Concavidade e o Teste da Derivada Segunda

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Concavidade e o Teste da Derivada Segunda

1.Concavidade

2.Pontos de inflexão

3.O teste da derivada segunda

4.Uma aplicação: retornos decrescentes

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1. Concavidade

Já vimos como a determinação dosintervalos em que uma função f é crescente oudecrescente pode facilitar o traçado do seugráfico. Nesta aula, veremos que a determinaçãodos intervalos em que a derivada f ‘ é crescente oudecrescente servirá para indicar onde o gráfico def se encurva para cima ou para baixo. Esta noçãode encurvamento para cima ou para baixo édefinida formalmente como a concavidade dográfico da função.

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1. Concavidade

Definição de Concavidade:

Seja f diferenciável em um intervalo abertoI. O gráfico de f é

1.côncavo para cima em I se f ‘ é crescente nointervalo.

2.côncavo para baixo em I se f ‘ é decrescente nointervalo.

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1. Concavidade

Pela figura a seguir, temos a seguinteinterpretação gráfica da concavidade.

1. Uma curva que é côncava para cima está acimade sua tangente.

2. Uma curva que é côncava para baixo está abaixode sua tangente.

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1. Concavidade

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1. Concavidade

Esse teste visual da concavidade é válidoquando é dado o gráfico de uma função. Adeterminação da concavidade sem ver o gráficoexige um teste analítico. Acontece que podemosutilizar a derivada segunda para determinar essesintervalos, precisamente da mesma forma comoutilizamos a derivada primeira para determinar osintervalos em que f é crescente ou decrescente.

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1. Concavidade

Teste da Concavidade

Seja f uma função com derivada segunda emum intervalo aberto I.

1. Se f ”(x) > 0 para todo x em I, então f é côncavapara cima em I.

2. Se f ”(x) < 0 para todo x em I, então f é cônca-va para baixo em I.

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1. Concavidade

Para uma função f contínua, podemos acharcomo se segue os intervalos em que f é côncavapara cima ou para baixo. [Para uma função não-contínua, os intervalos de teste devem serformados utilizando-se os pontos dedescontinuidade juntamente com os pontos em quef “(x) é zero ou não é definida.]

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1. Concavidade

Diretrizes para Aplicação do Teste daConcavidade

1. Localizar os valores de x nos quais f “(x) = 0 ouf “(x) não é definida.

2. Com esses valores de x, estabelecer osintervalos de teste.

3. Testar o sinal de f “(x) em cada intervalo deteste.

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1. Concavidade

Exemplo 1: Aplicação do teste da convidade

a. O gráfico da função

f(x) = x2

é côncavo para cima em toda a reta real porque suaderivada segunda

f “(x) = 2

é positiva para todo x.

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1. Concavidade

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1. Concavidade

Exemplo 1: Aplicação do teste da convidade

b. O gráfico da função

é côncavo para baixo para x > 0, porque suaderivada segunda

é negativa para todo x > 0.

( )f x x=

3'' 21( )

4f x x

−= −

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1. Concavidade

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2. Pontos de inflexão

Definição de Ponto de Inflexão

Se o gráfico de uma função contínua possuiuma tangente em um ponto onde sua concavidademuda de sentido, então o ponto é um ponto deinflexão.

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2. Pontos de inflexão

Como um ponto de inflexão ocorre onde aconcavidade de um gráfico muda de sentido, deveser verdade que, em tais pontos, o sinal de f “(x)também varia. Assim, para localizar possíveispontos de inflexão, basta determinar os valores dex para os quais f “(x) = 0 ou f “(x) não existe. Oprocesso apresenta analogia com o da localizaçãode extremos relativos de f mediante determinaçãodos pontos críticos de f.

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2. Pontos de inflexão

Propriedade dos Pontos de Inflexão

Se (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f,então ou

f “(c) = 0 ou f “(c) não existe.

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2. Pontos de inflexão

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3. O teste da derivada se-gunda

É possível utilizar a derivada segunda parafazer um teste simples quanto a máximos emínimos relativos. Se f é uma função tal quef ‘(c) = 0 e o gráfico é côncavo para cima em x = c,então f(c) é mínimo relativo de f. Da mesma forma,se f é uma função tal que f ‘(c) = 0 e o gráfico de fé côncavo para baixo em x = c, então f(c) é máximorelativo de f, conforme a figura a seguir.

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3. O teste da derivada se-gunda

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3. O teste da derivada se-gunda

O Teste da Derivada Segunda

Seja f ’(c) = 0 e suponhamos que f “ existaem um intervalo que contém c.

1. Se f “(c) > 0, então f(c) é mínimo relativo.

2. Se f “(c) < 0, então f(c) é máximo relativo.

3. Se f “(c) = 0, o teste falha. Neste caso, podemosaplicar o Teste da Derivada Primeira paradeterminar se f(c) é mínimo relativo ou máximorelativo.

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4. Uma aplicação: retornosdecrescentes

Em Economia, a noção de concavidade estárelacionada com o conceito de retornodecrescente. Consideremos uma função

onde x mede o insumo (em dólares) e y mede oproduto (em dólares). Na figura a seguir, note queo gráfico desta função de insumo-produto écôncavo para cima no intervalo (a, c) e côncavopara baixo no intervalo (c, b).

Produto Insumo

( )y f x=

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4. Uma aplicação: retornosdecrescentes

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4. Uma aplicação: retornosdecrescentes

No intervalo (a, c), obtém-se um retornomaior a cada dólar adicional de insumo, aocontrário do que ocorre no intervalo (c, b), onde oretorno é menor a cada dólar adicional. O ponto(c, f(c)) é chamado ponto de retorno decrescente.Um aumento de investimento além deste ponto éconsiderado má aplicação de capital.

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4. Uma aplicação: retornosdecrescentes

Exemplo 2: Aumentando seu gasto x compropaganda (em milhares de dólares), uma empresaconstata que pode aumentar as vendas y (emmilhares de dólares) de um produto de acordo como modelo.

Ache o ponto de diminuição de resultados paraeste produto.

( )2 31300 , 0 x 200.

10.000y x x= − ≤ ≤

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4. Uma aplicação: retornosdecrescentes

Comecemos calculando as derivadas primeirae segunda.

A derivada segunda é zero somente quandox = 100. Testando os intervalos (0, 100) e(100, 200), constatamos que o gráfico acusa umponto de retorno decrescente quando x = 100,conforme a figura a seguir.

( )

( )

' 2

''

1600 3 Derivada primeira

10.0001

600 6 Derivada segunda10.000

y x x

y x

= −

= −

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4. Uma aplicação: retornosdecrescentes