Conceito de Derivadas Parciais-libre

UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ

UNOCHAPECÓ

CURSO DE ENGENHARIA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Prof.:Fernando Tosini

Chapecó - SC/2013.

SUMÁRIO

1 DERIVADA PARCIAIS 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Definição de Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Função de Duas Variáveis Independentes z = f(x, y) . . . . . . 3

1.2.2 Função de Três Variáveis Independentes w = f(x, y, z) . . . . 5

1.2.3 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Referências Bibliográficas 15

i

Capítulo 1

DERIVADA PARCIAIS

1.1 Introdução

Vamos relembrar o conceito de derivada de uma função variável. Consideremos

a função y = f(x) contínua em x, onde os pontos P e Q pertencem a função f(x), se

a função f(x) for uma curva, qualquer reta que passa pelos pontos P e Q, chama-se

secante. Conforme a figura.

A inclinação da reta secante é dada por:

1

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Fernando Tosini

tan(θ) =∆y

∆x=

f(x+∆x)− f(x)

∆x(1.1)

Se fizermos o ponto Q se aproximar de P sobre a curva dada, a inclinação da

reta secante vai se aproximar da inclinação da reta tangente à curva no ponto P , ou

seja, na medida que ∆x → 0, θ → α. Assim:

tan(α) = limθ→α

tan(θ) (1.2)

Substituindo a equação (1.1) em (1.2), temos:

tan(α) = lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x(1.3)

Supondo que exite o limite. Este limite representa a derivada da função y = f(x)

no ponto P , denotada por:

y′ = f ′(x) =dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x(1.4)

Geometricamente, a derivada de uma função y = f(x) no ponto P representa o

coeficiente ângular(ou inclinação) da reta tangente t no dado ponto sob a curva, ou

ainda, uma taxa de variação de y em relação a x.

No caso de uma função z = f(x, y) de duas variáveis independentes, necessitamos

de um instrumento matemático semelhante para trabalhar com a taxa com que z

muda quando ambos x e y variam. A idéia chave é fazer com que apenas uma

variável por vez varie, enquanto a outra é mantida constante.

2


1.2 Definição de Derivadas Parciais

1.2.1 Função de Duas Variáveis Independentes z = f(x, y)

Consideremos uma função de duas variáveis independentes z = f(x, y), que

define uma superfície S em uma região do domínio D ⊂ R2. Tomando um ponto

P ′(x, y) ∈ D e atribuindo um a x um acréscimo ∆x e a y um acréscimo ∆y de modo

que os pontos M(x + ∆x, y) e N(x, y + ∆y) pertence a D. Pelos pontos P e M

passa um plano paralelo ao plano - xz que intercepta a superfície S segundo a curva

C1 e pelos pontos P ′e N passa um plano paralelo ao plano - yz que intercepta a

superfície S segundo a curva C2. Conforme a figura.

Aplicando a relação tangente no triângulo PQS, obtemos a inclinação da reta

secante sec 2:

3


tan(180◦ − β) =PS

SQ=

f(x, y)− f(x, y +∆y)

∆y(1.5)

Como tan(180◦ − β) = − tan(β), temos:

tan(β) =f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y(1.6)

Quanto mais o ponto Q se aproxima do ponto P sobre a curva C2, a inclinação

da reta secante vai se aproximar da inclinação da reta tangente tan 2 a curva C2 no

ponto P , ou seja, ∆y → 0 na medida que β → γ, Assim:

tan(γ) = limβ→γ

tan(β) (1.7)

Substituindo a equação (1.6) em (1.7), tem-se:

tan(γ) = lim∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y(1.8)

Supondo que o limite existe, então a tan(γ) é o coeficiente ângular da reta tan-

gente tan 2 a uma superfície num dado ponto em relação a y, ou seja, equivale a

definição de derivada parcial em relação a y:

∂z

∂y= fy(x, y) = lim

∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y(1.9)

A derivada parcial em relação a x, o processo de demonstração é análogo.

∂z

∂x= fx(x, y) = lim

∆x→0

f(x+∆x, y)− f(x, y)

∆x(1.10)

Notação de Derivadas Parciais

Seja z = f(x, y), então:

4


fx =∂f(x, y)

∂x=

∂z

∂x= Dxf(x, y) fy =

∂f(x, y)

∂y=

∂z

∂y= Dyf(x, y)

Exemplo 1.1 Seja z = x2y + 3x, determine∂z

∂xe

∂z

∂yusando a definição de

derivadas parciais.

Observação: Para ganhar tempo, podemos aplicar as regras de derivação es-

tudadas em Cálculo Diferencial e Integral I. Para isso, consideremos y constante

quando derivamos em relação a x, e x constante quando derivamos em relação a y.

Exemplo 1.2 Seja f(x, y) = x3y2 − 2x2y. determine:

a)∂f

∂xe∂f

∂yb) fx(2,−1) e fy(2,−1).

Exemplo 1.3 Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções:

a) f(x, y) =√

x2 + y2 − 2 b) z = xy2exy

Exemplo 1.4 Seja f(x, y) =

2xy

3x2 + 5y2, se (x, y) ̸= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)Calcular

∂f

∂xe∂f

∂y.

1.2.2 Função de Três Variáveis Independentes w = f(x, y, z)

Consideremos uma função de três variáveis independentes w = f(x, y, z), que

define um sólido S em uma região do domínio D ⊂ R3. A derivadas parcias de uma

função de três w = f(x, y, z) é dada por:

∂z

∂x= fx(x, y, z) = lim

∆x→0

f(x+∆x, y, z)− f(x, y, z)

∆x(1.11)

∂z

∂y= fy(x, y, z) = lim

∆y→0

f(x, y +∆y, z)− f(x, y, z)

∆y(1.12)

∂z

∂z= fz(x, y, z) = lim

∆z→0

f(x, y, z +∆z)− f(x, y, z)

∆z(1.13)

Exemplo 1.5 Seja w = x2y3 sin(z), determine:∂w

∂x,∂w

∂ye∂w

∂z.

5


1.2.3 Derivadas Parciais de Ordem Superior

Para saber a quantidade de derivadas parciais de ordem superior de uma função,

podemos utilizar a seguinte fórmula:

ND = (V I)O (1.14)

Onde:

ND é o número de derivadas parciais de ordem superior;

V I é o número de variáveis independentes da função;

O é a ordem das derivadas a serem determinadas.

Por exemplo:

Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis independentes. Através da fórmula

(1.14), o número de derivadas parciais de segunda ordem é igual a 22 = 4, ou seja:

Pelo teorema de Schwartz podemos dizer que as derivadas:

∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x

São chamadas de derivadas parcias de segunda ordem mista de f(x, y).

6


Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis independentes. Através da fórmula

(1.14), o numéro de derivadas parciais de terceira ordem é igual a 23 = 8, ou seja:


∂3z

∂x2∂y=

∂3z

∂y∂x2=

∂3z

∂x∂y∂x

∂3z

∂y2∂x=

∂3z

∂x∂y2=

∂3z

∂y∂x∂y

São chamadas de derivadas parcias de terceira ordem mista de f(x, y).

Seja w = f(x, y, z) uma função de três variáveis independentes. Através da

fórmula (1.14), o número de derivadas parciais de terceira ordem é igual a 33 = 27,

ou seja:

7



fxxy = fxyx = fyxx

fxyy = fyyx = fyxy

fxxz = fxzx = fzxx

8


fzzx = fzxz = fxzz

fzyy = fyyz = fyzy

fyzz = fzzy = fzyz

fxyz = fxzy = fzyx = fzyx = fyzx = fyxz

São chamadas de derivadas parcias de terceira ordem mista de f(x, y, z).

Definição:

1. Uma função z = f(x, y) diz-se harmônica quando satisfaz à equação de

Laplace:

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2= 0 (1.15)

2. Uma função w = f(x, y, z) diz-se harmônica quando satisfaz à equação de

Laplace:

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= 0 (1.16)

Exemplo 1.6 Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

a) z = x4 − 3x3y + 6x2y2 − 6y4 + 2 b) z = xex−y + yex+y

Exemplo 1.7 Calcule∂3z

∂y∂x2− 2

∂3z

∂y2∂x+

∂3z

∂y3sendo z = x4 + sin(x+ y)− y ln(x)

Exemplo 1.8 Verifique se a função z = ex sin(y) + ey cos(x) é harmônica.

9


1.3 Lista de exercícios

1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem usando a definição de derivadas

parciais.

(a) f(x, y) = x2 + y2

(b) f(x, y) = x3y2 − 2x2y + 3x

(c) z = x2 + xy + y2

(d) z =√xy

2. Calcule as derivadas parciais indicadas.

(a) f(x, y) = 9− x2 − 7y3, fx(3, 1) fy(3, 1)

(b) f(x, y) = x2yexy,∂f(1, 1)

∂x,

∂f(1, 1)

∂y

3. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem.

(a) f(x, y) = 4ex2y3

(b) f(x, y) = exy sin(4y2)

(c) z = x3 ln(√

x2 + y2)

(d) z =x2 − y2

x2 + y2

(e) w = arcsin(√xy) + sin(yz)

(f) f(x, y, z) = xyzexyz

4. Seja f(x, y) =

5xy2

x2 + y2, se (x, y) ̸= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

Calcular f(x, y)− ∂f

∂x(1, 2) +

∂f

∂y(1, 2)− ∂f

∂x(0, 0).

5. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem.

(a) f(x, y) = xy4 − 2x2y3 + 4x2(b) f(x, y) = y2ex

2

+1

x2y2

6. Verifique se as funções são harmônicas.

(a) f(x, y) = ln(√

x2 + y2)

(b) f(x, y) = e−x cos(y) + e−y cos(x)

7. Determine a equação do plano tangente e reta normal à superfície no ponto

dado:

10


(a) z2 = x2 + y2 no ponto P (3, 4, 5)

(b) z =√

x2 + y2 no ponto P (5, 3)

(c) f(x, y) = x2 − 4y2 no ponto P (5,−2)

(d) f(x, y) = x2 + y2 − 4x− 6y + 9 no ponto P (2, 3,−4)

8. Dada a função f(x, y) =x

y+ x2 + y2 com x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Calcule:

(a)∂f

∂re∂f

∂θ

(b) O valor do determinante Jacobiano: J =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9. A lei dos gases ideais pode sere enunciada como PV = kT , onde V é o volume,

T é a temperatura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que:

∂V

∂T· ∂T∂P

· ∂P∂V

= −1

10. Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja representado por

V =100

x2 + y2 + z2, onde V é dado em volts e x, y, z em centímetros. Determine

a taxa instantânea de variação de V em relação à distância em (2,−1, 1) na

direção do:

(a) Eixo x (b) Eixo y (c) Eixo z

11. Quando um poluente tal como o óxido nítrico é emitido por uma chaminé de h

metros de altura, a concentração C(x, y) em µg/m3 do poluente em um ponto

a x km da chaminé e à altura de y metros pode ser representada por:

C(x, y) =a

x2

[

e−b(y−h)2/x2

+ e−b(y+h)2/x2

]

Em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas

11


e da taxa de emissão do poluente. Suponha que

C(x, y) =200

x2

[

e−0.02(y−10)2/x2

+ e−0.02(y+10)2/x2

]

Calcule e interprete∂C

∂xe∂C

∂yno ponto (2; 5).

12. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado

após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino x anos de idade

e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula:

V = 27, 63y − 0, 112xy

Calcule e interprete∂V

∂xe∂V

∂y.

13. No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T (x, t) no

instante t (em horas) e à profundidade x (em metros) pode ser dada aproxi-

madamente pela função:

T (x, t) = T0e−λx sin(ωt− λx)

Em que T0, ω e λ são constantes positivas.

(a) Calcule e interprete∂T

∂te∂T

∂x.

(b) Mostre que T (x, t) verifica a equação unidimensional do calor:

∂T

∂t= k

∂2T

∂x2

Em que k é um constante.

12


Respostas

1. (a)∂f

∂x= 2x e

∂f

∂y= 2y

(b)∂f

∂x= 3x2y2 − 4xy + 3 e

∂f

∂y= 2x3y − 2x2

(c)∂z

∂x= 2x+ y e

∂f

∂y= x+ 2y

(d)∂z

∂x=

y

2√xy

e∂z

∂y=

x

2√xy

2. (a) fx(3, 1) = −6 e fy(3, 1) = −21 (b)∂f(1, 1)

∂x= 3e e

∂f(1, 1)

∂y= 2e

3. (a)∂f

∂x= 8xy3ex

2y3 e∂f

∂y= 12x2y2ex

2y3

(b)∂f

∂x= yexy sin(4y2) e

∂f

∂y= exy(x sin(4y2) + 8y cos(4y2))

(c)∂z

∂x= 3x2 ln(

√

x2 + y2) +x4

x2 + y2e∂z

∂y=

x3y

x2 + y2

(d)∂z

∂x=

4xy2

(x2 + y2)2e∂z

∂y=

−4x2y

(x2 + y2)2

(e)∂w

∂x=

y

2√

xy − x2y2,∂w

∂y=

x

2√

xy − x2y2+ z cos(yz) e

∂w

∂z= y cos(yz)

(f)∂w

∂x= yzexyz(1 + xyz),

∂w

∂y= xzexyz(1 + xyz) e

∂w

∂z= xyexyz(1 + xyz)

4. 12/5

5. (a) fx = y4 − 4xy3 + 8x →{

fxx = −4y3 + 8

fxy = 4y3 − 12xy2

fy = 4xy3 − 6x2y2 →{

fyx = 4y3 − 12xy2

fyy = 12xy2 − 12x2y

(b) fx = 2xy2ex2 − 2

x3y3→

fxx = 2y2ex2

+ 4x2y2ex2

+6

x4y2

fxy = 4xyex2

+4

x3y2

fy = 2yex2 − 2

x2y3→

fyx = 4xyex2

+4

x3y3

fyy = 2ex2

+6

x2y4

13


6. (a) É harmônica. (b) É harmônica.

7. (a) 3x+ 4y − 5z = 0 ex− 3

3/5=

y − 4

4/5=

z − 5

1

(b) 5x+ 3y −√34z = 0 e

x− 5

5/√34

=y − 3

3/√34

=z −

√34

1

(c) 10x+ 16y − z − 9 = 0 ex− 5

10=

y + 2

16=

z − 9

1

(d) z + 4 = 0 ez + 4

1= 0

8. (a)∂f

∂x=

(

1

y+ 2x

)

cos(θ) +

(

−x

y2+ 2y

)

sin(θ)

∂f

∂y= −

(

1

y+ 2x

)

r sin(θ) +

(

−x

y2+ 2y

)

r cos(θ)

(b) J = r

9.

10. (a) −100

9(b)

50

9(c) −50

9

11.∂C

∂x≈ −36.58 (µg/m3)/m é a taxa à qual a concentração varia na direção

horizontal de (2; 5).

∂C

∂y≈ −0.229 (µg/m3)/m é a taxa à qual a concentração varia na direção

vertical de (2; 5).

12.∂V

∂x= −0.112y ml/ano é a taxa à qual a capacidade pulmonar descresce com

a idade para um adulto homem.∂V

∂y= 27.63− 0.112x ml/ano é díficil de interpretar porque em geral a altura

y de um adulto é fixa.

13. (a)∂T

∂t= T0ωe

−λx cos(ωt − λx) é a taxa de variação da temperatura em

relação à profundidade x.∂T

∂x= −T0λe

−λx[cos(ωt − λx) + sin(ωt − λx)] é a taxa de variação da

temperatura em relação à profundidade no instante t.

(b) Verifica quando k =ω

2λ2.

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Referências Bibliográficas

[1] SWOKOWSKI, Earl W.. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2, 2o edição,

São Paulo: McGraw.Hill, 1995.

[2] ANTON, Horward. Cálculo Diferencial. Vol. 2, 8o edição, Porto Ale-

gre,Bookman, 2007.

[3] LEITHOLD Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2, 3o edição, São

Paulo: Harbra, 1994.

[4] RIGHETTO, Armando. Cálculo Diferencial Integral. São Paulo, Instituto

Brasileiro de Edições Científicas, 1981.

[5] PSIKOUNOV, N. Cálculo Diferencial Integral. 4. ed. São Paulo, McGraw-Hill

do Brasil, 1987.

15

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