Aplicações Do Cálculo Diferencial e Integral

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 APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II NA ENGENHARIA ELETRÔNICA Fábio Galvão Borges [Bolsista UTFPR]  1 , Profª. Drª. Sani de Carvalho Rutz da Silva [Orientadora]  2  1 Coordenação de Eletrônica 2 Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia Campus Ponta grossa Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Av. Monteiro Lobato S/N – km 04 – Ponta Grossa – PR - Brasil  [email protected] , [email protected] Resumo - A disciplina de cálculo diferencial e integral representa um desafio para os estudantes de engenharia, o que se pode verificar no alto índice de reprovação. Mudanças foram feitas ao longo dos anos a fim de melhor  preparar os alunos e melhorar seu aprendizado. Alunos afirmam que o conteúdo é apresentado quase que exclusivamente de maneira teórica, com uma grande ausência de uso aplicado para a engenharia. Aqui se apresenta uma introdução de problemas práticos, contextualização e uso de exemplos da aplicação do cálculo no curso de engenharia eletrônica, com o objetivo de criar uma material didático voltado a engenharia para intensificar a importância do cálculo, motivar os alunos e melhorar seu desempenho. Palavras-chave: Cálculo, Aplicação, Desempenho, Engenharia. Abstract – The discipline of differential and integral calculus represents a challenge for engineering students, which can be seen on the high failure rate. Changes have been made over the years in order to better prepare students and improve their learning. Students say the content is presented almost exclusively in a theoretical way, with a great lack of use applied to engineering. This paper presents an introduction to practical problems and usage of examples of the application of calculus in electronics engineering course, with the goal of creating a focused engineering courseware to enhance the calculus importance, motivate students and improve their  performance. Keywords: Calculus, Applied, Performa nce, Engineering. INTRODUÇÃO A disciplina de cálculo representa a grande base para os cursos de engenharia,  juntamente com outras disciplinas. Ao final desta primeira, o aluno deve compreender e aplicar o conceito de funções, limites, derivadas e integrais e dominar suas principais  propriedades. Além introduzir o aluno ao uso dessas ferramentas limites, derivadas e integrais, que são extremamente importantes como base para outras disciplinas, o cálculo é responsável por desenvolver um raciocínio matemático para resolução de problemas [1]. O Cálculo diferencial e integral representa, porém, um desafio para os  estudantes, o que se pode verificar no alto índice de reprovação. Alunos afirmam que o conteúdo é apresentado de maneira muito teórica, com pouco uso aplicado para a engenharia. Essa

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  • APLICAES DO CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II NA

    ENGENHARIA ELETRNICA

    Fbio Galvo Borges [Bolsista UTFPR] 1, Prof. Dr. Sani de Carvalho Rutz da Silva [Orientadora] 2

    1Coordenao de Eletrnica

    2Programa de Ps-graduao em Ensino de Cincia e Tecnologia

    Campus Ponta grossa Universidade Tecnolgica Federal do Paran - UTFPR

    Av. Monteiro Lobato S/N km 04 Ponta Grossa PR - Brasil

    [email protected], [email protected] Resumo - A disciplina de clculo diferencial e integral representa um desafio para os estudantes de engenharia, o que se pode verificar no alto ndice de reprovao. Mudanas foram feitas ao longo dos anos a fim de melhor preparar os alunos e melhorar seu aprendizado. Alunos afirmam que o contedo apresentado quase que exclusivamente de maneira terica, com uma grande ausncia de uso aplicado para a engenharia. Aqui se apresenta uma introduo de problemas prticos, contextualizao e uso de exemplos da aplicao do clculo no curso de engenharia eletrnica, com o objetivo de criar uma material didtico voltado a engenharia para intensificar a importncia do clculo, motivar os alunos e melhorar seu desempenho. Palavras-chave: Clculo, Aplicao, Desempenho, Engenharia. Abstract The discipline of differential and integral calculus represents a challenge for engineering students, which can be seen on the high failure rate. Changes have been made over the years in order to better prepare students and improve their learning. Students say the content is presented almost exclusively in a theoretical way, with a great lack of use applied to engineering. This paper presents an introduction to practical problems and usage of examples of the application of calculus in electronics engineering course, with the goal of creating a focused engineering courseware to enhance the calculus importance, motivate students and improve their performance. Keywords: Calculus, Applied, Performance, Engineering. INTRODUO A disciplina de clculo representa a grande base para os cursos de engenharia, juntamente com outras disciplinas. Ao final desta primeira, o aluno deve compreender e aplicar o conceito de funes, limites, derivadas e integrais e dominar suas principais propriedades. Alm introduzir o aluno ao uso dessas ferramentas limites, derivadas e integrais, que so extremamente importantes como base para outras disciplinas, o clculo responsvel por desenvolver um raciocnio matemtico para resoluo de problemas [1]. O Clculo diferencial e integral representa, porm, um desafio para os estudantes, o que se pode verificar no alto ndice de reprovao. Alunos afirmam que o contedo apresentado de maneira muito terica, com pouco uso aplicado para a engenharia. Essa

  • maneira terica foi um fator contribuinte para aumentar a dificuldade de compreenso e diminuir o interesse para muitos alunos, de acordo com os mesmos [2]. Outro problema encontrado mais adiante no curso de engenharia, quando os alunos devem utilizar das ferramentas aprendidas no clculo para aplicar em outras disciplinas na rea de eletrnica. Os alunos encontram grandes dificuldades para utilizar desses conhecimentos para resolver os problemas prticos. Uma maneira de melhorar o desempenho dos alunos seria, ento, a introduo de problemas prticos e uso de exemplos da aplicao do clculo no curso de engenharia, intensificando a sua importncia. Dessa maneira, os recm-graduandos podem verificar um pouco a rea de atuao de seu curso, assimilar melhor o contedo e aumentar o interesse. O trabalho aqui apresentado tem o intuito de melhorar o aprendizado dos alunos na disciplina de clculo atravs de um material voltado aplicao do uso da disciplina na engenharia eletrnica. METODOLOGIA Para realizar o trabalho de pesquisa foram utilizados livros de clculo e livros especficos da rea de eletrnica, sendo eles livros de controle moderno, anlise de circuitos, amplificadores operacionais e eletromagnetismo. Professores das reas especficas foram consultados ao longo da elaborao do material para auxilio e verificao deste trabalho.

    Realizou-se um estudo de varias etapas do curso de clculo, e aps o estudo foi feita uma busca por aplicaes prticas relacionadas com o contedo estudado e a atuao na rea de engenharia eletrnica. Um material com exemplificaes prticas e breves introdues s reas da eletrnica foi elaborado, juntamente com a elaborao de alguns exerccios prticos.

    Professores das reas tcnicas correspondentes realizaram a verificao de eventuais falhas na elaborao do contedo. RESULTADOS E DISCUSSO Por ser uma base para o curso de graduao e uma ferramenta para resoluo de problemas do profissional engenheiro, necessrio que o aluno apresente um bom desempenho e aprendizado da disciplina, adquirindo tambm, uma viso de como pode utilizar desse conhecimento futuramente. Com um material voltado a aplicao do clculo na engenharia, o aluno consegue adquirir essa faculdade de aplicar o que aprendeu durante a disciplina, alm de se sentir mais motivado e interessado. A seguir sero apresentadas algumas aplicaes do clculo diferencial e integral na engenharia eletrnica. Funes de vrias variveis. Muitas vezes, a determinao de um valor est associada a influncias de certos fatores. Para essa determinao so utilizados clculos de funo de varias variveis. Como exemplo, a queda de tenso eltrica num condutor (V) percorrido por uma corrente de intensidade (I) proporcional a esta corrente. Essa relao expressa pela lei de Ohm [3].

    V = R.I (1)

    V = f(I,R) (2)

    Para cada valor de i e R existe um valor para a tenso V.

  • Utiliza-se, normalmente, funes de duas variveis pela definio e pela compreenso ser mais simples. Seja D um subconjunto do espao plano R2. Uma dada funo f de D toda relao que associa a cada par das variveis x,y que pertencem a D, um nico nmero representado por f(x,y). [4]. As funes so a base para o estudo de limites, derivadas e integrais. Limites. Seja f (x) definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se f (x) fica arbitrariamente prximo de L, para todos os valores de x suficientemente prximos de x0, f tem limite L quando x tende a x0 [1] e escrevemos:

    (3)

    O conceito de limites utilizado na Engenharia Eletrnica em Sistemas de Controle. O Controle automtico exerce um papel muito importante no avano da engenharia em diversas reas. A sua aplicao vista na engenharia espacial, sistemas robticos, desenvolvimento de automveis e em operaes industriais como controle de temperatura, presso, umidade, vazo, etc. [5].

    Para um dado sistema, a funo de transferncia em malha fechada relaciona o sinal de entrada com o de sada. Em um sistema eltrico, por exemplo, uma dada tenso de entrada alimenta um circuito no qual se deseja controlar a potncia em uma determinada carga na sada. A tenso inicial (Ei) seria o sinal de entrada e a potencia na carga (E) o sinal de sada a ser controlado [5]. A funo de transferncia dada nesse caso por:

    (4)

    utilizada a transformada de Laplace para levar as funes do domnio do tempo (t)

    para o domnio da frequncia (s). A figura 1 a seguir mostra o sistema em diagramas de blocos.

    Figura 1. Diagrama de blocos

    Em muitos casos, na prtica, no se conhece o valor instantneo de entrada. So utilizadas funes de testes temporais simples na entrada como a funo degrau unitrio ou rampa para analisar a resposta do sistema. Assim, consegue-se estimar se o valor da sada se apresenta de forma coerente com o valor de referencia.

    A resposta em estado estacionrio dada verificando o limite da funo de sada para um tempo infinito, no domnio da frequncia (s) quando s tende a zero. Com isso possvel calcular o erro do estado estacionrio e verificar o quanto o sinal de sada se afasta do sinal de referencia. [5]. Derivadas. A derivada de uma funo f(x) dada por:

  • (5)

    A derivada vista como a taxa de variao da funo f em relao x. Como exemplo, a velocidade instantnea a taxa de variao da posio em relao ao tempo. Para uma funo de duas variveis f(x,y) o conceito o mesmo, porm uma das variveis mantida constante enquanto a outra varia. Portanto temos duas derivadas, chamadas de derivadas parciais em relao a x, fx(x,y) e em relao a y fy(x,y). [6]. Onde:

    ; (6)

    Uma importante aplicao do estudo de derivadas parciais, a da otimizao de funes. Otimizar uma funo, significa encontrar seu desempenho mximo ou mnimo. Como para as funes de uma varivel, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser mximos ou mnimos. Para saber de que tipo so esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x0,y0), que definido a seguir [4].

    (7)

    Assim , Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) um extremo, e a) H(x0,y0)>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) 0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 ento x0,y0) um mnimo. c) H(x0,y0)

  • passa pelo capacitor (i) e igual ao valor da capacitncia vezes a derivada da tenso vi pelo tempo e que a corrente que passa pelo resistor Rf (if) dada pelo valor da tenso de sada vo, tem-se [7]:

    (8)

    Isolando a tenso de sada vo da equao (8) possvel obter:

    (9)

    A partir do circuito diferenciador simples possvel a elaborao de circuitos mais complexos dependendo do resultado a qual se deseja chegar [7].

    Integrais. A integral representada como o somatrio das reas de figuras conhecidas sob os grficos de funes. Essa representao mostrada na equao (14) [8].

    = (10)

    possvel provar que o limite da equao (10) existe e um nmero no negativo. [8]. A aplicao das integrais na eletrnica est presente tambm nos amplificadores

    operacionais. Analogamente ao circuito diferenciador apresentado anteriormente, possvel montar um circuito chamado integrador. Esse circuito ilustrado na figura 3 [7].

    Figura 3. Circuito integrador.

    Aplicando novamente a LKC no ponto a seguinte equao (11) obtida:

    (11)

    Isolando vo na equao (11) obtm-se a equao (12):

    (12)

  • CONCLUSES

    Um material voltado aplicao do clculo na engenharia proporciona aos alunos uma viso diferente da disciplina atravs da utilizao do contedo aprendido nas diversas reas do seu curso. Apresenta, tambm, uma melhor metodologia para a resoluo de problemas matemticos voltados a reas especficas. Professores tambm iro se beneficiar com um material complementar para o aprendizado de seus alunos.

    Uma viso prtica, com aplicaes apresentadas no incio do curso, nas diversas reas da engenharia eletrnica d a oportunidade aos estudantes de se interessarem mais pelo curso ao qual escolheram e identificar possveis reas de atuao como engenheiro e uma bsica noo de como poder ser essa atuao.

    O trabalho apresentado capaz de aumentar a motivao dos alunos no curso, melhorar seu desempenho e, consequentemente, diminuir o numero de reprovao na disciplina. AGRADECIMENTOS

    Deixo expressos meus sinceros agradecimentos a Universidade Tecnolgica federal do Paran - UTFPR, pela bolsa concedida. REFERNCIAS

    [1] THOMAS, George B., CLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10 Edio, 2002.

    [2] MELLO, Joo Carlos Baptista Soares de; MELLO, Maria Helena Campos Soares de e FERNADES, Artur Jos Silva. Mudanas no ensino de clculo I: Histrico e Perspectivas. Cobenge: Rio de Janeiro, 2001.

    [3] JOHNSON, David E. e HILBURN, John L. Fundamentos de anlise de circuitos eltricos. Editora Prentice-Hall do Brasil, 4 Edio, 1994.

    [4] VILA, G.,Clculo II: Funes de mltiplas variveis. LTC, 4 Edio, 2001. [5] OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. LTC, 3 Edio, 1998. [6] GUIDORIZZI, Luiz Hamilton. Um curso de clculo Vol. 2. LCT: Rio de Janeiro, 2001. [7] JNIOR, Antonio Pertence. Eletrnica Analgica: Amplificadores Operacionais e Filtros

    Ativos. Bookman, 6 Edio, Porto Alegre, 2003. [8] FLEMMING, Diva M., GONALVES, Mirian B.. Clculo A Funes, limite, derivao

    e integrao. Prentice-Hall, 6 Edio, 1995.