Universidade Federal de VicosaDepartamento de

Matematica

MAT 140 (Calculo I) – 2017/ILista de Derivadas e Aplicacoes

1) Determine a funcao derivada de f definida por:

a) (x2 + 4x− 5)4

b) (2x4 − 7x3)e

c) (x2 + 4)−2

d) sec (6x)

e) cot(10x)

f) cos(3x2 + 1)

g) 4x12 + 5x−

12

h)√

1 + 4x2

i) 3√

2x

j) e√x

k) ln(x2 + 2x)

l) tg(ln(x))

2) Determinedy

dx.

a)1

x+

1

y= 1

b) x2y2 = x2 + y2

c) 3√x+ 3√xy = 4y2

d) 2x3y + 3xy3 = 5

3) Determine uma equacao da reta tangente a curva 16x4 +y4 = 32 no

ponto (1, 2).

4) Determine fn(x), em que:

a) f(x) = 2x4 + 3, n = 3.

b) f(x) =

(1

x

)2

, n = 2.

c) f(x) = cos(x), n = 3.

d) f(x) = sen(2x), n = 50.

5) Seja f : R −→ R derivavel e seja g(t) = f(t2+1). Supondo f ′(2) = 5,

calcule g′(1).

6) Resolva os seguintes problemas de taxas relacionadas:

a) Uma escada de 6 m de comprimento esta apoiada em uma parede

vertical. Se a base da escada comeca a deslizar horizontalmente,

a razao de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre

a parede, quando esta a 4 m do solo?

b) Dois carros, um dirigindo-se para o leste a taxa de 72 km/h e o

outro para o sul a taxa de 54 km/h estao viajando em direcao ao

cruzamento de duas rodovias. A que taxa os carros se aproximam

um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 400 m e o

segundo estiver a 300 m do cruzamento?

c) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diametro varia

a razao de 0,01 cm/min. Determine a taxa a qual a area de uma

das faces varia quando o diametro esta em 30 cm.

d) Um incendio em um campo aberto se alastra em forma de cırculo.

O raio do cırculo aumenta a razao de 1 m/min. Determine a taxa

a qual a area incendiada esta aumentando quando o raio e de

20 m.

e) Uma luz esta no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m

se afasta do poste a razao 1,2 m/s. A que taxa aumenta o com-

primento de sua sombra quando ele esta a 6 m do poste? A que

taxa se move a ponta de sua sombra?

f) A areia que vaza de um deposito forma uma pilha conica cuja

altura e sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta a

razao de 15 cm/min, determine a velocidade com que a areia esta

escoando quando a altura da pilha e 25 cm.

g) Suponha que uma bola de neve esferica e formada de tal maneira

que seu volume aumenta a taxa de 8 dm3/min. Determine a taxa

a qual o raio e aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de

diametro.

h) As extremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento

sao trapezios isosceles de bases de 2 m e 1 m. A altura do cocho e

de 0,6 m. Se o nıvel da agua esta subindo a razao de 0,1 cm/min,

quando a profundidade da agua e de 0,3 m com que velocidade a

agua esta entrando no cocho?

i) As 8 h o navio A esta a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A

esta navegando para o oeste a uma velocidade de 16 km/h e o

navio B esta navegando para o sul a 20 km/h, determine a razao

em que a distancia entre os navios esta variando as 8h30min.

j) Um farol giratorio completa uma volta a cada 15 segundos. O

farol esta a 60 m de P, o ponto mais proximo em uma praia

retilınea. Determine a razao em que um raio de luz do farol esta

se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150 m de P .

7) Calcule as derivadas das seguintes funcoes

a) y = arc sen√x

b) y = (1 + arc cos 3x)3

c) y = ln(arc tgx2)

d) y = 3arc senx3

e) (tgx)arc tgx

8) Assuma y em funcao de x e determine y′ por derivacao implıcita.

a) y = xsen y

b) ex cos y = xey

c) x2 + xarc sen y = yex

9) Determine os pontos crıticos da funcao f .

a) f(x) = x3 + 7x2 − 5x

b) f(x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x

c) g(x) = x65 − 12x

15

d) f(t) = (t2 − 4)23

e) h(x) =x− 3

x+ 7

f) f(x) =x

x2 − 9

g) f(x) = sen2(3x)

h) g(x) = (x− 2)3(x+ 1)2

10) Determine os valores de maximos e mınimos (locais e globais) de f

no intervalo indicado.

a) f(x) =x4

4− x3 − 2x2 + 3 em [−2, 3].

b) g(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 em [−2, 1].

11) Determine maximos e mınimos locais e globais de f .

a) f(x) =x

1 + x2b) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2

12) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .

a) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1 b) f(x) = x+1

x

13) Ache os maximos e mınimos relativos da funcao dada usando o

teste da derivada segunda, quando aplicavel. Quando ele nao for

aplicavel, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda

para encontrar os pontos de inflexao do grafico da funcao e deter-

mine onde o grafico e concavo para cima e onde e para baixo.

a) f(x) = 3x2 − 2x+ 1 b) f(x) = −4x3 + 3x2 + 18x

14) Resolva os seguintes problema de otimizacao:

a) Um fabricante de caixas de papelao de base quadrada deseja fazer

caixas abertas de pedacos de papelao de 12 m de lado, cortando

quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encon-

tre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para

obter uma caixa cujo volume seja o maior possıvel.

b) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um

rio, e nao se exige cerca ao longo do rio. Se o material da cerca

custa R$ 2,00 por metro para os extremos e R$ 3,00 por metro

para o lado paralelo ao rio, encontre as dimensoes do campo de

maior area possıvel que pode ser cercado com um custo de R$

480,00.

c) Os pontos A e B sao opostos um ao outro nas margens de um

rio reto que mede 3km de largura. O ponto C esta na mesma

margem que B, mas a 6 km rio abaixo, de B. Uma companhia

telefonica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por km

de cabo e 25% mais caro sob a agua do que em terra, que linha

de cabo seria menos cara para a companhia?

d) Se uma lata fechada de estanho, de volume especıfico, deve ter

a forma de um cilindro circular reto, encontre o quociente da

altura pelo raio da base se em sua fabricacao sera usada a menor

quantidade de material possıvel.

e) Um laranjal produz 600 laranjas por ano se nao mais de 20 laran-

jeiras forem plantadas por acre. Para cada laranjeira plantada

a mais por acre, a producao por laranjeira diminui em 15 laran-

jas. Quantas laranjeiras por acre devem ser plantadas a fim de

se obter o maior numero de laranjas?

f) Uma folha de papel para um cartaz tem 1 metro quadrado de

area. As margens superior e inferior valem 10 cm e as margens

laterais 5 cm. Determine as dimensoes da folha, sabendo que a

area impressa e maxima.

g) Uma ilha esta situada no ponto A, 8 km de distancia da praia

medidos a partir do ponto B mais proximo num trecho reto de

litoral. Uma mulher na ilha deseja ir ao ponto C, 9 km praia

abaixo a contar do ponto B. A mulher pode alugar um barco por

R$ 1,00 o quilometro e viajar por mar ate um ponto P situado

entre B e C, e daı tomar um taxi a R$ 0,6 o quilometro e vi-

ajar por uma estrada retilınea de P a C. Calcule a rota menos

dispendiosa do ponto A ao ponto C.

h) Um chale tem a forma de um triangulo isosceles de 12 m de altura

e 9 m de base. A iluminacao na parede dos fundos e feita atraves

de uma unica janela retangular que vai ate o chao. Ache as

dimensoes para que a area da janela seja a maior possıvel.

i) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular.

Qual deve ser o raio do setor para que a area do canteiro seja

a maior possıvel? Sabendo que dispomos de 360 m de fio para

cerca-lo com tres voltas? Qual e essa area maxima?

j) Qual e o comprimento do menor caminho entre os pontos A =

(0, 1) e B = (3, 2), passando pelo eixo x?

k) Uma pessoa se acha em um bote a 2 km de distancia do ponto

mais proximo em uma praia retilınea e deseja-se atingir uma casa

a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar a razao de 3 km/h

e andar a razao de 5 km/h determine o tempo mınimo que levara

para atingir a casa.

l) Uma pessoa deseja construir e cercar um jardim retangular com

400 m2. Ela necessita saber a largura do terreno de tal forma que

a quantidade de material para cerca-lo seja mınimo.

m) De todos os retangulos com area 10000 m2, qual o de menor

perımetro?

n) De todas as latas cilındricas de volume 300 m3, qual a que pode

ser fabricada com menor quantidade de material?

o) Uma rede de agua potavel ligara uma central de abastecimento

situada a margem de um rio de 500 metros de largura a um con-

junto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros

abaixo da central. O custo da obra atraves do rio e de R$640,00

por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual a forma

mais economica de se instalar a rede de agua potavel?

p) A 1 hora da tarde o navio A esta a 30 km ao Sul do navio B e

navega rumo ao Norte a 15 km/h.Se o navio B navega para Oeste

a 10 km/h, determine o instante em que a distancia entre os dois

navios e mınima.

q) Dois postes verticais de 2 m e 2,5 m de altura distam 3 m um do

outro. Determine o comprimento do menor cabo que, partindo

do topo de um poste, toque o solo e termine no topo do outro

poste.

r) Uma imobiliaria possui 180 apartamentos tipo economico, que

estao todos alugados por R$ 300,00 mensais. A imobiliaria estima

que, para cada R$ 10,00 de aumento no aluguel, 5 apartamentos

ficarao vazios. Qual o aluguel que deve ser cobrado para se obter

renda mensal maxima?

15) Faca o esboco do grafico das funcoes abaixo.

a) f(x) =x3 − 2

x

b) f(x) =√x2 − 4

c) f(x) = e−x2

d) f(x) =x3 − x+ 1

x2

16) Esboce o grafico de f , sabendo-se que:

a) � D(f) = R, f(0) = 0

� Ponto(s) crıtico(s): {−1, 1}� Crescente: [−1, 1]

� Decrescente: (−∞, 1] ∪[1,+∞)

� Ponto de maximo: (1, 2)

Ponto de mınimo: (−1, 2)

� Convexa: [−2, 0]∪ [2,+∞)

Concava: (−∞,−2] ∪ [0, 2]

� Ponto(s) de inflexao:

{(−2, 1), (0, 0), (2, 1)}� Assıntota Vertical: nao

tem

Assıntota Horizontal: y =

0

b) � D(f) = R − {−1, 1},f(0) = 0

� Ponto(s) crıtico(s): {0}� Crescente: (−∞, 0]

� Decrescente: [0,+∞)

� Ponto de maximo: (0, 0)

Ponto de mınimo: nao tem

� Convexa: (−∞,−1) ∪(1,+∞)

Concava: (−1, 1)

� Ponto(s) de inflexao: nao

tem

� Assıntotas Verticais: x =

−1 e x = 1

Assıntota Horizontal: nao

tem

c) � D(f) = R, f(0) = 0

� Ponto(s) crıtico(s): {1}� Crescente: (−∞, 1]

� Decrescente: [1,+∞)

� Ponto de maximo: (1, 1)

Ponto de mınimo: nao tem

� Convexa: [2,+∞)

Concava: (−∞, 2]

� Ponto(s) de inflexao:

{(2, 1/2)

� Assıntota Vertical: nao

tem

Assıntota Horizontal: y =

0

d) � D(f) = R − {−1, 1},f(0) = 0

� Ponto(s) crıtico(s): {−2, 0, 2}

� Crescente: (−∞,−2] ∪[2,+∞)

� Decrescente: [−2, 2]

� Ponto de maximo:

(−2,−3)

Ponto de mınimo: (2, 3)

� Convexa: (−1, 0]∪(1,+∞)

Concava: (−∞,−1)∪ [0, 1)

� Ponto(s) de inflexao:

{(0, 0)}� Assıntotas Verticais: x =

−1 e x = 1

Assıntota Horizontal: nao

tem

17) Dado o grafico de f ′ e sabendo-se que f(0) = 0, f(1) = 5, f(−1) =

−6, f(3) = −6, f(−1/2) = −4, f(2) = 0, e que os extremos de f ′

ocorrem em x = −1/2 e em x = 2, determine:

a) os pontos crıticos de f .

b) os intervalos de crescimento e

decrescimento de f .

c) os intervalos em que f e

concava

os intervalos em que f e con-

vexa.

d) o grafico de f .

x−1 1 2 3

yf ′

18) Uma funcao real f tem as seguintes caracterısticas:

D(f) = R− {2}, f(3) = 2,

limx→2+

f(x) = +∞ e limx→2−

f(x) = +∞; limx→∞

f(x) = limx→−∞

f(x) = +∞

Os graficos de f ′ e de f ′′ sao dados abaixo:

x2

y

f ′

x

yf ′′

2

3

Determine:

a) intervalos onde f e crescente e os extremos relativos de f , se

existirem.

b) intervalo onde f e concava para cima e pontos de inflexao, se

existirem.

c) as assıntotas horizontal e vertical, se existirem.

d) o grafico de f .

19) Para cada uma das funcoes abaixo determine:

� O domınio de f .

� Os pontos crıticos de f .

� O(s) intervalo(s) em que f e crescente e o(s) intervalo(s) em que

f e decrescente.

� Os extremos relativos de f , se existirem.

� O(s) intervalo(s) em que f e concava para cima e o(s) intervalo(s)

em que f e concava para baixo.

� Os pontos de inflexao do grafico de f , se existirem.

� As assıntotas horizontais e verticais do grafico de f , se existirem.

� Um esboco do grafico de f .

a) f(x) = x3 − 3x2

b) f(x) =x

x− 1

c) f(x) =x

x2 − 1

d) f(x) =x

x2 + 1

e) f(x) =x2

x2 − 1

f) f(x) = x e−x

g) f(x) = 3√x− 2

h) f(x) = (x+ 1)(x− 1)3

Gabarito

1) a) 4(x2 + 4x− 5)3(2x+ 4)

b) e(2x4 − 7x7)e−1(8x3 − 21x2)

c) −2(x2 + 4)−3(2x)

d) 6sec (6x)tg (6x)

e) −10 csc(10x)

f) −6xsen (3x2 + 1)

g) 2x−12 − 5

2x− 3

2

h) 4x(1 + 4x2)−12

i) 23(2x)−

23

j) 12x− 1

2e√x

k) 2x+2x2+2

l) 1xsec 2(ln(x))

2) a)dy

dx= −y

2

x2

b)dy

dx=

2x− 2xy2

2yx2 − 2y

c)dy

dx=

y + 3√y2

24 3√y5.

3√x2 − x

3) y = −2x+ 4

4)

a) f ′′′(x) = 48x

b) f ′′(x) = 6x4

c) f ′′′(x) = sen (x)

d) f (50)(x) = −250 sen(2x)

5) g′(1) = 10

6) a) −3√5

10 m/s

b) 90 Km/h

c) 15π cm2/min

d) 40π m2/min

e) 1, 764 m/s

0, 564m/s

f) 9375π cm3/min

g) 0.5π dm/min

h) 0, 84 dm/min

i) −17217 Km/h

j) 3480π m/min

7) a)1

2√

1− x√x

b)−9(1 + arc cos 3x)3√

1− 9x2

c)2x

(1 + x4)arc tgx2

d)3 ln 3x2 3arc senx

3

√1− x6

e) (tgx)arc tgx(

cotxsec xarc tgx+ln(tgx)

1 + x2

)8) a)

sen y

1− x cos y

b)ex cos y − ey

exsen y + xey

c)

√1− y2(yex − arc sen y − 2x)

x− ex√

1− y29) a) −5, 13

b) −3,−1, 1

c) 0, 2

d) −2, 0, 2

e) nao tem

f) nao tem

g) 16kπ , k ∈ Z

h) −1, 1/5, 2

10) a) f(−2) = 7 valor maximo; f(3) = −874 valor mınimo

b) f(−2) = −27 valor mın.; f(1) = 0 valor maximo.

11) a) (1, f(1)) e ponto maximo global; (−1, f(−1)) e ponto de mınimo

global.

b) (0, f(0)) e (2, f(2)) ponto de mınimos globais; (1, f(1)) e ponto

de maximo local.

12) a) estritamente crescente em ]−∞,−] e [−13 ,+∞[

estritamente decrescente em [−1, 13 ]

b) estritamente crescente em ]−∞,−] e [1,+∞[

estritamente decrescente [−1, 0[ e ]0, 1].

13) a) mınimo relativo: (13 ,23); concavo em todo domınio.

b) maximo relativo: (32 ,814 ), mınimo relativo: (−1,−11); ponto de

inflexao: (14 ,378 )

convexo em (−∞, 14); concavo em (14 ,∞)

14) a) O lado paralelo ao rio deve ser de 80m e os outros dois de 60m.

b) 5km por agua e 2 km por terra.

c) h = 2r=diametro

d) 30 laranjeiras.

e) 100√

2 cm e 50√

2 cm

f) Ir 10 km de barco e 3 km de taxi.

g) 92 m e 6 m.

h) r = 30 m e A = 900 m2

i)√

2 +√

5

j)26

15h

k) largura de 20 m.

l) Quadrado de lado 100 m.

m) Area de raio 53√π

m

altura 123√π.

n) Tubulacao de 654 m em terra.

o) 1813 h apos as 13 h.

p) 13

√52 + 5

6

√13 m

q) Aluguel deve ser de R$ 330,00.

r) −32

s) 4 + π

t) 332 π

15)

−5 −3 −1 1 3 5

x

−4

24

y

(a)(b)

−2 2

x

−4

−2

2

4y

(c)

−4 −2 2 4

x

1

y

(d)

x−5 −3 −1 1 3 5

y

−4

−2

2

4

16) a)

x

y

b)

x

y

c)

x

yy

d)

x

y

17) � D(f) = R, f(0) = 0

� Ponto(s) crıtico(s): {−1, 1, 3}

� Crescente: [−1, 1] ∪ [3,+∞)

� Decrescente: (−∞,−1]∪[1, 3]

� Ponto de maximo: (2, 0)

Ponto de mınimo: (−1/2,−4)

� Convexa: (−∞,−1/2] ∪[2,+∞)

Concava: [−1/2, 2]

x

y

18) a) Crescente: [3,+∞)

Ponto de mınimo (3, 2)

b) Convexa: (−∞, 0] ∪ [2,+∞)

Ponto de inflexao: (0, 0)

c) Assıntota horizontal em y =

0.

x

y

19) a) f(x) = x3 − 3x2

� D(f) = R� Ponto(s) crıtico(s): {0, 2}� Crescente: (−∞, 0] ∪

[2,+∞)

� Decrescente: [0, 2])

� Ponto de maximo: (0, 0)

Ponto de mınimo: (2,−4)

� Convexa: [1,+∞)

Concava: (−∞, 1]

� Ponto(s) de inflexao:

{(1,−2)}� Assıntota Vertical: nao tem

Assıntota Horizontal: nao

tem

x3

y

b) f(x) =x

x− 1

� D(f) = R− {1}� Ponto(s) crıtico(s): nao tem

� Decrescente: R− {1}� Nao tem pontos extremos

� Convexa: (1,+∞)

Concava: (−∞, 1)

� Ponto(s) de inflexao: nao

tem

� Assıntota Vertical: x = 1

Assıntota Horizontal: y = 1

x1

y

1

c) f(x) =x

x2 − 1

� D(f) = R− {−1, 1}

� Ponto(s) crıtico(s): nao tem

� Crescente:–

Decrescente: R− {−1, 1}

� Ponto de maximo: nao tem

Ponto de mınimo: nao tem

� Convexa: (−1, 0] ∪ (1,+∞)

Concava: (−∞,−1) ∪ [0, 1)

� Ponto(s) de inflexao:

{(0, 0)}� Assıntota Vertical: x = 1 e

x = −1

Assıntota Horizontal: y = 0

x−1 1

y

d) f(x) =x

x2 + 1

� D(f) = R

� Ponto(s) crıtico(s): {−1, 1}

� Crescente: [−1, 1]

Decrescente: (−∞, 1] ∪[1,+∞)

� Ponto de maximo: (1, 1/2)

Ponto de mınimo: (−1,−1/2)

� Convexa: (−√

3, 0] ∪[√

3,+∞)

Concava: (−∞,−√

3] ∪[0,√

3]

� Ponto(s) de inflexao:

{(−√

3,−√34

), (0, 0), (√

3,√34

)}

� Assıntota Vertical: nao tem

Assıntota Horizontal:y = 0

x−1 1

y

−1

1

e) f(x) =x2

x2 − 1

� D(f) = R− {−1, 1}� Ponto(s) crıtico(s): {0}� Crescente: (−∞,−1) ∪

(−1, 0]

Decrescente: [0, 1)∪(1,+∞)

� Ponto de maximo: (0, 0)

Ponto de mınimo: nao tem

� Convexa: (−∞,−1) ∪(1,+∞)

Concava: (−1, 1)

� Ponto(s) de inflexao: nao

tem

� Assıntota Vertical: x = 1 e

x = −1

Assıntota Horizontal: y = 1

x−1 1

y

1

f) f(x) = x e−x

� D(f) = R� Ponto(s) crıtico(s): {1}� Crescente:(−∞, 1]

Decrescente: [1,+∞)

� Ponto de maximo: (1, 1/e)

Ponto de mınimo: nao tem

� Convexa: [2,+∞)

Concava: (−∞, 2]

� Ponto(s) de inflexao:

{(2, 1/e2)}� Assıntota Vertical: nao tem

Assıntota Horizontal: y = 0

x

yy

g) f(x) = 3√x− 2

� D(f) = R� Ponto(s) crıtico(s): {2}� Crescente: R

Decrescente: –

� Ponto de maximo: nao tem

Ponto de mınimo: nao tem

� Convexa: (−∞, 2]

Concava: [2,+∞)

� Ponto(s) de inflexao:

{(2, 0)}

� Nao tem assıntota Vertical

ou Horizontal

x2

y

h) f(x) = (x+ 1)(x− 1)3

� D(f) = R� Ponto(s) crıtico(s): {−1/2, 0}� Crescente: [−1/2,+∞)

� Decrescente: (−∞, 2])

� Ponto de maximo: nao tem

Ponto de mınimo: (−1/2,−27/16)

� Convexa: (−∞, 0]∪ [1,+∞)

Concava: [0, 1]

� Ponto(s) de inflexao:

{(0,−1), (1, 0)}� Nao tem assıntota Vertical

ou Horizontal

x−1 1

y

−1

−2