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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Fabio Correa Scano

Função Afim: Uma sequência didática envolvendo atividades com o Geogebra

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo 2009

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Fabio Correa Scano

Função Afim: Uma sequência didática envolvendo atividades com o Geogebra

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva.

São Paulo

2009

Banca Examinadora

________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial

desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

Dedico este trabalho e todas as realizações da

minha vida a meus pais, Renato e Nilza, meus

irmãos, Marcelo e Tati, Eliana, minha esposa e

grande companheira de todos os momentos e,

minha amada filha, Larissa.

AGRADECIMENTOS

Primeiro a Deus, por ter-me dado saúde e inspiração para realizar esta pesquisa.

A meus pais, Renato e Nilza, pelo apoio e incentivo nos momentos mais difíceis.

A minha esposa Eliana e Larissa, minha filha, pela imensa paciência e dedicação

durante o desenvolvimento deste estudo.

À Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva, pelo incansável trabalho de

orientação, incentivo e paciência nos momentos mais difíceis.

À Professora Doutora Silvia Dias Alcântara Machado e ao Professor Doutor

Adilson de Morais, pelas valiosas sugestões que contribuíram para a melhoria deste

trabalho.

À Escola Aurora, que permitiu a aplicação das atividades experimentais.

Aos alunos da Escola Aurora, pela participação nas atividades que permitiram a

elaboração da pesquisa.

Aos amigos do Mestrado, Sérgio e Carlos, pelo companheirismo e sugestões.

Aos observadores Eliana, Sérgio e Magali, por terem sido eficientes no processo de

experimentação.

À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pelo investimento em minha

formação.

Ao secretário do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Francisco Olimpio da Silva pelo auxílio,

sobretudo, na formatação deste trabalho.

A todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste trabalho.

RESUMO

Nos estudos preliminares realizados, sobretudo, na revisão bibliográfica,

observou-se que muitos trabalhos constatam dificuldades de aprendizagem que

alunos de diferentes níveis de escolaridade apresentam em relação ao estudo da

função afim. Com intuito de ampliar os estudos já realizados a esse respeito e

conscientes de que o tema ainda carece de pesquisas, considerou-se por

hipótese deste estudo que uma sequência de ensino concebida à luz da Teoria

das Situações Didáticas e da Teoria dos Registros de Representações

Semióticas, mediada pelo uso de um software de geometria dinâmica, o

Geogebra, poderá contribuir para uma iniciação ao estudo da função afim. O

objetivo da pesquisa foi desenvolver uma sequência de ensino para iniciar o

estudo com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental que contribuísse para o

desenvolvimento da capacidade de expressar algébrica e graficamente a

dependência de duas variáveis de uma função afim e reconhecer que seu gráfico

é uma reta, relacionando os coeficientes da equação da reta com o gráfico. Após

a elaboração, a análise a priori da sequência e a aplicação na turma de 9º ano do

E.F. de uma escola particular da Grande São Paulo, a análise a posteriori mostrou

que nossa hipótese foi confirmada, isto é, que uma sequência desenvolvida e

aplicada com base na Teoria das Situações Didáticas e na mudança de registros

de representação conduz alunos do 9º ano a reconhecer que o gráfico de uma

função afim é uma reta e a maioria a expressar algébrica e graficamente a relação

entre duas variáveis de uma função afim, além de relacionar os coeficientes da

equação da reta com a representação gráfica da função afim.

Palavras-Chave: Função afim. Registro de representação. Geogebra.

ABSTRACT

In the preliminary studies held, mainly, in the bibliographic review, it was observed

that many essays show learning difficulties that students from different levels of

education have regarding the study of the affine function. Wanting to broaden the

studies held before to this respect and aware that the theme still needs research, it

was considered by hypothesis for this study that a teaching sequence conceived

to the light of the Theory of Didactic Situations and to the Theory of Semiotics

Representation Registers, mediated by the use of a software of dynamic

geometry, the Geogebra, it might contribute for an indication to the study of the

affine function. The purpose of this research was to develop a teaching sequence

to start the study with 9th graders that contributed to the development of the

capability of expressing algebraically and graphically the dependence of the two

variants from an affine function and acknowledge that its graphical representation

is a straight line, relating the coefficients from the straight line equation with the

graphic. After the elaboration, the a priori analysis of the sequence and the

application in the 9th grade of a private school from the Great São Paulo, the a

posteriori analysis showed that our hypothesis was confirmed, this means, that a

sequence developed and applied based on the Theory of Didactic Situations and

on the register change of the representation leads 9th graders to acknowledge that

the graphic of an affine function is a straight line and the majority to express

algebraically and graphically the relation between the two variants of an affine

function, besides relating the straight line equation coefficients to the graphical

representation of the affine function.

Keywords: Affine function. Representation Register. Geogebra

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1. QUESTÃO NÚMERO 3 DA PROVA DO SARESP................................................................................. 16







FIGURA 8. QUESTÃO DO SARESP 2008......................................................................................................... 24

FIGURA 9. TELA INICIAL DO GEOGEBRA. ....................................................................................................... 50

FIGURA 10. MENU EXIBIR............................................................................................................................... 51

FIGURA 11. BOTÕES DA BARRA DE FERRAMENTAS....................................................................................... 51

FIGURA 12. INSERINDO UM PONTO................................................................................................................. 52

FIGURA 13. REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO................................................................................................. 52

FIGURA 14. INSERINDO UMA EQUAÇÃO.......................................................................................................... 53

FIGURA 15. REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS E GRÁFICAS............................................................................. 53

FIGURA 16. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DOS ITENS “A”, “B”, “C” E “D” DA ATIVIDADE 1..................... 63

FIGURA 17. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DOS ITENS “A”, “B”, “C” E “D”, DA ATIVIDADE 1, PELO

REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO FIGURAL............................................................................................. 64

FIGURA 18. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DO ITEM “E” DA ATIVIDADE 1.................................................. 65

FIGURA 19. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DOS ITENS “A”, “B” E “C” DA ATIVIDADE 2............................. 71

FIGURA 20. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DO ITEM “D” DA ATIVIDADE 2. ................................................ 72

FIGURA 21. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DOS ITENS “A” E “B” DA ATIVIDADE 3..................................... 76

FIGURA 22. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DO ITEM “C” DA ATIVIDADE 3. ................................................ 76

FIGURA 23. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DOS ITENS “A”, “B”, “C” E “D” DA ATIVIDADE 4..................... 82

FIGURA 24. REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO DO ITEM “E” DA ATIVIDADE 4.................................................. 83

FIGURA 25. SLIDE COM AS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS DAS ATIVIDADES 1, 2, 3 E 4.............................. 88

FIGURA 26. SLIDE COM A DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO AFIM. ............................................................................... 88

FIGURA 27. SLIDE COM OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS DAS ATIVIDADES 1, 2, 3 E 4, POR

MEIO DA FUNÇÃO AFIM. ........................................................................................................................ 89

FIGURA 28. SLIDE COM AS REPRESENTAÇÕES DOS PARES ORDENADOS DAS ATIVIDADES 5 E 6.................. 100

FIGURA 29. SLIDE COM AS REPRESENTAÇÕES DOS PARES ORDENADOS DAS ATIVIDADES 7 E 8.................. 100

FIGURA 30. SLIDE COM A REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UM PAR ORDENADO. ...................................... 101

FIGURA 31. SLIDE COM A DEFINIÇÃO DA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO AFIM DADA POR UMA

RETA. ................................................................................................................................................... 101

FIGURA 32. SLIDE COM A ILUSTRAÇÃO DE UM PONTO DADO POR ))(,( xfx . ............................................ 102

FIGURA 33. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DA ATIVIDADE 2. ...................................................................... 106

FIGURA 34. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DA ATIVIDADE 4. ............................................. 110

FIGURA 35. SLIDE COM A DEFINIÇÃO DO VALOR DO PONTO DE INTERSECÇÃO DA RETA COM O EIXO Y. ... 112

FIGURA 36. SLIDE COM A DEFINIÇÃO DO VALOR DO PONTO DE INTERSECÇÃO DA RETA COM O EIXO X. ... 113

FIGURA 37. SLIDE COM A RELAÇÃO ENTRE O COEFICIENTE A E O ÂNGULO QUE RETA FAZ COM O EIXO X.113

FIGURA 38. SLIDE COM A RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE A E RAZÃO ENTRE OS SEGMENTOS. .................. 114

FIGURA 39. REPRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 13. ........................................................................................ 115

FIGURA 40. SLIDE COM ALGUNS CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO AFIM. ................................................ 119

FIGURA 41. SLIDE COM A RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES A E B .E O MOVIMENTO DA RETA. .............. 120

FIGURA 42. SLIDE COM A RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES A E B .E O MOVIMENTO DA RETA. .............. 120

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1. PARALELO ENTRE OS GUIAS CURRICULARES E A PROPOSTA CURRICULAR DE MATEMÁTICA 38 QUADRO 2. DISTRIBUIÇÃO DE CONTEÚDOS PARA ESCOLAS COM DUAS OU TRÊS AULAS SEMANAIS AO

LONGO DAS TRÊS SÉRIES DO 2° GRAU ................................................................................................... 39 QUADRO 3. DISTRIBUIÇÃO DE CONTEÚDOS PARA OS CURSOS COM QUATRO OU CINCO AULAS SEMANAIS, AO

LONGO DOS TRÊS ANOS DO 2°GRAU. ..................................................................................................... 39 QUADRO 4. DIFERENTES INTERPRETAÇÕES DA ÁLGEBRA ............................................................................ 41

LISTA DE PROTOCOLOS

PROTOCOLO 1. RESPOSTAS DA ATIVIDADE 1, ITENS “A”, “B”, “C” E “D” (EQUIPE A)....................................................... 66

PROTOCOLO 2. RESPOSTAS DA ATIVIDADE 1, ITENS “A”, “B”, “C” E “D” (EQUIPE C)....................................................... 66

PROTOCOLO 3. RESPOSTAS DA ATIVIDADE 1, ITENS “A”, “B”, “C” E “D” (EQUIPE B) ....................................................... 67

PROTOCOLO 4. RESPOSTA DA ATIVIDADE 1, ITENS “A”, “B”, “C” E “D” (EQUIPE F)......................................................... 68

PROTOCOLO 5. RESPOSTA DA ATIVIDADE 1, ITEM “E” (EQUIPE G)................................................................................... 68

PROTOCOLO 6. RESPOSTA DA ATIVIDADE 1, ITEM “E” (EQUIPE F) ................................................................................... 69

PROTOCOLO 7. RESPOSTA DA ATIVIDADE 1, ITEM “E” (EQUIPE A) ................................................................................... 69

PROTOCOLO 8. RESPOSTA DA ATIVIDADE 1, ITEM “F” (EQUIPE D) ................................................................................... 70

PROTOCOLO 9. RESPOSTA DA ATIVIDADE 2, ITEM “D” (EQUIPE C)................................................................................... 73

PROTOCOLO 10. RESPOSTA DA ATIVIDADE 2, ITEM “D” (EQUIPE D)................................................................................. 74

PROTOCOLO 11. RESPOSTA DA ATIVIDADE 2, ITEM “E” (EQUIPE D) ................................................................................. 74

PROTOCOLO 12. RESPOSTA DA ATIVIDADE 3, ITENS “A” E “B” (EQUIPE F)....................................................................... 78

PROTOCOLO 13. RESPOSTA DA ATIVIDADE 3, ITENS “A” E “B” (EQUIPE B)....................................................................... 78

PROTOCOLO 14. RESPOSTAS DA ATIVIDADE 3, ITENS “A” E “B” (EQUIPE G). ................................................................... 79

PROTOCOLO 15. RESPOSTA DA ATIVIDADE 3, ITENS “C” (EQUIPE F) ................................................................................ 80

PROTOCOLO 16. RESPOSTA DA ATIVIDADE 3, ITEM “D” (EQUIPE G) ................................................................................. 81

PROTOCOLO 17. RESPOSTA DA ATIVIDADE 4 ITENS “A”, “B” E “C” (EQUIPE B) ................................................................ 85

PROTOCOLO 18. RESPOSTA DA ATIVIDADE 4 ITEM “D” (EQUIPE G) .................................................................................. 86

PROTOCOLO 19. RESPOSTA DA ATIVIDADE 4, ITEM “D” (EQUIPE B). ................................................................................ 86

PROTOCOLO 20. RESPOSTA DA ATIVIDADE 4, ITEM “F” (EQUIPE F).................................................................................. 87

PROTOCOLO 21. RESPOSTA DA ATIVIDADE 5, ITEM “A” (EQUIPE G)................................................................................. 91

PROTOCOLO 22. RESPOSTA DA ATIVIDADE 5, ITEM “A” (EQUIPE F). ................................................................................ 91

PROTOCOLO 23. RESPOSTA DA ATIVIDADE 5, ITEM “C” (EQUIPE A). ................................................................................ 92

PROTOCOLO 24. RESPOSTA DA ATIVIDADE 5, ITEM “D” (EQUIPE A). ................................................................................ 92

PROTOCOLO 25. RESPOSTA DA ATIVIDADE 6, ITEM “A” (EQUIPE C). ................................................................................ 94

PROTOCOLO 26. RESPOSTA DA ATIVIDADE 6, ITEM “C” (EQUIPE H)................................................................................. 95

PROTOCOLO 27. RESPOSTA DA ATIVIDADE 6, ITEM “D” (EQUIPE G)................................................................................. 95

PROTOCOLO 28. RESPOSTA DA ATIVIDADE 7, ITEM “A” (EQUIPE F). ................................................................................ 97

PROTOCOLO 29. RESPOSTA DA ATIVIDADE 7, ITEM “D” (EQUIPE B). ................................................................................ 98

PROTOCOLO 30. RESPOSTA DA ATIVIDADE 9, ITEM “G” (EQUIPE H)............................................................................... 105

PROTOCOLO 31. RESPOSTA DA ATIVIDADE 13, ITEM “A” (EQUIPE A). ............................................................................ 116

PROTOCOLO 32. RESPOSTA DA ATIVIDADE 13, ITEM “E” (EQUIPE C). ............................................................................ 118

PROTOCOLO 33. RESPOSTA DA ATIVIDADE 13, ITEM “F” (EQUIPE F).............................................................................. 119

PROTOCOLO 34: RESPOSTA DA ATIVIDADE 14 DADA PELA ALUNA ISADORA ................................................................... 121

PROTOCOLO 35. RESPOSTA DA ATIVIDADE 15 DADA PELO ALUNO VITOR ....................................................................... 123

PROTOCOLO 36: RESPOSTA DA ATIVIDADE 15 DADA PELA ALUNA ISADORA ................................................................... 124

PROTOCOLO 37. RESPOSTA DA ATIVIDADE 16 DADA PELA ALUNA ISADORA.................................................................... 125

PROTOCOLO 38. RESPOSTA DA ATIVIDADE 17 DADA PELO ALUNO PABLO....................................................................... 127

PROTOCOLO 39. RESPOSTA DA ATIVIDADE 17 DADA PELO ALUNO VITOR ....................................................................... 128

PROTOCOLO 40. RESPOSTA DA ATIVIDADE 18 ITEM “A” DADA PELO ALUNO LUCIO ....................................................... 129

PROTOCOLO 41. RESPOSTA DA ATIVIDADE 18 DADA PELO ALUNO PABLO....................................................................... 130

PROTOCOLO 42. RESPOSTA DA ATIVIDADE 18 ITEM “D” DADA PELO ALUNO VITOR ....................................................... 131

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 14

1 PROBLEMÁTICA....................................................................................................................... 16

1.1 JUSTIFICATIVA ............................................................................................................... 16 1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA............................................................................................ 25 1.3 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA........................................................................................ 32 1.4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS............................................................................ 33

2 ALGUNS ESTUDOS.................................................................................................................... 36

2.1 O ENSINO DE FUNÇÃO NAS PROPOSTAS CURRICULARES........................................ 36 2.2 AS TECNOLOGIAS NAS PROPOSTAS CURRICULARES OFICIAIS.............................. 47 2.3 O GEOGEBRA........................................................................................................................ 49

3 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS................................................................................................... 54

3.1 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS........................................................ 54 3.2 TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS ............................................................................ 55 3.3 CONTRATO DIDÁTICO....................................................................................................... 58

4 A SEQUÊNCIA DIDÁTICA ....................................................................................................... 60

4.1 PARTICIPANTES DA PESQUISA ....................................................................................... 60 4.2 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO............................................................................................ 60 4.3 ANÁLISE DA SEQUÊNCIA ................................................................................................. 62

CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................................ 132

REFERÊNCIAS ............................................................................................................................ 136

APÊNDICE A: A SEQUÊNCIA DE ENSINO............................................................................ 138

14

Introdução1

Ao lecionarmos no Ensino Médio das escolas das redes pública e

particular, com frequência, verificamos alunos com dificuldades no que se refere

às noções do estudo de funções. O fato nos levou a buscar elementos que

permitissem compreender melhor as questões relacionadas ao tema.

Assim, deparamo-nos com algumas pesquisas que fazem referência ao

emprego da tecnologia para o estudo de função, trabalhos que abordam questões

da didática do ensino e aprendizagem de função, encontramos estudos que

tratam da concepção de alunos e professores em relação à função, entre outros.

Percebemos diversos aspectos positivos e negativos relacionados ao

ensino e aprendizagem da função e propusemo-nos a desenvolver uma pesquisa

com foco no estudo da função afim.

O presente estudo foi estruturado para apresentar no primeiro capítulo

nossa problemática, com a justificativa para a elaboração da pesquisa e algumas

análises prévias pautadas nos resultados apontados pelo SARESP e uma breve

revisão bibliográfica. Em seguida, delimitamos o problema de pesquisa,

apresentamos nossas questões e objetivos e, por fim, a metodologia utilizada,

que está pautada nos princípios da Engenharia Didática de Artigue.

No segundo capítulo, realizamos alguns estudos, mediante uma análise

das indicações apresentadas pelos documentos oficiais quanto ao estudo de

funções e o uso de tecnologias, seguido de uma apresentação do software

Geogebra.

Assim, o estudo está fundamentado na linha francesa da Didática da

Matemática, na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e na Teoria dos

Registros de Representações Semióticas de Duval. Estas ideias constituem o

terceiro capítulo: pressupostos teóricos.

Após estabelecer os alicerces desta pesquisa, apresentamos os

participantes, descreveremos o processo de aplicação e as atividades que

____________ 1 Esta dissertação está conforme as regras do Acordo Ortográfico.

15

compõem a sequência de ensino, com as análises a priori e a posteriori, pautadas

nos dados obtidos durante o processo de experimentação, que constitui o quarto

capítulo: a Sequência Didática. Encerramos com a apresentação das

Considerações Finais.

16

1 PROBLEMÁTICA

Neste capítulo, apresentaremos nossas justificativas para a escolha do

tema, seguida da revisão bibliográfica de alguns trabalhos realizados a respeito

do o ensino de funções e o uso de tecnologias, bem como nossas questões de

pesquisa e nosso objetivo.

1.1 JUSTIFICATIVA

Em nossa experiência em sala de aula, observamos que os alunos do

Ensino Médio não mobilizam de forma satisfatória conhecimentos de função afim,

o que pode ser confirmado pelos resultados apontados pelo SARESP - Sistema

de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo - que avalia o

ensino regular de todas as escolas da rede pública estadual.

Na prova de Matemática do SARESP 2005, aplicado aos alunos da 1ª série

do Ensino Médio, identificamos cinco questões, dentre 26 que totalizaram a prova,

relacionadas à função afim. Segundo dados extraídos da matriz de especificação2

do SARESP 2005, a questão 3, apresentada na Figura 1, avaliou a habilidade do

aluno para expressar algebricamente a dependência de uma variável em relação

a outra, a partir da análise de uma tabela.

Figura 1. Questão número 3 da prova do Saresp.

Fonte: Prova de Matemática do 1º ano do Ensino Médio do SARESP 2005.

____________ 2 Dados fornecidos pelo site http: www.saresp.edunet.sp.gov.br/2005.

17

A questão dois, apresentada na Figura 2, tinha como objetivo avaliar a

habilidade dos alunos em reconhecer grandezas direta ou inversamente

proporcionais e grandezas nem direta, nem inversamente proporcionais, a partir

de um gráfico cartesiano.



A questão 5, apresentada na Figura 3, avaliou a habilidade do aluno para

identificar o gráfico que representa uma função afim.



Na 6ª questão, apresentada na Figura 4, foi avaliada a habilidade dos

alunos em identificar uma função afim, a partir de seu gráfico.

18



A questão 7 da prova, apresentada na Figura 5, avaliou a habilidade dos

alunos para aplicar conhecimentos sobre função afim, para resolver situações nos

contextos variados.



Não dispomos dos percentuais de acertos de cada uma dessas questões,

porém, a partir dos resultados apresentados pela avaliação do SARESP 2005, a

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo identificou as habilidades a

serem desenvolvidas em todas as disciplinas do currículo do Ensino Fundamental

II e do Ensino Médio, que contribuíram, posteriormente, para a elaboração do

19

projeto de recuperação de início de ano, realizado em 2008, com objetivo de

recuperar o desempenho em competências básicas e, ao mesmo tempo, preparar

para a implementação da nova proposta curricular.

Segundo a Revista São Paulo Faz Escola, edição especial da proposta

curricular, para a disciplina de Matemática, para as três séries do Ensino Médio,

elaborada pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, a proposta

curricular visa oferecer um material didático estruturado para o aluno e subsídios

ao professor, a fim de que as escolas possam “implementar ações de

consolidação das aprendizagens” em todas as disciplinas do currículo, tendo

como base os resultados do Saresp 2005 (SÃO PAULO, 2008a).

No referido documento, encontramos orientações para o período de

execução do projeto de recuperação de início de ano, indicando que a habilidade

de expressar por meio de uma sentença algébrica a relação existente entre a

natureza da variação de duas grandezas diretamente proporcionais, é uma das

habilidades a ser retomada com alunos do 1º ano do Ensino Médio, com o intuito

de suprir as deficiências apontadas pelo SARESP 2005.

Segundo o documento, o projeto volta-se as seguintes habilidades:

reconhecer grandezas diretamente proporcionais e grandezas nem direta nem

inversamente proporcionais, dada uma tabela de valores; reconhecer grandezas

diretamente proporcionais e grandezas nem direta nem inversamente

proporcionais, dado um gráfico cartesiano; expressar algebricamente a

dependência de uma variável em relação a outra, a partir da análise de tabelas;

interpretar gráficos conferindo significados às variações das grandezas

envolvidas; identificar gráficos que representam uma função afim; identificar uma

função afim a partir de seu gráfico; aplicar conhecimentos da função afim para

resolver situações em contextos variados, que precisam ser retomadas com as

turmas de 2ª e 3ª séries do Ensino Médio (SÃO PAULO, 2008a).

Como não encontramos os percentuais de acertos das questões

relacionadas ao estudo da função afim no SARESP 2005, podemos concluir que o

aproveitamento dos alunos não foi satisfatório, pois as mesmas habilidades foram

propostas no projeto de recuperação de 2008.

Em 2007, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo fez nova

avaliação do desempenho escolar dos alunos. A prova de Matemática que avaliou

20

o domínio de conteúdos, competências e habilidades dos alunos da 3ª série do

Ensino Médio tinha 30 questões, das quais quatro tratavam especificamente da

função polinomial de 1° grau. Nestas quatro questões, as habilidades requeridas

consistiam em identificar grandezas diretamente proporcionais a partir de tabela

ou gráfico cartesiano, como recurso para a construção de argumentos; expressar

algebricamente a dependência de duas variáveis com base na análise de tabelas

ou gráficos para fazer previsões; reconhecer que o gráfico de uma função

polinomial de 1° grau é uma reta, relacionando os coeficientes com seu gráfico e

suas características (crescimento e decrescimento); resolver equações ou

inequações de 1° grau, relacionando-as com o gráfico de uma função polinomial

de 1° grau.

No Relatório Pedagógico do SARESP de 2007 publicado pela Secretaria

da Educação do Estado de São Paulo, os resultados em relação a essas

habilidades mostram que apenas entre 10% e 20% dos alunos identificam a

equação que representa uma reta, dado seu gráfico ou reconhecem o gráfico que

representa uma reta, dada sua equação. A Figura 6 mostra uma dessas questões,

que teve por objetivo avaliar a habilidade dos alunos para identificar o gráfico que

representa uma reta, dada sua equação (SÃO PAULO, 2008b).

Figura 6. Questão número 7 da prova do Saresp. Fonte: Prova de Matemática da 3ª série do Ensino Médio - SARESP 2007.

21

A Figura 7 mostra uma questão que teve por objetivo avaliar a habilidade

dos alunos em identificar a equação que representa uma reta, dado seu gráfico.

Nessa questão percebemos que o enunciado não se encontra representado nem

gráfica, nem algebricamente, visto que não explica que o tempo varia entre 0 e 22

minutos e, nem mesmo, que depois de decorridos 22 minutos a temperatura se

mantém ou continua diminuindo. Isso pode acarretar em um contexto equivocado

que leva o aluno a perceber que a geladeira permanece ligada por tempo

indeterminado e que a temperatura interna permanece inferior a 21ºC e,

geralmente, se estabiliza entre 4ºC e 8ºC.


Fonte: Prova de Matemática da 3ª série do Ensino Médio - SARESP 2007.

O relatório SARESP 2007 aponta que entre 30% e 40% dos alunos

identificam se as grandezas, cujas variações estão representadas em uma tabela,

são direta ou inversamente proporcionais. Cerca de 40% dos alunos interpretam o

gráfico de uma função para analisar as suas características (crescimento, raízes,

etc.) (SÃO PAULO, 2008b).

Segundo o documento, o Gráfico 1 retrata o nível de proficiência dos

alunos para a disciplina de Matemática nas 4ª, 6ª e 8ª séries do Ensino

Fundamental e 3ª série do Ensino Médio. Percebemos que dos 284.618 alunos

concluintes da 3ª série do Ensino Médio que participaram da avaliação do

SARESP 2007, 71% foram classificados no nível “Abaixo do Básico”,

demonstrando domínio insuficiente de conteúdos, competências e habilidades

desejáveis para a série em que se encontram; 24,7% dos alunos classificados no

nível “Básico”, demonstrando desenvolvimento parcial dos conteúdos,

competências e habilidades requeridos para essa série, apenas 3,7% dos alunos

22

foram classificados no nível “Adequado”, dominando conteúdos, competências e

habilidades desejáveis e 0,6% dos alunos foram classificados no nível

“Avançado”, demonstrando domínio de conteúdos, competências e habilidades

acima do requerido (SÃO PAULO, 2008b).

Gráfico 1. Distribuição dos alunos nos níveis de desempenho em Matemá ca

m 2008, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo realizou a

décim

09.178 alunos da 3ª série do Ensino

Médio

6ª e 8ª

séries

ti

Fonte: Relatório Pedagógico do SARESP 2007, p.27.

E

a primeira edição do SARESP que, segundo o Relatório Pedagógico do

SARESP 2008 de Matemática teve por finalidade diagnosticar o sistema de

ensino e, ao mesmo tempo servir de instrumento de monitoramento das políticas

públicas de educação (SÃO PAULO, 2009).

Segundo o relatório SARESP 2008, 3

realizaram a prova de Matemática, num total de 82,3% do previsto.

No gráfico 2, destacamos o nível de proficiência dos alunos das 4ª,

do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio na prova de

Matemática. Os dados apontam que 54,3% dos alunos da 3ª série do Ensino

Médio foram classificados no nível “Abaixo do Básico”; 40,57% no nível “Básico”;

4,8% no nível “Adequado” e, 0,4% foram classificados no nível “Avançado”.

23

Gráfico 2. Distribuição dos alunos nos níveis de desempenho em Matemática

Fonte: Relatório Pedagógico do SARESP 2008, p.37.

Comparando os dados dos relatórios do SARESP 2007 e SARESP 2008,

percebemos que a quantidade de alunos da 3ª série do Ensino Médio com

desempenho considerado “Abaixo do Básico” diminuiu de 71% para 54,3%, e os

considerados no nível “Básico” aumentou de 24,7% para 40,5%, bem como

aumento de 3,7% para 4,8% no nível “Adequado” e, praticamente, foi o mesmo no

nível “Avançado”, passando de 0,6% para 0,4%.

Os alunos concluintes da 3ª série do Ensino Médio apresentaram uma

melhora no desempenho da prova, porém, em relação ao estudo da função afim,

o relatório SARESP 2008 indica que esses alunos apresentaram dificuldades para

reconhecer a equação da reta e o significado de seus coeficientes, conforme

destacamos na Figura 8 que apresenta uma questão extraída da prova que

avaliou esta habilidade.

24

Figura 8. Questão do SARESP 2008

Fonte: Relatório Pedagógico do SARESP 2008.

O Relatório apresenta o seguinte comentário em relação ao percentual de

acertos para esta questão:

Apenas 17% dos alunos assinalaram a alternativa correta, e somente 30% dos melhores na prova escolheram a opção D. Eles consideram esta questão difícil e, se não sabem determinar a equação da reta conhecidos dois de seus pontos, parece que também não pensaram em escolher dois pontos e “testá-los” nas equações das alternativas. Um percentual muito pequeno para uma questão que envolve conhecimentos e habilidades básicas para a etapa de escolaridade desses alunos.(SÃO PAULO, 2009, p.123).

Segundo o documento, há necessidade de atenção especial em relação às

habilidades com alunos da 3ª série do Ensino Médio das quais destacamos as

seguintes referentes ao estudo da função afim: identificar a equação da reta dada

sua representação em um sistema cartesiano de coordenadas; identificar as

características fundamentais de uma função polinomial de 1º grau, crescimento e

decrescimento nos quadrantes do sistema cartesiano em que ela pode ser

25

representada. O Relatório ainda aponta que é preciso ampliar o desenvolvimento

de várias habilidade com alunos da 3ª série do Ensino Médio, do qual

destacamos: identificar os sinais dos coeficientes a e b da função baxxf +=)(

dado seu gráfico.

Fica evidenciado e é preocupante constatar, tanto no encaminhamento

dado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, no início do ano

letivo de 2008, com base nos resultados apontados pelo SARESP 2005, bem

como nos dados dos Relatórios Pedagógicos do SARESP 2007 e 2008, que os

alunos do Ensino Médio, desta rede de ensino, vêm apresentando baixos índices

quanto às aprendizagens relacionadas ao estudo da função afim.

Assim, no que segue, apresentamos nossa revisão bibliográfica, com a

finalidade de verificar o que indicam as pesquisas realizadas a respeito do ensino

e aprendizagem das funções, de forma especial, a função afim.

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nossa revisão bibliográfica é apresentada apoiada em algumas pesquisas

de mestrado realizadas na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, com

foco no estudo de Função.

Ardenghi (2008) apresentou um mapeamento das pesquisas que tratam do

ensino e da aprendizagem de função, realizadas no Brasil, entre 1970 e 2005.

Nos dados da Tabela 1, o autor mostra as questões orientadoras das pesquisas

agrupadas por temas abordados.

Tabela 1. Agrupamentos por temas abordados.

Fonte: Ardenghi (2008, p. 30)

26

Ao analisar os dados da Tabela 1, percebemos que a maioria das

pesquisas a respeito de função está relacionada ao uso de recursos tecnológicos

e a questões didáticas, revelando indícios de preocupação dos pesquisadores

com a aprendizagem desse conteúdo.

Schwarz (1995) aplicou um teste em 40 alunos da 3ª série do Ensino Médio

de uma escola pública de São Paulo, com questões relativas a representações

gráficas e algébricas de funções, com o propósito de verificar qual a concepção

apresentada por alunos ao final desta etapa de escolaridade. O pesquisador

analisou as respostas baseando-se no estudo de Ana Sfard, que classifica o

processo de transição de uma concepção operacional (noção matemática

concebida em um processo calculatório), para uma concepção estrutural

(concepção dada com base em objetos abstratos), de qualquer conceito

matemático em três níveis:

1°) nível da interiorização, que é o estágio onde o processo é executado num objeto já familiar; 2°) nível da condensação, estágio em que se muda o processo num mais compacto; 3°) nível da reificação, que é quando a pessoa dá o “salto qualitativo” repentino na forma de ver as coisas, que é um verdadeiro “insight”, quando se adquire a habilidade de ver a nova “entidade” como um objeto permanente.(Sfard, apud SCHWARZ, 1995, p.124).

Schwarz (1995) destaca que, segundo Sfard, no caso do estudo de função,

sem que ocorra a “reificação”, a concepção do aluno permanece puramente em

um estágio operacional, ou seja, o aluno apresenta apenas uma noção sobre

função concebida em um processo calculatório. Para o pesquisador, a maior parte

dos participantes está adentrando no primeiro nível, e alguns apresentam

concepção operacional elementar de função, ou seja, nível anterior ao da

interiorização e outros estão fracamente no nível de interiorização. Ressalta,

ainda, que os alunos não estavam habituados a relacionar diferentes

representações de função, pois não adquiriram habilidade de articular, sobretudo,

as representações gráficas e algébricas.

Assim, quando os alunos analisaram a função 2)( =xf , afirmaram que

estava faltando a variável x. Fato este, que, segundo o pesquisador, indica a

existência da crença de que a mudança da variável independente corresponde a

uma mudança da variável dependente. O autor concluiu propondo a revisão do

27

processo de ensino e aprendizagem do conceito de função nas escolas e sugeriu

que esse processo inicie-se com base nos reais conhecimentos dos alunos.

Oliveira (1997) elaborou uma sequência didática para o ensino e

aprendizagem do conceito de função, para alunos do 1º ano de um curso de

engenharia, tomando como hipótese a necessidade de submetê-los a uma

situação adidática, com o intuito de favorecer a compreensão das noções de

correspondência, dependência e variação, apoiadas em situações-problema que

visassem ao avanço das concepções dos alunos a respeito do conceito de

função.

A autora constatou que os estudantes encontravam grandes dificuldades

quanto à conversão dos problemas dados em língua materna, para a linguagem

algébrica ou simbólica e representação gráfica, confundiam equação com função

e não reconheciam funções constantes, como já mostrou Schwarz (1995).

A análise a posteriori da sequência didática permitiu que a autora

concluísse que provocou um avanço nas concepções dos alunos sobre o conceito

de função, conforme começaram a relacioná-lo com seus aspectos de variação,

correspondência e dependência entre variáveis. Muitos alunos identificaram

diversas funções entre tabelas, gráficos e expressões algébricas e perceberam

que algumas funções podem corresponder a situações da realidade e que

podemos utilizar vários registros de representação, entre outros, a tabela, ou o

gráfico, ou a fórmula (nos quadros numérico, geométrico e algébrico).

A autora acredita ter obtido os seguintes efeitos positivos, com a maior

parte dos alunos:

• Compreenderam que um gráfico e uma tabela podem representar uma

função, independente da representação algébrica;

• Realizaram mudanças de registro de representação de algumas funções,

envolvendo “jogo de quadros” (quadro numérico, geométrico e algébrico).

• Construíram gráficos de funções, utilizando papel quadriculado e sem

utilizá-lo;

• Trabalharam com exemplos de relações que são e que não são funções,

distinguindo domínio e contradomínio. Em situações-problema, verificaram

28

quando e como se unir os pontos de um gráfico e que esta decisão

depende do domínio da função.

Santos (2002) em sua pesquisa desenvolveu um estudo a respeito da

aquisição dos conhecimentos relacionados aos coeficientes de , por

meio da articulação de registros gráficos e algébricos de uma função afim,

auxiliado por um software, com intuito de investigar as reais potencialidades do

computador no processo “ensino e aprendizagem”, aplicado a alunos da 2ª série

do Ensino Médio de uma escola particular de São Paulo.

baxy +=

Para a pesquisa, o autor construiu um software do tipo jogo que

proporcionou o estudo dos processos de aprendizagem ligados à construção de

significados dos coeficientes da equação de uma reta, em um dado referencial,

em que uma reta aparecia na tela do computador, e o aluno deveria encontrar a

equação dessa reta. O software educativo elaborado por Santos (2002) que

serviu de suporte, para atender aos objetivos propostos, foi denominado Funcplus

e construído a partir do software Functuse utilizado na tese de Dagher (1993).

O autor elaborou uma sequência didática pautada em elementos teóricos

que fundamentam as pesquisas em Didática da Matemática, apresentando alguns

princípios de Informática na Educação e apoiando-se na teoria de Registros de

Representação Semiótica e da Transposição Informática.

O trabalho foi desenvolvido no segundo semestre de 2001 e realizado por

cinco duplas de alunos, mediante a aplicação de um pré-teste e um pós-teste,

para serem desenvolvidos somente com o uso de lápis e papel, porém, no

intervalo entre os testes, foram realizadas sessões de ensino em um ambiente

informático, com intuito de proporcionar ao aluno melhor compreensão da relação

dos coeficientes da equação associada a uma reta.

Os testes aplicados aos alunos serviram para avaliar o efeito das sessões

de atividades no ambiente informático, em que a comparação dos resultados do

pré-teste e do pós-teste tiveram o intuito de avaliar a aprendizagem.

Para o autor, os resultados obtidos mostraram uma evolução na construção

de significados para os coeficientes da representação algébrica associados à

representação gráfica da função afim, assim como apontam que o ambiente

informático possibilitou uma nova forma de trabalhar com os alunos

29

desenvolvendo o processo de ensino-aprendizagem desse tema. Em suas

considerações finais, Santos (2002) ressalta que pesquisas mostram que

situações contextualizadas podem favorecer o estabelecimento de conexões mais

profundas a respeito da conversão do registro gráfico para o algébrico.

Lopes (2003) desenvolveu um trabalho que se constituiu de uma proposta

de avaliação de uma sequência didática para a introdução do conceito de função

afim. Para tanto, a pesquisa fundamentou-se em elementos teóricos propostos

pelos Registros de Representação Semiótica e considerações gerais em relação

ao livro “Conceitos Fundamentais em Matemática”, de Bento de Jesus Caraça,

sobre o entendimento de função, buscando avaliar os fenômenos didáticos

ocorridos na resolução de problemas que envolviam a conversão do registro

gráfico de uma função afim para o registro algébrico e vice-versa.

A aplicação da sequência didática composta por 12 atividades foi

trabalhada com 40 alunos de 8ª série do Ensino Fundamental, de uma escola

pública da cidade de São Paulo, em 17 aulas de 55 minutos com os alunos

divididos em grupos de dois a quatro componentes, fazendo exceção à ultima

atividade que foi feita de forma individual.

O pesquisador destacou a importância da situação dialogal participativa no

decorrer das atividades, bem como da utilização de recursos como retroprojetor e

folhas impressas com as atividades, que favoreceram para que pudesse extrair as

diretrizes necessárias para o prosseguimento do trabalho em sala de aula,

valorizando ao máximo cada momento de ensino.

Para Lopes (2003), a pesquisa atingiu seus objetivos e revelou a

importância do emprego de múltiplas representações no processo de

conceitualização, o que contribuiu para que os alunos coordenassem as variáveis

no registro gráfico e o correspondente no registro algébrico. Mas aponta uma

limitação em seu trabalho, no que se refere ao estudo da inclinação da reta e

sugere que este estudo seja sistematizado em novas pesquisas.

Santos (2005) elaborou uma proposta para revisão e recuperação de

alunos do Ensino Médio, a respeito das funções polinomiais de 1° e 2° graus, a

partir de situações-problema. O autor apoiou-se no uso do computador, por meio

de um CD ROM, utilizando os softwares Cabri Géomètre, Graphmat e o Winplot,

valorizando as questões de visualização e experimentação. A proposta englobou

30

ajudas específicas durante a execução das atividades, como teorias sobre os

conteúdos e aulas-filme sobre funções e gráficos.

Para tanto, Santos (2005) aplicou um questionário, para um grupo de 27

professores com experiência no Ensino Fundamental, Médio e Superior da rede

pública e particular do Estado de São Paulo, para identificar as dificuldades dos

alunos em relação ao tema.

O pesquisador constatou que, aproximadamente, 70% dos professores

pesquisados afirmam que os alunos não conseguem resolver equações e

inequações de 1º e 2º graus, acarretando em grandes dificuldades no momento

de construir os gráficos de funções polinomiais de 1º e 2º graus, pois, entre outros

problemas, não sabem, por exemplo, determinar a intersecção do gráfico com o

eixo x.

O autor aplicou, um teste com 12 atividades para um grupo de 20 alunos,

organizados em dez duplas, distribuídos entre as três séries do Ensino Médio de

diferentes cursos técnicos da E.T.E. Carlos de Campos, na cidade de São Paulo.

O teste foi desenvolvido em dois períodos de 1h30 cada. No primeiro momento,

os alunos responderam às atividades utilizando lápis e papel e poderiam recorrer

ao apoio de livros didáticos e calculadoras. No segundo momento, usaram um

software em ambiente informático.

Ao concluir, o autor ressalta o grande envolvimento dos alunos na

execução dos testes que foram realizados em duplas e com a utilização do

computador, tendo em vista que, enquanto não obtivessem êxito na atividade,

deveriam buscar novas formas para solucioná-la, mobilizando uma quantidade

maior de conhecimento. O autor complementa que o uso do software pelos alunos

estimulou no estudo e revisão das funções.

Augusto (2008) investigou a apropriação de conceitos relativos à função

afim por alunos da 3ª série do Ensino Médio, com apoio em uma intervenção de

ensino subsidiada pelo uso de ferramenta tecnológica. O pesquisador realizou um

estudo quase experimental com duas turmas do 3º ano do Ensino Médio de uma

escola da rede pública estadual do município de Cotia, desenvolvida em três

fases: pré-teste, intervenção de ensino e pós-teste. O trabalho foi sustentado pela

Teoria das Situações Didáticas de Brousseau, da Teoria dos Campos Conceituais

31

de Vergnaud e, da visão de utilização de tecnologias à luz da Etnomatemática de

Ubiratan D’Ambrosio.

Na primeira fase, o pesquisador analisou as respostas dos alunos às

avaliações formais, orais e escritas em relação ao tema funções, observados

também em relação às macroavaliações, como o SAEB e o ENEM, nos quais

observou uma grande quantidade de erros que levam a um baixo rendimento e

posterior dificuldades no decorrer dos estudos. A partir desta percepção, elaborou

uma intervenção de ensino mediada pelo uso de tecnologia com o propósito de

contribuir para reflexões e estudos em relação à aprendizagem da função afim.

Na última fase do experimento, ocorreu a aplicação de um pós-teste, equivalente

matematicamente, às questões do pré-teste, com a finalidade de avaliar o

progresso ou não dos alunos em relação aos resultados do pré-teste.

Ao analisar os resultados, o autor concluiu que os alunos apresentaram um

bom desenvolvimento no que diz respeito à mudança do registro algébrico para o

gráfico, bem como em relação à interpretação gráfica de uma função afim. Outra

conclusão do pesquisador foi que o trabalho utilizando a modelagem a partir de

situações do cotidiano do aluno, como por exemplo, a compra de pão e leite,

aliada ao uso do software permitiu a simulação de várias possibilidades e

mostrou-se uma ferramenta didática poderosa para o ensino da função afim.

Segundo o autor, os dados da pesquisa indicam que o emprego de um

ambiente gráfico possibilitou ensaios dinâmicos e a interação com uso do

software graphmática que contribuíram para a aprendizagem dos alunos.

Ao final do estudo, o autor apresentou algumas sugestões, entre elas, que

sua pesquisa seja aplicada em outras populações, com replicação da intervenção

de ensino para futuramente obter-se uma quantidade representativa dessa

intervenção. Outra sugestão refere-se ao trabalho com intervenções em turmas

de séries finais do Ensino Fundamental II e iniciais do Ensino Médio, que poderão

contribuir para uma mudança dos resultados das macroavaliações.

Nesta revisão bibliográfica, percebemos a preocupação dos pesquisadores

com o ensino e aprendizagem de função, em razão das dificuldades que os

alunos de diferentes níveis apresentam quanto à aprendizagem desse conteúdo.

32

Em algumas pesquisas, observamos que a utilização de recursos

tecnológicos para o ensino de função tem contribuído para a compreensão dos

alunos. Assim, em nossa pesquisa, utilizaremos um software de geometria

dinâmica, para introduzir o estudo da função afim. Abordaremos o estudo da

função constante, em que Schwarz (1995) e Oliveira (1997) constataram que

alunos concluintes do Ensino Médio e integrantes de curso superior apresentaram

dificuldades para reconhecer como função. Ainda, exploraremos o estudo da

inclinação da reta, conforme apontou Lopes (2003), como limitação do seu

trabalho e sugeriu novas pesquisas.

Outro aspecto que nos chamou a atenção foi em relação à dificuldade

apresentada pelos alunos ao relacionar diferentes representações no estudo de

função. Isso nos levou a utilizar em nossa pesquisa a teoria dos Registros de

Representações Semióticas que associada ao uso de um software apresentou

significativas contribuições à aprendizagem dos alunos, conforme apontou Santos

(2002).

Acreditamos que o desenvolvimento da habilidade de representar

algebricamente uma função seja de fundamental importância. Por isso,

tomaremos como ponto de partida em nossa sequência de ensino a utilização da

linguagem algébrica para expressar a relação de dependência entre as grandezas

envolvidas.

1.3 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA

Nossa revisão bibliográfica e os documentos analisados apontam que

foram realizadas várias pesquisas relacionadas ao tema Função e algumas, mais

especificamente, em relação ao estudo de Função Afim, que não só comprovam

as dificuldades já mencionadas, como até mesmo propõem sequências de ensino

para a melhoria das aprendizagens e desenvolvimento das habilidades dos

alunos em relação à sua compreensão.

Motivados pelos resultados apontados nessas pesquisas e conscientes, de

que o tema ainda carece de novos estudos que possam contribuir para a melhoria

da aprendizagem dos alunos quanto à compreensão da função afim, tomamos por

hipótese que uma sequência de ensino concebida à luz da Teoria das Situações

33

Didáticas e da Teoria dos Registros de Representações Semióticas mediada pelo

uso de um software de geometria dinâmica poderá contribuir para uma iniciação

ao estudo da função afim no 9º ano do Ensino Fundamental.

Para tanto, nosso objetivo consiste em desenvolver uma sequência de

ensino, conforme os princípios dessas teorias, mediadas pelo uso do software

Geogebra, para iniciar um estudo da função afim com alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental, buscando responder às seguintes questões:

- Nossa sequência de ensino contribuirá para que os alunos expressem

algébrica e graficamente a dependência de duas variáveis de uma função afim?

- Após a aplicação da sequência de ensino, os alunos reconhecerão que o

gráfico de uma função afim é uma reta e conseguirão relacionar os coeficientes

da equação da reta com o gráfico?

1.4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

No desenvolvimento de nossa pesquisa, utilizaremos como metodologia

alguns pressupostos da Engenharia Didática de Artigue que a caracteriza como:

[...] um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, sobre a concepção, realização, a observação e a análise de seqüências de ensino. (ARTIGUE, 1988 apud MACHADO, 2008, p.235).

Para Artigue (1988 apud MACHADO, 2008), o processo experimental da

metodologia da engenharia didática compõe-se de quatro fases: análises

preliminares; concepção e análise a priori das situações didáticas;

experimentação; análise a posteriori e validação.

Na fase das análises preliminares, são realizadas as considerações em

relação ao quadro teórico-didático e em relação aos conhecimentos didáticos

adquiridos sobre o tema pesquisado. Podem, também, ser realizadas as

seguintes análises: da epistemologia dos conteúdos contemplados pelo ensino;

do ensino atual e de seus efeitos; da concepção dos alunos, das dificuldades e

obstáculos que determinam sua evolução; do campo dos entraves no qual vai se

situar a efetiva realização didática.

34

A análise a priori contém uma parte descritiva, na qual o pesquisador

descreve cada escolha local realizada que, eventualmente, pode estar

relacionada com escolhas globais seguida de uma análise em relação ao desafio

que a situação irá propor ao aluno durante a fase de experimentação. Uma outra

parte que se refere à previsão, com o propósito de prever os comportamentos

possíveis, em relação ao conhecimento visado pela aprendizagem.

A fase da experimentação realiza-se no momento em que ocorre o contato

pesquisador/professor/observador com os alunos-objeto de investigação e prevê

uma explicação dos objetivos e das condições em que a pesquisa será realizada,

assim como o estabelecimento do contrato didático, a aplicação do instrumento

de pesquisa e o registro das observações realizadas no decorrer da

experimentação.

A última fase da análise a posteriori e validação, apoia-se na coleta de

dados realizados no processo de experimentação, resultado tanto das

observações desenvolvidas em cada sessão de aplicação da situação de

aprendizagem como das produções desenvolvidas pelos alunos. É da

confrontação das análises a priori e a posteriori que se validam ou não as

hipóteses levantadas.

Neste estudo, os dados foram coletados mediante observação realizada

por três professores de Matemática e a análise da produção dos alunos

registradas nas fichas das atividades.

36

2 ALGUNS ESTUDOS

Neste capítulo, apresentaremos alguns estudos como as análises

preliminares da Engenharia didática, buscando as indicações apresentadas pelos

documentos oficiais quanto ao estudo das funções e o uso de tecnologias,

seguidos de uma apresentação do software Geogebra.

2.1 O ENSINO DE FUNÇÃO NAS PROPOSTAS CURRICULARES

Este estudo pretende mostrar como algumas propostas curriculares do

Ensino Fundamental e Médio discutem o ensino de função, com o intuito de

compreender quais são os objetivos e conteúdos relacionados a este tema, que

devem ser trabalhados com os alunos.

Em 1986, a primeira edição da Proposta Curricular para o Ensino de

Matemática no Ensino Fundamental, da Secretaria de Estado da Educação de

São Paulo (SÃO PAULO, 1997), foi elaborada pautada em uma reflexão sobre o

papel da Matemática no currículo do 1° grau, em relação aos problemas

detectados que aparecem mencionados no prefácio do documento, conforme

segue:

a preocupação excessiva com o treino de habilidades com a mecanização de algoritmos, com a memorização de regras e esquemas de resolução de problemas, com a repetição e a imitação e não com uma aprendizagem que se dê,inicialmente, pela compreensão de conceitos e de propriedades, pela exploração de situações-problema nas quais o aluno é levado a exercitar sua criatividade, sua intuição; a priorização dos temas algébricos e a redução ou, muitas vezes, eliminação de um trabalho envolvendo tópicos de geometria; a tentativa de se exigir do aluno uma formalização precoce e um nível de abstração em desacordo com o seu amadurecimento. (SÃO PAULO, 1997, p.7).

A Proposta para o Ensino Fundamental apresenta os conteúdos de forma

seriada, a partir de grandes temas: números, geometria e medidas e em

diferentes níveis de abordagem, procurando integrar os temas a serem

trabalhados e desenvolvendo um currículo “em espiral”, apoiado em ideias de

Jerome Bruner, privilegiando não apenas a sequência dos temas e sua

interdependência, mas também observando a participação dos alunos em

resolução de situações-problema (SÃO PAULO, 1997).

37

Segundo o documento citado para o Ensino Fundamental, o estudo de

função não é visto como um tema à parte, conforme destacamos nos dados do

Quadro 1 que apresentam um comparativo entre a proposta anterior (os guias

curriculares) e a atual (nova proposta curricular). Nela, o estudo de função está

inserido em conteúdos que permitem a exploração de suas ideias, para esta

etapa de escolarização, como é o caso do estudo de proporcionalidade,

ocorrendo de forma mais específica na 7ª série, por intermédio do estudo da

noção de interdependência entre duas ou mais grandezas e a noção de variável,

grandezas direta e inversamente proporcionais, bem como a representação

gráfica e analítica desses dois tipos de interdependência, grandezas não

proporcionais e grandezas que variam proporcionalmente ao quadrado de outras.

Notamos que o documento apresenta algumas sugestões de atividades a

serem desenvolvidas com os alunos e que o estudo formal das funções será

realizado na próxima etapa de escolarização, ou seja, no 2° grau, atual Ensino

Médio (SÃO PAULO, 1997).

No mesmo ano, 1986, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e

a Coordenadoria de Normas Pedagógicas, publicou a primeira edição da Proposta

Curricular de Matemática para o 2° Grau, a partir de um processo de reflexão e

discussão sobre questões referentes à organização curricular da escola de 2°

grau da rede oficial de ensino do Estado de São Paulo. Segundo o documento, a

inclusão da Matemática nos currículos escolares justifica-se pela dupla função

que a disciplina apresenta, sendo necessária em atividades práticas que

envolvem aspectos quantitativos da realidade e desenvolve o raciocínio lógico

(SÃO PAULO, 1992)

38

Quadro 1. Paralelo entre os Guias Curriculares e a Proposta Curricular de Matemática

Fonte: (SÃO PAULO, 1997, p.181).

A Proposta para o 2° Grau aponta uma metodologia que valorize a

participação do aluno na elaboração do conhecimento, destacando a importância

do professor com a função de orientar a aprendizagem. Sugere o

desenvolvimento de temas, tendo como ponto de partida um problema, como uma

situação que desafie o aluno a refletir, levantar ideias e procurar caminhos para

39

solucioná-lo, a partir do qual pode se iniciar a discussão das ideias centrais do

tema, considerando os objetivos a atingir. O documento sugere que se priorizem

os conteúdos de Funções, Geometria, Trigonometria, Análise Combinatória,

Probabilidade, Geometria Analítica, Matemática Financeira e Estatística (SÃO

PAULO, 1992).

Considerando a diversidade do número de aulas de Matemática nas grades

curriculares das escolas de 2º grau da rede de ensino público do Estado de São

Paulo, o documento apresenta as sugestões para a distribuição dos conteúdos

que destacamos nos dados dos Quadros 2 e 3.

Quadro 2. Distribuição de conteúdos para escolas com duas ou três aulas semanais ao longo das três séries do 2° grau


Quadro 3. Distribuição de conteúdos para os cursos com quatro ou cinco aulas semanais, ao longo dos três anos do 2°grau.


Embora existam grades curriculares com duas a cinco aulas semanais de

Matemática, o estudo de função figurou entre os conteúdos, sendo proposto para

40

a 1ª série desta etapa de escolaridade, com o objetivo geral de familiarizar e

sistematizar o conceito de Função, estudar as Funções de 1° e 2° graus e

conceituar Progressão Aritmética.

Em particular, para o estudo de Função Afim, a Proposta Curricular para o

2° Grau aponta como objetivos, reconhecer e definir este tipo de função, assim

como relacionar o gráfico com os coeficientes da expressão que descreve este

tipo de função e considera que o estudo de Progressão Aritmética seja tratado

como função polinomial de 1° grau, cujos domínios são subconjuntos dos

números naturais (SÃO PAULO, 1992).

O documento citado, ainda apresenta algumas situações que considera

significativas para o aluno no sentido de relacionar Função Linear com “grandezas

diretamente proporcionais”.

Avançando na década de 1990, encontramos os Parâmetros Curriculares

Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental - PCN que foram

elaborados pelo Ministério da Educação e do Desporto / Secretaria de Educação

Fundamental – MEC/SEF, com a intenção de ampliar e aprofundar um debate

educacional que envolva escolas, pais, governos e sociedade, com o intuito de

dar origem a uma transformação positiva no sistema educativo brasileiro

(BRASIL, 1998).

Os parâmetros apresentam critérios para seleção de conteúdos a partir da

relevância social e contribuição para o desenvolvimento intelectual do aluno,

indicando a resolução de problemas como ponto de partida da atividade

Matemática, discutindo algumas possibilidades para o trabalho em sala de aula,

destacando a importância da História da Matemática, a utilização de jogos e

Tecnologias de Comunicação (BRASIL, 1998).

Neste documento, os objetivos são apresentados em termos de

capacidades a serem desenvolvidas e os conteúdos para desenvolvê-las,

mencionando conexões entre os blocos de conteúdos – Números e Operações,

Grandezas e Medidas, Espaço e Forma, Tratamento da Informação – e outras

áreas do conhecimento, assim como suas relações com o cotidiano e os Temas

Transversais – Ética, Orientação Sexual, Meio Ambiente, Saúde, Pluralidade

Cultural e Trabalho / Consumo.

41

Pelo documento, o ensino de função pode ser realizado no estudo da

álgebra sob a dimensão funcional, conforme destacado nos dados do Quadro 4 e

relacionados com conteúdos que explorem as variações de grandezas, em que as

letras podem ser utilizadas como variáveis para representar as relações e

funções.

Quadro 4. Diferentes interpretações da álgebra

Fonte: (BRASIL, 1998, p.116)

Nos PCN, existem algumas sugestões para favorecer a construção da

linguagem algébrica, como por exemplo, situações que possam investigar

padrões, tanto de sucessões numéricas como de representações geométricas e,

sugestões de situações que podem fornecer excelentes contextos para

desenvolver a noção de função, como variações de grandezas, por exemplo,

estabelecer como varia o perímetro ou a área de um quadrado, em função da

medida de seu lado, determinar a expressão algébrica que representa essa

variação, bem como esboçar o gráfico cartesiano que representa essa variação

(BRASIL, 1998).

Em 1999, o Ministério da Educação (MEC), por intermédio da Secretaria da

Educação Média e Tecnológica elaborou os Parâmetros Curriculares Nacionais

de Matemática para o Ensino Médio – PCNEM. O trabalho envolveu discussões

realizadas por especialistas e educadores de todo o País, para auxiliar o

professor na execução de seu trabalho, servindo de estímulo e apoio. O

documento propõe um currículo baseado no domínio de competências básicas e

42

não no acúmulo de informações e atribui significados ao conhecimento escolar,

na perspectiva de trabalho contextualizado e interdisciplinar (BRASIL, 1999)

Além de considerar o conhecimento escolar em três áreas – Linguagens,

Códigos e suas Tecnologias; Ciências Humanas e suas Tecnologias e Ciências

da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, no qual a Matemática apresenta um

valor formativo que contribui para estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo

e, também, desempenha um papel instrumental como ferramenta que apresenta

utilidade no cotidiano para muitas tarefas específicas em diversas atividades

humanas.

Os PCNEM indicam que o ensino de Matemática deve estabelecer como

objetivos levar o aluno a:

• compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;

• aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;

• analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;

• desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;

• utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;

• expressar-se oralmente, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;

• estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;

• reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações;

• promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. (BRASIL, 1999, p.254).

Na sequência deste estudo, encontramos os PCN+ Ensino Médio –

Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares

Nacionais para o Ensino de Ciências da Natureza Matemática e suas

Tecnologias, que destacam a importância do conhecimento matemático como

apoio para outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com

43

situações cotidianas, bem como para desenvolver habilidades do pensamento

(BRASIL, 2002).

No documento, os conteúdos matemáticos estão organizados baseados

em três temas estruturadores- Álgebra, números e funções; Geometria e medidas;

Análise de dados- que devem ser desenvolvidos de forma concomitante nas três

séries do Ensino Médio.

Segundo os PCN+, o ensino de função pode ser iniciado nas situações

contextualizadas e exemplos do cotidiano, descrita algébrica e graficamente,

considerando que os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final

do estudo, mas devem ser motivo e contexto para o ensino do tema. Alertam para

a importância do estudo das sequências e progressões, conectado ao estudo de

função (BRASIL, 2002).

O documento descreve os conteúdos e habilidades propostos para este

tema:

• Variação de grandezas: noção de função; funções analíticas e não analíticas; representação e análise gráfica; seqüências numéricas: progressão e a noção de infinito; variações exponenciais ou logarítmicas; função seno, cosseno e tangente; taxa de variação de grandezas;

• Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema,construindo modelos descritivos de fenômenos fazendo conexões dentro e fora da Matemática;

• Compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana;

• Associar diferentes funções e seus gráficos correspondentes; • Ler e interpretar diferentes linguagens e representações envolvendo

variações de grandezas; e • Identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer

relações entre variáveis. (BRASIL, 2002, p.122-123).

Em 2006, a Secretaria de Educação Básica do Ministério da Educação,

elaborou as Orientações Curriculares para o Ensino Médio organizada em três

volumes. No volume 2 - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, o

documento apresenta como objetivo a possibilidade de contribuir para o diálogo

entre professor e escola sobre a prática docente. Nele, os conteúdos são

organizados em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria;

Análise de dados e probabilidade. Ressaltando a importância da articulação entre

os conteúdos (BRASIL, 2006).

44

Segundo o documento, o estudo de Funções pode ter como ponto de

partida a exploração qualitativa das relações entre grandezas em diferentes

situações, como por exemplo: idade e altura; área do círculo e raio; tempo e

distância percorrido, entre outros. Destaca a importância de estimular os alunos

para que apresentem outras relações funcionais. Indica a importância de explorar

o estudo de funções, mediante diferentes representações, como a gráfica, a

algébrica e a língua materna, bem como as implicações decorrentes no gráfico de

uma função quando se alteram seus parâmetros, identificando os movimentos

realizados pelo gráfico quando se modificam os coeficientes da função (BRASIL,

2006).

O documento sugere que o estudo de Funções apresente continuidade

com a exploração de modelos lineares, quadráticos e exponenciais, destacando

que o modelo periódico seja discutido no estudo das funções trigonométricas.

Sugere que os gráficos de funções sejam estudados, mediante o entendimento

global da relação de crescimento ou decrescimento entre as variáveis, advertindo

que a construção de gráficos por meio da transcrição de dados a partir das

tabelas não permite que o aluno avance na compreensão do comportamento das

funções.

Em relação ao estudo da função polinomial de 1º grau, o documento

sugere que as ideias de crescimento dadas por um modelo linear ou

de proporcionalidade direta, seja evidenciado como um particular e importante

modelo de crescimento. Destaca que é interessante discutir o modelo de

decrescimento com proporcionalidade inversa

).)(( xaxf =

)/)(( xaxf = , tendo em vista que,

muitas vezes, os alunos, de forma equivocada, relacionam crescimento com

proporcionalidade direta e decrescimento com proporcionalidade inversa. Para

isso, ressalta a importância de se apresentar situações do cotidiano para ilustrar

diferentes tipos de crescimento e decrescimento de grandezas. Daí, então,

discutir as situações em que se faça necessário o estudo da função afim

. ))(( baxxf +=

O documento destaca a importância de explorar o alcance do modelo linear

para então se introduzir o modelo exponencial, assim como discutir as

características desses tipos de modelos. Outra observação que traz é que as

45

progressões aritméticas e geométricas podem ser definidas, como funções afim e

exponencial, respectivamente, em que o domínio é dado no conjunto dos

números naturais (BRASIL, 2006).

Em 2008, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo elaborou uma

nova proposta curricular para o Ensino Fundamental - Ciclo II e Ensino Médio,

com o objetivo de organizar o ensino nas escolas da rede e melhorar a qualidade

da aprendizagem dos alunos (SÃO PAULO, 2008).

Apresenta também o conhecimento distribuído em quatro áreas: Ciências

Humanas e suas Tecnologias; Ciências da Natureza e suas Tecnologias;

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; Matemática e as áreas do

conhecimento. A Matemática é mostrada como um sistema simbólico que se

articula com a língua materna, nas formas oral e escrita, assim como outras

linguagens e recursos de representação da realidade. Assim, a Matemática é

vista como um meio para o desenvolvimento de competências, como a

capacidade de expressão pessoal, de expressão de fenômenos, de

argumentação consistente, de tomada de decisões conscientes e refletidas, de

problematização e enraizamento dos conteúdos estudados em diferentes

contextos e de imaginação de situações novas.

Na proposta, tanto para o Ensino Fundamental como ao Ensino Médio,

encontramos os conteúdos dispostos em quatro grandes blocos temáticos:

Números, Grandezas e Medidas, Geometria e Tratamento da Informação, estão

presentes de forma direta ou indireta na lista de conteúdos a serem ensinados em

todas as séries.

Segundo a Proposta, o tema Funções está relacionado entre os conteúdos

do 2º bimestre da 8ª série do Ensino Fundamental, mediante o estudo de suas

noções básicas a ideia de variação e a construção de tabelas e gráficos para

representar funções polinomiais de 1° e 2° graus (SÃO PAULO, 2008).

No Caderno do Professor, documento que integra a proposta curricular de

2008 com objetivo de oferecer sugestões para o trabalho docente encontramos

algumas orientações para o trabalho com Funções. E a noção de Função poderá

ser desenvolvida pela análise de interdependência de duas grandezas direta e

46

inversamente proporcionais, ou não proporcionais, dando início ao estudo das

funções afim e quadrática.

Para o Ensino Médio, o documento relaciona o ensino de Função

Polinomial do 1° grau, dentre os conteúdos da 1ª série, no decorrer do 2°

bimestre, destacando a importância de situações de aprendizagens

contextualizadas e o uso de diferentes representações, como língua materna,

gráficas, tabelas e algébrica, bem como a proporcionalidade entre grandezas, o

crescimento e decrescimento e aponta a relação entre o coeficiente angular e a

inclinação da reta como outro aspecto importante a ser explorado neste estudo.

No Caderno do Professor, existem situações de aprendizagem que

sugerem uma retomada dos estudos de relações entre duas grandezas, aplicação

de problemas de proporcionalidade direta e representação gráfica, discussão do

coeficiente linear com a taxa de variação, crescimento e decrescimento e finaliza

o estudo com situações-problema.

Conforme o documento, no final do 2º bimestre do 1º ano do Ensino Médio,

espera-se que os alunos reconheçam o gráfico de uma função polinomial do 1°

grau como uma reta, e o coeficiente angular como uma taxa de variação e como a

inclinação da reta, bem como reconheçam e diferenciem as proporcionalidades de

grandezas direta e inversamente proporcionais e suas respectivas constantes de

proporcionalidade, além de resolver situações-problema. (SÃO PAULO, 2008).

No estudo realizado com os documentos curriculares sobre o ensino de

Matemática para o Ensino Fundamental, ressaltamos a importância dos avanços

das propostas que substituíram o ensino idealizado pelo Movimento da

Matemática Moderna, tendo em vista uma abordagem para o ensino de função

que privilegia a análise de fenômenos, a observação de regularidades e a

interdependência entre variáveis.

De forma geral, notamos que esses documentos apontam para um trabalho

no qual as primeiras ideias relacionadas ao estudo da função afim sejam

realizadas ainda nesta etapa de escolaridade, por meio da proporcionalidade e

variação de grandezas, para contribuir a um ensino que será sistematizado na

etapa seguinte de escolaridade, ou seja, no Ensino Médio.

47

Em relação à análise dos documentos curriculares para o ensino de

Matemática no Ensino Médio, notamos que, de forma geral, o estudo da função

afim é proposto para a 1ª série. Estes documentos apresentam orientações que

destacam a importância de um trabalho que privilegie diferentes formas de

representação de uma função, bem como suas articulações, nas formas

algébrica, gráfica, tabelas e língua materna.

Outro destaque ocorre na escolha e elaboração de situações de

aprendizagens significativas, mediante situações-problema, em um trabalho

centrado na interdisciplinaridade e contextualização, esperando, desta forma,

favorecer para que os alunos atribuam significado ao estudo deste tema. Alguns

dos documentos sugerem o uso de recursos tecnológicos, que apresentaremos

na sequência.

2.2 AS TECNOLOGIAS NAS PROPOSTAS CURRICULARES OFICIAIS

Aqui será apresentado um breve estudo a respeito do que alguns

documentos apontam em relação ao uso de recursos de tecnologia aplicados ao

ensino da Matemática, como por exemplo, os computadores e calculadoras e

suas possíveis contribuições.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental

apontam o uso de tecnologias, como um dos caminhos para se “fazer

Matemática” em sala de aula, dentre outras possibilidades, como o recurso a

História da Matemática e a utilização de jogos (BRASIL, 1998).

Pelo documento, o uso de recursos tecnológicos traz significativas

contribuições para se repensar o processo de ensino e aprendizagem da

Matemática à medida que:

• Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente;

• Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas;

• Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem; e

• Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. (BRASIL, 1998, p.44).

48

O documento aponta que os computadores podem integrar as aulas de

Matemática:

• como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem;

• como auxiliar no processo de construção de conhecimentos; • como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que

possibilitam pensar, refletir e criar soluções; e • como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de

planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados, etc.(BRASIL, 1998, p.44).

Acrescenta ainda que o uso de tecnologias pode ser um grande aliado do

desenvolvimento cognitivo dos alunos, favorecendo o desenvolvimento de um

trabalho que se adapta a diferentes ritmos de aprendizagem que podem contribuir

para que os alunos aprendam com seus próprios erros. No entanto, alertam para

a escolha de softwares, ressaltando que o bom uso que se possa realizar com o

computador, depende da escolha adequada, considerando os objetivos que se

pretende atingir.

Segundo os PCN, a utilização de recursos de tecnologias contribui para

que o processo de ensino e aprendizagem da Matemática torne-se uma atividade

experimental, mais rica e sem riscos de impedir o desenvolvimento do

pensamento dos alunos, porém ressaltam a importância de encorajar os alunos a

desenvolver seus processos metacognitivos e a capacidade crítica. Cabendo ao

professor criar, conduzir e aperfeiçoar situações de aprendizagens (BRASIL,

1998).

O documento considera a computação gráfica como um recurso

estimulador para a compreensão e análise de comportamentos gráficos de

funções, como por exemplo, as alterações que os gráficos sofrem quando

submetidos a mudanças dos parâmetros de suas equações.

Ao analisar as Orientações Curriculares para o Ensino Médio - OCEM -

percebemos um destaque para a importância de se contemplar uma formação

escolar que considere a Matemática, como ferramenta para compreender a

tecnologia, bem como a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática.

Pensando de forma específica em questões com foco no uso da tecnologia para a

Matemática, o documento destaca que:

49

[...] há programas de computadores (softwares) nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos, referidos a seguir programas de expressão. Os programas de expressão apresentam recursos que provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas.São características desses programas: a) conter um certo domínio de saber matemático – a sua base de conhecimento; b) oferecer diferentes representações para um mesmo objeto matemático – numérica, algébrica, geométrica; c)possibilitar a expansão de sua base de conhecimento por meio de macroconstruções; d) permitir a manipulação de objetos que estão na tela. (BRASIL, 2006, p.88).

O documento menciona que existe grande variedade de programas com

recursos que permitem a exploração algébrica e gráfica, de forma simultânea que

contribui para a compreensão dos alunos no estudo de função, mas alerta, que a

escolha de um programa pode influenciar na qualidade do aprendizado.

Desse modo, podemos perceber que os documentos oficiais indicam o uso

de recursos tecnológicos, como um fator positivo para o processo de ensino e

aprendizagem da Matemática e, de forma especial, no que se refere ao ensino de

função.

Dessa forma, em nossa pesquisa, escolhemos trabalhar com o software

Geogebra, pois acreditamos que poderá contribuir para uma atividade mais rica e

dinâmica, permitindo que os alunos compreendam o estudo da função afim,

mediante investigação e exploração algébrica e gráfica, de forma simultânea.

2.3 O GEOGEBRA

Em nossa sequência de ensino, utilizaremos o software Geogebra criado e

desenvolvido por Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo na Áustria,

para elaborar um instrumento útil à aprendizagem matemática que combine

elementos geométricos e algébricos que podem ser utilizados em ambiente

Windows. Este software foi escolhido pelo seu dinamismo, pela vantagem de ser

de domínio público3 e por ser bastante fácil de usar. Ressaltamos que

disponibiliza um fórum na Internet para esclarecimento das dúvidas dos usuários.

____________ 3 O Geogebra pode ser encontrado no site http://www.geogebra.at.

http://www.geogebra.at/

50

Ao abrir o programa, o usuário encontrará a tela principal que disponibiliza

na parte superior o Menu com opções: arquivo, editar, exibir, opções,

ferramentas, janela e ajuda e a Barra de Ferramentas. Ao centro da tela principal

(Figura 9), temos a área de trabalho e na parte inferior, o Campo de Entrada.

Figura 9. Tela inicial do Geogebra.

Neste trabalho, comentaremos apenas algumas ferramentas que serão

usadas, lembrando que o software dispõe de outras ferramentas e inúmeras

possibilidades de trabalho.

No Menu “exibir” (Figura 10), a opção malha disponibiliza uma malha

quadriculada que poderá ser utilizada para localização de um ponto no plano; a

opção eixos disponibiliza o par de eixos cartesianos e a opção janela de álgebra

permite a visualização da representação algébrica dos objetos representados

graficamente na janela principal.

51

Figura 10. Menu exibir

O software apresenta duas formas de receber informações, uma pela Barra

de Ferramentas e a outra pelo Campo de Entrada. A Barra de Ferramentas

permite acessar de forma rápida ferramentas que são utilizadas em construções

geométricas e gráficas. O Campo de Entrada permite o acesso praticamente a

todos os comandos que podem ser acessados pela Barra de Ferramentas, e

ainda permite que sejam dados comandos escritos mediante registro algébrico,

algo bastante útil no estudo de funções.

Pela Barra de Ferramentas (Figura 11) o usuário tem acesso a botões para

construir pontos, retas, efetuar medições e movimentar objetos matemáticos.

Figura 11. Botões da Barra de Ferramentas

Para inserir um ponto, o usuário poderá digitar suas coordenadas no

Campo de Entrada, conforme a Figura 12.

52

Figura 12. Inserindo um ponto

Em seguida, o programa apresentará a representação gráfica do ponto na

janela principal e na janela algébrica, as coordenadas do ponto, conforme a

Figura 13.

Figura 13. Representação de um ponto

Para construir uma reta, o usuário poderá utilizar o botão “Reta definida por

dois pontos”, na Barra de Ferramentas ou digitar a equação da reta no Campo de

Entrada, conforme destacamos na Figura 14.

53

Figura 14. Inserindo uma equação.

Para inserir uma função afim, o usuário poderá digitar no campo de

entrada, a equação referente à reta, em seguida, o programa apresentará a

representação gráfica da função na janela principal e, na janela algébrica

mostrará a respectiva equação da reta, conforme a Figura 15.

Figura 15. Representações algébricas e gráficas.

54

3 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS

Neste capítulo, apresentaremos elementos da Teoria dos Registros de

Representações Semióticas de Duval e da Teoria das Situações de Brousseau,

mostrando a importância da utilização de cada uma delas, como uma alternativa

capaz de permitir ao aluno, construir o conhecimento matemático em relação ao

estudo de função afim.

3.1 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

Em Matemática, a comunicação se estabelece por intermédio de

representações, cujos objetos de estudo não são diretamente acessíveis à

percepção. Para sua apreensão, precisam do uso de diferentes representações.

Na presente pesquisa, utilizaremos os pressupostos da Teoria dos

Registros de Representações Semióticas de Duval que fornecem um referencial

estruturado de análise do funcionamento cognitivo da compreensão em

Matemática.

Para Duval (1999), um registro de representação é um sistema semiótico

que tem funções cognitivas fundamentais no funcionamento cognitivo consciente,

é uma maneira típica de representar um objeto matemático, um problema ou uma

técnica e, diferencia-se dos códigos que têm a característica de não permitir

determinar ou representar diretamente um conteúdo do conhecimento e, portanto,

funcionalmente são mais limitados (DUVAL, 1999 apud ALMOULOUD, 2007).

Os distintos tipos de representações semióticas mobilizáveis no

funcionamento matemático são chamados de registros de representação e

classificados em quatro tipos; dois são Registros de Representação Discursiva

que são: a língua natural e os sistemas de escritas (numérico, algébrico e

simbólico) e dois são Registros de Representação Não Discursiva: o registro

figural e o registro gráfico.

55

Um enunciado em língua materna, uma fórmula algébrica, uma

representação gráfica ou uma figura geométrica são exemplos de representações

semióticas em diferentes registros.

Duval (2005) indica a importância da pluralidade de registros de

representação de um mesmo objeto e a articulação desses registros, como

condição para a compreensão em Matemática. Afirma que existem dois tipos de

transformações de representações semióticas que são bastante diferentes: os

tratamentos e as conversões.

Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria. As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica. (DUVAL, 2005, p.16).

Assim, a dificuldade do aluno encontra-se em mudar de uma representação

para outra pois, muitas vezes, consegue fazer tratamentos em diferentes registros

de representação para um mesmo objeto matemático, mas não faz as conversões

que são de extrema importância para a apreensão do objeto matemático (DUVAL,

2005).

Do exposto, observamos a importância das representações em

Matemática, tanto para aquisição de conhecimento como para a organização de

situações de aprendizagem.

No desenvolvimento desta pesquisa, o objeto matemático é a função afim

e, durante o desenvolvimento da sequência de ensino, queremos proporcionar

aos alunos o tratamento de representações dentro do registro algébrico e a

conversão das representações entre os registros algébrico e gráfico.

3.2 TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS

Para Freitas (2008), a Teoria das Situações Didáticas (TSD), desenvolvida

por Brousseau representa uma referência no processo de aprendizagem

56

matemática em sala de aula, envolvendo professor, aluno e conhecimento

matemático.

Na TSD, o foco do estudo não está no sujeito cognitivo, mas, na situação

didática na qual as interações entre professor, aluno e saber, são identificadas.

De acordo com Almouloud (2007), esta teoria apoia-se nas hipóteses de que o

aluno aprende adaptando-se ao meio e ao saber, e o resultado da adaptação

revela-se por intermédio de respostas novas; o meio sem intenção didática não é

suficiente para promover com eficiência a aprendizagem matemática, pois é

necessário que o professor crie e organize o meio em que as situações de

aprendizagens serão desenvolvidas; o meio e as situações de ensino devem

comprometer-se com os saberes matemáticos que envolvem o processo de

ensino e aprendizagem.

O objeto central desta teoria é a situação didática que Brousseau define

como:

o conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição (BROUSSEAU, 1978 apud ALMOULOUD 2007, p.33)

Como parte essencial da situação didática, temos a situação adidática que

consiste em uma situação em que a intenção de ensinar não é revelada ao aluno,

mas é cuidadosamente planejada pelo professor com o propósito de oferecer as

condições favoráveis, para que o aluno possa se apropriar do novo saber.

Segundo Brousseau (1986), uma situação adidática apresenta as seguintes

características:

o problema matemático é escolhido de modo que possa fazer o aluno agir, falar, refletir, e evoluir por iniciativa própria; o problema é escolhido para que o aluno adquira novos conhecimentos que sejam inteiramente justificados pela lógica interna da situação e que possam ser construídos sem apelo às razões didáticas (o aluno aprende por uma necessidade própria e não por uma necessidade aparente do professor ou da escola); o professor assumindo o papel de mediador, cria condições para o aluno ser principal ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s) atividade(s) proposta(s). (ALMOULOUD 2007, p.33).

A teoria propõe que o processo da aprendizagem seja realizado em quatro

fases: ação, formulação, validação e institucionalização e, em cada uma delas, o

57

conhecimento ou saber em questão exerce funções diferentes, e o aluno não

apresenta a mesma relação com o saber.

Na fase de ação, o professor pode propor um problema cuja melhor

solução será o conhecimento que se deseja ensinar. As interações entre aluno e

situação de ensino têm foco na tomada de decisões e permitem ao aluno julgar o

resultado de sua ação e melhor adequá-lo, sem necessidade de intervenção do

professor.

Na fase de formulação, o aluno pode trocar informações por mensagens

escritas ou orais que devem ser registradas em linguagem natural ou matemática

para explicar as ferramentas que utilizou e a solução encontrada. O objetivo desta

fase é trocar informações e proporcionar condições, para que o aluno construa

uma linguagem compreensível e considere os objetos e as relações matemáticas

envolvidas na situação.

Na fase da validação, o aluno deve mostrar a validade do modelo que

desenvolveu e expor seus conhecimentos com informações mais aprimoradas,

podendo usar uma linguagem mais apropriada.

Na fase da institucionalização, o professor fixa convencional e

explicitamente o conhecimento matemático que foi construído e validado nas

etapas anteriores, tornando-o oficial e parte do patrimônio matemático dos alunos,

que devem torná-lo disponível em utilizações posteriores.

Na TSD, encontramos um embasamento teórico importante para a

concepção e aplicação de nossa sequência de ensino, para elaborar atividades

significativas que privilegiem a participação dos alunos na construção do

conhecimento de função afim. Em nossa pesquisa, a TSD contribuirá para que os

alunos vivenciem as fases da ação, formulação e validação, seguidas de

momentos de institucionalização desenvolvidas pelo professor.

Consideraremos como fases da ação, formulação e validação, os

momentos que os alunos realizarem a leitura das atividades, as discussões com

seu par ou integrantes da equipe, as simulações no Geogebra e as respostas que

as equipes registrarem nas fichas das atividades.

58

A fase da institucionalização ocorrerá quando o professor descontextualizar

as noções matemáticas, em relação ao estudo da função afim, trabalhadas nas

atividades e apresentar suas definições.

Na elaboração e aplicação de nossa sequência de ensino, apoiamo-nos em

alguns elementos da fase da explicitação-institucionalização local de Douady

(1986 apud ALMOULOUD, 2007), na qual o professor promoverá debates, para

que os alunos possam socializar os resultados obtidos, dificuldades e dúvidas em

relação aos conhecimentos produzidos na realização das atividades. Além disso,

na 4ª etapa de nossa sequência de ensino apoiar-nos-emos em elementos da

familiarização de Douady (1986), que serão desenvolvidos com objetivo de

observar se os alunos utilizam as noções que foram institucionalizadas nas

etapas anteriores, como ferramenta para resolver novas situações.

3.3 CONTRATO DIDÁTICO

Ao tratar do ensino e aprendizagem da Matemática, é importante

compreender certas relações entre quem ensina (o professor), quem aprende (o

aluno) e o objeto de estudo (o saber matemático).

Para Silva:

A relação professor-aluno está subordinada a muitas regras e convenções que funcionam como se fossem cláusulas de um contrato. Essas regras, porém, quase nunca são explicitas, mas se revelam principalmente quando se dá a transgressão das mesmas. O conjunto das cláusulas, que estabelecem as bases das relações que professores e alunos mantêm com o saber, constitui o chamado contrato didático (SILVA, 2008, p.49).

Devemos destacar a noção de contrato didático introduzida por Brousseau

para analisar as relações estabelecidas entre o professor e seu grupo de alunos,

e suas influências no ensino e aprendizagem da Matemática.

Brousseau (1986) define contrato didático como:

o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor (...). Esse contrato é o conjunto de regras que determinam, uma pequena parte explicitamente, mas sobre tudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro (BROUSSEAU apud SILVA, 2008, p.50).

59

Para Silva (2008), o contrato didático é específico do saber ou

conhecimento em jogo e pode ser modificado, até mesmo porque os

conhecimentos e os saberes evoluem e transformam-se. Seu funcionamento

depende de distintos contextos de ensino e aprendizagem, pois envolve fatores

determinantes, como as escolhas pedagógicas e didáticas, o tipo de trabalho

proposto aos alunos, os objetivos de formação, entre outros. Seu principal

objetivo é a aquisição dos saberes pelos alunos; quando mal administrado por

qualquer um dos parceiros, alunos ou professor, pode ser fonte de dificuldades

para a aprendizagem de novos conhecimentos matemáticos.

Neste trabalho, o contrato didático existente será modificado quanto ao uso

dos recursos tecnológicos e na resolução de atividades, pois na relação didática

em vigor os alunos resolvem as atividades de forma individual e o recurso

tecnológico (lousa digital ou data show) é utilizado de forma expositiva centrado

no trabalho do professor. Na aplicação de nossa sequência de ensino, os alunos

realizarão as atividades em equipe e cada uma trabalhará com um computador

(laptop) como recurso de simulação.

60

4 A SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Neste capítulo, apresentamos a descrição dos participantes da pesquisa, o

relato da aplicação e das análises a priori e a posteriori da sequência de ensino.

4.1 PARTICIPANTES DA PESQUISA

Participaram da pesquisa 17 alunos, com idades entre 13, 14 e 15 anos, do

9º ano do Ensino Fundamental de uma escola particular situada no município de

Vargem Grande Paulista, na região da Grande São Paulo. Os alunos foram

divididos em sete duplas e um trio. Para preservar seu anonimato, nomes fictícios

foram lhes atribuídos, como: equipe A (Vitor, Tatiana e Marcelo); B (Maria Alice e

José); C (Isadora e Júlio); D (Jenifer e Juliano); E (Luciano e Jair); F (Pablo e

Larissa); G (Maria Laura e Lucio) e H (Lucca e Sandra).

A escolha dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental ocorreu em

concordância com as propostas curriculares atuais que indicam uma introdução

ao estudo da função afim nessa série.

Destacamos que os alunos haviam trabalhado com o software Geogebra

em atividades realizadas no mesmo ano letivo, durante o estudo de

transformações geométricas.

4.2 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO

A sequência de ensino foi aplicada pelo próprio pesquisador, que é

professor da turma e contou com a colaboração de três observadores, um

mestrando no curso de Educação Matemática do programa da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, e os outros professores de Matemática da

rede de ensino público do Estado de São Paulo.

Ressaltamos a grande colaboração da equipe da direção e coordenação,

bem como os professores que disponibilizaram as salas de aula com lousa digital

e remanejaram as turmas, contribuindo com a aplicação da sequência de ensino,

61

cujo desenvolvimento contou com registros escritos e fotografados. As atividades

foram aplicadas no final de abril e início de maio de 2009, entre os dias 23 de abril

e 5 de maio, no total de oito aulas, no horário normal das aulas de Matemática.

O professor iniciou a primeira etapa apresentando os observadores e

formando as sete duplas e o trio que a partir de agora chamaremos de equipes.

Às primeiras etapas dos trabalhos, o professor responsável pela pesquisa que

também lecionava para a turma, solicitou que durante as atividades os alunos

mantivessem atitudes de investigação e persistência. Ressaltou que trocar ideias

só seria permitido entre os próprios membros da equipe. Explicou que as equipes

receberiam fichas com as respectivas atividades, cujas respostas deveriam ser

anotadas nelas, ao término das atividades, haveria uma discussão a respeito das

soluções encontradas. Nesse momento, seria permitida a comunicação entre as

equipes.

Após as discussões, o professor organizaria uma síntese das situações

apresentadas pelos alunos para, em seguida, sistematizar o conhecimento

matemático em questão.

Houve quebra do contrato didático, pois na prática pedagógica em vigor os

alunos realizavam as atividades de forma individual e durante a aplicação da

sequência de ensino trabalharam em equipes. O professor utilizava o recurso

tecnológico de forma expositiva (lousa digital ou data show), e durante a aplicação

da sequência de ensino cada equipe usou um computador (laptop) como recurso

de simulação.

Na etapa inicial, trabalhamos as quatro primeiras atividades, que foram

realizadas em duas aulas de 50 minutos no dia 23 de abril, com objetivo

proporcionar aos alunos condições para a compreensão da representação

algébrica da relação entre duas variáveis de uma função afim. As equipes

receberam fichas com as atividades e utilizaram apenas lápis, caneta e borracha.

Na segunda etapa usamos o software Geogebra, previamente instalado no

computador (laptop) de cada equipe. Desenvolvemos as atividades 5 a 8, em

duas aulas de 50 minutos no dia 27 de abril, com objetivo de proporcionar aos

alunos condições para compreender a representação gráfica de uma função afim.

Em seguida, realizamos as atividades 9 a 12, também, em duas aulas de 50

62

minutos, no dia 29 de abril, com objetivo de proporcionar aos alunos condições

para compreender como determinar os coeficientes e da equação da reta. a b

Na terceira etapa, aplicamos a atividade 13, em uma aula de 50 minutos,

no dia 4 de maio, com uso de um simulador gráfico, construído no software

Geogebra. Focamos o estudo dos coeficientes angular e linear da equação da

reta e suas implicações no movimento de retas, só possíveis com um software de

geometria dinâmica e a articulação de registros de representação algébricos e

gráficos. Destacamos que os movimentos realizados com as retas só ocorrem no

estudo da geometria dinâmica.

Cada equipe utilizou um computador do tipo laptop, caneta, lápis, borracha

e as fichas com as atividades, como ocorreu na etapa anterior.

Para finalizar, aplicamos a quarta etapa, na qual propusemos cinco

situações nas atividades 14 a 18 que foram realizadas individualmente, em uma

aula de 50 minutos, no dia 5 de maio, com uso de lápis, régua, borracha, caneta e

as fichas com as atividades. Nosso objetivo consistiu em observar se os alunos

empregam as noções que foram institucionalizadas nas etapas anteriores como

ferramenta para resolver novas situações, conforme a fase da familiarização

proposta na dialética ferramenta-objeto.

4.3 ANÁLISE DA SEQUÊNCIA

Neste item, apresentamos as atividades4 que compõe nossa seqüência de

ensino para introdução do estudo de função afim com alunos de 9º ano do Ensino

Fundamental, seguidas das análises a priori e a posteriori das atividades,

segundo os pressupostos da Engenharia Didática.

1ª ETAPA

Na primeira etapa, trabalhamos quatro atividades que fazem conexão com

a geometria e medidas e a “máquina programada”, com objetivo de estimular os

alunos a realizar generalizações, preparando-os para o estudo da função afim.

____________ 4 A sequência didática, na integra, encontra-se no apêndice A.

63

Atividade 1

O perímetro de um quadrado é determinado a partir da medida de seu lado. Nessas condições,

responda:

a) Qual é o perímetro de um quadrado medindo 1 cm de lado?

b) Qual é o perímetro de um quadrado medindo 2 cm de lado?

c) Qual é o perímetro de um quadrado medindo 3,5 cm de lado?

d) Qual é o perímetro de um quadrado medindo 5,5 cm de lado?

e) Qual é a medida de cada lado de um quadrado que tem 24 cm de perímetro?

f) Escreva uma sentença matemática que represente o perímetro de qualquer quadrado.

Justifique.

ANÁLISE A PRIORI

Nesta atividade, no registro de representação algébrica, buscamos

generalizar a relação entre as variáveis, perímetro e medida do lado do quadrado.

Esperávamos que os alunos respondessem aos itens “a”, “b”, “c” e “d”,

calculando o perímetro do quadrado, multiplicando a medida do lado do quadrado

por quatro, ou seja, , 441 =× 842 =× , 1445,3 =× e 2245,5 =× , respectivamente,

determinando desta forma, os resultados no registro de representação numérica.

A solução dos itens “a”, “b”, “c” e “d” podia ser representada pelo esquema

da Figura 16, conforme Vergnaud (1991) propõe por meio da noção de

transformação. Para tanto, a medida do lado do quadrado é tomada como estado

inicial e aplica-se o operador, multiplicar por , para determinar o perímetro, que

pode ser considerado o estado final.

4

Figura 16. Representação da solução dos itens “a”, “b”, “c” e “d” da atividade 1.

64

Para responder às questões, poderia ocorrer que os alunos

representassem um quadrado sem o uso de régua, apenas na forma de esboço,

com lado de 1 cm para o item “a”, com lado cm para o item “b”, cm de lado

para o item “c” e um quadrado de lado cm para o item “d”, fazendo uso do

registro de representação figural, conforme indicamos no esquema da Figura 17

para, em seguida, calcular o perímetro de cada um desses quadrados,

adicionando as parcelas mediante registro de representação numérica.

2 5,3

5,5

a) b)

c) d)

Figura 17. Representação da solução dos itens “a”, “b”, “c” e “d”, da atividade 1, pelo registro de representação figural.

Para o item “e”, os alunos deveriam efetuar a divisão da medida do

perímetro do quadrado por , ou seja, 4 6424 =÷ , determinando que o lado do

quadrado mede cm, por meio do registro de representação numérica. 6

O raciocínio pode ser representado pelo esquema da Figura 18, em que

dado o estado final (perímetro do quadrado) e o operador (multiplicar por ), é

solicitado o estado inicial. Os alunos deveriam aplicar o operador inverso, dividir

por quatro, para determinar a medida do lado do quadrado.

4

65

Figura 18. Representação da solução do item “e” da atividade 1.

Para o item “f”, os alunos deveriam generalizar esta situação no registro de

representação algébrica por em que lp 4= p indica o perímetro e l a medida do

lado do quadrado. Ressaltamos que talvez, os alunos representassem esta

relação, usando outras letras para indicar o perímetro e o lado do quadrado.

ANÁLISE A POSTERIORI

Durante a resolução desta atividade, houve grande envolvimento dos

alunos. Primeiro, procuraram ler e discutir as questões com seu parceiro ou

integrantes da equipe para, em seguida, registrar na ficha da atividade suas

decisões, mobilizando seus conhecimentos para responder ao solicitado.

Ao analisar os resultados da atividade 1, percebemos que as equipes D e

H responderam aos itens “a”, “b”, “c”, “d” e “e”, usando o cálculo mental e

apresentando corretamente os resultados. Visto que o observador da equipe D

anotou o seguinte comentário da equipe em relação a esses itens: “... é fácil, pra

determinar o perímetro é só multiplicar o lado por quatro, e pra determinar o lado

é só dividir o perímetro por quatro. Vamos direto para as respostas”.

Assim, pudemos perceber que a equipe D respondeu aos itens “a”, “b”, “c”

e “d”, calculando o perímetro do quadrado multiplicando a medida do lado do

quadrado por quatro, ou seja, 441 =× , 842 =× , 1445,3 =× e 2245,5 =× , tomando

como estado inicial a medida do lado do quadrado e aplicando o operador,

multiplicar por , para determinar o perímetro, que pode ser considerado o estado

final.

4

66

As equipes A e E calcularam corretamente os itens “a”, “b”, “c” e “d” e

indicaram suas estratégias conforme destacamos a resolução da equipe A, no

Protocolo 1.

Protocolo 1. Respostas da atividade 1, itens “a”, “b”, “c” e “d” (Equipe A)

As equipes A e E utilizaram o registro de representação numérica, mas

diferente do que previmos em nossa análise a priori, trocando a ordem entre o

operador e o estado inicial. Esta equipe (A) foi a única que não apresentou a

unidade de medida em suas respostas.

No Protocolo 2, apresentamos a resolução da equipe C.

Protocolo 2. Respostas da atividade 1, itens “a”, “b”, “c” e “d” (Equipe C)

67

A equipe C respondeu aos itens “a”, “b”, “c” e “d”, apoiando-se no registro

de representação figural, esboçando quadrados para, em seguida, realizar uma

conversão para o registro de representação numérica e calcular o perímetro de

cada um desses quadrados. Para o item “a”, indicou 414 =× , trocando a ordem

entre o operador e o estado inicial, em seguida, realizou um tratamento indicando

por . No item “b”, manteve a ordem entre o operador e o estado inicial

indicando por

41111 =+++

842 =× . Em seguida, realizou um tratamento indicando por

. Nos itens “c” e “d”, novamente, inverteu a ordem entre o operador

e o estado inicial indicando

82222 =+++

145,34 =× e 225,54 =× , respectivamente. Em seguida,

realizou um tratamento indicando por 145,35,35,35,3 =+++ e 225,55,55,55,5 =+++ .

No Protocolo 3, apresentamos a resolução da equipe B.

Protocolo 3. Respostas da atividade 1, itens “a”, “b”, “c” e “d” (Equipe B)

A equipe B, respondeu aos itens “a”, “b”, “c” e “d”, apoiando-se no registro

de representação figural; porém esboçou retângulos. Em seguida, no processo de

conversão de registros, calculou o perímetro de cada um desses quadrados no

registro de representação numérica; e, para o item “a”, adicionou as parcelas

referentes as medidas dos lados e nos itens “b”, “c” e “d” indicou ,

e , trocando a ordem entre o operador e o estado inicial,

respectivamente, para determinar 8 cm, 14 cm e cm.

824 =×

145,34 =× 225,54 =×

22

68

A equipe G respondeu ao item “a” no registro de representação numérica

tomando a medida do lado do quadrado como estado inicial e aplicou o operador,

multiplicar por , para determinar o perímetro, considerado o estado final. Mas

respondeu aos itens “b”, “c” e “d” trocando a ordem entre o operador e o estado

inicial.

4

A equipe F respondeu aos itens “a”, “b”, “c” e “d” no registro de

representação da língua natural, conforme apresentamos no Protocolo 4.

Protocolo 4. Resposta da atividade 1, itens “a”, “b”, “c” e “d” (Equipe F)

Na justificativa dada pela equipe F, percebemos que nos itens “a”, “c” e “d”

utilizou a noção de transformação, tomando a medida do lado do quadrado como

estado inicial e aplicou o operador, multiplicando por , para determinar o

perímetro, considerado o estado final; porém, no item “b” inverteu a ordem entre o

operador e o estado inicial.

4

As equipes A, B, C, E e G responderam corretamente ao item “e”,

utilizando o registro de representação numérica, mas de diferentes modos. Para

melhor ilustrar, destacamos o Protocolo 5 da equipe G.

Protocolo 5. Resposta da atividade 1, item “e” (Equipe G)

69

A equipe G indicou a divisão da medida do perímetro do quadrado por ,

pela sentença matemática

4

6424 =÷ , utilizando o registro de representação

numérica para determinar que o lado do quadrado mede cm. Fato que

percebemos também nos protocolos das equipes B e A.

6

Em nossa análise a priori, não previmos as resoluções que as equipes E e

C apresentaram para o item “e”, pois utilizaram o registro de representação

numérica dos números fracionários, indicando a divisão da medida do perímetro

por , mediante a fração 44

24 , realizando a divisão do numerador pelo

denominador convertendo para o registro de representação numérica dos inteiros,

concluindo que o quadrado tem cm de medida de lado. 6

A equipe F respondeu ao item “e” no registro de representação da língua

natural, conforme apresentamos no Protocolo 6.

Protocolo 6. Resposta da atividade 1, item “e” (Equipe F)

A equipe F justificou sua resposta ao item “e”, apoiando-se na noção de

transformação, em que dado o estado final (perímetro do quadrado) e o operador

(multiplicar por ), determina-se o estado inicial, aplicando o operador inverso,

dividindo por quatro, para determinar a medida do lado do quadrado. A equipe

indicou a divisão no registro de representação numérico dos números

fracionários.

4

424 ÷

No item “f”, todas generalizaram esta situação no registro de representação

algébrica, e a equipe B indicou por , a equipe A indicou por , conforme

destacamos no Protocolo 7.

l4 pl =4

Protocolo 7. Resposta da atividade 1, item “e” (Equipe A)

70

A equipe A primeiro utilizou o registro de representação algébrica para, em

seguida, converter para o registro de representação da língua natural, justificando

o solicitado.

As equipes C, D, E, F, G e H indicaram por lp 4= , com p representando o

perímetro e a medida do lado do quadrado. No Protocolo 8, destacamos a

resposta da equipe D.

l

Protocolo 8. Resposta da atividade 1, item “f” (Equipe D)

No registro de representação algébrica, a equipe D generalizou a relação

entre as variáveis perímetro e medida do lado do quadrado indicando por lp 4= e

realizou um tratamento indicando por llllp +++= . Em seguida, fez a conversão

do registro de representação algébrica para o registro de representação da língua

natural.

As equipes responderam rapidamente às questões da atividade 1, após

sua conclusão, o professor entregou a atividade 2.

Atividade 2

João construiu uma máquina interessante. Ela está programada para multiplicar por menos dois o

número de entrada. Por exemplo, se entrar o número 2, sairá o número -4. Se entrar o número -2,

sairá o número 4.

Agora, responda:

a) Se entrar o número 3, qual é o número que sairá?

b) Se entrar o número 0 (zero), qual é o número que sairá?

c) Se entrar o número -4, qual é o número que sairá?

d) Sabendo que o número de saída é 20, determine o número de entrada.

e) Escreva uma sentença matemática que represente a saída da máquina para qualquer número de entrada. Justifique.

71

ANÁLISE A PRIORI

Nesta atividade, buscamos generalizar no registro de representação

algébrica, a relação entre as variáveis, número de entrada e número de saída.

Para atender ao solicitado nos itens “a”, “b” e “c”, esperávamos que os

alunos efetuassem a multiplicação do número de entrada por , ou seja,

,

2−

6)2(3 −=−× 0)2(0 =−× e 8)2(4 =−×− , para determinar 6− , (zero) e ,

respectivamente, como números de saída da máquina no registro de

representação numérica.

0 8

O procedimento pode ser representado pelo esquema da Figura 19,

conforme Vergnaud (1991), em que tomando o número de entrada na máquina

como estado inicial; em seguida, aplica-se o operador multiplicar por , para

determinar o número de saída da máquina que pode ser considerado o estado

final.

2−

Figura 19. Representação da solução dos itens “a”, “b” e “c” da atividade 2.

Para responder ao item “d”, os alunos poderiam efetuar a divisão do

número de saída por , ou seja, 2− 10)2(20 −=−÷ , determinando que o número de

entrada na máquina foi , no registro de representação numérica. 10−

O raciocínio pode ser representado pelo esquema da Figura 20, conforme

Vergnaud (1991) que dispondo do estado final (número de saída da máquina) e

do operador (multiplicar por ), os alunos podem aplicar o operador inverso para

determinar o número de entrada.

2−

72

Figura 20. Representação da solução do item “d” da atividade 2.

Em seguida, esperávamos que eles generalizassem no registro de

representação algébrica a relação solicitada no item “e” por , em que

indica o número de saída e indica o de entrada na máquina. Vale lembrar que,

talvez, os alunos representem esta relação usando outras letras.

es 2−= s

e


As equipes demonstraram envolvimento na resolução desta atividade,

lendo e discutindo as questões com seu parceiro ou integrantes da equipe. Em

seguida, registraram na ficha suas decisões para responder ao solicitado.

As equipes B, E e H responderam aos itens “a”, “b” e “c” desta atividade,

usando o cálculo mental e apresentando os resultados corretos. Ao serem

questionadas pelo professor, justificaram verbalmente que esses itens eram

fáceis e bastava multiplicar o número de entrada por 2− , para determinar os

números de saída da máquina.

O raciocínio das equipes B, E e H equivaleu ao procedimento que previmos

em nossa análise a priori, tomando o número de entrada na máquina como

estado inicial. Em seguida, aplica-se o operador multiplicar por , para

determinar o número de saída da máquina que pode ser considerado o estado

final. Mas não previmos que as equipes poderiam responder utilizando cálculo

mental.

2−

As equipes D, C, G e A responderam aos itens “a”, “b” e “c”, conforme

previmos na análise a priori, efetuando a multiplicação do número de entrada por

73

2− , determinando , (zero) e 8 , respectivamente, como números de saída da

máquina, mediante registro de representação numérica, indicando as sentenças

numéricas por ,

6− 0

6)2(3 −=−× 0)2(0 =−× e 8)2(4 =−×− .

A equipe F respondeu corretamente ao solicitado nos itens “a”, “b” e “c”,

para tanto, utilizou o registro de representação da língua natural, mas diferente do

que previmos na análise a priori, trocando a ordem entre o operador e o estado

inicial.

Todas equipes responderam corretamente ao item “d”. Ao analisar as

respostas, notamos que as equipes B, E e H que calcularam mentalmente os

itens anteriores, procederam da mesma forma com este item.

As equipes G, C e A responderam ao item “d”, usando o registro de

representação numérica dos números fracionários, indicando a fração 2

20−

para,

em seguida, dividir o numerador pelo denominador convertendo para o registro de

representação numérica dos números inteiros, determinando que o número de

entrada na máquina foi . Apesar de suas representações não terem sido

previstas na análise a priori, percebemos que o raciocínio consistiu em dividir o

número de saída por , determinando que o número de entrada na máquina foi

.

10−

2−

10−

No Protocolo 9, destacamos a resolução do item “d” da equipe C.

Protocolo 9. Resposta da atividade 2, item “d” (Equipe C)

Notamos que a equipe C procurou validar seu procedimento.

A equipe F respondeu ao item “d” e usou o registro de representação da

língua natural, determinando corretamente o número de entrada.

No Protocolo 10, destacamos a resposta da equipe D.

74

Protocolo 10. Resposta da atividade 2, item “d” (Equipe D)

A equipe D utilizou o registro de representação algébrica, indicando a

situação por uma equação e resolvendo-a, determinou corretamente o número de

entrada, mas não apresentou uma resposta para este item nem usou

adequadamente o sinal de igualdade.

No item “f”, as equipes generalizaram no registro de representação

algébrica, mas utilizaram diferentes letras para indicar os números de entrada e

saída da máquina. A equipe A indicou por es =− 2 , em que representa o número

de saída, e o número de entrada. A equipe B indicou o número de saída por

; a equipe C, o número de saída por

s

e

n2− sx =− 2 .

A equipe D não acertou o item “e”, conforme apresentamos no Protocolo 11.

Protocolo 11. Resposta da atividade 2, item “e” (Equipe D)

A equipe D indicou a relação entre as variáveis número de entrada e de

saída por )2(−⋅= xE , em que E representa o número de entrada.

75

A equipe E representou por nx 2−= ; a equipe F indicou por , em

que

yx =⋅− 2

x representa o número de entrada e o número de saída; a equipe G

indicou por e, a equipe H por

y

)(2 xn −= ns 2−= .

As equipes rapidamente responderam às questões da atividade 2, após a

conclusão, o professor entregou a atividade 3.

Atividade 3

A locadora de veículos Aluga Fácil, oferece as seguintes condições para aluguel de carros: uma

taxa fixa de R$ 90,00, mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Nessas condições responda:

a) Qual é o preço a ser pago por uma pessoa que alugue um carro e percorra 100 km?

b) E para 200 km?

c) Uma pessoa que pagou R$ 540,00 percorreu quantos quilômetros?

d) Escreva uma sentença matemática que represente o valor a ser pago a partir da quantidade de

quilômetros rodados. Justifique.

ANÁLISE A PRIORI


algébrica a relação entre as variáveis, preço a pagar e quilometragem percorrida.

Para tanto, esperávamos que os alunos respondessem aos itens “a” e “b”

no registro de representação numérica; primeiro, realizando a multiplicação da

quantidade de quilômetros rodados por e, em seguida, efetuando a soma ao

valor fixo , equivalente matematicamente às sentenças e

, obtendo os resultados 240 e 390 , respectivamente.

50,1

90 )50,1100(90 ×+

)50,1200(90 ×+


conforme Vergnaud (1991), em que a quantidade de quilômetros rodados é

tomada como estado inicial, aplica-se o operador, multiplicar por , para obter

um estado intermediário, em que se aplica um novo operador, somar , para

obter o custo do aluguel que pode ser considerado o estado final.

50,1

90

76

Figura 21. Representação da solução dos itens “a” e “b” da atividade 3.

Para responder ao item “c”, esperávamos que os alunos aplicassem o

operador inverso dos itens anteriores, como pode ser observado no esquema da

Figura 22, conforme Vergnaud (1991), em que subtraindo o valor fixo do total

pago e efetuando a divisão desta diferença por , equivalente

matematicamente à sentença

50,1

30050,1)90540( =÷− , determinando que foram

percorridos 300 km durante a locação.

Figura 22. Representação da solução do item “c” da atividade 3.

Após as respostas aos itens anteriores, esperávamos que no item “d” os

alunos generalizassem esta relação no registro de representação algébrica por

, em que indica o custo e a distância percorrida. Lembramos

que, talvez, os alunos representassem esta relação usando outras letras.

dc 50,190 += c d


As equipes mantiveram-se envolvidas com a atividade, na qual primeiro

leram e discutiram as questões com seu parceiro ou integrantes da equipe para,

77

em seguida, registrar na ficha suas decisões, mobilizando seus conhecimentos

para responder ao solicitado.

Só a equipe E respondeu aos itens “a”, “b” e “c”, usando o cálculo mental e

apresentando as respostas R$ , R$ e km, respectivamente.

Outras equipes que vinham resolvendo as atividades desta maneira, passaram a

registrar seus procedimentos.

00,240 00,390 300

A equipe A respondeu aos itens “a” e “b”, utilizando o registro de

representação numérica descrevendo as sentenças 2409015090)10050,1( =+=+× e

, respectivamente, primeiro multiplicaram a

quantidade de quilômetros rodados por e, em seguida, somaram ao valor fixo

.

3909030090)20050,1( =+=+×

50,1

90

A equipe D respondeu aos itens “a” e “b”, usando o registro de

representação numérica, indicando e resolvendo as expressões numéricas

e 10050,190 ×+ 20050,190 ×+ para, em seguida, responder R$ e R$ ,

respectivamente, primeiro efetuou a multiplicação para, em seguida, realizar a

adição, ou seja, multiplicaram a quantidade de quilômetros rodados por e, em

seguida, somaram ao valor fixo .

240 390

50,1

90

A equipe C respondeu aos itens “a” e “b” no registro de representação

numérica, indicando as sentenças 15010050,1 =× e ,

respectivamente, referente à multiplicação da quantidade de quilômetros rodados

por . Em seguida, somaram os resultados ao valor fixo 90 , indicando o

procedimento pelo “algoritmo usual” da adição.

30020050,1 =×

50,1

A equipe H respondeu aos itens “a” e “b” no registro de representação

numérica, efetuando as multiplicações 10050,1 × e 20050,1 × (da quantidade de

quilômetros rodados por ) pelo “algoritmo usual”. Em seguida, indicou as

sentenças e

50,1

00,24000,9000,150 =+ 00,39000,9000,300 =+ , (acrescentando o valor

fixo ) indicando o valor a pagar. 90

No Protocolo 12, destacamos a resolução da equipe F.

78

Protocolo 12. Resposta da atividade 3, itens “a” e “b” (Equipe F).

Na resolução do item “a”, a equipe F utilizou o registro de representação

numérica, multiplicando a quantidade de quilômetros rodados por pelo

”algoritmo usual” da multiplicação e, em seguida, somou o valor fixo pelo

“algoritmo usual” da adição. A equipe justificou seu procedimento no registro de

representação da língua natural. Para responder ao item “b”, usou o registro de

representação da língua natural, justificando por meio da proporcionalidade direta,

considerando em relação ao determinado no item “a”, que, para 100 km, têm-se

reais de custo, para 200km, reais de custo. Em seguida, acrescentou o

valor fixo de 90 reais, respondendo corretamente ao solicitado.

50,1

90

150 300

Apresentamos no Protocolo 13 a resolução da equipe B.

Protocolo 13. Resposta da atividade 3, itens “a” e “b” (Equipe B).

79

Na resolução do item “a”, a equipe B usou o registro de representação

numérica, multiplicou a quantidade de quilômetros rodados por pelo

”algoritmo usual” da multiplicação e, em seguida, somou o valor fixo pelo

“algoritmo usual” da adição. Vale destacar que a equipe utilizou de forma

equivocada o sinal de igualdade. Para responder ao item “b”, aplicou a

proporcionalidade direta, tomando como base que 100 km apresentam um custo

de reais para, em seguida, subtrair a taxa fixa.

50,1

90

240

No Protocolo 14, apresentamos a resolução da equipe G.

Protocolo 14. Respostas da atividade 3, itens “a” e “b” (Equipe G).

A equipe G resolveu aos itens “a” e “b”, apoiando-se primeiro no registro de

representação algébrica, descrevendo a situação dada por uma expressão

algébrica. Em seguida, substituiu o valor numérico da quilometragem percorrida

na variável, fez uma conversão para o registro de representação numérica e

obteve uma expressão numérica. Multiplicou a quantidade de quilômetros rodados

por e somou o valor fixo , obtendo e , respectivamente, assim

determinou o custo a pagar.

50,1 90 240 390

As equipes F, C e H responderam ao item “c”, utilizando o registro de

representação numérica, aplicou o operador inverso dos itens anteriores, subtraiu

o valor fixo do total pago, indicou o cálculo pelo “algoritmo usual” da subtração.

Em seguida, fizeram a divisão da diferença por indicando pelo método da

chave, assim, determinaram que foram percorridos 300 km, conforme

destacamos no Protocolo 15 a resolução da equipe F.

50,1

80

Protocolo 15. Resposta da atividade 3, itens “c” (Equipe F)

Para responder ao item “c”, as equipes A, B, D e G usaram o registro de

representação numérica. Subtraíram o valor fixo do total pago, indicaram pela

sentença 45090540 =− e, em seguida, dividiram a diferença por pelo “método

da chave”, determinando que foram percorridos km durante a locação.

50,1

300

Ao analisar o item “d”, percebemos que todas as equipes generalizaram no

registro de representação algébrica a relação entre as variáveis, preço a pagar e

quilometragem percorrida. As respostas foram diversificadas, e a equipe A indicou

por , em que, representa o valor a ser pago e k a quantidade de

quilômetros, semelhante a sentença da equipe B dada por 1 indicando

para km rodados, como taxa e o valor a ser pago ou total.

vk =+ 905,1 v

tk =+ 905, k

90 t

A equipe C indicou por Rx =+ 9050,1 , em que x representa a

quilometragem percorrida e R o preço a pagar. A equipe D indicou por

, em que k representa a quilometragem percorrida e 90)50,1( += kP P o preço a

pagar. A equipe E indicou por 9050,1 +x . A equipe F indicou por yx =+⋅ 90)50,1( ,

considerando x o número de km rodados e o valor final a ser pago e a equipe

H indicou esta relação pela sentença

y

90)50,1( +⋅x .

No Protocolo 16, destacamos a resposta apresentada pela equipe G.

81

Protocolo 16. Resposta da atividade 3, item “d” (equipe G)

Primeiro a equipe G respondeu ao item “d” no registro de representação

algébrica, para, em seguida, em um processo de conversão de registros, justificar

a sentença indicada usando o registro de representação da língua natural.

Conforme terminavam as respostas das questões da atividade 3, o

professor distribuía a atividade 4.

Atividade 4

Na casa de uma família, gasta-se sempre cerca de kg de gás de cozinha por dia. Sabendo 5,0

que um botijão de gás para uso doméstico tem 13 kg, responda:

a) Qual é a massa que resta no botijão, após um dia de uso?

b) Qual é a massa que resta no botijão, após uma semana de uso?

c) Qual é a massa que resta no botijão, após dez dias de uso?

d) Qual é a massa que resta no botijão, após um mês de uso?

e) Quantos dias são necessários para consumir a metade do gás?

f) Escreva uma sentença matemática que represente a quantidade de gás restante no botijão,

após cada dia de uso. Justifique.

ANÁLISE A PRIORI


algébrica, a relação entre as variáveis, massa de gás restante no botijão e a

quantidade de dias em uso.

82

Esperávamos que os alunos respondessem aos itens “a”, “b”, “c”, “d” e “e”

no registro de representação numérica; e aos itens “a”, “b”, “c” e “d”

multiplicassem a quantidade de dias por kg para, em seguida, fazer a

subtração de 13kg, equivalente matematicamente às sentenças,

5,0

5,12)15,0(13 =×− ,

, e 5,9)75,0(13 =×− 8)105,0(13 =×− 2)305,0(13 −=×− , determinando os resultados

kg, kg, kg e kg. Para o item “d”, destacamos que poderá ocorrer que

os alunos apresentem outras respostas por se tratar de uma questão aberta.

5,12 5,9 8 0


conforme Vergnaud (1991) dividido em duas etapas: na primeira etapa, a

quantidade de dias é tomada como estado inicial; em seguida, aplica-se o

operador, multiplicar por para obter o consumo que pode ser considerado o

estado final. Na segunda etapa, temos 13 como estado inicial e aplicando-se uma

subtração pelo consumo, obtemos a massa de gás restante no botijão que pode

ser considerado o estado final.

5,0

Figura 23. Representação da solução dos itens “a”, “b”, “c” e “d” da atividade 4.

Para responder ao item “e”, esperávamos que os alunos aplicassem o

operador inverso dos itens anteriores, equivalente matematicamente à sentença

numérica, , determinando, que eram necessários 13 dias de

consumo, como indicamos no esquema da Figura 24, conforme Vergnaud (1991),

em que tomamos 13 como estado inicial, multiplicamos por , obtendo um

estado intermediário para, em seguida, dividir por e determinar o estado final.

135,0)5,013( =÷×

5,0

5,0

83

Figura 24. Representação da solução do item “e” da atividade 4.

Esperávamos que, após responder aos itens anteriores, os alunos, no item

“f”, generalizassem esta relação no registro de representação algébrico por

, em que m indica a massa e d indica a quantidade de dias.

Lembrando que os alunos, talvez, representem esta relação utilizando outras

letras.

dm 5,013−=


As equipes mantiveram-se envolvidas na atividade proposta; primeiro, os

alunos liam e discutiam as questões com seu parceiro ou integrantes da equipe

para, em seguida, fazer o registro das decisões na ficha, mobilizando seus

conhecimentos para responder ao solicitado.

A equipe E respondeu aos itens “a”, “b” e “c”, usando o cálculo mental e as

respostas foram corretas. Na aplicação desta atividade, o professor perguntou à

equipe E:

Por que estão registrando apenas as respostas? (Professor)

Está fácil! (Jair)

Então, me explica como chegaram à conclusão do item “a”. (Professor)

Fazendo 13 quilos menos meio quilo. (Jair)

Dirigindo-se a outro integrante da dupla, o professor pergunta:

Como chegaram à conclusão do item “b”? (Professor)

Meio quilo por dia em uma semana dá três quilos e meio. 13 menos três e

meio dá nove quilos e meio. (Luciano)

84

Dirigindo à dupla, o professor pergunta:

Como chegaram à conclusão do item “c”? (Professor)

Um aluno da equipe respondeu:

É a mesma coisa. Só multiplicar meio quilo por dez, que dá cinco quilos

usados. Depois, faz 13 menos cinco, que é oito. Sobram oito quilos de gás no

botijão. (Jair)

Pelo exposto, percebemos que a equipe E calculou da forma que

representamos em nossa análise a priori e indicamos baseados em Vergnaud

(1991), porém dividiu-a em duas etapas: na primeira, a quantidade de dias é

tomada como estado inicial; em seguida, aplica-se o operador, multiplicar por

para obter o consumo no período que pode ser considerado o estado final. Na

segunda etapa, temos 13 como estado inicial e aplicando-se uma subtração pelo

consumo, obtemos a massa de gás restante no botijão que pode ser considerado

o estado final.

5,0

As equipes A, D e G responderam ao item “a” no registro de representação

numérica, indicando por 5,125,013 =− a subtração da massa de gás do botijão pela

quantidade referente a um dia de uso. As equipes C, F e H, também,

responderam no registro de representação numérica, porém indicaram a

subtração da quantidade da massa de gás do botijão pela quantidade referente a

um dia de uso pelo “algoritmo usual” da subtração.

A equipe A respondeu ao item “b” no registro de representação numérica,

primeiro indicando pela sentença 5,35,07 =× para determinar o consumo de gás

em uma semana. Em seguida, indicou por 5,95,313 =− a forma que calculou a

massa de gás que restava no botijão. As equipes G, H, C e F, também,

responderam a este item no registro de representação numérica; primeiro,

determinaram o consumo de gás em uma semana, realizando a multiplicação

pelo “algoritmo usual” para, em seguida, determinar a massa de gás que

restava no botijão, utilizando o “algoritmo usual” para subtrair , concluindo

que restavam kg de gás no botijão.

5,07×

5,313−

5,9

85

A equipe D respondeu aos itens “b” e “c” no registro de representação

numérica, indicou e resolveu as expressões numéricas 7)5,0(13 ×− e ,

respondeu que restavam kg de gás no botijão.e kg de gás no botijão.

10)5,0(13 ×−

5,9 8

A equipe A respondeu ao item “c” no registro de representação numérica;

primeiro indicando pela sentença 55,010 =× para determinar o consumo de gás

em uma semana. Em seguida, indicou por 8513 =− a forma que calculou a massa

de gás que restava no botijão. As equipes G, H, C e F também responderam a

este item no registro de representação numérica; mas, primeiro, determinaram o

consumo de gás em uma semana, multiplicando 5,010× pelo “algoritmo usual”.

Em seguida, calcularam a massa de gás que restava no botijão, utilizando o

“algoritmo usual” para subtrair 513− e concluíram que restavam kg de gás no

botijão.

8

O Protocolo 17 da equipe B foi destacado.

Protocolo 17. Resposta da atividade 4 itens “a”, “b” e “c” (equipe B)

Ao analisar as respostas da equipe B aos itens “a”, “b” e “c”, percebemos

que usou o registro de representação numérica, porém diferente das outras

equipes, pois, indicou a unidade da medida de massa.

Ao analisar o item “d”, notamos que as equipes E e F responderam usando

o registro de representação da língua natural, na resolução dos itens anteriores

perceberam que um botijão de gás não era suficiente para um mês nas condições

dadas no problema.

O Protocolo 18 da equipe G foi destacado.

86

Protocolo 18. Resposta da atividade 4 item “d” (equipe G)

A equipe G apoiou-se no registro de representação numérica; em seguida,

sentiu necessidade de converter para o registro de representação da língua

natural e concluiu que um botijão de gás era suficiente para dias. 26

As equipes A, C, e H responderam ao item “d”, utilizando o registro de

representação numérica. A equipe A utilizou as expressões e

para realizar seus cálculos; as equipes H e C fizeram esses mesmos

cálculos, usando os “algoritmos usuais” da multiplicação e subtração.

155,030 =×

21513 −=−

A equipe D indicou e resolveu a expressão 30)5,0(13 ×− , no registro de

representação numérico, obtendo 2− . Em seguida, sentiu necessidade de fazer

uma conversão ao registro de representação da língua natural e concluiu ser

necessário outro botijão.

No Protocolo 19, a resposta da equipe B ao item “d” foi destacada.

Protocolo 19. Resposta da atividade 4, item “d” (Equipe B).

A equipe B respondeu ao item “d”, usando o registro de representação

numérica e diferente das outras equipes indicou a unidade de massa. Para

concluir, usou o registro de representação da língua natural.

Ao analisar o item “e”, percebemos que as equipes A, B, C e H

responderam corretamente ao solicitado, usou o registro de representação

87

numérica, e a equipe A indicou a sentença 5,6213 =÷ para determinar a metade da

massa de gás do botijão. Em seguida, indicou pela sentença para

concluir que são necessários 13 dias. As equipes B, C e H realizaram esses

mesmos cálculos, porém realizaram as divisões usando o “método da chave”.

135,05,6 =÷

A equipe D errou este item.

Ao analisar o item “f”, percebemos que todas as equipes generalizaram no

registro de representação algébrica a relação entre as variáveis, massa de gás

restante no botijão e a quantidade de dias em uso. As respostas foram

diversificadas, e a equipe A indicou por d5,013 − ; a equipe B indicou por

; a equipe C indicou por pg =− 5,013 dm 5,013 −= ; a equipe D indicou por

; a equipe E indicou por px =− 5,013 D5,013 − ; a equipe F indicou por

; a equipe F indicou por yx =⋅− )5,0(13 Gd =− 5,013 . A equipe H não acertou este

item indicando por . 13)5,0( −⋅x

A resposta do Protocolo 20 foi destacada.

Protocolo 20. Resposta da atividade 4, item “f” (Equipe F).

Notamos que a equipe F apoiou-se no registro de representação da língua

natural e, em seguida, converteu-o ao registro de representação da algébrica.

Após a resolução das quatro atividades dessa etapa, o professor mediou

um debate, no qual as equipes explicitaram verbalmente suas resoluções,

procurando justificar seus procedimentos e, até mesmo, contestar as soluções

das outras equipes.

Durante o debate, a equipe D percebeu que a resposta do item “e” da

atividade 2 estava errado (indicaram por )2(−⋅= xE , em que E representa o

88

número de entrada) e expôs às outras equipes que o correto seria , em

que o número de entrada

xE =−⋅ )2(

E é multiplicado por 2− , para determinar o número de

saída x da máquina. O mesmo ocorreu com a equipe H que havia generalizado o

item “f” da atividade 4 por 13)5,0( −⋅x , passando a expor que o correto seria

, em x indica a quantidade de dias. )5,0(13 x⋅−

O professor organizou na lousa uma síntese das produções e discussões

que surgiram durante o debate, indicou as generalizações de cada uma das

atividades da 1ª etapa no registro de representação algébrica, ilustrando com o

slide da Figura 25.

Atividade 1: p=4l para determinar o perímetro de um quadrado, a partir da medida de seu lado.

Atividade 2: s=-2e para representar o número de saída da máquina, a partir do número de entrada.

Atividade 3: c=90+1,5d para representar o custo do aluguel de um veiculo, a partir da quantidade de quilômetros percorrido.

Atividade 4: m=13-0,5d para representar a massa de gás restante no botijão, a partir da quantidade de dias de uso.

Figura 25. slide com as representações algébricas das atividades 1, 2, 3 e 4.

Em seguida em um processo de descontextualização o professor definiu a

representação algébrica de uma função afim. Para melhor ilustrar, utilizou o slide

da Figura 26.

FUNÇÃO AFIM

f(x)=ax+b

Uma função f:IR→IR chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que ,

para todo x € IR .

Figura 26. slide com a definição da função afim.

89

O professor descreveu cada uma das generalizações obtidas por meio do

registro de representação algébrica de uma função afim para associar a definição

dada às atividades realizadas. Para ilustrar, utilizou o slide da Figura 27.

f(x)=ax+b

p(l)=4l ou f(x)=4x

s(e)=-2e ou f(x)=-2x

c(q)=90+1,5q ou f(x)=1,5x+90

m(d)=13-0,5d ou f(x)=0,5x-13

Figura 27. Slide com os registros de representações algébricas das atividades 1, 2, 3 e 4, por meio da função afim.

O professor concluiu a 1ª etapa, entregando para cada uma das equipes

uma ficha com os slides utilizados durante o processo de institucionalização.

Os alunos não sentiram dificuldades para generalizar a relação de

dependência entre as duas variáveis que podem ser modeladas por uma função

afim, e o conhecimento apresentado permitiu avançar no estudo da representação

algébrica da função afim.

Dando continuidade, apresentamos a 2ª etapa da nossa seqüência de

ensino.

2ª ETAPA

Utilizaremos o software Geogebra na realização das atividades 5, 6, 7 e 8

com objetivo de proporcionar aos alunos condições para compreender a

representação gráfica de uma função afim.

Atividade 5

Vimos que pode representar o perímetro de qualquer quadrado em função da medida llp 4)( =

de seu lado, ou seja, para um quadrado com medida do lado de 1 cm, temos que , 414)1( =×=p

perímetro cm. Em que pode representar um par ordenado que, por sua vez, pode ser 4 )4,1(

representado em um plano cartesiano por um ponto.

a) No Geogebra, marque dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função . llp 4)( =

90

Registre as coordenadas desses pontos: A( , ) e B( , ).

b) Trace uma reta por esses dois pontos e mostre sua equação. Qual a relação dessa equação com a função?

c) Considerando a função que determina o perímetro, o que os valores do eixo x representam? E os valores do eixo y?

d) Marque um ponto C sobre essa reta. Movimente este ponto sobre a reta e registre o que você observa em relação aos valores das coordenadas desse ponto.

Salve este arquivo como atv1.

ANÁLISE A PRIORI

As equipes deveriam seguir o roteiro5 com orientação para o

desenvolvimento desta atividade que seria realizada no Geogebra.

No item “a”, acreditávamos que os alunos não encontrariam dificuldades

para obter dois pares ordenados dados por , indicá-los no plano cartesiano

por pontos, utilizando o registro de representação gráfica e finalizar registrando as

coordenadas desses pontos na ficha de atividade.

)4,( ll

Para o item “b”, as equipes construiriam uma reta a partir dos pontos

obtidos no item anterior, exibir a equação dessa reta, a partir das orientações do

roteiro. Esperávamos que percebessem que a função xxf 4)( = tem representação

gráfica dada por uma reta de equação xy 4= .

No item “c”, acreditávamos que as equipes perceberiam e registrariam

corretamente na ficha da atividade que os valores do eixo x representassem

medidas do lado de qualquer quadrado, e os valores do eixo y representam as

medidas de perímetro.

Para o item “d”, as equipes deveriam registrar um ponto qualquer sobre a

reta obtida no item anterior e movimentá-lo. Acreditávamos que perceberiam que,

ao deslocá-lo, obteriam novos pares ordenados da relação entre as variáveis,

lado e perímetro do quadrado.

____________ 5 O roteiro com as orientações para o desenvolvimento das atividades foi disponibilizado com as atividades e encontra-se no apêndice A.

91


Houve grande envolvimento dos alunos na resolução desta atividade;

primeiro, procuraram ler, realizar as simulações com o Geogebra e discutir com

sua equipe o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha

da atividade.

No início da atividade as equipes E e B mostraram algumas dificuldades

para acompanhar o roteiro. O professor mediou o processo na lousa eletrônica,

esclareceu como exibir a malha e a janela algébrica, e representou o ponto A das

coordenadas . Certificou-se de que as equipes haviam compreendido e

sugeriu que continuassem a desenvolver a atividade.

)4,1(

Ao analisar os resultados da atividade 5, verificamos que todas as equipes

responderam corretamente ao item “a”, registrando na ficha, dois pares

ordenados dados por . )4,( ll

Protocolo 21. Resposta da atividade 5, item “a” (Equipe G).

A equipe G, como mostra o Protocolo 21, tomou 2 e 3 como medida dos

lados dos quadrados e determinou 8 e 12 , respectivamente, como medida dos

perímetros, utilizando o registro de representação numérica.

Apenas uma equipe utilizou o registro de representação numérica dos

números decimais, conforme destacado no Protocolo 22.

Protocolo 22. Resposta da atividade 5, item “a” (Equipe F).

92

Esta equipe (F) considerou e como medidas dos lados dos quadrados

e determinou 8 e , respectivamente, como perímetros.

2 5,1

6

No item “b”, todas construíram no Geogebra uma reta a partir dos pontos

do item “a”, exibiram a equação desta reta, usando o roteiro da atividade, mas

não conseguiram concluir que a função xxf 4)( = tem representação gráfica dada

por uma reta de equação xy 4= , conforme podemos perceber na seguinte

comentário:

“Acho que é a mesma coisa, a equação é a função”. (Comentário anotado

pelo observador da equipe G)

Todas responderam corretamente ao item “c”.

Protocolo 23. Resposta da atividade 5, item “c” (Equipe A).

Esta equipe A, como mostra o Protocolo 23, utilizou o registro de

representação da língua natural para responder que os valores do eixo x

representam medidas do lado de qualquer quadrado, e os valores do eixo y, as

medidas de perímetro.

Todas as equipes responderam ao item “d” corretamente.

Protocolo 24. Resposta da atividade 5, item “d” (Equipe A).

93

Mediante as simulações realizadas com o Geogebra, a equipe A, como

mostra o Protocolo 24, percebeu e utilizou o registro de representação da língua

natural para responder que ao movimentar o ponto C sobre a reta, são obtidos

novos pares ordenados da relação entre as variáveis, lado e perímetro do

quadrado.

As equipes responderam às questões da atividade 5 e assim que

concluíram o professor, entregou a atividade 6.

Atividade 6

Representamos algebricamente o número de saída em função do número de entrada, segundo a

máquina que João construiu, por ees 2)( −= , ou seja, se entrar o número 1, 212)1( −=×−=s ,

sairá o número . Em que representa um par ordenado desta relação, e este par, por 2− )2,1( −

sua vez, representa um ponto no plano cartesiano.

a) No Geogebra, marque dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função ees 2)( −= .



c) Considerando a função que determina o número de saída da máquina, o que os valores do eixo x representam? E os valores do eixo y?



ANÁLISE A PRIORI

As equipes deveriam seguir o roteiro com orientação para o

desenvolvimento desta atividade que seria realizada no Geogebra.

No item “a”, acreditávamos que os alunos não teriam dificuldades para

obter dois pares ordenados dados por )2,( ee − , usando o registro de

representação numérica e, posteriormente, indicá-los no plano cartesiano por

pontos, usando o registro de representação gráfica e finalizariam registrando as

coordenadas desses pontos na ficha de atividade.

Para o item “b”, deveriam construir uma reta a partir dos pontos obtidos no

item anterior e exibir a equação dessa reta, seguindo o roteiro da atividade.

94

Esperávamos que os alunos percebessem que a função tem

representação gráfica dada por uma reta de equação

xxf 2)( −=

xy 2−= .

No item “c”, acreditávamos que as equipes percebessem que os valores do

eixo x representavam os números de entrada na máquina, e os valores do eixo y,

os números de saída.

Para responder ao item “d”, deveriam registrar um ponto qualquer sobre a

reta obtida no item anterior e movimentá-lo. Acreditávamos que não teriam

dificuldades para perceber que, ao deslocá-lo, são obtidos novos pares

ordenados da relação entre as variáveis dadas pelos números de entrada e de

saída da máquina. Para concluir o item, deveriam registrar suas conclusões na

ficha.


Percebemos grande envolvimento dos alunos na resolução desta atividade;



da atividade.


responderam corretamente ao item “a”, registrando na ficha os dois pares

ordenados dados por . )2,( ee −

Protocolo 25. Resposta da atividade 6, item “a” (Equipe C).

Notamos que esta equipe (C), conforme apresentamos no Protocolo 25,

tomou e 3 como números de entrada na máquina, obtendo e 1 2− 6− ,

respectivamente, como números de saídas, fazendo uso do registro de


95

No item “b”, as equipes construíram no Geogebra uma reta a partir dos

pontos escolhidos no item “a”. Mostraram a equação da reta, mas não

conseguiram concluíram que a função xxf 2)( −= tem representação gráfica dada

por uma reta de equação . xy 2−=

Todas as equipes responderam corretamente ao item “c”.

Protocolo 26. Resposta da atividade 6, item “c” (Equipe H).

A equipe H, conforme destacado no Protocolo 26, percebeu que os valores

do eixo x representam os números de entrada na máquina; e os valores do eixo y,

os números de saída.

Todas responderam ao item “d” corretamente.

Protocolo 27. Resposta da atividade 6, item “d” (Equipe G).

A equipe G, conforme destacamos no Protocolo 27, percebeu que, ao

movimentar o ponto C sobre a reta, foram obtidos novos pares ordenados da

relação entre as variáveis dadas pelos números de entrada e de saída da

máquina.

Após concluírem esta atividade, o professor entregou a atividade 7.

96

Atividade 7

Vimos anteriormente que a locadora de veículos Aluga Fácil, oferece as seguintes condições para

aluguel de carros: taxa fixa de R$ , mais R$ por quilômetro rodado, em que a 00,90 50,1

representação algébrica é dada por ddc 50,190)( += .

a) No Geogebra, determine dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função ddc 50,190)( += .



c) Considerando a função que determina o custo do aluguel, o que os valores do eixo x representam? E os valores do eixo y?



ANÁLISE A PRIORI


desenvolvimento da atividade que seria realizada no Geogebra.

No item “a”, acreditávamos que não encontrariam dificuldades para obter

dois pares ordenados dados por )5,190,( dd + , mediante a realização de cálculos,

fazendo uso do registro de representação numérica e, depois deveriam indicá-los

no plano cartesiano por pontos, usando o registro de representação gráfica.


item anterior e exibir a equação dessa reta a partir das orientações do roteiro.

Esperávamos que os alunos percebessem que a função tem

representação gráfica dada por uma reta de equação

xxf 5,190)( +=

xy 5,190 += .

No item “c” acreditávamos que responderiam corretamente que os valores

do eixo x representavam a quilometragem percorrida; e os valores do eixo y, o

custo do aluguel.

Para o item “d”, deveriam registrar um ponto qualquer sobre a reta obtida

no item anterior e movimentá-lo para perceber que são obtidos novos pares

ordenados da relação entre as variáveis dadas pelo custo do aluguel e a

quilometragem percorrida no período de locação.

97


As equipes mantiveram-se envolvidas na resolução desta atividade. Assim,



da atividade.

Ao analisar os resultados da atividade 7, constatamos que todas as

equipes responderam corretamente ao item “a”, registrando na ficha os dois pares

ordenados dados por . )5,190,( dd +

Protocolo 28. Resposta da atividade 7, item “a” (Equipe F).

A equipe F, conforme destacamos no Protocolo 28, tomou 10 e como

valores que representam a quilometragem percorrida, obtendo 105 e 120 ,

respectivamente, como valores à pagar, fazendo uso do registro de representação

numérica.

20

No item “b”, construíram no Geogebra uma reta a partir dos pontos

escolhidos no item “a”, exibiram a equação da reta, mas não concluíram que a

função tem representação gráfica dada por uma reta de equação

.

xxf 5,190)( +=

xy 5,190 +=

Todas responderam corretamente ao item “c”, no registro de representação

da língua natural que os valores do eixo x representam a quilometragem

percorrida; e os valores do eixo y, o custo do aluguel.

Todas responderam ao item “d” corretamente e para analisar destacamos o

Protocolo 29.

98

Protocolo 29. Resposta da atividade 7, item “d” (Equipe B).

Os alunos da equipe B perceberam que, ao movimentar o ponto C sobre a

reta, são obtidos novos pares ordenados da relação entre as variáveis dadas pelo

custo do aluguel e a quilometragem percorrida no período de locação.

As equipes responderam às questões da atividade 7, após a conclusão o

professor entregou a atividade 8.

Atividade 8

Vimos que na casa de uma determinada família se gasta cerca de kg de gás de cozinha por 5,0

dia. Sabendo que um botijão de gás para uso doméstico tem 13 kg, representamos

algebricamente esta relação por ddm 5,013)( −= .

a) No Geogebra, determine dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função ddm 5,013)( −= .



c) Considerando a função que determina a massa de gás restante no botijão, o que os valores do eixo x representam? E os valores do eixo y?

d) Marque um ponto C sobre essa reta. Movimente este ponto sobre a reta e registre o que você observa em relação aos valores das coordenadas desse ponto. Salve este arquivo como atv4.

ANÁLISE A PRIORI


desenvolvimento da atividade que seria realizada no Geogebra.

No item “a”, acreditávamos que não encontrariam dificuldades para obter

dois pares ordenados dados por )5,013,( dd − , mediante a realização de cálculos,

fazendo uso do registro de representação numérica para depois indicá-los no

plano cartesiano por pontos, utilizando o registro de representação gráfica.


item anterior e exibir a equação dessa reta, a partir das orientações do roteiro.

99

Esperávamos que percebessem que a função xxf 5,013)( −= tem representação

gráfica dada por uma reta de equação xy 5,013−= .

No item “c”, achávamos que responderiam corretamente que os valores do

eixo x representavam a quantidade de dias de uso, e os valores do eixo y, a

massa de gás restante no botijão.

Para o item “d”, deveriam registrar um ponto qualquer sobre a reta

determinada no item anterior e movimentá-lo para perceber que se obtêm novos

pares ordenados da relação entre as variáveis dadas pela quantidade de massa

de gás restante no botijão e a quantidade de dias de uso.

ANÁLISE A POSTERIORI Observamos que as equipes mantiveram-se envolvidas na resolução da

atividade, assim, primeiro, procuraram ler, realizar as simulações com o Geogebra

e discutir o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha da

atividade.


responderam corretamente ao item “a”, registrando na ficha os dois pares

ordenados dados por no registro de representação numérico. )5,013,( dd −

No item “b”, construíram no Geogebra uma reta a partir dos pontos

escolhidos no item “a”, mostraram a equação da reta, mas não concluíram que a

função tem representação gráfica dada por uma reta de equação

.

xxf 5,013)( −=

xy 5,013−=

Todas responderam corretamente ao item “c” no registro de representação

da língua natural que os valores do eixo x representaram a quantidade de dias de

uso, e os valores do eixo y, a massa de gás restante no botijão.

Todas responderam ao item “d” corretamente, no registro de representação

da língua natural que, ao movimentar o ponto C sobre a reta são obtidos novos

pares ordenados da relação entre as variáveis dadas pela quantidade de massa

de gás restante no botijão e a quantidade de dias de uso.

Após a resolução das quatro atividades desta etapa, o professor mediou

um debate, socializando as resoluções desenvolvidas pelas equipes que

100

explicitavam verbalmente as respostas formuladas, procurando justificar seus

procedimentos e, até mesmo, contestar as estratégias das outras equipes.

O professor organizou na lousa uma síntese das produções e discussões

que surgiram durante o debate e apresentou os slides das Figuras 28 e 29, para

representar os pares ordenados das atividades 5, 6, 7 e 8.

Em cada uma dessas situações temos pares ordenados que podem ser representados por:

Atividade 5: (l, 4l) para representar a medida do lado e o perímetro de qualquer quadrado;

Atividade 6: (e, -2e) para o número de entrada e o número de saída;

Figura 28. slide com as representações dos pares ordenados das atividades 5 e 6.

Atividade 7: (d, 90+1,5d) para a quilometragem percorrida e o custo do aluguel do veículo;

Atividade 8: (d, 13-0,5d) para a quantidade de dias de uso do botijão de gás e a massa restante.

Figura 29. slide com as representações dos pares ordenados das atividades 7 e 8.

Em seguida, o professor descontextualizou o saber em jogo e apresentou o

slide da Figura 30 em que definiu um par ordenado.

101

Podemos concluir que um par ordenado tem representação algébrica dada por (x, f(x)) e sua representação gráfica indica a localização de um ponto no plano cartesiano, no qual x se refere a um valor no eixo das abscissas e f(x) no eixo das ordenadas.

Figura 30. slide com a representação algébrica de um par ordenado.

O professor apresentou o slide da Figura 31 para definir que a

representação gráfica de uma função afim dada de ℜ em ℜ é uma reta de

equação . baxy +=

Uma função afim f(x)= ax+b

representação gráfica é uma reta, d y = ax+b.

dada por f:IR→IR tal que , para

todo x € IR apresenta pontos colineares, ou seja, sua

ada pela equação

Figura 31. slide com a definição da representação gráfica de uma função afim dada por uma reta.

Para finalizar, o professor apresentou o slide da Figura 32 para melhor

ilustrar a representação de um ponto dado por uma função afim.

102

Figura 32. slide com a ilustração de um ponto dado por . ))(,( xfx

As equipes receberam uma ficha que foi anexada às atividades 5, 6, 7 e 8,

contendo as definições e a ilustração apresentada no processo de

institucionalização.

Percebemos que trabalhar a noção de par ordenado, articulando as

representações algébrica e gráfica, com uso do Geogebra contribuiu para que os

alunos compreendessem a representação gráfica da função afim.

Dando continuidade, apresentamos as atividades 9, 10, 11 e 12, da 2ª

etapa, em que utilizamos o software Geogebra com o objetivo de proporcionar

aos alunos condições para compreender como determinar os coeficientes e b

da função afim.

a

Atividade 9

a) Abra o arquivo atv1, trace uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C, determine na intersecção dessa reta com e eixo x o ponto D. Na intersecção dos eixos x e y, determine o ponto E.

b) Meça os segmentos CD e DE e registre esses valores.

c) Calcule o quociente entre as medidas CD e DE e registre esse resultado.

d) Movimente o ponto C. O que você observa em relação aos valores dos segmentos CD, DE e a razão entre eles?

e) Registre as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo y.

f) Registre as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo x.

g) O que você observa em relação ao ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo x?

103

ANÁLISE A PRIORI

Considerávamos que as equipes não encontrassem dificuldade para seguir

as orientações disponibilizadas no roteiro e realizar ao solicitado no item “a”.

Desse modo, não encontrariam dificuldades no item “b” para medir os

segmentos CD e DE e indicar suas medidas na ficha da atividade; que

responderiam ao item “c”, com facilidade, registrando na ficha da atividade que o

quociente entre as medidas CD e DE era 4 .

No item “d”, as equipes deveriam perceber e responder corretamente que,

ao movimentar o ponto C, os valores das medidas dos segmentos CD e DE

modificar-se-iam, porém a razão entre essas medidas permaneceria a mesma.

Nos itens “e” e “f”, acreditávamos que as equipes responderiam

corretamente na ficha da atividade que a intersecção do gráfico com o eixo x e

com o eixo y, ocorreria no ponto de coordenadas . )0,0(

No item “g”, esperávamos que percebessem e respondessem corretamente

que o ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo x era agudo.


Observamos um grande envolvimento das equipes na resolução da

atividade; primeiro, procuraram ler, realizar as simulações com o Geogebra e

discutir o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha da

atividade.

As equipes não encontraram dificuldades para seguir as orientações

disponibilizadas no roteiro e realizar ao solicitado no item “a”. Não houve

dificuldades no item “b” para medir os segmentos CD e DE e indicar suas

medidas na ficha da atividade, utilizando o registro de representação numérica.

As equipes não sentiram dificuldades para responder ao item “c” que o

quociente entre as medidas dos seguimentos CD e DE era . A equipe E usou o

registro de representação da língua natural para responder a este item e as

equipes D, G e H, os registros de representação numérica.

4

104

A equipe B respondeu ao item “c” indicando por 44

16= , e dividiu o

numerador pelo denominador para converter o registro de representação

fracionário ao registro de representação dos números inteiros.

A equipe F indicou por 4=DECD utilizou uma conversão do registro de

representação simbólica para o registro de representação numérica. A equipe C,

também, utilizou o registro de representação simbólica mas, em seguida, realiza

uma conversão para o registro fracionário, seguida de nova conversão, dividindo

o numerador pelo denominador para o registro de representação dos números

inteiros, indicando por 43

12==

DECD , a equipe A fez o mesmo porém indicou por

45,2

10==

DECD .

As equipes responderam corretamente ao item “d”, no registro de

representação da língua natural que, ao movimentar o ponto C, os valores das

medidas dos segmentos CD e DE modificam-se, porém a razão entre essas

medidas permanece a mesma.

Todas responderam corretamente aos itens “e” e “f”, no registro de

representação numérica que a intersecção do gráfico com o eixo x e com o eixo y,

ocorre no ponto de coordenadas , o que podemos perceber pelo seguinte

comentário:

)0,0(

“a reta passa aqui na origem, só pode ser (0,0) nos dois itens”.

(Comentário anotado pelo observador da equipe G)

As equipes A, C, D, E, F e G responderam ao item “g” no registro de

representação da língua natural, concluindo que o ângulo formado entre a reta do

gráfico e o eixo x é agudo. Só a equipe B não chegou à mesma conclusão, pois

respondeu no registro de representação da língua natural que o ângulo não

mudava.

A equipe H apresentou a resposta que destacamos no Protocolo 30.

105

Protocolo 30. Resposta da atividade 9, item “g” (Equipe H).

A equipe H respondeu no registro de representação da língua natural e

utilizou a ferramenta do software para medir o ângulo.

Destacamos o comentário anotado pelo observador da equipe G em

relação ao item “e”:

“Olha só! O ângulo é menor que 90º, então é agudo”.

As equipes responderam às questões da atividade 9 e, assim, que

concluíram o professor entregou a atividade 10.

Atividade 10

No Geogebra, abra o arquivo atv2, selecione a ferramenta INCLINAÇÃO, em seguida aplique-a

sobre a reta de equação y=-2x. Observe o que acontece e responda:

a) Qual é o valor que representa o segmento vertical?

b) Qual é o valor que representa o segmento horizontal?

c) Determine a razão entre o valor que representa o segmento vertical pelo valor que representa o segmento horizontal?

d) Registre as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo y.

e) Registre as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo x.

f) O que você observa em relação ao ângulo que a reta do gráfico, forma com o eixo x?

ANÁLISE A PRIORI

Após abrir o arquivo atv2, no Geogebra, os alunos deveriam seguir as

orientações do roteiro da atividade para obter a Figura 33.

106

Figura 33. Representação da função da atividade 2.

Assim deveriam responder, sem dificuldades, aos itens “a”, “b” e “c”,

percebendo no item “a” que o segmento vertical tem representação dada por 2− ;

no item “b”, que o segmento horizontal tem representação dada por 1, e no item

“c” que a razão entre esses valores é de 2− para 1, ou seja 2− .

Nos itens “d” e “e”, acreditávamos que as equipes perceberiam com

facilidade que a intersecção do gráfico com o eixo x e com O eixo y dá-se no

ponto de coordenadas . )0,0(

No item “f”, as equipes iriam responder que o ângulo formado entre a reta

do gráfico e o eixo x era obtuso.


Houve grande envolvimento das equipes durante a resolução desta


discutir, o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha da

atividade.

107

Todas responderam corretamente aos itens “a” e “b”; a equipe A utilizou o

registro de representação da língua natural e as outras, o registro de


As equipes responderam corretamente ao item “c”; a equipe A utilizou o

registro de representação da língua natural e as outras equipes indicaram por

212

−=− , usando o registro de representação dos números fracionários. Em

seguida, dividiram o numerador pelo denominador convertendo para o registro de

representação dos números inteiros.

Todas responderam corretamente aos itens “d” e “e” no registro de

representação numérico que a intersecção do gráfico com o eixo x e com o eixo y

ocorre no ponto de coordenadas . )0,0(

Apenas a equipe H respondeu no registro de representação da língua

natural, utilizou a ferramenta do software para medir o ângulo, indicando .

As outras responderam ao item “f” no registro de representação da língua natural,

concluindo que o ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo x é obtuso.

º57,116

As equipes responderam às questões da atividade 10, após a conclusão, o

professor entregou a atividade 11.

Atividade 11

a) Abra o arquivo atv3, marque um ponto D na intersecção do gráfico com o eixo y, em seguida, trace uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C e outra perpendicular ao eixo y, passando pelo ponto D. Determine na intersecção dessas retas perpendiculares o ponto E.

b) Meça os segmentos CE e ED.

c) Calcule o quociente entre as medidas CE e ED.

d) Movimente o ponto C. O que você observa em relação aos valores dos segmentos CE, ED e a razão entre eles?




108

ANÁLISE A PRIORI

Esperávamos que as equipes não encontrassem dificuldades para seguir

as orientações disponibilizadas no roteiro e realizar ao solicitado no item “a”.

Julgávamos que no item “b” não encontrariam dificuldades para medir os

segmentos CD e DE, e indicar suas medidas na ficha da atividade; que iriam

responder ao item “c”, com facilidade, registrando na ficha da atividade que o

quociente entre as medidas CD e DE é . 5,1

No item “d”, deveriam perceber e responder corretamente que, ao

movimentar o ponto C, os valores das medidas dos segmentos CD e DE

modificar-se-iam, porém a razão entre essas medidas permaneceria a mesma.

Nos itens “e” e “f”, esperávamos que as equipes perceberiam, sem

dificuldades que a intersecção do gráfico com o eixo x ocorre no ponto e

com o eixo y no ponto .

)0,60(−

)90,0(

No item “g”, deveriam perceber, facilmente, que o ângulo formado entre a

reta do gráfico e o eixo x era agudo.


Observamos grande envolvimento das equipes na resolução desta


discutir o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha da

atividade.

Não encontraram dificuldades para seguir as orientações disponibilizadas

no roteiro e realizar o solicitado no item “a”, também, quanto ao item “b” para

medir os segmentos CD e DE e indicar suas medidas na ficha da atividade,

usando o registro de representação numérica.

As equipes não sentiram dificuldades para responder ao item “c” que o

quociente entre as medidas dos seguimentos CD e DE é ; as equipes D, F, G e

H empregaram o registro de representação numérica dos números decimais.

5,1

109

Ainda analisando o item “c”, percebemos que a equipe A indicou por

5,11015

==DECD e as equipes B, C e E indicaram por 5,1

46==

DECD realizando uma

conversão do registro de representação simbólica para o fracionário, seguida de

uma nova conversão dividindo o numerador pelo denominador para o registro de

representação numérica dos números decimais.

Todas responderam corretamente ao item “d” no registro de representação

da língua natural que, ao movimentar o ponto C, os valores das medidas dos

segmentos CD e DE modificaram-se, porém, a razão entre essas medidas

permaneceu a mesma.

Todas responderam corretamente aos itens “e” e “f”, no registro de

representação numérica que a intersecção do gráfico com o eixo x ocorre no

ponto de coordenadas , e com o eixo y dá-se no ponto de coordenadas

.

)90,0(

)0,60(−

Apenas a equipe H respondeu no registro de representação da língua

natural, utilizou a ferramenta do software para medir o ângulo, indicando .

Todas as outras equipes responderam corretamente a este item no registro de

representação da língua natural, concluindo que o ângulo formado entre a reta do

gráfico e o eixo x era agudo.

º31,56

Assim que as equipes concluíram a atividade 11, o professor entregou a

atividade 12.

Atividade 12

No Geogebra, abra o arquivo atv4, selecione a ferramenta INCLINAÇÃO; em seguida, aplique-a

sobre a reta de equação y=-0,5x+13. Observe o que acontece e responda:






f) O que você observa em relação ao ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo x?

110

ANÁLISE A PRIORI

Após abrir o arquivo atv4 no Geogebra, as equipes deveriam seguir as

orientações da atividade para obter a Figura 34.

Figura 34. Representação gráfica da função da atividade 4.

No item “a”, acreditávamos que as equipes percebessem que o valor que

representa o segmento vertical é 5,0− , no item “b” que o valor do segmento

horizontal é 1, e no item “c” que a razão entre esses valores é de para 1, ou

seja, .

5,0−

5,0−

Nos itens “d” e “e”, acreditávamos que as equipes percebessem sem

dificuldade que a intersecção do gráfico com o eixo x ocorreria no ponto e

com o eixo y no ponto .

)0,26(

)13,0(

No item “f”, julgávamos que as equipes percebessem que o ângulo formado

entre a reta do gráfico e o eixo x era obtuso.


As equipes mantiveram-se envolvidas com a resolução da atividade;


111

sua equipe o que observavam para, em seguida, responder ao solicitado na ficha

da atividade.

Todas as equipes responderam corretamente aos itens “a” e “b”; a equipe

A utilizou o registro de representação da língua natural e as outras, o registro de


Todas as equipes responderam corretamente ao item “c”, indicando por

5,01

5,0−=

− , utilizando o registro de representação numérica dos números

fracionários. Em seguida, dividiram o numerador pelo denominador, convertendo-

o ao registro de representação dos números decimais.

Todas as equipes responderam corretamente aos itens “d” e “e”, no registro

de representação numérica que a intersecção do gráfico com o eixo x verificou-se

ponto de coordenadas e com o eixo y, no ponto de coordenadas . )13,0( )0,26(

Apenas, a equipe H respondeu no registro de representação da língua

natural e utilizou a ferramenta do software para medir o ângulo, indicando .

As outras equipes responderam ao item “f” no registro de representação da língua

natural, concluindo que o ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo x era

obtuso.

º43,153

Após a resolução das quatro atividades desta etapa, o professor mediou

um debate, socializando as resoluções desenvolvidas pelas equipes que

explicitavam verbalmente suas respostas, procurando justificar seus

procedimentos. O professor usou a lousa digital, conforme apresentamos na

ilustração 5, destacando que o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x e

com o eixo y é dado por nas funções )0,0( xxf 4)( = da relação entre as variáveis

lado e perímetro do quadrado, e xxf 2)( −= da relação entre as variáveis número

de entrada e de saída.

112

Ilustração. Institucionalização local desenvolvida pelo professor com uso da lousa digital

Para a função dxf 5,190)( += , entre as variáveis quantidade de quilômetros

rodados e o valor a pagar, o gráfico apresenta uma intersecção com o eixo x no

ponto e com o eixo y no ponto . )0,60(− )90,0(

Na função , o gráfico da relação entre as variáveis dias e

quantidade de massa de gás restante no botijão, apresenta intersecção com o

eixo x no ponto e com o eixo y no ponto .

dxf 5,013)( −=

)0,26( )13,0(

Em seguida, o professor definiu as noções trabalhadas nas atividades e

discutidas durante o debate. Para tanto, utilizou o slide da Figura 35 para definir

as coordenadas do ponto de intersecção da reta com o eixo y.

Podemos concluir que:

O valor da abscissa do ponto de intersecção da reta com o eixo y, ésempre zero, ou seja, (0,b), em que graficamente, b é a ordenada do ponto onde a reta de equação y=ax+b, que égráfico de função f(x)=ax+b intersecta o eixo Oy, pois temos f(0)=a.(0)+b= b.

Figura 35. slide com a definição do valor do ponto de intersecção da reta com o eixo y.

113

Em seguida, o professor definiu a raiz de uma função afim, para tanto

utilizou o slide da Figura 36.

O valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo x é sempre zero, dado por (x,0), onde o valor de x para o qual a função f(x)=a.x+b anula-se, ou seja, f(x)=0, denomina-se zero ou raiz da função afim e graficamente é dado por (-b/a,0).

Figura 36. slide com a definição do valor do ponto de intersecção da reta com o eixo x.

O professor explicitou a relação entre o coeficiente a da função e o ângulo

formado entre o gráfico da função e o eixo x, para tanto utilizou o slide da Figura

37.

Se o coeficiente a da função f(x)=a.x+b for positivo, o ângulo que a reta faz com o eixo x será agudo e, se o coeficiente a da função f(x)=a.x+b for negativo, o ângulo que a reta faz com o eixo x será obtuso.

Figura 37. slide com a relação entre o coeficiente a e o ângulo que reta faz com o eixo x.

Para finalizar, o professor retomou os resultados obtidos em relação às

razões entre os segmentos, que, para a função xxf 4)( = , determinou-se a razão

; para a função , a razão determinada foi 4 xxf 2)( −= 2− ; para a função

a razão determinada foi e para dxf 5,190)( += 5,1 dxf 5,013)( −= , a razão

calculada foi , e definiu (slide da Figura 38) que o valor de cada uma das

razões é numericamente igual ao coeficiente na função e na

equação da reta dado por .

5,0−

a baxxf +=)(

baxy +=

114

O valor obtido em cada uma das razões entre os segmentos énumericamente igual ao coeficiente a na função f(x)=ax+b e na equação da reta dado por y=ax+b.

Figura 38. slide com a relação entre coeficiente a e razão entre os segmentos.

As equipes receberam uma ficha que foi anexada às atividades da etapa

com as definições e as ilustrações apresentadas no processo de


As atividades desenvolvidas com o Geogebra contribuíram para que os

alunos compreendessem como determinar os coeficientes e b da função afim.

Dando continuidade, apresentamos a atividade 13 de nossa sequência de ensino,

com o objetivo de proporcionar aos alunos condições de compreender a relação

entre os coeficientes angular e linear da função afim e as implicações que

apresentam em relação aos movimentos da reta.

a

3ª ETAPA

Nesta atividade, exploraremos o potencial dinâmico que o Geogebra possui

e articularemos os registros de representação algébrica e gráfica da reta.

Atividade 13

No Geogebra, abra o arquivo atv13.ggb. Faça algumas simulações movimentando os seletores ae observe o que acontece com o gráfico da função em relação ao ângulo formado com o eixo x ,be a intersecção com o eixo y, em seguida, responda:

a) Se fixarmos e modificarmos os valores de b , o que acontece com o gráfico da função? 0=a

b) Se fixarmos e modificarmos os valores de b , o que acontece com o gráfico da função? 0>a

c) Se fixarmos e modificarmos os valores de b , o que acontece com o gráfico da função? 0<a

d) Se fixarmos e modificarmos os valores de , o que acontece com o gráfico da função? 0=b a

e) Se fixarmos e modificarmos os valores de , o que acontece com o gráfico da função? 0>b a

f) Se fixarmos e modificarmos os valores de a , o que acontece com o gráfico da função? 0<b

115

ANÁLISE A PRIORI

Ao abrir o arquivo atv13.ggb os alunos, encontrariam uma tela com o plano

cartesiano, uma reta com sua respectiva equação e dois botões seletores que

deveriam simular os movimentos na reta, conforme mostra a Figura 39.

Figura 39. Representação da atividade 13.

Considerávamos que as equipes concluíssem no item “a” que ao fixarmos

e modificarmos os valores de b , o gráfico da função ficaria paralelo ao eixo

x e realizaria um movimento de translação vertical no plano cartesiano,

preservando a inclinação.

0=a

Para o item “b”, achávamos que as equipes concluíssem que o gráfico da

função forma um ângulo agudo com o eixo x e desenvolve um movimento de

translação.

Para o item “c”, achávamos que concluíssem que o gráfico da função forma

um ângulo obtuso com o eixo x e desenvolve um movimento de translação.

116

Para o item “d”, esperávamos que concluíssem que o gráfico da função

intercepta a origem do sistema cartesiano e apresenta movimento de rotação,

modificando a inclinação da reta.

Para o item “e”, esperávamos que concluíssem que o gráfico da função

intercepta o eixo y acima da origem do sistema cartesiano e apresenta movimento

de rotação, modificando a inclinação da reta.

Para o item “f”, considerávamos que concluíssem que o gráfico da função

intercepta o eixo y abaixo da origem do sistema cartesiano e apresenta

movimento de rotação, modificando a inclinação da reta.


Um aluno faltou a esta aula, então, desfizemos o trio e passamos a ter oito

duplas (equipes), mesmo assim percebemos que houve grande envolvimento dos

alunos na resolução desta atividade; primeiro, procuraram ler, realizar as

simulações com o Geogebra e discutir o que observaram para, em seguida,

responderem ao solicitado na ficha da atividade.

Em relação ao item “a”, destacamos a resposta do Protocolo 31.

Protocolo 31. Resposta da atividade 13, item “a” (Equipe A).

A equipe (A) utilizou o registro de representação da língua natural para

descrever sua observação ao simular no computador a atividade do item “a”.

Destacamos o comentário da equipe G, na resolução do item “a”.

“Colocando o botão a no zero a reta fica paralela ao eixo x. Movimentando

o botão b, o gráfico move-se para cima e para baixo sempre paralelo ao eixo x”.

(Comentário anotado pelo observador da equipe G).

117

Ao analisar o Protocolo 31 e o comentário da equipe G, observamos que os

alunos compreenderam que, ao fixarmos 0=a e modificarmos os valores de b , o

gráfico da função ficará paralelo ao eixo x e realizará um movimento de translação

vertical no plano cartesiano, preservando a inclinação.

Para o item “b”, destacamos os comentários:

“Colocar o seletor a no positivo e mexendo com o seletor b, a reta sobe e

desce. A medida que o b aumenta, a intersecção da reta com o eixo y vai

aumentando e à medida que o b diminui a intersecção da reta com o eixo y

diminui. O ângulo não muda e fica sempre agudo”. (Comentário anotado pelo

observador da equipe D)

“Colocando o botão a no positivo o ângulo ficará agudo e movimentando o

botão b mudamos a intersecção com o eixo y”. (Comentário anotado pelo

observador da equipe F)

Pelos comentários das equipes D e F em relação ao item “b”, observamos

que as equipes perceberam que o gráfico da função forma um ângulo agudo com

o eixo x e desenvolve um movimento de translação.

Em relação ao item “c”, destacamos os comentários:

“Agora mudou o ângulo de agudo para obtuso. Com o seletor b continua o

mesmo, à medida que o b aumenta, a intersecção da reta com o eixo y vai

aumentando e à medida que o b diminui, a intersecção da reta com o eixo y

diminui”. (Comentário anotado pelo observador da equipe D)

““Colocando o botão a no negativo, o ângulo ficará obtuso e movimentando

o botão b, mudamos a intersecção com o eixo y”. (Comentário anotado pelo

observador da equipe F)

118

Notamos que as equipes perceberam que o gráfico da função forma um

ângulo obtuso com o eixo x e desenvolve um movimento de translação.

Em relação ao item “d”, destacamos os comentários:

““Colocando o botão b no zero o gráfico corta o eixo y na origem e se a é

negativo o ângulo fica obtuso e quando o a é positivo, o ângulo fica agudo”.

(Comentário anotado pelo observador da equipe F)

“a intersecção fica na origem e a inclinação muda, conforme mexemos no

seletor a”. (Comentário anotado pelo observador da equipe D).

Observamos que as equipes perceberam que o gráfico da função

intercepta a origem do sistema cartesiano e apresenta movimento de rotação,

modificando a inclinação da reta.

Em relação ao item “e”, destacamos o Protocolo da equipe C.

Protocolo 32. Resposta da atividade 13, item “e” (Equipe C).

A equipe C utilizou o registro de representação da língua natural para

responder ao item “e” e, concluiu próximo do que previmos, que o gráfico da

função intercepta o eixo y acima da origem do sistema cartesiano e apresenta


Destacamos o comentário anotado pelo observador da equipe F, antes da

dupla realizar a simulação e responder ao último item (f) da atividade:

“se o b é positivo, o gráfico corta o eixo y acima do eixo x, então com b

negativo vai cortar abaixo. O botão a agente viu que altera a inclinação”.

119

Em seguida, a equipe realizou a simulação e destacamos no Protocolo 33,

a resposta da equipe F.

Protocolo 33. Resposta da atividade 13, item “f” (Equipe F).

A equipe F concluiu próximo do que queríamos que o gráfico da função

intercepta o eixo y abaixo da origem do sistema cartesiano e apresenta


As equipes responderam rapidamente aos itens desta atividade, e o

professor mediou um debate para socializar as produções. Os alunos explicitavam

verbalmente as respostas que formularam e percebemos nas falas que o objetivo

da atividade foi atingido. O professor organizou uma síntese das discussões no

quadro branco e usou o simulador da atividade 13 na lousa digital para fazer

algumas simulações.

Em seguida, realizou a fase da institucionalização, revelando que a função

afim dada por definida por ℜ⎯→⎯ℜ:f baxxf +=)( com , a ℜ∈b , e 0≠a 0≠b

possui alguns casos particulares. Para tanto, usou o slide da Figura 40.

Podemos concluir que:

A função afim dada por f: IR→IR definida por f(x)=ax+b com a e b € IR , a≠0 e b≠0 tem alguns casos particulares:

1) a≠0 e b=0. Neste caso, temos a função linear definida por f(x)=ax para todo x € IR.

2) a=0 e b≠0 . Neste caso, temos a função constante definida por f(x)=b para todo x € IR.

3) a=1 e b=0. Neste caso, temos a função identidade definida por f(x)=x para todo x € IR.

Figura 40. slide com alguns casos particulares da função afim.

120

O professor explicitou a relação existente entre os valores dos coeficientes

e , com os movimentos de rotação e translação da reta no sistema

cartesiano, para tanto utilizou os slides das Figuras 41 e 42.

a b

De modo geral, constata-se que:

Fixando o valor do coeficiente a e fazendo variar o coeficiente b, a reta y=ax+b que é a representação gráfica da função afim f(x)=ax+b desenvolverá um movimento de translação, preservando a inclinação da reta em relação ao eixo x.

Figura 41. slide com a relação entre os coeficientes a e b .e o movimento da reta.

Fixando o valor do coeficiente b e fazendo variar o coeficiente a, a reta y=ax+b que é a representação gráfica da função afim f(x)=ax+b, desenvolveráum movimento de rotação, girando em torno do ponto de intersecção da reta com o eixo y, modificando a inclinação da reta.

Figura 42. slide com a relação entre os coeficientes a e b .e o movimento da reta.

As equipes receberam uma ficha que foi anexada às atividades desta

etapa, contendo as definições com os slides apresentados durante o processo de


As atividades desenvolvidas com o simulador contribuíram para que os

alunos compreendessem a relação entre os coeficientes a e da equação da

reta e sua relação com o gráfico da função afim.

b

Dando continuidade a este estudo, apresentamos a última etapa da nossa

sequência de ensino.

121

4ª ETAPA

Para finalizar, aplicamos as atividades 14, 15, 16, 17 e 18, com o objetivo

de verificar se os alunos utilizavam as noções que foram institucionalizadas, como

ferramenta para resolver novas situações.

Atividade 14

O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele fez

plantões noturnos em uma boate, onde recebe R$ 60,00 por noite de trabalho. Escreva uma

sentença que represente o salário a receber em função do número de plantões realizados.

Esta questão foi adaptada de Iezzi et al. (2004, p.71). Aplicamos esta

atividade com o objetivo de verificar se os alunos expressavam algebricamente a

dependência de duas variáveis de uma função afim.

Identificamos que 15 dos 17 alunos expressaram corretamente a situação,

e seis alunos indicaram diretamente na forma algébrica da função afim por

ou . Um aluno descreveu a relação entre as

variáveis, salário a receber e número de plantões, pela equação ,

indicando que representa o salário e

56060)( += xxf xxf 60560)( +=

ps 60560 +=

s p a quantidade de plantões. Outros sete

alunos representaram a situação no registro de representação algébrica, primeiro

por uma equação para, em seguida, realizar um tratamento e descrever por

, como mostra o Protocolo 34 da aluna Isadora. 56060)( += xxf

Protocolo 34: Resposta da atividade 14 dada pela aluna Isadora

122

Outro aluno, primeiro, indicou os pares ordenados e da

relação entre as variáveis salário e número de plantões para, em seguida,

descrever no registro de representação algébrica pela sentença .

)560,0( )680,2(

56060)( += xxf

Para resolver a atividade 14, os alunos mobilizaram conhecimentos de par

ordenado e da representação algébrica de uma função afim.

Atividade 15

Dentre as funções abaixo, identifique aquela que melhor representa o gráfico mostrado ao lado.

a) f(x)=10x-7

b) f(x)=2x+1

c) f(x)=x-2

d) f(x)=6x-1

A atividade 15 foi aplicada com objetivo de observar se os alunos

identificam uma função afim na forma algébrica a partir da representação gráfica.

A questão consistiu em um teste retirado da prova de Matemática do 3º ano do

Ensino Médio da avaliação do SARESP 2007. Notamos que 16 dos 17 alunos

responderam corretamente a este teste, cinco assinalaram a alternativa “b” sem

apresentar justificativa.

Quatro alunos assinalaram a alternativa correta e apresentaram

justificativas. O aluno Vitor, como mostra o Protocolo 35, identificou o gráfico

corresponde a função 12)( += xxf indicada na alternativa “b”, a partir do ponto

de intersecção do gráfico com o eixo y, determinando o coeficiente . )1,0( 1=b

Outros três alunos, além de identificarem o ponto da intersecção do

gráfico com o eixo y determinando o coeficiente

)1,0(

1=b , acrescentaram a

observação que a reta forma um ângulo agudo com o eixo x.

123

Protocolo 35. Resposta da atividade 15 dada pelo aluno Vitor

Quatro alunos responderam à esta questão calculando o coeficiente 2=a

da equação da reta a partir da escolha dos pontos e , em seguida,

substituiu os valores de e das coordenadas do ponto na equação

da reta, determinando o valor do coeficiente

)1,0( )3,1(

2=a )3,1(

baxy += 1=b , conforme mostra o

Protocolo 36 da aluna Isadora.

124

Protocolo 36: Resposta da atividade 15 dada pela aluna Isadora

Para resolver a atividade 15, os alunos mobilizaram conhecimentos

referentes à equação da reta, cálculo para determinar o coeficiente a da equação

da reta, ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo x, determinar o coeficiente

b da equação da reta a partir das coordenadas do ponto de intersecção com o

eixo y.

125

Atividade 16

Entre os gráficos abaixo, o único que representa uma função do tipo baxy += é:

a) c)

b) d)

O teste foi retirado da prova de Matemática do 1º ano do Ensino Médio da

avaliação do SARESP 2005. Nosso objetivo consistiu em observar se os alunos

identificavam o gráfico que representa uma função afim. Notamos que todos os 17

alunos da turma assinalaram corretamente a alternativa “a” e, alguns alunos

justificaram. Destacamos no Protocolo 37 a justificativa da aluna Isadora.

Protocolo 37. Resposta da atividade 16 dada pela aluna Isadora

126

Para este grupo de alunos, percebemos que está bem evidente que uma

função afim tem representação gráfica dada por uma reta.

Atividade 17

A reta r de equação passa pelo ponto baxy += )1,0( − e, para cada unidade de variação de x ,

há uma variação em , no mesmo sentido, de 7 unidades. y

Sua equação é:

a) 17 −= xy

b) 17 += xy

c) 7−= xy

d) 7+= xy

e) 17 −−= xy

Esta questão foi extraída do vestibular da PUC-RS; nosso objetivo era

verificar se os alunos identificavam a equação da reta. Quatro alunos erraram a

questão, dentre os 13 acertos, dois alunos assinalaram a alternativa correta, mas

não apresentaram qualquer justificativa.

Quatro alunos responderam à questão, construindo a representação gráfica

dada pela reta a partir dos pontos de coordenadas )1,0( − e determinado de

acordo com a informação do enunciado de que para cada unidade de variação de

)6,1(

x , há uma variação em , no mesmo sentido, de unidades. y 7

Dois alunos responderam à questão determinando as coordenadas dos

pontos e , a partir do ponto)6,1( )13,2( )1,0( − e da informação do enunciado de que

para cada unidade de variação de x , há uma variação em , no mesmo sentido,

de unidades. Em seguida, substituiu os valores de cada uma das coordenadas

desses pontos nas equações das alternativas, percebendo que são coordenadas

de pontos que pertencem a reta de equação

y

7

17 −= xy .

Quatro alunos determinaram primeiramente o coeficiente da equação

, a partir dos pontos

7=a

baxy += )1,0( − e . Em seguida, substituíram as )6,1(

127

coordenadas de um desses dois pontos e o valor 7=a na equação ,

obtendo , conforme destacamos no Protocolo 38 a resolução do aluno

Pablo.

baxy +=

1−=b

Protocolo 38. Resposta da atividade 17 dada pelo aluno Pablo

Um aluno determinou o coeficiente 1−=b a partir do valor da ordenada do

ponto de intersecção da reta com o eixo y dado por )1,0( − no enunciado. Em

seguida, determinou a inclinação da reta obtendo 7=a , a partir dos pontos )1,0( −

e , conforme destacado no Protocolo 39. )6,1(

128

Protocolo 39. Resposta da atividade 17 dada pelo aluno Vitor

Percebemos que para resolver a atividade 17 os alunos mobilizaram

conhecimentos sobre par ordenado, coordenadas de um ponto, equação da reta,

cálculo do coeficiente a da equação da reta e coordenadas do ponto de

intersecção da reta com o eixo y.

Atividade 18

Considere a função . 62)( += xxf

a) Esboce o gráfico.

b) Dê os pontos de intersecção do gráfico dessa função com os eixos do referencial cartesiano.

c) Qual é a raiz dessa função?

d) Calcule , e . )0(f )1(f )1(−f

Esta questão foi retirada de Bongivanni et al. (1994). No item “a”, nosso

objetivo consistiu em verificar se os alunos representavam graficamente uma

129

função afim dada na forma algébrica. Identificamos que 14 dos 17 alunos

esboçaram corretamente o gráfico da função 62)( += xxf .

Protocolo 40. Resposta da atividade 18 item “a” dada pelo aluno Lucio

Notamos que o aluno Lucio, como mostra o Protocolo 40, esboçou o

gráfico a partir dos pontos de intersecção com os eixos do sistema cartesiano.

No item “b”, nosso objetivo consistiu em observar se os alunos determinam

as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com os eixos do sistema

cartesiano. Notamos que dos 14 alunos que responderam corretamente ao item

“a”, 10 alunos, indicaram as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico

com os eixos do sistema cartesiano pelos pares ordenados )0,3(− e . )6,0(

No item “c” o objetivo consistiu em observar se os alunos determinam a raiz

de uma função afim. Percebemos que 15 alunos determinaram corretamente a

raiz da função afim.

130

Protocolo 41. Resposta da atividade 18 dada pelo aluno Pablo

O aluno Pablo, como mostra o Protocolo 41, determinou a raiz da função

dada a partir das coordenadas do ponto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

ab . Em seguida, converteu para o

registro de representação dos números fracionários indicando pela fração 26

− e

converteu para o registro de representação dos números inteiros, determinando

como raiz, no registro de representação da língua natural. 3−

No item “d”, nosso objetivo consistiu na verificação se os alunos

determinavam o valor da ordenada, conhecendo o valor da abscissa e a função

afim na forma algébrica. 13 alunos responderam corretamente a este item.

Notamos que o aluno Vitor, como mostra o Protocolo 42, determinou o

valor da ordenada substituindo o valor da abscissa em x na função 62)( += xxf ,

efetuando inicialmente a multiplicação por 2 e, em seguida, somando 6, apoiando-

se no registro de representação numérica. O aluno indicou os pares ordenados

131

)8,1( e no gráfico do item “a”, provavelmente para validar seus

procedimentos.

)4,1(−

Protocolo 42. Resposta da atividade 18 item “d” dada pelo aluno Vitor

Para resolver a atividade 18, os alunos mobilizaram conhecimentos sobre

par ordenado, equação da reta, raiz de uma função afim determinada a partir das

coordenadas do ponto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

ab , coordenadas do ponto de intersecção do gráfico

com os eixos do sistema cartesiano, representação gráfica de uma função.

Do exposto, notamos que os alunos apoiaram-se em noções que

vivenciaram e foram institucionalizadas nas três primeiras etapas para utilizarem

como ferramenta para resolver as atividades desta etapa.

132

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Pelas análises prévias, observamos que várias pesquisas foram realizadas

relacionadas à Função Afim, comprovando as dificuldades que os alunos de

diferentes níveis de escolaridade apresentam em relação à sua compreensão.

Sendo assim, nosso trabalho buscou ampliar os estudos já realizados com o

intuito de contribuir para a melhoria da compreensão dos alunos em relação ao

tema.

Para tanto, havíamos tomado por hipótese que uma sequência de ensino

concebida à luz da Teoria das Situações Didáticas e da Teoria dos Registros de

Representações Semióticas mediada pelo uso de um software de geometria

dinâmica poderia contribuir para uma introdução ao estudo da função afim.

Seu objetivo era elaborar uma sequência de ensino a partir dos

pressupostos da Teoria das Situações Didática e da Teoria dos Registros de

Representações Semióticas, mediada pelo uso do software Geogebra, para

introduzir um estudo da função afim, com alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental e responder às seguintes questões:

- Nossa sequência de ensino contribuirá para que os alunos expressem

algébrica e graficamente a dependência de duas variáveis de uma função afim?

- Após a aplicação da sequência de ensino, os alunos reconhecerão que o

gráfico de uma função afim é uma reta e conseguirão relacionar os coeficientes

da equação da reta com o gráfico?

Na primeira etapa, trabalhamos quatro atividades em conexão com a

geometria e medidas e a “máquina programada”, com objetivo de estimular os

alunos a realizar generalizações, preparando-os para o estudo da função afim.

Percebemos que os alunos ao resolvê-las usaram os registros de representação

numérica, figural e algébrica. Assim, concluíram representando algebricamente as

generalizações solicitadas. O conhecimento que os alunos apresentaram na

realização das atividades desta etapa, permitiu que os conduzíssemos a um

133

tratamento dessas generalizações e institucionalizássemos a representação

algébrica de uma função afim.

Na 4ª etapa, ao analisar as resoluções apresentadas pelos alunos,

tínhamos como objetivo que eles representassem algebricamente a relação entre

o número de plantões e o salário a receber por um vigia. Assim, percebemos que

a maioria dos alunos respondeu corretamente no registro de representação

algébrica a relação entre as duas variáveis da função afim.

Nas 2ª e 3ª etapas, utilizamos o software Geogebra com o objetivo de

proporcionar aos alunos condições para compreender a representação gráfica de

uma função afim, determinando os coeficientes e da equação da reta

relacionando-os com o gráfico.

a b

Ao analisarmos as atividades da 4ª etapa, notamos que todos os alunos da

turma reconheceram que o gráfico de uma função afim é dado por uma reta de

equação y=ax+b. A maioria representou corretamente o gráfico da função afim, a

partir de sua representação algébrica e, ainda, identificou a forma algébrica de

uma função com base em sua representação gráfica. O que nos permite

responder a segunda questão a contento e concluir que a maioria dos alunos

desta turma articula os registros de representação algébrica e gráfica no estudo

da função afim.

Os resultados obtidos foram importantes, pois evidenciaram que os alunos

utilizaram diferentes registros de representação no processo de iniciação aos

estudos da função afim e articularam estas representações, o que favorece a

compreensão do aluno em relação a este saber matemático, segundo a Teoria

dos Registros de Representação Semiótica.

Ressaltamos que o uso do Geogebra apresentou grandes contribuições,

como recurso dinâmico e auxiliou no processo de compreensão da análise do

comportamento de gráficos da função afim, no que se refere às alterações que

estes sofrem quando submetidos às mudanças dos valores de seus coeficientes.

Outro aspecto a ser considerado foi o fato ao trabalho, em equipe, norteado

pelos princípios da Teoria das Situações Didáticas, ter sido estimulador e

enriquecedor, não só enquanto os alunos resolviam as atividades, mas pelas

contribuições que apresentaram nos momentos de institucionalização local,

134

favorecendo o processo de institucionalização, propriamente dito, realizado pelo

professor.

Diante do exposto, podemos concluir que nossos objetivos foram atingidos,

como também a hipótese que formulamos foi confirmada e as questões que

levantamos foram respondidas a contento. Além disso, destacamos a importância

do referencial teórico adotado e da utilização do Geogebra como ferramenta de

simulação. Assim, esperamos que esta pesquisa contribua na área do ensino da

Matemática, no que se refere à introdução do estudo da função afim, na etapa

final do Ensino Fundamental. Desse modo, ressaltamos a importância do

aprofundamento deste estudo e de outras noções no Ensino Médio.

136

REFERÊNCIAS

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BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática. Brasília: MEC; SEF, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais - Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC; SEMTEC, 1999.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC; SEMTEC, 2002.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC; SEB, 2006.

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FREITAS, J.L.M. Situações didáticas. In MACHADO, S. D. A. (Org.) Educação Matemática: Uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC, 2008. p. 77-111.

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137

MACHADO, S. D. A. Engenharia Didática. In MACHADO, S. D. A. (Org.) Educação Matemática: Uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC, 2008. p. 233-247.

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SANTOS, E. P. Função Afim y=ax+b: a articulação entre os registros gráfico e algébrico com o auxílio de um software educativo. 119 f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2002.

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SCHWARZ, O. Sobre as concepções de função dos alunos ao término do 2º grau. 161f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1995.

VERGNAUD, Gérard. El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. – México: Trilhas, 1991. 275p.

138

APÊNDICE A: A SEQUÊNCIA DE ENSINO

ETAPA 1

Atividade 1

O perímetro de um quadrado é determinado a partir da medida de seu lado. Nessas condições,

responda:

a) Qual é o perímetro de um quadrado, medindo 1 cm de lado?

b) Qual é o perímetro de um quadrado, medindo 2 cm de lado?

c) Qual é o perímetro de um quadrado, medindo 3,5 cm de lado?

d) Qual é o perímetro de um quadrado, medindo 5,5 cm de lado?

e) Qual é a medida de cada lado de um quadrado que tem 24 cm de perímetro?

f) Escreva uma sentença matemática que represente o perímetro de qualquer quadrado.

Justifique.

Atividade 2

João construiu uma máquina interessante. Ela está programada para multiplicar por menos dois o

número de entrada. Por exemplo, se entrar o número 2, sairá o número -4. Se entrar o número -2,

sairá o número 4.

Agora, responda:

a) Se entrar o número 3, qual é o número que sairá?

b) Se entrar o número 0 (zero), qual é o número que sairá?

c) Se entrar o número -4, qual é o número que sairá?

d) Sabendo que o número de saída é 20, determine o número de entrada.

e) Escreva uma sentença matemática que represente a saída da máquina para qualquer número

de entrada. Justifique.

139

Atividade 3

A locadora de veículos Aluga Fácil, oferece as seguintes condições para aluguel de carros: uma

taxa fixa de R$ 90,00, mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Nessas condições responda:

a) Qual é o preço a ser pago por uma pessoa que alugue um carro e percorra 100 km?

b) E para 200 km?

c) Uma pessoa que pagou R$ 540,00 percorreu quantos quilômetros?

d) Escreva uma sentença matemática que represente o valor a ser pago a partir da quantidade de

quilômetros rodados. Justifique.

Atividade 4

Na casa de uma família, gasta-se sempre cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia. Sabendo que

um botijão de gás para uso doméstico tem 13 kg, responda:

a) Qual é a massa que resta no botijão, após um dia de uso?

b) Qual é a massa que resta no botijão, após uma semana de uso?

c) Qual é a massa que resta no botijão, após dez dias de uso?

d) Qual é a massa que resta no botijão, após um mês de uso?

e) Quantos dias são necessários para consumir a metade do gás?

f) Escreva uma sentença matemática que represente a quantidade de gás restante no botijão,

após cada dia de uso. Justifique.

140

ETAPA 2 (1ª PARTE)

Atividade 5

Vimos que pode representar o perímetro de qualquer quadrado em função da medida llp 4)( =

de seu lado, ou seja, para um quadrado com medida do lado de 1 cm, temos que

414)1( =×=p , perímetro cm. Em que pode representar um par ordenado que, por sua 4 )4,1(

vez, pode ser representado em um plano cartesiano por um ponto.

a) No geogebra, marque dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da

função . llp 4)( =


b) Trace uma reta por esses dois pontos e mostre sua equação. Qual a relação dessa equação

com a função?

c) Considerando a função que determina o perímetro, o que os valores do eixo x representam? E

os valores do eixo y?

d) Marque um ponto C sobre essa reta. Movimente este ponto sobre a reta e registre o que você

observa em relação aos valores das coordenadas desse ponto.


Atividade 6

Representamos algebricamente o número de saída em função do número de entrada, segundo a

máquina que João construiu, por ees 2)( −= , ou seja, se entrar o número 1, 212)1( −=×−=s ,

sairá o número . Em que representa um par ordenado desta relação, e este par, por 2− )2,1( −

sua vez, representa um ponto no plano cartesiano.

a) No Geogebra, marque dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função

ees 2)( −= .



com a função?

c) Considerando a função que determina o número de saída da máquina, o que os valores do eixo

x representam? E os valores do eixo y?


observa em relação aos valores das coordenadas desse ponto. (Salve este arquivo como atv2)

141

Atividade 7

Vimos anteriormente que a locadora de veículos Aluga Fácil, oferece as seguintes condições para

aluguel de carros: taxa fixa de R$ , mais R$ por quilômetro rodado, em que a 00,90 50,1

representação algébrica é dada por ddc 50,190)( += .

a) No Geogebra, determine dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função

ddc 50,190)( += .



com a função?

c) Considerando a função que determina o custo do aluguel, o que os valores do eixo x

representam? E os valores do eixo y?




Atividade 8

Vimos que na casa de uma determinada família, gasta-se cerca de kg de gás de cozinha por 5,0

dia. Sabendo que um botijão de gás para uso doméstico tem 13 kg, representamos

algebricamente esta relação por ddm 5,013)( −= .

a) No Geogebra, determine dois pontos, A e B, que representem pares ordenados da função

ddm 5,013)( −= .



com a função?

c) Considerando a função que determina a massa de gás restante no botijão, o que os valores do

eixo x representam? E os valores do eixo y?




142

Roteiro

Abra o Geogebra e, em seguida, selecione no menu “Exibir” as opções

eixo, malha e janela algébrica, conforme indica a figura abaixo:

Sua área de trabalho ficará, conforme indica a figura abaixo:

143

Para representar um ponto no plano, digite as coordenadas desse ponto no

“Campo de Entrada” do Geogebra, conforme indica a figura a seguir e, em

seguida, “Enter” para executar a operação.

Para nomear este ponto por A, click com o botão da direita sobre o ponto

para exibir a janela indica abaixo.

Em seguida, selecione a opção “propriedades” com o botão da esquerda

do mouse para abrir o quadro:

144

A seguir, selecione as opções “Exibir rótulo” e “Nome & Valor”, e click em

fechar.

Faça o mesmo para o outro ponto.

Para desenhar uma reta que passe por esses pontos, selecione na Barra

de Ferramentas do Geogebra o botão “Reta definida por dois pontos” e,

em seguida, click sobre os pontos A e B.

Para exibir a equação da reta, click sobre a reta com o botão da direita

para abrir a janela abaixo e, em seguida, selecione a opção y=kx+d.

145

Para marcar um ponto sobre a reta, selecione na “Barra de Ferramentas o

botão “Novo ponto” e, em seguida, click sobre a reta para marcar o ponto

C.

Para movimentar o ponto C sobre a reta, selecione o botão “Mover”,

em seguida, click sobre o ponto C e movimente-o.

ETAPA 2 (2ª PARTE)

Atividade 9

a) Abra o arquivo atv1, trace uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C, determine

na intersecção dessa reta com e eixo x o ponto D. Na intersecção dos eixos x e y, determine o

ponto E.

b) Meça os segmentos CD e DE e registre esses valores.

c) Calcule o quociente entre as medidas CD e DE e registre esse resultado.

d) Movimente o ponto C. O que você observa em relação aos valores dos segmentos CD, DE e a

razão entre eles?




146

Atividade 10

No Geogebra, abra o arquivo atv2, selecione a ferramenta INCLINAÇÃO, em seguida, aplique-a

sobre a reta de equação y=-2x. Observe o que acontece e responda:







Atividade 11

a) Abra o arquivo atv3, marque um ponto D na intersecção do gráfico com o eixo y, em seguida,

trace uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C e outra perpendicular ao eixo y,

passando pelo ponto D. Determine na intersecção dessas retas perpendiculares o ponto E.

b) Meça os segmentos CE e ED.

c) Calcule o quociente entre as medidas CE e ED.

d) Movimente o ponto C. O que você observa em relação aos valores dos segmentos CE, ED e a

razão entre eles?




Atividade 12

No Geogebra, abra o arquivo atv4, selecione a ferramenta INCLINAÇÃO, em seguida, aplique-a

sobre a reta de equação y=-0,5x+13. Observe o que acontece e responda:



c) Determine a razão entre o valor que representa o segmento vertical pelo valor que representa o

segmento horizontal?




147

Roteiro

Para marcar um ponto na intersecção dos eixos x e y, selecione na Barra

de Ferramentas do Geogebra o botão “Interseção de dois objetos”, conforme

indica a figura abaixo, e em seguida click sobre um dos eixos e depois na outro.

Para traçar uma reta perpendicular ao eixo x passando pelo ponto C,

selecione na Barra de Ferramentas o botão “Reta perpendicular”, conforme a

figura abaixo, e em seguida click sobre o ponto C e depois no eixo x.

Para medir os segmentos CD e DE, utilize o botão “distância ou

comprimento” da Barra de Ferramentas, conforme indica a figura abaixo e, em

seguida, click sobre os pontos C e D. Repita este procedimento para medir o

segmento DE.

148

Para calcular a razão entre os segmentos CD e DE, precisamos renomeá-

los para c e d (por exemplo), respectivamente, selecionando-os na janela

algébrica com o botão da direita do mouse, conforme indica afigura:

Selecione a opção renomear para abrir a janela que indicamos abaixo:

Substitua distância CD por c, e click em aplicar. Utilize o mesmo

procedimento para o segmento DE.

Digite no Campo de Entrada (c/d) e “Enter” para realizar o cálculo.

149

Renomeie, na janela algébrica, a letra que representa o quociente entre as

medidas dos segmentos CD e DE por razão.

Para obter as coordenadas de um ponto, click sobre o ponto desejado com

o botão da direita do mouse, selecione a opção “propriedades”, em seguida,

“exibir rótulo”, “nome & valor” e “fechar’.

Para obter a equação da reta, click sobre a reta desejada, com o botão da

direita do mouse, selecione a opção “equação.y=kx+d”.

Para utilizar a ferramenta “Inclinação”, selecione-a na Barra de

Ferramentas, conforme indica a figura abaixo; em seguida click sobre a reta

desejada.

ETAPA 3

Atividade 13

No Geogebra, abra o arquivo atv13.ggb. Faça algumas simulações movimentando os seletores a

e observe o que acontece com o gráfico da função em relação ao ângulo formado com o eixo x ,b

e a intersecção com o eixo y, em seguida, responda:

a) Se fixarmos e modificarmos os valores de , o que acontece com o gráfico da função? 0=a b

b) Se fixarmos e modificarmos os valores de , o que acontece com o gráfico da função? 0>a b

c) Se fixarmos e modificarmos os valores de b , o que acontece com o gráfico da função? 0<a

d) Se fixarmos e modificarmos os valores de , o que acontece com o gráfico da função? 0=b a

e) Se fixarmos e modificarmos os valores de , o que acontece com o gráfico da função? 0>b a

f) Se fixarmos e modificarmos os valores de a , o que acontece com o gráfico da função? 0<b

150

ETAPA 4

Atividade 14

O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele fez

plantões noturnos em uma boate, onde recebe R$ 60,00 por noite de trabalho. Escreva uma

sentença que represente o salário a receber em função do número de plantões realizados.

Atividade 15

Dentre as funções abaixo, identifique aquela que melhor representa o gráfico mostrado ao lado.

a) f(x)=10x-7

b) f(x)=2x+1

c) f(x)=x-2

d) f(x)=6x-1

Atividade 16

Entre os gráficos abaixo, o único que representa uma função do tipo baxy += é:

a) c)

b) d)

151

Atividade 17

A reta r de equação baxy += passa pelo ponto )1,0( − e, para cada unidade de variação de x ,

há uma variação em , no mesmo sentido, de 7 unidades. y

Sua equação é:

a) 17 −= xy

b) 17 += xy

c) 7−= xy

d) 7+= xy

e) 17 −−= xy

Atividade 18

Considere a função . 62)( += xxf

a) Esboce o gráfico.

b) Dê os pontos de intersecção do gráfico dessa função com os eixos do referencial cartesiano.

c) Qual é a raiz dessa função?

d) Calcule , e . )0(f )1(f )1(−f

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