Introdu--o a Pesquisa Operacional

5/24/2018 Introdu--o a Pesquisa Operacional

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Introduo Pesquisa Operacional

Fernando Augusto Silva Marins

Professor Adjunto do Departamento de Produo - DPD

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet - FEGUniversidade Estadual Paulista - UNESP
http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP


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Referncias 97

Introduo Teoria dos Grafos e Otimizao em Redes

1. Introduo 99

2. Conceitos Bsicos 102

3. Algoritmos 111

3.1. rvore de Valor Mnimo 111

3.2. Caminho Mais Curto 112

3.3. Fluxo Mximo 116

Referncias 127

Modelo de Transporte Simples

1. Histrico e Formulao Matemtica 128

2. Algoritmo do Stepping Stone Method 1353. Resoluo pelo Mtodo Modificado (Modi) 144

4. Mtodos para Encontrar uma Soluo Bsica Inicial para o

Stepping Stone Method

147

4.1. Regra do Canto Esquerdo - RCE 147

4.2. Mtodo do Menor Custo Associado - MMC 148

5. Ofertas e Demandas Desbalanceadas 151

6. Degenerescncia 152

7. Condies Proibidas e Embarque e Recepo 157

Referncias 159


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5Apresentao

A Pesquisa Operacional (PO) uma rea da Engenharia de

Produo que proporciona aos profissionais, que tm acesso ao seu

escopo, o acesso a um procedimento organizado e consistente que o

auxiliar na difcil tarefa de gesto de recursos humanos, materiais e

financeiros de uma organizao. De fato, a Pesquisa Operacionaloferece um elenco interessante de reas, modelos e algoritmos que

permitem ao gestor tomar deciso em problemas complexos, onde

deve ser aplicada a tica cientfica.

O material deste livro corresponde a um curso semestral

introdutrio PO, abordando a Programao Linear, algoritmos para

Modelos em Redes e modelos estocsticos da Teoria de Filas. O

contedo vem sendo ministrado, h mais de 20 anos, no nvel de

graduao para os cursos de Engenharia Mecnica e de Engenhariade Produo Mecnica da Faculdade de Engenharia do Campus de

Guaratinguet (FEG) da UNESP; e desde 2008, em cursos de ps-

graduao, Lato Sensu e Stricto Sensu tem sido utilizado como

apoio, principalmente pelos alunos que esto tendo acesso PO pela

primeira vez.

Entendendo a dificuldade dos professores em desenvolver o

material didtico para suas aulas, ser disponibilizada, para os que

adotarem o livro, uma senha para um stio na Internet onde haver

os seguintes materiais de apoio:

a) Conjunto de slides em PowerPoint com o contedo dos

vrios captulos do livro;


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6b) Arquivos com exerccios propostos sobre cada captulo do

livro;

c) Softwares, com tcnicas de Pesquisa Operacional,

desenvolvidos por orientados do autor (Simon, Simulex e

Hungar), endereos na Internet para o downloadde verses

livres de importantes e teis softwares (LINDO), e, ainda,o endereo para acesso de software livre desenvolvido por

outra instituio (PROLIN Universidade Federal de

Viosa). Manuais de usurio do Solver do Excel e do

LINDO desenvolvidos por professores de outra

instituio (Universidade Federal de Ouro Preto).

O autor gostaria de agradecer ao Professor Heleno do

Nascimento Santos da UFV e aos Professores Alosio de Castro

Gomes Jnior e Marcone Jamilson Freitas Souza da UFOP,

respectivamente, pela autorizao do uso do software PROLIN e dos

manuais do Solver e do LINDO. Agradece, ainda, a aluna Monique

de Medeiros Takenouchi do curso de Engenharia de Produo

Mecnica da FEG UNESP pelo trabalho de adequao nos slides

em PowerPoint, bem como ao mestrando Marco Aurlio Reis dos

Santos pela reviso final do texto. Finalmente, o autor gostaria de

agradecer a oportunidade oferecida pela Pr-Reitoria de Graduao

da UNESP, por meio do Programa de Apoio Produo de MaterialDidtico, ao publicar este livro.

Guaratinguet, novembo de 2009.

Fernando Augusto Silva Marins


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Pesquisa Operacional: origens, definies e reas

1. A Pesquisa Operacional e o Processo de Tomada de Deciso

Um profissional que assume uma funo em uma empresa

logo se depara com situaes onde dever tomar algum tipo de

deciso. medida que este profissional vai ascendendo na carreira,

os problemas e as decises vo se tornando mais complexas e de

maior responsabilidade. De fato, tomar decises uma tarefa bsica

da gesto, nos seus vrios nveis, estratgico, gerencial (ttico) ou

operacional, devendo ser entendido que o ato de decidir significa

fazer uma opo entre alternativas de soluo que sejam viveis de

serem aplicadas situao.

Apesar de cada gestor ter o seu prprio procedimento de

anlise e soluo de problemas, pode-se, em geral, estabelecer

algumas etapas que, necessariamente, devem ser observadas,

configurando o que se denomina de papel do decisor:

(a) Identificar o problema talvez seja a etapa mais difcil, pois,

diferentemente dos livros, os problemas na prtica no esto,

inicialmente, claros, definidos e delimitados. Aqui importante

perceber quais so os demais sistemas que interagem com o sistema

onde se insere o problema a ser tratado. fundamental se ter uma

equipe de analistas multidisciplinar para o problema seja visto de

prismas diferentes e isso seja incorporado na sua soluo;

(b) Formular objetivo (s) nesta etapa devem ser identificados e


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8formulados (muitas vezes matematicamente) quais so os objetivos

que devero ser atingidos quando da soluo do problema. Em

alguns casos, podem-se ter vrios objetivos que podem ser

qualitativos (por exemplo, satisfao do cliente), quantitativos

(custo ou lucros) ou ainda conflitantes;

(c) Analisar limitaes na seqncia deve-se levantar quais so asrestries que limitaro as solues a serem propostas. Comumente,

essas limitaes dizem respeito ao atendimento de tempo/prazo,

oramento, demandas, capacidades (transporte, produo e

armazenamento), tecnologia (equipamentos e processos),

inventrios (matria-prima, subconjuntos, work in process e

produtos acabados), entre outros;

(d) Avaliar alternativas aqui, o decisor, aps identificar quais so

suas alternativas de ao, dever utilizando algum procedimentoescolher a melhor soluo que poder ser aplicada. Destaque-se

que, muitas vezes a soluo tima pode no ter uma relao custo-

benefcio que permita sua adoo pela empresa, e uma outra soluo

que atende esses requisitos pode vir a ser a escolhida. Nesse

processo de avaliao de alternativas, o decisor poder utilizar uma

abordagem qualitativa ou quantitativa:

A abordagem qualitativa se aplica em problemas

simples, corriqueiros, repetitivos, com pouco impacto financeiro ousocial, onde fundamental a experincia do decisor (ou de sua

equipe de analistas) em situaes anteriores semelhantes. Nestes

casos, adota-se uma soluo similar quela j utilizada com sucesso

num problema semelhante;


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9 J a abordagem quantitativa a recomendada quando

os problemas so complexos, novos, envolvem grande volume de

recursos humanos, materiais e financeiros, tm alto impacto no

ambiente onde se insere (empresa ou sociedade). Aqui, recomenda-

se o uso dos preceitos da tica cientfica e os mtodos quantitativos

(algoritmos) disponveis a obteno de uma soluo.

Neste contexto que a Pesquisa Operacional se insere,

colaborando na formao de um profissional que dever desenvolver

um procedimento coerente e consistente de auxlio tomada de

deciso a ser adotado no decorrer da sua carreira.

2. O que a Pesquisa Operacional?

Pode-se considerar que o nome Pesquisa Operacional (PO)

de origem militar, tendo sido usado pela primeira vez na Gr-

Bretanha durante a Segunda Guerra Mundial. Em termos cientficos,

a PO caracterizada por um campo de aplicaes bastante amplo o

que justifica a existncia de vrias definies, algumas to gerais

que podem se aplicar a qualquer cincia, e outras to particulares

que s so vlidas em determinadas reas de aplicao:

o uso do mtodo cientfico com o objetivo de prover

departamentos executivos de elementos quantitativos para a tomada

de decises com relao a operaes sob seu controle";

Prope uma abordagem cientfica na soluo de

problemas: observao, formulao do problema, e construo de

modelo cientfico (matemtico ou de simulao);

a modelagem e tomada de deciso em sistemas reais,


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10determinsticos ou probabilsticos, relativos necessidade de

alocao de recursos escassos.

A PO uma cincia aplicada que utiliza tcnicas cientficas

conhecidas (ou as desenvolve quando necessrio), tendo como ponto

de referncia a aplicao do mtodo cientfico. A PO tem a ver,

portanto, com a pesquisa cientfica criativa em aspectos

fundamentais das operaes de uma organizao. Pelo que foi dito

antes, podem-se resumir os principais aspectos da PO como se

segue:

Possui um amplo espectro de utilizao, no

governo e suas agncias, indstrias e empresas comerciais e de

servio;

aplicada a problemas associados conduo

e a coordenao de operaes ou atividades numa organizao;

Adota um enfoque sistmico para os

problemas;

Busca a soluo tima para o problema;

Usa uma metodologia de trabalho em equipe

(engenharia, computao, economia, estatstica, administrao,

matemtica, cincias comportamentais).

3. Origens da Pesquisa Operacional

Como descrito por Lss (1981), desde o sculo III A.C.

quando Hieron, Imperador da Siracusa, solicitou de Arquimedes a

idealizao de meios para acabar com o cerco naval dos romanos,

lideres polticos e militares tm consultado os cientistas para a


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11soluo de problemas tticos e estratgicos. No sculo XVII,

Pascal e Fermat, inventores da noo de esperana matemtica, e

mais recentemente, Taylor, Borel e Erlang modelaram alguns

problemas e forneceram solues para os respectivos modelos.

No que diz respeito a aplicaes industriais, as sementes da

PO foram lanadas h muitas dcadas, nas tentativas de usar o

mtodo cientifico na gerncia de sistemas e organizaes de grande

porte, logo em seguida 1a. Revoluo Industrial.

O incio da PO , no Ocidente, geralmente atribudo s

iniciativas dos servios militares no incio da Segunda Guerra

Mundial. Tm-se, por exemplo, estudos relacionados com o

desenvolvimento e uso do radar, problema de alocao eficiente de

recursos escassos s vrias operaes militares, problema da dieta e

outros mais. As equipes de analistas operacionais, como foram

chamadas naquela poca, comearam a se expandir na Gr-

Bretanha, no Canad, na Austrlia e nos Estados Unidos.

O rpido crescimento da PO no ps-guerra deve-se ao

desenvolvimento de tcnicas especficas, tais como o mtodo

Simplex para a Programao Linear, e ao grande progresso

alcanado no desenvolvimento dos computadores eletrnicos. A

expanso da PO no mundo acadmico se deu inicialmente nos

departamentos de Engenharia Industrial e de Engenharia de

Produo, e nas escolas de Administrao das Universidades norte-

americanas.

Segundo Lss (1981), o incio da PO no Brasil se deu

aproximadamente uma dcada aps sua implantao na Gr-


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12Bretanha e nos Estados Unidos, sendo que as aplicaes

economia que motivou os trabalhos pioneiros da PO. Em 1957 a

Escola Politcnica da Universidade de So Paulo (EPUSP) criou o

primeiro Curso de Engenharia de Produo, em nvel de graduao

no Brasil nos moldes de cursos de Engenharia Industrial dos Estados

Unidos. Em 1959 teve incio o Curso de Engenharia de Produo

(em nvel de graduao) do ITA. Foram criados os cursos de

Programao Linear, Teoria dos Jogos, Simulao, Teoria das Filas

e Estatstica, oferecidos aos alunos de Engenharia de Produo da

USP e do ITA.

No incio dos anos 60, como vrios professores atuavam

tambm no setor privado, teve incio uma pequena interao entre a

Universidade e a Empresa, resultando nas primeiras aplicaes de

PO a problemas reais. No final dos anos 60 j existia uma tendncia

de se formarem em algumas empresas grupos dedicados a PO

voltados soluo de problemas tticos e estratgicos. O primeiro

grupo formal de PO estabelecido no Brasil em uma empresa foi o da

Petrobrs, criado em 1965.

Em 1966 foi realizado no Rio o "Primeiro Seminrio de PO

no Brasil, promovido pela Petrobrs. Nesta poca foi fundada a

SOBRAPO - Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, que

congrega interessados no desenvolvimento e uso de tcnicas de PO.

H vrias sociedades profissionais no mundo ligadas PO, bem

como so publicados muitos peridicos, onde se publicam os

trabalhos associados PO. Para conhecimento e referncias, citam-

se a seguir algumas sociedades e peridicos mais relevantes:


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13 INFORMS The Institute for Operations Research

and the Management Sciences (www.informs.org)

EURO - European Operational Research Society

(www.euro-online.org)

IFORS The International Federation of Operational

Research Societies (www.ifors.org ) SOBRAPO - Sociedade Brasileira de Pesquisa

Operacional (www.sobrapo.org.br)

ABEPRO Associao Brasileira de Engenharia de

Produo (www.abepro.org.br)

Operations Research (or.pubs.informs.org)

European Journal of Operational Research

(www.elsevier.com/locate/ejor)

Interfaces (interfaces.journal.informs.org) Management Sciences (mansci.pubs.informs.org)

Revista da SOBRAPO (www.sobrapo.org.br)

Gesto & Produo (www.scielo.br/gp)

Produo (www.abepro.org.br)

Brazilian Journal of Operations and Production

Management (www.abepro.org.br)

4. Fases da resoluo de um problema pela PesquisaOperacional

Pode-se, de uma forma simplificada, subdividir a resoluo

de um problema pela PO em cinco etapas:

(a) Formulao do Problema (Identificao do Sistema)


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14(b) Construo do Modelo Matemtico

(c) Obteno da Soluo

(d) Teste do Modelo e da Soluo Obtida

(e) Implementao

Estas etapas podem ser visualizadas na Figura 1.

Figura 1: Esquematizao das Fases de um Estudo aplicando a PO

(a) Formulao do Problema (Identificao do Sistema)

Diferentemente dos exemplos dos livros, os problemas reais

surgem de uma forma bastante vaga e imprecisa. Este fato exige doanalista de PO uma grande capacidade de assimilar e sistematizar as

situaes reais. Para se formular corretamente um problema

necessrio que o mesmo seja bem identificado. Portanto, as

seguintes informaes bsicas se tornam necessrias:


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15 (a) Quem tomar as decises?

(b) Quais so os seus objetivos?

(c) Que aspectos esto sujeitos ao controle de quem

decide (variveis de deciso) e quais as limitaes a

que esto sujeitas essas variveis (restries)?

(d) Quais os aspectos que esto envolvidos no processo

e que fogem ao controle de quem decide?

Uma vez formulado o problema, a etapa seguinte a

construo do modelo.

(b) Construo do Modelo Matemtico

Modelos so representaes simplificadas da realidade. A

qualidade de um modelo depende muito da imaginao e criao da

equipe de PO requerendo uma certa dose de abstrao. impossvel

construir um manual de instrues para a elaborao de modelos. A

utilizao de modelos possui duas importantes caractersticas:

(a) Permite a anlise do problema modelado,

indicando quais so as relaes importantes entre

as variveis, quais os dados relevantes, e quais so

as variveis de maior importncia;

(b) Possibilita a tentativa de vrias alternativas de

ao sem interromper o funcionamento do sistema

em estudo.

Uma classificao possvel para os modelos seria: icnicos

ou fsicos (por exemplo, maquetes), analgicos (por exemplo,


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16organograma), e matemticos. Os modelos fsicos assemelham-se

fisicamente aos sistemas que representam, enquanto os modelos

abstratos tm apenas uma semelhana lgica com os sistemas

representados. Os modelos matemticos podem ser de otimizao ou

de simulao, sendo que este texto se concentrar nos modelos

matemticos de otimizao.

Um modelo matemtico de um problema real uma

representao atravs de expresses matemticas que descrevem a

essncia do problema. Se existirem ndecises quantificveis, elas

sero representadas por n variveis de deciso ou de controle. As

relaes e limitaes a que esto sujeitas as variveis de deciso so

expressas por meio de equaes e inequaes, denominadas

restries. O objetivo que se pretende atingir formulado como uma

funo (ou mais de uma), colocada em termos das variveis de

deciso, denominada funo objetivo.

Normalmente na etapa de modelagem leva-se em conta a

tcnica que poder vir a ser utilizada, uma vez que muitas vezes

atravs de pequenas adaptaes nesta fase, que no comprometem

os resultados obtidos, consegue-se uma simplificao na etapa de

obteno da soluo.

(c) Obteno da Soluo

Uma vez construdo o modelo matemtico parte-se para a

obteno de uma soluo. Diversos so os mtodos matemticos

utilizados em PO, associados s vrias reas que compe a PO, entre

estas se pode citar, a Programao Linear, a Programao em Redes,


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17a Teoria dos Grafos e a Teoria das Filas que sero tratadas neste

livro.

Estes mtodos matemticos encontram-se em crescente

evoluo, alm da descoberta de novas tcnicas. Foram

desenvolvidos diversos softwares, que disponibilizam alguns

mtodos importantes da Pesquisa Operacional tornando vivel e

eficiente a soluo de problemas complexos. Como exemplos tm-

se o Solver do Excel que atua com planilhas eletrnicas, o

LINDO Linear Discrete Optimizer (www.lindo.com) e o

CPLEX (www.ILOG.com), para problemas de Programao

Linear e No Linear e variaes, para Simulao so muito usados

o PROMODEL(www.belge.com.br/produtos_promodel.html) e o

ARENA(www.paragon.com.br/).

(d) Teste do Modelo e da Soluo Obtida

Dada a complexidade dos problemas, e a dificuldade de

comunicao e compreenso de todos os aspectos, existe a

possibilidade que a equipe de analistas obtenha, ou interprete, de

forma errnea alguns fatos, o que pode acarretar uma distoro

elaborao do modelo. Essa distoro levar a solues que no se

ajustaro realidade. Dessa forma, o modelo precisa ser testado. Em

alguns casos o modelo pode ser testado atravs da reconstruo dopassado (uso de dado histricos), verificando-se a adequao do

modelo s informaes disponveis.

Em cada situao especifica pode ser definida uma

sistemtica para testar o modelo e sua soluo. O importante que


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18se a soluo for usada repetidamente o modelo deve continuar a

ser testado. A fase de teste pode indicar deficincias exigindo

correes do modelo, seja pelo refinamento de algum aspecto, pela

considerao de algum aspecto omitido ou possveis simplificaes

do modelo.

(e) Implementao

A ltima fase de um estudo de PO implementar a soluo

final, uma vez aprovada por quem decide. Esta uma fase crtica,

pois somente nesta fase que os resultados do estudo sero obtidos.

Por este motivo, muito importante a participao da equipe que

trabalhou com o modelo de forma a garantir a sua correta

implementao. Este contato estreito garantir tambm uma

interveno no caso de ocorrer qualquer tipo de falha no prevista.

A fase de implementao envolve um aspecto

essencialmente tcnico e um aspecto pessoal. Como normalmente

utilizado o computador para obteno dos resultados, toda

documentao necessria deve ser muito bem organizada e

detalhada, de forma a no suscitar dvidas quando de sua utilizao.

Por outro lado, deve-se preparar a equipe que ir utilizar os

resultados, procurando-se o entrosamento com a equipe de operao,

bem antes da fase de implementao. A participao mais efetiva de

quem ir utilizar os resultados, nas etapas de formulao e

modelagem certamente contribuir para o sucesso da implementao

dos resultados obtidos.


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195. Consideraes Importantes

O estudo da PO, tendo em vista a sua sistemtica, leva o

tcnico a adquirir um raciocnio organizado. Essa formalizao do

raciocnio facilita a anlise e interpretao dos problemas reais,

levando a um exame detalhado dos aspectos envolvidos.

No entanto, como o tcnico de PO na maioria das vezes no

um profundo conhecedor da rea em que ser aplicado o modelo,

fundamental um relacionamento constante com o usurio,

principalmente nas etapas iniciais de formulao e modelagem. Esse

relacionamento se torna ainda mais importante medida que o

usurio precisa estar convencido da validade, e das vantagens, que

essas tcnicas propiciam, para que esteja garantida a viabilidade de

sua utilizao.

Com relao aos dados utilizados nos modelos, muito

importante que seja conhecida a sua qualidade, pois, s vezes,

procura-se refinar um modelo sem levar em conta que a qualidade

das informaes necessrias a esse refinamento no o justificam.

Um estudo utilizando a anlise de sensibilidade, em muitos casos,

permite verificar a influncia de determinado dado (parmetro), o

que poderia no justificar um maior detalhamento do modelo.

O porte do modelo deve ser adequado as suas finalidades.

Em muitos casos so utilizados modelos extremamente complexos,

o que possvel com o grande desenvolvimento dos computadores,

que no justificam a sua adoo. O custo da implementao e

operao de alguns modelos pode superar os benefcios

proporcionados inviabilizando-os. Modelos de grande porte devem


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20ser utilizados somente quando possam ser justificados atravs de

uma relao benefcio-custo desejvel.

Recursos escassos devem ser utilizados racionalmente de

maneira racional. Por outro lado as exigncias do desenvolvimento

industrial brasileiro, e a globalizao da economia foram, foram a

utilizao de ferramentas mais poderosas na soluo de problemas

especficos ou gerais das empresas.

Hoje se constata que, embora as tcnicas da PO j estejam

bastante divulgadas no meio acadmico, nas Empresas ainda h

vrias restries ao conhecimento e domnio desse ferramental. A

falta de tradio no uso de tcnicas sofisticadas no mundo

empresarial brasileiro, aliada a dificuldades de comunicao com as

universidades, fazem com que o uso da PO por empresas esteja bem

aqum do que seria desejvel.

Nas universidades a tendncia uma diversificao muito

grande de reas de aplicao. H pessoas trabalhando com

problemas determinsticos, estocsticos e combinatrios; h

desenvolvimentos importantes relacionados teoria da deciso, a

mtodos computacionais aplicados Programao Matemtica e a

outras reas mais contemporneas, como a Logstica e o

Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos (Supply Chain

Management).

A esta diversificao se alia um crescente intercmbio da

universidade com a empresa, na forma de assessoria e participao

em projetos.

Pode-se afirmar que a PO tem tido um impacto crescente na


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21administrao das empresas, tendo aumentado o nmero e a

variedade de suas aplicaes. A seguir esto relacionadas reas

tratadas neste texto e exemplos de problemas tpicos:

Programao Linear - mix de produo, mistura de

matrias-primas, modelos de equilbrio econmico, carteiras de

investimentos, roteamento de veculos; jogos entre empresas;

Modelos em Redes - rotas econmicas de transporte,

distribuio e transporte de bens, alocao de pessoal,

monitoramento de projetos;

Teoria de Filas - congestionamento de trfego,

operaes de hospitais, dimensionamento de equipes de servio;

Referncias

Lawrence, J. A.; Pasternack, B. A. Applied Management Science:

Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision

Making, 2ndEdition. New York: John Wiley & Sons, 2002.

Lss, Z. E. O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional no Brasil.

Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ, 1981.


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23Programao Linear

1. Introduo

Um aspecto importante de problemas envolvendo decises

o de otimizao; quando se procura estabelecer quais as maneiras

mais eficientes de utilizar os recursos disponveis para atingir certos

objetivos. Em geral trata-se de recursos limitados e a sua utilizao

criteriosa possibilita melhorar o rendimento ou produtividade do

processo em estudo.

A prpria continuidade do processo pode mesmo depender

de tal utilizao criteriosa. Na prtica tais recursos so usualmente

de natureza econmica, tais como capital, matria-prima, mo-de-

obra, equipamentos, tempo e outros, mas em geral podem tomar os

aspectos mais variados.

A Programao Linear (PL) visa fundamentalmente

encontrar a melhor soluo para problemas que tenham seus

modelos representados por expresses lineares. A sua grande

aplicabilidade e simplicidade devem-se a linearidade do modelo. A

tarefa da PL consiste na maximizao ou minimizao de uma

funo linear, denominada Funo objetivo, respeitando-se um

sistema linear de igualdades ou desigualdades, que recebem o nome

de Restries do Modelo.

As restries determinam uma regio a qual se d o nome de

Conjunto Vivel, a melhor das solues viveis (solues que

pertencem ao Conjunto Vivel), ou seja, aquela que maximiza ou


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24minimiza a funo objetivo, denomina-se Soluo tima. O

objetivo da Programao Linear determinar a soluo tima.

Para a resoluo de um Problema de Programao Linear

(PPL) dois passos so necessrios. O primeiro a Modelagem do

problema, seguindo-se o mtodo de soluo do modelo. No caso de

um PPL o mtodo mais utilizado o Mtodo Simplex, que ser

examinado adiante. No existem tcnicas precisas capazes de

permitir o estabelecimento do modelo de um problema, pois a

modelagem envolve aspectos de arte, ou seja, pode ser melhorada

com a prtica e observao. Para modelar uma situao geral

importante se ter experincia e capacidade de anlise e sntese.

2. Modelagem

Para identificar as variveis de deciso, recomenda-se as

seguintes regras:

a) Pergunte O decisor tem autoridade para escolher o

valor numrico (quantidade) do item? Se a resposta for sim esta

uma varivel de deciso;

b) Seja bem preciso com respeito s unidades (moeda e

quantidade, por exemplo) de cada varivel de deciso (incluindo o

fator tempo, como horrio, dirio, semanal, mensal);

c) Cuidado para no confundir as variveis de deciso

com os parmetros do problema, como nmero de mquinas na

fbrica, quantidade de cada recurso usado na fabricao de um

produto, capacidade de produo da fbrica, custos de produo,

custos de transporte, demandas pelos produtos e assim por diante.


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25Com respeito funo objetivo, a PO busca encontrar o

melhor que pode ser feito com o que se tem, isto , procura

maximizar algo (como lucro ou eficincia) ou minimizar alguma

coisa (como custo ou tempo). Talvez a busca pelo mximo valor do

lucro total (= retornos custos) seja a funo objetivo mais comum

nos modelos matemticos. Na PL, os modelos tm apenas um

objetivo, mas possvel, em outras reas da PO, tratar modelos com

mltiplos objetivos.

Exemplos de restries tpicas incluem a existncia de

limites sobre as quantidades de recursos disponveis (colaboradores,

mquinas, oramento, matrias-primas, por exemplo) e requisitos

contratuais para a produo e atendimento de demandas. As

restries tambm podem ser de carter natural, como ocorre nos

casos de estoques, onde razovel considerar que o estoque ao final

de um ms igual ao estoque no incio daquele ms mais o que foi

produzido e menos o que foi vendido no mesmo ms, desde que o

produto no se deteriore ou se perca no perodo.

Outro exemplo se refere ao fato de determinadas variveis

de deciso (por exemplo, quantidades produzidas) no poderem ter

valores negativos, ou ainda s poderem assumir valores inteiros

nulos ou positivos. Essas ltimas restries so conhecidas como

restries de no negatividade e restries de integridade,

respectivamente.

possvel se ter alguma varivel de deciso que possa

assumir qualquer valor, positivo, nulo ou negativo, como, por

exemplo, a taxa de inflao num modelo de planejamento


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26econmico, nesse caso a varivel de deciso denominada livre

ou irrestrita em sinal.

Um procedimento que ajuda na elaborao de restries o

seguinte:

a) Crie uma restrio com palavras inicialmente, da

seguinte forma,

(A quantidade requerida de um recurso)

(A disponibilidade do recurso),

sendo que essas relaes podem ser expressas por meio de

igualdades (=) ou desigualdades (ou );

b) Assegure-se que a unidade do termo do lado

esquerdo (Left Hand Side LHS) da restrio a mesma unidade do

termo do lado direito (Right Hand Side RHS);

c) Traduza a restrio em palavras para a notao

matemtica utilizando valores conhecidos ou estimados para os

parmetros e os smbolos matemticos adotados para as variveis de

deciso;

d) Reescreva a restrio, se necessrio, de modo que os

termos envolvendo as variveis de deciso fiquem no lado esquerdo

(LHS) da expresso matemtica, enquanto s o valor associado a

uma constante fique no lado direito (RHS).

Apresentam-se a seguir exemplos de modelagem em

Programao Linear. Deve-se, inicialmente, definir de forma

completa e inequvoca quais sero as variveis de deciso (ou de

controle) do modelo e na seqncia a funo objetivo e as restries.


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28Restries:

(limitao de mo-de-obra) 7xa+ 3xb+6xc150

(limitao de material) 4xa+ 4xb+5xc200

(no-negatividade) xa0, xb0, xc0.

Funo objetivo: maximizao do lucro total

Lucro total = L = 4xa+ 2xb+3xc

Max L = 4xa+ 2xb+3xc

Modelo final

Encontrar nmeros xa, xb, xc tais que: Max L = 4xa, sujeito as

restries: 7xa+ 3xb+6xc150

4xa+ 4xb+5xc200

xa0, xb0, xc0.

Generalizando, suponha que existem mrecursos usados na produo

de nprodutos, com os seguintes dados:

cj: lucro na venda de uma unidade do produto j = 1,2,...,n;

bi: quantidade disponvel do recurso i = 1,2, ...., m;

aij: quantidade do recurso i usada para produzir uma unidade do

produto j.

xj: quantidade a produzir do produto j (variveis de deciso).

O modelo geral ter: Funo objetivo - Max

n

jjjxcZ

1


29/216

29Restries - sujeito a: a11x1+ ...+ a1nxnb1

a21x1+ ...+a2nxnb2

....................................

am1x1+ ...+ amnxnbm

xj0, j = 1, 2, n

Em notao matricial, tem-se:

Max Z = C' X sujeito a:

0X

bAX

onde: X = (x1 x2 ... xn)

t o vetor das variveis de deciso; C =

(c1 c2 ... cn) o vetor de custos; b = (b1 b2 ...bm)

t o vetor das

quantidades dos recursos em cada restrio

A = a11a12 ... a1n

a21a22 ... a2n

.......................

am1am2.... amn

a matriz dos coeficientestecnolgicos.

(2) Modelo da Dieta

O problema consiste em obter uma dieta de mnimo custo

que satisfaa as necessidades bsicas do indivduo mdio, com

respeito a Calorias (no mnimo 3,0), Clcio (no mnimo 0,8) e

Vitamina B12 (no mnimo 2,7). A Tabela 2 relaciona trs

substncias exigidas pelo organismo, a quantidade existente de cada


30/216

30uma delas de uma relao de seis alimentos, juntamente com os

respectivos custos unitrios desses alimentos.

Tabela 2. Dados para o problema da dieta.

(1)

farinha

de trigo

(2)

leite em

p

(3)

queijo

(4)

fgado

(5)

batata

(6)

feijo

Calorias 44,7 8,4 7,4 2,2 9,6 26,9

Clcio 2,0 19,1 16,4 0,2 2,7 11,4

VitaminaB12

33,3 23,5 10,3 50,8 5,4 24,7

Custos 10,8 20,5 22,5 21,2 16,1 15

Modelagem:

Variveis de deciso - Sejam xj - quantidade do alimento j presente

na dieta, j = 1,2,3,4,5,6.

Funo objetivo: Min Z = 10,8x1 + 20,5x2 + 22,5x3 + 21,2x4 +

16,lx5+ 15,0x6

Restries

sujeito a:

44,7x1+ 8,4x2 + 7,4x3+ 2,2x4+ 9,6x5+ 26,9x6 3,0

2,0xl+ 19,lx2+ 16,4x3+ 0,2x4+ 2,7x5+ 11,4x6 0,8

33,3x1+ 23,5x2+ 10,3x3+ 50,8x4+ 5,4x5+ 24,7x6 2,7

xj > 0 , j = 1,2,3,4,5,6


31/216

31

Generalizando, sejam cj - custo do alimento j = 1, 2,..., n;

bi - quantidade mnima do nutriente i = 1, 2,..., m na dieta;

aij - quantidade do nutriente i por unidade do alimento j.

Em notao matricial o modelo ficar sendo:

Funo-objetivo -Min Z = C'X

Restries - sujeito a:

.0X

bAX

(3) Modelo de Transporte Simples

Um dado produto produzido em diferentes fbricas no pas

com capacidades de produo limitadas e deve ser levado a centros

de distribuio (depsitos) onde h demandas a serem satisfeitas.

O custo de transporte de cada fbrica a cada depsito

proporcional quantidade transportada e devem-se achar estas

quantidades que minimizem o custo total de transporte (CT) do

produto em questo. A Tabela 3 fornece os custos unitrios de

transporte de cada fbrica para cada depsito, bem como as

demandas em cada um dos depsitos e as produes de cada fbrica.

Tabela 3. Dados para o problema de transporte.

DepsitosFbricas

Florianpolis Rio deJaneiro

Salvador Manaus Produes

Curitiba 1 0,8 3 4,5 470

So Paulo 1,5 0,6 2,5 3 400

Aracaju 6 5 1,2 2,8 400

Demanda 350 300 300 120


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32

Modelagem:

Sejam xij quantidade enviada do produto da fbrica i (i = Curitiba, So

Paulo, Aracaju) ao depsito j (j = Florianpolis, Rio de Janeiro, Salvador,

Manaus)

Funo objetivo Min CT = 1x11+ 0,8x12+ 3x13+ 4,5x14+ 1,5x21+0,6x22+ 2,5x23+ 3x24+ 6x31+ 5x32+ 1,2x33+ 2,8x34

Restries sujeito a

Curitiba x11+ x12+ x13+ x14 470

(Restries de produo) So Paulo x21+ x22+ x23+ x24 400

Aracaju x31+ x32+ x33+ x34 400

Florianpolis x11+ x21+ x31+ x41 = 470 RJ x12+ x22+ x32+ x42 = 470

(Restries de demanda) Salvador x13+ x23+ x33+ x43 = 470

Manaus x14+ x24+ x34+ x44 = 470

(No negatividade) xij0, i = 1, 3 e j = 1,4.

Generalizando, supondo um nico produto, n depsitos e m fbricas

e:

cij - custos unitrios de transporte da fbrica i ao depsito j;

bj - demanda no depsito j com j = 1,2, ...,n

ai - produo da fbrica i com i = 1,2, ...,m;

O modelo geral ser:


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33Variveis de deciso - xij - quantidade transportada da fbrica i ao

depsito j.

Funo objetivo -

m

1i

n

1jijijxcZMin

Restries - sujeito a:

0

,...,2,1,

,...,2,1,

1

1

ij

m

ijij

n

jiij

x

njbx

miax

(4)Seleo de mdia para propaganda

Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em

03 diferentes meios: tv, rdio e revistas. Pretende-se alcanar o

maior nmero de clientes possvel. Um estudo de mercado resultou

nos dados da Tabela 4, sendo os valores vlidos para cada

veiculao da propaganda.

A companhia no quer gastar mais de $ 800.000 e

adicionalmente deseja:

a) No mnimo 2 milhes de mulheres sejam atingidas;

b) Gastar no mximo $ 500.000 com TV;

c) No mnimo 03 veiculaes ocorram no horrio normal naTV;

d) No mnimo 02 veiculaes ocorram no horrio nobre na

TV;


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34e) Nmero de veiculaes no rdio, e nas revistas, devem

ficar entre 05 e 10, para cada meio de divulgao.

Tabela 4. Dados para o problema de seleo de mdia para propaganda.

TV

horrio

TV

horrio

Rdio Revistas

normal nobre

custo 40.000 75.000 30.000 15.000

clientes

atingidos

400.000 900.000 500.000 200.000

mulheres

atingidas

300.000 400.000 200.000 100.000

Formular um modelo de PL que trate este problema,

determinando o nmero de veiculaes a serem feitas em cada meio

de comunicao, de modo a atingir o mximo possvel de clientes.

Modelagem:

Variveis de deciso:

x1= Nmero de exposies em horrio normal na tv.

x2= Nmero de exposies em horrio nobre na tv.

x3= Nmero de exposies feitas utilizando rdio.

x4= Nmero de exposies feitas utilizando revistas.

Funo objetivo: maximizar nmero de clientes atingidos

Max z = 400.000x1+ 900.000x2+ 500.000x3+ 200.000x4


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35

Restries: sujeito a

40.000x1+ 75.000x2+ 30.000 x3+ 15.000x4800.000 (oramento)

300.000x1+ 400.000x2 + 200.000 x3+ 100.000x42.000.000

(mulheres atingidas)

40.000x1+ 75.000x2500.000 (gasto com TV)

x13, x22, 5 x310, 5 x410 (nmero de veiculaes em

TV, rdio e revistas)

x1, x2, x3, x40. (no-negatividade)

(5) Um problema de treinamento

Uma empresa de mquinas ferramentas tem um programa

de treinamento para operadores de mquinas. Alguns operadores j

treinados podem trabalhar como instrutores neste programa ficando

responsveis por 10 trainees cada. A empresa pretende aproveitar

apenas 07 traineesde cada turma de 10.

Estes operadores treinados tambm so necessrios na linha

de fabricao, e sabe-se que sero necessrios para os prximos

meses: 100 operadores em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em maro,

e 250 em abril. Atualmente h 130 operadores treinados disponveis

na empresa. Os custos associados a cada situao so:

a) Trainee - $ 400;

b) Operador treinado trabalhando - $ 700;

c) Operador treinado ocioso - $ 500. Um acordo firmado com


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37+ x4+ x6) + 700(100 + 150 + 200) = 4700x1+ 500x2+ 4700x3+

500x4 + 4700x5+ 500x6+ 315.000.

Restries: x1, x2, x3, x4, x5, x60 (no-negatividade)

As demais restries devem representar as equaes de

balano mensal: operadores treinados no incio do ms = operadoresnas mquinas + instrutores + operadores ociosos.

Janeiro - 130 = 100 + x1+ x2x1+ x2= 30

Fevereiro - 130 + 7x1= 150 + x3+ x47x1 - x3 - x4= 20

Maro - 130 + 7x1+ 7x3= 200 + x5+ x67x1+ 7x3 - x5 - x6= 70

Abril - 250 = 130 + 7x1+ 7x3+ 7x57x1+ 7x3+ 7x5= 120.

(6) Problema de dimensionamento de equipes de inspeoUma companhia deseja determinar quantos inspetores alocar

uma dada tarefa do controle da qualidade. as informaes

disponveis so:

H 08 inspetores do nvel 1 que podem checar as peas

a uma taxa de 25 peas por hora, com uma acuracidade de 98%,

sendo o custo de cada inspetor deste nvel $4 por hora;

H 10 inspetores do nvel 2 que podem checar as peas

a uma taxa de 15 peas por hora, com uma acuracidade de 95%,

sendo o custo de cada inspetor deste nvel $3 por hora.

A companhia deseja que no mnimo 1800 peas sejam

inspecionadas por dia (= 08 horas).

Sabe-se, ainda, que cada erro cometido por inspetores


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38no controle da qualidade das peas acarreta um prejuzo

companhia de $2 por pea mal inspecionada.

Formular um modelo de PL para possibilitar a designao

tima do nmero de inspetores de cada nvel de modo a otimizar o

custo da inspeo diria da companhia.

Modelagem:Variveis de deciso - xi= nmero de inspetores do nvel i (= 1, 2)

alocados inspeo.

Funo objetivo: Minimizar CT = custo total dirio de inspeo

([$/dia]), onde Custo Total = custo do salrio dos inspetores + custo

dos erros

Min CT = 8.[(4 x1+ 3 x2) + 2.(25.0,02 x1+ 15.0,05 x2)] Min CT

= 40 x1+ 36 x2

Restries: Quanto ao nmero de inspetores: x18 (inspetores do

nvel 1) e x210 (inspetores do nvel 2)

Quanto ao nmero de peas inspecionadas por dia: 8.(25 x1+ 15 x2)

1800 5 x1+ 3 x245

Restries implcitas de no negatividade: x10 e x20.

(8) Um problema de mistura

Deseja-se determinar as misturas de quatro derivados do

petrleo, que sero os constituintes de trs tipos de gasolina (extra,

super e comum). Na Tabela 5 esto as informaes acerca dos

custos e disponibilidade dos constituintes.

Tabela 5. Dados sobre os constituintes.


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39Constituintes Mximo disponvel Custo

(barris/dia) Por barril

1 3.000 3

2 2.000 6

3 4.000 4

4 1.000 5

Tabela 6. Dados sobre preos e especificaes de gasolinas.

Tipo de gasolina Especificaes Preo de

venda

No mais que 30% de 1

No mais que 50% de 3

A

No menos que 40% de 2

5,5

No mais que 50% de 1BNo menos que 10% de 2

4,5

C No mais que 70% de 1 3,5

A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina,

preciso manter as porcentagens dos diversos constituintes dentro dos

limites especificados. Os preos de venda de cada tipo de gasolina

por barril tambm esto indicados na Tabela 6. O objetivo maximizar o lucro.

Modelagem

Variveis de deciso:

xij= quantidade do constituinte i (1,2, 3, 4) na gasolina j (A, B, C)


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40

Variveis auxiliares:

xA= xiA, xB= xiB, xC= xiC, para i = 1, 2, 3, 4.

x1= x1j, x2= x2j, x3= x3j, x4= x4j, para j = A, B , C.

Funo objetivo: Max Lucro = (preo de venda de cada tipo degasolina).(quantidade vendida) (custo de cada

constituinte).(quantidade comprada)

Max L = 5,50 xA+ 4,50 xB+ 3,50 xC 3 x1 6 x2 4 x3 5 x4=

Restries:

Quantidades mximas de constituintes

x1j3.000

x2j2.000x3j4.000

x1j1.000

Especificaes das gasolinas

x1A0,30 xA

x3A0,50 xA

x2A0,40 xA

x1B0,50 xB

x2B0,10 xB

x1C0,70 xC.

No negatividade - xij0, para todo i = 1, 2, 3, 4 e j = A, B, C.


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41Deve-se, a seguir, substituir as variveis auxiliares pelas

variveis de deciso e o modelo estar completo.

Alguns modelos no so originalmente lineares, mas por

meio de algum artifcio podem ser linearizados. Seguem alguns

exemplos desses casos.

(9) Uma indstria qumica

Dois produtos, a e b, so feitos a partir de duas operaes

qumicas. Cada unidade do produto arequer 02 horas da operao 1

e 03 horas da operao 2. Cada unidade do produto b requer 03

horas da operao 1 e 04 horas da operao 2. o tempo total

disponvel para a realizao da operao 1 de 16 horas, e o tempo

total para a operao 2 de 24 horas.

A produo do produto bresulta, tambm, num subproduto

c sem custos adicionais. Sabe-se que, parte do produto c pode ser

vendida com lucro, mas o restante deve ser destrudo. Previses

mostram que no mximo 05 unidades do produto c sero vendidas, e

sabe-se que cada unidade do produto bfabricada gera 02 unidades

do produto c. Alm disso:

a) Produto agera um lucro de $ 4 por unidade;

b) Produtobgera um lucro de $ 10 por unidade;

c) Produto cgera um lucro de $ 3 por unidade se for vendido;

d) Produto cgera um custo de $ 2 por unidade se for destrudo.

Determinar um modelo de PL para tratar este problema, e

encontrar quanto produzir de cada produto, de modo a maximizar o


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43/216

43destruir Produto c).(quantidade destruda do Produto c)

Max z = 4 x1+ 10 x2+ 3 x3 - 2 x4

Restries:

2 x1+ 3 x216 (disponibilidade de tempo para operao 1)

3 x1+ 4 x224 (disponibilidade de tempo para operao 2)x3+ x4= 2 x2 (produo do produto ca partir do produto b)

x35 (previso de produto cque pode ser vendido)

x1, x2, x3, x40 (no-negatividade)

(10) Oficina mecnica

Uma oficina mecnica tem uma furadeira vertical e cinco

fresas que so usadas para a produo de conjuntos formados de

duas partes. Na Tabela 7 est a produtividade de cada mquina na

fabricao destas partes do conjunto. O encarregado pela oficina

deseja manter uma carga balanceada nas mquinas de modo que

nenhuma delas seja usada mais que 30 minutos por dia que qualquer

outra, sendo o carregamento de fresamento dividido igualmente

entre as 05 fresas.

Tabela 7. Dados para o problema da oficina mecnica.

Furadeira Fresa

Parte 1 03 20

Parte 2 05 15

Obs: tempos para produzir as partes dados em minutos.


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44Achar um modelo de PL para dividir o tempo de trabalho

entre as mquinas de modo a obter o mximo de conjuntos

completos ao final de um dia, num total de 08 horas de trabalho.

Modelagem:

Variveis de deciso:

x1= nmero de partes 1 produzidas por dia

x2= nmero de partes 2 produzidas por dia

Restries:

3 x1+ 5 x2480 (minutos por dia disponveis para a furadeira)

(20 x1+ 15 x2)/5 = 4 x1+ 3 x2480 (minutos por dia disponveis

para cada fresa)

|(4 x1+ 3 x2) - (3 x1+ 5 x2)| = | x1 -2 x2| 30 (balanceamento de

carga entre as mquinas)

Observe-se que esta ltima restrio no linear, mas

equivalente a duas equaes lineares que podem substitu-la:

x1 - 2 x230 e - x1+ 2 x230

x1, x20 (no-negatividade).

Funo objetivo: maximizao do nmero de conjuntos completos

por dia

Max Z = min (x1, x2)

Observe-se que esta funo no linear, mas pode ser

linearizada utilizando-se uma varivel auxiliar, da forma: y = min

(x1, x2), y 0, assim tem-se duas novas restries dadas por y x1e


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45y x2. A funo objetivo linear fica sendo: Max z = y.

3. Limitaes

Em situaes reais os modelos apresentam um nmero

considervel de variveis e restries que inviabilizam uma

resoluo manual. Recomenda-se a utilizao de softwares

especficos para PL.

A seguir, so feitas consideraes sobre as limitaes da

Programao Linear. muito importante observar as conseqncias

da hiptese de linearidade. Intuitivamente, a linearidade implica que

os produtos de variveis, como x1x

2, potncias de variveis, como

x32 , e combinao de variveis, como a

lx

l+ a

2log x

2, no podem ser

admitidas.

Em termos mais gerais, a linearidade pode ser caracterizadapor certas propriedades aditivas e multiplicativas. Exemplificando:

se so necessrias t1 horas sobre uma mquina A para fazer o

produto 1 e t2horas para fazer o produto 2, o tempo sobre a maquina

A destinado aos produtos 1 e 2 t1+ t

2. Neste caso, a propriedade

aditiva parece bastante razovel, se o tempo requerido para ajustar a

mquina para uma operao diferente quando a produo troca de

um produto para outro desprezvel.

Contudo, nem todos os processos fsicos se comportamdessa maneira. Ao se misturar vrios lquidos de diferentes

composies qumicas no verdade, em geral, que o volume total

da mistura a soma dos volumes dos constituintes individuais.


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46A propriedade multiplicativa requer que: (1) Se for

necessrio uma hora de uma determinada mquina para fazer um

nico item, sero necessrias dez horas para fazer dez itens; isto

tambm parece bastante razovel; (2) O lucro total da venda de um

dado nmero de unidades de um produto o lucro unitrio vezes o

nmero de unidades vendidas; isso nem sempre verdade.

De fato, em geral, o lucro no diretamente proporcional ao

nmero de unidades vendidas, mesmo se o preo de venda

constante (j que os preos tendem a baixar medida que o mercado

vai se saturando), uma vez que os custos de fabricao por unidade

podem variar com o nmero de unidades fabricadas (economia de

escala).

Assim a linearidade, implcita num PPL, no sempre

esperada como uma representao absolutamente acurada do mundo

real. Felizmente, a linearidade muitas vezes uma aproximao

suficientemente precisa das condies reais, de modo que ela pode

fornecer resultados bastante proveitosos.

Nos modelos de PL os coeficientes aij, bi e cj so

considerados como constantes conhecidas, porm, na realidade,

esses valores podem variar. Contudo, atravs de tcnicas de Anlise

de Sensibilidade em PL, possvel conseguir os intervalos desses

coeficientes para os quais a soluo tima continua a mesma. Essas

tcnicas sero objeto de outro livro a ser disponibilizado.

Outra limitao diz respeito divisibilidade das solues.

Neste texto, as solues timas dos modelos podero apresentar

valores fracionrios para qualquer de suas variveis. O


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47arredondamento de valores fracionrios para valores inteiros mais

prximos pode conduzir a erros grosseiros. Quando as variveis do

modelo de PL s puderem tomar valores inteiros deve-se impor

estas condies no prprio modelo. Passa-se ento a trabalhar com

modelos de Programao Linear Inteira, que no sero tratados aqui,

mas sero objetos de outro livro a ser disponibilizado.

Deve-se, no entanto, dizer em defesa da PL que um vasto

nmero de problemas prticos importantes tem sido

satisfatoriamente enfocados e resolvidos com tcnicas e modelos

lineares, e que o nmero e a diversidade de suas aplicaes

continuam crescendo.

4. Resoluo Grfica

Para modelos com apenas duas variveis de deciso

possvel resolv-los por meio de um procedimento grfico. Essa

ferramenta, apesar de extremamente limitada, pois os modelos de

PL normalmente tm muitas varveis e restries, propicia a

apresentao de conceitos importantes, como Soluo Vivel,

Regio Vivel, Valor timo da Funo objetivo e Soluo tima do

modelo, que sero adiante definidos.

Na seqncia ser mostrado como resolver graficamente um

modelo de PL com duas variveis de deciso.

Exemplo 1:

Uma empresa fabrica dois tipos de brinquedos, B1e B2, que


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48utilizam dois recursos: plstico (at 1.000 quilos esto

disponveis) e horas de produo (at 40 horas esto disponveis).

O Departamento de Marketing colocou algumas restries:

no fabricar mais de 700 dzias do total de brinquedos (B1e B2), o

nmero de dzias de B1 fabricadas no deve exceder em 350 o

nmero de dzias do brinquedo B2.

A Manufatura passou as seguintes informaes: cada dzia

do brinquedo B1 usa 2 quilos de plstico e 3 minutos de produo e

cada dzia do Brinquedo B2usa 1 quilo de plstico e 4 minutos de

produo. O lucro estimado na venda do B1 $8,00/dzia e para o

B2 $5,00/dzia.

A empresa deseja determinar qual a quantidade a ser

produzida de cada brinquedo de modo a maximizar o lucro total

semanal.

Modelagem

Variveis de deciso: xi quantidade (em dzias) a serem fabricadas

semanalmente do brinquedo Bi

Max 8x1+ 5x2 (Lucro semanal)

Sujeito a

2 x1+ 1 x21000 (Plstico)

3 x1+ 4 x22400 (Tempo de Produo - Minutos) x1+ x2 700 (Produo Total)

x1 - x2 350 (Mix)

xj0, j = 1,2 (No-negatividade)


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50

Figura 5. Restrio de tempo de produo.

Figura 6. Restrio de produo total.

Figura 7. Restrio de mix.

600

x2

700

700

Restrio de mix: x1 - x2350

x1

Restrio produo total (ela redundante):

x1+ x2 700

x2

Restrio de tempo de produo:

3 x1+ 4 x22400

x1

x2

800

x1350


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51

Figura 8. Regio vivel.

Na Figura 8 est o resultado das interseces de todas as

restries, compondo a Regio Vivel do modelo. Podem ser

identificados trs tipos de solues viveis (ver exemplos na Figura

8): Pontos Internos Regio Vivel, Pontos na fronteira (nos

segmentos de reta) e Pontos que so vrtices (interseco dos

segmentos de reta).

2a. Etapa Encontrar a soluo tima. Deve-se perceber que

a funo objetivo, 8x1+ 5x2, para cada um de seus valores possveis

gera uma famlia de retas paralelas, e o que se est buscando qual

delas est associado ao maior valor e ainda corta (tangenciando) a

Regio Vivel da Figura 8.

O procedimento prtico o seguinte:

a) Arbitrar um valor qualquer para 8x1 + 5x2, por exemplo,

2.000 e traar a reta associada, 8x1+ 5x2 = 2.000;

b) Verificar para qual sentido, em direo regio Vivel,

deve-se pesquisar, na famlia de retas paralelas reta

350

600

Regio

Vivel

Soluo Vivel

um Vrtice

Soluo Vivelna Fronteira

Soluo VivelInterior


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52arbitrada, h melhoria no valor da funo objetivo. Isso

pode ser feito comparando-se o valor arbitrado, 2.000, com

o valor da funo objetivo obtido quando (x1= 0, x2= 0), ou

seja, comparar com uma reta paralela que passa pela origem

do sistema de coordenadas. Neste caso tem-se que o valor

zero, ou seja, menor que 2.000 (ver Figura 9);

Figura 9. Obteno da soluo tima.

c) Como se pretende achar o mximo valor para a funo

objetivo, deve-se procurar por uma reta paralela reta 8x1+ 5x2 =

2.000 que esteja mais afastada da origem (ver na Figura 9 a seta a

partir da reta 8x1+5x2=2.000, indicando para qual lado deve-se

procurar a reta paralela de modo que haja melhoria do valor da

funo objetivo) e ainda corte (tangencie) a Regio Vivel.

O ponto da Regio Vivel (x*1, x*2), tangenciado por essareta ser a soluo tima, com x*i sendo a quantidade tima (em

dzias) a ser fabricada semanalmente do brinquedo B i, e o valor da

funo objetivo ser o lucro total semanal timo. Uma ilustrao

desse procedimento est na Figura 9, obtendo-se: $4.360 lucro

x1

8x1+5x2=2.000

x2

400

250

8x1+5x2=4.360 lucro timo

x*1= 320

x*2= 360Melhoria doobjetivo

8x1+5x2=0


53/216


54/216


55/216

55

njx

mibbxaasxcZMin

j

n

jiijij

n

jjj

,...,2,1,0

,...,2,10,:.. 1

1

ou ainda, na forma matricial:

.0

0,:..

X

bbAXasXCZMin

onde, 111 ,,, mxnxmxnnx bCAX .

Um modelo de minimizao de PL est na forma-padro

quando tiver a seguinte formulao:

njx

mibbxaasxcZMin

j

n

jiijij

n

jjj

,...,2,1,0

,...,2,10,:.. 1

1

ou ainda, na forma matricial:

.0

0,:..

X

bbAXasXCZMin

onde, 111 ,,, mxnxmxnnx bCAX

Quando o modelo for de maximizao, as restries tambm

devem ser na forma de igualdades, bem como as constantes e

variveis devem ser no negativas tambm.

Artifcios para reduo de um modelo qualquer Forma-Padro:

(a) Ocorrncia de desigualdades nas restries: qualquerdesigualdade pode ser transformada numa igualdade equivalente,

bastando adicionar ou subtrair novas variveis no negativas,

denominadas Variveis de Folga.


56/216

56

Exemplo 2: Sejam as restries:

523

42

21

21

xx

xx

estas restries so equivalentes a

.0,523

,042

4421

3321

xxxx

xcomxxx

(b) Na ocorrncia de bi < 0 : basta multiplicar por (-l) a

restrio i, pois os coeficientes aijpodem assumir qualquer sinal na

forma padro.

(c) Ocorrncia de variveis livres, isto , variveis que podem

ser positivas, nulas ou negativas: Seja xkuma varivel livre, h dois

tipos de operaes para elimin-la,

(cl) substituir em todas as equaes do modelo xk por

,xxx ,,k,kk onde 0xe0x

,,k

,k .

(c2) expressar xk, a partir de uma restrio j na forma de igualdade,

como funo das demais variveis no-negativas e substituir xknas

outras equaes por esta expresso. Aps a resoluo do novo

modelo, sem xk e a equao de recorrncia utilizada, calcula-se o

valor de xkatravs da equao de recorrncia.

(d) Ocorrncia de varivel no positiva: se existe xk

< 0, basta

substitu-la pela sua simtrica 0, kk xx nas equaes do modelo.

Exemplo 3. Colocar na forma-padro o modelo abaixo,Max 2x1 x2+ x3 s. a :


57/216

57

.,0,0

8

72

04

52

321

21

31

31

321

livrexxx

xx

xx

xx

xxx

Numa primeira etapa, sero tratadas as desigualdades e as

constantes das restries, que devem ser respectivamente, em forma

de igualdades e no negativas. Assim, obtm-se um novo modelo

equivalente ao original dado por:

Max Z = 2x1 x2+ x3 s. a:

0,0,0,,0,0

)4(8

)3(72 )2(04

)1(52

654321

21

631

531

4321

xxxlivrexxx

xx

xxx xxx

xxxx

onde x4, x5, x6 so variveis de folga.

Agora, adotando o procedimento (c2), visto anteriormente,

pode-se eliminar a varivel x3, utilizando-se, por exemplo, a

equao (2): 513 4 xxx . Substituindo em (1), (3), (4) e nafuno objetivo, tem-se:

Max -2x1 - x2 - x5 s. a:


58/216

58

0,,,,0

8

727

525

65412

21

651

5421

xxxxx

xx

xxx

xxxx

Resta agora fazer'

2x =-x2 em todas as equaes do modelo,resultando, finalmente, na forma padro procurada:

Max -2x1 - x2 - x5 s. a:

0,,,,

8

727

525

654'21

'21

651

54'21

xxxxx

xx

xxx

xxxx

6. Definies e Teoremas

Aqui sero apresentados alguns conceitos, e resultados

importantes com respeito soluo de um Modelo de PL na forma

padro.

Definio 1: Soluo Vivel

O vetor X

0

soluo vivel

00

0

X

bAX

, isto , X

0

satisfaz as

restries.

Exemplo 4: Seja o Modelo


59/216

59

3,2,1,0

732

2

:..2 321

321

321

ix

xxx

xxx

asxxxZMin

i

Os vetores

1

0

3

0

1

102

01 XeX so solues viveis.

Definio 2 : Soluo tima

O vetor *X soluo tima *X soluo vivel e

X'X' * CZMinC

No exemplo 4, como poder ser verificado, posteriormente,

pelo uso do Mtodo Simplex, a soluo tima :

01

1

*

0

1XX e

3* Z o valor timo da funo objetivo.

Definio 3 : Conjunto das Solues Viveis

Os vetores Xo tais que 0000 XebAXX formam o

conjunto vivel do modelo na forma padro.

Observaes:

(a) Se o conjunto vivel vazio o modelo invivel.

(b) Se existir uma seqncia de solues viveis ,..., 0201 XX

de modo que C' 0iX -quando i ento o modelo tem

soluo ilimitada.


60/216

60Lema 1:O conjunto das solues viveis convexo e fechado.

A demonstrao desse Lema foge do escopo deste livro e os

interessados podero consultar as referncias ao final deste captulo

para obterem maiores detalhes.

Definio 4: Soluo Bsica

Seja o sistema de equaes nm bAX , com

nijmxn aaaaA ...21 onde

mi

i

i

a

a

a 1

.

Assim: AX = b x1al+ ... xmam+ ... + xnan= b (1)

Este sistema (1) apresenta soluo indeterminada, pois h

mais variveis do que equaes. Selecione na matriz A, m colunas

linearmente independentes - LI, al, a2, ..., am.Fazendo iguais a zero as variveis no associadas a estas

colunas LI escolhidas, isto , fazendo-se xm+l = xm+2 =...xn= 0,

obtm-se um sistema de equaes que possvel e determinado,

dado por:

x1a1+ x2a2+ ... + xmam= b (2)

A soluo deste sistema (2) chamada de uma soluo

bsica do sistema original (1), as colunas a1, ..., am so chamadas

colunas bsicas e x1, x2, ... xm so as variveis bsicas. As demaisvariveis e colunas so denominadas no-bsicas.

Exemplo 5: Achar as solues bsicas do sistema de equaes


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61

622

12

321

321

xxx

xxx

Inicialmente, podem ser identificados:

A = 1 1 -1 , X = x1 , b = 12 , a1= 1 , a2= 1 , a3= -1

-1 2 2 x2 6 -1 2 2

x3Deve-se selecionar de A duas colunas que sejam LI, dentre

os possveis conjuntos de colunas {al, a2}, {al, a3} e {a2, a3}. Como

estes conjuntos definem submatrizes de A, basta verificar se os

determinantes destas submatrizes so nulos ou no, para saber se os

conjuntos associados so ou no LI. Se algum determinante se

anular indica que o conjunto associado Linearmente Dependente -

LD, caso contrrio, o conjunto LI.

Verificando isto, tem-se no exemplo 5:

32

31

21

,

,

,

aa

aa

aa LI pois

LI pois

LI pois22

11

21

11

21

11

= 3

= 1

= 4

Portanto tm-se trs solues bsicas para o sistema em

estudo:

lasoluo bsicafazer x3= 0 (varivel no-bsica) o que resulta

em:

62

12

21

21

xx

xx, cuja soluo 66 21 xex (variveis


62/216

62bsicas)

2asoluo bsicafazer x2= 0 (varivel no-bsica) o que resulta

em:

62

12

31

31

xx

xx ,cuja soluo 1830 31 xex (variveis

bsicas)

3asoluo bsicafazer x1= 0 (varivel no-bsica) o que resulta

em: x2 - x3 = 12

2x2+ 2x3= 6 , cuja soluo 5,45,7 32 xex (variveis

bsicas)

Definio 5 : Soluo Bsica Vivel (S.B.V.)

O vetor XB soluo bsica vivel X

B0 e A

BX

B= b ,

onde AB a submatriz de A formada pelas colunas bsicas

associadas s variveis que compem XB.

Exemplo 6: No exemplo 5 as solues bsicas viveis so:

21

11

6

6 11BB AcomX e as variveis bsicas so x1e x2;

2111

1830 22

BB AcomX e as variveis bsicas so x1e x3.

A seguir esto dois importantes resultados da PL, cujas

demonstraes fogem do escopo deste livro e no sero, portanto


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64/216

64A impraticabilidade de tal tcnica em problemas reais

evidenciada pela observao de que, mesmo para um modesto

sistema com 7 variveis e 4 equaes, tem-se que resolver

4

7= 35

sistemas lineares de ordem 4x4!

Apresenta-se, neste texto, o Mtodo Simplex, desenvolvidoem 1947 por George Dantzig, que supera estas dificuldades

mediante o artifcio de ao invs de se testar todos os vrtices (s.b.v),

iniciar com um vrtice qualquer, e passar, via modificaes simples

e de fcil controle, a outros vrtices mais eficientes do ponto de

vista da otimizao (Max ou Min) desejada. Deste modo, garante-se

uma melhoria passo a passo dos valores da funo objetivo na

direo do timo Z*.

7. Forma Cannica de um Sistema de Equaes Lineares

Uma maneira prtica de se obter solues bsicas de um

sistema de equaes lineares (S), dado por AX = b, colocar este

sistema numa forma conveniente denominada Forma Cannica. Isto

pode ser feito usando o Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan

(MEGJ), que nos leva a seguinte equivalncia entre os sistemas (S) e

(S):

(S) :

mnmnmmmm

nnmm

nnmm

bxaxax

bxaxax

bxaxax

11

221122

111111


65/216

65O sistema (S') denominado uma forma cannica de (S).

Deve-se notar que, em (S'), fica evidente a seguinte soluo bsica:

variveis bsicas: mm bxbxbx ,,, 2211

variveis no-bsicas: 0xxx n2m1m

Naturalmente poderiam ter sido escolhidas outras variveis

para serem as bsicas, optou-se pelas m primeiras variveis, x1, x2,

..., xm, apenas por facilidade de apresentao no texto.

O MEGJ pode ser aplicado como segue. Observe-se que h

uma varivel bsica diferente em cada equao de (S'). Isso obtido

aps se escolher uma varivel xi de (S) para ser a varivel bsica

associada a equao j de (S') e efetuar-se uma operao denominada

Pivoteamentoa partir do coeficiente aijem (S), que recebe o nome

de Piv.O pivoteamento corresponde a se utilizar em (S) operaes

entre linhas tais como: troca de equaes, diviso (ou multiplicao)

de uma equao por uma constante, ou ainda, adicionar a uma

equao uma combinao linear das demais. Estas operaes no

alteram a essncia do sistema (S), levando a um sistema equivalente

(S). Esquematicamente, o pivoteamento est explicado na Figura

11.


66/216


67/216

67

)2(24

)1(23

321

321

xxx

xxx

Substituindo a equao (2) por (2)=(2) + (1'):

)'2(423

)1(23

32

321

xx

xxx(ver 2oQuadro da Figura 12)

Dividindo a equao (2') por 2:

)2(22

3

)1(23

32

321

xx

xxx

Substituindo a equao (1') por (1) = (1') - 3.(2"):

(S'):

)2(22

3

)1(4211

32

21

xx

xx(ver 3oQuadro da Figura 12)

Tem-se, assim, a Soluo Bsica associada com (S), com as

variveis bsicas sendo x1= -4, x

3= 2; e varivel no-bsica x

2= 0.

Pode-se utilizar um procedimento prtico para obter uma

forma cannica de um sistema linear. Este mtodo aplicado ao

Exemplo 7 e ilustrado na Figura 12. Os elementos escolhidos comopivs em cada iterao esto destacados com um crculo.


68/216

68

Figura 12. Etapas do pivoteamento do Exemplo 7.

No 3oQuadro esto as variveis bsicas x1= -4, x3= 2; a

varivel no-bsica x2= 0.

8. O Mtodo Simplex

O Mtodo Simplex um procedimento iterativo que fornece

a soluo de qualquer modelo de PL em um nmero finito de

iteraes. Indica, tambm, se o modelo tem soluo ilimitada, se no

tem soluo, ou se possui infinitas solues.

H duas etapas na aplicao do Mtodo Simplex, aps

colocar o modelo de PL na forma-padro:

Etapa (A) - Teste de Otimalidade da soluo ou identificao de

uma soluo tima;

Etapa (B) - Melhoria da soluo ou obteno de soluo bsica

vivel (s.b.v.) melhor que a atual.

A seguir, esto os detalhes sobre cada uma destas etapas.


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70O Valor da funo objetivo para esta soluo bsica

vivel pode ser obtido da equao (m+1) modificada, pois:

n

mjjjxcZZ

10 , e xj 0 , 0...,,1 ZZnmj .

Pergunta: Pode-se melhorar (diminuir) o valor de Z considerando

outras s.b.v.?

Anlise: Se na equao (m+1) no h 0cj ento qualquer

mudana no valor da varivel no-bsica xj(isto , obter outra s.b.v.

com xj sendo varivel bsica) aumenta necessariamente Z a

s.b.v. atual tima e 0* ZZ (no h Etapa (B)).

Se na equao (m+1) h 0cs a varivel no-bsica xs

correspondente a este sc , sendo for transformada em varivel bsica(em uma prxima s.b.v.) faz com que Z diminua a s.b.v. atual no

tima. (H Etapa (B)).

Visualizao da Etapa (A) do Mtodo Simplex

Exemplo 8. Seja o modelo de minimizao com a funo objetivo Z

0x,x,x 3xx3x3

4x2xx2

.a.sxxx4Z321

321

321

321

Acrescentando a f.o. s restries do PPLP, vem:


71/216


72/216

72

)(5

11

5

135

2

5

45

9

5

3

1

21

31

IIxZ

xx

xx

Da equao (II): 15

13

5

11xZ , como x1 = 0 ( varivel

no-bsica)5

1120 ZZ , que o valor da funo objetivo. para

a segunda s.b.v., onde 05

2,

5

9123 xexx .

Anlise: Como 15

13

5

11xZ , se x1 ento Z que no

interessante, pois deseja-se minimizar a funo objetivo. Logo o

valor de Z =5

11no pode ser melhorado.

Deste modo tem-se:

Z*=5

11 (valor timo) e

5/9

5/2

0

**3

*2

*1

x

x

x

X (soluo

tima).

Fase (B) - Melhoria da Soluo.

Admitindo que j foi realizada a etapa (A) do Mtodo

Simplex, num modelo de minimizao, e existe cs < 0; deve-se


73/216


74/216

74ser substituda pela varivel no-bsica xs atravs de operaes

de pivoteamento com ais .

Visualizao da Fase (B) do Mtodo Simplex

Exemplo 9. (MACULAN FILHO e PEREIRA, 1980) Seja um

modelo de minimizao, j com a funo objetivo acrescentada ao

conjunto das restries:

)3(454

)2(622

)1(532

43

432

431

xxZ

xxx

xxx

A soluo bsica vivel atual tem as variveis bsicas x 1=

5, x2= 6, as variveis no-bsicas x3= x4= 0 e Z = 4.

A partir da Etapa (A) do Mtodo Simplex sabe-se que ocoeficiente 43 c da varivel no-bsica x3, na equao (3),

indica que a s.b.v. atual no tima, e x3deve ser varivel bsica

numa prxima s.b.v..

Assim, o prximo passo determinar at que valor x3pode

ser aumentado (seu valor atual zero), sem que x1 e x2 se tornem

negativos.

Na nova s.b.v. (com x3 como varivel bsica) deve-se

manter 00 21 xex , e sabe-se tambm que:

de (1): 0,325 4431 xcomoxxx (permanece varivel no-

bsica) 31 25 xx


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76/216

76

Figura 13. Uso de tabelas na resoluo do exemplo 9.

(2) Problema Inicial Ilimitado.

Se ao aplicar a Etapa (B), com xs escolhida para se tornar

varivel bsica, ocorrer que todos os jsa 0 ento nenhuma varivel

bsica tem seu valor diminudo quando xs aumenta, o que leva a

concluso que o modelo apresenta soluo ilimitada (Z -).Considere o Exemplo 9 onde, agora, os coeficientes de x

3

nas restries (1) e (2) so iguais a (-2), neste caso tem-se:


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77

454

622

532

43

432

431

xxZ

xxx

xxx (1)

(2)

(3)

Como o coeficiente da varivel no-bsica x3 na equao

(3) 43 c , significa que deve-se aumentar x3 (seu valor atual

zero pois varivel no-bsica) para algum valor positivo (o maior

possvel).

Como x4 = 0 (permanece como varivel no-bsica) de (1)

31 25 xx e de (2) 32 26 xx . Notar que tem-se 01x e

02x quando 3x aumentado, ou seja, nenhuma restrio de no-

negatividade violada, e pode-se aumentar indefinidamente x3 .

Como Z quando 3x tem-se que Z (Problema Ilimitado).

(2) Avaliao da Melhoria no Valor da Funo objetivo.

Notar que, em cada iterao do Mtodo Simplex, ocorre

uma melhoria no valor da funo objetivo avaliada por:

)(00,0 Pivaebcparaca

bZZ isiss

is

iatualnovo

Para ilustrar isto, considere o Exemplo 9, onde foramobtidas duas s.b.v:

6,0,2

5,1,02...

4,0,6,51...

24321

14321

Zxxxxvbs

Zxxxxvbs


78/216

78

Notar que sis

i ca

bZZ 12 com, 2,5,41 isi abZ e 4sc

645

242

Z

(4) Interpretao Geomtrica do Mtodo Simplex.Em cada iterao o Mtodo Simplex vai de um vrtice

(s.b.v.) do conjunto vivel para outro vrtice adjacente a ele (outra

s.b.v.) onde o valor da funo objetivo melhor. Ver ilustrao no

Exemplo 10.

Exemplo 10. (MACULAN FILHO e PEREIRA, 1980)

21 x5x3ZMin s. a.:

0,

1823

64

21

21

2

1

xx

xx

xx

Colocando na forma padro, tem-se: 21 x5x3ZMin

s. a:

5,1,0

18236

4

521

42

31

ix

xxxxx

xx

i


79/216

79Aplicando o Simplex tm-se as tabelas da Figura 14.

VB x1 x2 x3 x4 x5 b

x3

x4

x5

1

0

3

0

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4

6

18

Quadro 1

.0,8

,6,4

0

5

43

21

Zx

xx

xx

s.b.v. 1

-Z -3 -5 0 0 0 0

x3

x2

x5

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

-2

0

0

1

4

6

6

Quadro 2

.30,6

,6,4

0

2

53

41

Zx

xx

xx

s.b.v. 2

-Z -3 0 0 5 0 30x*3

x*2

x*1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

2/3

1

-2/3

-1/3

0

1/3

2

6

2

Quadro 3

.30,6

,6,2

0

2

53

45

Zx

xx

xx

s.b.v. 3 - tima

*Z 0 0 0 3 1 36

PARAR, pois 0sc

Figura 14. Resoluo do Exemplo 10.

Na Figura 15 h seqncia de situaes onde se procura

mostrar a evoluo do Mtodo Simplex, indo de uma s.b.v. (vrtice)


80/216

80para outra adjacente no Conjunto Vivel associado ao modelo

original.

Figura 15. Evoluo das iteraes do Mtodo Simplex.

(a) Quadro 1 s.b.v. 1 (b) Quadro 2 s.b.v. 2

(c) Quadro 3 soluo tima


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81(5) Ocorrncia de mais de uma soluo tima.

Quando o modelo tem mais de uma soluo tima, o

Mtodo Simplex capaz de indicar isto.

Suponha que j foi encontrada uma s.b.v. tima para o

modelo, ou seja, correspondentes a essa s.b.v. (1) todos os

coeficientes de custo relativos so maiores ou iguais a zero ( 0j

c ),

com o valor da funo objetivo dado por Z1= Z*.

Devem-se analisar os coeficientes de custo relativo

cuidadosamente. Se h algum cs = 0, associado a alguma varivel

no-bsica xs, ento existe outra s.b.v. (2), onde xs varivel bsica,

que tambm tima, pois neste caso no h alterao no Z*, quando

xsse torna varivel bsica.

Isto pode ser verificado utilizando-se a expresso

matemtica do comentrio (3) onde:

*0, 12*12 ZZZccomoca

bZZ ss

is

i .

Alm disto, como se sabe que o Mtodo Simplex se

locomove, em cada iterao, para vrtices adjacentes do conjunto

vivel, como visto no comentrio (4), pode-se concluir que todas as

combinaes convexas da s.b.v. (1) e s.b.v. (2) sero tambm

solues timas. Assim 10,)1(* BA XXX , com XA

sendo a s.b.v. 1 e XB sendo a s.b.v. 2

Isto pode ser visualizado para um problema de maximizao

em duas dimenses, como sendo o caso de haver um segmento de

reta timo para o problema, ver a Figura 16.


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83/216

83

VB x1 x2 x3 x4 x5 b

x3 1 0 1 0 0 3

x4 0 0 1 0 4 Q1

x5 1 2 0 0 1 9

-Z -1 -2 0 0 0 0

x3 1 0 1 0 0 3 Q2

x2 0 1 0 1 0 4

x5 0 0 -2 1 1

-Z -1 0 0 2 0 8

*3x 0 0 1 -1 2 Q3

*2x 0 1 0 1 0 4 (

*1X )

*1x 1 0 0 -2 1 1

-Z 0 0 0 0 1 9

*4x 0 0 1/2 1 -1/2 1

Q4

*2x 0 1 -1/2 0 1/2 3 (

*2X )

*1x 1 0 1 0 0 3

-Z 0 0 0 0 1 9Figura 17. Tabelas do Simplex do exemplo 11.

Todas as Combinaes Convexas de ** BA XeX so solues

timas, ou seja, 10,1* ** BA XXX , onde:


84/216


85/216


86/216


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88/216

889. Mtodo Simplex com Duas Fases

Nos problemas estudados at este ponto, aps colocar o PPL

na forma-padro, imediatamente ficava evidente uma s.b.v. inicial

necessria para aplicao do Mtodo Simplex.

Assim, o Mtodo Simplex podia ser inicializado com uma

s.b.v. onde as variveis bsicas eram as variveis de folga e as

variveis no-bsicas eram as demais variveis naturais do modelo.

Freqentemente isto no acontece, e deste modo, o Mtodo Simplex

no pode ser inicializado imediatamente, necessitando da aplicao

de uma fase preliminar.

O que se faz nestas situaes, em que no h uma soluo

vivel inicial evidente para um dado modelo de PL, que receber o

nome de Modelo Original, definir convenientemente um PPL

auxiliar, denominado Modelo Artificial, cuja resoluo fornecer, ou

uma s.b.v. inicial para esse Modelo Original, ou ento, indicar a

inexistncia de soluo para esse Modelo Original (ou seja, ele

invivel).

Um procedimento que pode ser utilizado nestes casos

denominado Mtodo das Duas Fases onde:

Fase 1 Criar o Modelo Artificial a partir das redtries do

Modelo Original. Resolver pelo Mtodo Simplex o Modelo

Artificial;

Fase 2 - Aplicao do Mtodo Simplex ao PPL Original, a

partir da soluo bsica vivel tima obtida para o PPL Artificial na

Fase 1.


89/216


90/216


91/216

91PPLA.

Aps eliminar as variveis artificiais do Quadro timo da

resoluo do PPLA, e substituir a funo objetivo artificial pela

original, aplica-se o Mtodo Simplex. (Incio da Fase 2

Fluxograma (1)).

(b) Quando houver 0j

y , sendoj

y varivel bsica da s.b.v.

tima do PPLA, a s.b.v denominada degenerada, e requer o uso do

procedimento descrito a seguir.

No Quadro timo da resoluo do PPLA, para cada varivel

jy que varivel bsica associada a equao i do conjunto de

restries, deve-se procurar uma varivel original, kx , com

coeficiente na equao i sendo 0ika (observe-se que pode

inclusive ser negativo). Podem ocorrer duas situaes:

- Se esse coeficiente existir, basta fazer o pivoteamento a partir

desse ika , substituindo a varivel jy por kx . Aps eliminar as

variveis artificiais no-bsicas do Quadro timo da resoluo do

PPLA, por meio desses pivoteamentos, substituir a funo objetivo

artificial pela original, e aplicar o Mtodo Simplex ao PPLO (Incio

da Fase 2 Fluxograma (1)).

- Se na equao i no houver nenhuma varivel original kx , com

0ika , isto indicar que esta equao i combinao linear dasdemais equaes, podendo, portanto, ser eliminada, bem como a

varivel bsica artificial correspondente. Aps a eliminao de todas

as varivei

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