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Matemática : PRF | Profº Marcelo Jardim

MATEMÁTICA PRF | PROFº MARCELO JARDIM

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AULA 1: RAZÃO-PROPORÇÃO-DIVISÃO PROPORCIONAL

A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo. Desta forma a razão entre os números a e b , nesta ordem, é o quociente ,com b≠0.

01. A soma de dois números é 140 e a razão entre eles é , determine-os.

02. A diferença entre dois números é 69 e a razão entre eles é ,determine-os.

03. Dois números estão entre si como 2 está para 3.Sabendo-se que o dobro do menor,mais o triplo do maior é igual a 78,determine os números.

04. Na igualdade de razões = = , sabe-se que 2x- y + 3z=36 ,calcule x+y+z

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais ou simplesmente proporcionais,quando multiplicando-se ou dividindo-se uma delas por um número,a outra ficará multiplicada ou dividida,respectivamente,por esse mesmo número.

EXEMPLO: velocidade de um veículo e a distância percorrida num intervalo de tempo fixado.

Tal propriedade faz com que a razão dos números correspondentes nas duas grandezas seja CONSTANTE ( coeficiente ou fator de proporcionalidade)

= K ,onde:

x a valor da primeira grandeza

y a valor correspondente na segunda grandeza

K a coeficiente de proporcionalidade

Variação DIRETA é uma RETA

34

85

x5

y7

z3

xy



01. Dividir o número 100 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

02. Dividir o número 240 em três partes diretamente proporcionais a 1,4 e 7.

03. Dividir o número 36 em partes proporcionais a 14,21 e 28.

04. Determinar dois números x e y ,diretamente proporcionais a 8 e 3 ,sabendo-se que a diferença entre eles é 60.

05. Pedro e Paulo investiram R$12000,00 e R$15000,00 ,respectivamente,num negócio que proporcionou um lucro de R$7500,00.Quanto coube a cada um, se o lucro foi dividido proporcionalmente ao valor investido?

06. Um certo número de documentos foi distribuído entre três fiscais em partes proporcionais a 6,8 e 9,respectiva-mente.O primeiro fiscal recebeu 960 documentos.Qual o número de documentos distribuídos entre os três fiscais?

07. O lucro de uma empresa foi dividido entre seus 3 sócios, A,B e C, em partes proporcionais a 3,2 e 5, respecti-vamente.Sabendo que A recebeu R$50000,00 a mais que B,determine quanto recebeu cada sócio.

08. Dois números x e y são proporcionais a 3 e 4,respectivamente.Sabendo que o triplo do primeiro,mais o dobro do segundo é igual a 34,determine x e y.

09. Três números x,y e z são proporcionais a 2,3 e 4,respectivamente.Sabendo que 2x+3y-z=108,determine x,y e z.

10. Dividir o número 116 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo diretamente pro-porcionais a 4 e 7,respectivamente.

(CESPE) A quantia de R$ 61.600,00 deverá ser repartida entre os irmãos Carlos, Lúcia e Marcos e a parte que ca-berá a cada um deles deverá ser diretamente proporcional aos números 5, 4 e 2, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

11. O valor que caberá a Carlos é superior a R$ 30.000,00

12. O valor que Marcos deverá receber é superior a 1/5 do valor total da quantia repartida.

13. Considere que, para uma nova quantia a ser dividida entre os três irmãos, Lúcia receba R$ 30.000,00 e seja mantida a mesma condição de proporcionalidade. Então a nova quantia a ser dividida é superior a R$ 80.000,00.

(CESPE) Os acionistas A, B e C, possuem, respectivamente, 200, 500 e 800 quotas de uma companhia e terão de



dividir um prêmio de R$10.500,00 na proporção do número de quotas que cada um possui. Nesta situação, julgue os itens seguintes.

14. O acionista C receberá 4 vezes mais que o acionista A.

15. O acionista B receberá mais de do total do prêmio.

16. O acionista B receberá menos de do total do prêmio.

17. O acionista A receberá mais de R$1.500,00

18. Os acionistas A e B juntos receberão R$4.900,00

(CESPE) Considerando que uma empresa contratou profissionais com formação de nível fundamental, médio e superior em números que são diretamente proporcionais aos números 7, 5 e 3, respectivamente e supondo que o salário de um profissional de nível fundamental é R$ 1.000,00, o do de nível médio é de R$ 2.000,00 e do de nível superior é de R$ 4.000,00 e que a folha salarial mensal da empresa com esses profissionais é de R$ 58.000,00, julgue os itens seguintes.

19. O número de profissionais contratados por essa empresa foi inferior a 25.

20. Com os salários dos profissionais de nível fundamental contratados, a empresa gastará uma quantia superior a R$ 16.000,00 por mês.

21. O número de profissionais de nível médio contratados por essa empresa foi superior a 8 e inferior a 12.

(CESPE) Paulo e Marcos são irmãos. Sabe-se que Marcos nasceu 4 anos antes de Paulo e que os dois aniversariam no mesmo dia do ano. Nessas condições, julgue o item subsequente.

22.Considere que, no dia em que Paulo completou 8 anos de idade, o pai deles dividiu R$ 300,00 entre os dois de modo que cada um deles tenha recebido uma quantia proporcional à sua idade. Nesse caso, Paulo recebeu R$ 120,00 e Marcos, R$ 180,00.

23. (CESPE) . Na formação de uma microempresa, os dois sócios integralizaram os capitais de R$ 6.000,00 e R$ 9.000,00, respectivamente. Após 9 meses, esses sócios aceitaram outra pessoa na sociedade, que integralizou o capital de R$ 12.000,00. Ao final do 1.º ano, a firma apresentou um lucro de R$ 13.200,00, que foi dividido em partes proporcionais ao capital e tempo de integralização. Nesse caso, coube ao 3.º sócio uma importância superior a R$ 2.000,00.

23

13



A tabela abaixo mostra a participação em uma empresa, de três sócios, em tempo (a partir do inicio das ativida-des da empresa) e em capital inicial investido.

Sócio Tempo de participação

Capital inicial investido

A 3 meses R$ 10.000,00B 6 meses R$ 20.000,00c 12 meses R$ 30.000,00

Ao completar um ano de funcionamento, o lucro de R$102.000,00 foi dividido entre eles.

Com base nas informações citadas julgue os itens abaixo:

24. O sócio A recebeu absolutamente a metade do sócio B.

25. A quantia relativa ao sócio A, é 75% menor que a do sócio B.

26. O sócio A recebeu do lucro total.

(CESPE) Para se dividir uma fortuna, imaginou-se duas formas distintas. Na primeira, a fortuna seria dividida na razão direta dos números 3, 5 e 7; na segunda, na razão direta dos números 4, 9 e 12. Na segunda forma de divisão, a segunda maior parte da fortuna ficaria aumentada em R$3.000,00 em relação à segunda maior parte da primeira forma de divisão. Em face dessa situação, julgue os itens a seguir.

27. O valor da fortuna a ser divida é superior a R$110.000,00.

28. A menor parte da fortuna corresponde à segunda forma de divisão é inferior R$16.000,00.

29. Na segunda forma de divisão, a maior parte da fortuna é o triplo do valor correspondente à menor parte.

30. Na primeira forma de divisão, a maior parte é inferior a R$50.000,00.

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GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicando-se ou dividindo-se uma delas por um número,a outra ficará dividida ou multiplicada,respectivamente,pelo mesmo número.

Tal propriedade faz com que o produto dos números correspondentes nas duas grandezas seja CONSTANTE (coeficiente ou fator de proporcionalidade)

X.Y=K

Variação INDIRETA é uma CURVA (HIPÉRBOLE)

EXEMPLO: velocidade de um veículo e tempo necessário para percorrer uma certa distância fixada.

01. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 3 e 11.

02. Dividir o número 310 em partes inversamente proporcionais a 5,3 e 2

03.Dividir o número 380 em partes inversamente proporcionais a 2,5 e 4.

ATENÇÃO: Se uma sucessão numérica é simultaneamente proporcional a duas outras sucessões,então será proporcional aos PRODUTOS dos números correspondentes dos elementos correspondentes dessas duas sucessões.



01. Dividindo-se o número 270 em 3 partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também direta-mente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente, encontramos a maior parte igual a:

02. Dividindo-se o número 87 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 5 e 7, encontramos para maior parte:

03. Dividindo-se o número 690 em três partes diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos úmeros 2, 3 e 4, respectivamente a menor parte vale:

04. Dividindo-se 105 em três partes que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversa-mente proporcionais a 5, 3 e 6, respectivamente, a menor dessas partes vale:



AULA 2: REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

Pode ser:

simples aquando o problema envolve duas grandezas.

Pode ser:

direta:(+) (+) ou (-) (-) ,neste caso para calcular o termo desconhecido,multiplicamos em “X”

inversa:(+)(-) ou (-)(+)neste caso para acharmos o termo desconhecido,multiplicamos em “linha”

composta aquando envolve mais de duas grandezas dependentes,diretamente ou inversamente proporcio-nais.

01. 15 operários levaram 8 dias para realizar um determinado trabalho. Quantos dias levarão 5 operários para a realização do mesmo serviço?

02. As capacidades de trabalho de dois operários estão entre si na razão . Se o primeiro realiza um trabalho em 8 dias, em quantos dias o segundo realizará o mesmo serviço?

03. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem 40 cadeiras. Quantas horas por dia devem trabalhar 30 operários para construírem 15 cadeiras no mesmo número de dias?

04. Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários que produzem em 8 horas de serviço diário 240 pares de calçados. Quantos operários serão necessários para produzir 600 pares por dia, com 10 horas de trabalho diário?

05. Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia?

06. a homens, trabalhando b horas por dia, fazem c metros de um muro, em d dias. Quantos dias levariam 2a homens, trabalhando 2b horas por dia, para fazer 2c metros desse muro?

07. Os de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias poder-se-á terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e os restantes trabalham 6 horas por dia?

08. 20 operários realizaram uma obra em 18 dias. Quantos operários em 15 dias, com o dobro da capacidade dos anteriores realizaram uma obra com a metade da dificuldade da obra acima?

09. Se h homens trabalhando h horas por dia durante h dias fabricam 1.956 lâmpadas, então 2h homens traba-lhando h/2 horas por dia durante 2h dias fabricarão um número de lâmpadas igual a:

34

25



10. Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min. Em quanto tempo o mes-mo automóvel percorrerá da mesma estrada com 25% da velocidade inicial?

11. O estoque de pó de café em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários durante 62 dias. Depois de 12 dias, passam a trabalhar no escritório mais 4 funcionários. Passados mais 15 dias, 10 funcionários são transfe-ridos para outro escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de café? 12. Um especialista conta um pacote de 100 cédulas em 1 minuto e um amador conta um pacote de 100 cédulas em 2 minutos. Em quanto tempo 3 especialistas e 8 amadores contam 770 pacotes de 100 cédulas?

13. Se 3 profissionais fazem 24 peças em 2 horas, e 4 aprendizes fazem 16 peças em 3 horas. Em quantas horas 2 profissionais e 3 aprendizes farão 48 peças?

14. Sabendo que 5 cabras valem 22 coelhos, que 4 cavalos valem 10 bois, que 18 cabras valem 2 bois, por quan-tos coelhos se pode trocar um cavalo.

15. Um fazendeiro tem milho para alimentar 15 galinhas durante 20 dias. No fim de 2 dias,compra 3 outras ga-linhas,4 dias depois desta compra,uma raposa mata várias galinhas e o fazendeiro pode alimentar as que restam durante 18 dias.Quantas galinhas a raposa matou?

35



AULA 3: PORCENTAGEM

Porcentagem ou taxa percentual é uma razão centesimal,ou seja,uma razão com denominador 100.A porcentagem é representada pelo símbolo % (por cento).

x%=

aPara transformarmos uma fração qualquer em porcentagem,basta multiplicá-la por 100.

EX.: x 100 = = 75%

a calcular 30% de 500

x 500= 15

aA que taxa de porcentagem correspondem 20 alunos aprovados numa turma de 80 alunos?

80 alunos--------------100%

20 alunos---------------x% , daí vem:

80x=2000

x=25%

1.Calcule:

a) 20% de 600

b) 15% de 840

c) 60% de 60

d) 4% de 120

e) 10% de 123,5

f ) 1% de 123,5

g) 3,5% de 400

x100

34

3004

30100



h) 90% de 2500

i) 16,2% de 80

j) 7,5% de 400

l) 0,2% de 12

2.Calcule o valor de x em cada caso:

a) 10 é x% de 40

b) 3,6 é x% de 42

c) 120 é x% de 150

d) 136 é x% de 400

3. Um produto sofreu dois reajustes mensais e consecutivos de 5% e 10%,respectivamente.

a) Qual será seu preço após os aumentos,se antes custava R$ 400,00?

b) Qual será o aumento percentual acumulado?

4.Um produto teve seu preço reajustado de R$ 25,00 para R$ 32,00.Qual foi a taxa percentual de aumento?

5. Expresse na forma percentual:

a) Um aumento de R$ 15,00 sobre uma mercadoria que custava R$ 60,00.



b) Um desconto de R$ 28,00 em uma mercadoria que custava R$ 168,00.

c) Um desconto de R$ 0,20 em um produto que custava R$ 0,90.

d) Um aumento de R$ 208,00 em um produto que custava R$ 200,00.

6. Expresse na forma percentual:

a)

b)

c)

d)

e)

O perfil de quem usa carro blindado

O mercado de blindagem de carros continua aquecido. No ano passado, o número de veículos que passaram por esse processo, que custa em média R$50.000,00, subiu 13%. Neste ano, vem crescendo à mesma taxa. A Associa-ção Brasileira de Blindagem encomendou uma pesquisa para traçar o perfil básico de quem recorre a esse serviço. A tabela a seguir apresenta dados referentes ao mercado de blindagem em 2006.

Com relação ao texto acima, julgue os itens que se seguem.

14353811674



01.

Considere-se que, independentemente do modelo e da marca, o preço para blindagem de qualquer dos veículos mencionados na tabela coincida com o valor médio citado no texto. Nessa situação, se a média aritmética dos pre-ços dos veículos citados na tabela, incluído o valor do processo de blindagem, for igual a R$ 150.000,00, então o preço de pelo menos um desses veículos sem a blindagem será inferior a R$ 102.000,000.

02. Considere-se que, em 2005, 2.500 veículos tenham passado pelo processo de blindagem. Então, de acordo com o texto, espera-se que, em 2007, mais de 3.200 veículos passem pelo mesmo processo.

03. Considere-se que dos veículos que passaram pelo processo de blindagem no último ano, 2.485 eram de propriedade de indivíduos do sexo masculino. Nessa situação, menos de 1.000 mulheres tiveram seus veículos blindados no ano passado.

04. Considere-se que, em 2006, 2.700 veículos das marcas mencionadas no texto tenham passado pelo proces-so de blindagem e que a quantidade de Vectras tenha sido metade da de Corollas; a de Hillux tenha sido metade da de Vectras, e a da marca Passat, metade da de Hillux. Nessa situação, é correto afirmar que mais de 1.500 veículos da marca Corolla passaram pelo processo de blindagem em 2006.

05. Considere-se que, dos veículos que passaram pelo processo de blindagem em 2006, 480 eram de proprieda-de de indivíduos que não pertenciam a nenhuma das classes profissionais mencionadas na tabela. Nessa situação, é correto afirmar que mais de 2.500 empresários e executivos e menos de 250 juízes mandaram blindar seus veículos em 2006.

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