Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção

Equações e Funções Trigonométricas

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2013.2

Equações Trigonométricas

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Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus membros. Exemplos: Como as equações trigonométricas possuem uma gama muito grande de variedades, vamos fazer o estudo dos principais tipos. Salvo indicação em contrário, usaremos x como incógnita.

cos (2x) = -cos(x) sen (x) = 𝟏

𝟐 tg (x) =

𝝅

𝟒

Relações Trigonométricas

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As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas. Algumas relações são importantes como:

𝐬𝐞𝐧𝟐 (𝐱) + 𝐜𝐨𝐬² (𝐱) = 1

𝐭𝐠 (𝐱) = 𝐬𝐞𝐧 (𝐱)

𝐜𝐨𝐬 (𝐱)

𝐜𝐨𝐭𝐠 (𝐱) = 𝟏

𝐭𝐠 (𝐱) =

𝐜𝐨𝐬 (𝐱)

𝐬𝐞𝐧 (𝐱)

𝐬𝐞𝐜 (𝐱) = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 (𝐱) 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =

𝟏

𝐬𝐞𝐧 (𝐱)

Equações Trigonométricas

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y

y

2

a)

- y - y

y

a

O

/2

3/2

y

x

sen (x) = a -1 < a < 1

sen (x) = sen (y) x = y + 2k

sen (x) = sen ( - y) x = ( - y) + 2k

Praticando

Resolva as equações:

a) sen2(𝑥) + 3 sen(𝑥) + 2 = 0

b) sen(2𝑥 − ) = −3

2

5/26

𝒙 = 𝟑

𝟐 + 𝟐𝒌, k Z

𝒙 = 𝟕

𝟔 + 𝟐𝒌, k Z 𝒙 =

𝟒

𝟑 + 𝟐𝒌, k Z OU

Equações Trigonométricas

b)

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y

2 a 2 - y

y

3/2

/2

y

x 2 - y

O

cos (x) = a -1 < a < 1

cos (x) = cos (y) x = y + 2k

cos (x) = cos (2 - y) x = y + 2k

y

Praticando

Resolva as seguintes equações:

a) cos(2𝑥) = 0

b) sen2(𝑥) + 2cos(𝑥) = 1

7/26

𝒙 = 𝟒

+𝒌

𝟐, k Z

𝒙 = 𝟐

+ 𝒌, k Z

Equações Trigonométricas

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O x O x

/2

t

O

3/2

2

y

x

y

c) tan (x) = b b IR

tan (x) = tan (y) x = y + k

b

Praticando

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Resolva as equações:

a) tan(3𝑥) = 0

b) cotg(𝑥) = 3

𝒙 = 𝒌

𝟑, k Z

𝒙 = 𝟔

+ 𝒌, k Z

Revisando

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Vamos observar o sinal das funções em cada quadrante.

2

/2

3/2

U S

T C

Use Sempre a Tua Cabeça.

U = Todas as funções tem valor positivo.

S = A função seno tem valor positivo.

T = A função tangente tem valor positivo.

C = A função cosseno tem valor positivo.

Revisando Funções

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O estudo de Funções é de extrema importância para vários segmentos da ciência. 1) Graficaliza expressões matemáticas complicadas;

2) Modela o comportamento de fenômenos físicos; 3) Fundamenta o Cálculo Diferencial e Integral;

Revisando Funções

Uma expressão matemática pode representar uma função ou simplesmente uma relação entre duas ou mais variáveis. Para identificar, graficamente, uma função devemos:

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Ver aplicação no GeoGebra: Identificar_função

Conceitos Trigonométricos

Antes de falar sobre as funções trigonométricas, vamos fazer uma pequena revisão de conceitos trigonométricos:

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Ver aplicação no GeoGebra: o Ciclo_trigonométrico1 o Ciclo_trigonométrico2

Histórico

Historicamente, o primeiro indício do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635.

14/26 Gilles Personne de Roberval

Histórico

15/26

Porém, essa área só avançou efetivamente no século XIX com Fourier.

Jean–Baptiste Joseph Fourier Estudo dos movimentos periódicos

Funções Trigonométricas

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a) Função Seno:

f : IR IR

f(x) = sen x

A função associa cada arco x da circunferência

trigonométrica a um número real y = sen x.

x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

Funções Trigonométricas

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a) gráfico :

y

0 3

2

2

2

2 -

-

x

Funções Trigonométricas

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a) Função seno:

• A função y = sen x é ímpar.

• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2

radianos.

• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f =

Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)

Paridade : sen x = - sen (- x)

c

2

Funções Trigonométricas

b) Função cosseno :

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f : IR IR

f(x) = cos x

A função associa cada arco x da circunferência

trigonométrica a um número real y = cos x.

x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

Funções Trigonométricas

b) gráfico:

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y

x 0 3

2

2

2

2 -

Funções Trigonométricas

b) Função cosseno:

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Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)

Paridade : cos x = cos (- x)

• A função y = cos x é par.

• A função y = cos x é periódica e tem período

igual a 2 radianos.

• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c

2

Funções Trigonométricas

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c) Função tangente:

f : D IR

f(x) = tg x

A função associa cada arco x, x / 2 + k , da

circunferência trigonométrica a um número real

y = tg x.

Im(f) = IR

D = { x IR / x / 2 + k }

Funções Trigonométricas

c) gráfico:

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y

3

2

2 - 2

2

Funções Trigonométricas

c) Função Tangente:

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Periodicidade : tg x = tg ( x + )

Paridade : tg x = - tg (- x)

• A função y = tg x é periódica e tem período igual a

radianos.

• Se f(x) = a + b. tg(cx + d) período de f =

• A função y = tg x é ímpar.

c

Funções Trigonométricas

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Ex.: Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3/ 2.

a) Determine c. Resposta: c = 4/3

Resposta: a = 4 e b = 1

b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ],

determine a e b.

Obrigada pela atenção!

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