Cleber Carvalho Pereirarepositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/320762/1/Carval...Cleber Carvalho...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

Cleber Carvalho Pereira

Estudo da Altura de Líquido em Escoamento

Estratificado Gás-Líquido utilizando Transdutor

de Pressão Diferencial

CAMPINAS

2016

Cleber Carvalho Pereira

Estudo da Altura de Líquido em Escoamento

Estratificado Gás-Líquido utilizando Transdutor

de Pressão Diferencial

Orientador: Prof. Dr. Luiz Felipe Mendes de Moura

CAMPINAS

2016

Tese de Doutorado apresentada à

Faculdade de Engenharia Mecânica da

Universidade Estadual de Campinas como parte

dos requisitos exigidos para obtenção do título de

Doutor em Engenharia Mecânica, na Área de

Térmica e Fluidos.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

TESE DE DOUTORADO

Estudo Experimental da Altura de Líquido em Escoamento

Estratificado Gás-Líquido utilizando Transdutor de Pressão

Diferencial

Autor: Cléber Carvalho Pereira

Orientador: PROF. Dr. Luiz Felipe Mendes de Moura.

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Tese:

Prof. Dr. Luiz Felipe Mendes de Moura, Presidente

Instituição: FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Antonio Carlos Bannwart

Instituição: FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Marcelo Sousa de Castro

Instituição: DE/UNICAMP

Prof. Dr. Rogério Augusto Gasparetto Sé

Instituição: UNIP/Campinas

Prof. Dr. Ricardo dias Martins de Carvalho

Instituição : UNIFEI/Itajubá

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de

vida acadêmica do aluno.

Campinas, 15 de julho de 2016.

Dedicatória

Dedico este trabalho a Deus, aos meus familiares e amigos.

Agradecimentos

Ao meu orientador Luiz Felipe Mendes de Moura pela confiança e apoio dado durante o

trabalho.

Ao professor Marcelo Sousa de Castro pelas sugestões que contribuíram ao trabalho e ao

professor Antonio Carlos Bannwart pela generosidade em oferecer o Labpetro para os testes

experimentais.

Aos pesquisadores do Labpetro Natache Arrifano Sassim e Jorge Luiz Biazussi, técnicos

Cláudio Varani e Matheus Gervais e demais funcionários do Labpetro pelo suporte na pesquisa.

E por fim, por todas as pessoas que conheci na UNICAMP e em Campinas que de alguma

forma me ajudaram nesta empreitada, muito obrigado.

RESUMO

PEREIRA, C. C. Estudo da Altura de Líquido em Escoamento Estratificado Gás-Líquido

utilizando Transdutor de Pressão Diferencial. Tese (Doutorado) – Faculdade de Engenharia

Mecânica, Universidade de Campinas, Campinas 2016.

O escoamento estratificado gás-líquido ocorre com frequência em processos industriais tais como

exploração e produção de petróleo e gás, sendo observados em colunas de produção,

gasodutos, etc. Em determinadas situações, a estabilidade deste padrão se faz necessária uma vez

que sua transição pode acarretar maiores custos operacionais e de projeto. São encontradas várias

técnicas na literatura que visam, dentre as variáveis importantes do escoamento, obter a medição

de altura de líquido. Todavia, abre-se uma lacuna na utilização de transdutor de pressão para tal

finalidade. O cerne deste trabalho foi utilizar esta técnica para medição de altura de líquido no

escoamento estratificado gás-líquido, além de investigar sua aplicabilidade na elucidação das

características ondulatórias presente neste padrão. Foram coletados dados de altura de líquido via

transdutor de pressão e câmera de alta velocidade e perda de pressão bifásica num trecho de

tubulação. Modelos mecanicistas presentes na literatura foram comparados com os dados

experimentais, sendo proposta uma nova abordagem em relação ao fator de atrito interfacial. A

técnica do trabalho, dado a complexidade envolvida nos escoamentos multifásicos, apresentou boa

concordância quando comparada com a câmera de alta velocidade e o modelo teórico proposto se

mostrou satisfatório.

Palavras-Chave: Escoamento gás-líquido, Escoamento estratificado, Fração volumétrica, Perda de

pressão bifásica, Fator de atrito interfacial.

ABSTRACT

PEREIRA, C. C. Study of liquid height in flow Stratified Gas-Liquid using Differential

Pressure Transducer. Tese (Doutorado) – Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade de

Campinas, Campinas 2016.

The gas-liquid stratified flow often occurs in industrial processes such as exploration and

production of oil and gas, being observed in the production of columns, pipelines, etc. In certain

situations, the stability of this pattern is required, since the transition may cause higher operational

and project costs. Various techniques are found in the literature, which aim, among the important

variables of flow, to obtain the measured fluid level. However, a gap is opened in the application

of pressure transducer for this purpose. The objectives of this work were to use this technique for

measuring the height of liquid in the gas-liquid stratified flow, and to investigate its applicability

to elucidate the features present in this wavelike pattern. Data were collected of height of liquid

via high-pressure transducer and high-speed camera, and of loss of biphasic pressure in a pipe

section. Mechanistic models in the literature were compared with experimental data, and it was

proposed a new approach to the interfacial friction factor. The state of the art, given the

complexity involved in the multiphase flow, showed good concordance with the high-speed

camera, and the proposed theoretical model was shown to be satisfactory.

Keywords: gas-liquid flow, stratified flow, volumetric fraction, two-phase pressure drop,

interfacial friction factor.

Lista de Figuras

Figura 1.1- Padrões de escoamento estratificado. Fonte: Bratland, 2010 - Adaptado. ................... 23

Figura 1.2- Métodos de medição. Fonte: Asher, R. C (1997) ......................................................... 25

Figura 2.1– Escoamento bifásico gás-líquido na horizontal. Fonte: Bratland 2010- Adaptado. ..... 32

Figura 2.2-Carta de fluxo do escoamento na horizontal gás-líquido.Fonte: Mandhane et. al

(1974). ............................................................................................................................................. 33

Figura 2.3– Carta de fluxo do escoamento na horizontal gás-líquido. Fonte: Taitel e Duckler

(1976). ............................................................................................................................................. 34

Figura 2.4– Carta de fluxo do escoamento na horizontal gás-líquido em tubulação de 50 mm

de diâmetro interno na horizontal. Fonte: Shoham (2006). ............................................................. 34

Figura 2.5- Onda bidimensional. ..................................................................................................... 35

Figura 2.6- Onda tridimensional. ..................................................................................................... 35

Figura 2.7- Onda de perturbação. .................................................................................................... 36

Figura 2.8- Ondas de rolagem. ........................................................................................................ 36

Figura 2.9- Ondas em 2D.Fonte:Shi e Kocamustafaogullari (1994). .............................................. 38

Figura 2.10– L.A Waves. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994) . ............................................. 38

Figura 2.11– AT-atomization. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994) ....................................... 39

Figura 2.12– Subpadrões do escoamento estratificado. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari

(1994) .............................................................................................................................................. 40

Figura 2.13-Carta de Paras et al.(1994) para o subpadrão estratificado......................................... 41

Figura 2.14- Classificação dos tipos de ondas. ................................................................................ 41

Figura 2.15– Fluxograma de técnicas de medição da fração volumétrica....................................... 43

Figura 2.16– Válvulas de fechamento rápido. Fonte: de Castro (2013) .......................................... 44

Figura 2.17– Válvulas V1 e V2 no circuito e V3(by-pass). Fonte: Pereira (2011) modificado. ....... 44

Figura 2.18– Sonda de condutância de fios paralelos. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari

(1994) .............................................................................................................................................. 45


(1994). ............................................................................................................................................. 46


(1994). ............................................................................................................................................. 46

Figura 2.21-Altura média de água em função das velocidades superficiais das fases.

Fonte: Paras et.al (1994). ................................................................................................................. 47

Figura 2.22-Frequência dominante do sinal. Fonte: Paras et.al (1994). .......................................... 48

Figura 2.23- Velocidade da onda interfacial em função das velocidades superficiais das fases.

Fonte: Paras et.al (1994). ................................................................................................................. 48

Figura 2.24– Sensor Wire-mesh....................................................................................................... 50

Figura 2.25– Boroscópio. Fonte: Roitberg et. al. (2006). ............................................................... 51

Figura 2.26-Relação entre altura de água em função da inclinação da tubulação.

Fonte: Roitberg et. al. (2006). ......................................................................................................... 51

Figura 2.27-Relação entre curvatura da seção transversal em função da inclinação da

tubulação. Fonte: Roitberg et. al. (2006). ................................................. 52

Figura 2.28– Densiometria de raio-gama. Fonte: Chan e Banerjee (1981). .................................... 53

Figura 2.29– Densiometria de raio-gama. Fonte: Chan e Banerjee (1981). .................................... 54

Figura 2.30– Instrumento para excitação da tubulação. Fonte: Filho (2010). ................................. 54

Figura 2.31– Bancada experimental com uma câmera (8) de alta velocidade.

Fonte: Pincovschi et al. (2006). ....................................................................................................... 55

Figura 3.1-Esquema do circuito experimental. ................................................................................ 58

Figura 3.2- Fotografia do circuito experimental. ............................................................................. 58

Figura 3.3- Medidor de vazão volumétrica Tipo Turbina. .............................................................. 60

Figura 3.4– Torre para medição de vazão volumétrica de gás. ....................................................... 60

Figura 3.5– Mangueira de injeção de gás no circuito. ..................................................................... 61

Figura 3.6- Transdutor de pressão diferencial da marca Validyne. ................................................. 62

Figura 3.7- Transdutor de pressão diferencial da marca Validyne para medição na seção

transversal. ....................................................................................................................................... 62

Figura 3.8- Demodulador Validyne CD-23. .................................................................................... 63

Figura 3.9- Placa da National Instruments® para aquisição dos sinais. .......................................... 63

Figura 3.10- Estação de controle. .................................................................................................... 64

Figura 3.11- Painel frontal do programa para aquisição dos dados. ............................................... 64

Figura 3.12- Aparato experimental para aquisição de imagens do escoamento. ............................. 65

Figura 3.13- Dados experimentais baseado na carta de Taitel e Duckler (1976). ........................... 66

Figura 4.1- Geometria interfacial do escoamento estratificado gás-líquido.Fonte: Braunner et

al. 1996. ........................................................................................................................................... 68

Figura 4.2- Imagem obtida pela câmera. ......................................................................................... 69

Figura 4.3- Imagem obtida pela câmera. ......................................................................................... 70

Figura 4.4- Detecção da interface. ................................................................................................... 70

Figura 4.5- Imagem de calibração. .................................................................................................. 71

Figura 4.6- Painel frontal do programa: Processamento das imagens via CAV. ............................ 72

Figura 4.7- Painel frontal do programa: Cálculo da altura média de água e Holdup via CAV. ..... 72

Figura 4.8- Elemento diferencial de fluido e forças de pressão na direção y. Fonte: Fox (2004) ... 73

Figura 4.9- Medição de Pressão Estática .Fonte: Fox (2004). ......................................................... 74

Figura 4.10– Referencial de pressão................................................................................................ 76

Figura 4.11– Desenho esquemático do medidor. Fonte: Cheade (2008) ......................................... 77

Figura 4.12– Desenho esquemático do medidor. Fonte: Cheade (2008). ........................................ 77

Figura 4.13- Desenho esquemático das tomadas de pressão na seção transversal do tubo. ............ 78

Figura 4.14- Painel frontal do programa: Cálculo de holdup de água pelo TPD. ........................... 79

Figura 4.15- Desenho esquemático da área de seção transversal do escoamento estratificado

gás-líquido. ...................................................................................................................................... 80

Figura 5.1- Balanço de forças num elemento infinitesimal de um tubo com gás-líquido. .............. 84

Figura 5.2- Seção tranversal com interface plana............................................................................ 87

Figura 6.1- Altura média de água obtida pela CAV e TPD com Jw=0,05 m/s. .............................. 94

Figura 6.2- Altura média de água obtida pela CAV e TPD com Jw=0,06 m/s. .............................. 95

Figura 6.3- Altura média de água obtida pela CAV e TPD com Jw=0,07 m/s. ............................. 95

Figura 6.4- Altura média de água obtida pela CAV e TPD com Jw=0,08 m/s. ............................. 96

Figura 6.5- Imagem do escoamento. ............................................................................................... 96

Figura 6.6- Comparação da altura média de água pelo TPD e CAV. ............................................. 97

Figura 6.7- Altura média de água em função da velocidade superficial de água e gás. .................. 98

Figura 6.8-Fator de atrito interfacial da eq. 5.24 (Capítulo 5)......................................................... 99

Figura 6.9-Fator de atrito interfacial da eq. 5.25 (Capítulo 5)....................................................... 100

Figura 6.10-Holdup de água pela CAV com Jw=0,05 m/s. ........................................................... 102




Figura 6.14-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo CAV com o modelo

homogêneo. ................................................................................................................................... 104

Figura 6.15-Comparação do Holdup médio de água pela CAV com o modelo de 2-fluidos

(Taitel e Duckler)........................................................................................................................... 105

Figura 6.16-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo CAV com o modelo de 2-

fluidos (Equação 5.24). .................................................................................................................. 105

Figura 6.17-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo CAV com o modelo de 2-

fluidos (Equação 5.25). .................................................................................................................. 106

Figura 6.18- Holdup de água pelo TPD com Jw=0,035 m/s. ........................................................ 107

Figura 6.19- Holdup de água pelo TPD com Jw=0,04 m/s. .......................................................... 107


Figura 6.21- Holdup de água pelo TPD com Jw=0,055m/s. ......................................................... 108





Figura 6.26- Comparação do Holdup médio de água obtida pelo TPD com o modelo

homogêneo. ................................................................................................................................... 111

Figura 6.27-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo TPD com o modelo de 2-

fluidos (Taitel e Duckler). ............................................................................................ 111

Figura 6.28-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo TPD com o modelo de 2-

fluidos (Equação 5.24). .................................................................................................................. 112

Figura 6.29- Comparação doHoldup médio de água obtida pelo TPD com o modelo de 2-

fluidos (Equação 5.25) ........................................................................................................ 112

Figura 6.30- Perda de Pressão Bifásica com Jw=0,035 m/s. ......................................................... 114

Figura 6.31- Perda de Pressão Bifásica com Jw=0,04 m/s. ........................................................... 114


Figura 6.33- Perda de Pressão Bifásica com Jw=0,055 m/s. ......................................................... 115





Figura 6.38- Comparação Perda de Pressão Bifásica experimental como modelo homogêneo. .. 118

Figura 6.39- Comparação Perda de Pressão Bifásica experimental como modelo de Taitel e

Duckler. ......................................................................................................................................... 118

Figura 6.40- Comparação Perda de Pressão Bifásica experimental com o modelo de 2-fluidos

(Equação 5.24). .............................................................................................................................. 119


(Equação 5.25). .............................................................................................................................. 119

Figura 6.42- Sinal do TPD com Jw=0,05 m/s e JG=8,5 m/s . ......................................................... 120

Figura 6.43- Imagem da CAV para Jw=0,05 m/s e JG=8,5 m/s . ................................................... 121

Figura 6.44- Sinal do TPD com Jw=0,05 m/s e JG=10,5 m/s . ....................................................... 121

Figura 6.45- Sinal do TPD com Jw=0,05 m/s e JG=12 m/s . .......................................................... 122



Figura 6.48-Análise espectral do sinal. ......................................................................................... 123

Figura 6.49-Velocidade da onda interfacial em função das velocidades superficiais das fases. ... 125

Figura 6.50-Adimensional para propagação da onda interfacial experimental. ............................ 125

Figura 6.51- Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,05 m/s em função das velocidades in

situ. ................................................................................................................................................ 126

Figura 6.52-Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,06 m/s em função das velocidades in

situ. ................................................................................................................................................ 126

Figura 6.53--Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,08 m/s em função das velocidades in

situ. ................................................................................................................................................ 127

Figura 6.54-Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,05 m/s em função da altura médiade

água. ............................................................................................................................................... 128

Figura 6.55-Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,06 m/s em função da altura média de

água. ............................................................................................................................................... 128

Figura 6.56--Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,08 m/s em função da altura médiade

água. ............................................................................................................................................... 129

Figura 6.57- Comparação entre os dados experimentais e teóricos da velocidade da onda

interfacial. ...................................................................................................................................... 129

Lista de Tabelas

Tabela 3. 1- Informações do circuito experimental. ...................................................................... 59

Tabela 5. 1- Parâmetros geométricos da interface plana............................................................88

Tabela C. 1- Precisão dos instrumentos de medição................................................................163

Tabela C. 2- Incertezas calculadas para os experimentos............. ...................................... ........166

Tabela D. 1-Dados experimentais da altura média de água via TPD e CAV............................167

Tabela D. 2-Relação entre as velocidades superficiais da água e gás e a altura média de água

pela técnica TPD. ......................................................................................................................... 168

Tabela D. 3-Comparação do holdup de água via CAV com os modelos unidimensionais. ........ 170

Tabela D. 4-Comparação do holdup de água via TPD com os modelos unidimensionais. ......... 172

Tabela D. 5- Comparação da Perda de Pressão Bifásica com modelos unidimensionais. .......... 175

Tabela D. 6- Análise de frequência dos sinais do TDP. .............................................................. 178

Tabela D. 7-Velocidade da onda interfacial pela CAV. .............................................................. 179

Lista de Símbolos

Letras latinas

A Área da seção transversal do tubo m2

C Fração volumétrica de injeção

c Velocidade da onda interfacial m/s

D, Di Diâmetro interno da tubulação mm

P Pressão Pa

s Deslizamento entre as fases

Q Vazão volumétrica m³/h

g Gravidade m/s²

h Altura da água na seção transversal mm

f Fator de atrito

S Perímetro molhado das fases mm

J Velocidade superficial m/s

V Velocidade in situ m/s

W Fluxo mássico Kg/s

Re Numero de Reynolds

R Raio de curvatura m

t tempo s

Letras Gregas

𝛼 Fração volumétrica in situ das fases

𝜌 Densidade Kg/m³

𝜇 Viscosidade dinâmica Pa.s

𝜃 Ângulo interno da seção transversal

𝛷 Ângulo de inclinação

𝜏 Tensão cisalhante N/m²

𝜖 Rugosidade parietal mm

Subscrito

G Fase gás

W Fase água

m Mistura

P Parietal

i Interfacial

h Hidráulico

* Adimensional modificado

exp Experimental

teo Teórico

Siglas

SS Estratificado liso

SW Estratificado ondulado

A Anular

I Intermitente

DB Dispersão ou bolhas

2D Ondas bidimensionais

LA Ondas de grande amplitude

AT Ondas atomizadas

TPD Transdutor de pressão diferencial

CAV Câmera de alta velocidade

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 23

1.1 Motivação do estudo....................................................................................................... 24

1.2 Objetivos......................................................................................................................... 25

1.3 Organização do trabalho ................................................................................................. 26

2. REVISÃO DA LITERATURA .................................................................................... 29

2.1 Termos básicos em escoamento bifásico ........................................................................ 29

2.2 Introdução ao escoamento multifásico ........................................................................... 31

2.2.1 Padrões de escoamento gás-líquido na horizontal em tubulações ............................... 31

2.2.2 Cartas de fluxo para o escoamento gás-líquido ........................................................... 33

2.2.3 Subdivisões do padrão estratificado gás-líquido ......................................................... 35

2.3 Breve descrição da natureza ondulatória do escoamento estratificado ondulado

gás-líquido ............................................................................................................................ 41

2.4 Medição de fração volumétrica in situ das fases no escoamento ................................... 42

2.4.1 Válvula de fechamento rápido ..................................................................................... 43

2.4.2 Sondas elétricas ........................................................................................................... 44

2.4.3 Wire-mesh .................................................................................................................... 49

2.4.4 Boroscópio ................................................................................................................... 50

2.4.5 Densiometria de raios-gama ........................................................................................ 52

2.4.6 Sensores capacitivos .................................................................................................... 53

2.4.7 Vibração induzida ........................................................................................................ 54

2.4.8 Câmera de alta velocidade ........................................................................................... 54

2.5 Transdutor de Pressão diferencial .................................................................................. 55

2.6 Resumo da revisão bibliográfica .................................................................................... 56

3. APARATO EXPERIMENTAL.................................................................................... 57

3.1 Detalhamento do circuito multifásico ............................................................................ 57

3.2 Sistema de injeção de água ............................................................................................. 59

3.3 Sistema de injeção de gás ............................................................................................... 60

3.4 Transdutores de pressão ................................................................................................. 61

3.5 Estação de controle ......................................................................................................... 63

3.6 Aquisição e tratamento de imagens ................................................................................ 65

3.7 Organização do trabalho experimental ........................................................................... 66

3.8 Procedimentos para coletas dos dados ........................................................................... 67

4. PROCEDIMENTOEXPERIMENTAL ........................................................................ 68

4.1 Altura de água via câmera de alta velocidade ................................................................ 68

4.2 Altura de água via transdutor de pressão diferencial ...................................................... 73

4.2.1 Equação de Euller em coordenadas de linha de corrente ............................................ 73

4.2.2 Pressão estática ou termodinâmica do escoamento ..................................................... 74

4.2.3 Fundamentos................................................................................................................ 75

4.2.4 Sensor adotado no trabalho ......................................................................................... 76

4.2.5 Altura de líquido na seção transversal ......................................................................... 78

4.3 Previsão do holdup de água ............................................................................................ 80

5. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................... 82

5.1 Modelos mecanicistas para previsão da fração volumétrica in situ e perda de pressão

bifásica .................................................................................................................................. 82

5.1.1 Modelo homogêneo ..................................................................................................... 82

5.1.2 Modelo de dois fluidos ................................................................................................ 83

5.2 Equacionamento do Modelo Homogêneo e Modelo de Dois Fluidos ............................ 83

5.2.1 Modelo Homogêneo .................................................................................................... 85

5.2.2 Modelo de dois fluidos ................................................................................................ 86

5.3 Equacionamento da velocidade da onda interfacial ....................................................... 91

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................. 93

6.1 Comparação entre a altura média de água obtida pela técnica CAV e TPD .................. 93

6.2 Resultados da aplicação dos modelos mecanicistas ....................................................... 99

6.2.1 Modelagem do fator de atrito interfacial ..................................................................... 99

6.2.2 Comparação do Holdup de água obtido pela CAV com os modelos ........................ 100

6.2.3 Comparação do Holdup de água obtido pelo TPD com os modelos ......................... 106

6.2.4 Perda de Pressão Bifásica .......................................................................................... 113

6.3 Análise qualitativa da estrutura ondulatória do escoamento estratificado ................... 120

6.3.1 Altura de água em função do tempo .......................................................................... 120

6.3.2 Análise dos sinais do TPD no domínio da frequência ............................................... 122

6.3.3 Velocidade da onda interfacial .................................................................................. 123

7. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS ......................................................................... 130

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 134

APÊNDICE A - VELOCIDADE MÉDIA DAS ONDAS VIA TPD E CAV ................. 140

A.1 Velocidade média das ondas pela TPD ....................................................................... 142

APÊNDICE B - INSTALAÇÕES EXPERIMENTAIS DO LABPETRO ...................... 146

B.1 Sistemas de suprimento de água .................................................................................. 146

B.2 Medidor de vazão de água ........................................................................................... 147

B.3 Sistema de suprimento de gás ...................................................................................... 148

B.4 Medidor de vazão de gás ............................................................................................. 149

B.4.1 Correção da vazão volumétrica................................................................................. 150

B.4.2 Correção da vazão mássica e volumétrica com dados do fabricante ........................ 151

B.4.3 Calibração dos instrumentos da torre de gás ............................................................ 154

B.5 Curva de calibração da pressão na linha, perda de pressão bifásica e no TPD ........... 158

APÊNDICE C - INCERTEZA EXPERIMENTAL ......................................................... 162

C.1 Erro de grandezas diretamente mensuráveis ................................................................ 163

C.2 Erro de grandezas indiretamente mensuráveis ............................................................. 164

C.3 Resultado das incertezas experimentais ....................................................................... 166

APÊNDICE D - DADOS EXPERIMENTAIS ................................................................ 167

APÊNDICE E - PROGRAMA NO MATHEMATICA® PARA O CÁLCULO DOS

MODELOS 180

E.1 Modelo de dois fluidos para o cálculo do holdup de água e perda de pressão bifásica180

E.2 Programa para o cálculo da onda cinemática ............................................................... 182

23

1. INTRODUÇÃO

Escoamentos multifásicos têm como definição duas ou mais fases de fluidos arranjadas

em diversas representações geométricas ou padrões de fluxo. Tais escoamentos são comumente

encontrados na forma de misturas bifásicas como: gás ou liquido-solido, gás-líquido e

líquido-líquido.

O escoamento bifásico gás-líquido, fonte de estudo deste trabalho, pode ser observado

em tubulações nas indústrias de petróleo e gás em colunas de produção, linhas de surgência e

risers, gasodutos, na indústria química em sínteses de processos e na nuclear em reatores etc.

Diversas configurações interfaciais ou arranjos das fases surgem neste tipo de

escoamento e um padrão que pode ser encontrado é o estratificado, no qual a fase líquida escoa

separada da fase gasosa ocupando a porção inferior da tubulação devido à ação da gravidade.

Devido a variáveis como vazões volumétricas das fases, inclinações em tubulações,

regimes de escoamento, diâmetros de tubo dentre outras, o escoamento estratificado pode ser

liso ou ondulado. Em determinadas situações a interface que separa os dois fluidos é lisa ou

com ondulações não vistas a olho nu, tendo como característica ondas de pequenas amplitudes

e grandes comprimentos. Em outras podem surgir perturbações de maiores magnitudes na

interface, portanto gerando um estratificado ondulado. A Figura 1.1 mostra a subdivisão do

padrão estratificado gás-líquido.

Figura 1.1- Padrões de escoamento estratificado. Fonte: Bratland, 2010 - Adaptado.

24

1.1 Motivação do estudo

Duas das grandes preocupações das indústrias são as perdas de energia e os custos

associados ao deslocamento dos fluidos. O escoamento estratificado gás-líquido possui grande

importância em determinadas condições operacionais, como em gasodutos, onde a mudança de

um padrão estratificado para outro pode danificar tubulações e equipamentos, tais como

compressores e bombas.

Dentre as diversas variáveis envolvidas na garantia deste tipo de escoamento, a altura de

líquido e por consequência a fração volumétrica in situ de líquido tem sua importância, pois a

região que a fase ocupa no tubo remete à capacidade de transição ou não do padrão de fluxo.

Dada a complexidade dos escoamentos multifásicos, fazer o monitoramento desta variável

torna-se um grande desafio e ao mesmo tempo constante fonte de estudos na área com técnicas

buscando cada vez mais aperfeiçoar os processos.

Ao propor uma técnica de medição em escoamento deve-se atentar aos possíveis danos

que um distúrbio causado por ela traga para a coleta dos dados durante o procedimento.

A Figura 1.2 apresenta métodos de medição, na maioria dos casos é preferível utilizar um

instrumento não invasivo (sensores que não ultrapassem as paredes do objeto estudado) e não

intrusivo (sem perturbação no interior do objeto) no intuito de não interferir no fenômeno que

está sendo analisado, entretanto, nem sempre estas premissas devem ser realizadas ou

adequadas.

Mesmo quando não há um consenso da melhor ferramenta a ser empregada, é

indispensável mensurar os problemas do seu uso. Por exemplo, as técnicas invasivas ocasionam

distúrbios locais do campo de escoamento, portanto, quando as dimensões da seção de testes

são reduzidas, mecanismos não invasivos são exigidos no sentido de preservar as características

inerentes ao escoamento.

25

Figura 1.2- Métodos de medição. Fonte: Asher, R. C (1997)

Das técnicas encontradas na literatura com a finalidade de medir a altura de líquido e/ou

fração volumétrica in situ das fases nos escoamentos multifásicos, três tipos são mais usuais:

absorção radioativa (raios X e gama), medição direta de volume (válvulas de fechamento

rápido) e medição de impedância (sensores resistivos e capacitivos). As maiores dificuldades

nas medições estão relacionadas com a variação temporal e espacial da distribuição de fases e

do perfil de velocidades. Dependendo da situação, algumas técnicas perdem totalmente a sua

validade frente àquelas que melhor se adaptam ao problema.

1.2 Objetivos

Numa proposta inicial, esta pesquisa tem como finalidade medir a altura de água no

escoamento estratificado gás-água na horizontal utilizando medidor de pressão diferencial.

Além desta técnica não ser intrusiva e nem invasiva (ou semi-invasiva) ela pode ter um menor

custo operacional e maior aplicabilidade em condições severas frente às popularmente

utilizadas.

Pretende-se também explorar o seu uso na elucidação da estrutura ondulatória

observada no escoamento estratificado, ou seja, expandir sua aplicabilidade. É sabido que as

características das ondas também influenciam na garantia do escoamento.

Na parte teórica, dados os modelos mecanicistas presentes na literatura, é apresentada

uma nova abordagem em relação ao termo interfacial relacionado à tensão de cisalhamento

entre as fases na equação de fechamento do modelo de dois fluidos. Este termo é preponderante

26

numa análise mais criteriosa em relação a previsão de fração volumétrica in situ das fases e

perda de pressão bifásica do escoamento estratificado.

1.3 Organização do trabalho

Para o pleno êxito deste trabalho, algumas metas foram propostas:

Na parte experimental em diferentes pares de vazões de gás e água, para medição de

altura média de água foi filmado o escoamento com uma câmera de alta velocidade e

confrontado com os resultados obtidos via transdutor de pressão diferencial. E dos sinais do

transdutor foram investigados: a altura média de água ao longo do tempo e sua relação com as

características ondulatórias observadas pela câmera de alta velocidade, análise espectral das

frequências dominantes do escoamento, ou seja, qual o transito de ondas na região estudada e

velocidade média das ondas. Além de dados de perda de pressão bifásica num trecho da

tubulação. E pela câmera de alta velocidade foram obtidos dados de velocidade interfacial do

escoamento.

No campo teórico, duas propostas foram efetuadas para modelar o fator de atrito

interfacial com base nos dados experimentais, e comparados com os dados experimentais de

holdup médio de água e perda de pressão bifásica.

Para realizar as metas descritas seguiram-se os procedimentos:

1. Realizar um estudo experimental sobre o escoamento estratificado ondulado gás-

água em duto na horizontal.

Delimitar a região onde ocorre o padrão estratificado ondulado na horizontal;

Coletar os dados de altura de água através das imagens da câmera e pelo

transdutor de pressão diferencial;

Coletar dados de perda de pressão bifásica num trecho da tubulação;

Tratar os dados obtidos com o auxílio de software em plataforma Labview®.

27

2. Aplicar os modelos matemáticos para predição de holdup médio de água e perda

de pressão bifásica com o auxílio do programa MATHEMATICA®.

3. Analisar os sinais de pressão do transdutor de pressão e sua relação com a

fenomenologia ondulatória do escoamento.

O trabalho foi organizado nos seguintes capítulos:

Capítulo 2: revisão bibliográfica dos trabalhos relacionados ao padrão de escoamento

estratificado gás-líquido e técnicas utilizadas na medição da altura de líquido e/ou fração

volumétrica in situ das fases;

Capítulo3: descrição do aparato experimental tais como o circuito experimental,

equipamentos, calibração e rotina para obtenção e tratamento dos dados;

Capítulo 4: procedimento experimental para a obtenção da altura de líquido do

escoamento e perda de pressão bifásica;

Capítulo 5: modelos teóricos com a inserção do fator de atrito interfacial proposto na

pesquisa;

Capítulo 6: apresentação e discussão dos resultados obtidos experimentalmente e

comparações com os modelos matemáticos;

Capítulo 7: conclusões e sugestões para trabalhos futuros;

Referências bibliográficas;

Apêndice A: Técnica para obtenção da velocidade de onda interfacial pelo

transdutor de pressão diferencial e câmera de alta velocidade;

Apêndice B: Descrição dos equipamentos na linha de testes e aferição da

instrumentação;

Apêndice C: Incerteza experimental;

Apêndice D: Tabela com os dados experimentais;

28

Apêndice E: Implementação das equações dos modelos matemáticos para no

programa MATHEMATICA®;

29

2. REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo são apresentados os assuntos pertinentes do trabalho. Uma breve

introdução aos padrões de escoamento gás-líquido é abordada e técnicas utilizadas para

medição de altura de líquido e/ou fração volumétrica das fases. Precedente à revisão da

literatura, alguns termos básicos do escoamento bifásico devem ser definidos.

2.1 Termos básicos em escoamento bifásico

Como este trabalho é um escoamento gás-água é usada a notação em inglês water (w) e

gas (G). A fração volumétrica in situ da fase água ou holdup de água (αw) (média no tempo e

no espaço em certo trecho de tubo) pode ser considerada como uma grandeza local, isto é, num

comprimento diferencial de tubo. Portanto é definida:

αw =𝐴𝑤

𝐴

𝛿𝐿

𝛿𝐿=

𝐴𝑤

𝐴 2.1

E a fração volumétrica in situ da fase de gás ou fração de vazio (αG) é determinada

como:

αG =𝐴𝐺

𝐴

𝛿𝐿

𝛿𝐿=

𝐴𝐺

𝐴 𝑜𝑢 αG = 1 − αw 2.2

As velocidades superficiais do gás e da água são calculadas com base nas vazões

volumétricas de injeção e na área de seção transversal do tubo e são definidas, respectivamente,

como:

𝐽𝐺 =𝑄𝐺

𝐴 𝐽𝑊 =

𝑄𝑊

𝐴 2.3

30

Assumindo que as fases ocupam diferentes partes da seção transversal do tubo, a

velocidade média real de cada fase ou velocidade in situ é diferente da velocidade superficial,

pois é baseada na área que ocupa a fase, portanto, sendo𝐴𝐺 𝑒 𝐴𝑊 as áreas de seção transversal

ocupadas pelo gás e água, respectivamente, as velocidades in situ são dadas por:

𝑉𝐺 =𝑄𝐺

𝐴𝐺 𝑉𝑤 =

𝑄𝑊

𝐴𝑊 2.4

Das equações 2.3 e 2.4 segue-se que a velocidade in situ sempre excede a velocidade

superficial para cada fase. As velocidades superficiais e in situ de cada fase e a fração

volumétrica in situ estão relacionadas da seguinte forma:

𝑉𝐺 =𝐽𝐺

αG 𝑉𝑊 =

𝐽𝑊

αw 2.5

A velocidade da mistura é definida dividindo a vazão volumétrica total pela seção

transversal do tubo:

J𝑚 =𝑄𝐺 + 𝑄𝑊

𝐴 2.6

A qual também é igual à soma das velocidades superficiais:

J𝑚 = J𝐺 + J𝑊 2.7

Diferenças de densidades e/ou viscosidades causam uma importante característica dos

escoamentos bifásicos que é o escorregamento (s) entre as fases, sendo definido como a razão

entre as velocidades in situ das fases, ou seja:

𝑠 =𝑉𝐺

𝑉𝑊 2.8

31

Quando o escorregamento, s, é maior que a unidade, a água esta se acumulando no tubo

e o gás esta escoando mais rapidamente. Para o escorregamento menor do que a unidade ocorre

o contrário.

2.2 Introdução ao escoamento multifásico

Historicamente até meados do século XX as pesquisas sobre escoamento multifásico se

concentravam no desenvolvimento de correlações empíricas de acordo com os problemas

particulares de cada ramo industrial. A partir da década de 60 surgiram trabalhos com

formulações analíticas com o intuito de obter maiores generalizações sobre o tema.

Em virtude da complexidade do assunto e da limitação de se expandir proposições para

diferentes situações do escoamento, muitas vezes é necessário um estudo mais focado em

padrões específicos do escoamento. Como o objetivo deste trabalho é um estudo do escoamento

bifásico gás-água na horizontal, serão expostos nos próximos subitens os padrões relacionados

dando maior ênfase ao escoamento estratificado.

2.2.1 Padrões de escoamento gás-líquido na horizontal em tubulações

A geometria da interface no escoamento gás-líquido demonstra diversas configurações

quando as fases escoam numa tubulação. Estas configurações estão ligadas as condições de

operação (vazão, pressão, temperatura), geometria da tubulação (dimensão, inclinação) e das

propriedades dos fluidos (densidade, viscosidade e tensão interfacial) Meng et al. (2001).

A combinação destas características determina os padrões de escoamento.

Os padrões de escoamento bifásico gás-líquido em tubulações horizontais são

detalhados a seguir e mostrado na Figura 2.1:

Padrão de Bolhas: Para altas vazões de líquido as bolhas aglomeram-se na parte

superior do tubo devido aos efeitos gravitacionais. As fases agem como um pseudofluido

com mesma velocidade e o escoamento é considerado homogêneo sem escorregamento.

32

Padrão Estratificado liso: Este padrão é típico quando as velocidades superficiais de

gás e líquido são baixas. Pela ação da gravidade as duas fases são separadas, com o

líquido escoando na parte inferior e o gás na parte superior do tubo.

Padrão estratificado ondulado: Quando as velocidades superficiais do gás e/ou

líquido vão aumentando, formam-se perturbações na região da interface que separa as

fases formando o regime ondulado.

Padrão de Golfadas: Neste padrão são alternados pistões de gás e líquido. Para altas

vazões de gás, o pistão de líquido se apresenta aerado por pequenas bolhas, as quais se

concentram na frente do pistão e na parte superior da tubulação.

Padrão anular: Ocorre em alta velocidade superficial de gás. A fase líquida escoa num

filme na parede da tubulação e pode apresentar um perfil ondulado enquanto o gás escoa

no centro da tubulação.

Figura 2.1– Escoamento bifásico gás-líquido na horizontal. Fonte: Bratland 2010- Adaptado.

33

2.2.2 Cartas de fluxo para o escoamento gás-líquido

Cartas de fluxo são representações gráficas no plano cartesiano de padrões de

escoamento, usualmente sendo função das velocidades superficiais das fases apresentadas nos

eixos. Seu propósito é, dadas as propriedades físicas dos fluidos e geometrias de tubulação,

delimitar os padrões de escoamento.

Quanto às fronteiras de transição do escoamento, os métodos adotados podem ser tanto

experimentais quanto analíticos. A figura 2.2 representa a carta experimental de

Mandhane et. al. (1974) e a Figura 2.3 a carta analítica de Taitel e Duckler (1976).

Os dados experimentais do padrão estratificado deste trabalho que serão expostos no

próximo capitulo, devido às mesmas características geométricas da tubulação e propriedades

do escoamento, foi baseado na carta de Taitel e Duckler (1976) pela Figura 2.4 extraído de

Shoham (2006).

Figura 2.2-Carta de fluxo do escoamento na horizontal gás-líquido.Fonte: Mandhane et. al (1974).

34

Figura 2.3– Carta de fluxo do escoamento na horizontal gás-líquido. Fonte: Taitel e Duckler (1976).

Figura 2.4– Carta de fluxo do escoamento na horizontal gás-líquido em tubulação de 50 mm de

diâmetro interno na horizontal. Fonte: Shoham (2006).

35

2.2.3 Subdivisões do padrão estratificado gás-líquido

As divisões de padrões de escoamento estratificado em liso ou ondulado necessitam de

uma subdivisão a partir do momento em que se deseja modelar o escoamento em função de

observações da estrutura ondulatória (Speding e Chen (1984), Fukano et al. (1985),

Andritsos e Hanratty (1987), Shi e Kocamustafaogullari (1994) e Paras et. al. (1994).

O escoamento ondulatório é classificado pelos seguintes grupos:

Ondas bidimensionais: as frentes de onda são propagadas em fase em relação à seção

transversal do tubo. Numa visão de topo, elas configuram-se em linhas retas e

perpendiculares à linha de centro da tubulação (Figura 2.5).

Figura 2.5- Onda bidimensional.

Ondas tridimensionais: as frentes das ondas sofrem um atraso à medida que se

caminha do centro em direção à parede do tubo. Numa visão de topo, elas configuram-se

em linhas curvas. Simultaneamente ao processo de atraso das frentes das ondas, é

observada a curvatura da superfície, logo a seção transversal não é mais plana e sim

curvada. (Figura 2.6).

Figura 2.6- Onda tridimensional.

36

Ondas de perturbação: surgem ondas de amplitudes muito superiores se comparadas à

espessura do filme, com velocidade maior que a do próprio filme. (Figura 2.7).

Figura 2.7- Onda de perturbação.

Ondas de rolagem: semelhantes às ondas das praias, elas se quebram gerando gotas

líquidas livres que carregadas pela corrente de gás podem se depositar nas partes

superiores da tubulação. (Figura 2.8).

Figura 2.8- Ondas de rolagem.

Shi e Kocamustafaogullari (1994) baseado no trabalho de Andritsos e Hanratty (1987a),

utilizando duas sondas condutivas de fios paralelos numa tubulação de vidro de 50.3 mm de

diâmetro interno, obtiveram informações importantes sobre a estrutura ondulatória

do escoamento estratificado gás-líquido. Definiram as características ondulatórias, tais como:

sua topologia, análise espectral da frequência dominante ou frequência de trânsito de onda e a

velocidade de onda interfacial.

Para o range de operação com velocidade superficial da água de 0,018 m/s a 0,052 m/s e

de gás de 1,094 m/s até 15,667 m/s os autores varreram tanto o estratificado liso quanto o

ondulado. Os gráficos das Figuras 2.9 a 2.11 mostram os dados de altura de água obtidos pelas

sondas em função do tempo, o propósito dos autores foi verificar a relação entre os sinais da

altura de água e a topologia da onda observada.

37

Na Figura 2.9 para velocidade superficial de água constante e igual a 0,035 m/s e a de

gás crescente de 1,094 m/s a 3,685 m/s, constataram que: com o aumento da velocidade

superficial de gás surgiram ondas de pequenas amplitudes e grandes comprimentos, com

formato regular, bidimensionais e podendo ser observadas a olho nu. Pelos dados dos sinais do

adimensional h/D em função do tempo percebe-se que as flutuações das alturas de água são

suaves e com um filme de líquido curto. Denotaram esta região de subpadrão do estratificado

como (2D-Waves).

Para velocidade superficial de água em 0,035 m/s e de gás crescente de 4,341 m/s a

7,185 descritos pela Figura 2.10 , observaram que : para velocidade superficial de água

constante e de gás igual a 4,341 começaram a ocorrer mudanças na topologia da onda ,

surgiram ondas de menores comprimentos e maiores amplitudes e com formato irregular.

Verificando os sinais nota-se que as flutuações das alturas de água já não são suaves e o filme

de líquido maior que no caso de ondas bidimensionais. Com esta característica descrita

denotaram o subpadrão como (L-A Waves- Large amplitude).

Já na Figura 2.11 mantendo a velocidade superficial de água constante igual a 0,035 e a

de gás de 8,384 a 15,667 m/s, observaram ondas extremamente irregulares e

atomizadas/fragmentadas. Os sinais mostram maiores flutuações da altura de água do que no

caso de ondas L-A e a região ocupada pela água sofreu grandes variações podendo a fase de

gás chegar quase que na parede inferior da tubulação. Nesta configuração não é possível

observar as ondas a olho nu, denominaram este subpadrão de (AT-atomization).

38

Figura 2.9- Ondas em 2D.Fonte:Shi e Kocamustafaogullari (1994).

Figura 2.10– L.A Waves. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994) .

39

Figura 2.11– AT-atomization. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994)

Em síntese, Shi e Kocamustafaogullari (1994) na Figura 2.12 pela carta de fluxo indica

a subclassificação do escoamento estratificado. Na região do escoamento estratificado liso as

ondas são de pequenas amplitudes e grandes comprimentos, com formato regular,

bidimensionais e podendo ser observadas a olho nu. Sendo, portanto um escoamento 2D, ou

escoamento com ondas bidimensionais.

No caso do escoamento estratificado ondulado ele pode ser composto por ondas de

grandes amplitudes e comprimentos menores do que as bidimensionais, com formato irregular.

Nesta configuração o escoamento é denominado de LA, ou escoamento com ondas de grande

amplitude. Ou em condições de velocidades superficiais de gás maiores que nos casos

anteriores (2D e LA) o escoamento ondulado é formado por ondas que se fragmentam sendo a

região denominada AT ou ondas atomizadas.

40

Figura 2.12– Subpadrões do escoamento estratificado. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994)

Pela Figura 2.13 têm-se a carta com a região do trabalho experimental de

Paras et al. (1994) sobre o escoamento gás-líquido na horizontal . Com sondas de condutância

de fios paralelos numa tubulação de acrílico de 50.8 mm de diâmetro interno coletaram

informações tais como: altura de líquido, frequência dominante dos sinais das sondas e

velocidade de onda interfacial no escoamento estratificado e anular (vide tópico 2.4.2). O range

de operação foi de velocidade superficial de água de 0,02 a 0,2 m/s para água e 10 a 30 m/s

para o gás.

Em relação aos subpadrões do escoamento segundo os autores: para velocidades de gás

em torno de 10 m/s e baixas velocidades superficiais de líquido é notado um padrão

estratificado caracterizado por ondas de grandes amplitudes. Em velocidades de gás acima de

10 m/s na região estratificada, observaram gotículas líquidas na fase gasosa arrancadas das

cristas das ondas de grande amplitude e com a fase gasosa aproximando da parede inferior do

tubo, sendo definido como um subpadrão do escoamento estratificado com ondas atomizadas.

Este tipo de subpadrão representa um regime de transição do escoamento estratificado para o

anular.

41

Figura 2.13-Carta de Paras et al.(1994) para o subpadrão estratificado.

2.3 Breve descrição da natureza ondulatória do escoamento estratificado ondulado gás-

líquido

Uma boa introdução ao estudo da natureza ondulatório do escoamento estratificado

pode ser encontrado em Wallis (1969), Witham (1999) e Crowley et al.(1992) ,Castro 2013 e

Gaspari (2013). As ondas do escoamento podem ser classificadas segundo o fluxograma da Figura

2.14:

Figura 2.14- Classificação dos tipos de ondas.

Tipos de ondas

Hiperbólicas

Cinemáticas Dinâmicas

Dispersas

CapilaridadeGravidade de

curto comprimento

42

As ondas do tipo dispersas tem como principais características : curto comprimento ,

sofrem deformações e podem se dispersarem rapidamente .As ondas hiperbólicas são

subclassificadas em cinemáticas e dinânicas.

Segundo Wallis (1969) e Crowley et al.(1992) as ondas dinâmicas se formam quando

os termos de aceleração da equação da quantidade de movimento devem ser considerados, ou

seja, não há um equilíbrio de forças no sistema . Nas ondas dinâmicas os termos inerciais são

relevantes i.e; o escoamento é transitório ou instável como na transição de padrão de

escoamento.

As ondas cinemáticas ocorrem quando há equilíbrio de forças e podendo ser descritas

por meio de balanço de massa, ou seja, a característica desta onda está relacionada ao

acréscimo ou diminuição de massa de cada fase.

Fazendo uma analogia do fluxo de carros numa estrada com as ondas cinemáticas e

dinâmicas: onda cinemática é dada pelo fluxo contínuo dos carros, porém por algum motivo o

carro é freado uma onda dinâmica é gerada no sentido contrário ao fluxo.

2.4 Medição de fração volumétrica in situ das fases no escoamento

São apresentadas nesta seção as principais técnicas que dentre finalidades distintas

fazem a medição das frações volumétricas in situ das fases do escoamento multifásico. As

principais técnicas que serão apresentadas foram divididas em quatro categorias como podem

ser vistas na Figura 2.15.

43

Figura 2.15– Fluxograma de técnicas de medição da fração volumétrica.

2.4.1 Válvula de fechamento rápido

Está técnica é bastante usual na medição de fração volumétrica das fases do escoamento

multifásico e consiste pela separação das fases fazendo suas medidas isoladamente. As válvulas

aprisionam os fluidos na entrada e saída com mecanismos de aprisionamento simultâneo e um

circuito alternativo (by-pass).

A Figura 2.16 mostra as válvulas de fechamento rápido e a Figura 2.17 a sua disposição

no circuito. Deve-se ressaltar que para tubos de pequenos diâmetros ou microcanais, o volume

aprisionado tende a afetar as medidas, pois o volume das válvulas pode ter a mesma ordem de

grandeza do volume de testes. Outro grande problema deste procedimento na indústria é a

lentidão dos resultados e impossibilidade de se coletar informações importantes sobre a

dinâmica dos escoamentos.

Técnicas de medição de Fração volumetrica

Separação das fases

Fechamento rápido

Invasiva

Sondas elétricas

Wire-mesh

Invasiva indireta

Transdutor de Pressão

Não invasiva

Boroscópio

Densiometria por raio gama

Sensores capacitivos

Vibração induzida

Câmera de alta velocidade

44

Figura 2.16– Válvulas de fechamento rápido. Fonte: de Castro (2013)

Figura 2.17– Válvulas V1 e V2 no circuito e V3(by-pass). Fonte: Pereira (2011) modificado.

2.4.2 Sondas elétricas

Este tipo de técnica mede a fração volumétrica local e consiste em inserir no

escoamento fios paralelos normais à parede do tubo com a finalidade de se obter sinais de

condutividade elétrica. A reposta do sinal depende das características do escoamento,

geometria da sonda, propriedades elétricas dos fluidos e o circuito acoplado. Os fluidos devem

ser condutivos, logo a aplicação do instrumento em fluidos com baixa condutividade elétrica se

torna inviável e por ser uma técnica intrusiva a dinâmica do escoamento pode ser alterada, por

exemplo, em tubulação de pequenos diâmetros.

Um ponto positivo para essa técnica é que ela pode ser aplicada em vários padrões de

escoamento e com diversas finalidades. Por exemplo, num escoamento pistonado ao mesmo

tempo em que ela mede a fração volumétrica das fases também pode calcular velocidade do

pistão Espinoza e Fabre (2011), ou no escoamento estratificado a velocidade da onda

interfacial.

45

Shi e Kocamustafaogullari (1994) mediram os sinais obtidos duas sondas duplas

condutivas de fios paralelos (Figura 2.18) com espaçamento de 3,5 mm e distância de 10 mm

no escoamento estratificado água-ar na horizontal.

Figura 2.18– Sonda de condutância de fios paralelos. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994)

Como já foi introduzido o trabalho Shi na subseção 2.2.3, além do estudo da estrutura

ondulatória do escoamento os autores investigaram a frequência dominante dos sinais das

sondas ou o trânsito de ondas em cada subpadrão, como mostra a Figura 2.19.

Mantendo a velocidade superficial de água constante e variando em ordem crescente a

de gás em aspectos gerais as tendências observadas foram: na região de ondas bidimensionais

(2D) o aumento da velocidade superficial de gás gerou aumentou no trânsito de onda no

escoamento até um pico.

Na região de ondas de grande amplitude (L-A) foi observado queda na frequência e

posteriormente ficando estável na região de ondas atomizadas (AT) com trânsitos de onda

semelhantes ao subpadrão (2D).

Segundo os autores a queda de frequência no subpadrão L-A se da pelo fato que nesta

região de transição ocorre superposição de ondas de grande amplitude resultando numa

diminuição aparente da maior frequência dominante e que se estabiliza no subpadrão AT.

46

Figura 2.19– Subpadrões do escoamento estratificado. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994).

Também obtiveram a velocidade da onda interfacial (Figura 2.20), observaram que na

região de ondas bidimensionais (2D) a velocidade de onda tendeu a uma ligeira queda com o

aumento da velocidade superficial de gás , todavia, nas região de ondas de grande comprimento

(L-A) e onda otimizadas (A-T) seguiu a tendência de aumento da velocidade da onda interfacial

diretamente proporcional ao aumento da velocidade superficial do gás.

Figura 2.20– Subpadrões do escoamento estratificado. Fonte: Shi e Kocamustafaogullari (1994).

47

Outro trabalho relevante é de Paras et al. (1994), que pelas sondas de condutância de

fios paralelos numa tubulação de acrílico de 50.8 mm de diâmetro interno , coletaram

informações sobre o escoamento gás-líquido estratificado e anular com range de operação de:

velocidade superficial de água de 0,02 a 0,2 m/s para água e 10 a 30 m/s para o gás.

Na Figura 2.21 são apresentados os dados de altura média de água em função das

velocidades superficiais das fases. Constaram que a influência de velocidades superficiais de

líquido na altura média de líquido é significativa no padrão estratificado com ondas atomizadas,

mas tende a ser menor no fluxo anular.

Identificaram uma relação entre a altura média de água na parte inferior do tubo,

topologia ondulatória e velocidades superficiais das fases. No escoamento estratificado com

velocidades superficiais de gás variando de 10 a 30 m/s quanto maior a velocidade superficial

de água maior é a altura média de água no subpadrão de ondas atomizadas e que tende a

diminuir com o aumento da fase gás. Já no padrão anular para velocidades superficiais de gás

maiores, tem-se a tendência de diminuir a atomização das ondas, observando um pequeno filme

de líquido na parte inferior do tubo e que a velocidade superficial das fases não influencia na

altura média de água.

Figura 2.21-Altura média de água em função das velocidades superficiais das fases.

Fonte: Paras et.al . (1994).

48

Figura 2.22 a frequência dominante dos sinais e a Figura 2.23 a velocidade da onda

interfacial as observações dos autores corroboram com as previsões de Shi e

Kocamustafaogullari (1994).

Figura 2.22-Frequência dominante do sinal. Fonte: Paras et.al (1994).

Figura 2.23- Velocidade da onda interfacial em função das velocidades superficiais das fases.

Fonte: Paras et.al (1994).

49

2.4.3 Wire-mesh

O sensor de malhas de eletrodos, ou wire-mesh, é uma técnica que possibilita visualizar

os escoamentos com alta resolução espacial e temporal. Basicamente é um dispositivo com

eletrodos invasivos que geram imagens (Figura 2.24), sendo constituído por dois planos de fios

(eletrodos) estendidos ao longo do tubo. Os planos de eletrodos (transmissor e receptor) se

cruzam num ângulo de 90° sendo separados por uma pequena distância.

Foi desenvolvida por Johnson (1987) para ser aplicada na identificação da fração de

água em gás para a indústria de petróleo e gás. Contudo, as pesquisas foram intensificadas a

partir de Prasser et al. (1998) e difundidas por vários pesquisadores na aplicação em

escoamentos multifásicos.

A medição da fração volumétrica in situ por esta técnica apresenta reduzido tempo de

resposta. Todavia, por ser intrusiva ela pode perturbar o escoamento a jusante, além de que as

sondas são danificadas com a presença de partículas sólidas no escoamento. Diante deste

problema Johnson (1987) e Prasser et al. (1998) apresentam configurações com eletrodos com

maior resistência mecânica, mas constataram que o procedimento implicou numa redução de

resolução espacial.

Outro fator limitante é que, como funciona com sinais de condutividade elétrica, fica

inviabilizada sua aplicação em fluidos de baixa condutividade ou com condutividades

parecidas. A fim de resolver tal problema, Da Silva et al. (2007) desenvolveram uma sonda de

eletrodos em malha fundamentada na capacitância dos fluidos da mistura. A configuração dos

eletrodos é análoga, entretanto o sistema de excitação do sinal é diferente.

Constatou-se que, devido à distância entre os eletrodos, informações importantes nos

escoamentos anular e golfadas não podem ser obtidas. Por exemplo, no padrão anular, durante

a passagem de bolhas com espessura de filme reduzida, a técnica não consegue ter uma boa

previsão do filme uma vez que a espessura é menor que o espaçamento entre os eletrodos.

Propostas relacionadas a este problema podem ser encontradas na literatura por

Rodriguez et al. (2011) , Ito et al. (2011) dentre outros.

50

Mesmo com as limitações citadas o sensor tem seus méritos, pois tem boa aplicação em

diferentes regimes de escoamento, e como sua sensibilidade térmica é baixa também pode ser

aplicado em processo em que ocasionem aquecimento do sistema.

Figura 2.24– Sensor Wire-mesh.

2.4.4 Boroscópio

O boroscópio é um tubo rígido preenchido com um arranjo de fibras ópticas e equipado

com lentes em ambas as extremidades sendo uma técnica bastante difundida em diversos ramos

industriais. O ocular do instrumento é acoplado numa câmera de vídeo digital, sendo inserido

na parede superior da tubulação por uma pequena abertura permitindo a visualização da seção

transversal do tubo.

Mesmo sendo não-intrusiva, a instrumentação limita-se aos escoamentos em que uma

única fase exista entre a lente objetiva do boroscópio e a interface, portanto se restringe a

regimes de escoamentos de fases separadas e necessita de uma iluminação externa que só pode

ser aplicada a tubos transparentes. E como a técnica é óptica dados de velocidades interfaciais

do escoamento estratificado não são obtidas, portanto, sendo um ponto negativo frente a outras.

Roitberg et. al. (2006 ) utilizando um boroscópio (Figura 2.25) numa tubulação de 24

mm e 2 m de comprimentos investigaram parâmetros do escoamento estratificado gás-líquido

tais como a altura de liquido e geometria da interface em função de diferentes inclinações da

tubulação.

51

Figura 2.25– Boroscópio. Fonte: Roitberg et. al. (2006).

Na Figura 2.26 nota-se que na horizontal a altura de água sofre grande queda com o

aumento de velocidade superficial de gás, já não ocorrendo para diferentes inclinações da

tubulação. A força gravitacional atuando no escoamento inclinado tende a empurar a água para

baixo diminuindo a amplitude da onda interfacial e, portanto tem-se uma altura média de água

menor do que na horizontal.

Na Figura 2.27 é mostrado à relação entre a curvatura da seção transversal em relação a

diferentes inclinações da tubulação. Os efeitos da inclinação fazem com que a água tenda

escoar para as periferias da tubulação, mas com o aumento de gás tanto na horizontal quanto

em escoamentos inclinados a força exercida pela fase de gás tende a empurrar a água para os

“cantos” da tubulação, sendo este fenômeno típico de transição do escoamento estratificado

para o anular.

Figura 2.26-Relação entre altura de água em função da inclinação da tubulação.

Fonte: Roitberg et. al. (2006).

52

Figura 2.27-Relação entre curvatura da seção transversal em função da inclinação da tubulação.

Fonte: Roitberg et. al. (2006).

2.4.5 Densiometria de raios-gama

Medida por ultrassom baseia-se na propagação de uma onda ultrassônica que, dada uma

frequência estabelecida, atinge a interface entre dois materiais diferentes podendo ocasionar

reflexão, transmissão, difração e espalhamento da onda. Com transdutores acoplados na

tubulação são obtidas imagens tomográficas de seção transversal, portanto da fração de vazio.

Na densiometria de raios-gama ocorre decaimento da intensidade de um feixe de raios

gama ao atravessarem um determinado material, fornecendo informação a respeito da

densidade do meio atravessado pelo feixe. Para Chan e Banerjee (1981) a técnica (Figura 2.28)

apresenta a vantagem de ser não intrusiva, mas requer blindagem e extremo cuidado nas

operações dos equipamentos, além de elevado tempo de resposta na análise temporal do sinal.

53

Figura 2.28– Densiometria de raio-gama. Fonte: Chan e Banerjee (1981).

A técnica tem como benefícios alta precisão na reconstrução da imagem e capacidade

de atravessar tubulações de aço. Porém, este instrumento emite fontes de radiação podendo

trazer riscos à saúde humana.

2.4.6 Sensores capacitivos

Sensores capacitivos têm como concepção básica de funcionamento a diferença na

capacitância dos eletrodos instalados nas tubulações. Se a área e distância entre os eletrodos são

constantes, a única contribuição para uma mudança na capacitância é devido a uma mudança

das fases, ou seja, a capacitância medida representa a quantidade das fases ou fração

volumétrica e a configuração delas dentro do duto para uma vazão pré-determinada (padrão de

escoamento). Existem vários modelos na literatura, sendo o mais simples constituído de dois

“pratos” de metal paralelos separados por uma distância d (Figura 2.29).

Um ponto negativo é que como o sensor funciona com sinais de capacitância, se as fases

possuírem permissividades elétricas semelhantes ou se uma das fases apresentar alta

condutividade, a medição pode não trazer uma boa previsão. Medições da impedância elétrica

são frequentemente usadas em misturas de gás-água para determinar a fração de vazio.

54

Figura 2.29– Densiometria de raio-gama. Fonte: Chan e Banerjee (1981).

2.4.7 Vibração induzida

A técnica de vibração induzida busca correlacionar sinais no domínio da frequência de

vibrações na tubulação com a fração volumétrica. Filho (2010) realizou experimentos aplicando

esta técnica no escoamento gás-líquido. O procedimento basicamente é constituído como: dada

uma excitação na tubulação previamente estabelecida (Figura 2.30) faz-se a calibração, ou seja,

mede-se a frequência natural no tubo vazio e totalmente cheio.Num próximo passo,varia-se a

quantidade volumétrica de líquido e mede-se a frequência natural no tubo.

Está técnica pode trazer problemas práticos, uma vez que, em condições operacionais

nas indústrias em geral, ocorrem vibrações nas tubulações a todo o momento, e uma calibração

baseada numa vibração especifica nem sempre pode funcionar ao longo do processo.

Figura 2.30– Instrumento para excitação da tubulação. Fonte: Filho (2010).

2.4.8 Câmera de alta velocidade

Nas últimas décadas, com os avanços na área de tecnologia da informática, câmeras de

alta resolução e velocidades vêm sendo adotados nas pesquisas de escoamentos multifásicos

55

para previsão de vários parâmetros e padrões de escoamento. Esta técnica, devido à sua alta

precisão, serve também como validação de outras.

Angeli e Hewitt (2000) usaram gravação de vídeo para investigar a distribuição do

tamanho de gota em escoamentos dispersos de gás-água em dutos horizontais. Pereira (2011)

estudou as propriedades geométricas e velocidade média da onda interfacial num escoamento

estratificado líquido-líquido com o auxílio de uma câmera de alta definição e velocidade.

Pincovschi et al (2006) determinaram a fração de vazio num escoamento gás-ar borbulhante

(Figura 2.31) e compararam com outras técnicas da literatura obtendo uma grande

concordância de resultados.

Figura 2.31– Bancada experimental com uma câmera (8) de alta velocidade.

Fonte: Pincovschi et al. (2006).

2.5 Transdutor de Pressão diferencial

Sensores de pressão são amplamente aplicados na indústria tanto em processos de

controle quanto monitoramento, além de pesquisas relacionadas a balanços de massa e energia.

O tipo de medidor a ser escolhido depende de diversos aspectos, seja de ordem técnica como a

melhor configuração em que ele se adapte ou econômica, em relação aos custos de instalação,

manutenção etc.

56

O campo de atuação de medidores de pressão é irrestrito e eles indiretamente servem

para mensurar outras variáveis como vazão do escoamento, velocidade de ar em túneis de

vento, identificar padrões de escoamentos etc.

Os sensores geralmente são classificados de acordo com a técnica usada na conversão

mecânica da pressão em um sinal eletrônico proporcional. A geração dos sinais obtidos por eles

pode ser de grande valia na investigação dos fenômenos que regem o escoamento.

2.6 Resumo da revisão bibliográfica

Como a proposta do trabalho é aplicar uma técnica para medir altura de água em

escoamento estratificado gás-líquido na horizontal, a revisão começa com uma síntese dos

principais padrões de escoamento e logo em seguida ressalta os subpadrões do escoamento

estratificado e um breve resumo sobre a classificação do tipo de onda interfacial do escoamento

é exposto.

As principais técnicas presentes na literatura sobre medição de fração volumétrica são

apresentadas destacando os pontos positivos e negativos. Os trabalhos de

Shi e Kocamustafaogullari (1994) e Paras et. al. (1994) serviram de base para confrontar com a

técnica da presente pesquisa para medição da altura de líquido no escoamento estratificado gás-

líquido.

Foi constatado uma lacuna do uso da técnica proposta do trabalho para medição da

altura de água do escoamento estratificado gás-líquido.

57

3. APARATO EXPERIMENTAL

Neste capítulo é apresentado o aparato experimental realizado no Laboratório

Experimental de Petróleo “Kelsen Valente” (LABPETRO). É descrito o circuito experimental,

assim como os equipamentos, instalações e softwares utilizados para a aquisição dos dados

experimentais.

3.1 Detalhamento do circuito multifásico

O circuito multifásico do LABPETRO dispõe em suas instalações de uma tubulação

horizontal de aço galvanizado de 53,5 mm de diâmetro interno, projetada para gerar diversos

tipos de padrão de escoamento do tipo gás-líquido.

Na Figura 3.1 é apresentado o esquema do circuito experimental e na Figura 3.2 a

fotografia da instalação. O aparato consiste basicamente de um circuito fechado onde circulam

os fluidos,sendo dividido em:

Sistema de injeção de ar comprimido;

Sistema de injeção de água;

Transdutor de pressão diferencial;

Visualização do escoamento;

Filmagem do escoamento.

As informações técnicas estão detalhadas no ApêndiceB.

58

Figura 3.1-Esquema do circuito experimental.

Figura 3.2- Fotografia do circuito experimental.

59

A distância dos sensores de pressão e a seção de visualização do escoamento para a

técnica de filmagem das injeções de água e gás foram definidas afim a garantir que o

escoamento estratificado gás-líquido estivesse totalmente desenvolvido. Segundo Paras et. al.

(1994) em condições análogas a esta pesquisa 300 diâmetros foram considerados satisfatórios

para o completo desenvolvimento do padrão.

Portanto, as tomadas de pressão para medição de perda de pressão bifásica, de altura de

água na seção transversal do tubo e a seção de visualização foram instaladas a mais de 18

metros de distância da injeção dos fluidos.

Na Tabela 3.1 são listadas as informações da tubulação dos trechos e seções do aparato

experimental.

Tabela 3. 1- Informações do circuito experimental.

.

3.2 Sistema de injeção de água

Para o armazenamento de água em temperatura ambiente foram utilizados dois tanques,

e o bombeamento foi feito por uma bomba centrífuga controlada por um inversor de

frequência.

A medição da vazão volumétrica foi efetuada por um medidor de vazão tipo turbina

(Figura 3.3) para baixa vazão, sendo as ranges de operações do instrumento de 0 até 0,8 litros/s.

Ffffgfgfg

Material

Rugosidade

[m]

DI

[m]

DE

[m]

L

[m]

L/D

Trecho a jusante da

injeção de ar

Aço

galvanizado

0,00015 0,0535 0,60 18 336,4

Seção de visualização Acrílico - 0,0535 0,60 0,20 -

Trecho de retorno Aço

galvanizado

0,00015 0,0535 0,60 85 -

60

Figura 3.3- Medidor de vazão volumétrica Tipo Turbina.

3.3 Sistema de injeção de gás

Para medir a vazão volumétrica de gás foi utilizado um laminador de fluxo da marca

Meriam Instruments. O range do instrumento é de 50 até120 m³/h; a Figura 3.4 mostra os

instrumentos de pressão, temperatura e o laminador que compõem o sistema.

Figura 3.4– Torre para medição de vazão volumétrica de gás.

Após a água passar no circuito, o gás é injetado a fim de gerar o escoamento

estratificado. A mangueira de injeção como mostra a Figura 3.5 é flexível de uma polegada de

diâmetro interno e possui uma válvula de retenção para evitar que a água entre no laminador de

gás.

61

Figura 3.5– Mangueira de injeção de gás no circuito.

3.4 Transdutores de pressão

Para medição de perda de pressão bifásica num trecho de 2 metros foi usado transdutor

de pressão da marca Validyne DP-15 (Figura 3.6) com diafragma número 20, fundo de escala

860 Pa e incerteza de 0,25% do fundo de escala 2,15 Pa.

Para medir a altura de água na seção transversal do tubo foram instalados dois

transdutores de pressão da marca Validyne DP-15 ambos com diafragma número 22 , fundo de

escala 2200 Pa e incerteza de 0,25% do fundo de escala 5,5 Pa.

Espaçados em 53 mm e sendo a altura da mangueira de água ou coluna de água 96 mm

como mostra a Figura 3.7, a finalidade de instalar dois medidores foi comparar os sinais de

altura de água no tubo e correlacionar os sinais para obter dados da velocidade interfacial do

escoamento. O tempo de resposta do medidor é de 1 KHz, portanto, como o transito de onda

foi em média de 100 Hz a sensibilidade do valydine a priori se mostra capaz de captar a

velocidade de onda interfacial.

A taxa de aquisição, tanto para perda de pressão e altura de água, foi de 5 KHz

codificado pelo demodulador Validyne CD-23 (Figura 3.8) sendo o sinal de saída variando de

0 a 10 V em função dos sinais de pressão dos transdutores.

62

Figura 3.6- Transdutor de pressão diferencial da marca Validyne.

Figura 3.7- Transdutor de pressão diferencial da marca Validyne para medição na seção transversal.

63

Figura 3.8- Demodulador Validyne CD-23.

3.5 Estação de controle

Os dados de vazão volumétrica de água e gás (temperatura, pressão diferencial, pressão

manométrica), perda de pressão bifásica e diferencial de pressão na seção transversal (dois

sensores) foram aquisitados por uma placa da National Instruments® (Figura 3.9). A estação de

controle é mostrada na Figura 3.10 e foi desenvolvido um programa em plataforma Labview®

para leitura das variáveis na Figura 3.11.

Figura 3.9- Placa da National Instruments® para aquisição dos sinais.

64

Figura 3.10- Estação de controle.

Figura 3.11- Painel frontal do programa para aquisição dos dados.

65

3.6 Aquisição e tratamento de imagens

Para medição da altura de água e propriedades da onda interfacial foi utilizada uma

câmera de alta velocidade (taxa máxima de 100.000 quadros/segundo) modelo i-SPEED 3

OLYMPUS, com resolução de na resolução de 1280x1024 pixels.

A câmera foi instalada em um suporte projetado para ficar fixo no pedestal mantendo

sempre na mesma posição (Figura 3.12). A iluminação foi posicionada atrás da seção de

visualização para se obter maior detalhe do escoamento. As imagens obtidas pela câmera foram

tratadas em um software desenvolvido em plataforma LabVIEW®. Maiores detalhes de

funcionamento serão discutidos no próximo capítulo.

Figura 3.12- Aparato experimental para aquisição de imagens do escoamento.

66

3.7 Organização do trabalho experimental

Os dados do trabalho na região do escoamento estratificado gás-água na horizontal,

variaram em: velocidades superficiais de água de 0,035 m/s a 0,1 m/s e velocidades superficiais

do gás de 7,5 m/s até 15 m/s. A Figura 3.13 mostra os pontos experimentais baseado na carta de

Taitel e Duckler (1976) em condições análogas, ou seja, escoamento gás-água numa tubulação

de 5,1 cm de diâmetro interno na horizontal.

Figura 3.13- Dados experimentais baseado na carta de Taitel e Duckler (1976).

67

3.8 Procedimentos para coletas dos dados

As etapas do experimento seguiram a seguinte ordem:

1. Antes de iniciar os experimentos, com a tubulação vazia era confirmado o valor de

coluna de água nos medidores de pressão na seção transversal. Depois era ligada a bomba de

água e medido com a tubulação cheia. Obtendo uma resposta positiva passava para o próximo

passo;

2. Com apenas água circulando era feito o sangramento de todos os medidores de pressão

da linha, a duração deste processo era em torno de 10 minutos, e em seguida verificava-se a

perda de pressão monofásica lida no transdutor e comparava online com a equação de Darcy.

Obtendo uma resposta positiva, próximo passo;

3. Com água já circulando na linha injetava-se gás a uma baixa vazão e novamente era

feito o sangramento dos medidores de pressão na seção transversal a fim de evitar bolhas de

água nas mangueiras ocupada pela fase gás e vice-versa, este procedimento tinha duração em

média 10 minutos. Próximo passo;

4. Definido as vazões de operação, ao mesmo tempo em que era aquisitado os dados de

vazões das fases e pressões (perda de pressão e altura de líquido) também filmava o

escoamento. Basicamente num primeiro momento foi fixada a vazão de água e variou a de gás

fazendo a ida e volta, depois foi fixada a vazão de gás e variou a de água (ida e volta).

Devido à limitação instrumental não foi possível fazer replicas dos pontos

experimentais.

68

4. PROCEDIMENTOEXPERIMENTAL

Nesta seção são apresentados os procedimentos para a obtenção dos dados

experimentais de altura de água via filmagem do escoamento pela câmera de alta velocidade e

pelo transdutor de pressão diferencial na seção transversal da tubulação. Adotando que a

interface da seção transversal seja plana, é definido o holdup de água do escoamento

estratificado gás-líquido.

4.1 Altura de água via câmera de alta velocidade

Um possivel problema na aplicação desta técnica no escoamento estraficado refere a

geometria da interface na seção tranversal. Quanto maior a curvatura , mais alto é o erro na

análise da altura de água , pois, a imagem obtida pela câmera é num plano longitudinal e a

medida obtida pela imagem pode não condizer com a realidade do fenomeno observado.

Em estudos de escoamento de fases separadas como o padrão anular e estratificado é

sabido que a geométrica da interface na seção transversal pode se configurar plana ou curva

(Figura 4.1). Parâmetros como propriedades físicas, vazões das fases, diâmetro da tubulação,

inclinação e regime laminar ou turbulento influenciam em tal geometria

(Braunner et al. 1996). Para N.G et al. (2002) a interface tende a ser curva em escoamentos de

fases separadas em tubulações de pequenos diâmetros e/ou os fluidos com densidades

semelhantes.

Figura 4.1- Geometria interfacial do escoamento estratificado gás-líquido.Fonte: Braunner et al. 1996.

69

Dada as caracteristicas do trabalho, tubulação de 53,5 mm de diâmetro interno e

densidade da água bem maior que a do gás, a técnica a priori pode ser utilizada da medição da

altura de água no escoamento.

Para a obtenção dos dados de através das imagens foi desenvolvido um software em

plataforma Labview® capaz de identificar a interface gás-líquido. O programa segue as

seguintes etapas:

Imagem original: a câmera de alta velocidade salva os arquivos em formato bitmap

como mostrado na Figura 4.2.

Figura 4.2- Imagem obtida pela câmera.

Binarização da imagem: O primeiro passo utilizado na localização da interface é a

segmentação da imagem, através da binarização. Na binarização cada pixel da imagem é

comparado a um valor denominado limiar. Se o brilho do pixel for maior que o limiar é

atribuído a ele um valor. Se for menor um outro valor é atribuído. Como a imagem

encontra-se em gray-scale, é arbitrado uma tonalidade de preto e vermelho afim de que o

contraste seja suficiente para não perder detalhes da interface. Com base nesse critério,

todo pixel que apresenta um brilho maior que o limiar é considerado preto e todo pixel

que apresenta um brilho menor é considerado vermelho. A Figura 4.3 mostra a imagem

binarizada.

70

Figura 4.3- Imagem obtida pela câmera.

Eliminação de bolhas e ruídos pela morfologia: nesta etapa a imagem binarizada é

transformada numa matriz de elementos 0 ou 1.Duas operações morfológicas, em

especial, são utilizadas pelo programa: dilatação e erosão, ambas operações utilizam um

conjunto de pontos denominado elemento estrutural,sendo este uma matriz binária, onde

os elementos com valor 1 definem a forma do elemento estrutural desejado.Depois da

realização da dilatações e erosão, obtém-se o resultado desejado. Nesta etapa faz-se a

eliminação das pequenas partículas que podem influenciar na detecção da interface.

Localização da interface: O último processo é a localização no domínio espacial dos

pontos da interface que corresponde em detectar os pontos que pertencem a uma fronteira

ou borda, ou seja, achar os pixels que apresentam um grande contraste com seus

respectivos vizinhos e, portanto delimitar os pontos de interrogação. Pela Figura 4.4 tem-

se a região da interface do escoamento.

Figura 4.4- Detecção da interface.

71

Para o cálculo de altura de água o programa fez uma varredura no eixo y de cada

imagem até a linha de fronteira ou interface. Antes do processamento de imagem tem que ser

definido a região que deseja obter os dados.

A imagem de calibração da Figura 4.5 foi inserida no software e delimitada as

coordenadas (x1,y1) e (x2,y2) em pixels e mm na região do escoamento , sendo assim feita a

conversão de pixels por mm.

Figura 4.5- Imagem de calibração.

Pela câmera de alta velocidade para cada dado experimental analisado foram extraídas

4000 imagens em 4 segundos, portanto a taxa de aquisição foi de 1000 imagens por segundo.

Para os dados de altura média foi verificado que 1000 imagens já seriam suficientes.

O software da Figura 4.6, responsável pelo tratamento das imagens, descrito neste

tópico, exporta os dados destas alturas em mm no formato.txt, e outro programa em plataforma

Labview®foi implementado (Figura 4.7) e pelos dados de entrada de altura de água da técnica

da câmera de velocidade rápida obteve-se a altura média de água em mm.

72

Figura 4.6- Painel frontal do programa: Processamento das imagens via CAV.

Figura 4.7- Painel frontal do programa: Cálculo da altura média de água e Holdup via CAV.

73

4.2 Altura de água via transdutor de pressão diferencial

Antes de iniciar a aplicação da técnica alguns termos importantes em Dinâmica dos

Fluidos (FOX, (2004) devem ser demonstrados.

4.2.1 Equação de Euller em coordenadas de linha de corrente

Linhas de corrente têm como finalidade representar graficamente o escoamento e são

desenhadas tangentes aos vetores velocidade em cada ponto. No escoamento em regime

permanente, uma partícula fluida move-se ao longo de uma linha de corrente.

Aplicando, por exemplo, um sistema de coordenadas cartesianas na descrição do

movimento de uma partícula de fluido num escoamento em regime permanente, a distancia ao

longo de uma linha de corrente é uma coordenada útil na formulação das equações do

movimento. No caso de regime transiente as linhas de corrente dão uma representação gráfica

instantânea do campo de velocidade.

A Figura 4.8 descreve as equações do movimento num plano yz em termos da

coordenada s (distância ao longo de uma linha de corrente) e coordenada n (distância normal à

linha de corrente), sendo a P a pressão no centro do elemento de fluido.

Figura 4.8- Elemento diferencial de fluido e forças de pressão na direção y. Fonte: Fox (2004)

74

Aplicando a segunda lei de Newton, na direção s de linha de corrente ao elemento fluido

de volume ( ds dn dz ) e considerando o escoamento em regime permanente, tem se a Equação

de Euler normal a uma linha de corrente determinada por:

1

ρ

∂𝑃

∂𝑛=

𝑉2

𝑅 4.1

A equação 4.1 mostra que a pressão aumenta para fora na direção normal às linhas de

corrente a partir do centro de curvatura destas linhas, ou seja, a única força que age sobre a

partícula é a força líquida de pressão. É o campo de pressão que cria a aceleração centrípeta. Se

as linhas de corrente são retas, o raio de curvatura, R, é infinito, de forma que não há variação

de pressão na direção normal às linhas de corrente.

4.2.2 Pressão estática ou termodinâmica do escoamento

Por definição pressão estática ou termodinâmica num escoamento é a pressão “sentida”

pela partícula fluida em movimento. Como a Equação de Euler normal a uma linha de corrente

mostrada no item anterior demonstra que não há variação de pressão na direção normal às

linhas de corrente, torna-se possível medir a pressão através de “tomadas de pressão” instalada

na parede do duto em uma região onde as linhas de corrente são retilíneas. (Figura 4.9)

Figura 4.9- Medição de Pressão Estática .Fonte: Fox (2004).

Devido a forças gravitacionais, a pressão estática de um fluido aumenta com a

profundidade, pois mais fluido se apóia nas camadas inferiores, e o efeito deste “peso extra”

numa camada mais profunda é equilibrada por um aumento na pressão. Assim a variação de

75

pressão estática entre dois pontos em um fluido de densidades constantes é proporcional a

distancia vertical (∆z) entre eles é descrita como:

∆P = ρg∆z 4.2

Diante desta argumentação do escoamento monofásico a técnica do trabalho pretende

expandi-la para o presente trabalho, ou seja, deseja-se medir a coluna de água na seção

transversal do escoamento estratificado gás-água utilizando transdutor de pressão diferencial.

É possível aplicá-la uma vez que o que se lê no instrumento independente ser

monofásico ou bifásico é coluna hidrostática do fluido.

4.2.3 Fundamentos

A pressão é definida com uma força normal exercida por um fluido por unidade de área.

Em função de um referencial (Figura 4.10) classifica-se a medição de pressão como:

Pressão absoluta: é medida com relação ao vácuo absoluto, ou seja, é a diferença da

pressão em um determinado ponto de medição pela pressão do vácuo (zero absoluto).

Pressão diferencial: é a diferença de pressão medida entre dois pontos. Quando

qualquer ponto diferente do vácuo ou atmosfera é tomado como referência, mede-se a

pressão diferencial.

Pressão manométrica (Gauge): é medida em relação à pressão do ambiente. Ou seja, é

a diferença entre a pressão absoluta medida em um ponto qualquer e a pressão

atmosférica.

76

4.10– Referencial de pressão.

4.2.4 Sensor adotado no trabalho

O sensor utilizado no trabalho foi do tipo transdutor de pressão diferencial

(Variable Reluctance Differential Pressure - Validyne DP15 Transducer). Aconfiguração do

Validyne DP-15 apresenta algumas vantagens em relação a outros medidores, como por

exemplo, compatibilidade com gases e líquidos e boa resposta dinâmica, alta capacidade de

sobrecarga (danificando apenas o diafragma na ocorrência da sobrecarga) e versatilidade, uma

vez que ele pode operar em diferentes ranges de medida necessitando apenas a troca do

diafragma (elemento sensível à pressão).

O mecanismo de operação desse transdutor baseia-se na variação da relutância

magnética de um diafragma metálico. O validyne é composto de um diafragma localizado entre

duas bobinas (Figura 4.11) que envolvem a parte central de um núcleo ferromagnético. Entre os

núcleos e o diafragma há um espaço (gap) ocupado pelo fluido cuja pressão se queira medir e

ao qual o transdutor de pressão está conectado.

Ao passar uma corrente alternada pelas bobinas gera-se um fluxo magnético cujas linhas

de fluxo passam pelos núcleos, pelo gap e pelo diafragma retornando, através do gap, para os

núcleos, fechando o seu caminho. O caminho percorrido pelas linhas de fluxo é conhecido por

relutância magnética. Quando a pressão em um lado do transdutor é maior do que a do outro,

ocorre uma pequena deformação do diafragma, o que causa uma alteração no gap,

aumentando-o do lado em que a pressão é maior e diminuindo do outro (Figura 4.12).

77

Consequentemente tem-se uma alteração na relutância magnética. As bobinas são

ligadas em oposição de fase e, dessa maneira, quando a pressão em ambos os lados do

transdutor é diferente,a tensão nas bobinas se altera e pode ser lido um sinal de resposta

proporcional à diferença depressão. Detalhes técnicos estão descritos no próximo capítulo.

Figura 4.11– Desenho esquemático do medidor. Fonte: Cheade (2008)

Figura 4.12– Desenho esquemático do medidor. Fonte: Cheade (2008).

78

4.2.5 Altura de líquido na seção transversal

As disposições das tomadas de pressão para medição da altura de água utilizando

transdutor diferencial são detalhadas na Figura 4.13.

Figura 4.13- Desenho esquemático das tomadas de pressão na seção transversal do tubo.

A pressão exercida no diafragma do medidor na região onde se tem água ( PW) é

descrito por:

E na região de gás (PG) é:

Portanto, o diferencial de pressão é definida como:

PW − PG = ∆P = ρWg[(∆z)W + h] − ρGg(∆z)G 4.5

Como ρG ≪ ρL o termo da pressão de coluna de gás pode ser despresada, logo a

equação 4.5 fica:

PW = ρWg[(∆z)W + h] 4.3

PG = ρGg(∆z)G 4.4

79

∆P = ρWg[(∆z)W + h] 4.6

Portanto a variação de pressão na seção transversal do tubo depende apenas da coluna

de liquido e a altura de água (h) na região do escoamento estratificado gás-liquido é definida

como:

h =∆P

ρWg− (∆z)W 4.7

Pela equação 4.7 inserindo os dados de densidade da água, gravidade, altura da tomada

de pressão de água e a pressão obtida pelo transdutor diferencial é obtido a altura de água do

escoamento. Os dados foram processados pelo programa “Cálculo do holdup de água via TPD”

(Figura 4.14) para se obter um valor médio da altura de água em mm e o holdup do

escoamento.

Figura 4.14- Painel frontal do programa: Cálculo de holdup de água pelo TPD.

80

4.3 Previsão do holdup de água

Sendo a fração volumétrica in situ de água ou holdup de água (αw) definida como a

razão entre a área de seção transversal ocupada pela fase e a área total, pela altura de água

obtém-se o holdup de água. Assumindo que a interface seja plana, é determinada a área da

seção transversal de água em função da altura h como mostra a Figura 4.15.

Figura 4.15- Desenho esquemático da área de seção transversal do escoamento estratificado

gás-líquido.

Por relação trigonométrica, o ângulo interno é relacionado com a altura h por:

𝜃 = 2 cos−1 (1 − 2h

D) 4.8

E a área ocupada pela água (Aw), sendo D o diâmetro interno do tubo, é:

𝐴𝑤 =D2

8(𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 4.9

81

Pela equação 4.10 é determinado o holdup (αw) de água, por:

αw =𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃

2π 4.10

82

5. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo é apresentado o equacionamento dos modelos unidimensionais, para

previsão do holdup de água e perda de pressão bifásica além da equação da velocidade da onda

interfacial, aplicados no escoamento estratificado gás-líquido na horizontal.

5.1 Modelos mecanicistas para previsão da fração volumétrica in situ e perda de pressão

bifásica

Neste tópico são discutidos brevemente os modelos matemáticos aplicados no trabalho,

para predição holdup de água e perda de pressão bifásica do escoamento estratificado gás-

líquido na horizontal. Os fundamentos teóricos e o equacionamento têm como arcabouço

Shoram (2006).

Em escoamentos multifásicos os modelos unidimensionais são bastante aplicados,

podendo ser divididos em:

Modelos Cinemáticos: Escorregamento entre as fases é previamente fixado. Os

modelos não requerem descrição local da interação entre as fases. Exemplo Modelo

homogêneo.

Modelo de dois fluidos: A dinâmica da interação entre as fases e a interface é parte do

problema.

5.1.1 Modelo homogêneo

É o modelo mais simples e considera que o escoamento se comporta como mistura

homogênea, agindo como um fluido monofásico com algumas pseudopropriedades ou

propriedades aparentes. São características deste modelo:

Uso das equações e leis típicas do escoamento monofásico;

83

Igualdade de velocidades (“no slip”);

Boa predição para o escoamento em bolhas ou escoamento disperso em bolhas.

5.1.2 Modelo de dois fluidos

Neste modelo são deduzidas as equações de conservação da massa e quantidade de

movimento para cada fase separadamente. A presença de termos de interação entre as fases

i.e.,intercâmbio de massa, quantidade de movimento e energia na interface são analisados.Tem

como característica:

Uso de correlações experimentais para equações de fechamento do modelo;

É necessário avaliar os parâmetros das fases separadas e correlacioná-las;

Tem boa predição para o escoamento estratificado e anular.

Neste trabalho serão confrontados o modelo homogêneo e o modelo de dois fluidos. É

proposto na equação de fechamento do modelo de dois fluidos duas abordagens para o termo

relacionado ao fator de atrito interfacial.

5.2 Equacionamento do Modelo Homogêneo e Modelo de Dois Fluidos

Antes do início da modelagem, algumas hipóteses devem ser consideradas.

Escoamento isotérmico;

Não há mudança de fases;

Não há transferência de massa;

Equilíbrio termodinâmico;

Regime permanente.

Dado uma seção de uma tubulação e a descrição de forças no elemento infinitesimal

vista pela Figura 5.1 de um escoamento gás-líquido:

84

Figura 5.1- Balanço de forças num elemento infinitesimal de um tubo com gás-líquido.

Pelas hipóteses simplificadoras, o fluxo mássico unidimensional e a equação da

quantidade de movimento unidimensional entre as fases (k) são respectivamente:

𝑊 = (𝜌𝑉𝐴)𝐾

5.1

𝑊 (

𝑑𝑉

𝑑𝑧)

𝐾= − 𝐴𝐾 (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐾− 𝑆𝐾(𝜏𝑃)𝐾 − 𝐴𝐾 𝜌𝐾𝑔𝑠𝑒𝑛𝛷

5.2

Isolando o termo de pressão da equação 5.2, a equação da quantidade de movimento

resulta em:

− (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐾=

𝑆𝐾

𝐴𝐾

(𝜏𝑃)𝐾 +𝑊

𝐴𝐾(

𝑑𝑉

𝑑𝑧)

𝐾+ 𝜌𝐾𝑔𝑠𝑒𝑛𝛷

− (𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐾= (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐹+ (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐴+ (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐺

5.3

A perda de pressão bifásica da equação 5.3 é composta basicamente: fricção ou atrito

(F), aceleração (A) e gravidade (G). Algumas simplificações para o trabalho podem ser

denotadas como, por exemplo: sendo a área de seção transversal constante, ou seja, sem efeitos

externos para acelerar ou desacelerar o escoamento, sem mudança de fase e o líquido

incompressível é desprezado o termo de aceleração e a tubulação disposta na horizontal é

desprezada o efeito da gravidade. Portanto, a perda de pressão bifásica da equação 5.3 ocorre

85

apenas pelo termo de fricção. Os subscritos G e W serão adotados para fase gás e água

respectivamente.

5.2.1 Modelo Homogêneo

Neste modelo o holdup de água é calculado pelas vazões volumétricas de injeção das

fases, portanto:

αw =

𝑄𝑊

𝐴𝑄𝑊

𝐴+

𝑄𝐺

𝐴

=𝐽𝑤

𝐽𝑤 + 𝐽𝐺

5.4

Assumindo que as fases se comportam como uma mistura o termo k é negligenciado,

assim a perda de pressão bifásica por fricção da equação 5.3 será:

− (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

F=

𝑆

𝐴𝜏𝑃

5.5

Sendo o diâmetro hidráulico definido como:

𝐷 =

4𝐴

𝑆

5.6

A tensão de cisalhamento em função do fator de atrito f por Fanning:

𝜏𝑃 =

1

2𝑓 𝜌𝑚(𝐽𝑚)2

5.7

Aplicando as equações 5.6 e 5.7 em 5.5, temos a perda de pressão bifásica por fricção

do modelo homogêneo:

− (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

F=

2

𝐷𝑓 𝜌𝑚(𝐽𝑚)2

5.8

86

Usando a correlação de Dukler descrita em Wallis (1969) para a viscosidade da mistura:

𝜇𝑚 = αw𝜇𝑤 + (1 − αw)𝜇𝐺

5.9

A densidade da mistura por:

𝜌𝑚 = αw𝜌𝑤 + (1 − αw)𝜌𝐺 5.10

Sendo o Reynolds da mistura:

𝑅𝑒𝑚 =

𝜌𝑚𝐽𝑚𝐷

𝜇𝑚

5.11

Para o fato de atrito a forma explicita de Moody extraída de Neves (1974):

𝑓 = 0,0055 [1 + (2. 104휀

𝐷+

106

𝑅𝑒𝑚)

1

3

]

5.12

5.2.2 Modelo de dois fluidos

No modelo de dois fluidos a equação 5.3, sem o termo gravitacional e de aceleração, é

aplicada as fases considerando os termos interfaciais. Portanto, as equações unidimensionais da

quantidade de movimento para escoamento estratificado aplicadas a fase água e gás são

respectivamente:

− (

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝑤=

𝑆𝑊

𝐴𝑤

(𝜏𝑃)𝑤 −1

𝐴𝑤 𝑆𝑖𝜏𝑖

− (𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝐺=

𝑆𝐺

𝐴𝐺

(𝜏𝑃)𝐺 +1

𝐴𝐺 𝑆𝑖𝜏𝑖

5.13

87

Assumindo por equilíbrio dinâmico que a perda de pressão bifásica por fricção e a

tensão cisalhante interfacial sejam iguais para as fases, a equação 5.13 é reescrita como:

(𝜏𝑃)𝐺

𝑆𝐺

𝐴𝐺− (𝜏𝑃)𝑊

𝑆𝑊

𝐴𝑊+ 𝜏𝑖𝑆𝑖 (

1

𝐴𝐺+

1

𝐴𝑊) = 0

5.14

A Equação 5.14 pode ser resolvida numericamente, por exemplo, em função da altura

de água na seção transversal dada as velocidades superficiais estabelecidas. Equações de

fechamento para as tensões cisalhantes e perímetros molhados da seção transversal devem ser

estabelecidas. Após os termos da equação de fechamento ser estimados na solução da

equação 5.14 têm-se os dados de holdup de água e aplicando na equação 5.13 são obtidos os

dados de perda de pressão bifásica.

Para as equações de fechamento necessárias para as tensões cisalhantes e perímetros

molhados do escoamento gás-líquido, o presente trabalho considera a interface da seção

transversal como sendo plana (vide Figura 5.2), sendo os parâmetros dos perímetros molhados

descritos na Tabela 5.1.

Figura 5.2- Seção tranversal com interface plana.

88

Tabela 5. 1- Parâmetros geométricos da interface plana.

Parâmetros Geométricos Interface plana

𝜃 2 𝑐𝑜𝑠−1 (1 − 2

ℎ

𝐷)

𝑆𝑊 𝐷

2𝜃

𝑆𝐺 𝜋𝐷 − 𝑆𝑊

𝑆𝑖 𝐷𝑠𝑒𝑛 (𝜃

2)

𝐴𝑤 𝐷2

8(𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

𝐴𝐺 𝜋𝐷2

4− 𝐴𝑤

Para as tensões cisalhantes são propostos:

Diâmetro hidráulico

Os diâmetros hidráulicos de água e gás sugeridos por Agrawal et al. (1973 ):

𝐷ℎ𝑤 =

4𝐴𝑤

𝑆𝑤 𝐷ℎ𝐺 =

4𝐴𝐺

𝑆𝐺 + 𝑆𝑖

5.15

Número de Reynolds

Para o escoamento de fases separadas o número de Reynolds é definido como:

𝑅𝑒𝑤 =

𝜌𝑤𝑉𝑤𝐷ℎ𝑤

𝜇𝑤 𝑅𝑒𝐺 =

𝜌𝐺𝑉𝐺𝐷ℎ𝐺

𝜇𝐺

5.16

89

Tensões cisalhantes

As tensões cisalhantes parietais da água e do gás e a tensão cisalhante interfacial são

funções das velocidades in situ das fases e seus fatores de atrito correspondentes. As equações

abaixo descrevem as tensões cisalhantes para água (𝜏𝑃)𝑊, gás (𝜏𝑃)𝐺e interfacial (𝜏𝑖):

(𝜏𝑃)𝑊 = 𝑓𝑤

𝜌𝑤𝑉𝑤2

2 (𝜏𝑃)𝐺 = 𝑓𝐺

𝜌𝐺𝑉𝐺2

2 𝜏𝑖 = 𝑓𝑖

𝜌𝐺(𝑉𝐺 − 𝑉𝑖)2

2

5.17

Para 𝑉𝐺 ≫ 𝑉𝑖 é desconsiderado a velocidade interfacial da equação 5.17 .

Fator de atrito na parede

Para o fato de atrito a forma explicita de Moody extraída de Neves (1974) aplicada as

fases:

Água

𝑓𝑤 = 0,0055 [1 + (2. 104휀

𝐷ℎ𝑤+

106

𝑅𝑒𝑊)

1

3

]

5.18

Gás:

𝑓𝐺 = 0,0055 [1 + (2. 104휀

𝐷ℎ𝐺+

106

𝑅𝑒𝐺)

1

3

]

5.19

90

Fator de atrito interfacial

O fator de atrito interfacial na equação de tensão cisalhante interfacial é um termo

importância e ao mesmo tempo desafiador no modelo de dois fluidos, existe um grande

interesse em pesquisas nos fenômenos que ocorre na interface.

O fator de atrito interfacial proposto por Taitel e Duckler (1976) é definido pela fase

que escoa mais rápido. Como a fase mais rápida neste caso é a de gás, logo:

𝑓𝑖 = 𝑓𝐺

5.20

Duas propostas são abordadas tendo como fundamento os trabalhos de

Cheremisinoff e Davis (1979), Miya et al. (1971) , Hanratty et al. (1971) , Paras et al. (1994) e

Kowalski (1984).

A primeira é isolar o termo da tensão interfacial da equação 5.13 para a fase de água e

aplicá-lo na equação 5.17, portanto:

𝑓𝑖 = 2 [

𝐴𝑤

𝑆𝑖((

𝑑𝑃

𝑑𝑧)

𝑒𝑥𝑝+

𝑆𝑊

𝐴𝑤

(𝜏𝑃)𝑤)]1

𝜌𝐺(𝑉𝐺)2

5.21

Na equação 5.21 são inseridos os dados experimentais da perda de pressão bifásica,

e para os perímetros molhados assumindo interface plana como mostra a Tabela 5.1, a altura

média de água obtida pela câmera de alta velocidade. A escolha dos dados de altura pela

câmera é justificada, pois sendo o instrumento de referência no cálculo de holdup de água,

pretende aprimorar o modelo para que se aproxime dos dados da câmera e por conseqüência

seja aplicado nos dados obtidos via transdutor diferencial.

A segunda proposta é pela equação da quantidade de movimento acoplada para as fases

na equação 5.14. Isola o termo da tensão interfacial da equação e aplica na equação 5.17,

portanto:

91

𝑓𝑖 = 2 [−(𝜏𝑃)𝐺

𝑆𝐺

𝐴𝐺+ (𝜏𝑃)𝑊

𝑆𝑊

𝐴𝑊

𝑆𝑖 (1

𝐴𝐺+

1

𝐴𝑊)

]1

𝜌𝐺(𝑉𝐺)2

5.22

Na equação 5.22 são inseridos os dados experimentais de altura média de água como no

caso anterior.

Miya et al. (1971) sugere que o fator de atrito de atrito interfacial seja em função do

número de Reynolds água pela equação:

𝑅𝑒𝑤

∗ =𝜌𝑤𝐽𝑤

𝜇𝑤(

𝜋𝐷𝑖2

4 𝑆𝑖)

5.23

Com os resultados obtidos da relação entre as equações 5.21 e 5.22 em função do

Reynolds da equação 5.23 (Vide Seção 6.2) têm-se a modelagem para o termo de tensão

interfacial.

Na primeira proposta a tensão será:

𝜏𝑖 = [0,0015 + 5,6𝑥10−6𝑅𝑒𝑤

∗ ]𝜌𝐺(𝑉𝐺)2

2

5.24

E para segunda:

𝜏𝑖 = [4,3𝑥10−6𝑅𝑒𝑤

∗ ]𝜌𝐺(𝑉𝐺)2

2

5.25

5.3 Equacionamento da velocidade da onda interfacial

O cálculo da velocidade da onda interfacial baseia-se em Crowley et al.(1992).Partindo

da equação 5.14 em função do holdup de água :

𝐹 =

−𝜏𝑖𝑆𝑖 + (𝜏𝑃)𝑊𝑆𝑊

𝐴αw− (

𝜏𝑖𝑆𝑖 + (𝜏𝑃)𝐺𝑆𝐺

𝐴(1 − αw))

5.26

92

Sendo F a relação de equilíbrio local da quantidade de movimento de cada fase,

assumindo que a onda seja cinemática, a velocidade da onda interfacial pode ser definida pela

variação da velocidade superficial de água em relação ao holdup de água, sendo:

𝑐 = (𝜕𝐽𝑤

𝜕αw)

(𝐽𝑤+𝐽𝐺)

=

𝜕𝐹

𝜕αw

𝜕𝐹

𝜕𝐽𝑤−

𝜕𝐹

𝜕𝐽𝐺

5.27

Crowley et al.(1992) sugere que os fatores de atrito parietais e interfacial sejam

constantes e iguais a 0,005. Porém esta afirmativa não se mostrou bem posta para o trabalho,

sendo, portanto são obtidos vias equações 5.18, 5.19 e 5.25 (melhor previsão) para as fases de

água, gás e interfacial respectivamente.

As derivadas da função F da equação 5.27 podem ser verificadas pelo autor citado ou

pelo código da implementação no Apêndice E.

93

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Nesta seção são apresentados e discutidos os resultados experimentais, previsões dos

modelos mecanicistas e a análise qualitativa da estrutura ondulatória no escoamento. Os tópicos

são estruturados como: comparação da medição de altura média de água pela técnica do

transdutor de pressão diferencial e câmera de alta velocidade. Comparação dos dados

experimentais de holdup de água e perda de pressão bifásica com os modelos da literatura:

modelo homogêneo e modelo de dois fluidos (Taitel e Duckler e proposto no trabalho) e

apresentação da análise qualitativa da estrutura ondulatória.

A fim de comparar os dados quantitativos foi empregado a seguinte equação de RMS

(Root mean square) ou erro global médio:

Nos tópicos, serão usadas as seguintes abreviações: Transdutor de pressão diferencial

(TPD) e câmera de alta velocidade (CAV).

6.1 Comparação entre a altura média de água obtida pela técnica CAV e TPD

As Figuras 6.1 a 6.4 apresentam os dados de altura média de água do escoamento

estratificado ondulado gás- água na horizontal obtido via CAV e TPD em função das

velocidades superficiais das fases. Na Figura 6.6 é mostrada a comparação quantitativa dos

dados, sendo a linha tracejada o desvio percentual dos valores previstos de altura média pelo

TDP em relação à CAV, a linha sólida a concordância ideal e o (RMS) o erro global médio.

Pelas Figuras 6.1 a 6.4 conclui-se: pelos dados apresentados, em todos os testes a altura

média de água pelo TPD foi maior que pela CAV. Também nota-se que ambos os métodos se

mostram sensíveis às variações das velocidades superficiais das fases, podendo ser observado

𝑅𝑀𝑆 = [1

𝑁∑ |

𝑇𝑒𝑜 − 𝐸𝑥𝑝

𝐸𝑥𝑝|

𝑁

𝑖

] ∗ 100 6.1

94

que com a velocidade superficial de gás constante a elevação da velocidade superficial de água

fez com que aumentasse a altura média de água, e para velocidade superficial de água constante

pelo aumento da velocidade superficial do gás ocorreu um decréscimo na altura média de água.

A altura média de água sofre variação com a velocidade das fases devido a turbulência

do escoamento, mantendo a velocidade superficial de água constante e aumentando a de gás

ocorre maior perturbação do gás no filme líquido e decréscimo médio da altura de água. Para

velocidade superficial de gás constante e aumentando a de água, a perturbação da fase líquida

na fase gás aumenta e consequentemente um acréscimo médio da altura de água.

Outra observação relevante, pelo range de operação tanto pela técnica de CAV quanto

pela TPD, a altura média de água ficou abaixo da linha de centro da tubulação, ou seja, em

todos os testes a porção ocupada pela fase gás foi preponderantemente maior que a de água.

Fato este, corroborado pelas observações a olho nu como mostra a Figura 6.5.

9 10 11 12 13 14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

JG [m/s]

h [

mm

]

J w = 0,05 m/s

TPD

CAV

Figura 6.1- Altura média de água obtida pela CAV e TPD com Jw=0,05 m/s.

95

8 9 10 11 12 13 14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 J w = 0,06 m/s

JG [m/s]

h [

mm

]

TDP

CAV


7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

TDP

CAV

h [

mm

]

JG [m/s]

J w = 0,07 m/s


96

7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

JG [m/s]

h [

mm

]

J w = 0,08 m/s

TDP

CAV


Figura 6.5- Imagem do escoamento.

Sendo a CAV a técnica de referência para o cálculo de altura média de água,

comparando-a quantitativamente com o TPD como mostra a Figura 6.6, o desvio percentual na

medição de altura média de água pelo transdutor de pressão foi de 25% com um erro global

médio de 18%, ou seja, a altura média de água pela técnica teve uma dispersão em geral de

25% em relação a altura “real” .

Dada à complexidade deste tipo de escoamento e que o transdutor de pressão diferencial

utilizado, da marca Validyne tem suas limitações como, por exemplo, a mangueira de água

97

quando invadida por bolhas de gás e vice-versa podem trazer alterações na leitura devido à

sensibilidade do diafragma do instrumento. A técnica proposta no trabalho revelou possuir um

potencial para medição de altura média de água no escoamento estratificado ondulado gás-água

na horizontal.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 RMS= 18 %

+25%

h [

mm

] (T

PD

)

h [mm] (CAV)

Figura 6.6- Comparação da altura média de água pelo TPD e CAV.

A influência das velocidades superficiais de água e gás na altura média de água também

foi averiguada pelo TPD. Na Figura 6.7, mantendo a velocidade superficial do gás constante e

variando a de água é observado que a altura média de água no escoamento tende a aumentar.

Por outro lado, para velocidade superficial da água constante e variando a de gás, é observado

que a altura média de água diminui. Fato este já mencionado quando comparado as técnicas de

CAV e TPD. É interessante constatar que o instrumento conseguiu captar a relação entre a

velocidade superficial das fases com a altura média de água.

Trabalhos na literatura como de Paras et al. (1994) com a sonda de fios paralelos

convergem para o mesmo resultado obtido pelo transdutor. Os autores verificaram que na

horizontal mantendo a velocidade superficial de água constante e aumentando a de gás, a altura

média de água diminui. Nota-se que em ambas as situações da Figura 6.7 (a) e (b) a altura

média de água diminui/aumentou de 22 mm para aproximadamente 10 mm.

98

Roitberg et. al. (2006) também usando sonda de fios paralelos constataram que na

horizontal a variação das velocidades superficiais exerce alterações na altura média de água,

não sendo observadas mudanças bruscas em tubulação inclinadas.

Portanto, a sonda de capacitância de fios paralelos e o transdutor de pressão diferencial

demonstraram mesma tendência em relação a altura média de água em função da variação da

velocidade superficial de gás na horizontal.

8 10 12 14 16

12

14

16

18

20

22

hT

PD

[mm

]

J g [m/s]

Jw= 0,035 [m/s]

Jw= 0,045 [m/s]

Jw= 0,05 [m/s]

Jw= 0,061 [m/s]

Jw= 0,07 [m/s]

Jw= 0,08 [m/s]

Jw= 0,09 [m/s]

a)

0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

12

14

16

18

20

22

hT

PD [

mm

]

Jw [m/s]

Jg= 7 [m/s]

Jg= 8 [m/s]

Jg= 9 [m/s]

Jg= 10 [m/s]

Jg= 11 [m/s]

Jg= 12[m/s]

Jg= 13 [m/s]

Jg=15 [m/s]

b)

Figura 6.7- Altura média de água em função da velocidade superficial de água e gás.

99

6.2 Resultados da aplicação dos modelos mecanicistas

São apresentadas nesse tópico as comparações dos dados experimentais, de holdup de

água pelas técnicas (TPD e CAV) e perda de pressão bifásica, com os modelos. Foram

confrontados o modelo homogêneo e modelo de dois fluidos (fator de atrito de Taitel e Duckler

(1976) e proposto no trabalho pelas equações 5.24 e 5.25 do capítulo 5).

6.2.1 Modelagem do fator de atrito interfacial

O fator de atrito interfacial da equação 5.24 e 5.25 são demonstrados pelas

Figuras 6.8. e 6.9 respectivamente. Em ambas as abordagens ele possui uma relação linear com

o Reynolds da água, esta relação está de acordo com o previsto na literatura como pode ser

vista em Cheremisinoff e Davis (1979), Paras et al. (1994) e Miya et al. (1971).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

Re*

w

fi [E

qu

aça

o 5

.21

]

fi=0.0015+5.6x10

-6Re

*

W

Figura 6.8-Fator de atrito interfacial da eq. 5.24 (Capítulo 5).

100

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

Re*

w

fi [E

qua

ça

o 5

.22

]

fi=4.3x10-6Re*W

Figura 6.9-Fator de atrito interfacial da eq. 5.25 (Capítulo 5).

6.2.2 Comparação do Holdup de água obtido pela CAV com os modelos

As Figuras 6.10 a 6.13 mostramos dados de holdup médio de água experimental, obtido

pela CAV, com os modelos em função das velocidades superficiais das fases. Nas Figuras 6.14

a 6.17 são apresentadas as comparações quantitativas dos dados experimentais com os modelos,

sendo a linha tracejada o desvio percentual dos valores previstos pelos modelos sem relação aos

dados obtidos no experimento, a linha sólida a concordância ideal e o (RMS) o erro global

médio.

Em geral é verificado que os modelos subestimam os dados experimentais de holdup de

água, isto ocorre devido aos parâmetros do fator de atrito das fases adotado. No confronto

entre o modelo homogêneo e o modelo de dois fluidos é nítido que a modelagem mais

sofisticadas e mostra mais apropriada na previsão do parâmetro.

Assim como a altura média de água , o holdup de água sofre variação com a velocidade

das fases devido a turbulência do escoamento, mantendo a velocidade superficial de água

constante e aumentando a de gás ocorre maior perturbação do gás no filme líquido e

decréscimo médio do holdup de água. Para velocidade superficial de gás constante e

101

aumentando a de água , a perturbação da fase líquida na fase gás aumenta e consequentemente

ocorre um acréscimo médio do holdup de água. Nota-se que os modelos apresentados com

exceção do modelo homogêneo apresentam as mesmas tendências observadas nos dados

experimentais.

O modelo homogêneo apresenta um holdup de água quase que inexistente. Este

resultado é esperado, pois no equacionamento o escoamento comporta-se como um

pseudofluido ou análogo ao escoamento monofásico. Como a velocidade superficial do gás é

muito maior que a de água, o escoamento bifásico é modelado como se estivesse escoando

unicamente gás. Esta afirmativa é comprovada pela previsão do modelo com os dados

experimentais na Figura 6.14, onde se tem um desvio maior que de 100% e erro global médio

de 97%.

Pelas Figuras 6.10 a 6.13 comparando o modelo de dois fluidos (Taitel e Duckler e das

equações 5.24 e 5.25) com os dados experimentais de holdup de água observa-se que: os

modelos expressam uma tendência observada na maioria dos dados experimentais ,para

velocidade superficial de água constante e ascensão de gás o holdup de água tende a decrescer.

É confirmada uma evolução na previsão do holdup de água pela modelagem do fator de

atrito interfacial proposto do trabalho. Na Figura 6.15 a comparação quantitativa do modelo de

Taitel e Duckler com dados experimentais revela um desvio de 30% e o erro global médio

25%, na Figura 6.16 no modelo com o fator de atrito da equação 5.24 têm-se um desvio de

25% e erro de 23% e por fim na Equação 6.17 com o fator de atrito da equação 5.25 o desvio é

de 20% e erro de 17%.

Portanto, pelo confronto entre os dados experimentais de altura média de água pela

CAV com os modelos pode-se concluir: o modelo de 2-fluidos apresenta melhores resultados

que o homogêneo, o fator de atrito da equação 5.25 se mostrou melhor posto que o de Taitel e

Duckler e o da equação 5.24.

Pelo “ganho” da modelagem do fator de atrito da equação 5.25 quando comparado com

o de Taitel e Duckler é interessante notar que o fator de atrito interfacial neste escoamento

102

estratificado ondulado traz uma melhor previsão do que o adotado como sendo da fase mais

rápida.

Na comparação entre os fatores de atrito propostos, a equação 5.24 modela o termo em

relação à fase líquida e uma justificativa para o resultando ser pior que a equação 5.25 é que, na

literatura a maioria dos modelos utiliza para o cálculo do fator de atrito na fronteira os

equacionamentos semelhantes ao proposto por Blasius para o escoamento monofásico, em que

o fator de atrito é expresso em função do Reynolds do gás, os resultados para o escoamento

monofásicos apresentam similaridades para os perfis de velocidades do escoamento bifásico da

fase gás.

O mesmo não ocorre na fase líquida, o fator de atrito em escoamento monofásico para

previsão de perda de carga em muitos modelos se mostra limitado, logo para bifásicos a

complexidade é ainda maior.

9 10 11 12 13 14

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

Jw=0,05 m/s

JG [m/s]

holdup exp [CAV]

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq.5.25

w

Figura 6.10-Holdup de água pela CAV com Jw=0,05 m/s.

103

8 9 10 11 12 13 14

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

w

JG [m/s]

Jw=0,06 m/s

holdup exp [CAV]

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq.5.25


7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

w

JG [m/s]

Jw=0,07 m/s

holdup exp [CAV]

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq.5.25


104

7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

w

Jw=0,08 m/s

JG [m/s]

holdup exp [CAV]

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq.5.25


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

+100%

RMS=97%

w

hom

ogêneo

w

experimental [CAV]

Figura 6.14-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo CAV com o modelo homogêneo.

105

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

RMS=26%

-30%

w

Ta

ite

l&D

uckle

r

w

experimental [CAV]

Figura 6.15-Comparação do Holdup médio de água pela CAV com o modelo de 2-fluidos

(Taitel e Duckler).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

RMS=23%

-25%

w experimental [CAV]

w

Eq. 5.2

4

Figura 6.16-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo CAV com o modelo de 2-fluidos

(Equação 5.24).

106

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

RMS=17%

-20%

w

Eq. 5.2

5

w experimental [CAV]

Figura 6.17-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo CAV com o modelo de 2-fluidos

(Equação 5.25).

6.2.3 Comparação do Holdup de água obtido pelo TPD com os modelos

As Figuras 6.18 a 6.25 mostram os dados de holdup de água experimental, obtido pelo

TPD, com os modelos em função das velocidades superficiais das fases. Nas Figuras 6.26 a

6.29 são apresentadas as comparações quantitativas dos dados experimentais com os modelos,

sendo a linha tracejada o desvio percentual dos valores previstos pelos modelos em relação aos

dados obtidos no experimento, a linha sólida a concordância ideal e o (RMS) o erro global

médio.

Qualitativamente as comparações entre os dados de holdup de água pelo TPD foram

análogas a CAV e quantitativamente também observa uma evolução dos modelos aplicados

sendo que: na Figura 2.6 o modelo homogêneo apresenta um desvio de 100% e erro global

médio de 97%, na Figura 6.27 Taitel e Duckler tem um desvio de 50% e o erro global médio

46%, na Figura 6.28 no modelo com o fator de atrito da equação 5.24 têm-se um desvio de

45% e erro de 42% e por fim na Equação 6.17 com o fator de atrito da equação 5.25 o desvio é

de 40% e erro de 36%.

107

Na comparação dos modelos com os dados experimentais, os desvios e erros globais

foram maiores no TPD em relação a CAV. Era previsível uma vez que os dados de altura média

do TPD em todas as analises foram maiores que a da CAV e os modelos subestimaram os

dados da câmera.

7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

JG [m/s]

w

Jw=0,035 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25

Figura 6.18- Holdup de água pelo TPD com Jw=0,035 m/s.

7 8 9 10 11 12 13

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

JG [m/s]

w

Jw=0,04 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


108

6 8 10 12 14 16

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

w

JG [m/s]

Jw=0,05 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


7 8 9 10 11 12 13

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

w

JG [m/s]

Jw=0,055 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25

Figura 6.21- Holdup de água pelo TPD com Jw=0,055m/s.

109

7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

w

Jw=0,06 m/s

JG [m/s]

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


7 8 9 10 11 12 13

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

w

JG [m/s]

Jw=0,07 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


110

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

w

JG [m/s]

Jw=0,08 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

w

JG [m/s]

Jw=0,09 m/s

holdup exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


111

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

w

hom

ogêneo

w experimental

+100%

RMS=97%

Figura 6.26- Comparação do Holdup médio de água obtida pelo TPD com o modelo homogêneo.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

w experimental [TPD]

w

Taitel&

Duckle

r

-50%

RMS=46%

Figura 6.27-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo TPD com o modelo de 2-fluidos

(Taitel e Duckler).

112

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

w

Eq

. 5

.24


-45%

RMS=42%

Figura 6.28-Comparação do Holdup médio de água obtida pelo TPD com o modelo de 2-fluidos

(Equação 5.24).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0


w

Eq. 5.2

5

RMS=36%

-40%

Figura 6.29- Comparação doHoldup médio de água obtida pelo TPD com o modelo de 2-fluidos

(Equação 5.25)

113

6.2.4 Perda de Pressão Bifásica

As Figuras 6.30 a 6.37 apresentam as comparações de perda de pressão bifásica num

trecho de 2 m na tubulação com os modelos em função das velocidades superficiais das fases.

Nas Figuras 6.38 a 6.41são apresentadas as comparações quantitativas dos dados experimentais

com os modelos, sendo a linha tracejada o desvio percentual dos valores previstos pelos

modelos em relação aos dados obtidos no experimento, a linha sólida a concordância ideal e o

(RMS) o erro global médio.

Os modelos superestimam os dados experimentais de perda de pressão bifásica e o

modelo de dois fluidos se mostra melhor posto do que o homogêneo. Pelas Figuras 6.30 a 6.37

os modelos revelam uma tendência observada nos dados experimentais em que: a perda de

pressão bifásica aumenta para velocidade superficial de água constante e aumento de gás. Isto

ocorre, pois o aumento da velocidade superficial das fases faz com que aumente a turbulência

do escoamento e consequentemente também aumente a perda de pressão bifásica.

Analogamente as observações para o holdup de água, ocorre uma evolução na aplicação

dos modelos em relação aos dados experimentais: o modelo homogêneo apresenta um desvio

de 400% e erro global médio de 300%, Taitel e Duckler um desvio de 60% e o erro global

médio de 34% e por fim para os modelos com as equações 5.24 e 5.25 os desvio são de 55% e

48% e os erros de 39% e 34% respectivamente.

Modelos de correlações empíricos e fenomenológicos para predição de fração

volumétrica in situ e perda de pressão bifásica do escoamento estratificado tem sido proposto

nas últimas décadas, todavia, são limitados e carece de maiores entendimentos. Entre os

principais inconvenientes na modelagem é relacionado ao termo interfacial e a geometria da

seção transversal da tubulação.

Como foi descrito no trabalho, a negligência das ondas de perturbação do escoamento

estratificado no cálculo da tensão cisalhante no modelo de Taitel e Duckler (1976) demonstra

que modelos mais sofisticados podem obter melhores previsões.

114

Na literatura o modelo apparent rough surface (ARS) como pode ser visto em

Vlacos et al. (1999) assume que a superfície na interface gás-líquido seja áspera e a medida que

se aumenta a velocidade de gás a interface da seção transversal tende a ficar côncava e não

plana como proposta no presente trabalho.

7 8 9 10 11 12 13 14 15

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Jw=0,035 m/s

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa

/m]

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25

Figura 6.30- Perda de Pressão Bifásica com Jw=0,035 m/s.

7 8 9 10 11 12 13

50

100

150

200

250

300

350

400

JG [m/s]

dp/d

x [

Pa/m

] Jw=0,04 m/s

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


115

6 8 10 12 14 16

0

100

200

300

400

500

600

Jw=0,05 m/s

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa/m

]

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


7 8 9 10 11 12 13

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Jw=0,055 m/s

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa

/m]

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


116

7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

200

300

400

500

600

700

Jw=0,06 m/s

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa

/m]

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


7 8 9 10 11 12 13

100

200

300

400

500

600

Jw=0,07 m/s

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa/m

]

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


117

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5

100

200

300

400

500

600

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa

/m] Jw=0,08 m/s

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


8,5 9,0 9,5 10,0

100

150

200

250

300

350

400

450

500

JG [m/s]

dp

/dx [

Pa

/m]

Jw=0,09 m/s

dp/dx exp

Homogêneo

Taitel&Duckler

Eq. 5.24

Eq. 5.25


118

0 100 200 300 400 500 600 700

0

100

200

300

400

500

600

700

dp

/dx [

Pa

/m] h

om

og

ên

eo

dp/dx [Pa/m]experimental

+400%

RMS=300%

Figura 6.38- Comparação Perda de Pressão Bifásica experimental como modelo homogêneo.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0

50

100

150

200

250

dp

/dx [

Pa

/m] T

aite

l&D

uckle

r

RMS=43%

+60%

dp/dx [Pa/m] experimental

Figura 6.39- Comparação Perda de Pressão Bifásica experimental como modelo de Taitel e Duckler.

119

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0

50

100

150

200

250

dp

/dx [

Pa

/m] E

q. 5

.24


RMS=39%

+55%


(Equação 5.24).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0

50

100

150

200

250

dp

/dx [

Pa

/m] E

q. 5

.25

RMS=34%

+48%



(Equação 5.25).

120

6.3 Análise qualitativa da estrutura ondulatória do escoamento estratificado

Neste tópico são investigadas algumas características da estrutura ondulatória do

escoamento pela análise dos sinais do TPD e imagens da CAV. Dada as velocidades

superficiais das fases pretende-se averiguar: as flutuações da altura de água ao longo do tempo

e sua analogia com as ondas observadas, espectro de freqüência dominante dos sinais, ou seja,

o trânsito de ondas no escoamento e a velocidade da onda interfacial.

6.3.1 Altura de água em função do tempo

Para velocidade superficial de água constante igual a0,05 m/s e velocidade superficial

do gás variando de 8,5 m/s até 14 m/s é analisado a altura de água pelo tempo do sinal do TPD

e sua relação com a estrutura ondulatória observada pelas imagens. Diferente da obtenção do

holdup de água neste caso não é a altura média.

Pela Figura 6.42 para velocidade superficial da água de 0,05 m/s e velocidade

superficial do gás de 8,5 m/s nota-se que a altura de água em alguns intervalos de tempo é

“constante” com pequenos picos e outras situações com grandes picos. Foi observado pelas

imagens da CAV que o escoamento ora possui ondas de grandes amplitudes (disturbance

waves) ora com pequenas amplitudes (ripples) como mostra a Figura 6.43 (a) e (b)

respectivamente. Portanto, grandes picos no sinal podem revelar ser de ondas com grande

amplitude e pequenos de ondas de curta amplitude.

Para este ponto experimental é possível ver as ondas a olho nu e a altura de água em

geral do escoamento segue uma “tendência” mínima de em torno 10 mm pela CAV.

Figura 6.42- Sinal do TPD com Jw=0,05 m/s e JG=8,5 m/s .

121

a)

b)

Figura 6.43- Imagem da CAV para Jw=0,05 m/s e JG=8,5 m/s .

Na Figura 6.44 com velocidade superficial da água de 0,05 m/s e velocidade superficial

do gás de 10,5 m/s as características são análogas ao caso anterior,de regiões de pequenos e

grandes picos, mas observa que neste caso o sinal da altura de água não segue uma “tendência”

de mínimo podendo ser quase nula.Pela CAV não é possível ver todas as ondas a olho nu

ficando a imagem “borrada” e verifica-se que em determinas região a altura é muito baixa.

Figura 6.44- Sinal do TPD com Jw=0,05 m/s e JG=10,5 m/s .

Nas Figuras 6.45 a 6.47 para velocidade superficial de água constante e igual a 0,05 m/s

e de gás de 12, 13 e 14 m/s respectivamente, segue as mesmas características dos pontos

anteriores, porém a frequência da altura de água tender a zero vai se acentuando a medida que

se aumenta a velocidade superficial de gás.

122

Figura 6.45- Sinal do TPD com Jw=0,05 m/s e JG=12 m/s .



6.3.2 Análise dos sinais do TPD no domínio da frequência

A Figura 6.48 apresenta a análise espectral das frequências dominantes dos sinais do

TPD, ou seja, o transito de ondas. Nos pares de velocidades superficiais de água e gás que ela

se mantém estável em torno de 6 Hz para todos os pontos. Esta estabilidade na região do

escoamento estratificado ondulado corrobora com trabalhos da literatura, a divergência de

frequências se da pelas técnicas utilizadas pelos autores.

123

Segundo Shi e Kocamustafaogullari (1994) que nas mesmas condições de operação

deste trabalho, esta região do estratificado ondulado possui ondas de grandes amplitudes que

“aclopam” as menores fazendo com que a frequência dominante tenda a estabilidade nesta

região no escoamento. Usando a técnica de sonda de condutância de fios paralelos a frequência

medida pelos autores foi em torno de 3 Hz.

Paras et al. (1994) pelos sinais das sondas de condutância de fios paralelos observaram

que para velocidades superficiais do gás até 17 m/s a frequência dominante variou de 1 a 3 Hz,

já em velocidades acima de 20 m/s foi de 5 a 10 Hz .

Portanto, o transdutor diferencial de pressão mesmo com as diferenças medidas de

frequências pelos autores citados conseguiu captar este fenômeno presente no escoamento

estratificado ondulado.

8 10 12 14

0

2

4

6

8

10

12

14

Jw= 0,035 [m/s]

Jw= 0,045 [m/s]

Jw= 0,05 [m/s]

Jw= 0,06 [m/s]

Jw= 0,07 [m/s]

Jw= 0,08 [m/s]

Jw= 0,09 [m/s]

Fre

quência

dom

inante

[1/s

]

JG [m/s]

Figura 6.48-Análise espectral do sinal.

6.3.3 Velocidade da onda interfacial

Para obtenção da velocidade da onda interfacial pelas técnicas de TPD e CAV as

ferramentas matemáticas e computacionais estão detalhadas no Apêndice A. Alguns percalços

foram constatados nas duas técnicas , na CAV devido a fenomenologia ondularia do

124

escoamento para os pontos de vazão de gás (acima de 12 m/s aproximadamente)a técnica de

filmagem não se mostra eficiente, pois, como já relatado na seção (6.3.1) nestas regiões

ocorrem ondas bidimensionais de grande amplitude e tridimensionais não sendo possível ver

todas a olho nu ficando a imagem “borrada”, na literatura este tipo de onda é chamada de

atomizadas. Portanto, para se ter uma melhor acurácia na análise foram escolhidos pontos

experimentais com predominância de ondas bidimensionais. Na técnica do TPD a inviabilidade

fica a cargo da instrumentação, logo não se obteve dados necessitando uma análise mais

criteriosa em trabalhos futuros.

Na Figura 6.49 para velocidade superficial de água constante crescente, os dados de

velocidade de onda interfacial estão de acordo com os trabalhos da literatura. Paras et al

.(1994) e Shi e Kocamustafaogullari (1994) nesta região de velocidades superficiais das fases a

velocidade da onda experimental está abaixo de 1m/s.Para os pontos de velocidades

superficiais de água constante e igual a 0,06 e 0,08 m/s pode-se observar que com o

crescimento da velocidades superficial de gás a velocidade onda interfacial tende a

aumentar.Nas Figuras 6.51 a 6.53 mostram que a velocidade da onda é muito próxima da

velocidade in situ da fase de água.

Pela Figura 6.50 dado os grupos adimensionais nota-se que há uma tendência de queda

na velocidade de onda, como previsto em Shi e Kocamustafaogullari (1994) nesta região, mas

que segundo os autores para velocidades superficiais de gás mais altas as ondas tendem a

coalescer formando ondas com maior aceleração e resultando um valor constante para o

adimensional da velocidade da onda pela velocidade de gás.

125

7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

JG [m/s]

cexp [

m/s

]

Jw=0,05

Jw=0,06

Jw=0,08

Figura 6.49-Velocidade da onda interfacial em função das velocidades superficiais das fases.

100 110 120 130 140 150 160 170 180

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0,045

0,050

0,055

0,060

0,065

0,070

c/J

g

Jg/Jw

Figura 6.50-Adimensional para propagação da onda interfacial experimental.

126

7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0

0

2

4

6

8

10

Jw=0,05 m/s

JG [m/s]

Vw

Vg

c exp

Ve

locid

ad

e [

m/s

]

Figura 6.51- Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,05 m/s em função das velocidades in situ.

7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0 9,2

0

2

4

6

8

10

Jw=0,06 m/sV

G

VW

c exp

JG [m/s]

Ve

locid

ad

e [

m/s

]

Figura 6.52-Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,06 m/s em função das velocidades in situ.

127

8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 9,0

0

2

4

6

8

10

JG [m/s]

Ve

locid

ad

e [

m/s

]

Jw=0,08 m/s VG

VW

c exp

Figura 6.53--Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,08 m/s em função das velocidades in situ.

Nas Figuras 6.54 a 6.56 no confronto entre as velocidades de onda teórica e

experimental em função da altura média de água algumas informações podem ser extraídas, tais

como: os dados experimentais comparados com o teórico possuem boa aproximação, na Figura

6.57 o erro global ficou em torno de 12% e o desvio em mais ou menos 10%; na relação entre a

altura média de água com a velocidade da onda interfacial, pelos gráficos tem a condição de

velocidade de água constante e a de gás crescente, nota-se que com o aumento da altura média

de água em geral tanto os dados teóricos quanto os experimentais a velocidade de onda tende a

diminuir. Esta afirmação também pode ser analisada na contra prova, onde a diminuição da

altura média de água significa aumento de velocidade superficial de gás , e como já foi

explanado o aumento da fase gás faz com que aumente as amplitudes de onda que tendem a

coalescer formando ondas com maior aceleração.

128

10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Ve

locid

ad

e [

m/s

]

h [mm] (CAV)

c teo

c exp

Figura 6.54-Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,05 m/s em função da altura médiade água.

12,0 12,2 12,4 12,6 12,8 13,0 13,2 13,4 13,6 13,8 14,0 14,2

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

h [mm] (CAV)

Ve

locid

ad

e [

m/s

]

c teo

c exp

Figura 6.55-Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,06 m/s em função da altura média de água.

129

12,2 12,4 12,6 12,8 13,0 13,2 13,4 13,6 13,8 14,0 14,2

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

h [mm] (CAV)

Ve

locid

ad

e [

m/s

]

c teo

c exp

Figura 6.56--Velocidade da onda interfacial para Jw= 0,08 m/s em função da altura médiade água.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-10%

c e

xp

c teorico

+10%

RMS= 12,5%

Figura 6.57- Comparação entre os dados experimentais e teóricos da velocidade da onda interfacial.

130

7. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Este trabalho apresentou um estudo sobre o escoamento estratificado gás-líquido na

horizontal tendo como principal objetivo propor uma técnica para medição de altura de líquido

utilizando transdutor de pressão diferencial. Os dados foram confrontados com a técnica de

filmagem do escoamento. Pelos sinais do transdutor investigaram-se as freqüências

dominantes, ou seja, o transito de onda, e a relação entre a altura de água no tempo e a estrutura

ondulatória. Modelos presentes na literatura foram comparados com os dados experimentais de

holdup de água e perda de pressão bifásica, uma contribuição da pesquisa à modelagem foi

sobre o termo interfacial presente nas equações de fechamento do modelo de dois fluidos. E

pela câmera de alta velocidade fez-se um estudo sobre a natureza da onda interfacial.

Os principais resultados podem ser assim sintetizados:

Comparação dos dados experimentais da altura média de água pela técnica proposta no

trabalho com a filmagem do escoamento

Utilizando a técnica de filmagem do escoamento como um parâmetro para validar a

eficácia da técnica proposta, quantitativamente o desvio percentual na medição de altura média

de água pelo transdutor de pressão foi de 25% com um erro global médio de 18%. Este

resultado mostrou que a técnica do trabalho possui grande potencial para medições de altura de

água no escoamento estratificado gás-água, dada a complexidade deste padrão de escoamento e

a própria limitação da instrumentação.

Qualitativamente pôde ser verificado que: para velocidade superficial de água constante

e crescente de gás, tanto pela técnica de filmagem quanto pelo transdutor a altura média de

água tendeu a diminuir e ocorrendo o inverso para velocidade de gás constante e aumento de

água. A altura média de água sofre variação com a velocidade das fases devido a turbulência do

escoamento, mantendo a velocidade superficial de água constante e aumentando a de gás ocorre

maior perturbação do gás no filme líquido e decréscimo médio da altura de água. Para

velocidade superficial de gás constante e aumentando a de água, a perturbação da fase líquida

na fase gás aumenta e consequentemente um acréscimo médio da altura de água.

131

Outra observação foi que, dado o range de velocidades superficiais das fases, a altura

média de água ficou abaixo da linha de centro da tubulação, ou seja, em todos os testes a

porção ocupada pela fase gás foi preponderantemente maior que a de água.

Comparação dos modelos mecanicistas com os dados experimentais do holdup de água

Como o trabalho obteve altura média de água pelo transdutor de pressão e pela

filmagem, assumindo interface da seção transversal plana, dados experimentais de fração

volumétrica in situ de água ou simplesmente holdup de água foram confrontados com os

modelos teóricos presentes na literatura e o proposto na pesquisa.

Em ambas as técnicas foram constadas: os modelos subestimaram os dados

experimentais de holdup de água devido aos parâmetros de fator de atrito das fases e eles

expressaram uma tendência observada nos dados experimentais em que: para velocidade

superficial de água constante e aumento de gás o holdup de água tendeu a decrescer em todas

as situações avaliadas, sendo pelo mesma razão descrita pela altura média de água.

Comparando o modelo de dois fluidos (Taitel e Duckler e as propostas para o fator de

atrito interfacial) com os dados experimentais de holdup de água observou uma evolução na

previsão pelos modelos desenvolvidos. Pode-se concluir que o fator de atrito interfacial no

escoamento estratificado ondulado trouxe uma melhor previsão do que o adotado como sendo

da fase mais rápida por Taitel e Duckler.

Comparação dos modelos mecanicistas com os dados experimentais de perda de pressão

bifásica

Em todos os pontos confrontados os modelos superestimam os dados experimentais de

perda de pressão bifásica e eles expressaram uma tendência observada nos dados experimentais

em que: a perda de pressão bifásica aumentou para velocidade superficial de água constante e

132

aumento de gás.. Isto ocorre, pois o aumento da velocidade superficial das fases faz com que

aumente a turbulência do escoamento e consequentemente também aumente a perda de pressão

bifásica.

Analogamente ao holdup de água, ocorreu uma evolução na aplicação dos modelos em

relação aos dados experimentais.

Relação entre a altura de água no tempo com a estrutura ondulatória

Comparando os sinais de altura de água no tempo com as observações feitas pela

filmagem do escoamento notou que as situações de altura de água “constante” e outras com

grandes picos demonstraram ser de ondas de grandes amplitudes (disturbance waves) e de

pequenas amplitudes (ripples) respectivamente.

Para velocidades superficiais de gás de 8,5 a 10,5 m/s o filme de liquido manteve-se

constante numa dada região da tubulação a certa distante da parede inferior,com ondas

bidimensionais podendo ser vistas a olho nu. Já para velocidades de gás maiores o sinal da

altura de água não seguiu uma “tendência” de mínimo podendo ser quase nula e pela câmera

algumas ondas ficaram distorcidas nas imagens.

Análise espectral das freqüências do sinal do TPD

Pela região do escoamento estratificado ondulado estudado, a análise espectral das

freqüências dominantes do sinal do TPD mostrou que para todos os pontos analisados ela se

manteve em torno de 6Hz. Está situação corroborou com o trabalho de Shi e

Kocamustafaogullari (1994) e Paras et al. (1994) que na região de velocidades superficiais de

gás semelhante ao do trabalho também obteve freqüências constantes .

133

Velocidade da onda interfacial

Para obtenção da velocidade da onda interfacial alguns problemas foram constatados

nas técnicas do trabalho, nas filmagens devido a fenomenologia ondularia do escoamento para

os pontos de vazão de gás (acima de 12 m/s aproximadamente) a técnica não se mostrou

eficiente, pois algumas ondas pareciam “borradas” e pelo transdutor a inviabilidade ficou a

cargo da instrumentação.

Pelos dados obtidos pela câmera pode-se concluir: os dados se mostraram de acordo os

trabalhos da literatura, a velocidade mostra que a velocidade da onda é muito próxima da

velocidade in situ da fase de água.

Supondo que a onda seja cinemática, no confronto entre as velocidades teórica com a

experimental o erro global ficou em torno de 12% e o desvio em mais ou menos 10%.Na

relação entre altura média de água e a velocidade da onda verificou que com a diminuição da

altura média de água ocorreu aumento de velocidade superficial de gás , e como consequência o

aumento da fase gás faz com que aumente as amplitudes de onda que tendem a coalescer

formando ondas com maior aceleração.

Com o intuito de dar continuidade a esta pesquisa, para trabalhos futuros é sugerido:

Coletar um banco de dados mais abrangente do escoamento principalmente nas regiões

de transições de padrão;

Utilizar outros tipos de medidores de pressão diferencial disponíveis no mercado;

Aprofundar o estudo dos modelos unidimensionais em relação aos termos interfaciais;

Propor novas investigações sobre a aplicabilidade da técnica na medição da velocidade

de onda no escoamento estratificado ondulado.

Testar a técnica em outros padrões de escoamento como o anular.

134

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140

APÊNDICE A - VELOCIDADE MÉDIA DAS ONDAS VIA TPD E CAV

Neste capítulo é investigada a velocidade de onda interfacial pelas técnicas de TPD e

CAV. Duas ferramentas matemáticas são importantes para tal análise: a transformada rápida de

Fourier e correlação cruzada.

No escoamento estratificado ondulado as ondas de diferente natureza, formas e

tamanhos podem coexistir e na tentativa de se calcular as propriedades médias surgem

problemas devido às diferentes propriedades geométricas de cada uma dessas, ora pela

interferência de ondas com comprimento muito menor, ora pela sobreposição de ondas de

comprimento muito maior. Ondas curtas, intermediárias ou longas possuem propriedades

geométricas e cinemáticas suficientemente distintas, de tal forma que a sobreposição observada

num determinado instante de tempo não se propaga para um determinado instante de tempo

subsequente.

Utilizando-se o algoritmo da transformada de Fourier (FFT) obtêm-se o espectro das

ondas através do qual se estabelecem as frequências de corte a ser determinada, ou seja, quais

tipos de ondas devem ser descartadas. Portanto, o primeiro passo para calcular a velocidade das

ondas pelo TPD e CAV é a filtragem dos sinais através da FFT . A filtragem de corte foi de 100

Hz.

O segundo passo com o sinal já filtrado é aplicado a técnica de correlação cruzada que

basicamente mede o grau de similaridade entre dois sinais em função de um atraso aplicado a

um deles. É frequentemente utilizada quando se deseja procurar por um sinal de curta duração

que esteja inserido em um sinal mais longo, portanto, aplicando a correlação cruzada é

encontrado o tempo de defasagem entre os sinais.

Matematicamente a correlação cruzada é descrita como: dado dois sinais x(t) e y(t) do

domínio do tempo a correlação cruzada é expressa pela equação:

141

A amplitude de cada amostra do sinal de correlação cruzada é uma medida de quanto o

sinal medido em um determinado tempo t + τ, lembra o sinal medido no tempo t. Isto significa

que irá ocorrer um pico no sinal de correlação cruzada, em outras palavras, o valor da

correlação cruzada é maximizado quando os sinais defasados no tempo estão alinhados. Desta

forma, a correlação cruzada leva em conta não apenas o pico do sinal, mas a semelhança de

toda a sua forma de onda.

Rxy é uma função de correlação cruzada entre x(t) e y(t) defasados no tempo 𝜏. Essa

função mede o grau de relacionamento linear entre as duas funções. O cálculo de Rxyé realizado

da seguinte maneira: os valores de x(t) são multiplicados ponto a ponto pelos valores de

𝑦(𝑡 + 𝜏) formando uma terceira função, a área desta função é então divida pelo período T

obtendo um valor médio. O processo é repetido para cada valor de 𝜏. O gráfico de Rxy mostra

os picos de correlações em função da defasagem no tempo, sendo o maior pico a melhor

correlação dos sinais.

Especificamente neste trabalho pela técnica do TPD, os sinais obtidos pelos transdutores

como mostrado na seção 3.4 espaçados em 53 mm são filtrados pela FFT e é aplicada a

correlação cruzada. Fisicamente dado a fenomenologia ondulatória do escoamento é esperado

que a onda captada pelo sensor a montante também seja pelo ajuste e através da correlação

cruzada como o melhor pico de correlação é obtido o tempo de transito das ondas. Logo com os

dados da distância entre os sensores e o tempo defasagem é obtido à velocidade da onda

interfacial.

Para a técnica da CAV depois de realizado o processo descrito pela seção 4.2 onde se

obtém a interface o sinal é filtrado e é aplicada a correlação cruzada do conjunto de imagens

subseqüentes.

Tanto a correlação cruzada quanto a FFT foram implementadas no software em

plataforma Labview®. Os pontos experimentais desta análise para o TPD foram:velocidade

𝑅𝑥𝑦 (𝜏) = ∫ 𝑥+∞

−∞

(𝜏)𝑦(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 A. 1

142

superficial de água constante igual a 0,05 m/s e velocidade superficial de gás de 7,5 m/s a 15

m/s, para a CAV os dados estão na seção 6.3.3.

A.1 Velocidade média das ondas pela TPD

Pela figura A.1 para velocidade superficial de água igual a 0,05 m/s e de gás igual a 8,5

m/s, tem-se os sinais de pressão pelos transdutores sendo os pontos pontilhados em vermelho e

preto os sinais brutos e em linhas continuas os sinais filtrados. Antes de aplicar a correlação

cruzada já se nota que há uma similaridade entre os sinais, porém com defasagem quase nula.

Fazendo a correlação cruzada dos sinais filtrados (Figura A.2) foi observado que o

melhor pico de correlação tem defasagem de tempo igual 0,0004 s e velocidade de onda de

133,75 m/s, e mesmo para o próximo pico o valor não condiz com os dados da CAV.

Pelas Figuras A.3 até A.6 para os dados de velocidade superficial de água igual a 0,05

m/s e de gás igual a 10,5, 12 e 15 m/s é notado que ocorre a mesma situação. Foram testados

todos os dados experimentais do trabalho obtendo respostas análogas, ou seja, defasagem para

o melhor pico de correlação muito baixa e para os próximos não condizentes com a realidade.

Diante destes resultados a técnica do TPD para análise das velocidades das ondas se

mostra ineficiente.

143

Figura A. 1- Sinais do TPD filtrados e normalizados para Jw =0,05 m/s e JG= 8,5 m/s.

Figura A. 2- Correlação cruzada dos sinais do TPD.

144

Figura A. 3- Correlação cruzada para Jw =0,05 m/s e JG= 10,5 m/s

Figura A. 4- Correlação cruzada para Jw =0,05 m/s e JG= 12 m/s.

145



146

APÊNDICE B - INSTALAÇÕES EXPERIMENTAIS DO LABPETRO

B.1 Sistemas de suprimento de água

A água fica armazenada em dois tanques de polipropileno, com capacidade de 2 m³ e

4 m³ (Figura B.1) e é bombeada para a linha por uma bomba centrifuga da marca Imbil (de 0 à

15000 W , 0 à 1760 rpm e potência nominal de 15 CV(Figura B.2) acionada remotamente por

inversor de frequência da marca Vacon com range de 2500 à 3000W (Figura B.3).

Figura B.1-Tanque de armazenamento de água.

147

Figura B. 2- Bomba centrifuga para o bombeamento de água.

Figura B. 3- Inversor de frequência.

B.2 Medidor de vazão de água

O medidor de vazão tipo turbina emite sinais de corrente de 4-20mA que são

convertidos em tensão de 2-10V e possui um módulo eletrônico de vazão com saída digital

(Figura B.4) . Para aquisição de dados levantou uma curva de aferição do medidor (Figura B.5).

148

Figura B. 4-- Módulo eletrônico de vazão.

2 4 6 8 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Va

zoم

[lit

ros/s

]

Tensمo [V]

Equation y = a + b*x

Adj. R-Square 0,99973

Value Standard Error

Vazمo [litros/s] Intercept -0,19255 0,004

Vazمo [litros/s] Slope 0,09794 5,65508E-4

Figura B. 5-Curva de aferição do medidor de vazão volumétrica.

B.3 Sistema de suprimento de gás

Para o suprimento de ar comprimido o Labpetro possui um compressor de ar rotativo,

armazenado em dois cilindros de 1 m³ de volume cada. O sistema é responsável por abastecer

uma linha de 0,072 m de diâmetro interno, distribuindo ar para todo o laboratório. A linha

conta com dois purgadores eletônicos com a finalidade de garantir a baixa umidade do ar

durante a utilização. O compressor tem 50 CV de potência com vazão de saída de 349,3 m³/h

com pressão de operação de 960 KPa.

149

B.4 Medidor de vazão de gás

O laminador de ar usado no experimento (Figura B.6) é também chamado de medidor

de resistência linear, a vazão é linearmente proporcional à diferença de pressão. Esta diferença

de pressão gerada no escoamento pelo laminador é a própria perda de carga, ou seja, a

diferença de pressão medida através do equipamento é expressa pela dissipação viscosa do

escoamento entre a entrada e a saída do mesmo. Assim a relação entre a perda de pressão e

vazão dependem da viscosidade do gás, portanto sendo necessário obter medida de temperatura

do fluido para medição acurada do laminador.

Este equipamento é constituído de vários tubos com diâmetros suficientes pequenos

para que o escoamento seja laminar permanente e completamente desenvolvido, este perfil de

escoamento é conhecido como escoamento de Poiseuille.

Figura B-6-Laminador de ar da marca Meriam Instruments.

A equação para medir a vazão volumétrica deste elemento é baseada como já foi

mencionado num escoamento viscoso através de tubo cilíndrico, sendo laminar e estacionário, e

pela Lei de Poiseuille:

𝑄 =𝜋∆𝑃𝐷4

128𝜇𝐿 B.1

150

Sendo ∆𝑃 o diferencial de pressão na entrada e saída do laminador, D o diâmetro do

mesmo, 𝜇 a viscosidade dinâmica do gás e L o comprimento ou a distância entre as tomadas de

pressão.

Nota-se pela equação B.1 que a vazão volumétrica é diretamente proporcional ao

diferencial de pressão e inversamente à viscosidade. Usualmente os laminadores de fluxo são

calibrados na condição normal de temperatura e pressão ( U. S Standard Conditions 70°F e

1 atm). A curva de calibração da vazão padrão pode ser representada em função somente do

diferencial de pressão, como segue:

Sendo B e C constantes de calibração do medidor fornecida pelo fabricante.

Para usar esse tipo de instrumento em condições diferentes da calibração é preciso fazer

algumas correções na viscosidade para vazão volumétrica e densidade para vazão mássica.

B.4.1 Correção da vazão volumétrica

Rearranjando a equação B.1:

Nota-se que a equação tem uma parte constante ou geométrica do sistema e definindo a

vazão volumétrica Q na condição normal de temperatura e pressão, ou seja , Qstd e a vazão na

condição atual de pressão e temperatura como Q P,T, pela razão das vazões citadas tem-se:

𝑄𝑠𝑡𝑑 = 𝐵∆𝑃 + 𝐶∆𝑃2 B. 2

𝑄 = (𝜋𝐷4

128𝐿)

∆𝑃

𝜇 B. 3

𝑄𝑠𝑡𝑑

𝑄𝑃,𝑇= (

𝜋𝐷4

128𝐿)

∆𝑃

𝜇𝑠𝑡𝑑

1

(𝜋𝐷4

128𝐿)

∆𝑃

𝜇𝑃,𝑇

B. 4

151

Onde 𝜇𝑠𝑡𝑑 e 𝜇𝑃,𝑇 são denominações da viscosidade nas condições normais de pressão e

temperatura e na condição atual de pressão e temperatura respectivamente.

Para o mesmo diferencial de pressão e realizando as simplificações, a equação B.4 fica:

Substituindo a equação B.2 na B.5:

B.4.2 Correção da vazão mássica e volumétrica com dados do fabricante

É sabido que para o mesmo diferencial de pressão, a vazão mássica é diferente na

condição normal da condição de calibração, logo fazendo a correção:

Considerando o gás como sendo ideal, a densidade é definida como:

Onde P é a pressão absoluta, T a temperatura e R a constante do gás, substituindo a

equação B.8 (com a densidade normal e atual) e B.5 em B.7:

𝑄𝑠𝑡𝑑

𝑄𝑃,𝑇=

𝜇𝑃,𝑇

𝜇𝑠𝑡𝑑 B. 5

𝑄𝑃,𝑇 = (𝐵∆𝑃 + 𝐶∆𝑃2)𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑃,𝑇 B. 6

�̇�𝑠𝑡𝑑

�̇�𝑃,𝑇=

𝜌𝑠𝑡𝑑𝑄𝑠𝑡𝑑

𝜌𝑃,𝑇𝑄𝑃,𝑇 B. 7

𝜌 =𝑃

𝑅𝑇 B. 8

152

Fazendo as simplificações em B.9, obtêm:

Sendo a vazão mássica na condição normal dada por:

Substituindo B.11 em B.10:

Enfim, substituindo a equação B.2 em B.12 temos a correção da vazão da mássica que

atravessa o instrumento fornecendo o mesmo diferencial de pressão nas condições de

calibração:

A curva de calibração do laminador é fornecida pela fabricante, que considera taxa de

variação do ar seco em pé cúbico por minuto [CFM] versus diferencial de pressão (∆𝑃) em

�̇�𝑠𝑡𝑑

�̇�𝑃,𝑇=

𝑃𝑠𝑡𝑑

𝑅𝑇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑃,𝑇

𝑃𝑃,𝑇

𝑅𝑇𝑃,𝑇

B. 9

�̇�𝑃,𝑇 = �̇�𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑃,𝑇

𝑃𝑃,𝑇

𝑃𝑠𝑡𝑑

𝑇𝑠𝑡𝑑

𝑇𝑃,𝑇 B. 10

�̇�𝑠𝑡𝑑 = 𝜌𝑠𝑡𝑑𝑄𝑠𝑡𝑑 B. 11

�̇�𝑃,𝑇 = (𝜌𝑠𝑡𝑑𝑄𝑠𝑡𝑑)𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑃,𝑇

𝑃𝑃,𝑇

𝑃𝑠𝑡𝑑

𝑇𝑠𝑡𝑑

𝑇𝑃,𝑇 B. 12

�̇�𝑃,𝑇 = 𝜌𝑠𝑡𝑑(𝐵∆𝑃 + 𝐶∆𝑃2) (𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑃,𝑇) (

𝑃𝑃,𝑇

𝑃𝑠𝑡𝑑) (

𝑇𝑠𝑡𝑑

𝑇𝑃,𝑇) B. 13

153

polegadas de água [in H20], 4°C. Essa curva é gerada usando a equação quadrada de segunda

ordem na equação B.2 sendo as constantes B=7,93941 e C=-0,055913.

Multiplicando a equação B.2 pelos fatores de correção da viscosidade, temperatura,

pressão e densidade é obtida a equação fornecida pelo manual do fabricante para vazão

volumétrica na condição normal para o ar úmido, portanto:

O termo (𝜇𝑠𝑡𝑑/𝜇𝑓) é referente à razão entre a viscosidade na condição normal do ar e a

viscosidade do úmido. Sendo a equação do 𝜇𝑓 dada por:

O fator de correção para umidade do ar (𝜇𝑤𝑒𝑡/𝜇𝑑𝑟𝑦) é encontrado pelo gráfico do

fabricante (Figura B.7).

𝑄𝑤𝑒𝑡−𝑎𝑖𝑟 = (𝐵∆𝑃 + 𝐶∆𝑃2) (𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑓) (

𝑇𝑠𝑡𝑑

𝑇𝑓) (

𝑃𝑓

𝑃𝑠𝑡𝑑) B. 14

𝜇𝑓 = 𝜇𝑤𝑒𝑡−𝑎𝑖𝑟 = (14,58(𝑇)

3

2

110,4 + 𝑇) (

𝜇𝑤𝑒𝑡

𝜇𝑑𝑟𝑦) B. 15

154

Figura B.7- Fator de correção da umidade relativa para viscosidade do ar.

Nas condições de operação do trabalho a equação B.14 foi calculada como:

Ou seja, a vazão volumétrica em [CFM] depende da diferença de pressão no laminador,

viscosidade corrigida, temperatura e pressão manométrica na entrada da torre de gás. Obtida a

vazão volumétrica foi encontrada a vazão mássica que entra na torre de gás e corrigida pela

vazão mássica na linha no escoamento.

B.4.3 Calibração dos instrumentos da torre de gás

A torre de gás é composta por um instrumento de medição de temperatura digital da

marca Contemp (Figura B.8) com termoresistências do tipo Pt-100 sendo o range de operação

de 0 até 80°C e sinais de corrente de 4-20mA que são convertidos em tensão de 2-10V . As

calibrações das termoresistências foram feitas por meio de um banho termostático. O

procedimento de calibração consiste em colocar as termoresistências imersas no banho

𝑄𝑤𝑒𝑡−𝑎𝑖𝑟 = (𝐵∆𝑃 + 𝐶∆𝑃2) (𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝑓) 𝑇 𝑃𝑚𝑎𝑛 B. 16

155

termostático, fixar a temperatura do banho, medir essa temperatura por meio da

termoresistência padrão e medir a resistência elétrica nos terminais dos sensores a serem

calibrados. Repete-se esse procedimento tanto para o aquecimento quanto para o resfriamento

do banho, abrangendo toda a range de trabalho do instrumento, obtendo-se assim, a relação

temperatura versus resistência para os instrumentos. A Figura B. 9mostra o gráfico de

calibração dos medidores tipo PT-100 utilizado para medir a temperatura de gás na entrada da

torre.

Figura B.8- Medidor de temperatura da marca Contemp e Termoresistência PT-100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Te

mp

era

tura

[°C

]

Tensمo [V]




Temperatura [°C] Intercept -18,42121 0,33676

Temperatura [°C] Slope 9,01793 0,05259

Figura B.9- Curva de calibração da termoresistência PT-100.

156

Para calibração dos medidores de pressão manométrico e diferencial (Figura B.10) foi

utilizado um calibrador de pressão DPI 615 de marca Druck com precisão de 0,1 kPa (Figura

B.11). O instrumento tem sinal de corrente elétrica de 4-20mA ,que são convertidos em tensão

de 2-10V, correspondente a pressão aplicada. O range do medidor manométrico é de 0 até 5

bar e o diferencial de 0 até 8 in H20, as Figuras B.12 e B.13 respectivamente mostram as curvas

de calibração dos medidores.

Figura B.10- a) medidor manométrico; b) medidor diferencial.

Figura B.11- calibrador de pressão.

157

0 2 4 6 8 10

-1

0

1

2

3

4

Pre

ssoم

[B

ar]

Tensمo [V]


Adj. R-Square 1


Pressمo [Bar] Intercept -1,014 4,59896E-16

Pressمo [Bar] Slope 0,507 7,20079E-17

Figura B.12- Curva de calibração da pressão manométrica na torre de gás.

2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

Pre

ssoم

[in

H2

0]

Tensمo [V]




Pressمo [in H20] Intercept -2,04262 0,08244

Pressمo [in H20] Slope 1,01344 0,01229

Figura B.13- Curva de calibração da pressão diferencial na torre de gás.

158

B.5 Curva de calibração da pressão na linha, perda de pressão bifásica e no TPD

Para o trabalho experimental foram feitas medições de pressão manométrica e

diferencial usando o Valydne DP-15 usando diferentes diafragmas (Figura B.16). Todos os

instrumentos foram calibrados com o calibrador de pressão (Figura B.11). Os sinais de corrente

de4-20mA foram convertidos por resistores em tensão de 2-10V.

Na medição da pressão manométrica da linha utilizou o diafragma 36 e a curva de

calibração é mostrada na Figura B.14. Para medição da perda de pressão bifásica o diafragma

usado foi baseado na equação teórica de Darcy para perda de pressão no escoamento

monofásico. A curva de calibração é mostrada na Figura B.15.

0 2 4 6 8 10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Pre

ssoم

[b

ar]

Tensمo [V]




Pressمo [bar] Intercept -0,0119 0,00931

Pressمo [bar] Slope 0,03553 0,00146

Figura B.14- Curva de calibração da pressão na linha.

159

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

800

1000

Pre

ssoم

(P

a)

Tensمo [V]




Pressمo (Pa) Intercept 3,40857 4,83008

Pressمo (Pa) Slope 86,10152 0,83171

Figura B.15- Curva de calibração da perda de pressão bifásica.

Na medição no diferencial de pressão na seção transversal o diafragma utilizado foi

baseado na altura da tomada de pressão no transdutor até o topo do tubo considerando cheio de

água, ou seja, neste caso a pressão seria de 1495 Pa, escolhendo o diafragma 24. As Figuras

B.17 e B.18 mostram a curva de calibração dos dois valdynes.

160

Figura B.16- Manual do fabricante para os diafragmas do Validyne.

161

0 2 4 6 8 10

0

500

1000

1500

2000

2500

Pre

ssoم

[P

a]

Tensمo [V]

Equation y = a +

Adj. R-Squ 0,98837

Value Standard Er

Pressمo [P Intercep 32,1028 55,90928

Pressمo [P Slope 237,000 9,70956

Figura B.17- Curva de calibração do transdutor (1) diferencial na seção transversal.

0 2 4 6 8 10

0

500

1000

1500

2000

2500

Pre

ssoم

[P

a]

Tensمo [V]

Equation y = a + b

Adj. R-Squ 0,98824

Value Standard Er

Pressمo [Pa Intercept 31,5395 56,23632

Pressمo [Pa Slope 238,303 9,81684

Figura B.18- Curva de calibração do transdutor (2) diferencial na seção transversal.

162

APÊNDICE C - INCERTEZA EXPERIMENTAL

A medida experimental de uma grandeza nunca será exata, pois sempre existirá alguma

incerteza no valor numérico devido às limitações dos equipamentos de medições. E quando

essas medidas incertas são utilizadas no cálculo de outros parâmetros, estes novos valores

também estão sujeitos a algum erro associado.

O procedimento é estimar a incerteza em cada grandeza a medida (tempo, distância,

massa temperatura, pressão, etc) e posteriormente analisar a propagação das incertezas nos

resultados experimentais obtidos.

A análise dos erros podem ser classificada em:

Erro de grandezas diretamente mensuráveis: são obtidas diretamente do instrumento

de medição ou do instrumento de medição pela curva de calibração.

Erro de grandezas indiretamente mensuráveis: são dependentes de uma função de

diversas variáveis. Um bom modelo para a propagação de erros deste tipo é considerar que o

erro é igual à raiz quadrada da soma dos efeitos dos quadrados de cada um dos erros

individuais, utilizando a regra da cadeia:

Sendo que cada elemento 𝑥𝑖 representa uma grandeza originalmente medida e ∆𝑥𝑖é a

incerteza experimental no valor medido de 𝑥𝑖.

∆𝑓 = √∑ (𝑑𝑓

𝑑𝑥𝑖

∆𝑥𝑖)

2

𝑖

C. 1

163

C.1 Erro de grandezas diretamente mensuráveis

Na Tabela C.1 são apresentados as incertezas dos instrumentos utilizados na pesquisa

conforme o catálogo dos fabricantes.

Tabela C. 1- Precisão dos instrumentos de medição.

Finalidade Variável Precisão (catálogo) Incerteza relativa

∆𝑥𝑖

Torre de ar

(Medidor manométrico)

Pman 0,25% do fundo de escala ∆𝑃𝑚𝑎𝑛=±0,25%

Torre de ar

(Diferencial de pressão

entrada/saída do laminador)

∆𝑃 0,75% do fundo de escala ∆𝑃𝐺=±0,75%

Torre de ar

(Temperatura do ar)

𝑇 0, 5% do fundo de escala ∆𝑇=±0,75%

Vazão volumétrica de água Qw 0, 5% do fundo de escala ∆𝑄𝑤=±0, 5%

Perda de pressão bifásica

(validyne DP-15 diafragma 20)

∆𝑃𝐵𝑖𝑓á𝑠𝑖𝑐𝑜 0,25% do fundo de escala ∆𝑃𝐵𝑖𝑓=±0,25%

Pressão de coluna de água na

seção transversal


∆𝑃𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 0,25% do fundo de escala ∆𝑃á𝑔𝑢𝑎=±0,25%

Diâmetro da tubulação

(medição com paquímetro

digital)

D 0,01% do fundo de escala ∆𝐷=±0,01%

164

C.2 Erro de grandezas indiretamente mensuráveis

Pela equação C.1 são calculados os erros das grandezas indiretamente mensuráveis das

medições do trabalho que são:

Velocidade superficial da água

Sendo a equação da velocidade superficial da água descrita por:

𝐽𝑊 =𝑄𝑤

𝜋𝐷2

4

C.2

Aplicando a equação C.1 em C.2 a incerteza associada ao cálculo da velocidade

superficial da água será dada por:

∆𝐽𝑤 =𝐷2

𝑄𝑤

√4𝑄𝑤

2 ∆𝐷2 + 𝐷∆𝑄𝑤2

𝐷6 C.3

Velocidade superficial do gás

Sendo a equação da velocidade superficial do gás descrita por:

𝐽𝐺 =𝑄𝐺

𝜋𝐷2

4

C.4

Aplicando a equação C.1 em C.4 A incerteza associada ao cálculo da velocidade

superficial do gás será dada por:

165

∆𝐽𝐺 =𝐷2

𝑄𝐺

√4𝑄𝐺

2∆𝐷2 + 𝐷∆𝑄𝐺2

𝐷6 C.5

Pela equação fornecida pelo manual do fabricante:

As constantes B=7,93941 e C=-0,055913 são dados pelo fabricante para o laminador de

fluxo utilizado.Aplicando a equação C.1 em C.6 o valor da incerteza associada à vazão

volumétrica do gás ∆𝑄𝐺 será:

∆𝑄𝐺 = √(𝐵∆𝑃 + 2𝐶∆𝑃2)2𝜇𝑠𝑡𝑑

2𝑃𝐺2𝑇𝑠𝑡𝑑

2 ∆𝑃𝐺2

𝜇𝐺2𝑃𝑠𝑡𝑑

2𝑇𝐺2 + √

(𝐵∆𝑃 + 2𝐶∆𝑃2)2𝜇𝑠𝑡𝑑2𝑃𝐺

2𝑇𝑠𝑡𝑑2 ∆𝜇𝐺

2


2𝑇𝐺2 +

+√(𝐵∆𝑃 + 2𝐶∆𝑃2)2𝜇𝑠𝑡𝑑

2𝑇𝑠𝑡𝑑2 ∆𝑃𝑚𝑎𝑛

2


2𝑇𝐺2 + √

(𝐵∆𝑃 + 2𝐶∆𝑃2)2𝜇𝑠𝑡𝑑2𝑃𝐺

2𝑇𝑠𝑡𝑑2 ∆𝑇2


2𝑇𝐺4

C.7

Altura de água pelo TPD

A altura de água na tubulação pelo transdutor diferencial utilizada para a obtenção da

fração de líquido é determinada por:

h =∆P

(ρW − ρg)g

C.8

Sendo que a incerteza é dada por:

𝑄𝐺 = (𝐵∆𝑃 + 𝐶∆𝑃2) (𝜇𝑠𝑡𝑑

𝜇𝐺) (

𝑇𝑠𝑡𝑑

𝑇𝐺) (

𝑃𝐺

𝑃𝑠𝑡𝑑) C. 6

166

∆ℎ = {(∆𝑃)2 + [(ρW

(ρW

− ρg

) ∆ρW]

2

+ [(ρg

(ρW

− ρg

) ∆ρg]

2

}

1/2

C.9

Altura de água pela CAV

A incerteza na medição de altura de água na tubulação pela câmera de alta velocidade é

determinada pela incerteza da régua na seção de visualização sobre o valor lido.

C.3 Resultado das incertezas experimentais

Os resultados das incertezas experimentais podem assim ser sintetizados pela Tabela

C.2.

Tabela C. 2- Incertezas calculadas para os experimentos.

Variável de medição Precisão Incerteza relativa

∆𝑥𝑖

Velocidade superficial de água Equação B.3 ∆𝐽𝑤=±1, 72%

Velocidade superficial de gás Equação B.5 ∆𝐽𝐺=±1, 14%

Perda de pressão bifásica


0,25% do fundo de escala ∆𝑃𝐵𝑖𝑓=±0,25%

Pressão de coluna de água na

seção transversal


0,25% do fundo de escala ∆𝑃á𝑔𝑢𝑎=±0,25%

Altura de água pelo TPD Equação C.9 ∆ℎ=±5,0%

Altura de água pela CAV ∆ℎ=±0,5%

167

APÊNDICE D - DADOS EXPERIMENTAIS

Tabela D. 1-Dados experimentais da altura média de água via TPD e CAV.

N. exp JG

[m/s]

JW[m/s] h[mm]

[TPD]

h[mm]

[CAV]

Erro relativo (%)

1 9,0 0,05 16,00 14,00 13

2 11,0 0,05 16,80 13,01 23

3 12,0 0,05 15,26 11,78 23

4 13,0 0,05 14,15 10,93 23

5 14,0 0,05 13,62 11,80 13

6 9,5 0,06 17,89 14,74 18

7 10,5 0,06 17,64 14,81 16

8 14,0 0,06 13,92 12,47 10

9 8,0 0,06 18,42 14,59 21

10 7,5 0,07 22,00 18,00 18

11 8,0 0,07 19,24 16,00 17

12 9,0 0,07 16,93 12,58 26

13 7,5 0,08 22,00 17,00 23

14 9,0 0,08 16,74 14,27 15

Erro global

Médio (%)

18

Jw Velocidade superficial da água

JG Velocidade superficial do gás

h [TPD]

Altura média de água via transdutor de pressão diferencial

h [CAV]

Altura média de água via câmera de alta velocidade

168

Tabela D. 2-Relação entre as velocidades superficiais da água e gás e a altura média de água pela

técnica TPD.

N. exp JG

[m/s]

JW

[m/s]

h[mm]

[TPD]

N. exp JG

[m/s]

JW

[m/s]

h[mm]

[TPD]

1 7 0,04 13 1 7,7 0,035 20

2 7 0,04 14 2 8,4 0,035 19

3 7 0,05 14 3 9,1 0,035 18

4 7 0,06 21 4 10,2 0,035 17

5 7 0,07 22 5 11,3 0,035 16

6 8 0,06 18 6 12,6 0,035 15

7 8 0,08 19 7 13,5 0,035 13

8 8 0,09 21 8 14,5 0,035 13

9 9 0,03 16 9 15,8 0,035 12

10 9 0,04 17 10 7,7 0,045 20

11 9 0,05 17 11 8,2 0,045 19

12 9 0,06 18 12 9,0 0,045 17

13 10 0,03 15 13 12,5 0,045 14

14 10 0,05 15 14 13,9 0,045 14

15 10 0,07 16 15 15,1 0,045 12

16 10 0,08 16 16 7,6 0,05 21

17 11 0,04 16 17 8,6 0,05 19

18 11 0,05 17 18 9,3 0,05 20

169

19 11 0,05 17 19 10,8 0,05 17

20 12 0,03 13 20 11,0 0,05 17

21 12 0,05 14 21 12,3 0,05 15

22 12 0,05 15 22 13,1 0,05 14

23 12 0,06 15 23 7,6 0,06 21

24 12 0,07 15 24 8,2 0,06 20

25 13 0,03 13 25 8,2 0,06 18

26 13 0,03 13 26 9,3 0,06 17

27 13 0,05 14 27 12,5 0,06 15

28 13 0,06 14 28 13,9 0,06 14

29 15 0,03 12 29 7,6 0,07 22

30 15 0,04 12 30 8,1 0,07 19

31 10,5 0,07 16

32 10,5 0,07 16

33 12,4 0,07 15

34 12,7 0,07 15

35 8,0 0,08 19

36 9,1 0,08 17

37 10,4 0,08 16

38 8,4 0,09 21

39 9,0 0,09 17

40 9,0 0,09 17

170

Tabela D. 3- Comparação do holdup de água via CAV com os modelos unidimensionais.

N. exp JG

[m/s]

JW

[m/s]

𝜶𝒘exp

[CAV]

𝜶𝒘 * 𝜶𝒘 ** 𝜶𝒘 *** 𝜶𝒘 **** Rms

* (%)

Rms

**

(%)

Rms

* **

(%)

Rms

** **

(%)

1 9,0 0,05 0,208 0,005 0,143 0,158 0,172 97 31 24 17

2 11,0 0,05 0,188 0,004 0,123 0,134 0,148 98 34 28 21

3 12,0 0,05 0,163 0,004 0,114 0,122 0,135 98 30 25 17

4 13,0 0,05 0,147 0,004 0,108 0,116 0,128 98 26 21 13

5 14,0 0,05 0,164 0,003 0,104 0,110 0,122 98 37 33 25

6 9,5 0,06 0,224 0,007 0,158 0,167 0,182 97 30 26 19

7 10,5 0,06 0,226 0,006 0,145 0,151 0,166 97 36 33 26

8 14,0 0,06 0,177 0,004 0,119 0,120 0,133 98 33 32 25

9 8,0 0,06 0,221 0,007 0,173 0,186 0,201 97 22 16 9

10 7,5 0,07 0,296 0,009 0,202 0,211 0,227 97 32 29 23

11 8,0 0,07 0,251 0,009 0,194 0,201 0,217 97 23 20 14

12 9,0 0,07 0,179 0,008 0,178 0,182 0,198 96 1 2 11

13 7,5 0,08 0,273 0,010 0,222 0,225 0,243 96 19 18 11

14 9,0 0,08 0,214 0,009 0,196 0,195 0,212 96 9 9 1

Erro global Médio (%) 97 26 23 17

171

Jw Velocidade superficial da água Rms * Erro do Holdup médio de água pelo modelo

homogêneo

Jg Velocidade superficial do gás Rms ** Erro do Holdup médio de água pelo modelo de

2-Fluidos (Taitel e Duckler)

𝜶𝒘 exp

[CAV]

Holdup médio de água experimental via câmera de alta velocidade

Rms *** Erro do Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.24)

𝜶𝒘 * Holdup médio de água pelo modelo homogêneo Rms **** Erro do Holdup médio de água pelo modelo de

2-Fluidos (Equação 5.25)

𝜶𝒘 ** Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Taitel e Duckler)

𝜶𝒘 *** Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.24)

𝜶𝒘 **** Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.25)

172

Tabela D. 4-Comparação do holdup de água via TPD com os modelos unidimensionais.

N. exp JG

[m/s]

JW

[m/s]

𝜶𝒘 exp

[TPD]

𝜶𝒘 * 𝜶𝒘 ** 𝜶𝒘 *** 𝜶𝒘 **** Rms

* (%)

Rms

**

(%)

Rms

* **

(%)

Rms

** **

(%)

1 7,5 0,035 0,218 0,005 0,126 0,153 0,165 98 42 30 24

2 9,0 0,035 0,25 0,004 0,109 0,130 0,142 98 57 48 43

3 10,0 0,035 0,283 0,003 0,100 0,120 0,131 99 65 58 54

4 10,5 0,035 0,222 0,003 0,097 0,116 0,127 99 56 48 43

5 11,0 0,035 0,253 0,003 0,093 0,110 0,121 99 63 57 52

6 12,5 0,035 0,193 0,003 0,085 0,100 0,111 99 56 48 43

7 13,5 0,035 0,197 0,003 0,081 0,094 0,105 99 59 52 47

8 14,5 0,035 0,179 0,002 0,076 0,088 0,099 99 57 51 45

10 7,5 0,04 0,223 0,005 0,140 0,165 0,178 98 37 26 20

11 9,0 0,04 0,265 0,004 0,122 0,142 0,154 98 54 46 42

12 10,5 0,04 0,245 0,004 0,108 0,125 0,137 98 56 49 44

13 12,5 0,04 0,203 0,003 0,095 0,108 0,119 98 53 47 41

14 7,5 0,05 0,234 0,007 0,166 0,186 0,200 97 29 21 14

15 8,0 0,05 0,328 0,006 0,153 0,170 0,184 98 53 48 44

16 9,0 0,05 0,26 0,006 0,143 0,158 0,172 98 45 39 34

17 11,0 0,05 0,278 0,005 0,125 0,137 0,150 98 55 51 46

18 12,5 0,05 0,203 0,004 0,112 0,121 0,133 98 45 41 34

19 13,0 0,05 0,212 0,004 0,108 0,116 0,128 98 49 45 39

173

20 14,0 0,05 0,201 0,004 0,104 0,110 0,122 98 48 45 39

21 15,0 0,05 0,173 0,003 0,097 0,102 0,114 98 44 41 34

22 7,5 0,055 0,362 0,007 0,172 0,189 0,204 98 52 48 44

23 9,0 0,055 0,274 0,006 0,154 0,167 0,182 98 44 39 34

24 10,5 0,055 0,236 0,005 0,138 0,148 0,162 98 42 37 32

25 12,5 0,055 0,225 0,004 0,121 0,127 0,141 98 46 43 38

26 7,5 0,06 0,37 0,008 0,182 0,196 0,212 98 51 47 43

27 8,0 0,06 0,305 0,007 0,173 0,186 0,201 98 43 39 34

28 9,5 0,06 0,293 0,006 0,158 0,167 0,182 98 46 43 38

29 10,5 0,06 0,287 0,006 0,145 0,151 0,166 98 50 47 42

30 12,0 0,06 0,244 0,005 0,131 0,136 0,149 98 46 44 39

31 14,0 0,06 0,207 0,004 0,119 0,120 0,133 98 43 42 36

32 15,0 0,06 0,189 0,004 0,114 0,114 0,127 98 40 40 33

33 7,5 0,07 0,384 0,009 0,202 0,211 0,227 98 47 45 41

34 8,0 0,07 0,324 0,009 0,194 0,201 0,217 97 40 38 33

35 10,5 0,07 0,246 0,007 0,162 0,164 0,179 97 34 33 27

36 12,5 0,07 0,237 0,006 0,144 0,143 0,158 98 39 40 34

37 8,0 0,08 0,311 0,010 0,213 0,215 0,232 97 32 31 25

38 9,0 0,08 0,268 0,009 0,196 0,195 0,212 97 27 27 21

39 10,5 0,08 0,262 0,008 0,179 0,176 0,192 97 32 33 27

40 8,5 0,09 0,363 0,011 0,222 0,218 0,236 97 39 40 35

41 9,0 0,09 0,271 0,010 0,213 0,207 0,225 96 22 24 17

Erro global

Médio (%) 98 46 42 36

174

Jw Velocidade superficial da água Rms * Erro do Holdup médio de água pelo modelo

homogêneo

Jg Velocidade superficial do gás Rms ** Erro do Holdup médio de água pelo modelo de


𝜶𝒘 exp

[TPD]

Holdup médio de água experimental via câmera de alta velocidade

Rms *** Erro do Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.24)

𝜶𝒘 * Holdup médio de água pelo modelo homogêneo Rms **** Erro do Holdup médio de água pelo modelo de

2-Fluidos (Equação 5.25)

𝜶𝒘 ** Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Taitel e Duckler)

𝜶𝒘 *** Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.24)

𝜶𝒘 **** Holdup médio de água pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.25)

.

175

Tabela D. 5- Comparação da Perda de Pressão Bifásica com modelos unidimensionais.

N. exp JG

[m/s]

JW

[m/s]

dp/dx

[Pa/m]

dp/dx

*

dp/dx

**

dp/dx

***

λdp/dx

****

Rms

* (%)

Rms

**

(%)

Rms

* **

(%)

Rms

** **

(%)

1 7,5 0,035 51 206 80 75 73 301 57 46 43

2 9,0 0,035 79 255 109 102 99 225 39 30 27

3 10,0 0,035 81 287 127 119 116 256 58 48 44

4 10,5 0,035 112 296 135 127 123 165 21 13 11

5 11,0 0,035 96 339 149 140 136 253 55 46 42

6 12,5 0,035 141 350 176 166 162 149 25 18 15

7 13,5 0,035 122 403 196 186 180 229 60 52 47

8 14,5 0,035 135 433 219 209 202 221 63 55 50

10 7,5 0,04 56 224 82 77 75 299 46 37 34

11 9,0 0,04 81 281 109 103 100 247 35 27 24

12 10,5 0,04 114 334 137 130 126 193 20 14 11

13 12,5 0,04 146 399 179 170 165 174 23 17 14

14 7,5 0,05 58 252 87 82 81 336 50 43 40

15 8,0 0,05 56 281 102 97 95 404 83 75 70

16 9,0 0,05 85 313 116 111 108 270 37 31 28

17 11,0 0,05 95 394 151 146 141 315 60 54 49

176

18 12,5 0,05 152 440 188 183 176 190 24 20 16

19 13,0 0,05 125 478 202 196 190 282 61 57 52

20 14,0 0,05 136 509 221 216 208 273 62 58 52

21 15,0 0,05 152 552 251 246 236 265 65 62 56

22 7,5 0,055 77 292 95 91 89 282 24 19 16

23 9,0 0,055 89 345 118 114 111 289 33 28 25

24 10,5 0,055 122 407 147 143 138 235 21 18 14

25 12,5 0,055 157 482 190 187 180 207 21 19 14

26 7,5 0,06 79 323 98 95 92 307 24 20 16

27 8,0 0,06 68 341 109 105 102 398 59 54 50

28 9,5 0,06 81 401 131 128 124 396 62 58 53

29 10,5 0,06 97 455 155 152 147 369 61 57 52

30 12,0 0,06 119 526 188 186 179 340 58 55 50

31 14,0 0,06 146 603 231 230 220 314 58 58 51

32 15,0 0,06 158 637 251 251 240 303 59 59 52

33 7,5 0,07 82 352 104 102 99 328 27 25 21

34 8,0 0,07 74 382 114 112 108 416 54 51 46

35 10,5 0,07 133 483 162 161 155 262 21 21 16

36 12,5 0,07 169 571 204 205 197 238 21 21 16

37 8,0 0,08 78 406 118 118 114 420 52 51 46

38 9,0 0,08 109 477 140 140 135 337 28 29 24

39 10,5 0,08 141 548 168 169 162 290 19 20 15

40 8,5 0,09 88 471 133 135 130 435 51 53 47

41 9,0 0,09 113 504 145 147 142 346 28 30 25

Erro global Médio

(%) 289 43 39 34

177

Jw Velocidade superficial da água Rms * Erro da perda de pressão bifásica pelo modelo

homogêneo

Jg Velocidade superficial do gás Rms ** Erro da perda de pressão bifásica pelo modelo de


dp/dx Perda de pressão bifásica experimental Rms *** Erro da perda de pressão bifásica pelo modelo de

2-Fluidos (Modelo Proposto)

dp/dx * Perda de pressão bifásica pelo modelo homogêneo

dp/dx **

Perda de pressão bifásica pelo modelo de 2-Fluidos (Taitel e Duckler)

dp/dx ***

Perda de pressão bifásica pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.24)

dp/dx ****

Perda de pressão bifásica pelo modelo de 2-Fluidos (Equação 5.25)

178

Tabela D. 6- Análise de frequência dos sinais do TDP.

N. exp JG

[m/s] JW

[m/s]

Frequência dominante

[1/s] N. exp JG

[m/s] JW

[m/s]

Frequência dominante

[1/s]

1 7,7 0,035 7 23 13,1 0,05 7 2 8,4 0,035 6 24 13,9 0,05 7 3 9,2 0,035 6 25 15,1 0,05 7 4 10,2 0,035 6 26 8,2 0,06 6 5 11,3 0,035 6 27 9,4 0,06 6 6 12,6 0,035 6 28 10,6 0,06 6 7 13,5 0,035 6 29 12,1 0,06 6 8 14,5 0,035 6 30 13,9 0,06 7

9 15,8 0,035 6 31 14,7 0,06 6 10 9,3 0,045 6 32 7,6 0,08 6 11 10,8 0,045 7 33 8,1 0,08 6 12 11,0 0,045 6 34 9,2 0,08 6 13 12,3 0,045 6 35 9,9 0,08 6 14 13,1 0,045 7 36 10,5 0,08 6 15 13,9 0,045 7 37 12,7 0,08 7 16 15,1 0,045 7 38 7,4 0,09 6

17 7,6 0,05 6 39 8,0 0,09 6 18 8,6 0,05 6 40 9,1 0,09 6 19 9,3 0,05 6 41 10,4 0,09 7 20 10,4 0,05 7

179

Tabela D. 7-Velocidade da onda interfacial pela CAV.

N. exp h CAV [mm]

JG [m/s]

JW [m/s]

VG [m/s]

VW [m/s]

cteo [m/s]

c exp [m/s]

1 13,56 7,5 0,05 9,38 0,25 0,33 0,42

2 11,78 8,0 0,05 9,52 0,31 0,35 0,34

3 10,36 8,8 0,05 10,32 0,34 0,38 0,35

4 12,23 9,0 0,06 10,11 0,55 0,43 0,44

5 13,68 8,0 0,06 9,09 0,50 0,41 0,42

6 14 7,5 0,06 9,04 0,35 0,40 0,38

7 12,70 8,5 0,08 10,63 0,40 0,52 0,49

8 14 8,0 0,08 9,64 0,47 0,47 0,30

9 12,35 9,0 0,08 10,71 0,50 0,53 0,58

Erro global Médio

(%) 12,5

180

APÊNDICE E - PROGRAMA NO MATHEMATICA® PARA O

CÁLCULO DOS MODELOS

E.1 Modelo de dois fluidos para o cálculo do holdup de água e perda de pressão

bifásica

Modelo de 2-fluidos Padrao gás-Liquido Estratificado

Interface Plana Inicializacao das Variaveis e Notacao

Clear

[Di,row,rog,miw,mig,e ,g,Si,Sg,Sw,Ag,Aw,Rw,Rg,Uw,Ug,Dhw,Dhg,Rew,Reg,fw,fg,tw,tg,ti,hafinal,dpdxw,

dpdxg,H]

(*Notação: ha = nivel da agua;

m = mi2/mi1 (razão de viscosidades *)

Variaveis

Di = 0.0535 (* m *);

row = 998.0 (* kg/m3 *);

rog = 1.09 (* kg/m3 *);

miw = 0.001 (* Pa s *);

mig = 0.0000179(* Pa s *);

e = 0.00015 (* 0.000045 m *);

Nível da água (interface plana)-Parâmetros geométricos por Taitel e Duckler

H[ha_]:=2ha-1;

Si[ha_]:= ;

Sg[ha_]:=Di ArcCos[H[ha]];

Sw[ha_]:=Di (π-ArcCos[H[ha]]);

Ag[ha_]:=1/4 Di^2 (ArcCos[H[ha]]-H[ha] );

Aw[ha_]:=1/4 Di^2(π-ArcCos[H[ha]]+H[ha] );

Relacoes para tensao cisalhante (fracao volumetrica, velocidade in-situ, fatores de atrito, diametros

hidraulicos, tensoes cisalhantes)

Fracao volumetrica in situ das fases

Rw[ha_]:=Aw[ha]/(Aw[ha]+Ag[ha]);

Rg[ha_]:=Ag[ha]/(Aw[ha]+Ag[ha]);

1 H ha2

1 H ha2

1 H ha2

181

Simplify[Rw[ha]+Rg[ha]==1]

True

Rw[0.85]

0.90594

hamin=0.01; (*plana*)

hamax=0.99;

Velocidades in-situ das fases

Uw[ha_,Uws_]:=Uws/Rw[ha];

Ug[ha_,Ugs_]:=Ugs/(1-Rw[ha]);

Diametros hidraulicos

Dhw[ha_,Uws_,Ugs_]:=(4 Aw[ha])/Sw[ha];

Dhg[ha_,Uws_,Ugs_]:=(4 Ag[ha])/(Si[ha]+Sg[ha]);

Numero de Reynolds das fases

Rew[ha_,Uws_,Ugs_]:=(row*Dhw[ha,Uws,Ugs]*Uw[ha,Uws])/miw

Reg[ha_,Uws_,Ugs_]:=(rog*Dhg[ha,Uws,Ugs]*Ug[ha,Ugs])/mig

Fator de atrito na parede de Moody por Neves 1974

(* Água *)

fw[ha_,Uws_,Ugs_]:=0.0055*(1+(20.000*e/Dhw[ha,Uws,Ugs]+10^6/Rew[ha,Uws,Ugs])1/3);

(* gás *)

fg[ha_,Uws_,Ugs_]:=0.0055*(1+(20.000*e/Dhg[ha,Uws,Ugs]+10^6/Reg[ha,Uws,Ugs])1/3);

Fator de atrito interfacial

(*Interfacial Taitel*)

(*fi[ha_,Uws_,Ugs_]:=fg[ha,Uws,Ugs];*)

(*Interfacial equação 5.24*)

(*fi[ha_,Uws_,Ugs_]:=0.0015+(5.6*10^-6)*((row*Uws)/miw*(Pi Di^2)/(4Si[ha]));*)

(*Interfacial equação 5.25*)

fi[ha_,Uws_,Ugs_]:=(4.3*10^-6)*((row*Uws)/miw*(Pi Di^2)/(4Si[ha]));


(* agua *)

tw[ha_,Uws_,Ugs_]:=fw[ha,Uws,Ugs] * (row*(Uw[ha,Uws])2)/2;

(* gás *)

tg[ha_,Uws_,Ugs_]:=fg[ha,Uws,Ugs] * (rog*(Ug[ha,Ugs])2)/2;

182

(* Tensão interfacial supondo que a velocidade de interface seja desprezivel *)

ti[ha_,Uws_,Ugs_]:=fi[ha,Uws,Ugs]* (rog*(Ug[ha,Ugs])2)/2;

Análise das tensões cisalhantes, perímetros e holdup

Funcao F na horizontal

feq[ha_,Uws_,Ugs_]:=(tg[ha,Uws,Ugs]*Sg[ha])/Ag[ha]-

(tw[ha,Uws,Ugs]*Sw[ha])/Aw[ha]+ti[ha,Uws,Ugs]*Si[ha](1/Aw[ha]+1/Ag[ha]);

Calculo da altura de água em função das velocidades das fases

hafinal[Uws_,Ugs_]:=FindRoot[feq[x,Uws,Ugs]==0.000001,{x,hamin,hamax}][[1,2]]

Rw[hafinal[0.05,9]]

0.172258

Perda de Pressão bifásica pelo Modelo de 2-fluidos na horizontal

dpdxw[ha_,Uws_,Ugs_]:=1/Aw[ha] ((tw[ha,Uws,Ugs] Sw[ha])-ti[ha,Uws,Ugs] Si[ha])

dpdxg[ha_,Uws_,Ugs_]:=1/Ag[ha] (tg[ha,Uws,Ugs] Sg[ha]+ti[ha,Uws,Ugs] Si[ha])

E.2 Programa para o cálculo da onda cinemática

Velocidade da onda cinemática por Crowley et. al 1992

Inicializacao das Variaveis e Notacao

Clear

[Di,row,rog,miw,mig,e ,g,Si,Sg,Sw,Ag,Aw,Rw,Rg,Uw,Ug,fw,fg,tw,tg,ti,hafinal,ζ,κ,L,G,T,V,H]

(*Notação: ha = nivel da agua;

m = mi2/mi1 (razão de viscosidades *)

Nível da água (interface plana)-Parâmetros geométricos admensionais

(* ha = h / Di *)

Variaveis

Di = 0.0535 (* m *);

row = 998.0 (* kg/m3 *);

rog = 1.09 (* kg/m3 *);

miw = 0.001 (* Pa s *);

mig = 0.0000179(* Pa s *);

e = 0.00015 (* 0.000045 m *);

Nível da água (interface plana)-Parâmetros geométricos por Taitel e Duckler

183

H[ha_]:=2ha-1;

Si[ha_]:=;

Sg[ha_]:= ArcCos[H[ha]];

Sw[ha_]:= (π-ArcCos[H[ha]]);

Ag[ha_]:= (ArcCos[H[ha]]-H[ha] );

Aw[ha_]:= (π-ArcCos[H[ha]]+H[ha] );

Relacoes para tensao cisalhante (fracao volumetrica, velocidade in-situ, fatores de atrito, diametros

hidraulicos, tensoes cisalhantes)

Fracao volumetrica in situ das fases

Rw[ha_]:=Aw[ha]/(Aw[ha]+Ag[ha]);

Rg[ha_]:=Ag[ha]/(Aw[ha]+Ag[ha]);

hamin=0.01; (*plana*)

hamax=0.99;

Velocidades in-situ das fases

Uw[ha_,Uws_]:=Uws/Rw[ha];

Ug[ha_,Ugs_]:=Ugs/(1-Rw[ha]);

Diâmetros hidráulicos

Dhw[ha_,Uws_,Ugs_]:=(4 Aw[ha])/Sw[ha];

Dhg[ha_,Uws_,Ugs_]:=(4 Ag[ha])/(Si[ha]+Sg[ha]);

Numero de Reynolds das fases

Rew[ha_,Uws_,Ugs_]:=(row*Dhw[ha,Uws,Ugs]*Uw[ha,Uws])/miw;

Reg[ha_,Uws_,Ugs_]:=(rog*Dhg[ha,Uws,Ugs]*Ug[ha,Ugs])/mig;

Fator de atrito

(* Água *)

fw[ha_,Uws_,Ugs_]:=

0.0055*(1+(20.000*e/Dhw[ha,Uws,Ugs]+10^6/Rew[ha,Uws,Ugs])1/3);

(* gás *)

fg[ha_,Uws_,Ugs_]:=

0.0055*(1+(20.000*e/Dhg[ha,Uws,Ugs]+10^6/Reg[ha,Uws,Ugs])1/3);

(*Interfacial*)

fi[ha_,Uws_,Ugs_]:=(4.3*10^-6)*((row*Uws)/miw*(Pi Di^2)/(4Si[ha]));


(* agua *)

tw[ha_,Uws_,Ugs_]:=fw[ha,Uws,Ugs] * (row*(Uw[ha,Uws])2)/2;

1 H ha2

1 H ha2

1 H ha2

184

(* gás *)

tg[ha_,Uws_,Ugs_]:=fg[ha,Uws,Ugs] * (rog*(Ug[ha,Ugs])2)/2;

(* Tensão interfacial é a mesma que a do gás supondo

a velocidade de interface desprezível *)

ti[ha_,Uws_,Ugs_]:=fi[ha,Uws,Ugs]* (rog*(Ug[ha,Ugs])2)/2;

Análise das tensões cisalhantes, perímetros e holdup

Funcao F

feq[ha_,Uws_,Ugs_,beta_]:=(fw [ha,Uws,Ugs]row ((π/4)^2)Sw[ha]Uws^2)/(2Di Aw[ha]^3)-(fg

[ha,Uws,Ugs]rog ((π/4)^2)Sg[ha]Ugs^2)/(2Di Ag[ha]^3)-(fi[ha,Uws,Ugs] rog((π/4)^3)Si[ha])/(2 Di) (Ugs^2/(

Aw[ha] Ag[ha]^3)-(2Uws Ugs)/( Aw[ha] ^2Ag[ha]^2)+Uws^2/( Aw[ha]^3 Ag[ha]))+g(row-rog)Sin[beta];

Calculo da altura de água admensional (hafinal=hfinal/Di) em função das velocidades das fases

hafinal[Uws_,Ugs_,beta_]:=

FindRoot[feq[ha,Uws,Ugs,beta]==0.000001,{ha,hamin,hamax}][[1,2]];

Derivadas parciais

(*ζ derivada parcial da velocidade superficial de liquido em função de F *)

ζ[ha_,Uws_,Ugs_]:=

((fw [ha,Uws,Ugs]row ((π/4)^2)Sw[ha](Aw[ha]^-3)Uws)/Di)+((fi[ha,Uws,Ugs] rog((π/4)^3)Si[ha](Aw[ha]^-

1)(Ag[ha]^-1))/Di)(-Uws Aw[ha]^-2+Ugs Aw[ha]^-1Ag[ha]^-1);

(*κ derivada parcial da velocidade superficial de gas em função de F *)

κ[ha_,Uws_,Ugs_]:=

-((fg [ha,Uws,Ugs]rog((π/4)^2)Sg[ha](Ag[ha]^-3)*Ugs)/Di)-((fi[ha,Uws,Ugs] rog((π/4)^3)Si[ha](Aw[ha]^-

1)(Ag[ha]^-1))/Di)(-Uws(Aw[ha]^-1 Ag[ha]^-1)+Ugs(Ag[ha]^-2));

(*κ derivada parcial do perimetro ocupado pelo liquido da seção transversal em funçao da área *)

L[ha_,Uws_,Ugs_]:=(2/(1-H[ha]2));

(*κ derivada parcial do perimetro ocupado pelo gas da seção transversal em funçao da área *)

G[ha_,Uws_,Ugs_]:=

-(2/(1-H[ha]2));

(*κ derivada parcial do perimetro da interface da seção transversal em funçao da área *)

T[ha_,Uws_,Ugs_]:=

-((2H[ha])/(1-H[ha]2));

(*η derivada parcial da area transversal ocupada pelo liquido em função de F *)

185

η[ha_,Uws_,Ugs_]:=((fw[ha,Uws,Ugs] row((π/4)^2)(Uws^2))/(2Di))(Aw[ha]^-3L[ha,Uws,Ugs]-

3Sw[ha]Aw[ha]^-4)-

((fg[ha,Uws,Ugs] rog((π/4)^2)(Ugs^2))/(2Di))(Ag[ha]^-3G[ha,Uws,Ugs]+3Sg[ha]Ag[ha]^-4)-

((fi[ha,Uws,Ugs] rog((π/4)^3))/(2Di))*(((Ugs^2*Aw[ha]^-1Ag[ha]^-3T[ha,Uws,Ugs]-Si[ha]Aw[ha]^-

2Ag[ha]^-3+3Si[ha]Aw[ha]^-1Ag[ha]^-4))-

(2Ugs Uws(Aw[ha]^-2Ag[ha]^-2T[ha,Uws,Ugs]-2Si[ha]Aw[ha]^-3Ag[ha]^-2+2Si[ha]Aw[ha]^-

2Ag[ha]^-3))+

(Uws^2(Aw[ha]^-3Ag[ha]^-1T[ha,Uws,Ugs]-3Si[ha]Aw[ha]^-4Ag[ha]^-1+Si[ha]Aw[ha]^-3Ag[ha]^-2)));

Equação da velocidade da onda cinematica

V[ha_,Uws_,Ugs_]:=(-η[ha,Uws,Ugs](π/4))/(ζ[ha,Uws,Ugs]-κ[ha,Uws,Ugs])

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