Cálculo IIIAula 24 – Teoremas e Propriedades das Séries de Fourier.

Marcos Eduardo ValleDepart. Matemática Aplicada

IMECC – Unicamp

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 1 / 16

Introdução

Na aula anterior, apresentamos a série de Fourier.

Nos pontos em que ela converge, temos uma função

f(x) =a0

2+

∞∑m=1

[am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)], (1)

chamada série de Fourier de f .

A função f dada em (1) é periódica com período T = 2L e oscoeficiente satisfazem

am =1L

∫ L

−Lf(x) cos

(mπxL

)dx, ∀m = 0, 1, 2, . . . , (2)

bm =1L

∫ L

−Lf(x) sen

(mπxL

)dx, ∀m = 1, 2, . . . . (3)

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 2 / 16

Convergência da Série de Fourier

Na aula de hoje, vamos admitir que temos uma função periódica f comperíodo T = 2L . Vamos admitir também que podemos calcular oscoeficientes am e bm usando (2) e (3).

Nosso objetivo é saber se a série de Fourier de f converge de fato paraa função f num ponto x.

Em outras palavras, conhecendo os coeficientes am e bm,determinamos a função f?

Existem funções cujas séries de Fourier não convergem para o valor dafunção em certos pontos.

Podemos garantir a convergência, em particular, considerando funçõesseccionalmente contínuas.

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 3 / 16

Definição 1 (Função Seccionalmente Contínua)

Uma função f é dita seccionalmente contínua em um intervalo [a, b] seexiste um número finito de pontos a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b,chamada partição do intervalo [a, b], tal que

1. f é contínua em cada um dos subintervalos xi−1 < x < xi .

2. Os limites laterais nas extremidades de cada subintervalo existem esão finitos.

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 4 / 16

Teorema 2 (Teorema da Convergência)

Seja f uma função periódica com período T = 2L. Se f e f ′ sãoseccionalmente contínuas no intervalo −L ≤ x ≤ L, então a série deFourier de f

s(x) =a0

2+

∞∑m=1

[am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)],

com am e bm dados respectivamente por (2) e (3), está bem definida esatisfaz

s(x) =12

[limξ→x+

f(ξ) + limξ→x−

f(ξ)], ∀x.

Em palavras, s(x) é o valor médio dos limites à esquerda e à direita def em x.

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 5 / 16

Exemplo 3

A série de Fourier da função periódica f , com período T = 6, definidapor

f(x) =

0, −3 ≤ x < −1,

1, −1 ≤ x ≤ +1,

0, +1 < x < 3,

∀x ∈ [−3.3],

é

f(x) ≡ s(x) =13+

∞∑m=1

2mπ

sen(mπ

3

)cos

(mπx3

).

Nos próximas folhas apresentamos f (preto), sn (vermelho), e o erroabsoluto |f − sn | (azul), em que

sn(x) =13+

n∑m=1

2mπ

sen(mπ

3

)cos

(mπx3

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 6 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s1|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s5|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s10|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s15|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s20|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s25|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s30

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s30|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s35

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s35|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s40

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|f-s40|

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 7 / 16

Observação

Apesar de sn(x) convergir para o valor médio dos limites à esquerda eà direita de f em um ponto x, observamos que a série de Fourierapresenta oscilações próximas aos pontos de descontinuidade de f .

Essas oscilações são referidas como fenômeno de Gibbs.

Estudos sobre o fenômeno de Gibbs podem ser encontrados em livrostextos especializados em análise de Fourier.

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 8 / 16

Funções Pares e Ímpares

Definição 4

Uma função f : R→ R é dita:• par, se f(−x) = f(x).• ímpar, se f(−x) = −f(x).

Cuidado:

Uma função f pode não ser par nem ímpar!

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 9 / 16

Operações com Funções Pares e Ímpares

A soma/diferença e o produto/quociente de funções pares e ímparessatisfazem as seguintes tabelas:

Soma/Diferença Produto/Quocientepar ímpar

par par —ímpar — ímpar

par ímparpar par ímpar

ímpar ímpar par

Teorema 5

• Se f é uma função par, então∫ L

−Lf(x)dx = 2

∫ L

0f(x)dx.

• Se f é uma função ímpar, então∫ L

−Lf(x)dx = 0.

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 10 / 16

Definição 6 (Série de Fourier em Cossenos)

A série de Fourier em cossenos de uma função f é

a0

2+

∞∑m=1

am cos(mπx

L

). (4)

A série de Fourier em cossenos define uma função par!

Teorema 7

A série de Fourier de f coincide com a série de Fourier em cossenos see somente se f for uma função par. Nesse caso, os coeficientessatisfazem

am =2L

∫ L

0f(x) cos

(mπxL

)dx, ∀m = 0, 1, . . . .

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 11 / 16

Definição 8 (Série de Fourier em Senos)

A série de Fourier em senos de uma função f é

∞∑m=1

bm sen(mπx

L

), (5)

A série de Fourier em senos define uma função ímpar!

Teorema 9

A série de Fourier de f coincide com a série de Fourier em senos se esomente se f for uma função ímpar. Nesse caso, os coeficientessatisfazem

bm =2L

∫ L

0f(x) sen

(mπxL

)dx, ∀m = 1, . . . .

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 12 / 16

Exemplo 10

Seja f(x) = x, para 0 < x ≤ L . Defina f no restante da reta de modo aser periódica com período T = 2L . Encontre a série de Fourier destafunção admitindo:

(a) f é par.

(b) f é ímpar.

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 13 / 16

Resposta:

(a) Se f é uma função par, então a série de Fourier de f coincide com asérie de Fourier em cossenos:

f(x) =L2+

2Lπ2

∞∑m=1

1(2m − 1)2

cos

((2m − 1)πx

L

).

(b) Se f é uma função ímpar, então a série de Fourier de f coincide coma série de Fourier em senos:

f(x) =2Lπ

∞∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 13 / 16

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s1

Extensão periódica par de f com L = 1:

sn =L2+

2Lπ2

n∑m=1

1(2m − 1)2

cos

((2m − 1)πx

L

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 14 / 16

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s5

Extensão periódica par de f com L = 1:

sn =L2+

2Lπ2

n∑m=1

1(2m − 1)2

cos

((2m − 1)πx

L

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 14 / 16

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s10

Extensão periódica par de f com L = 1:

sn =L2+

2Lπ2

n∑m=1

1(2m − 1)2

cos

((2m − 1)πx

L

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 14 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s1

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s5

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s10

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s15

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s20

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s25

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s30

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s35

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

s40

Extensão periódica ímpar de f com L = 1:

sn = f(x) =2Lπ

n∑m=1

(−1)m+1

msen

(mπxL

).

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 15 / 16

Considerações Finais

Na aula de hoje apresentamos vários resultados e discutimos diversaspropriedades das séries de Fourier.

Destacamos, em particular, que a série de Fourier coincide com a sériede Fourier em cossenos (senos) se e somente se f for uma função par(ímpar).

Também comentamos sobre a convergência de série de Fourier eilustramos o chamado fenômeno de Gibbs.

Muito grato pela atenção!

Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 16 / 16