Especialização em Estruturas€¦ · Aluna: Erika Marinho Meireles Leitão . LISTA DE...
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Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Especialização em Estruturas TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Considerações sobre a Formulação de Diversos Elementos Finitos em Exemplos de Aplicação Professor: Fernando Amorim de Paula Aluna: Erika Marinho Meireles Leitão
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Universidade Federal de Minas Gerais
Escola de Engenharia
Especialização em Estruturas
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Considerações sobre a Formulação de Diversos Elementos Finitos em Exemplos de Aplicação
Professor: Fernando Amorim de Paula
Aluna: Erika Marinho Meireles Leitão
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Elementos de Mola......................................................................................................... 10
Figura 2: Elementos de Treliça ...................................................................................................... 14
Figura 3: Diagrama de Barras e Nós da Treliça ............................................................................ 14
Figura 4: Elementos de Viga, Mola e Treliça ................................................................................ 19
Figura 5: Diagrama das Barras de Pórtico e de Treliça e de Nós .................................................. 20
Figura 6: Estrutura Formada por Elementos de Pórtico e de Treliça ............................................ 23
Figura 7: Elementos Finitos Bidimensionais Modelando uma Viga Curta ................................... 29
Figura 8: Malha de Elementos Finitos ........................................................................................... 33
Figura 9: Malha de Elementos Finitos ........................................................................................... 37
Figura 10: Elemento Finito Triangular de Seis Nós ...................................................................... 40
Figura 11: Malha de Elementos Finitos de um Sólido Axissimétrico ........................................... 45
Figura 12: Sistema Estrutural Composto por uma Placa e um Cabo............................................. 48
Figura 13: Placa de Concreto......................................................................................................... 50
Figura 14: Elemento de Placa de Reissner-Mindlin ...................................................................... 53
RESUMO
O desenvolvimento de soluções exatas para problemas de engenharia de estruturas pode
ser muito complicado por meio da Teoria da Elasticidade, além de apresentar algumas limitações.
Diante disso, muitas vezes são necessárias simplificações que podem levar a resultados pouco
precisos.
Uma alternativa para resolver os problemas complexos de forma aproximada é utilizar o
Método dos Elementos Finitos, que consiste na discretização de um meio contínuo em elementos
de tamanhos finitos que possuam propriedades físicas representativas do problema analisado. A
imposição de compatibilidade interna de deslocamentos e atendimento às condições de
carregamento e às condições de contorno geométricas garantem a obtenção da solução
aproximada para o problema.
Apesar da grande disponibilidade de programas computacionais de modelagem de
estruturas utilizando este método, o conhecimento de sua base conceitual é muito importante para
se fazer bom uso destes programas.
Neste trabalho, são mostrados alguns exemplos do cálculo manual de estruturas pelo
Método dos Elementos Finitos, ou seja, sem a utilização de programas computacionais.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos.
ABSTRACT
The development of accurate solutions for structural engineering problems can be very
complicated by the Theory of Elasticity and presents some limitations. Therefore, there are often
necessary simplifications that can lead to some results without accuracy.
An alternative to solve complex problems in an approximate way is to use the Finite
Element Method, which consists in a discretization of a continuous medium in finite elements
possessing the representative physical properties of the analyzed problem.
The imposition of internal displacement compatibility and compliance with loading
conditions and geometric boundary conditions assure obtaining approximate solution to the
problem.
Despite the wide availability of computer programs of modeling structures using this
method, the knowledge of its conceptual basis is very important to make good use of these
programs.
In this work, some examples of structures are manually calculated by the Finite Element
Method, that is, without the use of computer programs.
Keywords: Finite Element Method.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 7
1.1 Objetivo 8
2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 9
2.1 Elemento de Mola 9
2.2 Elemento de Treliça 13
2.3 Elemento de Viga 18
2.3.1 Exemplo 1 19
2.3.2 Exemplo 2 23
2.4 Elementos Bidimensionais 27
2.4.1 Exemplo 1 29
2.5 Formulação Isoparamétrica 32
2.5.1 Exemplo 1 33
2.5.2 Exemplo 2 37
2.5.3 Exemplo 3 39
2.6 Sólidos Axissimétricos 44
2.7 Elementos Finitos de Placas 47
2.7.1 Exemplo 1 47
2.7.2 Exemplo 2 50
2.7.3 Exemplo 3 53
3 CONCLUSÃO 58
REFERÊNCIAS 59
ANEXO I – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO TRIANGULAR
DE TRÊS NÓS 60
ANEXO II – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO RETANGULAR
DE QUATRO NÓS 61
ANEXO III – COEFICIENTES PARA QUADRATURA DE GAUSS 62
ANEXO IV – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE PLACA
RETANGULAR DE QUATRO NÓS MZC 63
7
1 INTRODUÇÃO
O objetivo geral de uma análise estrutural é determinar os deslocamentos de todos os
pontos da estrutura, os esforços internos causados pelas deformações decorrentes destes
deslocamentos e as reações entre os vínculos da estrutura.
Antes da existência dos computadores, havia grandes dificuldades na resolução de
análises estruturais devido ao elevado número de incógnitas dos sistemas de equações. Para
facilitar os cálculos, foram desenvolvidos algoritmos, com os quais se obtêm resultados com a
precisão exigida.
O avanço da tecnologia possibilitou o desenvolvimento de programas computacionais
que, utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) e a análise matricial, realizam análises
estáticas ou dinâmicas de grandes estruturas.
“No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem
como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria
arbitrária sujeito a ações exteriores.” (AZEVEDO, 2003, p. 1).
O MEF consiste na discretização de um meio contínuo em elementos de tamanhos finitos
que possuam as mesmas propriedades. Para formular o MEF, é necessária uma equação integral,
tal que seja possível substituir a integral de um volume complexo V, por um somatório de
integrais de volumes Vi de geometria simples. Cada volume Vi corresponde a um elemento
finito. Como exemplo, tem-se a Equação a seguir.
� ��� = ∑ � �������
Segundo AZEVEDO (2003), foi nas décadas de 1960 e 1970 que o MEF mais se
desenvolveu para chegar ao formato que hoje apresenta maior aceitação, mas só na década de
1990, com a proliferação dos computadores, o MEF finalmente chegou aos projetistas de
8
estruturas. Isso se deve ao fato de que a utilidade prática do MEF depende da disponibilidade de
um computador, devido à grande quantidade de cálculos necessária na aplicação do método.
Porém, para que estes softwares sejam utilizados corretamente, é importante conhecer os
conceitos por trás do método. “Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o
computador, ele não deve fazê-lo tendo o computador.” (ALVES FILHO, 2012).
1.1 Objetivo
Este trabalho tem como objetivo desenvolver o cálculo de algumas estruturas utilizando o
Método dos Elementos Finitos, para ilustrar como eles são efetuados sem o uso de programas
computacionais. São apresentados exemplos de aplicação contendo elementos de mola, treliça e
viga e elementos bidimensionais. São demonstradas algumas ferramentas matemáticas utilizadas
nesse método, como a formulação isoparamétrica e a integração numérica por Quadratura de
Gauss.
9
2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
2.1 Elemento de Mola
O elemento de mola é o de formulação mais simples dentre os diversos elementos finitos.
Apresenta-se a seguir o elemento de mola que transmite apenas forças axiais e,
consequentemente, sofre deslocamentos axiais.
A deformação de um elemento de mola é dada pela diferença entre os deslocamentos dos
dois nós que compõem este elemento, ou seja:
δ = u2 – u1
A força axial resultante na mola é:
F = k x δ = k(u2-u1)
Para que haja equilíbrio, é necessário que a soma das forças nodais seja nula, portanto:
F1 + F2 =0 ∴ F1 = -F2
F1 = -k(u2-u1)
F2 = k(u2 – u1)
Este sistema de equações pode ser representado na seguinte forma matricial:
� � −�−� � � = ������ = ������ ou [ke] {u} = {F}
Portanto, a matriz de rigidez de um elemento de mola, que representa a relação entre
ações e deslocamentos, é dada por:
[ke] = � � −�−� � �
10
Para uma estrutura formada por vários elementos de mola, pode-se obter sua matriz de
rigidez por meio da rigidez de cada um de seus elementos. A montagem da matriz de rigidez da
estrutura inteira deve levar em conta o arranjo dos elementos na estrutura e como estão
conectados entre si.
Os termos das matrizes de rigidez de cada elemento são montados em uma única matriz,
sendo que alguns termos ficam sobrepostos, em decorrência do modo com os elementos são
arranjados na estrutura. Nos termos onde há superposição, as rigidezes devem ser somadas. Este
procedimento garante a continuidade de deslocamento ao longo de toda a estrutura.
Para exemplificar um problema envolvendo elementos de mola, considere o sistema
estrutural mostrado na Figura 1, composto por um arranjo de molas e corpos rígidos.
Figura 1: Elementos de Mola
Os dados deste problema são:
FB = 500kgf
FC = 500kgf
FD = 600kgf
FE = 1000kgf
K1 = 300kgf/mm
K2 = K5 = 600kgf/mm
K3 = K6 = 800kgf/mm
K4 = 500kgf/mm
UF = 2,0mm
11
Para determinar os deslocamentos incógnitos e o valor da força no ponto F (FF), procede-
se como mostrado a seguir.
• Matrizes de rigidez dos elementos de mola:
[K1] = � 300 −300−300 300 �
[K2] = [K5] = � 600 −600−600 600 � [K3] = [K6] = � 800 −800−800 800 �
[K4] = � 500 −500−500 500 �
• Matriz de rigidez da estrutura:
[K] =
����� 300 −300−300 300 + 600 + 800 + 500 0 0−600 −800 0 0−500 00 −6000 −800 600 00 800 + 600 0 00 −6000 −5000 0 0 00 −600 500 + 800 −800−800 600 + 800"##
##$
Observa-se que há somas nos termos k22, k44, k55 e k66. Isto ocorre devido ao arranjo
estrutural do problema. Há mais de uma mola passando pelas posições B, D, E e F, que
correspondem às linhas e colunas 2, 4, 5 e 6 da matriz de rigidez. Por isso, devem-se somar os
valores de rigidez de cada elemento que se encontra nestas posições, a fim de se obter o valor
correto para o termo da matriz de rigidez de toda a estrutura, como mostrado a seguir:
[K] =
�����
300 −300−300 2200 0 0−600 −800 0 0−500 00 −6000 −800 600 00 1400 0 00 −6000 −5000 0 0 00 −600 1300 −800−800 1400"####$
O procedimento adotado neste exemplo para obtenção da matriz de rigidez da estrutura a partir
das matrizes de rigidez de cada elemento será adotado para os demais tipos de elementos
abordados neste trabalho.
12
• Equações de equilíbrio da estrutura: {F} = [K] x {U}
FA = 300 UA – 300 UB
FB = 500 = -300 UA + 2200 UB – 600 UC – 800 UD – 500 EU
FC = 500 = -600 UB + 600 UC
FD = 600 = -800 UB + 1400 UD – 600 UF
FE = 1000 = -500 UB +1300 UE – 800 UF
FF = -600 UD – 800 UE +1400 UF
Como UA = 0 e UF = 2,0mm, conforme condições de contorno, o sistema para obtenção
dos deslocamentos incógnitos fica:
()*)+�,�-�.�/�01)2
)3 = ���
� 2200 −600 −800 −500 0−600 600−800 0 0 01400 0 0−600−500 00 0 0 1300−600 −800 −8001400"###$ x
()*)+4,4-4.4/401)2
)3
Ou, invertendo a matriz de rigidez, tem-se:
()*)+4,4-4.4/401)2
)3 =���� 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,0033333 0,00333330,0033333 0,0050,0033333 0,0033333 0,0033333 0,00333330,00432995 0,00373874 0,00333330,003992120,0033333 0,00333330,0033333 0,0033333 0,00373874 0,004684680,00399212 0,00427928 0,004279280,00487050"##
#$ =
()*)+�,�-�.�/�01)2
)3
Resolvendo este sistema, a solução deste problema é:
FF = -16644,16kgf
UB = 3,186mm
UC = 4,019mm
UD = 3,106mm
UE = 3,225mm
13
Pode-se, ainda, determinar as forças internas em cada mola, procedendo-se da seguinte
forma:
F = K x d
F 1= K1 x (UB – UA) = 300 x (3,186 – 0) ∴ FFFF 1= 955,8kgf
F 2= K2 x (UC – UB) = 600 x (4,019– 3,186) ∴ FFFF 2= 499,8kgf
F 3= K3 x (UD – UB) = 800 x (3,106 – 3,186) ∴ FFFF 3= -64,0kgf
F 4= K4 x (UE – UB) = 500 x (3,225 – 3,186) ∴ FFFF 4= 19,5kgf
F 5= K5 x (UF – UD) = 600 x (2,0 – 3,106) ∴ FFFF 5= -663,6kgf
F 6= K6 x (UF – UE) = 800 x (2,0 – 3,225) ∴ FFFF 1= -980,0kgf
2.2 Elemento de Treliça
O elemento de treliça, ou barra articulada nas extremidades transmite apenas forças axiais
de tração ou compressão. Estas forças externas, normalmente, são aplicadas nos nós. Em casos
excepcionais, em que as cargas são aplicadas no interior do membro, elas são substituídas por
cargas equivalentes que atuam nos nós, chamadas de Cargas Nodais Equivalentes. O elemento de
treliças contabiliza apenas a rigidez axial do membro estrutural.
A matriz de rigidez do elemento de treliça relaciona o módulo de elasticidade do material,
a área da seção transversal e o comprimento da barra. Estas relações resultam do Princípio dos
Trabalhos Virtuais (PTV), que afirma que o trabalho interno de deformação é igual ao trabalho
realizado pelas forças externas. Efetuando-se os cálculos necessários, chega-se à forma usual da
matriz de rigidez do elemento de treliça:
[ke] = 8 /9: − /9:− /9: /9: ;
Seja a treliça mostrada na Figura 2. Todas as barras desta treliça têm a mesma seção
transversal e o mesmo módulo de elasticidade: A = 15cm² e E = 210mmmMPa. Para obter a
14
resposta estrutural, elaborou-se um diagrama com a numeração dos nós e das barras da estrutura,
como mostrado na Figura 3.
Figura 2: Elementos de Treliça
Figura 3: Diagrama de Barras e Nós da Treliça
15
Neste diagrama, a numeração dos nós (1 e 2), indica o sentido do eixo local de cada barra,
que vai no sentido de 1 para 2. As setas indicam os graus de liberdade de cada nó. De acordo com
os dados do problema, podem-se obter os valores da Tabela 1.
Tabela 1 – Ângulos α para as barras do modelo da estrutura
Elemento α λ = cos α µ = sen α λ² µ² λ µ
a 0 1 0 1 0 0
b 90° 0 1 0 1 0
c 180° -1 0 1 0 0
d 270° 0 -1 0 1 0
e 51,34° 0,6 0,8 0,36 0,64 0,48
f 38,65° -0,6 0,8 0,36 0,64 -0,48
A expressão geral da matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema global é dada
por:
[K]e = /9: ���
� λ² λμλμ μ² −λ² −λμ−λμ −μ²−λ² −λμ−λμ −μ² λ² λμλμ μ² "###$
• Matriz de Rigidez da Estrutura no sistema global de coordenadas:
16
[K] =
������� 96,89 24,1924,19 95,26 −78,75 00 0−78,75 00 0 96,89 −24,19−24,19 95,26 −18,14 −24,19−24,19 −32,26 0 00 −630 00 −63 −19,14 24,1924,19 −32,26−18,14 −24,19−24,19 −32,26 0 00 −630 00 −63 −18,14 24,1924,19 −32,26 96,89 24,1924,19 95,26 −78,75 00 0−78,75 00 0 96,89 −24,19−24,19 95,26 "##
####$
Como um dos apoios da estrutura é inclinado em relação ao sistema global de referência,
deve-se elaborar a matriz de transformação que permite a imposição das condições de contorno.
Esta matriz, que transforma os deslocamentos globais do nó A em coordenadas x’-y’, é dada por:
[T] =
������� 0,5 −0,8660,866 0,5 0 00 00 00 0 1 00 1
0 00 0 0 00 00 00 0 0 00 00 00 0 0 00 00 00 0 0 00 0
1 00 1 0 00 00 00 0 1 00 1"######$
Fazendo o produto T K TT, tem-se a matriz de rigidez K*, que é igual a:
[K*] =
������� 74,72 −11,39−11,39 117,43 −39,38 0−68,2 0−39,375 −68,200 0 96,89 −24,19−24,19 95,26 11,88 15,84−27,8 −37,08 0 54,560 −31,50 00 −63 −19,14 24,1924,19 −32,2611,88 −27,8015,84 −37,08 0 00 −630 054,56 −31,50 −18,14 24,1924,19 −32,26 96,89 24,1924,19 95,26 −78,75 00 0−78,75 00 0 96,89 −24,19−24,19 95,26 "##
####$
• Sistema de equações para obtenção dos deslocamentos incógnitos:
17
?�1 = 0,06�3 = 0�6 = 0,03@ = A 74,72 −39,38 15,84−39,37515,84 96,890 095,26B x ?CD1C3C6 @ + E 0−24,19F(−1,5F10HI)−63,0F(−1,5F10HI) K
Resolvendo este sistema, obtêm-se os deslocamentos incógnitos:
∆1’ = 0,998mm
∆3 = 0,0310mm
∆6 = -0,843mm
• Sistema de equações para obtenção das reações de apoio:
()*)+���L�M�N�O1)2
)3 =
���� −11,39 00 95,26 −27,8 0 −31,50 24,19 −32,26−27,8 00 24,19 96,89 −78,75 0−78,75 96,89 −24,19−31,5 −32.26 0 −24,19 95,26 "##
#$ x
()*)+ 01,5000 1)2
)3
Portanto, as reações de apoio são:
F2 = 0
F4 = 142,89kN
F5 = 0
F7 = 36,29kN
F8 = -48,39kN
• Força interna na barra a (Sistema Local de Referência):
18
F a = Q/9: R x ST UV x �4� −4��� −�� � F a = 78,75MN/m x S1 0V x �(0,0310 − 0,998)F10HI(1,5 − 0)F10HI �
FFFF a = 76,15 kN
De maneira análoga, podem-se obter as forças internas nas demais barras da treliça:
FFFF b = -147,61 kN
FFFF c = -0
FFFF d = 0
FFFF e = -64,17 kN
FFFF f = 59,54 kN
2.3 Elemento de Viga
O elemento de viga consiste em uma barra reta que pode transmitir, além de forças axiais,
momentos fletores, forças cortantes e momentos de torção. Nas estruturas reticuladas compostas
por vigas, as uniões entre os elementos são rígidas, dando origem, assim, às vigas contínuas, aos
pórticos planos e aos pórticos espaciais. Da mesma forma que é feita nas treliças, as forças
aplicadas nos vãos da viga são substituídas por cargas nodais equivalentes. Quando o elemento de
viga possui rigidez axial, ele pode ser chamado de elemento de pórtico.
A matriz de rigidez do elemento de viga com rigidez axial a rigidez à flexão é dada por:
[ke] =
�����
W 0 00 12X 6XY0 6XY 4XY²−W 0 00 −12X 6XY0 −6XY 2XY²−W 0 00 −12X −6XY0 6XY 2XY²W 0 00 12X −6XY0 −6XY 4XY² "##
##$
onde, a = /9: e refere-se à rigidez axial e b =
/Z:³ e refere-se à rigidez à flexão do elemento de viga.
19
2.3.1 Exemplo 1
Seja o sistema estrutural mostrado na Figura 4, constituído por elementos de pórtico, mola
e treliça.
Figura 4: Elementos de Viga, Mola e Treliça
A barra 1 tem área A1 = 50cm² e momento de inércia I1 = 15x10-5m4. A barra 2 tem área
A2 = 10cm². O material utilizado tem módulo de elasticidade E = 210GPa. Portanto:
EA1 = 1050MN
EA2 = 210MN
EI1 = 31,5MNm²
Desejando obter o valor da constante de mola, K1, que resulte em um deslocamento
vertical no ponto B de 3,0mm, elaborou-se um diagrama com a numeração dos nós e das barras
da estrutura, como mostrado na Figura 5.
20
Figura 5: Diagrama das Barras de Pórtico e de Treliça e de Nós
De acordo com os dados do problema, podem-se obter os valores da Tabela 2.
Tabela 2 – Ângulos α para as barras do modelo da estrutura
Elemento α λ = cos α µ = sen α λ² µ² λ µ
2 36,87° 0,8 0,6 0,64 0,36 0,48
A expressão geral da matriz de rigidez de um elemento de viga no sistema global é dada
por:
[K]e = /9:
�����
W 0 00 12X 6XY0 6XY 4XY²−W 0 00 −12X 6XY0 −6XY 2XY²−W 0 00 −12X −6XY0 6XY 2XY2W 0 00 12X −6XY0 −6XY 4XY² "##
##$
onde:
a = /9: = 210MN/m b =
/Z:³ = 0,252MN/m
Então, para o elemento de viga (barra 1), temos:
21
[K]1 =
�����
210 0 00 3,024 7,560 7,56 25,2−210 0 00 −3,024 7,560 −7,56 12,6−210 0 00 −3,024 −7,560 7,56 12,6210 0 00 3,024 −7,560 −7,56 25,2 "##
##$
Já a barra 2, que é um elemento de treliça, tem a matriz de rigidez do tipo:
[K]2 = /9: ���
� λ² λμλμ μ² −λ² −λμ−λμ −μ²−λ² −λμ−λμ −μ² λ² λμλμ μ² "###$ = \ 26,88 20,1620,16 15,12 −26,88 −20,16−20,16 −15,12−26,88 −20,16−20,16 −15,12 26,88 20,1620,16 15,12 ]
E a matriz de rigidez da mola é:
[K1] = � ^ −^−^ ^ � • Matriz de rigidez da estrutura:
[K] =
��������
210 0 00 3,024 7,560 7,56 25,2−210 0 00 −3,024 7,560 −7,56 12,6
0 0 00 0 00 0 0−210 0 00 −3,024 −7,560 7,56 12,6236,88 20,16 020,16 18,144F^ −7,560 −7,56 25,2
−26,88 −20,16 0−20,16 −15.12 −^0 0 00 0 00 0 00 0 0−26,88 −20,16 0−20,16 −15,12 00 −^ 0
26,88 20,16 020,16 15,12 00 0 ^ "#######$
• Sistema de equações para obtenção dos deslocamentos incógnitos e da constante
de mola K1:
22
? �L = 0�M =−0,1_`�a = 0 @ = A236,88 20,16 020,16 18,144F^ −7,560 −7,56 25,2 B x E CL−3F10HICa K
Portanto, os deslocamentos são:
∆4 = 0,255 x 10-3m
∆6 = -0,9 x 10-3m
E a constante de mola é: K1 = 19170,93kN/m
• Força interna na mola:
F mola = K1 (U5 – U9) = 19170,93 x (-3 x 10-3 – 0)
FFFF mola = -57,51 kN
• Força interna na barra 2:
F 2 = /9: x ST UV x �4� −4��� −�� � =
��bbbbM x S0,8 0,6V x �CN −CLCO −CM� FFFF 2 = 67,032kN
• Forças e momentos fletores na barra 1:
()*)+�9c�9d_9�,c�,d_,1)
2)3
=
����� 210 00 3,024 0 −2107,56 0 0 0−3,024 7,560 7,56−210 0 25,2 00 210 −7,56 12,60 00 −3,0240 7,56 −7,56 012,6 0 3,024 −7,56−7,56 25,2 "##
##$ x
()*)+ 0000,255F10HI−3F10HI−0,9F10HI 1)2
)3
Portanto,
FBx = FBx = 53,55kN
FAy = 2,27kN
23
FBy = -2,27kN
MA = 11,34kN
MB = 0
2.3.2 Exemplo 2
Outra estrutura formada por elementos de pórtico e de treliça é mostrada na Figura 6.
Neste caso, existe uma carga q(x) distribuída ao longo do vão do elemento de viga (barra 1).
Sabe-se que:
Ecabo = 2,5 x 108kN/m² Acabo = 1,0 x 10-3m²
Epórtico = 2,0 x 107kN/m² Apórtico = 5,0 x 10-2m² Ipórtico = 1,25 x 10-3m4
Figura 6: Estrutura Formada por Elementos de Pórtico e de Treliça
Para obter a força no cabo, adotou-se como sistema global de referência, o eixo X na
direção do apoio inclinado.
• Matriz de transformação para o elemento 1:
24
e =����� cosi sini 0 0 0 0−sini cosi 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cosi sini 00 0 0 −sini cosi 00 0 0 0 0 1"##
##$
Como α é o ângulo do sistema global para o sistema local, α = -36,87°:
e =����� 0,8 −0,6 0 0 0 00,6 0,8 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0,8 −0,6 00 0 0 0,6 0,8 00 0 0 0 0 1"##
##$
• Matriz de rigidez do elemento 1 no sistema local:
[K]1 =
��������� /9: 0 0 − /9: 0 00 ��/Z:l a/Z:m 0 − ��/Z:l a/Z:m0 a/Z:m L/Z: 0 − a/Z:m �/Z:− /9: 0 0 /9: 0 00 − ��/Z:l − a/Z:m 0 ��/Z:l − a/Z:m0 a/Z:m �/Z: 0 0 L/Z: "##
######$
Fazendo o produto T K TT, tem-se a matriz de rigidez K*, no sistema local. Porém, de
acordo com as condições de contorno, sabe-se que��n = ��o = p�q = ��o = p�q = 0. Logo, só
é necessária a rigidez global relativa ao deslocamento em d2x:
�LL(�) = cos�i /9: + sin�i ��/Z:l = 0,64F �,brNcMrH�M + 0,36F ��c�,brNc�,�MrHIMl =
�LL(�) = 128864 �` s⁄
25
• Carregamento nodal equivalente:
A matriz N (função de forma) do elemento 1 é:
` = 1YI S0 YI − 3YF� + 2FI YIF − 2Y�F� + YFI 0 3YF� − 2FI −Y�F� + YFIV O carregamento, no sistema local, é dado por:
qfeq1 = � `uv(F)�FL� = −� �:l
()*)+ 0YI − 3YF� + 2FIYIF − 2Y�F� + YFI03YF� − 2FI−Y�F� + YFI 1)2
)3 . 50(−F� + 5F − 4)�FL� =())*))+
0− ��M�− �a��0− ��M��a�� 1))2))3
E, no sistema global, é:
�wx(�)x = �wx(yz{|}z)x =�����
0,8 0,6 0 0 0 0−0,6 0,8 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0,8 0,6 00 0 0 −0,6 0,8 00 0 0 0 0 1"####$
()))*)))+ 0−2252−26120−22522612 1)
))2)))3
=()))*)))+− 1352−90− 2612− 1352−902612 1)
))2)))3
• Matriz de transformação para o elemento 2:
e =����� cos~ sin~ 0 0 0 0−sin~ cos~ 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos~ sin~ 00 0 0 −sin~ cos~ 00 0 0 0 0 1"##
##$
26
Como ~é o ângulo do sistema global para o sistema local, neste caso, ~= 45°:
T = \ 0,707 0,707 0 0−0,707 0,707 0 00 0 0,707 0,7070 0 −0,707 0,707]
• Matriz de rigidez do elemento 2 no sistema local:
[K]2 =
���� /9: 0 − /9: 00 0 0 0− /9: 0 /9: 00 0 0 0"##
#$
Fazendo o produto T K TT, tem-se a matriz de rigidez K*, no sistema local. Porém, de
acordo com as condições de contorno, sabe-se ��o = �In = �Io = 0. Logo, só é necessária a
rigidez global relativa ao deslocamento em d2x:
���(�) = cos�i ��Y = �√22 �� F 2,5x10OF1x10HI2,5 = 50000 �` s⁄
• Cálculo do deslocamento incógnito:
�. � = � + �wx (�LL + ���). ��n = 0 + ��n
��n = −1352(128864 + 50000)
27
d2x = -3,77 x 10-4m
• Cálculo da força no cabo:
d�� = Txd� ∴ d�� = \ cosi sini 0 0−sini cosi 0 00 0 cosi sini0 0 −sini cosi] �−3,77382x10HL000 �
d�� = �−2,66849x10HL2,66849x10HL00 �
�� x d�� = ��� ∴ /9����: x 8 1 0 −1 00 0 0 0−10 00 10 00 ; x �−2,66849x10HL2,66849x10HL00 � =
()*)+���c���d��Ic��Id1)2
)3
�� = E−26,685026,6850 K
Portanto, a força no cabo é de tração e vale 26,685kN.
2.4 Elementos Bidimensionais
Para este tipo de elemento, os conceitos de rigidez do elemento e rigidez da estrutura
continuam presentes, como no caso dos elementos unidimensionais, porém sua determinação,
neste caso, é de forma aproximada.
De acordo com GESUALDO (2010), funções aproximadoras são utilizadas nas
formulações usando o MEF, de modo a estabelecer o comportamento do elemento. Nestas
funções, os deslocamentos são as incógnitas.
28
Considerando uma barra simples com rigidez apenas às forças axiais, cujo nó 1 está na
coordenada x=0 e o nó 2 na coordenada x=L e adotando que os deslocamentos ao longo do
elemento sejam dados por u = a + bx, observa-se que esta função representa os deslocamentos ao
longo do comprimento da barra de forma exata.
Com o intuito de determinar uma função u, escrita em termos de u1 e u2, que são os
deslocamentos nos nós 1 e 2, pode-se escrever u = N1u1 + N2u2, onde N1 e N2 são funções de
forma. Para ilustrar, aplicam-se as condições de contorno na barra:
• Para x = 0: u = u1 → u = a + b x 0 = u1 ∴ a = u1
• Para x = L: u = u2 → u = a + b x L = u2 ∴ b = (u2 - u1)/L
Portanto,
u(x) = a + bx = u1 + Q�mH��: Rx
u(x) = Q:Hc: R u1 + c: u2
onde Q:Hc: R = N1 e c: = N2, que são as funções de forma do problema de elemento de barra.
De maneira análoga, são obtidas as funções de forma de elementos bidimensionais,
porém, neste caso, as funções dependem das coordenadas x e y dos nós. Para um elemento finito
triangular de três nós, suas funções de forma são:
Ni = ��9 (ai + bix +ciy) , i = 1, 2, 3
onde:
ai = Xj Yk - XkYj
bi = Yj – Yk
29
ci = Xk - Xj
A é a área do elemento triangular;
i, j, k representam os nós que compõem o elemento, variando de 1 a 3.
Com as funções de forma, pode-se montar a matriz de rigidez de um elemento triangular
de três nós, mostrada no ANEXO I.
2.4.1 Exemplo 1
Uma viga curta biengastada é modelada com elementos retangulares de quatro nós e
elementos triangulares de três nós, conforme Figura 7.
Figura 7: Elementos Finitos Bidimensionais Modelando uma Viga Curta
Sabe-se que: E = 1,92 x 107 kN/m² e ν = 0,2. Deseja-se calcular a tensão normal
horizontal no ponto P.
• Montagem da matriz de rigidez do elemento 1:
30
� = �1 − �� \1 � 0� 1 00 0 (1 − �)2 ] = 1,92x10N1 − 0,2� \ 1 0,2 00,2 1 00 0 (1 − 0,2)2 ] = 2,0x10N A 1 0,2 00,2 1 00 0 0,4B Apenas os nós 3 e 4 sofrem deslocamento nesta estrutura. Estes nós correspondem às
linhas e colunas 4 e 6 da matriz de rigidez de um elemento finito retangular de quatro nós,
mostrada no ANEXO II. A matriz de rigidez reduzida a estas posições é dada por:
�red(�) = �2(�2 + �5) −�2 + �5−�2 + �5 2(�2 + �5)� = \2(�. W. ���6. b + �. X. �II6. a ) −�. W. ���6. b + �. X. �II6. a−�. W. ���6. b + �. X. �II6. a 2(�. W. ���6. b + �. X. �II6. a )]
Como a = 2/2 = 1 e b = ½ = 0,5:
�red(�) = � 2,926x10a −2,527x10a−2,527F10a 2,926x10a �
• Montagem da matriz de rigidez do elemento 2:
Apenas o nó 3 sofre deslocamento no elemento 2. Este nó corresponde à posição K44 da
matriz de rigidez do elemento triangular de três nós, mostrada no ANEXO I.
�red(�) = S�L��F�� + �M��� V = � �. �4���(1 + �)�� ��(F − F�)� + �. �4���(1 + �)�� �I(� − ��)�
Como este problema está no Estado Plano de Tensões, e2 = 1 – ν = 0,8, então:
�red(�) = A 1,92x10Nx0,24 Q2F12 R (1 + 0,2). 0,8 . 1. (0 − 0)� + 1,92x10Nx0,24 Q2F12 R (1 + 0,2). 0,8 . 0,4. (0 − 1)�B
�red(�) = 4x10M
31
• Matriz de rigidez reduzida da estrutura para os deslocamentos dos nós 3 e 4:
�red(�) = � 3,326x10a −2,527x10a−2,527x10a 2,926x10a �
• Carregamento nodal equivalente do elemento 1:
�wx¡ = ∮ u X�£ =
())*))+
000:¤¥a (2Xc� + Xc�)0:¤¥a (2Xc� + Xc�)1))2))3
Para os nós 4 e 5:
�wx¡ =()*)+ 0− �a (2.200 + 0)0− �a (2.0 + 200)1)2
)3 =
()*)+ 0− LbbI0− �bbI 1)2
)3
• Cálculo dos deslocamentos do nó 4:
F = K d ∴ ¦ 0− LbbI § = � 3,326x10a −2,527x10a−2,527x10a 2,926x10a � x �¨I¨L�
v3 = -1,0 x 10-4m
v4 = -1,326 x 10-4m
• Cálculo da tensão horizontal no ponto P:
σ = E ε = DBd, onde B = L N
32
Como os nós 2 e 5 estão no engaste e não sofrem deslocamentos, precisa-se apenas de B3
e B4:
©I = 8 X(1 − ª) 00 −W(1 + «)−W(1 + «) X(1 − ª) ; e ©L = 8X(1 + ª) 00 W(1 + «)W(1 + «) X(1 + ª);
Como a = 1, b = 0,5, YP = 0, XP = 1, então: ª = d¡ = bb,M = 0 e « = c¬ = �� = 1. Assim:
©I = A0,5 00 −2−2 0,5B e B4 = A0,5 00 22 0,5B
Logo:
= ©. � = A0,5 0 0,5 00 −2 0 2−2 0,5 2 0,5B� 0−1,0x10HL0−1,326x10HL� = ? 0−6,52x10HM−1,163x10HL@
® = � = 2,0x10N A 1 0,2 00,2 1 00 0 0,4B ? 0−6,52x10HM−1,163x10HL@ = ?−260,8−1304−930,4@
Portanto, a tensão normal horizontal no ponto P é igual a: -260,8kN/m²
2.5 Formulação Isoparamétrica
Segundo ALVES FILHO (2012), a manipulação das funções de interpolação em notação
matricial deve ser feita de modo mais eficiente possível, para que o MEF seja implementado
computacionalmente. Nem sempre, a representação no sistema cartesiano oferece esta
possibilidade. Outra forma de representar estas funções de interpolação dos elementos é
33
utilizando o sistema de coordenadas naturais. A seguir, alguns exemplos ilustram o uso de
coordenadas naturais (ξ, η) em formulação isoparamétrica.
2.5.1 Exemplo 1
A Figura 8 mostra uma malha de elementos finitos.
Figura 8: Malha de Elementos Finitos
• Cálculo da matriz de transformação Jacobiana para o elemento 1:
As funções de forma do elemento finito 1 são:
M = (1 + ª)(1 − ª)(1 − «)2
a = (1 + ª)(1 − ª)(1 + «)2
� = �: − 12 M = (1 − «)(1 − ª)4 − (1 + ª)(1 − ª)(1 − «)4 ∴ � = − ª(1 − «)(1 − ª)4
34
N� = N�° − �� Na = (�±²)(�H³)L − (�±³)(�H³)(�±²)L ∴ N� = − ³(�±²)(�H³)L NO = NO° − 12NM = (1 − ξ)(1 + η)4 − (1 + η)(1 − η)(1 − ξ)4 ∴ NO = η(1 − ξ)(1 + η)4
¶ = ¶: − 12 a = (1 + «)(1 + ª)4 − (1 + ª)(1 − ª)(1 + «)4 ∴ NO = ª(1 + «)(1 + ª)4
Como o elemento 1 não tem distorção nos seus lados, pode-se dizer que:
· = �W 00 X� Como a = 1 e b = 2, o Jacobiano usa a metade de cada lado. Assim:
¸ = \¹º »» ºº] = �», ¼ »» ¹�
• Cálculo do componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5:
�wx| = ½`u`�¾ℒ(«, ª) ∣Á�H� �ª�H�
�wxÂÃ| = ½S( M. �).16 + ( M. M).15 + ( M. O).12V�H� ℒ(«, ª) ∣Á�H� �ª
Onde ℒ vale:
ℒ(«, ª) ∣Á�H�= �ÄÅFŪÆ� + ÄÅ�ŪÆ� �� = (0� + 1�)�� = 1
35
�wxÂÃ| = ½S M(16 � + 15 M + 12 O)V�H� �ª
As funções de forma já foram mostradas anteriormente. Substituindo ξ = -1 em cada
função de forma:
�wxÂÃ| = ½S(1 − ª�)(−8ª + 8ª� + 15 − 15ª� + 6ª + 6ª�)V�H� �ª
�wxÂÃ| = ½S(1 − ª�)(−ª� − 2ª + 15)V�H� �ª
�wxÂÃ| = ½(ªL + 2ªI − 16ª� − 2ª + 15)�H� �ª = �ªM5 + ªL2 − 16ªI3 − ª� + 15ª� ∣H��
ÇÈɼÊË = ¹Ì, ÍÎÏÇ
• Cálculo da matriz B do nó 1:
Considerando problema de estado plano de deformações e integração por Quadratura de
Gauss de ordem 3x3, tem-se, para um dos pontos de Gauss, a matriz B associado ao nó 1, como
segue.
©� = 8 �,c 00 �,d�,d �,c;
Usando o Jacobiano para transformar as funções de forma de coordenadas naturais, para
coordenadas cartesianas, tem-se:
36
� �,c�,d� = ·H� � �,Á�,Ð� = �2 00 1� � ª − ª�4(2ª − 1)(1 − «)4 �
Para o ponto de Gauss ξ = 0 e η = 0:
� �,c�,d� = �2 00 1� ? 0−14@
Portanto:
ѹ =���� » »» −¹Ò−¹Ò » "##
#$
• Cálculo da componente do vetor carregamento nodal equivalente no nó 1:
Considerando problema de estado plano de deformações e integração por Quadratura de
Gauss de ordem 3x3, tem-se, em um dos pontos de Gauss, a componente do vetor carregamento
nodal equivalente no nó 1 é dada por:
®b = ?101@ e �wxÓÔÕ = � ©u®b���9
Para o ponto de Gauss em ξ = 0 e η = 0 e wi = wj = 0,8888888889, tem-se:
�wx�ÔÕ = ½ ½©�u®b� ∣ · ∣ �«�ª�H�
�H� = ÖÖ©�u®b� ∣ · ∣ ××�
¶���
¶��
37
�wx�ÔÕ = \0 0 −140 −14 0 ] ?101@ . 1. 12 . (0,8888888889)�
ÇÈɹػ = �−Ì, ÙÍÚ¼Û − º» �
2.5.2 Exemplo 2
Para a malha de elementos finitos da Figura 9, deseja-se obter a componente horizontal no
nó 4 do carregamento nodal equivalente às tensões, que foram calculadas por Quadratura de
Gauss com dois pontos, cujos valores são mostrados na Tabela 3.
Sabe-se que: t = 0,5u.c., L = 9u.c. e h = 1,6u.c.
Figura 9: Malha de Elementos Finitos
Tabela 3 – Valores de Tensão nos Pontos de Gauss
38
Para o nó 4:
L = (�HÁ)(�±Á)(�HÐ)� e L,Á = «(ª − 1); L,Ð = ÁmH��
Como os elementos não têm distorção nos lados, seu Jacobiano vale:
· = �W 00 X� Onde a = L/6 e b = h/2. Logo:
· = \96 00 1,62 ] = �1,5 00 0,8� = \32 0
0 45]
Usando o Jacobiano para transformar as coordenadas naturais em cartesianas:
� L,cL,d� = ·H� � L,ÁL,Ð� = \23 00 54] E«(ª − 1)«� − 12 K
Para o ponto de Gauss em « = − √II eª = − √II :
� L,cL,d� = \23 00 54]�−23−13�
39
Assim, a matriz B do nó 4 fica:
©L =����� − 49 0
0 − 512− 512 −49 "####$
Portanto:
�wxÓÔ = 0,5F \− 49 0 − 5120 − 512 −49 ] . ?−1,45222e + 4−1,25e + 3−6,54058e + 1@ F 32 F 45
ÇÈÉÞØ = �ÎÙÙÙ, ÌÒκÌ, ÌÒ �
2.5.3 Exemplo 3
A Figura 10 mostra um elemento finito triangular de seis nós, submetido a uma carga
linearmente distribuída sobre a linha A – B. Deseja-se obter o carregamento nodal equivalente no
nó 1, utilizando integração numérica com dois pontos de Gauss ao longo da linha de carga.
40
Figura 10: Elemento Finito Triangular de Seis Nós
Para a carga linear ao longo de A – B tem-se:
�wx| = ½`u ∣: �(F, �)�Y: = ½ `u`�¾�Y,9
Deve-se considerar um eixo, ζ, que passa por A e B. Para o nó 1, tem-se:
�wx�| = ½ wßwàw|zu («�, «�, «I) ∣9H, }¬{á¬(â)�¾ Y2�â�H�
Para dois pontos de Gauss, a carga é:
41
�(F, �) = }¬{á¬�¾ = \1 − â2 0 1 + â2 00 1 − â2 0 1 + â2 ] �4000�
As funções de forma deste elemento são:
� = (1 2⁄ − «�)(0 − «�)(1 2⁄ − 1)(0 − 1) = −2«� Ä12 − «�Æ = 2«�� − «�
� = (1 2⁄ − «�)(0 − «�)(1 2⁄ − 1)(0 − 1) = −2«� Ä12 − «�Æ = 2«�� − «�
I = (1 2⁄ − «I)(0 − «I)(1 2⁄ − 1)(0 − 1) = −2«I Ä12 − «IÆ = 2«I� − «I
L = «�«�(1 2⁄ )(1 2⁄ ) = 4«�«�
M = «�«I(1 2⁄ )(1 2⁄ ) = 4«�«I
a = «�«I(1 2⁄ )(1 2⁄ ) = 4«�«I
Portanto, a matriz das funções de forma é:
` = �2«�� − «� 0 2«�� − «� 0 2«I� − «I 0 4«�«� 0 4«�«I 0 4«�«I 00 2«�� − «� 0 2«�� − «� 0 2«I� − «I 0 4«�«� 0 4«�«I 0 4«�«I
• Para o ponto de Gaus ζ = - √II :
�(F, �) = }¬{á¬�¾ = \1 − â2 0 1 + â2 00 1 − â2 0 1 + â2 ] �4000�
�(F, �) = �3,15470 �
42
Sabe-se que:
F = ∑ F e � = ∑ � Então:
F = 9F9 + ,F, = (1 − â)2 . 3,5 + (1 + â)2 . 7 = 4,2396
� = 9�9 + ,�, = (1 − â)2 . 5 + (1 + â)2 . 2 = 4,366
Para definir ξ1, ξ2 e ξ3 deve-se fazer:
?«�«�«I@ = ��9 AW� X� ã�W� X� ã�WI XI ãIB ?1F�@, onde: ?W = F��� − F���X = �� − ��ã = F� − F� ?«�«�«I@ = 12.18 A56 − 5 −6 −315 − 7 4 −41 − 24 2 7 B ? 14,23964,366 @
?«�«�«I@ = ?0,34620,20820,4456@ Substituindo estes valores para obter vetor de forças:
�wx| =
����������� −0,10649 00 −0,10649−0,1215 00 −0,1215−0,04848 00 −0,048480,28832 00 0,288320,3711 00 0,37110,61707 00 0,61707 "#
#########$
�3,15470 � 4,609782
43
Assim, para o primeiro termo: �wx�| = [−0,10649 0] �3,15470 � 4,609782
ÇÈÉ¹Ë = −», ÍÍÒκÏ. ä.
• Para o ponto de Gaus ζ = + √II :
�(F, �) = }¬{á¬�¾ = \1 − â2 0 1 + â2 00 1 − â2 0 1 + â2 ] �4000�
�(F, �) = �0,84530 �
Sabe-se que:
F = ∑ F e � = ∑ � Então:
F = 9F9 + ,F, = (1 − â)2 . 3,5 + (1 + â)2 . 7 = 6,2604
� = 9�9 + ,�, = (1 − â)2 . 5 + (1 + â)2 . 2 = 2,634
Para definir ξ1, ξ2 e ξ3 deve-se fazer:
?«�«�«I@ = ��9 AW� X� ã�W� X� ã�WI XI ãIB ?1F�@, onde: ?W = F��� − F���X = �� − ��ã = F� − F� ?«�«�«I@ = 12.18 A56 − 5 −6 −315 − 7 4 −41 − 24 2 7 B ? 14,3754,25 @ ⇒ ?«�«�«I@ = ?0,15380,62520,2211@
Substituindo estes valores para obter vetor de forças:
44
�wx| =
����������� −0,10649 00 −0,106490,15655 00 0,15655−0,12333 00 −0,123330,38462 00 0,384620,55923 00 0,559230,13602 00 0,13602 "#
#########$
�0,84530 � 4,609782
Assim, para o primeiro termo:
�wx�| = [−0,10649 0] �0,84530 � 4,609782
ÇÈÉ¹Ë = −», º»ÍÒÙÏ. ä. Portanto, o carregamento nodal equivalente no nó 1 vale:
�wx�| = −0,77432 − 0,20748 ÇÈÉ¹Ë = −», ÌÙ¹ÙÏ. ä.
2.6 Sólidos Axissimétricos
Considera-se que os sólidos com simetria axial têm propriedades independentes de sua
coordenada circunferencial. Quando as cargas exteriores que atuam sobre ele também são de
revolução, o deslocamento de um ponto de uma estrutura considerada como sólido de revolução é
considerado apenas com componentes nas direções radial e axial.
O estudo destas estruturas por elementos finitos segue os mesmos passos dos problemas
de elementos bidimensionais, desde as cargas também sejam de revolução. Caso contrário,
análise tridimensional deve ser realizada.
45
Seja a malha de elementos finitos da Figura 11, onde a = 1,0uc. Supondo uma pressão
interna de √2 uf/uc² atuando neste sólido axissimétrico, a integral que permite calcular a
componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5 do elemento destacado é dada
como mostrado a seguir.
Figura 11: Malha de Elementos Finitos de um Sólido Axissimétrico
A força nodal equivalente é dada por:
�wx| = 2æ ç`u�è�Y: = 2æ ç wßwàw|zu }¬{á¬�¾è�Y:
Onde: �Y = �Qé{éÐR� + QéêéÐR���m �ª → « = ã|w = −1
A função de forma do nó 5 é:
M = (1 + ª)(1 − ª)(1 − «)2
Substituindo na integral que permite calcular o carregamento nodal equivalente:
46
�wxÂ| = 2æ ½ wßwàw|zóM ∣Á�H� √2( }¬{á¬óI + }¬{á¬óL + }¬{á¬óM ).12W. �Ä�è�ªÆ� + Ä�ì�ªÆ� �� ∣Á�H� �ª�H�
ÇÈÉ¼Ë = ºí � (¹±î)(¹Hî)(¹Hï)º ∣ï�H¹ √ºº ðî(î − ¹) − º[(î + ¹)(î − ¹)] + î(î + ¹)ñ ∣ï�H¹. ¹ºò. �QóôóîRº +¹H¹QóõóîRº�¹º ∣ï�H¹ óî
Considerando que houve uma deformação inicial relativa a um aumento de 1,0% no
comprimento da circunferência do centroide do elemento, deseja-se indicar a integral que permite
calcular a componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5 do elemento
destacado, sendo que o material é elástico linear isotrópico com E = 1,0uf/uc² e ν = 0,0.
A força equivalente nodal para esta deformação inicial é dada por:
�wxöÕ = ½©u�b��� = 2æ ½ ½©u�bè ∣ · ∣ �«�ª�H�
�H�
A matriz constitutiva do problema é:
� = �(1 + �)(1 − 2�) ���� 1 − � � � 0� 1 − � � 0� � 1 − � 00 0 0 (1 − 2�)2 "##
#$
Como E = 1,0uf/uc² e ν = 0,0, tem-se:
� =���� 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 12"##
#$
47
Para o nó 5, a matriz B vale:
©M =���� M,c 00 M,dMè 0
M,d M,c"###$
Substituindo estas matrizes, tem-se a integral que permite calcular a força nodal
equivalente no nó 5:
ÇÈɼ÷» = ºí ½ ½8ø¼,ù » ø¼ô ø¼,ú» ø¼,ú » ø¼,ù; ���� ¹ » » »» ¹ » »» » ¹ »» » » ¹º"##
#$ . ¹, ºò. ∣ ¸ ∣ óïóî¹H¹ ¹
H¹
2.7 Elementos Finitos de Placas
A teoria de placas se baseia em simplificações dos problemas tridimensionais. A teoria
mais clássica de placas é a de Kirchhoff, em que as retas normais ao plano médio se mantêm retas
e ortogonais à deformada deste plano. Teorias mais avançadas como a de Reissner-Mindlin
mantêm a condição de deformação reta da normal, mas não exigem sua ortogonalidade com a
deformada do plano médio.
2.7.1 Exemplo 1
Seja o sistema estrutural da Figura 12, composto por uma placa fina engastada nos 4 lados
e pendurada em um cabo. Deseja-se calcular a força no cabo quando a placa está submetida a
uma carga uniformemente distribuída de 24kN/m².
48
Valendo-se da condição de simetria, adota-se um elemento finito MZC e um elemento de
treliça para discretizar a porção correspondente a 1/4 do sistema estrutural (parte superior
esquerda), sendo E=4,0x108kN/m², ν= 0,3 e Acabo = 8x10-4m².
Figura 12: Sistema Estrutural Composto por uma Placa e um Cabo
Somente haverá deslocamento vertical no ponto onde se encontra o cabo, não havendo
rotação em nenhuma das direções, ou seja, no nó 2. Para a rigidez, deve-se somar a contribuição
do elemento MZC à do elemento de treliça:
K = Ktreliça + KMZC
De acordo com a matriz de rigidez de elemento de placa retangular de quatro nós MZC,
mostrada no ANEXO IV, tem-se:
� = ��I12(1 − ��) = 4x10Ox0,04I12(1 − 0,3�) = 2560010,92 = 2344,3223
�LL(ûézyz|z�) = Ä XWI + WXI + �2WX + 21(1 − �)30WX Æ xD = Ä 11I + 11I + 0,32.1.1 + 21(1 − 0,3)30.1.1 Æ F2344,322
�LL(ûézyz|z�) = 6189,0109
49
Para a treliça:
� = ��Y � 1 −1−1 1 � ��� = ��Y F1 = 4x10Ox8HL2
��� = 160000
Mas o cabo está ligado a 4 elementos de placa MZC, então a rigidez do modelo de treliça
deve ser reduzida. Logo:
��� = 14 . 160000
��� = 40000
Portanto, a rigidez reduzida vale:
�ýrþ = [6189,0109 + 40000] �ýrþ = [46189,0109] O carregamento nodal equivalente à carga distribuída é:
�wx(x) = 4vWX �14� = 4(−24).1.1 �14� �wx(x) = ð−24ñ
Para calcular a força no cabo, deve-se fazer:
�wx��� = ýrþ. � ð−24ñ = [46189,0109]ð×�ñ ×� = −5,196x10HL
� = �. �
50
��}¬ß��¬ß � = 160000 � 1 −1−1 1 � � 0−5,196e − 4�
Ç = � ÙÎ, ¹ÎÚ−ÙÎ, ¹ÎÚ�
2.7.2 Exemplo 2
Seja a placa de concreto (γc = 25kN/m³), de 10cm de espessura, engastada em dois de seus
lados e livre nos outros dois, mostrada na Figura 13. Utilizando um único elemento finito
retangular de quatro nós (MZC) para discretizar a porção correspondente a ¼ da placa e,
considerando, além do peso próprio da laje, quatro cargas concentradas de valor P = 8kN,
atuando nos pontos A, B, C e D, calcula-se a flecha no ponto A como mostrado adiante.
Figura 13: Placa de Concreto
51
De acordo com a matriz de rigidez de elemento de placa retangular de quatro nós MZC,
mostrada no ANEXO IV, tem-se:
� = ��I12(1 − ��) =
2e7. 0,1I12(1 − 0,2�) =
2000011,52 = 1736,1111
Na porção hachurada da placa, apenas os deslocamentos no ponto inferior esquerdo a ela
(ponto O) são incógnitas. De acordo com a tabela do ANEXO IV:
� = ��(w) + ��(w) + �I(w) + �L(w) Onde:
��� = � XWI +WXI +
�2WX +
21(1 − �)30WX � . � = � 22I +
22I +
0,22.2.2 +
21(1 − 0,2)30.2.2 � . 1736,1111
�¹¹ = ¹¹¼Ò, ¼¹ÎÌ
��� = ��� = � XW� + 0 +�2X +
(1 − �)10X � . � = � 22� + 0 +
0,22.2 +
(1 − 0,2)10.2 � . 1736,1111
�¹º = �º¹ = ¹»ºÒ, λ¼¼
��� = �4X3W + 0 + 0 +4W�(1 − �)15WX � . � = �4.23.2 + 0 + 0 +
4.2�(1 − 0,2)15.2.2 � . 1736,1111
�ºº = ºÚÙ¼, ¹Ù¼º
Logo, a matriz reduzida é:
�ýrþ = �1154,5139 1024,30551024,3055 2685,1852�
• Carregamento nodal equivalente ao peso próprio:
�wx(x) = 4vWX � 14W12� = 4(−2,5).2.2 � 14212� = −20�1213�
52
• Carregamento nodal equivalente à carga concentrada no centro na porção
hachurada:
�wx(�) = −8�1414� = �−2−2�
Somando as cargas nodais equivalentes:
�wx��� = �wx(x) + �wx(�) = −20�1213� + �−2−2� = ?−12−263 @ O sistema para obter o valor da flecha é:
�wx��� = ýrþ. � ∴ �1154,5139 1024,30551024,3055 2685,1852� � ×�p�n� = ?−12−263 @
Assim:
×� = −1,1383x10H� p�n = 1,1146x10HI
• Cálculo da flecha no ponto A:
× = × + �pc
× = [(1 + ««)(1 + ªª)(2 + «« + ªª − «� − ª�)]8 × + [W(«� − 1)(« + «)(1 + ªª)]8 pc
Para o ponto A (ξ=η=0), conhecendo-se os deslocamentos em ξi=ηi =-1, tem-se:
×9 = �×� + ��p�n
53
×9 = [(1 + 0)(1 + 0)(2 + 0 + 0 − 0 − 0)]8 x(−1,1383x10H�) + [2(0 − 1)(0 − 1)(1 + 0)]8 F(1,1146x10HI)
×9 = 28 x(−1,1383x10−2) + 28 F1,114x10−3
� = −º, ¼Ú͹ʹ»−Î
2.7.3 Exemplo 3
Seja o elemento finito de placa de Reissner-Mindlin da Figura 14. Para calcular a parcela
da matriz de rigidez de cisalhamento de um dos nós no centroide do elemento, procede-se como
apresentado a seguir.
Figura 14: Elemento de Placa de Reissner-Mindlin
As funções de forma do elemento de 6 nós são:
� = (1 2⁄ − «�)(0 − «�)(1 2⁄ − 1)(0 − 1) = −2«� Ä12 − «�Æ = 2«�� − «�
� = (1 2⁄ − «�)(0 − «�)(1 2⁄ − 1)(0 − 1) = −2«� Ä12 − «�Æ = 2«�� − «�
54
I = (1 2⁄ − «I)(0 − «I)(1 2⁄ − 1)(0 − 1) = −2«I Ä12 − «IÆ = 2«I� − «I
L = «�«�(1 2⁄ )(1 2⁄ ) = 4«�«�
M = «�«I(1 2⁄ )(1 2⁄ ) = 4«�«I
a = «�«I(1 2⁄ )(1 2⁄ ) = 4«�«I
Como «I = 1 − «� − «�, as derivadas em relação a ξ1 e ξ2 são:
�,Á� = 4«� − 1
�,Á� = 0
I,Á� = −3 + 4«� + 4«�
L,Á� = 4«�
M,Á� = −4«�
a,Á� = 4(1 − «� − «�)
�,Ám = 0
�,Ám = 4«� − 1
I,Ám = −3 + 4«� + 4«�
L,Ám = 4«�
M,Ám = 4(1 − «� − «�)
a,Ám = −4«�Assim, a matriz formada pelas derivadas é:
�: = � �,Á� �,Á� I,Á� L,Á� M,Á� a,Á��,Ám �,Ám I,Ám L,Ám M,Ám a,Ám� �: = �4«� − 1 0 −3 + 4«� + 4«� 4«� −4«� 4(1 − «� − «�)0 4«� − 1 −3 + 4«� + 4«� 4«� 4(1 − «� − «�) −4«� � Para o Jacobiano, como os lados são retos, apenas as funções de forma do nó 3 serão
utilizadas:
= «, com i = 1, 2 e 3
N = �«� 0 «� 0 «I 00 «� 0 «� 0 «I� Como «I = 1 − «� − «�, as respectivas derivadas em relação a ξ1 e ξ2 são:
55
�,Á� = 1
�,Á� = 0
I,Á� = −1
�,Ám = 0
�,Ám = 1
I,Ám = −1
A matriz formada pelas derivadas é:
�: = � �,Á� �,Á� I,Á��,Ám �,Ám I,Ám� = �1 0 −10 1 −1� Assim, tem-se o Jacobiano e sua inversa:
· = �:¾ = �1 0 −10 1 −1� A2 36 14 5B = �−2 −22 −4� ·H� = 1∣ · ∣ �−4 2−2 −2� = 112 �−4 2−2 −2� = 16 �−2 1−1 −1�
A matriz formada pelas derivadas globais é:
�� = ·H��:
�� = 16 �−2 1−1 −1� �4«� − 1 0 −3 + 4«� + 4«� 4«� −4«� 4(1 − «� − «�)0 4«� − 1 −3 + 4«� + 4«� 4«� 4(1 − «� − «�) −4«� � A posição do centroide do elemento em função de ξ1, ξ2 e ξ3 é:
?«�«�«I@ = ��9 AW� X� ã�W� X� ã�WI XI ãIB ?1F�@, onde: ?W = F��� − F���X = �� − ��ã = F� − F�
?«�«�«I@ = 12.6 A 30 − 4 −4 −212 − 10 2 −22 − 18 2 4 B ?143@ ⇒ ?«�«�«I@ = 112 ?444@
56
?«�«�«I@ = 13 ?111@ Assim:
�� = 16 �−2 1−1 −1� �4«� − 1 0 −3 + 4«� + 4«� 4«� −4«� 4(1 − «� − «�)0 4«� − 1 −3 + 4«� + 4«� 4«� 4(1 − «� − «�) −4«� �
�� = \ −19 118 118 −29 23 − 23− 118 − 118 19 −49 0 0 ]
A matriz Bc (relativa ao cortante), para o primeiro nó, é:
©}� = \ −19 19 0− 118 0 19]
A matriz Dc é:
�} = ��� �2(1 + �) 0
0 �2(1 + �)"##$ = �� 00 �
� Assim, a parcela da rigidez para o nó 1 fica:
�} = ½ ½ ©}u�}∗©}�HÁ�b
�b ∣ · ∣. 12 �«��«�
Portanto, a parcela da matriz de rigidez de cisalhamento do nó 1 é:
57
�}� = 56 . 12 . 12.G. t����� 5324 − 181 − 1162− 181 181 0− 1162 0 181 "#
###$
�ä¹ = �. Ë���� º¼ÎºÒ − ¼Ù¹ − ¼¹Úº− ¼Ù¹ ¼Ù¹ »− ¼¹Úº » ¼Ù¹ "##
#$
58
3 CONCLUSÃO
Para elaboração de qualquer modelo em elementos finitos, a escolha dos elementos tem
papel primordial. Deve-se estudar como cada trecho da estrutura se comporta, a fim de se
escolher os elementos que a representam da melhor forma.
Portanto, conhecer a essência do Método dos Elementos Finitos é imprescindível para sua
correta utilização. Os exemplos apresentados neste trabalho são casos simples, mas que dão uma
visão de como funciona o método, para que ele não seja usado indiscriminadamente por meio de
programas computacionais.
59
REFERÊNCIAS
ALVES FILHO, Avelino. Elementos Finitos: A Base da Tecnonologia CAE. 5ª Ed. São Paulo.1951.
AZEVEDO, Álvaro F. M. Método dos Elementos Finitos. 1ª Ed. Universidade do Porto. 2003.
FERNANDO AMORIM DE PAULA. Notas de Aula da Disciplina “Análise e Modelagem de Estruturas I”. Universidade Federal de Minas Gerais. 2013.
FRANCO, Victor. Fundamentos do Método dos Elementos Finitos. ENIDH, 2011-2012. Disponível em: http://www.enautica.pt/publico/professores/vfranco/Fundamentos_Metodo_Elementos_Finitos.pdf
GESUALDO, Francisco A. R. Método dos Elementos Finitos. Universidade Federal de Uberlândia. 2010. Disponível em: http://www.feciv.ufu.br/sites/feciv.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Notas%20de%20Aula%20MEF.pdf
NETO, Gustavo C. S.; LOPES, Rogério C.; LOPES, Arlindo P. O Método dos Elementos Finitos em Treliças Planas na Disciplina de Mecânica Computacional. XXXV Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia. 2007. Disponível em: http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2007/artigos/434-Gustavo%20Cunha.pdf
OÑATE, Eugenio. Calculo de Estructuras por Metodo de Elementos Finitos. Ed. CIMNE. 1991.
ROQUE LUIZ PITANGUEIRA. Notas de Aula da Disciplina “Método dos Elementos Finitos”. Universidade Federal de Minas Gerais. 2013.
WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R. Finite Elements for Structural Analysis. Ed. Englewood Cliffs, New Jersey. 1984.
60
ANEXO I – Matriz de Rigidez do Elemento Finito Triangular de Três Nós
K = K1 + K2
K1=�L ������� ������ −�F�� ��� ��F���
£�sé�è�ãW ���� ��� −��� F��−�F� ��� ��F�F�� ����� −�F��� ��F�� ���� ��� −���F��−�F� ��� ��F�F�� ���� �� −��� F�−�F��� ��F� F� ����� −�F��� ��F�� "##
####$
K2=�M ������� F��� −F�� ��� ����
£�sé�è�ãW F�� F� −��� F�−F�� �� ��� �� F�� −F��� ��� F�� F� −��� F�−F�� �� ��� �� F�F� −�� F�−F��� �� �� F�� −F� �� ��� "##
####$
• Para Estado Plano de Tensões:
e1 = 1 ; e2 = 1 – ν ; e3 = wm� ; e4 =
/|L9Ó¤¥(�±�)wm ; e5 = e4 e3
• Para Estado Plano de Deformações:
e1 = 1 – ν ; e2 = 1 – 2ν ; e3 = wm� ; e4 =
/|L9Ó¤¥(�±�)wm ; e5 = e4 e3
Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984)
61
ANEXO II – Matriz de Rigidez do Elemento Finito Retangular de Quatro Nós
K = K1 + K2
K1=������� 2�� �I 2��
−2�� −�I�I �� 2�� −�I 2�� £�sé�è�ãW −�� −�I−�I −�� �� −�I�I −2���� �I−�I −2�� −�� �I�I −��
2�� �I 2�� −2�� −�I�I �� 2�� −�I 2��"#
#####$
K2=������� 2�L �a 2�M
�L �a−�a −�M 2�L −�a 2�M £�sé�è�ãW −�L −�a−�a −�M −2�L �a−�a �M−2�L −�a�a �M −�L �a�a −�M
2�L �a 2�M �L �a−�a −2�M 2�L −�a 2�M"#
#####$
s1 = |¡.��a¬ s2 =
|¡.mma¡ s3 = |.�mL
s4 = |¡.lla¡ s5 =
|¡.lla¬ s6 = |.llL
Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984)
62
ANEXO III – Coeficientes para Quadratura de Gauss
n ±ï¹ W1
1 0 2
2 0,577350269 1
3 0,774596669 0,55555556
0 0,88888889
4 0,861136312 0,34785485
0,339981044 0,65214515
5
0,906179846 0,23692689
0,53846931 0,47862867
0 0,57
6
0,932469514 0,17132449
0,661209387 0,36076157
0,238619186 0,46791393
7
0,949107912 0,12948497
0,741531186 0,27970539
0,405845151 0,38183005
0 0,41795918
8
0,960289857 0,10122854
0,796666477 0,22238103
0,52553241 0,31370665
0,183434643 0,36268378
Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984)
63
ANEXO IV – Matriz de Rigidez do Elemento de Placa Retangular de Quatro Nós MZC
^(w) = �[ �(w) + �(w) + I(w) + L(w)] D =
/|l��(�H�m)
Fonte: OÑATE, Eugenio (1991)
