EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES

01 – Imagine que você caminha 3km para o leste e depois 4km para o norte. Qual o deslocamento resultante?

Raciocínio da Resolução: Os dois deslocamentos e e o deslocamento resultante aparecem na Fig. 3-4. Uma vez que e são mutuamente perpendiculares, [e a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo valor pode ser calculado, facilmente, pelo teorema de Pitágoras. A direção de é fácil de determinar pelas relações trigonométricas.

Fig.3-4

1. A magnitude, que também se chama módulo, do deslocamento resultante é calculada pelo teorema de Pitágoras.

2. Seja o ângulo entre o eixo de leste e o deslocamento resultante . Pela figura vemos que é possível calcular a tg . Com uma calculadora encontramos?

Observações. Um vetor tem módulo (magnitude) e direção, O deslocamento resultante tem um módulo de 5km e está na direção que faz o ângulo de 53,1º ao norte do leste.

02 – Imagine que você caminha 3km para o oeste e depois 4km para a 60º norte do leste. Calcular o deslocamento resultante (a) por um gráfico e (b) mediante as componentes dos vetores.

Raciocínio da Resolução: O triângulo formado pelos três vetores não é um triângulo retângulo, e os módulos dos vetores não se calculam pelo teorema de Pitágoras. Na resolução gráfica, cada deslocamento é desenhado em escala e o deslocamento resultante é determinado pela figura.

E

N

km

C

5km

B

4

km

A

3

Fig. 3-11

(a) Se o primeiro vetor deslocamento tiver 3cm de comprimento e segundo 4cm, o vetor resultante tem cerca de 3,5cm de comprimento Então, o módulo do deslocamento resultante é de 3,5km. O ângulo entre este vetor e o eixo da direção leste-oeste, medido por um transferidor, é cerca de 75º.

(b) 1. Seja o primeiro vetor deslocamento e seja x o eixo na direção oeste-leste. As Eqs. 3-2 e 3-3 permitem o cálculo das componentes e :

e

2. Da mesma forma, calculam-se as componentes do segundo vetor deslocamento :

3. As componentes do deslocamento resultantes são calculadas por adição:

4. O teorema de Pitágoras, aplicando às componentes, dá o modulo de :

5. A razão entre e dá a tangente do ângulo entre e o eixo dos x:

Observações. Como o deslocamento é um vetor, a resposta tem que explicitar o modulo e a direção, ou então as duas componentes. Em (b) teria sido possível interromper o calculo na etapa 3, pois as componentes x e y definem completamente o vetor de deslocamento.Calculamos, porem, o módulo e a direção a fim de verificar a resposta obtida graficamente na parte (a). veja que na etapa 5 a calculadora levou a . Na figura, vimos que o deslocamento resultante faz um ângulo de 75º com o eixo dos x

E

N

º60W

S

negativos, ou um ângulo da ordem de 105º com o dos x positivos. Os dois resultados são satisfatórios dentro da exatidão do desenho inicial.

03 – Um barco a vela tem as coordenadas no instante . Dois minutos

depois, no instante , as suas coordenadas são . (a) Achar a velocidade média

sobre este intervalo de dois minutos. Dar em termos das componentes cartesianas. (b) Determinar o módulo e a direção desta velocidade média. (c) Quando , posição do barco, em função do tempo, é

e . Determinar a velocidade instantânea num instante

qualquer t além de .

Raciocínio da Resolução: As posições inicial e final do barco a vela aparecem na fig. 3-15. (a) O vetor velocidade média aponta da posição inicial para a final.(b) As componentes da velocidade

instantânea se calculam pela Eq. 3-13: e .

Fig. 3-15

(a) As componentes x e y do vetor velocidade média se calculam diretamente a partir das respectivas definições:

(b) 1. O módulo de se calcula pelo teorema de Pitágoras:

2. A razão entre e dá a tangente do ângulo entre o valor e o eixo dos x:

(c) Determina-se a velocidade instantânea pelo calculo de e :

y

x

230

220

210

200100 110 120 130

110,218

130,205

xv

yv médv

Observação. O módulo de pode ser calculado por e a direção por .

04 – Um avião voa na direção do norte. A sua velocidade em relação ao ar é de e o vento sopra de oeste para leste com a velocidade de 90km/h. (a) Qual o rumo do vôo do avião para ficar na direção do norte? (b) Qual a velocidade do avião em relação ao solo?

Raciocínio da Resolução: Como o vento está soprando para leste, o avião deve orientar-se num rumo a oeste do norte, como mostra a Fig. 3-17. a velocidade do avião em relação ao solo, será a soma do vetor velocidade em relação ao ar, , com o vetor velocidade em relação ao solo, .

Fig. 3-17

(a) 1. A velocidade do avião em relação ao solo é dada pela Eq. 3-14:

2. O seno do ângulo entre o vetor velocidade do avião e o rumo do norte é igual à razão entre e .

(b) Como e são perpendiculares, podemos calcular o módulo pelo teorema de Pitágoras:

05 – A posição de uma bola arremessada é dada por . Determinar a velocidade e a aceleração.

1. As componentes x e y da velocidade são determinadas por simples derivação:

E

N

agv

pgv

pav

W

S

2. Se derivarmos outra vez, chegamos à aceleração:

3. Na notação vetorial compacta, os vetores velocidade e aceleração são:

06 – Um carro avança para o leste a 60km/h. faz uma curva em 5s, e passa a avançar para o norte, a 60km/h. Achar a aceleração média do carro.

Raciocínio da Resolução: O vetor unitário aponta para o leste, e o , para o norte. Vamos calcular

a aceleração média pela definição . Veja que é o vetor que, somado a , leva à resultante

.

Fig. 3-181. A aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo:

2. A variação da velocidade é dada pela diferenças entre os vetores velocidade final e velocidade inicial:

3. Os dois vetores mencionados são:

E

N

S

W

(a)

fv

iv

i

j

(c)

fv

iv

v

(b)

4. Com os resultados anteriores, a aceleração média é:

Observação. Veja que o carro acelera embora o módulo do vetor velocidade não se tenha alterado.

07 – Um estudante arremessa uma bola com a velocidade inicial de 24,5m/s, fazendo um ângulo de 36,9º com a horizontal. Calcular (a) o tempo que a bola fica no ar e (b) a distancia horizontal coberta pela bola.

Raciocínio de Resolução: Seja a origem o ponto do arremesso da bola, , em . O tempo que a bola fica no ar se calcula fazendo-se na Eq. 3-20b. Depois, com o resultado encontrado, entra-se na Eq. 3-20a para calcular a distancia coberta no horizontal.

(a) 1. Seja na Eq. 3-20b e resolva em t:

2. Há duas soluções para t:

(condições iniciais)(condição inicial)

3. Cálculo da componente vertical do vetor velocidade inicial:

4. Com este resultado se tem o tempo que a bola fica no ar:

(b) Com o valor encontrado do tempo, calcula-se a distância coberta na horizontal:

Observação. O tempo que a bola fica no ar coincide com o tempo que o boné do Exemplo 2-7 fica no ar. O boné foi lançado na vertical com velocidade inicial de 14,7m/s. A Fig. 3-20 mostra altura y em função do tempo t no caso da bola. Esta figura é idêntica à Fig. 2-11 (Exemplo 2-7), pois os dois corpos, a bola e o boné, têm a mesma velocidade vertical inicial e a mesma aceleração vertical. A figura pode ser interpretada com um gráfico de y se a escala de tempo for convertida em escala de distâncias. Isto pode ser

feito pela simples multiplicação por 19,6m/s, uma vez que a bola se desloca com esta velocidade na horizontal. A curva de y contra x é uma parábola.

A Fig. 3-21 mostra os gráficos das alturas contra as distâncias horizontais no caso de projeteis lançados com a velocidade inicial de 24,5m/s fazendo ângulos diferentes com a horizontal. As curvas correspondem ao ângulo de 45º, que leva ao alcance máximo, e a pares de ângulos distribuídos simetricamente em torno de 45º. Os alcances de cada par coincidem. Uma das duas curvas que têm quase o alcance máximo corresponde ao ângulo inicial de 36,9º (0,64 rad) como no exemplo.

Fig. 3-20Fig. 3-21

08 – Um guarda corre atrás de um ladrão pelos terraços de uns edifícios. Ambos correm a 5m/s quando chegam a uma separação entre dois edifícios, com 4m de largura e uma diferença de altura de 3m. O ladrão, que sabia um tanto de física, pula com velocidade inicial de 5m/s fazendo um ângulo de 457 com a horizontal e consegue superar o obstáculo. O guarda, que nada sabia de física, acha melhor aproveitar a sua horizontal e pula com velocidade de 5m/s na horizontal. (a) O guarda consegue completar o pulo? (b) Qual a folga do ladrão ao ultrapassar o obstáculo?

Raciocínio de Resolução: O tempo de permanência no ar depende exclusivamente do movimento vertical. Tomemos a origem no ponto de partida, com a direção positiva para cima, de modo que as Eqs. 3-20a e 3-20b se aplicam. A Eq. 3-20b, resolvida em , nos dá o tempo quando . A distância horizontal percorrida é o valor de x correspondente a este tempo. (a) No caso do guarda, , de modo

que as equações do movimento são e . (b) No caso do ladrão, , e então

e .

Fig. 3-24

(a) 1. Determine a equação de para o guarda e resolva em t com .

t,s

Y,m

20

10

19,6

2 31

22m

39,2 58,8 x,m

Y,m

20

10

4020 3010 50 70x,m

5

15

25

30

60

º1,53º45

º61

º9,36

º29

4m

3m

2. Calcule a distancia horizontal coberta durante este intervalo de tempo.

Esta distância é menor do que 4m, e o guarda não consegue pular de um edifício para o outro.

(b) 1. Determine a equação de para o ladrão e resolva em t com .

ou

2. Calcule as duas soluções em t.

ou

3. Calcule a distancia horizontal coberta para a solução positiva em t.

4. Subtraia 4,0m da distância achada.

Folga

Observação. O ladrão provavelmente sabia que deveria pular sob um ângulo um tanto menor que 45º, mas não teve tempo para fazer as contas.

09 – Um helicóptero descarrega suprimentos para uma tropa acampada na clareira de uma floresta. A carga cai do helicóptero, a 100m de altura, voando 25m/s num ângulo de 36,9º com a horizontal. (a) Em que ponto a carga atinge o solo? (b) Se a velocidade do helicóptero for constante, onde estará quando a carga atingir o solo?

Raciocínio de Resolução: A distância horizontal coberta pela carga é dada pela Eq. 3-20a, em que t é o tempo de queda. O valor de t pode ser calculado pela Eq. 3-20b. A origem pode estar no pé da vertical baixada do helicóptero no instante do lançamento da carga. A velocidade inicial da carga é a velocidade inicial do helicóptero.

y

x

smv 25

Fig. 3-25

(a) 1. O ponto de impacto da carga com o solo, x, é dado pelo produto entre a velocidade horizontal e o tempo de queda:

2. Cálculo da velocidade horizontal da carga lançada:

3. Equação de e resolução em t quando :

em e

4. Cálculo de x com a raiz positiva de t:

(b) Coordenadas do helicóptero no instante em que a carga atinge o solo:

Observação 01. A raiz positiva de t é a resposta apropriada, pois corresponde a um instante posterior ao lançamento da carga (que ocorre em ). A raiz negativa é o instante em que a carga estaria se fosse lançada de um ponto , conforme mostra a Fig. 3-26. Observe que o helicóptero se mantém na vertical da carga em todos os instantes da queda, até o instante do impacto com o solo.

s24,3 s30,6

y

t,s-3 -2 -1 1 2 3 4 65

Fig. 3-26

Observação 02. A Fig. 3-27 mostra as curvas de y contra x para a queda da carga, com diferentes ângulos iniciais de lançamento, sempre com a velocidade com módulo de 25m/s. A curva que termina em

corresponde ao lançamento sob o ângulo de 36,9º. Veja que a distância máxima não corresponde ao ângulo de 45º.

Fig. 3-27

10 – Com os dados do exemplo anterior, (a) calcule o tempo para que a carga atinja a altura máxima h, (b) calcule a altura máxima h e (c) calcule o tempo de queda da carga desta altura máxima.

(a) 1. Escreva a equação de da carga.

2. Faça e resolva em .

(b) 1. Calcule durante o tempo em que a carga está movendo-se para cima:

2. Com essa calcule a altura da subida.Depois, calcule h.

,

(c) Calcule o tempo para a carga cair da altura h.

00 40 60 8020 120100 140

120

100

140

80

60

40

20

y,m

x, m

Observação. Veja que , de acordo com o exemplo anterior.

11 – Um guarda florestal pretende atingir com um dardo e tranqüilizante um macaco pendurado num galho de árvore. O guarda aponta diretamente para o macaco, sem levar em conta que a trajetória do dardo será parabólica e não passará pela posição do macaco. O macaco, percebendo o disparo da arma,cai verticalmente do galho, procurando fugir. Mostre que, nessas circunstâncias, o dardo atingirá o macaco qualquer que seja a sua velocidade inicial, desde que suficiente para cobrir a distância horizontal até a árvore antes de cair ao solo. Admitir que o tempo de reação do macaco seja desprezível.

Raciocínio de resolução: Coloquemos a origem na boca da arma e seja o vetor posição inicial do macaco. Como a arma foi apontada para a direção inicial do macaco, a velocidade inicial do dardo é paralela a . Vamos determinar os vetores posição do macaco e do dardo em função do tempo e igualar os dois para resolver a equação em t.

Fig. 3-28

1. A equação do vetor posição do macaco em função do tempo t é:

2. O vetor posição do dardo num instante t, em termos da velocidade inicial é:

3. Quando o dardo atinge o macaco, os vetores posição coincidem e então:

4. Podemos resolver em t em termos da distância x e da velocidade inicial, trabalhando com a componente x da equação anterior:

Observação. De acordo com as equações anteriores, o dado sempre atinge o macaco. Porém, se o macaco ou o dardo atingem o solo num instante , as equações de e de deixam de valer. Numa

x

220 2

1

2

1gthgttvy y

tvh y0

2

2

1gt

yyv0

xv0

0v

Distância

Alt

ura

Distância

Alt

ura

Distância

Alt

ura

Distância

Alt

ura

Quadro 1Quadro 2

Quadro 3Quadro 4

demonstração de classe, muito comum, um alvo fica suspenso por um eletroímã. Quando o dardo sai pela boca da arma, o circuito do eletroímã é aberto e o alvo cai na vertical. A velocidade inicial do dardo pode ser variada, de modo que quando é grande o alvo é atingido em ponto muito próximo da posição inicial. Quando for pequena, o alvo é atingido pouco antes de chegar ao solo.

Fig. 3-29

12 – Num jogo de hóquei, o disco é impulsionado no nível do campo, porém sobe e ultrapassa a barreira de de altura. O tempo de vôo do disco até ultrapassar a barreira é e a distância horizontal é . (a) Achar o valor da velocidade inicial e a respectiva direção. (b) Quando o disco atinge a altura máxima? (c) De quanto é esta altura?

(a) 1. Componente horizontal da velocidade inicial.

2. Na equação de faça e e resolva em .

3. Calcule o módulo v pelas componentes e pela relação .

(b) Resolva a equação geral de em t quando .

(c) Calcule a altura máxima por .

Observação. Neste exemplo, o disco ultrapassa uma barreira de 2,8m de altura que está a 12m do ponto de partida. O disco atinge a altura máxima depois de ultrapassar a barreira. A Fig. 3-30 mostra diversos casos de velocidade iniciais e ângulos iniciais em que o disco também ultrapassa a barreira.

Fig. 3-30

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 – Estimar o erro percentual na medida de:

a) uma distância de aproximadamente 50cm com um metro de comprimento;b) uma massa de aproximadamente 1g com um balança química;c) um intervalo de tempo de aproximadamente 4 minutos com um cronômetro.

02 – A massa da Terra é de , e o seu raio é . Calcular a densidade da Terra, usando a notação em potências de dez e o número correto de algarismos significativos.

03 – O deslocamento do pistão de um certo motor de automóvel é dado como 2 litros. Usando apenas o fato de 1 litro e de , expressar esse volume em polegadas cúbicas.

04 – Dois pontos, e , são descritos pelas coordenadas x e y, e , respectivamente.

Mostrar que os componentes do deslocamento A de a são e . Derivar também expressões para o módulo e a direção do deslocamento.

05 – Quando dois vetores, A e B, são desenhados a partir de um ponto comum, o ângulo entre eles é . Mostrar que o módulo da soma vetorial é dado por

.

06 – Achar o módulo e a direção dos vetores que cada um dos pares de componentes representa:

a) ;b) ;c) .

00 105 15 20 3025 35

7,5

10,0

5,0

2,5

y,m

x, m

07 – Um caminhão de entregas anda 1km para o norte, em seguida, 2km para o leste e, finalmente, 3km para o nordeste. Achar o deslocamento resultante:

a) desenhando um diagrama em escala;b) usando componentes.

08 – Uma formiga sai do centro de um disco de 12 polegadas e anda ao longo de uma linha reta radial em direção à borda. Enquanto isso, o toca-disco fez um giro de 45º. Desenhar um esboço da situação e descrever o módulo e a direção do deslocamento da formiga.

09 – um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100m em direção ao leste, em seguida 50m em direção a 30º a oeste do norte e, enfim, 150m a 45º a oeste do sul. Após um quarto movimento não medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. Usando um desenho em escala, determinar o quarto deslocamento (módulo e direção).

10 – Obter graficamente a intensidade e a direção da resultante das três forças na figuras abaixo. Usar o método do polígono.

Conferir a precisão do seu resultado usando o método das componentes.

11 – Achar graficamente o vetor soma e o vetor diferença na figura abaixo.

12 – Achar os vetores pedidos no problema anterior pelo método dos componentes.

13 – O vetor A tem 2cm de comprimento e está 60º acima do eixo x no primeiro quadrante. O vetor B tem 2cm de comprimento e está abaixo do eixo x, no quarto quadrante. Achar graficamente: (a) o vetor soma ; (b) os vetores diferença e .

x

y

200N

155N

300N

30º45º53º

x

y

B (20N)

A (7N) 37º

14 – Obter os vetores pedidos no problema anterior pelo método das componentes.

15 – Os componentes do vetor A são e os do vetor B são e . Achar:

a) as componentes da soma vetorial ;b) o módulo e a direção de ;c) as componentes do vetor diferença ;d) o módulo e a direção de ;

16 – Um automóvel anda 5km para o leste, em seguida 4km para o sul e finalmente 2km para o oeste. Achar e a direção do deslocamento resultante/

17 – Um barco a vela navega 2km para oeste, em seguida 4km para sudoeste e, então, navega uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5km diretamente a leste do ponto de partida. Achar o módulo e a direção do trecho intermediário da jornada.

18 – Dados dois vetores, e :

a) achar o módulo de cada vetor;b) escrever uma expressão para a soma vetorial, usando vetores unitários;c) achar o módulo e a direção do vetor soma;d) escrever uma expressão para o vetor diferença , usando vetores unitários;e) achar o módulo e a direção do vetor diferença .

19 – Dados dois vetores, e :

a) achar o módulo de cada vetor;b) escrever uma expressão para a soma vetorial, usando vetores unitários;c) achar o módulo do vetor soma;d) escrever uma expressão para o vetor diferença , usando vetores unitários;e) achar o módulo e a direção do vetor diferença . Este módulo é o mesmo do que o de

? Explicar.