NOTA de AULA 9º Ano - Divisão de Segmentos Em Partes Proporcionais

NOTA DE AULA DE DESENHO GEOMTRICO

9 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL.

AL NR __________ NOME ___________________TU ____

DESENHO GEOMTRICO 9 ANO

ASSUNTO: Diviso de um segmento em partes proporcionais

Objetivos: a) Identificar segmentos proporcionais com base no teorema de Thales.

b) Dividir, graficamente, um segmento em partes diretamente proporcionais a nmeros ou a

segmentos.

DESENVOLVIMENTO

1. Quatro nmeros so proporcionais quando a razo de dois deles igual razo dos outros dois.

Ex: 1

2proporcionala

3

6

2. Quatro segmentos so proporcionais quando suas medidas, efetuadas em uma mesma unidade, formam uma proporo.

Ex: . 2 . . 3 . . 4 . . 6 .

2

3=

4

6

3. A verificao da proporcionalidade de quatro segmentos dos quais se conhecem as medidas uma proposio aritmtica.

4. Quando no se conhecem as medidas dos segmentos, a verificao da proporcionalidade constitui uma operao grfica.

5. Teorema de Thales

*A paralela a um dos lados de um tringulo divide os outros dois em segmentos proporcionais. Ou

*A razo entre dois lados de um tringulo igual razo dos segmentos correspondentes neles

determinados por uma paralela ao terceiro lado.

Exemplo:

A

B

C

D

E

EC

DB

AE

AD

AC

AB


Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______

Exerccios

1. Dividir o segmento AB dado em partes proporcionais a 2, 3 e 5. A _____________________________________ B

2. Dividir o segmento MN em partes proporcionais 1

2 , 2

3e

1

4

M ___________________________________________ N

3. Dividir o segmento RS dado em partes proporcionais aos comprimentos a, b, c, d dados.

. a . . b . . c . . d .

R _______________________________________________ S

4. Dividir o um segmento AB = 12 cm em partes inversamente proporcionais a 4, 6 ,8

5. Construa um tringulo equiltero cujo permetro seja igual medida do segmento PQ .

P ______________________________________________________ Q

6. Dado o segmento AB , determine o ponto P que divide AB na razo 5

3 .

A _______________________________________________ B

7. Dado o segmento RS , construa um tringulo, sabendo que seus lados so congruentes com os

segmentos que resultam da diviso de RS em partes proporcionais a 3, 2, 4.

R _____________________________________________________ S

8. Dado o segmento MN , trace o retngulo que tem permetro igual medida de MN e cujos lados

so proporcionais a 2 e 1.

M __________________________________________________ N

9. Construa um tringulo ABC sabendo que a = 6

7 ; b = 5

7 e c = 4

7 .

______________________________________________________________


Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______

Assunto: Quarta e terceira proporcional

Objetivo: Construir, graficamente, a quarta e a terceira proporcional de segmentos conhecidos, aplicando

o teorema de Thales.

DESENVOLVIMENTO

1. QUARTA PROPORCIONAL

Chama-se quarta proporcional de trs nmeros, ao quarto nmero, que com eles formam uma

proporo.

a

b=

c

x x = b .c

a

Exerccios:

1. Dados os segmentos a, b, c, obter x tal que a expresso a

b=

c

x forma uma proporo.

_______________________ __________ _____________

a b c

1 Processo (soma) 2 Processo (subtrao)

2. Dados os segmentos p, q, r, construir, utilizando um dos processos, os segmentos x, y, z, tais que:

x = q . r

p y = p . rq z =

p . q

r formem uma proporo.

___________ ____________________ _________________________________

p q r

2. TERCEIRA PROPORCIONAL Chama-se 3 proporcional proporo na qual se repete os meios.

a

b=

b

x x =

b2

a

Exerccios:

1. Na expresso a

b=

b

x construir o valor de x. Dados

a= 2cm

b= 3cm

{}

2. Construir o inverso do segmento a dado. ________________________

a

3. Dados os segmentos a, b, c, construir graficamente a expresso. X = a

2

b+

b2

a

ab

c

a = 3,0 cm b = 3,5 cm c = 2,5 cm

DESENHO GEOMTRICO 9 ANO Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______

LISTA DE EXERCCIOS

1. Tenho 5 metros de fita para enfeitar trs presentes. Preciso dividir essa fita em partes proporcionais ao

tamanho de suas caixas. A caixa A duas vezes maior que a caixa B e a caixa C trs vezes maior que a

caixa a caixa A. Pedido: dividir a fita, usando os recursos de diviso de segmentos em partes

proporcionais.

_________________________________________________________________

2. Construa uma circunferncia cujo raio mede r, sendo r = s

2

t.

Dados: s = 24 mm, t = 22mm.

fita

3. Construa um tringulo equiltero ABC, sabendo-se que seus lados tem a medida da quarta

proporcional entre os segmentos de medida m, n e p.

________________________ _________________ ____________

m n p

4. No trecho da ferrovia que vai de Esmeralda a Prola existem trs estaes: Safira, Topzio e Rubi,

nessa ordem. A distncia de Safira a Esmeralda o triplo da distncia entre Safira e Topzio. Topzio

est equidistante de Esmeralda e Rubi, que dista de Prola a metade da distncia entre Safira e Rubi.

Determine a localizao de cada estao.

6. Uma patrulha Lobo de escoteiros do CMJF fez

uma jornada na mata e recebeu do chefe uma carta

que dizia o seguinte: Caros lobos

Vocs devero fazer uma caminhada, seguindo

rigorosamente as instrues: Iniciem o trajeto no

ponto onde fixei a bandeirola. Sigam a distncia x =

s2

tkm na direo da seta, virem 60 direita e

caminhem

y = rs

t km. Depois virem 90 a esquerda e

caminhem

x + y km para atingir o local de chegada onde

estarei esperando vocs. No percurso, observem as

regras de segurana e os cuidados com a natureza.

Boa jornada.

Pedido: desenhe o trajeto observando que, ao girar, o ngulo tem o vrtice no ponto onde se parou e

seus lados so o prolongamento da reta por onde se caminhava e a nova direo.

Ateno: cada 1cm no desenho corresponde a 1km no terreno. Executar as operaes grficas no

verso da folha.

Dados: ________________ _____________ _________

r s t

Sada *

7. A figura que vemos abaixo representa a parte social de uma residncia, composta de uma sala de estar,

uma sala de jantar e uma varanda. Suas dimenses so x = a

2+b .c

a+b e y = a

2

2+

b2

c+

c .a

b

Dados: ________ ______ ______________

a b c

Escala: 1 cm = 2 m

Pedidos: a. Construir o retngulo referente a residncia

b. Determinar sua rea real, considerando a escala dada.

8. Rosngela mora perto de grandes amigas. Sua casa fica a uma distncia L = b

2+a .b

c da casa de

Lucinha e a uma distncia R = b

2

c+

c .a

b da casa de Raquel.

Dados: a = 5 cm, b = 4cm e c = 3cm

Escala: 1cm no papel = 10 m no terreno

Pedido::1. Marcar na figura a posio pontual da casa de Rosngela.

2. Determinar a distncia real, em metros,da casa de Rosngela a Casa das amigas.

Resp ____________________________________________________________

*

Lucinha

*

Raquel

9. Os alunos do 9 ano planejam fazer uma excurso a Ibitipoca. O ponto de encontro o cruzamento

das ruas A e B, conforme representao abaixo, e a partir desse local faro um passeio pelas

montanhas da regio, caminhando uma distncia x = m .n

p+

m2

n+

n2 np

mkm .

Dados: _____________ __________ ______

m n p

Escala: 1cm = 1km

Pedidos: a. Traar uma reta que represente a distncia percorrida.

b. Determinar a distncia real percorrida. Distncia percorrida ________ km

A

B


Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______

ASSUNTO: 3. Polgonos semelhantes

OBJETIVOS: a. Reconhecer figuras semelhantes.

b.Construir polgonos semelhantes a outros pelos processos do tringulo da proporcionalidade

e da homotetia.

DESENVOLVIMENTO 1. Semelhana de tringulos 2. Semelhana de polgonos. 3. Homotetia

Semelhana de Tringulos

Diz-se que dois tringulos so semelhantes quando tm:

1 ngulos respectivamente iguais

A'=A

B'=B

C'=C

{} {}

2 Lados homlogos proporcionais {a'a =b'

b }=c'

c

A

A

B C B C

A razo constante entre lados homlogos chama-se razo de semelhana ( k )

Quando k < 1 teremos

(a'b

(c'>c

( conclumos que h uma ampliao.

Quando k = 1 teremos

(a'=a

(b'=b

(c'=c

( conclumos que h uma igualdade.

Casos de semelhana

1 caso: Dois tringulos so semelhantes quando tm dois ngulos respectivamente iguais.

2 caso: Dois tringulos so semelhantes quando tm um ngulo igual formado por lados proporcionais.

3 caso: Dois tringulos so semelhantes quando tm os lados proporcionais.


Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______

Exerccios

1. Reduzir o tringulo o tringulo ABC dado na razo k=2

3 .

A

B C

2. Construir o tringulo semelhante ao tringulo PQR dado na razo k= 2.

P

Q

R


SEMELHANA DE POLGONOS

Diz-se que dois polgonos so semelhantes quando tm:

1 ngulos respectivamente iguais

A'=A

B'=B

E'=E

{} {}

2 Lados homlogos proporcionais {AB'AB = BC'BC }= .. . ..

A condio necessria e suficiente para que 2 polgonos sejam semelhantes que possam ser

decompostos em tringulos semelhantes dispostos na mesma ordem.


Exerccios

1. Construir o polgono semelhante ao polgono dado, na razo k=3

5 .

D

E C

A B

2. Ampliar o polgono dado na razo k = 3

2

A B

D C

3. Ampliar um quadrado ABCD de lado = 3 cm na razo k = 5

3

4.Construir o polgono semelhante ao polgono dado na razo R = 5

7 .

A

B

C

D

5. Construa um losango semelhante ao losango MNOP na razo R = 3, sabendo que a diagonal NP mede

1,6cm.

M * * O


Homotetia Figuras homotticas : so aquelas cujos ngulos homlogos so congruentes e cujos lados homlogos

so proporcionais.

Homotetia = semelhana + paralelismo

Dizemos que o ponto A homottico de A em relao a um centro de homotetia 0 se:

1 O ponto A pertence a reta OA

2 Existe um nmero k ( razo de homotetia ), de modo que OA' = k . AO.

3. Para k > 0, o ponto 0 ( centro de homotetia ) ser exterior a AA' .

4. Para k < 0, o ponto 0 ( centro de homotetia ) ser interior a AA'

Exemplos:

3. Para k = 3

0 A A

4. Para k = -3

A 0 A


Exerccios 1. Construir o tringulo ABC homottico de ABC de centro de homotetia 0 e razo k = 2

A

0 +

B

C

2. Construir o tringulo ABC homottico do tringulo ABC de centro 0 e k = -1

2

A

0 +

B

C

3. Construir o homottico de um retngulo ABCD de centro 0 e razo k = 3.

A

D B

0 +

C

4. Construir o homottico de um BCD de centro 0 e razo k = -2.

B

C

0 +

D

5. Construir o homottico de um quadriltero ABCD de centro 0 e razo k = 1

3 .

A

D

0 +

B

C

6. Construir o homottico do polgono ABCDE de cinco lados abaixo na razo k = 7

5 .

0 +

A

E

B

D

C

7.Construir o homottico de um hexgono regular ABCDEF de lado igual a 5 cm, cujo centro de

homotetia 0 o centro da circunferncia circunscrita ao hexgono. k = 5

7 .

8.Construir a figura homottica da figura dada na razo k = - 2, sendo 0 o centro de homotetia.

A F

0

B E +

C D

Fim do 1 Bimestre

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