Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpolação
Interpolação
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• Definição
• Interpolação Linear
• Interpolação Polinomial
• Aplicações
• Interpolação Quadrática
Definição
Interpolação
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Interpolar é construir um novo conjunto de dados a partir
de um conjunto discreto de dados pontuais previamente
conhecidos.
Consiste em determinar uma função (iremos considerar
polinômios), que assume valores conhecidos em certos pontos
(nós de interpolação).
A classe de funções escolhida para a interpolação é a
priori arbitrária e deve ser adequada às características que
pretendemos que a função possua.
Definição
Interpolação
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Interpolação é o processo de estimar valores de uma
função para valores de diferentes de , para , sabendo‐se apenas
os valores denos pontos
Qual o valor de para
x
y ) ) ) )
Definição
Interpolação
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Qual o valor de para
x
y ) ) ) )
Definição
Interpolação
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Aplicações
• Obtenção de valores intermediários em tabelas (crescimento de bactérias, consumo de água, energia, etc.);
• Solução de Equações Diferencias Ordinárias (EDO´s);
• Integração numérica;
• Cálculo de raízes de equação;
Definição
Interpolação
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Aplicações
Em Engenharia, dispõe-se habitualmente de dados
pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um
experimento. Tal conjunto de dados pontuais (também
denominado conjunto degenerado) não possui continuidade e isto
muitas vezes torna demasiado irreal a representação teórica de
um fenômeno real empiricamente observado.
Através da interpolação, pode-se construir uma função que
aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-
lhes, então, a continuidade desejada.
Definição
Interpolação
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Outra aplicação da interpolação é a aproximação de
funções complexas por funções mais simples. Suponha que
tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que
seja possível avaliá-la de forma eficiente.
Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da
função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais
simples.
Aplicações
Definição
Interpolação
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Claramente, quando se utiliza de uma função mais simples
para calcular novos dados, naturalmente não se obtém o mesmo
resultado da função original, porém dependendo do domínio do
problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de
simplicidade pode compensar o erro.
A interpolação permite fazer a reconstituição
(aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer
apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas.
Aplicações
Interpolação
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• Interpolação Linear
Interpolação Linear
Interpolação
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O principal problema é que se os pontos forem poucos ou
muito afastados entre si, a representação gráfica para uma
determinada função não seria muito bem representada por tal
método. Neste caso, costuma-se utilizar polinômios de graus mais
elevados ou aplicar outros métodos. Um deles é o Método de
Lagrange, que veremos mais a frente.
É o método de interpolação que se utiliza de uma função
linear (um polinômio de primeiro grau) para representar, por
aproximação, uma suposta função que originalmente representaria
as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido
no domínio de
Interpolação Linear
Interpolação
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Exemplo:
Interpolação
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• Interpolação Quadrática
Interpolação Quadrática
Interpolação
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É o método de interpolação que se utiliza de uma função
quadrátca (um polinômio de segundo grau) para representar, por
aproximação, uma suposta função que originalmente representaria
as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido
no domínio de
Interpolação Quadrática
Interpolação
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Exemplo:
Interpolação
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• Interpolação Polinomial
Interpolação Polinomial.
Interpolação
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É o processo matemático de interpolação em que a função
interpoladora é um polinômio de grau . A função interpoladora é a
função de grau .
Na fase de escolha do processo matemático de interpolação,
frequentemente são escolhidos polinômios. Isto porque os polinômios
apresentam relativa simplicidade e também porque permitem
representar satisfatoriamente a generalidade das funções que
surgem no cotidiano.
Interpolação Polinomial
Interpolação
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Exemplo:
Diferença entre os métodos de interpolação lineares, quadráticas e polinomiais (Lagrange)?
Interpolação
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• Linear: Polinômio (função linear) de 1º Grau
• Quadrática: Polinômio (função quadrática) de 2º
Grau
• Lagrange: Polinômio (função polinomial) de Grau
Interpolação Polinomial: métodos.
Interpolação
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Métodos de Interpolação Polinomial são utilizados para
aproximar uma função quando:
• é desconhecida. Tem‐se apenas valores de f em um conjunto de
pontos;
• é conhecida, mas é de difícil manipulação;
Interpolação Polinomial: métodos.
Interpolação
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Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos
outros, quanto à técnica de determinação do polinômio interpolador.
Os erros de arredondamento diferem em cada caso, pois as
operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada
método.
Alguns dos métodos existentes, são:
• Método de Newton;
• Método de Lagrange;
• Método de Gregory;
Trabalho
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Trabalho
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• Equações Diferenciais Ordinárias:
• Método de Runge-Kutta;
• Método de Adams;
• Resolução de Equações diferenciais de Ordem Superior; e
• Sistemas de Equações Diferenciais de Primeira Ordem.
• Entregar no dia da avaliação. Vale 30% da nota.
Referências Bibliográficas
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ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.
BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.
CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed.. Mc. Graw-Hill. 1990.
CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.
SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária da UFPE, 2006.
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