Fisica 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA

Campus de Rio Paranaba

Instituto de Ciencias Exatas e TecnologicasRodovia MG-230 Km 7 Rio Paranaba MG 38810-000 Telefone: +55(34)3855-9300

PROBLEMAS RESOLVIDOS

CRP 203 - FISICA II

Gravitacao, Ondas e Termodinamica

CRP 203 - Fsica II Prof. Dr. Marcos Paulo de O. Loureiro

1 Mecanica dos Fuidos

Fundamentos de Fsica - Halliday et al - Problema 20, Captulo 14, 9 a edicao.

O tanque em forma de L mostrado na figura esta cheio de agua e e abertona parte de cima. Se d = 5, 0 m, qual e a forca exercida pela agua (a) naface A e (b) na face B?

SOLUCAO

DADOS =

AGUA

aberto p0 = patmd = 5 mFA = ?FB = ?

Resolver problemas em Fsica exige que voce siga alguns procedimentossimples. O primeiro deles e a coleta dos dados fornecidos no enunciado.Esta etapa e importante para deixar claro o que o problema exige.Alem disso, a coleta dos dados pode te ajudar a encontrar a equacaoapropriada para solucionar o prolema.

Uma vez entendido o enunciado, parta para a resolucao do problema. Esta etapa precisa ser clara eobjetiva.

a) Sabemos que a pressao absoluta e dada por

p = p0 + gh = patm + gh

e a forca em uma superfcie de area A pode serescrita como

F = pA.

a Inicie a resolucao apresentando o fundamentoteorico. Em uma avaliacao, o fundamentoteorico necessario para solucionar o problemaestara disponvel no formulario.

Na face A a altura da coluna dagua e contante,h = 2d, e a area da superfcie e A = d2. Sendoassim

FA = pA d2 =

(patm + AGUA g 2d

)d2

FA = patm d2 + 2

AGUAg d3

a Esta e a etapa de desenvolvimento da questao.Ela tem que ser feita de forma clara paraque voce, ou qualquer outra pessoa, consigaentender cada passo da resolucao.

A resposta deve ser sempre evidenciadade alguma forma.

E fundamental que a resposta, literal ou numerica, seja apresentada da forma mais simplificadapossvel.

Caso o problema forneca os valores das grandezas, voce deve substitu-los para obter a respostanumerica. Um erro comum envolve as unidades de medidas das grandezas. Em respostas literais NAOusamos colocar as unidades. Isso porque a unidade de medida surgira do resultado da operacao entre asgrandezas que compoe a resposta. Por outro lado, respostas numericas NECESSARIAMENTE devemser expressas com suas respectivas unidades. (LEMBRE-SE: p = 5 6= p = 5 m 6= p = 5 s 6= p = 5 Pa).

Edicao 1.0/2014 1 [email protected]


Substituindo os valores,

FA = 1, 013 105 (Pa) 52 (m2) + 2 998 (Kg/m3) 9, 8 (m/s2) 53 (m3)= 25, 325 105 (Pa m2) + 24, 451 105 (Kg m/s2)

..........................(N) ....................................(N)

= 49, 776 105 (N)

FA ' 5 106 N

Nao e necessario escrever a unidade de cada grandeza da resposta (como foi feito aqui). Voce podeomiti-las e apresentar a unidade somente ao final.

Naturalmente, em uma avaliacao onde nao e permitido o uso de equipamentos eletronicos, o queinclui a calculadora, os valores fornecidos seriam mais simples para facilitar os calculos. Por exemplo,pa = 1, 013 105 (Pa) ' 1 105 (Pa)

AGUA= 998 (Kg/m3) ' 1000 (Kg/m3) = 103 (Kg/m3)

g = 9, 8 (m/s2) ' 10 (m/s2)Assim,

FA = 1 105 5 + 2 103 10 53

= 25 105 + 25 105

= 50 105

FA = 5 106 N

Nao e incomum o estudante esquecer o que foi pedido durante a resolucao do problema. Para evitarerros, releia o enunciado e verifique se voce respondeu exatamente o que foi pedido.

Agora partimos para o item b)

b) A forca resultante na face B e a soma das forcasgeradas pelas diferentes pressoes em toda colunade fluido mais a forca resultante da pressao at-mosferica.

Temos que a contribuicao de forca relativa a pressaodo fluido e dada por

FBf =

dF =

p dA

a Este e o incio da resolucao do problema e cor-responde a parte de fundamentacao teorica.Um desenho ou esquema pode ser muito util.Muitas vezes por meio deles temos mais faci-lidade de entender o que fazer. Mas atencao,ESQUEMA NAO E RASCUNHO!!! E fatoque quando o estudante desenha um esquemade maneira displicente e incorreta ele e indu-zido ao erro.



Sabemos que o elemento de area na face B edA = d dh. Sendo assim,

FBf =

3d2d

AGUA

g h (d dh)

= AGUA

g d

3d2d

h dh

= AGUA

g d

(h2

2

)3d2d

= AGUA

g d

(9 d2

2 4 d

2

2

)=

AGUAg

5 d3

2

A contribuicao de forca relativa a pressao at-mosferica (constante) e dada por

FBatm = patm d2

a Esta e a parte de desenvolvimento da questao.Novamente, e necessario que fique claro o quevoce esta fazendo. Nao altere as letras (porexemplo, h por y; d por x; etc) que corres-pondem as grandezas fornecidas no enunciado.Isso tambem induz ao erro pois voce pode es-quecer o que sao e o que representam cadaletra. Um desenvolvimento coerente permiteinclusive que eventuais erros, como o esqueci-mento de um termo ou um sinal, sejam facil-mente identificados.

Finalmente, a forca total que atua na face B dorecipiente e a soma das forcas devido ao fluido e apressao atmosferica. Portanto,

FB = patm d2 +

5

2

AGUAg d3

a Esta e a resposta literal do problema. Ela deveconter, fora as contantes, apenas as grandezasque foram enunciadas.

Substituindo os valores, temos

FA = 1, 013 105 (Pa) 52 (m2) +5

2 998 (Kg/m3) 9, 8 (m/s2) 53 (m3)

= 25, 325 105 (Pa m2) + 30, 564 105 (Kg m/s2)= 55, 889 105 (N)

FA ' 5, 6 106 N

Usando os valores aproximados das contantes,teramos

FA = 1 105 52 +5

2 103 10 53

= 25 105 + 6252 104

=500

2 104 + 625

2 104

=1125

2 104

= 562, 5 104

FA ' 5, 6 106 N

a Em geral, existem mais de uma forma de se re-solver problemas de Fsica. Nao importa comoseja resolvido, o importante e que o desenvol-vimento seja claro, para que qualquer pessoaque venha a ler sua resolucao seja capaz deentender como voce chegou ao resultado. Porexemplo, voce seria capaz de explicar por queo resultado da forca da coluna de fluido a umaprofundidade h = 5d/2 e o mesmo do obtidopelo calculo da integral?



2 Mecanica dos Fuidos


A figura mostra um jorro de agua saindo por um furo a uma distanciah = 10 cm da superfcie do tanque que contem H = 40 cm de agua. (a)A que distancia x a agua atinge o solo? (b) A que profundidade deveser feito um segundo furo para que o valor de x seja o mesmo? (c) Aque profundidade deve ser feito um furo para que o valor de x seja omaior possvel?

SOLUCAO

DADOSh = 10 cm = 10 102 m = 0,1 mH = 40 cm = 10 402 m = 0,4 m

No item a) precisamos determinar o valor do alcance x.

a) x = ???

Uma vez que desprezamos o atrito da aguacom o ar, sabemos que a velocidade da agua nasada do furo e

~v = ~vx = CONSTANTE

Sendo assim, temos que

vx =dx

dt vx =

x

t x = x = vx t

Portanto, para encontrar o alcance x precisamosdeterminar vx e t.

a O incio da solucao consiste em compreendero problema e estabelecer a estrategia pararesolve-lo.

Imediatamente apos sair do furo, a aguapossui exclusivamente uma velocidade ho-rizontal. A medida em que ela se deslocaem x, devido a presenca da aceleracao dagravidade, a agua adquire movimento dequeda-livre. Note a semelhanca do movi-mento parabolico da agua com os problemasque foram estudados em Fsica I.

Como a aceleracao vertical (gravidade) e constante,temos que o deslocamento vertical e

y = (H h) = v0y t + 12 gt20

t =

2(H h)

g(I)

a Existindo uma aceleracao constante, o movi-mento e uniformemente variado.

Na trajetoria parabolica os movimentosem x e y sao independentes mas o tempo te comum.

Ja encontramos o tempo, agora precisamos determinar a velocidade vx na sada do furo.

Analisando o problema, nos deparamos com duas situacoes distintas: uma onde o fluido encontra-se em repouso; a outra refere-se ao fluido em movimento ao atravessar o furo.



a

Analisando o esquema, vemos que a uma de-terminada profundidade h

p1 = p2 = p3FLUIDO EM FLUIDO EM

REPOUSO MOVIMENTO

Sabemos que p1 = p2 = patm + g h.Considerando o ponto 3 no limite externoda parede do tanque, temos, da equacao deBernoulli, que

p3 = patm +1

2 v2x

Note que da forma como o referencial xy foi desenhado no esquema, o termo gh na equacao deBernoulli e nulo pois h = 0.Sendo assim, temos que

patm + g h = patm +1

2 v2x vx =

2 g h (II)

Encontramos entao a velocidade com que a agua vaza pelo furo e o tempo que ela gasta ate tocar ochao. podemos entao determinar o alcance x.Finalmente, utilizando (I) e (II), encontramos

x =

2 g h

2(H h)

g

x = 2h (H h)


x = 2

10 (cm) [40 (cm) 10 (cm)] = 2

300 (cm2)

x = 20

3 cm ' 34, 6 cm

Lembre-se que o uso das unidades durante a solucao e dispensavel. Ela foi apresentada aqui apenaspara mostrar que os calculos foram feitos com as unidades em centmetros.



O item b) pede para determinar a posicao de um segundo furo para que o alcance dos dois jatos deagua sejam o mesmo.

a

b) h2 = ???

Procuramos um ponto a uma profundidadeh2 tal que x1 = x2. Mas sabemos que x = vt,entao

v1 t1 = v2 t2

Do item anterior, temos que

v =

2 g h e t =

2(H h)

g

Substituindo,

2 g h1

2(H h1)

g=

2 g h2

2(H h2)

g

Substituindo,

2 g h1

2(H h1)

g=

2 g h2

2(H h2)

g

h1 (H h1) = h2 (H h2)

Rescrevendo a equacao, temos

h22 h2H + h1 (H h1) = 0

Chegamos entao a uma equacao de segundo graucujas razes sao

h2 =H

H2 4h1 (H h1)

2

a

O primeiro passo para solucao do problemafoi expressar matematicamente o que foi ditono enunciado: x1 = x2.

Em seguida, usamos alguns resultadosobtidos no item anterior. Nao e precisodemonstrar e/ou explicar o uso de umaequacao desde que isso ja tenha sido feitoanteriormente.

Substituindo os valores encontramos

h2 =40 (cm)

402 (cm2) 4 10 (cm) [40 (cm) 10 (cm)]

2

=40 (cm)

400 (cm2)

2

=40 (cm) 20 (cm)

2

Temos entao que h2 = 10 cm ou h2 = 30 cm. Naturalmente, a primeira opcao nao e aceitavel poish1 = 10 cm. Portanto,

h2 = 30 cm



No item c) procuramos um valor de h tal que x xMAXIMO

.

c) xMAXIMO

= ???

Sabemos que o maximo (ou mnimo) de uma funcao pode ser obtido igualando a primeira derivadada funcao a zero. Entao, para que o alcance x seja maximo,

dx

dh= 0 d

dh(vt) =

d

dh

(2 g h

2(H h)

g

)=

d

dh

(2h (H h)

)= 0

2 12

(h (H h))1/2 ((H h) h) = H 2h(h (H h))1/2

= 0

H 2h = 0

Portanto,

h =H

2

Substituindo, temos que a profundidade h = 20 cm.



3 Termodinamica


Uma amostra de 0, 400 kg de uma substancia e colocada em umsistema de resfriamento que remove o calor a uma taxa cons-tante. A figura mostra a temperatura T da amostra em funcaodo tempo t; a escala horizontal e definida por ts = 80, 0 min.A amostra congela durante o processo. O calor especfico dasubstancia no estado lquido inicial e 3000 J/kgK. Determine(a) o calor de fusao da substancia e (b) o calor especfico dasubstancia na fase solida.

SOLUCAO

DADOSm = 0, 400 kg = 4 101 kgdQ

dt= CONSTANTE

ts = 80 min = 80 (60 s) = 4800 scL = 3000 J/kgK

Este e um problema simples que trata do resfriamento de uma substancia. A interpretacao dos dadosfornecidos pelo grafico e a chave para a solucao do problema.

a) LF = ???

Sabemos que o fluxo de calor durante uma transicaode fase e dado por

Q = () mL

Como o sistema esta perdendo calor durante a transicaoliquido-solido temos que

QCEDIDO = mLF

sendo LF o calor latente de fusao da substancia.

a

Como sempre, devemos partir dofundamento teorico para iniciar asolucao do problema.

Lembre-se que o sinal associado ao fluxo de calor durante a transicao de fase depende do sentido dofluxo: se a temperatura do sistema aumenta entao o sistema esta recebendo calor o que resulta emum fluxo positivo

QRECEBIDO = + mL ;

se a temperatura do sistema diminui entao o sistema esta perdendo calor o que resulta em um fluxonegativo

QCEDIDO = mL .

De acordo com o problema, o processo de resfriamento e mudanca de fase ocorre com a retirada decalor a uma taxa constante. Isto implica que

dQLIQdt

=dQTRANS

dt=

dQSOLdt

Em particular, na fase lquida

dQLIQdt

QLIQ

t=

mcL T

t.



Analisando o grafico e substituindo os valores temos

QLIQt

=0, 4 (kg) 3000 (J/kgK) (270 (K) 300 (K))

40 (min)

=0, 4 (kg) 3000 (J/kgK) ( 30 (K))

40 60 (s)

= 360002400

(J)

(s)

= 15 W

a

Observe que a unidade de medidade tempo fornecida pelo problemafoi o minuto. Ha entao a necessi-dade de converter a unidade parasegundos.

Lembre-se que o uso das unidades de medida durante a solucao e desnecessario. Aqui elas sao mos-tradas para auxiliar o entendimento da origem da unidade ao final das contas.

Sendo a taxa de variacao constante, temos

dQTRANSdt

QTRANSt

= mLF

tF= 15 W.

Desta forma, podemos escrever

LF =15 tFm

a

Note a importancia de ler comatencao o enunciado do problema.A informacao sobre a taxa cons-tante de transferencia de calor e achave para determinarmos o calorlatente de fusao da substancia.

Finalmente, substituindo

LF =15 (W) (70 (min) 40 (min))

0, 4 (kg)=

15 (W) (30 (min))0, 4 (kg)

=15 (J/s) (30 60 (s))

0, 4 (kg)=

15 (J/s) (1800 (s))0, 4 (kg)

= 67500 (J/kg)

Portanto,

LF = 6, 75 104 J/kg

Da mesma forma que calculamos o calor latente de fusao na letra a) calcularemos o calor especficoda substancia na fase solida neste item.

b) cS = ???

Sabemos que, fora da transicao de fase, o fluxo de ca-lor esta relacionado com uma variacao de temperatura daforma

Q = mcT

sendo T (Tf Ti). Temos entao que

QSOL = mcS T

com cS = calor especfico substancia na fase solida.

a

Assim como o calor latente, o ca-lor especfico de uma substancia va-ria nos diferentes estados (solido,lquido, gasoso).



Sabendo que a taxa de variacao de calor e constante, do itemanterior temos que

dQSOLdt

QSOLt

=mcS T

tS= 15 W

Desta forma, podemos escrever

cS = 15 tSm T

a

Assim como o calor latente, o ca-lor especfico de uma substancia va-ria nos diferentes estados (solido,lquido, gasoso).

Analisando o grafico temos T = (250 270) e tS = (90 70). Substituindo,

cS = 15 (W) (90 (min) 70 (min))

0, 4 (kg) (250 (K) 270 (K))= 15 (W) (20 (min))0, 4 (kg) ( 20 (K))

=15 (J/s) (20 60 (s))

0, 4 (kg) (20 (K))=

15 (J/s) (1200 (s))0, 4 (kg) (20 (K))

= 2250 (J/kg K)

Portanto,

cS = 2, 25 103 J/kg K



4 Termodinamica


Como resultado de um aumento de temperatura de 32 C, umabarra com uma rachadura no centro dobra para cima (ver fi-gura). Se a distancia fixa L0 e 3, 77 m e o coeficiente de di-latacao linear da barra e 25106/C, determine a altura x docentro da barra.

SOLUCAO

DADOST = 32 CL0 = 3, 77 m = 25 106/C

aEste e um problema simples que aborda o tema dilatacao termica.Entretanto, note que o livro texto considera este um problema comde alto grau de dificuldade ( ).

a) x = ???

Sabemos que a variacao da dimensao linear (comprimento) da barra e dado por L = L0 T .

Como a barra esta dividida ao meio, temos que a dilatacao relativa ameia barra e L/2. Analisando o esquema ao lado, vemos que(

L

2

)2=

(L02

)2+ (x)2

Note que esta equacao corresponde a aplicacao do teorema de Pitagorasno triangulo retangulo da figura.

Mas sabemos que L = L0 + L. Entao,(L0 + L

2

)2=

(L02

)2+ (x)2

L20

4+L0 L

2+

(L)2

4=

L20

4+ x2

Portanto,

x =

L0 L

2+

(L)2

4


L = 3, 77 (m) 25 106 (C1) 32 (C) = 3, 016 103 (m)

x =

3, 77 (m) 3, 016 103 (m)

2+

(3, 016 103 (m))2

4'

5, 685 103 (m) + 2, 274 106 (m)

x '

5, 687 103 ' 0, 075 (m)

x ' 7, 5 102 m = 7, 5 cm



Esta forma como o problema foi resolvido e basica e envolveu apenas calculos matematicos. Agora,vamos pensar na solucao passo-a-passo e chegar a conclusao de que parte dela foi irrelevante.

Quando calculamos a variacao da dimensao linear, L, encontramos um valor na ordem de 103

m. Apos analisar a figura, chegamos ao valor do deslocamento x dado por

x =

L0 L2 + (L)

2

4 103 106

Note que o segundo termo da expressao e aproximadamente 1000 vezes menor que o primeiro. Istosignifica que a contribuicao do termo (L)2 e irrelevante, podendo ser desprezada neste caso. Assim,

x =

L0 L

2+

(L)2

4'L0 L

2

Sendo L0 = 3, 77 m e L ' 3 mm, temos

x 'L0 L

2'

3, 77 3 1032

=

5, 655 103 ' 0, 075 m = 7, 5 cm



5 Termodinamica


Quando um sistema passa do estado i para o estado f seguindoa trajetoria iaf da figura ao lado, Q = 50 cal e W = 20 cal. Alongo da trajetoria ibf , Q = 36 cal. (a) Quanto vale W ao longoda trajetoria ibf? (b) Se W = 13 cal na trajetoria de retornofi, quanto vale Q nessa trajetoria? (c) Se Eint,i = 10 cal, qual eo valor de E

int,f? Se E

int,b= 22 cal, qual e o valor de Q (d) na

trajetoria ib e (e) na trajetoria bf?

SOLUCAO

DADOSQ

iaf= 50 cal

Wiaf

= 20 calQ

ibf= 36 cal

Wfi

= 13 calEint,i = 10 calE

int,b= 22 cal

Este e um classico problema em termodinamica que envolve a primeira lei ea mudanca de estados atraves de diferentes processos termodinamicos.

Os dados fornecem informacoes sobre processos especficos. Um errocomum ocorre quando voce nao identifica corretamente a que (ou quais)processo(s) uma dada energia se refere.

a) Wibf

= ???

Sabemos que a variacao da energia interna entre doisestados termodinamicos independe da sequencia de processosque levaram a mudanca de estado. Sendo assim,

Eint,iaf

= Eint,ibf

Mas, de acordo com a 1a lei da termodinamica,

Eint = Q W

Portanto,Q

iaf W

iaf= Q

ibf W

ibf

Wibf

= Qibf Q

iaf+ W

iaf


Wibf

= 36 (cal) 50 (cal) + 20 (cal)

Wibf

= + 6 cal

a

Voce pode considerar a energia in-terna do sistema em um dado es-tado termodinamico como sendo asoma das energias cineticas de cadamolecula de um fluido ideal. Ma-croscopicamente, um estado ter-modinamico e definido atraves deparametros como pressao, volumee temperatura. Uma mudanca deestado se caracteriza pela variacaode um ou mais destes parametros.A forma como o estado varia naointerfere na sua energia interna fi-nal. E por isso que independente-mente do processo que leva a mu-danca de estado, a variacao da ener-gia interna entre os estados e sem-pre a mesma.



b) Qfi

= ???

Novamente, sabemos que a variacao da energia internaentre dois estados termodinamicos independe da sequenciade processos que levaram a mudanca de estado. Sendo assim,

Eint,if

= Eint,fi

= Eint,iaf

= Eint,ibf

Aplicando a 1a lei da termodinamica, temos

Qfi

+ Wfi

= Qiaf W

iaf

Portanto,

Qfi

= Wfi Q

iaf+ W

iaf


Qfi

= 13 (cal) 50 (cal) + 20 (cal)

Qfi

= 43 cal

a

O primeiro fato importante quevoce precisa atentar neste item cor-responde a mudanca no sentido doprocesso. Sair do estado i e chegarao estado f e diferente de sair de f echegar a i. Considerando que o vo-lume final do sistema e menor que ovolume inicial, conclumos, pela de-finicao de trabalho, que o trabalho enegativo neste processo, como indi-cado no enunciado. Por outro lado,para reduzir a pressao e o volumedo sistema e necessario retirar calordo mesmo, o que matematicamenteresulta num fluxo negativo de calor.Este e o significado do sinal nega-tivo associado a Q

fi.

c) Eint,f

= ???

Como discutimos nos itens anteriores, sabemos que,

Eint,if

= Eint,iaf

= Qiaf W

iaf

Eint,f Eint,i = Qiaf Wiaf

Portanto,

Eint,f

= Eint,i + Qiaf Wiaf


Eint,f

= 10 (cal) + 50 (cal) 20 (cal)

Eint,f

= + 40 cal

a

Note que neste item a solucaofoi feita de forma mais direta.Isso porque todo o fundamentoteorico ja foi apresentado nos itensanteriores.

Aqui usamos os dados referen-tes aos processos iaf . Entretantovoce pode usar os dados relativos aquaisquer outros processos que leveo sistema do estado i ao estado f ,uma vez que a variacao da energiainterna independe da trajetoria.

d) Qib

= ???

Sabemos, de acordo com a 1a lei da termodinamica, que

Eint,ib

= Qib W

ib

Eint,b Eint,i = Qib Wib

O trabalho ao longo da trajetoria ibf corresponde a soma dos trabalhos atraves dos processos ib e bf ,entao

Wibf

= Wib

+ Wbf



Analisando a figura vemos que o processo ib e isobarico e o processo bf e isocorico, portanto

Wibf

=

Vb

Vi

p dV +

Vf

Vb

p dV

= p

Vb

Vi

dV + 0

= p (Vb Vi) = Wib

Sendo assim, podemos escreverE

int,b Eint,i = Qib Wibf

Portanto,

Qib

= Eint,b Eint,i + Wibf

Sabemos, do item a), que Wibf

= + 6 cal. Substituindo os valores, temos

Qib

= 22 (cal) 10 (cal) + 6 (cal)

Qib

= + 18 cal

e) Qbf

= ???

Sabemos, de acordo com a 1a lei da termodinamica, que

Eint,bf

= Qbf W

bf

Eint,f E

int,b= Q

ib W

bf

Mas, como vimos no item anterior, Wbf

= 0 pois o processo bf e isocorico. Portanto

Qbf

= Eint,f E

int,b

Sabemos, dos itens anteriores, que Eint,f

= + 40 cal e Eint,b

= + 22 cal. Substituindo os valores,temos

Qbf

= 40 (cal) 22 (cal)

Qbf

= + 18 cal


Fisica 2

Documents

Transcript of Fisica 2