juro

1.Juros – noções gerais

Capital (C) – é a quantidade de moeda cedida pelo seu proprietário a

outrem, por um determinado período de tempo, acordado entre as

partes;

Tempo (n) – é o prazo durante o qual o capital é aplicado ou cedido.

Uma unidade de tempo é um período de tempo (anual, semestral,

quadrimestral, trimestral, mensal, etc.);

EXEMPLO:

Período – dias

n - 300 dias

Período - mês

n - 12 meses

Juro (j) – é o rendimento proveniente de um capital cedido ou aplicado

por um dado período de tempo;

Taxa (i) – percentagem definida por ser o juro de uma unidade do

capital durante uma unidade de tempo;

Valor Actual (VA) - é o capital no início do período;

Valor Acumulada - é o capital no fim do período (ou seja, é o valor

actual mais o juro produzido);

Logo, o valor actual é igual a:

Valor Actual = Valor Acumulado – Juro

2. Regimes de equivalência

2.1 Características fundamentais do Juro Simples

O juro é directamente proporcional ao tempo e á taxa;

A taxa de juro representada por i pode ser:

Semestral;

Anual;

Mensal;

Etc.

2.2 Expressão Geral

j=cni

Assim, no regime de juro simples o juro é uma função de

proporcionalidade directa do capital e do juro.

2.3 O tempo do Período e o tempo da Taxa

Para podermos comprar a rentabilidade dos empréstimos o melhor é

considerar as taxas que correspondem a cada período.

Se estamos na presença de taxas mensais e anuais então:

n = ano

n/12 = meses expressos em anos

n/ 365 = dias expressos em anos

2.4 As expressões algébricas do capital, tempo e taxa

j= c.n.i c = j/(n.i) capital

j= c.n.i n = j/(c.i) tempo

j= c.n.i i = j/(c.n) taxa

2.5 Taxa média

Sempre que se pretende aplicar uma mesma taxa a um conjunto de

empréstimos que vencem juros com taxas diferentes, mantendo

inalterado o montante total dos juros a receber devemos determinar

a taxa média.

Cni i

365 i

N

δ

C1, C2, ……. , Cn – os capitais dos empréstimos;

n1, n2, …….., nn - tempos dos empréstimos;

i1, i2, ………. , in - taxas dos empréstimos.

j1 = c1 n1 i1 e j2 = c2 n2 i2 e …………. e jn = cn nn in

J = j1 + j2 + …… + jn

J = (c1 n1 i1 ) + (c2 n2 i2 ) + ………. + (cn nn in )

J = ∑ ci ni ii

por definição:

_ _ _J = c1 n1 i + c2 n2 i + …………… + cn nn i donde _J = ( c1 n1 + c2 n2 + ………... + cn nn ) x i donde _ _ _ J = i i = J i = ∑ ci ni ii(c1 n1 + c2 n2 + cn nn) ∑ ci ni ∑ cj nj

2.6 Exemplo prático de cálculo de juro

a)Processo dos números e dos divisores fixos

Para facilitar segue-se o exemplo do cálculo de juro quando o tempo é dado em dias.

j = (cni)/365 se i ≠ 0 então:

j = j = cn se chamarmos δ = 365/i 365 N = cn i

então passamos a ter:

j =

ou média ponderada

cni

365365

120

80

40

b) Processo dos números e multiplicadores fixos

j = j = cn . i se chamarmos μ = i/365 então:

N = cn

j = N μ

2.7 Representação Gráfica de j = cni

1) Como qualquer função de proporcionalidade directa é uma

função que passa pela origem;

2) As variáveis independentes (x) são representadas uma a uma

assumindo-se em todos os sistemas de eixos o juro como

variável dependente;

3) O juro é directamente proporcional ao tempo, ao capital e à

taxa.

EXEMPLOS:

a)Variável desconhecida – Capital (C)

C – variável j = cnin – 2 anos j = 100 x 2 x 0,2 = 40i – 20% j = 200 x 2 x 0,2 = 80 j = 300 x 2 x 0,2 = 120

(juro) y

60

40

20

60

40

20

x (capital)

b) Variável desconhecida - tempo (n)

C – 100 j = cnin – variável j = 100 x 1 x 0,2 = 20i – 20% j = 100 x 2 x 0,2 = 40 j = 100 x 3 x 0,2 = 60

(juro) y

x (capital)

c) Variável desconhecida – taxa (i)

C – 100 j = cnin – 2 anos j = 100 x 2 x 0,1 = 20i – i j = 100 x 2 x 0,2 = 40 j = 100 x 2 x 0,3 = 60

(juro) y

x (capital)

100 200 300

1 2 3

10 20 30

S1 + ni

2.8 Capitalização do juro simples

Capital acumulado - Capital que o credor irá receber no fim do prazo

do empréstimo-

Se considerar que:

S – o capital acumulado

C – o capital inicial

j – o juro produzido

temos:

ganha j durante n

investe recebeC c + j

Recebe SAssim:

S = c + j mas como j = cni então:

S = c + cni S = c (1 + ni) Expressão algébrica do capital acumulado em função do capital

inicial.

Se o tempo estiver expresso em meses, passamos a ter:

S = c + c n i S = c 1 + ni 12 12Podemos, também, calcular o valor do capital inicial. Se temos

S = c (1 + ni) c =

Expressão algébrica do capital inicial em função do capital acumulado.

Se o tempo for expresso em dias temos:

j

ni

cni 365

1S

1 + ni ni ni

S = c 1 + ni c = S c = S 365 1 + ni 365 + ni

365 365 365

c = S 365 + i

365

Como dividir um número por outro é o mesmo que multiplica-lo pelo

inverso do segundo, vem:

C = S x 365 C = 365 S 365 + ni 365 + ni

Retomando a expressão

S = c + j

Podemos transforma-la de outra forma, se não, vejamos:

S = c + j com j = cni que pode ser transformada em:

C = j/ni

O que nos leva a obter:

S = + j donde S = j 1 + 1

Se o tempo nos foi dado em meses, temos:

j = 365 j = cni c = 365 j ni

que substituindo na expressão do capital acumulado, vem:

S = 365 j + j S = j 365 + 1 ni ni

do mesmo modo, podemos calcular o juro nesta expressão:

SS = j j = j =

niExpressão do capital acumulado em função do juro

1 + 1ni

ni

S S ni

365 + ni 365 + 1 ni 365 + 1

ni

+ 1

j = S ni 1 + ni

Se o tempo for dado em dias, vem:

S = j j = j =

2.9 Equivalência de capitais no regime de juro simples

Vamos aplicar os conhecimentos de:

- capital acumulado

- valor actual

a operações com títulos de crédito.

Podemos dizer que o valor acumulado de qualquer capital activo é um

capital referido a uma data posterior à data do vencimento.

Considerando:

C – capital inicial, cuja data de vencimento é zero;

S1 – capital inicial + juro do período 1;

S2 – capital inicial + juro do período 1 e 2.

Ou seja:

n=1 n=2

C S1 S2 =C + j1 = C + j1 + j2

Expressão do juro em função do capital acumulado

S1Ou então:

n=2 n=1

C`2= c – j1 – j2 C`1= c – j1 C

C`1

A reforma de títulos de crédito é uma operação que consiste na

realização do valor do título numa data posterior à do seu

vencimento.

É uma questão de realização diferida de um capital, logo resolve-se

determinando o seu valor acumulado.

O desconto de títulos de crédito é uma operação que consiste na

realização do valor do título numa data anterior ao seu vencimento.

Trata-se de uma realização antecipada de um capital, logo resolve-se

determinando o seu valor actual.

2.10 Realização antecipada do valor para efeitos comerciais

Referir o papel da letra como pagamento deferido de um cliente.

Este tipo de titulo permite que a sua realização se antecipe, isto é,

que se efectue o seu desconto.

Nesta operação a entidade bancária, após análise do cliente, poderá

concordar, com ficar na posição de portadora da letra, movimentando

a conta do endossante, pelo valor do título e pelos encargos

suportados na operação de desconto.

Segundo este raciocínio, e como já foi dito, podemos comparar esta

operação com o empréstimo com juro antecipado.

Df =Vn x n x i

365 j =c x n x i

365

Lembrar que:

C’ = c – jC’ = c – cniC’ = c (1- ni)

O desconto comercial ou desconto por fora é o valor do juro produzido

pelo valor nominal da letra durante o período comprometido entre a

data do desconto e a data de vencimento da letra.

1 3

2Se representar-mos:

Vn – valor nominal da letra;

n – dias que faltam para o vencimento da letra + 2 dias de lei;

Df – desconto comercial;

Va – valor actual.

Temos:

Lembrar que:

( em dias)

Sabendo qual o valor do desconto, podemos calcular o valor actual a comercial da letra:

Va = Vn – Df

Va = Vn - Vn x n x i 365

Va = Vn 1 - ni 365

Va = Vn 365 - ni 365

Para receber uma letra, o portador não necessita de aguardar pelo

seu vencimento, podendo antecipa-la pela operação do desconto

comercial que consiste no recebimento antecipado, antes da data

do vencimento, do valor liquido de desconto.

Data do desconto da letra

Data de emissão da letra

Data de vencimento da letra

Df =Vn x n x i

365

As entidades Bancárias ao desconto da letra deduzem

imediatamente ao valor nominal da letra o juro (desconto

comercial) mas não só, descontam uma série de encargos que se

destinam a cobrir as despesas que o banco terá de suportar com esta

operação.

Encargos com o Desconto são:

1. Prémio de desconto – são os juros calculados a determinada taxa

que dependem do valor da letra e do tempo que medeia entre a

data de desconto até à do vencimento acrescido de dois dias.

2. Comissão de Cobrança - % ou ‰ calculada sobre o valor nominal

da letra quando estas têm um local ou pagamento diferente do

desconto (limitado com valores mínimos e máximos).

Cc = % do Vn

3. Imposto de Selo - % calculada sobre o valor dos prémios e

comissões cobradas pelo banco a favor do Estado.

Is = %(Df + Cc)

4, Portes – importância variável destinada a pagar despesas

comunicação (normalmente o valor do selo e do registo da

correspondência).

P = 0,50€ (por exemplo)

Com: Vn – valor nominal da letra;

n – dias que faltam para o vencimento da

letra + 2 dias de lei;

Df – desconto comercial;

Va – valor actual;

i – taxa de desconto.

Dd =Va x n x i

365

Dd =(Vn – Dd) ni

365

Assim:

Encargos = Df + Cc + Is + P

Que faz com que:

Valor Liquido do Desconto = Vn – Ed = Vc Va = Vn - Df

Podemos ainda determinar outro tipo de desconto:

Racional ou por dentro – que é o valor resultante da incidência da

taxa de desconto sobre o valor actual durante o

tempo que decorre entre a data de desconto e

de vencimento do titulo.

Se considrarmos:Dd – desconto por dentroVa – valor actualEntão temos:

se Va = Vn – Dd

então:

365 Dd = Vn ni – Dd ni

365 Dd + Dd ni = Vn ni

Dd (365 + ni) = Vn ni

Dd = Vn ni 365 + ni

Exercícios Práticos:

1. Um comerciante emprestou 12000€ durante 8 anos obtendo um

juro de 16800€, a que taxa foi colocado o capital?

2. Um individuo depositou num banco 109500€, que no prazo de

um ano, rendeu 21900€. Qual o juro que se teria produzido, se

aquela importância tivesse sido colocada durante 2 anos.

3. Um banco emprestou a um comerciante 30 000€ e a outro uma

quantia que se ignora o seu valor. Os dois empréstimos foram

feitos à mesma taxa de juro. Passados 6 meses verificou-se que

o capital emprestado ao primeiro comerciante rendeu 2250€ de

juros e que o capital emprestado ao segundo comerciante

rendeu 3750€. Quanto se emprestou ao segundo comerciante?

4. Qual o capital acumulado pelo depósito de 25000€ durante 3

meses à taxa de 18%.

5. Um emigrante depositou no banco 73000€ durante 1 ano e 5

meses e levantou 94200€ de capital acumulado. A que taxa foi

feito o depósito?

3. Regime de Juro Composto

Capitalização em Regime de Juro Simples

sai c c c c . . . . . . S = c + jn

e e e pagamento pagamento pagamento

j1 j2 j3

Capitalização em Regime de Juro Composto

SaiC S1 S2 S3 Sn

Como consideramos períodos iguais:

- em regime de juro simples: - em regime de juro

composto:

j1 = j2 = j3 = j4 = j5 = jn j1 ≠ j2 ≠ j3 ≠ j4 ≠ j5 ≠ jn

Em cada período vamos ter:

S1 = c + j1

S2 = S1 + j2

S3 = S2 + j3

S4 = S3 + j4

……

Sn = Sn-1 + jn Capitalização a juro composto

é o recebido

no fim do prazo

Sn = c + j dos períodos + j do j do períodoFórmulas:

Capital Acumulado Sn = Sn-1 + jn com: Sn – capital acumulado até ao período n Sn-1 – capital acumulado até ao período n-1

Jn – juro gerado pelo capital Sn no período que decorre entre (k-1) e K

Capital Acumulado em função do capital inicial

Sn = C (1 + i)n

Como os períodos são todos iguais consideramos n=1

S = c + j

S1 = c + cni

S1 = c + ci

S1 = c + ci S1 = c (1 + i)1

S2 = S1 + j2 S2 = c (1 + i) + j2

S2 = c (1 + i) + S1 i

S2 = c (1 + i) + c (1 + i)

S2 = c (1 + i) (1 + i)

S2 = c (1 + i)2

. . . . . . .

S3 = c (1 + i)3

. . . . . . .

Sn = C (1 + i)

Juro Total em função do Capital Inicial

J = Sn – c

J = c (1 + i)n – c

J = c [(1 + i)n – 1]

Capital Inicial em função do Acumulado

Sn = c (1 + i)n

C = Sn / [(1 + i)n]

EXEMPLO

Consideremos uma situação hipotética que em 1994 a correcção da

caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5

primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou 100€ em 01 de

Janeiro de 1004, poderíamos criar uma tabela para obter o resultado

acumulado em 01 de Junho de 1994.

Valor

actual = 100€

Juro = V.actual x Taxa de juro

Tempo Data Valor Actual Juros Montante

0 1-Jan-94 100,00 € 0,00 € 100,00 €

1 1-Fev-94 100,00 € 50,00 € 150,00 €

2 1-Mar-94 150,00 € 75,00 € 225,00 €

3 1-Abr-94 225,00 € 112,50 € 337,50 €

4 1-Mai-94 337,50 € 168,75 € 506,25 €

5 1-Jun-94 506,25 € 253,13 € 759,38 €

Montante = V. actual + juro

j0 = 100 x 50% x 0 = 0€ (é zero porque

o capital só começa a produzir juro no 1º tempo)

j1 = 100 x 50% x 1 = 50€

j2 = 150 x 50% x 1 = 75€

j3 = 225 x 50% x 1 = 112,5€

j4 = 337,5 x 50% x 1 = 168,75€

j5 = 506,25 x 50% = 253,13€

Observamos que os juros foram calculados sobre os montantes nos

inícios dos meses que corresponde aos montantes dos finais dos

meses anteriores.

JUROS COMPOSTOS SÃO JUROS SOBRE JUROS

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista

matemático com c = 100€ e i = 50%.

Montante 0 = S0 =100

Montante 1 = S1 = 100 x (1 + 0,5)1 = 150€

Montante 2 = S2 = 100 x (1 + 0,5)2 = 225€

Montante 3 = S3 = 100 x (1 + 0,5)3 = 337,5€

Montante 4 = S4 = 100 x (1 + 0,5)4= 506,25€

Montante 5 = S5 = 100 x (1 + 0,5)5 = 759,38€

Em geral:

Sn = c (1 + i)n onde Sn – capital acumulado C – capital inicial ou actual i – taxa n – números de períodos de aplicação.

Observação:

V.actual 1 = Montante 0





A taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou

homogéneos com respeito à unidade de tempo.

EXEMPLO:

Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será

necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização

juro composto?

Objectivo:

S = 2 C (capital acumulado = 2 vezes capital inicial)

Taxa anual: i = 150 / 100 = 1,5

S = c (1 + i)n

2c = c (1 + i)n

2c = c (1 + 1,5)n

2c = c (2,5)n

2c/c = (2,5)n

c = (2,5)n

para resolver, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7654 de 1 ano

Regra de três simples: 1 ano = 12 meses0,7654 = x

X = (0,7654 x 12) / 1 = 9,18

R: Serão necessários aproximadamente 9 meses para dobrar o capital.

EXEMPLO:Calculo do juro composto

J = c [(1 + i)n - 1]

Qual é o valor dos juros (regime de juro composto) pagos à taxa de

100% ao ano, se o capital inicial for de 1000€ e a divida for contraída

no dia 10 de Janeiro de 1994 e deverá se paga em 12 de Abril 2010.

Contagem dos dias:

Janeiro Fevereiro Março Abril 21 + 28 + 31 + 12 = 92 dias

Transformar 92 dias em anos:

n = 92/365 = 0,25 = ¼

taxa = 100/100 = 1

Então:

J = c [(1 + i )n - 1]

J = 1000 [(1 + 1)1/4 - 1]

J = 1000 (1,189207 – 1)

J = 189,21€

Exercícios Práticos

1. Determine o capital acumulado produzido por um capital de 500

000€ em regime de juro composto, durante 3 anos, à taxa de 20%.

2. Um capital inicial de 1000 000€ colocado a render à taxa de 15%

em regime de juro composto atinge o montante de 5 350 000€ ao fim

de quantos anos?

3. Carlos Sousa, comerciante de automóveis, recebeu 1 830 206E

pelo investimento de um certo capital, em regime de juro composto, à

taxa de 18%, durante 5 anos. Determine o capital investido.

4. a sociedade Santos & Dias. Lda de Aveiro, depositou 1 000€ em

regime de juro composto pelo prazo de n anos. Considerando que a

taxa de remuneração dos depósitos é de 16%, determine o prazo de

n.

5. A que taxa de juro se deve colocar 1 000€ de capital durante 20

anos para no fim do período receber 27 393€.

6. A uma sociedade comercial foram apresentadas duas hipóteses de

aplicação do seu capital:

Hipótese 1: Emprestar 2500€ em regime de juro composto à taxa de

15% e por 8 anos;

Hipótese 2: Emprestar a mesma quantidade de capital por igual

período de tempo em regime de juro simples à taxa de 20%.

Indique qual é a hipótese mais vantajosa para a empresa.

3. Rendas

Definição – conjunto e capitais que vencem em períodos ou são pagos

em tempos iguais.

(Por exemplo: prestação de um crédito habitação)

tempo entre 2 vencimentos

(Por exemplo: 1 mês)

Mensalidade = períodos de 1 mês;

Trimestralidade = períodos de 1 trimestre (3 meses);

Semestralidade = períodos de 1 semestre (4 meses);

Anualidade = período de 1 ano (12 meses).

Períodode

Renda

Valor Actual ou da RendaValor Descontado

∑ Valor Actual dos seus termos num determinado momento.

Valor Acumuladoou

Valor Capitalizadoou

Soma de uma Renda

∑ dos valores Acumulados dos termos no fim do período.

Anuidades – importância fixa que se depositam ou se pagam

anualmente para acumular um capital ou amortizar uma

divida.

3.1 Anuidades de Amortização

(pagamento de uma divida por partes)

Quando pagamos uma amortização, os juros devidos no ano seguinte

são menores, porque incidem sobre um capital em divida menor.

Logo se as anuidades são iguais, cada vez se amortize mais no capital

em divida.

Como se calcula esta anuidade?

A = a x a Com: n i

Capitalização

(a juros

compostos no

inicio de cada

ano)

Amortização

(paga-se no fim

do ano)

A = Capital – valor actual do empréstimo;

a = anuidade

a = valor actual de uma renda imediata em n

períodos;

n i

n = numero de anuidades ou tempo – prazo do

empréstimo, em ano;

i = taxa de amortização (taxa de juro).

Existe o prémio de subscrição de

modo atrair compradores

A = a x a a = A n i a n i

a = A x 1 a

n i

Factor de amortização do capital ou anuidades de amortização.

3.2 Anuidades de Capitalização (no inicio do período)

S` = a (1 + i) x S com: n i

Empréstimo por Obrigações

Forma de financiamento das empresas em Bolsa;

São títulos cotados em Bolsa;

Devem ser subscritos e estão sujeitos a rateio no caso de a

procura ser maior que a oferta.

S` = capital acumulado;

a = anuidade;

S = valor actualizado de uma

letra.

n i

Emissão

Ao par – Preço de Aquisição = Valor NominalAcima do Par – Preço de Aquisição › Valor Nominal Abaixo do Par – Preço de Aquisição ‹ Valor Nominal

Espécies de

amortização

do

empréstimo

Por Sorteio – reembolso periódico;

Preço da Obrigação = Cotação

Distribuindo por anuidades constantes durante

o prazo do e empréstimo

Os juros são pagos no decurso do prazo ou no

final conjuntamente com as amortizações.

Co – capital em divida;

n1, n2, n3, …. – número de obrigações a amortizar;

No – número de obrigações emitidas;

a – valor facial de cada obrigação;

n – prazo;

i – taxa facial.

Capital em divida

Juro do empréstimo

Anuidade teórica de reembolso

1ª obrigação amortizada

Em Bloco – na data fixada anteriormente;

Por Resgate – na Bolsa.

Amortização de

empréstimos a longo prazo

Co = No . a

T = a . i

T = Co . 1 a

n i

N1 = No . 1 S

n i

a n-m i

Amortização de uma obrigação no sorteio m

Exercícios Práticos

a n-m i

1. Uma instituição de crédito concedeu a Joaquim Santos, seu cliente,

um empréstimo de 350 000€nà taxa de 20%,para ser amortizado em

3 anuidades constantes. Qual o valor da anuidade?

2. António Sampaio emprestou uma determinada importância,

sabendo que a anuidade de 100 000€ amortiza o empréstimo em 2

anos à taxa de 20%.

Qual a importância emprestada?

3. O Montepio concede aos seus associados, empréstimos à taxa de

18%, amortizáveis em anuidades. Qual a anuidade que permite

amortizar um empréstimo de 800 000€ em 10 anos?

4. Determine o valor acumulado de uma renda antecipada de 300€ ao

fim de 5 anos e à taxa anual de 20%.

5. Determine qual o capital acumulado em 20 anuidades de 200€,

depositadas a 20%.

6. António Dias depositou 5 anuidades e conseguiu o valor acumulado de 446 496€, sendo a taxa de 20%. Qual a anuidade depositada?

juro

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