Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 1 de 47 Notas de Aula de Projeto em Fadiga Prof.: Jorge A. R. Durn Sala 9.4, Tels.: 24-3344-3012 e-mail: duran@vm.uff.br internet: http://www.professores.uff.br/duran/ Contedo SMBOLOS E DEFINIES1 INTRODUO2 PROJETO FADIGA BASEADO NAS TENSES (MTODO SN)6 Resistncia fadiga do material e da pea6 Anlise das Tenses16 Acmulo de Dano30 UMA METODOLOGIA ESPECFICA PARA O PROJETO FADIGA DE EIXOS DE TRANSMISSO DE POTNCIA32 Anlise das Tenses e Resistncia Fadiga33 Resumo de passos para o projeto35 Deflexes em Eixos. Mtodos de Integrao.Erro! Indicador no definido. Deflexes em Eixos. Mtodo Energtico de Castigliano.Erro! Indicador no definido. PROBLEMAS42 REFERNCIAS47 Smbolos e Definies Sf Resistncia fadiga, uma funo do nmero de ciclos N do carregamento aplicado. SL Limite de fadiga do material. Para aos SL = Sf (1e6 ciclos) e estima-se 0,5 Su, onde Su o limite de resistncia (em trao monotnica) do material. R razo de carga = carga mnima/carga mxima. B, C constantes de ajuste da curva SN na forma da Eq. 4. Kt, Kf fatores de concentrao das tenses normais, geomtrico (da teoria da elasticidade) e especfico para fadiga, respectivamente. Para tenses cisalhantes utiliza-se o subscrito s. ai, ai, mi, mi Componentes alternadas e mdias das tenses normais e cisalhantes do i-ssimo ciclo (reverso) do carregamento. Igual definio aplica-se s tenses equivalentes de mises ~ ar Neste caso o subscrito r especifica uma razo de carga completamente reversa (R = 1) para a tenso alternada a. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 2 de 47 Introduo A fadiga um processo de fratura progressiva que depende fortemente dos detalhes locais nos pontos crticos das peas e que ocorre pela aplicao de um carregamento (de amplitude constante ou no) varivel com o tempo. As falhas por fadiga geralmente comeam a partir de uma ou vrias trincas geradas em regies de alta concentrao de tenses. A Figura 2 mostra a superfcie de fratura de um eixo de transmisso de potncia, enquanto que a Figura 2 apresenta detalhes da fratura. Figura 1 Foto da superfcie fraturada do eixo mostrando algumas caractersticas macroscpicas tpicas das falhas por fadiga. A superfcie da fratura do eixo mostra algumas caractersticas macroscpicas prprias das falhas por fadiga. Distinguem-se claramente duas regies: uma regio de propagao de trincas por fadiga que ocupa quase toda a borda e grande parte do interior do eixo e uma regio de fratura final. Ondulaes superficiais concntricas (as chamadas bandas de crescimento ou marcas de praia), na regio de propagao, indicam que vrias trincas elpticas foram crescendo da superfcie para o interior do eixo, perpendiculares mxima tenso trativa. As diferentes coloraes nas bandas de crescimento esto associadas a diferentes nveis de carregamento, correspondendo as mais escuras aos maiores nveis de tenso mxima. Esta regio predominantemente plana sem qualquer evidncia de deformao macro-plstica. De fato, as trincas por fadiga so o resultado de processos de deformao micro-plstica reversa. O grande nmero de trincas indica a presena de um elevado kt na superfcie do eixo. Geralmente a iniciao e crescimento de uma nica trinca do-se no weakest link onde ocorre a pior combinao de fatores tais como orientao cristalogrfica, rugosidade superficial, etc. A nucleao em um nico ponto tpica de corpos de prova. A sobreposio dessas trincas leva ao surgimento de linhas verticais na direo de propagao. Estas linhas constituem pequenos degraus na superfcie de fratura, devido a que as trincas cresceram inicialmente em planos ligeiramente escalonados. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 3 de 47 Figura 2 Detalhes da superfcie de fratura do eixo mostrado na Figura 1. As tenses nos pontos crticos de peas submetidas a carregamento varivel (de amplitude constante) variam de acordo com uma funo senoidal. possvel modelar estes ciclos de acordo com uma relao do tipo: ( ) t sena m + = Eq. 1 Onde a e m so a amplitude e a mdia das tenses, a freqncia e t o tempo. Os outros parmetros que caracterizam os ciclos de fadiga se mostram na Figura 3.. Introduzindo a razo de carga R = min/max, algumas relaes podem ser deduzidas: ( ) ( )( ) ( )( )( ) R 1R 1R 1R 2R 12 2R2R 1R 2R 12 2R2Rmamin max max max min maxmmin max max max min maxaa ma mmaxmin+=+ = + = +=+= = = ==+= = Eq. 2 Atualizado em 07/11/2009 Figura 3 Parmetros par Observe que das seis componentes apenas duas so independentes, ou seja, duas variveis bastam para descrever completamente os ciclos. Nos ensaios de fadiga sob carregamentos de amplitude constante gtenso mdia m para este fim.com uma das outras duas variveis (descrever os ciclos de fadiga, como most ( )( )( )( )( )( )((

++=((

++ =t senR 1R 1t senR 1R 11am Alguns dos conceitos fundamentais que ajudam no entendimento dos padres observados no comportamento fadiga so resumidos por Juvinall As falhas por fadiga resultam de processos de deformao plstica cclica, como no caso da flexo alternada de um clipe, por exemplo. Sem o escoamento plstico repetido a fadiga no ocorre.Enquanto que um arame pode ser quebrado aps uns poucoescoamento severo, as falhas por fadiga ocorrem tipicammilhares ou ainda milhes de ciclos de escoamento em pequena escala, as vezes microscpica. As falhas por fadiga podem ocorrer em nveis de tenses bem abaixo do limite de escoamento.Devido a que o escoamento plstico altamente localizado pode ser o incio de uma trinca por fadiga, corresponde ao engenheiro prestar uma ateno especial em todos os pontos potencialmente vulnerveisSe o escoamento local for muito pequeresistncia (encruar) interrompendo o processo de escoamento. A pea ento se beneficiaria desta pequena sobrecarga. No entanto, se o escoamento local continua a ocorrer de forma cclica haver um esgotamento da ductilcom a conseguinte fratura.A trinca de fadiga inicial geralmente provoca um incremento na concentrao local das tenses. Na medida em que a trinca progride o material na sua frente submetido a ciclos destrutivos de escoamento reverso. A tUniversidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Parmetros para descrever os ciclos de fadiga de amplitude constante.Observe que das seis componentes apenas duas so independentes, ou seja, duas variveis bastam para descrever completamente os ciclos. Nos ensaios de fadiga sob carregamentos de amplitude constante geralmente se utilizam a tenso amplitude para este fim. possvel tambm utilizar o parmetro com uma das outras duas variveis (a ou m) para, a partir das seguintes relaesdescrever os ciclos de fadiga, como mostrado na Figura 4: Alguns dos conceitos fundamentais que ajudam no entendimento dos padres observados no comportamento fadiga so resumidos por Juvinall [4]:As falhas por fadiga resultam de processos de deformao plstica cclica, como no caso da flexo alternada de um clipe, por exemplo. Sem o escoamento plstico repetido a fadiga no ocorre. Enquanto que um arame pode ser quebrado aps uns poucos ciclos de escoamento severo, as falhas por fadiga ocorrem tipicamente depois de alguns ou ainda milhes de ciclos de escoamento em pequena escala, as vezes microscpica. As falhas por fadiga podem ocorrer em nveis de tenses bem e de escoamento. Devido a que o escoamento plstico altamente localizado pode ser o incio de uma trinca por fadiga, corresponde ao engenheiro prestar uma ateno especial em todos os pontos potencialmente vulnerveis. Se o escoamento local for muito pequeno o material pode at aumentar a sua resistncia (encruar) interrompendo o processo de escoamento. A pea ento se beneficiaria desta pequena sobrecarga. No entanto, se o escoamento local continua a ocorrer de forma cclica haver um esgotamento da ductilcom a conseguinte fratura. A trinca de fadiga inicial geralmente provoca um incremento na concentrao local das tenses. Na medida em que a trinca progride o material na sua frente submetido a ciclos destrutivos de escoamento reverso. A taxa de propagao Pgina 4 de 47 a descrever os ciclos de fadiga de amplitude constante. Observe que das seis componentes apenas duas so independentes, ou seja, duas variveis bastam para descrever completamente os ciclos. Nos ensaios de fadiga sob eralmente se utilizam a tenso amplitude a e a possvel tambm utilizar o parmetro R em conjunto a partir das seguintes relaes, Eq. 3 Alguns dos conceitos fundamentais que ajudam no entendimento dos padres : As falhas por fadiga resultam de processos de deformao plstica cclica, como no caso da flexo alternada de um clipe, por exemplo. Sem o escoamento plstico s ciclos de ente depois de alguns ou ainda milhes de ciclos de escoamento em pequena escala, as vezes microscpica. As falhas por fadiga podem ocorrer em nveis de tenses bem Devido a que o escoamento plstico altamente localizado pode ser o incio de uma trinca por fadiga, corresponde ao engenheiro prestar uma ateno especial em no o material pode at aumentar a sua resistncia (encruar) interrompendo o processo de escoamento. A pea ento se beneficiaria desta pequena sobrecarga. No entanto, se o escoamento local continua a ocorrer de forma cclica haver um esgotamento da ductilidade no ponto A trinca de fadiga inicial geralmente provoca um incremento na concentrao local das tenses. Na medida em que a trinca progride o material na sua frente axa de propagao Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 5 de 47 aumenta com a profundidade da trinca at que o ligamento residual no suporta mais um nico evento de carga e a fratura, geralmente de acordo com os princpios da mecnica da fratura, ocorre. As metodologias de projeto fadiga atualmente em uso se baseiam largamente em dados experimentais acumulados ao longo dos anos. Figura 4 Esquema de variao dos ciclos de tenses em funo da razo de carga R e do tempo t (para = 1 Hz) mantendo constante a tenso mdia m (a) ou a tenso amplitude a (b). A seguir ser discutido o mtodo de projeto fadiga baseado nas tenses, tambm chamado de mtodo SN. (a)(b) Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 6 de 47 Projeto fadiga baseado nas tenses (Mtodo SN) De acordo com a filosofia do mtodo de projeto fadiga baseado nas tenses, o trincamento por fadiga deve se iniciar nos pontos crticos das peas que satisfazem a relao resistncia x vida (Sf x N) do material. Esta relao se mede em corpos de prova padronizados e de acordo com procedimentos estabelecidos em normas. Para fins de estudo o dimensionamento em fadiga por este mtodo pode ser dividido em trs partes: Resistncia fadiga do material e da pea Histria das tenses que atuam nos pontos crticos, incluindo os efeitos da concentrao das tenses. O dano fadiga acumulado nos ciclos de carregamento. Nos seguintes tpicos discutem-se os aspectos indispensveis para o projeto seguro em fadiga das trs partes mencionadas. Resistncia fadiga do material e da pea Os resultados de vrios testes sob controle das cargas so representados em curvas resistncia fadiga versus nmero de ciclos para a iniciao da trinca (Sf x N) em escala log-log. Na Figura 5 se mostra uma curva Sf N para um ao com 120 Bhn. As curvas Sf N podem ser plotadas em termos de qualquer uma das tenses mostradas na Figura 3. mais comum, no entanto, utilizar a amplitude das tenses a ou a tenso mxima max (como no caso da Figura 5) no eixo das ordenadas. A tenso que causa falha por fadiga aps certo nmero de ciclos se conhece como a resistncia fadiga correspondente quele nmero de ciclos Sf(N). Geralmente os ensaios da fadiga so feitos com uma razo de carga R = 1 e nestes casos Sf(N) = ar(N) onde ar a amplitude da tenso totalmente reversa aplicada ao espcime. Figura 5 Curva SN de um ao com uma dureza de 120 HB [4]. Na Figura 6 se mostra uma mquina padronizada (R.R. Moore) para ensaios de fadiga. A flexo simtrica de 4 pontos provoca flexo pura (zero cortante) na regio central do espcime. A tenso em qualquer ponto das fibras extremas do corpo de prova (CP) Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 7 de 47 varia de uma forma senoidal com m = 0 e com uma freqncia que depende da velocidade de giro do motor. Figura 6 Esquema da mquina padronizada de R.R. Moore para ensaios de fadiga [4]. Os resultados de numerosos testes na mquina de Moore indicam que os materiais ferrosos apresentam um limite de fadiga em flexo rotativa SL (chamado de endurance limit Sn na Figura 5) que se define como o maior valor de tenso que pode ser suportado indefinidamente pelo material sem falhar por fadiga. O cotovelo das curvas (de materiais com SL bem definido) ocorre geralmente entre 106 e 107 ciclos. Para materiais ferrosos considera-se, conservativamente, que o limite de fadiga corresponde a 106 ciclos. Devido a que as falhas por fadiga se originam em pontos localizados os resultados dos testes so bem mais dispersos quando comparados com testes estticos. Por exemplo, o coeficiente de variao V = / (desvio padro/mdia) do limite de fadiga varia na faixa de 4 a 9 %. Com freqncia considera-se um desvio de 8 % do limite de fadiga nominal como uma estimativa conservativa. Extensos programas de fadiga conduzidos nas ltimas dcadas mostram que o comportamento fadiga de materiais ferrosos segue alguns padres. O mas utilizado destes padres se mostra na Figura 7. Conhecendo a dureza (HB [kg/mm2]) pode se determinar a resistncia trao do material (Su [MPa]=3.4 HB, Su [Ksi]=0.495 HB) e obter uma boa aproximao de SL=0.5 Su. Estas estimativas so vlidas para HB 1400 MPa considera-se SL = 700 MPa. A resistncia fadiga dos ferros fundidos similar dos aos, com a diferena que o limite de fadiga corresponde a 0.4 (e no 0.5) vezes a Su. Para ligas de alumnio forjado a resistncia fadiga Sf(5E8) = f(Su) se calcula de acordo com os dados da Figura 9. Se ao invs de flexo rotativa aplicssemos flexo alternada a espcimes Sf N, as chances de surgimento de uma trinca so menores pois as tenses mximas e mnimas no se distribuem uniformemente em toda a periferia da seo crtica. A resistncia Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 8 de 47 fadiga em flexo alternada deve ser, por tanto, maior do que aquela medida em flexo rotativa. Na prtica estas diferenas so pequenas e geralmente desprezadas. Assim, para problemas envolvendo flexo alternada se utilizam os dados de flexo rotativa com um pequeno e conservativo erro introduzido deliberadamente. Figura 7 Curva Sf N normalizada com dados de vrios aos [4]. Em carregamento axial alternado toda a seo transversal estar submetida tenso mxima. Pelos mesmos motivos mencionados acima os testes fornecem um limite de fadiga menor (~10%). Para considerar tambm o incremento Mc/I nas tenses P/A em um dos lados de espcimes em trao alternada com pequenas excentricidades de carga (inevitveis durante os ensaios), muitas vezes o limite de fadiga de flexo rotativa se reduz entre 20 e 30% para carregamento axial. Devido a que as redues mencionadas acima esto relacionadas com o gradiente de tenses, Juvinall [4] introduz o fator de correo do gradiente CG onde CG = 0.9 para carregamento axial puro e CG = 0.7 0.9 para carregamento axial de peas com pouca preciso, onde as chances da existncia do fletor superposto so maiores. Observe que o fator CG modifica apenas o limite de fadiga SL de espcimes de flexo rotativa (testados na mquina de Moore). Em geral para uma queda mais acentuada do nvel das tenses a partir da superfcie (maior gradiente) maior a resistncia fadiga. Espcimes de dimetro maior do que o padro (7,6 mm) em flexo ou toro alternada apresentam gradientes desfavorveis, como mostrado na Figura 10. Para peas a partir dos 10 mm de dimetro, em flexo e toro alternada, recomenda-se um CG = 0.9, o mesmo que para carregamento axial. Para sees no circulares o fator CG se define em termos de uma seo circular equivalente que tem o mesmo gradiente das tenses. Por exemplo, para uma seo retangular em flexo, se as fibras tracionadas e comprimidas esto separadas uma distncia >10 mm deve-se usar CG = 0.9. Sendo o gradiente das tenses tambm o responsvel pela resistncia fadiga em 1000 ciclos, considera-se Sf(1E3)axial = 0.75 Su. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 9 de 47 Figura 8 Limite de fadiga versus dureza para quatro ligas de aos [4]. Observe que HB 10HRC (de 20 64 HRC) Figura 9 Resistncia fadiga Sf (5E8) de algumas ligas de alumnio forjado [4]. Como as falhas por fadiga esto relacionadas com o escoamento plstico localizado e a teoria da energia de distoro mxima tem se mostrado efetiva para explicar o escoamento em metais dcteis, no surpresa que esta teoria sirva tambm para prever o limite de fadiga SL de materiais dcteis sob vrias combinaes de estados tensionais biaxiais reversos, incluindo o de cisalhamento puro, como mostrado na Figura 11. Assim, para materiais dcteis, o limite de fadiga em toro alternada ~58% do SL em flexo Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 10 de 47 rotativa (SL_toro = CL SL= 0.58 SL), onde CL o fator de carga. Como as tenses de toro tem gradientes similares s tenses de flexo, em 1000 ciclos a resistncia fadiga tambm considerada igual a 0.9 vezes o limite de resistncia ao cisalhamento Sf(1E3)toro = 0.9 Sus. Se no h valores de Sus disponveis estes podem ser aproximados por Sus = 0.8 Su para materiais dcteis. Figura 10 Gradientes de tenso em funo do dimetro para flexo e toro [4]. Figura 11 Limite de fadiga para materiais dcteis e carregamento biaxial completamente reverso, conjuntamente com a elipse de Mises [4] Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 11 de 47 As observaes anteriores esto resumidas na Figura 12. As curvas so estimativas para espcimes de ao polidos e ignoram o escoamento localizado nos pontos crticos. Existem poucos dados para indicar um procedimento padro para estimar as curvas Sf N em toro para materiais frgeis. Entretanto, s vezes assume-se um SL = 0,8 SL (uma aproximao que corresponde de alguma forma com a teoria de Mohr) e Sf(1E3) = 0,9 Sus. Figura 12 Curvas SN generalizadas para espcimes de ao de 0.3 in. (7,6 mm) polidos [4]. Para materiais frgeis e estados de tenso biaxiais Juvinall [4] recomenda o uso da teoria de Mohr para obter uma tenso alternada equivalente considerada como a tenso de flexo rotativa da curva SN. Para considerar a influncia do estado da superfcie de peas reais na resistncia fadiga do material se introduz o fator de acabamento superficial Cs. A Figura 13 mostra os valores de Cs em funo de Su. Em todos os casos se multiplica o limite de fadiga do material SL pelo fator Cs para obter o limite de fadiga da pea com a rugosidade superficial definida pelo processo de fabricao ou usinagem. No se aplica esta correo ao S(1E3) devido a que a resistncia esttica do material Su pouco sensvel ao acabamento superficial. Na forma analtica possvel calcular o Cs de acordo com as recomendaes de Shigley e Mischke [1] para aos. Para Su em MPa ou Ksi e dependendo do estado da superfcie os fatores CS se mostram na Tabela 1. Infelizmente h pouca informao publicada sobre o Cs em materiais diferentes do ao. Para uma confiabilidade diferente de 50% (que a utilizada nas curvas Sf N padro) o limite de fadiga deve ser afetado pelo fator de confiabilidade CR. A distribuio de Sf(N) considerada gaussiana. A partir desta considerao possvel construir a Tabela 2 com os coeficientes CR para diferentes coeficientes de variao V(Sf) e probabilidades de falha. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 12 de 47 Figura 13 Fatores de acabamento superficial Cs para aos [4]. Tabela 1 Expresses analticas para os fatores de superfcie CS [1]. Fatores de Superfcie CS [1] Estado da SuperfcieSu [MPa]Su [Ksi] Polimento11 Retificado 1,58 Su 0,0861,34 Su 0,086 Laminado a frio ou usinado 4,45 Su 0,2652,67 Su 0,265 Laminado a quente 56,1 Su 0,71914,5 Su 0,719 Forjado 271 Su 0,99539,8 Su 0,995 Tabela 2 Coeficiente de confiabilidade CR da resistncia fadiga Sf(N) para diferentes coeficientes de variao V(Sf) e probabilidades de falha. Valores de CR(R) para vrias confiabilidades e coeficientes de variao V(Sf) Frao da probabilidade de falha Probabilidade de falha P [%] Conf. R [%]=1-P Z(R) Coeficiente de variao V(Sf)= (Sf)/ (Sf) 3%6%8%10% 1/2505001111 1/1010901.280.9620.9230.8980.872 1/1001992.330.9300.8600.8140.767 1/10000.199.93.090.9070.8150.7530.691 1/100000.0199.993.720.8880.7770.7020.628 Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 13 de 47 Por ltimo, quando a temperatura de trabalho for superior aos 350oC e inferior aos 500oC Shigley [1] recomenda um fator de temperatura CT = 0.5 que deve afetar os dois pontos da curva Sf N. Resumo do procedimento para determinao da curva de resistncia fadiga. Da discusso anterior pode-se concluir que a resistncia fadiga para materiais dcteis em flexo rotativa e sob razo de carga R= 1 pode ser descrita pela relao parablica: C S NBf=Eq. 4 onde B e C so constantes de ajuste, as assim chamadas propriedades do material. Alguns fatores devem ser aplicados aos dois pontos significativos da curva (Sf(1E3); SL), com o objetivo de aproximar os resultados de laboratrio com o comportamento esperado da pea em servio. Aps estas modificaes as constantes B e C podem ser consideradas propriedades da pea e a curva de fadiga pode ser utilizada para o projeto mecnico em fadiga. Na ausncia de dados mais especficos, os pontos extremos da curva Sf N (1E3, Sf(1E3)) e (1E6, SL), para aos, podem ser estimados pelas relaes: ( )( )L T R S G L L fu T f' S C C C C C S 6 E 1 SS C 9 . 0 3 E 1 S= == Eq. 5 Devido maior disponibilidade de informaes experimentais, os fatores de correo da carga CL, do gradiente CG, de superfcie CS e de confiabilidade CR so mais confiveis para aos. A Tabela 3 mostra um resumo destes fatores para materiais dcteis. Em todos os casos, considerar o tipo de carregamento para a curva de resistncia fadiga da pea til apenas quando existe um nico tipo de carregamento aplicado. Se por exemplo, uma pea sofre principalmente esforo toror, deve-se utilizar a curva de fadiga da pea em carregamento torcional puro (Figura 9). Quando o carregamento combinado, devem-se calcular as componentes alternadas e mdias de Mises (ver Anlise das Tenses) e utilizar, para a resistncia, a curva de flexo rotativa da Figura 9. Tabela 3 Resistncia Fadiga de materiais dcteis [4]. a) Resistncia em 106 ciclos (limite de fadiga)a Flexo:SL = CL CG CS SL Axial:SLA = CL CG CS SL Toro:SLS = CL CG CS SL onde SL o limite de fadiga em flexo rotativa ( 0,5 Su 0,5 (3.4 HB) 1,73 HB (Su em MPa) para aos, na ausncia de melhores dados) FlexoAxialToro Fator de Carga CL110.58 Fator do gradiente das tenses Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 14 de 47 CGb dimetro < 10 mm10.7 a 0.91 10 mm dimetro 50 mm0.90.7 a 0.90.9 Fator de superfcie CSver Figura 13 ou Tabela 1. b) Resistncia em 103 ciclos FlexoSf (1E3) = 0.9 Su = 3.1 HB (em MPa) AxialSf (1E3) = 0.75 Su ToroSf (1E3) = 0.9 Susc Notas: 1 Para confiabilidades nos dados SN diferentes de 50 %, multiplicar os SL`s por CR, onde CR(50%) = 1, CR(90%) = 0.897, CR(95%) = 0.868, CR(99%) = 0.814, CR(99.9%) = 0.753 para um coeficiente de variao de 8% nos dados do limite de fadiga. a)Para materiais que no apresentam limite de fadiga bem definido, aplicar os fatores resistncia em 108 ou 5 x 108 ciclos. b)Para dimetros entre 50 e 100 mm reduzir os fatores em 0.1 e para dimetros at 150 mm reduzir em 0.2. c)Sus = 0.8 Su para aos; Sus = 0.7 Su para outros metais dcteis. Exemplo 1 Encontre expresses para as constantes de ajuste da curva de fadiga de uma pea cujos pontos extremos podem ser estimados pela Eq. 5 (NSfB = C). Nota: Em todos os exemplos destas notas de aula a curva de fadiga do material em flexo rotativa pode ser aproximada pelos pontos (103; 0,9 Su) e (106; 0,5 Su). So vlidas tambm as aproximaes HB 10 HRC, Su [MPa] = 3,4 HB e Su [KSi] = 0,495 HB. Soluo: Como a reta (em coordenadas log-log) da equao NSfB = C passa pelos pontos (1E3, 0.9 Su) e (1E6, SL) e a constante C nica temos: ( ) ( )|||

\|= =|||

\| = =LuBLuBLBuSS 9 . 0log3B 3 E 1SS 9 . 0S 6 E 1 S 9 . 0 3 E 1 CEq. 6 Exemplo 2 Calcule a resistncia fadiga em 2E5 ciclos com 99% de confiabilidade de uma pea de ao com 36HRC, usinada, com uma seo crtica de 18x36mm e que trabalha sob flexo alternada. Soluo: Primeiramente estimamos a resistncia ruptura esttica do material a partir da dureza: Su = 3436 = 1224 MPa. Com este valor encontramos a seguir o ponto Sf(1E3) = 0.9 Su = 1166 MPa. Pela Tabela 3 selecionamos para carregamento de flexo rotativa (considerando, conservativamente, que os efeitos da flexo alternada so iguais aos de flexo rotativa) CL = 1. Como o tamanho da pea est acima dos 10 mmutilizaremos CG = 0.9. Para superfcie usinada na Figura 13 teremos CS 0.68 (observe que um resultado similar Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 15 de 47 pode ser obtido pela estimativa analtica da Tabela 1 (CS = 4.45Su 0.265 = 4.45(1224) 0.265 = 0.68). Por ltimo, para 99% de confiabilidade CR = 0.814. O limite de fadiga da pea ser: SL = (1)(0.9)(0.68)(0.814)0.5Su = 305 MPa. Tendo os dois pontos da curva de fadiga da pea calculamos as constantes B e C pelas equaes desenvolvidas no Exemplo 1: ( ) 20 E 22 . 0 S 9 . 0 3 E 1 C; 38 . 53051166log3SS 9 . 0log3BBuLu= ==||

\|=|||

\|= A resistncia fadiga desta pea em 1E5 ciclos ser: MPa 4685 E 1C) 5 E 1 ( SB1f= ||

\|= Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 16 de 47 Anlise das Tenses Por ser a fadiga um tipo de falha local no necessrio, em geral, fazer uma anlise global das tenses na pea. Os conhecimentos bsicos de cursos de mecnica dos materiais so suficientes para conduzir a anlise local das tenses devidas aos esforos internos. claro que em configuraes mais complexas ser necessrio utilizar mtodos numricos para a determinao das tenses. No mtodo SN assume-se um comportamento linear elstico, logo as tenses se relacionam com as deformaes pela lei de Hooke em 3D. Por esse motivo nas aplicaes prticas, quando no se conhecem com preciso as cargas atuantes, as tenses podem ser estimadas a partir de leituras extensomtricas. Por exemplo, para rosetas de 45 com leituras a, 45 = b e 90 = c, as deformaes principais 1 e 2 e as tenses principais 1 e 2 no ponto de interesse podem ser calculadas pelas conhecidas frmulas: ( ) ( )( )( )( )( )1 2 2 2 2 1 2 12c a b2c a c a 2 , 11E1E221 += +=((

+ + = Eq. 7 As trincas so geradas pela movimentao cclica das discordncias, logo as tenses que as provocam devem ser calculadas pelos critrios de escoamento. Isto explica a boa correspondncia exibida pelos dados da Figura 11 entre a teoria da energia de distoro e o limite de fadiga (em alto ciclo) de materiais dcteis submetidos a diversas combinaes de carregamento alternado biaxial. Por este motivo alguns autores recomendam, para materiais dcteis, transformar a amplitude das tenses biaxiais em uma amplitude uniaxial equivalente a~ (por Mises) e relacionar esta tenso com a curva Sf N do material para flexo rotativa. Observe que esta recomendao s ser vlida para as a ou a devido a que os dados da Figura 11 correspondem a R = 1. Em fadiga importante considerar o efeito da concentrao de tenses em diferentes tipos de descontinuidades da pea. Estas descontinuidades sero genericamente chamadas de entalhes. O seguinte tpico trata em detalhes deste problema. Concentrao das tenses em fadiga comum ignorar os efeitos de concentrao de tenses em materiais dcteis submetidos a cargas estticas devido a que aps o escoamento a inclinao da curva diminui evitando um incremento excessivo das tenses. A Figura 14 mostra o comportamento caracterstico dos fatores de concentrao das tenses e deformaes em entalhes de materiais dcteis em carregamento esttico. Aps o escoamento localizado as deformaes crescem muito mais do que as tenses, como o demonstram as curvas K /Kt e K /Kt. Em carregamento alternado de amplitude constante ou varivel os concentradores das tenses reduzem a resistncia fadiga dos componentes de engenharia, como Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 17 de 47 conseqncia das elevadas tenses e deformaes locais que provocam o incio das trincas. Figura 14 Comportamento dos fatores de concentrao das tenses K = / n e das deformaes K = / n (onde n e n so as tenses e deformaes nominais e e so as tenses e deformaes locais), antes e depois do escoamento em entalhes [10]. O valor de Kt (ou de Kts onde o subscrito s se utiliza para tenses cisalhantes) no depende do material da pea, apenas da geometria e do tipo de solicitao. A Figura 15 mostra um exemplo de um grfico adimensional para calcular o Kt em funo da geometria e do tipo de carregamento. Muitos outros grficos e expresses analticas para calcular o Kt ou o Kts, para diferentes combinaes de geometrias e carregamentos, esto disponveis nas referncias. importante definir se a tenso nominal est referida rea liquida ou rea total. O mais comum definir n em termos da rea lquida, como o caso da Figura 15. Em fadiga e no regime elstico, a amplitude da tenso local a = Kt na e a = Kts an. Figura 15 Fator de concentrao das tenses Kt para uma barra retangular de espessura t submetida a um fletor M [2]. 11K /KtK /Ktraiz doentalheelsticaescoamentona raiz doentalheKt n/Sy11K /KtK /Ktraiz doentalheelsticaescoamentona raiz doentalheKt n/Sy11K /KtK /Ktraiz doentalheelsticaescoamentona raiz doentalheKt n/SyK /KtK /Ktraiz doentalheelsticaescoamentona raiz doentalheKt n/SyUniversidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 18 de 47 Imagine dois espcimes submetidos mesma tenso local a, porm um deles liso ou com uma pequena curvatura de maneira que o Kt = 1, ou seja, com a = an, e outro entalhado com a = Kt an. Em fadiga os dois espcimes devero ter a mesma vida j que experimentam as mesmas a. Em coordenadas an x N a resistncia fadiga dever ser Kt vezes menor para o espcime entalhado. Na prtica, no entanto, no isto o que se verifica. Principalmente na regio do limite de fadiga e para entalhes afiados, as curvas tenso nominal (Sf ou an) versus nmero de ciclos N, diferem por um fator Kf < Kt, como mostrado na Figura 16. As diferenas entre Kf e Kt so principalmente atribudas ao gradiente das tenses no ponto crtico da pea. Se este ponto est localizado em uma superfcie plana ou no fundo de um entalhe arredondado o valor da tenso mxima nas fibras extremas define o limite de fadiga. Para raios de entalhe pequenos a tendncia ao aumento destas diferenas, como mostrado na Figura 17. Para estes entalhes afiados com elevados gradientes das tenses as teorias de Peterson [8] e Neuber [7] consideram que o material no seria sensvel amplitude local mxima das tenses e sim a uma tenso mdia em uma regio bem pequena, porm finta, na frente do entalhe, chamada de zona de processamento (zp) ou distncia crtica. Figura 16 Curvas Sf N para espcimes de ao lisos e entalhados. O Kf se define formalmente apenas para vida infinita. A metodologia clssica para tratar da concentrao das tenses em fadiga baseia-se no fator de sensibilidade ao entalhe q, definido pela equao: 1 K1 Kqtf=Eq. 8 onde q varia entre zero (resultando em Kf = 1 ou mnima sensibilidade) e a unidade (resultando em Kf = Kt ou mxima sensibilidade). Os valores de q e consequentemente de Kf podem ser estimados a partir de constantes empricas propostas por Peterson cP e Neuber cN. Atualizado em 07/11/2009 NP c11qc11q+=+= Figura 17 Dados de Kf (no limite de fadiga) Substituindo a Eq. 9 na Eq. 8 Neuber: Ptfc11 K1 K++ = Peterson Ntfc11 K1 K++ = Neuber onde cP e cN (em unidades de comprimento) resistncia trao Su do material.carregamento axial e de flexo Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica N (no limite de fadiga) para vrios rdios de entalhe em espcimes de ao em flexo rotativa [9]. possvel obter expresses para o Kf por Peterson e Peterson (em unidades de comprimento) so constantes empricas do material. A constante proposta por Petersoncarregamento axial e de flexo, se calcula pela seguinte expresso: Pgina 19 de 47 Eq. 9 para vrios rdios de entalhe em espcimes por Peterson e Eq. 10 Eq. 11 empricas que dependem da Peterson cP, para aos em Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 20 de 47 ( ) MPa 2070 S 345 10 mm , c01103 . 0 S 3 E 309 . 1 S 7 E 654 . 2 c loguc logPu2u PP =+ = Eq. 12 Para toro necessrio multiplicar os valores de cP da Eq. 12 por 0.6. Para alumnios Peterson fornece um valor fixo de cP = 0.51 mm. A Figura 18 mostra o fator q de acordo com Peterson. Figura 18 Curvas de sensibilidade ao entalhe [4]. A expresso para a constante de Neuber cN para aos e para alumnios, respectivamente, est dada pelas equaes Eq. 13 e Eq. 14: ( ) MPa 1725 S 345 10 mm , c6404 . 0 S 3 E 74 . 3 S 6 E 74 . 2 S 9 E 079 . 1 c loguc logNu2u3u NN =+ + = Eq. 13 Nc logN u2u3u N10 mm , c ; 451 . 1 S 3 E 24 . 8 S 5 E 422 . 1 S 9 E 402 . 9 c log = + + =Eq. 14 Uma diferena fundamental entre os dois mtodos que Neuber no faz distino entre os carregamentos de flexo e toro, como o faz Peterson (Figura 18). Isto de certa forma facilita os clculos pois, dependendo apenas do material, haver um nico q para flexo e toro. Para aos, a Figura 19 mostra uma comparao entre os fatores de sensibilidade ao entalhe por Peterson e Neuber, de acordo com as equaes Eq. 12 e Eq. 13, respectivamente. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 21 de 47 Entalhes bem mais afiados, quase trincas, devem ser tratados pela mecnica da fratura. A referncia [11] pode ser consultada para mais detalhes. Nos exemplos destas notas de aula utilizaremos indistintamente os fatores de sensibilidade ao entalhe de Peterson e Neuber. Figura 19 Comparao entre os fatores de sensibilidade ao entalhe por Peterson (Eq. 12) e Neuber (Eq. 13), para aos. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 22 de 47 Cargas mdias em fadiga Curvas de resistncia fadiga como a da Figura 7 geralmente so obtidas para uma razo de carga R = 1. Quando as cargas mdias so diferentes de zero as curvas Sf N seguem o padro mostrado na Figura 20. Uma mesma vida em fadiga s poder ser obtida para razes de carga R crescentes diminuindo a amplitude das tenses aplicadas. Esta forma de interpretar os dados da Figura 20 se mostra na Figura 21. Curvas como a da Figura 20 no esto geralmente disponveis. Cada uma das curvas que compem esta figura consome cerca de 50 corpos de prova o que gera custos elevados. Ainda que fosse barato e fcil obter uma curva a x m, ela nem sempre corresponderia exatamente com a tenso mdia atuante no componente de interesse. Uma forma diferente de analisar os dados da Figura 20 consiste em plotar os pares de valores ( a, m) que produzem as mesmas vidas. O resultado so curvas que correspondem a uma mesma vida em fadiga (da o nome de diagramas de vida constante DVC) em coordenadas a x m como mostrado na Figura 22. mais fcil visualizar na Figura 22 a necessria queda na amplitude das tenses para obter uma mesma vida quando a tenso mdia cresce no sentido trativo. Os dados da Figura 22 ainda podem ser apresentados de uma forma adimensional dividindo a amplitude das tenses para qualquer razo de carga a(R) pela amplitude em R = 1, j definida acima como ar. O resultado se mostra na Figura 23. Desta forma possvel consolidar os dados correspondentes a vrios nveis de tenses mdias e de vidas em uma nica curva, cujo ajuste fornece uma equao representativa do efeito das cargas mdias na resistncia fadiga. Observe que a tenso mdia m deve se aproximar do limite de ruptura do material Su quando a amplitude das tenses aplicadas se aproxima de zero. Por este motivo a interseo no eixo das abscissas do diagrama de vida constante normalizado deve acontecer em m/Su = 1. Figura 20 Curvas Sf N em carregamento axial para vrias cargas mdias m em espcimes lisos Kt = 1. Cada curva une as resistncias mdias para diferentes lotes do material [9]. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 23 de 47 Figura 21 Ciclos de carregamento que provocam o inicio de uma trinca por fadiga em igual nmero de ciclos. Na medida que a razo de carga R cresce, uma menor amplitude de carga pode ser aplicada para obter a mesma vida em fadiga [4]. Os diagramas de vida constante fornecem a amplitude da tenso totalmente reversa ar que causa o mesmo dano na pea do que as combinaes m a ~,~ (o til acima dos smbolos indica tenses equivalentes) para um dado material com Su conhecido. Diversas equaes tm sido propostas para ajustar os dados da Figura 23. Duas delas, a reta de Goodman (Eq. 15) e a parbola de Gerber (Eq. 16) se mostram na figura. Figura 22 Diagrama de vida constante para o alumnio 7075 T6 a partir dos dados da Figura 20 [9]. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 24 de 47 Figura 23 Diagrama de vida constante normalizado para os dados do alumnio 7075-T6 da Figura 22 [9]. O mesmo diagrama pode ser aplicado a estados tensionais biaxiais, trocando-se as a, m pelas respectivas tenses equivalentes m a ~,~. Goodman 1S~FS~FSumara= + Eq. 15 Gerber 1S~FS~FS2umara=|||

\|+ Eq. 16 Uma melhor correspondncia com dados de materiais dcteis se consegue substituindo o limite de resistncia Su pela resistncia fratura (em termos da tenso verdadeira) corrigida fB~ ou pela constante f. Para as definies destas propriedades e uma discusso sobre outras equaes que permitem ajustar os DVC normalizados, os alunos podem consultar a referncia [9]. Se as constantes de ajuste B e C da Eq. 4 correspondem a dados obtidos com R = 1, como ocorre geralmente, sobretudo no caso de curvas estimadas para aos a partir das tendncias observadas na Figura 7, na Eq. 4 a igualdade Sf = ar vlida. Nestes casos a partir das equaes (Eq. 4, Eq. 15 e Eq. 16) podemos obter uma relao tenso x vida mais general, incluindo o efeito das tenses mdias trativas: GoodmanNCS~FS1FS1~B / 1uma||

\||||

\| =Eq. 17 Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 25 de 47 GerberNCS~FS1FS1~B / 12uma||

\||||

\||||

\| =Eq. 18 Observe que as equaes Eq. 18 e Eq. 19 so reconhecidamente equaes de projeto mecnico em fadiga que permitem calcular uma das seguintes incgnitas: Nmero de ciclos para a falha de um componente mecnico por fadiga. Fator de segurana para um carregamento conhecido e para uma determinada vida em fadiga. Mximo carregamento que pode ser aplicado a um componente sem que o mesmo falhe por fadiga com um determinado fator de segurana. Geometria necessria no componente para suportar o carregamento aplicado sem falhar por fadiga. claro que para poder utilizar as equaes de projeto precisamos definir as expresses das tenses equivalentes. Este ser o assunto do prximo tpico. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 26 de 47 Tenses equivalentes Como discutido acima para estados biaxiais a amplitude da tenso equivalente de Mises tem se mostrado efetiva para prever o limite de fadiga em R = 1 de materiais dcteis. Alm do subscrito a (de amplitude), a expresso para a a~ em fadiga difere da bem conhecida equao da tenso equivalente de Mises para carregamento esttico (com uma das componentes de tenses normais igual a zero), pelo fato de incluir os efeitos da concentrao das tenses: ( ) ( )2a fs2a f aK 3 K~ + =Eq. 19 No caso de carregamentos mdios superpostos s a~ o efeito na amplitude equivalente necessria para provocar a falha j foi visualizado na Figura 23. Se estes carregamentos mdios forem estticos (amplitude zero) a metodologia recomendada consiste em considerar que a varivel que controla o efeito das cargas mdias m~ proporcional ao valor esttico da tenso normal hidrosttica: zm ym xm m 3 m 2 m 1 m~ + + = + + =Eq. 20 A justificativa para no calcular tambm o m~ por Mises que esta teoria fornece a mesma tenso equivalente em trao e compresso, sendo que as tenses mdias compressivas no tm o mesmo efeito de reduzir a a~ admissvel que tm as tenses trativas, como mostrado na Figura 23. Juvinall [4] prope utilizar apenas a tenso principal mxima, resultante da superposio de todas as tenses mdias existentes: ( )2m fs2m f m fmK2K2K~ +|||

\|+ =Eq. 21 O procedimento recomendado acima para calcular as tenses equivalentes deve ser utilizado primariamente sob as seguintes condies: Carregamentos peridicos, da mesma freqncia e em fase. Eixos principais fixos ( p = cte) para as componentes alternadas e mdias. Estas condies so satisfeitas, por exemplo, no caso de um cilindro de paredes finas com tampas, submetido a uma presso interna varivel com o tempo e a um fletor constante superposto s tenses 2, como mostrado na Figura 24. Neste caso as m geradas pelos ciclos de 1 e 2 podem ser tratadas como estticas, calculando o valor de m~ pela Eq. 20 ou pela Eq. 21. Atualizado em 07/11/2009 Uma boa reviso sobre diverssubmetidos a histrias de carregamento no proporcionais (na referncia [13]. Figura 24 Superposio de pressocom tampas. As direes principais so constantes [ Exemplo 3 A viga em balano mostrada na figura (Su = 80 Ksi, SL = 40 Ksi), de seo circular macia e est submetida a um carregamento cclico senoidal entre F e 3Fsuportar para vida infinita em fadiga (por Gerber), com Considere apenas a regio da mudana de dimetros para os clculos. O de 1,38. Figura Soluo: Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Uma boa reviso sobre diversos outros modelos para projeto de elementos de mquinas submetidos a histrias de carregamento no proporcionais ( p = f(t)) pode ser encontrada de presso cclica e fletor constante em tubo de parede fina com tampas. As direes principais so constantes [A viga em balano mostrada na figura de ao 1025 laminado a frio ), de seo circular macia e est submetida a um carregamento 3F. Calcule o valor mximo de F que este membro pode em fadiga (por Gerber), com 99 % de confiabilidade e penas a regio da mudana de dimetros para os clculos. O Figura 25 Corresponde ao Exemplo 3. Pgina 27 de 47 os outros modelos para projeto de elementos de mquinas ) pode ser encontrada cclica e fletor constante em tubo de parede fina com tampas. As direes principais so constantes [9]. de ao 1025 laminado a frio ), de seo circular macia e est submetida a um carregamento que este membro pode de confiabilidade e FS = 2. penas a regio da mudana de dimetros para os clculos. O kf nesta seo Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 28 de 47 Resistncia Fadiga: O estudante deve conferir os valores dos seguintes fatores: CL = 1; CG = 0.9, CS = 0.83 e CR = 0.814. O limite de fadiga da pea ser: SL = 24497 psi. Anlise das Tenses: Considere uma carga F atuando para baixo na extremidade esquerda da viga. O momento fletor na seo AB provocado por esta carga F ser MAB = Fl, onde l = 5. Como F varia de Fmin = F at Fmx = 3F o fletor ir variar tambm entre Mmin = MAB e Mmax = 3MAB, logo com uma componente mdia Mm = (Mmax + Mmin)/2 = MAB e uma alternada Ma = (Mmax Mmin)/2 = 2MAB. De acordo com as Eq. 19 e Eq. 21 teremos: F8 . 3532dM 32k~F4 . 1766dM 32k~3af a3mf m= == = Substituindo em Gerber e resolvendo teremos: lb 7 . 10 F 180000F 4 . 1766 224497F 3532 21S~FSS~FS2 2umLa= =|||

\| + =|||

\|+ Exemplo 4 Um corpo de prova de ao de seo retangular 5 x 10 mm, com uma dureza de 300 HB, submetido a um ensaio de fadiga de alto ciclo em carregamento axial. Por motivos operacionais no foi possvel aplicar um carregamento senoidal completamente reverso, optando-se por ciclos pulsantes (R = 0). Estime por Gerber a carga axial mxima que, com um fator de segurana FS = 1, pode ser colocada na mquina de maneira que as tenses aplicadas sejam equivalentes ao limite de fadiga do material. Soluo: Para carregamento axial puro as tenses aplicadas so iguais s equivalentes. Em um corpo de prova decentemente usinado espera-se que kf = 1. Note tambm que para um carregamento senoidal com R = 0 a componente alternada das tenses igual mdia a = m, o que permite reduzir a expresso de Gerber para: ( ) ( )2S 8 S 22S 4 S 2 S 20 S S 2 1S S22S' S1S ' S0 R 1S ' Su u2u2u ua2u a u2a2uaua uL2uaLam a2umLa = == + =|||

\|+ ==|||

\|+ = = =|||

\|+ Como a no pode ser negativo teremos: ( )( )uu u u u uaS 1 221 2 S 22S 2 2 S 22S 8 S 2 ==+ =+ = Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 29 de 47 As tenses sero a = Pa/A, onde A = 50 mm2 a rea do espcime. Em R = 0 Pmx = 2 Pa logo a = Pmx/A. Substituindo na equao acima teremos: ( ) ( )u mx umxaS 1 2 A 2 P S 1 2A 2P = = = Lembrando agora da relao Su = 3,4 HB teremos: ( ) ( ) KN 25 , 42 300 4 , 3 1 2 50 2 HB 4 , 3 1 2 A 2 Pmx= = = Atualizado em 07/11/2009 Acmulo de Dano Cargas de amplitude constante podem atuar durante esquematicamente na Figura pode ocorrer em cada reverso do carregamento, como mostrado na Figura 26 Esquema ciclos de tenses de amplitude constante (esquerda) e va Nestes casos, para fins de projeto se utiliza a proposta independentemente por Palmgren na Sucia (1924) e por Miner nos Estados Unidos (1945). O conceito subjacente muito simples: se uma pea falha em sob um carregamento Fi, cada ciclo deste carregamento consome uma parte em A falha por fadiga deve ocorrer quando o matemticos, seja ni o nmero de ciclos em que apenas Fi atuasse (pelos mtodos j descritos), ento a falha dever acontecer quando: == + + + +i iiii3322111Nn1Nn...NnNnNn Onde ni o nmero de ciclos de aplicao do iuma situao em que seja possvel identificar teremos: =i ii1Nn Pode-se aplicar diretamente a regra de Palmgrenesquerda. J o carregamento identificar o conjunto {ni, ai, Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Cargas de amplitude constante podem atuar durante n ciclos, como mostrado Figura 26 (esquerda). De igual forma, a variao da amplitude pode ocorrer em cada reverso do carregamento, como mostrado na Figura ciclos de tenses de amplitude constante (esquerda) e va(direita). Nestes casos, para fins de projeto se utiliza a regra linear de acmulo de danoproposta independentemente por Palmgren na Sucia (1924) e por Miner nos Estados Unidos (1945). O conceito subjacente muito simples: se uma pea falha em , cada ciclo deste carregamento consome uma parte em A falha por fadiga deve ocorrer quando o 100 % da vida for gasta. Em termos o nmero de ciclos em que Fi atua e seja Ni a vida calculada caatuasse (pelos mtodos j descritos), ento a falha dever acontecer quando: o nmero de ciclos de aplicao do i-ssimo evento de carregamento ossvel identificar blocos de um mesmo carregamento se aplicar diretamente a regra de Palmgren-Miner a blocos como o da esquerda. J o carregamento da Figura 26 direita requer de um mtodo que permmi}. A melhor maneira de fazer isto mediante uma Pgina 30 de 47 ciclos, como mostrado . De igual forma, a variao da amplitude Figura 26 direita. ciclos de tenses de amplitude constante (esquerda) e varivel regra linear de acmulo de dano, proposta independentemente por Palmgren na Sucia (1924) e por Miner nos Estados Unidos (1945). O conceito subjacente muito simples: se uma pea falha em Ni ciclos , cada ciclo deste carregamento consome uma parte em Ni ciclos. da vida for gasta. Em termos a vida calculada caso atuasse (pelos mtodos j descritos), ento a falha dever acontecer quando: Eq. 22 ssimo evento de carregamento Fi. Para blocos de um mesmo carregamento Eq. 23 Miner a blocos como o da Figura 26 direita requer de um mtodo que permita }. A melhor maneira de fazer isto mediante uma Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 31 de 47 contagem Rain-Flow. A contagem Rain-Flow deve ser realizada seguindo 3 regras simples [10]: 1.Numerar sequencialmente todos os picos e vales. 2.Iniciar a contagem em seqncia de cada pico e vale parando quando: Encontrar um pico ou um vale do que o ponto inicial Uma contagem iniciada anteriormente Acabar a histria do carregamento 3.Contar ciclo entre o ponto inicial e o maior contrrio encontrado na contagem. Vrios outros mtodos para contagem de ciclos em fadiga sob cargas de amplitude varivel so discutidos na norma ASTM E 1049-85 Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 32 de 47 Uma metodologia especfica para o projeto fadiga de eixos de transmisso de potncia Eixos so elementos de mquinas que giram e transmitem a potncia a travs das engrenagens, polias, e rodas denteadas a ele acopladas. possvel tambm que o eixo no gire e nem transmita potncia, como no caso em que este se utiliza para suportar as rodas no motrizes de um automvel. Os eixos que suportam engrenagens intermedirias podem ou no girar junto com elas, dependendo da forma em que a engrenagem se acopla ao eixo. Se este acoplamento ocorre por chavetas ou pinos, ambos os elementos giram juntos, mas quando da utilizao de rolamentos o eixo permanece fixo e a engrenagem gira em torno dele. Como em todos os elementos de mquinas a metodologia de projeto est em funo do mecanismo de falha predominante. Os eixos esto submetidos a vrias combinaes de esforos axiais, fletores e torores que podem ou no variar com o tempo. Estes carregamentos induzem estados tensionais complexos nos pontos crticos dos eixos, com direes principais que podem ser fixas ou variveis com o tempo. necessrio estabelecer uma metodologia de projeto que garanta a resistncia fadiga dos pontos crticos durante a vida til do eixo. Alm da resistncia fadiga o projeto de eixos deve estabelecer limites para as deflexes lineares e angulares. Um eixo com pouca rigidez afeta o funcionamento dos elementos que lhe so acoplados e diminui as velocidades crticas. Em resumo, o projeto de eixos deve incluir principalmente os seguintes tpicos: Anlise das Tenses e Resistncia Fadiga Deflexes Velocidades Crticas A seguir algumas dicas de projeto de eixos: Para minimizar tanto as deflexes quanto as tenses, o eixo dever ser to curto quanto possvel, minimizando as partes em balano. Obviamente que uma viga em balano ter uma deflexo maior do que uma apoiada, por isso devemos, sempre que possvel, preferir eixos apoiados. A polia no extremo direito da prxima figura um exemplo no qual prefervel deixar uma parte em balano pois facilita a troca da correia. Um eixo oco tem uma melhor relao rigidez / massa e freqncias naturais mais altas, quando comparado com um eixo slido da mesma resistncia e rigidez, mas ser mais caro e precisar de um dimetro maior. Tente localizar os concentradores de tenses longe das regies de maior momento fletor e minimizar os efeitos arredondando os cantos vivos. Se a preocupao principal de projeto minimizar as deflexes prefervel utilizar para o eixo um ao carbono, devido a que a rigidez a mesma e quando se projeta para pouca deflexo haver baixas tenses. As deflexes nas engrenagens no devem exceder os 120 m. As deflexes angulares nos mancais de rolamentos no auto-alinhantes no devem superar os 0.04 ou 6.98E4 radianos. Se h cargas axiais deveremos usar apenas um rolamento axial em cada direo da carga. No dividir a carga axial em diferentes rolamentos axiais devido a que a expanso trmica do eixo pode sobrecarregar os rolamentos. Atualizado em 07/11/2009 A primeira freqncia natural do eixo deve ser como mnimo trs vezes to alta quanto a maior freqncia forada esperada em servio (de preferncia 10x). Anlise das Tenses e Resistncia Fadiga Basicamente os eixos so solicitados por combinaes de fletoconstantes (ou alternados). Se considerarmos que estes carregamentos esto em fase, as tenses resultantes podem ser de dois tipos, como esquematicamente representado na Figura 27. Se o eixo gira em um nico sentido, por exemplo, o torque constante gera uma componente mdia das tenses cisalhantes que provoca uma variao direes principais 2 2 tgp =anlise de tenses do mtodo SN na forma vista anteriormente. O projeto em fadiga de eixos solicitados por esta combinao de fletores e torores, ou inclusive, aqueles solicitados tambm por um toror varivel no tempo, se faz utilizando uma metodologia particular elaborada pela SAE [ De acordo com o mtodo SAE considerasubmetido a um carregamento que esteja dentro das elipses mostradas na Neste caso a a amplitude da tenso normal de flexo (completamente reversa), limite de fadiga em flexo pura (da pea, neste caso do eixo), alternada e mdia da tenso cpura (esttico) e SLS o limite de fadiga em toro pura. Os ensaios da correspondem aos esquemas da Figura 27 - Esquema da variao das tenses normais crtico(s) de Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica meira freqncia natural do eixo deve ser como mnimo trs vezes to alta quanto a maior freqncia forada esperada em servio (de preferncia 10x).Resistncia Fadiga Basicamente os eixos so solicitados por combinaes de fletores alternados e torores constantes (ou alternados). Se considerarmos que estes carregamentos esto em fase, as tenses resultantes podem ser de dois tipos, como esquematicamente representado xo gira em um nico sentido, por exemplo, o torque constante gera uma componente mdia das tenses cisalhantes que provoca uma variao / . Isto cria uma situao que dificulta a aplicao da tenses do mtodo SN na forma vista anteriormente. O projeto em fadiga de eixos solicitados por esta combinao de fletores e torores, ou inclusive, aqueles solicitados tambm por um toror varivel no tempo, se faz utilizando uma metodologia laborada pela SAE [12] e baseada em numerosos resultados experimentais.De acordo com o mtodo SAE considera-se seguro contra a falha por fadiga o eixo submetido a um carregamento que esteja dentro das elipses mostradas na a amplitude da tenso normal de flexo (completamente reversa), limite de fadiga em flexo pura (da pea, neste caso do eixo), a e m so as componentes alternada e mdia da tenso cisalhante de toro, Sys o limite de escoamento em toro o limite de fadiga em toro pura. Os ensaios da correspondem aos esquemas da Figura 27 na mesma ordem. Esquema da variao das tenses normais e cisalhantes crtico(s) de eixos de transmisso de potncia. Pgina 33 de 47 meira freqncia natural do eixo deve ser como mnimo trs vezes to alta quanto a maior freqncia forada esperada em servio (de preferncia 10x). res alternados e torores constantes (ou alternados). Se considerarmos que estes carregamentos esto em fase, as tenses resultantes podem ser de dois tipos, como esquematicamente representado xo gira em um nico sentido, por exemplo, o torque constante gera uma componente mdia das tenses cisalhantes que provoca uma variao no tempo das . Isto cria uma situao que dificulta a aplicao da tenses do mtodo SN na forma vista anteriormente. O projeto em fadiga de eixos solicitados por esta combinao de fletores e torores, ou inclusive, aqueles solicitados tambm por um toror varivel no tempo, se faz utilizando uma metodologia ] e baseada em numerosos resultados experimentais. se seguro contra a falha por fadiga o eixo submetido a um carregamento que esteja dentro das elipses mostradas na Figura 28. a amplitude da tenso normal de flexo (completamente reversa), SL o so as componentes o limite de escoamento em toro o limite de fadiga em toro pura. Os ensaios da Figura 28 a) e b) e cisalhantes no ponto(s) Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 34 de 47 Figura 28 Resultados de testes de fadiga em eixos de vrios materiais sob diversas combinaes de flexo completamente reversa mais a) toro esttica e b) toro completamente reversa (em fase com a flexo) [1]. A partir destes resultados as equaes de projeto de eixos para os casos a) e b) da Figura 28 sero respectivamente: ) b (FS1S S) a (FS1S S22LSa2La22ysm2La=|||

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\|=|||

\|+|||

\| Eq. 24 Onde FS o fator de segurana. Os limites de fadiga da pea em flexo SL e toro puras SLS podem ser obtidos da Tabela 3. J o limite de escoamento em toro pura (esttico) Sys = 0.58 Sy, de acordo com o critrio de Mises, onde Sy o limite de escoamento em trao uniaxial. Em termos geomtricos um fator de segurana positivo implica em que o estado de tenses situa-se dentro das elipses da Figura 28. Devemos lembrar que as tenses devidas ao fletor e ao toror em sees circulares macias se calculam pelas conhecidas frmulas: 3mfs m 3afs a3mf m 3af adT 16KdT 16KdM 32KdM 32K= == = Eq. 25 Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 35 de 47 Resumo de passos para o projeto A seqncia de clculos para o projeto de eixos no quesito resistncia fadiga, para cada evento do carregamento, pode ser resumida da seguinte forma: 1.Definir o diagrama de corpo livre do eixo e os diagramas de distribuio dos esforos fletores e torores. 2.Encontrar o Kt, o q e o Kf nos potenciais pontos de gerao e posterior crescimento de trincas por fadiga. Dependendo do Kf estes pontos podem ou no pertencer s sees crticas. Observar que teremos um Kf para tenses normais e um Kfs para tenses cisalhantes. 3.Calcular as tenses normais e cisalhantes pelas equaes Eq. 25 nos pontos crticos. 4.Encontrar os limites de fadiga da pea em flexo SL e toro SLS da Tabela 3 e o limite de escoamento em toro pura (esttico) Sys = 0.58 Sy. 5.Substituir as solicitaes (passo 3) e resistncias (passo 4) da pea nas equaes de projeto Eq. 24, tendo previamente definido em qual dos casos da Figura 27 se encaixa o projeto em questo. 6.Acumular o dano caso algum dos eventos do carregamento provoque uma vida finita. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 36 de 47 Exemplo 5 A) Encontre o fator de segurana contra a fadiga na seo de um eixo de geometria conhecida (ver Figura 29) submetido a um fletor M = 20E6 Nmm e a um torque T = 75E5 Nmm, ambos constantes no tempo. O material um ao martenstico AISI 431 temperado e revenido, com limite de escoamento Sy = 743 MPa e limite de ruptura Su = 965 MPa = 140 Ksi. O acabamento superficial do eixo corresponde a um retificado de qualidade comercial. Utilize uma confiabilidade de 99 % nos testes de fadiga. B) Calcule tambm o FS para o caso em que o torque flutue (R = 0.1, Tmax= T) em fase com a rotao do eixo. Soluo: A) FS para o caso em que o torque permanece constante: Neste exemplo o primeiro passo da seqncia recomendada de projeto j foi completado. O segundo passo consiste em calcular os fatores de concentrao das tenses e para isto utilizamos as figuras A-5-6 e A-15-8 da referncia [2], reproduzidas como Figura 30 e Figura 31 destas notas de aula. muito importante observar que nos dois casos o dimetro utilizado para definir a tenso nominal o dimetro menor. Figura 29 Esquema da mudana de dimetros e do tipo de carregamento para o eixo do Exemplo 5. Os dados geomtricos so: D = 145 mm, d = 124 mm, r = 5 mm. Comearemos determinando o Kfs para as tenses cisalhantes devidas ao torque. Entrando na Figura 30 com r/d = 5/124 = 0.04 e D/d = 1.17 obtemos Kts 1.6. Observamos que na Figura 18 (Peterson) para r > 4 mm, carregamento de toro e ao com Su = 140 Ksi o fator de sensibilidade ao entalhe q tende a 0.9. Substituindo na Eq. 8 obtemos kfs = 1 + q (Kt 1 ) = 1 + 0.9 (1.6 1 ) = 1.57. Um resultado bem prximo (ligeiramente menos conservativo) pode ser obtido utilizando diretamente a Eq. 11 e a Eq. 13 (Neuber): 04 . 0 10 ,38 . 1 6404 . 0 3 74 . 3 6 74 . 2 9 079 . 1 loglog2 3= = = + + =NcNu u u Nmm cS E S E S E c ( ) ( ) 55 . 1 1 6 . 1 91 . 0 1 1 191 . 0504 . 01 11 1= + = + ==|||

\|+ =|||

\|+ = ts fsNK q Kcq Para o caso do fletor entramos na Figura 31 com as relaes r/d = 5/124 = 0.04 e D/d = 1.17, o que nos permite obter Kt 1.95. A sensibilidade ao entalhe q tende para 0.9 na Figura 18 e kf = 1 + q (Kt 1 ) = 1 + 0.9 (1.95 1 ) = 1.86. Por Neuber obteramos Kf = 1.87. Substituindo nas equaes Eq. 25 para M = 20E6 Nmm, Ta = 0 e T = 75E5 Nmm temos: Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 37 de 47 MPaEMPaEm aa311245 75 1655 . 1 02001246 20 3287 . 133== === Figura 30 Fatores de concentrao das tenses em toro para a geometria mostrada [2]. Figura 31 Fatores de concentrao das tenses em flexo para a geometria mostrada [2]. Continuando com a seqncia de projeto recomendada procederemos agora ao clculo das propriedades em fadiga do material da pea. Como o carregamento do eixo de flexo completamente alternada e toro constante utilizaremos a Figura 28 (a) e a equao Eq. 24 (a): 22ysm2LaFS1S S=|||

\|+|||

\| Onde: MPa 304 965 5 . 0 9 . 0 7 . 0 1 S 5 . 0 C C C Su S G L L= = = Os fatores modificadores do limite de fadiga do material foram obtidos da Tabela 3. O fator de carga CL = 1 j que estamos interessados em calcular o limite de fadiga da pea Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 38 de 47 em flexo SL. Como 100 mm< d < 150 mm CG = 0.7. Na Figura 13 obtemos CS = 0.9, para Su = 140 Ksi e retificado de qualidade comercial. Como dito anteriormente, de acordo com a teoria da mxima energia de distoro de Mises Sys = 0.58 Sy = 0.58 743 = 431 MPa. Por fim, o fator de segurana ser: 5 . 1431313042001 12 2 22=||

\|+||

\|=|||

\|+|||

\|=ysmLaS SFS B) FS para o caso em que o torque flutue (R = 0.1, Tmax=T) em fase com a rotao do eixo. Utilizaremos os resultados experimentais da Figura 28 (b), que correspondem superposio de flexo e toro completamente alternadas, embora a toro no nosso problema tenha um R 1. Mais adiante demonstraremos que, para este caso particular, esta aproximao vlida. A seguinte equao de projeto ser utilizada: 22LSa2LaFS1S S=|||

\|+|||

\| Primeiramente calculamos o limite de fadiga da pea em toro pura: MPa S C C C Su S G L LS176 965 5 . 0 9 . 0 7 . 0 58 . 0 5 . 0 = = = Utilizando as Eq. 2 podemos encontrar as componentes alternada e mdia do torque e as tenses cisalhantes por ele geradas: ( )( ) MPaEdTk mm N EERTTMPaEdTk mm N EERTTmfs m mafs a a171245 25 . 41 1655 . 116. 5 25 . 41 1 . 125 7512141245 75 . 33 1655 . 116. 5 75 . 33 9 . 025 75123 3max3 3max=== = = + ==== = = = Seguidamente calculamos o fator de segurana (Eq. 24 (b)): 5 . 11762 . 143042001 12 2 2 2=||

\|+||

\|=|||

\|+|||

\|=LSaLaS SFS Este resultado idntico ao obtido anteriormente para flexo alternada e toro constante. Podemos verificar que, mantendo o torque mximo Tmax = constante, a razo de carga R pode variar de R = 1 a = max = 32 MPa at R = 1 a =0, m = 32 MPa (que corresponde letra A deste exemplo), sem que o FS seja severamente afetado, como mostrado na Figura 32. Plotando a equao de FS (acima) para 100 MPa a 300 MPa (lembrar que o a aplicado 200 MPa) e 0 a 32 MPa, observa-se que a influncia de a no FS pequena quando comparada com a influncia Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 39 de 47 de a (Figura 32). Devemos insistir em que este estudo se limita ao exemplo atual e no deve ser estendido a outros casos, principalmente porque a variao de R nos ciclos de fadiga deve ser analisada aplicando o mtodo SN e no o mtodo especfico da SAE para eixos. Figura 32 Influncia da amplitude das tenses cisalhantes a e normais a no fator de segurana para os dados do Exemplo 5. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 40 de 47 Exemplo 6 (Prob. 8.44 do Juvinall 3 ed.). A figura mostra parte de uma bomba que movida por engrenagens a velocidade e carga constantes. O eixo est apoiado em mancais na carcaa da bomba e de ao com Su = 1 GPa e Sy = 800 MPa. As foras na interface da engrenagem bem como os fatores de concentrao das tenses se mostram na figura. A superfcie do eixo no entalhe est polida. Verifique se o dimetro do eixo suficiente para evitar a falha por fadiga no entalhe. Utilize uma confiabilidade de 99 %. Figura 33 Corresponde ao Exemplo 6. (Prob. 8.44 do Juvinall 3 ed.) Soluo: Neste problema est implcito que se deseja vida infinita, logo o procedimento resumido consiste em determinar a resistncia fadiga da pea, calcular a amplitude e a mdia das tenses equivalentes de mises no(s) ponto(s) crtico(s) e resolver para dmin na correspondente elipse de projeto (Figura 28 ou Eq. 24), considerando FS = 1. claro que utilizar o dimetro do eixo na equao de projeto e resolver para FS conduz aos mesmos resultados. Neste exemplo optamos por resolver para dmin apenas para mostrar um procedimento diferente ao do Exemplo 5. Analisamos primeiramente a resistncia fadiga da pea na seo crtica. Os fatores de correo do limite de fadiga, de acordo com a Tabela 3 sero: Fator de carga CL = 1 porque o estado das tenses no(s) ponto(s) crtico(s) combinado e utilizaremos, para comparao com as solicitaes, a curva de resistncia fadiga em flexo rotativa. Fator de gradiente das tenses CG = 0,9 j que o dimetro 10 25 50. Fator de superfcie CS = 1 j que o acabamento do eixo polido. Fator de confiabilidade CR = 0.814 para 1 % de chances de falha. Seguidamente calculamos o limite de fadiga da pea: SL = (1)(0,9)(1)(0.841)0,5 Su = 378 MPa. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 41 de 47 Na parte de anlise das tenses melhor definir primeiramente o estado das tenses no(s) ponto(s) crtico(s) e depois analisar o comportamento, no tempo, destas tenses. evidente neste exemplo que a seo crtica encontra-se no apoio do eixo com a carcaa. Em outros casos pode ser necessrio definir a seo crtica a partir dos diagramas de esforos internos. Definindo as foras na interface da engrenagem como Wa = 500 N, Wr = 750 N e Wt = 2000 N, as distncias dg = 250 mm, r = dg/2 =125 mm e l = 50 mm, pode-se construir a seguinte tabela com as foras internas na seo crtica (desprezando o cortante) e as tenses que estas foras provocam. Observe que o subscrito a se utiliza para identificar a componente axial da fora resultante W na interface de engrenagens cilndricas helicoidais (e tambm o fator de concentrao das tenses em fadiga para o esforo axial kfa) e que no tem qualquer relao, neste caso, com a amplitude da carga. Tenses Axial Fletorna Horizontal Fletorna Vertical Fletor Resultante Toror WaMh = War + WrlMv = Wtl 2v2h RM M M + = T = Wtr 2afadW 4k 3hfdM 32k 3vfdM 32k 3RfdM 32k 3fsdT 16k Consideramos que a tenso cisalhante de toro seja constante no tempo logo 3fs m adT 16k , 0 = = . O ponto crtico estar submetido tambm a uma tenso normal fletora completamente reversa0 ,dM 32km3Rf a= = . Devido ao esforo axial a tenso normal mdia ser 2afa mdW 4k = . Esta tenso, no entanto, no considerada no mtodo da SAE [12]. Utilizaremos a elipse da Figura 28 (a) e a equao Eq. 24 (a): 22y3 fs2L3Rf22ysm2LaFS1S 58 . 0dT 16kSdM 32kFS1S S=|||||

\|+|||||

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\| Substituindo valores e resolvendo para d obtemos dmin = 20.5 mm, ou seja, o dimetro de eixo seguro contra a fadiga. O estudante deve verificar que utilizando o mtodo SN (que considera a componente mdia das tenses normais 2afa mdW 4k = ) os resultados so dmin_goodman = 21.2 mm e dmin_gerber = 20 mm. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 42 de 47 Problemas Problema 1 Na Figura 34 se mostra uma barra lisa e uma entalhada com a mesma seo transversal. As duas foram usinadas a partir de ao com Su = 1246 MPa. Para cada barra estimar a) o valor de P esttico que causa fratura, b) o valor de P que provocaria o incio de uma trinca por fadiga aps uma quantidade de ciclos entre 106 e 5x106 e c) o valor de P que, para ciclos com Pm = 2 P e Pa = P, provocaria o incio de uma trinca por fadiga aps uma quantidade de ciclos entre 106 e 5x106. (resp.: ver tabela abaixo) Figura 34 Corresponde ao Problema 1. Problema 2 Segundo o critrio de Goodman, qual a carga ar totalmente alternada que equivale combinao a = 500 MPa, m = 500 MPa se Su = 1000 MPa e FS = 1. (resp.: 333 MPa) Problema 3 Por Gerber, qual a carga trativa pulsante ( a = m) equivalente ao limite de fadiga SL de um ao com 62 HRC para FS = 1. (resp: 636 MPa) Problema 4 Um eixo de ao usinado com Su = 1200 MPa, d = 15 mm, Kt = 2,1 e r = 1 mm fletido entre 60 e 90 Nm. Qual o seu fator de segurana contra o incio de uma falha por fadiga segundo Goodman e Gerber para 99,9 % de confiabilidade? (resp.: FSgoodman = 1,42; FSgerber = 1,75). Explique por que, sendo o critrio de Goodman mais conservativo do que o de Gerber, o FSgoodman < FSgerber. Problema 5 Um eixo entalhado como o mostrado na Figura 35 usinado a partir de um ao com 180 Bhn e Su = 89 ksi. As dimenses so D = 1,1 in., d = 1,0 in. e r = 0,05 in. A superfcie do eixo, apenas no entalhe, est com um polimento comercial. Com um FS = 2 e 99,9 % de confiabilidade estimar o torque mximo por Gerber (em lb in) que pode ser Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 43 de 47 aplicado para vida infinita quando a carga torsional flutuante consiste de a) toro completamente reversa com o torque variando entre T e +T e b) um torque estacionrio T com um torque alternado sobreposto de 2 T, ou seja, Tmin = T e Tmax = +3T. (resp.: 1037 lbin., 514 lbin.) Figura 35 Corresponde ao Problema 5. Problema 6 Durante o servio o eixo mostrado na Figura 36 experimenta toro completamente reversa (entre T e +T). O eixo foi usinado a partir de um ao com uma dureza de 150 Bhn. Com um FS = 2, 99% de confiabilidade e coeficiente de variao de 8% dos dados de resistncia fadiga, estimar por Goodman ou Gerber o valor do torque reverso que pode ser aplicado sem causar falha por fadiga. (resp.: 47 Nm). Para um coeficiente de variao de 8% construa um grfico que mostre a variao deste torque reverso admissvel com a confiabilidade nos dados de fadiga (para 90%, 99%, 99,9% e 99,99%) e comente os resultados. Lembre-se que a funo de densidade da probabilidade da resistncia fadiga SL em testes de fadiga pode ser considerada do tipo normal ou gaussiana. Repita o grfico para coeficientes de variao de 3%, 6% e 10% e comente os resultados. (resp.: ver Figura 37) Figura 36 Corresponde Problema 6. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 44 de 47 Figura 37 Resposta da Problema 6. Problema 7 Uma barra de ao retangular laminada a quente, com 140 Bhn, tem 10 mm de espessura, 60 mm de largura e um furo central de 12 mm de dimetro (ver Figura 38). Estimar a fora mxima de trao que pode ser aplicada nas bordas da placa para que tenha vida infinita em fadiga com 99,9 % de confiabilidade e FS = 1,3: a) se a fora completamente alternada e b) se a fora varia entre zero e o valor mximo. (resp.: 17,5 KN, 33,3 KN) Problema 8 Verifique a resistncia fadiga da viga de ao 1015 com Su = 420 MPa supondo que o carregamento pulsante entre zero e o valor mximo mostrado na figura. (Nota: Recomendo checar na transio alma-flange) Problema 9 Um eixo escalonado conforme mostrado na Figura 40 tem as dimenses D = 2 in., d = 1 in. e r = 0,1 in. Ele foi usinado de um ao AISI com dureza de 200 Bhn. O carregamento de toro e durante uma operao tpica de 30 s, sob condies de sobrecarga, a tenso nominal (Tc/J) atuante na seo cujo dimetro de 1 in. foi medida e registrada conforme mostrado na Figura 41. Estime por Gerber a vida (em horas) do eixo quando operado continuamente nessas condies para FS=1.0 e 90 % de confiabilidade. (resp.: 12 horas e 20 min) Figura 38 Corresponde Problema 7. 3035404550556090 92 94 96 98 100Confiabilidade [%]Tadm [Nm] 3% de coef. de variao6% de coef. de variao8% de coef. de variao10% de coef. de variaoUniversidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 45 de 47 Figura 39 Corresponde Problema 8. Figura 40 Corresponde Problema 9. Problema 10 O eixo mostrado transmite 10 HP da polia P para a engrenagem G a 900 rpm. O dimetro da polia e o dimetro primitivo da engrenagem so 10,0 in. Tanto a polia como a engrenagem pesam 30 lb. Despreze o peso do eixo. A relao entre as tenses na correia T1/T2 = 2,5. O ngulo de presso da engrenagem de 20. O material tem Su = 1360 MPa, Sy = 1088 MPa e SL = 308 MPa. Considere que tanto para a chaveta como para os degraus do eixo a concentrao das tenses kf = 1.5 e kfs = 1.3. Calcule o dimetro necessrio. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 46 de 47 Figura 41 Corresponde Problema 9. Figura 42 Corresponde ao Problema 10. Universidade Federal Fluminense Plo Universitrio de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecnica Atualizado em 07/11/2009Pgina 47 de 47 Referncias 1.Shigley, J.E. Mischke, C.R. (2001). Mechanical Engineering Design. 6ed., McGraw-Hill Book Company, New York. 2.Shigley, J.E. Mischke, C.R., Budynas, R.G. (2004). Projeto de Engenharia Mecnica. 7a ed., Artmed Ed. S.A., Porto Alegre RS. 3.Norton, R. L. (2000). Machine Design, An Integrated Approach. Prentice Hall Inc., 2ed., New Jersey.4.Juvinall, R. C. (2000). Fundamentals of Machine Component Design. John Wiley & Sons, Inc. 3ed., United States. 5.Crandall, S.H., Dahl, N.C., Lardner, T.J. (1978). An Introduction to the Mechanics of Solids, 3a ed., McGraw-Hill Inc., Tokyo, Japan. 6.Collins, J.A. Projeto mecnico de Elementos de Mquinas: uma perspectiva de preveno de falha. 1a ed., John Wiley & Sons, Inc., United States 7.Neuber, H. (1958). Theory of notch stresses. Springer, Berlin. 8.Peterson R.E. (1959). Notch sensitivity. In: Sines G, Waisman JL, editors. Metal Fatigue. New York: McGraw-Hill. p. 293306. 9.Dowling, N.E. (2007). Mechanical Behavior of Materials. Pearson Prentice Hall, Inc, 3d ed., New Jersey, U.S.A. 10. Castro, J.T.P., Meggiolaro, M.A. (2009). Fadiga: Tcnicas e Prticas de Dimensionamento Estrutural sob Cargas Reais de Servio, vol. I e II. Disponvel em www.amazon.com. 11. Durn, J.R., Amorim, G.B., Lopes, L.C.R., (2008). A hiptese da densidade de energia de deformao equivalente modificada para estimar o limite de fadiga em entalhes afiados, In: 63 Congresso Anual da ABM, 28 de julho a 1 de agosto de 2008, Santos, S.P. Brasil. 12. B106.1M 1985 Design of Transmission Shafting. ANSI/ASME. 13. Meggiolaro, M.A., Castro, J.T.P. (2005). Comparao entre mtodos de previso de vida fadiga sob cargas multiaxiais I: Modelos tenso vida e deformao vida, In: 60 Congresso Anual da ABM, 25 28 de 2005, Belo Horizonte, M.G., Brasil.