capitulo_4.pdf

83

4 MODELO PARA RESOLUO DE

PROBLEMAS DE LAYOUT DE

INSTALAES COM A TECNOLOGIA

DAS RESTRIES

Desde os finais dos anos oitenta a tecnologia da PLR, e em particular a

PLR(DF), tem vindo a ser aplicada na resoluo de problemas, com assinalvel

sucesso, em reas deveras diversas, onde outras tecnologias caducaram. No que se

refere s aplicaes industrias, o planeamento e o escalonamento da produo tm

sido as reas de eleio. Muitos destes problemas apresentam caractersticas comuns

aos problemas de natureza combinatria e, portanto, so de difcil resoluo. Como

se demonstrou, os PPLIs (problemas de projecto de layout de instalaes) so

tambm problemas de grande complexidade e, portanto, de difcil resoluo. Da que

se tenha decidido explorar a tecnologia da PLR(DF) na resoluo dos PPLI.

84 Modelo para Resoluo de Problemas de Layout de Instalaes com a Tecnologia das Restries

A resoluo dos PPLI com recurso a tecnologia da PLR(DF) requer, no entanto,

a definio de novos modelos ou mesmo a adaptao de alguns modelos j usados

com outras tecnologias. Uma componente fundamental deste captulo destina-se a

descrever um modelo formal para a resoluo de PPLI, com destaque para os

relacionados com as instalaes industriais, tendo sido desenvolvido considerando a

tecnologia da PLR(DF). Este modelo inspira-se em larga medida nos modelos para

problemas de atribuio de espao a duas dimenses, descritos no captulo 2. A outra

componente fundamental relaciona-se com a identificao das variveis do problema

bem como com a definio dos seus domnios e, fundamentalmente, com a

especificao das restries, que obviamente so de carcter geomtrico.

4.1 Requisitos de Informao para Resoluo de

PPLI

Esta seco destina-se a identificar a informao necessria para a aplicao do

modelo proposto resoluo de PPLI, usando meta-interpretadores de PLR(DF).

Estes requisitos de informao so ilustrados com um exemplo de um PPLI, que vai

sendo descrito medida que as normas utilizadas forem discutidas. Interessa, no

entanto, comear por uma abordagem no vinculativa problemtica dos PPLI.

4.1.1 Modelos para PPLI

No captulo 2 foram apresentados alguns dos modelos mais representativos para

a resoluo de PPLI. Globalmente, todos estes modelos enfermam de problemas de

complexidade. Em termos geomtricos, esto-se a considerar instalaes cujos

requisitos espaciais correspondem a uma rea fixa, a qual a fraco mnima do

espao disponvel na planta da unidade fabril a atribuir instalao. Tenha-se em

ateno que o espao disponvel para dispor as instalaes, usualmente um edifcio

ou uma fraco deste, aqui designado por planta. Regra geral os requisitos espaciais

das instalaes a colocar na planta podem ser agrupados na forma de: (i) reas iguais

e orientao fixa; (ii) reas diferentes e orientao fixa; (iii) reas diferentes e

orientao varivel; (iv) reas diferentes e forma varivel. As aproximaes (i) e (ii)

4.1 Requisitos de Informao para Resoluo de PPLI 85

implicam apenas a escolha do local destinado a cada instalao. Em (iii) acrescenta-se

uma nova dimenso complexidade do problema pelo facto de ser necessrio

escolher tambm a orientao das instalaes na planta. Finalmente, em (iv), a

dimenso relativa orientao da instalao substituda por outra que obriga

escolha da forma da instalao. Dado que se consideram reas rectangulares para as

instalaes, a caracterizao da forma da instalao reduz-se definio do seu

comprimento e largura.

Esta classificao tem em linha de conta apenas instalaes fabris de um s piso.

No entanto, como anteriormente foi referido (seco 2.6), assiste-se ao surgimento

de variantes que consideram vrios pisos, o que, obviamente, acrescenta outra

dimenso ao problema, logo aumentando a complexidade do mesmo. Refira-se, no

entanto, que neste trabalho consideram-se apenas as instalaes fabris com um s

piso.

Para alm dos aspectos geomtricos, ainda necessrio considerar os aspectos

relacionados com o processo produtivo. Este escolhido, fundamentalmente, em

funo dos produtos a fabricar e da capacidade produtiva a instalar para satisfazer a

procura. Geralmente, em PPLI considera-se, directamente ou indirectamente, uma

estimativa da procura de produtos. esta estimativa da procura de produtos que

permite efectuar a avaliao e escolha da melhor soluo para cada instncia do

problema. Um dos parmetros que influencia a qualidade das solues o fluxo entre

instalaes, e este parmetro funo do processo e da capacidade produtiva a

instalar.

Ainda relativamente aos processos de fabrico, importa referir que as solues

apontadas no consideram, normalmente, instalaes alternativas para realizar as

operaes. O modelo que se prope admite a existncia destas instalaes

alternativas. As instalaes alternativas para a mesma operao so agrupadas em

classes de instalaes. Embora as instalaes da mesma classe sejam capazes de

efectuar as mesmas operaes, estas podem no as realizar com as mesmas

caractersticas (e.g., velocidade, qualidade).

Finalmente, h ainda que referir um aspecto de grande importncia, e que se

relaciona com o tipo de variveis usadas em PPLI e discutidas no captulo 2, e o tipo


de variveis usadas com os meta-interpretador de PLR(DF). Nos modelos para PPLI

coexistem variveis de deciso que tomam valores reais, e variveis de deciso que

com valores inteiros. Um exemplo desta ltima situao o modelo de proposto por

Montreuil et al, (1993), e apresentado na seco 2.4.2. Num modelo em que haja

recurso a meta-interpretadores para PLR(DF) devem-se considerar apenas variveis

de deciso que tomam valores em intervalos de valores inteiros, sendo necessrio,

por conseguinte, efectuar uma converso de valores reais para valores inteiros que

garantam uma preciso adequada. Esta converso tem de ser efectuada no apenas

para as variveis de deciso relacionadas com aspectos geomtricos, como tambm

para os valores relacionados com o processo e procura de produtos, os quais em

ltima instncia, condicionam o fluxo de materiais entre as instalaes.

4.1.2 Planta da Instalao

Conhecer as dimenses da planta no , na maior parte das situaes, essencial

para procurar a melhor soluo de um PPLI, quando o espao disponvel no

constitui uma limitao. No entanto, o conhecimento do comprimento e da largura

desta pode ajudar a encontrar a melhor soluo. Por outro lado, o espao fsico

disponvel na planta pode no ser compatvel com a melhor soluo encontrada,

devido forma da planta, da que, em princpio se aconselhe que as dimenses da

planta devam ser tomadas em linha de conta

As solues para o problema que consideram o comprimento e a largura da

planta assumem de forma implcita uma instalao fabril cuja planta possui forma

rectangular com comprimento C e largura L, (ou seja, a posio de todas as

instalaes condicionada por estas dimenses). bvio que nem todas as plantas

possuem esta forma rectangular. Nestas situaes considera-se um rectngulo que

envolve a planta real (Figura 4-1). Esta abordagem tem como inconveniente a

possibilidade de originar solues em que a disposio de algumas das instalaes

ultrapasse a linha de fronteira que delimita o interior da planta. Esta situao pode,

no entanto, ser evitada, o que passa pela criao de um nmero suficiente de

instalaes fictcias cuja disposio forada partida para as reas no pertencentes

planta real e de forma a que essas reas sejam indisponibilizadas.


Figura 4-1: Exemplo de um rectngulo que envolve a forma da instalao fabril.

Podem-se considerar outras alternativas de modo a evitar a criao de

instalaes fictcias, porm a abordagem seguida neste trabalho assume-se como a

mais interessante, sendo de certa forma a mais natural, tendo em conta o paradigma

da PLR. Tudo passa por se colocarem restries que excluam as reas no

pertencentes planta do espao disponvel para dispor as instalaes. Este tipo de

restries sero discutidas com maior detalhe, mais frente, neste captulo. Por outro

lado, esta abordagem, alm de permitir excluir as reas do rectngulo que envolve a

planta real, (Figura 4-1), permite ainda excluir reas interiores que no esto

disponveis para a disposio de instalaes.

Considerando o que foi discutido acerca da forma planta, a representao desta

deve ento ter em considerao que:

C o comprimento do rectngulo que envolve a planta;

L a largura do rectngulo que envolve a planta;

NAP o nmero de reas proibidas;

{AP } o conjunto de reas proibidas, e que realmente no pertencem planta

real.

Por conveno, o comprimento C medido sempre segundo o eixo dos x

enquanto a largura medida segundo o eixo dos y.

As reas proibidas so reas rectangulares que se podem sobrepor. A interseco

do rectngulo envolvente da planta real com a unio destas reas proibidas deve


resultar no espao disponvel da planta real para a disposio das instalaes. Estas

reas proibidas, pelo facto de serem rectangulares, so descritas em termos dos

parmetros:

Xi o valor da coordenada x relativamente origem da rea i ;

Yi o valor da coordenada y relativamente origem da rea i ;

Ci o comprimento da rea rectangular i ;

Li a largura da rea rectangular i .

4.1.3 Instalaes

Sob o ponto de vista dos PPLI as instalaes constituem espaos da planta

destinados aos mais variados fins, como, por exemplo, os destinados a contemplar a

prestao de servios (por exemplo, os servios administrativos), armazns e/ou

processos produtivos. No contexto deste trabalho tm um particular interesse as

instalaes que se relacionam com o processo produtivo. Estas instalaes podem ser

constitudas por uma simples estao de trabalho, que se refere a uma mquina que,

opcionalmente, pode contemplar uma pequena rea para armazenamento temporrio

de materiais, ou ento por uma coleco de estaes de trabalho. Uma coleco de

estaes de trabalho pode constituir-se, ela prpria, num subproblema de layout.

Estes subproblemas seguem um dos diversos tipos de layout de produo: de

produto, de processo, de grupo ou hbrido.

Em todas as situaes discutidas consideram-se conhecidas partida quais as

instalaes onde ocorrem as operaes, embora no se considere que existam

instalaes alternativas para as operaes a efectuar. No sistema que aqui se descreve

podem ser consideradas instalaes alternativas para as diferentes operaes. As

instalaes so agrupadas em classes de instalaes de acordo com as operaes que

realizam. Uma classe de instalaes o conjunto das diferentes instalaes que

podem realizar as mesmas operaes e, por esse motivo, uma instalao

completamente identificada no s pelo seu nome ou cdigo como pela sua classe.

Cada instalao identificada por um conjunto de propriedades que esto

relacionadas com a sua forma. Existem ainda outras propriedades relativas


capacidade das instalaes para a realizao de operaes, mas estas relacionam-se

directamente com o processo produtivo.

A descrio de uma instalao tem, por conseguinte, que atender a que:

Ti a classe de instalaes i ;

NIi nmero de instalaes da classe i ;

Iiu a instalao u da classe i ;

Aiu representa a rea mnima necessria a Iiu ;

{RAiu} um conjunto de valores que d o quociente entre a largura e o

comprimento de Iiu , em que cada um dos valores designado por razo

de aspecto1;

Ciu o comprimento de Iiu ;

Liu a largura de Iiu ;

Fiu o valor opcional da folga2 de Iiu e representa a distncia mnima a que as

instalaes vizinhas devem estar colocadas (Figura 4-2).

i

j

Folga daInstalao j

Folga daInstalao i

Figura 4-2: O maior valor de folga de um par de instalaes estabelece a distncia mnima a que estas devem ser dispostas na planta.

Algumas destas caractersticas de uma instalao encontram-se representadas na

1 Esta designao tem a ver com a sua contrapartida em lngua inglesa e dada na forma de aspect ratio.

2 Este valor referido na literatura em lngua inglesa como clearance.


Figura 4-3. As relacionadas com o comprimento e a largura assim como a relacionada

com o conjunto de valores da razo de aspecto (RA), so equivalentes, sendo

portanto redundantes. As expresses (4-1) e (4-2) permitem relacionar estes valores

da razo de aspecto com os valores do comprimento e da largura da instalao.

iuiu ARAL = (4-1)

iuiuiu LCA = (4-2)

claro que ao se considerarem um conjunto de valores da RA ento devem-se

considerar tambm vrios valores para C e para L. Por outro lado, quando a rea

necessria para as instalaes fixa, basta apenas conhecer os valores de C ou de L,

uma vez que (4-2) permite calcular o outro valor. Quando a forma de uma instalao

conhecida partida, suficiente conhecer o valor do seu comprimento e da sua

largura, sendo apenas necessrio decidir qual a melhor orientao. Se os requisitos de

forma de uma instalao so flexveis, ento, e de uma forma geral, devem ser

fornecidos como dados de entrada o conjunto de valores da RA e o valor mnimo da

rea necessria para a instalao. Nesta situao interessa escolher no s a posio

para a instalao como tambm quais so de facto os melhores valores para o seu

comprimento e largura.

Comprimento

Folga

Largura rea

Figura 4-3: Aproximao da forma de uma instalao por um rectngulo.

Geralmente, o valor da rea necessria e o conjunto de valores da RA (razo

entre a largura e o comprimento) so suficientes para tratar todas as situaes,

mesmo aquelas em que a forma da instalao fixa. Quando a forma e a orientao


fixa necessrio apenas um valor da RA. Se apenas a orientao varivel ento so

necessrios dois valores da RA, sendo um dos valores o inverso do outro. Na

situao geral so necessrios tantos valores da RA quanto as formas possveis para a

instalao. A Tabela 4-1 mostra como constitudo o conjunto de valores da RA

quando a orientao das instalaes na planta so fixas, varivel ou quando possuem

uma forma varivel. Estas situaes encontram-se ilustradas no exemplo apresentado

na Tabela 4-2.

Tabela 4-1: Graus de liberdade para a forma das instalaes.

Forma da instalao Possibilidades RA

Orientao fixa 1 {v}

Orientao varivel 2 {v, v1

}

Forma varivel N {v1, ..., vn}

Tabela 4-2: Um exemplo de requisitos de espao para um total de 24 instalaes correspondentes a dez classes (de instalaes).

Instalao A B

rea 1000 1100 1100 300 300 300

L/C 2,5 0,36; 2,75 0.36, 2.75 0,33; 3,0 0,33; 3,0 0,33; 3,0

Folga - 3 3 5 5 5

Instalao C D E

rea 3000 3000 1200 1200 2500 2500

L/C 0,2..5,0 0,2..5,0 0,5..1,2 0,5..1,2 0,8..1,2 0,8..1,2

Folga 2 2 - - - -

Instalao F G

rea 2000 2000 1000 1000 750 750

L/C 0,9..1,5 0,9..1,5 0,625; 1,6 0,625; 1,6 0,5; 2,0 0,5; 2,0

Folga - - 4 4 5 5

Instalao H I J

rea 2800 1000 1200 300 600 600

L/C 0,5; 1,0; 1,5 0,4; 2,5 0,75; 1,33 0.33 0,67; 1,5 0,67; 1,5

Folga - - - 2 3 3


4.1.4 Produtos

A razo de ser de uma companhia deve-se existncia de um mercado com a

apetncia para consumir um vasto e diversificado nmero de produtos, tendo esta a

capacidade para satisfazer parte ou todas as necessidades do mercado, num

determinado nicho de produtos. Nesta seco mostra-se como a companhia poder

ver a procura do mercado para os produtos que fabrica sob o ponto de vista do layout

e como esta procura afecta o processo que ocorre na planta que se pretende

projectar.

Um mercado ideal para uma companhia aquele que regista uma procura

constante ao longo do tempo para os produtos que esta a coloca. No entanto, um

mercado destes no existe, tendo a companhia de se adaptar s suas constantes

mudanas. Esta situao implica que o projecto de uma nova fbrica, ou a

reformulao de uma j existente, obrigue a que se estime o volume da procura dos

produtos durante o tempo de vida til da fbrica. O volume da procura dado pela

quantidade de produtos de um dado tipo a produzir por unidade de tempo.

O conhecimento dos produtos que vo ser produzidos na nova fbrica

determinante na escolha do processo a usar. No entanto, o volume previsto de

produtos a produzir que determina a capacidade da planta, condicionando a tomada

de decises que fazem com que a planta seja eficiente na produo, nomeadamente

na escolha da melhor disposio para as instalaes no interior da planta. A escolha

da melhor disposio das instalaes depende essencialmente do fluxo de materiais

ou da frequncia de viagens efectuadas pelo equipamento de transporte entre as

instalaes, e este fluxo depende por sua vez das quantidades a produzir de cada

produto.

Para calcular o fluxo entre instalaes, necessrio, para alm do conhecimento

do volume de produtos a produzir, efectuar a decomposio dos produtos nas vrias

partes que os compem. bvio que esta decomposio se limita s partes que so

processadas na planta. Esta decomposio dos produtos nas suas partes feita de


acordo com o Plano Necessidades de Material3. Para cada uma destas partes deve ser

calculada a quantidade necessria (valor da procura da parte), sendo esta proporcional

ao somatrio das partes que participam em cada um dos produtos finais. Desta

forma, e de forma interna planta, os produtos finais e as partes que participam no

fabrico dos produtos, so tratados simplesmente por partes. A informao que

descreve as partes dada na forma:

NP o nmero de partes processadas na planta;

Pk a parte k ;

Ck a capacidade de produo para a parte k de acordo com a estimativa da

sua procura;

Oikl o nmero de ordem da operao l que se realiza na instalao da classe

i, parte k, na sequncia de operaes.

4.1.5 Processo de Produo

Conhecendo quais so as partes a fabricar na planta e qual a quantidade

produzida de cada uma por unidade de tempo, necessrio conhecer a sequncia das

operaes para determinar o fluxo de materiais entre as instalaes. A decomposio

de todos os produtos nas suas partes mais simples resulta em sequncias de

operaes de visita s instalaes. A Tabela 4-3 mostra um exemplo simples onde se

identifica a procura para cinco partes produzidas na planta e onde se descreve a

ordem de visita destas s classes de instalaes onde so realizadas as respectivas

operaes. Refira-se que a instalao concreta de cada classe de instalaes para

realizar as operaes no conhecida na fase de projecto de layout quando existir

mais do que uma instalao da mesma classe.

Para especificar as sequncias de operaes, tendo em conta a completa

decomposio dos produtos nas suas partes mais simples, processadas na planta, os

dados em jogo so dados na forma:

3 Do termo em ingls Material Requirements Plan (MRP).


NOk o nmero de operaes a realizar parte k ;

NOik o nmero de operaes a realizar parte k na instalao da classe i ;

Oikl o nmero de ordem da operao l que se realiza na instalao da classe

i, parte k, na sequncia de operaes;

{Ckiu} uma lista com valores que representam o nmero de partes k

processadas na instalao u, da classe i, por unidade de tempo;

Lk o tamanho do lote de transporte da parte k ;

Tk o valor que d o custo de transporte para cada parte k. Este valor pode

ser um dado qualitativo ou um dado quantitativo, como por exemplo o

tempo gasto por cada parte e por unidade de distncia.

Tabela 4-3: Necessidades e sequncia de operaes para as partes.

Partes Procura Instalaes visitadas Lote de

Transporte Composio

P1 800 ABDEF 16 -

P2 400 BCGDIE 10 -

P3 400 BGCFIJ 10 2P1 + 1P2

P4 200 GBFAF 6 2P3

P5 100 EBJHI 8 1P3

O valor do fluxo entre as classes de instalaes pode agora ser calculado.

A expresso (4-3) permite o clculo do fluxo para uma dada parte k entre as

instalaes da classe i e j. De notar que este valor de fluxo diferente de zero, apenas

quando os pares de operaes considerados correspondem a operaes consecutivas.

O valor total do fluxo entre as instalaes da classe i e j para todas as partes, dado

pela expresso (4-4).

=-

=

contrriocaso

OOseL

CT

Fjkwikl

k

kk

kij

0

1 (4-3)


=

=NP

k

kijij Ff

1

1 (4-4)

Este clculo dos valores de fluxo entre classes de instalaes coincide com o

fluxo entre instalaes apenas quando existe uma instalao de cada classe. Quando

existe mais do que uma instalao da mesma classe, necessrio determinar como se

distribui o fluxo entre as diferentes instalaes. Na fase do projecto de layout o

encaminhamento de material no completamente conhecido, s podendo ser

determinado numa fase posterior de operao da planta instalada, aps a resoluo

de problemas de escalonamento. Durante esta fase de disposio das instalaes na

planta s so conhecidas quais as classes de instalaes que uma parte tem de visitar.

Deste modo, considera-se que o fluxo para as instalaes da mesma classe

proporcional quantidade de partes processadas por cada instalao e por unidade

de tempo. O fluxo entre a instalao u da classe i e a instalao v da classe j,

relacionado com a parte k, calculado segundo a expresso (4-5), sendo que Cik e Cjk

so dadas pela expresso (4-6). Estes valores Cik e Cjk representam o nmero total de

partes k processadas em todas as instalaes da classe i e j, respectivamente. O fluxo

total de todas as partes entre a instalao u da classe i e a instalao v da classe j,

ento calculado pela expresso (4-7).

jk

jvk

ik

iukkij

kiujv C

CCCFF = (4-5)

=

=iNI

uiukik CC

1

(4-6)

=

=NP

k

kiujviujv Ff

1

1 (4-7)

Os valores de fluxo que foram referidos at ao momento relacionam-se apenas

com o transporte entre instalaes para operaes realizadas mesma parte.

O transporte de subpartes para uma instalao que realiza uma operao que agrupa

subpartes numa parte mais complexa, no directamente tratado (Figura 4-4).

Quando o custo deste tipo de transporte no desprezvel sempre possvel

considerar que a ltima operao de processamento de uma subparte consiste no seu


armazenamento num dado local de armazenagem (instalao), e que a primeira

operao de uma parte que ir incorporar subpartes consiste em retirar as subpartes

do armazm. No entanto, nem sempre possvel efectuar esta aproximao e, como

tal, necessrio considerar informao adicional que trate o fluxo devido

incorporao de subpartes numa parte mais complexa. Esta informao adicional

dada na forma:

k a parte k que composta por subpartes;

NSPk o nmero de subpartes que compem a parte k;

{Pl} a lista de subpartes que compem a parte k ;

{qkl} uma lista de valores, correspondendo cada um quantidade de

subpartes l que participam na parte k.

A B D E F

B G C F I J

G B F A F

B C G D I E E B J H I

2

1 1

2 P3

P1

P2

P4

P5

Figura 4-4: Incorporao hierrquica de subpartes em partes mais complexas ou mesmo em produtos finais.

Com esta informao o clculo do fluxo resultante da incorporao numa parte,

de vrias subpartes, realizado usando a expresso (4-8). O fluxo total, da

incorporao de todas as subpartes em todas as partes, pode ento ser calculado

usando a expresso (4-9). O conjunto de todos os valores de fluxo entre todos os

pares de instalaes, permite construir a matriz de fluxo (4-10).

==

=

contrriocaso

NOOeOseC

C

CC

LqCT

Fljkviku

jk

jvk

ik

iuk

l

lkl

kliujv

0

1 (4-8)

=

=NP

k

NSP

}P{l

kliujviujv

k

l

Ff1

2 (4-9)

21iujviujv

Miujv fff += (4-10)

4.2 Resoluo de PPLI Recorrendo PLR(DF) 97

De referir que, quando uma parte incorporada numa outra parte ou

possivelmente em mais partes, a capacidade (Ck), para processar essa parte na planta,

deve ser capaz de satisfazer as necessidades dessas partes.

Atendendo forma descrita de clculo do fluxo entre pares de instalaes, o

custo de uma soluo, para a disposio das instalaes na planta, dada pela

expresso (4-11), em que dij a distncia entre as instalaes i e j, sendo esta dada

usualmente, por uma mtrica euclidiana ou rectilnea. Esta distncia depende,

obviamente, do local em que so colocadas as instalaes.

-

= += = =

=1

1 1 1 1

n

j

n

ji

NI

u

NI

viujv

Miujv

i j

dfCusto (4-11)

4.2 Resoluo de PPLI Recorrendo PLR(DF)

Depois de estabelecer quais so os requisitos de informao para a resoluo de

PPLI e a forma como a planta, as instalaes e os processos so modelados de

acordo com os problemas de layout, necessrio definir como este tipo de problemas

pode ser solucionado usando a PLR(DF).

4.2.1 Variveis

O resultado da resoluo de um PPLI consiste, de uma forma simplificada, na

escolha do melhor local para posicionar as diferentes instalaes na planta. Este local

especificado pelas coordenadas cartesianas das instalaes relativamente planta.

O modelo usado para as instalaes assume tambm que estas possuem um forma

rectangular. Esta forma rectangular conhecida a partir de valores de comprimento e

de largura, que como se referiu, podem no ser constantes, ao contrrio do valor da

rea mnima que sempre constante. Deste modo, tambm necessrio determinar

quais os melhores valores para o comprimento e para a largura. Como consequncia,

a resoluo de PPLI requer quatro variveis de deciso para cada instalao, o que

corresponde a criar quatro variveis de domnio na PLR(DF).

Relativamente s coordenadas das instalaes, ainda necessrio definir qual o


ponto de referncia da instalao. Normalmente, podem-se encontrar duas situaes.

Na primeira situao o ponto de referncia das instalaes coincide com o canto

inferior esquerdo, como nos trabalhos devidos a Heragu e Kusiak (1991). Na outra

situao o ponto de referncia das instalaes coincide com o ponto central, sendo

esta a via seguida, por exemplo, por Montreuil et al. (1993). A primeira situao foi

tambm seguida nos trabalhos j publicados por Tavares et al. (1998; 1999a; 1999b)

na resoluo de PPLI usando PLR(DF). Nesta tese opta-se por seguir uma

aproximao em que o ponto de referncia das instalaes coincide com o ponto

central das mesmas.

Os modelos de PPLI, como os descritos no captulo 2, consideram variveis de

deciso que tomam valores no conjunto dos nmeros reais. Na PLR(DF) as variveis

de deciso podem tomar apenas valores num subconjunto de nmeros inteiros. Os

requisitos de informao discutidos na seco 4.1 sugerem, por outro lado, variveis

de deciso com valores reais. importante, por conseguinte, ter em conta este

aspecto, na medida em que necessrio efectuar a converso de valores reais para

valores inteiros, com a consequente perda de preciso. Dependendo da preciso que

se pretende, por vezes ser necessrio afectar os valores por um dado factor de

escala, antes de se efectuar a converso.

Relativamente s coordenadas das instalaes, o seu domnio tem de contemplar

as dimenses da planta, que como se referiu possui uma forma rectangular. Deste

modo, o domnio das coordenadas condicionado pelas restries:

Xiu 0 .. C-1 (4-12)

Yiu 0 .. L-1 (4-13)

em que:

Xiu representa a coordenada x da posio da instalao u da classe i;

Yiu representa a coordenada y da posio da instalao u da classe i;

C o comprimento do rectngulo que envolve a planta;

L a largura do rectngulo que envolve a planta.

Como se considera que o ponto central das instalaes coincide com o seu


ponto de referncia, apenas metade do comprimento e da largura das instalaes

necessitam de serem considerados, como acontece no modelo proposto por

Montreuil et al. (1993). Atendendo aos requisitos de informao j referidos,

podem-se identificar trs situaes:

o comprimento e largura da instalao so conhecidos, sendo apenas

necessrio escolher a sua melhor orientao na planta;

especificada a rea mnima e um intervalo de valores da RA para a forma da

instalao (razo de aspecto);

especificada a rea mnima e um conjunto discreto de valores para a forma da

instalao.

Na primeira situao trata-se a orientao da instalao de uma forma implcita.

O domnio das variveis associadas ao comprimento e largura da instalao possui

no mximo dois valores. Quando os valores do comprimento e da largura so iguais,

ento o domnio das variveis que lhes est associado criado com um s valor e,

portanto, estas ficam naturalmente instanciadas. No caso geral, em que o valor do

comprimento diferente do da largura, o domnio das respectivas variveis dado na

forma:

Ciu [c iu , l iu] (4-14)

Liu [c iu , l iu] (4-15)

onde

Ciu a varivel de domnio que representa a metade do valor do comprimento

da instalao u da classe i ;

Liu a varivel de domnio que representa a metade do valor da largura da

instalao u da classe i ;

ciu metade do valor do comprimento da instalao u da classe i ;

liu metade do valor da largura da instalao u da classe i.

Se os valores ciu e liu no so iguais, ento deve ser adicionada a restrio (4-16),

com o objectivo de se assegurar que a instalao no ter uma forma quadrada, e


com uma rea diferente da necessria.

C iu L iu (4-16)

Relativamente segunda situao, em que se pretende encontrar qual a melhor

forma para a instalao a partir de conjunto de formas possveis, dado sob a forma

de um intervalo, s variveis de domnio para o comprimento e a largura das

instalaes so associadas as restries:

iuiu cs..ciC (4-17)

iuiuiu ls..liL (4-18)

onde:

ciiu o valor mnimo do domnio para a varivel que representa a metade do

comprimento da instalao u da classe i ;

liiu o valor mnimo do domnio para a varivel que representa a metade da

largura da instalao u da classe i ;

csiu o valor mximo do domnio para a varivel que representa a metade do

comprimento da instalao u da classe i ;

lsiu o valor mximo do domnio para a varivel que representa a metade da

largura da instalao u da classe i.

O clculo dos valores ciiu , liiu , csiu e lsiu efectuado considerando expresses

similares s expresses (4-1) e (4-2). Como o conjunto de valores RAiu dado sob a

forma de um intervalo de valores, estes quatro valores ciiu , liiu , csiu e lsiu , que definem

os limites dos domnios para as variveis Ciu e Liu (denotar que h arredondamentos4

que se tm de efectuar) so dados pelas expresses seguintes:

4 Os arredondamentos podem ser feitos tanto pela funo tecto x , que retorna o menor valor

inteiro superior ou igual a x, ou pela funo cho x , que retorna o maior valor inteiro inferior ou

igual a x


=

2iuiu

iu

A}RAmin{li (4-19)

=

2iuiu

iu

A}RAmax{ls (4-20)

=

2

1}RAmax{A

ci iuiu

iu (4-21)

=

2

1}RAmin{A

cs iuiu

iu (4-22)

Aps a definio dos domnios para as variveis Liu e Ciu , ainda necessrio ter

em conta a restrio:

4 Ciu Liu = Aiu (4-23)

que assegura que a rea mnima da instalao a considerada.

Esta restrio (4-23) uma restrio com termos no lineares, dado que dada

por um produto entre duas variveis de domnio. Este facto contribui para que a

propagao da restrio, efectuada por um meta-interpretador de PLR(DF) na

resoluo de problemas, nem sempre seja a melhor. Verifica-se que na maior parte

dos meta-interpretadores de PLR(DF) as restries com termos no lineares

apresentam uma qualidade de propagao mais fraca que as restries que possuem

apenas termos lineares.

Um aspecto importante que se deve realar com implicaes na forma das

instalaes, quando esta determinada a partir de um intervalo de valores da RA,

relaciona-se com o domnio das variveis que assinalam o comprimento e a largura

das instalaes. Considerando a restrio (4-23) e o facto de que na PLR(DF) os

domnios so constitudos por intervalos ou conjuntos de valores inteiros, apenas

alguns valores do domnio inicial das variveis relacionadas com o comprimento e

largura das instalaes so considerados. Como consequncia apenas algumas


solues so avaliadas para a escolha da melhor forma das instalaes.

Para ilustrar esta discretizao da forma das instalaes considere-se, por

exemplo, uma das instalaes da classe C da Tabela 4-1. Esta possui como requisitos

uma rea de 3000 unidades e admite formas com uma RA que vai de 0,20 at 5,0.

A Tabela 4-4 mostra os valores para os limites do domnio das variveis que denotam

o comprimento e a largura da instalao considerando escalonamentos de 1 e 10.

Tabela 4-4: Limites para o domnio das variveis associadas ao comprimento e largura duma instalao da classe C.

Escala liiu lsiu ciiu csiu

1:1 12 (12,247) 62 (61,237) 12 (12,247) 62 (61,237)

10:1 122 (122,474) 613 (612,372) 122 (122,474) 613 (612,372)

Dado que as variveis de domnios finitos apenas podem tomar valores

discretos (intervalo de valores inteiros), apenas algumas formas para as instalaes

so vlidas. Para um factor de escala de 1 so possveis quatro formas, como se

mostra na Tabela 4-5 e na Figura 4-5, enquanto com um factor de escala de 10 so

possveis oito formas (Tabela 4-6).

Figura 4-5: Quatro possibilidades para a forma de uma instalao cujos valores do comprimento e da largura podem variar entre 12 e 62.

Tabela 4-5: As dimenses possveis para uma dada instalao.

rea = 3000 C 12 .. 62 L 12 .. 62

1 15 50

2 25 30

3 30 25

4 50 15


Tabela 4-6: As dimenses possveis para uma dada instalao.

rea = 300000 C 122 .. 613 L 122 .. 613

1 125 600

2 150 500

3 200 375

4 250 300

5 300 250

6 375 200

7 500 150

8 600 125

Finalmente, quando os valores RAiu so fornecidos sob a forma de um conjunto

de valores, necessrio considerar, na definio dos domnios para Ciu e Liu , cada

uma das formas do conjunto. Para isso, em funo da rea e do conjunto de formas,

elabora-se um conjunto com todos os comprimentos possveis para a instalao

({ciu}) assim como um outro com todas as larguras correspondentes ({liu}). Com o

conjunto de valores de comprimento e o conjunto de valores de largura so

colocadas as restries (4-24) e (4-25). Estas restries5 permitem estabelecer uma

dependncia funcional entre os valores de comprimento e os valores de largura de

uma instalao pelo uso da varivel de domnio auxiliar Iiu, e, como tal, a ordem dos

valores no conjunto importante.

element(Iiu, {ciu }, Ciu) (4-24)

element(Iiu, {liu }, Liu) (4-25)

Para o clculo de cada par comprimento-largura necessrio considerar as

questes de arredondamento e que os valores a reter so metade do valor total do

comprimento e da largura das instalaes. Para cada uma das formas da instalao, o

arredondamento pode ser dado atravs do algoritmo:

1. determinar os valores das expresses (4-26), (4-27), (4-28) e (4-29) que

denotam os valores inteiros (mnimos e mximos) mais prximos do valor

5 A restrio element/3 foi j descrita na seco 3.3.2.


real do comprimento e da largura da instalao;

2. para cada combinao possvel dos valores das expresses referidas em 1

(l c), calcular a rea da instalao;

3. escolher a combinao de valores que d a menor rea que porem superior

rea mnima atribuda instalao correspondente.

=+

2iuiu

iu

ARAl (4-26)

=-

2iuiu

iu

ARAl (4-27)

=+

2

1iu

iu

iu

RAAc (4-28)

=-

2

1iu

iu

iu

RAAc (4-29)

Para ilustrar a construo dos domnios das variveis que denotam o

comprimento e a largura de uma instalao quando sua forma dada sob a forma de

um conjunto discreto de valores de RA, considere-se, como exemplo, a instalao da

classe H (Tabela 4-1). Esta possui como requisitos uma rea de 2800 unidades e

admite trs formas {0,5; 1,0; 1,5}. Considerando os clculos indicados na Tabela 4-7,

e de acordo com o critrio referido, os valores escolhidos para o domnio das

variveis so aqueles que na tabela surgem a negrito. O domnio destas variveis

ento especificado com as restries ilustradas pelo segmento de cdigo seguinte:

element( I, [18, 26, 32], L ), element( I, [39, 27, 22], C )

O domnio das variveis que representam as coordenadas, definidos por (4-12) e

(4-13), no suficientes para impedir que parte do espao ocupado por cada uma das

instalaes no pertena planta. Para que as instalaes sejam posicionadas dentro

da planta devem ser consideradas as variveis de deciso Ciu e Liu (comprimento e


largura). Desta forma, devem ser consideradas as seguintes restries:

Xiu Ciu (4-30)

Xiu + Ciu C (4-31)

Yiu Liu (4-32)

Yiu + Liu L (4-33)

Tabela 4-7: Escolha dos valores para o domnio das variveis correspondentes ao comprimento e largura de uma instalao.

Forma liu+ liu- ciu+ ciu- rea

19 39 2964

18 38 2736

19 38 2888 0,5

18 39 2808

27 27 2916

26 26 2704

27 26 2808 1,0

26 27 2808

33 22 2904

32 21 2688

33 21 2772 1,5

32 22 2816

Finalmente, resta referir que as reas que no pertencem planta, quando esta

possui uma forma real que no rectangular, no so tratadas com a forma como se

caracterizou os domnios das variveis de deciso efectuada nesta seco. Estas reas

sero excludas das possveis solues para o problema, a partir da utilizao de um

tipo especifico de restries, que ser abordado na seco seguinte.

4.2.2 Restries

Na resoluo de um PPLI, as instalaes devem ser dispostas na planta de modo


a satisfazer determinadas restries. Algumas destas restries so comuns para todas

as instncias do problema, tal como o caso das restries que impedem que as

instalaes se sobreponham no espao que ocupam na planta. H outras restries

como as que devem traduzir as especificidades e requisitos de cada instncia

particular do problema. Estes requisitos especficos podem-se caracterizar em

restries tecnolgicas, geomtricas, espaciais, ambientais e estratgicas, entre outras,

e devem ser indicadas pelo projectista ao sistema6. ainda possvel considerar um

terceiro grupo de restries que podem dirigir o processo de procura das melhores

solues. Estas restries podem traduzir tanto particularidades do problema em

anlise, como a experincia dos peritos.

De modo a tratar as mais variadas instncias de PPLI, tendo em conta as trs

categorias de restries discutidas, e em especial as relacionadas com a especificidade

de cada instncia do problema, foi identificado um conjunto de restries tipo.

Considerando que os PPLI tm como objectivo obter solues para arranjos

espaciais de instalaes, estas restries so fundamentalmente restries

geomtricas, sendo apresentadas a seguir:

No sobreposio; ou seja, as instalaes dispostas na planta no se devem

sobrepor;

Vizinhana; ou seja, a disposio de duas instalaes na planta deve ser feita

de modo a que estas fiquem lado a lado;

Distncia; ou seja, h que assegurar que as instalaes sejam posicionadas de

acordo com uma dada relao de distncia ou que uma dada instalao seja

posicionada a uma dada distncia de um dado ponto. Por exemplo, se se tem

uma situao em que uma determinada instalao precisa de operar num

ambiente de temperatura controlada, no necessariamente compatvel com o

de outras instalaes que de outra forma poderiam ser colocadas na vizinhana;

Posio absoluta; ou seja, tem que ser possvel forar que uma dada

6 Neste contexto entende-se por sistema um ou mais procedimentos computacionais baseados na

tecnologia das restries destinada a solucionar PPLI.


instalao seja posicionada dentro ou fora de uma determinada rea da planta.

assim possvel reservar espaos para diferentes propsitos, como, por

exemplo, para escritrios ou armazns. Esta restrio tambm usada para

impedir que as instalaes sejam colocadas em reas que no pertencem

planta, quando esta no rectangular;

Posio relativa ; ou seja, situao que envolve sempre duas instalaes e

permite tratar situaes do tipo dispor a instalao A direita da instalao

B. H quatro possibilidades para estes tipo de restrio: direita de,

esquerda de, frente de e atrs de.

Orientao; ou seja, medida que usada para restringir a orientao duma

instalao na planta, ou para assegurar uma relao de orientao entre duas

instalaes, isto , duas instalaes devem ter a mesma orientao ou

orientao diferentes.

Uma anlise mais detalhada deste tipo de restries, nomeadamente no que se

refere s relaes que estabelecem entre as diferentes variveis do problema, dada

nas subseces seguintes. A notao seguida para a descrio das restries uma

verso simplificada da mencionada anteriormente que no considera as classes de

instalao, antes as tratando sem distinguir a que classe cada uma pertence.

Impedir a Sobreposio de Instalaes

Como se referiu, a restrio que estar sempre presente, aquela que impede a

sobreposio das instalaes na planta. A considerao desta restrio para todos os

pares de instalaes possveis, assegura a gerao de solues em que as instalaes

no se sobrepem, com apenas um simples procedimento de etiquetagem de todas as

variveis do problema.

A nomeao desta restrio feita considerando duas instalaes, a instalao i e

a instalao j, e colocada para todos os pares possveis de instalaes. Para alm das

variveis de domnio relacionadas com as coordenadas, comprimento e largura,

deve-se ainda considerar o espao de folga de cada instalao, como ilustra a Figura

4-6. Na sua forma mais simples esta restrio dada por (4-34), sendo o valor de fij


dado pela expresso (4-35). De uma forma semelhante restrio (3-10) do problema

dos quadrados perfeitos, esta restrio fixa que a instalao i deve estar ou

esquerda, ou direita, ou frente ou atrs da instalao j.

( ) ( )( ) ( )iiijjjjjijii

iiijjjjjijii

lyflylyfly

cxfcxcxfcx

-++-++

-++-++ (4-34)

( )jiij f,fmaxf = (4-35) Uma alternativa para a formulao da restrio de no sobreposio passa por

se usarem quatro novas variveis (booleanas). Na realidade, usando PLR(DF), estas

so variveis cujo domnio dado pelo conjunto {0,1}. A restrio ento dada

pelas produes (4-36) a (4-40). Esta via para a restrio de no sobreposio,

permite eliminar as disjunes, que usualmente do origem a uma propagao de pior

qualidade.

Figura 4-6: Disposio de duas unidades de produo lado a lado, tendo em conta as suas folgas.

( ) ( )jjijiixijjjijiixij cxfcxbcxfcxb ->++=-++= 01 (4-36)

( ) ( )iijijjxjiiijijjxji cxfcxbcxfcxb ->++=-++= 01 (4-37)

( ) ( )jjijiiyijjjijiiyij lyflyblyflyb ->++=-++= 01 (4-38)

( ) ( )iijijjyjiiijijjyji lyflybcyflyb ->++=-++= 01 (4-39)

21 +++ yjiy

ijxji

xij bbbb (4-40)


Embora esta ltima formulao da restrio no sobreposio parea partida

mais complexa, pode, no entanto, ser mais eficiente em termos de propagao.

Recorde-se que o meta-interpretadores da PLR(DF) so incompletos e, portanto,

formas diferentes de especificar a mesma restrio podem originar uma qualidade da

propagao bastante diversa. Adicionalmente, usando uma boa heurstica para a

escolha da ordem das variveis a instanciar no procedimento de etiquetagem das

variveis de domnio, que inclua as variveis booleanas referidas em epgrafe

podem-se obter ganhos computacionais significativos.

Distncia

A restrio de distncia envolve o clculo da distncia entre um par de

instalaes ou o clculo da distncia de uma instalao a um ponto. A colocao

desta restrio cria uma nova varivel de domnio, que denota a distncia entre duas

instalaes ou a distncia de uma instalao a um ponto. O domnio desta varivel

dado pelo intervalo de valores que a distncia pode tomar a cada momento.

Um aspecto importante aqui a considerar tem a ver com a mtrica utilizada. Das

diversas alternativas que se poderiam visionar, e por razes de simplicidade, so

equacionadas apenas as mtricas rectilnea e euclidiana.

A determinao de uma distncia entre instalaes envolve normalmente o

clculo do valor absoluto da diferena entre dois valores, especialmente no que se

refere mtrica rectilnea. Por este motivo, necessrio definir uma restrio mdulo

ou valor absoluto da diferena entre dois valores. A formulao desta restrio dada

pelas expresses (4-41), (4-42) e (4-43):

( ) ( ) ( ) ( )ubvbvbubvu -+-=- --++ (4-41)

( ) ( )vubvub


dispostas de forma a que estejam a uma certa distncia. Esta situao pode ocorrer,

por exemplo, quando algumas instalaes precisam de operar num ambiente de

temperatura controlada, o que no compatvel com a operao de outras que

poderiam ser dispostas na vizinhana. Esta situao de incompatibilidade obriga a

que se posicionem as instalaes a uma distncia entre elas, que seja a maior possvel.

Para formular a restrio de distncia entre duas instalaes, para alm da

escolha da melhor mtrica, necessrio definir um referencial. Das duas situaes

que so consideradas, a primeira considera que a distncia medida relativamente ao

centro das instalaes, enquanto que na segunda situao a distncia medida

relativamente periferia das instalaes. A Figura 4-7 mostra como medida a

distncia, considerando o centro ou a periferia como referncia.

j

i

dl xij

dc xij

dl yij dc yij

Figura 4-7: Distncia entre duas instalaes segundo cada um dos eixos coordenados e considerando como referncia o seu centro ou a sua periferia.

Comeando pela primeira situao, a relao de distncia relativamente ao

centro das instalaes a mais simples de estabelecer. As produes (4-44) e (4-45)

estabelecem a relao de distncia segundo cada um dos eixos coordenados.

A produo (4-46) estabelece a relao de distncia relativamente ao centro da

instalao usando uma mtrica rectilnea, enquanto que a produo (4-47) estabelece


a mesma relao de distncia usando uma mtrica euclidiana.

jixij xxdc -= (4-44)

jiy

ij yydc -= (4-45)

yij

xijij dcdcdc += (4-46)

yij

yij

xij

xijijij dcdcdcdcdcdc += (4-47)

Na segunda situao, a relao de distncia relativamente periferia das

instalaes ligeiramente mais complexa de estabelecer. A distncia periferia

considera as distncias medidas relativamente aos lados mais prximos de cada uma

das instalaes que se apresentam paralelos entre si, bem como o comprimento e a

largura destas. Para melhor compreender em que consiste esta forma de clculo de

distncia, bem como esta pode ser realizada, considere-se o exemplo da Figura 4-8,

que mostra trs possveis formas de disposio de duas instalaes. Na primeira

situao a instalao i est completamente esquerda da instalao j, e na segunda

situao a instalao i est completamente direita da instalao j, e portanto, a

distncia segundo x diferente de zero. Na terceira situao a distncia em x zero

porque nenhuma das instalaes est completamente esquerda ou completamente

direita da outra. Uma anlise similar pode ser efectuada para as distncias em y.

i

j

i

j

i

j

(a) (b) (c)

Figura 4-8: Posies relativas determinantes para o clculo da distncia relativamente periferia. Nos casos (a) e (b) a distncia a soma das distncias em x e em y, enquanto no

caso (c) a distncia total igual distncia em y.

Face ao exposto, pode-se dizer que duas instalaes esto separadas em x se

uma est disposta completamente esquerda ou completamente direita da outra.

De igual modo duas instalaes esto separadas em y, se uma est disposta


completamente frente ou completamente atrs da outra.

Para estabelecer esta relao de distncia considere-se, em primeiro lugar, a

distncia em x e em y, independentemente de as duas instalaes estarem separadas

em x e em y. Estas distncias so dadas, respectivamente, pelas produes (4-48)

e (4-49).

jijixij ccxxdl ---= (4-48)

jijiy

ij llyydl ---= (4-49)

Para calcular a distncia total entre duas instalaes necessrio considerar duas

variveis booleanas, uma que determina se as instalaes esto separadas em x e

outra que determina se esto separadas em y. As produes (4-50) e (4-51) do,

respectivamente, corpo a essa pretenso.

( ) ( )( )( ) ( )( )jjiijjiixij

jjiijjiixij

cxcxcxcxb

cxcxcxcxb

+--+=

+>----


Comeando-se por considerar-se o centro da instalao i como o ponto de

referncia para a medida de distncia a um ponto p(xp , yp), tem-se que as distncias

em x e em y so dadas, respectivamente, pelas produes (4-54) e (4-55).

pixip xxdc -= (4-54)

piy

ip yydc -= (4-55)

A distncia em linha recta ento dada pela equao (4-56), enquanto que a

distncia euclidiana dada pela equao (4-57).

yip

xipip dcdcdc += (4-56)

( ) ( )yipyipxipxipipip dcdcdcdcdcdc += (4-57) O clculo da distncia de uma instalao i a um ponto p(xp , yp), tendo como

referncia a periferia da instalao, obtida atravs do clculo da distncia em x e em

y, em termos das produes (4-58) e (4-59).

ipixip cxxdl --= (4-58)

ipiy

ip lyydl --= (4-59)

Tambm neste caso usada uma forma de separao, que vem na linha da

separao entre duas instalaes. Aqui a separao entre uma instalao e um

ponto. As produes (4-60) e (4-61) permitem obter, respectivamente, o valor de

separao em x e em y.

( ) ( )( )( ) ( )( )piipiixip

piipiixip

xcxxcxb

xcxxcxb

-+=

>-


( ) ( )yijyijyipxijxijxipijij dldlbdldlbdldl += (4-63)

Vizinhana de Instalaes

Em algumas situaes desejvel dispor duas instalaes lado a lado. Uma

situao deste tipo pode surgir quando existe um grande fluxo de materiais entre as

duas instalaes. Refira-se que, quanto menor for a distncia percorrida no transporte

de material, menor o custo de operao. Expressar este facto, pelo recurso a

restries, permite potenciar uma reduo significativa do espao de solues. Uma

restrio cuja finalidade seja a de impor que duas instalaes sejam dispostas na

planta ao lado uma da outra, permite que estas situaes sejam tratadas. No entanto,

pode acontecer que a disposio de algumas instalaes lado a lado no seja s

desejvel, como seja um requisito do problema, que necessita de ser tratado pelo

projectista do layout. O uso destas restries requer, no entanto, uma utilizao

ponderada e criteriosa por parte do projectista, dado que pode transformar o

problema original num novo problema para o qual no possvel encontrar qualquer

tipo de solues.

A restrio de vizinhana que aqui mencionada surge sob duas formas.

A primeira fixa apenas que duas instalaes devem ser dispostas lado a lado.

A segunda uma forma mais restrita da primeira, sendo designada por restrio de

adjacncia.

No que se refere primeira forma da restrio de vizinhana, esta dada pela

produo (4-64). Note-se que as questes relativas sobreposio j se encontram

asseguradas, pela restrio de no sobreposio, dado que esta ltima est sempre

presente, qualquer que seja o problema.

( ) ( )( ) ( )iiijjjjjijii

iiijjjjjijii

lyflylyfly

cxfcxcxfcx

-++-++

-++-++ (4-64)

Quanto restrio de adjacncia, esta , como se referiu, uma verso mais

restrita da restrio de vizinhana. Tal como a restrio de vizinhana, esta impe

que duas instalaes devem ser vizinhas. No entanto, o grau de vizinhana mais

forte, obrigando a que as instalaes sejam dispostas na planta de tal forma que os


centros geomtricos das instalaes fiquem a uma distncia mnima.

A Figura 4-6 mostra um caso que satisfaz uma restrio de vizinhana, mas no

satisfaz uma restrio de adjacncia, ao contrrio do exemplo ilustrado na Figura 4-9,

que satisfaz ambas as restries. Esta restrio de adjacncia pode ser formulada em

termos da produo (4-65) em que a funo max(x) d o maior valor do domnio

de x.

.

Figura 4-9: Um exemplo de disposio de duas instalaes que satisfazem a restrio de adjacncia.

( ) ( ) ( ) ( )

-=++

-=++

===

-=++

-=++

===

iiijjj

jjijii

jjiiji

iiijjj

jjijii

jjiiji

cxfcx

cxfcx

lmaxllmaxlyy

lyfly

lyfly

cmaxccmaxcxx (4-65)

Uma forma alternativa para equacionar a restrio de adjacncia usa variveis

booleanas e recorre ao operador de cardinalidade. Esta forma alternativa dada em

termos das produes (4-66) a (4-73).

( ) ( )[ ]( )xijjjiijixij b,cmaxccmaxcxx,b# === (4-66)

[ ]( )xijjjijiixij b,lyfly,b# -=+++ (4-67)

[ ]( )xijiiijjjxij b,lyfly,b# -=++- (4-68)

( ) ( )[ ]( )yijjjiijiyij b,lmaxllmaxlyy,b# === (4-69)

[ ]( )yijjjijiiyij b,cxfcx,b# -=+++ (4-70)

[ ]( )yijiiijjjyij b,cxfcx,b# -=++- (4-71)


1=+++ -+-+ yijy

ijxij

xij bbbb (4-72)

1=+ yijxij bb (4-73)

Posio das Instalaes

Dois tipos de restries relacionados com a posio de instalaes podem ser

definidos. Um primeiro tipo, designado por restries de posio absoluta, impe

que as instalaes sejam dispostas em locais ou reas especficas da planta. O outro

tipo, designado por restries de posio relativa, permite relacionar a posio duma

instalao com a da outra.

Posio Absoluta

As restries de posio absoluta permitem no s obrigar disposio das

instalaes em determinadas reas da planta, ou ento, excluir essas reas da planta

dos locais possveis para a disposio das instalaes. Uma situao j referida, que

usa este tipo de restries, ocorre quando a planta envolvida por um rectngulo.

As reas que na realidade no pertencem planta so excludas com recurso a estas

restries.

A restrio de posio absoluta mais simples aquela que obriga a que o ponto

central de uma instalao coincida com um determinado ponto p(xp , yp) da planta.

A traduo deste facto dado pela produo (4-74).

pipi yyxx == (4-74)

A equao (4-74) uma verso simplificada de uma restrio que obriga a

disposio de uma instalao dentro de uma determinada rea a(xa , ya , ca , la ), em que

xa e ya representam as coordenadas do ponto central dessa rea e ca e la so,

respectivamente, metade do seu comprimento e metade da sua largura. A restrio

que impe que uma instalao seja posicionada dentro duma determinada rea dada

pelas produes (4-75) e (4-76).

( ) ( )aaiiaaii cxcxcxcx ++-- (4-75)


( ) ( )aaiiaaii lylylyly ++-- (4-76)

Outra restrio que obriga disposio das instalaes em reas especficas da

planta, aquela que exclui essas reas. Uma forma simples de colocar esta restrio

passa pela produo (4-77), que obriga a que a instalao i seja posicionada fora da

rea a(xa , ya , ca , la ).

( ) ( )( ) ( )aaiiaaii

aaiiaaii

lylylylycxcxcxcx

+>----


ji xx > (4-83)

ji xx < (4-84)

ji yy > (4-85)

ji yy < (4-86)

De igual forma, a formulao de que instalao i deve se disposta direita,

esquerda, frente ou atrs de j, de uma forma completa dada, respectivamente,

pelas produes (4-87), (4-88), (4-89) ou (4-90).

jjii cxcx +>- (4-87)

jjii cxcx -- (4-89)

jjii lyly -


( ) ( )iixiiixi lcblcb =>= 01 (4-91)

( ) ( )iiyiiiyi lcblcb =


efectue uma pesquisa sistemtica em todo o espao de solues recorra a um grande

poder computacional, poder este que na maior parte das situaes pode no estar

disponvel. No entanto, mesmo que exista esse grande poder computacional, o

tempo normalmente gasto para encontrar a melhor soluo impraticvel. Estas

limitaes levam a que se procurem tcnicas mais sofisticadas e inteligentes de

etiquetagem das variveis. Estas tcnicas envolvem a utilizao de heursticas e

algoritmos de optimizao que no realizam uma pesquisa sistemtica do espao de

solues, sendo portanto, incompletos. No garantindo a soluo ptima, estas

tcnicas podem dar solues de boa qualidade. Verifica-se muito frequentemente que

suficiente a obteno de boas solues e, desta forma, o esforo despendido na

procura da soluo ptima nem sempre compensador.

A optimizao de PPLI uma tarefa complexa, mesmo usando o paradigma da

PLR. Esta tarefa requer, por conseguinte, uma anlise mais cuidada. Os captulos

seguintes destinam-se a identificar alternativas para a implementao prtica de

procedimentos de pesquisa e optimizao para o PPLI que foi abordado

formalmente neste captulo.

capitulo_4.pdf

Documents

Transcript of capitulo_4.pdf