Capítulo 3 Função afimpaulo.amaro/Mat I/Cap03 e 04... · 2019-03-29 · Capítulo 3 –Função...

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Capítulo 3 – Função afim

1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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Capítulo

3 Função afim

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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Função afim

Uma função f: ℝ ℝ é função afim quando existem

os números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo

x ℝ.

Exemplos

Os números reais a e b são os coeficientes da função afim.

3.1

h(x) = –5, em que: a = 0 e b = –5

g(x) = –7x, em que: a = –7 e b = 0

f(x) = , em que: a = e b = –6

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Uma função f: ℝ ℝ é função

constante se é definida por

f(x) = b, com b ℝ, para todo

x do domínio.

Casos particulares de função afim

A função afim pode ser:

constante

n(x) = –5

g(x) =

f(x) = –13

f(x) =

linear

h(x) = –7x

h(x) = 3x

g(x) = –6x

f(x) = x

3.2

Uma função f: ℝ ℝ é função

linear quando existe número

real a, com a ≠ 0, tal que

f(x) = ax, para todo x ℝ.

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Valor de uma função afim

Dada a função afim g(x) = x – 1, vamos calcular g .

3.3

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Valor de uma função afim

Dada a função afim f(x) = ax + b e conhecendo f(–1) = 7 e

f(4) = 2, vamos determinar a lei de formação dessa função.

3.4

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Exercício resolvido

R1. Dada a função afim f(x) = 10x + 35, calcular x para

f(x) = 5.

3.5

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Gráfico da função afim

Construção do gráfico

Como exemplo, vamos construir o gráfico da função

f(x) = 3x – 2.

3.6

x f(x)

–1 –5

023

2 4

0 –2

1 1

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3.6

Gráfico da função afim

Construção do gráfico

x f(x)

–1 –5

023

2 4

0 –2

1 1

Como exemplo, vamos construir o gráfico da função

f(x) = 3x – 2.

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g(x) = –2x + 1

Dois pontos distintos são suficientes

para determinar uma reta.

Exemplos de gráfico de função afim

3.7

x g(x)

–1 3

2 –3

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f(x) = 3

O gráfico de uma função constante é uma reta

paralela ao eixo x, por isso podemos traçá-la

conhecendo um único ponto.


3.7

x f(x)

1 3

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O gráfico de uma função linear é uma

reta que passa pela origem (0,0).


h(x) = x

3.7

x h(x)

–1 –1

1 1

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Determinação de uma função a partir do seu gráfico

Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de

formação dessa função.

Exemplo

3.8

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R2. Determinar o ponto de intersecção das retas

correspondentes aos gráficos das funções afins

f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1.

3.9

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R3. Um arquiteto pretende construir duas casas com piscina,

uma ao lado da outra. Ele desenhou uma planta incluindo

as duas casas vizinhas e está em dúvida sobre a medida

de um dos lados de cada piscina, pois precisa construir as

casas de modo que a área ocupada

pela casa 2 e pela piscina 2

seja maior que a área ocupada

pela casa 1 e pela piscina 1.

Nessas condições, qual deve

ser o valor de x?

3.10


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Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença

3.11

Vamos construir o gráfico da função

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R4. Física. O movimento uniforme é caracterizado pelo fato

de a velocidade do móvel ser constante. Por esse motivo,

o espaço percorrido em intervalos iguais é sempre o

mesmo. Assim, a função horária desse movimento é dada

pela lei s(t) = s0 + v ∙ t, em que s é a posição (em metro)

do móvel no instante t (em segundo), s0, o espaço inicial

quando t = 0, e v, a velocidade constante (em m/s).

3.12

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R4. Resolver os itens a seguir de acordo com o gráfico.

a) Qual é a função horária do

movimento correspondente

ao gráfico?

b) Quais são o domínio e o

conjunto imagem dessa função?

c) Qual será a posição do móvel

após 10 segundos?

d) Após quanto tempo o móvel

estará na posição 120 metros?

3.12

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Análise do gráfico da função afim

f(x) = 0 ax + b = 0 x = –

3.13

Zero da função afim

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Intersecção da reta...

3.13

... com o eixo x: zero da função... com o eixo y: coeficiente b

Análise do gráfico da função afim

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Zero da função afim

Exemplo

Vamos determinar o zero da função f(x) = x – e o ponto

onde a reta intercepta o eixo x.

3.14

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Crescimento e decrescimento de uma função afim

f(x) = 2x – 1

3.15

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3.15


f(x) = 2x – 1

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f(x) é crescente

Quando aumentamos o valor x,

os valores correspondentes de

f(x) também aumentam.

3.15


f(x) = 2x – 1

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g(x) = –3x + 1

3.16


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3.16

g(x) = –3x + 1


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g(x) é decrescente

Quando aumentamos o valor x,

os valores correspondentes de

g(x) diminuem.

3.16

g(x) = –3x + 1


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Função crescente (a > 0)

x2 > x1 ax2 + b > ax1 + b,

ou seja, f(x2) > f(x1)

3.17


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Função decrescente (a < 0)

3.17

x2 > x1 ax2 + b < ax1 + b,

ou seja, f(x2) < f(x1)


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Utilizando o gráfico para o estudo do sinal da função afim

Exemplo

f(x) = –3x + 6

3.18

para x < 2 temos f(x) > 0, ou seja, a

função é positiva para x < 2;

para x = 2 temos f(x) = 0, ou seja, a

função é nula para x = 2;

para x > 2 temos f(x) < 0, ou seja, a

função é negativa para x > 2.

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Função crescente (a > 0)

f(x) = 0 para x =

f(x) > 0 para x >

f(x) < 0 para x <

3.19


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Função decrescente (a < 0)

f(x) = 0 para x =

f(x) > 0 para x <

f(x) < 0 para x >

3.19


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R5. Determinar o valor de m para que o gráfico da função

j(x) = (–3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no

ponto (1, 0).

3.20

R6. Dada a função afim f(x) = (–3 + m)x + 7, discutir para

quais valores de m a função é crescente, decrescente ou

constante.

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4.1

Capítulo

4 Função quadrática

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f(x) = 2x2 + 3x – 15, em que a = 2, b = 3 e c = –15

Função quadrática

Os números reais a, b e c são os coeficientes da função

quadrática.

g(x) = , em que a = – , b = 0 e c = 5

h(x) = –x + , em que a = , b = –1 e c = 0

4.1

Uma função f: ℝ ℝ é função quadrática quando

existem números reais a, b e c, com a 0, tal que f(x) =

ax2 + bx + c, para todo x real.

Exemplos

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Valor de uma função quadrática

4.2

Dada a função quadrática g(x) = 5x – x2, vamos calcular .

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f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c ℝ e a ≠ 0

Temos: f(0) = 2, f(2) = 12 e f(-1) = 6

4.3

Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f.

Lei de formação de uma função quadrática

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R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:

a) g( ) b) x tal que g(x) =

4.4


a) Escrever a lei que relaciona o raio

desse setor e a área da figura.

b) Considerando = 3,14,

determinar o raio para que a área

da peça seja igual a 25 cm2.

R2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o

molde de um setor circular.

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Exemplo

Gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3

4.6

x h(x)

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

Gráfico da função quadrática – Parábola

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O gráfico de uma

função quadrática

é uma parábola.

4.6

Exemplo

Gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3

x h(x)

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8


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f(x) = x2 – 9

4.7

x f(x)

0 –9

1 –8

3 0

–1 –8

–3 0

Exemplo


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g(x) = –x2 + 8x – 12

4.7

x g(x)

1 –5

2 0

4 4

6 0

7 –5

Exemplo


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Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Como a = 2 > 0, então a

concavidade da parábola é

voltada para cima.

j(x) = 2x2 + 4

4.8

Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)

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Como , então a

concavidade da parábola é

voltada para baixo.

4.8

Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

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a) Analisar a concavidade da parábola em função de m.

b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função

passe pelo ponto (0, –3)?

R3. Seja a função quadrática f(x) = (m – 3)x2 + 2x – m.


4.9

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A parábola que representa a função f

intercepta o eixo y no ponto (0, –1).

A ordenada –1 desse ponto é o

coeficiente c da função f.

4.10

O ponto em que a parábola intercepta o eixo y

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A parábola que representa a função g

intercepta o eixo y no ponto (0, 3).

A ordenada 3 desse ponto é o

coeficiente c da função g.

4.10


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Considerando uma função quadrática cuja lei é

f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, as coordenadas do ponto

onde a parábola intercepta o eixo y são (0, c).

4.10


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em que = b2 – 4ac

4.11

f(x) = ax2 + bx + c(a, b e c ℝ e a 0)

f(x) = 0

ax2 + bx + c = 0

Zeros da função quadrática

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A parábola intercepta o eixo x em dois pontos:

4.11

Quando > 0, a função tem dois zeros reais distintos.

e


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A parábola intercepta o eixo x em um único ponto:

Quando = 0, a função tem um zero real duplo.

4.11


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A parábola não intercepta o eixo x:

Quando < 0, a função não tem zeros reais.

4.11


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a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 3 e os

pontos em que a parábola intercepta o eixo x

4.12

Exemplos


b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 4 e os

pontos onde a parábola intercepta o eixo x.

c) Vamos verificar se a função f(x) = –x2 – 4x – 5 tem zeros reais e

se a parábola correspondente intercepta o eixo x.

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R4. Considerando a função quadrática determinada por

f(x) = –2x2 – 6x – k, para quais valores de k a

função admite dois zeros reais distintos?

4.15

R5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x)

= kx2 + 2 passe pelo ponto A(1, 5).

R6. Determinar a lei da função quadrática

com base no gráfico.

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Vértice do gráfico da função quadrática

x f(x)

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

4.18

f(x) = x2 – 4x + 3

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Quaisquer dois valores de x

equidistantes de xV têm a mesma

imagem.

f(a) = f(b) = c

4.19

Eixo de simetria


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A equação do eixo de simetria é x = 3.

4.20

Exemplos

f(x) = –x2 – 6x – 5


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A equação do eixo de simetria é x = –2.

4.20

f(x) = x2 + 4x + 10


Exemplos

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A equação do eixo de simetria é x = –1.

4.20

f(x) = 3x2 + 6x + 3


Exemplos

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As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico

da função cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, são dadas por:

xv = e yv =

4.21


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Vamos calcular as coordenadas do vértice para g(x) = –x2 – 5x – 7.

4.22

Exemplo


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R7. Sabendo que uma função quadrática tem como

coordenadas do vértice da parábola (3, 4) e zeros 1 e 5,

determinar a lei de formação dessa função.

4.23

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Pontos convenientes para a construção do gráfico de uma

função quadrática:A

ponto onde a parábola intercepta o eixo y, caso exista;

ponto(s) onde a parábola intercepta o eixo x (zeros da

função), caso exista(m);

vértice.

4.24

Construção do gráfico da função quadrática

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Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3

coeficiente c: 3 ponto em que a

parábola intercepta o eixo y: (0, 3)

zeros da função: 1 e 3 pontos em

que a parábola intercepta o eixo x:

(1, 0) e (3, 0)

xv = 2 e yv = –1 vértice da

parábola: (2, –1)

Exemplos

4.25


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Gráfico da função h(x) = x2 + 4

coeficiente c: 4 ponto onde a

parábola intercepta o eixo y: (0, 4)

zeros da função: não há no conjunto

dos reais a parábola não

intercepta o eixo x

xv = 0 e yv = 4 vértice da

parábola: (0, 4)

(2, 8) e (–2, 8) pontos

auxiliares

Exemplos

4.26


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1o caso ( > 0)

2o caso ( = 0)

3o caso ( < 0)

a > 0

a < 0

Estudo do sinal da função quadrática

4.27

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a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6.

4.28

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15.

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R8. Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k

seja positiva para todo x real.

4.30

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yv = 0

4.31

yv é o valor mínimo da função.

Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática

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yv = 0

4.31

yv é o valor máximo da função.


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ANOTAÇÕES EM AULA


Vamos determinar o valor máximo (ou mínimo) da função

.

4.32

Exemplo


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R9. Determinar k para que –1 seja valor mínimo da função

quadrática y = (k – 1)x2 + kx +(k – 2).

4.33

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R10. Navegação. Durante uma situação de emergência, o

capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a

guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso

descreve é um arco de parábola.

A função que descreve o movimento do sinal luminoso é

dada por: h(t) = 80t – 5t2, sendo h a altura do sinal, em

metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo.

a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir?

b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal

luminoso atingir a altura máxima?

4.34

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