First Workshop in Quantitative Finance

Mensuração do risco de taxa de juros na

carteira banking

Novembro/2014

Escola de Economia de São Paulo

Fundação Getúlio Vargas

Agenda

Introdução

Dinâmica da ETTJ

Metodologia

Aplicação

Conclusões

Introdução Fontes de risco de taxa de juros no Banking Book, segundo BCBS (2004a)

Repricing

Yield Curve

Basis Risk

Optionality

Abordagens para mensuração

Aspectos Net Interest Income Economic Value of Equity

Funding Necessário Não aplicável

Impostos Necessário Sempre antes de Impostos

Horizonte Em função da política de

mensuração da instituição Maturidade do instrumento

mais longo

Escala de Resultados

Relativo ao resultado médio

Relativo ao valor atual

Introdução Circular nº 3365, de 12 de setembro de 2007

Art. 1º: A mensuração e a avaliação do risco de taxas de juros das operações não classificadas na carteira de negociação devem ser efetuadas por meio de sistema que atenda os seguintes critérios mínimos, de acordo com a natureza das operações, a complexidade dos produtos e a dimensão da exposição a risco de taxas de juros da instituição:

I. inclua todas as operações sensíveis à variação nas taxas de juros;

II. utilize técnicas de mensuração de risco e conceitos financeiros amplamente aceitos;

III. considere dados relativos a taxas, prazos, preços, opcionalidades e demais informações adequadamente especificadas;

IV. defina premissas adequadas para transformar posições em fluxo de caixa;

V. meça a sensibilidade a mudanças na estrutura temporal das taxas de juros, entre as diferentes estruturas de taxas e nas premissas;

VI. esteja integrado às práticas diárias de gerenciamento de risco;

VII. permita a simulação de condições extremas de mercado (testes de estresse);

VIII.possibilite estimar o Patrimônio de Referência (PR) compatível com os riscos.

Introdução Circular nº 3365, de 12 de setembro de 2007

Art. 2º Os testes de estresse mencionados no art. 1º, inciso VII, devem:

I. ser realizados no mínimo trimestralmente;

II. estimar percentual da variação do valor de mercado das operações não classificadas na carteira de negociação em relação ao PR, com utilização de choque compatível com o 1º e o 99º percentis de uma distribuição histórica de variações nas taxas de juros, considerando o período de manutenção de um ano e o período de observação de cinco anos;

III. estimar a quantidade de pontos-base de choques paralelos de taxas de juros necessários para acarretar reduções do valor de mercado das operações não classificadas na carteira de negociação correspondentes a 5%, 10% e 20% do PR;

IV. ser realizados individualmente para cada fator de risco que contribua com no mínimo 5% do total das exposições referentes às operações não classificadas na carteira de negociação e, de forma agregada, para as operações remanescentes.

Dinâmica da ETTJ

8%

9%

10%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

1 21 42 63 84 105 126 252 504 756 1260 2520

Curva PRE BRL

20-fev-06 22-set-11 23-dez-13

Estrutura a Termo de Taxa de Juros (ETTJ) são compostas por um conjunto de taxas de juros referenciais para cada prazo.

Fatores subjacentes como

Liquidez;

Expectativa de crescimento econômico;

Inflação

afetam a toda ETTJ ao longo do tempo.

Em portfólios de renda fixa, análises consistentes de

Investimentos e

Gestão de Riscos

devem permitir a avaliação dos diversos movimentos na ETTJ.

Dinâmica da ETTJ

5%

7%

9%

11%

13%

15%

17%

19%

21%

23%

25%

5-jan-04 5-jan-05 5-jan-06 5-jan-07 5-jan-08 5-jan-09 5-jan-10 5-jan-11 5-jan-12 5-jan-13

Evolução diária da PRE BRL de jan/2004 a dez/2013

PRE_1

PRE_21

PRE_42

PRE_63

PRE_84

PRE_105

PRE_126

PRE_252

PRE_504

PRE_756

PRE_1260

PRE_2520

Mudança de inclinação

A taxa de curto prazo determina em grande parte o nível da ETTJ

Mudança de curvatura

Metodologia

Como mostrado anteriormente na séries históricas dos vértices, há um comportamento estreito entre cada prazo que compõe a ETTJ.

Por isso, muito mais relevante e metodologicamente consistente do que tentar replicar o comportamento isolado de um vértice, é modelar a ETTJ como um todo.

Com este propósito utilizamos Análise de Componentes Principais (PCA).

Para ilustrar como o PCA soluciona este problema, apresentamos os retornos conjuntos para os prazos de 1 e 3 anos.

No sistema de coordenadas cartesianas original, é impossível falar qualquer coisa a respeito dos retornos (e volatilidade) de um vértice sem considerar o outro.

-0,0150

-0,0100

-0,0050

-

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

-0,0150 -0,0100 -0,0050 - 0,0050 0,0100 0,0150 0,0200

PR

E_2

52

PRE_756

Comportamento dos Retornos entre 2 Vértices da ETTJ

Metodologia

Utilizando-se os eixos PC1 e PC2, vemos que a informação original de ambos os vértices fica praticamente toda contida no primeiro componente (PC1) e a informação residual fica no PC2.

Quanto maior a correlação entre as variáveis originais, maior o decréscimo das variâncias dos entre componentes e, nesse caso, tanto mais drasticamente é possível se fazer uma redução de dimensões sem perdas substanciais da informação original.

Sair da base original e determinar uma base ortogonal ótima para representar os dados é a tarefa realizada pelo PCA.

A matriz de autovetores W é a responsável pela transformação dos dados de uma base para outra.

-0,0150

-0,0100

-0,0050

-

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

-0,0150 -0,0100 -0,0050 - 0,0050 0,0100 0,0150 0,0200

PR

E_2

52

PRE_756

Comportamento dos Retornos entre 2 Vértices da ETTJ

Metodologia Seja X uma matriz de dimensão (txk) estacionária onde cada coluna possui uma

série histórica de t retornos padronizados. Cada coluna representando um vértice da curva.

PCA baseia-se na análise de autovalores e autovetores da matriz simétrica V=X’X/T (kxk) representando as correlações entre os retornos da matriz X.

Considerando W e Λ como sendo a matriz (kxk) dos autovetores e a matriz diagonal dos autovalores de V, respectivamente, temos a seguinte decomposição

VW=WΛ

As colunas de W são ordenadas em ordem decrescente de relevância dos autovalores α𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘.

Cada componente principal, P, é uma combinação linear das colunas da matriz X, ou seja, dos vértices da curva cujos pesos são escolhidos de tal forma que:

PC1 explica a maior parte da variações total de X, PC2 explica a maior parte da variação remanescente e assim por diante.

Os componentes principais são descorrelacionados entre si, pois formam uma base ortogonal.

Metodologia Mais especificamente, a transformação P=XW gera uma matriz onde cada coluna

contém a série temporal dos retornos de X projetados na base ortogonal.

Como Λ é uma matriz diagonal, segue que as colunas de P são descorrelacionadas, cada qual com variância α𝑖.

Como a variância de cada componente é determinada por seu autovalor, a proporção da variação total de X explicada pelo i-ésimo componente é:

α𝑖 α𝑖𝑘𝑖=1

Porém, a soma dos autovalores, α𝑖𝑘𝑖=1 , é o traço da matriz Λ a qual é a matriz

diagonal dos autovalores de V. Como o traço de uma matriz é invariante sob transformações similares, segue que tr(Λ)=tr(V). Mas, como V possui 1’s ao longo de toda sua diagonal, pois, informa a correlação de cada variável original consigo mesma, segue que tr(V)=k.

Logo, a proporção da variação explicada pelos n componentes principais conjuntamente é:

α𝑖𝑛𝑖=1

𝑘

Metodologia

Como W é ortogonal, segue que X=PW’.

Portanto, cada vetor retornos (coluna da matriz X) pode ser escrito como uma combinação linear dos componentes principais.

Em outras palavras, os retornos padronizados em X podem ser sintetizados ou simulados a partir de um subconjunto dos componentes (descorrelacionados!) mais representativos da base ortogonal gerada por W.

Assim, o PCA permite:

A redução do número de variáveis a serem simuladas para representar X otimizando a carga computacional;

Mesmo sem aplicar a redução dimensional, cálculos de covariâncias para as variáveis originais são extremamente facilitados considerando-se X=PW’;

Aplicação

Utilizando a série histórica diária da PRE BRL de jan/2004 a dez/2013

W w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w10 w11 w12

PRE_1 0,0680 0,3218 -0,9269 0,1758 -0,0415 -0,0040 0,0068 -0,0035 0,0003 -0,0037 -0,0019 -0,0010

PRE_21 0,2422 0,4016 0,0558 -0,4236 0,4786 -0,4921 -0,3058 -0,1446 0,1064 0,0235 -0,0038 0,0056

PRE_42 0,2923 0,3381 0,0875 -0,2346 0,1845 0,2730 0,5122 0,4571 -0,3651 -0,1444 -0,0569 -0,0155

PRE_63 0,3195 0,2525 0,1035 -0,0567 -0,0807 0,4498 0,2175 -0,3637 0,5335 0,3701 0,0956 0,0343

PRE_84 0,3325 0,1672 0,1101 0,0799 -0,2544 0,2208 -0,3009 -0,3677 -0,1780 -0,6218 -0,0926 -0,2774

PRE_105 0,3394 0,1077 0,0998 0,1510 -0,2889 -0,0331 -0,2938 0,1280 -0,2208 0,1323 0,0763 0,7623

PRE_126 0,3399 0,0616 0,0923 0,1940 -0,2817 -0,1900 -0,2072 0,3419 -0,0912 0,4546 0,1006 -0,5781

PRE_252 0,3334 -0,1251 0,0400 0,2536 -0,1153 -0,4286 0,3318 0,1739 0,4767 -0,2983 -0,3842 0,0785

PRE_504 0,3135 -0,2826 -0,0449 0,1871 0,1893 -0,2231 0,3120 -0,2554 -0,1634 -0,1048 0,7064 -0,0056

PRE_756 0,2963 -0,3423 -0,0858 0,1303 0,3224 0,0680 0,0462 -0,3354 -0,3686 0,3271 -0,5518 -0,0072

PRE_1260 0,2718 -0,3895 -0,1428 -0,0230 0,3893 0,3889 -0,4042 0,4002 0,3025 -0,1538 0,1094 0,0021

PRE_2520 0,1919 -0,3863 -0,2397 -0,7401 -0,4433 -0,0764 0,0641 -0,0356 -0,0264 0,0157 -0,0093 -0,0030

αi 7,9655 2,0023 0,8597 0,5379 0,3194 0,1196 0,0760 0,0466 0,0321 0,0222 0,0149 0,0037

carga 66,4% 16,7% 7,2% 4,5% 2,7% 1,0% 0,6% 0,4% 0,3% 0,2% 0,1% 0,0%

explicação 66,4% 83,1% 90,2% 94,7% 97,4% 98,4% 99,0% 99,4% 99,7% 99,8% 100,0% 100,0%

Matriz de Autovetores

Variância de cada Componente

Aplicação

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60Autovetores mais relevantes

w1 w2 w3

65,0%

70,0%

75,0%

80,0%

85,0%

90,0%

95,0%

100,0%

105,0%

w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w10 w11 w12

Explicação Conjunta dos n Primeiros Autovetores

O w1 representa movimentos paralelos da ETTJ.

O w2 representa movimentos na inclinação da ETTJ.

O w3 representa alteração na curvatura da ETTJ.

Estes 3 primeiros componentes explicam conjuntamente mais de 90% dos retornos dos 12 vértices considerados na ETTJ.

Utilizando a série histórica diária da PRE BRL de jan/2004 a dez/2013

Aplicação

Para o histórico utilizado, os movimentos de nível respondem por 66,4%, ou quase 2/3, da variação total observada na ETTJ.

Movimentos na inclinação respondem por 16,7% da variação total da ETTJ.

Mudança de curvatura explicam 7,2% da variação total da ETTJ.

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%Mudança de Nível da ETTJ: Level Shift Simulation

Original Simulada

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%Mudança de Inclinação da ETTJ: Tilt Simulation

Original Simulada

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%Mudança de Curvatura da ETTJ: Convexity Simulation

Original Simulada

Aplicação

A série histórica original (PRE_252), em preto, é em grande parte replicada apenas com o primeiro componente (w1), em azul.

A medida em que componentes de ordem superior são adicionados, a replicação se aproxima cada vez mais da série histórica real.

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%

jan-04 jan-05 jan-06 jan-07 jan-08 jan-09 jan-10 jan-11 jan-12 jan-13

Reconstituição da Série Original (PRE_252) por Componentes Principais

PRE_252_W1

PRE_252_W2

PRE_252

PRE_252_W3

Conclusões Devido à natureza de elevada correlação entre os vários prazos de qualquer

ETTJ, a mensuração direta do risco associado ao portfólio pode ser:

Computacionalmente pesada

O processo de simulação necessita considerar a correlação entre cada par de variáveis. Por exemplo, uma curva com 12 vértices possui 66 correlações distintas, um sistema de 10 curvas com 12 vértices cada possui 7,140 correlações distintas.

Metodologicamente inconsistente

A distribuição dos movimentos conjuntos de toda a ETTJ, pode ser facilmente rompida ao se considerar cada prazo como uma variável aleatória independente.

Descolada dos fundamentos econômicos subjacentes a este mercado

Analisar os resultados de simulações de um portfólio pode ser impraticáveis prejudicando tomadas de decisão para avaliação de investimentos e gestão de riscos.

Conclusões Por outro lado, com a utilização do PCA, temos um modelo de simulação:

Computacionalmente eficiente

Limitado ao número de variáveis originais.

Pode-se reduzir ainda mais em função da relevância dos componentes principais.

Metodologicamente consistente

Os movimentos não são mais de um único prazo, mas de toda a ETTJ garantindo a consistência dos movimentos entre todos os prazos.

Aderente aos fundamentos econômicos subjacentes a este mercado

O comportamento apresentado, está em linha com resultados reportados em todos os estudos conhecidos de aplicação de PCA a uma ETTJ em diferentes épocas e mercados. Em todos os casos, o primeiro componente representa movimentos de nível, o segundo de inclinação e o terceiro de curvatura e com a mesma ordem de grandeza de suas contribuições à explicação da variação total observada nos dados. Isso revela a robustez dos resultados.

Referências

Arnold, M., Measuring Interest Rate Risk from an Earnings and Economic Value Perspective, Journal of Bank Accounting and Finance, Winter, 2000.

Banco Central do Brasil, Circular No. 3365 de 12 de setembro de 2007.

Basel Committee on Banking Supervision, International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: a revised framework, BIS, June, 2004a,

Basel Committee on Banking Supervision, Principles for the Management and Supervision of Interest Rate Risk, BIS, July, 2004b,

Bohn, A., Elkenbracht-Huizing, M., The Handbook of ALM in Banking: interest rates, liquidity and balance sheet, Risk Books, 2014.

Brigo, D.; Mercurio, F. Interest Rate Models: Theory and Practice, Springer 2001.

Jollife, I.T. Principal Component Analysis, Springer, 2002.

Krenin, A., Merkoulovitch, L., Rosen, D., Zerbs, M. Principal Component Analysis in Quase Monte Carlo Simulation, Algo Research Quarterly, Vol 1, nº 2, Dec. 1998.

Muito Obrigado!

Alexandre de Oliveira aliretti@uol.com.br