Historia de Charles Federic Gauss

8/18/2019 Historia de Charles Federic Gauss

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BIBLIOGRAFÍA

Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de febrero

de 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyósignificativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisismatemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, elmagnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemáticomás grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchoscampos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos quemás influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto dedivisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio a pesar de su condición de ser de una familia campesina de

padres analfabetas, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosacapacidad matemática. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenasun adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitionesarithmeticae a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajofundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta áreahasta los días presentes.

FIGURA 1. RETRATO DE CARL GAUSS

FUENTE: http://creyentesintelectuales.blogspot.com/2015/01/carl-friedrich-gauss-retengamos-la-fe.html

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APORTES MATEMÁTICOS

Los polígonos regulares construibles según Gauss

1. Método de Gauss (1796), simplificada por H.W. Richmond (1893)

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diámetros perpendiculares AB y CD

2. Se obtiene un punto P, sobre el radio OC, tal que el segmento OP es la cuarta parte de OC

3. Se obtiene el punto E, sobre OA, tal que el ángulo OPE es la cuarta parte delángulo OPA (hay que bisectar dos veces un ángulo)

4. Se obtiene un punto G, sobre AB, tal que el ángulo APG sea de 45º (se puedehacer bisecando un ángulo recto)

5. Se obtiene F, mitad del segmento GA, se dibuja la circunferencia con centro fy radio FA. Esta circunferencia corta al radio OC en el punto H.

6. Se dibuja la circunferencia con centro E y radio EH, dicha circunferenciacorta a AB en dos puntos: M y F (además pasa por el punto F)

7. Se levantan perpendiculares a AB, pasando por M y F, que cortan a lacircunferencia en R y S.

8. La mitad del arco RS, nos da un punto T. El segmento RT es el lado del polígono regular de 17 lados.


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FIGURA 2: CONSTRUCCIÓN DEL HEPTADECÁGONO

FUENTE:http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article

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b&directory=67

FIGURA 3: CONSTRUCCIÓN DEL HEPTADECÁGONO

FUENTE: http://gaussianos.com/carl-friedrich-gauss-el-principe-de-las-matematicas/

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Números complejos

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de númerosreales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Losnúmeros complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los

puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria,la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la

parte real, y la parte imaginaria imag , ambos del tipo predefinido double.

Figura 4: División de los números naturales

Fuente: http://www.aulamatematicas.org/Historiasyjuegos/Mandelbrot.htm

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Gauss fue el primero en realizar una representación de los números complejosestableciendo que estos no se podían dibujar en una recta, como los reales, si no que sedebían representar en un plano que denominó plano complejo. De esta forma, la parte

real se puede representar en el eje de abscisas, también denominado eje real y la parteimaginaria en el eje de ordenadas, también llamado eje imaginario.

Figura 5: Representación de los números reales

Fuente: https://www.masquesumas.com/apartado/representacion-grafica-complejos- binomica

Utilizando estos criterios cada número a + bi queda representado por un punto P cuyascoordenadas son (a,b). Dicho punto P recibe el nombre de afijo, de tal forma que a cadanúmero complejo le corresponde un afijo, y a cada afijo un número complejo.

Figura 6: Representación de los números complejos

Fuente: https://www.masquesumas.com/apartado/representacion-grafica-complejos-

binomica

Características de los números complejos en forma binómica

Si observamos detenidamente la forma de un número complejo cualquiera a + bi podemos deducir las siguientes características:

Si b = 0, el número complejo es básicamente el número real a. Esto pone de manifiestolo que comentábamos en apartados anteriores: los números reales son un subconjunto de

los números complejos (ℝ⊂ℂ) y la representación de estos últimos es compatible con la

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de los reales ya que en este caso cualquier número real se encontrará sobre el eje real (larecta real).

Si a = 0, el número complejo posee sólo parte imaginaria y recibe el nombre de númeroimaginario puro. Se representan con un punto situado directamente sobre el eje real.

Si a = 0 y b = 0, el número se denomina número complejo cero y al representarse suafijo se encuentra sobre el origen de coordenada.

Figura 7: Representación de los números reales a complejos

Fuente https://www.masquesumas.com/apartado/representacion-grafica-complejos- binomica

Se dice que dos números complejos, a+bi y c+di, son iguales si sus partes real e

imaginaria son iguales, es decir, si se cumple que a=c y b=d.Si denominados Z a un número complejo cualquiera Z =a+bi, su conjugado ( Z ) posee lamisma parte real y la misma parte imaginaria en valor absoluto, pero de signo contrario,es decir Z =a-bi. Por ejemplo, el conjugado de Z =2+3i es Z =2-3i.

Figura 8: Representación de los números complejos conjugados


Dado un número complejo Z =a+bi, su opuesto (− Z ) es otro número complejo con la

misma parte real e imaginaria en valor absoluto, aunque de signo contrario, es decir− Z =-a-bi.

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Figura 9: Representación de los números complejos opuesto


Forma polar de un número complejo

Cada número complejo en forma binómica a + bi se representa como un punto P(a,b) enel plano complejo. Como podrás suponer esta no es la única forma de representarlo. Dehecho, otra forma alternativa de representación consiste en utilizar el vector que sedefine entre el origen de coordenadas y el punto P (denominado afijo del númerocomplejo). De esta forma cada número complejo en vez de venir determinadoúnicamente por los valores a y b puede venir dado por la longitud (o módulo) delvector OP−→− y el ángulo α (o argumento) que se forma entre el vector y el semieje

positivo real.

Representación de números complejos en formapolarCualquier número complejo a+bi está representado

por su afijo en las coordenadas (a,b). Dicho punto puede venir dado igualmente por la longitud delvector que une el origen con el afijo (OP−→−) yángulo (α) que forma con el semieje positivo de

abscisas.

Figura 11: Representación de los números complejos en forma polar.Fuente : https://www.masquesumas.com/apartado/numeros-complejos-forma-polar

Representación de números complejos en forma polar Cualquier número complejo a+bi está representado por su afijo en las coordenadas (a,b).Dicho punto puede venir dado igualmente por la longitud del vector que une el origencon el afijo (OP−→−) y ángulo (α) que forma con el semieje positivo de abscisas.

Módulo de un número complejo

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El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen decoordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Figura 11: Representación de los números complejos en forma polar.

Fuente : http://www.ditutor.com/numeros_complejos/complejos_polar.html

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el ejereal. Se designa por arg(z).

Expresión de un número complejo en forma polar.z = r α

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

Ejemplos:

Pasar a la forma polar:

z = 260º

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Bibliografía

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