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UNIVERSIDADE DE ÉVORA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL HIDRÁULICA GERAL APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS ENGENHARIA AGRÍCOLA ENGENHARIA BIOFÍSICA ENGENHARIA GEOLÓGICA Maria Madalena V. Moreira Vasconcelos Évora, 2004

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  • UNIVERSIDADE DE VORA

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL

    HIDRULICA GERAL APONTAMENTOS DAS AULAS TERICAS

    ENGENHARIA AGRCOLA

    ENGENHARIA BIOFSICA

    ENGENHARIA GEOLGICA

    Maria Madalena V. Moreira Vasconcelos

    vora, 2004

  • 1

    Captulo 1

    FORAS EXTERIORES E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

    Objectivo: Reconhecer as foras exteriores que actuam sobre um

    dado volume de fluido, as propriedades fsicas dos fluidos e

    a sua importncia para o estudo dos escoamentos.

    1.1 Definio de fluido

    Denomina-se fluido a toda a matria que se deforma indefinidamente quando sujeita

    aco de uma fora tangencial. Nos fluidos a resistncia deformao finita e por isso no

    tm forma prpria, tomando a forma do recipiente que ocupam.

    Na definio anterior podem enquadrar-se os lquidos e os gases. No entanto, estes

    fluidos apresentam comportamentos muito diferentes.

    1.2 Foras exteriores

    Num dado volume de fluido podem actuar dois tipos de foras exteriores; as foras de

    massa ou volume e as foras de contacto ou de superfcie.

    As foras de massa ou volume so as foras que actuam directamente sobre cada uma

    das partculas que constituem o fluido, no mbito deste estudo apenas considerada a fora

    relativa aco da gravidade, denominada por peso prprio.

    As foras de contacto ou superfcie so as foras que actuam no volume de fluido

    atravs da sua superfcie limtrofe. Estas foras podem decompor-se na componente normal e

    na componente tangencial superfcie. A componente normal da fora de contacto, por

    unidade de superfcie designada por presso. A componente tangencial da fora de contacto,

    por unidade de superfcie designada por tenso tangencial e s se manifesta quando os

    fluidos esto em movimento.

  • 2

    1.3 Propriedades fsicas dos fluidos

    1.3.1 Isotropia

    Diz-se que um fluido goza da propriedade da isotropia se cada partcula que constitui o

    fluido, possuir as mesmas caractersticas independentemente da direco da normal a cada um

    dos planos que passa nessa partcula.

    1.3.2 Massa, peso, massa volmica, peso volmico e densidade

    Massa, m, a quantidade de matria que existe num dado volume de fluido e o peso, Pr

    ou Gr

    , a aco da fora atractiva exercida pela Terra (fora da gravidade) sobre essa massa.

    Por definio, o peso obtido pelo produto da massa pela acelerao da gravidade.

    Estas grandezas no apresentam grande interesse na Mecnica dos Fluidos se no

    introduzirem uma referncia relativa ao volume. Assim, define-se massa volmica, , como a

    massa que existe por unidade de volume do fluido e peso volmico, , como o peso da

    unidade de volume do fluido. O peso volmico obtido pelo produto da massa volmica pela

    acelerao da gravidade. Estas duas grandezas so caractersticas de cada fluido, podendo

    variar mais ou menos com a temperatura.

    As unidades destas grandezas no sistema internacional so apresentadas no Quadro 1.1.

    Quadro 1.1 Unidades das grandezas no SI Grandeza massa peso massa

    volmica peso

    volmico Unidade

    kg

    kg m s-2 = N

    kg m-3

    kg m-2 s-2 = N m-3

    No Quadro 1.2 so apresentados os valores da massa volmica e do peso volmico da

    gua e do ar para diferentes temperaturas, presso atmosfrica normal. Verifica-se que a

    gua apresenta o valor mximo da massa volmica para a temperatura de 4C e que diminui

    cerca de 4,2% quando a temperatura varia entre os 4C e os 100C. No caso do ar, a massa

    volmica diminui sempre com a temperatura e apresenta a diminuio de cerca de 26,8%

    quando a temperatura varia entre os 0C e os 100C.

    De um modo geral os gases apresentam maior variao da massa ou peso volmico com

    a temperatura do que os lquidos.

  • 3

    Quadro 1.2 Valores da massa volmica e do peso volmico para diferentes temperaturas,

    presso atmosfrica normal

    massa volmica (kg m-3)

    peso volmico (N m-3)

    temperatura (C)

    gua Ar gua ar 0 999,9 1,293 9809,0 12,68 4 1000,0 1,274 9810,0 12,50

    10 999,7 9807,1 20 998,2 1,204 9792,3 11,81 30 995,7 9767,8 40 992,2 1,129 9733,5 11,08 50 988,1 9693,3 60 983,2 1,062 9645,2 10,42 80 971,8 1,009 9533,4 9,90

    100 958,4 0,946 9401,9 9,28

    Para simplificar esta caracterizao fsica dos fluidos aplica-se uma grandeza

    adimensional que a densidade, d. Esta grandeza relaciona a massa ou peso de um dado

    volume de fluido com a massa ou peso de igual volume de gua temperatura de 4C e

    presso atmosfrica normal. A densidade de um dado fluido pode ser determinada pela relao

    entre a massa volmica ou peso volmico desse fluido e a massa volmica ou peso volmico

    da gua temperatura de 4C e presso atmosfrica normal.

    No Quadro 1.3 so apresentados os valores da densidade relativos a diferentes lquidos e

    gases temperatura de 15,6C e presso atmosfrica normal.

    Quadro 1.3 Densidade de alguns fluidos temperatura de 15,6 C

    e presso atmosfrica normal

    fluido gasolina cido etlico (100%) azeite cido sulfrico (100%) mercrio densidade 0,68 a 0,74 0,79 0,912-0,918 1,83 13,6

    fluido ar dixido de carbono oxignio hidrognio hlio densidade 1,22 E-3 1,87 E-3 1,35 E-3 0,085 E-3 0,17 E-3

    A comparao dos valores da densidade dos lquidos e dos gases permite identificar a

    primeira grande diferena entre estes fluidos, a quantidade de massa por unidade de volume

    nos gases da ordem de grandeza de cerca de 1000 vezes inferior quantidade de massa por

    unidade de volume nos lquidos.

  • 4

    1.3.3 Compressibilidade

    A compressibilidade de um fluido manifesta-se na diminuio do volume de uma dada

    massa de fluido quando sujeita aco de um aumento de presso. Neste caso verifica-se o

    aumento da massa volmica do fluido.

    Esta propriedade pode ser representada atravs do coeficiente de compressibilidade, ,

    definido como a relao entre a diminuio relativa do volume e o aumento de presso que lhe

    deu origem.

    (1.1)

    ainda usado o inverso deste coeficiente, o mdulo de elasticidade volumtrico, :

    =

    1 (1.2)

    Tendo em conta a diferena entre a massa volmica dos lquidos e dos gases ser fcil

    perceber que nos gases existe mais espao entre as molculas, permitindo uma maior

    diminuio do volume para a mesma variao de presso.

    O valor do coeficiente de compressibiliade da gua de 5,1 E-10 m2N-1.

    1.3.4 Viscosidade. Lquidos perfeitos

    A viscosidade uma das propriedades mais importantes para o estudo dos fluidos, que

    se manifesta quando estes entram em movimento. Pode, de modo geral, definir-se como a

    resistncia deformao, ou seja, a maior ou menor capacidade do fluido tomar a forma do

    recipiente que ocupa. A comparao de duas situaes prticas em que se despeja uma

    quantidade de mel ou gua de um jarro para um copo permite-nos concluir que o mel tem uma

    viscosidade superior viscosidade da gua.

    A quantificao da viscosidade facilmente entendida atravs da anlise do escoamento

    unidimensional de um fluido em que se define um conjunto de camadas que se deslocam na

    mesma direco, mas com velocidades diferentes, figura 1.1. A camada com maior velocidade

    tende a exercer uma fora de arrastamento sobre a camada com menor velocidade, que por sua

    vez exerce uma fora resistente sobre a primeira. Estas duas foras tm o mesmo mdulo, a

    mesma direco e sentidos opostos. fora resistente por unidade de rea chama-se tenso

    tangencial de atrito, , apresentando sempre o sentido contrrio ao sentido do escoamento.

    pVV

    =

  • 5

    Os fluidos estudados no mbito desta disciplina (gua, ar, leos) pertencem aos chamados

    fluidos Newtonianos em que a relao entre a tenso tangencial de atrito e o gradiente da

    velocidade, na direco normal ao escoamento, linear, figura 1.1:

    (1.3)

    Figura 1.1 Movimento unidimensional de um fluido Newtoniano (escala deformada)

    O coeficiente de proporcionalidade a viscosidade dinmica, . Por simplificao, nos

    desenvolvimentos hidrulicos normalmente usado um parmetro, designado por viscosidade

    cinemtica, , relacionado com a viscosidade dinmica atravs da equao:

    (1.4)

    No Quadro 1.4 so apresentados os valores da viscosidade cinemtica para diferentes

    fluidos.

    Quadro 1.4 Viscosidade cinemtica para diferentes fluidos a 38C fluido mercrio gasolina azeite mel bruto

    viscosidade cinemtica (10-6 m2/s)

    0,11

    0,40 - 0,71

    43

    74

    A viscosidade dos fluidos Newtonianos varia com a temperatura, no entanto de forma

    diferente nos lquidos e nos gases. A viscosidade nos lquidos diminui com o aumento da

    temperatura por diminuio das foras tangenciais de resistncia. A viscosidade nos gases

    manifesta-se pelo movimento das partculas, aumentando com a temperatura.

    dydv =

    =

  • 6

    No Quadro 1.5 e no Quadro 1.6 so apresentados os valores da viscosidade cinemtica

    para diferentes temperaturas no caso da gua e do ar, respectivamente. possvel identificar a

    diminuio da viscosidade na gua e o aumento da viscosidade no ar, com o aumento da

    temperatura. Para variaes de temperatura entre os 0C e os 20C a variao da viscosidade

    cinemtica de cerca de -43.3% e 8.5% para a gua e para o ar, respectivamente. A variao

    da viscosidade cinemtica com a temperatura na gua muito mais importante que a variao

    no ar.

    Quadro 1.5 Viscosidade cinemtica da gua a diferentes temperaturas e

    presso atmosfrica normal

    temperatura (C)

    0 4 10 20 30 40 50 80 100

    viscosidade cinemtica (10-6 m2/s)

    1,78

    1,57

    1,31

    1,01

    0,80

    0,66

    0,56

    0,37

    0,30

    Quadro 1.6 Viscosidade cinemtica do ar a diferentes temperaturas e

    presso atmosfrica normal

    temperatura (C)

    0 20 40 60 80 100 120 150

    viscosidade cinemtica (10-6 m2/s)

    11,7

    12,7

    13,6

    14,7

    15,7

    16,6

    17,5

    19,3

    Sendo a viscosidade cinemtica uma medida da resistncia entre partculas do fluido em

    movimento, deve ser tomada em considerao a sua variao com a temperatura no estudo do

    escoamento da gua. Na figura 1.2 representa-se a variao da viscosidade cinemtica da gua

    com a temperatura num sistema de eixos, permitindo visualizar a importante variao da

    viscosidade cinemtica dentro da gama de temperaturas da gua dos escoamentos em estudo

    no mbito desta disciplina. ainda apresentada a curva de ajustamento calculada pelo Mtodo

    dos Mnimos Quadrados, correspondente a um coeficiente de determinao igual unidade.

  • 7

    = 3E-14T4 - 9E-12T3 + 1E-09T2 - 5,5E-08T + 1.7765E-06R2 = 1

    00.20.40.60.8

    11.21.41.61.8

    2

    0 20 40 60 80 100T (C)

    (10-6 m2s-1)

    Figura 1.2 Variao da viscosidade cinemtica da gua com a temperatura

    Designa-se por fluido perfeito ou ideal aquele que, sendo homogneo e isotrpico, se

    apresenta sem viscosidade. Naturalmente que este fluido no existe na natureza, tornando-se

    um conceito terico. Existem, no entanto fluidos que, em certas circunstncias, se comportam

    como perfeitos, o caso de fluidos com elevadas aceleraes em que as foras entre as

    partculas que o constituem so desprezveis. Para as mesmas condies geomtricas,

    medida que a velocidade de escoamento do fluido aumenta, menor a influncia da

    viscosidade.

    1.3.5 Tenso de saturao do vapor de um lquido

    Define-se como tenso de saturao do vapor de um lquido a presso absoluta para a

    qual o lquido passa ao estado gasoso. Os lquidos, presso atmosfrica local, apresentam

    gases dissolvidos. Quando a presso toma valores abaixo da presso atmosfrica local ocorre a

    libertao parcial dos gases dissolvidos e se a presso continuar a diminuir e atingir o valor da

    tenso de vaporizao o lquido passa ao estado gasoso.

    A tenso de saturao do vapor da gua varia com a temperatura atingindo o valor da

    presso atmosfera normal temperatura de 100C e ao nvel mdio da gua do mar. No

    Quadro 1.9 so apresentados os valores desta grandeza para diferentes temperaturas.

    Quadro 1.9 Tenso de saturao do vapor da gua a diferentes temperaturas Temperatura (C) 0 4 10 20 30 40 50 80 100 Tenso de saturao do vapor da gua (N/m2)

    608

    814

    1226

    2345

    4248

    7387

    12341

    47392

    101367

  • 8

  • 9

    0Ferr

    =

    Captulo 2

    HIDROSTTICA

    Objectivo: Perceber a deduo da Lei Hidrosttica de Presses,

    calcular a resultante das foras (mdulo, direco, sentido

    e ponto de aplicao) de um lquido em repouso

    sobre uma fronteira slida.

    2.1 Introduo Hidrosttica o captulo da Hidrulica que estuda os fluidos em repouso. Qualquer

    fenmeno hidrulico em que a temperatura constante, o fluido incompressvel e a

    velocidade das partculas nula, tem como incgnita a presso. Para caracterizar o

    comportamento do fluido em repouso necessrio determinar a relao entre os valores da

    presso nas diferentes partculas da massa fluida.

    2.2 Lei Hidrosttica de Presses

    A Equao Fundamental da Dinmica, equao 2.1, aplicada a um dado volume de

    fluido anula a resultante das foras que actuam sobre esse volume de fluido.

    amFerr= ou 0amFe =

    rr (2.1)

    A resultante das foras exteriores que actuam sobre o volume de fluido igual em

    mdulo, tem a mesma direco e sentido contrrio fora de inrcia desse volume ( amr ).

    No caso de um fluido em repouso a acelerao nula, obtendo-se:

    (2.2)

    As foras exteriores que actuam sobre um dado volume de fluido em repouso e sujeito aco

    da gravidade so, equao 2.3:

    - a fora de massa ou volume (peso prprio, Gr

    ) e

    - as foras de contacto ou de superfcie (resultante da componente normal, r

    ).

  • 10

    A resultante da componente tangencial das foras de contacto ou de superfcie no se

    manifesta porque o lquido est em repouso.

    (2.3)

    Esta equao vectorial aplicada a um dado volume de fluido e resolvida atravs das

    suas componentes num sistema de eixos cartesianos.

    A componente segundo um eixo cartesiano permitir determinar a variao da presso a

    que esto sujeitas as partculas localizadas sobre esse eixo, devendo porm a presso ser

    constante segundo as outras direces do sistema de eixos. Assim, o volume de fluido a

    considerar um cilndrico com o eixo longitudinal coincidente com o eixo cartesiano da

    componente em estudo, altura igual distncia entre duas partculas localizadas nesse eixo e

    base com rea elementar. A presso na base considerada constante e igual presso no seu

    centro de gravidade, coincidente com a presso da partcula a localizada. A equao

    resultante relaciona a presso das partculas localizadas nas bases do cilindro. No sendo

    imposta a altura do cilindro, a equao pode ser aplicada a quaisquer duas partculas sobre o

    eixo cartesiano em estudo.

    Estudo da variao da presso segundo o eixo oy:

    Aplicando a componente segundo o eixo oy da equao 2.3 ao volume representado na

    figura 2.1, verifica-se que o peso prprio do cilindro e as componentes normais das foras de

    contacto que actuam sobre a parede lateral do cilindro no tm componente segundo o eixo

    oy. A fora de contacto normal (com o sentido da superfcie premida) sobre cada base do

    cilindro igual ao produto da presso na partcula localizada no centro de gravidade dessa

    base pela rea da base, obtendo-se a seguinte equao simplificada:

    0dApdAp 21 = (2.4)

    Dividindo pela rea elementar finita, dA, obtm-se:

    21 pp = (2.5)

    Tendo sido as partculas 1 e 2 localizadas sobre o eixo oy sem restries relativamente

    ao seu afastamento, possvel generalizar o resultado: a presso constante em todas as

    partculas localizadas sobre o eixo oy, equao 2.6.

    0yp=

    (2.6)

    0Grrr

    =+

  • 11

    Figura 2.1 Aplicao da componente segundo o eixo oy, da equao fundamental da dinmica

    Estudo da variao da presso segundo o eixo ox:

    Este estudo, com as mesmas caractersticas do anterior, permite concluir que a variao

    da presso segundo o eixo ox igual a zero, ou seja a presso constante em todas as

    partculas localizadas sobre o eixo ox:

    0xp=

    (2.7)

    Tendo em conta que o eixo ox e o eixo oy definem um plano horizontal, que a presso

    constante nas partculas localizadas sobre o eixo ox e constante nas partculas localizadas no

    eixo oy, ento a presso constante em qualquer partcula localizada sobre um plano

    horizontal.

    Estudo da variao da presso segundo o eixo oz:

    Aplicando a componente segundo o eixo oz da equao 2.3 ao volume apresentado na

    figura 2.2, verificamos que as foras de contacto normais que actuam sobre a parede lateral do

    cilindro no tm componente segundo o eixo oz. O peso prprio determinado pelo produto

    do peso volmico do fluido pelo volume do cilindro. A fora de contacto normal (com o

    sentido da superfcie premida) sobre cada base do cilindro igual ao produto da presso na

    partcula localizada no centro de gravidade dessa base pela rea da base, obtendo-se a

    seguinte equao simplificada:

    0dApdApdA)zz( 6565 =+ (2.8)

    Dividindo a equao (2.8) pela rea elementar finita dA, vem:

    0pp)zz( 6565 =+ (2.9)

  • 12

    !!!!!

    "

    !!!!!

    #

    $

    =%%&

    '(()

    *

    +

    =

    =

    0pzz

    0yp

    0xp

    Figura 2.2 Aplicao da componente segundo oz, da equao fundamental da dinmica

    Isolando, em cada membro, os termos relativos a cada partcula, obtm-se:

    +=

    + 66

    55

    pz

    pz (2.10)

    em que z a cota topogrfica relativamente a um dado plano horizontal de referncia, energia

    potencial de posio por unidade de peso do fluido, e p/ a altura piezomtrica, energia

    potencial de presso por unidade de peso do fluido. A soma Z+p/ chama-se cota

    piezomtrica.

    Tendo em conta que a localizao das partculas 5 e 6 foi definida sem restries sobre o

    eixo oz, possvel generalizar o resultado:

    0pzz

    =%%&

    '(()

    *

    +

    (2.11)

    Para os trs eixos cartesianos, verificam-se as seguintes relaes:

    a presso constante para qualquer valor de x;

    a presso constante para qualquer valor de y;

    a cota piezomtrica constante para qualquer valor de z.

    Sabendo que a deduo apresentada se aplica ao domnio de um fluido homogneo com

    peso volmico constante, que a cota topogrfica das partculas localizadas sobre um dado

    plano horizontal constante, que a presso constante para as partculas localizadas no plano

  • 13

    horizontal, conclui-se que a cota piezomtrica tambm constante para qualquer partcula

    localizada no plano horizontal.

    Fica, assim deduzida a Lei Hidrosttica de Presses que se enuncia: a cota piezomtrica

    constante em qualquer partcula de um fluido em repouso, sujeito aco da gravidade.

    2.3 Aplicaes da Lei Hidrosttica de Presses

    - Relao entre a presso do ar e a presso em partculas localizadas em diferentes

    posies de um domnio lquido

    Quando se estuda o comportamento de dois meios fluidos diferentes em repouso, um

    gasoso e um lquido pode concluir-se que, dada a relao entre pesos volmicos do lquido e

    do gs ser da ordem de mil, se pode desprezar o peso volmico do gs. Neste caso, a presso

    em qualquer partcula do domnio fluido gasoso constante. A presso das partculas de um

    lquido localizadas na superfcie livre esto sujeitas a uma presso igual presso do gs. No

    caso particular da figura 2.3 a presso da partcula localizada na posio E igual presso

    do ar.

    Conhecida a presso de uma partcula contida num dado domnio fluido, possvel

    determinar a presso em qualquer outra partcula do mesmo domnio fluido.

    Figura 2.3 Reservatrio que contm um lquido em repouso em contacto com a atmosfera

    A aplicao da lei hidrosttica de presses entre partculas do mesmo domnio fluido,

    representado na figura 2.3, permite calcular a presso nas partculas localizadas em A, B, C e

    D a partir do valor da presso da partcula localizada em E, atravs das seguintes relaes:

    ( ) ( )321OHEDOH

    E321

    OH

    D

    OH

    EE

    OH

    DD hhh pp

    phhhp0 pzpz2

    2222

    +++=

    +++=

    +

    +=

    +

  • 14

    - Diagrama de presses sobre uma superfcie slida, fronteira de um domnio fluido

    Para determinar a resultante das foras que actuam sobre uma dada fronteira slida do

    domnio fluido necessrio conhecer a variao de presso das partculas que se encontram

    em contacto com essa fronteira slida. Chama-se diagrama de presses sobre a fronteira

    slida representao da variao de presso dessas partculas.

    O diagrama de presses define-se no espao, mas em alguns casos pode ser bem

    representado pelo seu corte, atravs de um figura geomtrica plana. No caso de uma

    superfcie premida rectangular com dois lados horizontais (exemplo da parede lateral de um

    reservatrio paralelipipdico) o diagrama de presses ter uma forma prismtica com base

    igual figura geomtrica plana (corte do diagrama de presses) e com a altura igual largura

    da superfcie premida rectangular (na perpendicular folha de papel).

    Na figura 2.4 apresenta-se um exemplo do traado do diagrama de presses sobre a

    parede lateral esquerda do reservatrio da figura 2.3, considerado como um reservatrio

    apoiado. A face exterior da parede est sujeita presso do ar. Na face interior em contacto

    com a gua, a presso aumenta linearmente, sendo o coeficiente de proporcionalidade igual ao

    peso volmico do lquido que constante.

    a) b)

    Figura 2.4 Diagrama de presses sobre a parede lateral esquerda de um reservatrio apoiado

    a) diagrama de presses interior e exterior; b) diagrama de presses resultante

    ( ) ( ) ABOH

    B32

    OH

    A32

    OH

    BB

    OH

    AA pp

    phhphh pzpz2222

    =

    ++=

    ++

    +=

    +

    ( ) 2OHCAOH

    C3

    OH

    A32

    OH

    CC

    OH

    AA h pp

    phphh pzpz2

    2222

    =

    +=

    ++

    +=

    +

    3OHDCOH

    D

    OH

    C3

    OH

    DD

    OH

    CC h pp

    p0ph pzpz2

    2222

    =

    +=

    +

    +=

    +

  • 15

    Se a largura da superfcie premida, segundo a direco perpendicular ao papel, no for

    constante o diagrama de presses no ser prismtico. Como exemplo refere-se o caso

    particular de uma superfcie premida circular na posio horizontal, a presso constante na

    superfcie premida e o diagrama de presses um cilindro; se a mesma superfcie estiver num

    plano no horizontal o diagrama de presses um cilindro cortado por um plano oblquo ao

    eixo desse cilindro. Neste caso a representao do diagrama de presses atravs do seu corte

    no suficiente.

    - Presses absolutas e presses relativas

    No diagrama de presses traado na figura 2.4 b), a presso na superfcie livre do

    lquido representada como sendo nula e a variao da presso com a profundidade linear

    (coeficiente de proporcionalidade igual ao peso volmico do lquido). Este diagrama de

    presses equivalente a uma representao relativa presso atmosfrica local, considerada

    como nula. Definem-se, assim a escala de presses absolutas que tem como origem o vcuo e

    a escala de presses relativas que tem como origem a presso atmosfrica local, figura 2.5.

    Figura 2.5 Escalas de presses absolutas e presses relativas

    A relao entre a presso absoluta e a presso relativa pode ser representada pela

    seguinte equao:

    (2.12)

    Em Hidrulica, identifica-se o termo presso com a presso relativa.

    - Manmetros de lquidos, medio de presso

    A medio da presso num ponto, relativamente presso atmosfrica local feita

    atravs da instalao de um manmetro simples.

    local atmrelativaabsoluta ppp +=

  • 16

    O manmetro simples mais elementar o tubo piezomtrico, figura 2.6, que permite

    medir a presso da partcula localizada no ponto onde foi instalado.

    Figura 2.6 Tubo piezomtrico

    Em casos especiais podem ser aplicadas diferentes solues de manmetros simples,

    como as representadas no Quadro 2.1.

    Quadro 2.1. Exemplos de manmetros simples medio de presses com valores baixos:

    medio de presses negativas: medio de presses com valores elevados:

    A medio da diferena de presses entre duas partculas pode ser feita com a instalao

    de dois manmetros simples, figura 2.7, ou pela aplicao de manmetros diferenciais, figura

    2.8.

    Figura 2.7 Manmetros simples aplicados na medio da diferena de presses

    entre duas partculas

    hppA sup += ( ) 221sup h - ' hhppA ++=

    ( )BABABB

    AA

    hhpphpphpp

    ''

    sup'

    sup'

    =

    +=

    +=

    h sup = ppA

    >> '

  • 17

    ( )( ) ( )( ) ( )

    ( )( )ABBABAABBA

    BABA

    AB

    BB

    AA

    hhpphhhhpphphppp

    hhpphpphpp

    =

    +=

    ++=

    +=

    +=

    +=

    12''

    12''

    1211''

    221

    12'

    11'

    Os manmetros diferenciais permitem medir a diferena de presses entre duas

    partculas. Na figura 2.8 a) representada a soluo para o caso de presses muito elevadas

    em A e B, atravs da introduo de ar comprimido e na figura 2.8 b) representada a

    soluo para o caso de diferena de presses muito elevada entre A e B, atravs da

    utilizao de um lquido com maior densidade.

    a)

    b)

    Figura 2.8 Manmetros diferenciais

    2.4 Impulso hidrosttica

    Conhecida a presso de uma partcula que est em contacto com uma fronteira slida

    possvel determinar a fora de presso que essa partcula exerce sobre a mesma fronteira

    slida. A fora de presso calculada pelo produto da presso pela rea elementar da

    superfcie slida centrada na partcula, dA, em que a presso se considera constante. Chama-

    se impulso hidrosttica resultante das foras de presso que actuam sobre uma superfcie

    (quando exista essa resultante). Designando por fora elementar de presso a fora normal

    sobre a rea elementar, as foras de presso tm resultante nica se as foras elementares so

    concorrentes ou paralelas, o que acontece no caso de superfcies premidas planas ou

    superfcies premidas curvas cilndricas ou esfricas.

    ( )BABABarB

    AarA

    hhpphpphpp

    ''

    '

    '

    =

    +=

    +=

  • 18

    A impulso hidrosttica s pode ficar bem definida quando determinados: o mdulo, a

    direco, o sentido e o seu ponto de aplicao.

    2.4.1 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie plana qualquer

    No caso mais geral de uma superfcie plana qualquer, que faz um ngulo com o plano

    horizontal, a presso p num dado ponto da superfcie premida pode identificar-se com a

    presso numa rea elementar, dA, com centro no ponto referido. A fora elementar de

    presso que actua sobre essa rea elementar determinada por, figura 2.9:

    (2.13)

    O valor de dF representa fisicamente o volume de um prisma com base igual a dA e

    altura igual ao valor da presso na partcula que est em contacto com o ponto localizado no

    centro da rea elementar, ou seja o volume do diagrama de presses correspondente rea

    elementar.

    Figura 2.9 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie plana qualquer,

    fora elementar de presso

    A integrao desta equao rea total da superfcie premida permite obter a impulso

    total sobre a superfcie premida:

    (2.14)

    que ser representada fisicamente pelo volume total do diagrama de presses, figura 2.10.

    ==AA

    dA pdF

    dA pdF =

  • 19

    A impulso hidrosttica pode ser calculada com base no diagrama de presses: o

    mdulo igual ao volume do diagrama de presses, a direco normal superfcie premida

    plana, o sentido de compresso e o ponto de aplicao, denominado centro de impulso,

    dado pela intercepo entre a linha de aco da impulso que passa no centro de gravidade do

    diagrama de presses e a superfcie premida, figura 2.10.

    Figura 2.10 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie plana qualquer,

    corte do diagrama de presses

    No entanto, s fcil determinar a impulso hidrosttica atravs do diagrama de

    presses no caso de uma superfcie premida rectangular com dois lados horizontais. Para os

    outros casos aplicada a equao deduzida, analiticamente, de seguida.

    A deduo analtica da equao que determina a impulso hidrosttica considera as

    seguintes hipteses simplificativas: a superfcie livre do reservatrio est presso

    atmosfrica local e dentro do reservatrio o peso volmico do fluido constante, ou seja

    existe apenas um fluido que exerce foras normais sobre a fronteira slida. Na representao

    grfica foi considerado um sistema de eixos no plano da superfcie premida, definido de modo

    a que o eixo ox coincida com a direco de maior declive do plano da superfcie premida, a

    passar no centro de gravidade da superfcie premida e o eixo oy normal ao eixo ox e

    coincide com o trao (intercepo) dos dois planos definidos pela superfcie livre e pela

    superfcie premida, figura 2.9.

    O valor da presso num ponto da superfcie premida determinado por:

  • 20

    (2.15)

    e a fora elementar de presso que actua sobre a rea elementar dA com centro de gravidade

    no ponto referido determinada por:

    (2.16)

    A resultante das foras de presso sobre toda a superfcie obtida pela integrao da

    equao anterior a toda a rea:

    (2.17)

    se const= ,

    (2.18)

    A relao entre a profundidade h e a abcissa x de uma dada posio da superfcie

    premida, figura 2.9, dada por:

    senx h = (2.19)

    que substituda na equao anterior, permite obter:

    (2.20)

    Por definio de centro de gravidade de uma superfcie plana, o momento da rea total

    relativamente a um eixo qualquer igual ao somatrio dos momentos de todas as reas

    elementares relativamente ao mesmo eixo. Tratando-se de um nmero infinito de reas

    elementares a definio de centro de gravidade pode ser apresentada como a igualdade entre o

    momento da rea total relativamente a um eixo qualquer e o integral do momento da rea

    elementar a toda a seco relativamente ao mesmo eixo.

    Matematicamente a definio de centro de gravidade pode ser representada pela equao

    2.21 em que os momentos so determinados relativamente ao eixo oy.

    (2.21)

    que, substitudo na equao (2.20), permite obter:

    (2.22)

    Tendo em conta que GG hsen X =

    dAh dA pdF ==

    ==AA

    dAh dF

    ==AA

    dAh dF

    ===AAA

    dAx sen dA senx dAh

    A X sen dAx sen G == A

    h p =

    A XdAx GA

    =

  • 21

    (2.23)

    e sendo GG ph =

    (2.24)

    A anlise da equao 2.24 permite concluir que a impulso hidrosttica, sobre uma

    superfcie plana qualquer, igual ao produto do valor da presso no centro de gravidade da

    superfcie premida pela rea da superfcie premida. Do ponto de vista numrico este resultado

    equivalente situao em que a presso constante em toda a superfcie premida, que s

    acontecer se a superfcie premida for horizontal; em todos os outros casos a presso aumenta

    medida que a profundidade aumenta. Fisicamente possvel verificar que se cortarmos um

    diagrama de presses com um plano paralelo superfcie premida e a passar no valor da

    presso no centro de gravidade, o volume destacado igual ao volume necessrio para

    completar o slido definido pelo corte, figura 2.11.

    Figura 2.11 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie plana qualquer,

    equivalncia do diagrama de presses

    Verificamos, assim que a nica restrio que se mantm na deduo da equao da

    impulso a superfcie premida estar em contacto, em toda a sua rea, com o mesmo lquido.

    A h A X sen GG ==

    A pG=

  • 22

    A substituio de Gh por Gp (passagem da equao 2.23 para a equao 2.24) permite

    aplicar a equao 2.24 qualquer que sejam as condies de distribuio de presso acima do

    ponto de maior cota da superfcie premida, incluindo a presso superfcie.

    A direco da impulso perpendicular superfcie premida.

    O sentido da impulso de compresso, ou seja sempre no sentido da superfcie

    premida.

    O ponto de aplicao, chamado por centro de impulso, fica bem definido se so

    conhecidas a sua abcissa e a sua ordenada relativamente ao sistema de eixos usado, figura 2.9.

    Estas coordenadas podem ser determinadas com base na definio de resultante de um sistema

    de foras, igualando o momento da resultante (impulso hidrosttica) relativamente a um dado

    eixo com o somatrio dos momentos das foras elementares de presso relativamente ao

    mesmo eixo. Por se tratar de um nmero infinito de foras elementares necessrio igualar o

    momento da resultante relativamente a um dado eixo com o momento da fora elementar de

    presso integrada a toda a superfcie, relativamente ao mesmo eixo.

    Determinao da abcissa do centro de impulso, Xci

    Para determinar a abcissa do centro de impulso igualamos o momento da impulso

    relativamente ao eixo oy com o momento da fora elementar de presso integrado a toda a

    rea relativamente ao mesmo eixo oy, figura 2.12.

    Figura 2.12 Centro de impulso. Determinao da sua abcissa

  • 23

    O momento da fora elementar relativamente ao eixo oy :

    (2.25)

    e a igualdade de momentos :

    (2.26)

    Substituindo dF e na equao anterior, por:

    "#$

    A sen X dA sen x dF

    G =

    =

    e admitindo as hipteses simplificativas:

    "#$

    .const.constsen

    =

    =

    obtm-se:

    ciA

    G2 XA X sen dA x sen = (2.27)

    (2.28)

    em que o momento de inrcia da superfcie plana premida relativamente ao

    eixo oy.

    No Quadro 2.2 so apresentados os momentos de inrcia de figuras geomtricas planas

    relativamente a um eixo, paralelo a oy, que passa no centro de gravidade.

    O momento de inrcia da figura plana relativamente a um eixo qualquer oy relaciona-se

    com o momento de inrcia da figura plana relativamente ao eixo paralelo a oy que passa no

    centro de gravidade, atravs da seguinte equao:

    2GGG'oy XA II += (2.29)

    permitindo obter a equao geral da abcissa do centro de impulso:

    (2.30)

    A aplicao da equao 2.30 ao caso particular de uma superfcie premida horizontal,

    em que a abcissa do centro de gravidade infinita, anula a segunda parcela do membro direito

    A XI XX

    G

    GG'Gci +=

    ciX dFx =A

    A XI

    A X

    dA x X

    G

    oy

    G

    2

    ci ==A

    dFx

    =A

    dA xI 2oy

  • 24

    e a abcissa do centro de impulso coincide com a abcissa do centro de gravidade. No caso

    geral de uma superfcie plana no horizontal, o centro de impulso localiza-se sempre abaixo

    do centro de gravidade, j que o segundo termo do membro da direita sempre positivo.

    Quadro 2.2 Momento de inrcia de figuras geomtricas planas

    Figura plana e posio do centro de gravidade

    Momento de inrcia relativamente ao eixo GG

    rectngulo

    12baI

    3

    GG' =

    tringulo

    36baI

    3

    GG' =

    crculo

    4R I

    4

    GG'

    =

    semicrculo

    4

    GG' R1098,0I =

    Determinao da ordenada do centro de impulso, Yci

    Para determinar a ordenada do centro de impulso seguir-se-ia o mesmo procedimento,

    sendo os momentos determinados relativamente ao eixo ox. No entanto, normalmente as

    superfcies premidas a estudar so simtricas relativamente ao eixo ox tornando-se a

    ordenada do centro de impulso nula, ou seja o centro de impulso encontra-se sobre o eixo

    ox .

  • 25

    2.4.2 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie curva

    Sendo, neste caso, muito difcil a determinao da impulso hidrosttica atravs do

    volume do diagrama de presses ser estudado o mtodo analtico mais expedito.

    O sistema de foras de presso elementares que actuam sobre uma superfcie curva

    qualquer normalmente no admitem resultante, com excepo de formas regulares como

    superfcies cilndricas ou esfricas. Em Hidrulica, as superfcies curvas aplicadas em

    comportas ou outras estruturas como paredes de reservatrios so de forma regular.

    Para clculo da impulso hidrosttica sobre uma superfcie curva, as foras elementares

    de presso so decompostas na componente vertical, e numa componente horizontal que ser

    a resultante de todas as foras horizontais. A resultante das componentes horizontais a

    impulso hidrosttica horizontal, h e a resultante das componentes verticais a impulso

    hidrosttica vertical, v .

    Figura 2.13 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie curva, fora elementar de presso

    No caso mais geral de uma superfcie curva, a presso num dado ponto da superfcie

    premida pode identificar-se com a presso numa rea elementar plana, dA, com o centro de

    gravidade coincidente com o ponto referido. A fora elementar de presso que actua sobre

    essa rea elementar, figura 2.13, determinada por:

    (2.31)

    Considerando as hipteses simplificativas de que a superfcie livre do reservatrio est

    presso atmosfrica local e que dentro do reservatrio o peso volmico constante, ou seja

    dA pdF =

  • 26

    existe apenas um fluido a comprimir a superfcie slida, o valor da presso num ponto da

    superfcie premida determinada por:

    (2.32)

    e a fora elementar de presso que actua sobre a rea elementar dA com centro no ponto

    referido determinada por:

    (2.33)

    Determinao da componente vertical:

    A componente vertical da fora elementar de presso, figura 2.13, dada por:

    (2.34)

    O factor cosdA representa a projeco vertical da rea elementar sobre um plano

    horizontal e designa-se por VdA .

    (2.35)

    O factor VdAh representa o produto de uma rea horizontal por uma altura do lquido,

    ou seja o volume do lquido acima da projeco, sobre um plano horizontal, da rea

    elementar. Considerando a rea elementar plana (dimenses muito pequenas) o volume

    referido atrs coincide com o volume de lquido acima da rea elementar premida.

    A componente vertical da fora elementar de presso pode associar-se ao peso do

    volume do lquido limitado pela rea elementar, a superfcie livre do lquido e as projectantes

    verticais que passam no contorno da rea elementar.

    (2.36)

    A resultante da componente vertical das foras de presso sobre toda a superfcie

    obtida pela integrao da equao anterior a toda a rea:

    (2.37)

    Considerando a hiptese simplificativa de que const= :

    (2.38)

    dAh dA pdF ==

    cosdA h cos dFdFV ==

    VV dAh cosdA h dF ==

    h p =

    VV dAh dF =

    dAh dFA

    vA

    vv ==

    dAh A

    vv =

  • 27

    O integral da equao (2.38) igual ao volume do lquido limitado pela superfcie

    premida, a superfcie livre do lquido e as projectantes verticais que passam no contorno da

    superfcie premida.

    A componente vertical da impulso sobre a superfcie curva igual ao peso do volume

    do lquido referido.

    (2.39)

    Na figura 2.14 representada a componente vertical da impulso sobre a superfcie

    curva.

    Figura 2.14 Componente vertical da impulso hidrosttica sobre uma superfcie curva

    Determinao da componente horizontal:

    A componente horizontal da fora elementar de presso, figura 2.13, dada por:

    (2.40)

    O factor representa a projeco horizontal da rea elementar sobre um plano

    vertical designada por hdA .

    (2.41)

    O factor hdAh representa o produto de uma rea vertical (projeco da rea elementar

    sobre um plano vertical) pela distncia do centro de gravidade dessa rea a um dado eixo.

    A resultante da componente horizontal das foras de presso sobre toda a superfcie

    curva obtida pela integrao da equao anterior a toda a rea, com const= :

    (2.42)

    Vol V =

    cosdA

    cosdA h cos dFdFh ==

    hh dAh cosdA h dF ==

    dAh dFA

    hA

    hh ==

  • 28

    A comparao desta equao com a equao da impulso sobre uma superfcie plana,

    equao 2.18, permite concluir que a componente horizontal da impulso hidrosttica sobre

    uma superfcie curva calculada do mesmo modo que a impulso sobre uma superfcie plana

    sendo essa superfcie plana a projeco da superfcie curva sobre um plano vertical. O integral

    da equao 2.42, aplicando o conceito de centro de gravidade, corresponde ao integral na rea

    da superfcie premida do momento da projeco horizontal da rea elementar relativamente a

    um eixo que a intercepo entre o plano vertical onde feita a projeco da superfcie

    premida e a superfcie livre e igual ao momento da rea projectada sobre o plano vertical

    relativamente ao mesmo eixo.

    (2.43)

    Na equao anterior hG a profundidade do centro de gravidade da projeco horizontal

    da superfcie curva sobre um plano vertical e Ah a rea da projeco horizontal da superfcie

    curva sobre um plano vertical.

    A componente horizontal da impulso sobre uma superfcie curva dada por:

    (2.44)

    Na figura 2.15 so representados os parmetros envolvidos na determinao da

    componente horizontal da impulso sobre a superfcie curva.

    Figura 2.15 Determinao da componente horizontal da impulso hidrosttica sobre uma

    superfcie curva

    Impulso hidrosttica sobre a superfcie curva:

    Tratando-se de uma superfcie curva cilndrica ou esfrica que admite resultante nica, o

    mdulo da impulso hidrosttica sobre a superfcie curva determinado por: 2

    h2

    v += , (2.45)

    hGh A p =

    A p A h dAh hGhGA

    hh ===

  • 29

    a direco determinada atravs do ngulo formado com o plano horizontal:

    h

    varctg

    = , (2.46)

    o sentido de compresso e o ponto de aplicao tal que a linha de aco da impulso

    hidrosttica passa no centro geomtrico da superfcie curva, j que a linha de aco de todas

    as foras elementares de presso, por serem perpendiculares superfcie premida, passam no

    centro geomtrico da superfcie curva, figura 2.16.

    Figura 2.16 Impulso hidrosttica sobre uma superfcie curva cilndrica ou esfrica

    2.4.3 Impulso sobre corpos imersos

    No caso de um corpo estar totalmente imerso aplicam-se os conceitos estudados no

    subcaptulo anterior, sendo no entanto necessrio dividir a superfcie premida de modo a

    determinar as componentes verticais de cima para baixo e de baixo para cima e as

    componentes horizontais da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

    Aplicados estes conceitos, a um corpo imerso num fluido, verifica-se o Teorema de

    Arquimedes que enuncia que todo o corpo mergulhado num fluido em repouso recebe da

    parte deste uma impulso vertical, de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido

    deslocado.

  • 30

  • 31

    Captulo 3

    HIDROCINEMTICA

    Objectivo: Identificar as variveis envolvidas no estudo do movimento

    dos fluidos, classificar o movimento dos fluidos e

    perceber a deduo da Equao da Continuidade

    e a sua aplicao ao estudo do escoamento dos fluidos .

    3.1 Introduo

    Hidrocinemtica o captulo da Hidrulica que estuda o movimento dos fluidos. No

    mbito desta disciplina, o estudo feito atravs da descrio do comportamento das partculas

    de fluido que ocupam as diferentes posies de um determinado domnio, em cada instante.

    As hipteses simplificativas a considerar so a temperatura constante e o fluido

    incompressvel.

    3.2 Variveis a considerar no estudo do fluido em movimento

    Qualquer problema de dinmica dos fluidos pode ser estudado se conhecidas as

    seguintes grandezas relativas s partculas que ocupam cada posio do domnio fluido, ao

    longo do tempo:

    - presso p = p(P,t)

    - massa volmica = (P,t)

    - temperatura T = T(P,t)

    - as trs componentes do vector velocidade kji vvvv zyx ++=r

    Na maioria dos problemas prticos de Engenharia Hidrulica, no entanto, os processos

    so considerados isotrmicos, ou seja em que a variao de temperatura desprezvel em

    termos de resultados obtidos.

    O fluido mais estudado na Hidrulica a gua que, embora seja um fluido pouco

    compressvel com coeficiente de compressibilidade igual a 5,1 E-10 m2N-1, em certas

  • 32

    circunstncias do escoamento manifesta a sua compressibilidade exigindo um estudo mais

    aprofundado. No mbito desta disciplina, a gua considerada incompressvel.

    Neste caso o nmero de variveis a estudar fica reduzido a quatro: a presso e as trs

    componentes da velocidade de escoamento em cada ponto do domnio fluido.

    3.3 Noes e parmetros de carcter hidrocinemtico

    3.3.1 Representao do vector velocidade em Variveis de Euler

    O vector velocidade ser representado atravs das Variveis de Euler, ou seja so

    caracterizadas as velocidades das partculas que passam nas diferentes posies do domnio

    fluido, ao longo do tempo. Em cada instante, interessa determinar a velocidade das partculas

    que esto nas diferentes posies do domnio fluido.

    A nomenclatura usada , figura 3.1 :

    - ( )t,Pvv rr = velocidade da partcula M que est na posio P no instante t;

    - ( )tt,Pvv += rr velocidade da partcula N que est na posio P, no instante t+t.

    Figura 3.1 Representao da velocidade em Variveis de Euler

    3.3.2 Trajectria de uma partcula. Linha de corrente num domnio fluido

    Os conceitos de trajectria e linha de corrente tm grande importncia no estudo

    analtico dos escoamentos.

    Designa-se por trajectria de uma partcula o lugar geomtrico das posies que essa

    partcula ocupa, ao longo do tempo. As trajectrias so representadas no tempo e no espao,

    figura 3.2. A partcula M est na posio P no instante t e na posio Q no instante t+t. O

    vector velocidade da partcula em cada posio que ocupa tangente trajectria nesse ponto.

  • 33

    Figura 3.2 Traado da trajectria da partcula M

    As linhas de corrente definem-se no domnio fluido, para um dado instante. So as

    linhas que, em cada ponto, tm como tangente o vector velocidade da partcula localizada

    nesse ponto, figura 3.3. A partcula M est na posio P no instante t1 e a partcula N est na

    posio Q no mesmo instante t1.

    Figura 3.3 Traado da linha de corrente relativa s posies P e Q do domnio fluido,

    para o instante t1

    Com base na definio de trajectria de uma partcula e de linha de corrente no domnio

    fluido podem deduzir-se as seguintes propriedades:

    1 - As linhas de corrente, para um dado instante, so tangentes s trajectrias das partculas

    no ponto onde esto as partculas nesse instante.

    explicao: as linhas de corrente, definidas para um dado instante, cruzam em cada ponto a

    trajectria da partcula que ocupa essa posio, se o vector velocidade tangente em cada

    ponto trajectria e linha de corrente, num dado instante e na posio que a partcula ocupa

    a linha de corrente tangente trajectria.

    2 - No caso de escoamentos com velocidade constante no tempo, as trajectrias das

    partculas coincidem com as linhas de corrente.

    explicao: se a velocidade das partculas que ocupam, ao longo do tempo, cada posio do

    domnio fluido constante, as linhas de corrente tambm so constantes ao longo do tempo e

    as partculas que passam numa mesma posio do domnio tero a mesma trajectria.

  • 34

    3.3.3 Tubo de fluxo

    Seja uma linha fechada no coincidente com uma linha de corrente, faa-se passar por

    cada posio dessa linha fechada uma linha de corrente. A superfcie geomtrica formada

    pelas linhas de corrente apoiadas no contorno fechado denomina-se por tubo de fluxo, figura

    3.4.

    A propriedade principal do tubo de fluxo que as suas paredes no so atravessadas

    pelo fluido, j que a velocidade de todas as partculas de fluido localizadas na parede s tm

    componente tangencial.

    Figura 3.4 Tubo de fluxo, para um dado instante

    A vantagem da utilizao do tubo de fluxo est em que qualquer conduta impermevel

    de qualquer material se comporta, do ponto de vista hidrulico, como um tubo de fluxo, pois

    atravs das suas paredes tambm no se verifica o escoamento. Este conceito apresenta uma

    grande importncia no estudo global dos escoamentos.

    3.3.4 Caudal. Velocidade mdia de escoamento

    Na caracterizao do comportamento hidrulico de um tubo de fluxo define-se por

    caudal, representado por Q, o volume de fluido que atravessa a sua seco transversal por

    unidade de tempo. Seja S uma superfcie em estudo e dS a superfcie elementar onde a

    velocidade considerada constante e igual velocidade da partcula que ocupa a posio do

    centro de gravidade da superfcie elementar, vr . S a componente da velocidade normal

    superfcie contribui para o caudal atravs dessa superfcie, figura 3.5.

    As partculas que no instante inicial esto localizadas na superfcie, percorrem durante o

    intervalo de tempo dt a distncia vndt em que vn = v cos a componente da velocidade

    segundo a direco normal superfcie. O volume do fluido que atravessa a superfcie dS com

    a velocidade vr no intervalo de tempo dt, figura 3.5, :

  • 35

    dS vdtdtdSv

    dtdVoldQ nn ===

    ===SS S

    n dSvdS nvdQQrr

    S

    dS nv

    SQU

    == S

    rr

    dS nv dS vdQ nrr==

    (3.1)

    Figura 3.5 Caudal elementar

    O caudal elementar, atravs da rea elementar dS, :

    (3.2)

    Aplicando o conceito de produto interno entre o vector velocidade e o versor normal

    superfcie, o caudal elementar pode ser representado por:

    (3.3)

    O caudal atravs da superfcie S igual ao integral do caudal elementar, a toda a

    superfcie:

    (3.4)

    Para calcular o caudal num tubo de fluxo necessrio conhecer a lei de variao da

    velocidade na sua seco transversal que, de modo geral, no est disponvel tornando

    impossvel o clculo. Para ultrapassar esta dificuldade foi definida uma grandeza designada

    por velocidade mdia e que a velocidade fictcia, constante na seco, que transporta o

    mesmo caudal num tubo com iguais caractersticas geomtricas. A velocidade mdia

    determinada pela equao:

    (3.5)

    dSdt vdVol n=

  • 36

    3.4 Classificao do movimento dos fluidos

    3.4.1 Nota introdutria

    A classificao do escoamento dos fluidos pode ser feita de acordo com diferentes

    critrios, sendo cada uma delas independente das outras. Apresentam-se a classificao quanto

    variao das grandezas no tempo; a classificao quanto variao das grandezas no espao

    e a classificao quanto ao comportamento relativo entre as partculas.

    3.4.2 Classificao quanto variao das grandezas no tempo

    Os escoamentos em que todas as grandezas envolvidas no variam com o tempo

    designam-se por escoamentos permanentes. Se alguma das grandezas dependente do tempo

    o escoamento chama-se varivel. No mbito desta disciplina apenas sero estudados os

    escoamentos permanentes.

    No caso de um escoamento permanente as grandezas envolvidas so apenas funo da

    posio que ocupam, no variando de instante para instante. As derivadas parciais em ordem

    ao tempo anulam-se:

    0t =

    (3.6)

    As linhas de correntes mantm-se ao longo do tempo, coincidindo com as trajectrias

    das diferentes partculas, uma vez que a velocidade em cada posio se mantm qualquer que

    seja a partcula que a ocupa e qualquer que seja o instante.

    Na prtica, teremos um escoamento permanente no caso do abastecimento a partir de

    um reservatrio de grandes dimenses. Diz-se que um reservatrio se comporta como um

    reservatrio de grandes dimenses quando o volume dentro do reservatrio muito grande

    relativamente ao volume que entra ou sai do reservatrio, desprezando-se a variao do nvel

    no reservatrio. Mantendo-se constante o nvel no reservatrio o caudal e a velocidade de

    abastecimento so constantes ao longo do tempo.

    Por outro lado, se o reservatrio de abastecimento se comporta como um reservatrio de

    pequenas dimenses, em que o abastecimento implica a diminuio do nvel dentro do

  • 37

    reservatrio, o caudal e a velocidade sada variam com o tempo, classificando-se como um

    escoamento varivel.

    3.4.2 Classificao quanto variao das grandezas no espao

    Relativamente variao das grandezas no espao os escoamentos classificam-se em

    uniformes ou variados.

    Escoamento uniforme aquele em que as grandezas tomam o mesmo valor qualquer

    que seja a posio que as partculas ocupam no meio fluido para um dado instante, ou seja, em

    cada instante a derivada parcial em ordem ao espao nula:

    0s = (3.7)

    No escoamento variado o valor das grandezas varia de acordo com a posio que as

    partculas ocupam, num dado instante.

    Na prtica, teremos um movimento uniforme se as caractersticas geomtricas de uma

    dada conduta de transporte de um lquido se mantiverem constantes ao longo do seu

    comprimento. Caso contrrio ser variado.

    3.4.4 Classificao quanto ao comportamento relativo das partculas

    Distinguem-se dois tipos de escoamento no que diz respeito ao comportamento relativo

    das partculas: o escoamento laminar e o escoamento turbulento. Na passagem de regime

    laminar para regime turbulento define-se o regime de transio.

    O movimento laminar caracteriza-se por um deslocamento regular de todas as

    partculas, mantendo estas uma posio relativa bem definida entre si. O movimento

    turbulento caracteriza-se por um deslocamento desordenado das partculas, em que as suas

    trajectrias se cruzam e em que a velocidade das partcula varia de modo muito irregular.

    Nos movimentos turbulentos s faz sentido falar no valor mdio das grandezas, dado

    que os valores instantneos variam de instante para instante. A caracterizao dos

    escoamentos turbulentos e as equaes que os representam aplicam os valores mdios das

    grandezas.

    A Experincia de Reynolds permite visualizar os diferentes tipos de regime de

    escoamento. No escoamento de um dado fluido incolor, em estudo, injectado um lquido

    colorido com a mesma densidade e no miscvel. Para velocidades muito baixas o escoamento

  • 38

    do lquido corado faz-se segundo uma linha recta, bem definida, ocupando sempre a mesma

    posio relativa na seco transversal do escoamento, est-se perante um regime laminar. O

    aumento da velocidade de escoamento gera alguma perturbao na linha de escoamento do

    lquido corado apresentando uma ligeira curvatura, entrou-se no regime de transio.

    Aumentando ainda mais a velocidade a linha relativa ao escoamento do lquido corado rompe

    e as partculas coradas passam a misturar-se com as partculas do fluido em estudo, neste caso

    difcil acompanhar o comportamento das partculas coradas, identifica-se o regime

    turbulento.

    Tendo sido verificado que, em tubos de seco circular, a ocorrncia dos diferentes

    regimes de escoamento eram funo da velocidade de escoamento, do dimetro do tubo e da

    viscosidade do lquido foi deduzido um parmetro adimensional designado por nmero de

    Reynolds que permite classificar o regime de escoamento:

    UD

    =Re (3.8)

    No escoamento em presso num tubo circular o regime laminar mantm-se para Re at

    aproximadamente 2000, entra em regime turbulento para o valor de Re de 3000 e estar em

    regime de transio para n de Reynolds entre 2000 e 3000. Estes valores podem variar na

    diferente bibliografia disponvel, pois so determinados experimentalmente e dependem das

    condies de ensaio.

    fcil verificar que, no caso do fluido ser gua, o regime de escoamento quase sempre

    turbulento pois a gua tem uma viscosidade cinemtica muito baixa (para a temperatura de

    20C a viscosidade cinemtica aproximadamente 10-6m2s-1). Apresentamos como excepo

    o incio ou paragem do escoamento, em que a velocidade da gua passa por valores muito

    perto do zero. Tambm em regime varivel pode acontecer o regime laminar sempre que

    exista inverso do sentido de escoamento, atravs da anulao da velocidade.

    Relativamente ao diagrama de velocidades, verifica-se que no caso dos regimes

    turbulentos existe uma menor variao da velocidade na seco transversal porque as

    partculas ocupam aleatoriamente posies diferentes na seco transversal, as partculas

    podem passar da posio perto da parede do tubo para uma posio perto do centro de

    gravidade da seco, existindo, por isso maior uniformidade no diagrama de velocidades. Em

    regime turbulento, o diagrama de velocidades caracteriza-se por um elevado gradiente perto as

    paredes do tubo e uma pequena variao no centro do tubo. Em regime laminar a variao em

  • 39

    toda a seco superior. Na figura 3.6 so apresentados esquemas dos diagramas de

    velocidade em regime laminar e em regime turbulento.

    a) b)

    Figura 3.6 Diagrama de velocidades a) regime laminar; b) regime turbulento

    3.5 Equaes gerais da Mecnica dos Fluidos

    As equaes que representam o comportamento do fluido podem apresentar-se na forma

    local ou na forma global. As equaes locais representam o que se passa com cada partcula

    que ocupa uma dada posio do domnio fluido; as equaes globais representam o

    comportamento das partculas que ocupam regies do domnio fluido.

    Nos problemas de Mecnica dos Fluidos, mbito desta disciplina, necessrio

    determinar quatro variveis, sendo, para tal, aplicadas quatro relaes entre as variveis:

    - equao da continuidade que representa o princpio da conservao da massa;

    - equao do equilbrio dinmico aplicada a um dado volume de fluido (como equao

    vectorial ser representada pelas suas trs componentes).

    Na maioria das aplicaes em Hidrulica, interessa a determinao de grandezas

    globais.

    No estudo global do comportamento dos fluidos, resultado da aplicao a uma dada

    regio do domnio fluido, so deduzidas as seguintes equaes:

    - Equao da continuidade na forma global que representa o princpio da conservao da

    massa;

    - Teorema de Bernoulli generalizado para um tubo de fluxo que representa o princpio da

    conservao da energia;

  • 40

    - Teorema de Euler ou Teorema da Quantidade de Movimento que representa o equilbrio de

    foras aplicado a uma dado volume de fluido.

    No prximo sub-captulo ser deduzida a equao da continuidade por introduzir apenas

    conceitos da cinemtica, j que no considera as causas do movimento dos fluidos. Nos

    captulos quatro e cinco apresentam-se a deduo e aplicao do Teorema de Bernoulli e do

    Teorema da Quantidade de Movimento, respectivamente.

    3.6 Equao da continuidade

    3.6.1 Nota introdutria

    Esta equao representa o Princpio da Conservao da Massa aplicado a um dado

    volume do domnio fluido, V, dentro de um tubo de fluxo e limitado por duas seces

    transversais, figura 3.7. No caso mais geral, o volume de controle tem uma forma tronco-

    cnica em que se considera a variao da seco transversal ao longo do eixo do tubo.

    A aplicao do princpio da conservao da massa ao volume definido anteriormente

    permite deduzir a Equao da Continuidade na sua forma global.

    Figura 3.7 Volume de controlo a aplicar o princpio da conservao da massa

    O fluxo de massa d-se atravs das seces transversais do escoamento, A1 e A2. A

    superfcie lateral do tubo de fluxo por coincidir com um feixe de linhas de corrente no

    permite passagem de partculas fluidas atravs dela.

    O princpio da conservao da massa pode, neste caso, ser escrita do seguinte modo:

    (3.9) intA1A2 m mm =

  • 41

    A massa que sai do volume de controlo considerado pela seco A2, por unidade de

    tempo, menos a massa que entra no mesmo volume pela seco A1, por unidade de tempo

    igual variao de massa dentro do volume em estudo, por unidade de tempo.

    Convencionou-se que a sada de massa atravs da superfcie de controle ter o sinal

    positivo, sendo neste caso a variao de massa dentro da superfcie de controle tambm

    positiva.

    A massa que entra no volume de controle, por unidade de tempo :

    1A Qm 1 = (3.10)

    e a massa que sai do mesmo volume de controle atravs da seco A2, por unidade de tempo:

    2A Qm 2 = (3.11)

    A massa que, no instante inicial, est dentro do volume considerado de forma tronco-

    cnica, :

    dsA ds2

    A V 21 =+= A (3.12)

    e a variao da massa que acontece dentro do volume na unidade de tempo, no caso de a

    conduta ser indeformvel e o fluido incompressvel, igual a zero:

    (3.13)

    Substituindo as equaes 3.10, 3.11 e 3.13 na equao do balano, equao 3.9, obtm-

    se:

    (3.14)

    ou seja: const Q =

    Se o fluido incompressvel, a massa volmica constante ao longo do eixo do tubo, a

    Equao da continuidade aplicada a um lquido incompressvel representa-se por:

    (3.15)

    Exemplos de aplicao:

    const UAconst Q ==

    0m int =

    0QQ 12 =

  • 42

    No escoamento permanente de um lquido incompressvel, atravs de uma conduta com

    seco constante ou variada, possvel relacionar a velocidade mdia em duas seces dessa

    conduta, aplicando a equao da continuidade:

    a) b)

    212211 U U AUA Uconst Q ===1

    2212211 A

    AU U AUA Uconst Q ===

  • 43

    Captulo 4

    TEOREMA DE BERNOULLI E SUAS APLICAES

    Objectivo: Perceber a deduo do Teorema de Bernoulli

    e a sua aplicao ao estudo do escoamento dos fluidos.

    4.1 Introduo O Teorema de Bernoulli representa o Princpio da Conservao da Energia e relaciona

    as diferentes formas de energia mecnica ao longo de um escoamento: a energia de posio, a

    energia de presso e a energia cintica. Permite calcular o caudal de um escoamento ou a

    variao de presso ao longo do escoamento.

    A Equao de Bernoulli pode ser deduzida atravs da aplicao da equao de equilbrio

    dinmico a um dado volume de controlo, por no serem consideradas as variaes de

    temperatura.

    Tendo em conta que a equao de equilbrio dinmico vectorial sero estudadas as

    suas componentes. escolhido um sistema de coordenadas cilndricas permitindo o estudo da

    componente da equao da dinmica segundo uma linha de corrente, que relaciona a variao

    das diferentes formas de energia mecnica ao longo da linha de corrente Teorema de

    Bernoulli ao longo de uma linha de corrente, e segundo a normal a essa linha de corrente, que

    estuda a variao na seco transversal do escoamento das grandezas envolvidas, permitindo

    obter Teorema de Bernoulli na forma global aplicado ao longo do tubo de fluxo.

    De modo simplificado aplicar-se- a deduo para o caso particular de lquido perfeito,

    generalizando-se de seguida para os lquidos reais.

    4.2 Deduo do Teorema de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente, para o caso particular de lquido perfeito

    Para o caso particular de lquidos perfeitos, aplica-se a Equao Fundamental da

    Dinmica a um dado volume de lquido escolhido, criteriosamente, com base no interesse em

  • 44

    determinar a variao da energia mecnica total ao longo de uma linha de corrente. O volume

    tem a forma de um cilindro com altura ds, eixo longitudinal segundo a direco da linha de

    corrente e seco transversal elementar, dA, de modo a que as grandezas envolvidas no

    escoamento possam considerar-se constantes nas bases do cilindro.

    Figura 4.1 Domnio de lquido para aplicao da Equao Fundamental da Dinmica,

    componente segundo a direco da linha de corrente

    A aplicao da Equao Fundamental da Dinmica ao volume de lquido considerado,

    permite escrever:

    (4.1)

    A resultante de todas as foras exteriores aplicadas sobre o volume e a fora de inrcia

    ( amr ) nula.

    As foras exteriores que actuam sobre o volume considerado so (ver cap.1):

    fora de massa ou volume: peso prprio, Gr

    normais, r

    foras de contacto ou superfcie

    tangenciais, tFr

    Substituindo as foras na equao 4.1, obtm-se:

    (4.2)

    linha de corrente

    amFerr

    =

    ####

    $

    ####

    %

    &

    0amFG t =++rrrr

  • 45

    O peso prprio tem a direco vertical e sentido de cima para baixo, as foras de

    contacto normais (foras de presso) actuam sobre toda a superfcie fronteira do volume, de

    fluido, figura 4.2.

    Figura 4.2 Sistema de foras exteriores aplicadas ao volume de fluido considerado. Plano da folha de papel, definido por s e n, corresponde a um plano vertical

    A presso considerada constante na rea elementar, sendo a fora normal sobre as

    bases do volume determinada pelo produto entre a presso e a rea. Considerou-se que a

    presso na base de montante p e que, ao longo da linha de corrente, se verifica uma variao

    de presso dada por s/p sendo por isso o valor da presso na base de jusante dada pelo

    soma entre a presso a montante e a variao correspondente ao deslocamento ds:

    dsspp

    + (4.3)

    As foras de contacto tangenciais nas bases do cilindro no se manifestam por o vector

    velocidade no ter componente segundo a direco tangente s bases. O vector velocidade

    como tangente linha de corrente s tem componente segundo a linha de corrente, Esta a

    simplificao que justifica a deduo do Teorema de Bernoulli ao longo da linha de corrente.

    Nas paredes laterais do volume em estudo as foras normais no tm componente sobre

    a direco da linha de corrente, no sendo por isso consideradas, as foras tangenciais no tm

    componente segundo a direco do eixo do cilindro por se considerar o lquido perfeito. No

    caso de um lquido perfeito no existem foras resistentes entre as partculas.

    Relativamente fora de inrcia, necessrio estudar o vector acelerao, derivada da

    velocidade em ordem ao tempo. A acelerao igual soma da acelerao local (variao da

    velocidade no tempo considerando uma dada posio no espao) com a acelerao convectiva

    (variao da velocidade com o espao, segundo a direco da linha de corrente, s, a direco

    dAdss pp "

    #

    $%&

    '

    +

    z

  • 46

    s2

    v

    tv

    dtdv

    vs

    vt

    vdt

    dv

    2s

    sss

    sss

    ""#

    $%%&

    '

    +

    =

    +

    =

    normal linha de corrente, n, e a direco normal, , ao plano definido pelas direces s e n,

    aqui representado pelo plano da folha de papel e coincidente com um plano vertical):

    dtdv

    dtdn

    nv

    dtds

    sv

    tv

    dtvda

    +

    +

    +

    ==

    rrrrrr (4.4)

    A componente segundo a linha de corrente do vector acelerao dada por:

    (4.5)

    ou seja:

    (4.6)

    como as componentes do vector velocidade segundo a direco n e segundo a direco so

    nulas, tendo em conta a definio de linha de corrente, obtm-se:

    (4.7)

    A componente da equao (4.2) segundo a direco da linha de corrente :

    (4.8)

    (4.9)

    Dividindo a equao anterior por dA ds e multiplicando por -1, vem:

    (4.10)

    dtdv

    dsdA dsdAspcos dsdA s =

    dtdv

    dsdA dAdsspppdAcos dsdA s ="

    #

    $%&

    '

    ++

    acelerao local acelerao convectiva

    dtdv

    dtdn

    nv

    dtds

    sv

    t

    v

    dtdv sssss

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    = v

    v v

    nv

    vs

    v

    tv

    dt

    dv sn

    ss

    sss

    """"""

    #

    $

    %%%%%%

    &

    '

    ""

    #

    $

    %%

    &

    '

    +

    =

    +

    s

    2v

    tv

    g1

    sp1cos

    2s

    s

  • 47

    Tendo em conta que:

    cos representa a variao da cota topogrfica com a variao da distncia segundo a

    direco da linha de corrente, aumentando z medida que s aumenta, pode ser substitudo

    por: s/z cos = ;

    vs a componente da velocidade segundo a direco da linha de corrente e pela

    definio de linha de corrente coincide com o vector velocidade, podendo ser substituda

    por: vvs = ;

    a substituio destes parmetros na equao 4.10, permite obter:

    (4.11)

    A acelerao da gravidade e o peso volmico (tendo em conta que se trata de um lquido

    incompressvel) ao longo da linha de corrente so constantes:

    (4.12)

    e como a soma das derivadas igual derivada da soma, obtm-se a equao seguinte:

    (4.13)

    Esta a equao de Bernoulli, aplicada ao longo de um linha de corrente e para o caso

    particular de lquidos perfeitos.

    Significado fsico dos parmetros:

    s/ - variao ao longo da linha de corrente;

    z - cota topogrfica relativamente a um dado plano horizontal de referncia, a

    energia potencial de posio por unidade de peso do fluido;

    /p - altura piezomtrica, a energia potencial de presso por unidade de peso do

    fluido;

    g2/v2 - altura cintica, a energia cintica por unidade de peso do fluido;

    s2

    v

    g1

    tv

    g1

    sp1

    sz

    2

    $$%

    &''(

    )

    =

    +

    tv

    g1

    s2gv

    s

    p

    sz

    2

    =

    $$%

    &''(

    )

    +

    $$%

    &''(

    )

    +

    tv

    g1

    g2vpz

    s

    2

    =$$

    %

    &''(

    )+

    +

  • 48

    + /pz - cota piezomtrica relativamente a um dado plano horizontal de referncia;

    g2vpz 2++ - energia mecnica total por unidade de peso do fluido ou carga,

    relativamente a um dado plano horizontal de referncia, representa-se por H;

    tvg1 - fora de inrcia local por unidade de peso do fluido, variao da quantidade de

    movimento por unidade de tempo.

    Para um escoamento permanente, a variao no tempo anula-se e a equao de Bernoulli

    aplicada ao longo de uma linha de corrente e lquido perfeito, representa-se por:

    (4.13)

    4.3 Linha piezomtrica e linha de energia. Significado fsico.

    Definem-se como linha piezomtrica a representao da cota piezomtrica e como linha

    de energia a representao da energia mecnica total por unidade de peso do fluido.

    Identificando o plano horizontal de referncia, figura 4.3, a linha de corrente obtida

    atravs da representao das cotas topogrficas das diferentes posies, ao longo da linha de

    corrente, a partir do plano horizontal de referncia. A linha piezomtrica obtm-se somando a

    altura piezomtrica cota topogrfica e a linha de energia pela soma da altura cintica linha

    piezomtrica.

    No caso particular do escoamento permanente de um lquido perfeito, a linha de corrente

    coincide com a trajectria e como a carga total se mantm constante, a linha de energia uma

    recta horizontal, figura 4.3.

    Figura 4.3 Escoamento permanente de um fluido perfeito, ao longo de uma linha de corrente

    Representao da linha de corrente, linha piezomtrica e linha de energia.

    0g2

    vpzs

    2

    =$$%

    &''(

    )+

    +

  • 49

    Significado fsico da linha piezomtrica e da linha de energia

    A linha piezomtrica pode ser representada fisicamente pela linha que une a superfcie

    livre em tubos piezomtricos instalados ao longo da linha de corrente, figura 4.4. O tubo

    piezomtrico instalado perpendicularmente linha de corrente, de modo a no alterar o

    comportamento do fluido, numa dada posio dessa linha de corrente permite medir, atravs

    da cota da superfcie livre, a cota piezomtrica da partcula localizada na base do tubo

    piezomtrico. Dentro do tubo piezomtrico o fluido est em repouso sendo a cota

    piezomtrica constante em qualquer ponto do fluido dentro do tubo piezomtrico (lei

    hidrosttica de presses). A cota piezomtrica na base do tubo piezomtrico igual cota

    piezomtrica da posio da linha de corrente onde o tubo foi instalado e por outro lado igual

    cota piezomtrica superfcie do tubo que, por a presso ser nula, coincide com a cota

    topogrfica da superfcie livre.

    Figura 4.4 Tubo piezomtrico. Transferncia de energia.

    Do ponto de vista de transferncia de energia no domnio fluido dentro do tubo

    piezomtrico verifica-se que na base do tubo piezomtrico a energia potencial de posio e a

    energia potencial de presso so iguais energia potencial de posio e energia potencial de

    presso na posio da linha de corrente onde foi instalado o tubo piezomtrico. medida que

    a energia potencial de posio aumenta dentro do tubo piezomtrico, a energia de presso

    diminui at anular superfcie livre.

    A representao fsica da linha de energia serve-se de um equipamento que ainda no foi

    apresentado e que se denomina por Tubo de Pitot, figura 4.5. A linha de energia

    representada pela linha que une a superfcie livre de Tubos de Pitot instalados ao longo da

    linha de corrente.

    O Tubo de Pitot tem dimenses transversais semelhantes ao tubo piezomtrico e

    apresenta a forma de L. Sendo instalado paralelamente linha de corrente permite que a carga

    BA

    A zpz =

    +

    0p como B =

  • 50

    sua entrada seja igual carga no ponto da linha de corrente onde foi instalado. O fluido est

    em repouso dentro do tubo, fazendo com que a energia cintica do fluido na linha de corrente

    se transforme em energia potencial de presso, dentro do Tubo de Pitot, que por sua vez se

    transformar em energia potencial de posio na superfcie livre do tubo de Pitot, com base na

    aplicao da Lei Hidrosttica de Presses entre a seco de entrada no Tubo de Pitot e a

    superfcie livre no mesmo tubo.

    Figura 4.5 Tubo de Pitot. Transferncia de energia.

    A associao do Tubo Piezomtrico com o Tubo de Pitot, instalados na mesma posio

    da linha de corrente, permite determinar a altura cintica da partcula do escoamento

    localizada nessa posio. Conhecida a altura cintica possvel determinar a velocidade de

    escoamento da mesma partcula.

    4.4 Deduo do Teorema de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente, para lquidos

    reais

    Os lquidos perfeitos no existem na natureza. Os lquidos reais comportam-se como

    perfeitos quando fortemente acelerados, tornando-se desprezveis as tenses tangenciais.

    No caso de lquidos reais, fazem-se sentir as foras resistentes ao escoamento entre as

    partculas e necessrio acrescentar o trabalho realizado por essas foras ao longo da linha de

    corrente, por unidade de peso do fluido e por unidade de comprimento, designado por perda

    de carga unitria e representado por j.

    A Equao de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente aplicada a lquidos reais e

    escoamentos variveis, toma a seguinte forma:

    (4.14)

    j

    tv

    g1

    g2vpz

    s

    2

    =##

    $

    %&&'

    (+

    +

    +=+

    + BB

    2AA

    Apz

    2gvpz

    0 vcomo B =

    0p como C =

    CB

    B zpz =

    +

  • 51

    A perda de carga unitria afectada pelo sinal negativo considerando que a carga

    diminui medida que s aumenta ao longo da linha de corrente.

    Para o caso particular de escoamento permanente, a variao da velocidade com o tempo

    anula-se e a Equao de Bernoulli aplicada a lquidos reais escreve-se da seguinte forma:

    (4.15)

    A integrao entre dois pontos 1 (a montante) e 2 (a jusante) da linha de corrente,

    permite obter:

    (4.16)

    (4.17)

    O membro da direita da equao 4.17 representa a perda de carga total entre os pontos 1

    e 2 da linha de corrente. Para o seu clculo deve ser conhecida a variao da perda de carga

    unitria ao longo da linha de corrente.

    A representao da linha de energia, no caso de lquidos reais deixa de ser uma recta

    horizontal e passa a ser uma recta descendente, se a perda de carga unitria constante ou

    uma curva se a perda de carga unitria variar ao longo da linha de corrente, figura 4.6.

    Figura 4.6 Linha piezomtrica e linha de energia no caso particular do escoamento

    permanente de um fluido real, ao longo de uma linha de corrente

    jg2

    vpzs

    2

    =""#

    $%%&

    '+

    +

    =""#

    $%%&

    '+

    +

    2

    1

    22

    1

    ds jds2gvpz

    s

    =""#

    $%%&

    '+

    +""

    #

    $%%&

    '+

    +

    2

    11

    2

    2

    2

    ds jg2

    vpzg2

    vpz

  • 52

    4.5 Teorema de Bernoulli no aspecto global. Aplicao a um tubo de fluxo. Caso

    particular do escoamento permanente.

    Para representao do Teorema de Bernoulli ao longo de um tubo de fluxo necessrio

    estudar a componente segundo a direco normal linha de corrente da equao fundamental

    da dinmica aplicada a um dado volume de fluido criteriosamente escolhido. Sabendo que

    interessa o estudo da variao das grandezas ao longo da normal ser considerado um volume

    cilndrico com o eixo definido ao longo da direco normal linha de corrente, em que as

    bases so reas elementares, dA, e a altura do cilindro dn. As grandezas envolvidas no

    escoamento so consideradas constantes na base do cilindro, figura 4.7.

    A aplicao da Equao Fundamental da Dinmica ao volume de fluido considerado na

    figura 4.7 permite escrever, equao 4.2:

    (4.2)

    Figura 4.7 Domnio do fluido para estudo da componente segundo a direco normal linha

    de corrente da Equao Fundamental da Dinmica

    O peso prprio tem a direco vertical e sentido de cima para baixo. As foras de

    contacto normais (foras de presso) actuam sobre toda a superfcie fronteira do volume,

    figura 4.7, no entanto s interessam as foras de presso sobre as bases do volume definido,

    pois s estas tm componente segundo a direco normal. As foras tangenciais nas bases do

    cilindro no tm componente segundo a direco normal e a tenso tangencial na parede

    lateral do cilindro no existe por a velocidade no ter componente segundo a direco normal

    linha de corrente.

    linha de corrente

    normal linha de corrente

    0amFG t =++rrrr

    z

  • 53

    A componente, segundo a direco normal linha de corrente, da equao 4.2 pode

    escrever-se do seguinte modo:

    dtdvdAdn dAdn

    npppdAsendn dA n =$

    %

    &'(

    )

    ++ (4.18)

    dtdvdndA dndA

    npsendn dA n =

    (4.19)

    A componente segundo a direco n do vector acelerao (equao 4.3) dada por:

    (4.20)

    A acelerao local anula-se por se tratar de um escoamento permanente e a acelerao

    convectiva representada apenas pela primeira parcela por as componentes da velocidade

    segundo a normal linha de corrente, dtdnvn = , e segundo a direco

    perpendicular, dtdv = , serem nulas.

    Tendo em conta que na equao 4.19:

    nzsen

    = (4.21)

    rv

    sv sn = (4.22)

    svdtds

    = e vs=v (4.23)

    obtm-se:

    rv

    dAdndndAnp

    nzdn dA

    2s=

    (4.24)

    Dividindo a equao 4.24 pelo peso do fluido contido no volume, dAdn, vem:

    rv

    g1

    np1

    nz

    2

    =

    +

    . (4.25)

    dtdv

    dtdn

    nv

    dtds

    sv

    tv

    dtdv nnnnn

    +

    +

    +

    =

  • 54

    Tratando-se de um fluido incompressvel e igualando a soma de derivadas derivada da

    soma, obtm-se:

    (4.26)

    A equao 4.26 representa a variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas

    de corrente, no caso de escoamento permanente.

    Significado fsico dos parmetros:

    n/ - variao ao longo da normal linha de corrente;

    z - cota topogrfica relativamente a um dado plano horizontal de referncia, a

    energia potencial de posio por unidade de peso do fluido;

    /p - altura piezomtrica, a energia potencial de presso por unidade de peso do

    fluido;

    + /pz - cota piezomtrica relativamente a um dado plano horizontal de referncia;

    r - raio de curvatura da linha de corrente

    rvg1 2 - componente segundo a direco normal linha de corrente da fora de inrcia

    convectiva por unidade de peso do fluido.

    Casos particulares para aplicao da equao 4.26, para escoamento permanente.

    Tratando-se de escoamentos permanentes as linhas de corrente coincidem com as trajectrias:

    Trajectrias rectilneas, figura 4.8:

    Figura 4.8 Trajectrias rectilneas

    rv

    g1pz

    n

    2

    =%%&

    '(()

    *

    +

  • 55

    No caso de trajectrias rectilneas o raio de curvatura infinito e o membro direito da

    equao 4.26 nulo, ou seja a cota piezomtrica constante segundo a direco normal a

    linhas de corrente rectilneas, segundo a seco transversal do tubo de fluxo:

    (4.27)

    Integrando entre os pontos 1 e 2 localizados na direco normal linha de corrente,

    figura 4.8, obtm-se:

    (4.28)

    (4.29)

    No caso de trajectrias rectilneas e paralelas entre si a cota piezomtrica constante na

    seco transversal. No caso de trajectrias convergentes ou divergentes a cota piezomtrica

    constante na superfcie que, em cada posio, seja normal s trajectrias.

    Trajectrias curvas (cncavas ou convexas), figura 4.9:

    Figura 4.9 Trajectrias cncavas e trajectrias convexas

    Neste caso, o raio de curvatura na equao 4.26 toma um valor finito. Integrando a

    equao 4.26 entre os pontos 1 e 2 de uma seco transversal, no sentido positivo da

    curvatura, obtm-se:

    0pzn

    =!!"

    #$$%

    &

    +

    0pz pz 12

    =!!"

    #$$%

    &

    +!!

    "

    #$$%

    &

    +

    0dnpzn

    2

    1

    =!!"

    #$$%

    &

    +

  • 56

    (4.30)

    O membro da direita sempre negativo, dado que g positivo, o quadrado da

    velocidade sempre positivo e o raio de curvatura sempre positivo :

    (4.31)

    No caso de trajectrias curvas (cncavas ou convexas) a cota piezomtrica diminui no

    sentido da curvatura, de 1 para 2.

    A aplicao da componente segundo a normal linha de corrente da Equao

    Fundamental da Dinmica permitiu estudar a variao da cota piezomtrica numa seco

    transversal do tubo de fluxo, no entanto, para deduo da Equao de Bernoulli aplicada ao

    longo de um tubo de fluxo necessrio conhecer a variao da carga total segundo a normal

    s linhas de corrente.

    No caso de escoamento permanente, se o tubo de fluxo de eixo rectilneo, as linhas de

    corrente so rectilneas e paralelas entre si, podendo concluir-se que a cota piezomtrica

    constante em cada seco transversal. Normalizou-se que a cota piezomtrica na seco

    transversal de um tubo de fluxo seja calculada no centro de gravidade dessa seco. Existe

    uma linha piezomtrica nica para as diferentes linhas de corrente que constituem o tubo de fluxo, figura 4.10.

    Figura 4.10 Tubo de fluxo. Linhas de energia e linha piezomtrica

    =##$

    %&&'

    (

    +##

    $

    %&&'

    (

    +

    2

    1

    2

    12

    dnr

    vg1pzpz

    1212

    pzpz 0 pzpz ##$

    %&&'

    (

    +

  • 57

    Na Equao de Bernoulli, aplicada ao longo do tubo de fluxo, os dois primeiros termos

    do membro da esquerda so a cota piezomtrica no centro de gravidade da seco transversal

    que representam a cota piezomtrica na seco transversal.

    Como a velocidade varia de linha de corrente para linha de corrente existe uma linha de

    energia para cada linha de corrente, figura 4.10.

    No , no entanto, possvel representar as linhas de energia correspondentes a todas as

    linhas de corrente definidas no tubo de fluxo. assim definida uma linha de energia, com

    base na velocidade mdia do escoamento no tubo de fluxo, tal que a energia cintica por

    unidade de tempo em cada seco transversal seja igual energia cintica por unidade de

    tempo do escoamento real, na mesma seco.

    A energia cintica por unidade de tempo (potncia cintica) do escoamento, numa rea

    elementar da seco transversal dA, em que existe uma partcula, localizada no centro de

    gravidade, com velocidade v dada por:

    dA v21

    dt1dA v vdt

    21

    dt1 vVol

    21

    dt1mv

    21 3222 === (4.34)

    A potncia cintica na seco transversal do tubo de fluxo determinada pela integrao

    da equao anterior rea total da seco transversal, obtendo-se:

    =A

    3

    A

    3 dA v21dA v

    21

    (4.35)

    No escoamento fictcio com velocidade mdia, U, a potncia cintica na seco

    transversal do tubo de fluxo ser:

    A U21dA U

    21dA U

    21 3

    A

    3

    A

    3 == (4.36)

    Definiu-se Coeficiente de Coriolis, representado por , como a relao entre a potncia

    cintica do escoamento real numa dada seco e a potncia cintica do escoamento fictcio na

    mesma seco:

    (4.38)

    AU

    dA v

    A U21

    dA v21

    3A

    3

    3

    A

    3 =

    =

  • 58

    O valor do Coeficiente de Coriolis funo do diagrama de velocidades, sendo que

    quanto menor a variao de velocidade mais perto de um o seu valor. Com base nos

    diagramas de velocidade em regime laminar e em regime turbulento, figura 3.6, conclui-se

    que o Coeficiente de Coriolis toma valores superiores em regime laminar do que em regime

    turbulento. Este coeficiente apresenta o valor de =2,0 em regime laminar e 1,15 em

    regime turbulento.

    Com a introduo do Coeficiente de Coriolis possvel substituir a potncia cintic