A LEI DE GAUSS RELACIONA A CARGA TOTAL EXISTENTE NO

INTERIOR DA SUPERFÍCIE GAUSSIANA (= FECHADA) COM O CAMPO ELÉTRICO EM TODOS OS

PONTOS SOBRE A SUPERFÍCIE.

EX.: Qual o fluxo através de cada uma das superfícies fechadas?

1) A Lei de Gauss pode ser usada para calcular o campo E, porem só é boa para aqueles problemas que apresentam simetria (pois temos que resolver a integral de superfície).

EM RESUMO

LEI DE COULOMB

LEI DE GAUSS

Boa para todos os problemas, com pequeno ou nenhum grau de simetria (porem, também serve para calcular problemas com elevado grau de simetria).

Boa para problemas com elevado grau de simetria ( em princípio, serve p/ qquer problema, porem a integral de fluxo pode se tornar factível apenas através do cálculo numérico).

1- Cálculo do campo elétrico usando a lei de Gauss

Deve-se escolher uma superfície A, tal que E forme um ângulo constante com dA (0o , ou 90o ou 180o), bem como deve ter magnitude constante sobre a superfície, pois o módulo de E tem que sair da integral, para encontrarmos uma expressão tipo: E = ...

Acompanha a simetria da distribuição de cargas.

Além disso, a superfície gaussiana deve ser desenhada tal que englobe parte da carga (senão o fluxo é nulo e não se chega a nada!)

1 - Cálculo do campo elétrico usando a lei de Gauss

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html#c4

S I

M E T R I A S

Lei de Coulomb: Queremos calcular a força devida à uma carga pontual sobre outra carga pontual situada à uma distância r.

Se vamos usar a lei de Gauss, isto significa que primeiro calculamos o campo elétrico devido à uma carga pontual (a carga q), e, depois usando que F = q0 E (pois a carga q0 é pontual e E é o campo criado por q na posição onde se encontra q0), encontramos a força que q exerce sobre q0.

Usando a lei de Gauss para calcular o campo elétrico, isto significa que temos que calcular a integral de fluxo. Certo! A lei de Gauss vale para qualquer superfície, porem não é qualquer superfície que nos deixará calcular a integral! Ou seja, para que a integral de fluxo seja factível de ser resolvida, temos que encontrar uma superfície adequada/particular, tal que a integral seja feita “até de cabeça”! Isto só será possível quando a superfície acompanhar a simetria da distribuição de cargas. Além disso, essa superfície tem que ser desenhada envolvendo toda ou parte da distribuição de cargas (se a carga não for envolvida o fluxo dá zero).

Escolhemos a superfície esférica, porque qualquer carga de prova à mesma distância r da carga +q0 sentirá sempre a mesma “força” (ou seja a mesma intensidade de campo) logo o módulo/intensidade do campo é o mesmo em todos os pontos sobre a superfície esférica.

Se a carga fosse negativa os vetores campo elétrico em cada ponto (i. é, cada elemento infinitesimal de área) apontariam radialmente para a carga negativa.

ou

A carga total dentro da

superfície fechada é - q

Fluxo total através da superfície esférica S.

Linha muito longa de cargas (campo elétrico de um ponto P, bem distante das bordas da linha, situado à uma distancia r da linha)

Não só no ponto P, mas em todos os pontos no anel de raio r, ao redor da linha, a carga de prova sentirá a mesma intensidade de campo elétrico. Porem, como a linha é muiiiito longa, se afastarmos a carga de prova lateralmente do ponto P, para um ponto P1 ainda à distância r da linha, a intensidade do campo ainda será a mesma. Isto é, a carga continuará a “ver” (sentir os efeitos) à uma distância r abaixo dela uma linha de cargas muiiito longa! Logo, o campo será uniforme em toda esta cinta (ou lateral de um cilindro) de raio r então esta cinta (lateral curva do cilindro) deve ser a superfície gaussiana escolhida para resolver este problema. Mas, a superfície tem que ser fechada então fechamos nossa cinta, tal que agora ficará com “cara” de lata de leite em pó , ou seja:

Simetria cilíndrica:

Linha muito longa de cargas (campo elétrico de um ponto P, bem distante das bordas da linha, situado à uma distancia r da linha) - continuação

Observe que o campo tem que ser perpendicular à linha de cargas, pois se fosse inclinado, ele teria uma componente paralela à linha, ou seja sobre as cargas, e pela relação F = q E e a 2ª lei de Newton, F = m a as cargas se moveriam! Mas, no nosso problema TODAS AS CARGAS ESTÃO PARADAS (ou seja = linha de cargas e NÃO corrente elétrica). Logo , A ÚNICA ALTERNATIVA É O CAMPO SER PERPENDICULAR À LINHA.

Desse modo, só há fluxo na lateral curva do cilindro. Ou seja, em cada ponto (isto é, em cada elemento de superfície) da lateral curva o ângulo entre o campo elétrico E e o vetor elemento de área é de zero graus, enquanto que nas bases do cilindro, como o campo (bem como as linhas de campo elétrico) é perpendicular à linha de cargas, ele (o campo) é tangente às bases da superfície cilindrica, enquanto que os vetores elemento de área são perpendiculares a ela então, neste caso (isto é, nas duas bases) o campo forma um ângulo de 90o com o vetor elemento de área, em cada ponto das bases!

A linha tem uma distribuição linear uniforme, (C/m = cargas por unidade de comprimento), de cargas.

Linha muito longa de cargas (campo elétrico de um ponto P, bem distante das bordas da linha, situado à uma distancia r da linha) - continuação

Lei de Gauss:

Substituindo na Lei de Gauss:

ou

Cálculo do fluxo

Cálculo da carga interna à superfície gaussiana

(Campo elétrico num ponto P situado a uma altura h do plano de cargas, bem distante das bordas dele)

Imagine , por ex., o chão de um salão enorme. Aí, você quer o campo elétrico num ponto situado mais ou menos lá no meio do salão à uma altura de 1mm. Ora, uma carga de prova no ponto P ou um pouquinho deslocada do ponto P (mas, à mesma altura de 1 mm) vai sentir a mesma intensidade do campo, pois ela “verá”, à altura h abaixo dela aquele plano imenso de cargas (cargas a se perderem de vista para todos lados) . Ora, então uma superfíciezinha paralela ao plano de cargas , por ex., na forma de um disco será um bom pedaço de superfície gaussiana. Mas, a superfície gaussiana tem que ser fechada e, além disso, tem que englobar parte da carga então daquele disquinho prolongamos como um cilindro que “atravessa”/”fura” o plano de cargas e termina do outro lado do plano de cargas.

Novamente, o campo deve ser perpendicular ao plano de cargas, pois em caso contrário haveria uma componente do campo paralela ao plano que provocaria movimento das cargas mas, no plano de cargas TODAS AS CARGAS ESTÃO PARADAS (não existem correntes).

A densidade superficial de cargas é (C/m2 = cargas por unidade de área).

(Campo elétrico num ponto P situado a uma altura h do plano de cargas, bem distante das bordas dele) - Continuação

Substituindo na lei de Gauss

ou

Lei de Gauss: