Introdução e conceitos fundamentais de sistemas multivariaveis.

Sistemas multivariáveisSão sistemas com várias entradas e saídas, nos que uma entrada afeta a várias saídas e reciprocamente uma saída é afetada por várias entradas.

SISO

MIMO

Outra forma de vê-lo

)(11 sG)(1 sm )(1 sy

)(22 sG)(2 sm )(2 sy

Neste sistema uma entrada afeta só uma saída

Não há interação

+)(11 sG

)(12 sG

)(22 sG

)(21 sG

)(1 sm

+

+

+

)(2 sm

)(1 sy

)(2 sy

Neste sistema uma variável de entrada afeta a mais de uma variável de saída.

apresenta interação

Este é o efeito mais importante no projeto de ajuste das malhas de controle paraesses sistemas.

)()()()()(

)()()()()(

2221212

2121111

smsGsmsGsy

smsGsmsGsy

+)(11 sG

)(12 sG

)(22 sG

)(21 sG

)(1 sm

+

++

)(2 sm

)(1 sy

)(2 sy

Sua representação matricial de estado é:

)()(

)()()(

)(

)()(

)(

)()(

2221

1211

2

1

2

1

sGsG

sGsGsG

sm

smsM

sy

sysY

)()()( sMsGsY

Controle de um evaporador  Controle de uma coluna de destilação Controle de um processo de mistura Controle de robô        

Exemplos de sistemas multivariáveis:

 1.- Qual é o efeito da interação sobre a resposta do sistema controlado? 2.- Quanta interação existe entre as malhas, e qual é a melhor forma de parear as variáveis manipuladas e controladas para reduzir o efeito da interação?

3.- ¿Pode ser eliminada ou reduzida essa interação através do projeto do sistema de controle?

Três perguntas se devem fazer quando se deseja controlar um sistema multi variável

Tipos de interação:

Positiva

Negativa

Quando a interação provoca que asduas malhas se ajudem mutuamente.

Quando se fecham as outras malhasa mudança é na mesma direção que quando estavam abertos.

Quando as duas malhas brigam entre se

Quando se fecham as outras malhasa mudança é é em direção contrária que quando estavam abertos.

1.- Qual é o efeito da interação sobre a resposta do sistema controlado?

Pareamento de variáveis controladas e manipuladas em sistemas de controle multivariáveis.

Para selecionar que sinal de mando (entrada) relacionará-se com cadasaída controlada se precisa determinar quais de essas entradas e saídas têm uma relação mais estreita e quais têm forte interação o ela é depreciável.

A medição da interação pode se estabelecer medindo a variação das saídas(variáveis controladas) com respeito a cada uma das entradas (variáveis manipuladas), o que se conhece como ganhos relacionais entre os pares de variáveis controladas e manipuladas do sistema.

Sistema multivariável 2x2

Ganho relacional E/S de sistemas multivariável em malha aberta (quando as outras variáveis manipuladas são mantidas constantes)

De aqui são definidas:

Ganho relacional E/S de sistemas multivariável em malha fechada (quando as outras variáveis controladas são mantidas constantes) 

Conceito de Ganho Relativo o medição de interação A medição da interação proposta por Bristol é a relação entre o ganho em malha aberta e o ganho em malha fechada, definido como ganho relativo na seguinte equação

Para este caso

Matriz de ganho relativos

Experimental: realizam-se medições experimentais nas condições estabelecidas na definição dos ganhos por meio da simulação de seus modelos físico-químicos em estado estacionário.

Analítica no tempo: faça-se por simples balance de massa ou energia em estado estacionário e são obtidos os limites das variações das variáveis controladas com relação as manipuladas para quando as variações tendem a zero (estado estacionário) ou diretamente pela derivada parcial

Cálculo de Matriz de Ganho relativo de sistemas 2x2

Pode se determinar de várias formas:

A forma mais rápida de achar a matriz é

T-1G(0)*G(0)

EXEMPLO

Um sistema multivariavel tem o seguinte modelo

14

4)(

13

3(s)

)(1

1(s)

12

11

Ssm

SY

smS

Y

Este produto é o produto do Hadamard (elemento por elemento)

Representado em blocos é

Determinemos a matriz de ganho relativo

14

4)(

13

3(s)

)(1

1(s)

12

11

Ssm

SY

smS

Y

A partir do modelo, a matriz de transferências é

14S

4

13S

3

01S

1

(s)

G43

01(0) G

T-1G(0)*G(0)

4/14/3

01

4

13

04

cof(0)

T1-

Adj

G

4/10

4/31(0) 1-

T

G10

01

4/10

4/31*

43

01

Observações sobre esta matriz

È o arranjo mxn definido pelos ganhos relativos entre as diferentes variáveis controladas e manipuladas do sistema multivariável. As variáveis controladas definem as filas, e as variáveis manipuladas definem as colunas da matriz.

A soma de todas suas filas e colunas sempre resulta a unidade

Para minimizar o efeito da interação em um sistema de controle multivariável, a dupla de variável controlada e manipulada se deve obter um ganho relativo o mais perto possível da unidade. 

m1 deve controlar a C1

m2 deve controlar a C2

Nos sistemas com ganho relativo negativo devem ser evitados de qualquer forma.

m1 nunca deve controlar a C1

m2 nunca controlar a C2

Não é recomendável utilizar ganho relativo nulo, pois significa que a variável manipulada não efeito direto na variável controlada e depende da interação com outras malhas para se controlar.

m1 nunca deve controlar a C1

m2 nunca controlar a C2

EXEMPLO

Selecionar os acoplamentos entrada / saída que minimizam a interação entre laços nas seguintes matrizes de ganho relativo

8.02.0

2.08.0 ) 1 a

3.07.0

7.03.0 ) 2 b

3.03.1

3.13.0 ) 3

c

Fica uma pergunta por responder das três que fizemos ao início

3. Pode ser eliminada ou reduzida essa interacção através do projecto do sistema de controle?

SIM…

Podemos usar os chamados ¨desacopladores¨

)()()()()(

)()()()()(

2221212

2121111

smsGsmsGsy

smsGsmsGsy

A partir da equação do sistema

Suponha que acoplamos 11 my

22 my desejamos que

não troque quando trocar

1y

2m

2y não troque quando trocar 1m

)()(

)()(

)()()()(

0)()()()(

0)(

211

121

212111

212111

1

smsG

sGsm

smsGsmsG

smsGsmsG

sy

)()(

)()(

)()()()(

0)()()()(

0)(

122

212

121222

222121

2

smsG

sGsm

smsGsmsG

smsGsmsG

sy

¨desacopladores¨

Problemas que podem apresentar-se

Pode necessitar-se desacopladores não realizáveis fisicamente.

Os erros que tenha o modelo com o que se calcula o desacople influem e podem afectar a estabilidade gravemente

Análise dinâmica de um sistema MIMO de 2x2

Aplicando as técnicas conhecidas da álgebra de blocos ou a fórmula do Mason

Que informação dão estas equações?

O ajuste de cada controlador afeta a resposta de ambas as variáveis controladas porque seu efeito está na equação característica que é comum

A estabilidade dos laços independentes não garante a estabilidade do conjunto

Se tirarmos a interação entre os laços

Pondo em manual o controlador 2 Pondo em manual o controlador 1

Para que a interacção afecte a resposta dos laços , esta deve actuar em ambos os sentidos, se alguma das duas FT entre laços é zero

As raízes desta equação são quão mesmas as das duas anteriores

Quando os laços estão fechados e automáticos a estabilidade dependerá também dos ramos que unem os laços

EXEMPLO

Laço 1

33.315.0

5.0

05.015.0

05.005.01.0

00.1S

10.1S0.51

01*1.0

115.01

S

S

SS

S

Raiz negativa, laço estável

jS

S

SSS

SSSS

SSSS

SS

SSS

49.01087.0

0827.0

05.12162180600

05.1215012180600

0)112(*5.12)15)(110(12

0)15)(110(

5.0*

12S

112S521

0)15)(110(

5.0*

12

11251

23

23

Laço 2

Raízes negativas, laço estável

0)15)(110(

5.0*

12

1125*1*

1.0

115.0

)15)(110(

5.0*

12

11251*

1.0

115.01

SSSSSSSS

0

)15)(110(

)112(11.05.2

)15)(110(12S

5.12162180600*

1.0

5.015.02

23

SSS

SS

SS

SSS

S

S

0

)15)(110(

)112(11.05.2

)15)(110(1.2S

25.687.823.1143279022

234

SSS

SS

SS

SSSS

02.258.5185.22801.504810635177004500 2345678 SSSSSSS

0 0 -3.3388 -0.3820 + 0.6467i -0.3820 - 0.6467i 0.3529 -0.0917 + 0.0041i -0.0917 - 0.0041i

Raízes da equação característica do conjunto

Concluindo

A estabilidade dos laços independentes não garante a estabilidade do conjunto multivariavel

Uma raiz positiva, sistema instável