Gil da Costa Marques - midia.atp.usp.br · ... Funções de uma Variável 7.3 Taxas ... Derivadas...

TÓPI

CO

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

7.1 Introdução7.2 Taxas de Variação: Funções de uma Variável7.3 Taxas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taxas de Variação: Funções de mais do que duas Variáveis 7.5 Taxa de Variação Média7.6 Taxa de Variação Instantânea e Pontual7.7 Taxas de Variação Média de Campos Vetoriais7.8 Derivadas Parciais de Componentes e de Campos Vetoriais7.9 Algumas Propriedades das Derivadas Parciais7.10 Derivadas de Ordem Superior

Fund

amen

tos

da M

atem

átic

a II

DERIVADAS PARCIAISGil da Costa Marques

7

107

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

7.1 IntroduçãoUm dos conceitos mais importantes, quando se lida com a dinâmica de um sistema físico, é

o de taxa de variação. A rigor, falamos de duas taxas de variação: uma se aplica ao caso em que a

grandeza física depende apenas do tempo; a outra se aplica ao caso em que a grandeza depende

de outras variáveis (usualmente, os pontos do espaço).

A primeira é dita taxa de variação instantânea. Ela dá a taxa de variação das grandezas físicas

em função do tempo.

Tendo em vista que muitas grandezas físicas dependem do ponto do espaço, denominamos taxa de

variação pontual a taxa com que tais grandezas mudam, ou variam, de um ponto para outro. Quando

variamos apenas uma parte das coordenadas (quando variamos uma só, mantendo as demais fixas)

obtemos, a partir do processo limite de taxas de variação médias, as assim denominadas derivadas parciais.

Derivadas parciais são derivadas de funções de várias variáveis nas quais variamos uma das

variáveis independentes por vez, mantendo as demais fixas.

7.2 Taxas de Variação: Funções de uma VariávelNa mecânica e em outras áreas do conhecimento, muitas vezes estamos interessados em

determinar a taxa de variação da grandeza f com respeito a x. Tal taxa, salvo raras exceções,

depende da variável x. Essa nova função, obtida da função dita primitiva (a função f ), é denomi-

nada função derivada de f e será representada pela função g(x). Utilizando a notação de Leibniz,

escrevemos essa nova função como:

7.1

O cálculo diferencial provê um método para a determinação da taxa de variação de uma

função, quer ela dependa de uma ou de mais variáveis. No caso de apenas uma variável, a

determinação da taxa de variação pontual ou instantânea, isto é, a derivada de uma função,

envolve considerações a respeito de um quociente de diferenças cada vez menores, por meio

de um processo denominado limite, que nos permite determinar a taxa com que a função varia

em cada ponto de um determinado intervalo no qual a variável x varia.

( ) ( )df x

g xdx

=

108

TÓPICO 7 Derivadas Parciais


7.3 Taxas de variação: Funções de duas Variáveis Antes de examinar a questão para um número de variáveis maior ou igual a três – que é o

que nos interessa no contexto deste trabalho –, vamos analisar o conceito de derivada parcial em

relação a uma das variáveis, num ponto do domínio da função, numa situação mais simples - a de

uma função de duas variáveis.

Seja z = f (x, y) uma função de duas variáveis reais, definida num domínio D ⊂ 2 e seja

(x0, y0) ∈ D.

Podemos definir a taxa de variação média da função f com relação à variável x, quando x varia

no intervalo [x0, x0 + Δx] se Δx > 0 ou [x0 + Δx, x0], se Δx < 0, e y permanece constante, como:

7.2

Analogamente, podemos definir a taxa de variação média da função f com relação à variável y,

quando y varia no intervalo [y0, y0 + Δy] se Δy > 0 ou [y0 + Δy, y0], se Δy < 0, e x permanece

constante, como:

7.3

Tendo definido as taxas de variação média relativamente a cada uma das duas variáveis nos

respectivos intervalos, é possível definir a taxa de variação pontual da função f, no ponto (x0, y0), com relação a cada uma das variáveis.

Assim, a taxa de variação pontual da função f, no ponto (x0, y0), com relação à variável x, é

por definição:

7.4

ou, de modo equivalente,

7.5

se tal limite existir e ele for finito.

( ) ( )0 0 0 0, ,f x x y f x yx

+ ∆ −

∆

( ) ( )0 0 0 0, ,f x y y f x yy

+ ∆ −

∆

( ) ( )0 0 0 0

0

, ,lim

x

f x x y f x yx∆ →

+ ∆ −∆

( ) ( )0

0 0 0 0

0

, ,limx x

f x x y f x yx x→

+ ∆ −−

109



É importante observar que, uma vez que a variável y seja mantida constante, y = y0, podemos

considerar uma função g de uma variável, g(x) = f (x, y0), definida para x no intervalo [x0, x0 + Δx] (ou [x0 + Δx, x0]) e, dessa maneira, estamos, no limite acima, calculando a derivada da função g

no ponto x0, isto é g’(x0).

O limite ( ) ( )0 0 0 0

0

, ,limx

f x x y f x yx∆ →

+ ∆ −∆

é denominado derivada parcial da função f com

relação à variável x no ponto (x0, y0), sendo utilizada a seguinte notação:

7.6

Para as funções de duas variáveis reais, há uma interpretação geométrica importante e inte-

ressante para as derivadas parciais de uma função num ponto do seu domínio.

Vejamos primeiramente o caso de ( )0 0,f x yx

∂∂

:

( ) ( ) ( )0 0 0 00 0 0

, ,, lim

x

f x x y f x yf x yx x∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

É importante notar que o gráfico de g(x) = f (x, y0) é a intersecção do gráfico da função z = f (x, y) com o plano de equação y = y0; logo, está contido nesse plano. Assim, a derivada parcial da função f, com relação à variável x no ponto (x0, y0), que é a derivada de g no ponto x0, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa x0.

Figura 7.1: A derivada parcial da função f com relação à variável x no ponto (x0, y0), isto é, ( )0 0,f x yx

∂∂

.

110



Do mesmo modo, a taxa de variação pontual da função f, no ponto (x0, y0), com relação à

variável y, é por definição:

7.7

ou, de modo equivalente,

7.8

se tal limite existir e ele for finito.

É importante observar que, uma vez que a variável x seja mantida constante, x = x0, podemos

considerar uma função h de uma variável, h( y) = f (x0, y), definida para y no intervalo [ y0, y0 + Δy] (ou [ y0 + Δy, y0]) e, dessa maneira, estamos, no limite acima, calculando a derivada da função h

no ponto y0, isto é h’(y0).O limite

7.9

é denominado derivada parcial da função f com relação à variável x no ponto (x0, y0). A notação utilizada é a seguinte:

7.10

( ) ( )0 0 0 0

0

, ,limy

f x y y f x yy∆ →

+ ∆ −∆

( ) ( )0

0 0 0 0

0

, ,limy y

f x y y f x yy y→

+ ∆ −−

( ) ( )0 0 0 0

0

, ,limy

f x y y f x yy∆ →

+ ∆ −

∆

( ) ( ) ( )0 0 0 00 0 0

, ,, lim

y

f x y y f x yf x yy y∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

111



Vejamos agora a interpretação geométrica para o caso de ( )0 0,f x yy

∂∂

:

• ExEmplo 1: Dada a função f (x, y) = x2 + y2 + 1, determine

fx

∂∂

(1, 2) e fy

∂∂

(1, 2); interprete geometricamente os resultados encontrados.→ Solução:

i. para encontrar fx

∂∂

(1, 2) precisamos, em primeiro lugar, encontrar fx

∂∂

(x, y) num ponto (x, y)

qualquer. Para tanto, mantemos a variável y constante e derivamos com relação a x. Obtemos então

7.11

Logo, fx

∂∂

(1, 2) = 2.

Esse resultado fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função g(x) = f (x, y0), cujo gráfico é a intersecção do gráfico de f com o plano y = y0 (constante).

É importante notar que o gráfico de h(y) = f (x0, y) é a intersecção do gráfico da função z = f (x, y) com o plano de equação x = x0; logo, está contido nesse plano. Assim, a derivada parcial da função f com relação à variável y no ponto (x0, y0), que é a derivada de h no ponto y0, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de h no ponto de abscissa y0.

Figura 7.2: A derivada parcial da função f com relação à variável y no ponto (x0, y0), isto é, ( )0 0,f x yy

∂∂

.

( ), 2f x y xx

∂=

∂

112



ii. para encontrar fy

∂∂

(1, 2) o procedimento é análogo. Precisamos, em primeiro lugar, encontrar

fy

∂∂

(x, y) num ponto (x, y) qualquer. Para tanto, mantemos a variável x constante e derivamos

com relação a y. Obtemos então

7.12

Logo, fy

∂∂

(1, 2) = 4

Esse resultado fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função h( y) = f (x0, y), cujo gráfico é a intersecção do gráfico de f com o plano x = x0 (constante).

• ExEmplo 2:

Sendo ( ) 1, sen1

yf x yx

−=

+, determine

fx

∂∂

(3, 2) e fy

∂∂

(−3, −2); interprete geometricamente os

resultados encontrados.→ Solução:

Sendo ( ) 1, sen1

yf x yx

−=

+, temos:

7.13

e, portanto,

7.14

Temos também

7.15

e, portanto,

7.16

As interpretações geométricas são análogas às do Exemplo 1.

( ), 2f x y yy

∂=

∂

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

1 11 1 2, cos cos1 11 1

y xy xy yf xy xy yx yx xy xyxy xy

⋅ + − − ⋅ ∂ − −= ⋅ = ⋅ ∂ + ++ +

( ) 4 53,2 cos49 7

fx

∂= ⋅

∂

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

1 11 1 2, cos cos1 11 1

x xy xy xf xy xy xx yy xy xyxy xy

⋅ + − − ⋅ ∂ − −= ⋅ = ⋅ ∂ + ++ +

( ) 6 53, 2 cos49 7

fy

∂− − = − ⋅

∂

113



7.4 Taxas de Variação: Funções de mais do que duas Variáveis

Quando uma grandeza V é função das variáveis x, y, z e t (t é a grandeza tempo), isto é,

V depende de x, y, z e t, então uma variação da variável independente x, designada por Δx, acarreta uma variação correspondente da grandeza V. Essa diferença é dada por:

7.17

Analogamente, variando a grandeza tempo (t ) por uma quantidade Δt, isso acarretará outra

variação da grandeza V:

7.18

O mesmo, evidentemente, pode ser dito para a variação de qualquer uma das demais variáveis.

• ExEmplo 3: A variação do volume de um paralelepípedo reto retângulo de lados x, y e z, quando variamos o tamanho do lado x, considerando um novo paralelepípedo com dimensões

7.19

é dada por:

7.20

( ) ( ), , , , , ,V x x y z t V x y z t+ ∆ −

( ) ( ), , , , , ,V x y z t t V x y z t+ ∆ −

Figura 7.3: O volume do paralelepípedo inicial e o volume do paralelepípedo em que o tamanho do lado x sofreu um acréscimo Δx.

, e x x y z+ ∆

( ) ( )x x yz xyz x yz+ ∆ − = ∆

114



7.5 Taxa de Variação MédiaAo quociente entre a variação da grandeza e o respectivo intervalo associado a essa variação

damos o nome de razão média das variações ou taxa de variação média.

7.21

A taxa de variação média da função V, com relação à variável x, no intervalo [x, x + Δx] é

o quociente

7.22

Podemos, igualmente, definir a taxa de variação média, com relação à variável y, isto é

quando variamos apenas a grandeza y. Ela é definida por:

7.23

Podemos ainda definir a taxa de variação média, com relação à variável z, que resulta da

variação apenas da coordenada z. Ela é definida por:

7.24

Evidentemente, uma definição análoga vale para a taxa de variação média, com relação à

variável t:

7.25

Em qualquer dos casos, fica entendido que estamos variando uma das coordenadas de cada

vez, mantendo sempre constantes as demais. Para cada uma das variáveis, podemos determinar a

taxa de variação média da função com relação a essa variável, num intervalo em que a variável

considerada varia.

( ) ( ), , , , , ,V x x y z t V x y z tVx x

+ ∆ −∆=

∆ ∆

( ) ( ), , , , , ,V x x y z t V x y z tx

+ ∆ −∆

( ) ( ), , , , , ,V x y y z t V x y z ty

+ ∆ −

∆

( ) ( ), , , , , ,V x y z z t V x y z tz

+ ∆ −∆

( ) ( ), , , , , ,V x y z t t V x y z tt

+ ∆ −

∆

115



• ExEmplo 4: A taxa de variação média do volume do paralelepípedo reto retângulo, do exemplo 3, é dada por:

7.26

7.6 Taxa de Variação Instantânea e PontualÉ fácil determinar a taxa de variação média de uma função, uma vez que ela envolve apenas o

cálculo da função para dois valores genéricos distintos de uma das variáveis, quer seja ela x, y, z ou t, enquanto as outras permanecem constantes.

Consideremos agora o caso em que reduzimos o intervalo, em que qualquer uma das

variáveis varia, a um tamanho cada vez menor. Em particular, podemos pensar em um tamanho

muito pequeno (embora não tenhamos muita clareza sobre o que isso significa). A tais tamanhos

diminutos damos o nome de infinitesimais. Intervalos infinitesimais são denotados por dx, dy, dz ou, quando a variável for o tempo, dt.

A seguir, estaremos interessados em determinar a taxa de variação instantânea (quando a

variável for o tempo) ou a taxa de variação pontual de uma função f em relação a uma das

outras variáveis, x, y ou z. Para calcular, por exemplo, a taxa de variação pontual de f com relação à variável x, no ponto

(x0, y0, z0, t0) do domínio da função, consideramos acréscimos tanto positivos (Δx > 0) quanto

negativos (Δx < 0). Assim, fica subentendido que, ao calcular o limite quando Δx → 0, estamos

fazendo Δx aproximar-se de 0 por valores tanto positivos quanto negativos. Dessa maneira,

dizemos que, se o limite assim definido existir e ele for finito, ele será a derivada parcial da

função f com relação à variável x, no ponto (x0, y0, z0, t0). A notação utilizada é a seguinte:

7.27

( ) ( )x x yz xyz x yzV yzx x x

+ ∆ − ∆∆= = =

∆ ∆ ∆

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

, , , , , ,, , , lim

x

f x x y z t f x y z tf x y z tx x∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

116



De maneira análoga, definimos a taxa de variação pontual de f com relação à variável y, no

ponto (x0, y0, z0, t0) do domínio da função, como:

7.28

Definimos, finalmente, a taxa de variação pontual de f com relação à variável z, no ponto

(x0, y0, z0, t0) do domínio da função, como:

7.29

E definimos a taxa de variação instantânea de f com relação à variável t, no ponto (x0, y0, z0, t0) do domínio da função, como:

7.30

Observando com cuidado as definições, podemos perceber que a derivada parcial de uma

função com relação a uma variável, num ponto do domínio da função, é a derivada da função

com relação a uma variável, enquanto as demais variáveis são mantidas fixas ou constantes.

• ExEmplo 5: A derivada parcial com relação à variável x da função:

7.31

é por definição:

7.32

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

, , , , , ,, , , lim

y

f x y y z t f x y z tf x y z ty y∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

, , , , , ,, , , lim

z

f x y z z t f x y z tf x y z tz z∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

, , , , , ,, , , lim

t

f x y z t t f x y z tf x y z tt t∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( ) 3 2, , 5g x y z x y z=

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

0

3 32 2 2 2 2

0

5 5, , lim

5 lim 5 3 15

x

x

x x y z x y zg x y zx x

x x xy z y z x x y z

x

∆ →

∆ →

+ ∆ −∂= = ∂ ∆

+ ∆ −= = = ∆

117



• ExEmplo 6: Determine a taxa de variação instantânea de uma onda plana harmônica da forma:

7.33

→ Solução:Temos que a derivada parcial da função y com relação à variavel t é dada por:

7.34

sendo que, para o cálculo da taxa de variação do último termo, escrevemos:

7.35

Donde concluímos que:

7.36

Assim, para uma função escalar de quatro variáveis, V(x, y, z, t), V : D ⊂ 4 → , onde D é

o domínio de V, definimos quatro derivadas parciais de primeira ordem:

7.37

Muitas vezes utilizamos uma notação simplificada, escrevendo:

7.38

( , ) sen( )y x t A kx wt= −

( ) ( ) ( ), sen seny x t A kx t A kx tt t t

∂ ∂ ∂= − ω = − ω

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )sen cos coskx t kx t kx t kx tt t

∂ ∂− ω = − ω − ω = −ω − ω

∂ ∂

( , ) cos( )y x t A kx tt

∂= − ω − ω

∂

( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )V x y z t V x y z t V x y z t V x y z tt x y z

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

t

x

y

z

V x y z t V x y z tt

V x y z t V x y z tx

V x y z t V x y z ty

V x y z t V x y z tz

∂= ∂

∂∂

= ∂∂∂

= ∂∂∂

= ∂∂

118



7.7 Taxas de Variação Média de Campos VetoriaisSeja D ⊂ n e uma transformação F : D → 3, que é também denominado um campo

vetorial, indicado por F

; consideremos a determinação da taxa de variação de uma das compo-

nentes do campo vetorial com relação a uma variável.

Como exemplo, vamos considerar o campo elétrico:

7.39

e seja (x0, y0, z0, t0) um ponto do domínio do campo vetorial E

.

A taxa de variação da componente Ex com relação à variável y é definida de maneira análoga

ao que já foi feito antes. Lembramos primeiramente que uma variação

7.40

acarreta uma variação correspondente da componente do campo:

7.41

Ao quociente entre a variação da componente e o respectivo intervalo associado a ela

7.42

damos o nome de taxa de variação média da componente do campo.

Para um campo vetorial como E

, podemos considerar doze taxas de variação média. Abaixo,

apresentamos as outras três taxas de variação média da componente Ex do campo vetorial E

.

Temos:

7.43

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y zE x y z t E x y z t i E x y z t j E x y z t k= + +

0y y y∆ = −

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,x xE x y y z t E x y z t+ ∆ −

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,x xE x y y z t E x y z ty

+ ∆ −

∆

( ) ( ), , , , , ,x xE x x y z t E x y z tx

+ ∆ −∆

119



e

7.44

bem como aquela em relação ao tempo, isto é, à variável t:

7.45

7.8 Derivadas Parciais de Componentes e de Campos Vetoriais

Estamos interessados em determinar a taxa de variação instantânea (quando a variável

considerada for o tempo), ou a taxa de variação pontual de qualquer uma das componentes de

um campo vetorial (quando a variável considerada é x, y ou z), como, por exemplo, a componente

Ex = Ex(x, y, z, t). Tal taxa, calculada num ponto (x0, y0, z0, t0) do domínio do campo vetorial E

, é

denominada simplesmente taxa de variação de Ex no ponto de coordenadas (x0, y0, z0, t0). Ela é definida como aquela que é obtida a partir de intervalos cada vez menores da variável

considerada. Mais precisamente, estaremos interessados em obter o valor da taxa quando consi-

deramos o limite em que o intervalo de variação da variável considerada tende a zero.

Para calcular a taxa de variação pontual, com relação à variável y, de Ex, no ponto (x0, y0, z0, t0), consideramos acréscimos tanto positivos (Δy > 0) quanto negativos (Δy < 0). Assim, fica suben-

tendido que, ao calcularmos o limite, Δy → 0, estamos fazendo Δy aproximar-se de zero por

valores tanto positivos quanto negativos. Se o limite existir e ele for finito, ele definirá a derivada

parcial da componente do campo em um ponto do domínio.

7.46

A derivada parcial, com relação à variável y, é a função resultante desse processo limite, ou seja:

7.47

( ) ( ), , , , , ,x xE x y z z t E x y z tz

+ ∆ −∆

( ) ( ), , , , , ,x xE x y z t t E x y z tt

+ ∆ −

∆

( )0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

, , , ( , , , )( , , , ) lim x xx

y

E x y y z t E x y z tE x y z ty y∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( ) ( )0

, , , , , ,( , , , ) lim x xx

y

E x y y z t E x y z tE x y z ty y∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

120



A função derivada parcial da componente Ex do campo, com relação à variável x, é, analo-

gamente, definida pelo processo limite dado por:

7.48

Num campo vetorial, dependendo de quatro variáveis, x, y, z e t, podemos definir quatro

derivadas parciais para cada componente do campo vetorial. Assim, temos doze derivadas

parciais de um campo vetorial. Por exemplo, no caso da componente Ex do campo vetorial

( , , , )E E x y z t=

, temos quatro possíveis derivadas parciais de primeira ordem. Duas delas são

apresentadas nas expressões 7.47 e 7.48, enquanto, na terceira delas, a função derivada parcial

da componente Ex do campo com relação a z é definida como:

7.49

A taxa de variação instantânea da mesma componente do campo, a componente Ex, isto é, a

derivada parcial com relação a t, de Ex, é definida por:

7.50

Até aqui, definimos derivadas parciais de componentes de campos vetoriais e as de campos

escalares. Conquanto possamos sempre definir derivadas parciais de campos vetoriais, com rela-

ção às variáveis que são as coordenadas, nem sempre elas têm sentido físico. As derivadas parciais

de campos com relação ao tempo, no entanto, sempre fazem sentido. Geramos um novo campo,

com sentido físico bem definido, considerando a derivada parcial com relação ao tempo. Um

novo campo vetorial C

(x, y, z, t) é obtido a partir da taxa de variação instantânea do campo

E

(x, y, z, t), de acordo com a expressão:

7.51

( ) ( )0

, , , , , ,( , , , ) lim x xx

x

E x x y z t E x y z tE x y z tx x∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( ) ( )0

, , , , , ,( , , , ) lim x xx

z

E x y z z t E x y z tE x y z tz z∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( ) ( )0

, , , , , ,( , , , ) lim x xx

t

E x y z t t E x y z tE x y z tt t∆ →

+ ∆ −∂=

∂ ∆

( , , , )( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( , , , ) yx zE x y z tE x y z t E x y z t E x y z tC x y z t i j kt t t t

∂∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂

121



7.9 Algumas Propriedades das Derivadas ParciaisJá sabemos que, se F e G são funções deriváveis, então, F + G, F⋅G e F/G são deriváveis e

valem as propriedades usuais para a derivada da soma, do produto e do quociente de funções,

lembrando que, no caso do quociente, é preciso observar a restrição de o denominador não

poder ser zero.

Para a derivação parcial valem as mesmas propriedades. Assim é que:

7.52

Ou, numa notação mais simplificada, omitindo as variáveis:

7.53

Do mesmo modo, para a derivada parcial do produto de duas funções,

7.54

e, para a derivada parcial do quociente de duas funções,

7.55

• ExEmplo 7: Sendo F (x, y) = sen (x/y) e G(x, y) = cos (x, y), temos:em primeiro lugar, as derivadas parciais de F e G com relação a x:

7.56

Logo,

7.57

( )( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )F x y z t G x y z t F x y z t G x y z tx x x

∂ + ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

( )F G F Gx x x

∂ + ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

( )F G F GG Fx x x

∂ ⋅ ∂ ∂= ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂

2

F GG FF x xx G G

∂ ∂−∂ ∂ ∂= ∂

1 1cos e senF x G xx y y x y y

∂ ∂= = −

∂ ∂

( ) 1 sen cosF G x xx y y y

∂ += − ∂

122



7.58

7.59

Por outro lado, as derivadas parciais de F e G com relação à variável y:

7.60

Logo,

7.61

7.62

7.63

• ExEmplo 8: Sendo ( , ) ln sen xF x y

y

=

e ( , ) ln cos xG x yy

=

, temos:

7.64

2 2

( ) 1 1cos cos sen sen

1 1 2 cos sen cos

F G x x x xx y y y y y y

x x xy y y y y

∂ ⋅= ⋅ + ⋅ − = ∂

= − =

2 2

2

2

1 1cos sen1 sec

cos

x xF xy y y y

x G y yxy

+ ∂ = = ∂

2 2cos e senF x x G x xy y y y y y

∂ ∂= − =

∂ ∂

2

( ) sen cosF G x x xy y y y

∂ += − ∂

2 2

2 22 2

( ) cos cos sen sen

2 sen cos cos

F G x x x x x xy y y y y y y

x x x x xy y y y y

∂ ⋅= − ⋅ + ⋅ = ∂

= − = −

2 22 2

22

2

cos sensec

cos

x x x xy y y yF x x

y G y yxy

− − ∂ = = − ∂

1 1 1 1 1 1cos cotg e sen tgsen cos

F x x G x xx xx y y y y x y y y yy y

∂ ∂= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ − = − ⋅ ∂ ∂

123



Logo,

7.65

7.66

7.67

Por outro lado,

7.68

7.69

Logo,

7.70

( ) 1 cotg tgF G x xx y y y

∂ += − ∂

( ) 1 1cotg ln cos ln sen tg

1 cotg ln cos ln sen tg

F G x x x xx y y y y y y

x x x xy y y y y

∂ ⋅= ⋅ + ⋅ − = ∂

= ⋅ − ⋅

2

2

1 1cotg ln cos ln sen tg

ln cos

1 cotg ln cos ln sen tg =

ln cos

x x x xy y y y y yF

x G xy

x x x xy y y y y

xy

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ∂ = = ∂

⋅ + ⋅

2 2

1 cos cotgsen

F x x x xxy y y y yy

∂= ⋅ − ⋅ = − ⋅ ∂

2 2

1 sen tgcos

G x x x xxy y y y yy

∂= ⋅ − ⋅ − = ⋅ ∂

2

( ) tg cotgF G x x xy y y y

∂ += − ∂

124



7.71

7.72

7.10 Derivadas de Ordem SuperiorPodemos definir derivadas parciais de ordem mais alta, com relação a uma variável. Assim, podemos

definir a derivada parcial de segunda ordem de uma função escalar, com relação à variável x:

7.73

desde que tal limite exista e seja finito.

De forma análoga, podemos definir as derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma

função escalar:

7.74

2 2

2

2

( ) cotg ln cos ln sen tg

cotg ln cos ln sen tg

ln sen tg cotg

F G x x x x x xy y y y y y y

x x x x xy y y y y

x x x xy y y y

∂ ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ∂

= − ⋅ + ⋅ =

= ⋅ −

ln cos x

y

⋅

2 2

2

2

2

cotg ln cos ln sen tg

ln cos

cotg ln cos ln sen tg =

ln cos

x x x x x xy y y y y yF

y G xy

x x x x xy y y y y

xy

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∂ = = ∂

− ⋅ + ⋅

2

2 0

( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , ) lim

x

V x x y z t V x y z tV x y z t V x y z t x x

x x x x∆ →

∂ + ∆ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ ∆

2 ( , , , ) ( , , , )V x y z t V x y z tx y x y

∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂

125



7.75

Da mesma forma, podemos definir as derivadas parciais de segunda ordem das componentes

de uma função vetorial:

7.76

7.77

Derivadas parciais de ordem mais alta são assim obtidas como uma sucessão de derivadas

parciais. Por exemplo:

7.78

• ExEmplo 9: Sendo 2 2( , )f x y x y= + , temos quatro derivadas parciais de segunda ordem.Em primeiro lugar,

7.79

Agora,

7.80

7.81

2 ( , , , ) ( , , , )V x y z t V x y z tx z x z

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

2

2

( , , , ) ( , , , )x xE x y z t E x y z tx x x

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 ( , , , ) ( , , , )x xE x y z t E x y z t

x z x z∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

1 2

1 2

2 2 1

2 2 1

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , ) ...

n n n

n n n

n n

n n

V x y z t V x y z t V x y z tx x x x x x

V x y z t V x y z tx x x x

− −

− −

− −

− −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

( , ) ( , ) e f x y x f x y yx yx y x y

∂ ∂= =

∂ ∂+ +

( )

22 2

2 22 2

32 2 22 2 2 2 2

( , ) ( , )xx y

x yf x y f x y x yx x x x x yx y x y

+ − +∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ + + +

( )

2 22

32 22 2 2 2 2

( , ) ( , )xy

x yf x y f x y x xyy x y x y x yx y x y

− +∂ ∂ ∂ ∂ − = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + +

126



7.82

7.83

Uma observação importante é o fato de que nem sempre as derivadas parciais mistas de uma função coincidem. Entretanto, se a função for de classe C2 num aberto A – isto é, todas as suas derivadas parciais de ordem 2 são contínuas em A –, então, as derivadas parciais mistas da função coincidem em A. Não entraremos em detalhes sobre essa questão, pois foge ao objetivo deste texto.

• ExEmplo 10: Seja 2 2

1( , )f x yx y

=+

. Vamos verificar que [omitindo os pontos (x, y) em que as funções são calculadas]:

7.84

Em primeiro lugar,

7.85

e daí

7.86

e

7.87

Logo,

7.88

( )

2 22

32 22 2 2 2 2

( , ) ( , )yx

x yf x y f x y y xyx y x y x x yx y x y

− + ∂ ∂ ∂ ∂ −

= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ++ +

( )

22 2

2 22 2

32 2 22 2 2 2 2

( , ) ( , )yx y

x yf x y f x y y xy y y y x yx y x y

+ − + ∂ ∂ ∂ ∂

= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ++ +

( )2 2 4 4

42 2 2 2

8( )f f x yx y x y

∂ ∂ −− =

∂ ∂ +

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2 e f x f yx yx y x y

∂ − ∂ −= =

∂ ∂+ +

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 22 4 2 2 4

4 42 2 2 2 2

2 ( 2 ).2 .2 6 4 2x y x x y xf x x y yx x y x y

− + − − +∂ + −= =

∂ + +

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 22 4 2 2 4

4 42 2 2 2 2

2 ( 2 ).2 .2 2 4 6x y y x y yf x x y yy x y x y

− + − − +∂ − + += =

∂ + +

( ) ( )( )

( )

4 42 2 4 2 2 4 4 2 2 4

4 4 42 2 2 2 2 2 2 2

86 4 2 2 4 6 x yf f x x y y x x y yx y x y x y x y

−∂ ∂ + − − + +− = − =

∂ ∂ + + +

127



• ExEmplo 11: Sendo f (x, y, z) = exyz, mostre que

2 222.f f f zz

y x x y z xy ∂ ∂ ∂

+ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ .

Temos:

7.89

7.90

7.91

Agora

7.92

Como as funções envolvidas são contínuas, 2 2f fy x x y

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂ e, portanto,

7.93

Por outro lado,

7.94

Logo,

7.95

sempre que xy ≠ 0.

e .xyzf yzx

∂=

∂

e .xyzf xzy

∂=

∂

e .xyzf xyz

∂=

∂

2

e . . e .xyz xyzf xz yz zy x

∂= +

∂ ∂

2 222e .( )xyzf f xyz z

y x x y∂ ∂

+ = +∂ ∂ ∂ ∂

2 22. 2e .xyzf z zz xy zz xy xy

∂+ = + ∂

2 222.f f f zz

y x x y z xy ∂ ∂ ∂

+ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

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