Lista de Exercícios 2 Cálculo Numérico - Professor Daniel

Observação: Esta lista abrange integração numérica e resolução numérica de EDO’s. Em outras palavras, ela abrange toda a matéria da terceira prova. Instruções para a entrega: Essa lista não deve ser entregue. No da tradicional lista, haverá um trabalho sobre o método de Monte Carlo. O enunciado encontra-se no site www.cursoiglu.com Teóricos 1) Explique por que apenas calculamos valores para integrais definidas computacionalmente. 2) Em geral, para integração numérica, utilizamos aproximações de área. Para isso, assumimos que as funções são funções tais que f(x) ≥ 0, cx2 [a, b], onde [a, b] define o intervalo de integração. Como fazer o cálculo da integral no caso em que f(x) ≤ 0, cx 2 [a; b], onde [a, b] é o intervalo de integração. 3) Em geral, para integração numérica, utilizamos aproximações de área. Para isso, assumimos que as funções são funções tais que f(x) ≥ 0, cx2 [a, b], onde [a, b] define o intervalo de integração. Como fazer o cálculo da integral no caso em que f(x) troca de sinal um número finito de vezes? 4 Em geral, para integração numérica, utilizamos aproximações de área. Para isso, assumimos que as funções são funções tais que f(x) ≥ 0, cx2 [a, b], onde [a, b] define o intervalo de integração. Se f(x) troca de sinal um número infinito de vezes, então será possível calcular a integral de f(x) no intervalo [a; b]? Se sim, por quais métodos? 5) Explique o princípio do funcionamento do método de Monte Carlo para o cálculo de integrais numéricas. 6) Interprete geometricamente o funcionamento do método de Monte Carlo. 7) O método de Monte Carlo funciona primeiramente “cercando” a área da integral a ser calculada por um retângulo de dimensões Δx por Δy. Dê, em função dos dados iniciais da integral, quais seriam os melhores valores de Δx e Δy para o bom funcionamento deste algoritmo. 8) Discuta como o método de Monte Carlo melhora ou piora o seu desempenho, em relação ao tempo de execução e à precisão do resultado, em função do número total de pontos “chutados” para o cálculo da integral. 9) Discuta como o método de Monte Carlo melhora ou piora o seu desempenho, em relação ao tempo de execução e à precisão do resultado, em função do tamanho do retângulo que “cerca” a função. 10) Determine como o método de Monte Carlo verifica computacionalmente se um ponto qualquer (x i, yj) está ou não dentro da região de integração. 11) Descreva brevemente como seria um algoritmo para a resolução do método de Monte Carlo computacionalmente. Não se esqueça de definir as variáveis de entrada, de saída e auxiliares. 12) Descreva a premissa que envolve o cálculo de integrais numérica nos métodos de Newton-Cotes. 13) Para a aplicação dos métodos de Newton-Cotes, é necessário para a aplicação do método que f(x) seja contínua no intervalo? Justifique. 14) Deduza geometricamente a fórmula do método dos trapézios para integração numérica. 15) Interprete geometricamente o significado do termo f’’(x) na fórmula do erro da integração pelo método dos trapézios. 16) Deduza a fórmula do método dos trapézios generalizado, supondo já conhecida a fórmula do método dos trapézios. Há alguma restrição quanto ao número de pontos necessários para o funcionamento deste método?

17) Explique geométrica e algebricamente por que o erro no método dos trapézios generalizado tende a diminuir conforme aumentamos o número de pontos (e de intervalos) que utilizamos para a integração. 18) A fórmula do erro para o método dos trapézios generalizado, e para o método dos trapézios não-generalizado é a mesma. Isso quer dizer que eles apresentam o mesmo erro quando aplicados para uma mesma função em um mesmo intervalo? Justifique. 19) Explique a base de funcionamento do método de Simpson 1/3. 20) Qual a diferença teórica entre a abordagem do método dos trapézios e do método de Simpson 1/3? 21) Mencione uma vantagem e uma desvantagem do método de Simpson 1/3 em relação ao método dos trapézios. 22) Deduza a fórmula do método de Simpson 1/3 generalizado, supondo já conhecida a fórmula do método de Simpson 1/3. Há alguma restrição quanto ao número de pontos necessários para o funcionamento deste método? 23) Explique geométrica e algebricamente por que o erro no método de Simpson 1/3 generalizado tende a diminuir conforme aumentamos o número de pontos (e de intervalos) que utilizamos para a integração. 24) Explique a base de funcionamento do método de Simpson 3/8. 25) Qual a diferença teórica entre a abordagem do método de Simpson 3/8 para os demais métodos de Newton-Cotes? 26) Mencione uma vantagem e uma desvantagem do método de Simpson 3/8 em relação ao método dos trapézios. 27) Deduza a fórmula do método de Simpson 3/8 generalizado, supondo já conhecida a fórmula do método de Simpson 3/8. Há alguma restrição quanto o número de pontos necessários para o funcionamento deste método? 28) Explique algébrica e geometricamente por que o erro no método de Simpson 3/8 generalizado tende a diminuir conforme aumentamos o número de pontos (e intervalos) utilizados no cálculo da integral. 29) Qual o número mínimo de pontos necessário para se aplicar os três métodos de Newton-Cotes aprendidos em aula ao mesmo tempo? Justifique. 30) Qual o termo geral para o número de pontos necessário para que os três métodos de Newton-Cotes aprendidos em aula possam ser aplicados ao mesmo tempo? 31) Dê uma interpretação para os métodos de Newton-Cotes através de média ponderada. 32) Escreva uma tabela-resumo, contendo os três metodos de integração de Newton-Cotes, e nessa tabela, insira os “pesos” utilizados em cada integral, além do número necessário de pontos para a aplicação de cada método. 33) Demonstre que o erro ao se calcular a integral de uma função do tipo f(x) = ax3 + bx2 + cx + d em qualquer intervalo fechado é zero, quando utilizamos o método de Simpson 1/3. 34) Compare quanto a abordagem de resolução o método de Monte Carlo, e o método de Simpson 1/3. Mencione uma vantagem e uma desvantagem de cada um deles sobre o outro. 35) Explique a base de funcionamento do método da quadratura de Gauss.

36) Deduza um sistema cuja solução são os valores de A0, A1, x0 e x1 para que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

−1 = A0f(x0) + A1f(x1) seja

uma fórmula exata, quando f(x) for um polinômio de grau no máximo 3. 37) Existe uma variante para o método de quadratura gaussiana quando a função f(x) é periódica. Nesse caso,

utilizamos valores 𝐴0; 𝐴1; 𝑥0; 𝑥1 tais que ∫ 𝑓(𝑥)𝜋

−𝜋𝑑𝑥 = 𝐴0. 𝑓(𝑥0) + 𝐴1𝑓(𝑥1), de modo que a integral seja exata para as

funções 𝑠𝑒𝑛(𝑥), cos(𝑥) , 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑒 cos (2𝑥). 38) E necessário para a aplicação do método da quadratura de Gauss, que a função f(x) a ser integrada seja contínua no intervalo de integração? Justifique. 39) Mencione uma vantagem e uma desvantagem do método de Simpson 1/3 em comparação com o método da quadratura de Gauss.

40) Explique como é feita a mudança de variáveis necessária para a troca de intervalos de integração, partindo de um intervalo genérico [a; b] e terminando em no intervalo [-1; 1]. 41) Explique por que o método da quadratura de Gauss com dois pontos é exata para polinômios de grau menor ou igual a três. 42) Arme (mas não se preocupe em resolver) o sistema não-linear que deduz os valores de A0, A1, A2, x0, x1 e x2

para que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

−1 = A0f(x0) + A1f(x1) + A2f(x2) seja uma fórmula exata, quando f(x) for um polinômio de grau no máximo

5. 43) Interprete geometricamente o significado da questão anterior. 44) Quais as restrições para as aplicações de cada método de integração numérica dos aprendidos em sala? 45) Podemos integrar uma função descontínua computacionalmente? Se sim, por quais dos métodos aprendidos? 46) Defina equação diferencial ordinária. 47) Defina problema de valor inicial. 48) “Uma EDO linear de primeira ordem tem solução única”. Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, justifique, se for falso, apresente um contra-exemplo. 49) Explique por que nos métodos numéricos nunca retornamos a função y(x) de uma EDO de forma explícita. (Vale a pena observar que esta resposta também serve para responder por que não calculamos explicitamente integrais de funções indefinidas). 50) Explique o funcionamento do método de Euler para a resolução de EDO’s. 51) Dê a interpretação geométrica do método de Euler. 52) Explique geometricamente por que o erro no método de Euler é maior conforme o número de iterações aumenta, em geral. 53) Explique algebricamente por que o erro no método de Euler é maior conforme o número de iterações aumenta, em geral. 54) Explique geometricamente por que o erro no método de Euler é menor conforme diminuímos o tamanho do passo h. 55) Explique a relação entre o método de Euler e a série de Taylor da solução y(x). 56) “Quanto menor o valor de h (o passo) utilizado no método de Euler, mais precisa é a resposta.”. Essa afirmação é sempre verdadeira? Justifique. 57) No método de Euler, dado um ponto inicial da solução (x0, y0), encontramos vários pontos (xi, yi) pertencentes a solução, com xi ≥ x0, geralmente. É possível adaptar o método de Euler para encontrar pontos (x j, yj) pertencentes à solução, mas com xj ≤ x0? Caso seja possível, diga como, caso não seja possível justifique a causa. 58) Explique a ideia geométrica dos métodos de resolução de EDO’s baseados em séries de Taylor. 59) Mostre algebricamente que o método de resolução de EDO’s por Taylor de ordem um coincide com o método de Euler. 60) Escreva a expressão geral para o método de resolução de EDO’s por série de Taylor de ordem 2. 61) Escreva a expressão geral para o método de resolução de EDO’s por série de Taylor de ordem 3. 62) Discuta como fica a precisão da resolução de uma EDO por série de Taylor, conforme aumentamos a ordem do método. 63) Discuta como fica a velocidade da resolução de uma EDP por série de Taylor, conforme aumentamos a ordem do método. 64) Mencione uma vantagem e uma desvantagem entre o método de Euler e o método de Taylor de ordem 2.

65) Explique a ideia geométrica dos métodos de Runge-Kutta. 66) Mostre que o método de Runge-Kutta de ordem 1 é o método de Euler 67) Interprete geometricamente a fórmula de Runge-Kutta de ordem 2. 68) Escreva as fórmulas de Runge-Kutta de ordens 2, 3 e 4 em uma única expressão, em função de 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛, 𝑓 𝑒 ℎ. 69) Mencione uma vantagem e uma desvantagem dos métodos de Runge Kutta em relação aos métodos de Taylor. De cálculos 1) Dada a função f(x) = x2.e4x – 2. a) Determine a integral de f(x) no intervalo [-1; 3], através do método dos trapézios, utilizando 7 pontos, e estime o erro cometido. b) Determine a integral de f(x) no intervalo [-1; 3], através do método de Simpson 1/3, utilizando 7 pontos, e estime o erro cometido. c) Determine a integral de f(x) no intervalo [-1; 3], através do método de Simpson 3/8, utilizando 7 pontos, e estime o erro cometido. d) Determine a integral de f(x) no intervalo [-1; 3], através de quadratura Gaussiana por dois pontos.

2) Determine o número mínimo de pontos para que se possa calcular ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥2

−2 pelo método dos trapézios com erro

menor ou igual a 10-4. Calcule essa integral.

3) Determine o número mínimo de pontos para que se possa calcular ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥4

0 pelo método de Simpson 1/3,

com um erro menor ou igual a 10-4. Calcule essa integral.

4) Determine o número mínimo de pontos para que se possa calcular ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋 pelo método de Simpson 3/8,

com um erro menor ou igual a 10-4. Calcule essa integral. 5) Resolva a integral do exercício 2 analiticamente, e depois por quadratura Gaussiana com dois pontos, e calcule o erro relativo cometido. 6) Resolva a integral do exercício 3 analiticamente, e depois por quadratura Gaussiana com 4 pontos, e calcule o erro relativo cometido. 7) Resolva a integral do exercício 4 analiticamente, e depois pelo método dos trapézios, utilizando o mesmo número de pontos obtido como resposta no exercício 4. Determine o erro relativo cometido. 8) Dado o PVI

{4𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑦′ = 𝑦2 − 3𝑥

𝑦(2) = 5

Resolva esse PVI por Euler, com h = 0.05, no intervalo [1.75; 2], e faça um gráfico. 9) Dado o PVI

{𝑦′ = √𝑒𝑥 − 𝑦2𝑥2

𝑦(1) = 2

Resolva esse PVI por Runge-Kutta de ordem 2, no intervalo [1; 1.5], com h = 0.1, e faça um gráfico. 10) Dado o PVI

{

2

𝑦−𝑦′ = sec (𝑥)

𝑦(1) = 1

Resolva esse PVI por Taylor de ordem 2 e por Runge Kutta de ordem 2, e monte tabelas com os valores da solução no intervalo [0.8; 1.2], com h = 0.1, e faça um gráfico. De modelagem

1) Determine uma integral cujo resultado calcule a área formada entre as funções f(x) = x2 e g(x) = 12−𝑥2

4

2) Como proceder para saber a área entre a função f(x) = sec(x) e a reta y = 2, no intervalo [0; p/4]? (note que é uma integral própria!)

3) Como proceder para saber a área entre os gráficos de f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), no intervalo [0; 2p]? 4) Uma piscina de um clube tem, em toda a sua extensão, a profundidade constante de 2m. Além disso, quando medida de fora a fora, a distância entre suas pontas mais extremas é de 12m. E ela tem um formato totalmente irregular em suas laterais. Medindo-se transversalmente, a distância entre as duas extremidades da piscina, montamos a seguinte tabela:

Metragem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Distância 0 3 5 4 5 7 3 4 10 12 9 7 0

Modele integrais que determinem a área e o volume dessa piscina, para cada um dos três métodos de Newton-Cotes. 5)

6)

Enunciado dos exercícios de 7 à 10: Sabe-se que o volume de um sólido de revolução gerado por f(x) em torno

do eixo x é dado por 𝜋 ∫ (𝑓(𝑥))2

𝑑𝑥 𝑏

𝑎, onde f(x) é a função a ser rotacionada entre a e b, então determine:

(É interessante saber fazer o desenho de cada figura.) 7) O volume de uma esfera de raio R. 8) O volume do “vaso” gerado pela rotação da função f(x) = 2 + sen(x), para x 2 [0, 2p]. 9) Da peça gerada pelo cilindro de raio 4, quando retirada de dentro dele um sólido gerado pela rotação de f(x) =

√16 − 4𝑥.

A figura ao lado ilustra um brasão que será bordado nas camisetas de um time de futebol da 4ª divisão. Este brasão é limitado por baixo pela parábola de equação f(x) = x2, e superiormente pelas parábolas g(x) = (x-1)2 + 2, e h(x) = (x+1)2 + 2. (x dado em cm.) a) Modele integrais que determinem a área, em centímetros quadrados, de cada brasão. b) Este brasão terá, em todo o seu contorno, uma linha dourada. Determine integrais que calculem quanta linha, em cm, será utilizada para se contornar cada um destes brasões. Dado: Fórmula do comprimento de arco de f(x) entre a e b:

C = ∫ √1 + (𝑓′(𝑥))2𝑏

𝑎 𝑑𝑥

Uma linha férrea irá passar da cidade A até a cidade B. Essa linha pode fazer dois caminhos possíveis, descritos, de maneira

aproximada, pelas funções f(x) = √1 − 𝑥, e g(x) = √(4−4𝑥)3

8.

Sendo que, estes dois gráficos representam, em escala, as duas funções. Adote que cada unidade do gráfico corresponde a 100Km. A linha férrea que passe por g(x) é nitidamente mais curta, mas passa por um desnível, que encarecerá a obra em 20% de seu valor final. Modele matematicamente uma equação que possa responder à seguinte pergunta: Apesar do preço 20% mais caro pela linha de g(x), vale a pena passar a linha férrea por este caminho? Quanto, percentualmente, uma linha é mais barata do que a outra?

10) Do “donut”, criado pela rotação da circunferência de equação x2 + (y – 4)2 = 4 11) Descreva como utilizar o método de Monte Carlo para estimar o valor de √3. Dica: utilize um triângulo eqüilátero 12) Sabe-se, fisicamente que o trabalho de uma partícula em movimento, sobre ação de uma força, em um

movimento unidimensional é dado por W = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥𝑥1

𝑥0, onde F é uma função de força, dada em função da posição x,

e x0 e x1 são os pontos de início e fim de movimento. Determine o trabalho exercido pelas forças: a) F(x) = 4x3 – 3x2 + 2x – 1, x2[-1; 1] b) F(x) = sin(πx), x 2 [0; 4] 13) Quando temos um material radioativo, sabe-se que a taxa de emissão de partículas radioativas por tempo é proporcional a massa de material radioativo remanescente na amostra. (A constante de proporcionalidade varia de acordo com o material em questão). É possível encontrar uma equação y(t), que determina a massa de material radioativo, dados uma quantidade inicial de material radioativo, e o tempo de meia-vida (tempo necessário para que a quantidade de material caia pela metade). a) Modele um PVI que determine a função y(t) que representa a quantidade de material radioativo em um tempo t, dado que a quantidade inicial de material é y0. (OBS: Esse PVI, bem como sua solução ficará em função da constante de proporcionalidade K). b) Imagine que, para um determinado material radioativo, tem-se uma amostra inicial de 100g, e que para esse material, a sua constante de proporcionalidade seja K = 0,003. Utilizando passo h = 0,05, determine a quantidade de material radioativo restante na amostra, para t = 0,3. (Note que t pode estar em qualquer unidade, horas, anos...) c) Utilizando h = 0,1, determine a quantidade de material radioativo restante na amostra, para t = 0,3. Este resultado será mais preciso ou menos preciso do que o encontrado no item b)? Justifique. 14) De acordo com a lei de resfriamento de Newton, um corpo de temperatura T0, quando em um ambiente de temperatura T, varia de temperatura com uma taxa que é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. a) Modele um PVI que determine a função T(t) que representa a temperatura T em um instante t qualquer. (Note que esse PVI, bem como sua solução ficará em função da constante de proporcionalidade K) b) Um copo de suco gelado, à temperatura inicial de 5ºC é esquecido em cima de uma mesa, em um local onde a temperatura ambiente é 30ºC. Admita que a constante de proporcionalidade valha K = 0,25, quando o tempo t é medido em minutos. Utilizando o método de Euler, e h = 1, crie uma tabela com a temperatura desse copo de suco nos primeiros 5 minutos. c) Sabendo que a função da temperatura é dada explicitamente por T(t) = 30 – 25e-0,25t, determine o erro relativo cometido em cada minuto. 15) No caso de um movimento com resistência do ar, a força de resistência é proporcional à velocidade ao quadrado do corpo. (A constante de proporcionalidade depende do formato do corpo). Para um corpo de massa igual a 0,5Kg, e admitindo que a aceleração da gravidade seja constante e igual a 9,81m/s2, então: a) Modele uma equação diferencial que permita calcular a velocidade do corpo em qualquer momento. (A equação estará em função de K, constante de proporcionalidade). b) Admitindo que K = 2,25, e que o corpo parta do repouso, modele um PVI que calcule a velocidade do corpo em um instante qualquer. c) Com h = 0,1, faça uma tabela que determine a velocidade do corpo no primeiro 0,5s de movimento. 16) Um tanque com 100ℓ de água pura recebe 4ℓ/s de uma mistura contendo 20g/ℓ de sulfato de sódio. Ao mesmo tempo, o tanque tem uma vazão de 4ℓ/s da mistura nele contida. Admita que o sal se dissolva de maneira uniforme no tanque, de modo instantâneo. a) Modele um PVI que determine a quantidade de sal contido no tanque, em um instante t qualquer. b) Utilizando h = 0,5, monte uma tabela com a quantidade de sal no tanque, nos primeiros 3 minutos. c) Como alterar o PVI anterior para que ele dê como resposta a concentração de sal no tanque, ao invés da quantidade de sal nele contida?