Introdução

Na física, lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo elétrico

que passa de uma superfície fechada e a quantidade de carga elétrica que

existe dentro do volume limitado por esta superfície. A lei de Gauss é uma das

quatro equações de Maxwelle foi elaborada por Carl Friedrich Gauss no século

XIX.

Vamos supor que temos um conjunto de cargas positivas e negativas, que

estabelecem um campo elétrico e numa certa região do espaço. Imaginemos

uma superfície fechada dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana,

que pode envolver ou não alguma das cargas elétricas.

A lei de Gauss foi um importante matemático alemão que fez descobertas em

teoria dos números, geometria e probabilidade, tendo também contribuições

em astronomia e na medição do tamanho e formato da Terra.

A Lei de Gauss, relaciona o fluxo total (ΦE) que atravessa essa superfície com

a carga total q envolvida por ela, provenientes das cargas elétricas. Dessa

forma:

ou

Onde:

ΦE é o fluxo;

Є0 é a constante de permissividade no vácuo;

q a carga elétrica.

Exemplo 1: A figura abaixo mostra um cilindro hipotético fechado, de raio r,

dentro de um campo elétrico uniforme E. O eixo do cilindro é paralelo ao

campo. Determine o valor do fluxo (ΦE) através da superfície gaussiana.

Solução: O fluxo ΦE é a soma de três termos, três integrais: (a) sobre a base

esquerda do cilindro, (b) sobre a superfície cilíndrica e (c) sobre a base direita

do cilindro. Logo:

O ângulo θ em todos os pontos da base esquerda é 180°, E é constante, e os

vetores dA são todos paralelos. Portanto,

Onde A (=πR²) é a área da base esquerda. Do mesmo modo, para a base

direita:

Neste caso o ângulo θ é nulo em todos os pontos. Finalmente, para a

superfície cilíndrica:

porque θ = 90°;donde E.dA = 0 em todos os pontos dessa superfície. Logo o

fluxo total vale:

Podemos ver então que a Lei de Gauss estabelece que ΦE é nulo porque a

superfície não envolve nenhuma carga.

A escolha da superfície gaussiana é arbitrária. Usualmente, é escolhida de

forma que a simetria da distribuição, em pelo menos uma parte da superfície,

resulte num campo elétrico constante que pode ser explicitado através da

formula:

Conclusão

Nessas condições, a lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo

elétrico.

É importante ressaltar que a lei de Gauss se torna eficiente apenas em casos

em que há simetria. Mais precisamente, nos casos que existe simetria esférica,

cilíndrica ou plana. Dessa forma, construir superfícies gaussianas que

aproveitem a simetria é de vital importância para a aplicação da lei de

Gauss, visto que a eficiência da lei de Gauss consiste em utilizar a simetria das

distribuições de carga para calcular campo elétrico com mais facilidade.

A lei de Gauss pode ser utilizada de duas maneiras: Se conhecermos a

distribuição de cargas e a superfície tiver elementos de simetria suficientes,

pode-se determinar o campo; se conhecermos o campo, podemos escolher

superfícies adequadas que nos permitam determinar a distribuição de cargas.

Bibliografia

Resnick, Halliday, krane, física, 4. ED.,LTC,Rio de Janeiro, 1996