Determinação das características geométricas de superfícies planas

Apresentação da aula

1. Introdução2. Baricentros e centróides3. Momentos de primeira ordem ou momentos

estáticos4. Momentos de segunda ordem ou momentos

de inércia5. Produtos de inércia6. Translação de eixos7. Rotação de eixos8. Momentos e eixos principais de inércia9. Exemplos numéricos

1. INTRODUÇÃO

disciplinas Resistência dos Materiais e Análise de Estruturas :

cálculo de esforços internos e externos resultantes de ações aplicadas nas estruturas

deslocamentos e tensões

características geométricas das superfícies planas formadas pelas seções transversais das barras

Viga em balanço

Análise de Estruturas equaciona o problema de determinação da flecha f na extremidade da barra:

  função proporcional à ação P aplicada e ao comprimento da peça L e inversamente proporcional à capacidade de deformação do material (representada pelo módulo de elasticidade E) e também ao denominado Momento de Inércia I, uma característica geométrica da

seção transversal 

3

3

PLf

EI

Baricentros e centróides

Superfície de espessura constante

Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔP

O peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por:

sendo que, no limite:

1 2 ... nP P P P

P dP

Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou sejam:

Levando tais expressões ao limite, tem-se:

Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:

 

 

onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem com as do Baricentro.

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...c n n

c n n

Px x P x P x P

Py y P y P y P

c cP x xdP P y ydP

c c

xdA ydAA dA x y

A A

Momentos de primeira ordem ou momentos estáticosAs integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por:

 

 

Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos Estáticos.

y xQ dA Qx ydA

VARIAÇÃO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTÁTICOS

Dependendo da posição do eixo escolhido, o resultado numérico do Momento Estático pode apresentar sinais distintos ou mesmo se anular, conforme pode ser observado no exemplo da figura.

d

Para os eixos

Para os eixos 0

Para os eixos

e ye

y

yd

x y Q

x y Q

x y Q

Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia

De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente, em notação dada por:

Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:

2 2 x yI dA I dAy x

FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA

 

2

1

y x

y x

0x 1x

1 2

0 1

( )

( )

, ,x x

A x x

f x y dA f x y dy dx

  

 

Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:

 

onde

 

 

 

Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas.

De maneira análoga, para o eixo y:

b

h

x

y

21 20 ,x x h f x y y

32

0 0 3

b h

x

bhI y dy dx

3

3y

b hI

Produtos de inércia

Outra característica geométrica de importância para utilização nos itens que se seguem, denomina-se Produto de Inércia, definido pela integral dada por:  

A exemplo dos momentos estáticos, é fácil verificar que seu resultado apresenta variação de sinais, conforme mostra a figura, dependendo da posição que a área se encontrar em relação aos eixos (x,y).

xyI xy dA

y

x

(x,y)

(-x,y)

Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto de Inércia do retângulo da figura, aproveitando-se os parâmetros utilizados para o cálculo de Ix.

Nesse caso basta substituir a função na fórmula de integração dupla, ou seja:

 

Para outra posição de eixos coordenados passando pelo Centróide, é fácil verificar que o resultado de Ixy é zero, face à simetria e ao produto dos sinais indicados nos respectivos quadrantes.

2 2

0 0 4

b h

xy

b hI xydy dx

b

h- + + -

x'

y'

 

/ 2 / 2

/ 2 / 2

0b h

xy

b h

I xydy dx

Translação de eixos

Demonstra-se que é possível estabelecer uma relação entre Momentos de Inércia localizados em relação aos eixos passando pelo Centróide e eixos paralelos quaisquer conforme ilustra a firura, por meio do denominado Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner), conforme a seguir se expõe.

O Momento de Inércia da superfície, referido ao eixo x, é:

2xI y dA

Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do baricentro da área, e havendo interesse em obter o Momento de Inércia relativo a novo eixo x’ paralelo a x passando por C, basta ter em conta que:

Substituindo tal relação na expressão de Ix obtém-se:

 

 

Desenvolvendo o termo elevado ao quadrado e retirando das integrais as constantes pertinentes tem-se:

ou ainda, à vista que o momento estático em relação ao Centróide é nulo, resulta:

ou

cy y y

2

x cI y y dA

2 22x c cI y dA y y dA y dA

2 2x cI y dA y dA 2

x x cI I Ay

Analogamente, para o eixo y:

 

 

Nos dois casos, conhecendo-se os Momentos de Inércia em relação ao Centróide, o valor do Momento de Inércia em relação a qualquer eixo paralelo pode ser obtido adicionando-se uma parcela correspondente ao produto da área pelo quadrado da distância transladada ou vice versa.

Procedimento idêntico pode ser realizado para o Produto de Inércia em relação a novos eixos paralelos escrevendo:

ou

2y y cI I Ax

xy c c c cI x y dA y x dA x y dA x y dA

xy x y c cI I Ax y

Rotação de eixos

Completando o estudo, passa-se à determinação das características geométricas em relação a novos eixos localizados na mesma origem e girados de um ângulo qualquer.

Observe-se que, embora de caráter geral, em aplicações práticas interessa providenciar a rotação ao redor dos eixos ( x’ , y’ ) localizados no Centróide. Por esse motivo, estabeleceu-se para a redação das fórmulas deste item, a convenção ilustrada na figura, onde estão indicadas fórmulas para rotação das coordenadas.

 

cos

cos

u x y sen

v y x sen

 

Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como funções de Ix’, Iy’ e Ix’y’ é o bastante substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas expressões

das características geométricas relativas a esses eixos, ou sejam:

Após algumas manipulações algébricas, obtêm-se as seguintes fórmulas mais concisas:

2 2 u v uvI v dA I u dA I uvdA

cos2 sen22 2

sen2 cos22

x y x yux y

v

x yuv x y

I I I III

I

I II I

Momentos e eixos principais de inércia

Tendo em vista que os Momentos de Inércia Iu e Iv estão relacionados a Ix’ e Iy’ apenas como funções do ângulo θ, é possível determinar seus valores extremos, bastando para tanto derivar tais expressões, igualando-as a zero, providência que conduz a:

 

 

A solução dessa equação tem como resultado dois valores de θ defasados de 90o , que definem outro par de eixos denominados Eixos Principais de Inércia, indicados por ( 1 , 2 ) , nos quais os Momentos de Inércia são extremos, e denominados Momentos Principais de Inércia, em notação expressa por

5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas

5.1- Definição e convenção de sinais

Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.

Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante.

Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.

N - força normal ou axial

V - força cortante

M - momento fletor

T - momento torçor

As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.

Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços

Esforço normal (axial): N

Esforço cortante: V

Momento fletor: M

Momento torçor: T

Determinação dos esforços solicitantes

As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada.

Exemplo

apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy

apoio móvel C: deslocamento restrito vy

x

y

C

B

VA

A

Vc

HA

4,0 1,5 m

5,0 kN/m

8,0 kN

8,0 kN

Reações de apoio

Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia,

Fq = 5,0.5,5=27,5 kN

Equações de equilíbrio

x

y27,5 kN

RARc

HA

4,0 1,5 m

kNRRM

kNRRRRF

kNHF

CCzA

CACAy

Ax

9,1804.2

5,5.5,27:0

5,2705,5.5:0

0,8:0

kNRR CA 6,89,185,275,27

8,0 kN

Esforços solicitantes

Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)

equações de equilíbrio

x

y10,0 kN

RA

2,0

MB

mkNMMRM

kNVkNVVRF

kNNNHF

BBAzB

BBBAy

BBAx

.2,702

0,2.0,2.0,50,2.:0

4,10,106,800,2.0,5:0

0,80:0

VB

NB

HA

6. Equações analíticas e diagrama de esforços

6.1- Equações analíticas

Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal;

Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo;

Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica.

As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.

Esforços solicitantes

Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 mequações de equilíbrio

x

y5,0.s

RA

s

MS

2.5,2.6,802

..0,5.:0

.0,56,8.0,56,80.0,5:0

0,80:0

ssMMs

ssRM

sVsVsVRF

kNNNHF

SSAzS

SSSAy

SSAx

VS

NS

s

HA

Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios

Para s=0:

Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):

0,0.5,2.6,8

6,8.0,56,82

ssMM

kNsVV

AS

AS

mkNssMM

kNsVV

esqSS

esqSS

.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8

4,110,4.0,56,8.0,56,822

,

,

Esforços solicitantes

Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m

x

y5,0.s

RA

s

MS

2.5,2)0,4.(9,18.6,8

02

..0,5)0,4.(.:0

5,27.0,5

.0,59,186,80.0,5:0

0,80:0

sssM

Ms

ssRsRM

sV

sVsVRRF

kNNNHF

S

SCAzS

S

SSCAy

SSAx

VS

NS

s

RC

HA

mkN

sssMM

kNsVV

dirCS

dirCS

.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8

.5,2)0,4.(9,18.6,8

5,75,270,4.0,55,27.0,5

2

2,

,

Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço

Para s=4,0:

Para s=5,5 (seção extrema do balanço):

0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8

.5,2)0,4.(9,18.6,8

0,05,275,5.0,55,27.0,5

2

2

sssMM

sVV

DS

DS

Diagrama dos esforços solicitantes

As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções:Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x

8,6

11,4

7,5+

_

+

7,2

5,6

+

_

B

1,4

V (kN)

M (kN.m)

Observações:

Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN)

Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos

As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si.Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:

Equações de equilíbrio

qxqdx

MdouV

dx

dM

Assim

dxdVdx

dxdVdxVdM

dxdVVdMM

dxVMM

qxqdx

dV

Assim

dxxqdVdxxqdVVVF

z

y

)(

,

02

.:002

..

02

).()(2

.:0

)(

,

)(0)()(:0

2

2

Integrando-se as duas equações, tem-se:

onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.

21

2

1

1

.2

..

.)(

CxCx

qdxCxqMVdxdM

CxqVdxxqdV

Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída:

q=0: V - constante M - variação linear

q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau

q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau

E ainda:

máximoéMdx

Md

mínimooumáximoMVdx

dM

0

:0

2

2

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.

DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998.

FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976.

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Bibliografia