Ii -eletronica_digital_parte_2_v1.0
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ELETRÔNICA DIGITAL ELETRÔNICA DIGITAL Parte II – Simplificação de circuitos lógicos Parte II – Simplificação de circuitos lógicos Prof. Matheus Ribeiro
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ELETRÔNICA DIGITALELETRÔNICA DIGITALParte II – Simplificação de circuitos lógicosParte II – Simplificação de circuitos lógicos
Prof. Matheus Ribeiro
SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOSSIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS
Até aqui trabalhamos com circuitos lógicos sem nos
preocuparmos com a sua complexidade ou número de portas
utilizadas.
No entanto, na maioria dos casos os circuitos podem ser
simplificados.
Analisando os postulados da álgebra de Boole, chegamos a
um conjunto de identidades e propriedades que permitem a
simplificação dos circuitos:
IDENTIDADES DA ÁLGEBRA DE BOOLEIDENTIDADES DA ÁLGEBRA DE BOOLE
MULTIPLICAÇÃO ADIÇÃO COMPLEMENTAÇÃO
111
001
010
000
=⋅=⋅=⋅=⋅
111
101
110
000
=+=+=+=+
10
01
=
=
0
1
00
=⋅
=⋅=⋅=⋅
AA
AAA
AA
A
1
11
0
=+
=+=+=+
AA
AAA
A
AA
AA
AAse
AAse
=
=→=
=→=
01
10
PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA DE BOOLEPROPRIEDADES DA ÁLGEBRA DE BOOLE
( ) ( )( ) ( )
( ) CABACBAe
vaDistributi
CBACBACBAd
CBACBACBAc
asAssociativ
ABBAb
ABBAa
sComutativa
⋅+⋅=+⋅
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅++=++=++
⋅=⋅+=+
)
)
)
)
)
TEOREMAS DE MORGANTEOREMAS DE MORGAN
1) O complemento do produto é igual à soma dos
complementos:
prova
O complemento da soma é igual ao produto dos
complementos:
prova
BABA +=⋅
DCBADCBA +++=⋅⋅⋅
BABA ⋅=+
DCBADCBA ⋅⋅⋅=+++
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
1
1
1
0
BA ⋅ BA+
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
BA+ BA ⋅
IDENTIDADES AUXILIARESIDENTIDADES AUXILIARES
( ) ABABAA
prova
ABAA
=+⋅=⋅+
=⋅+
1
:
)1
( ) ( )
( ) ( )( )CBA
CBCBA
CBABCAAACABA
prova
CBACABA
⋅+=⋅+++⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+
⋅+=+⋅+
1
:
)2
BA
BA
BA
BAAA
BAA
BAA
BAA
BAABAA
prova
BABAA
+=+=
⋅=
⋅+⋅=
+⋅=
+⋅=
⋅⋅=
⋅+=⋅+
+=⋅+
)(
)(
)(
:
)3
1
A
1
0
SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANASSIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANAS
A) Usando os teoremas e propriedades da álgebra Booleana
vistos até aqui.
B) Usando os mapas de Karnaugh, também chamado de
método gráfico.
AAS
BCCBAS
BCCBAS
BCCBAS
BCCBAS
BACACBASEx
=⋅=⋅+⋅⋅=
⋅+⋅⋅=
++⋅⋅=
++⋅⋅=
⋅+⋅+⋅⋅=
1
)([
)([
)]([
)(
:.
1=+ yy
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 2 variáveis:
A
A
B B
A
A
B B
A
A
B B
A
A
B B
1
0
0 1B
A
1
0
0 1B
A
1
0
0 1B
A
1
0
0 1B
A
Região A=0 Região A=1 Região B=1 Região B=0
BA
BA
⋅
== 0;0
BA
BA
⋅
== 0;1
BA
BA
⋅
== 1;0
BA
BA
⋅== 1;1
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Cada linha na tabela verdade possui sua região própria no
mapa de Karnaugh.
Exemplo 1:
1
0
0 1
1 1
1 0
B
A
BABABAS ⋅+⋅+⋅=
Tabela verdade
111
101
110
000
SBA
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Agrupamentos possíveis para mapas de 2 variáveis
Quadra
1
0
0 1
1 1
1 1
B
A
Termo isolado
1
0
0 1
0 1
1 0
B
A
BABAS ⋅+⋅=1=S
Par
1
0
0 1
0 1
0 1
B
A
BS =
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Exemplo 2: Simplificação do exemplo 1 usando mapas de
Karnaugh.
1
0
0 1
1 1
1 0
B
A
BAS +=
Tabela verdade
111
101
110
000
SBA
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 3 variáveis:
Quadra
BS =
0
1
1
0
0
010
111
101
000
1C
AB
Quadra
CS =
1
1
1
1
0
010
011
001
000
1C
AB
Quadra
AS =
1
1
0
0
0
110
111
001
000
1C
AB
Quadra
BS =
1
0
0
1
0
110
011
001
100
1C
AB
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 3 variáveis:
Oitava
1=S
1
1
1
1
0
110
111
101
100
1C
AB
Pares
BACAS ⋅+⋅=
1
0
1
1
0
110
011
001
000
1C
AB
Pares
CBS ⋅=
1
0
0
1
0
010
011
001
000
1C
AB
Termo isolado
CBAS ⋅⋅=
0
0
0
0
0
010
011
101
000
1C
AB
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 4 variáveis:
Oitava
DS =
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
00
110
111
101
100
10CD
AB
Oitava
AS =
0
0
1
1
01
0
0
1
1
11
0
0
1
1
00
010
011
101
100
10CD
AB
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 4 variáveis:
Quadra
DBDBS ⋅+⋅=
1
0
0
1
01
1
0
0
1
11
1
1
1
1
00
110
111
101
100
10CD
AB
Quadra
DBDBS ⋅+⋅=
0
1
1
0
01
0
1
1
0
11
1
0
0
1
00
110
011
001
100
10CD
AB
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 4 variáveis:
Par
DCBDCBS ⋅⋅+⋅⋅=
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
0
1
1
0
00
110
011
001
100
10CD
AB
Termo isolado
DCBAS ⋅⋅⋅=
0
1
0
0
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
00
010
011
001
000
10CD
AB
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Para 5 variáveis:
EDBAEDBAECBAS ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
0
0
1
0
010
0
0
0
0
110
0
1
0
0
111
0
0
0
0
101
1
0
0
0
100
0
0
0
0
001
0
1
0
0
011
1
0
1
0
000
10
11
01
00
CDE
AB
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Condições irrelevantes
• São as situações de entrada para as quais a saída pode
assumir qualquer nível lógico.
• Ocorrem, principalmente, na impossibilidade prática do
caso de entrada acontecer e são representadas pelo
símbolo ‘X’.
• No mapa de Karnaugh, pode-se usar ‘0’ ou ‘1’ para a
condição irrelevante de forma a promover maior
simplificação.
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Exemplo: Tratamento das condições irrelevantes.
CBS +=
X
X
0
1
0
110
X11
101
X00
1C
AB
Tabela verdade
1110
X001
1101
X011
1
0
1
0
C
X11
010
X00
100
SBA
‘X’ tratado como ‘0’
‘X’ tratado como ‘1’
condições irrelevantes
