Função Afim: Gráfico e Definição de uma Função Afim

Função Afim:Gráfico e Definição

de uma Função AfimAutores: Rosana Maria Mendes

Karine Angélica de DeusIara Letícia Leite de OliveiraSimone Uchôas Guimarães

Ricardo Almeida SouzaColaborador:

José Antônio Araújo Andrade

Situação-problema 1

Uma família resolve realizar a instalação de uma linha telefônica em sua residência. Para tal, eles contratam a empresa Lig-Lig, que possui a seguinte tarifa:


R$ 20,00 (taxa de assinatura mensal) mais R$ 0,50 por minuto.


Após 4 meses de assinatura a família resolve verificar quais foram os gastos com o telefone fixo, organizando em uma tabela o valor pago (V) por mês:

R$ 20,00 (taxa de assinatura mensal) mais R$ 0,50 por minuto.

No 1º mês foram utilizados 200 minutos:


Minutos utilizados

Valor apagar

200min


Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R

20 0,50 200 120,00V



Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min

20 0,50 200 120,00V



Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V




Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V




Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V





Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V





Minutos utilizados

Valor apagar

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R

20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

O que dizer do comportamento do gráfico

dessa situação?

Minutos utilizados

Valor pago

Minutos utilizados

Valor pago

200min

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R

Minutos utilizados

Valor pago

200min $120,00R150min $95,00R225min $132,50R100min $70,00R0min $20,00R

Qual a função que descreve o comportamento do

gráfico?

Observe a relação entre os minutos utilizados e o valor a ser pago:


No 1º mês foram utilizados 200 minutos:20 0,50 200 120,00V




20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V





20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V






20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V


Note que o valor a ser pago varia segundo a quantidade de minutos

gastos.





20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V



gastos.





20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

Logo, se for utilizado para representar os minutos utilizados, o valor a ser pago será:

x



gastos.

Logo, se for utilizado para representar os minutos utilizados, o valor a ser pago será:





20 0,50 200 120,00V

20 0,50 150 95,00V

20 0,50 225 132,50V

20 0,50 100 70,00V

20 0,50V x

x

20 0,50V x

Observe que o valor a ser pago depende da quantidade de minutos utilizados.

20 0,50V x

( )x


Logo, podemos reescrever a relação acima da seguinte forma:

20 0,50V x

( )x


Logo, podemos reescrever a relação acima da seguinte forma:

20 0,50V x

( ) 20 0,50V x x

( )x

A função é um exemplo de lei de formação de uma Função Afim,

que pode ser generalizada da seguinte forma:

, sendo e números reais quaisquer.( )f x ax b a b

( )V x

Domínio da função( ) 20 0,50V x x


Analisando a situação proposta temos que o domínio de é todo , uma vez que representa o número de minutos utilizados, e

este por sua vez nunca poderá ser negativo.

( )V x 0x x

Domínio da função



Logo,

( ) 20 0,50V x x

( )V x 0x x




Logo,

( )V x 0x x

Imagem da função( ) 20 0,50V x x


Analisando novamente a situação proposta temos sempre um correspondente a cada

elemento pertencente ao domínio.20y



elemento pertencente ao domínio.

Logo,

20y

Imagem da função



Logo,

( ) 20 0,50V x x

20y

Domínio e Imagem da função( ) 20 0,50V x x

Exemplo 2:

Um grupo de amigos ao sair de uma festa resolvem voltar de táxi para casa.

Exemplo 2:


Ao entrar no táxi o motorista lhes informou sobre o possível valor a ser pago ao final da corrida.

Exemplo 2:


Ao entrar no táxi o motorista lhes informou sobre o possível valor a ser pago ao final da corrida.

O valor a ser cobrado inclui, R$ 3,00 fixo (bandeirada) mais, R$ 2,00 por quilômetro rodado.

Exemplo 2:

Os amigos ficaram curiosos em saber qual valor pagariam ao final da corrida, e começaram a pensar em algumas possibilidades.

Um deles acredita que para chegar ao destino percorrerá 2 km, logo, pagará:

Valor a pagar

Outro amigo acredita que para chegar ao destino percorrerá 3 km, logo, pagará:

Valor a pagar

Valor a pagar

3 2 2 7V

3 2 3 9V

Um terceiro amigo acredita que para chegar ao destino percorrerá 5 km, logo, pagará:

3 2 5 13V

Ao final da corrida o taxista informa aos amigos que eles percorreram 3,5 km.


Os amigos mais que depressa calculam o valor que deverão pagar ao taxista:



3 2 3,5 10V



Dessa forma, os amigos devem pagar R$ 10,00 ao taxista.

3 2 3,5 10V

Vamos analisar os cálculos dos amigos:


Valor a pagar (V) = bandeirada + (valor por quilômetro percorrido) (quilômetro percorrido).


Se percorrer 2 km:


3 2 2 7V


Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: 3 2 3 9V

3 2 2 7V



Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: 3 2 3,5 10V

3 2 3 9V 3 2 2 7V



Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: Se percorrer km: 3 2V x

3 2 3,5 10V 3 2 3 9V 3 2 2 7V

x



Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: Se percorrer km:

Como o valor a pagar depende do quilômetro percorrido, podemos reescrever a expressão como:

3 2V x 3 2 3,5 10V

3 2 3 9V 3 2 2 7V

x

( )x



Se percorrer 2 km: Se percorrer 3 km: Se percorrer 3,5 km: Se percorrer km:

Como o valor a pagar depende do quilômetro percorrido, podemos reescrever a expressão como:

( ) 3 2V x x

3 2V x 3 2 3,5 10V

3 2 3 9V 3 2 2 7V

x

( )x


Gráfico da Função: ( ) 3 2V x x

Gráfico da Função: Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 7

( ) 3 2V x x

Gráfico da Função:Quilômetr

o (km)

Valor a pagar (V)

2 7

( ) 3 2V x x


o (km)

Valor a pagar (V)

2 7

( ) 3 2V x x


o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

( ) 3 2V x x


o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 10

( ) 3 2V x x


o (km)

Valor a pagar (V)

2 73 9

3,5 105 13

( ) 3 2V x x

Domínio da função( ) 3 2V x x

Domínio da função( ) 3 2V x x

Analisando a situação proposta temos que o

domínio de é todo , uma vez que representa a quilometragem percorrida, e este por sua vez deverá ser

sempre positivo.

( )V x 0x x


Logo,

( ) 3 2V x x Analisando a situação proposta temos que o


sempre positivo.

( )V x 0x x


Analisando a situação proposta temos que o


sempre positivo.

Logo,

( ) 3 2V x x

( )V x 0x x

Imagem da função( ) 3 2V x x

Analisando novamente a situação proposta temos

sempre um , correspondente a cada


Logo,

Imagem da função( ) 3 2V x x

Domínio e Imagem da função( ) 3 2V x x

Função Afim: Gráfico e Definição de uma Função Afim

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