CAP 8 aula #18 Escoamento interno, viscoso e incompressível

EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

CAP 8 – aula #18

Escoamento interno,

viscoso e incompressível


Conceitos abordados nesta aula

O objetivo da aula é calcular o atrito na parede de um tubo de seção

circular, para isto será necessário rever e/ou introduzir diversos conceitos:

i. Diferença entre escoamento interno e externo;

ii. Diferença entre escoamento regime laminar e turbulento;

iii. Reynolds de transição;

iv. Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido;

v. Efeito do perfil de velocidades na eq. da energia;

vi. Perda de carga distribuída e localizada;

vii. Definição do fator de atrito;

viii.Diagrama de Moody e o fator de atrito

Conteúdo desta aula utiliza os conceitos de:

Equação de energia,

Tensão,

Viscosidade

Perfil de velocidade e

Análise dimensional.


Escoamento externo x interno

Escoamentos externos não são

confinados por paredes .

Escoamentos internos possuem

fronteiras sólidas (paredes) que

limitam ou restringem o campo de

escoamento


A mudança de regime Laminar para Turbulento afeta a potência de bombeamento, a tensão na parede, e o

coeficiente de transferência de calor e massa

Regime Laminar – escoamento ordenado, onde as moléculas de fluido seguem uma à outra de uma forma suave.

Regime Turbulento – escoamento fluxo desordenado, as posições das partículas não são previsíveis. O fluxo caótico.


A Experiência de Osborne

Reynolds (1841-1912)

Veja filme

https://www.youtube.com/watch?v=Kq9UKD0iZ2Q


• O escoamento transicional de regime laminar para turbulento devido às instabilidades do escoamento que são ‘amplificadas’ pelos mecanismos dinâmicos...

• O número de Reynolds é o parâmetro que está associado a transição

laminar – turbulento.

Laminar, 1D

Transição, 2D

Turbulento, 3D

Turbulento, 3D


Valores de Re para transição em TUBOS

Laminar ReD < 2300

Turbulento ReD > 4000

Transição laminar-turbulento 2300 < ReD < 4000

Definição de Reynolds

(para tubos de seção circular):

__

D

V DRe

viscosidade dinâmica

densidade

vel. média

dimensão característica:

diâmetro

Definições Equivalentes:

__

D

V DRe

D

4QRe

D

Indica dimensão

caracteristica


Limite regime laminar: Re 2300

Um engano frequente para quem estuda pela primeira vez o assunto é assumir que para qualquer escoamento (interno ou externo) que Re = 2300 demarca o limite da região laminar.

Re = 2300 transição laminar/turbulento vale para tubos com

seção circular.

Tubos com seções quadradas, triangulares e outras formas é utilizado o conceito de diâmetro hidráulico (próxima aula)

Escoamentos externos, placas planas e aerofólios (Re ~ 300000 a 500000), e outras formas apresentam diferentes Re para demarcar a transição Laminar – Turbulento (veja cap. 9).


Esco

am

en

to n

a e

ntr

ad

a d

e u

m t

ub

o

Em regime permanente, a conservação da massa exige que a vazão em qualquer seção do tubo seja a mesma ou, a velocidade média não varia;

Próximo da entrada o perfil de velocidades é aprox. uniforme;

A ação da viscosidade desacelera o fluido próximo da parede. Para conservar massa o núcleo deve ser acelerado!

Quando as camadas se encontram no centro do tubo é estabelecido um perfil estacionário, a velocidade máxima ocorre no centro.


Comprimento de desenvolvimento hidrodinâmico

Região de desenvolvimento:

i. O núcleo do escoamento está sendo acelerado.

ii. O perfil de velocidades e a pressão variam ao longo da direção axial do tubo.

iii. Le denota o comprimento de desenvolvimento

Le 0,06(D)ReD - Laminar

Le 4,40(D)ReD(1/6) - Turbulento

Le

Região escoamento desenvolvido:

• Se x Le o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido;

• O perfil de velocidades cessa de variar com x;

• A velocidade máxima ocorre no centro do tubo.

Borda camada limite

Desen-volvido


Por que o termo: desenvolvido hidrodinamicamente?

• A palavra ‘hidrodinâmico’ apesar de se referir à água, é um termo genérico. Refere-se ao fluido (gás ou líquido)

•A palavra ‘desenvolvido hidrodinamicamente’ significa que o perfil de velocidades não varia ao longo da direção axial do escoamento.

• O escoamento pode também transportar energia. Quando o perfil adimensional de temperatura cessa de variar é denominado por escoamento ‘desenvolvido térmicamente’ , x > LT, onde LT é o comprimento de desenvolvimento térmico.

• Similarmente também pode-se aplicar o termo ao transporte de massa (concentração) de espécies.

• Os comprimentos de desenvolvimento hidrodinâmico, térmico e de concentrações não são coincidentes mas dependem das propriedades do fluido. Isto será abordado no curso de transferência de calor.


A pressão varia somente na direção axial, x, P = P(x). Corolário: A pressão não varia na seção transversal do tubo.

Região desenvolvimento, x < Le, P decai de forma não-linear.

Região escoamento desenvolvido, x > Le, P decai, de forma linear.

A pressão sempre decai; o gradiente de pressão no tubo é dP/dx < 0.

A variação da pressão no

escoamento em um tubo

LeDesenvolvido

x

P

Queda de pressão linear, dP/dx = cte

Queda de pressão, dP/dx varia com x

xr


Fim da seção de

conceitos


Objetivos

Calcular a vazão, a queda de pressão e a tensão na parede em escoamentos internos, viscosos, hidrodinâmicamente desenvolvidos, incompressíveis em regime laminar ou turbulento.

– Aplicações em escoamentos em tubo de seção circular;

– Determinar fatores de atrito, tensão na parede e a queda de pressão em regime laminar e turbulento;

– Aplicação dos cálculos de queda de pressão: em linhas hidráulicas e em instalações de bombeamento.


Equação da Energia para Tubulações

Reveja aula 14 do conteúdo volume de controle: especialização a equação da energia:

• Uma entrada e uma saída

• Regime permanente (me = ms)

• Isotérmico

2 2

eixo

saída entrada

V VP Pˆ ˆu gz VdA u gz VdA Q W

2 2

weixo

Isotérmico então û é constante

d m

d m


Eq. energia: fluido incomp. e r. permanente

• Pressão : escolha uma entrada e uma saída onde a pressão seja uniforme;

• Cota z: uniforme nas portas;

• E.K.: valor médio depende do perfil de velocidades!

r

S.C.

P PV n dA m

2 2

Ir

S.C.

V VV n dA m

2 2

r

S.C.

gz V n dA gz m

2 2

eixo

saída ent

V VP Pgz gz q w

2 2

2 2

r r eixo

saída entrada

V VP Pgz V n dA gz V n dA Q W

2 2

• Para regime turbulento em dutos assume que é igual a 1.

• Para regime laminar é necessário correção E.K., é igual a 2

• Veja apêndice I, dedução de para regime laminar e turbulento

Dividindo ambos os lados por m:.


Perda altura de elevação HL (m)(veja aula 14, eq. Energia cap 4)

O calor pode ser expresso em termos da entropia e de sua geração de entropia, q = T0(ss-se)-T0sgen,

Como o processo é isotérmico, (ss-se) = 0, logo todo fluxo de calor vem da irreversibilidades do escoamento.

Substituindo esta definição na equação da energia :

O termo T0sgen/g = HL é denominado por perda de altura de elevação, ele

termo possui dimensão de ‘metro’:

2 2

0 gen 0 gen

s e

T s T sV Vp p wz z m onde 0

g 2g g 2g g g g

2 2

L

s e

w 0 se turbinaV Vp p wz z H onde

w 0 se bombag 2g g 2g g


HL sem trabalho específico

HL representa as irreversibilidades do sistema!

A energia mecânica é: (P/g + V2/2g + z)

Uma fração en. mecânica é convertida em calor de modo irreversível.

Na ausência de trabalho específico, a energia mecânica diminui a medida que o escoamento avança. O calor gerado é dissipado no ambiente.

2 2

L

e s

V Vp pz z H

g 2g g 2g

2 2

L

s e

V Vp pz z H

g 2g g 2g

ou

Lembre que no escoamento desenvolvido, V não varia e dp/dx < 0


Confusão: altura elevação HL x altura de carga hL

No século XIX era comum expressar balanço energia por comprimento H (m).

Mas h expressa a energia por massa (J/kg), o que torna mais simples o cálculo

da potência envolvida para o bombeamento.

2 2h gH J kg ou m s

2 2

eixo

L

saída ent

2 2

L eixo

saída ent

wV VP Pz H z m ou

2g g 2g g g

V VP P Jgz h gz w

2 2 kg

Os dois modos estão corretos, mas não esqueça que:

Por último:

Se ( )saída > ( )entr , sistema recebe trabalho, weixo < 0, bomba, compressor

Se ( )saída < ( )entr , sistema realiza trabalho, weixo > 0, turbina.


Perda de altura elevação, HL, em tubulações

O termo HL refere-se as perdas irreversíveis que ocorrem de (1) para (2). Ele é denominado por perda de altura de elevação. Sua origem deve-se a dissipação de energia mecânica em calor.

A perda de altura de elevação pode estar distribuída (Hf) ao longo de toda tubulação e/ou localizada (Hm) em um acessório (curva, restrição, válvula, etc).

mfL HHH

entrada saída

2 2

1 1 2 2

1 2 L

p V p Vz z H

g 2g g 2g


Cálculo da perda de altura de elevação

distribuída em tubulações, Hf


Perda de altura de elevação localizada em tubulações, Hm


Exemplo 1 - Água escoa num tubo de 50 mm de diâmetro numa velocidade média de 1,5 m/s. A pressão manométrica na entrada do tubo é 590 kPa. A saída do tubo situa-se a 25 m acima da entrada, a pressão da saída é atmosférica.

a) Esboce a linha piezométrica; b) Determine Hf entre entrada e saída;c) Se a vazão e a pressão na saída permanecem as mesmas mas o tubo agora está na horizontal calcule qual deve ser a pressão na entrada.

2 2

e e s s

e s f

p V p Vz z H

g 2g g 2g

Resp.:

b) Hf = 35.2 m ou hf = 345 J/kg e

c) pe = 345 KPa

ReD = 75000, regime turbulento, =1.

ze=0

pe/g

v2/2gv2/2g

zs = 25

Hf

(e) (s)


Exemplo 2 - Considere o escoamento de água ( = 10-6 m2/s) no tubo de um reservatório. Se Hf = 1,75 m e a altura do reservatório é d =3,60 m calcule a vazão volumétrica, Q, do reservatório.

2 2

1 1 2 2

1 2 f

p V p Vz z H

g 2g g 2g

Q = V2*D2/4 = 6,025**0,0752/4 = 0,0266m3/s

p1 = p2 = patm; V1 ~0, V2=?; z1 = d = 3,60 m, z2 = 0 e HL = 1,75 m

2 1 LV 2g z H 2g 3,6 1,75 6,025m / s

ReD = V.D/ = 451900, regime turbulento, =1.


Pergunta: No exemplo 2 como resolveríamos o problema se não fosse dado que Hf é 1,75 m?

Resposta: onde f é o fator de atrito, L é o comprimento do tubo tubo, D o diâm. tubo e V a vel. média!

2

f

L VH f

D 2g

Para chegar ao resultado acima temos duas etapas:

i) Encontrar relação entre Hf e a tensão na parede do tubo, w

ii) Encontrar relação entre a tensão parede, w, e o fator de atrito f


Balanço de forças em um tubo

Escoamento desenvolvido, força pressão equilibra as forças peso e de atrito!

2 2

1 2 2 1 w

D DP P g z z DL 0

4 4

w1 2

1 2

4P P Lz z m

g g g D

Rearranjando para a forma dos termos mecânicos:

z2-z1= L.sen

gA soma das forças de

pressão, peso e atrito é

nula, na direção do

escoamento, F=0.


Eq. energia – esc. desenvolvido num duto

1 21 2 f

P Pz z H m

g g

w wf f

4 L L JH m ou h 4

g D D kg

Lembrando que a hf = g.Hf .

Falta relacionar Hf ou hf com a tensão na parede.

Alguém pode sugerir um método para encontrar modelo para w?

Comparando os termos de q. movimento e energia chega-se a :

Balanço da equação da energia :

w1 2

1 2

4P P Lz z m

g g g D

Do balanço de quantidade mov.:


Exemplo 3 - Um tubo horizontal de 6 pol (152,4 mm) transporta um fluido em regime turbulento e desenvolvido. A diferença de pressão estática medida entre duas seções espaçadas de 25 pés ( 7,620 m) é de 3 psi ( 20684 Pa). Calcule a tensão cisalhante que atua sobre as paredes.

Lw 2

P D 20684 0,1524 N103,15

4 L 4 7,62 m

Comentário: o resultado do exercício mostra uma das maneiras de

medir a tensão na parede de um escoamento desenvolvido.

w1 2

1 2

4P P Lz z m

g g g D

Do balanço de q. movimento num escoamento desenvolvido num tubo:

Se o tubo é horizontal, z1 = z2, logo:


Tensão na parede para o escoamento

hidrodinamicamente desenvolvido em tubos

A tensão de cisalhamento na parede depende de quatro variáveis (análise dimensional):

w = f ( , ,V, D, )

i. V é a velocidade média do escoamento;

ii. ‘’ é a rugosidade da superfície do tubo e possui dimensão de

comprimento;

iii. , e D já são nossas conhecidas.


Coeficientes de atrito

(adimensionais) da tensão na parede

wf 2

DC f ,

D2

V

V

Análise dimensional

(teorema s)

• Fator de atrito de Fanning, Cf :

• Fator de atrito de Darcy, f:

• Relação entre Cf e f:

wf 2

2C

V

ff 4C

w

2

8f

V


Hf em termos do fator de atrito

2 2

f w 2 5

2 2

f w f f 2 5

4L 1 L QH f 8 f m

D g 2 D g D g

4L L QH 2 C 32 C m

D g D g D g

V

V

hf em termos do fator de atrito

Use a relação : hf = g.Hf (J/kg)

21w f 2L

w L L21w 8

CP D; reconhecendo que: e P gH

4 L f

V

V

Do exercício 3 vimos que a tensão e a queda de pressão devido a w é

Explicitando para HL chega-se em função f ou Cf e também V ou Q:

18f (Darcy) resulta w ~ V2 e HL ~ ½ V2

Cf (Fanning) resulta w ~ ½V2 e HL ~ 2 V2Sendo f = 4Cf :


Como Determinar hf ? Diagrama de Moody e o fator de Atrito fExemplo: ReD = 2x105 e /D = 0,0002


Como determinar hf - rugosidade parede tubulações

baseada em grãos de areia.

mm relativa

diâmetro tubo mm

rugosidaderugosidade

d


Equação de Colebrook-White

O diagrama de Moody é uma representação gráfica da equação de

Colebrook-White

Note: f = 64/Re para escoamento laminar em tubos

Relação explícita dada por S.E. Haaland

1 2.512log

3.7Df Re f

Esc. Turbulento

(Implicito em f )

1.111 6.9 / D

1.8 logRe 3.7f

Precisa em 2% com

relação à Colebrook

Há várias outras formas para aproximar da solução de C-W, acesse o link

https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae


A transição não ocorre num Re exato mas numa faixa,

Transição Laminar-Turbulento: não há um valor de Re exato. Os valores alternam entre laminar e turbulento numa faixa


Quando Re ultrapassa 2000 no tubo as instabilidades surgem como ‘manchas’ turbulentas e eventualmente desaparecem.

A media que Re aumenta a densidade de manchas turbulentas aumenta até que o escoamento transiciona completamente para regime turbulento.

No processo de transição não há como prever a % de área na parede do tubo que possui regime laminar e turbulento!

Transição Laminar x Turbulento

Não se deve projetar operação em

tubulações na faixa 2000 < Re < 4000.


Tra

nsiç

ão

La

min

ar

x T

urb

ule

nto

A primeira vista é difícil

aceitar que não há um

número limite onde a

transição ocorre entre

2000<Re<4000 (em tubos

somente).

Talvez seja mais fácil

aceitar este conceito

‘nebuloso’ (fuzzy)

tentando definir uma linha

de transição nas imagens

a seguir.


Fatores de atrito e o diagrama de Moody

12log

3.7

D

f

regime turbulento &

‘hidraulicamente rugoso’,

14

0,316

Ref

•Relação de Blasius, válida

para tubos lisos & Re < 105

•Laminar, Re < 2000

64

Ref

• regime turbulento &

‘hidraulicamente liso’,

1 2.512 log

Ref f

Fu

ja!


Regime laminar, f = 64/Re não depende rugosidade da superf.

Regime turbulento, f depende da rugosidade da superfície.

Regime Laminar x Turbulento


Efeito da rugosidade, regime permanente (1)

A rugosidade necessariamente afeta o fator de atrito. Suainfluência depende da grandeza relativa entre os termos que definem arugosidade (R) e o tubo ‘liso’ (L).

A razão R/L pode ser estimada de Haaland dividindo a parcelarelacionada com rugosidade pela parcela associada a Re:

1.11 1.11

3.7 Re

6.9 Re 29

D DR

L

111

73

D9681

f

1.

.

/

Re

.log.

Veja nota sobre rugosidade no Apêndice II.

R L 1 hidraulicamente rugoso, f constante;

R L 1 hidraulicamente liso, f variavel;


Efeito da Rugosidade (2) 1.11

0.03ReR L D

R/L >> 1 regime ‘hidraulicamente rugoso’, ocorre qdo Re e aumentam;

R/L << 1 regime ‘hidraulicamente liso’, apesar da superfície ter

rugosidade seus efeitos são desprezíveis.


Fluxograma cálculo de HL

Perda Carga Distribuída

f - diagrama Moody

Laminar & Turbulento

Perda Carga Localizada

Seção 8.7

L

1 2

w

w

p1 - p2 = g HL

1

211

LH2zzg2

V

g

p2

g

p

mfL HHH

g2

VKH

2A

m

2

wd

2

f

V

8

d

,Reff

eg2

V

d

LfH

22

g2

V gw


Exercícios recomendados (use excel para solução)

(1) Para uma dada vazão volumétrica e sistema de bombeamento, a perda de carga será maior para água

quente ou água fria? Explique.

(2) Um trecho de diâmetro constante de óleo duto do Alasca, na entrada do trecho a pressão é 8,5 MPa e

a elevação é 45 m; na saída, a elevação é de 115 m. A perda de carga nessa seção da tubulação é 6,9

kJ/kg. Calcule a pressão na saída. Resposta: 1,68 Mpa.

(3) Vimos que em vez da equação implícita de Colebrook para calcular o fator de atrito turbulento f, uma

expressão explícita que fornece exatidão razoável é a de Haaland. Compare a exatidão da equação de

Haaland para em relação a de Colebrook. Expresse a diferença em termos percentuais em relação a de

Colebrook como uma função de Re e e/D, para Re = 104 até 108, e e/D = 0, 0,0001, 0,001, 0,01, e 0,05.

Qual é a discrepância máxima para estes valores de Re e e/D? Trace um gráfico de f em função de Re

com e/D como um parâmetro.

(4) Two tanks of water at 20°C are connected by a capillary tube 4 mm in diameter and 3,5 m long. The

surface of tank(1) is 30 cm higher than the surface of tank(2). Consider the pipe flow in laminar regime.

(a) Estimate the flow rate in m3/h. (b) For what tube diameter will Red be 500?

(5) The following data were obtained for flow of 20°C water at 20 m3/h through a badly corroded 5-cm-

diameter pipe that slopes downward at an angle of 8°: p1 = 420 kPa, z1=12 m, p2 =250 kPa, z2 =3 m.

Estimate (a) the roughness ratio of the pipe and (b) the percentage change in head loss if the pipe were

smooth and the flow rate the same. Hint: try the fully rough regime on the Moody diagram.

(6) Ar nas condições ´standard´ escoa com uma vazão de 0,198 m3/s num duto de ferro galvanizado

horizontal com um diâmetro de 0,152 m. Se o tubo possui 60,7 m de comprimento, estime a perda de

pressão. Pesquise na web o que é ‘standard conditions’.


FIM


Apêndice I – Eq. energia para tubulações e o coeficiente en. cinética

• Pressão : deve-se escolher uma entrada e

uma saída onde a pressão seja uniforme;

• Cota z: uniforme nas portas;

• E.K.: valor médio depende do perfil de

velocidades!

P PVdA m

2 2V V

VdA m2 2

2 2

eixo

saída ent

V VP Pgz gz q w

2 2

gz VdA gz m

2 2

eixo

saída entrada

V VP Pgz VdA gz VdA Q W

2 2


Perfil de Velocidade num Tubo

A velocidade não está distribuída uniformemente

ao longo do tubo mas apresenta um perfil.

Isto quer dizer que o quadrado da média da

média do quadrado:

A relação entre o perfil e a velocidade média:

Turbulento

1R 2n

max max0

La min ar

2 R

max max0

u r r 1 V 2n1 V u r 2 rdr ; 6 n 10, f Re

U R A U n 1 2n 1

u r r 1 V 11 V u r 2 rdr

U R A U 2

2 21

V u dAA

r/R

u/Umax


Coeficiente de Energia Cinética,

O fluxo de Energia Cinética:

3

3

2 3

A A

2 3

A

u rdA u r dA

u r 2VK u r dA A

V2 2 AVVA

2

7 8 9 10

1.04

1.05

1.06

1.07

n

3 2

max

3

max

U 2n (se turbulento)

V 2n 3 n 3

ou

U 1 2 (se laminar)

V 4

Demonstração do perfi laminar no curso II


Importância do Coeficiente

Para escoamentos em regime turbulento em dutos

frequentemente assume-se que é igual a 1 não é

importante!

Para regime laminar entretanto é necessário o uso da

correção de E.K. pois é igual a 2 é importante!


Apêndice II - Nota Sobre Rugosidade, (1)

• Nikuradse (1933) (acesse artigo link) fez um estudo sistemático sobre o efeito da rugosidade em tubulações.

• Ele colou grãos de areia de diâmetros conhecidos para criar diferentes rugosidades.

• O diagrama de Moody e a fórmula de Colebrook-White baseiam-se na rugosidade de grãos de areia.

Mesma altura ‘rugosidade’ porém com

formas distintas levam a diferentes efeitos no

atrito.

grãos areia

exemplos de

possíveis

acabamentos

superficiais

https://scholar.google.com/scholar?hl=pt-BR&as_sdt=0,5&q=nikuradse+experiment&oq=nikuradse+


Nota Sobre Rugosidade, (2)

Consequência: para ser exato (Moody e

Colebrook) é necessário transformar a

rugosidade da superfície numa ‘rugosidade de

areia equivalente’.

• Isto até hoje não foi realizado de forma sistemática. Estima-se

desvios de até 15% na previsão de P devido a esta incerteza.

• Fabricantes de tubos deveriam fornecer equivalente a rugosidade

de areia.

• Como determinar : mede P num de tubo e encontra, no

diagrama de Moody, a rugosidade que resulta no P medido.

grãos areia

exemplos de

possíveis

acabamentos

superficiais

CAP 8 aula #18 Escoamento interno, viscoso e incompressível

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