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8/11/2019 ETAPA_1.docx

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ETAPA 1

Passo 1 (Equipe)

Fazer as atividades apresentadas a seguir:

1. Ler atentamente bibliografia recomendada que descreva os conceitos deintegrais indefinidas, definidas e clculo de reas. Pesquisar tambm em: livrosdidticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha,informaes ligadas ao estudo e utilizao da teoria de integrais indefinidas,definidas e clculo de reas.

2. Fazer um levantamento sobre a histria do surgimento das integrais e

elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradascom a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel paraa compreenso e realizao dos prximos passos.

A histria do surgimento da Integral

O clculo integral se originou com o desafio de resolver problemas dequadratura, que significa encontrar o valor exato da rea de uma regiobidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de umasuperfcie tridimensional, cuja fronteira tambm consiste de pelo menos umacurva.Quadraturas que fascinavam os gemetras eram as de figuras curvilneas,como o crculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lnulasregies que se assemelham com a lua no seu quarto crescente foramestudadas por Hipcrates de Chios, 440 a.C. , que realizou as primeirasquadraturas da Histria. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar aquadratura do crculo atravs de uma sequncia infinita de polgonos regularesinscritos: primeiro um quadrado, depois um octgono, em seguida umhexadecgono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essasequncia nunca poderia ser concluda. Apesar disso, essa foi uma ideia genialque deu origem ao mtodo da exausto.

Nesse contexto, uma das questes mais importantes, e que se constituiu numadas maiores contribuies gregas para o Clculo, surgiu por volta do ano 225a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parbola.Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola cortadapor uma corda qualquer, igual a 4/3 da rea do tringulo que tem a mesmaaltura e que tem a corda como base.Arquimedes gerou tambm uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiuprovar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o mtodo da exausto, adificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este o primeiro exemploconhecido de soma infinita que foi resolvido.Outras "integraes" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o

volume da esfera e a rea da superfcie esfrica, o volume do cone e a rea dasuperfcie cnica, a rea da regio limitada por uma elipse, o volume de um


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paraboloide de revoluo e o volume de um hiperboloide de revoluo. Emseus clculos, Arquimedes encontrava somas com um nmero infinito deparcelas. Basicamente, se no podia ser nem maior, nem menor, tinha que serigual.A contribuio seguinte para o Clculo Integral apareceu somente ao final do

sculo XVI quando a Mecnica levou vrios matemticos a examinarproblemas relacionados com o centro de gravidade.Os prximos matemticos que tiveram grande contribuio para o nascimentodo Clculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Cavalieri desenvolveu a ideia deKepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieripensou na rea como uma soma infinita de componentes ou segmentosindivisveis. Ele mostrou, usando os seus mtodos, o que hoje em diaescrevemos.Fermat desenvolveu uma tcnica para achar a rea sob cada uma das, entochamadas, "parbolas maiores": curvas do tipo, onde constante e n=2, 3,4,etc. Empregou ento uma srie geomtrica para fazer o mesmo para cada uma

das curvas do tipo, onde e n=-2, -3, -4,etc. Por volta de 1640, a frmula geralda integral das parbolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise, Pascal,Descartes, Torricelli e outros.O problema do movimento estava sendo estudado desde a poca de Galileo.Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento comvelocidades variadas. A derivada da distncia era a velocidade e a operaoinversa, partindo da velocidade, levava distncia. A partir desse problemaenvolvendo movimento, a ideia de operao inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a ideia de que a integral e a derivada eram processosinversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciadoformalmente o Teorema fundamental do Clculo, estava trabalhando emdireo a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesmadireo, formulou o teorema. Newton continuou os trabalhos de Barrow eGalileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Clculoaproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os mtodos dasfluxions - derivao - e fluents - integrao - e utilizou-os na construo damecnica clssica. Para Newton,a integrao consistia em achar fluents paraum dado fluxion considerando, desta maneira, a integrao como inversa daderivao. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, porexemplo, era a acelerao e a integral da acelerao era a velocidade. Newtonrepresentava as integrais por um acento grave acima da letra em questo, por

exemplo, a integral de y era representada por `y.Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integrao como uma soma, deuma maneira bastante parecida de Cavalieri. Da vem o smbolo - um 's'longo - para representar summa. Ambos desenvolveram o Clculo Integralseparadamente, entretanto Newton via o Clculo como geomtrico, enquantoLeibniz o via mais como analtico. Leibniz acreditava que a notao era defundamental importncia e, de fato, a sua notao foi mais eficaz do que a deNewton e acabou por se consolidar, sendo utilizada at os dias de hoje,mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si prprio e nofoi feliz em encontrar uma notao consistente. O nome Clculo Integral foicriado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmo mais

velho Jacques Bernoulli em 1690.Newton e Leibniz, que deram origem aosfundamentos mais importantes do Clculo: as derivadas e as integrais.


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O Clculo Diferencial e Integral uma parte importante da matemtica, ele dinmico. Trata da variao, de movimento e de quantidades que mudam,tendendo a outras quantidades. uma das grandes realizaes do intelectohumano. Inspirados por problemas de astronomia, Newton e Leibniz,desenvolveram as ideias do clculo, h 300 anos. Desde ento, cada sculo

vem demonstrando o poder do clculo, ao iluminar questes da matemtica,das cincias fsicas e engenharia, integral est relacionado com o problema dedeterminar a rea de certas figuras planas, mas tambm possui muitas outrasinterpretaes possveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e deLeibniz foi que a Matemtica, alm de lidar com grandezas, capaz de lidarcom a variao das mesmas cincias sociais e biolgicas.O Clculo Diferencial e Integral foi criado por Issac Newton (1642-1727), eWilhelm Leibniz (16461716). O trabalho destes cientistas foi umasistematizao de ideias e mtodos surgidos principalmente ao longo dossculos XVI e XVII, os primrdios da chamada eram da Cincia Moderna, queteve incio com a Teoria Heliocntrica de Coprnico (14731543). O que

permitiu a passagem do mtodo de exausto para o conceito de integral foi percepo que em certos casos, a rea da regio pode ser calculada semprecom o mesmo tipo de aproximao por retngulos. Esta foi uma descobertaconceitual importante, mas em termos prticos, a descoberta fundamental foi apossibilidade de exprimir a integral de uma funo em termos de uma primitivasendo a definio de integrais muito abstrata e no um instrumento adequadopara calcular integrais, razo pela qual o clculo de integrais geralmente feitomediante o Teorema Fundamental do Clculo, que s o nome j diz sobre aimportncia do mesmo.Este teorema permite exprimir a integral de uma funo em termos de outrafuno, conhecida como primitiva e esta notvel descoberta de Newton eLeibniz no sculo XVII, forneceu ao Clculo uma ferramenta eficaz para oclculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano. Principalmentecomo consequncia do Teorema Fundamental do Clculo as integrais foramsimplesmente vistas como derivadas reversas. Na mesma poca dapublicao das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriuprocesso sistemticos para integrar toda derivada e a integral definida exprime-se em termos de certos processos de limites. A noo de limite a ideia inicialque separa o clculo das partes mais elementares da matemtica. IssacNewton (1642-1727) e Gotfried Wilhelm, Leibniz (16461716), descobriram aligao entre derivadas e integrais. Em razo disso, e de suas outras

contribuies para o assunto so considerados os inventores do clculo e dasfunes racionais, o que chamado mtodo das fraes parciais.Outro conceito fundamental do clculo o de integral definida, que insere umafuno e extrai um nmero, o qual fornece a rea entre o grfico da funo e oeixo do x. A definio tcnica da integral definida o limite da soma das reasdos retngulos, chamada Soma de Riemann.Hoje em dia o Clculo Integral largamente utilizado em vrias reas doconhecimento humano e aplicado para a soluo de problemas no s deMatemtica, mas de Fsica, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina,Qumica, por exemplo.


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3. Apresentar um caso real de aplicao da teoria de integrais na rea deCincia da Computao.

Aplicaes

5.1Simulao numrica

A simulao faz parte da capacidade humana de imaginao. O nosso crebrocria constantemente imagens da realidade sua volta. Plato at questiona avalidade da sua viso do mundo: ser que o que ns vemos real ou ser quens vemos apenas uma sombra da realidade projetada numa parede.Imaginao e simulao so conceitos correlatos: na imaginao criamos umsistema no qual a relao causa-efeito imaginada e comparada com arealidade. Uma das nossas capacidades mais refinadas de simulao a

intuio: nela, um modelo refinado da realidade criado na mente, na qual arelao causa-efeito prevista, sem por isso ter um modelo racional dofenmeno e nem uma viso clara da causa.

Uma das reas mais desenvolvidas de simulao por computador a criaode ambientes virtuais. Exemplo dessa rea de simulao so os jogos decomputador: neles, criado um mundo virtual no qual o jogador interage. medida que a potncia dos computadores aumenta, o realismo dessesambientes torna-se cada vez mais convincente. O impacto desses simuladoressobre o mundo da computao tamanho que o jogo de computador

considerado o maior motivo econmico para o desenvolvimento decomputadores pessoais mais potentes. Esta rea no a rea de atuao doautor.

Outra rea a simulao por computador de padres de tomadas de decisoencontrados na natureza. Esses incluem a simulao de mecanismos deseleo e/ou padres de raciocnio praticados pelo crebro. A rea dealgoritmos genticos ganhou impulso pelo trabalho de John Nash, cujabiografia foi representada no filme "Uma Mente Brilhante". Esta rea tem sidode pesquisa muito ativa. As suas reas de aplicao incluem otimizao

multiobjetivo ou otimizao vetorial, data mining, etc. As redes neurais so umarepresentao em estruturas de computador das ligaes entre neurnios.Redes neurais conseguem prever respostas em funo de um conjunto deparmetros de entrada, mediante um treinamento de um conjunto de valoresentrada/sada.

Finalmente, a rea de mecnica computacional procura simular diversosfenmenosfsicos utilizando uma sistemtica que envolve engenharia, matemtica ecincia da

computao. O fenmeno fsico em estudo representado por um sistema deequaes parciais diferenciais. O sistema de equaes aproximado pelo


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mtodo de elementos finitos. Finalmente os resultados da simulao socomparados com o fenmeno fsico em estudo.

- Ray-Tracing

Uma aplicao que faz uso de conceitos da matemtica,geometria analtica esimulao numrica uma tcnica de sntese de imagens foto-realistaschamada Ray-Tracing (ou Traado de Raios) .

Entende-se por sntese de imagens o processo de se criar imagens porcomputador a partir de modelos matemticos, como equaes.

O algoritmo ray-tracing simula a interao da luz em ambientes 3D para gerarimagens atravs do princpio tico da fotografia. Este processo no uma

tarefa simples devido a seu alto custo computacional. Desta forma, diversasaproximaes matemticas se fazem necessrias:1. Os raios de luz so representados como vetores, monocromticos, semdissipao de energia.2. A cmera virtual consiste de um ponto de observao e um plano deprojeo (imagem resultante).3. Os objetos so representaes abstratas como equaes oupoligonalizaes de superfcies.O processo de simulao consiste no disparo de raios que partem doobservador, passam por cada ponto do plano de projeo e incidem sobre os

objetos da cena. Para cada interseco detectada em algum objeto, um modelode iluminao calculado para se determinar a cor do ponto.

Alm disso, outros raios de luz podem ser disparados na cena para acomposio de reflexes e refraes da luz. O clculo para a reflexo feitosegundo as leis da fsica, que diz que o raio incidente, o raio refletido e o vetornormal superfcie so coplanares e que o ngulo de incidncia desse raiocom a superfcie o mesmo ngulo de reflexo.

Um modelo de iluminao simula o fenmeno de propagao da energia

luminosa em um ambiente, a fim de determinar a quantidade de luz incidentesobre um ponto de uma superfcie.

Como uma simplificao matemtica, trs componentes de iluminao socalculados: a reflexo difusa (ou lambertiana) determina a quantidade de luzincidente (cor)sobre a superfcie. A reflexo especular determina a quantidade de luz refletida(brilho) e a reflexo de ambiente consiste de uma aproximao para o clculoda luz indireta..


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BIBLIOGRAFIA FSICA

BOULOS, Paulo. Clculo Diferencial e Integral. V1. So Paulo: Makron

Books, 1999. 375pg.Clculo, Histria da Nova Enciclopdia Barsa. Rio de Janeiro:

Encyclopdia Britnica do Brasil Publicaes Ltda, 1998 V. 3 p. 62

BIBLIOGRAFIA VIRTUAL

http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calcul

us.htm

http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm

http://phylos.net/matematica/hist-calculo/hc-cap1/

http://pt.wikipedia.org/
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htmhttp://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htmhttp://phylos.net/matematica/hist-calculo/hc-cap1/http://phylos.net/matematica/hist-calculo/hc-cap1/http://pt.wikipedia.org/http://pt.wikipedia.org/http://pt.wikipedia.org/http://phylos.net/matematica/hist-calculo/hc-cap1/http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htm

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