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- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

1- Existem três planos ortogonais nos quais a tensão tangencial é nula. 2- As tensões atuantes (tensões principais) terão três valores: Um máximo, um mínimo e um

terceiro entre os dois valores. Figura 1.

Figura 1- Análise do estado geral de tensões.

Se virmos o elemento em três dimensões, isto é, nos planos y’-z’, x’-z’ e x’-y’, Figuras 2.a, 2.b e 2.c, poderemos usar o círculo de Mohr para determinar a tensão de cisalhamento máxima no plano para cada caso.

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Figura 2- Elemento em três dimensões.

3- O diâmetro do círculo de Mohr compreende as tensões principais intσ e minσ para o caso

mostrado na Figura 2.a. Pelo círculo, a tensão de cisalhamento máxima no plano é dada por:

( ) ( ) 2minintmax'z'y σστ −= (1) A tensão normal média é dada por:

( )2

minintmed

σσσ

+= (2)

Como apresenta a Figura 2.e.

Figura 2 – Tensão de cisalhamento máxima para a Figura 2.a.

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O elemento com esses componentes de tensão deve ser orientado a 45º em relação à posição do elemento mostrado na Figura 2.a. Os círculos de Mohr para os elementos das Figuras 2.b e 2.c também foram traçados na Figura 2.d. Os elementos com orientação de 45º e sujeitos aos componentes das tensões de cisalhamento máxima no plano e normal média são apresentados nas Figuras 2.f e 2.g, respectivamente.

Figura 2 – Tensão de cisalhamento máxima para a Figura 2.b e 2.c, respectivamente. Comparando-se os três círculos da Figura 2.d vê-se que a tensão de cisalhamento máxima absoluta será definida pelo círculo que tenha o maior raio, Figura 2.b. Dessa forma tem-se:

2minmax

maxabs

σστ

−= (3)

E a tensão normal média associada.

2minmax

médσσ

σ+

= (4)

4- A tensão tangencial máxima, sobre qualquer plano que poderia ser passado através do ponto,

é a semidiferença entre a tensão principal máxima e mínima e atua sobre planos bissetrizes entre os planos das tensões normais máximas e mínimas;

5- Quando existe um estado plano de tensões, uma das tensões principais é nula. Se os valores

de 1σ e 2σ têm o mesmo sinal, então a terceira tensão principal é zero, 03 =σ .

6- A tensão tangencial máxima pode ser:

221 σσ −

201 −σ ou

202 −σ (5)

Dependendo da magnitude relativa e dos sinais das tensões principais. 7- Suponha que o material seja submetido a um estado de tensão plana, tal que as tensões no

plano sejam representadas como maxσ e intσ , nas direções x’e y’, respectivamente; enquanto a tensa fora do plano na direção z’é 0min =σ , Figura 3.a. Os círculos de Mohr que descrevem esse estado de tensão para as orientações do elemento em torno de cada eixo de coordenadas são mostrados na Figura 3.b

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Figura 3 - Elemento submetido a um estado plano de tensão.

Vê-se através da Figura 3 que apesar da tensão de cisalhamento máxima no plano ser ( ) ( ) 2intmaxmax'y'x σστ −= , esse valor não representa a tensão de cisalhamento máxima absoluta à qual o material está sujeito. Em vez disso, pela equação (3) , ou pela Figura 3.b, temos:

( )22

0 máxmaxmax'z'x

maxabs

σσττ =

−== (6)

Caso uma das tensões principais tenha o sinal contrário a da outra, as tensões serão representadas por maxσ e minσ e a tensão principal fora do plano por 0int =σ . Os círculos de Mohr que descrevem, o estado de tensão para as orientações do elemento em torno de cada eixo de coordenadas são mostrados na Figura 4.b Neste caso:

( ) ( ) 2minmaxmax'y'xmaxabs σσττ −== (7)

Figura 4 - Elemento submetido a um estado plano de tensão.

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Calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta, como ressaltado aqui, é importante quando se

projetam elementos feitos de material dúctil, visto que a resistência do material depende de sua

capacidade de suportar a tensão de cisalhamento .

Exercícios:

1- Em virtude do carregamento aplicado, o elemento no ponto da estrutura da Figura 5.a está

sujeito ao estado plano de tensões mostrado. Determinar as tensões principais e a tensão de

cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.

Figura 5. Elemento sujeito a um estado plano de tensões.

Resposta: psi2,31max =σ , 0int =σ , psi2,51min −=σ , psi2,41maxabs =τ , psi10med −=σ

Figura 5- Resposta do exercício 1.

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2- O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico da Figura 6 está submetido a um estado

plano de tensões. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.

Figura 7 – Vaso de Pressão.

MPa16

MPa16

méd

maxabs

=

=

σ

τ

Figura 6- Resposta do Exercício 2.

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3- Desenhar os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão .

Figura 7 – Paralelepípedos de Tensões.

Respostas:

a) 0,ksi6 minintmax === σσσ

b) MPa400MPa50 minintmax −=== σσσ

c) psi100psi200,psi600 minintmax === σσσ

d) ksi9ksi7,0 minintmax −=−== σσσ

e) MPa30minintmax −=== σσσ

Referências Bibliográficas:

1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

Observações:

1- O presente texto é baseado nas referências citadas.

2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.