CAPÍTULO 4 Função quadrática - WordPress.com · Por exemplo, se f(x) x2 5x 6, para calcular o...

102

4CAPÍTULO

Função quadrática

Inspirada nas brincadeiras com trenós nas montanhas geladas da

Rússia, a montanha-russa se destaca por seu tamanho e pela sensação

de perigo, divertida para alguns e aterrorizante para outros. Ela é pro-

jetada para dar a sensação de desafiar a lei da gravidade. Para isso, os

engenheiros precisam conhecer muito bem os efeitos que a altura,

os aclives e os declives causam no carrinho e nos usuários para não

colocá-los em risco. A inclinação da pista depende da forma da curva,

que pode lembrar um arco de parábola, como o da fotografia acima.

O gráfico da função quadrática é uma parábola. A parábola apa-

rece como padrão de comportamento de muitos fenômenos, como

a trajetória de um projétil ao ser lançado, a linha descrita pela água

em uma fonte e a estrutura que sustenta o farol de um automóvel.

As antenas parabólicas, por seu próprio nome, sugerem a aplicação

do formato da parábola na sua estrutura. De fato, basta imaginarmos

uma curva em forma de parábola girando em torno de um eixo. Seu

funcionamento se apoia no seguinte: um satélite artificial, colocado

em uma órbita geoestacionária, emite um conjunto de ondas ele-

tromagnéticas, formando um feixe de raios. Estes, ao atingirem a

antena de formato parabólico, são refletidos para um único ponto,

chamado foco, que é um componente da parábola.

A função quadrática expressa algebricamente o comportamento

dos pontos do gráfico que descrevem uma parábola e será objeto de

estudo deste capítulo.

Behemoth, montanha-russa no parque Canada’s Wonderland, em Ontário, Canadá.

An

dre

Pe

nn

er/A

rqu

ivo

da

ed

ito

ra

103Capítulo 4 • Função quadrática

1 Definição de função quadrática Reúna-se com um colega, considerem um retângulo de

perímetro 20 m e tentem responder às questões a seguir.

a) Todos os retângulos de mesmo perímetro têm a mesma

área?

b) Caso não tenham a mesma área, existem algumas dimen-

sões do retângulo que resultem em uma área máxima?

Uma função f: R → R chama-se

quadrática quando existem

números reais a, b, c, com a � 0,

tal que f(x) � ax2 � bx � c

para todo x � R.

f: R → R

x → ax2 � bx � c

Vamos identificar a função quadrática com o trinômio do 2o grau a ela associado e a escreveremos

simplesmente como f(x) � ax2 � bx � c.

Exemplos:

a) f(x) � �x2 � 100x, em que a � �1, b � 100 e c � 0.

b) f(x) � 3x2 � 2x � 1, em que a � 3, b � �2 e c � 1.

c) f(x) � �4x2 � 4x � 1, em que a � �4, b � 4 e c � �1.

d) f(x) � x2 � 4, em que a � 1, b � 0 e c � �4.

e) f(x) � 20x2, em que a � 20, b � 0 e c � 0.

Observe que não são funções quadráticas:

f) f(x) � 2x

g) f(x) � 2x

h) f(x) � x3 � 2x2 � x � 1

Sugira aos alunos que construam uma tabela para organizar os dados. Deixe-os trabalhar por alguns minutos e depois promova um rápido debate em sala para obter a opinião dos vários grupos. Não é o momento de resolver o problema analiticamente, mas é uma ótima oportunidade para aguçar a curiosidade dos alunos, pois o conhecimento necessário para resolver essa situação de maneira direta será estudado neste capítulo.

Comente com os alunos

que a função quadrática

também recebe o nome

de “função polinomial do

2 o grau” e que a função

quadrática que leva

x � R a ax2 � bx � c

também pertence a R.

«

Não.

Sim.

Para refletirPor que o nome “quadrática”?

Por causa do expoente 2 do x (x está elevado ao quadrado).

É função afim.

É função exponencial.

É função do terceiro grau.

Para refletirPor que as funções dos itens f, g e h não são quadráticas?

1. Escreva um exemplo de função quadrática, indicando os valores dos coeficientes a, b e c.

2. Quais das seguintes funções são quadráticas?a) f(x) � 2x2 c) f(x) � x(x � 1)(x � 2)

b) f(x) � 2x � 1 d) f(x) � 3x(x � 1)

3. Para que valores de t as seguintes funções são quadráticas?a) f(x) � tx2 � 2x � 5

b) f(x) � �5xt � 2x � 5

Resposta pessoal.

x

x

Para todos os números reais diferentes de zero.

Para t � 2.

4. As funções abaixo são equivalentes à função f(x) � ax2 � bx � c. Determine, em cada uma delas, os valores de a, b e c.a) f(x) � 2x2

b) f(x) � 2(x � 3)2 � 5

c) f(x) � (x � 2)(x � 3)

d) f(x) � (4x � 7)(3x � 2)

e) f(x) � (2x � 3)(5x � 1)

f) f(x) � 2(x � 3)2 � 5

a � 2, b � 0 e c � 0

a � 2, b � �12 e c � 23

a � 1, b � �1 e c � �6

a � 12, b � 13 e c � �14

a � 10, b � 13 e c � �3

a � 2, b � �12 e c � 23

Fique atento!Para chegar às suas conclusões, testem diversas dimensões possíveis para o retângulo considerado (por exemplo, ele pode ter 8 m de comprimento e 2 m de largura, ou 7 m de comprimento e 3 m de largura, etc.) e calculem o perímetro e a área.

ATENÇÃO!Não escreva no

seu livro!Exercícios

Unidade 2 • Função afim e função quadrática104

2 Situações em que aparece a função quadrática

Na GeometriaVocê já estudou, no Ensino Fundamental, que o número de diagonais (d) em um polígono convexo de n

lados é dado por d nn n

( )( 3)

2.�

�

Vamos relembrar.

n � 3 d � 0 n � 4 d � 2

n � 5 d � 5 n � 6 d � 9

Um polígono de n lados tem n vértices. De cada vértice partem (n � 3) diagonais, e, para não conside-

rarmos duas vezes a mesma diagonal, dividimos n(n � 3) por 2. Assim, temos d em função de n dado por:

d nn n n n

( )( 3)

2

32

�

�

�

�

2 ou d n n n( )

2

3,2

� �

1

2

que é uma função quadrática em n, com a b c1

2,

3

20.� � � �e

Nos fenômenos físicosO cientista italiano Galileu Galilei (1564-1642) analisou o movimento de objetos em queda no campo

gravitacional da Terra e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, o espaço percorrido por esses cor-

pos seria diretamente proporcional ao quadrado do tempo de percurso. Isso significa que, se um corpo

cai, abandonado de sua posição de repouso, percorrendo os espaços s1, s2, s3, etc. nos tempos de t1, t2, t3,

etc., temos:

s

t

s

t

s

t1

12

2

22

3

32

...� � �

No caso em que o espaço s é medido em metros e o tempo t em segundos, o valor comum dessas razões

é aproximadamente 4,9 (metade da aceleração da gravidade: g � 9,8 m/s2). Dessa forma, a lei de Galileu

pode ser expressa por:

s

t

gs

gtt s t

2

22 2

2 24,9 4,9� �⇒ ⇒� �

Observe que s � 4,9t2 é uma função quadrática com a � 4,9; b � 0 e c � 0.


Nos esportesEm um campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno (o time

A joga primeiro no campo do time B, e depois o contrário). Assim, o número p de partidas do campeonato

é dado em função do número n de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte (cada time

joga com todos os outros, menos com ele mesmo):

Número de clubes 2 3 4 5 … n

Número de partidas 2(2 � 1) � 2 3(3 � 1) � 6 4(4 � 1) � 12 5(5� 1) � 20 … n(n � 1)

Observe, pela tabela, que o número p de partidas é dado por

p(n) � n(n � 1) � n2 � n e que n2 � n é o número de pares ordenados

(pois há o “mando de campo”) menos os jogos de cada time com ele

próprio, que não existem.

3 Valor ou imagem da função quadrática em um ponto

Se f: R → R é dada por f(x) � ax2 � bx � c, dois problemas são importantes:

• dado x0 � R, calcular f(x0); • dada f(x0), calcular x0.

Por exemplo, se f(x) � x2 � 5x � 6, para calcular o valor dessa função no ponto x � 2, ou seja, f(2), fazemos:

f(2) � 22 � 5 � 2 � 6 � 0.

Agora, se f(x) � 0, temos x2 � 5x � 6 � 0, que é uma equação do 2o grau, que já estudamos no Ensino

Fundamental. Os valores que satisfazem essa equação do 2o grau, ou seja, as raízes dessa equação, são 2 e 3.

Verifique.

Para refletir

Quais são os coeficientes a, b e c nessa função p(n)?

a � 1, b � �1 e c � 0

1. Dada a função quadrática f: R → R definida por f(x) � x2 � 6x � 8, determine:a) os coeficientes a, b e c;

b) f(1), f(0), f(�2) e f ;( )( )12c) se existe x � R tal que f(x) � 3. Se existir,

calcule x;

d) se existe x � R para que se tenha f(x) � �3. Se houver, calcule x;

e) se existe x � R para que se tenha f(x) � 0. Se existir, calcule x.

Resolução:

a) Em f(x) � x2 � 6x � 8, temos a � 1, b � �6 e c � 8.

b) f(1) � 12 � 6(1) � 8 � 1 � 6 � 8 � 3

f(0) � 0 � 0 � 8 � 8

f(�2) � 4 � 12 � 8 � 24

f1

43 8

1 12 32

4

21

4( )( )12 � �� 3 83 8� �1 11 12 32 3

�

c) f(x) � 3 ⇒ x2 � 6x � 8 � 3 ⇒ x2 � 6x � 5 � 0� � 36 � 20 � 16

x xx x x6 4

25 1xx xx x

6 46 45 15 1x� �5 1x xx x� �5 15 1x5 15 1x� �5 1e5 15 15 15 15 15 15 15 1

Existem dois valores de x para os quais f(x) � 3: x � 5 e x � 1.

d) f(x) � �3 ⇒ x2 � 6x � 8 � �3 ⇒ x2 � 6x � 11 � 0

� � 36 � 44 � �8

Não existe x � R tal que f(x) � �3.

e) f(x) � 0 ⇒ x2 � 6x � 8 � 0

� � 36 � 32 � 4

x x x6 2

2’ 4 ” 2x xx x

6 26 2� �x” 2” 2� �’ 4’ 4x xx x e� ��

Existem dois valores para x: x� � 4 e x� � 2.

Para refletir

Analise os itens c e d para responder se essa função é injetiva e sobrejetiva.

A função não é

injetiva nem

sobrejetiva.

Exercício resolvido


5. A área de um círculo é dada em função da medida r do raio, ou seja, S � f(r) � �r2, que é uma função quadrá-tica. Calcule:a) S quando r � 5 cm;

b) r quando S � 64� m2.

6. Quando variamos a medida � do lado de um quadrado, a área da região quadrada também varia. Então, a área é dada em função da medida � do lado, ou seja, f(�) � �2.

�

�

Faça, então, o que se pede:

a) calcule f(10), f(1,5) e f 2 3 ;( )

b) calcule � tal que f(�) � 256;

c) determine qual é o domínio e qual é a imagem des-sa função.

7. Dada a função quadrática f(x) � 3x2 � 4x � 1, determine:a) f(1)

b) f(2)

c) f(0)

d) f 2( )

e) f(�2)

f) f(h � 1)

g) x de modo que f(x) � 1.

h) x de modo que f(x) � �1.

8. Seja f : R → R a função definida por f(x) � 4x2 � 4x � 3. Determine x, se houver, para que se tenha:a) f(x) � 2

b) f(x) � 3

c) f(x) � �1

9. (Fuvest -SP) Seja f(x) � 2x2 � 3x � 1.

Calcule f2

3

.

10. Dada a função f : R → R tal que

f(x) �

x2 � 2x, para x � 53x � 20, para 5 � x � 9, determine:�x2 � 4x � 2, para x � 9

a) f(6); c) f(10); e) f(5); g) f(4).

b) f(�1); d) f(9); f) f(0);

S � 25� cm2

r � 8 m

f(10) � 100; f(1,5) � 2,25;

f 2 3 12( ) �

� � 16

D f Im f( ) ; ( ) *� �� R R

*

f(1) � 0

f(2) � 5

f(0) � 1

f 2 7 4 2( ) � �

f(�2) � 21

f(h � 1) � 3h2 � 2h

x � 0 ou x � 3

4

Não existe x real.

x � 1

2

x’ � 0 ou x’ � 1

Não existe.

13 2

9

9�

�2 �62 �5 8

3 �47 0

11. ATIVIDADE EM EQUIPE A área da região em forma de trapézio é da-

da por AB b h

2,�

�( ) em que B é a base maior, b é a

base menor e h é a altura. Nesse trapézio, a área pode ser dada em função da base menor por uma lei do tipo f(x) � ax2 � bx � c.

x � 2

x

6

a) Determinem a lei dessa função.

b) Identifiquem os coeficientes a, b e c.

12. ATIVIDADE EM EQUIPE De uma folha de papel retangular de 30 cm

por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, qua-drados de lado x.

x

x

xx

x

x

x x

30 cm

20 cm

Determinem a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.

13. ATIVIDADE EM EQUIPE Em um campeonato de futebol, cada time

vai jogar duas vezes com outro. Então:a) Se o número de clubes é 10, qual é o número de

jogos?

b) Se o número de jogos é 42, qual é o número de times?

14. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência � (em watts) que certo gerador lança em um circuito elé-trico é dada pela relação �(i) � 20i � 5i2, em que i é a intensidade da cor-rente elétrica que atra-vessa o gerador, determi-ne o número de watts que expressa a potência � quando i � 3 ampères.

f xx

x( )2

4 62

� � �

a b c1

2, 4 6� � �e

A � 600 � 4x2

90 jogos.

A pilha é um tipo de gerador.

Jam

es H

oen

sti

ne/S

hu

tters

tock

/G

low

Im

ag

es

7 times.

15 watts

Exercícios


4 Zeros da função quadráticaO estudo da função quadrática tem sua origem na resolução da equação do 2o grau.

Um problema muito antigo que recai numa equação do 2o grau é este:

“Determinar dois números conhecendo

sua soma s e seu produto p.”

Chamando de x um dos números, o outro será s � x. Assim,

p � x(s � x) ou p � sx � x2,

ou, ainda:

x2 � sx � p � 0

Para encontrar x (e, portanto, s � x), basta resolver a equação do 2o grau x2 � sx � p � 0, ou seja, basta

determinar os valores x para os quais a função quadrática f(x) � x2 � sx � p se anula. Esses valores são

chamados zeros da função quadrática ou raízes da equação do 2o grau correspondente a f(x) � 0.

Por exemplo, os dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12 são 3 e 4, que são as raízes da equação

x2 � 7x � 12 � 0 ou zeros da função quadrática f(x) � x2 � 7x � 12.

Observações:

1a) Dados quaisquer s e p, nem sempre existem dois números reais cuja soma seja s e cujo produto seja p.

Por exemplo, não existem dois números reais cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.

Para refletir

Justifique por que não existem dois números reais cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.

Se existirem, os números serão

raízes da equação x2 � 3x � 7 � 0.

Essa equação tem � � 0, então

não existe valor real para x.

2a) O número � � b2 � 4ac é chamado discriminante da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c.

3a) Quando � � 0, a função f(x) � ax2 � bx � c tem dois zeros reais diferentes. Quando � � 0, a função

f(x) � ax2 � bx � c não tem zeros.

Determinação dos zeros da função quadráticaVamos ver algumas maneiras de determinar os zeros da função quadrática.

Usando a fórmula x � � � �b b ac

a

24

2Para usar a fórmula basta conhecer os coeficientes a, b e c.

Se � � 0 ou � � 0, então as raízes serão:

xb

a’

2�

� �b � e x

b

a”

2�

� �b �

Você sabia?

Este problema aparece em registros cuneiformes feitos pelos babilônios há quase 4 mil anos.


Observações:

1a) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax2 � bx � c � 0, com a � 0

Existindo zeros reais tal que xb

a’

2�

� � � e x

b

a”

2,�

� � � obtemos:

x xb

a

b

a

b’ ”

2 2

2� �

� � ��

� � ��

� � � � �

22a

b

a� �

Logo:

x xb

a” ’x xx x� �x xx x” ’” ’x xx x �

x xb

a

b

a

b

a’ ”

2 2 4

2 2

2� �

� � ��

� � ��

� �( ) �

b b ac

a

ac

a

c

a

2 2

2 2

4

4

4

4

� ��

Logo:

x xc

a’ ”x xx x� �x xx x

2a) Forma fatorada do trinômio ax2 � bx � c, com a � 0

Quando � � 0, ou seja, quando a equação ax2 � bx � c � 0 possui as

raízes reais x� e x�, podemos escrever:

ax2 � bx � c � a x

b

ax

c

a

2� �( ) � a�x2 � (x� � x�)x � x�x�� a�x2 � x�x � x�x � x�x�� a(x � x�) (x � x�)

Logo:

ax2 � bx � c � a(x � x�) (x � x�) (forma fatorada)

De agora em diante você poderá escolher a maneira pela qual determinará os zeros da função.

Fatorar: escrever em forma de produto, ou seja, com fatores.

2. Determine o valor de k positivo para que a equação x2 � 2kx � (k � 1) � 0 tenha uma raiz igual ao

triplo da outra.

Resolução:

x x

x xb

ak

x xc

ak

� �x xx x

� �x xx x

� �x xx x

x xx x� �� x xx x

2

1

x xx xx xx x

� �x xx x� �� x xx x � ��

� �x xx x� �x x � �k

3x� � x� � 2k ⇒ 4x� � 2k ⇒ x� � 1

2k

� �1

22 2� ��

1

2

3

2x kx k� �

1k x� �� 2 22 2� �� k k

1x kx k� �

3⇒ ⇒� �2 2� � � �� k xk x2 22 22 2� �� k kk k� ��

Assim:

� � � � � � � �

�

3

2

1

21

3

41 3 4 4� � 02 2

� � 1 3

x x� � k k� �� 1� �� 3

� �� k k� ��

k k2 22 2

� �� k k� �4 44 4� �� 2 22 2

⇒ ⇔⇒ ⇔� � � � 1k kk k� �� k k� ��

⇔ ⇔⇔ ⇔� � 1 31 32 2� � 1 31 3k k� ��

2 2� ��

a � 3, b � �4 e c � �4

kb bb b ac

ak

k

4

2

( 4) 1) 16 48

6

2

�� b bb b � � �( 4( 4 � �) 1) 1) 16 46 4

⇒ ⇒⇒ ⇒k( 4) 1

�

⇒4 64 64

6

4 8

6�

4 64 6�

4 84 8⇒

⇒

4 8

62

4 8

6( )

k

k

�4 84 8

�

�4 84 8

� �

ou

( )( )( )( )( )( )( )( )2

3

Portanto, quando k � 2, a equaçãox2 � 2kx � (k � 1) � 0 se transforma na equação

x2 � 4x � 3 � 0.

Para refletir

Comprove que a equação

x2 � 4x � 3 � 0 tem uma

raiz igual ao triplo da outra.

x2 � 4x � 3 � 0 ⇒

⇒ x4 2

2�

�⇒

⇒ x’ � 3 e x” � 1.

Logo, x’ � 3x”.

Exercícios resolvidos


15. Determine, se existirem, os zeros das funções quadrá-ticas usando a fórmula:a) f(x) � x2 � 3x

b) f(x) � x2 � 4x � 5

c) f(x) � �x2 � 2x � 8

d) f(x) � x2 � 10x � 25

e) f(x) � x2 � 8x � 16

f) f(x) � 25x2 � 9x � 1

16. Para que valores reais de m a função: f(x) � (m � 1)x2 � 4x � 1

não admite zeros reais?

17. Para que valores reais de k a função:f(x) � kx2 � 6x � 1

admite zeros reais e diferentes?

18. Para que valores de m a função: f(x) � (m � 2)x2 � 2x � 6

admite valores reais?

3 e 0

Não tem zeros reais.

�2 e 4

�5

4

Não tem zeros reais.

m � R | m � �3

k � R | k � 9 e k � 0

m m m|13

62� R � �e

19. Determine o valor de k para que a equação:

x2 � (k � 1)x � (10 � k) � 0

tenha uma raiz igual ao dobro da outra.

20. Escreva a função quadrática f(x) em cada item, de acordo com as informações dadas.

a) Zeros de f(x): x � 1 e x � 3;

f(x) passa por (0, �6).

b) Zeros de f(x): x � 2 e x � �3;

f(x) passa por (0, 4).

c) Zeros de f(x): x � 5 (duplo);

f(x) passa por (2, �9).

21. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?

k k’ 8 ”11

2� � �e

f(x) � �2x2 � 8x � 6

f x x x( )2

42� � � �

3

2

3

f(x) � �x2 � 10x � 25

18 alunos

3. Determine, se existirem, os zeros da função qua-drática f(x) � 2x2 � 3x � 5.

Resolução:

2x2 � 3x � 5 � 0a � 2, b � �3 e c � 5� � b2 � 4ac � (�3)2 � 4(2)(5) � 9 � 40 � �31 ⇒⇒ � � 0Logo, a equação não tem raízes reais; consequen-temente a função f(x) � 2x2 � 3x � 5 não tem zeros reais.

4. Para que valores de k a função f(x) � x2 � 2x � k tem zeros reais e diferentes?

Resolução:

• Condição: � � 0• � � b2 � 4ac � (�2)2 � 4(1)(k) � 4 � 4k

Assim:4 � 4k � 0 ⇔ �4k � �4 ⇔ 4k � 4 ⇔ k � 1

Portanto, a função f(x) � x2 � 2x � k terá zeros reais e diferentes para quaisquer k � R tal que k � 1.

5. Escreva na forma fatorada as funções:a) f(x) � x2 � 5x � 6

b) g(x) � 5x2 � 10x � 5

Resolução:

a) A forma fatorada é f(x) � a(x � x�)(x � x�), em que x� e x� são as raízes da equação f(x) � 0.Assim:x2 � 5x � 6 � 0� � b2 � 4ac � (�5)2 � 4 � 1 � 6 � 1

xb

ax

x

2

( 5) 1) 1

2 1

5 1

2�

� �b � � �( 5( 5) 1) 1

2 12 1

5 15 1⇒ ⇒⇒ ⇒x

( 5) 1� �

⇒ '' 3 " 2� �3 "e3 "3 "3 "3 "x3 "3 "3 "3 "

Então: f(x) � (x � 3)(x � 2)(Note que a � 1 não precisa ser escrito.)

b) Fazendo g(x) � 0, vem: 5x2 � 10x � 5 � 0

� � b2 � 4ac � 102 � 4 � 5 � 5 � 0

xb

ax

2

10 0

2 5

10

10

�� b �

�� 10

2 52 5�

��

⇒

⇒ x xxx ’ 1x xx x” 1x xx x” 1” 1x xx x

Então:g(x) � 5(x � 1)(x � 1) � 5(x � 1)2

Fique atento!Se � � 0, a função quadrática é

um trinômio quadrado perfeito.

6. Escreva a função quadrática que tem como zeros os números 2 e 5 e cujo gráfico passa pelo ponto (1, 4).

Resolução:

Usando a forma fatorada, podemos escrever f(x) � a(x � 2)(x � 5). E, se (1, 4) pertence à função, então f(1) � 4, portanto:f(1) � a(1 � 2)(1 � 5) ⇒ 4 � a � (�1) � (�4) ⇒⇒ 4 � a � 4 ⇒ a � 1Dessa forma: f(x) � 1 � (x � 2)(x � 5) � x2 � 7x � 10

Exercícios


Usando a fatoraçãoA fatoração é um processo útil em equações quadráticas incompletas, ou seja, quando b � 0 ou c � 0

(principalmente nesse caso).

7. Determine os zeros das seguintes funções qua-dráticas:a) f(x) � x2

� 5x b) f(x) � x2 � 2x

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 5x � 0. Colocando x em evidência no 1

o membro, temos:x2 � 5x � 0 ⇒ x(x � 5) � 0Logo:x � 0 ou x � 5 � 0 ⇒ x � 5Assim, os zeros da função são 0 e 5.

b) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 2x � 0. Fatorando o 1o membro da equação, temos:x2 � 2x � 0 ⇒ x(x � 2) � 0Logo:x � 0 ou x � 2 � 0 ⇒ x � �2Assim, os zeros da função são 0 e �2.

Fique atento!A fatoração também pode ser usada

com funções quadráticas completas, ou

seja, que possuem a � 0, b � 0 e c � 0,

embora perca um pouco de praticidade.

8. Determine os zeros das seguintes funções qua-dráticas:a) f(x) � x2 � 4 c) f(x) � x2 � 6x � 9

b) f(x) � x2 � 2x d) f(x) � (x � 3)2 � 4

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 4 � 0.Fatorando o 1o membro da equação, temos:x2 � 4 � 0 ⇔ (x � 2)(x � 2) � 0Para que um produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero.Logo: (x � 2) � 0 ou (x � 2) � 0Se x � 2 � 0, então x � 2.Se x � 2 � 0, então x � �2.Assim, as raízes da equação x2 � 4 � 0 são �2 e 2 ou os zeros da função quadrática f(x) � x2 � 4 são �2 e 2.

Verificação:

f(x) � x2 � 4f(�2) � (�2)2 � 4 � 4 � 4 � 0f(2) � 22 � 4 � 4 � 4 � 0

Geometricamente, podemos representar essa fatoração assim:

x � 2

x

x

2

24

x2

x

2

x

2

2

x � 2

x � 2

Assim:

x � 2

x 2

x 2

x � 2

A área dada por x2 � 4 é a mesma que a dada por (x � 2)(x � 2). Logo, (x2 � 4) � (x � 2)(x � 2).Constate isso recortando adequadamente uma folha de papel.

b) f(x) � x2 � 2x A equação do 2o grau correspondente é x2 � 2x � 0.Fatorando o 1o membro da equação, temos:x2 � 2x � 0 ⇔ x(x � 2) � 0Logo: x � 0 ou x � 2 � 0 ⇒ x � �2Assim, os zeros da função são 0 e �2.Verificação:

f(x) � x2 � 2x

f(0) � 02 � 2 � 0 � 0f(�2) � (�2)2 � 2(�2) � 4 � 4 � 0Geometricamente, temos:

x

x

x2

x2 � 2x

x

1 1

xx x

x

x

x 1 1

x2

1 1

x

x(x � 2)

A área dada por x2 � 2x é a mesma que a dada por x(x � 2). Constate isso recortando adequa-damente uma folha de papel.Portanto, x2 � 2x � x(x � 2).



Isolando o xIsolar o x é um processo útil em funções quadráticas que não possuem termo em x (b � 0).

22. Determine, se existirem, os zeros das seguintes fun-ções quadráticas:a) f(x) � x2 � 2x c) f(x) � x2 � 16

b) f(x) � 2x2 � 8x d) f(x) � x2 � 11

0 e 2 �4 e 4

�4 e 0 � 11 11e

23. Determine, se existirem, os zeros das seguintes fun-ções quadráticas:a) f(x) � x2 � 14x c) f(x) � 2x2 � 8

b) f(x) � 3x2 � 3x d) f(x) � �x2 � 36

�14 e 0 �2 e 2

�1 e 0 �6 e 6

c) f(x) � x2 � 6x � 9Equação do 2o grau: x2 � 6x � 9 � 0.Fatorando o 1o membro, temos:

x x2x xx x6 9x xx x 0� �x xx x6 96 9x xx x � ⇔ (x � 3)2 � 0 ⇔ (x � 3)(x � 3) � 0

Logo: x � 3 � 0 ⇒ x � 3 ou x � 3 � 0 ⇒ x � 3.Nesse caso, x � 3 é um zero “duplo” da função quadrática f(x) � x2 � 6x � 9.

Verificação:f(x) � x2 � 6x � 9f(3) � 32 � 6 � 3 � 9 � 9 � 18 � 9 � 0Geometricamente, temos:

x x

x

x

x2

1 1 1

1

1

1

x2 � 6x

x2 2 � 3 � x 3

2

Assim:

3 3

x2 � 6x � 9 x � 3

x � 3

x � 3

3

x � 3 3

A área dada por x2 � 6x � 9 é a mesma que a dada por (x � 3)2 � (x � 3)(x � 3).Portanto, x2 � 6x � 9 � (x � 3)2 � (x � 3)(x � 3).

d) f(x) � (x � 3)2 � 4Equação do 2o grau: (x � 3)2 � 4 � 0.Fatorando, temos:(x � 3)2 � 4 � 0 ⇒ �(x � 3) � 2��(x � 3) � 2� � 0 ⇒ ⇒ (x � 5)(x � 1) � 0Logo:x � 5 � 0 ⇒ x � 5 ou x � 1 � 0 ⇒ x � 1Zeros da função: 1 e 5.Verificação:f(x) � (x � 3)2 � 4f(1) � (1 � 3)2 � 4 � 4 � 4 � 0f(5) � (5 � 3)2 � 4 � 4 � 4 � 0

9. Determine, se existirem, os zeros das seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 9 c) f(x) � 2x2 � 14

b) f(x) � x2 � 25

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 9 � 0. Isolando x no 1o membro, temos:

x2 � 9 � 0 ⇔ x2 � 9Logo:x xx x x9 3x xx x 3.� �x xx x � �x� �9 39 3 �x xx xx xx x ou� ��

Assim, os zeros da função são 3 e �3.

b) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 25 � 0. Isolando x no 1o membro, temos:x2 � 25 � 0 ⇔ x2 � �25Porém, não existe número real cujo quadrado seja negativo. Assim, essa função não tem zeros.

c) A equação do 2o grau correspondente é 2x2 � 14 � 0. Isolando x no 1o membro, temos:

2 114

27

2 22 12 14 0

2x x2 12 14 02 22 2

2 12 14 0 xx x2 12 14 04 02 2

2 14 04 0 � �2x⇔ ⇔

2 2x xx x2 22 22 2� ��

Logo:

x xx x x7 77 7x xx x 7� �x xx x7 77 7x xx xx xx xx xx xx x � �x xx xx xx xx xx x ou

Assim, os zeros da função são 7 77 7 .e7 77 77 77 7


Exercícios


Por soma e produtoComo já visto, a soma e o produto das raízes da equação quadrática ax2 � bx � c � 0 são dados

respectivamente por �b

a

c

a.e

Soma � S � x� � x� � �b

a e Produto � P � x� � x� �

c

a

Então, sendo possível adivinhar dois números cuja soma e cujo produto sejam os valores obtidos na

equação quadrática, esses números serão as raízes.

Esse processo é mais indicado para equações quadráticas mais simples, cujas raízes sejam números inteiros.

Na seção Um pouco mais... presente no final deste capítulo, apresentamos os assuntos: Determinação

dos zeros por completamento de quadrado, Forma canônica da função quadrática e Decorrências da

forma canônica. Eles podem ser abordados para aprofundar o que foi estudado até aqui.

24. Quantos lados tem um polígono convexo que possui 170 diagonais? Qual é o nome dele?

Fique atento!Lembre-se

de que

dn n( 3)

2.�

�

25. Uma caixa sem tampa tem a base quadrática com lado medindo x dm e altura 1 dm. Sabendo que a área total de sua superfície é de 5 m2, calcule a medida x.

26. ATIVIDADE EM DUPLA Renata tem 18 anos e Lígia, 15. Daqui a quan-

tos anos o produto de suas idades será igual a 378?

27. ATIVIDADE EM DUPLA Um trem percorreu 200 km em certo tempo.

Para percorrer essa distância em uma hora a menos, a velocidade deveria ser de 10 km/h a mais. Qual a velocidade do trem?

O polígono tem 20 lados e se chama icoságono.

x � 1 dm

Daqui a três anos.

40 km/h

28. DESAFIO O retângulo áureo, ou de ouro, grego é um retângulo especial em que valem as relações entre comprimento (c) e largura (�):

c

c�

�

��

� ← proporção áurea

A proporção áurea, como vimos no capítulo 1 deste volume, pode ser observada na natureza, nas artes e nas construções. Por exemplo, o templo grego Partenon tem suas medidas apoiadas na proporção áurea.Se considerarmos c � 1, a proposta será: 1

11 0.

2

�

�

��

�� ⇒ A raiz positiva dessa

equação é chamada número de ouro. Qual é esse número?

c

�

Vista do Partenon, em Atenas, Grécia.

5 1

2

�

Exercícios

10. Determine, se existirem, os zeros das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) � x2 � 5x � 6 b) f(x) � x2 � 3x � 28

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é

x2 � 5x � 6 � 0. A soma das raízes é então dada por S5

15� �

�� e o produto é dado por P

6

16.� ��

Ou seja, procuramos um par de números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6. Esses números são 2 e 3.Assim, os zeros da função são 2 e 3.

b) A equação do 2o grau correspondente é

x2 � 3x � 28 � 0. A soma das raízes é então dada por S3

13� � � � e o produto é dado por P

28

1�

�� 28.

Ou seja, procuramos um par de números cuja soma seja �3 e cujo produto seja �28. Esses números são 4 e �7.Assim, os zeros da função são 4 e �7.


Geo

rgescu

Gab

riel/

Sh

utt

ers

tock


5 Gráfico da função quadráticaConsideremos um ponto F e uma reta d que não o contém. Cha-

mamos parábola de foco F e diretriz d o conjunto dos pontos do

plano que distam igualmente de F e de d.

A reta perpendicular à diretriz que contém o foco chama-se

eixo da parábola. O ponto da parábola mais próximo da diretriz

chama-se vértice dessa parábola. O vértice (V) é o ponto médio do

segmento cujos extremos são o foco (F) e a intersecção do eixo com

a diretriz (D).

Os matemáticos já provaram que o gráfico de uma função quadrá-

tica é uma parábola. Veja alguns exemplos:

Gráfico da função definida por f (x) � x 2

Como já sabemos que é uma parábola, para construir o gráfico,

fazemos uma tabela com um número suficiente de valores que permita

visualizar a parábola.

x �2 �1,5 �1 0 1 1,5 2

f(x) � x2 4 2,25 1 0 1 2,25 4

Marcamos esses pontos e desenhamos uma linha contínua pas-

sando por eles, pois estamos trabalhando com números reais.

Note que f(�x) � (�x)2 � x2 � f(x).

Assim,

• f(�1) � (�1)2 � 1 � 12 � f(1)

• f(�2) � (�2)2 � 4 � 22 � f(2)

A curva é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, se (a, b) per-

tence à curva, o mesmo ocorre com (�a, b). Isso decorre do fato de

que f(x) � x2 é uma função par, isto é, é uma função que tem a

propriedade f(�x) � f(x) para qualquer x do domínio.

O domínio dessa função é todo o eixo real e a imagem dessa função é o conjunto dos números reais y,

tal que y � 0.

Observe que os pontos (0,5; 0,25) e (�1,5; 2,25), por exemplo, também pertencem à parábola.

eixo da parábola

d

D Q

PPF � PQ

V

F

f(x)

x

0�2�3 �1

(�1, 1) (1, 1)

(2, 4)(�2, 4)

(�1,5; 2,25) (1,5; 2,25)

1 2 3

1

2

3

4

5

6

29. Trace o gráfico de f(x) � x2 e determine os valores f(x) para x igual a:

a) �1

2b)

5

2c) �

3

2

Verifique esses valores no gráfico.

f � �1

2

1

4( ) f

5

2

25

4( ) �

f � �3

2

9

4( )

30. Como seria o gráfico de f(x) � x2 se considerássemos:a) somente os pontos cujas coordenadas são números

inteiros?b) somente os pontos cujas coordenadas são números

racionais? Veja os gráficos dos exercícios 29 e 30

no Manual do Professor.

Você sabia?

A distância de um ponto a uma reta é

a medida do segmento perpendicular

baixado do ponto sobre essa reta.

A distância de P a r é igual à medida

de PA.

P

A

r

Exercícios

Para refletir

Encontre outro ponto que

pertença à parábola acima.

Resposta pessoal.


a � 0 a � 0

y

x

y � 5x2

y � 2x2

y � x2

0

y � x21

2

y � x21

10

x

0

y � �x2

y � �2x2

y � �5x2

y

y � � x21

10

y � � x21

2

Observe que:

• quando a � 0, a concavidade está voltada para cima, o menor valor

assumido por f(x) � ax2 é zero, não assume valor máximo, ou seja, é

ilimitada superiormente;

• quando a � 0, a concavidade está voltada para baixo, o maior valor

assumido por f(x) � ax2 é zero, não assume valor mínimo, ou seja, é

ilimitada inferiormente;

• todas as parábolas têm o mesmo vértice (0, 0) e o mesmo eixo de

simetria x � 0;

• quanto menor o valor absoluto de a, maior será a abertura da

parábola;

• quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da

parábola;

• os gráficos das funções quadráticas f(x) � ax2 e g(x) � a�x2, em que a

e a� são números opostos, são simétricos em relação ao eixo x. Há uma

reflexão em torno do eixo horizontal, ou seja, uma transformação que

leva (x, y) em (x, �y). Veja ao lado, por exemplo, os gráficos de

f(x) � 4x2 e g(x) � �4x2.

y

x

0

[� , 1]1

2

(x, y)

(�x, �y)

(1, 4)

(�1, �4)

f(x) � 4x2

g(x) � �4x2

[� , �1]1

2

31. Trace o gráfico de cada uma das seguintes funções quadráticas em um mesmo sistema de eixos:

a) f(x) � 2x2

b) f(x) � �2x2

c) f x x( )1

22

�

d) f x x( )1

22

� �

Veja os gráficos no Manual do Professor.

Gráfico da função definida por f (x) � ax2, a � 0

Examine os gráficos da função definida por f(x) � ax2, para a a1

10,

1

2,� �

a � 1, a � 2 e a � 5, e para a � �5, a � �2, a � �1, a a1

2

1

10.� � � �e

Para refletir

Como são as abscissas e as

ordenadas de dois pontos, um

em cada parábola e simétricos

em relação ao eixo x?

Abscissas iguais, ordenadas opostas.

No final do capítulo, na seção Um pouco mais...,

apresentamos assuntos para aprofundar e

complementar esta abordagem.

Exercício


Gráfico da função definida por f(x) � ax2 � k, com a � 0Examine os gráficos das funções quadráticas definidas por:

• f(x) � x2 � 2

• g(x) � x2 � 1

• h(x) � x2 � 1

• �(x) � x2 � 2

Compare-os com o gráfico da função f(x) � x2 que está tracejado. O eixo de todas as parábolas é x � 0. O ponto mínimo de f(x) � x2 � 2 é (0, 2); o de g(x) � x2 � 1 é (0, 1); o de h(x) � x2 � 1 é (0, �1) e o de �(x) � x2 � 2 é (0, �2).

De modo geral, para a � 0, o ponto mínimo de f(x) � ax2 � k é (0, k).

Observe agora os gráficos das funções quadráticas definidas por:

• f(x) � �x2 � 2

• g(x) � �x2 � 1

• h(x) � �x2 � 1

• �(x) � �x2 � 2

Compare-os com o gráfico de f(x) � �x2 que está tracejado. O ponto

máximo de f(x) � �x2 � 2 é (0, 2); o de g(x) � �x2 � 1 é (0, 1); o de h(x) � �x2 � 1 é (0, �1) e o de �(x) � �x2 � 2 é (0, �2).

De modo geral, para a � 0, o ponto máximo de f(x) � ax2 � k é (0, k).

Repare que o gráfico de f(x) � ax2 � k é congruente ao gráfico de f(x) � ax2, porém sua posição é, em valores absolutos, k unidades acima ou abaixo, conforme k seja positivo ou negativo. Dizemos que o gráfico de f(x) � ax2 � k é o gráfico de f(x) � ax2 transladado de k unidades para cima ou para baixo. É uma translação vertical que leva (x, y) em (x, y � k), segundo o eixo y. A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, k).

y

x

0

y � x2 � 2

y � x2 � 1

y � x2 � 2

y � x2 � 1

y � x2

1

2

3

4

5

6

�2

1 2 3�2�3 �1

�1

y

x

0

y � �x2 � 2

y � �x2 � 1

y � �x2 � 2

y � �x2 � 1

y � �x2

�5

�3

�2

�1

�4

1

2

�6

1 2 3�2�3 �1

32. Escreva as coordenadas do vértice e o eixo da parábo-la para cada uma das funções quadráticas:

a) f(x) � 3x2 � 1 c) h x x( )1

31;2� �

b) g(x) � �3x2 � 2 d) �(x) � 3x2 � 1

V(0, 1); x � 0 V(0, �1); x � 0

V(0, 2); x � 0 V(0, �1); x � 0

33. Quais das funções do exercício anterior possuem um valor mínimo e quais têm um valor máximo? Quais são esses valores?

34. Esboce o gráfico de uma parábola dada por f(x) � ax2 � m, com a e m positivos.

Valor mínimo: f(x) → 1, h(x) → �1, �(x) → �1;

valor máximo: g(x) → 2.

Veja o gráfico no Manual do Professor.

Exercícios


Gráfico da função definida por f (x) � a(x � m)2, com a � 0

Observe a tabela e os gráficos das funções definidas por f(x) � 2x2 e g(x) � 2(x � 3)2 traçados em um mesmo sistema de eixos:

x ... �2 �1 0 1 2 3 4 5 ...

f(x) � 2x2 ... 8 2 0 2 8 18 ... ... ...

g(x) � 2(x � 3)2 ... ... ... 18 8 2 0 2 8 ...

y

x

(0, 0) (3, 0)

(�1, 2) (4, 2)(2, 2)(1, 2)

(�2, 8) (5, 8)

g (x) � 2(x � 3)2f (x) � 2x2

(2, 8)

(1, 8)

O eixo da parábola f(x) � 2x2 é x � 0 e o eixo da parábola g(x) � 2(x � 3)2 é x � 3. A parábola é simétri-ca em relação a esse eixo. A parábola g(x) � 2(x � 3)2 é congruente à parábola f(x) � 2x2, mas sua posição é 3 unidades à direita do gráfico de f(x) � 2x2.

De modo geral:

• o gráfico de f(x) � a(x � m)2 é congruente ao gráfico de g(x) � ax2, porém sua posição, em valores absolutos, é m unidades à di-reita ou à esquerda do gráfico de g(x) � ax2, conforme m seja positivo (m � 0) ou negativo (m � 0), respectivamente. Dize-mos que o gráfico de f(x) � a(x � m)2 é o gráfico de f(x) � ax2 transladado m unidades à esquerda ou à direita, conforme m seja negativo ou positivo. É uma translação horizontal que leva (x, y) em (x � m, y).

• se a � 0, a concavidade da parábola é para cima e ela tem um ponto mínimo (m, 0); se a � 0, a concavida-de é para baixo e a parábola tem um ponto máximo (m, 0).

• o gráfico é simétrico em relação à reta x � m e essa reta é o eixo da parábola.

• é possível provar que o gráfico da função quadrática f(x) � a(x � m)2, a � 0 e m � R é uma parábola cujo

foco é o ponto F ma

,1

4( ) e cuja diretriz é a reta horizontal ya

1

4.� �

x

d

y � ax2 y � a(x � m)2

(x, a(x � m)2)

y � �1

4a

m

F

y

35. Determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas:

a) f(x) � (x � 2)2 d) f x x( )1

3( 2)2� � �

b) f(x) � �2(x � 1)2 e) f(x) � 3(x � 2)2

c) f x x( )1

2( 1)2� � f) f(x) � �5(x � 1)2

35.

a) Eixo: x � 2; V(2, 0); F 2,1

4;( ) d y:

1

4� �

b) Eixo: x � �1; V(�1, 0); F � �1,1

8;( ) d y:

1

8�

c) Eixo: x � 1; V(1, 0); F 1,1

2;( ) d y:

1

2� �

d) Eixo: x � �2; V(�2, 0); F � �2,3

4;( ) d y:

3

4�

e) Eixo: x � 2; V(2, 0); F 2,1

12;( ) d y:

1

12� �

f) Eixo: x � 1; V(1, 0); F 1,1

20;�( ) d y:

1

20�

36. Observando as funções quadráticas do exercício anterior, responda quais delas:a) possuem um ponto máximo?

b) têm um ponto mínimo?

c) Quais são esses pontos?

a) Ponto máximo: b(�1, 0); d(�2, 0); f(1, 0); b) Ponto mínimo: a(2, 0); c(1, 0); e(2, 0). c) Esses pontos são os vértices das parábolas.

Exercícios


Gráfico da função definida porf (x) � a(x � m)2 � k, com a � 0

O gráfico de f(x) � a(x � m)2 � k é congruente ao gráfico de f(x) � ax2, tendo x uma posição que

está, em valores absolutos, m unidades à direita (m � 0) ou à esquerda (m � 0) do gráfico de f(x) � ax2

e k unidades acima (k � 0) ou abaixo (k � 0) do gráfico de f(x) � ax2. O eixo de simetria da parábola dada

por f(x) � (x � m)2 � k é x � m.

Observe, por exemplo, os gráficos das funções quadráticas f(x) � 2x2,

g(x) � 2(x � 3)2 � 1 e h(x) � 2(x � 3)2 � 1.

A parábola dada por g(x) � 2(x � 3)2 � 1 está 3 unidades à direita

e 1 unidade acima da parábola dada por f(x) � 2x2 e é simétrica em

relação ao eixo x � 3.

A parábola dada por h(x) � 2(x � 3)2 � 1 está 3 unidades à esquerda

e 1 unidade acima da parábola dada por f(x) � 2x2 e é simétrica ao eixo

x � �3. O vértice da parábola g(x) � 2(x � 3)2 � 1 é V(3, 1) e o vértice da

parábola h(x) � 2(x � 3)2 � 1 é V(�3, 1).

Observação: A função f(x) � a(x � m)2 � k, com a � 0, é equivalente à função f(x) � ax2 � bx � c (a � 0),

em que mb

a2� � e k

a4.� �

� Essa forma, chamada de canônica, é particularmente interessante por

evidenciar o vértice da parábola e a concavidade, facilitando o traçado do gráfico. Como o vértice da pará-

bola dada por f(x) � a(x � m)2 � k é V(m, k) e sabendo que as coordenadas do vértice são (xv, yv), então

também podemos reescrevê-la como f(x) � a(x � xv)2 � yv .

y

x

x � �3

(�3, 1) (3, 1)

x � 3

h(x

) �

2(x

� 3

)2 �

1

f(x

) �

2x

2

g(x

) �

2(x

� 3

)2 �

1

37. Observe os gráficos das funções quadráticas f(x) � x2, f(x) � (x � 2)2 e f(x) � (x � 2)2 e responda:

y

x

�2 0 2

f(x) � (x � 2)2 �

� x2 � 4x � 4f(x) � (x � 2)2

�

� x2 � 4x � 4

f(x) � x2

a) Como é o gráfico da função f(x) � (x � 2)2 em rela-ção ao gráfico de f(x) � x2?

b) E o da função f(x) � (x � 2)2 em relação ao gráfico de f(x) � x2?

c) Quais são as coordenadas dos vértices das parábolas y � x2, y � (x � 2)2 e y � (x � 2)2?

d) E as do vértice da parábola y � (x � m)2? E a parábola y � (x � m)2?

Ele é deslocado duas unidades para a direita.

Ele é deslocado duas unidades para a esquerda.

(0, 0), (2, 0) e (�2, 0)

(m, 0); (�m, 0)

38. Observe os gráficos das funções a seguir:y

x

�1�1 1

1

2

3

4

2 3 4 5�2�3�4

�2

�3

�4f(x) � (x � 2)2 � 3

f(x) � (x � 2)2 � 3

f(x) � x2

a) Indique as coordenadas do vértice de cada parábola.

b) Como é o gráfico da função f(x) � (x � 2)2 � 3 em relação ao gráfico de f(x) � x2?

c) E o de f(x) � (x � 2)2 � 3 em relação ao gráfico de f(x) � x2?

d) E o de f(x) � (x � m)2 � k em relação ao gráfico de f(x) � x2?

e) Quais são as coordenadas dos vértices da parábola y � (x � m)2 � k?

y � x2 (0, 0)

y � (x � 2)3 � 3 (2, 3)

y � (x � 2)2 � 3 (�2, �3)

Ele é deslocado três unidades para cima e duas unidades para a direita.

Ele é deslocado três unidades para baixo e duas para a esquerda.

Ele é deslocado k unidades para baixo e m unidades para a direita, se k � 0 e m � 0.

(m, k)

Exercícios


Gráfico da função definida por f(x) � ax 2 � bx � c

Vamos estudar os efeitos dos parâmetros a, b e c na parábola que

é gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c.

Parâmetro a

Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

• Se a � 0, a concavidade é para cima. • Se a � 0, a concavidade é para baixo.y

x

y

x

Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais

“fechada”), independentemente da concavidade.

a � 0 a � 0

y

x

y � 5x2

y � 2x2

y � x2

0

y � x21

2

y � x21

10

x

0

y � �x2

y � �2x2

y � �5x2

y

y � � x21

2

y � � x21

10

Parâmetro b

Indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola.

• Se b � 0, a parábola intersecta

o eixo y no ramo crescente.

• Se b � 0, a parábola intersecta o

eixo y no ramo decrescente.

x

y

x

y

x

y

x

y

• Se b � 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice.

x

y

x

y

y

x

O

x1

Vvértice

parábola

eixo de simetria

x2

c


Parâmetro c

Indica o ponto onde a parábola

intersecta o eixo y.

A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, c), ou seja, f(0) � c.

x

y

c

39. Escreva na forma f(x) � ax2 � bx � c correspondente a cada gráfico dado. (Dica: Comece usando a forma canônica e/ou fatorada.)a) c)

b) d)

Fique atento!Forma canônica: f(x) � a(x � xv)

2 � yvForma fatorada: f(x) � a(x � x’) (x � x”)

f(x) � x2 � 2x � 3

y

x

1

2

3

0

y

x

1

2

3

0

f(x) � x2 � 2

y

x

4

�1 40

f(x) � �x2 � 3x � 4y

x

4

�1 2 40

f(x) � �x2 � 4x

40. Indique quais são os sinais de a, b e c nos gráficos da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c dados abaixo.a) y

x

0

b) y

x

0

c) y

x

0

a � 0, b � 0, c � 0

a � 0, b � 0, c � 0

a � 0, b � 0, c � 0

11. Quais são os sinais de a, b e c no gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c dado abaixo?

y

x

0

Resolução:

• a � 0, pois a concavidade está para baixo.

• c � 0, pois f(0) � c e a parábola corta o eixo ver-tical em sua parte positiva.

• A abscissa do vértice é dada por �

2

b

a. Portanto, a

e b têm sinais iguais quando a abscissa do vérti-ce é negativa e têm sinais diferentes quando a abscissa do vértice é positiva.

Logo, neste exemplo, a e b têm sinais contrários, pois a abscissa do vértice é positiva. Como a � 0, então b � 0.


Exercícios


6 Determinação algébrica das intersecções da parábola com os eixos

Nos gráficos seguintes, de funções quadráticas, estão indicados os pontos de intersecção da parábola

com os eixos.

Veja como são determinados algebricamente esses pontos de intersecção a partir da lei da função.

a) f(x) � x2 � 2x � 1

y

x

(0, 1)

(1, 0)

Intersecção com o eixo y:

x � 0 ⇒ f(0) � 02 � 2 � 0 � 1 � 1

A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).

Intersecção com o eixo x:

f(x) � 0 ⇒ x2 � 2x � 1 � 0

� � 4 � 4 � 0 ⇒ � � 0 (a equação admite uma raiz dupla)

x2 0

21�

��

A parábola intersecta o eixo x em um só ponto: (1, 0). Isso significa que

a função possui um zero duplo: 1.

b) f(x) � �4x2 � 1y

x[� , 0]1

2

[ , 0]1

2

(0, 1)


x � 0 ⇒ f(0) � �4 � 02 � 1 � 1



f(x) � 0 ⇒ �4x2 � 1 � 0 ⇒ �4x2 � �1 ⇒ 4x2 � 1 ⇒

⇒ x x2 1

4

1

2� � � ⇒ (a equação admite duas raízes distintas)

Observe que, nesse caso, � � 0 � 16 � 16, ou seja, � � 0.

A parábola intersecta o eixo x em dois pontos: 1

2, 0

1

2, 0 .( ) ( )e �

Isso significa que os zeros da função f(x) � �4x2 � 1 são �1

2

1

2.e

c) f(x) � x2 � 2x � 3

y

x

(0, 3)


x � 0 ⇒ f(0) � 02 � 2 � 0 � 3 � 3



f(x) � 0 ⇒ x2 � 2x � 3 � 0

� � 4 � 12 � �8 ou � � 0 (a equação não tem raízes reais)

A parábola não intersecta o eixo x.

A função f(x) � x2 � 2x � 3 não admite zeros reais.


Conclusões:

• A parábola, gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c, intersecta o eixo y

sempre no ponto (0, c), pois f(0) � a � 02 � b � 0 � c � c.

• Essa parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou pode não

intersectar o eixo x, dependendo do valor de � � b2 � 4ac da equação corres-

pondente. Veja:

f(x) � 0 ⇒ ax2 � bx � c � 0

� � 0 (uma raiz real dupla a parábola intersectta o eixo em um só ponto

duas raízes r

)

0

x

� � eeais distintas a parábola intersecta o eixo( x )

0

em dois pontos

nenhuma raiz real dupla� � (( )a parábola não intersecta o eixo x

Graficamente, temos:

y

x

� � 0

� � 0

� � 0

y

x

� � 0

� � 0

� � 0

Para refletir

Por que a parábola

sempre intersecta o eixo y

em um só ponto?

Porque é o valor da função quando x vale 0.

a � 0 a � 0

41. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3, �2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, �4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:a) f(x) � �2x2 � 8x � 4

b) f(x) � 2x2 � 8x � 4

c) f(x) � 2x2 � 8x � 4

42. Verifique quais dos seguintes pontos pertencem à parábola que representa graficamente a função f(x) � x2 � 5x � 6:a) A(2, 0)

b) B(4, 2)

c) C(�1, 10)

43. Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) perten-ça à parábola que representa graficamente a função dada por f(x) � (m � 1)x2 � 1.

44. Determine os zeros das seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 11x � 30

b) f(x) � x2 � 4x � 21

c) f(x) � x2 � 36

d) f(x) � 6x2 � 5x � 1

45. Em que pontos a parábola de cada função do exercício anterior intersecta os eixos x e y?

x


x

x

m1

2� �

x� � 6 e x� � 5

x� � 3 e x� � �7

x� � 6 e x� � �6x x'

1

2"

1

3� �e

45.a) Eixo x: (5, 0) e (6, 0); eixo y: (0, 30). b) Eixo x: (3, 0) e (�7, 0); eixo y: (0, �21). c) Eixo x: (6, 0) e (�6, 0); eixo y: (0, �36).

d) Eixo x: 1

3, 0( ) e

1

2, 0 ;( ) eixo y: (0, 1).

46. Em cada gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c, com � � b2 � 4ac, descubra se a � 0 ou a � 0 e se � � 0, � � 0 ou � � 0.a) y

x

d) y

x

b) y

x

e) y

x

c) y

x

f) y

x

47. O gráfico abaixo representa uma função do tipo y � ax2 � bx � c, a � 0:Então, podemos afirmar que:a) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

b) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

c) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

d) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

e) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

a � 0, � � 0 a � 0, � � 0

a � 0, � � 0 a � 0, � � 0

a � 0, � � 0 a � 0, � � 0

y

x0

x

Exercícios


7 Vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem

da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.

a � 0

a � 0

y

x

ponto demáximo

xv

yv

valormáximo

Im( f )

y

x

ponto dem’nimo

xv

yv

valorm’nimo

Im( f )

Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola, que representa uma função qua-drática, é simétrica em relação a um eixo vertical. Determinando a posição desse eixo, encontraremos a abscissa do vértice, e com a abscissa do vértice obteremos a ordenada. Opcionalmente, podemos usar fór-mulas para obter o vértice.

Examine os exemplos:

a) f(x) � 2x2 � 8x

1o modo:

Obtendo as raízes, teremos x� � 0 e x� � 4. Dada a simetria das parábolas,

o eixo de simetria terá abscissa xx x

v’ ”

2

0 4

22.�

��

��

Substituindo x � 2 na função, obtemos a ordenada do vértice f(2) � 2 � 22 � 8 � 2 � �8.Então, o vértice é o ponto (2, �8).

2o modo:

Escrevendo na forma canônica, ou seja, determinando f(x) � a(x � xv)2 � yv,

temos: f(x) � 2(x2 � 4x) � 2(x2 � 4x � 4 � 4) � 2(x2 � 2)2 � 8Assim, xv � 2 e yv � �8.A função assume valor mínimo �8 quando x � 2.

Observação: Se o valor mínimo é y � �8, então Im( f ) � � y � R � y � �8�.

Valor mínimo da função: �8

Im( f ) � � y � R � y � �8�

Essa função não tem valor máximo. É ilimitada superiormente.

Fique atento!Se 2 é a abscissa do vértice, os

pontos de abscissas 1 e 3 são

simétricos na parábola. Os de

abscissas 0 e 4 também.

y

x

�8

�6

(2, �8)

0 1 2 3 4

Im( f )


b) f(x) � �4x2 � 4x � 5

Lembramos que na forma canônica chamamos: xb

av

2� � e y

ac b

a av

4

4 4,

2

��

� ��

então o vértice

de uma parábola dada por f(x) � ax2 � bx � c, a � 0, também pode ser calculado assim: Vb

a a� �

�

2,

4.( )

Nesse caso, temos:f x x x

xb

av

( ) 4 4 5

2

4

8

1

2

2� � � �

��

��

��

ya

V

v4

(16 80)

16

96

166

1

��

��

��

�

��

Então,22, 6 .( )

A função assume valor máximo 6 quando x1

2.�

Logo, Im( f ) � �y � R � y � 6�.Valor máximo da função: 6 Im( f) � �y � R � y � 6� Essa função não tem valor mínimo. É ilimitada inferiormente.

De modo geral, dada a função f: R → R tal que f(x) � ax2 � bx � c, com a � 0, se V(xv, yv) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

a � 0 ⇔ yv é o valor mínimo de f ⇔ Im( f) � {y � R � y � yv}a � 0 ⇔ yv é o valor máximo de f ⇔ Im( f ) � {y � R � y � yv}

Para refletir

xv é a média aritmética dos zeros da função quadrática (se estes existirem). Comprove!

y

x

6

5

�3

f(x) � �4x2 � 4x � 5

�1 0 1 21

2

Im( f )

[ , 6]1

2

12. Determine a Im( f ) e o valor máximo ou mínimo da função quadrática f(x) � x2 � 4x � 2.

Resolução:

f(x) � x2 � 4x � 2

ya

v4

(16 8)

46�

��

� �(16 86 8� �

a � 0, então a concavidade é para cima.Im( f ) � �y � R � y � �6�Valor mínimo de f: �6

13. Determine m de modo que a função f(x) � (3m � 1)x2 � 5x � 2 admita valor máximo.

Resolução:

Para que a função f(x) � (3m � 1)x2 � 5x � 2 admi-ta valor máximo, devemos ter a � 0 (concavidade para baixo).Condição: a � 0 ⇔ 3m � 1 � 0

3m � 1 � 0 ⇒ 3m � 1 ⇒ m1

3.�

Logo, m pode ser qualquer número real menor

do que 1

3.

14. Física

A trajetória da bola, em um chute a gol, descre-ve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h � �t2 � 6t, responda:a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?

b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Resolução:

h � �t2 � 6t

Ponto de máximo: V(tV, hV)a) A bola atinge a sua altura máxima quando:

tb

av

2

6

2( 1)

6

23 s.� � �

�

��

�

��

Logo, a bola atinge a altura máxima 3 segundos após o chute.

b) A altura máxima atingida pela bola é:

ha

v4

36

4( 1)

36

49� �

��

��

�� ou

h(3) � �32 � 6 � 3 � �9 � 18 � 9 A altura máxima atingida pela bola é 9 metros.

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« Resolvido passo a passo

15. (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em ge-ral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que co-nhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a ra-pidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) � k � x � (P � x), onde k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44 mil pessoas, então a má-xima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:a) 11 000.

b) 22 000.

c) 33 000.

d) 38 000.

e) 44 000.

1. Lendo e compreendendo

a) O que é dado no problema? É dada uma fórmula que relaciona a rapidez de propagação do boato com o número de pessoas que o conhecem, para determinado público-alvo.

b) O que se pede? Um boato se espalha de forma devagar quan-do poucos o conhecem, e a velocidade de pro-pagação do boato vai aumentando conforme mais gente o conheça e passe a propagá-lo. Entretanto, se muitas pessoas já sabem do bo-ato, a sua velocidade de propagação também vai ser baixa, pois tanta gente sabe dele que fica mais raro encontrar quem não saiba. As-sim, existe determinado número de pessoas que torna a velocidade de propagação máxima. Queremos determinar qual é esse número de pessoas.

2. Planejando a solução

Observando a fórmula dada, verificamos que ela é uma função quadrática:R(x) � k � x � (P � x) ⇒ R(x) � �kx2 � kPx

Sabemos que, em funções quadráticas, o máximo (ou o mínimo) valor ocorre no vértice. Assim, para obter o valor que maximiza a rapidez de propaga-ção do boato, basta obter o valor da abscissa do vértice, ou seja, de xv.

3. Executando o que foi planejado

Para um público-alvo de 44 000 pessoas, a função quadrática será:R(x) � kx(44 000 � x) � �kx2 � 44 000kx

Então, temos a � �k e b � 44 000k.

O xv é dado por xb

av

2.� � Assim:

xk

kv

44000

2( )22 000�

��

Portanto, a quantidade de pessoas que maximiza a propagação de boato, neste caso, é 22 000.

4. Verificando

Substituindo x � 22 000 na equação dada, com P � 44 000, temos:R(22 000) � k � 22 000 � (44 000 � 22 000) �

� 484 000 000k

Para verificar se ele é o máximo, vamos calcular também R(21 999) e R(22 001) e comparar com R(22 000).Observe que propositalmente escolhemos o ante-cessor e o sucessor de x � 22 000:R(21 999) � k � 21 999 � (44 000 � 21 999) � � 483 999 999k � 484 000 000k

R(22 001) � k � 21 001 � (44 000 � 22 001) �

� 483 999 999k � 484 000 000k

Ambos são menores que R(22 000). Como R(x) é uma função quadrática cujo gráfico é uma pará-bola (e possui apenas um valor máximo), então x � 22 000 é o valor que maximiza R(x). Isso bas-ta para verificar a resposta.

5. Emitindo a resposta

A resposta é a alternativa b.

6. Ampliando o problema

a) Para este modelo de propagação de boato, generalize o resultado para um público-alvo P, obtendo o número de pessoas, em função de P, que deve conhecer um boato para que tenhamos a máxima rapidez de propagação.

b) Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre o que seria essa constante k presente no modelo de propagação de boatos apresentada. Em que situação o valor de k será maior ou menor: um boato sobre a morte de um artista famoso (que faltou no show da noite anterior e cujo para-deiro ninguém sabe), ou um boato sobre a mor-te do seu Zé que mora na esquina (e que não abre a janela há dois dias)?

p

2.pessoas

Boato sobre a morte do artista famoso.


Exercícios

48. Determine o vértice V da parábola que representa a função quadrática:a) f(x) � x2 � 2x � 3 d) y � x2

b) f(x) � �x2 � 3x � 5 e) y � (x � 2)2 � 3

c) f(x) � x2 � 4x � 3

49. Determine o valor de k para que a função f(x) � (2 � k)x2 � 5x � 3 admita valor máximo.

50. Qual o valor de m para que a função f(x) � (4m � 1)x2 � x � 6 admita valor mínimo?

51. Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadrá-ticas e determine o conjunto imagem de cada uma delas:a) f(x) � x2 � 4x � 3

b) f(x) � �x2 � 6x � 9

52. DESAFIO A reta, gráfico da função f(x) � 3x � 1, e a parábola, gráfico da função g(x) � x2 � x � 2, têm pontos comuns? Se tiverem, descubra quais são.

Para refletir

Quantos pontos comuns

podem ter uma reta e

uma parábola?

Dois pontos, um ponto ou nenhum ponto.

53. Dada a função quadrática f(x) � 2x2 � x � 3, determine:a) se a concavidade da parábola definida pela função

está voltada para cima ou para baixo;

b) os zeros da função;

c) o vértice da parábola definida pela função;

d) a intersecção com o eixo x;

e) a intersecção com o eixo y;

f) o eixo de simetria;

g) Im( f );

h) o esboço do gráfico.

54. ATIVIDADE

EM DUPLA Sabe-se que o custo C para produzir x unida-des de certo produto é dado por C � x2 � 80x � 3 000. Nessas condições, calculem:a) a quantidade de unidades produzidas para que o

custo seja mínimo;

b) o valor mínimo do custo.

55. ATIVIDADE

EM DUPLA Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h � �t2 � 4t � 6. Determinem:a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;

b) a altura máxima atingida pela bola;

c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

V(1, �4)V(0, 0)

b) V3

2,

11

4�( )

V(2, 3)

V(2, �1)

k � 2

m1

4��

Veja os gráficos no Manual do Professor.

Im( f ) � � y � R | y � �1�

Im( f ) � � y � R | y � 0�

Sim, (1, 2) e (3, 8).

Para cima.

x x'3

2" 1� � �e V

1

4,

25

8�( )

( 1, 0)3

2,0� e ( )

(0, �3)

x1

4�

Im f y y( ) |25

8� �� R �{ }


40 unidades.

1 400

2 s10 m

310 s

56. DESAFIO Determine o conjunto A para que a função f: A → [3, 7], definida por f(x) � x2 � 4x � 7, seja bijetiva e crescente.

57. ATIVIDADE

EM DUPLA Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$ 2,00 por lugar vago. Qual o número de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja máxima?

58. ATIVIDADE

EM DUPLA (Faap-SP) Suponham que no dia 5 de dezem-bro de 1995 o Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 14h, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) � �t2 � bt � 156, quando 8 � t � 20. Obtenham o valor de b.a) 14 c) 28 e) 42

b) 21 d) 35

59. ATIVIDADE

EM DUPLA (UFPE) Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o fatura-mento máximo?

60. ATIVIDADE

EM DUPLA (Vunesp) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) � 3t � 3t2, em que h é a altura atingida em metros.

A � �2, 4�

15 passageiros.

x

25 lugares.

Dr.

Jo

hn

Bra

cken

bu

ry/S

PL

/La

tin

sto

ck

a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

1 s

0,75 m


Gráfico da função quadrática no computador

Agora, vamos aprender a construir gráficos de funções quadráticas usando outro software

livre, o Geogebra.Este é um software matemático, criado por

Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo-metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Euro-pa e nos Estados Unidos.

A instalação desse software é simples:• Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_BR>

e clique em “Download”.

Veja a reprodução da tela a seguir:

• Clique em “Webstart”, faça o download e siga

os passos automáticos de instalação do

programa.

Depois disso, você já pode usá-lo.

Ao abrir o software você verá a seguinte tela:

Observe que destacamos acima o nome das

partes que compõe a tela inicial do software.

Agora, faça as atividades a seguir.1. Construa o gráfico da função quadrática

f(x) � x2 � 6x � 5 e destaque alguns pontos

importantes. Para isso, siga os passos abaixo.

1o passo: No campo Entrada (situado na

parte inferior da tela) escreva a função

f(x) � x^2 � 6x � 5 e tecle “Enter”. Observe

que “^” indica a operação de potenciação.

2o passo: Para obter as raízes da função f, ain-

da no campo de entrada, digite raiz [ f ] e tecle

“Enter”. Veja que foram criados os pontos

A � (1, 0) e B � (5, 0), que são as raízes da função.

3o passo: Para obter o vértice da parábola,

digite Extremo[ f ] e tecle “Enter”. Assim, foi

criado o ponto C � (3, �4), que corresponde

ao vértice da parábola.

4o passo: Agora, vamos determinar o ponto em

que a parábola intersecta o eixo das ordenadas

(eixo y). Para isso, digite no campo de entrada

Interseção[ f, x � 0] e tecle “Enter”. Observe que

o ponto de intersecção com o eixo y, ponto

D � (0, 5), tem como ordenada o valor do termo

independente (c) da função quadrática.

barra de menu

zona gráficazona algébrica

barra de

ferramentas

entrada de comando

Fo

tos:

Re

pro

du

çã

o/<

ww

w.g

eo

ge

bra

.org

>

Matemáticatecnologiae


Fique atento!Você pode mover, ampliar ou reduzir a sua imagem utilizando da barra de tarefas. Outra opção para aumentar ou diminuir o zoom

é utilizar o scroll do mouse (aquela “bolinha” que fica na parte superior da maioria dos mouses).Clique em “Arquivo” e grave a sua construção.

Agora, determine as raízes e o vértice da fun-

ção utilizando as fórmulas que você já co-

nhece e em seguida compare os resultados

obtidos no Geogebra.

2. Clique em “Arquivo”, depois em “Novo” e si-

ga os passos abaixo.

1o passo: Na barra de ferramentas, clique

com o botão esquerdo do mouse, inicial-

mente na opção controle deslizante e em

seguida clique em qualquer ponto da jane-

la de visualização (zona gráfica); automati-

camente abrirá uma janela; clique em “Apli-

car”. Nesse instante, aparecerá o parâmetro

a (com valor inicial igual a 1). Veja:

a = 1

Repita a operação e insira novos parâmetros

(b e c).

2o passo: No campo Entrada escreva a função:

f(x) � a�x^2 � b�x � c

e tecle “Enter”. Observe que “�” significa a

operação de multiplicação. Dessa forma, vo-

cê terá o gráfico da função:

f(x) � x2 � x � 1

3o passo: Para melhorar a visualização, cli-

que com o botão direito do mouse na pará-

bola e abrirá uma aba com a opção “Proprie-

dades...”; clique sobre ela. Assim, abrirá uma

janela com várias opções; clique na aba “Cor”

e escolha uma nova cor para o seu gráfico.

Em seguida, clique na aba “Estilo” e coloque

a espessura da linha igual a 5. Feche a jane-

la e observe que o gráfico ficou destacado.

4o passo: Na barra de ferramentas clique em

“Exibir” e depois em “Malha”.

Você agora deverá ter uma imagem (com

exceção da cor escolhida) igual à apresenta-

da abaixo.

5o passo: Agora você poderá observar signi-

ficados importantes para os coeficientes a,

b e c. Clique na bolinha do controle deslizan-

te de a e altere lentamente o seu valor (bas-

ta arrastar a bolinha para um dos lados).

Observe o que acontece com o gráfico da pa-

rábola. Repita a operação para os controles

deslizantes de b e c (utilize um controle des-

lizante por vez).

Agora, responda:

a) Qual o efeito do parâmetro a no gráfico da

função?

b) Qual o efeito do parâmetro b no gráfico da

função?

c) Qual o efeito do parâmetro c no gráfico da

função?

Os resultados são os mesmos.

Fo

tos:

Re

pro

du

çã

o/<

ww

w.g

eo

ge

bra

.org

>

Altera a abertura e a concavidade da parábola.

Altera a posição do vértice.

Altera o ponto onde a parábola cruza o eixo y.


8 Estudo do sinal da função quadrática e inequações do 2o grau

Estudar o sinal da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c, a � 0 significa determinar os valores reais de x

para os quais f(x) se anula ( f(x) � 0), f(x) é positiva ( f(x) � 0) e f(x) é negativa ( f(x) � 0), ou, de modo equi-

valente, significa resolver inequações do tipo f(x) � 0 e f(x) � 0. Esse estudo vai depender do discriminante

� � b2 � 4ac, da equação do 2o grau correspondente ax2 � bx � c � 0, do coeficiente a e dos zeros da função

(se existirem).

Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente a,

podem ocorrer duas situações:

1o caso: � � 0Neste caso:

• a função admite dois zeros reais diferentes: x� e x�;

• a parábola, que representa a função, intersecta o eixo x em dois pontos.

a � 0 a � 0

x� x�

f(x) � 0 f(x) � 0

f(x) � 0

x

x� x�

f(x) � 0 f(x) � 0

f(x) � 0

x

f(x) � 0 para x � x� ou x � x�


f(x) � 0 para x� � x � x�


f(x) � 0 para x� � x � x�


Dispositivo prático:

� � 0 e a � 0 � � 0 e a � 0

x� x�

x

�

�

� x� x�

x

�

�

�

Assim, quando � � 0, f(x) tem o sinal oposto ao de a

quando x está entre as raízes da equação e tem o sinal

de a quando x está fora do intervalo das raízes.

Para refletir

O que significam os sinais � e � no dispositivo prático?

Eles indicam os

intervalos nos quais a

função assume

valores positivos ou

negativos.



• a função admite um zero real duplo x� � x�;

• a parábola que representa a função tangencia o eixo x.

a � 0 a � 0

x

x� � x�

f(x) � 0 f(x) � 0

xx� � x�

f(x) � 0 f(x) � 0

f(x) � 0 para x � x� � x�

f(x) � 0 para x � x�

f(x) � 0 para x � x� � x�

f(x) � 0 para x � x�


� � 0 e a � 0 � � 0 e a � 0

x

x� � x�

� �

xx� � x�

� �

Assim, quando � � 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz dupla da equação.


• a função não admite zeros reais;

• a parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

a � 0 a � 0

x

f(x) � 0

x

f(x) � 0

f(x) � 0 para todo x real f(x) � 0 para todo x real


� � 0 e a � 0 � � 0 e a � 0

x��

x

��

Assim, quando � � 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.


16. Resolva as inequações:a) x2 � 3x � 2 � 0 b) �x2 � 9 � 0

Resolução:

a) Resolver a inequação x2 � 3x � 2 � 0 significa determinar os valores reais de x para os quais a função f(x) � x2 � 3x � 2 assume valores negativos. a � 1 � 0; a � 0

� � (�3)2 � 4(1)(2) � 9 � 8 � 1 � 0; � � 0 As raízes da equação x2 � 3x � 2 � 0 são x� � 1 e x� � 2. Dispositivo prático:

�

� � x

1 2

Como devemos ter f(x) � 0, então S � �x � R � 1 � x � 2� é a solução da inequação.

b) �x2 � 9 � 0

a � �1 � 0; a � 0

� � (0)2 � 4(�1)(9) � 36 � 0; � � 0 As raízes da equação x2 � 9 � 0 são x� � �3 e x� � 3. Dispositivo prático:

� �

� x�3 3

Como devemos ter f(x) � 0, então S � �x � R � �3 � x � 3� é a solução da inequação.

17. Resolva a inequação �x2 � 6x � 9 � 0 ou, de mo-do equivalente, determine os valores reais para os quais a função f(x) � �x2 � 6x � 9 é positiva.

Resolução:

�x2 � 6x � 9 � 0a � �1 � 0; a � 0� � (6)2 � 4(�1)(�9) � 36 � 36 � 0; � � 0A equação �x2 � 6x � 9 � 0 tem uma raiz dupla:x� � x� � 3Dispositivo prático:

� � � � � � � �

x3

18. Resolva a inequação 2x2 � 2x � 5 � 0 ou, de modo equivalente, determine os valores reais para os quais a função f(x) � 2x2 � 2x � 5 é positiva.

Resolução:

2x2 � 2x � 5 � 0a � 2 � 0; a � 0� � (�2)2 � 4(2)(5) � 4 � 40 � �36 � 0; � � 0A equação 2x2 � 2x � 5 � 0 não tem raízes reais.Dispositivo prático:

�� x

Como devemos ter f(x) � 0, então S � R.

61. Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 3x � 4b) f(x) � x2 � 4

62. Para que valores reais de x a função f(x) � x2 � 7x � 10 é positiva?

63. Para que valores reais de x a função f(x) � x2 � 2x � 6 é negativa?

64. Para quais valores de m a função f(x) � x2 � 5x � 5m assume valores positivos para todo x real?

65. Resolva as seguintes inequações do 2o grau em R:a) 3x2 � 10x � 7 � 0 b) �4x2 � 9 � 0

61. a) f(x) � 0 para x � �1 ou x � 4; f(x) � 0 para x � �1 ou x � 4; f(x) � 0 para �1 � x � 4b) f(x) � 0 para x � �2 ou x � 2; f(x) � 0 para x � �2 ou x � 2; f(x) � 0 para �2 � x � 2

x � �5 ou x � �2

Para nenhum valor real de x.

m m|5

4� R �

65. | 17

3a) S x x� � �� R{ } b) |

3

2

3

2S x x� �� R � �{ }

66. DESAFIO EM EQUIPE Considerem a função f(x) � x2 � 1. Calculem

os valores reais de x para que se tenha f(x � 2) � f(2).

67.DESAFIO

EM EQUIPE Resolvam as seguintes inequações do 2o grau

em R:

a) 3(x � 1) � 6x � 2 � 2x(x � 3)

b) 2(x � 1)2 � x

c) �2x2 � x � 1 � 0

68. DESAFIO EM EQUIPE Qual é o menor número inteiro positivo que

satisfaz a condição 31

2( 1)?x x x� �

�x � R | �4 � x � 0�

S x x x|1

2ou 5� �� R � �{ }

S x x|1

22� � �� R{ }

S x x x| 11

2� �� R � �ou{ }

7

Exercícios



Outros tipos de inequaçõesVamos aprender a resolver algumas inequações mais complexas.

19. Resolva a inequação simultânea �8 � x2 � 2x � 8 �0 em R.Resolução:

x xx x

x x2x xx x2x xx x

2x xx x2 8x xx x 02 8x xx x 8

2 8x xx xx xx x2 82 8x xx xx xx x2 82 8x xx x �

x xx x2 82 8x xx x��{ ⇒ �� 0

2 0��2x x�� 2 02 022{x2 � 2x � 8 � 0 (I)a � 1 � 0� � 36 � 0x� � 4 e x� � �2SI � {x � R � �2 � x � 4}x2 � 2x � 0 (II)a � 1 � 0� � 4 � 0x� � 2 e x� � 0SII � {x � R � x � 0 ou x � 2}Como temos duas condições que devem ser satis-feitas simultaneamente, vamos determinar a in-tersecção S � SI � SII:

SI

SIIS

�2

�2

4

0 2

0 2 4

S � {x � R � �2 � x � 0 ou 2 � x � 4}

20. Resolva a inequação-produto (x � 3)(x2 � 3x � 4) � 0.Resolução:f(x) � x � 3a � 1 � 0; a � 0x � 3 � 0 ⇒ x � 3 (raiz)g(x) � x2 � 3x � 4a � 1 � 0; a � 0� � 25; � � 0x� � 1 e x� � �4 (raízes da equação)

�

� � x4�2

�

� � x20

�

� x3

�4 1�

�� x

Quadro de resolução:�4 1 3

�4 1 3

� � � �

� � � �

� � � �

f(x)

f(x) � g(x)

g(x)

De acordo com a inequação dada, devemos ter f(x) � g(x) � 0. Então:S � {x � R � �4 � x � 1 ou x � 3}

Para refletirComo são obtidos os sinais de f(x) � g(x)?

21. Resolva a inequação-quociente � ��

x� ��

x x� ��

34 5� �� x xx x� ��

02x xx x em R.Resolução:f(x) � �x � 3a � �1; a � 0raiz: x � 3g(x) � x2 � 4x � 5a � 1; a � 0� � 36 � 0raízes: x� � 5 e x� � �1Restrição: x2 � 4x � 5 � 0 ⇒ x � 5 e x � �1Quadro de resolução:

� � � �

� � � �

� � � �

3 5�1

3

f(x)

5�1

g(x)f(x)g(x)

S � {x � R | x � �1 ou 3 � x � 5}

Fique atento!Analise com atenção o significado das flechas, das bolinhas vazias (�), das bolinhas cheias (�) e do traço mais forte nos dispositivos práticos.

Pelo mesmo processo da multiplicação de números reais: sinais iguais,

produto positivo; sinais diferentes, produto negativo.

x�

�3

x� �

� 5�1

69. Resolva em R:a) �6 � x2 � 5x � 6

b) x xx2 6 8 0

5 0� �

� �

�

c) 7 � x2 � 3 � 4x

d) x

x x2

26 02 3 0

�

� � �

�

�

S � �x � R | �1 � x � 2 ou 3 � x � 6�

S � �x � R | x � �5�

S � �x � R | �2 � x � 3�

S � �x � R | �1 � x � 0�

Exercícios

70. Resolva as seguintes inequações em R:a) (x � 3)(�x2 � 3x � 10) � 0 c) x x

x2 5 6

2 0� �

��

b) (x2 � 3x)(�x � 2) � 0 d) x xx

2 3 24 0� �

��

71. Para quais valores reais de x o produto(x2 � 5x � 6) (x2 � 16) é positivo?

S � �x � R | �2 � x � 3 ou x � 5�S � �x � R | x � 3�

S � �x � R | x � 0 ou 2 � x � 3� S � �x � R | x � 1 ou 2 � x � 4�

x � R | x � �4 ou 2 � x � 3 ou x � 4



9 Conexão entre função quadrática e Física

Movimento uniformemente variado (MUV)O movimento uniformemente variado (MUV) é caracterizado pela função quadrática:

f t at bt c( )f tf t1

22

� �� at1 2

�

que fornece a posição de um objeto em um certo instante t.

Nesse caso, a é a aceleração, b é a velocidade inicial (quando t � 0) e c é a posição inicial do objeto.A representação gráfica do movimento uniformemente variado é uma parábola. Se a aceleração for

positiva, a concavidade da parábola é voltada para cima e, se a aceleração for negativa, a concavidade é voltada para baixo.

Sabemos que velocidade escalar média (v) em um intervalo de tempo é igual a:

t

variação do espaço( )stempo de percurso( )

( )( )∆

No caso do movimento de um objeto dado por uma função f, temos que sua velocidade média no intervalo �t, t � h� é dada por:

v � f t h f

h

( )f tf t h fh f ( )th fh f( )( )h fh f

Para f t at bt c( )1

2,2

� � � temos:

f t h a t h b t h c at( )1

2( ) ( )

1

22 2

� � � � � � � �� 1

22ath ah bt bh c

e

f t h f t at ath ah bt( ) ( )1

2

1

22 2

� � � � � � � bbh c at bt c ath ah bh1

2

1

22 2

� � � � � � �

Assim:

f t h f

h

ah ah bh

hat a

( )f tf t h fh f ( )t1

2 1

2

2

h fh f( )( )h fh f�

� �� ah1 2

� �at h bhhh bh b

Se tomarmos h cada vez menor, o valor da velocidade média se aproximará de at � b. Daí dizermos que v(t) � at � b é a velocidade do ponto (no MUV) no instante t.

Observe que, se t � 0, v(0) � b. É por isso que chamamos b de velocidade inicial.Na função afim v(t) � at � b, a constante a (aceleração) é a taxa de variação da velocidade. Como ela é

constante, o movimento chama-se uniformemente variado.

Fique atento!Um movimento é uniforme quando a

velocidade média tem o mesmo valor, qualquer

que seja o intervalo de tempo considerado.


22. Um automóvel viaja com velocidade de 108 km/h (ou seja, 30 m/s) em um trecho retilíneo de uma estrada quando, subitamente, o motorista vê um acidente na pista. Entre o instante em que o mo-torista avista o acidente e aquele em que começa a frear, o carro percorre 20 m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0 m/s2 mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará o aciden-te se o tiver percebido a, no mínimo, qual distância?

Resolução:

1a maneira:

Como o carro freia com aceleração constante de 5 m/s2, podemos escrever sua aceleração como sendo a � �5 m/s2. Assim, o tempo de frenagem será dado por:

av

t tt5

30 30

56s�

�

�

�

�t tt t� �t

�

��⇒ ⇒⇒ ⇒5� �5

�

Como a distância percorrida é dada por

Sat

2

2

� �� at

v0t � s0 e temos que s0 � 20 m,

v0 � 30 m/s, t � 6 s, a � �5 m/s2, calculamos S:

S( 5)6

230 6 20 90 180 20 11

2

�( 5( 5

� �30 � �6 26 20 90 9� �0 90 90 10 1 � �20 00

Logo, S � 110 m.

2a maneira:

Construímos o gráfico da velocidade � tempo.v (m/s)

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6

t (s)

Pode-se provar que a superfície compreendida en-tre o gráfico e os eixos coordenados tem área A

numericamente igual ao deslocamento S basta o

a observar que s As Assi, .mas As AA vt vmas As A, .mas As AS

s As At

, ., .� �s As AA vA vt vmas As A m om om om omm, ,, ,, ,m om om om oS

tt, ,, ,, ,t At Am om om om om om om om om om om om om om om o

m ou seja, .t Am ou seja, ., .S, ., .� �t Am ou seja

, .

, ., ., ., .

v (m/s)

t (s)v A

t

Nesse caso,

S2

60 30

290.�

��

��

base altura Logo, S � 90 m.

Como o automóvel percorre uma distância de 20 m, antes de acionar os freios, a distância total percorrida será de D � 20 m � 90 m � 110 m.Portanto, o motorista só evitará o acidente caso o tenha avistado a pelo menos 110 m de distância.

23. Um automóvel, partindo do repouso, mantém ace-leração constante de 4 m/s2 durante 5 s. A partir daí, mantém velocidade constante durante 10 s, quando começa a frear, variando sua velocidade em 4 m/s a cada segundo, até parar. Calcule:a) a distância total percorrida pelo automóvel du-

rante todo o seu percurso;b) a velocidade média desse automóvel durante

esse intervalo de tempo.

Resolução:

a) 1a maneira:

Neste caso temos três tipos de movimentos independentes: na primeira parte, o automóvel mantém velocidade variável com aceleração constante (MUV – movimento uniformemente variado). Na segunda parte ele mantém veloci-dade constante (MU – movimento uniforme). E, finalmente, na terceira parte ele volta a ace-lerar (MUV). Assim, temos: Parte 1: movimento uniformemente variado (acelerado)Temos:

v

t

a

s

S t

0

2

0

1S tS t

0

5 s

4 /

0

:

( )S tS t

�

�

�

�

�

m s4 /4 /

Então

ataav t s

2

0 0v tv t s2

� �v t0 00 0v tv t ⇒

⇒ (5)4 5

20 5 0

4 25

251

2

S �4 54 5

� �0 50 5� �04 24 2

� 00

Assim, S1 � 50 m.Como v � v0 � at, temos v1 � 0 � 4 � 5 � 20. Logo, v1 � 20 m/s.

Parte 2: movimento uniformeTemos:v

t

s

S t s

10

0

, (S tS t)0

2 0s2 0S t, (, (S tS tS t)

�

�

�

�2 02 0

constantes

Mas �� .vt

Como v � v1 � 20 m/s, vem:S2 � 0 � 20 � 10 � 200 Logo, S2 � 200 m.

Parte 3: movimento uniformemente variado (retardado)Temos:

a � �4 m/s2 (movimento retardado)

v0 � 20 m/s

v � 0 m/s

s0 � 0



Então:

av

t

v v

t t tt4

205 s0

0

��

��

v vv v

t tt t

��⇒ ⇒⇒ ⇒4� �4

S tat

v t s

St

3S tS t2

0 0v tv t s

3

2

( )S tS t2

(5)4 5

20 5 0 50

� �� at

�0 00 0

�� 4 54 5

� �20 � �5 05 0 �

⇒

⇒ � ��10� �� 0 5� �� 0

Logo, S3 � 50 m.Para calcular a distância total percorrida, deve-mos somar todos os deslocamentos:S � S1 � S2 � S3Logo, S � 50 � 200 � 50 � 300, ou seja, S � 300 m.

2a maneira:

Lembrando que em um gráfico da velocidade por tempo a área da superfície compreendida entre o gráfico e os eixos coordenados é numericamen-te igual ao deslocamento, temos neste caso:

v (m/s)

t (s)

0

20

5 15

10 s 5 s

S

20

Área do trapézio: Aa( )B b

2;�

B bB b B � 20, b � 10

e a � 20.

A(20 10)20

2

600

2300.�

0 10 1� ��

Portanto, S � 300 m.

b) Vamos calcular a velocidade média desse auto-móvel durante esse intervalo de tempo.

1a maneira:

vS

tm

300

2015 / ,� ��

ms

m s/ ,/ , ou seja,

vm � 15 m/s.

2a maneira:

vm300

2015 / ,� ��

ms

m s/ ,/ , ou seja, vm � 15 m/s.

24. Uma partícula está em movimento sobre um eixo a partir do ponto de abscissa �12, com ve-locidade inicial de 7 m/s e aceleração constante de �2 m/s2. Em quanto tempo a trajetória mu-dará de sentido?

Resolução:

1a maneira:

A trajetória da partícula é dada em função do tempo por:

f t at bt c( )f tf t1

22

� �� at1 2

�

Nesse caso, a � �2, b � 7 e c � �12. Assim, temos:f(t) � �t2 � 7t � 12Ponto de máximo:

tb

a2

7

23,5� � �

�

��

2a maneira:

Nesse instante, a velocidade é zero, ou seja, v(t) � 0. Então:

v(t) � at � b ⇒ 0 � �2t � 7 ⇒ t � 3,5 s

Portanto, depois de 3,5 s a partícula mudará de sentido.

72. Uma partícula é colocada em movimento sobre um eixo. Calcule em quanto tempo a trajetória mudará de sentido nos seguintes casos:a) a posição inicial é igual a �3, a velocidade inicial é

de 4 m/s e a aceleração constante é de �2 m/s2;

b) a posição inicial é igual a �16, a velocidade inicial é de 12 m/s e a aceleração constante é de �4 m/s2;

c) a posição inicial é igual a 15, a velocidade inicial é de �8 m/s e a aceleração constante é de 2 m/s2;

d) a posição inicial é igual a �36, a velocidade inicial é de �18 m/s e a aceleração constante é de 4 m/s2.

73. Um automóvel, partindo do repouso, mantém acelera-ção constante de 5 m/s2 durante 8 s. A partir daí, man-tém velocidade constante durante 20 s, quando começa a acelerar novamente, variando sua velocidade em

t � 2 s

t � 3 s

t � 4 s

t � 4,5 s

Exercícios

5 m/s, a cada segundo, até atingir a velocidade de 80 m/s. Calcule a distância total percorrida pelo auto-móvel durante todo o seu percurso.

74. Partindo do repouso, um avião percorre a pista de decolagem com aceleração constante e atinge a velocidade de 360 km/h (100 m/s) em 20 s. Calcule:a) o valor da aceleração desse avião (m/s2);

b) o comprimento mínimo da pista de decolagem para que o avião consiga decolar.

1 440 m

a � 5 m/s2

comprimento mínimo da pista: 3 km

Jamie Cross/Shutterstock/Glow Images


10 Conexão entre função quadrática e progressão aritmética

Já vimos no capítulo anterior que uma função afim f(x) � ax � b transforma uma progressão aritméti-ca em uma outra progressão aritmética. Vimos também que essa propriedade caracteriza a função afim, ou seja, se uma função tem essa propriedade, ela é considerada afim e, reciprocamente, se ela for afim, terá essa propriedade.

Vejamos agora o que ocorre com a função quadrática.

Consideremos a função quadrática f(x) � x2 e a progressão aritmética:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 2n � 1, ...

e vejamos o que ocorre com:

• f(1) � 1 • f(7) � 49 ...

• f(3) � 9 • f(9) � 81 • f(2n � 1) � 4n2 � 4n � 1

• f(5) � 25 • f(11) � 121 • f(2n � 1) � 4n2 � 4n � 1

assim, obtemos a sequência:

1, 9, 25, 49, 81, 121, ..., 4 4 1, 42n n� � nn n2 4 1, ...� �

Essa nova sequência não é uma progressão aritmética, pois a diferença entre dois termos conse-cutivos não é constante. Mas, se tomarmos as diferenças entre os termos consecutivos dessa nova sequência, teremos:

8, 16, 24, 32, 40, ..., 8n, ...

que é uma progressão aritmética de razão 8.

É possível provar que isso ocorre não só com a função quadrática mais simples, f(x) � x2, mas com qualquer função quadrática f(x) � ax2 � bx � c, a � 0. Essa propriedade caracteriza a função quadrá-tica, ou seja, se f é uma função quadrática, então ela transforma uma PA em uma sequência cujas dife-renças dos termos consecutivos formam uma PA. E, reciprocamente, se uma função transforma uma PA em uma sequência cujas diferenças dos termos consecutivos também formam uma PA, então essa função é uma função quadrática.

75. Dada a progressão aritmética 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, n � 1, ... e a função quadrática f(x) � x2 � 1, verifique que a sequência formada pela diferença dos termos conse-cutivos de f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ..., f(n), f(n � 1), ... é uma PA.

76. Dada a progressão aritmética 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 2n � 1, ...e a função quadrática f(x) � x2 � 2x � 1, verifique que a sequência formada pela diferença dos termos con-secutivos de f(1), f(3), f(5), f(7), f(9), f(11), ..., f(2n � 1), f(2n � 1), ... é uma PA.

É uma PA de razão 2.


Exercícios

77. É possível provar que, se r é a razão da primeira PA, então a razão da última PA será 2ar2. Constate esse fato nos dois exercícios anteriores.

78. Dada a progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, ..., 3n � 1, ... e a função quadrática f(x) � 4x2 � 4x � 1:a) verifique que a sequência formada pela diferença

dos termos consecutivos de f(1), f(4), f(7), f(10), f(13), f(16), ..., f(3n � 1), ... é uma PA;

b) determine as razões da primeira e da última PA. Constate que, se r é a razão da primeira PA, a razão da última pode ser encontrada por 2ar2.

77. Exercício 75: razão da primeira PA: 1; razão da última PA: 2; a � 1; 2ar2 � 2 � 1 � 12 � 2 (correto)

Exercício 76: razão da primeira PA: 2; razão da última PA: 8; a � 1; 2ar2 � 2 � 1 � 22 � 8 (correto)


Razão da última PA: 72; a � 4; 2ar2 � 2 � 4 � 32 � 72 (correto).

Razão da primeira PA: 3;

(c ). (c ).


Um poucomais...

Determinação dos zeros por completamento de quadrado

O completamento de quadrado é um procedimento muito útil no estudo da função quadrática.

Analise alguns exemplos:

a) x x x xx

2 2

3

6 2 32

� � � � �

�

� 32

( )� ��

( 3) 92� 3

2� � �x

(somamos e subtraímos 32)

Logo, x2 � 6x � (x � 3)2 � 9. (Veja a figura ao lado.)

b) x x x xx

2 2

5

10 2 52

� � � � �

�

� 52

( )� ��

( 5) 252� 5

2� � �x

(somamos e subtraímos 52)

Assim, x2 � 10x � (x � 5)2 � 25.

c) x x x x2 25

22

5

4� � � � � � �

5

4

5

4( ) ( )2 2

�� 5

4

25

16

2

x( )d) x2 � 8x � (x � 4)2 � 16

e) x x x224

3

2

3

4

9� � � �( )

f) 2x2 � 8x � 3 � 2(x2 � 4x) � 3 � 2�(x � 2)2 � 4� � 3 � 2(x � 2)2 � 8 � 3 � 2(x � 2)2 � 5

De modo geral, temos que:

x px xp p2

2 2

2 4� � � �

somamos e subtraímoss

2

2p

Assunto opcional

x2 3x

93x

Faltam 9 regiões quadradas de área 1. Por isso somamos e subtraímos 9 para “completar o quadrado”.

Fique atento!Somar e subtrair um mesmo

número em uma expressão

não altera seu valor.

Determine os zeros das seguintes funções qua-dráticas, usando completamento de quadrados.a) f(x) � x2 � 6x � 5 b) f(x) � 2x2 � 5x � 3

Resolução:

a) f(x) � x2 � 6x � 5

Equação do 2o grau correspondente: x2 � 6x � 5 � 0.Completando o quadrado, temos:x2 � 6x � 9 � �5 � 9 ⇒ (x � 3)2 � 4Extraindo a raiz quadrada em ambos os mem-bros, temos:

x x

x

3 2

3 2x xx x 1

3 2

3 23 23 23 2

� �x xx x3 2x xx xx x � �

� �3 23 23 23 2

( )x 3 23 2� �3 23 2 ⇒x xx x

⇒ou

5x � �

Zeros da função: �1 e �5.

Verificação:

f(x) � x2 � 6x � 5

f(�1) � (�1)2 � 6(�1) � 5 ⇒

⇒ f(�1) � 1 � 6 � 5 � 0

f(�5) � (�5)2 � 6(�5) � 5 ⇒

⇒ f(�5) � 25 � 30 � 5 � 0

b) f(x) � 2x2 � 5x � 3Equação do 2o grau correspondente: 2x2 � 5x � 3 � 0.Essa equação é equivalente a uma outra em que dividimos todos os termos por 2:

x x x xx x2 2x xx x x xx x5

2

32 22 2

20

5

2

3

2� �x xx xx x2 22 2x x � �x xx xx xx x� ��

2 22 20 � �⇒� ��

Completando o quadrado, temos:

x x2x xx x

2

5

2

25o o q

16

3

2

25

161

16

� �x xx xx x5

� � �� 3

� �

⇒

⇒ ( )x5

4� ��

5

4

1

4⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒x⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒ �⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒

x xx x

x x

5

4

1

4

6

4

3

25

4

1

4

4

4

x xx xx x � ��

x xx xx x� �x xx xx x

x xx x

x xx xx xx x �� 1

Zeros da função: 3

2 e 1.

Verificação:f(x) � 2x2 � 5x � 3

f

f

2 5 3

9

2

2( )( )32 ( )3( )2 ( )( )32 ⇒

⇒ ( )( )32� �2( )( ) �

� � �� 15

� �� 2

3 0�

f(1) � 2 � 12 � 5 � 1 � 3 ⇒ f(1) � 2 � 5 � 3 � 0

ou



Forma canônica da função quadrática

Dada a função quadrática f: R → R, tal que f(x) � ax2 � bx � c, com a � 0, podemos escrever:

f x ax bx c a xb

ax

c

a( ) 2 2

� � � � � �

As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas duas parcelas do desenvolvimento

do quadrado:

xb

ax x

b

a

b

ax

b

a22

2 4

22

2

22

� � � � � � � �( ) xxb

a4

2

2�

Completando o quadrado, temos:

f x ax bx c a xb

ax

b

a( ) 2

2 42 2

2

2� � � � � � � �

bb

a

c

a

2

24�

ou seja,

f x ax bx c a xb

a

ac b

a( )

2

4

42

2 2

2� � � � � �

�( )

(forma canônica)

ou ainda:

f x a xb

a

ac b

a( )

2

4

4

2 2

� � ��( )

Chamando de mb

ak

ac b

a2

4

4,

2

� � ��

e concluímos que k � f(m).

Assim, para todo x � R e a � 0, podemos escrever qualquer função quadrática f(x) � ax2 � bx � c

da seguinte maneira:

f(x) � a(x � m)2 � k, em que mb

ak f

2( )m� � k fk fe

(outra maneira de escrever a forma canônica)

Por exemplo, vamos escrever a função f(x) � x2 � 4x � 6 na forma canônica.

1a maneira:

Completando o quadrado:

x2 � 4x � 6 � (x2 � 4x) � 6 � (x2 � 4x � 4) � 4 � 6 � (x � 2)2 � 10

Logo, f(x) � x2 � 4x � 6 � (x � 2)2 � 10.

2a maneira:

Calculando mb

ak f m

2, ( )� � � e substituindo em f(x) � a(x � m)2 � k:

f(x) � x2 � 4x � 6 → a � 1, b � �4, c � �6

m4

22� �

k � f(2) � 22 � 4 � 2 � 6 � 4 � 8 � 6 � �10

Portanto, f(x) � (x � 2)2 � 10.


Decorrências da forma canônica

1a) Valor mínimo e valor máximo da função f(x) � ax2 � bx � c

Consideramos a função quadrática f(x) � 3x2 � 5x � 2.

Nesse caso, temos:

m k f5

6

5

63

5

65

5

62

1

12

2

� � � � � � �e ( ) ( ) ( )

e a forma canônica é dada por f x x( ) 35

6

1

2.

2

� � �( ) Analisando essa forma canônica, podemos concluir que

o menor valor de f(x) para todo x � R é � 1

2. Isso ocorre

quando x5

6.�

2a) Zeros da função quadrática e raízes da equação correspondente

f x x x f x x( ) 3 5 2 ( ) 35

6

1

122

2

� � � � � �⇒ ( ) (forma canônica)

35

6

1

120 3

5

6

1

12

52 2

x x x� � � � � �( ) ⇒ ( ) ⇒66

1

36

5

6

1

6

2( ) ⇒ ⇒� � � �x

⇒⇒

⇒

5

6

1

61

5

6

1

6

4

6

2

3

x x

x x

� � �

� � � � �

Logo, os zeros de f(x) � 3x2 � 5x � 2 são 1 e 2

3, que são também as raízes da equação 3x2 � 5x � 2 � 0.

Fique atento!De modo geral, da forma canônica f(x) � a(x � m)2 � k, concluímos que, para qualquer x � R:a) se a � 0, o menor valor de

f(x) é k � f(m);b) se a � 0, o maior valor de

f(x) é k � f(m).

Fique atento!De modo geral, da forma canônica de f(x) � ax2 � bx � c, com a � 0, que é a(x � m)2 � k

com mb

a2� � e k � f(m), podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função e,

portanto, às raízes da equação do 2o grau ax2 � bx � c � 0. Observe as equivalências:

ax2 � bx � c � 0 ⇔ a(x � m)2 � k � 0 ⇔ xb b ac

a

4

2

2

��

(fórmula que fornece as

raízes da equação do 2o grau ax2 � bx � c � 0)

Exercícios adicionais

1. Faça o completamento de quadrado em:a) x2 � 2x b) x2 � 6x � 16

2. Usando o completamento de quadrado, determine os zeros das seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 10x � 21 b) f(x) � x2 � 2x � 3

3. Escreva na forma canônica as seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 2x � 3 b) f(x) � 2x2 � 8x � 5

(x � 1)2 � 1 (x � 3)2 � 25

�3 e �7 3 e �1

f(x) � (x � 1)2 � 4 f(x) � 2(x � 2)2 � 13

4. DESAFIO

EM DUPLA Determinem, se existirem, os zeros das funções quadráticas:a) f(x) � (x � 2)2 � 9 b) f(x) � �(x � 1)2 � 4

5. DESAFIO

EM DUPLA Determinem o menor valor que a função f(x) � 2(x � 1)2 � 10 pode assumir para todo x � R.

6. DESAFIO

EM DUPLA Qual é o maior valor que a função f(x) � �3x2 � x � 1 pode assumir para qualquer x � R? (Dica: Usem a forma canônica.)

�1 e 5 �3 e 1

10

x1

6� �


Generalização do gráfico da função definida por f(x) � ax2, a � 0

É possível demonstrar que o gráfico da função quadrática f(x) � ax2, a � 0, é a parábola cujo foco é

Fa

0,1

4( ) e cuja diretriz é a reta horizontal ya

1

4.� �

a � 0 a � 0

x

y

dV

F

y � �1

4a

x

y

dV

F

y � �1

4a

Concavidade da parábola voltada para cima. Concavidade da parábola voltada para baixo.

Equação da parábola que tem vértice na origem

Consideremos a parábola que tem como diretriz a reta de equação y � �c e como foco o ponto F(0, c). Vamos de-monstrar que a equação dessa parábola é dada por x2 � 4cy.

Pela definição, temos: d(P, F) � d(P, Q).

( 0) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x y c x x y c� � � � � � � ⇒

⇒ x2 � (y � c)2 � (y � c)2 ⇒

⇒ ⇒2 22 2 2 2 2x y cy c y cy c� � � � � �

⇒ x2 � 4cy

em que c é a distância focal.Nesse caso, o vértice está na origem O(0, 0) e constatamos

novamente que a parábola é simétrica em relação ao eixo y, que é o eixo da parábola.

Função quadrática e a equação da parábola

A mesma parábola do item anterior, cuja equação é x2 � 4cy, é gráfico da função quadrática y � f(x) � ax2, em que a, como vimos, determina se a parábola é mais “fechada” ou mais “aberta”. Quanto maior for o a, mais “fechada” é a parábola, ou seja, os valores de y crescem mais rapida-mente em relação aos de x.

E qual é a relação entre a distância focal c e o a?Substituindo y � ax2 em x2 � 4cy, temos que:

x2 � 4cy ⇒ x2 � 4c � ax2 ⇒ ca1

4�

Isso significa que c e a são inversamente proporcionais. Assim, quanto menor for a distância focal c, maior será o a e, portanto, mais fechada será a parábola, e vice-versa.

A equação da parábola será retomada e seu estudo aprofundado no volume 3 desta coleção.

x

y

O

dy � �cQ(x, �c)

P(x, y)F(0, c)

Para refletir

Parábolas com eixo de

simetria horizontal

são funções? Por quê?

Não, porque uma função não pode ter duas imagens para um mesmo domínio, e essas parábolas têm dois y para cada x, excetuando-se o vértice.


PensandoENEMno

1. Química e Física

A matéria pode se apresentar em três estados fí-sicos (ou fases): sólido, líquido e gasoso (há outros menos conhecidos, como o plasma e o coloide). Ela pode passar de um estado a outro mediante alte-rações em sua temperatura, e essas mudanças de estado recebem nomes específicos, por exemplo: • fusão: mudança de sólido para líquido;• ebulição: mudança de líquido para gasoso (va-

porização tumultuosa, com formação de bolhas).Algumas temperaturas em que se iniciam as mu-danças de estado são: • ponto de fusão: em que se inicia a fusão; • ponto de ebulição: em que se inicia a ebulição. Se a matéria formada por uma única substância (no estado sólido) é aquecida, sua temperatura aumenta até que se inicie a fusão, e permanece constante até que toda a matéria passe para o estado líquido. Em seguida, se a matéria conti-nuar sendo aquecida, a temperatura aumentará novamente até atingir o ponto de ebulição e permanecerá constante até toda a matéria pas-sar para o estado gasoso, quando então voltará a subir. Suponha que determinada substância, inicial-mente no estado sólido, tem sua curva de aque-cimento mostrada no gráfico abaixo.

Temperatura (°C)

Tempo (min)

30

10 20 30 40 50 60

60

90

0

De acordo com essa curva, assinale a afirmação correta.a) As fases líquida e sólida aparecem simultanea-

mente durante 20 min.

b) O ponto de ebulição é alcançado quando a temperatura atinge os 30 °C.

c) O intervalo de tempo em que a substância está somente no estado líquido é de 10 min.

d) O ponto de fusão dessa substância ocorre quando a temperatura chega a 0 °C.

e) Entre 50 min e 60 min, temos uma função afim definida por f: �50, 60� → R tal que f(t) � 6t � 270.

2. O estádio Nelson Mandela Bay Multipurpose Stadium foi construído especialmente para a Copa do Mundo de Futebol Masculino de 2010, na África do Sul. Ele fica às margens do lago North End, em Port Elizabeth. O estádio tem capacidade para 48 mil espectadores e altura de cerca de 40 m. São seis níveis de arquiban-cada no lado leste e cinco níveis nos demais lados. Existem também dois telões de 12,7 m � 7,2 m.

Adaptado de: <www.rio.rj.gov.br/destatic/10112/757839/

DLFE-194018.pdf/cadped1LP6anoAluno.pdf>. Acesso em: 8 jun. 2010.

No dia 2 de julho de 2010, na partida entre Brasil e Holanda, o ingresso custava entre R$ 132,00 e R$ 525,00, dependendo do assento. Supondo que to-dos os espectadores presentes compraram seus in-

gressos pelo mesmo valor de R$ 132,00 e que 2

3 desses

espectadores eram turistas, a alternativa correta é:a) Se x (x � 48 000) torcedores forem ao estádio,

a renda bruta y gerada pelos turistas será dada por y � 132x reais.

b) Se x (x � 48 000) torcedores forem ao está-dio, a renda bruta y que deixou de ser arre-cadada devido aos lugares vagos será dada por y � 6 336 000 � 132x reais.

c) O valor do ingresso pago por um torcedor

sul-africano equivale a 2

3 do valor pago por

um turista.

d) O valor bruto arrecadado com os torcedores sul--africanos é igual à terça parte do valor arreca-dado com os torcedores turistas.

e) Os torcedores sul-africanos representam 50% do total de torcedores.

3. A bola da Copa do Mundo de 2010, a Jabulani, ficou famosa por sua trajetória inusitada, dificultando bas-tante a vida dos goleiros. Jabulani é uma palavra da língua Bantu isiZulu, um dos 11 idiomas oficiais da África do Sul. Essa bola tem apenas oito gomos em formato 3D. Seu design possui traços africanos, mis-turados numa diversificação de 11 cores – o branco predomina. As cores foram escolhidas para re-presentar os 11 jogadores de cada sele-ção, os 11 idiomas oficiais da África do Sul e as 11 tribos que formam a população sul-africana.Adaptado de: <http://www.estadao.com.br/

noticias/esportes,adidas-apresenta-jabulani--bola-oficial-da-copa-de-2010,476783,0.htm>.

Acesso em: 28 jan. 2013.

Jabulani, a bola oficial da

Copa do Mundo de 2010.

x

x

Imag

o S

po

rt/

Lati

nsto

ck


Essa bola é mais rápida e faz mais curvas do que as bolsas usadas em copas anteriores. Suponha que os pesquisadores concluíram que, em co-branças de falta a certa distância do gol, a velo-cidade instantânea da jabulani seria descrita

pela função v t t t( )15

8( 8),�

�� em que t é o

tempo em segundos contado a partir do chute na jabulani (t � 0) e v(t) é dada em m/s. Qual é a velocidade máxima adquirida pela jabulani, nas condições descritas no enunciado?a) 30 km/h

b) 54 km/h

c) 72 km/h

d) 96 km/h

e) 108 km/h

4. Consideremos que o Aeroporto Internacional Pre-sidente Castro Pinto, na cidade de Bayeux, PB, te-nha seu terminal de passageiros na forma de um retângulo cujo perímetro seja de 360 m. Analise as afirmações abaixo e assinale a correta.a) Com o perímetro do terminal de passageiros de

360 m, a área de 8 000 m2 é a máxima possível.

b) Para que a área seja máxima, a maior dimensão do terminal de passageiros deverá ser de 100 m.

c) Considerando-se o terminal com a maior área possível e 3 m2 por passageiro e sua bagagem, a capacidade máxima do terminal é de 2 700 pessoas.

d) Para que tenhamos maior capacidade de pas-sageiros, considerando 3 m2 por pessoa e sua bagagem, as dimensões do terminal devem ser 95 m � 85 m.

e) Se o terminal estivesse com sua capacidade má-xima de pessoas e cada uma levasse para casa uma lembrança de R$ 2,00 de uma loja dentro do aeroporto, a arrecadação dessa loja seria de R$ 5 350,00.

5. Química, Biologia e Geografia

O sequestro de carbono é a absorção de grandes quantidades de gás carbônico (CO2) presentes na atmosfera. A forma mais comum de sequestro de carbono é naturalmente realizada pelas florestas.Na fase de crescimento, as árvores demandam uma quantidade muito grande de carbono para se desenvolver e acabam tirando esse elemento do ar. Esse processo natural ajuda a diminuir conside-ravelmente a quantidade de CO2 na atmosfera: cada hectare de floresta em desenvolvimento é capaz de absorver nada menos que 150 a 200 to-neladas de carbono. É por essas e outras que o plantio de árvores é uma das prioridades para a

diminuição de poluentes na atmosfera terrestre. “A recuperação de áreas plantadas, que foram de-gradadas durante décadas pelo homem, é uma das possibilidades mais efetivas para ajudar a comba-ter o aquecimento global”, afirma Carlos Joly, do Instituto de Biologia da Unicamp.

Superinteressante, n. 247. São Paulo: Abril, 2007. Disponível em: <http://super.abril.com.br/ecologia/sequestro-carbono-447349.shtml>.

Acesso em: 29 ago. 2010.

Consideremos que, em uma determinada região, a função f que fornece o acréscimo do sequestro anual de CO2 da atmosfera (em milhões de tone-ladas) em função do tempo (em anos) seja dada

por: f tt t

( )135

16

27

85

27.

2

� � � �

Considere t � 0 para o ano 2000, t � 1 para 2001, e assim por diante. Por exemplo, no ano de 2040 o acréscimo do sequestro de carbono será de f(40) � 15 milhões de toneladas. De acordo com essa fórmula, o acréscimo máximo do sequestro anual de carbono nessa região será, em milhões de toneladas, de:a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 19.

6. (Enem) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o qua-drado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho.Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele?a) E

i0

b) E

i0

c) E

i0

d) E

i0

e) E

i0

x

x

x

x

« Veja a seção Caiu no Enem no final do livro.


Vestibulares de Norte a Sul

Regi ão Norte

1. (Ufam) Qual das representações gráficas abaixo melhor representa a aplicação f: Z → R definida por f(x) � x � 2?

a) d)

b) e)

c)

2. (Ufac) Um agiota empresta R$ 500,00 a uma taxa de 8% ao mês, a juros simples. A função J(t) que dá o valor dos juros no tempo t é:a) J(t) � 5t.

b) J(t) � 100 � 7,5t.

c) J(t) � 150 � 5t.

d) J(t) � 40t.

e) J(t) � 500 � 40t.

3. (Ufam) As duas raízes da função do 2o grau são �1

2

e 1

3. Então f(x) é igual a:

a) 6x2 � x � 1.

b) 6x2 � x � 1.

c) 6x2 � x � 1.

d) 6x2 � 2x � 2.

e) 6x2 � 2x � 2.

Região Nordeste

4. (UFPB/PSS) Considere a função invertível f: R → R definida por f(x) � 2x � b, onde b é uma constante. Sendo f �1 a sua inversa, qual o valor de b, sabendo que o gráfico de f �1 passa pelo ponto A(1, �2)?a) �2 c) 2 e) 5

b) �1 d) 3

5. (UFC-CE) O conjunto solução, nos números reais, da

inequação 1

1

�

�

x

x � �1, é igual a:

a) �x � R | x � �1�. d) �x � R | x � 2�.

b) �x � R | x � 0�. e) �x � R | x � 3�.

c) �x � R | x � 1�.

6. (UFPB/PSS) A função L(x) � �100x2 � 1 200x � 2 700 representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações:

I. Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro.

II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo.

III. Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo.

Está(ão) correta(s) apenas:

a) I. c) III. e) II e III.

b) II. d) I e II.

Região Centro-Oeste

7. (UEG-GO) Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2 700,00, enquan-to o custo para produzir 1 000 unidades é de R$ 3 000,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão c(x) � qx � b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine:

a) os valores de b e de q;

b) o custo de produção de 800 camisetas.

8. (UnB-DF) Os bancos A e B oferecem, cada um, duas opções de investimentos: X e Y. Designando por D uma quantia a ser investida, então pD e qD — em que 0 � p, q � 1 e p � q � 1 representam as quantias a serem investidas nas opções X e Y, respectivamente. Tendo em vista o risco de perdas resultantes de incer-tezas do mercado financeiro, um analista de investi-mentos propôs, para cada banco, uma função f(x),

y

x

2

2

x y

x

2

�2

y

x

2

�2

y

x

2

2

y

x

2

2

x

x

x

x

x

b q2400� �e3

5R$ 2 880,00


definida para 0 � x � 1, tal que f(p) mede o risco de se investir a quantia pD na opção X e f(q) mede o ris-co de se investir a quantia qD na opção Y. Nessa situa-ção, o risco total do investimento, i.e., o risco de se in-vestir a quantia D, é calculado pela soma f(p) � f(q). Segundo o analista, quanto menor for o valor de f(p) � f(q), menor será o risco.O quadro abaixo apresenta as funções de risco f(x) para cada banco.

Banco f(x)

A 0,3x2 � 0,6x � 0,40

B 0,5x2 � 0,5x � 0,25

De acordo com as informações acima, julgue os itens que se seguem.1) Para os bancos A e B, existe um valor de p para o

qual os riscos de se investir a quantia pD na opção X de cada banco são iguais.

2) Os investimentos na opção X realizados no banco A estão sujeitos a maiores riscos que aqueles rea-lizados na mesma opção no banco B.

3) No banco A, o risco total de um investimento em que se aplica pD na opção X e (1 � p)D na opção Y é igual a 0,6p2 � 0,6p � 0,5.

4) No banco B, para que determinada quantia inves-tida sofra o menor risco total possível, metade deve ser investida na opção X e a outra metade, na opção Y.

Região Sudeste

9. (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos bran-cos na população dos Estados Unidos era de 70% e outras etnias — latinos, negros, asiáticos e outros — constituíam os 30% restantes. Projeções do órgão do governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%.

Fonte: Newsweek International, 29 abr. 2004.

Admite-se que essas porcentagens variam linear-mente com o tempo.Com base nessas informações, é correto afirmar que os brancos serão a minoria na população norte--americana a partir de:a) 2050. c) 2070.

b) 2060. d) 2040.

10. (Ufscar-SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua tra-jetória descrita pela equação h(t) � �2t2 � 8t (t � 0),

em que t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:a) o instante em que a bola retornará ao solo;

b) a altura máxima atingida pela bola.

Região Sul

11. (UEL-PR) Um camponês adquire um moinho ao preço de R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma de-preciação linear no preço desse equipamento. Conside-re que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações é correto afirmar:a) Em três anos, o moinho valerá 50% do preço de

compra.b) Em nove anos, o preço do moinho será múltiplo de 9.c) É necessário um investimento maior que R$ 450,00

para comprar esse equipamento após sete anos.d) Serão necessários dez anos para que o valor des-

se equipamento seja inferior a R$ 200,00.e) O moinho terá o valor de venda ainda que tenham

decorrido treze anos.

12. (UFPR) O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Supondo que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) � 60x � x2 e C(x) � 10(x � 40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas: I. O número mínimo de itens x que devem ser

produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10.

II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível,

deve produzir 30 itens por dia. IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá

prejuízo.Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.c) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

13. (UFSM-RS) O conjunto solução da inequação

x x

x x

2

29

1 1

3

� �

� �� é dado por:

a) [�3, 3[ d) [�2, 2]

b) ]�, �2] � [2, �[ e) [2, �[

c) ]�3, �2] � [2, 3[

V

F

V

V

x

t � 4 s

yv � 8 m

x

x

x

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