Completo Bianchini Mat8 Lp

7a edio

MatemticaBIANCHINI

8

Edwaldo BianchiniLicenciado em Cincias pela Universidade da Associao de Ensino de Ribeiro Preto, com

habilitao em Matemtica pela Faculdade de Filosofi a, Cincias e Letras do Sagrado Corao de Jesus, Bauru (SP).

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Edwaldo Bianchini, 2011

Coordenao editorial: Juliane Matsubara BarrosoEdio de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Dbora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Ktia Takahashi, Marilu Maranho Tasseto, William Raphael SilvaAssistncia editorial: Daniela Santo Ambrosio, Leandro Baptista, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da SilvaPreparao de texto: Cibely Aguiar de Souza SalaCoordenao de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho HommaProjeto grfi co: Aurlio CamiloCapa: Aurlio Camilo Foto de capa: Michel Porro/AFP PhotoCoordenao de produo grfi ca: Andr Monteiro, Maria de Lourdes RodriguesCoordenao de arte: Wilson Gazzoni AgostinhoEdio de arte: Elaine Cristina da SilvaEdio de infografi a: Willian H. Taciro, Dbora Yogui, Daniela Mximo, Luciano Baneza GabarronEditorao eletrnica: Grapho EditoraoIlustraes: Andr Toma, Andr Vazzios, Guilherme Luciano, Jos Lus JuhasCartografi a: Alessandro Passos da CostaCoordenao de reviso: Elaine C. del NeroReviso: Afonso N. Lopes, Lus M. Boa Nova, Maristela S. Carrasco, Millyane M. Moura, Nancy H. Dias, Viviane T. MendesPesquisa iconogrfi ca: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhes As imagens identifi cadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informao e Documentao da Editora Moderna.Coordenao de bureau: Amrico JesusTratamento de imagens: Bureau So Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. RodriguesPr-impresso: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki KamotoCoordenao de produo industrial: Wilson Aparecido TroqueImpresso e acabamento:

Reproduo proibida. Art. 184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados

EDITORA MODERNA LTDA.Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho

So Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500

Fax (0_ _11) 2790-1501www.moderna.com.br

2011Impresso no Brasil

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Bianchini, Edwaldo Matemtica Bianchini / Edwaldo Bianchini. 7. ed. So Paulo : Moderna, 2011. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Bibliografi a.

1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Ttulo

11-03033 CDD-372.7

ndices para catlogo sistemtico:1. Matemtica : Ensino fundamental 372.7

1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

ISBN 978-85-16-07091-5 (LA)ISBN 978-85-16-07092-2 (LP)

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Caro estudante,

Este livro foi feito especialmente para voc.

Ele foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar sua aprendizagem, alm de ajud-lo a perceber como a Matemtica est presente em tudo o que acontece sua volta.Aqui voc vai encontrar exemplos de situaes que permitem perceber que a Matemtica faz parte do seu dia a dia.

Leia com ateno as explicaes tericas, para acompanhar as aulas e resolver os exerccios.

Faa deste livro um parceiro em sua vida escolar!

O autor


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A estrutura de cada captulo muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as sries de exerccios e as sees enriquecedoras.

Pgina de contedo

Contm a teoria explicada com linguagem clara e objeti-va, apoiada por exemplos e ilustraes cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.

Pgina de abertura

Cada captulo introduzido por uma imagem motivadora e questes do Matemtica no mundo, que abordam o assunto do captulo.

Exerccios

O livro apresenta uma variedade de exerccios (de aplicao, de explorao, de sistematizao, de aprofundamento), organizados segundo o grau de difi culdade.


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Tratamento da informao

Esta seo trabalha temas de Tratamento da informao e Estatstica, por meio de textos tericos e atividades variadas.

Atividades especiais

Estas sees apresentam atividades e objetivos diferentes:Pense mais um pouco... prope atividades desafi adoras;Diversifi cando prope que o aluno entre em contato com textos e atividades que envolvem temas variados.


Sumrio

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CAPTULO 1 Nmeros reais

1. O caminho que fi zemos com os nmeros 13Os nmeros naturais 13

Os nmeros inteiros 14

Os nmeros racionais 15

Da forma decimal para a forma de frao 18

2. Nmeros quadrados perfeitos 21

3. Raiz quadrada de nmeros racionais 23Clculo da raiz quadrada pela decomposio em fatores primos 24

Raiz quadrada com aproximao natural 26

Raiz quadrada com aproximao decimal 26

4. Os nmeros irracionais e os nmeros reais 29O nmero irracional s 30

5. A reta real 32O teorema de Pitgoras e a reta real 32

Tratamento da informaoConstruindo e interpretando um grfi co de linha 35

Diversifi candoJogo: Enfi leirando 38

CAPTULO 2 Clculo algbrico

1. A incgnita e a varivel 40

2. Expresses algbricas 41Classifi cao das expresses algbricas 41

Valor numrico de uma expresso algbrica 43

3. Os monmios 46Grau de um monmio 47

Monmios semelhantes 47

4. Operaes com monmios 49Adio algbrica de monmios 49

Multiplicao e diviso de monmios 51

Potenciao de monmios 53

Raiz quadrada de um monmio 54


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5. Os polinmios 56Grau de um polinmio 58

Polinmios com uma s varivel 58

6. Operaes com polinmios 59Adio de polinmios 59

Subtrao de polinmios 61

Multiplicao entre polinmio e monmio 63

Multiplicao entre dois polinmios 64

Diviso de polinmio por monmio 66

Diviso de polinmio por polinmio 67

CAPTULO 3 Produtos notveis e fatorao

1. Os produtos notveis 74Quadrado da soma de dois termos 74

Quadrado da diferena de dois termos 77

Produto da soma pela diferena de dois termos 79

Cubo da soma e da diferena de dois termos 81

2. Fatorao de polinmios 83Fatorao colocando em evidncia os fatores comuns 84

Fatorao por agrupamento 86

Fatorao da diferena de dois quadrados 87

Fatorao do trinmio quadrado perfeito 90

Fatorao da diferena e da soma de dois cubos 92

CAPTULO 4 Fraes algbricas, equaes fracionrias e equaes literais

1. O conceito de frao algbrica 97

2. Simplifi cao de fraes algbricas 98

3. Operaes com fraes algbricas 101Reduo a um denominador comum 101

Adio algbrica 102

Multiplicao 104

Diviso 105

Potenciao 106


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4. Equaes fracionrias 108Conjunto universo de uma equao fracionria 109

Resoluo de equaes fracionrias 110

5. Equaes literais 113

Tratamento da informaoCalculando probabilidades 115

Diversifi candoOnde est o erro? 119

CAPTULO 5 Sistemas de equaes do 1o grau com duas incgnitas

1. Resoluo de sistemas 121O mtodo da substituio 121

O mtodo da adio 123

2. Sistemas de equaes fracionrias 125

3. Plano cartesiano 127

4. Soluo grfi ca de um sistema de equaes do 1o grau 130

5. Classifi cao de um sistema 134Sistema determinado 134

Sistema impossvel 135

Sistema indeterminado 136

CAPTULO 6 Retas e ngulos

1. As retas e os ngulos 142

2. Posio das retas 143Construindo retas paralelas com rgua e compasso 144

3. Partes da reta 145Construindo segmentos congruentes com rgua e compasso 147

Determinando o ponto mdio de um segmento com rgua e compasso 148

4. ngulos 149Bissetriz de um ngulo 150

ngulos consecutivos e ngulos adjacentes 153

ngulos complementares e ngulos suplementares 153

ngulos opostos pelo vrtice 155


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5. Retas perpendiculares 156Construindo perpendiculares com rgua e esquadro 157

6. ngulos formados por duas retas e uma transversal 158ngulos correspondentes 158

ngulos alternos internos e ngulos alternos externos 161

ngulos colaterais internos e ngulos colaterais externos 165

Tratamento da informaoConstruindo um grfi co de setores 169

Diversifi candoGirando no parque 174

CAPTULO 7 Polgonos

1. Os polgonos 176Elementos de um polgono 177

2. Nmero de diagonais de um polgono 178

3. Soma das medidas dos ngulos externos de um polgono 179

4. Soma das medidas dos ngulos internos de um polgono 180

5. Polgonos regulares 182

6. Congruncia de polgonos 185Elementos correspondentes em polgonos congruentes 185

Transformaes geomtricas que geram fi guras congruentes 186

Diversifi candoO RPG e os poliedros de Plato 192

CAPTULO 8 Tringulos

1. Os tringulos 194

2. Principais elementos de um tringulo 195

3. Classifi cao de tringulos 196Classifi cao quanto s medidas dos lados 196

Classifi cao quanto s medidas dos ngulos 197

4. Construo de tringulos 197Tringulo issceles 197

Tringulo equiltero 198

Tringulo escaleno 198


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5. Condio de existncia de um tringulo 200

6. Outros elementos de um tringulo 202Mediana 202

Bissetriz 203

Altura 203

7. Congruncia de tringulos 206Casos de congruncia de tringulos 208

8. Propriedades que relacionam os ngulos de um tringulo 214

9. Demonstraes geomtricas 218Noes primitivas e postulados 219

Teoremas 220

A congruncia de tringulos nas demonstraes geomtricas 220

10. Propriedades de um tringulo issceles 225

11. Propriedade que relaciona os lados com os ngulos de um tringulo 227

Tratamento da informaoConstruindo um pictograma 229

Diversifi candoFractais 234

CAPTULO 9 Quadrilteros

1. Os quadrilteros e seus principais elementos 237ngulos de um quadriltero 238

2. Paralelogramos 239Propriedades dos paralelogramos 240

Propriedade dos retngulos 243

Propriedade dos losangos 243

Propriedade dos quadrados 244

3. Trapzios 245Propriedades dos trapzios issceles 246

4. Propriedades da base mdia 249Propriedade da base mdia do tringulo 249

Propriedade da base mdia do trapzio 250

Tratamento da informaoInterpretando um infogrfi co 252


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CAPTULO 10 Circunferncia e crculo

1. A circunferncia e seus elementos 258

2. O crculo 260

3. Posies relativas 260Posies relativas de um ponto em relao a uma circunferncia 260

Posies relativas de uma reta em relao a uma circunferncia 261

Posies relativas de duas circunferncias 264

4. Segmentos tangentes a uma circunferncia 267Tringulo circunscrito 268

Quadriltero circunscrito 269

5. Arcos e ngulos em uma circunferncia 271Arco de circunferncia 271

ngulo central 271

ngulo inscrito 273

ngulos cujos vrtices no pertencem circunferncia 275

Diversifi candoMatemtica na Arqueologia 280

Respostas 281

Lista de siglas 290

Sugestes de leitura para o aluno 292

Bibliografi a 293


Nmeros reais

CaPTU

Lo 1

LI W

EN/XINHUA PRESS/CORBIS/LAT

INSTO

CK

Aginsticartmicaumesportecaracterizadopelabelezaeelegnciadosmovimentos.Amo-dalidadeexigetreinamentosrigorososeousodediversosaparelhos,comofitas,arcosebolas.

Agora,responda.

Um tablado de ginstica rtmica tem forma de um quadrado com rea de 196 m2. Quanto mede o lado desse quadrado?

Se esse tablado tivesse 225 m2, quanto seu lado mediria?14 metros

15 metros

matemticanomundo

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LIBRADO ROMERO/THE NEW YORK TIM

ES/LAT

INSTO

CK

1 OcaminhoquefizemoscomosnmerosAHistrianosmostraque,medidaqueassociedadeshumanasforamsetransformando,

surgiuanecessidadedeorganizarmuitasatividades,comoaproduoagrcolaeocomrcio.Umadasmaneirasencontradasparaorganizaraproduofoioregistrodequantidadesdosalimentoscultivadosecolhidos.

Ospovosantigoscomoosegpcios, sumrios, romanosebabilnios, criaramsistemasprpriosderegistro.

Osbabilnios,porexemplo,muitossculosantesdeCristo,utilizavamsmbolosnaformadecunhapararepresentarnmeros:

umacunhaemp( )indicavaonmero1.Elapodiaserrepetidaatnovevezes; umacunhadeitada( )indicavaonmero10.Elapodiaserrepetidaatcincovezes.Essessmboloseramimpressosemtbuasdeargila,comoessadafotoabaixo(criadaentre

1800a.C.e1600a.C.),queestnoMuseudeLouvre,emParis.

OSistemadeNumeraoDecimalusadoatualmentepormuitospovosoriginou-sedeumdessessistemasantigos.Essesistemacompostodedezsmbolos(0,1,2,3,4,5,6,7,8e9),denominadosalgarismos indo-arbicos.

OsnmerosnaturaisQuandoprecisamossaberquantosobjetoshemumdeterminadolugarouquantaspes-

soasestopresentesemcertoevento,porexemplo,estamosdiantedeumasituaodecontagem.

Nmeros naturaissonmerosqueexpressamoresultadodeumacontagem.

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Oconjunto dos nmeros naturaisrepresentadoporvepodeserescritoassim:

Comosnmerosnaturaispodemosefetuarqualqueradiooumultiplicao.Jassub-traeseasdivisesnemsempresopossveisdentrodoconjuntodosnmerosnaturais.Porexemplo:

(627)nopertenceaoconjuntodenmerosnaturais,poisnohnmeronaturalquesomadocom7d6.

(845)nopertenceaoconjuntodenmerosnaturais,poisnohnmeronaturalquemultiplicadopor5d8.

Portanto,osnmerosnaturaisnososuficientespararepresentartodasassituaesdonossodiaadia.Comelesnopodemosrepresentar,porexemplo,temperaturasabaixodezerograuCelsiusnemnossaalturaemmetro.

v5{0,1,2,3,4,5,...}

b5{...,23,22,21,0,11,12,13,...}

125wC(25grausCelsiusacimadezero).

EDUARDO SANTA

LIESTRA/CID

225wC(25grausCelsiusabaixodezero).

EDUARDO SANTA

LIESTRA/CID

Osurgimentodosnmerosinteirospodeserassociadossituaescotidianasqueexigemarepresentaodequantidadesemrelaoaoreferencialzero.Vejaosexemplos.

a)Nostermmetros,astemperaturasabaixodezerograuCelsiussoindicadascomnmerosnegativoseaquelasacimadezerograu,comnmerospositivos.Oreferencial0wC.

OsnmerosinteirosOconjunto dos nmeros inteiros,indicadoporb,compostodenmerospositivosen-

merosnegativos.Assim,podemosescrever:

CAPTULO 1 nmeros reais14

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b)Emumaamovimentaobancria,usamosnmerospositivosparaosaldocredorenmerosnegativosparaosaldodevedor.Oreferencialosaldozero(nemcredornemdevedor).

O titular dessa conta tinha, em 23 de maro, saldo devedor de R$ 30,00, isto , devia ao banco R$ 30,00.

Movimentao de conta corrente (valores em reais)

Dia Histrico Dbito Crdito Saldo

22/3 saldoanterior 170,00

22/3 cheque900392 2200,00 2130,00

23/3 depsito 1100,00 230,00

Ossinais1e2esquerdadosnmerossousadosparaindicaraposioqueessesn-merosocupamemrelaoaozero,quandoorganizadosemordemcrescenteoudecrescente:osmenoresquezerosonegativos,eosmaiores,positivos.

Vejaarepresentaodealgunsnmerosinteirosnareta.

Osnmerosinteirosnonegativos(0,11,12,13,14,)podemserindicadossimples-mentepor0,1,2,3,4,...

Observequeosnmerosnaturaispertencemaoconjuntodosnmerosinteiros.b5{...,23,22,21,0,1,2,3,4,5,...}

nmeros naturais

Comosurgimentodosnmerosinteirostornou-sepossvelefetuarsubtraesemqueominuendomenorqueosubtraendo.Vejaosexemplos.

627521 023523Masasdivisescontinuamnosendosemprepossveisnoconjuntob. Porexemplo:

(1043)noperteceaosnmerosinteiros.

OsnmerosracionaisObserveosnmerosabaixo.

1,25 0,777... 213

Essesnmerossonmeros racionais,poispodemserexpressosnaformadefraocomumnmerointeirononumeradoreumnmerointeirononulonodenominador.

Veja.

1,255 5__

4 0,777...5

7__

9 21352

13___

1

Assim,qualquernmeroracionalpodeserconsideradocomoresultadodadivisodedoisnmerosinteiros,comodivisornonulo.Indicandooconjunto dos nmeros racionaisporB,podemosescrever:

B5 a__b,comaebinteiroseb%0

234 1 0 +1 +2 +3 +4

CAPTULO 1 nmeros reais 15

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Os nmeros racionais podem ser escritos na forma fracionria e na forma decimal.

Um mesmo nmero tem infi nitas representaes fracionrias. Veja os exemplos.

2 __

3 5

4 __

6 5

6 __

9 5

8 ___

12 5 ... 5 5

5 __

1 5

10 ___

2 5

15 ___

3 5

20 ___

4 5 ...

Os nmeros naturais e os nmeros inteiros tambm so nmeros racionais, pois podem ser escritos na forma de frao. Veja alguns exemplos na tabela abaixo.

OBSERVAES

Nmero natural Nmero inteiro Nmero racional

3 X X X

24 X X

1 __

5 X

20,7 X

1 Que operao impossvel de ser realizada apenas com nmeros naturais?a) 3 1 7 b) 5 2 235 c) 0 2 0 d) 7 2 0 e) 3 3 0 f) 3 3 7

2 Enquanto um avio est altitude de 5,8 km, um submarino est profundidade de 0,24 km.a) Represente essas medidas com nmeros inteiros e explique qual foi o referencial utilizado.b) Os nmeros 5,8 e 0,24 so nmeros racionais? Eles esto escritos na forma de frao?

3 Entre os nmeros a seguir, quais so inteiros?

b

PROPOSTOSExerccios

Sim, eles so nmeros racionais. No, eles esto escritos na forma decimal.

15,8 km, 20,24 km; referencial: nvel do mar

4 Identifi que as sentenas falsas. Em seu caderno, justifi que com um exemplo.a) Todo nmero natural inteiro.b) Todo nmero inteiro racional.c) Todo nmero natural racional.d) Todo nmero que pode ser escrito na forma de frao racional.e) Todo nmero natural um nmero inteiro positivo.f) Todo nmero inteiro natural.g) Todo nmero racional inteiro.

5 Quantos nmeros inteiros existem:a) entre dois nmeros inteiros consecutivos? c) entre 0 e 10, entre 0 e 100, entre 0 e 1.000.000?b) entre 1 e 9, entre 21 e 1, entre 29 e 9?

V

V

V

V

F

F

F

nenhum

7, 1, 179, 99, 999.999

2 3 __

2

1 __

3

2 20 ___

10

2 4 ___ 12

1 12 ___ 4

2 20 ___

10 e 1

12 ___

4

4 e) O zero no um nmero inteiro positivo. f) Por exemplo, 21 no um nmero natural.g) Por exemplo, 0,5 no um nmero inteiro.

Agora, com os nmeros racionais, todas as divises entre nmeros inteiros (e entre racionais) so possveis, desde que o denominador no seja nulo.

CAPTULO 1 NMEROS REAIS16

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1.Calcule os nmeros racionais: a) a, que a mdia aritmtica de 3 e 7; c) c, que a mdia aritmtica de 3 e b; b) b, que a mdia aritmtica de 3 e a; d) d, que a mdia aritmtica de 3 e c.2. Represente os nmeros racionais 3, a, b, c, d e 7 na reta numrica.

3. As mdias aritmticas de dois nmeros obtidas na atividade 1 esto entre esses dois nmeros?

4. possvel calcular os nmeros e, f, g, h, , que sejam as mdias aritmticas, respectivamente, de 3 e d, de 3 e e, de 3 e f, de 3 e g, e assim por diante?

5. Considerando os itens acima, use sua intuio para dizer quantos nmeros racionais existem entre 3 e 7, bem como quantos nmeros racionais existem entre dois nmeros racionais distintos quaisquer.

Pense mais um pouco...3

3,5

3,25

4 5 7

5

4

3,5

3,25

sim

Espera-se que os alunos respondam afirmativamente.

Espera-se que os alunos respondam que existem infinitos nmeros racionais.

2.

Representaesdosnmerosracionais

Nessarpidaretomadasobreanecessidadedeampliarosconjuntosnumricos,possvelnotarqueosalgarismosindo-arbicosservempararepresentartodososnmerosquecons-tituemessesconjuntos.

Notamostambmquehduasrepresentaespossveisparatodososnmerosracionais:afracionriaeadecimal.

Natabelaaseguir,halgumas,dentreasinfinitas,representaesfracionriaedecimaldealgunsnmerosracionais.

Nmero racional Algumas representaes

22 2 18___9 22,0

1__

4

4___

16 0,25

4___

11

8___

22 0,3636...

25,3 2 53___10

25,300

32___

15

64___

30 2,1333...

6 12___

2 6,000

Algunsnmeros racionaispodemser representadosporumafraodecimal, isto,dedenominador10,100,1.000etc.Vejaalgunsexemplos.

225220___

10

1__

45

25____

100 25,352 53___

10 6,0005

6.000______

1.000

fraes decimais


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9 Represente cada dzima peridica na forma abreviada e determine o seu perodo.

a) 0,222 c) 0,56777b) 20,313131 d) 22,4151515...

10 Somando os dois nmeros de cada item, obtemos outro nmero na forma de dzima peridica. Determine em cada caso essa dzima peridica na forma abreviada.

a) 2,444 e 5,111b) 2,5 e 3,222

11 Agora, calcule as subtraes.a) 9,5555... 2 3,1111...b) 7,333... 2 2,333...c) 6,8888... 2 4,5888...

Josnmeros4___

11e

32___

15nopodemserrepresentadosporumafraodecimal.Noentanto,

elespodemserescritosnaformadecimal.Paraisso,bastadividironumeradorpelodenominador:

4___

115441150,3636...

32___

1552,1333...

Notequeasrepresentaes0,3636e2,1333apresentaminfinitascasasdecimaiseperi-dicas.Em0,3636asreticnciasindicamque36chamadodeperodocontinuaserepetindoindefinidamente.Em2,1333temosumarepresentaodecimalperidicadeperodo3.

Umadzimaperidicapodeserescritaabreviadamente,colocando-seumtraosobreoperodo.Vejaarepresentaoabreviadadasseguintesdzimasperidicas:

2,555...52,__5 1,2777...51,2

__7

20,1313...520,___13 0,21888...50,21

__8

Arepresentaodecimalperidicainfinitarecebeonomededzima peridica.

6 D a representao decimal das seguintes fraes decimais.

a) 35 ___

10 c)

542 ____

100

b) 28 ____

100 d)

12 _____

1.000

7 Observando os resultados do exerccio ante-rior, escreva qual a relao existente entre a quantidade de zeros do denominador de uma frao decimal e a quantidade de casas aps a vrgula na representao decimal dessa frao.

8 Represente cada frao na forma decimal.

a) 2 __

5 c)

11 ___

3 e) 2

11 ___

90

b) 5 __

6 d) 2

45 ___

8

0, _ 2 ; perodo 2

20, __ 31 ; perodo 31

0,56 _ 7 ; perodo 7

22,4 __ 15 ; perodo 15

3,5

0,28

5,42

0,012

0,4

0,8333...

3,666...

25,62520,1222...

DaformadecimalparaaformadefraoJlidamoscomatransformaodeumnmeroescritonaformadefraoparaaforma

decimal.Paratanto,bastaefetuaradivisodonumeradorpelodenominador,porexemplo:

PROPOSTOSExerccios

7. A quantidade de zeros no denominador de uma frao decimal igual quantidade de casas aps a vrgula na representao decimal dessa frao.

7, _ 5

5,7 _ 2

6,4444...

5

2,3

10 5

0 0,21__

5514550,2

Vamosveragoracomotransformarumnmerodaformadecimalparaaformadefrao.


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rodu

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Nmerosdecimaisexatos

Quandoonmerotemumaquantidadefinitadecasasdecimais,aleituradelenosdumaboapistaparaexpress-lonaformadefrao.Vejaalgunsexemplos.

0,25doisdcimos5 2___

10

5,3255cincointeiros,trezentosevinteecincomilsimos5 5325______

1.000

uma casa decimal

trs casas decimaistrs zeros

leitura

leitura

um zero

Dzimasperidicas

Quandoonmeroteminfinitascasasdecimais,porexemploonmero0,55555,proce-demosdoseguintemodo:

chamamosonmero0,55555dexeescrevemosaigualdadex50,55555multiplicamososdoismembrospor10,obtendoumanovaigualdade:10x55,55555 subtramosaprimeiraigualdadedasegunda,membroamembro:

CC Quandotransformamosumnmerodaformadecimalparaaformadefrao,podemossim-plificarafraoattorn-lairredutvel.Vejaosexemplos.

0,25 2___

105

1__

5

5,32555325______

1.0005

5.325______

1.0005

213____

40

OBSERVAO

Logo:0,55555...5 5__

9

Nesse caso, os doismembros da primeira igualdade forammultiplicados por 10.Demaneirageral,elesdevemsermultiplicadosporumapotnciadebase10conveniente(10,100,1.000,),afimdedeslocaravrgulaparaadireitadoprimeiroperodo.Dessemodo,aosubtrairasigualdades,eliminamosadzima.

10x55,55555...x50,55555...

9x55

9x___

95

5__

9

x5 5__

9

X


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de 19

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e) @ 5 __ 8 2 2, __ 4 # 3 @ 2 9 ____ 131 #

f) @ 5 __ 7 2 0, __ 3 # 4 @ 24 ___ 11 2 1,

___ 47 #

15 Dividindo um nmero x por um nmero y, obtm-se 2,555 Determine o valor de x e de y, sabendo que eles so nmeros primos entre si.

16 Sendo x um nmero decimal, resolva a equa-

o: 1 __

3 x 1

1 __

2 5 0,2x 1 0,1333...

Logo: 2,3737... 5 235 ____

99

Logo: 3,2151515 5 1.061 ______

330

12 Qual a frao irredutvel que representa o nmero 0,36?

13 Expresse os nmeros abaixo na forma de frao.

a) 3,444 c) 0, ___ 45

b) 212, __ 5 d) 20,31222...

14 Determine a frao irredutvel que representa o valor das expresses.

a) 0,2 1 0, __ 3 c) 0,3

__ 8 1 1,4

__ 5

b) 0,2 __ 7 1 2,

__ 3 d) 1,

__ 8 3

2 ___

17

x 5 23 e y 5 9

x 5 22,75

PROPOSTOSExerccios

Veja alguns exemplos.

9 ___ 25

31 ___ 9

1 __ 8

132 ____ 245

b) 3,2151515... Seja x 5 3,2151515... Multiplicando os dois membros dessa

igualdade por 10, temos: 10x 5 32,151515... (I)

Multiplicando os dois membros da pri-meira igualdade por 1.000, obtemos:

1.000x 5 3215,1515... (II) Subtraindo (I) de (II), temos:

a) 2,373737 Chamando 2,373737 de x, obtemos

a igualdade x 5 2,373737 Multiplicando os dois membros dessa

igualdade por 100, obtemos: 100x 5 237,3737 Subtraindo a primeira igualdade da

segunda, membro a membro, temos:

100x 5 237,3737...x 5 2,3737...

99x 5 235

x 5 235 ____

99

X1.000x 5 3215,1515...

10x 5 32,151515...

990x 5 3.183

x 5 3.183 ______

990 5

1.061 ______

330

X

c) Se x 5 4,232323..., devemos multiplicar os dois membros por 100. 100x 5 423,2323...

d) Se x 5 0,518518..., devemos multiplicar os dois membros por 1.000. 1.000x 5 518,518518...

e) Se x 5 2,5313131..., devemos multiplicar os dois membros por 1.000. 1.000x 5 2.531,3131...

2 113 ___ 9

5 __ 11

2 281 ____

900

8 ___ 15

47 ___ 18

83 ___ 45

2 __ 9

CAPTULO 1 NMEROS REAIS20

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17 Em uma caixa h bolas numeradas de 1 a 7. Mrcio retira trs bolas consecutivas sem recoloc-las na caixa para representar um nmero A. O nmero retirado na primeira bola representar as unidades de A, o nmero da segunda bola vai representar os dcimos de A e o da terceira bola, os centsimos.

a) Mrcio retirou os nmeros 6, 4 e 2, nessa ordem. Qual o nmero A formado nesse caso? Indique-o por uma frao irredutvel.

b) Se, em seguida, Mrcio retirar mais trs bolas, qual o maior nmero A possvel que poder ser sorteado com a retirada dessas bolas? E o menor?

2 Nmerosquadradosperfeitos

Seumnmeronaturaligualaumnmeronaturalelevadoaoquadrado,elechamadodequadrado perfeito.

Observeosexemplos.

a)4quadradoperfeito,pois4522.

b)32noquadradoperfeito,poisnoexisteumnmeronaturalqueelevadoaoquadradoresulteem32.

c)81quadradoperfeito,pois81592.

Paraproduzirnmerosquadradosperfeitos,escolhemosumnmeronaturaleoelevamosaoquadrado.Porexemplo,12umnmeronatural;ento1225144umquadradoperfeito.

7,53; 1,35

321 ____ 50

Vejaoqueocorrequandodecompomos12e144emfatoresprimos.

144 272 236 218 29 33 31

4 fatores iguais a 2


12 26 23 31


1 fator igual a 3

Observeque144temodobrodefatoresprimosde12.Assim:

12tem2fatoresiguaisa2e 1fatoriguala3.144tem4fatoresiguaisa2e2fatoresiguaisa3.

Dessemodo,para identificarseumnmeroquadradoperfeito,bastadecomp-loemfatoresprimoseverificarseonmerodecadaumdessesfatorespar.Acompanhemaisdoisexemplos.


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72 236 218 29 33 31



Noteque todososexpoentesdos fatores sopares. Ento,324umquadradoperfeito.

Vejadoismodosdeencontraronmeroquegerouoquadradoperfeito324:

72523332

mpar

Noteque72temumnmerompardefatoresiguaisa2.Ento,72noumquadradoperfeito.

6 linhas

Total de quadradinhos: 6 3 6 = 62 = 36

6 colunas

324 2162 281 327 39 33 31



324522334

a)Verificarse324umquadradoperfeito. Paraverificarse324umquadradoperfeito,decompomos324emfatoresprimos.

Representao geomtrica

Podemosrepresentargeometricamenteumnme-roquadradoperfeito.Porexemplo,com36quadra-dinhos iguaispossvel formarumnovoquadrado,conformeafiguraaolado,porque36umnmeroquadradoperfeito.

Vejaabaixoquecom8quadradinhos iguaisnopossvel formarumnovoquadrado,pois8noquadradoperfeito.

Ento,podemosdizerque324umquadradoperfeitoporqueexisteonmeronatural18queelevadoaoquadradod324.

b)Verificarse72umquadradoperfeito.

3245223345 3245232333333335

5223(32)25 5(2 3 3 3 3)25

5(2332)25 5182

5182


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Representaogeomtrica

Damesmamaneiraquerepresentamososnmerosquadradosperfeitospelaquantidadedequadradinhosqueformamumquadradomaior,tambmpodemosrelacionararaizquadradadeumnmerocomamedidadoladodeumquadrado.

Porexemplo,umaregioquadradacom144m2dereatemoladomedindo12m,pois

1225144.Ento,125dllll144.

20 Com 144 quadradinhos iguais Fernando pode cons truir um quadrado. Quantos qua-dra di nhos h em cada linha desse novo quadrado?

21 Com quantos quadradinhos iguais posso cons-truir um quadrado que tenha 8 qua dra di nhos em cada linha?

PROPOSTOSExerccios

18 Determine os quadrados perfeitos entre 100 e 200.

19 Efetuando a decomposio em fatores primos, verifi que quais dos seguintes nmeros so quadrados perfeitos.

a) 225 c) 441 e) 576b) 360 d) 480 f) 784

121, 144, 169 e 196

225, 441, 576 e 784

12 quadradinhos

64 quadradinhos

3 RaizquadradadenmerosracionaisVimosque,quandodeterminamosoquadradodeumnmeronatural,encontramosum

nmeroquadradoperfeito.Porexemplo:1525225

Nessecaso,podemosdizer: 225oquadradode15; 15araiz quadradade225,oqueindicamosassim:155dllll225.Omesmoocorrecomqualquernmeroracionalnonegativo.Vejaestesexemplos.

2__

5araizquadradade

4___

25,pois@2__5#

2

5 4___

25;isto, dlll4___255

2__

5.

dlllll1,4451,2,porque(1,2)251,44. Se1325169,ento135dllll169.

144 m

12 m

12 m

Assim,paraencontraramedidacdoladodeumquadrado,sabendoqueareadoseuinte-riorA,bastaencontrararaizquadradadeA.

c5dllA,poisc25A


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ClculodaraizquadradapeladecomposioemfatoresprimosJvimosque,paraidentificarumnmeroquadradoperfeito,verificamosseeletemuma

quantidadepardecadaumdeseusfatoresprimos.Essefatotambmnospermiteencontraronmeroquegerouoquadradoperfeito.Esse

nmerogeradoraraizquadradadoquadradoperfeitodado.Vejaosexemplos.

a)Calculardllll225.

nmero par de fatores

Ento,2255152e,portanto,dllll225515. Esseprocedimentonosforneceummeiodedeterminararaizquadradadeumquadrado

perfeito.

b)Determinardllll324. Decompondo324emfatoresprimos,temos:

225 375 325 55 51

32

522255323525(335)25152

324522332332

3245(23333)2

3245182

Como3245182,temosquedllll324518. Observeque18decompostoemfatoresprimos(18521331331)temametadedos

fatoresprimosde324.

324 2162 281 327 39 33 31

22

32

32

Vejaoutroexemplo.Areadeumjardimquadrado256m2.Paradeterminaramedidacdoladodessejardim,

temosdeencontrardllll256,poisc25256.Comoonmerocgeraoquadradoperfeito256,entoelepodeserencontradodecompondo

256emfatoresprimos.Assim,podemosescrever:2565285(24)25162

Portanto,oladodojardimmede16m.c


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Assim,deummodoprtico,podemosdizerque,paraextrairaraizquadradadenmerosinteirosquadradosperfeitos,procedemosassim:

primeiro,decompomosonmeroemfatoresprimos; aseguir,dividimoscadaexpoentepor2; finalmente,efetuamosamultiplicaoobtida.Nocasodenmerosracionaisrepresentadosporfrao,decompomosonumeradoreo

denominadoremfatoresprimose,aseguir,calculamosaraizquadradadecadaumdeles.Vejaalgunsexemplos.

dllll36____6255dllllll

22332______

54 5

233_____

52 5

6___

25

dllllll12,965dllllll1.296______100 5dllllll

24334______

223525

22332______

235 5

439_____

10 5

36___

1053,6

29 Um salo na forma de um quadrado tem seu piso coberto com 10.800 lajotas retangulares de 40 cm por 30 cm. Determine:

a) a rea do salo;b) as dimenses do salo.

27 Usando a decomposio em fatores primos, calcule a raiz quadrada de:

a) 25 ____

576 c)

225 ____

729 e) 19,36

b) 64 _____

1.225 d) 6,25 f) 0,01

28 Ivan vai construir uma pipa colorida na forma de um quadrado. Para essa construo, ele recor-tou um quadrado de papel azul com rea igual a 2.500 cm2, trs quadrados de papel amarelo de rea igual a 900 cm2 cada um e dois retn-gulos de papel vermelho de 20 cm por 30 cm. Qual ser a medida do lado dessa pipa?

22 Justifi que as igualdades.a) dllll0,64 5 0,8 c) dllllll210 3 32 5 25 3 3

b) dllll 64 ____ 225 5 8 ___

15 d) dllll 1,69 ____ 4 5 13 ___ 20

23 Extraia a raiz quadrada dos seguintes nmeros pela decomposio em fatores primos.

a) 256 d) 484 g) 1.600b) 196 e) 729 h) 1.024c) 576 f) 1.225 i) 1.296

24 Sendo x 5 24 3 132, calcule a raiz quadrada de x.

25 Um paliteiro de base quadrada tem a for-ma da fi gura ao lado. Sabendo que a rea das faces laterais do paliteiro 162 cm2 e que a rea de todas as faces 202,5 cm2, determine a medida a do lado da base desse paliteiro.

26 A rea de um quadrado 23,04 cm2. Calcule o permetro desse quadrado.

(0,8)2 5 0,64

(25 3 3)2 5 210 3 32

16

14

24

22

27

35

40

32

36

a 5 4,5 cm

19,2 cm

80 cm

1.296 m2

36 m por 36 m

0,12,5

4,4

a

PROPOSTOSExerccios

@ 8 ___ 15 # 2

5 64 ____ 225

@ 13 ___ 20 # 2

5 169 ____ 400

5 1,69 ____

4

dllx 5 52

5 ___ 24

8 ___ 35

15 ___ 27


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32 Faa estimativas para obter o valor aproxi-mado de:

a) dlll51 b) 50 3 dlll51 c) 200 3 dlll51 Como voc pode comprovar seus resultados?

33 No sculo XX, qual foi o nico ano represen-tado por um nmero quadrado perfeito?

PROPOSTOSExerccios

RaizquadradacomaproximaonaturalVimosqueosnmerosquadradosperfeitostmcomoraizquadradaumnmeronatural

queelevadoaoquadradoreproduzonmerodado.Vejamosoqueacontecequandoqueremosextrairaraizquadradadeumnmeroqueno

quadradoperfeito.Porexemplo,vamoscalculararaizquadradadonmero31.Quenmeroelevadoaoquadradod31?Vamostestaralgunsnmeros.

425165252562536

Como31estentreosnmeros25e36,ento dlll31 deveestar compreendidaentredlll25edlll36.

Comodlll2555edlll3656,conclumosquedlll31estentre5e6.

5,dlll31,6Dizemos,ento,que:5araizquadradaaproximada por faltadonmero31.6araizquadradaaproximada por excessodonmero31.Emgeral,considera-seraizquadradaaproximadadeumnmeronoquadradoperfeitoa

raizquadradaaproximadapor falta.Indica-seque5araizquadradaaproximadaporfaltade31escrevendo-se:

dlll3175(lemos:araizquadradadonmero31aproximadamenteiguala5)

30 Considere o nmero 110 e responda s questes.a) Entre que nmeros quadrados perfeitos ele

est compreendido?b) A raiz quadrada desse nmero est com-

preendida entre quais nmeros naturais?c) Qual a raiz quadrada por falta de 110?

31 Qual o menor nmero natural que devemos somar a 650 para obter um nmero quadrado perfeito?

100 e 121

10 e 11

10

resposta possvel: com uma calculadora

26 1936

7 7

7 350

7 1.400

31 est entre 25 e 36

RaizquadradacomaproximaodecimalVamosagoraaprenderacalculararaizquadradacomaproximaodecimaldeumnmero

quenoquadradoperfeito.Considere,comoexemplo,onmero2.Qualonmeroracionalqueelevadoaoquadradod2?Vejamos:

1nopodeser,porque12512nopodeser,porque2254


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Nessecaso,dizemosquearaizquadradaaproximadadonmero2comumacasadecimal1,4eescrevemosdll271,4.

Procuremosumaaproximaomaior,comduascasasdecimais,paraaraizquadradade2:

(1,41)251,9881(menorque2)(1,42)252,0164(maiorque2)

Logo,dll2umnmerocompreendidoentre1,41e1,42.

Dessaforma,dll2umnmerocompreendidoentre1e2.

Comonoexistenenhumnmerointeirocujoquadradod2,dizemosque1araizqua-dradaaproximadadonmero2.

Procuremos,ento,umnmerocomumacasadecimalcujoquadradosejamaisprximode2:

(1,1)251,21(menorque2)(1,2)251,44(menorque2)(1,3)251,69(menorque2)(1,4)251,96(menorque2)(1,5)252,25(maiorque2)

Tambmnoexistenmerocomumacasadecimalcujoquadradoseja2.Logo,dll2umnmerocompreendidoentre1,4e1,5.

21

2

1 < < 22

21

2

1,4 1,5

1,4 < < 1,52

21

1,41 1,42

2

1,41 < < 1,422

2 est entre 1,96 e 2,25

Ento,podemosdizerquearaizquadradadonmero2comduascasasdecimais1,41eescrevemosdll271,41.

Assimprosseguindo,encontraremosaraizquadradaaproximadade2comquantascasasdecimaisdesejarmos,sem,entretanto,encontrarumnmerodecimalcujoquadradod2.


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38 Nas expresses a seguir, calcule as razes qua-dradas com uma casa decimal. Depois, efetue as operaes indicadas.

a) dll6 1 dlll21 c) dlll85 ______

dllll4,69

b) dlll12 3 dll8 d) 2 3 dlll50 2 3 3 dlll75

39 Veja o que Marta escreveu: dlllll72,56 7 8,a.Que algarismo deve ser colocado no lugar de a para que o nmero 8,a represente a raiz quadrada aproximada de 72,56 com uma casa decimal?

34 Verifi que se 1,7 pode ser considerado uma raiz aproximada de 3.

35 Entre os nmeros 3,87 e 3,88, qual deles mais se aproxima de dlll15 ?

36 Qual o nmero com uma casa decimal que apresenta a raiz quadrada aproximada de 265?

37 Calcule as seguintes razes quadradas aproxi-madas com uma casa decimal.

a) dlll11 c) dll8 e) 572 g) 42,55b) dll5 d) dlll10 f) 28,19 h) 12,6

sim

3,87

Vejaoutrosexemplos.

a)Calculararaizquadradadonmero58comduascasasdecimais. 7 a raiz quadrada

aproximada de 58.Ento: 7 , dlll58 , 872549(menorque58)82564(maiorque58)

(7,1)2550,41(menorque58) (7,2)2551,84(menorque58) (7,5)2556,25(menorque58) 7,6 a raiz quadrada aproximada

com uma casa decimal do nmero 58.Ento: 7,6 , dlll58 , 7,7(7,6)2557,76(menorque58)(7,7)2559,29(maiorque58)

Ento: 7,61 , dlll58 , 7,62

(7,61)2557,9121(menorque58)(7,62)2558,0644(maiorque58)

Ento,araizquadradade58comduascasasdecimais7,61.Escrevemosdlll5877,61

b)Calculararaizquadradadonmero7,2comumacasadecimal. Onmero7,2estcompreendidoentreosquadradosperfeitos4e9.Ento:

dll4 ,dllll7,2,dll9, ouseja,2, dllll7,2,3

Araizquadradade7,2umnmerocompreendidoentre2e3. Vamoscomeartestando2,5.

(2,5)256,25(menorque7,2)

Ento: 2,6 , dlll7,2 , 2,7(2,6)256,76(menorque7,2)(2,7)257,29(maiorque7,2)

Logo,araizquadradadonmero7,2comumacasadecimal2,6.Escrevemosdllll7,272,6.

CC Vimosquedll271,41.Geometricamente,issosignificaqueumquadradocom2cm2dereatem ladosdemedida1,41cm,aproximadamente,pois(1,41)272.

OBSERVAO

PROPOSTOSExerccios

16,2

2,2

3,3

3,1

2,8

5,3

23,9

3,5

6,5

6,9

9,52

4,3

211,8

5

1,41 cm

1,41 cm

2 cm2


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rodu

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Dessamaneira,conclumosqueexistemnmerosquenosorepresentadosnemnaformadecimalexata(comumnmerofinitodecasasdecimais)nemporumadzimaperidica.Portanto,nopodemserrepresentadosporfraese,consequentemente,nosonmerosracionais.Essesnmerossochamadosdenmeros irracionais.

Todososnmerosirracionaiscomtodososnmerosracionaisformamumnovoconjuntochamadodeconjunto dos nmeros reais,querepresentadoporV.

4 OsnmerosirracionaiseosnmerosreaisConsidereonmero:0,101112

Observandoaformaodessenmero,vamossuporquepodemosdarcontinuidadesuapartedecimal:0,10111213;0,1011121314;eassimpordiante.

Arepresentaodecimaldessenmeroteminfinitascasasdecimaisenoperidica;portanto,essenmeronopodeserescritocomofrao.Logo,elenoracional.

Vejaesteoutronmero:0,52552555255552...

Considereagoraarepresentaodecimaldosnmerosdll2edll3comsetecasasdecimais:

dll2 71,4142135 e dll371,7320508

Pormaiorquesejaonmerodecasasdecimaisquequeiramosdaraessesnmeros,nuncaencontraremosparaelesumarepresentaodecimalexataouperidicae,portanto,noen-contraremosfraesqueosrepresentem.Emvistadisso,dizemosquedll2edll3sonmerosirracionais.Tambmirracionaltodaraizquadradadeumnmeroracionalpositivoquenosejaquadradoperfeito.

Comoexemplodenmerosirracionaistemos:

dll5 dll6 dll8 dlll10

Arepresentaodessenmerotambmnodecimalexatanemperidica;portanto,essenmeronopodeserexpressoporumafrao.Logo,noumnmeroracional.

0,52552555255552555552...

Imaginandoqueessepadrocontinua,vamosacrescentarmaisseisalgarismossuapartedecimal:

um cinco

dois cincos

trs cincos

quatro cincos

cinco cincos

Logo,todonmeroracionalouirracionalumnmeroreal.


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Otraadoobtidopelojardineiroumacircunferncia.Emseguida,comumaenxada,elefezumsulcosobreacircunferncia.Desejandosaberocomprimentodessacircunferncia,elecolocouumatrenaacompanhando

osulco.

Adistnciaentreasduashasteserade3m. Issoquerdizerqueelehaviatraadoumacircunfernciade3mderaio,ouseja,de6mdedimetro.

Comodecostume,porcuriosidadeLusdividiuocomprimentodacircunfernciapelamedidadodimetro(18,8446).Oresultadofoioqueelejesperava:3,14(aproximadamente).

SemprequeLusfazessadivisoeleobtmaproximadamente3,14,independentementedodimetrodacircunferncia.

Naverdade,osmatemticosjprovaramquearazoentreocomprimentodacircunfernciaeamedidadeseudimetroumnmero(prximode3,14)que,naformadecimal,apresentainfinitascasasnoperidicas.Ouseja,umnmeroirracional.

Oavanodatecnologianareadainformticatemvalidado,naprtica,oqueateoriamos-tra:jpossvelexpressaressenmerocommilhesdecasasdecimais,eessarepresentaonoapresentanenhumperodo,poissetratadeumnmeroirracional.

OnmeroirracionalsConsidereaseguintesituao.Paratraarocanteirodeazaleiasdeumapraa,Lus,ojardineiro,usouumacordapresaa

duashastesdemadeira,umaemcadaponta.Fincandoumadashastesnochoemantendoacordaesticada,riscouaterracomaoutra

haste,dandoumavoltacompleta.

Assim,eleverificouqueacircunfernciamedia,aproximadamente,18,84m.


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40 Dados os nmeros dll2 , 2 dll3 , 2 dll4 , 3 dlll27 , dlll 25 ___ 4 , dll

1 __

8 e 4 dlll256 , diga quais so:

a) os nmeros inteiros; b) os nmeros racionais; c) os nmeros irracionais.

41 Calcule o valor das expresses considerando s 5 3,14.

a) 3s b) s 1 4,31 c) s __

5 d)

3 __

4 s e) 2,4s f)

0,5 3 s ______

3

42 Uma roda de bicicleta tem raio de 40 cm. Calcule o comprimento da circunferncia dessa roda consi-derando s 5 3,14.

43 Uma pista circular tem 8 m de largura. O comprimento de sua margem interna 1.570 m.

PROPOSTOSExerccios

9,42 7,45 0,628 2,355

2 dll4 , 3 dlll27 e 4 dllll256

40b) 2 dll4 , 3 dlll27 , dlll 25 ___ 4 e 4 dllll256

dll2 , 2 dll3 e dll 1 __ 8

7,536 0,52 _ 3

251,20 cm

8 m

A

B

Determine o comprimento de sua margem externa considerando s 5 3,14.

44 Marina e Paula esto na posio A de uma praa circular de 50 m de raio. Elas caminham em direo posio B. Marina caminha segundo o traado preto, e Paula, segundo o traado vermelho.

a) Quantos metros Marina andou?b) Quantos metros Paula andou?

45 Calcule quantos centmetros tem, aproximadamente, o contorno da fi gura abaixo. (Mea os dimetros com uma rgua.)

1.620,24 m

157 m

157 m

25,7 cm

Essenmeroirracional,querepresentaarazoentreocomprimentodeumacircunfernciaeamedidadeseudimetro,representadopelaletragregas(lemos:pi).

Assim,podemosescrever:

comprimentodacircunferncia

_____________________________medidadodimetro

5s

Veja a representao decimal desse nmero com suas primeiras 8 casas decimais:3,14159265...


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Comosabemos,nopossvelrepresentartodoseles,poisentredoisnmerosracionaisexisteumainfinidadedeoutrosnmerosracionais.Mesmoqueissofossepossvel,ospontosquerepresentariamessesnmerosnoseriamsuficientesparacobrirtodaaretanumrica.Faltariamaindaospontoscorrespondentesaosnmerosirracionaisparacompletarareta.

Arepresentaodetodososnmerosracionaiseirracionais,isto,dosnmeros reais,preenchecompletamentea retanumrica.Aessa retachamamosderetareal.

Vamosrepresentarnaretarealonmeroirracionaldll2.Jvimosquedll2umnmeroqueestentre1,4e1,5;logo,sualocalizaoaproximada

naretareal:

Assim,sabendoaaproximaodecimaldeumaraizquadradanoexata,podemosdeter-minarsuaposioaproximadanaretareal.

OteoremadePitgorasearetarealOteoremaqueestudaremosaseguirvainosajudaradeterminar

aposioexatadedll2edeoutrosnmerosirracionaisnaretareal.Vocjsabequeotringulo retnguloumtringuloquetem

umngulointernoreto.Omaiorladodessetringulochamadodehipotenusa,eosdemais,decatetos.

cateto

hipotenusa

cateto

47 Represente em uma mesma reta real os n-meros: a) 22 c) 2 dlll10 e) 0,

__ 5

b) 2 3 __

2 d) 0,25 f) 22 ___

9

46 Represente em uma mesma reta real os n-meros:

a) 3 c) dlll10 e) 10 ___

3

b) 4 d) dlll17

PROPOSTOSExerccios

2 1 21,51,4

10

2

2 3 4 5

10 17103

3 2 1 00,25 0,5

1

29

32

10 _

5 AretarealJvimoscomorepresentarnmerosinteirosemumareta:

Tambmjvimoscomorepresentarnmerosracionaisemumareta.Porexemplo:

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

0,51 0 1 1,518 1

4 1

2


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Issosignificaqueareadoquadradoformadosobreahipotenusaigualsomadasreasdosquadradosconstrudossobreoscatetos.

Essarelao,chamadadeteorema de Pitgoras,valeparaqualquertringuloretnguloeserusadaparadeterminaraposiodealgunsnmerosirra-cionaisnaretareal.

a

b

c

Ostringulos retngulos tmumapropriedademuitoespecial: com regiesquadradasconstrudassobreoscatetos,semprepossvelconstruirumaregioquadradasobreahipo-tenusa.Vamosverificarexperimentalmenteessefato.

Naprimeirafiguraabaixo,temosumquadradosobrecadaumdoscatetos(regioroxaeregioverde).Vamosdecomporessesquadradosdemodoconvenienteparaformarumqua-dradosobreahipotenusa.

rea de cada quadrado construdo sobre os catetos.

rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa.

a2 5 b2 1 c2

Ento, indicandoporc eb asmedidasdosca-tetosepora amedidadahipotenusa, podemosescrever:

2

1

3

4

5

1

2 3

54

2

1

3

4

5

1

2 3

54


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48 Que nmero irracional est representado em cada reta pela letra m?a)

0 1 32

3

m 01

1

m

0 1 32

3

m 01

1

m

a25b21c2

a2582112

a256411a2565a5 dlll65

Vejaoutroexemplo:paraobterdlll65,construmosumtringuloretngulodecatetosme-dindo1e8.

b) dlll13 2 dll2

PROPOSTOSExerccios

49 Construa com rgua e compasso um tringulo retngulo com um cateto de 2 unidades de comprimento, sobre uma reta numrica, e outro cateto de 1 unidade de comprimento. Determine a medida da hipotenusa desse tringulo e localize na reta numrica o nmero que expressa a medida da hipotenusa desse tringulo.

Ovalorprocuradoumnmeropositivoqueelevadoaoquadradoresultaem2.Essen-merodll2.Logo,a5dll2.

Ento,pararepresentardll2nareta,bastacontruirumtringuloretngulodecatetosme-dindo1unidadeetransferiramedidadahipotenusaparaareta.Veja.

ComcentroemOeabertu-raOB,marcamosopontoC.

PorA, traamos ___BAt r,

talqueBA51.UnimosOcomBeobtemosOB5dll2.

1

1

O A r r r

B

1

1

O A A

B

1

1

O

B

C

2

2

2

Porexemplo,sequisermosrepresentardll2naretareal,construmosumtringuloretngulocomahipotenusamedindodll2.Observe.

1

1a

a25b21c2

a2512112

a25111a252

1

1

O A r r r

B

1

1

O A A

B

1

1

O

B

C

2

2

2

1

1

O A r r r

B

1

1

O A A

B

1

1

O

B

C

2

2

2

dll5

1

8

a


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Atividade

Do 2o para o 3o bimestre.

Observequecadapontomarcadoindicaovalorgastoemdeterminadoms.Ospontosobtidosestoligadosporsegmentosderetaapenasparafacilitaravisuali-

zao,poisnoexistemoutrosmesesentreosmarcados.Observequeessessegmentosforamconstrudosrespeitandoaordemdosmeses.

Interpretandoogrfico,podemoschegarsseguintesconcluses: omsemqueEnricoteveomenorgastofoijulho; Enricogastoumaisnacantinaemabril; oconsumodeEnriconofoisemprecrescentenemdecrescente;eleoscilou.

1. A tabela ao lado mostra as notas de Matemtica que Maria obteve ao longo do ano.

a) Construa um grfico de linha com esses dados.b) Qual foi a maior e a menor nota obtida por ela?c) possvel afirmar que nesse perodo ela s me-

lhorou suas notas de Matemtica?d) Em qual perodo ela teve maior aumento da nota?

Bimestre Nota de Matemtica

1o 8,0

2o 8,5

3o 9,5

4o 9,0

9,5; 8,0

c) No, pois no ltimo bimestre a sua nota diminuiu.

Construindoeinterpretandoumgrficodelinha

TraTamenTodainformao

Gastos na cantina

Ms Valor gasto

Fevereiro R$15,00

Maro R$25,00

Abril R$45,00

Maio R$30,00

Junho R$35,00

Julho R$0,00

Enricosvezeslevalanchedesuacasaparaaes-colaesvezescompranacantina.Todofinaldemselepagaovalorquegastouduranteoms.VejanatabelaaoladoosgastosdeEnricoemalgunsmesesdoanopassado.

Parafacilitaravisualizaodeseusgastos,En-ricoresolveufazerumgrfico de linhacomessesdados. Esse tipodegrficomostraa variaodeumacontecimentodurantecertoperododetempo.Veja.

Gastos na cantina

MsMaroFevereiro Abril Maio Junho Julho

45

15

25

3530

0

Valor (em R$)


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015

a

120 m

100 m

B C (casa de Eduardo)

A (casa de Ricardo)

66 Represente na reta real os nmeros dlll29 e 2 dll5 .

67 Ricardo vai todos os dias visitar seu neto Eduardo. Ele pode ir de duas maneiras diferentes. Quantos metros ele anda quando escolhe o caminho mais curto? E quando escolhe o mais longo?

68 Uma costureira recebeu uma encomenda de uma toalha quadrada de 8 m2 de rea. Calcule a medida do lado dessa toalha com duas casas decimais.

aproximadamente156,2 m; 220 m

2,82 m

50 Quais sentenas so verdadeiras e quais so falsas?

a) Todo nmero inteiro natural.b) Todo nmero racional inteiro.c) Todo nmero racional real.d) Todo nmero irracional real.

51 Represente os seguintes nmeros na forma decimal.

a) 5 __

4 b)

5 __

3 c)

5 __

6 d) dlll 4 ___ 25

52 Represente com uma frao irredutvel.a) 0,45 c) 0,45555... b) 0,454545... d) dlllll12,25

53 Considere A 5 2 __ 3 2 1,

__ 4 e B 5 0,7 2 0,777...

Determine A 4 B.

54 Dadas as dzimas peridicas 2,555 e 0,222, determine:

a) a soma delas, escrevendo o resultado na forma abreviada;

b) a subtrao delas, escrevendo o resultado na forma abreviada;

c) as fraes geratrizes delas;d) o produto delas, escrevendo o resultado na

forma de frao.

55 Decomponha os seguintes nmeros em fatores primos e, depois, classifi que-os como quadra-dos perfeitos ou no quadrados perfeitos.

a) 256 b) 300 c)900 d) 450

56 Justifi que por que dllll4,84 5 2,2.

57 Sendo x 5 28 3 52, calcule a raiz quadrada de x.

58 Qual o menor nmero pelo qual devemos multiplicar 25 3 34 3 53 3 7 para obtermos um nmero natural que seja quadrado perfeito?

59 Sendo A 5 33 3 5 3 7 e B 5 3 3 5 3 7, calcule a raiz quadrada de A 3 B.

60 Um terreno tem a forma de um quadrado e sua rea igual a 231,04 m2. Calcule o permetro desse terreno.

61 Quais so as sentenas falsas?a) dlll30 5 5,47 c) dllllll0,0961 5 0,31b) dlll30 7 5,47 d) dllllll0,0961 7 0,31

62 Entre os nmeros 2s, 5s ___ 3 ,

5s ___ s e

5 ___

3s , quais so

irracionais?

63 Os catetos de um tringulo retngulo medem 12 cm e 5 cm.

a) Calcule a medida da hipotenusa.b) Essa medida um nmero racional ou irra-

cional?

64 Os catetos de um tringulo retngulo medem 6 cm e 2 cm.

a) Calcule a medida da hipotenusa.b) Essa medida um nmero racional ou irra-

cional?c) Determine a aproximao dessa medida da

hipotenusa com uma casa decimal.

65 Que nmero irracional est representado na reta pela letra a?

F

F

V

V

1,25

9 ___ 20

5 __ 11 7 __

2

41 ___ 90

1, __ 6 0,8

__ 3 0,4

10

2, __ 7

2, __ 3

23 ___ 9 ; 2 __ 9

46 ___ 81

(2,2)2 5 4,84

80

70

315

60,8 m

COMPLEMENTARESExerccios

55 a) 28; quadrado perfeitob) 22 3 3 3 52; no quadrado perfeitoc) 22 3 32 3 52; quadrado perfeitod) 2 3 32 3 52; no quadrado perfeito

racional

13 cm

dlll40 cm

irracional

6,3 cm

dlll26

F

V F

V

2s, 5s ___ 3 e 5 ___

3s


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69 A fi gura ao lado representa um terreno dividido em dois lotes. O lote da esquerda tem a forma de um qua-drado e sua rea 497,29 m2. Calcule a rea do loteda direita.

30 m

669 m2

O nmero representado pela letra a na reta real :

a) dlll18 b) dlll17 c) dlll15 d) dlll20

86 (PUC-RJ) O valor de dllllll1,777... ________

dllllll0,111... :

a) 4,444... c) 4,777... e) 4 __

3

b) 4 d) 3

X

X

81 (Ufac) O valor da expresso numrica

2 2 1 __ 2 4 4 2 60 1 [5 1 (22 4 0,333...)] :a) 23 c) 210 e) 0,113

b) 2 113 ____

8 d) 0,25

82 (PUC-RJ) O valor de dlllll2,777 ... :a) 1,2 d) um nmero entre

1 __

2 e 1

b) 1,666... e) 3,49c) 1,5

83 O valor da expresso @2, __ 5 2 2 __ 9 # 4 @1,4 2 7 ___ 18 # :a)

46 ___

91 b)

41 ___

91 c)

30 ___

13 d)

637 ____

54

84 Se a e b forem nmeros inteiros, ento ver-dade que:

a) a 1 b um nmero natural.b) a 2 b um nmero inteiro.c) a 4 b um nmero irracional.d) a 3 b um nmero negativo.

85 Veja a fi gura.

X

X

X

X

0 3

3

a

70 Qual dos nmeros um quadrado perfeito?a) 200 b) 250 c) 300 d) 400

71 Qual dos seguintes nmeros quadrado perfeito?a) 26 3 32 b) 25 3 32 c) 26 3 33 d) 25 3 33

72 Qual dos seguintes nmeros mais se aproxima da raiz quadrada de 75?

a) 8,4 b) 8,5 c) 8,6 d) 8,7

73 Se A 5 23 3 32 3 5 e B 5 2 3 5, ento a raiz quadrada de A 3 B :

a) 10 b) 40 c) 60 d) 120

74 A raiz quadrada do nmero A 5 24 3 34 3 52 :a) 30 b) 60 c)90 d) 180

75 A raiz quadrada do nmero A 5 2x 3 32 3 72 42. Ento, o valor de x :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

76 (Unirio-RJ) O valor de

dlllllllllllllllllll15 2 dllllllllllllll32 1 dllllllll25 2 dlll81 :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

77 Uma tela tem 2,8 m por 0,7 m. Sua rea igual de outra tela quadrada. O lado dessa tela mede:

a) 1,96 m c) 2,8 mb) 1,4 m d) 4,96 m

78 No sculo XXI, o primeiro ano quadrado per-feito :

a) 2004 b) 2009 c) 2016 d) 2025

79 Qual dos nmeros racional?a) dlll11 b) 1,111... c) dlll32 d) s

80 Se x 5 1,333 e y 5 0,1666, ento x 1 y igual a:

a) 5 __

7 b)

68 ___

45 c)

13 ___

9 d)

4 __

3 e)

3 __

2

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

TESTES


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Jogo:EnfileirandoNmero de participantes:2a4jogadoresMaterial: 20cartescomosnmeros:0,2,6,7,9,28,27,24,23,21,

1__

2, 1__

3, 2__

3, 7__

8, 3__

8,dll1,dll2,

dll3,dlll16,dlll25. 4cartasdeao:umadeordemcrescente;umadeordemdecrescente;uma

deadiodosnmeros;eumademultiplicaodosnmeros. Doissaquinhosnotransparentes:umparaguardaroscartesnumeradoseoutro

paraguardarascartasdeao. Papelelpispararesolverasoperaes.Regras: Cadajogadorpegacincocartesnumeradosdosaquinho,semolharosnmeros. Depois,umdosjogadorestiraumacartadeaoecolocaemcimadamesapara

quetodosavejamefaamoqueelaindica.Porexemplo,sesairacartaordemcrescente, cada jogador deve colocar emordemcrescenteos cartesque

pegou.Suponhaqueumdosjogadorestenhaosnmeros2,23,dll2, 1__

2e9;eledeve

colocaroscartesnestadisposio:23,1__

2,dll2,2e9.Anota-seonomedequem

terminouatarefaemprimeirolugareretira-seoutracarta. Paraosclculoscomdll2edll3,osjogadoresdevemusarosvaloresaproximados

1,4e1,7respectivamente.Exemplo:21(23)1dll21 1__

21959,9

Venceojogoaquelequeganharomaiornmeroderodadas,isto,queconcluiratarefaantesdosoutroscolegasmaisvezes.Casonenhumjogadorconsigaexe-cutarastarefas,reinicia-seojogo.

Agora com voc!

Diversifi candoDiversificando

1 Observe a ilustrao e responda questo. Quem ganhou esta rodada? Justifi que.

2 Formem grupos de 3 ou 4 pessoas, modifi quem uma regra do jogo e troquem com outro grupo. Depois de jogarem com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo.

A menina, pois colocou os cinco nmeros na ordem certa, como pedia a carta de ao.

Pedir aos alunos que escrevam a nova regra de forma clara e objetiva para que o colega consiga entender, pois ele ter de explic-la para os outros no fi nal da atividade.


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CAPTU

LO

Clculo algbrico2

OcacauoriginriodasAmricasecomelesefazumdosalimentosmaissabo-rososqueexiste:ochocolate.

Umadoceriavendebombonsdeliciososdediversossabores.UmaembalagemparapresentecustaR$4,00ecadabombom,R$1,50.

Agora, responda.

Qualseropreototaldeumacaixadepresentecom5bombons?Ecom11? RepresentandoopreototalporPeaquantidadedebombonsporx,comoseriaaexpressoquerelacionaPex?

Matemticanomundo

R$ 11.50 e R$ 20,50

P 5 1,50x 4,00

EDUARDO SANTA

LIESTRA/CID


Situao 1 SeuJoaquim,donodeumaquitanda,colocou5masemumdospratosdeumabalanaeequilibrou-acolocandonooutropratoumpesode500gedoispesosde200g.

1 A incgnita e a varivel

Sendoassim,seDiegopescar: 1kg,devepagar,emreal:2,0014,0056,00 1,5kg,devepagar,emreal:2,0014,0031,552,0016,0058,00 2kg,devepagar,emreal2,0014,003252,0018,00510,00 eassimpordiante.NsnosabemosquantoDiegovaipescar,maspodemosdeterminaroquantoelepagarpornquilogramasdepeixepescado:2,0014,003n.Nessecaso,aletranpodeassumirovalor3ou3,2ou12,5ouqualqueroutrovalorrealpositivo.Porisso,elachamadadevarivel.OusodeletraspararepresentarnmerosreaisfazpartedeumramodaMatemticaque

trabalhacomincgnitasevariveis:algebra.

200 g500 g

200 g

Situao 2 DiegoeseuscolegasforamaumpesqueepagueondesecobramR$2,00deentradaeR$4,00porquilogramadepeixepescado.

Representandoamassadecadamaporx,temosaequao:53x5900 ou 5x5900

Noestudodasequaes, representamosumtermodesconhecidoporuma letra,quechamadadeincgnita.Naequao5x5900,aincgnitaaletraxeseuvalor180.

CAPTULO 2 ClCulo algbriCo40

Rep

rodu

o proibida

. Art. 1

84 do Cd

igo Pen

al e Lei 9.610

de 19

de feve

reiro

de 19

98.


2 Expresses algbricasNestecaptulo,ampliaremosnossoestudoarespeitodasexpressesalgbricas.

Todaexpressoalgbricaqueno apresenta letras no radicandochamadadeexpresso algbrica racional.

Todaexpressoalgbricaqueapresenta letras no radicando chamadadeexpresso algbrica irracional.

Expresso algbricaaquelaquetemapenasletras,ounmeroseletras.

Vejaosexemplos.

a)Aexpressoalgbricaquerepresentaareadoretnguloabaixoab.

b

a

Vejaosexemplos.

dllx1y 2dlla2 b__

3

2__

3dllm dllllla1b22b

Vejaosseguintesexemplos.

2x225x11 2x1y_______x2y

2a1dll3________

3b

2x221_______y

2a___

3 2

2__x

xdll52y________

10

dll2m1n2_________

4

Classificao das expresses algbricas

b)Aexpressoalgbricaquerepresentaopermetrodesseretngulo2a2b.Ousodeletrasrepresentandonmerosfacilitaatraduodesentenasescritasemlin-

guagemcomumparaalinguagemmatemtica.

Vejaoutrosexemplos.

a)Oopostododobrodeumnmeroasomadocomumnmerob 22a1b

b)Adiferenaentreaterapartedeumnmeroxeoopostode5 x__32(25)

c)Oinversododobrodeumnmeroxnonulo 1___2x

CAPTULO 2 ClCulo algbriCo 41

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. Art. 184

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al e Lei 9.610 de 19 de fevereiro

de 1998

.


1 Representesimbolicamente:a)adiferenaentreonmeroxeonmeroy;b)asomadonmeromcomotriplodon-

meron;c) o quocientedonmeroa pelonmerob

(comb%0);d)asomadosquadradosdosnmerosres;e)adiferenaentreosquadradosdosnmeros

ced;f) oquadradodadiferenadosnmerosc

ed;g)araizquadradadonmeroa(coma>0);h)oquadradodonmerozmenosoquntuplo

donmerow;i) ocubodonmeroy;j) aquartapotnciadaquintapartedon-

merox.

2 Quaisexpressessoirracionaisequaissoracionais?

a)2x23 f) 3x225x13

b)2dllx23 g)5a13dllb

c) dll512x________

3 h)

a1b_____

3a2b

d)x2y_____

3 i)

29___y

e)2dllla3b15ab

3 Classifiqueemirracionais,racionaisinteirasouracionaisfracionriasasexpressesaseguir.

a)3x222x g) 2_____

a2b

b)3dllx15x h)5dlllab322ab

c) 5x23y_______

x1y i) a222ab1b2

d)5x23y_______

4 j)

c3i3t______

100

e) dll33x15x k) dlllxy____

2 23x2y

f) b3h____

2 l)

4ab2____

5 2

3a2b____

4

4 Emumadiviso,odivisorx,oquocienteyeorestoomaiorpossvel.Qualaexpressododividendo?

5 Onmero574decompostoemcentenas,de-zenaseunidadespodeserescritodaseguintemaneira:

531021731014

Agora, considere um nmero qualquer dequatroalgarismos:abcd

a)Determineaordemdecadaalgarismodessenmero.

b)Decomponhaonmeroabcdsegundoasordensdeseusalgarismos.

irracionais: b, h, k; racionais inteiras: a, d, e, f, i, j, l; racionais fracionrias: c, g

x 2 y

m 3n

r 2 s 2

c2 2 d2

z2 2 5w

y3

(c 2 d)2

irracionais: b, e, g; racionais: a, c, d, f, h, i

xy x 2 1

a 3 103 b 3 102 c 3 10 d5a) a p algarismo das unidades de milhar c p algarismo das dezenas

b p algarismo das centenas d p algarismo das unidades

a __ b

Expresses algbricas racionais fracionriassoaquelasqueapresentamletrasnodenominador.

Observeosexemplos.

2x1y_______x2y 2

2__x

2x221_______y

2a1dll3________

3b

PROPOSTOSExerccios

dlla

@ x __ 5 # 4

Asexpressesalgbricasracionaispodemserinteirasoufracionrias.

Observeosexemplos.

2x225x11 2a___

3

xdll52y________

10

dll2m1n2_________

4

Expresses algbricas racionais inteirassoaquelasquenoapresentamletrasnodenominador.


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.


Valor numrico de uma expresso algbrica

Exemplo 1 Calcularovalornumricodaexpresso2x23yparax55ey5 22.

2x23y5523(5)233(22)5 Substitumos x por 5 e y por 22.51016516 Efetuamos as operaes indicadas.

Dizemosque16ovalornumricodaexpressoalgbrica2x23yparax55ey5 22.

Exemplo 2

Calcularovalornumricodaexpressoa22b2paraa5 1__

2eb5

2__

3.

a22b25 @1__2#2

2 @2__3#2

5 1__

42

4__

95

9216_______

36 52

7___

36

Portanto,ovalornumricodaexpressoalgbricaa22b2,paraa5 1__

2eb5

2__

3,2

7___

36.

Exemplo 3

Calcularovalornumricodaexpresso3x225x_________

x13 parax54.

3x225x_________

x13 5

33(4)2253(4)______________

(4)13 5

3316220___________

7 5

48220________

7 5

28___

7 5 4

Portanto,ovalornumricodaexpressoalgbrica3x225x_________

x13 ,parax54,4.

Umaexpressoalgbricaracional fracionrianopossuivalornumricorealquandoosvaloresatribudossvariveisanulamodenominador.Vejaosexemplos.

a)Aexpresso2__anopossui valornumrico realquandoa5 0, poisessevaloranula

odenominador.

b)Aexpresso x12______x13

nopossuivalornumricorealquandox523,poisessevaloranula

odenominador.Obtemosovalordavarivelparaoqualaexpressonopossuivalornumricorealigua-landoodenominadorazeroeresolvendoaequaoencontrada.

Vamosrecordaroclculodovalornumricodeumaexpres-soalgbrica.Paraisso,considereaseguintesituao.

Emumestacionamentohxmotoseycarros.Aexpressoquerepresentaonmerototalderodas2x14y.

Seforem12motose15carros,onmerototalderodasser:23(12)143(15)524160584.

Dizemos,ento,queovalornumricodaexpressoalg-brica2x14y,parax512ey515,84.

Observeestesoutrosexemplos.


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.


6 Calcule o valor numrico das expresses:

a) 2a 1 3b, para a 5 2 1 __

2 e b 5

2 __

3 d) 23x 2 1 2x 2 4, para x 5 2

4 __

3

b) x 2 1 2x, para x 5 25 e) 3xy _______

x 1 dll y , para x 5 22 e y 5 16

c) x 1 y _____ x 2 y , para x 5 4 e y 5 2 f) 2b 1

dlllllll b2 24ac , para a 5 2, b 5 210 e c 5 12

7 Dada a expresso 3x 2 2 5x 1 8, calcule o valor numrico para:a) x 5 6 b) x 5 24 c) x 5

2 __

3 d) x 5 2

3 __

2

8 Se zero o valor numrico da expresso x 2 2 y, determine os valores inteiros que x e y podem assumir.

9 Considere a fi gura ao lado. Ela formada por quadrados idnticos.a) Encontre a expresso que representa o permetro dessa fi gura.b) Ache o valor numrico da expresso do permetro para a 5 3,6.c) Encontre a expresso que representa a rea da fi gura.d) Determine o valor numrico da expresso da rea para a 5 5.

10 Para que valores de a as seguintes expresses no possuem valor numrico real?

a) 2a 1 3b _______ a b)

x 2 4 _____

a 1 5 c)

a 2 1 _____

5a d)

a 1 3b _______

2a 2 4

11 Que relao deve existir entre a e b para que as seguintes expresses no possuam valor numrico real?

a) a 2 1 _____

a 2 b b)

x 1 5 ______

2a 2 b c)

3x _______

2a 1 3b

a

Exemplo 1

Com que valor de x a expresso 3x 2 1 _______

2x 2 5 no possui valor numrico real?

A expresso no possui valor numrico real quando o denominador for igual a zero, ou seja, quando 2x 2 5 5 0.

Resolvendo a equao, obtemos x 5 5 __

2 .

Logo, o valor de x que anula o denominador da expresso dada 5 __

2 .

Exemplo 2

Que relao deve existir entre x e y para que a expresso 3x 1 2y ________

x 2 2y no possua valor

numrico real? A expresso no possui valor numrico real quando o denominador for nulo, ou seja, quando x 2 2y 5 0. Assim, temos x 5 2y.Portanto, a relao procurada x 5 2y.

Veja os exemplos.

1

15

3

86 76 6

H in nitas possibilidades. Respostas possveis: x 5 0 e y 5 0; x 5 21 e y 5 1; x 5 2 e y 5 4.

89 ___ 4

PROPOSTOSExerccios

212

248

12

14a

50,4

10a2

250

a 5 0 a 5 25 a 5 0 a 5 2

a 5 b 2a 5 b 2a 5 23b

CAPTULO 2 CLCULO ALGBRICO44

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de 19

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a) Indicandoporxonmerodequilmetrosrodados,qualexpressorepresentaopreocobradoporele?

b)QuantoJosdevecobrarporumservioemquerodou6quilmetros? 34

10 4x

490 cm3

Paracalcularoconsumomensaldeenergiaeltrica(emkWh),pode-seaplicarafrmula:

consumo5potncia3horasdeusopordia3diasdeusoporms

_____________________________________________1.000

Utilizandoessafrmula,calculeoconsumodeenergiaeltrica,relativoa30dias,de:

a)umalmpadade100Wqueficaacesa3horaspordia;b)umchuveirode4.000Wqueutilizado1horapordia.

JACek/kino

1 kW = 1.000 W

Figura 1: situao inicial

Figura 2: garrafa em contato com gelo

VibRAnt im

Age Studio/ShutteRSto

Ck

9 kWh

120 kWh

Umrelgioregistraoconsumodeenergiaeltricadeumaresidnciaemquilowatt-hora(kWh).

Nas lmpadas e aparelhos eltricos, vem indicado,entreoutrasinformaes,oquantodeenergiaeltricaconsumidoemcadaunidadedetempo,chamadadepotnciaeexpressaemwatt(W).

Pense mais um pouco...

Medidordeconsumodeenergiaeltrica.

12 Asmedidasdotringulodecarroabaixosodadasemcentmetro.

10 x + 16 10

x + 13x + 30

a)Determine a expressoque representa areavermelhadotringulo.

b)Calculeovalornumricodessaexpressoparax510cm.

13 Em1787,ocientistafrancsJacquesCharlesobservou que os gases se dilatam quandoaquecidosesecontraemquandoresfriados.

621 cm2

37x 1 872 _________ 2

AfrmulaV55__

33T1455relacionaovolumeV

de certo gs (em cm3) e sua temperaturaT(emwC).Calculeovolumedessegsa21wC.

14 Josfazpequenosfretesurbanoscomsuape-ruavan,cobrandoumataxainicialdeR$10,00emaisR$4,00porquilmetrorodado.


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a)Vtor possui ametade da quantidade deselosqueJoopossui.

b)RicardopossuiodobrodaquantidadedeselosdeJoo.

c)Gabrielpossui2__

3daquantidadedeselosde

Joo.

18 UmpintordeparedescobraR$15,00pormetroquadradodepintura.Franciscoquercalcularquantovai gastar parapintar asparedesdacasadele.Paraisso,decidiuusarummonmio,indicandoareadasparedespory(emm2).QuemonmioFranciscousouparafazeresseregistro?

3 Os monmios

15 Expliqueporqueasseguintesexpressesnosomonmios.

a)2x15 b)2a__b c) 4dlll5x

16 Docoeficientedestesmonmios.

a)22xy c)x e) xy2___

5

b)3__

5a d)2y f) 2

a__

3

17 Joocolecionadordeselos.IndicandoporxaquantidadedeselosqueJoopossui,repre-senteporummonmioaquantidadedeselosdecadacolecionadoraseguir.

15 a) Porque tem a operao de adio.b) Porque tem letra no denominador.c) Porque tem letra no radicando.

22 1

3 __ 5

x __ 2

2 __ 3 x

1 __ 5

2 1 __ 3 21

2x

Vejaosexemplos.

x 2 2a___

3 dll33b2

3__

5x

Emummonmio,distinguimosocoe ciente(partenumrica)eaparte literal(partecomletras).

Observe,natabelaabaixo,algunsmonmios,oscoeficienteseaspartesliteraisdessesmonmios.

Asexpressesalgbricasracionaisinteirasrepresentadasporumnicoprodutosochamadasdemonmios(outermos algbricos).Ummonmiorepresentaumprodutodenmerosreais.

Monmio Coe ciente Parte literal

5x3y2 5 x3y2

22__

7ab3m 2

2__

7 ab3m

dll2x dll2 x

ab5 1 ab5

CC Todonmerorealnonuloummonmiosemparteliteral.

Exemplos:5;210;5__

6;0,51;dll3

CC Onmerorealzerochamadodemonmio nulo.

OBSERVAES

PROPOSTOSExerccios

15y


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x5x

b

h

x

3x2x

2x

2x

figura1 figura2

figura3

10x bh

5 __ 2 x2

20 Indicandopor x amedida do ladode cadaquadradinhoque formaafigura abaixo,de-termine:

a)omonmioquerepresentaopermetrodoretnguloABCD;

b)o valor numrico desse permetro parax51,2;

c) omonmio que representa a rea desseretngulo;

d)ovalornumricodessareaparax54,5.A B

CD

24x

28,8

708,75

35x2

19 Determineomonmioquerepresentaoper-metrodafigura1,areadafigura2eareadafigura3.

Grau de um monmioOgraudosmonmioscujoscoeficientesnosonulosindicadopelasoma dos expoentes

daparteliteral.Vejaosexemplos.

a)4x2y3 b)2__3ab2

expoentedavarivelx:221355

expoentedavarivela:111253

expoentedavarively:3 expoentedavarivelb:2

4x 2y3ummonmiodo5ograu. 2__

3ab2ummonmiodo3ograu.

CC Ummonmioformadoapenasporumnmerorealnonulo(semparteliteral)temgrau zero.

Exemplo:5ummonmiodegrauzero.

CC Nosedefinegrauparaomonmionulo.

OBSERVAES

x

5x

b

h

x

3x2x

2x

2x

x

5x

b

h

x

3x2x

2x

2x

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

aa a

a

a

a

a

a

tringulo quadrado pentgono hexgono

Monmios semelhantesConsidereospolgonosabaixo.


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21 Dograudosseguintesmonmios.a)3xy e)12x i) 2a6

b)22x2y5 f) 15 j) 23__

4

c) 10xy3 g)27a2b3c

d)3__

5x2y h)

3a___

7

22 Quais itens apresentammonmios seme-lhantes?a)4xe27x g)7x2ye9xy2

b)5ab,3abe2ab h)abe3ab

c) a__

3e5a i)

x2__

4,22x2e

2x2___

3

d)2ae2b j) 2abe5ab2

e)8a2e25a k)12xye221xyf) 8e23 l) 26,22e10

23 Observeoquadradoaolado.

3x

a)Escrevaummonmiopara representaropermetroeoutropararepresentarareadessequadrado.

b)Determineograudecadaumdessesmo-nmios.

c)Essesmonmiossosemelhantes?Justifique.

24 Observeestespolgonos.

Notequeosmonmios3a,4a,5ae6atmamesmaparteliteral.Dizemos,ento,queelessomonmios semelhantesoutermos semelhantes.Vejaoutrosexemplos.

a)Osmonmios9a2xe22a2xtmamesmaparteliterala2x.Portanto,so termos seme-lhantes.

b)Osmonmios21__4y,0,5ye23ytmamesmaparteliteraly.Logo,so termos semelhantes.

c)Osmonmios12a2ce2ac2notmamesmaparteliteral(a2c%ac2).Logo,no so termos semelhantes.

d)3edll2sodoisnmerosreaisnonulos;portanto,somonmiossemelhantes(semparteliteral).

Observequeospermetrosdessespolgonospodemserindicadospormonmios.Assim:

Polgono Tringulo Quadrado Pentgono Hexgono

Permetro 3a 4a 5a 6a

Termos semelhantesoumonmios semelhantessoaquelesquepossuemamesmaparteliteralounopossuemparteliteral(soapenasnmeros).

PROPOSTOSExerccios

a, b, c, f, h, i, k, l

a)Determine omonmio que representa opermetrodecadapolgono.

b)Essesmonmiossosemelhantes?

2

7

4

3

1

zero

6

1

6

zero

2x

5x

5x

x

4x

3x

2x

3x

4x

2x

5x

5x

x

4x

3x

2x

3x

4x

12x: 1o grau e 9x 2: 2o grau

permetro: 12x; rea: 9x 2

no, pois eles no apresentam a mesma parte literal.

sim

12x; 17x


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25 Quetipodeslidosoasfigurasaseguir?Escrevaomonmioquecorrespondeaovolumedessesslidos.

a)

a

a

bba

a

aa3

cubo

b)

4 Operaes com monmiosTrabalhandocomnmerosreais,vocaprendeuarealizarasoperaesdeadio,subtra-

o,multiplicao,diviso,potenciaoeradiciao.Agora, iremosrealizaressasmesmasoperaescomnmeros reais representadosporexpressesalgbricas.Chamamosesseestudodeclculo algbrico.

Iniciaremosoestudodeclculoalgbricocomasoperaesqueenvolvemmonmios.

2a2bparaleleppedo retngulo

Umaexpressoemqueaparecemapenasadiesesubtraesdemonmioschamadadeadio algbrica de monmios.

Vejaestesoutrosexemplosdeadioalgbrica.

a) (25ab)1(22ab)2(23ab)525ab22ab13ab5 24ab

b) @2 3__4x3y#2@1__3x3y#2 @2 3__2x3y#5 23__4x3y21__3x3y13__2x3y5 29x3y24x3y118x3y_____________________

12 5

5x3y_____

12

Naprtica,aadioalgbricademonmiossemelhantesobtidasomando-sealgebricamenteoscoeficienteseconservando-seaparteliteral.

Adio algbrica de monmiosConsidereafiguraaolado.Nela,areadecadaquadradinhox2.Area

dapartepintadadeazul24x2.Areadapartepintadadecinza12x2.Areadafiguratodaobtidapelasomadasreasdasduaspartes

pintadas,ouseja,pelaadiodosmonmios24x2e12x2.Veja:24x2112x2536x2

Assim,areadetodaafigura36x2.

Esseprocessodeclculotambmchamadodereduo dos monmios(ou termos)se-melhantes.

Vamosreduzirosmonmiossemelhantes.

a)22x2y13x2y25x2y524x2y b)5__

2ab22

2__

3ab21

1__

4ab25

25___

12ab2

(221325524) @5__222__311__45 302813___________12 525___12#

a

a

bba

a

a


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32 Reduzaosmonmiossemelhantes.a)24xy16xy25xyb)5a317a329a313a3

c)23x25x12x2x14x

d)3__

2x21

2__

3x22

7__

6x2

e)21__

8x2

3__

8x1

1__

2x

f )2a22 7__

2a22

3__

4a2

33 Observeestafigura.

Indicandoadistnciadomeninoatarvorepory,determine:

a)omonmioquerepresentaadistnciaentrearvoreeaportadacasa,sabendoqueessadistnciaodobrodadistnciadomeninoatarvore;

b)omonmioquerepresentaadistnciaen-treaportadacasaeocachorro,sabendo

que essa distncia 2__

3 da distncia do

meninoatarvore;c) omonmioquerepresentaadistnciado

meninoatocachorro;d)adistnciadomeninoatacasa,seyfor

iguala6,24metros.

34 Duranteumcampeonatodefutebol,promo-vidoemumaescola,otimedo8oanoganhouxpartidas,perdeu(x22)partidaseempatou

x__2partidas.

a)Determine a expresso algbrica que re-presenta o nmero de partidas que essetimejogou.Essaexpressoummonmio?Porqu?

b)Sabendoqueparacadavitriao timedo8oanoganha3pontos,paracadaempateganha1ponto enasderrotasnoganhanemperdepontos,qualototaldepontosdessetime?Ototaldepontosexpressoporummonmio?Porqu?

2y

26 Otringuloabaixofoimontadocom9trin-gulosmenoresdemesmotamanho.Areadecadaum0,43x2.

a)Dasomadasreasdostringulosamarelos.b)Dasomadasreasdostringulosazuis.c)Dareatotaldotringulogrande.

27 Efetue.a) (210x)1(16x)b)(0,8x2y)1(23,5x2y)

c) @22__5ab#1 @23___10ab#28 Calculeasdiferenasentreosmonmios.

a) (29ay)2(23ay)

b)(0,

Completo Bianchini Mat8 Lp

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