apostila-integral-definida-20161 (1).docx

8/16/2019 apostila-integral-definida-20161 (1).docx

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INTEGRAL DEFINIDA


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PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO


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Exemplos:1) Calcula a ! ea" u#$l$%a&'o a $e( al 'e $&$'a" 'a e($*o 'el$m$#a'a e e o e$xo x e a u&

f ( x)= 2 x+1 " &o $e ,alo 'e 1 a#- ." co& o me o ( ! $co a/a$xo0


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(2 x+1 )dx= x ²|13

+¿ x| 13

= (9 − 1 )+(3 − 1 )= 10 u . a .

A= ∫1

3

¿

Geome# $camee a amos A 2 Ae#3&(ulo4 A# $3&(ulo2 2 × 3 +(2 × 42 )= 6 +4 = 10 u . a .

5) Ac6a a ! ea so/ a pa !/ola f ( x)= x ² 'e 7 a#- 5" co& o me o ( ! $co a/a$xo0

.) Ac6a a ! ea so/ a u&+*o f ( x)= x ³ 'e 8 5 a#- 5" co& o me o ( ! $co a/a$xo0


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9) De#e m$&e a ! ea 'a e($*o l$m$#a'a pelos ( ! $cos 'as u&+ es: y= x ², y=− x+2 e y = 0 "

co& o me o ( ! $co a/a$xo:


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;) Calcula a ! ea" u#$l$%a&'o a $e( al 'e $&$'a" 'a e($*o 'el$m$#a'a e e o e$xo x e a u&f ( x)= x2− 4 x " &o $e ,alo 'e 1 a#- ." co& o me o ( ! $co a/a$xo0

Exercícios:

1) Calcula as $e( a$s 'e $&$'as:

( x3

+ 3 x− 1 )dx= ¿a ¿∫

0

2

¿

( x ³3 − 2 x2 +7 x+1)dx= ¿b ¿∫

− 2

2

¿

c ¿∫0

1

( x+4√ x)dx= ¿

d ¿∫0

1

(1− x4 )dx= ¿

x ·√ x2 +1 dx= ¿

e ¿∫01

¿


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2) f ¿∫0

π 2

senx· cosx dx = ¿ Calcule a ! ea so/ o ( ! $co 'e ca'a u&+*o &o $e ,alo $&'$ca'o0

Es/oce o ( ! $co 'a u&+*o:

a ¿ y= 13

x3 ,nointervalo [−1,2 ]

b ¿ y= 1 − x2 ,nointervalo [− 1,1 ]

c ¿ y= x2− 6 x+5, nointervalo [1,3 ]

ÁREAS ENTRE CUR


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5)


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A=∫02

[ x+1 − ( x2

− 1 )]dx−∫23

[ x2

− 1− ( x+1 ) ]dx

3) Calcule a ! ea 'a e($*o 'el$m$#a'a pelas u&+ es y= x2 e y= √ x 0

Exercícios:

10 Fa+a um es/o+o 'a e($*o 'el$m$#a'a pelos ( ! $cos 'as u&+ es e calcule sua ! ea" em

ca'a caso a/a$xo:a ¿ y= x+1 e y= 9− x ² de x=− 1 a x = 2.

b ¿ y= 2 − xe y= x ²

c ¿ y2 = xe x− 2 y= 3

d ¿ y= x+2 e y= x ²


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Exemplos:


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5) Es/oce a e($*o 'el$m$#a'a pelo ( ! $co 'a u&+*o y= x ² e e @ 2 7 e @ 2 9 e calcule o,olume 'o s l$'o (e a'o pela o#a+*o 'a e($*o em #o &o 'o e$xo @0 Es/oce o s l$'o ap ox$ma'o# p$co0

.) Calcule o ,olume 'o s l$'o (e a'o pela o#a+*o 'a e($*o 'el$m$#a'a pelos ( ! $cos 'as

u&+ es y= 6 e y= x+1 em #o &o 'o e$xo x 'e 1 a#- 90 Fa+a um es/o+o 'a e($*o e 'o s l$'o

ap ox$ma'o # p$co0


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Exercícios:

1) De#e m$&e o ,olume 'o s l$'o (e a'o pela e,olu+*o 'a e($*o so/ o ( ! $co 'e ca'au&+*o 'e o 'o $e ,alo $&'$ca'o" em #o &o 'o e$xo x0

a ¿ y= 3 x2 ,[−1, 3 ]

b ¿ y= √ 9 − x2 ,[− 1,3 ]

2) De#e m$&e o ,olume 'o s l$'o (e a'o pela o#a+*o 'a e($*o l$m$#a'a pelas cu ,as em

#o &o 'o e$xo $&'$ca'o0 Use o m-#o'o 'os '$scos c$ cula es0

a ¿ y= x2 e y= 2 x ,em torno doeixo x .

b ¿ y= 12 − x2 , y= x e x= 0, emtorno doeixo y .

c ¿ y= x2+1 e y =− x+3, emtornodo eixo x .

COMPRIMENTO DE ARCO


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De $&$+*o: O comp $meo 'e uma cu ,a - o me&o &Bme o #al ue o comp $meo cam$&6os pol$&om$a$s &u&ca po'e ul# apassa " &*o $mpo #a&'o uao uos se am coloca'opoos $&a$s 'os se(meos0

( )[ ] dx x f sabb

a∫ +== 2'1Co&s$'e e uma u&+*of(x) #al uef(x) e f’(x) $s#o - a

'e $,a'a em ela+*o a x ) s*o co &uas em[a, b] 0 O comp $meos 'e pa #e 'o ( ! $co'e f e e x 2 a e x 2 b - 'a'o pela mula:

Exemplo 1:

2

3

3 24 x x y ==Calcule o comp $meo 'a cu ,a @5 2 9x. e e os poos 7" 7) e 5" 9

√ 2)

Se $sola mos @:

21

3' xdxdy y ==

Lo(o"

dx xdsab ∫ ∫

+== 2

0

2

2

1

31

O comp $meo 'o a co se !:

dx x∫ += 2

091

dx xds∫ ∫

+=

2

0

2

2

1

31


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( ) ( ) ( )1191927

291

27

2

3

2

9

1 2

0

2

32

0

2

3

−=+=⋅= xu duu 9

1 2

0

2

1

∫ =9

dudx =

dxdu 9= u x =+91

Exercícios:

1) De#e m$&a o comp $meo 'e a co 'a cu ,a 'esc $#a po y= x2 +1 " com x &o $e ,alo 7" . 0

2) Calcule o comp $meo se(meo 'a e#a x+3 y= 4 'o poo 85" 5) ao poo 9"7)0

Área de uma Superfície de Revolução

Pa a calcula mos a ! ea 'e uma supe c$e 'e e,olu+*o (e a'a ao a%e ($ a a pa #e 'acu ,a @ 2 x) e e x 2 a e x 2 /" em #o &o 'o e$xo x" u#$l$%a emos a se(u$e mula:

f 2 πf ( x)√ 1 +(¿¿' ( x)) ² dx

S=∫a

b

¿

Al-m '$sso" se ( o &*o8&e(a#$,a e x 2 ( @) o uma cu ,a sua,e em c" ' " e*o a ! ea 'asupe c$e (e a'a ao a%e ($ a a pa #e 'a cu ,a x 2 ( @) e e @ 2 c e @ 2 '" em #o &o 'o e$

po'e se exp essa como

g

2 πg ( y)√ 1 +(¿¿' ( y))² dx=∫c

d

2 πx√1 +(dxdy )² dyS=∫

c

d

¿

Exemplo:

1) Ac6e a ! ea 'a supe c$e (e a'a ao ($ a em #o &o 'o e$xo x a pa #e 'a cu ,a y= x ³ e e x 2 7 e x2 10


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Solu+*o: uma ,e% ue y= x ³ temos dydx

= 3 x² " e po #ao"a pa #$ 'a mula a ! ea S 'a supe c$e -:

x ³ (1 +9 x4 )12 dx= ¿

S=∫a

b

2 πy√1 +(dydx)² dx =∫01

2 πx ³ √ 1 +(3 x2 )² dx= 2 π ∫0

1

¿

{ u= 1 +9 x4

du= 36 x ³ dxdu36

= x ³ dx

2 π ∫0

1

u12 ·

du36

= 2 π 36 ∫0

1

u12 du = 2 π

36 ·

u12

+1

1

2 +1

du= 2 π 36

·23

(1+9 x4)32]10 = π 27 (10

32 − 1

32 )= π

27(10

32 − 1)≈ 3,56

Exercícios:

1) Calcula a ! ea 'a supe c$e 'e e,olu+*o o/#$'a pela o#a+*o" em #o &o 'o e$xo x" 'a cu ,a

'a'a po y= √ x " em 1" 9 0

2) Calcula a ! ea 'a supe c$e 'e e,olu+*o o/#$'a pela o#a+*o"'a cu ,a y= √ 4 − x2 ,− 1 ≤ x ≤ 1

em #o &o 'o e$xo x0

TRABA !"

O # a/al6o eal$%a'o po uma o +a ,a $!,el F x) &a '$ e+*o 'o e$xo x" 'e x 2 a a#- x 2 /" -

W =∫a

b

F ( x)dx ,onde F ( x)= · x

A u&$'a'e 'a $e( al se ! oules" se F es#$,e em &eH#o&s e x em me# os" ou p-s8l$/ as"se F es#$,e em l$/ as e x em p-s0

Exemplos:

1) O # a/al6o eal$%a'o po uma o +a 'e F ( x)= 1

x2 ! ao lo&(o 'o e$xo x" 'e x 2 1m a x 2 17m -


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x− 2 +1

− 2 +1⌉

¿− 1 x

⌉

¿¿¿

W =∫ab

1 x ²

dx= ¿

2) Uma mola cu o #ama&6o &a#u al - 'e 1; cm exe ce uma o +a 'e 9;N" ua&'o es#$ca'a a#- umcomp $meo 'e 57 cm0

a) Ac6e a co&s#ae 'a mola em N m)0

#) Ac6e o # a/al6o eal$%a'o ao es#$ca a mola . cm al-m 'o seu #ama&6o &a#u al0

c) Ac6e o # a/al6o eal$%a'o ao es#$ca a mola 'e 57 pa a 5; cm0

Exercícios:

1) Uma mola cu o #ama&6o &a#u al - 7"5m exe ce uma o +a 'e .7N ua&'o es#$ca'a a#- ocomp $meo 'e 7"5;m0

a) De#e m$&e a co&s#ae 'a molaJ

#) De#e m$&e o # a/al6o eal$%a'o ao es#$ca a mola 'e 7"5;m pa a 7".7m0

2) Uma mola 'e 5;cm 'e comp $meo &a#u al so e uma '$s#e&s*o 'e ."Kcm so/ um peso 'e.;N0 Ac6e o # a/al6o eal$%a'o pa a '$s#e&'e a mola:

a) 'e seu comp $meo pa a .;";cm0

#) 'e 5Kcm pa a ..cm0

E$ER%&A

Em s$ca a exp ess*o (12 )m· v ² - c6ama'a 'e e&e ($a c$&-#$ca 'e um co po emmo,$meo com ,eloc$'a'e ,0 Po #ao" o # a/al6o eal$%a'o po uma o +a - $(ual a ,a $a+*o 'ae&e ($a c$&-#$ca 'o co po e po'emos 'e#e m$&a o # a/al6o calcula&'o essa ,a $a+*o0


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'E$TR(& E

O ce $'e 'e uma e($*o pla&a R) - 'e $&$'o como o ce o 'e massa 'a e($*o0 Oce o 'e massa - o poo pelo ual es#a e($*o R po'e se suspe&sa sem ($ a 0

As coo 'e&a'as (́ x , ´ y) 'o ce $'e s*o 'a'as po :

́x= 1

A ∫ x1 x2

[f ( x)− g ( x) ] x dx

́y= 12 A ∫ x1

x2

[f 2 ( x)− g2 ( x) ]dx

Exemplos:

1) Ac6a as coo 'e&a'as 'o ce $'e 'a e($*o l$m$#a'a pela cu ,a y2= 2 x e o e$xo x" &o

$e ,alo 7". 0

Exercícios:

1) Ac6a o ce $'e 'a $(u a e e as 'uas cu ,as y= x3 e y= √ x 0

2) Ac6a o ce $'e 'e uma sem$8c$ cu& e &c$a" cu a u&+*o - y2= 4− x2 .

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