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GRANDEZAS

PROPORCIONAIS Aulas 01 a 03

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário GRANDEZAS............................................................................................................................................................. 1

O QUE É UMA GRANDEZA? ..................................................................................................................................... 1

PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 1

PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 1

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP) .......................................................................................... 1

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) ......................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ............................................................. 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

VARIÁVEL PROPORCIONAL A VÁRIAS OUTRAS ....................................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01

GRANDEZAS O QUE É UMA GRANDEZA? Entenderemos por grandeza tudo aquilo que pode ser

medido.

Exemplos: Distância, velocidade, comprimento, ...

PRELIMINAR 1 Considere as grandezas a seguir.

X: quantidade, em gramas, de comida

Y: valor pago pela comida

Sabendo-se que por 100g de comida são pagos 4 reais

e que por 200g de comida são pagos 8 reais, responda:

a) Quanto se paga por 1kg de comida?

b) Ao se calcular a razão dos valores associados

das grandezas X e Y, em cada caso, o que se

pode observar?

c) Ao se calcular o produto dos valores associados

das grandezas X e Y, em cada caso, o que se

pode observar?

PRELIMINAR 2 Considere as grandezas a seguir.

X: módulo da velocidade, em km/h, de uma pessoa

Y: tempo de deslocamento da pessoa

Sabendo-se que a 5 km/h a pessoa percorre um trajeto

em 2h e que a 10 km/h ela o percorre em 1h, responda:

a) Em quanto tempo ela percorrerá o trajeto a

uma velocidade de 20 km/h?

b) Ao se calcular a razão dos valores associados

das grandezas X e Y, em cada caso, o que se

pode observar?

c) Ao se calcular o produto dos valores associados

das grandezas X e Y, em cada caso, o que se

pode observar?

Considere uma grandeza 𝑋, com medidas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …

positivas e uma grandeza 𝑌, com medidas

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, …, também positivas. Tais que

𝑿 𝒀

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑦3

⋮ ⋮

𝑥𝑛 𝑦𝑛

GRANDEZAS DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS (GDP) Diremos que uma grandeza 𝑌 é DIRETAMENTE

PROPORCIONAL a uma grandeza 𝑋, se A RAZÃO de

medidas correspondentes de 𝑌 para 𝑋 for

CONSTANTE.

Simbolicamente, podemos ter

𝑦

𝑥= 𝑘, com 𝑘 ∈ ℝ+

∗

Aplicando-se na tabela acima, tem-se 𝑦1

𝑥1=

𝑦2

𝑥2= ⋯ = 𝑘

Obs.1: Uma vez escrita essa sequência de igualdades,

basta escolher duas “partes” convenientes e resolver a

equação montada.

Obs.2: Note que, cada 𝑦 é encontrado multiplicando-

se cada 𝑥 pelo valor de 𝑘.

CUIDADO com pensamentos simplistas!!

Note que não se trata apenas de “quando um

aumenta o outro também aumenta”, mas sim de

“quando uma grandeza é multiplicada por um

número, então a outra também é multiplicada pelo

mesmo número”!

Reflita: Nos primeiros anos de vida, é normal

que a altura de uma pessoa aumente à medida que

sua idade aumenta. Mas não há proporcionalidade,

nesse caso. Ou seja, as grandezas IDADE (anos) e

ALTURA (em metros) não são GDP, mesmo uma

aumentando enquanto a outra também aumenta.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

GRANDEZAS INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS (GIP) Diremos que uma grandeza 𝑋 é INVERSAMENTE

PROPORCIONAL a uma grandeza 𝑌, se O PRODUTO

de medidas correspondentes de 𝑋 e 𝑌 for

CONSTANTE.

Simbolicamente, podemos ter

𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℝ+∗

Aplicando-se na tabela da página anterior, tem-se

𝑥1 ∙ 𝑦1 = 𝑥2 ∙ 𝑦2 = ⋯ = 𝑘

Obs.3: Uma vez escrita essa sequência de igualdades,

basta escolher duas “partes” convenientes e resolver a

equação montada.

Obs.4: Note que, cada 𝑦 é encontrado dividindo-se o

valor de 𝑘 pelo seu respectivo 𝑥.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Duas grandezas 𝑌 e 𝑋 são diretamente proporcionais e

suas medidas estão relacionadas conforme tabela

abaixo

Y 2 4 b 8 d

X a 36 54 c 108

Determine os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.

1.2. Na tabela abaixo, temos as medidas de duas grandezas

𝑌 e 𝑋 que são inversamente proporcionais.

Y a 20 25 c

X 15 b 10,8 9

Determine 𝑎, 𝑏 e 𝑐

1.3. As grandezas 𝑋 e 𝑌 são inversamente proporcionais e

têm suas medidas relacionadas conforme tabela a

seguir, em que 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑑 ≠ 0

X a b c d

Y 2 4

3

8

5

20

7

Determine os menores valores naturais de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.

AULA 02

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Divida o número 180 em partes diretamente

proporcionais a 2, 3 e 5.

2.2. Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e

investiram, respectivamente, R$ 2.500,00,

R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de

investimentos. Ao final de um ano, a aplicação

estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três

investidores resgatarem somente o rendimento e

o dividirem em partes diretamente proporcionais

aos valores investidos, de quanto será a diferença

positiva entre os valores recebidos por Ana e

Paulo?

TAREFA 1 – Unid. 1 – Cap. 3: Ler da página 14 à 20. Dê

atenção às Observações 1 e 2, ao tópico 3.6 e aos

exercícios resolvidos 13, 14 e 15.

Fazer: PSA 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34 e 35.

Desafio: PSA 20

CUIDADO com pensamentos simplistas!! DE NOVO!

Note que não se trata apenas de “quando um

aumenta o outro diminui”, mas sim de “quando uma

grandeza é multiplicada por um número, a outra

grandeza é multiplicada pelo inverso desse número”.

Por exemplo, se uma triplica, a outra vai a 1/3.

MAIS PARA APLICAÇÃO DO QUE PARA MATÉRIA NOVA

O que veremos a seguir são algumas

aplicações clássicas nas quais utilizamos os

conhecimentos sobre Grandezas Diretamente e/ou

Inversamente Proporcionais. Ou seja, você não está

aprendendo uma matéria nova, está aprendendo

como utilizar a matéria da aula anterior em algumas

situações.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3

2.3. Divida o número 1260 em partes inversamente

proporcionais a 3, 5 e 6.

2.4. As prefeituras das cidades A, B e C construíram

uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A

ponte fica a uma distância de 10 km de A, 12 km de

B e 18 km de C. O custo da construção, R$ 7.095,00,

foi dividido em partes inversamente proporcionais

às distâncias das cidades à ponte. Qual foi o gasto

que coube à prefeitura da cidade A?

AULA 03

VARIÁVEL

PROPORCIONAL A

VÁRIAS OUTRAS EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são

necessários 2.200 kg de milho. Retirando-se

7 vacas, em quanto tempo serão consumidos

1.280 kg?

3.2. Quinze operários furam uma vala de 80 m de

comprimento em 10 dias trabalhando 8 horas por

dia. Quantos dias serão necessários para que 32

operários furem outra vala de 100 m de

comprimento, trabalhando 12 horas por dia e cuja

dificuldade seja 3

5 maior?

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. 𝑎 = 18; 𝑏 = 6; 𝑐 = 72; 𝑑 = 12

1.2. 𝑎 = 18; 𝑏 = 13,5; 𝑐 = 30

1.3. 𝑎 = 210; 𝑏 = 140; 𝑐 = 168; 𝑑 = 300

2.1. 𝑎 = 36; 𝑏 = 54; 𝑐 = 90

2.2. 𝑅$ 125,00

2.3. 𝑎 = 600; 𝑏 = 360; 𝑐 = 300

2.4. 𝑅$ 29.700,00

3.1. 12 dias

3.2. 6,25 dias = 6 dias e 3 horas (de trabalho)

TAREFA 2 – Unid. 1 – Cap. 3: Ler o tópico 3.8 (p.23), o

Exercício 18, o tópico 3.9 e o Exercício 19. Além disso,

fazer os PSA 26 e 27.

NOVAMENTE, NÃO É MATÉRIA NOVA!

Lembra da tal “Regra de três composta”?

Então, mais uma vez, o que faremos na próxima aula

é mostrar como um bom domínio da parte de

Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

faz com que você não precise decorar novas regras

para fazer esse tipo de questão.

TAREFA 3 – Unid. 1 – Cap. 3: Ler os Exercícios 20, 21,

22, 23, 24 e 25. Além disso, fazer os PSA 37, 38 e 43.