstimos em 2% ao ms, qual ser sua taxa anual real de lucro? Resposta: 19,65% ao ano. 8. O salrio mnimo, que era de R$ 120,00 em maio de 1997, passou para R$ 130,00 em maio de 1998. Se a inflao acumulada nesse perodo foi de 2,51%, houve um aumento real ou uma desvalorizao no salrio mnimo? De quanto? Resposta: Houve um aumento real de 5,68%. 9. As taxas de inflao dos seis primeiros meses de 1998 foram, respectivamente, 0,24%; - 0,16%; - 0,23%; 0,62%; 0,52% e 0,19%. Qual a taxa de inflao acumulada nesses seis meses? Resposta: 1,18%. 10. Para as taxas de inflao do problema anterior, qual a taxa anual de inflao equivalente: Resposta: 2,38% ao ano.

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