Contribuicoes Possibilidades WEB

CONTRIBUIES E POSSIBILIDADES PARA A MATEMTICA NOS ANOS INICIAISPROJETOS E RESOLUO DE PROBLEMASMARIA ANGELA DIAS DOS SANTOS MINATEL IVETE MARIA BARALDIA

Contribuies e Possibilidades Para a MateMtiCa nos anos

iniCiais

CONSELHO EDITORIAL ACADMICO

Responsvel pela publicao desta obra

Renato Eugnio da Silva Diniz

Roberto Nardi

Jair Lopes Jnior

Nlson Antnio Pirola

Armando Paulo da Silva

MARIA ANGELA DIAS DOS S. MINATEL

IVETE MARIA BARALDI

Contribuies e Possibilidades Para a MateMtiCa nos

anos iniCiaisProjetos e resoluo de

Problemas

2014 Editora Unesp

Cultura Acadmica Praa da S, 108 01001-900 So Paulo SP Tel.: (0xx11) 3242-7171 Fax: (0xx11) 3242-7172 www.culturaacademica.com.br [email protected]

CIP BRASIL. Catalogao na Fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ

M615c

Minatel, Maria ngela Dias dos Santos

Contribuies e possibilidades para a matemtica nos anos iniciais [recurso eletrnico]: projetos e resoluo de problemas / Maria ngela Dias dos Santos Minatel, Ivete Maria Baraldia. So Paulo: Cultura Aca-dmica, 2014.

recurso digital

Formato: ePDF

Requisitos do sistema: Adobe Acrobat Reader

Modo de acesso: World Wide Web

Inclui bibliografia

ISBN 978-85-7983-607-7 (recurso eletrnico)

1. Matemtica Estudo e ensino. 2. Professores de matemtica Formao. 3. Prtica de ensino. 4. Livros eletrnicos. I. Baraldia, Ivete Maria. II. Ttulo.

14-18661 CDD: 510 CDU: 51

Este livro publicado pelo Programa de Publicaes Digitais da Pr-Reitoria de Ps-Graduao da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho (Unesp)

Editora afiliada:

A nica forma de chegar ao impossvel acreditar que possvel.

Lewis Carrol

Sumrio

Introduo 9

PARTE I emaranhado terico Projetos e resoluo de Problemas 15

1 Projetos 172 Resoluo de problemas 313 Nosso emaranhado terico 43

PARTE 2retratos de uma sala de aula 49

4 O que os nmeros comunicam? 515 Meios e formas de comunicao: elaborao e

interpretao de grficos e tabelas 816 Adio e subtrao 1017 O que os mapas comunicam? 123

Consideraes finais 145Referncias 149

introduo

Fruto de uma pesquisa de mestrado sobre o ensinar e o aprender matemtica nos anos iniciais, nosso maior objetivo com este livro contribuir com as discusses e com os pesquisadores e profissionais que estudam e investigam a matemtica para os primeiros anos escolares.

O livro traz reflexes e prticas do ensino de matemtica por meio de projetos e resoluo de problemas, somadas a discretas discusses sobre currculo e sobre a prtica docente. Utilizamos o termo discretas discusses pois nosso foco no foi o currculo e a reflexo sobre a prtica docente, mas sim retratar algumas possibi-lidades do ensino por projeto e resoluo de problemas. No entanto o texto abre possibilidades para discusses nessas reas.

A pesquisa de mestrado que deu origem a esse livro, intitulada Retratos de uma sala de aula projetos e resoluo de problemas na matemtica dos anos iniciais, teve como principal objetivo retratar o ensino e a aprendizagem de matemtica baseado em pro-jetos e resoluo de problemas, por isso o que vocs, caros leitores, encontraro so os retratos dessa experincia estruturados pela teo-ria que embasou o estudo, pelas atividades desenvolvidas com os alunos, pelos contedos curriculares de matemtica que foram

10 MARIA ANGELA DIAS DOS SANTOS MINATEL IVETE MARIA BARALDI

abordados e por reflexes acerca de dilemas e conquistas da prtica docente.

Retrataremos o trabalho desenvolvido durante um trimestre le-tivo em uma escola bilngue ingls/portugus de perodo integral da rede particular de ensino do municpio de Bauru SP. O trabalho envolveu 20 alunos de uma sala multisseriada de 1o , 2o e 3o anos do ensino fundamental. Tanto a pesquisa quanto as atividades em sala de aula foram conduzidas pela professora-pesquisadora, uma das autoras desse livro.

Vale ressaltar que essa escola se caracteriza como uma esco-la brasileira de educao bsica, assim definida pela prpria Lei no 9394/96, Lei de Diretrizes e Bases da Educao Nacional LDBEN (Brasil, 1996), que, em seu artigo 4o, apresenta a educao bsica obrigatria dos 4 (quatro) aos 17 (dezessete) anos de idade organizada em:

a) Pr-escola;b) Ensino fundamental;c) Ensino mdio.Como tambm previsto pela LDBEN/1996 e pela Lei no

11.274/2006, a escola em que a pesquisa ocorreu oferece ensino fundamental de 9 anos e est organizada em ciclos. Em seu ar-tigo 23, a LDBEN/1996 dispe sobre diferentes possibilidades de organizao dos alunos da educao bsica em sries anuais, perodos semestrais, ciclos, alternncia regular de perodos de estu-dos, grupos no seriados, com base na idade, na competncia e em outros critrios.

A Figura 1 ilustra a organizao da escola, incluindo o ensino fundamental de 9 anos e a estruturao por ciclos.

As experincias trazidas por esse livro ocorreram no ciclo Pri-mrio I, o qual aparece em destaque na figura.

Alm de uma estrutura organizacional diferenciada, a escola tambm contava com uma proposta pedaggica diferenciada, a qual no iremos detalhar neste trabalho, mas somente destacar alguns pontos que so de importncia para compreenso dos pr-ximos captulos.

CONTRIBUIES E POSSIBILIDADES PARA A MATEMTICA... 11

EDUCAO BSICAEns. Fund. IEns. Infantil Ens. Fund. II Ensino Mdio

Ciclo Inf. I2 anos

Ciclo Inf. II3 anos

Ciclo Prim. I3 anos

Ciclo Prim. II2 anos

6 anoo

7 anoo

8 anoo

9 anoo

1 sriea

2 sriea

3 sriea

Figura 1 Estrutura da escola onde ocorreu a pesquisa.Fonte: Minatel (2014, p.56).

O ano letivo era dividido em trs trimestres, cada qual orientado por um tema. O objetivo dos temas era propiciar a integrao entre as diferentes disciplinas e contedos curriculares. A escola traba-lhava com nove temas trimestrais, compondo o ciclo de trs anos. Ao fim do terceiro ano, os temas recomeavam, para o aprofunda-mento e um novo estudo, com diferentes perspectivas.

Ano 1 Comunidade Tempo Sistemas; Ano 2 Comunicao Cultura Poder; Ano 3 Identidade Invenes e Descobertas Mudanas.Foi esse ambiente diferenciado que fez surgir, no professor-pes-

quisador, a necessidade de investigar como o ensino da matemtica ocorria por meio de projetos; por se tratar de matemtica, adotou-se a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliao da disciplina por meio da resoluo de problemas.

Sendo assim, o que determinou investigar o ensino por projetos foi a prpria organizao da escola em temas trimestrais; a metodo-logia de ensino-aprendizagem-avaliao da matemtica por meio da resoluo de problemas foi uma escolha da professora-pesquisado-ra, por acreditar nessa orientao metodolgica.

O uso dessa metodologia , por sua vez, um feito indito. A metodologia idealizada pelas pesquisadoras Norma S. G. Allevato e Lourdes de la Rosa Onuchic no havia sido utilizada, at ento, com alunos do ensino fundamental I. Sendo assim, nos arriscamos


a realizar o que podemos chamar de um projeto piloto de aplicao dessa metodologia com alunos entre 6 e 8 anos.

Organizado em trs partes, uma discusso de cunho mais terico encontra- se na Parte I deste livro, composta por trs captulos que discutem contribuies de alguns autores sobre pro-jetos e resoluo de problemas, assim como nossa concepo sobre tais tpicos. A ideia foi produzir algo parecido com um inven-trio de autores, definies e concepes sobre projeto e resoluo de problemas. No entanto, o que produzimos foi apenas a sntese das ideias de alguns autores, pois sabemos quo minucioso seria um trabalho que se propusesse a inventariar as obras e autores relacionados aos temas. Esperamos que esses primeiros captulos possam contribuir com pesquisadores e profissionais que estejam procurando referncias sobre projeto e resoluo de problemas. No ousamos dizer e no nossa inteno que tais captulos sejam suficientes para apresentar toda discusso existente, mas constituem uma sntese capaz de iniciar jovens pesquisadores e profissionais da educao interessados em conhecer mais sobre a teoria de projetos e resoluo de problemas. Nosso objetivo que tais captulos suscitem a curiosidade e a vontade no leitor de apro-fundar seus conhecimentos.

A Parte II traz quatro captulos, sendo cada qual referente a uma unidade de estudo. O primeiro captulo traz a unidade sobre Nmeros. O segundo captulo traz a unidade sobre grficos e tabe-las. O terceiro apresenta a unidade sobre Unidades de Medida Li-near e o quarto traz uma unidade sobre Adio e Subtrao. Todas as atividades foram desenvolvidas com base nas teorias estudadas sobre projetos e resoluo de problemas. As atividades so pass-veis de serem reaplicadas; mesmo assim, destacamos que a Parte II deste livro no tem a inteno de trazer receitas prontas para que o professor apenas as execute, at porque as atividades so seguidas de uma anlise crtica de momentos que a teoria de fato apareceu na prtica, de momentos que o que prevaleceu foi uma das abordagens e no as duas, como gostaramos, assim como so apresentadas reflexes da professora-pesquisadora quando a mesma investiga-


va e (re)descobria sua prpria prtica. As atividades podem ser reaplicadas e adaptadas conforme a necessidade de cada professor, turma e escola.

Os quatro captulos esto organizados seguindo um mesmo pa-dro estrutural, como observamos no Quadro 1.

Quadro 1 Estrutura da Parte II deste livro

Parte IICaptulo 1 Nmeros

Captulo 2 Grficos

Captulo 3 Medidas

Captulo 4 Adio e Subtrao

Aulas Registros Entrevistas Avaliaes (pr-ps-teste)

Consideraes finais acerca da unidade de estudo sob a luz das seguintes questes: Qual a relevncia do contedo para os anos iniciais? Como ocorreu a aprendizagem baseada em projetos? Como ocorreu a aprendizagem baseada em resoluo de problema? Outros recursos contriburam com a aprendizagem?

Fonte: Minatel (2014, p.55).

Os captulos se iniciam com uma breve introduo do con-tedo que ser abordado e seguem com a descrio das aulas e dos registros dos alunos.

A Parte III composta por um captulo com consideraes fi-nais e perspectivas para novos trabalhos. Nesse captulo, lanamos pensamentos sobre diversas possibilidades para trabalhos futuros, dentre elas a de realizar uma anlise mais aprofundada da aplicao da metodologia de ensino da matemtica atravs da resoluo de problemas nos anos iniciais, de como seria ensinar matemtica por meio de projetos e resoluo de problemas em outros cenrios, outra escola e outra sala de aula. Outra possibilidade seria aprofun-dar nosso entendimento sobre bilinguismo e sala multisseriada e analisar como tais aspectos influenciaram o ensino e a aprendiza-gem da matemtica. Por fim, ainda gostaramos de olhar para esse trabalho sob a tica do professor reflexivo para voltar nossa anlise para a prtica docente.

PArtE i EmArAnhAdo tErico ProjEtoS E

rESoluo dE ProblEmAS

Decidimos, nesta parte, apresentar uma sntese da reviso biblio-grfica realizada que originou este livro. O contato com as contribui-es de vrios autores sobre os tpicos centrais do estudo projetos e resoluo de problemas nos auxilia a ampliar nossa compreenso sobre ambos os assuntos e a adotar uma concepo sobre projeto e resoluo de problemas.

1 ProjEtoS

Quando nos deparamos com a palavra projeto, diferentes cono-taes nos vm mente, a maioria delas, de acordo com Boutinet (2002), positiva. Podemos pensar em um projeto de vida, em algum projeto profissional, em um projeto de pesquisa, dentre tantos outros. Isso porque, de acordo com uma definio bsica, projeto um plano para a realizao de um ato; um desgnio ou inteno (Michaelis, 1998, p.1706). Sendo assim, nas mais varia-das situaes de nossas vidas, quando temos um plano e estamos designados a realiz-lo com a inteno de alcanar um fim, meta ou objetivo, podemos dizer que temos um projeto. Um exemplo elaborar um plano para a reforma de uma casa. Nossa inteno que a casa esteja reformada dentro de um determinado perodo de tempo e, para atingir esse objetivo, nos dedicamos realizao desse projeto para sua concretizao.

Mas este captulo se ocupar de explorar projetos no mbito educacional e, para tanto, apresentaremos referenciais que ao longo do tempo marcaram o uso de projetos na educao, juntamente com a concepo de alguns pesquisadores sobre o assunto.


Muito se fala das contribuies de Dewey e Kilpatrick1 para o ensino por projetos, mas as primeiras aplicaes da proposta de projeto teriam surgido no sculo XVI com arquitetos italianos que propuseram a parceria com pintores e escultores e criaram a primeira escola de arquitetura, a Academia Di San Luca, em Roma (Biotto, 2008).

A Academia realizava competies anuais, uma de carter prti-co e outra de carter acadmico. Na categoria de carter acadmico, no era necessria uma construo real, e sim a apresentao de um projeto, sendo este o plano de alguma obra arquitetnica. E foi assim que a palavra projeto teria sido utilizada pela primeira vez no mbito educacional (Biotto, 2008).

De acordo com Boutinet (2002), a criao da Academia Di San Luca foi uma tentativa marcante de separar execuo de concep-o, ou seja, de separar o ato de fazer do ato de planejar. Antes da Academia, as ideias iam diretamente para o concreto, ou seja, para a construo na prtica de alguma obra arquitetnica, com as competies da categoria acadmica; valorizava-se, portanto, a apresentao de um plano de execuo. Nessa categoria, eram pre-miados os melhores projetos arquitetnicos, aqueles que tivessem sido mais bem planejados. Esse novo modelo, no entanto, levou certo tempo para ser aceito e, de fato, incorporado. Um dos grandes opositores a esse modelo de projetar no sentido de planejar antes de executar teria sido o famoso artista Michelangelo.

No final do sculo XVIII, surgiu a profisso do engenheiro que, por sua proximidade com a do arquiteto, tambm adotou o mtodo de projetos. Os engenheiros elaboravam projetos e os construam em oficinas. No entanto, percebeu-se que a execuo de proje-tos prticos exigia muito tempo, o que comprometia o ensino da parte terica. Com a necessidade de executar um projeto na pr-tica, acabava no restando tempo para ensinar todo o contedo do

1 O autor Kilpatrick que aparece relacionado ao ensino por projetos trata-se de Willian Heard Kilpatrick (1870-1965), diferente de Jeremy Kilpatrick, estu-dioso da rea de Matemtica que aparece em nossa seo sobre resoluo de problemas.


curso. Isso fez com que a prtica fosse separada do estudo terico, surgindo um novo tipo de escola Mannual Training School de-dicada ao treinamento manual, ou seja, ao trabalho prtico. Nessas circunstncias, aparece Dewey lanando uma crtica ao carter de treinamento baseado apenas nas exigncias do trabalho do arquite-to e do engenheiro, defendendo que o treinamento manual deveria levar em conta os interesses dos alunos (Biotto, 2008).

Ainda, Dewey elaborou quatro condies para a existncia de um projeto. A primeira delas dizia que, embora o interesse dos alu-nos fosse fundamental, um projeto deveria ter objetivos e ativida-des. A segunda condio coloca o prazer em executar as atividades como algo central. A terceira est relacionada existncia de pro-blemas que despertem novas curiosidades e, por fim, a necessi-dade de tempo para se desenvolver um projeto (Hernndez, 1998).

Segundo Hernndez (1998; 1996), o ensino por projetos come-ou a ganhar reconhecimento por volta de 1919, quando Kilpatrick levou para a sala de aula algumas das contribuies de Dewey.

Em 1931, um professor espanhol, Fernando Sinz, propunha aplicar o que se fazia no mundo dos negcios e no ensino superior especializado escola fundamental, ou seja, aproximar a vida es-colar da vida exterior escola. Estavam surgindo algumas ideias para a primeira verso do que seria trabalhar com projeto. Essas ideias entendiam os projetos como um processo de aprendizagem vinculado ao mundo externo escola e como uma alternativa ao ensino fragmentado. A repercusso foi to grande que, em 1934, j havia 17 interpretaes diferentes sobre o mtodo de projetos (Hernndez, 1998).

Mas, com a Segunda Guerra Mundial, essas ideias ficaram con-geladas e voltaram a emergir nos anos de 1960 com o nome de trabalho por temas. Nessa poca, estavam em destaque, nos Estados Unidos, as ideias de Piaget sobre inteligncia e aprendiza-gem de conceitos. Reconhecida a importncia do desenvolvimento conceitual, Bruner tambm estabelecia que a preocupao deveria voltar-se em desenvolver conceitos-chave das diferentes disciplinas


e que os projetos seriam uma alternativa para essa abordagem em sala de aula.

Na dcada de 1980, os projetos retornam com o nome "projetos de trabalho" e voltam a ser alvo de interesse por uma srie de fatores que fazem com que

[...] o contedo das disciplinas necessite ser configurado e apresen-tado por meio de uma variedade de linguagens (verbal, escrita, grfica e audiovisual) para abrir aos estudantes os processos de pensamento de ordem superior necessrios para que compreendam e apliquem o conhecimento a outras realidades. (Hernndez, 1998, p.72)

Segundo Hernndez (1998, p.72-3), as novas ideias sobre apren-dizagem trazidas pela perspectiva construtivista mais os resultados de pesquisas socioculturais que mostravam a importncia do con-texto da aprendizagem, da participao e da interao, no s entre alunos, mas tambm com a comunidade, somadas nova noo de inteligncia que surgiu com a teoria das Inteligncias Mltiplas, foram definitivas para o surgimento da necessidade de um novo tipo processo de ensino e aprendizagem, o que fez com que os pro-jetos voltassem a ser estudados e investigados.

Em 1997, os PCNs trazem para o cenrio da educao brasi-leira, de forma oficial, ideias para a utilizao de projetos na escola, defendendo que

Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de organizar os contedos de forma a lhes conferir significado. importante identificar que tipos de projetos explo-ram problemas cuja abordagem pressupe a interveno da Mate-mtica, e em que medida ela oferece subsdios para a compreenso dos temas envolvidos. (Brasil, 1997, p.26)

Assim, percebemos que o trabalho com projetos bastante dis-cutido, atualmente, como uma metodologia possvel para o ensino e aprendizagem (de matemtica). No entanto, houve, nos ltimos


anos, uma proliferao de expresses e siglas (Boutinet, 2002), dentre elas: mtodos de projetos, centros de interesse, trabalho por temas, pesquisa do meio, projetos de trabalho (Hernndez, 1998. p.67). Ainda segundo Hernndez (1998) e Boutinet (2002), os termos so utilizados de modo indistinto, mas correspondem a vises diferentes.

Juntamente a esses desacordos semnticos, esto inmeras dis-cusses sobre o real conceito do ensino por projetos e de como eles deveriam ser concebidos e desenvolvidos. Dessa maneira, tentamos clarear o que podemos entender como uma forma de trabalhar com projetos nas aulas (de Matemtica).

Para Kilpatrick (apud Torres, 1998, p.203), um dos grandes precursores dessa abordagem de ensino, um projeto uma pro-posta entusiasta de ao a ser desenvolvida em um ambiente so-cial. O aluno, mais entusiasmado com o que vai aprender, tende a prestar mais ateno e, com isso, aprender mais. Para Kilpatrick, a aprendizagem deveria servir para melhorar a qualidade de vida dos alunos. Percebemos, no modelo de Kilpatrick, uma relao muito marcante entre vida e ensino por projetos.

Em um plano mais filosfico, Boutinet (2002, p.27) afirma que projeto pode designar [...] uma classe de objetos muito atual: aquela dos objetos em evoluo cultivados pela modernidade ou uma [...] figura que remete a um paradigma, simbolizando uma realidade que parece preexistir e escapar-nos: aquela de uma capa-cidade a ser criada, de uma mudana a ser operada e finaliza defi-nindo projeto como um [...] avatar individual e coletivo de um desejo primitivo de apropriao. Ao pensar em projeto como algo atual, o autor considera a rea de projetos como algo ainda novo e em desenvolvimento, que, nas palavras dele, seria algo em evolu-o. Sua segunda definio aproxima-se da que encontramos em nosso dicionrio de lngua portuguesa; a ideia de plano, de algo que parece preexistir, mas que nos escapa medida que se detm ao papel. Essa segunda concepo reafirmada quando o autor define projeto como um desejo de apropriao, pois algo que ainda se detm ao mundo das ideias. Para Boutinet (2002, p.180),


[...] uma das razes que encorajaram a pedagogia do projeto vem da necessidade de quebrar o quadro coercitivo dos programas esco-lares para suscitar uma certa criatividade.

Dizzoti (2009, p.36) tambm apresenta uma definio e, para ela, um projeto entendido como uma atividade organizada que tem o objetivo de contribuir para que os alunos investiguem e in-terpretem significados inconstantes de indivduos de diferentes culturas.

A equipe do Buck Institute for Education (Markham et al., 2008, p.18) adota a terminologia de aprendizagem baseada em pro-jeto e a define como:

[...] um mtodo sistemtico de ensino que envolve os alunos na aquisio de conhecimentos e de habilidades por meio de um extenso processo de investigao estruturado em torno de questes complexas e autnticas e de produtos e tarefas cuidadosamente planejados.

Para alguns docentes, mtodo pode dar a ideia de rigidez, mas, em termos filosficos, mtodo pode ser entendido como uma forma concreta de realizar algo ou de aplicar o pensamento com o objetivo de conhecer a realidade, compreender fatos, interpretar dados, resolver um problema ou uma questo. (Hernndez, 1998).

Thomas (2000) utiliza o termo aprendizagem baseado em pro-jeto e o define como um conjunto de tarefas complexas, baseadas em questes ou problemas desafiadores, que envolvem os alunos na modelagem, problematizao, tomada de deciso ou atividades investigativas que oferecem a oportunidade de trabalho relativa-mente autnomo ao longo de um perodo de tempo e culmina em produtos ou apresentaes mais realistas.

Percebemos que as definies de Thomas (2000) e de Markham et. al. (2008) contm traos em comum, como a questo da complexi-dade que, para um, aparece como um conjunto de tarefas complexas e, para outro, como questes complexas e autnticas. O segundo ponto comum o uso de questes ou problemas em ambas as definies.


Torres (1998, p.203) contribui com uma definio sobre o m-todo de projeto; para ele, esse mtodo

[...] uma forma de integrao curricular que se preocupa pela caracterstica de interessante que deve acompanhar a realizao do trabalho nas salas de aula, pela proposta de problemas interes-santes que os alunos devem resolver em equipe.

Mas o que mais nos chama ateno nas contribuies apresen-tadas por Torres (1998) a sua flexibilidade e a leitura que ele faz sobre o ensino por projetos. Primeiramente, ele afirma que

A denominao de currculo integrado pode resolver a dicotomia e/ou o debate colocado na hora de optar por uma denominao do currculo que por sua vez integre os argumentos que justificam a globalizao e os que procedem da anlise e defesa de maiores parcelas de interdisciplinaridade no conhecimento e da mundia-lizao das inter-relaes sociais, econmicas e polticas. (Torres, 1998, p.112)

Em termos prticos, aceitando a ideia de currculo integrado, j rompemos com o debate em torno das diferentes terminolo-gias referentes aos projetos. Que, como afirma em Torres (1998), Estrada (2007), assim como outros autores (Boutinet, 2002; Her-nndez, 1998); essas diferentes denominaes existem, se diferem e so, muitas vezes, utilizadas de modo indistinto. Mas, para Estra-da (2007), assim como para Torres (1998), haveria um ncleo comum a todas essas propostas.

Todas propem o tratamento do currculo baseado no desen-volvimento de problemas ou investigaes ligados a temas signi-ficativos, essa dinmica construtiva e participativa seria um marco genrico para todas as propostas.

Sendo assim, para Torres (1998, p.191): Os projetos curricu-lares so uma maneira de estruturar as diferentes reas do conhe-


cimento e experincia ou disciplinas, para tornar realidade outras concepes educacionais [...].

Torres (1998) defende que o ensino de uma cincia integrada pode auxiliar os alunos a olhar e a analisar um problema de dife-rentes formas, e no s da perspectiva de uma nica disciplina. O autor expe diferentes propostas de integrao curricular e uma das razes a favor do currculo integrado que ele seria uma forma de equilibrar um ensino baseado na memorizao com um ensino que possibilite a valorizao de processos.

Encontramos, de acordo com as diferentes fontes pesquisadas, que um projeto pode ser um plano (Michaellis, 1998), uma pro-posta (Kilpatrick apud Torres, 1998), uma atividade organizada (Dizzoti, 2009) at a ideia de um desejo primitivo de apropriao (Boutinet, 2002), um mtodo sistemtico de ensino, um conjunto de tarefas complexas (Thomas, 2000) ou, ainda, uma forma de integrao curricular (Torres, 1998).

Aps partilhar mais algumas ideias sobre a teoria de projetos apresentaremos, no final deste captulo, nossa concepo sobre o ensino por projetos.

Mas por que ensinar por meio de projetos?

Algumas das alternativas encontradas para as vrias demandas e necessidades sociais, econmicas e culturais que a escola precisa atender foram "'projetos de trabalho', 'centros de interesse, 'pro-jetos interdisciplinares', 'currculo integrado', 'pesquisa sobre o meio', 'crditos de sntese'" (Hernndez, 1998, p.38). O currculo integrado, por exemplo, uma forma de organizar os conheci-mentos escolares partindo de temas-problema que podem auxiliar os alunos a buscarem, ordenarem, analisarem, interpretarem e re-presentarem informao, bem como explorarem diversos temas e questes com um pouco mais de autonomia (Hernndez, 1998).

Ensinar por meio de projetos um caminho para explorar diversas habilidades e saberes que no se resumem ao ensino


fragmentado por disciplina. Essa oposio experincia frag-mentada, junto com a necessidade de conferir mais autonomia aos alunos, algo que contribui para aumentar a discusso em torno do assunto, pois ora o pndulo da educao est mais para o aluno, ora mais para o professor. Em algumas pocas da hist-ria da educao, o foco foi dar voz e vez aos alunos, o que foi algo muito positivo. No entanto, para alguns professores e at mesmo para alguns sistemas de ensino, o professor ao dar voz aos alunos saa de cena, como se a educao escolar estivesse apenas baseada nos interesses e nas vontades dos alunos. Com esse movimento, os alunos comearam a apresentar algumas falhas conceituais bsicas e lacunas no conhecimento. A educao voltava-se, ento, para uma linha mais rgida do treino e repetio. Mas o que muitos hoje buscam o equilbrio entre a autonomia que se pode conferir ao aluno e o direcionamento do professor.

Ldke (2003) afirma que a ideia de projeto procura romper a lgica de evoluo linear das disciplinas na medida em que rela-ciona um problema com um ou mais temas que acabam levando a tantos outros, utilizando os conhecimentos oferecidos pelas disciplinas de maneira criativa.

Nacarato, Mengali e Passos (2009) explicitam que conceber a aprendizagem e a aula de matemtica de modo investigativo e problematizado exige uma nova postura do professor, o qual no deixa de ter sua funo no processo de ensino e aprendizagem, pois ele quem deve escolher atividades significativas e desafiadoras para seus alunos, elaborar perguntas interessantes e assumir uma postura investigativa diante de imprevistos que possam surgir na sala de aula.

Hernndez (1998) expe que o maior objetivo da organizao dos conhecimentos por projetos levar os alunos a interpretarem o que lhes apresentado para que eles, de fato, compreendam o que esto aprendendo. A compreenso, por sua vez, estaria vinculada s diferentes capacidades, dentre elas a de pesquisar um tema me-diante estratgias como explicar, encontrar evidncias e exemplos,


generalizar, aplicar, estabelecer analogias e representar um tema mediante uma nova forma. (Hernndez, 1998. p.51).

O trabalho com projetos constitui uma aproximao sobre o conhecimento escolar vinculado a uma concepo que no valoriza somente a aquisio de contedos, mas tambm o papel do estudante como responsvel por sua aprendizagem. Isso supe aprender a inves-tigar um tema relacionando-o com ideias-chave e diferentes disciplinas (Hernndez, 1998).

A importncia de se desenvolver diferentes capacidades nos alunos est tambm nas novas exigncias sociais e profissionais. Segundo Abrantes (1994 apud Dizotti, 2009, p.34): o trabalho com projetos favorece a formao de [...] indivduos com iniciativa, conscincia dos problemas atuais, sensibilidade para trabalhar com outros, aptido e flexibilidade para agir num mundo em mudanas permanentes.

Para Dizotti (2009), os projetos permitem que, por meio de uma problemtica, os alunos explorem, relacionem, aprendam e aprofundem cada vez mais seu conhecimento, promovendo uma organizao curricular que ultrapassa as barreiras disciplinares.

Ainda segundo Hernndez e Ventura (1998), a funo de um projeto favorecer a criao de estratgias para a organizao dos conhecimentos escolares de forma que o aluno seja capaz de fazer relao entre os diferentes contedos, interpretar, utilizar e trans-formar a informao proveniente de diferentes fontes em conheci-mento prprio.

Como organizar um projeto?

Essa talvez seja nossa parte favorita. Quando nos deparamos com essa literatura, como se estivssemos tomando posse de ins-trumentos materiais para a elaborao de um projeto, assim como quando tomamos um giz para fazer um registro no quadro.

Trs autores apresentam um guia, sem a inteno de que tais guias tornem- se uma receita que deva ser seguida minuciosamente,


para a elaborao de um projeto. O primeiro deles, Markham et al. (2008), apresenta um guia de seis passos. Boutinet traz comentrios suscintos sobre o incio e o final de um projeto. Hernndez e Ventu-ra (1998) apresentam sete passos parecidos em alguns aspectos com os apresentados por Markham et. al. (2008).

A equipe do Buck Institute for Education (Markham et al. 2008, p.27) enfatiza a necessidade do planejamento e afirma que bons projetos no ocorrem por acidente. Eles so resultado de rigoroso planejamento. Essa equipe sugere alguns passos que podem auxi-liar o planejamento de um projeto:

1 Desenvolva uma ideia de projeto: preciso ter noo se o projeto atende o que importante de ser ensinado. Esse primeiro momento tambm quando ocorrem visitas a sites e projetos bem--sucedidos para se ter boas ideias, bem como explorar a comunida-de exterior escola: eventos locais ou nacionais;

2 Decida o escopo do projeto: sua durao, as atividades, re-cursos e parcerias devem ser decididos antes do incio. Alguns projetos podem durar de 5 a 10 dias, outros at um semestre; eles podem ser baseados em um tpico ou em vrias disciplinas, podem se resumir apenas sala de aula ou envolver a comunidade;

3 Selecione padres: esse o momento de definir padres que orientaro o ensino por meio do projeto. A capacidade de ler e de escrever , por exemplo, padro para a maioria dos projetos;

4 Incorpore resultados simultneos: a aprendizagem basea-da em projeto permite que o professor avalie no somente conhe-cimento acadmico, mas que avalie, tambm, habilidades e hbitos mentais dos alunos;

5 Trabalhe a partir de critrios de formulao de projetos: algumas perguntas podem ajudar na definio de critrios para estruturar um bom projeto. So elas: O projeto satisfaz padres e critrios predeterminados?, Envolve alunos?, Concentra-se na compreenso do essencial?, Incentiva pensamentos de nvel superior?, Ensina a ler e escrever e refora habilidades bsicas?, Permite que todos os alunos sejam bem-sucedidos?, Utiliza


avaliaes claras e precisas?, Requer uso sensato de tecnologia?, Aborda questes autnticas?;

6 Crie o ambiente de aprendizagem ideal: estabelecer conexes com a comunidade, mudar o visual da sala, proporcionar situaes em que os alunos tenham que aplicar o conhecimento em situaes de resoluo de problemas e situaes prximas de um cenrio real.

Essas foram algumas ideias apresentadas por Markhamet et. al. (2008) sobre como estruturar e planejar um projeto.

Para Boutinet (2002), um projeto tem dois tempos caractersti-cos: o incio e o final. O incio do projeto compreende um diag-nstico da situao, uma negociao do que poder ser explorado dentro da situao diagnosticada, seguida de um descritivo para a realizao do projeto. O final trata do planejamento das atividades e de seus prazos, da realizao do projeto em si e da avaliao do projeto.

Hernndez e Ventura (1998) entendem que o ponto de partida de um projeto a escolha do tema.

[...] o tema pode pertencer ao currculo oficial, proceder de uma experincia comum (como os acampamentos), originar-se de um fato da atualidade, surgir de um problema proposto pela profes-sora ou emergir de uma questo que ficou pendente em outro projeto. (Hernndez; Ventura, 1998. p.67)

De acordo com Gunning (apud Hernndez, 1998, p.70), ensi-nar por meio de temas possibilita ultrapassar os limites das disci-plinas, conectando experincias prximas e interessantes para os alunos com a aprendizagem de conceitos.

Depois de escolhido o tema, Hernndez e Ventura (1998, p.68-70) discorrem sobre as etapas para o desenvolvimento de um projeto.

1 A primeira delas a especificao de um fio condutor. Nesse ponto, a escola no interfere, mas o que guia essa especificao so os objetivos de aprendizagem que os alunos devem atingir ou


um subtema muito evidente. So os objetivos que conduziro toda aprendizagem e todo o projeto;

2 A segunda etapa a especificao dos contedos, definin-do o que os alunos aprendero com o projeto;

3 A prxima etapa estudar e preparar o tema, o momento que o professor planeja suas aes e atividades;

4 A quarta etapa quando o projeto comea a ser desenvolvido pelos alunos;

5 A quinta manter os alunos envolvidos;6 Ainda, a sexta etapa o monitoramento do que os alunos

sabem, quais dvidas eles tm e o que eles aprenderam. Hernndez e Ventura (1998) discorrem sobre uma avaliao

inicial e uma formativa. A avaliao inicial necessria para conhecer o que os alunos sabem sobre o tema, quais so suas hip-teses e referncias de aprendizagem. (Hernndez; Ventura, 1998. p.69). Essa avaliao ocorre antes da quarta etapa, quando o projeto ainda no foi iniciado pelos alunos. A avaliao formativa ocorre ao longo do projeto e so evidncias que nos levam avalia-o da aprendizagem dos alunos;

7 A ltima etapa refere-se ao recapitular e avaliar o que foi aprendido durante o processo para contrastar e planejar novas propostas.

Sendo assim, temos sete etapas: especificao do fio condutor e dos contedos, busca de materiais, preparao, incio do proje-to, manuteno do projeto, avaliao continua e recapitulao do processo.

Biotto (2008) destaca as trs fases de avaliao propostas presen-tes no modelo apresentado por Hernndez e Ventura (1998): inicial, formativa e recapitulativa. Embora a avaliao inicial possa ser cri-ticada por levar alguns professores a rotular a capacidadede de seus alunos, essa avaliao essencial para identificar conhecimento prvio e para que, baseado nesse conhecimento, o ensino seja mais bem planejado para determinado grupo. O professor deve se preo-cupar em coletar evidncias que demonstrem quais conhecimentos prvios os alunos j possuem e como eles aprendem. Essa coleta


pode ser realizada por meio de situaes em que os alunos expres-sem suas opinies ou por perguntas sobre determinado assunto.

Tanto a avaliao inicial quanto a avaliao final ou recapitulati-va, quando encaradas dentro da perspectiva de avaliao contnua, so aliadas do processo de aprendizagemque auxiliam professores e alunos a aprimorar, redirecionar e corrigir suas aes (Luis, 2003).

Baseadas em nossas descobertas tericas, adotamos a definio apresentada pela equipe do Buck Institute for Education (Markham et al., 2008) e entendemos projetos como um mtodo que envolve os alunos na produo de conhecimentos e de habilidades por meio da investigao. Concordamos com Hernndez (1998) quando afirma que o maior objetivo de ensinar por meio de projeto levar os alunos a compreender de fato o que esto aprendendo. Essa compreenso seria atingida olhando para uma mesma situao de diferentes formas, buscando diversas solues para um mesmo problema, relacionando contedo com experincias e opinies pes-soais e dirias. Ainda, e por fim, acreditamos em um ncleo central para o trabalho com projetos e temas, que seria a integrao de reas e conhecimentos como proposto por Torres (1998). Por isso, nos propusemos a investigar e retratar como ocorre a aprendizagem em um ambiente no qual ensinamos matemtica questionando, relacionando-a com o dia a dia, com um tema e com o que o aluno j conhece.

2 rESoluo dE ProblEmAS

Aps explorarmos ideias acerca de projetos, discutiremos, a se-guir, definies e concepes sobre resoluo de problemas que nos auxiliaram a adotar um referencial de trabalho e a elaborar o que chamamos de nosso emaranhado terico.

Decorrente de muitas reformas sociais e movimentos educacio-nais que temos hoje essa discusso e ampliao do conhecimento relacionado resoluo de problemas. Historicamente, a resoluo de problemas remonta a antiguidade. O Papiro de Ahmes consiste em uma das mais antigas listas de problemas com cerca de 1650 anos a.C. Outros registros histricos apontam para a existncia de mais evidncias de situaes-problema desde o tempo dos antigos egpcios, chineses e gregos. Mas a matemtica presente em regis-tros to antigos tinha como objetivo melhorar o pensamento das pessoas. Essa ideia perdurou at o sculo XX e, durante todos esses sculos, o estudo de qualquer matemtica, incluindo a resoluo de problemas, era dedicada a melhorar as capacidades de pensar, raciocinar e resolver problemas do dia a dia. (Stanic; Kilpatrick, 1989). De fato, no podemos negar que a matemtica contribui para o desenvolvimento do poder de raciocinar, mas, hoje, sabemos que outras reas tambm contribuem para melhorar o raciocnio.


No sculo XX, as pesquisas sobre resoluo de problemas ga-nham destaque com George Polya, em 1944 (Onuchic; Allevato, 2008). Mais tarde, nas dcadas de 1960 e 1970, inicia-se um mo-vimento chamado Matemtica Moderna. Seu objetivo era apro-ximar a matemtica ensinada na escola da matemtica produzida por pesquisadores, propondo assim uma revoluo no ensino. No entando, devido alguns exageros, esse movimento no obteve grande sucesso e no perdurou. Na dcada de 1970, iniciaram-se investigaes mais precisas sobre a resoluo de problemas e, em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM Conselho Nacional de Professores de Matemtica) publicou An Agenda for Action, destacando que resolver problemas seria o foco da matemtica escolar para os anos 1980. O NCTM publicou mais uma srie de documentos que contriburam para a discusso sobre prticas de ensino e avaliao em educao matemtica. Em 1989, foi publicado Curriculum and Evaluation Standards for School Ma-thematics, com contribuies acerca do currculo de Matemtica. Em 1991, Professional Standards for Teaching Mathematics traz contribuies para auxiliar o professor a desenvolver o currculo sugerido no documento de 1989 (Onuchic e Allevato, 2004; 2011). Em 1995, o NCTM publicou Assessment Standards for School Ma-thematics, voltado para discusses sobre a avaliao em matemti-ca. Em 2000, o mais recente documento do NCTM foi publicado, um compilado revisado de documentos anteriores intitulado Prin-ciples and Strandards for School Mathematics, que trouxe para o cenrio da Educao Matemtica princpios e padres de contedos e de procedimentos (Onuchic; Allevato, 2004; 2011; Van De Walle, 2007) que organizamos e apresentamos no Quadro 2.

Esses princpios e padres apresentados pelo NCTM influen-ciaram muitas pesquisas e documentos oficiais, situando a reso-luo de problema como um procedimento e no mais como um contedo que deveria ser ensinado.


Quadro 2 Princpios e padres de procedimento e contedo de acordo com o NCTM

Princpios Padres de procedimento Padres de contedo

Equidade Currculo Ensino

AprendizagemAvaliao

Tecnologia

Resoluo de problemas Raciocnio e Prova

ComunicaoConexes

Representao

Nmeros e Operaeslgebra

GeometriaMedida

Anlise de Dados ProbabilidadeFonte: Minatel (2014, p.34).

Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs) tambm dis-cutem a resoluo de problemas como recurso de aprendizagem, apontando aspectos importantes para o seu uso. O primeiro desses aspectos diz que as atividades matemticas devem partir da explo-rao de problemas, de modo que os alunos tenham que desenvol-ver estratgias para resolver determinada situao. Em seguida, explicita que um problema no um exerccio mecnico e que algo s pode ser considerado problema quando levar o aluno a interpre-tar o enunciado da questo que lhe posta e a estruturar a situao que lhe apresentada. O terceiro aspecto relata que o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros problemas. O quarto aspecto diz que o aluno no constri um conceito em resposta a um problema, mas um campo de conceitos e, por fim, a resoluo de problemas no uma atividade a mais ou mesmo um contedo a mais do currculo, ela uma orientao ou, ainda, um recurso para o ensino de concei-tos, procedimentos e atitudes matemticas (Brasil, 1997).

O que um problema? Definies

Comeamos com os Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs), caracterizando problemas como algo que demanda a realizao de uma sequncia de aes ou operaes para obter um resultado. Ou seja, a soluo no est disponvel de incio, mas possvel constru-la. (Brasil, 1997, p.33). Dessa forma, diante de uma atividade, se no precisarmos elaborar uma estratgia de resoluo, pois a situao


algo que j conhecemos e lembramos facilmente, essa atividade no pode ser considerada uma situao-problema.

Onuchic e Allevato (2004, p.221) definem problema como tudo aquilo que no sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer e complementam afirmando que [...] um problema definido como qualquer tarefa ou atividade para a qual os estu-dantes no tm mtodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem percepo de que haja um mtodo especfico para chegar soluo correta..

Tanto os PCNs (Brasil, 1997) quanto as autoras Onuchic e Al-levato (2004) definem "problema" como algo que no se sabe resol-ver, mas que nos dispomos a construir uma soluo.

Onuchic e Allevato (2011) utilizam o termo metodologia de ensino-aprendizagem-avaliao atravs da resoluo de proble-mas. O termo provm de muitas reformas no ensino da matemtica, as quais mostraram que o ensino e a aprendizagem deveriam ocorrer de forma simultnea, por isso o termo metodologia de ensino-apren-dizagem que, mais tarde, se tornou ensino-aprendizagem-avaliao devido a pesquisas e descobertas sobre a importncia de uma avaliao contnua e formativa. Percebemos, aqui, que essa avaliao forma-tiva a mesma que aparece na concepo de Hernndez e Ventura (1998), to importante tambm para a realizao de um projeto. A metodologia de ensino-aprendizagem-avaliao por meio da reso-luo de problema estabelece um modelo de trabalho baseado em problemas geradores, buscando favorecer a compreenso de con-ceitos e contedos matemticos de forma mais significativa.

Na Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Mate-mtica atravs da Resoluo de Problemas o problema ponto de partida e, na sala de aula, atravs da resoluo de problemas, os alunos devem fazer conexes entre diferentes ramos da Mate-mtica, gerando novos conceitos e novos contedos. (Onuchic e Allevato, 2011, p.81)


Mas outros autores tambm definem problema e apresentam suas contribuies para a rea de resoluo de problemas.

Thompson (1989 apud Allevato, 2005, p.35), ao apresentar os resultados de uma pesquisa com professores, exps duas concep-es sobre o que um problema. Segundo a primeira concepo, um problema a:

[...] descrio de uma situao envolvendo quantidades estabe-lecidas, seguida de uma pergunta sobre alguma relao entre as quantidades cuja resposta pede a aplicao de uma ou mais operaes aritmticas.

De acordo com essa concepo, resolver um problema chegar resposta correta por meio de operaes matemticas. Percebemos nessa definio uma viso mais tradicional da prpria Matemtica, reduzida s operaes aritmticas. Definio essa que tambm se difere da concepo de situao-problema dos PCNs e das autoras citadas anteriormente.

J sobre a segunda concepo encontrada por Thompson dentre os professores investigados, Allevato (2005, p.40) relata que essa concepo considera uma situao-problema como algo que:

[...] inclui quebra-cabeas, labirintos e atividades envolvendo ilu-so de tica e considera que problemas devem possibilitar uma variedade de abordagens para a resoluo; no devem depender s de elementos conhecidos, mas conduzir busca e descoberta de novas ideias e, em geral, envolvem desafio, diverso e frustrao.

Tambm Bittar (2005, p.23) define, em um estudo sobre a me-todologia da matemtica voltado para os anos iniciais do ensino fundamental, problema como uma atividade que exige uma para-da para pensar sobre a proposta, e no algo automtico que o aluno possa resolver seguindo um modelo, sem ter que ler, interpretar e elaborar estratgias.


Bittar (2005, p.25) nos d uma ideia da complexidade de traba-lhar com situaes-problema ao afirmar que:

A prtica de resoluo de problemas d oportunidade aos alu-nos de fazer Matemtica, isto , de desenvolver habilidades de reconstruo de propriedades Matemticas, bem como de comu-nicar ideias, resultados e experincias. Dessa forma, ele dever confrontar resultados fazendo uso de argumentos prprios e de procedimentos de validao. Aceitar erros e estar aberto para outras formas de resoluo pode contribuir para o aprimoramento da linguagem, da capacidade de inferir, generalizar, deduzir, argu-mentar e sintetizar.

Smole (1996, p.73-4) conceitua resoluo de problema como:

[...] uma metodologia de trabalho, atravs da qual os alunos so envolvidos em fazer Matemtica, isto , eles se tornam capazes de formular e resolver por si questes matemticas e atravs da possibilidade de questionar e levantar hipteses adquirem, rela-cionam e aplicam conceitos matemticos.

E complementa:

A resoluo de problemas um processo que permeia todo o trabalho e todas as atividades, fornecendo um contexto, no qual as noes e competncias so desenvolvidas, enquanto as atividades se realizam. (ibidem, p.163)

Por fim, Rossi (2012, p.48) contribui definindo resoluo de problema como a realizao de:

[...] uma produo, em que o aluno utiliza o que j aprendeu como uma via para construir conhecimento. A resoluo de proble-mas pode se constituir a partir de questes que coloquem o resol-vedor em busca de uma ou mais respostas.


No entanto, alm das questes que dizem respeito s vrias definies acerca de problema, Allevato (2005), pautada nos pri-meiros estudos desenvolvidos por Shroeder e Lester, aborda a exis-tncia de diferentes concepes sobre o ensino baseado na resoluo de problema. Podemos ensinar:

sobre; para; por meio da resoluo de problema.Ensinar sobre a resoluo de problemas algo que surgiu com

o Movimento da Matemtica Moderna, quando a resoluo de pro-blemas foi considerada um novo contedo matemtico. Os estudos de George Polya so grandes representantes dessa abordagem cuja ideia era ensinar os alunos a resolver problemas. Um exemplo de como ensinar sobre resoluo de problemas acontece quando pre-paramos uma aula sobre as etapas para a resoluo.

Polya (1986) elaborou, na dcada de 1950, quatro etapas para a resoluo de problemas: compreenso do problema, elaborao de um plano, execuo do plano e verificao dos resultados. Se-gundo Onuchic e Allevato (2011), Polya pode ser considerado o pai dos estudos sobre resoluo de problemas e, depois dele, pes-quisadores mais atuais como Sternberg (2000, p.306-9), do campo da Psicologia da Aprendizagem, elaboraram outras etapas (Figura 2) que podem ser utilizadas para essa abordagem de ensino sobre resoluo de problema.

Na Figura 2, podemos observar que a primeira etapa o mo-mento que o aluno reconhece o que lhe proposto como sendo um problema. Na segunda etapa, o aluno deve ter claro qual o problema para, na terceira, formular estratgias. Nessa etapa, o aluno escolhe se usar desenhos para resolver, operaes ou outros recursos. Na quarta etapa, as informaes fornecidas pelo proble-ma e as obtidas da interpretao devem ser organizadas de modo que a compreenso e o acesso a elas sejam facilmente obtidos. Somente na quinta etapa, o aluno aloca recursos para comear a resolver o problema. A sexta etapa momento de monitorizao dos resultados que comeam a ser obtidos certificando-se de


que o plano para a resoluo do problema est em andamento. A monitorizao a constante checagem de que as descobertas esto levando resoluo do problema. E, por fim, na sexta etapa, o aluno avalia o trabalho e a resposta com relao ao problema ini-cial. A questo problema foi respondida? Temos a soluo para o problema? A resposta encontrada razovel como soluo para o problema proposto? O que o meu resultado quer dizer? Nesse momento, os alunos respondem a questo do problema e podem, com a resposta, elaborar novas indagaes.

1Identicao do

problema

2Denio do

problema

3Construindo uma estratgia para

a resoluo

4Organizando a

informao sobre o problema

5Alocao de recursos

6Monitoramento e resoluo do

problema

7Avaliao da

resoluo do problema

Figura 2 Etapas para a Resoluo de ProblemasFonte: Sternberg (2000, p.307).

A prxima abordagem a do ensino para a resoluo de pro-blema, a qual tenta quebrar a rigidez dos contedos matemticos e prope a resoluo de problemas para aplicao desses. Dessa maneira, a matemtica passa a ser vista como utilitria, sendo que,


primeiro, se deve apresentar um contedo para, depois, os alunos resolverem problemas.

Ensinar por meio da resoluo de problemas deixa de ser uma atividade a mais ou de aplicao para servir como orientado-ra da aprendizagem. Por meio de problemas, o professor ensina contedos matemticos, verifica o que o aluno sabe, o que ele ainda precisa de ajuda para desenvolver e quais estratgias ele est utilizando, alm de favorecer a construo de novos conceitos. Foi essa abordagem de ensino por meio de problemas que foi carac-terizada por Onuchic (2008) como uma Metodologia de Ensino--Aprendizagem-Avaliao de Matemtica.

Os Parmetros Curriculares Nacionais tambm discutem a re-soluo de problemas como recurso de aprendizagem, apontando princpios importantes para o seu uso. O primeiro desses princ-pios diz que as atividades matemticas devem partir da explora-o de problemas de modo que os alunos tenham que desenvolver estratgias para resolver determinada situao. O princpio se-guinte explicita que um problema no um exerccio mecnico e que algo s pode ser considerado problema quando levar o aluno a interpretar o enunciado da questo que lhe posta e a estruturar a situao que lhe apresentada. O terceiro princpio relata que o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros problemas. O quarto princpio diz que o aluno no constri um conceito em resposta a um problema, mas um campo de conceitos e, por fim, a resoluo de problemas no uma atividade a mais ou mesmo um contedo a mais do currculo, ela uma orientao ou, ainda, um recurso para o ensino de conceitos, procedimentos e atitudes matemticas (Brasil,1997).

Outros autores, como Van de Walle (2007), tambm trazem suas contribuies sobre essa abordagem e a consideram uma me-todologia de ensino capaz de tornar uma tarefa classificada como um exerccio em uma situao-problema se tal tarefa for desconhe-cida para o grupo, se levar os alunos a pensar sobre estratgias de resoluo e se for resolvida de diferentes maneiras. o que Van de Walle (2007, p.38) relata ao comentar um caso em que se pediu


para alunos identificarem que frao era maior, dadas 4/5 e 6/8. No caso de um ensino tradicional, o professor pediria aos alunos para encontrar um denominador comum e compararem os nume-radores. No caso de um ensino baseado em problemas, os alunos foram encorajados a desenvolver suas prprias estratgias para encontrar a maior frao. Em uma dessas experincias, um aluno, usando seu conhecimento prvio, disse que sabia que 4/5 era o mesmo que 8/10 e que, com mais 2/10, ele completava um inteiro. No caso dos 6/8, com mais 2/8, se completaria um inteiro tambm, no entanto, 2/8 era maior que 2/10, por isso, 4/5 era maior que 6/8. Nesse ltimo caso, o aluno se ocupou de descobrir o tamanho das partes e de entender o verdadeiro significado de frao e no de resolver um exerccio sobre frao.

Outro exemplo como esse de problematizao dado por Van de Walle (2007, p.40) com uma situao de adio: 48 + 25. Ao expor essa situao a um grupo que no conhece os mecanismos formais da adio, essa operao um problema a ser resolvido. Utilizando a metodologia de resoluo de problemas, antes de apresentar o algoritmo, deixar os alunos fazerem descobertas uma forma de prepar-los para considerar uma diversidade de mtodos e desenvolver ideias significativas sobre o processo de adicionar.

Segundo Van de Walle (2007), importante perceber que en-sinar por meio de problemas ou o ensino baseado na resoluo de problemas no se limita, necessariamente, a listas de situaes--problema, mas que atividades ou tarefas baseadas em problemas significam problematizar.

Segundo Domite (2009 apud Mengali, 2011. p.52), problema-tizar indica um processo similar ao perguntar e formular proble-mas. Uma pergunta algo que leva o outro a querer responder; a problematizao um processo frtil de construo de perguntas e respostas. Mengali (2011) afirma sua tentativa de criar nos ambien-tes de aprendizagem uma comunidade de investigao matemtica, buscando encorajar os alunos a realizar anlises de situaes proble-mticas, bem como partir delas para problematizar.


Um dos porqus de problematizar est na necessidade de dar sentido aprendizagem matemtica diante de um mundo que

[...] est cada vez mais matematizado, e o grande desafio que se coloca escola e aos professores construir um currculo de Matem-tica que transcenda o ensino de algoritmos e clculos mecanizados, principalmente nas sries iniciais, onde est a base da alfabetizao Matemtica. (Nacarato; Mengali; Passos, 2009. p.32)

Boavida (1993 apud Baraldi, 1999, p.36) ressalta que todo cidado, para ter acesso ao mundo de conhecimento cientfico e tecnolgico, precisa possuir uma cultura matemtica bsica que o torne capaz de interpretar e compreender criticamente a matemti-ca subjacente a diferentes situaes do dia a dia, e, tambm, o torne capaz de resolver problemas e tomar decises diante dos mais va-riados aspectos de sua vida, nos quais a matemtica esteja presente.

Allevato (2005) destaca que essa abordagem de ensino por meio da resoluo de problema: 1) envolve os estudantes nos cinco pa-dres de processo descritos pela publicao de 2000 do NCTM: resoluo de problemas, raciocnio e prova, comunicao, conexes e representao; 2) desenvolve nos estudantes a crena de que eles so capazes de fazer matemtica; 3) fornece, ao professor, dados de avaliao que os permite auxiliar os alunos na aprendizagem; 4) entusiasma os alunos ao perceberem que so capazes de compreen-der matemtica por meio de estratgias prprias de raciocnio.

Foi de extrema importncia delinearmos alguns aspectos hist-ricos da resoluo de problemas, pois isso nos possibilitou assu-mir nosso lugar no cenrio de resoluo de problema.

Adotamos a concepo de ensino por meio da resoluo de proble-mas, considerando-a uma metodologia de ensino (Onuchic; Allevato, 2011) e um ponto de partida (Brasil, 1997; Onuchic; Allevato, 2011) na sala de aula. Definimos problema como sendo uma tarefa que os alunos no tm mtodos ou regras estabelecidas para chegar soluo correta (Onuchic; Allevato, 2004), e sim uma situao que necessita ser investigada e que estratgias sejam ela-


boradas. Principalmente em se tratando dos anos iniciais do ensino fundamental, acreditamos, como exposto por Van de Walle (2007), que at mesmo uma tarefa bsica de adio pode ser tida como um problema se o grupo no tiver mecanismos e tcnicas formais de resoluo.

Assim, adotamos a concepo de ensino atravs da resoluo de problemas discutida por Onuchic e Allevato (2004; 2005; 2011), Van de Walle (2007) e apresentada oficialmente pelo documento do ano de 2000 do NCTM como procedimento. Buscamos nessa pesquisa, ensinar matemtica pela resoluo de problema, mas des-tacamos uma citao de Allevato (2005, p.61) sobre as diferentes formas de conceber resoluo de problema:

[...] a resoluo de problemas como metodologia de ensino [...] no exclui as demais concepes. Isso significa que, quando o professor adota essa metodologia, os alunos podem aprender tanto sobre resoluo de problemas, quanto aprendem Matemtica para resolver novos problemas, enquanto aprendem Matemtica atra-vs da resoluo de problemas.

Na teoria, essas concepes podem ser separadas, mas, na prti-ca, elas tendem a ocorrer conjuntamente, em diferentes momentos e combinaes (Onuchic; Allevato, 2004).

O prximo captulo uma tentativa de evidenciar o que chamamos de emaranhado terico. Alm do desafio de investigar e conciliar duas teorias, nosso desafio tornou-se maior medida que nos propusemos, de fato, a verificar e a analisar se a matemtica estava ocorrendo por meio da teoria de projetos e se a matemtica estava sendo ensi-nada por meio da metodologia de ensino-aprendizagem-avaliao atravs da resoluo de problemas.

3 noSSo EmArAnhAdo tErico

Este captulo baseia-se em um quadro sinttico sobre as teorias estudadas. Utilizamos recortes de autores e do nosso prprio texto, destacando ideias comuns para ambas as teorias que nos ajudaram a visualizar nosso emaranhado, como observamos no Quadro 3.

Quadro 3 Sntese do nosso emaranhado

Projeto Resoluo de problemas

Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de organizar os contedos de forma a lhes conferir significado. importante identif icar que tipos de projetos exploram problemas cuja abordagem pressupe a interveno da Matemtica, e em que medida ela oferece subsdios para a compreenso dos temas envolvidos (Brasil, 1997, p.26).

... uma proposta entusiasmante de ao para se desenvolver em um ambiente social e tem que servir para melhorar a qualidade de vida das pessoas. (Kilpatrick apud Torres, 1998, p.203).

[...] demanda a realizao de uma sequncia de aes ou operaes para obter um resultado. Ou seja, a soluo no est disponvel de incio, mas possvel constru-la (Brasil, 1997, p.33).

Onuchic e Allevato (2004, p.221) def inem problema como tudo aquilo que no sabemos fazer mas que estamos interessados em fazer e complementam af irmando que "() um problema definido como qualquer tarefa ou atividade para a qual os estudantes no tem mtodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem percepo de que haja um mtodo especf ico para chegar soluo correta."

Continua


Quadro 3 Continuao

... uma atividade organizada que tem o objetivo de contribuir para que os alunos investiguem e interpretem significados inconstantes de indivduos de diferentes culturas. (Dizzoti, 2009, p.36).

... um mtodo sistemtico de ensino que envolve os alunos na aquisio de conhecimentos e de habilidades por meio de um extenso processo de investigao estruturado em torno de questes complexas e autnticas, e de produtos e tarefas cuidadosamente planejados. (Markham et al., 2008).

Conjunto de tarefas complexas, baseadas em questes ou problemas desafiadores, que envolvem os alunos na modelagem, problematizao, tomada de deciso ou atividades investigativas que oferecem a oportunidade de trabalho relativamente autnomo ao longo de um perodo de tempo e culmina em produtos ou apresentaes mais realistas. (Thomas, 2000).

Hernndez (1998) expe que o maior objetivo da organizao dos conhecimentos por projetos levar os alunos a interpretar o que lhes apresentado para que eles de fato compreendam o que esto aprendendo. A compreenso, por sua vez, estaria vinculada a diferentes capacidades, dentre elas a (...) de pesquisar um tema mediante estratgias como explicar, encontrar evidncias e exemplos, general izar , apl icar , estabelecer analogias e representar um tema mediante uma nova forma. (Hernndez, 1998. p.51).

A metodologia de ensino aqui apresentada constitui uma forma de trabalho, em sala de aula, a partir de problemas geradores. Valendo-se da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliao de Matemtica atravs da Resoluo de Problemas, a construo de conhecimentos , re lac ionados a conceitos e contedos matemticos, se realiza de forma mais significativa e efetiva pelos alunos. As experincias, em pesquisas com alunos e atividades de formao de professores em que esta forma de trabalho tem sido utilizada, tm favorecido significativos avanos na compreenso de conceitos e contedos matemticos, e no aprimoramento da prtica docente pelo professor. (Onuchic; Allevato, 2011, p.95).

N a M e t o d o l o g i a d e E n s i n o - A p r e n d i z a g e m - A v a l i a o d e Matemticaatravs da Resoluo de Problemas o problema ponto de partida e, na sala de aula, com a resoluo de problemas, os alunos devem fazer conexes entre diferentes ramos da matemtica, gerando novos conceitos e novos contedos. (Onuchic; Allevato, 2011, p.81).

Segundo Van De Walle (2007), importante perceber que ensinar por meio de problemas ou o ensino baseado na resoluo de problemas no se limita necessariamente a listas de situaes-problema, mas que atividades ou tarefas baseadas em problemas significa problematizar.

Continua


Quadro 3 Continuao

Os projetos de trabalho se constituem uma aproximao sobre o conhecimento escolar vinculado a uma concepo que no valoriza somente a aquisio de contedos, mas tambm o papel do estudante como responsvel por sua aprendizagem. Isso supe aprender a investigar um tema relacionando-o com ideias-chave e diferentes disciplinas. (Hernndez, 1998).

Para Dizotti (2009), os projetos permitem que,por meio de uma problemtica, os alunos explorem, relacionem, aprendam e aprofundem, cada vez mais, seu conhecimento, promovendo uma organizao curricular que ultrapassa as barreiras disciplinares.

Ainda segundo Hernndez e Ventura (1998), a funo de um projeto favorecer a criao de estratgias para a organizao dos conhecimentos escolares de forma que o aluno seja capaz de fazer relao entre os diferentes contedos, interpretar, utilizar e transformar a informao proveniente de diferentes fontes em conhecimento prprio.

uma forma de integrao curricular que se preocupa pela caracterstica de interessante que deve acompanhar arealizao do trabalho nas salas de aula, pela proposta de problemas interessantes que os alunos devem resolver em equipe. (Torres, 1998, p.203).

Segundo Domite (2009 apud Mengali, 2011. p.52) problematizar indica um processo similar ao perguntar e formular problemas. Uma pergunta algo que leva o outro a querer responder; a problematizao um processo frtil de construo de perguntas e respostas.

Mengali (2011) afirma sua tentativa de criar, nos ambientes de aprendizagem, uma comunidade de investigao matemtica, buscando encorajar os alunos a realizar anlises de situaes problemticas, bem como partir delas para problematizar



Percebemos, no estudo sobre projetos e resoluo de problemas, algumas caractersticas, termos comuns e uma sintonia no sentido de uma teoria se apoiar na outra.

Analisando o Quadro 4, destacamos algumas ideias, termos e palavras-chave que se relacionam ao projeto. Vejamos:

significados, significativa; problemas, problemtica, problematizar; investigar, investigao; mtodo, metodologia; questes; tema; relao, contexto, conexo; estratgias; integrao.Em se tratando de resoluo de problemas, observamos que

alguns termos e ideias se repetiram, como: significados, significativa; problemas, problemtica, problematizar; investigar, investigao; mtodo, metodologia; relao, contexto, conexo.Dessa forma, conclumos que os ensinos baseados em projetos

e resoluo de problemas diferem por conta de suas trajetrias, concepes e definies, no entanto, se entrelaam na medida em que ambos se constituem como mtodos de ensino voltados para a problematizao de forma a criar um ambiente de investigao que leve o aluno a ampliar sua compreenso sobre conhecimentos matemticos medida que elabora suas prprias estratgias, con-textualiza e estabelece relaes entre seu conhecimento prvio, suas vivncias e a matemtica.

Assim, tambm entendemos que podemos trabalhar com pro-jetos em uma perspectiva mais ampla, ou seja, como se essa fosse a metodologia que direcionasse nosso trabalho com as diferentes disciplinas (contedos) dos anos iniciais e a resoluo de problemas


ocorrendo em momentos especficos, principalmente, nas aulas para o ensino e aprendizagem de contedos matemticos.

O Quadro 4 traz o desenho do projeto, nesse sentido mais amplo, englobando as vrias disciplinas curriculares e baseado no tema do trimestre estudado que foi Comunicao.

Dentro do projeto Comunicao, vrias unidades de estudo e atividades foram desenvolvidas. Os prximos captulos trazem as quatro grandes unidades relacionadas aos contedos matemticos, que aparecem em destaque no Quadro 5, e integradas com outras disciplinas.


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PArtE 2 rEtrAtoS dE umA SAlA dE AulA

Esta parte do livro dedica-se a partilhar quatro experincias prticas cujo objetivo foi ensinar matemtica por meio de projeto e resoluo de problemas. Diante de tal propsito, a matemtica aparece integrada com temas e subtemas, outras disciplinas e v-rios questionamentos. Como dito na introduo deste livro, cada captulo da Parte 2 se ocupa de uma unidade de estudo. Todos os captulos trazem a mesma estrutura: apresentao dos objeti-vos e contedos matemticos, descrio das aulas e dos resulta-dos dos pr e ps-testes, entrevistas e registros dos alunos. Diante do tema Comunicao, iniciamos o trimestre questionando os alunos sobre O que os nmeros comunicam? para estudarmos Sistema de Numerao Decimal. Utilizamos Meios e Formas de Comunicao para elaborar e estudar grficos e tabelas. Demos continuidade com a questo O que os mapas comunicam? para o trabalho com mapas, distncias, estimativas e unidades de medida linear. Finalizamos o trimestre retornando aos Meios e Formas de Comunicao para estudar adio e subtrao, utilizando uma linha do tempo sobre Meios de Comunicao.

4 o quE oS nmEroS comunicAm?

Essa unidade de estudo teve por objetivo tornar o aluno capaz de:Ler e escrever nmeros at quatro dgitos; Usar marcaes para contagem (tallymarks); Decompor nmeros diversos; Reconhecer o valor posicional at centenas; Identificar algarismos romanos 1 20 (I XX); Contar de: dois em dois, trs, cinco, e dez em dez a partir

de qualquer nmero dado.Alm dos objetivos de Matemtica, essa lio e as demais bus-

caram desenvolver habilidades lingusticas, pois os alunos necessi-tavam opinar, questionar, resolver problemas e fazer descobertas; sendo assim, buscamos desenvolver os seguintes objetivos de lin-guagem oral, aplicveis para ambas as lnguas Ingls e Portugus:

Seguir instrues para completar tarefas; Participar de discusses em sala de aula; Fazer uso de regras para conversao, levantar as mos,

alternar a vez, prestar ateno no falante em busca de informaes especficas;

Responder a perguntas de professores e outros membros do grupo, e formular mais perguntas para maior esclarecimento;


Resumir oralmente o que foi aprendido ou finalizado aps o trmino de uma atividade ou tarefa.

Antes de iniciar qualquer atividade, os alunos realizaram o pr--teste sobre nmeros, mais especificamente: representao, noo e sequncia numrica. A professora de Portugus fez a leitura dos exerccios, sem explicaes e interpretaes gerais ou individuais. Aps a leitura, os alunos, individualmente, realizaram os exerccios.

O pr-teste j era uma ferramenta pedaggica utilizada pela escola para auxiliar o professor a identificar o conhecimento prvio de seus alunos. Baseado nos resultados do pr-teste, o professor adequava o foco de suas aulas. O pr-teste tambm o que Her-nndez e Ventura (1998) chamam de avaliao inicial, que aparece no sexto passo do guia proposto pelos autores para a organizao de um projeto.

As aulas sobre nmeros

Aula 1

Aps a realizao do pr-teste, iniciamos a unidade sobre nmeros com a pergunta: O que os nmeros comunicam?.1 Ela foi feita em ingls e a atividade dirigida pela professora--pesquisadora, em Lngua Inglesa. De incio, os alunos disseram no saber responder tal questo.

Iniciou-se, ento, uma conversa sobre como podemos nos co-municar, se era somente por meio de palavras, texto e fala ou se havia outras formas de comunicao. Os alunos mencionaram a linguagem de sinais como sendo uma forma de se comunicar sem utilizar a fala e com isso fomos chegando a outras formas de comunicao, como a expresso corporal e o desenho, diferenciando linguagem verbal de no verbal, at voltarmos para a matemtica.

1 What do numbers communicate?.


Quando a professora perguntou a idade de um dos alunos, escreveu a idade dele na lousa e perguntou novamente o que aquele nmero estava comunicando, todos responderam que estava comunicando a idade de algum e, com isso, comearam a surgir ideias que res-pondiam a questo inicial: O que os nmeros comunicam?.

Os alunos logo concluram que, se um nmero poderia comu-nicar a idade de uma pessoa, poderia tambm comunicar uma srie de outras informaes. Eles se empolgaram bastante pensando em uma variedade de informaes que poderiam ser comunicadas por meio de nmeros. Conforme os alunos expunham suas ideias, a professora as anotava em um cartaz.

Percebemos que, inicialmente, os alunos no tinham a resposta para a pergunta, dessa forma, tinham um problema, pois, como expe Onuchic (1999), um problema tudo aquilo que no se sabe fazer, mas que se est interessado em resolver. Ocorreu o que Bittar (2005, p.23) tambm chama de uma parada para pensar sobre a proposta, pois, como expe os PCNs (1997, p.33), a soluo no estava disponvel de incio.

Os alunos se envolveram na resoluo de um problema que, por sua vez, estava integrado com um tema, o qual estava regendo todo trimestre, isso fez com a Matemtica no se isolasse, mas mo-bilizou uma srie de habilidades lingusticas e conhecimentos sobre meios e formas de comunicao que permitiram que os alunos se aproximassem da matemtica e que percebessem essa disciplina de forma mais significativa.

Como nossos objetivos eram voltados para o estudo dos n-meros, fomos buscar nmeros que pudessem comunicar algo a esses alunos e que tivessem algum significado para eles, pois, de acordo com o PCN, os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de organizar os contedos de forma a lhes conferir significado. (Brasil, 1997, p.26). O projeto Comunicao gerou a necessidade de encontrarmos alguma cone-xo entre a matemtica e o tema. Encontramos uma possibilidade discutindo formas de comunicao e explorando o nmero como forma de comunicar algo.


Aula 2

Na segunda aula, a atividade foi baseada na questo: E antes dos algarismos existirem, como as pessoas registravam quantidades?.2 Os alunos pensaram por um tempo e a maioria respondeu que era usando os dedos. Ento, a professora questionou novamente sobre como era feito o registro se no havia nmeros. A resposta no veio de imediato, ento, pedimos para os alunos pensarem em um nmero e registr-lo sem usar os algarismos. De incio, eles resistiram um pouco, dizendo que no era possvel, at um aluno perguntar se poderia usar o material base 10 (ma-terial dourado); a pergunta desse colega foi disparadora de ideias, pois, aps descobrirem que desenhar certa quantidade com o ma-terial base 10 era uma possibilidade, comearam a surgir outras, como o uso de bolinhas e desenhos.

Alm de ter exigido uma parada para pensar, como expe Bittar (2005), vemos essa pergunta como um exemplo de proble-ma aberto. De acordo com Allevato (2005), os problemas abertos do chance para que a pessoa faa escolhas, pois admite vrias es-tratgias para se obter a resposta. Depois que os alunos compreen-deram o problemas, cada um selecionou uma estratgia diferente para registrar um determinado nmero, como observamos nas Fi-guras 3 e 4.

Figura 3 Unidades para a contagemFonte: Minatel (2014, p.69).

2 And before numerals, how did people count and record quantities?.


Figura 4 Base 10 para contagemFonte: Minatel (2014, p.69).

Essa foi outra forma de problematizar o contedo sobre nmeros. Ao invs de contar simplesmente uma histria dos nmeros ou partir logo para exerccios que os alunos precisassem completar sequ-ncia numrica, entre outros, pedimos, primeiro, que os alunos se colocassem na situao de pessoas que viveram em um tempo sem os algarismos. Foi uma oportunidade tambm para discutir a diferena entre nmeros e algarismos.

Aula 3

Aps a discusso e vivncia inicial, utilizamos o vdeo His-tria dos nmeros Das pedrinhas ao computador3 para ilustrar um pouco da histria e para auxiliar os alunos a perceberem que viver sem algarismos foi algo que realmente aconteceu, e que a humanidade precisou inventar uma forma para facilitar o registro de quantidades.

Aps o vdeo, conversamos sobre as possibilidades de conta-gem e registro. Conforme discutamos, a professora fazia algumas

3 Disponvel em: . Acesso em: 17 dez. 2014.


anotaes em um cartaz (Figura 5) sobre o uso de marcaes (tally-marks) em ossos e galhos, uso de agrupamentos, base 10, at che-garmos aos algarismos e ao nosso sistema de numerao decimal.

Figura 5 Anotaes da professora sobre o vdeoFonte: Minatel (2014, p.70).

Ao percorrermos o caminho de fazer marcaes em ossos, de-senhar dezenas e unidades at a representao numrica, os alu-nos foram concluindo que os algarismos facilitavam o registro da contagem.

Aula 4

Dando continuidade, conversamos sobre outros sistemas de numerao e sobre as questes: Por que nosso sistema de nume-rao chamado Sistema de Numerao Decimal ou base 10? e Existe algum outro sistema de numerao?

Baseado nessas questes, em grupos, os alunos tiveram em torno de 20 minutos para conversar com os colegas e consultarem


alguns livros com a finalidade de descobrir informaes sobre o sistema de numerao romano e egpcio. Aps as descobertas e discusses em grupo, proporcionamos a partilha das descobertas e para comentrios. Durante a partilha, perguntamos se algum j havia visto nmeros romanos ou egpcios, tentando aproximar esse contedo matemtico da vida real, e alguns alunos falaram de rel-gios e numerao de captulos de livros com nmeros romanos. Na partilha, tambm, a maioria dos alunos enfocou a descoberta dos valores dos smbolos e letras. No nos aprofundamos no contedo e na discusso, pois nosso objetivo era que os alunos conhecessem outras possibilidades de se registrar quantidades e que conheces-sem o valor de alguns nmeros romanos.

Por termos como objetivo tornar os alunos capazes de Identificar algarismos romanos 1 20 (I XX), enfocamos no sistema romano e, usando a lousa digital do laboratrio de Cincias, jogamos cole-tivamente um jogo da memria (Figura 6) sobre nmeros romanos (http://www.smartkids.com.br/jogos-educativos/jogo-da-memo-ria-numeros-romanos.html). Alguns alunos pediram para praticar em casa e levaram o endereo de acesso ao jogo.

Figura 6 Tela do jogo da memria sobre nmeros romanosFonte: Minatel (2014, p.71).


Registros dos alunos sobre nmeros

Aps essas primeiras atividades integradas com o tema Comu-nicao e conduzidas por meio do ensino via resoluo de proble-ma, os alunos realizaram o registro e a prtica do contedo sobre nmeros no dirio e no caderno de matemtica. Depois das discus-ses sobre nmeros, a professora-pesquisadora props o registro, utilizando o material base 10 seguido dos algarismos, de alguns nmeros que ela ditou.

Podemos notar que o desenho da aluna foi uma aluso ao ma-terial utilizado. Tanto a dezena quanto a centena no foram de-senhadas com a quantidade exata de unidades. Discutimos isso com os alunos, o que os ajudou a reconhecer quo mais fcil era registrar quantidades utilizando algarismos, pois desenhar com detalhes centenas e dezenas exigia um tempo maior.

Outro registro feito nos cadernos de matemtica dos alunos foi o de exerccios de prtica sobre os contedos estudados. Nas Figuras 7, 8 e 9, observamos alguns exemplos de exerccios realizados.

Observa-se na Figura 7 o exemplo de um exerccio bsico de contagem e comparao de quantidades. Os alunos tinham que contar os diferentes conjuntos de objetos e colorir aqueles com a mesma quantidade.

Por fim, a Figura 9 traz o exemplo de um exerccio relaciona-do ao sistema de numerao decimal, utilizando nmeros maiores com quatro dgitos.


Figura 7 Lista de exerccios #1 sobre contagemFonte: Minatel (2014, p.73).

Ressaltamos que esses exerccios estavam voltados para a prti-ca do conhecimento matemtico. A aprendizagem da matemtica j deveria ter ocorrido durante as aulas problematizadas e integradas com o tema. No entanto, tnhamos alunos que eram atingidos pelo ensino por meio de projetos e resoluo, sendo assim quan-do chegavam s listas de exerccio eles apresentavam dificuldades. Para esses alunos com dificuldades, tnhamos as entrevistas e mini-lies que sero discutidas posteriormente.


Figura 8 Lista de exerccios #2 sobre contagemFonte: Minatel (2014, p.73).

Assim como os registros nos cadernos e os exerccios nos indica-vam quais alunos haviam aprendido o contedo e eram capazes de aplicar o conhecimento de forma independente em outro contexto; o envolvimento, a participao, os questionamentos e a expresso corporal e facial que os alunos faziam durante as aulas tambm nos davam evidncias da aprendizagem de cada um.

A Figura 9 traz o exemplo de um exerccio um pouco mais ela-borado de contagem baseada em agrupamentos.


Figura 9 Lista de exerccios #3 sobre nmerosFonte: Minatel (2014, p.73).

Em se tratando de prtica, havia, tambm, a prtica de mate-mtica em casa por meio de exerccios que eram realizados no site IXL (). Cada aluno tinha seu login e senha, e, para o professor, o site oferecia uma srie de relatrios que per-mitiam acompanhar o desenvolvimento da turma e de cada aluno.

Todas as sextas-feiras, os alunos recebiam uma tarefa de ma-temtica com 50 exerccios para realizarem em casa durante o final de semana ou durante a semana, de acordo com a escolha de cada aluno. Os exerccios eram liberados s sextas-feiras e os alunos tinham at a prxima sexta pela manh para realizar o mnimo soli-citado de 50 exerccios. A maioria dos alunos fazia mais do que 50


exerccios, dizendo que gostavam de matemtica ou de brincar no computador.

As Figuras 10, 11 e 12 so exemplos de atividades do site IXL que foram realizadas pelos alunos em casa e estavam relacionadas com o contedo matemtico do trimestre estudado em sala, nesse caso, nmeros.

Figura 10 Exerccio on-line sobre contagem4

Fonte: .

Figura 11 Exerccio on-line sobre contagem de 2 em 25

Fonte: .

4 Traduo da imagem: Primeiro ano Reviso de contagem 0 a 10. Quantos pssaros h na imagem? Submeter.

5 Traduo da imagem: Segundo ano Sequncias de contagem alternada. Digite o nmero que est faltando nessa sequncia. Submeter.


Figura 12 Exerccio on-line sobre valor posicional6

Fonte: .

Outras formas de registro utilizadas pelos alunos foram os dirios de matemtica ou Math Diary, como eram chamados pela turma.

O registro nos dirios foi outra oportunidade para que a professo-ra-pesquisadora tivesse mais evidncias de como estava ocorrendo a aprendizagem matemtica. Lendo o dirio dos alunos, percebamos o que havia sido mais marcante de matemtica naquele dia, para cada um dos alunos, e o que e como eles estavam compreendendo tal contedo matemtico.

O Quadro 5 apresenta a reflexo realizada por uma aluna em seu dirio de matemtica.

No caso dessa aluna, ao final do dia, os pontos a serem destaca-dos foram o vdeo, a quantidade de operaes que ela havia feito na atividade de Math Facts e quantos dias letivos j tinham se passado. Sobre o vdeo, a aluna compreendeu que a contagem comeou com pedras at chegar aos algarismos que usamos hoje. O comentrio sobre os dias letivos e o Math Facts pode ter ficado na memria dessa aluna por serem atividades de rotina realizadas diariamente.

6 Traduo da imagem: Terceiro ano Valor de um dgito. Que nmero subli-nhado tem valor igual a 80? Submeter.


Quadro 5 Dirio de matemtica: registro sobre nmeros

Texto do aluno Reescrita e traduo

28/02Dear diary,Today we watched a video about numbers, it started with rocks and it finished with numerals.We have been in school for 19 days! I did 51 in Math facts.

28/02Querido dirio,Hoje ns assistimos a um vdeo sobre nmeros, comeou com pedras eterminou com algarismos.Ns j tivemos 19 dias de aula! Eu fiz 51 no Math Facts.


No entanto, descobrimos que, com o dirio de matemtica, muitos deles resumiam a aprendizagem matemtica ao Math Facts. Analisando os dirios de um determinado dia, dos 20 alunos que realizaram os dirios, todos comentaram sobre o Math Facts. Al-guns alunos, inclusive, escreviam somente sobre essa atividade. Ao percebermos essa reduo da matemtica atividade de Math Facts, conversamos com os alunos estimulando o resgate e a escrita de outros episdios matemticos que ocorriam durante o dia.

Aos poucos, os alunos foram escrevendo mais em seus dirios, apresentando mais descries e detalhes s suas reflexes, e o Math Facts foi aparecendo menos; s vezes, nem aparecia.

O uso e a anlise dos dirios de matemtica foram muito positi-vos por proporcionarem maiores evidncias sobre a aprendizagem dos alunos e a mudana de paradigma com relao aprendiza-


gem matemtica. Foi um ganho muito significativo, em termos de ensino e aprendizagem, verificar que alunos que produziam registros muito breves ou suas reflexes resumidos atividade de Math Facts, ao longo trimestre, foram realizando reflexes mais completas e descritivas.

Os pr e ps-testes sobre nmeros

Os pr e ps-testes compuseram um conjunto de evidncias sobr

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