DERIVADAS PARCIAIS

Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as

funções fx e fy definidas por:

𝑓𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)

ℎ

𝑓𝑦 = limℎ→0

𝑓 𝑥, 𝑦 + ℎ − 𝑓(𝑥, 𝑦)

ℎ

Notações: se z = f(x,y), escrevemos

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 =𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑓1 = 𝐷𝑥𝑓 = 𝐷1𝑓

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑓2 = 𝐷𝑦𝑓 = 𝐷2𝑓

Regra para determinar a derivada parcial de z = f(x,y):

1. Para achar fx, considere y como uma constante qq e

diferencie f(x,y) em relação a x;

2. Para achar fy, considere x como uma constante qq e

diferencie f(x,y) em relação a y;

Exemplos:

1. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑦2, determine fx(2,1) e fy(2,1).

Solução:

2. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥2 − 2𝑦2, determine fx(1,1) e fy(1,1) e interprete

esses números como inclinações.

Solução:

fx(1,1) = -2 e fy(1,1) = -4

𝑧 = 4 − 𝑥2 − 2𝑦2 é um parabolóide e o plano vertical y = 1 o

intercepta na parábola 𝑧 = 2 − 𝑥2. A inclinação da reta tangente no pto

(1,1,1) é fx(1,1) = -2. (fig. 1)

Da mesma maneira, o plano x = 1 intercepta o parabolóide na parábola

𝑧 = 3 − 2𝑦2 𝑒 𝑎 inclinação da reta tangente no pto (1,1,1) é fy(1,1) = -4.

(fig. 2)

3. Determine 𝜕𝑧

𝜕𝑥 e

𝜕𝑧

𝜕𝑦 se z é definido implicitamente como uma

função de x e y pela equação:

𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 + 6𝑥𝑦𝑧 = 1

Sol:

𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝑥2 + 2𝑦𝑧

𝑧2 + 2𝑦𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦= −

𝑦2 + 2𝑥𝑧

𝑧2 + 2𝑦𝑥

4. Determine fx, fy, e fz se 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥𝑦 ln 𝑧.

Solução:

5. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑦2, encontre as derivadas parciais de

segunda ordem fxx, fyx, fxy e fyy.

Solução:

Outras notações:

𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 =𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑥 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

𝑓𝑥𝑦 = 𝑓12 =𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝑓𝑦𝑥 = 𝑓21 =𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑦 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑓𝑦𝑦 = 𝑓22 =𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑦 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

Teorema de Clairaut: Suponha que f seja definida em uma bola aberta

D que contenha o pto (a,b). Se as funções fxy e fyx forem ambas

continuas em D, então:

fxy(a,b) = fyx(a,b)

6. Calcule fxxyz se f(x,y,z) = sen(3x +yz).

Solução:

fxxyz = -9 cos(3x + yz) + 9yz sen(3x + yz)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Muitas leis físicas podem ser expressas por meio de equações

diferenciais parciais, entre elas:

LAPLACE: condução de calor, escoamento de fluidos e potencial

elétrico. Suas soluções são chamadas funções harmônicas.

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0

EQUAÇÃO DA ONDA: movimento de uma onda (mar, som, luminosa),

onde a constante a indica a amplitude da onda.

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 𝑎2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

Exemplos:

1. Verifique se a função 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 é solução da equação de

Laplace.

2. Verifique se a função 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑎𝑡) satisfaz a equação da

onda.