Módulo 2 – Matemática e suas Tecnologias

Aula 13 – Funções Afim

Gabaritos Comentados dos Questionários Lista de Exercícios 1 01) (UNESP 2007) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:

a) f(x) = –2x² – 2x + 4. b) f(x) = x² + 2x – 4. c) f(x) = x² + x – 2. d) f(x) = 2x² + 2x – 4. e) f(x) = 2x² + 2x – 2. Resolução: Se uma função quadrática admitir raízes, isto é, se ∆ ≥ 0, então f(x) pode ser decomposta no produto do coeficiente a por dois fatores do 1° grau, diferentes ou iguais ax² + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) onde x1 e x2 são as raízes zeros da função. a.(x + 2).(x – 1) a.(x² + 2x – x – 2) a.(x² + x – 2) As equações das alternativas A e D em suas formas fatoradas são: A: -2.(x² + x – 2) D: 2.(x² + x – 2) Ambas as alternativas possuem equações possíveis, mas como a concavidade da parábola está voltada para cima, a > 0, ou seja, a alternativa D está correta. 02) (UFAM 2004 adaptado) Em relação ao gráfico da função f(x) = -x² + 7x - 10, pode-se afirmar que: a) Intercepta o eixo das abscissas em P(5,0) e Q(-5,0). b) Seu vértice é o ponto (7/2,9/4).

c) É uma parábola de concavidade voltada para cima. d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas. e) Intercepta o eixo das ordenadas em R(0,10). Resolução: Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Xv = -7 / 2(-1) Xv = -7 / -2 Xv = 7/2 Yv = - [7² - 4.(-1).(-10)] / 4(-1) Yv = - [49 - 40] / -4 Yv = -9 / -4 Yv = 9/4 03) (UFPB 2004) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função f : [–2 , 2 ] → R.

O número de soluções da equação f(x) =2 é: a) um. b) dois. c) três. d) quatro. e) cinco. Resolução:

Traçando a reta da imagem no ponto y = 2, podemos ver que o domínio da função possui 4 pontos que possuem como imagem y = 2. 04) (UFPB 2000)

O gráfico representa a parábola de equação: a) y = – x²+ 2x + 3 b) y = 2x² + 4x – 3 c) y = – 2x² + 8x + 4

d) y = – (x + 3)(x – 1) + 3 e) y = – x² – 2x + 3 Resolução: Se uma função quadrática admitir raízes, isto é, se ∆ ≥ 0, então f(x) pode ser decomposta no produto do coeficiente a por dois fatores do 1° grau, diferentes ou iguais ax² + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) onde x1 e x2 são as raízes zeros da função. a.(x + 3).(x – 1) a.(x² + 3x – x – 3) a.(x² + 2x – 3) A equação da alternativa E em sua forma fatorada é: E: -1.(x² + 2x – 3) Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, a < 0, ou seja, a alternativa E está correta. 05) (ESPCEX 2005) A quantidade de combustível gasto por um veículo blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo gráfico abaixo. Qual a função que representa o consumo C(d) em relação à distância d percorrida?

a) C(d) = 0,75d. b) C(d) = 0,25d. c) C(d) = 1,75d. d) C(d) = 1,25d. e) C(d) = 1,20d. Resolução: f(x) = a.x + b 75 = a.100 + 0 a = 0,75 C(d) = a.d C(d) = 0,75.d 06) (ESPCEX 2002) O gráfico que melhor representa a parábola da função y = px2 + px − p,

p R*, é:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução: Uma função chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c (com a ≠ 0) tal que f(x) = ax² + bx + c, para todo x real. Se p > 0, a > 0 e c < 0, ou seja, a concavidade da parábola está voltada para cima e o gráfico intercepta o eixo das ordenadas na parte negativa. Se p < 0, a < 0 e c > 0, ou seja, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o gráfico intercepta o eixo das ordenadas na parte positiva. O único gráfico que está de acordo com uma dessas condições é o gráfico da alternativa A, que tem concavidade voltada para cima e intercepta o eixo y na parte negativa. 07) (UEPB 2009) O ponto de máximo de um projétil que descreve a trajetória parabólica indicada na figura abaixo é igual a:

a) (2,27/7). b) (2,25/7). c) (2,27/5). d) (2,5). e) (2,24/5). Resolução: Se uma função quadrática admitir raízes, isto é, se ∆ ≥ 0, então f(x) pode ser decomposta no produto do coeficiente a por dois fatores do 1° grau, diferentes ou iguais ax² + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) onde x1 e x2 são as raízes zeros da função. a.(x + 1).(x – 5) a.(x² - 5x + x – 5) a.(x² - 4x – 5) Analisando o gráfico podemos concluir que: - c é ponto em que a parábola intercepta o eixo y, ou seja, y = 3. - como a concavidade da parábola está voltada para baixo, a < 0. A partir dessas informações, temos que: a.(-5) = 3 a = -3/5 -3/5.(x² - 4x – 5) = 0 -3/5x² + 12/5x + 3 = 0 Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Xv = -12/5 / 2.(-3/5) Xv = -12/5 / -6/5 Xv = 2 Yv = - [(12/5)² - 4.(-3/5).3] / 4(-3/5) Yv = - [144/25 + 36/5] / -12/5 Yv = - [144/25 + 180/25] / -12/5

Yv = - 324/25 / -12/5 Yv = 27/5 08) (ENEM 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então: a) M(x) = 500 + 0,4x. b) M(x) = 500 + 10x. c) M(x) = 510 + 0,4x. d) M(x) = 510 + 40x. e) M(x) = 500 + 10,4x. Resolução: Em caso de atraso, há a cobrança de uma multa fixa de R$ 10,00 mais R$ 0,40 por dia de atraso. M(x) = 500 + 10 + 0,4x M(x) = 510 + 0,4x 09) (ENEM 2004)

Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, respectivamente, a) R$ 300,00 e R$ 500,00. b) R$ 550,00 e R$ 850,00. c) R$ 650,00 e R$ 1000,00. d) R$ 650,00 e R$ 1300,00.

e) R$ 950,00 e R$ 1900,00. Resolução: Dado que a o valor do salário é dado pela equação S(x) = 300 + 0,50.x, sendo que x é igual a quantidade de metros quadrados vendidos, temos que: Mês 1: x = 500.1,40 x = 700 S(700) = 300 + 0,50.700 S(700) = 300 + 350 S(700) = 650,00 Mês 2: x = 700.2 x = 1400 S(1400) = 300 + 0,50.1400 S(1400) = 300 + 700 S(1400) = 1000,00 10) (UNESP 2007) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17.h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3).h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2 975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é: a) 2 501. b) 2 601. c) 2 770. d) 2 875. e) 2 970. Resolução: f(h) = 17.h 2975 = 17.hP

hP = 175 cm hP = hC + 5 175 = hC + 5 hC = 170 g(h) = (15,3).h. g(170) = (15,3).170 g(170) = 2601 kcal Lista de Exercícios 2

01) (UFAC 2004) Um agiota empresta R$ 500,00 a uma taxa de 8% ao mês, a juros simples. A função J(t) que dá o valor dos juros no tempo t, é: a) J(t) = 5t.

b) J(t) = 150 + 5t. c) J(t) = 100+7,5t. d) J(t) = 40t. e) J(t) = 500 + 40t. Resolução: 100% ------------- R$ 500,00 8% ------------- X X = R$ 40,00 f(x) = a.x + b J(t) = 40.t + 0 J(t) = 40.t 02) (ESPM 2009) As placas de publicidade de uma certa campanha deverão obedecer aos seguintes critérios: A) ter forma retangular; B) ter área igual a 10 m²; C) o comprimento deve exceder o dobro da largura em pelo menos 1 metro. Podemos afirmar que a largura de cada placa poderá ser, no máximo, igual a: a) 1,40 m. b) 1,60 m. c) 1,80 m. d) 2,00 m. e) 2,20 m. Resolução:

Área = x.(2x + 1) 10 = 2x² + x 2x² + x – 10 = 0 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (1)² - 4.2.(-10) ∆ = 1 + 80 ∆ = 81 x1 = (-1 + 9) / 2.2 x1 = 8 / 4 x1 = 2 x2 = (-1 - 9) / 2.2 x2 = -10 / 4 x2 = -2,5 Como não existe medida negativa, x = 2.

03) (UFF 2005) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito abaixo. Se p é um número primo e se 2p + 1 também é um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain. Pode-se afirmar que é primo de Germain o número: a) 7. b) 17. c) 18. d) 19. e) 41. Resolução: De acordo com o enunciado, para afirmar que um número é primo de Germain, p e f(p) têm que ser números primos, sendo que f(p) é dado pela função f(p) = 2p + 1. a) 7 é primo f(7) = 2.7 + 1 = 15 (não é primo) b) 17 é primo f(17) = 2.17 + 1 = 35 (não é primo) c) 18 não é primo, portanto não pode ser primo de Germain. d) 19 é primo f(19) = 2.19 + 1 = 39 (não é primo) e) 41 é primo f(41) = 41.2 + 1 = 83 (é primo) 04) (UNINOVE 2007/2) A planta baixa de uma casa térrea previa uma construção retangular de 30 m de comprimento por 20 m de largura, que posteriormente seria dividida em cômodos. Devido à irregularidade do terreno, o proprietário optou por modificar o projeto inicial, aumentando a largura em x metros e diminuindo o comprimento em x metros. Para que a área de construção seja a maior possível, o valor de x deve ser de: a) 4 m. b) 5 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10 m. Resolução:

Área = (30 – x).(20 + x) Área = 600 – 20x + 30x - x² Área = -x² + 10x + 600 Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Xv = -10 / 2(-1) Xv = -10 / -2 Xv = 5 05) (ESPCEX 2002) A figura mostra uma função quadrática, definida por f (x) = −x² + 6x + 7, e uma função afim g(x). O ponto V é o vértice da parábola e P é uma raiz da função f(x). O gráfico de g(x) passa por esses dois pontos. O valor da ordenada onde o gráfico da função g(x) corta o eixo y é:

a) 2. b) 7/2. c) 4. d) 9/2. e) 6. Resolução: Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Xv = -6 / 2(-1) Xv = -6 / -2 Xv = 3 Yv = - [6² - 4.(-1).7] / 4(-1) Yv = - [36 + 28] / -4 Yv = -64 / -4 Yv = 16 Ainda na função f(x), temos: P (x,0) 0 = −x² + 6x + 7

∆ = b² - 4.a.c ∆ = (6)² - 4.(-1).7 ∆ = 36 + 28 ∆ = 64 x1 = (-6 + 8) / 2.(-1) x1 = 2 / -2 x1 = -1 x2 = (-6 - 8) / 2.(-1) x2 = -14 / -2 x2 = 7 Nesse caso o valor de x é negativo, ou seja, x = -1.

Aplicando o conceito de semelhança de triângulos, temos: 1 / x = 4 / 16 4x = 16 x = 4 06) (ESPCEX 2001) Uma função quadrática é tal que seu gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada -35, suas raízes têm soma igual a 6 e o produto igual a 7. O valor máximo dessa função é: a) 10. b) -5. c) 100. d) -35. e) 20. Resolução: Se uma função quadrática admitir raízes, isto é, se ∆ ≥ 0, então f(x) pode ser decomposta no produto do coeficiente a por dois fatores do 1º grau, diferentes ou iguais ax² + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) onde x1 e x2 são as raízes zeros da função. a.(x – x1).( x – x2) a.(x² - x.x1 – x.x2 + x1.x2) a.[x² - x(x1 + x2) + x1.x2] Dado que x1 + x2 = 6 e x1.x2 = 7

a.[x² - x(6) + 7] a.(x² - 6x + 7) O ponto c é ponto em que a parábola intercepta o eixo y, ou seja, c = -35. A partir dessa informação, temos que: a.(7) = -35 a = -5 -5.(x² - 6x + 7) = 0 -5x² + 30x - 35 = 0 Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Yv = - [(30)² - 4.(-5).(-35)] / 4(-5) Yv = - [900 - 700] / -20 Yv = - [200] / -20 Yv = -200 / -20 Yv = 10 07) (UEPB 2006) Um jogador chuta uma bola que descreve no espaço uma parábola dada pela equação: y = –3t² + 150t – 288. Dizemos que a bola atinge o ponto mais alto de sua trajetória quando t for igual a: a) 35. b) 20. c) 30. d) 25. e) 40. Resolução: Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Xv = -150 / 2.(-3) Xv = -150 / -6 Xv = 25 08) (ESPCEX 2007) Dada a função f : R → R , tal que f(x) = x² - 7x + 10, a única afirmação verdadeira a respeito de f(x) é: a) f(-2) = -28. b) a menor ordenada que f atinge é 2,25. c) a função se anula para x = -2 ou para x = -5. d) para x > 5, enquanto x cresce, f(x) também cresce. e) dobrando x, f(x) também dobra.

Resolução:

Sendo a > 0, a parábola está voltada para cima. A partir do ponto do vértice, conforme o valor de x aumenta, o valor de y ou f(x) também aumenta. Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Xv = -(-7) / 2.1 Xv = 7 / 2 Xv = 3,5 Ou seja, para todo valor de x > 3,5, o valor de f(x) é crescente, abrangendo também a condição x > 5. 09) (UFAC 2004) Estão representados os gráficos das funções f(x) = ax²+ bx e g(x) = 2x + 2, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Os gráficos de f e g se tocam em dois pontos, sendo que um deles pertence ao eixo x. Os valores de a e b são:

a) a = 1 e b = - 4. b) a = 4 e b = 0. c) a = - 4 e b = 4. d) a = -1 e b = 1.

e) a = b = 4. Resolução: Um dos pontos em que os gráficos se cruzam é mostrado no gráfico acima. Neste ponto f(x) = g(x) = y = 0. Utilizando a função g(x) = 2x + 2: 2x + 2 = 0 → x = -2/2 → x = -1 Substituindo o valor de x na função f(x) = ax² + bx: a . (-1)² + b . (-1) = 0 → a – b = 0 → a = b Como temos o valor do y do vértice marcado no gráfico podemos utilizar a fórmula do yv: yv = - ∆/4a ∆ = b³ - 4 . a . 0 = b² yv = -b²/4a → -1 = -b²/4a Como a = b, temos que: -1 = -a²/4ª → -a = -4 → a = 4. Assim, temos que a = b = 4. 10) (UEG 2004/2) A função f(x) = x² + 4x + 2b possui duas raízes reais e distintas se, e somente se: a) b for maior ou igual a 2. b) b for menor que 2. c) b for qualquer número real. d) b for qualquer número negativo. e) b estiver entre 0 e 2. Resolução: Para que a função tenha duas raízes reais e distintas, ∆ > 0. ∆ > 0 b² - 4ac > 0 (4)² - 4.1.2b > 0 16 – 8b > 0 8b < 16 b < 2 Lista de Exercícios 3 01) (FMCA 2006) O lucro mensal de uma empresa, em milhares de reais, é dado por L = –a² + 20a – 5, em que a é o número de unidades do produto vendidas mensalmente. O lucro máximo mensal dessa empresa, em milhares de reais, será: a) 95. b) 105. c) 150. d) 205. e) 250.

Resolução: Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Yv = - [(20)² - 4.(-1).(-5)] / 4(-1) Yv = - [400 - 20] / -4 Yv = -380 / -4 Yv = 95 02) (PUC-RS 2005) As representações geométricas das funções definidas por f(x) = x² – 4x + 3, g(x) = 2x + 3 e h(x) = –1 estão na figura abaixo. A área do triângulo ABC é:

a) 3. b) 4. c) 8. d) 12. e) 16. Resolução: f(x) = -1 x² - 4x + 3 = -1 x² - 4x + 4 = 0 ∆ = (-4)² - 4.1.4 ∆ = 16 – 16 ∆ = 0 x = [-(-4) + 0] / 2 x = 4 / 2 x = 2, ou seja, C(2, -1) g(x) = -1 2x + 3 = -1 2x = -4 x = -2, ou seja, B(-2, -1)

A = (b.h) / 2 A = (4.4) / 2 A = 16 / 2 A = 8 03) (FUVEST 2008) A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x² + (1+ 5m - 3m²)x + (m² + 1) = 0 é igual a: a) 5/2. b) 3/2. c) 0 d) -3/2 e) -5/2. Resolução: Se x = 1 é solução, temos que: (1)² + (1 + 5m - 3m²).1 + (m² + 1) = 0 1 + 1 + 5m - 3m² + m² + 1 = 0 -2m² + 5m + 3 = 0 ∆ = (5)² -4.(-2).3 ∆ = 25 + 24 ∆ = 49 m1 = -5 + 7 / 2.(-2) m1 = -5 + 7 / -4 m1 = 2 / -4 m1 = -1/2 m2 = -5 – 7 / 2.(-2) m2 = -12 / -4 m2 = 3 m1 + m2 = -1/2 + 3 m1 + m2 = -1/2 + 6/2 m1 + m2 = 5/2 04) (PUC-RS 2005) A representação que segue é da função f, dada por f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. O valor de (b² – 4ac) + (a + b + c) é:

a) 0. b) 1. c) 2. d) –2. e) –1. Resolução: Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Yv = 0 0 = -∆ / 4a ∆ = 0, ou seja, b² - 4.a.c = 0 f(x) = ax² + bx + c f(1) = 0 a.(1)² + b.1 + c = 0 a + b + c = 0 Portanto, (b² – 4ac) + (a + b + c) = 0 + 0 = 0 05) (UFPEL 2007/2) As funções f (x), g(x) e h(x) são funções reais, tais que f (x) = x + 2, g(x) = 1 − x e h(x) = f (x).g(x) . Com base nas funções acima, é correto afirmar que o gráfico que representa a função h(x) é:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução: h(x) = f (x).g(x) h(x) = (x + 2).(1 − x) h(x) = x – x² + 2 – 2x h(x) = -x² - x + 2 ∆ = (-1)² -4.(-1).2 ∆ = 1 + 8 ∆ = 9 x1 = -(-1) + 3 / 2.(-1) x1 = 1 + 3 / -2 x1 = 4 / -2 x1 = -2 x2 = -(-1) - 3 / 2.(-1) x2 = 1 – 3 / -2 x2 = -2 / -2 x2 = 1 * a = -1 (concavidade para baixo) * c = 2 (ponto em que o gráfico intercepta o eixo y) * x1 = -2 e x2 = 1 (pontos em que o gráfico intercepta o eixo x) Com esses dados, podemos concluir que o gráfico representado é o da alternativa D. 06) (PUC–RJ 2005) As duas soluções de uma equação do 2º grau são – 1 e 1/3. Então a equação é: a) 3x² – x – 1 = 0. b) 3x² + x – 1 = 0. c) 3x² + 2x – 1 = 0. d) 3x² – 2x – 1 = 0. e) 3x² – x + 1 = 0. Resolução: Se uma função quadrática admitir raízes, isto é, se ∆ ≥ 0, então f(x) pode ser decomposta no produto do coeficiente a por dois fatores do1º grau, diferentes ou iguais ax² + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) onde x1 e x2 são as raízes zeros da função. a.(x + 1).(x – 1/3) a.(x² + x – 1/3x – 1/3)

a.(x² + 2/3x – 1/3) A equação da alternativa C em sua forma fatorada é: C: 3.(x² + 2/3x – 1/3), ou seja, equivalente ao valor encontrado. 07) (UFPEL 2007/2) Muitos brasileiros sonham com empregos formais. Na falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso, uma família decidiu montar uma malharia. O gráfico abaixo mostra o custo mensal de produção dessa empresa.

Sabendo que as peças são vendidas por R$ 19,50 e que a família almeja um lucro mensal de R$ 4200,00, o número de peças produzidas e vendidas, para atingir esse fim, deverá ser: a) 215. b) 400. c) 467. d) 525. e) 494. Resolução: Lucro = Receita – Custo, ou em forma de funções, L(x) = R(x) – C(x). R(x) = 19,50.x C(x) = 411/49.x C(x) = 9,00.x L(x) = 19,50.x – 9,00.x L(x) = 10,50.x 4200,00 = 10,50.x x = 400 08) (PUC-MG 2007) O número N de atletas classificados para a disputa de certa prova final pode ser calculado por meio da equação N = -x² + 5x -1. Observando-se que N tem de ser um número natural, pode-se afirmar que o maior número de atletas que se classificam para essa prova final é igual a: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5.

Resolução: Usando as propriedades do vértice da parábola, temos que:

Yv = - [(5)² - 4.(-1).(-1)] / 4(-1) Yv = - [25 - 4] / -4 Yv = - [21] / -4 Yv = -21 / -4 Yv = 5,25 Como N é um número natural, o maior número de atletas que se classificaram foi igual a 5. 09) (UFLA 2005) Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitrogenado ao solo, plantas de uma determinada espécie reagem a esse fertilizante, apresentando um desenvolvimento em altura y, conforme representado.

O valor p corresponde à altura das plantas quando nenhuma quantidade de fertilizante é adicionada, e m é a quantidade de fertilizante com a qual as plantas atingem altura máxima. Acima de m, o fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em n, as plantas não chegam a crescer. Supondo que a relação entre y e x se dá através da função y = -0,02x² + 0,2x + 1,5 sendo y expresso em metros e x, em dezenas de quilos por hectare, então, os valores de p, m e n são, respectivamente: a) –5 ; 5 ; 15. b) 0 ; 10 ; 20. c) 1,5 ; 5 ; 15. d) 0 ; 7,5 ; 15. e) 1,5 ; 5 ; 20. Resolução: O ponto p é ponto em que a parábola intercepta o eixo y, ou seja, quando x = 0: p = y(0) = -0,02.(0)² + 0,2.0 + 1,5 p = 1,5 O ponto m é o Xv da parábola: m = - b / 2a = -0,2 / [2.(-0,02)] m = -0,2 / -0,04 m = 5 O ponto n é ponto em que a parábola intercepta o eixo x, ou seja, quando y = 0:

-0,02x² + 0,2x + 1,5 = 0 -2x² + 20x + 150 = 0 (para facilitar os cálculos, multiplicamos os dois lados por 100) ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (20)² - 4.(-2).150 ∆ = 400 + 1200 ∆ = 1600 x1 = (-20 + 40) / 2(-2) x1 = 20 / -4 x1 = -5 x2 = (-20 + -40) / 2(-2) x2 = -60 / -4 x2 = 15 Nesse caso, n > 0, ou seja, n = 15. 10) (UECE 2007.2) Se u e v são as soluções da equação 6x + x-1 – 5 = 0, então a expressão u + v – uv é igual a:

a)

b)

c)

d) Resolução: Desenvolvendo a equação dada temos: 6x + x-1 – 5 = 0

Resolvendo a equação de 2° grau temos:

Adicionando os valores na equação u + v – uv, temos: