Equações de

primeiro grau com

uma variável

Disciplina: MatemáticaProfessora: Camila C. Souza

Criado em 10/11/2010

Gerônimo Cardano (1501-1576), médico e matemático italiano,

considerado o mais competente algebrista do seu tempo.

Um pouco de história ...

Hoje usamos expressões matemáticas para generalizar a aritmética, representar quantidades desconhecidas, expressar relações, etc.

Esses estudos fazem parte do que chamamos de ÁLGEBRA. Veja as diferentes contribuições de pessoas que foram fundamentais para os

progressos nesta área.• XVII a.C. – o egípcio Ahmes escreveu, por volta de 1650 a. C., um texto

matemático baseado em um material mais antigo. Conhecido como Papiro de Rhind, esse texto contém problemas matemáticos, entre eles algumas equações (ainda sem linguagem algébrica usada atualmente). Ele é considerado o primeiro documento conhecido sobre Matemática.

• III d. C. - Diofante de Alexandria começou a utilizar algumas palavras abreviadas em textos matemáticos, o que seria o início da linguagem (notação) algébrica.

• IX d. C. - O matemático árabe al-Khowarizmi escreveu o livro Al-jabr-Wa’l muqabalah, cujo título possivelmente deu origem ao termo Álgebra.

• XVI d. C. - O francês François Viète, formado em direito, contribuiu para o desenvolvimento da álgebra simbólica.

• Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo “equa” que provém do Latim e significa igual.

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14

1° membro Sinal de igualdade 2° membro

2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 – 2 = 14 – 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Podemos ver que toda equação tem:

• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

• Um sinal de igualdade, denotado por =.

• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;

• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma

ax + b = 0, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Ex: I) 2x + 3 = 0 Ou seja: a = 2, b = 3

Ex. II) 4x + 5 = 7 Neste caso para sabermos o valor de a e b, temos que “arrumar” a

equação.

4x + 5 – 7 = 0 4x – 2 = 0 Ou seja: a = 4, b = - 2

Mais Exemplos:

• 2x + 8 = 0• 5x - 4 = 6x + 8

• 3a - b - c = 0

Não são equações:

• 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

• x - 5 < 3 (Não é igualdade)

• (não é sentença aberta, nem igualdade)

A resolução de problemas do 1º grau tem 3 fases:

• Escrever a equação do problema;• Resolver a equação estabelecida;• Interpretar a solução da equação, isto é, verificar se a raiz da

equação satisfaz as condições colocadas no problema.

Exemplo: A soma do dobro de um número com 17 é igual a 45. Qual é esse número?

Número procurado: x

Equação: 2x + 17 = 45

Resolução: 2x = 45 – 17 2x = 28 x = 28/2 x = 14

Resposta: O número procurado é 14.

RESOLVENDO AS EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Ex. I) 2x + 4 = 0 2x = - 4 x = - 4 / 2 x = - 2

Resposta: x = - 2

Ex. II) 3x + 9 = 16 3x = 16 – 9 3x = 7 x = 7 / 3

Resposta: x = 7 / 3

Nas equações de 1º grau, estamos sempre procurando o valor da incógnita (ou seja, a letra) dada na situação-problema.

Exercícios de fixação:1- Qual a solução de cada equação?

a) x + 6x = 14 c) 2x + 4x = 36

b) x + 7 = 0 d) 5x – 10 = 0

2 – Escreva em seu caderno uma equação correspondente à frase e descubra sua solução:

a) O triplo de um número natural x é 15.

b) Um numero natural n somado com 36 é igual a 57.c) O dobro de um número é 6.

Desafio:

Descubra a idade das netas de D. Ana:• O triplo da idade de Luma é 12.• O quádruplo da idade de Márcia é 12.• O dobro da idade de Lia é 12.• O sêxtuplo da idade de Célia é 12.

Qual a idade de cada neta?

Exercícios de fixação:

3 – Escreva uma equação que expresse o problema e resolva-o:

a) Ana pagou R$ 1200,00 por uma geladeira. Ela deu R$ 200,00 de entrada e o restante em 5 prestações iguais. Qual o valor da prestação?

b) O dobro de um número somado com o triplo dele é 100. Que número é esse?

4 – Leia e Responda:

a) Pensei em um número, multipliquei-o por 5 e obtive 30. Em que número pensei?

b) Pensei em um número, multipliquei-o por 4, tirei 4 e obtive 16. Em que número pensei?

Sites pesquisados:

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm• http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes1.php• http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconc

ursos013.asp

Livros pesquisados:

• A Conquista da Matemática (6ª série) Autores: Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. Editora FTD

• Projeto Araribá – Matemática (6ª série) Editora Moderna