Função do 2.º grau Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2.º grau, qualquer...
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Função do 2.º grau
Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2.º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma
f(x) = ax2 + bx + c
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.O gráfico de uma função do 2.º grau é uma curva chamada parábola.
Tipos de parábolas:
Concavidade para cima Concavidade para baixo
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Raízes (zeros) da função do 2.º grau
Para determinar as raízes (ou zeros) da função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, basta calcular os valores de x que tem imagem igual a zero.
Podemos estabelecer uma relação entre o discriminante ∆ e a intersecção da parábola com o eixo x.
2aΔb
x
Ou seja, devemos resolver a equação do 2º grauax2 + bx + c = 0.
E, para isso, usamos a fórmula de báskara.
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• Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x.
ou
ou
• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
ou
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Estudo da concavidade da parábola
Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.
Quando a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
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Vértice da parábola
O vértice V (xv, yv) é um ponto fundamental da parábola, o único ponto pertencente ao eixo de simetria.
1 cm 1 cm
2 cm 2 cm
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• Calculamos a média aritmética das raízes x’ e x’’, para obtermos a abscissa (xv) desse vértice.
• Em seguida, substituímos xv, na função e encontramos a ordenada do vértice yv.
Outra maneira de obter o vértice V (xv, yv) de uma parábola da equação f(x) = ax2 + bx + c, é:
2ab
xv 4aΔ
yv
Para determinar o vértice da parábola, fazemos o seguinte:
2'x'x'
xv
*(Demonstração das fórmulas no livro 2 pág. 31)
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Outro ponto importante da parábola é o ponto de intersecção da função com o eixo y.
Para determiná-lo, basta substituir x = 0 na função
f(x) = ax2 + bx + cf(0) = a.02 + b.0 + cf(0) = c
(0, c )
y
x
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Esboço do gráfico da função do 2.º grau
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Construção do gráfico da função do 2.º grau
Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8, com x e y IR.
1º passo: determinar as raízes da função
x2 – 6x + 8 = 0
∆ = (-6)2 – 4.1.8 = 36 -32∆ = 4
2'x'
4x'
2.146)(
x
2º passo: estudo da concavidade
a = +1 concavidade para cima
a = 1b = -6c = 8
* Exercício 6 pág 27 (livro 2)
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3º passo: determinar o vértice da parábola
32
24V
2'x'x'
V
x
x
Vy = 32 – 6 . 3 +
8
Vy = 9 – 18 + 8
Vy = -1
V = (3, -1)
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y (quando x=0)
f(x) = x2 - 6x + 8
f(0) = 02 – 6.0 + 8
f(0) = 8
Temos então o ponto (0,8)
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5º passo: esboço do gráfico
f(x) = x2 – 6x + 8Termo independente
Raízes da função
Vértice
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Construção do gráfico da função do 2.º grauPasso a passo
1º passo: determinar as raízes da função
2º passo: estudo da concavidade
3º passo: determinar o vértice da parábola
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y (quando x=0)
5º passo: esboço do gráfico